![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/obteniendo_electricidad/imgs/prueba-ver-respuesta.png\")
Then ask a fourth question:
","tipo":"p","esp":"Luego, plantee una cuarta pregunta:
"},{"eng":"- Based on what can be observed on the number line, what operation allows you to find the fraction of electrical energy that a panel produces in relation to the energy that from the sun?
- Según lo que se puede observar en la recta numérica, ¿qué operación permite encontrar la fracción de energía eléctrica que produce un panel en relación a la energía que llega del sol?
\\[ \\frac{1}{5} \\text{ de}\\frac{1}{2} = \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{10} \\]
","eng":"\\[ \\frac{1}{5} \\text{ of}\\frac{1}{2} = \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1 }{10}\\]
","recurso":"Respuesta","tipo":"momento"},{"eng":"In this part you can ask the students to justify why to calculate 1 5 of 1 the fractions must be multiplied. Conclude that in this case, the reference unit was first divided into 2 equal parts, and then each of them into 5 identical parts, that is, the reference unit was divided into 2 5 = 10 equal parts.","tipo":"p","esp":"En esta parte puede pedir a las y los estudiantes que justifiquen por qué para calcular 1 5 de 1 2 se deben multiplicar las fracciones. Concluyan que en este caso, la unidad de referencia se dividió primero en 2 partes iguales, y luego cada una de ellas en 5 partes idénticas, es decir, la unidad de referencia se dividió en 2 · 5 = 10 partes iguales.\n\nPara finalizar la lección, se sugiere volver a discutir la última pregunta de la Hoja de Actividades, a fin de que las y los estudiantes interpreten los cálculos que han realizado en el contexto del problema (tarea matemática D). "},{"recurso":"Actividades","eng":"
- What percentage of solar energy is transformed into electrical energy? What do you think?
- 1 10< /span> is 10%.","recurso":"Respuesta","esp":"
- 1 10 es el 10%.
- Solo el 10 % de la energía del sol se puede transformar en energía\neléctrica en plantas solares.
- Considerando que en Atacama hay excelentes condiciones de\nradiación solar, es muy bajo el porcentaje que se puede aprovechar.
- Es un porcentaje muy bajo de energía del Sol la que se puede\ntransformar en energía eléctrica en esta planta solar. A pesar de que Atacama\ncuenta con excelentes condiciones de radiación solar.
- Aunque el porcentaje es bajo, igualmente se puede producir mucha\nenergía eléctrica si se utilizan muchos paneles solares.
Based on what was done in class, systematize the following ideas:
","esp":"En base a lo realizado en clases, sistematice las siguientes ideas:
","tipo":"p"},{"esp":"- Para determinar la fracción o porcentaje de energía eléctrica que produce una planta solar, no es necesario disponer de la cantidad de energía que el Sol genera, ya que las fracciones y porcentajes son cálculos que se realizan sobre la energía inicial, independiente de cuánta sea.
- Una planta solar aprovecha “una pequeña parte” de la energía que el Sol entrega. De todas maneras, las plantas solares de Atacama, producen una cantidad de energía eléctrica considerable que permite abastecer a una gran población.
- Para calcular la fracción de una fracción basta multiplicarlas.
- To determine the fraction or percentage of electrical energy that a solar plant produces, it is not necessary to have the amount of energy that the Sun generates, since the fractions and percentages are calculations that are made on the initial energy , regardless of how much it is.
- A solar plant takes advantage of “a small part” of the energy that the Sun delivers. In any case, the Atacama solar plants produce a considerable amount of electrical energy that allows them to supply a large population.
- To calculate the fraction of a fraction, just multiply them.
Hand out the Practice guide and ask the students to solve exercise 1, where they must determine the fraction of solar energy that a solar plant in Concepción can transform into electricity. Use this activity to evaluate the learning developed in the lesson.
","esp":"Entregue la guía Práctica y pida a las y los estudiantes resolver el ejercicio 1, donde deben determinar la fracción de energía solar que una planta solar en Concepción puede transformar en electricidad. Utilice esta actividad para evaluar los aprendizajes desarrollados en la lección.
"},{"tipo":"p","eng":"Next, ask them to solve exercise 2 with a similar situation in which other factors intervene in the production of electrical energy from the Sun.
","esp":"A continuación, pida que resuelvan el ejercicio 2 con una situación similar en la que intervienen otros factores en la producción de energía eléctrica a partir del Sol.
"},{"tipo":"p","eng":"These activities can be used to formatively assess the following indicators:
","esp":"Estas actividades pueden ser utilizadas para evaluar formativamente los siguientes indicadores:
"},{"esp":"- Reconocen la operación matemática adecuada en problemas sencillos para resolverlos.
- Resuelven problemas que involucren la multiplicación y la división de números racionales.
- Recognize the proper mathematical operation in simple problems to solve them.
- Solve problems involving multiplication and division of rational numbers.
- \n\n
- Conmutatividad, \\[ \\frac{p}{q}\\cdot \\frac{m}{n} = \\frac{m}{n}\\cdot \\frac{p}{q}\\] \n
- Asociatividad, \\[ \\frac{p}{q}\\cdot \\frac{m}{n}\\cdot \\frac{a}{b} = \\frac{p}{q}\\cdot \\frac{m}{n}\\cdot \\frac{a}{b}\\] \n
- Elemento neutro de la multiplicación, \\[1\\cdot \\frac{p}{q} = \\frac{p}{q}\\] \n
- Elemento absorbente para la multiplicación, \\[0\\cdot \\frac{p}{q} =0\\] \n
- Elemento inverso con respecto a la multiplicación, \\[ \\frac{p}{q}\\cdot \\frac{q}{p} = 1\\text{ para } n\\text{ y }m \\neq 0\\] En este caso, decimos que \\(\\frac{q}{p}\\) es el inverso multiplicativo de \\(\\frac{p}{q}\\) y viceversa.
- Distributividad de la multiplicación con respecto a la suma, \\[ \\frac{p}{q}\\cdot \\left(\\frac{m}{n} + \\frac{a}{b}\\right) = \\frac{p}{q}\\cdot \\frac{m}{n} + \\frac{p}{q}\\cdot \\frac{a}{b}\\] \n
- Distributividad de la multiplicación con respecto a la resta, \\[ \\frac{p}{q}\\cdot \\left(\\frac{m}{n} - \\frac{a}{b}\\right) = \\frac{p}{q}\\cdot \\frac{m}{n} - \\frac{p}{q}\\cdot \\frac{a}{b}\\] \n
Solar concentration plant\n
","esp":"Planta de concentración solar\n
"}},{"esp":"También están los paneles térmicos, que normalmente se instalan en los tejados de las viviendas y acumulan calor que sirve para calentar agua o cocinar. ","eng":"There are also thermal panels, which are normally installed on the roofs of houses and accumulate heat that is used to heat water or cook.","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"Thermal panels
","esp":"Paneles térmicos
"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/obteniendo_electricidad/imgs/principal03_v2.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/obteniendo_electricidad/imgs/principal03_v2.png"},{"tipo":"p","esp":"Además están las plantas solares fotovoltaicas, las cuales transforman la luz del sol en energía eléctrica mediante paneles solares, que son placas metálicas semiconductoras. ","eng":"In addition, there are photovoltaic solar plants, which transform sunlight into electrical energy through solar panels, which are semiconductor metal plates."},{"escala":"50","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/obteniendo_electricidad/imgs/principal03_-04.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"eng":"Photovoltaic plant
","esp":"Planta fotovoltaica
"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/obteniendo_electricidad/imgs/principal03_-04.png"},{"tipo":"p","esp":"La situación que se aborda en este caso se refiere a esta última tecnología. A continuación, se revisan los aspectos generales de su funcionamiento.\n","eng":"The situation addressed in this case refers to this latest technology. The general aspects of its operation are reviewed below."},{"eng":"The sun's rays are made up of photons that reach the photovoltaic cells on the plate. These photons knock electrons out of their atoms, generating an electrical current. This is the photoelectric effect, explained by Albert Einstein in 1905, which is why he was awarded the Nobel Prize in Physics in 1921. In this way, the more intense the light, that is, the more photons, the greater the electric current generated.","esp":"Los rayos solares están compuestos por fotones que llegan a las células fotovoltaicas de la placa. Estos fotones sacan a los electrones de sus átomos generando una corriente eléctrica. Este es el efecto fotoeléctrico, explicado por Albert Einstein en 1905, motivo por el cual obtuvo el Premio Nobel de Física en 1921. De esta forma, cuanto más intensa sea la luz, es decir más fotones, mayor será la corriente eléctrica generada.\n","tipo":"p"},{"eng":"The energy that can be generated and distributed from solar radiation is affected by several variables. For example, atmospheric humidity, which brings with it more cloudiness, limits the amount of sunlight that the panels receive. In turn, the panels are not capable of converting all the energy received into electrical energy, since part of it is dissipated as thermal energy. Also, a percentage of the electrical energy generated is lost in its distribution, since the material through which the energy is conducted generally has a resistance in its path.","esp":"La energía que se puede generar y distribuir a partir de la radiación solar se ve afectada por diversas variables. Por ejemplo, la humedad atmosférica, que trae consigo mayor nubosidad, limita la cantidad de luz solar que reciben los paneles. A su vez, los paneles no son capaces de convertir la totalidad de la energía recibida en energía eléctrica, ya que parte de ella se disipa en forma de energía térmica. También, un porcentaje de la energía eléctrica generada se pierde en su distribución, ya que el material por el cual se conduce la energía generalmente posee una resistencia en su paso.","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Las plantas solares en Chile están ubicadas, en su gran mayoría, en el norte del país, en las regiones de Antofagasta, Atacama y Coquimbo. Este tipo de fuentes de energía van tomando un papel cada vez más relevante dentro de la matriz energética nacional. La participación de la energía solar en la generación eléctrica del país creció del 0,7% en 2014, a 12,7% en el año 2021. ","eng":"Solar plants in Chile are located, for the most part, in the north of the country, in the Antofagasta, Atacama and Coquimbo regions. These types of energy sources are taking on an increasingly relevant role within the national energy matrix. The participation of solar energy in the country's electricity generation grew from 0.7% in 2014 to 12.7% in 2021."},{"esp":"Para obtener más información sobre este tema se pueden consultar las siguientes referencias:
","eng":"For more information on this topic, you can consult the following references:
\nShow the video “Solar energy in Chile”.","esp":"Presente el Video \"Energía solar en Chile\"."},{"titulo":{"esp":"","eng":"See Video"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/energia-solar-donde-ubicar-una-planta-solar-en-chile/05_energia%20solar%20subt.mp4","tipo":"button","recurso":"ModalVideo","eng":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/energia-solar-donde-ubicar-una-planta-solar-en-chile/videos/eng/principal-resource.webm"},{"tipo":"h4","eng":"(Slides 3 to 6, Presentation)","esp":"(Diapositivas 3 a 6, Presentación)"},{"tipo":"p","eng":"Allow students to share their opinions about the video. For them to deepen their understanding of the context and recognize the socially relevant problem that this situation seeks to address, you can ask questions such as the following:","esp":"Dé espacio para que las y los estudiantes compartan sus opiniones sobre el Video. Para que\nprofundicen en la comprensión del contexto y reconozcan la problemática socialmente\nrelevante que busca abordar esta situación, puede plantear preguntas como la siguiente:"},{"eng":"Why is it important to consider solar energy as an alternative to provide electricity?","recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"¿Por qué es importante considerar la energía solar como una alternativa para proveer electricidad?
"},{"tipo":"p","esp":"A continuación, se sugiere plantear preguntas para asegurarse de que las y los estudiantes reconozcan y comprendan todos los factores mencionados en el Video, como por ejemplo:","eng":"Ask questions to ensure that students recognize and understand all the factors mentioned in the video, such as:"},{"recurso":"Pregunta","esp":"¿Cuáles son algunos factores que afectan la producción y distribución de energía eléctrica generada por plantas solares, según lo que se señala en el video?","eng":"What factors affect the production and distribution of electrical energy generated by solar plants, according to what is indicated in the video?","tipo":"momento"},{"esp":"Luego, puede hacer preguntas para que las y los estudiantes discutan acerca de qué lugar\nes mejor para instalar una planta solar que suministre energía a Concepción, y además, para\nque reconozcan la necesidad de contar con datos factibles de obtener y que permitan tomar\nuna decisión. Por ejemplo:
","tipo":"p","eng":"Then, you can ask questions so that the students can discuss which place is best to install a solar plant that supplies energy to Concepción and that they need data to decide. For example:"},{"eng":"- What would be the best place to locate a solar plant that delivers electricity to Concepción: the Atacama Desert or the surroundings of Concepción?
- What does it take to make the decision?
- ¿Cuál creen que sería el mejor lugar para ubicar una planta solar que entregue electricidad a Concepción: el desierto de Atacama o los alrededores de Concepción?
- ¿Qué se necesita para tomar la decisión?
Comente a las y los estudiantes que se dispone de la siguiente información:
","tipo":"p","eng":"Tell the students that the following information is available:
"},{"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/imgs/tabla-donde-ubicar-planta.png","caption":{"esp":"","eng":"*Days and hours with sunlight conditions that allow the photovoltaic panels to operate. These are average values."},"titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/eng/table-lesson-plan.png","tipo":"img"},{"esp":"(Diapositivas 8 a 13, Presentación)","eng":"(Slides 8 to 13, Presentation)","tipo":"h4"},{"esp":"Asegúrese de que las y los estudiantes entiendan a qué se refiere cada una de las\ncantidades señaladas. En particular, comente que:\n
- \n
- La cantidad inicial con la que cuentan es la potencia por metro cuadrado que llega a la parte externa de la atmósfera, que es de 1,4 kW (kilovatios). \n
- Dicha potencia se reduce antes de llegar a la superficie del panel solar, producto de la humedad en la atmósfera, que varía entre Atacama y Concepción. \n
- La energía se mide en kWh (kilovatios hora), que corresponde a la multiplicación de la potencia, medida en kW, por la cantidad de horas. \n
- Se desea comparar la cantidad de energía eléctrica que llega a Concepción desde cada una de las plantas solares diariamente. \n
- Los paneles no son capaces de convertir la totalidad de la energía recibida en energía eléctrica, ya que el 80% de ella se disipa en forma de energía térmica. \n
- En el caso de la planta de Atacama, parte de la energía eléctrica producida se pierde al ser transmitida a Concepción, debido a la resistencia de los cables que la conducen. \n
Make sure that students understand what each of the indicated quantities refers to. In particular, you can comment\n that:
\n- \n
- Their initial amount is the power per square meter that reaches the outside of the atmosphere, which is 1,4 kW\n (kilowatts). \n
- This power is reduced before reaching the solar panel's surface due to the atmosphere's humidity, which varies\n between Atacama and Concepción. \n
- Energy is measured in kWh (kilowatt hours), corresponding to the multiplication of power measured in kW by the\n number of hours. \n
- It is desired to compare the amount of electrical energy that reaches Concepción from each of the solar plants\n daily. \n
- The panels cannot convert all of the energy received into electrical energy since 80% of it is dissipated as\n thermal energy. \n
- In the case of the Atacama plant, part of the electrical energy produced is lost when transmitted to Concepción\n due to the resistance of the cables that carry it. \n
A continuación, plantee la siguiente pregunta clave que dará inicio a la etapa de\nconstrucción de conocimiento:
","tipo":"p"},{"eng":"Now that we have this data, is it possible to determine which is the most convenient place to locate the solar plant?","recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"Ahora que disponemos de éstos datos, ¿es posible determinar cuál es el lugar más conveniente para ubicar la planta solar?
"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Knowledge Construction","esp":"Construcción de Conocimientos"},{"esp":"Incentive a las y los estudiantes a establecer una conjetura respecto de la planta solar que\nsuministra más energía, comparando las cantidades y porcentajes indicados en cada fila de\nla tabla. Pídales que expliquen el análisis que realizaron.\n","tipo":"p","eng":"\nEncourage students to guess the solar plant that supplies the most energy by comparing the quantities and percentages in each table row. Ask them to explain the analysis they performed."},{"eng":"After this first exploration, we suggest asking the following question:","esp":"Luego de esta primera exploración, le sugerimos plantear la siguiente pregunta:\n
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"¿Cómo podemos estar seguros de que la conclusión basada en la comparación de los datos de la tabla que realizaron es correcta?","eng":"How can we be sure that the conclusion based on your table data comparison is correct?"},{"eng":"The idea is that they recognize the need to calculate the electrical energy supplied by each plant.
","tipo":"p","esp":"La idea es que reconozcan la necesidad de realizar el cálculo de la energía eléctrica\nsuministrada por cada planta.
"},{"esp":"
A continuación, entregue la Hoja de Actividades, en la que las y los estudiantes deben:\n\n- Identificar los números racionales y operaciones que modelan la situación planteada en el contexto (Tarea Matemática A).\n
- Realizar cálculos de números racionales (Tarea Matemática B).\n
\nAborde con todo el curso las preguntas 1, 2, 3 y 4, como se sugiere a continuación.\n
- Identify the rational numbers and operations that model the situation posed in the context (Mathematical Task A).
- Perform calculations with rational numbers (Mathematical Task B).
\nAddress questions 1, 2, 3, and 4 with the whole class. These questions guide the students to answer the initial question.","tipo":"p"},{"esp":"(Diapositiva 15 y 16, Presentación)","eng":"(Slide 15 and 16, Presentation)","tipo":"h4"},{"esp":"- Calculen la potencia que llega al panel solar en cada planta, considerando lo que se pierde debido a la humedad de la atmósfera.
- Calculate the power that reaches the solar panel on each plant, considering what is lost due to the humidity of the atmosphere.
- La potencia del sol que llega a cada panel solar en la planta de Atacama es de 1,4 ∙ 0,46 = 0,644 kW. \n
- La potencia del sol que llega a cada panel solar en la planta de Concepción es de 1,4 ∙ 0,39 = 0,546 kW.\n \n
- The sun's power that reaches each Atacama plant solar panel is 1,4 ∙ 0,46 = 0,644 kW.
- The sun's power that reaches each solar panel at the Concepción plant is 1,4 ∙ 0,39 = 0,546 kW.
En la discusión de la respuesta asegúrese de que las y los estudiantes reconozcan que\ndeben calcular el 46% de 1,4 kW, en el caso de Atacama, y el 39% de 1,4 kW, en el caso\nde Concepción. Además, ayúdelos a interpretar correctamente los resultados obtenidos.\n
"},{"eng":"(Slide 17 and 18, Presentation)","esp":"(Diapositiva 17 y 18, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"momento","esp":"- Una forma de medir la energía es en kWh (kilovatios hora). Si en cada planta hay 12 horas de sol al día, ¿cuánta energía llega al panel diariamente en un día soleado en cada planta?
- One way to measure energy is in kWh (kilowatt hours). If there are 12 hours of sunshine per day on each plant, how much energy reaches the panel daily on a sunny day on each plant?
- A un panel solar en Atacama llegan diariamente 0,644 ∙ 12 = 7,728 kWh de energía.\n \n
- A un panel solar en Concepción llegan diariamente 0,546 ∙ 12 = 6,552 kWh de energía.\n \n
- To a solar panel\nin Atacama, they arrive daily\n0,644 ∙ 12 = 7,728 kWh of energy.
- While 0,546 ∙ 12 = 6,552 kWh of energy arrives daily at a solar panel in Concepción.
Note que para determinar la cantidad de energía que llega a un panel solar en un día, es\nnecesario multiplicar la potencia del sol que llega a él (kW) por la cantidad de horas de sol\nal día. En este momento puede ser útil enfatizar que la energía se mide en kilovatios hora\n(kWh).\n
"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 19 y 20, Presentación)","eng":"(Slide 19 and 20, Presentation)"},{"recurso":"Actividades","eng":"- How much energy (kWh) reaches a solar panel in a year, considering the number of days with sun on each plant?
- ¿Cuánta energía (kWh) llega a un panel solar en un año, considerando la cantidad de días con sol en cada planta?
- A solar panel in Atacama\nannually receives 7,728 ∙ 349 = 2 697,072 kWh of energy.
- A solar panel in Concepción\nannually receives 6,552 ∙ 296 = 1 939,392 kWh of energy.
- \n
- A un panel solar en Atacama llegan anualmente 7,728 ∙ 349 = 2.697,072 kWh de energía.\n \n
- A un panel solar en Concepción llegan anualmente 6,552 ∙ 296 = 1.939,392 kWh de energía.\n \n
Es importante que las y los estudiantes entiendan que aunque todos los días hay sol, no\ntodos los días hay suficiente luz para que los paneles fotovoltaicos funcionen.\n
","eng":"It is important for students to understand that although there is sunlight every day, there is not always enough light for the photovoltaic panels to work."},{"esp":"(Diapositiva 21 y 22, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slide 21 and 22, Presentation)"},{"tipo":"momento","eng":"- How much energy (kWh) reaches a solar panel on average per day in each plant?
- ¿Cuánta energía (kWh) llega a un panel solar en promedio al día en cada planta?
- An average of 2 697,072: 365 ≈ 7,389 kWh of energy reaches a solar panel in Atacama per day.
- An average of 1 939,392: 365 ≈ 5,313 kWh of energy reaches a solar panel in Concepción per day.
- \n
- A un panel solar en Atacama llegan en promedio al día 2.697,072 : 365 ≈ 7,389 kWh de energía.\n \n
- A un panel solar en Concepción llegan en promedio al día 1.939,392 : 365 ≈ 5,313 kWh de energía.\n \n
Una vez que las y los estudiantes disponen de estas cantidades, proponga que trabajen en grupo para responder la pregunta 5 de la Hoja de actividades.\n
","eng":"Propose to the students that they consider a year of 365 days.
Once the students have these amounts, suggest that they work in groups to answer question 5 on the Activity Worksheet.","tipo":"p"},{"esp":"(Diapositiva 23 a la 25, Presentación)","eng":"(Slide 23 to 25, Presentation)","tipo":"h4"},{"tipo":"momento","eng":"- Of the average daily amount of energy that reaches the panel calculated in the previous question, how much does it arrive as electrical energy to Concepción from each plant?
- De la cantidad de energía promedio diaria que llega al panel calculada en la\npregunta anterior, ¿cuánto llega como energía eléctrica a Concepción desde cada\nplanta?
Regarding the percentage of energy that is transformed into electrical energy in a panel, when considering heat loss and other effects, they must conclude that:
- A solar panel in Atacama produces 7,389 ∙ 0,2 = 1,478 kWh of electrical energy daily.
- A solar panel in Concepción produces 5,313 ∙ 0,2 = 1,063 kWh of electrical energy daily.
Concerning the energy that is lost in the transmission cables, they must achieve that:
- A solar panel in Atacama can transmit 1,478 ∙ 0,91 = 1,344 kWh of electrical energy per day to Concepción.
- A solar panel in Concepción supplies its city with 1,063 kWh of electrical energy per day.
Respecto del porcentaje de energía que se transforma en energía eléctrica en un\npanel, al considerar la pérdida por calor y otros efectos, deben concluir que: \n
\n- \n
- Un panel solar en Atacama produce diariamente 7,389 ∙ 0,2 = 1,478 kWh\nde energía eléctrica.\n \n
- Un panel solar en Concepción produce diariamente 5,313 ∙ 0,2 = 1,063\nkWh de energía eléctrica.\n \n
En relación a la energía que se pierde en los cables de transmisión, deben llegar a que:\n
\n- \n
- Un panel solar en Atacama puede transmitir a Concepción 1,478 ∙ 0,91 = 1,344 kWh de energía eléctrica al día.\n \n
- Un panel solar en Concepción suministra a su ciudad 1,063 kWh de energía eléctrica al día.\n \n
Students should conclude that a plant in Atacama is the best option to locate a solar plant that supplies electrical energy to the city of Concepción.","esp":"Al monitorear el trabajo de las y los estudiantes, ayúdelos a interpretar las pérdidas señaladas en las dos últimas filas de la tabla. También, apóyelos para que reconozcan correctamente los porcentajes que deben calcular en cada caso y para que interpreten los resultados.
Finalmente, se espera que las y los estudiantes concluyan que la mejor opción para ubicar una planta solar que suministre energía eléctrica a la ciudad de Concepción, es una planta en Atacama.","tipo":"p"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Sistematización","eng":"Systematization","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositivas 26 a 28, Presentación)","eng":"(Slides 26 to 28, Presentation)","tipo":"h4"},{"esp":"En base a lo realizado en la actividad anterior, sistematice las siguientes ideas:","tipo":"p","eng":""},{"eng":"\nBased on what was done in the previous activity, systematize the following ideas:","esp":"- Es claro, por la información entregada en el video, que una planta solar en Atacama\npuede producir más energía eléctrica que una planta en Concepción. Sin embargo, la\npérdida por humedad en la producción de energía y la pérdida por transmisión\ndesde Atacama a Concepción, hace necesario comparar la cantidad de energía que\nllega a esta ciudad desde cada planta.
- From the information provided in the video, it is clear that a solar plant in Atacama can produce more electrical energy than a plant in Concepción. However, the humidity loss in energy production and the transmission loss from Atacama to Concepción makes it necessary to compare the amount of energy that reaches this city from each plant.
- Para obtener la cantidad diaria de energía eléctrica que se puede suministrar a\nConcepción desde un panel solar ubicado en Atacama y otro en la misma ciudad de\nConcepción, tuvimos que realizar una serie de cálculos que involucran números\nracionales.
- To obtain the daily amount of electrical energy that can be supplied to Concepción from a solar panel located in Atacama and another in the city of Concepción itself, we had to perform a series of calculations that involved rational numbers.
- We obtained the best location for the solar plant from the available information. Other variables could affect the production and distribution of energy from each of these solar plants.
Pida a las y los estudiantes resolver el ejercicio 1, donde deben usar el recurso de\nGeoGebra para comprobar si sus resultados son correctos. Si hay diferencias en los\nresultados, analice con ellos las posibles causas de las diferencias detectadas."},{"tipo":"p","eng":"To access it through a device (smartphone, tablet, computer).\nAsk the students to solve exercise 1, where they must use the GeoGebra app to check if their results are correct. If there are differences in the results, discuss with them the possible causes of the differences detected.
Next, ask them to express the calculations required in exercise 2. Use this question to assess students' learning regarding their ability to interpret and express the calculation of rational numbers in the proposed context.","esp":"A continuación, pídales expresar los cálculos requeridos en el ejercicio 2. Utilice esta\npregunta para evaluar el aprendizaje de las y los estudiantes respecto de su capacidad para\ninterpretar y expresar el cálculo de números racionales en el contexto propuesto.
"},{"titulo":{"esp":"","eng":"See Practice Worksheet"},"recurso":"ModalGP","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/eng/Practice%20Worksheet%20-%20Solar%20Plant%20-%20v3.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/pdfs/Guia_Practica_I_Unidad1_OA1_modificado.pdf"}],"visible":true}}},"recursos":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Video \"Energía solar en Chile\"","eng":"Video \"Solar energy in Chile\"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"The video “Solar Energy in Chile” allows you to introduce the situation, providing information to students about the benefits of solar energy, the exceptional conditions of an area of the country for its generation, and some factors that influence the production and distribution of the electricity produced by solar plants.","esp":"El video “Energía solar en Chile” permite introducir la situación, entregando información a\nlos y las estudiantes sobre los beneficios de la energía solar, las condiciones excepcionales\nde una zona del país para su generación y algunos factores que influyen en la producción y\ndistribución de la electricidad producida por plantas solares.
"},{"eng":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/energia-solar-donde-ubicar-una-planta-solar-en-chile/videos/eng/principal-resource.webm","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/energia-solar-donde-ubicar-una-planta-solar-en-chile/05_energia%20solar%20subt.mp4","tipo":"video"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/eng/Solar%20EnergyV2.mp4","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/energia-solar-donde-ubicar-una-planta-solar-en-chile/05_energia%20solar%20subt.mp4","recurso":"Descarga","tipo":"button"},{"eng":"Presentation (slides 2 to 14)","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 14)","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed to support the classroom implementation of this situation.","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula\nde esta situación.
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/pdfs/Presentacion_I_Unidad1_OA1_modificado.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/eng/Presentation%20-%20Solar%20Plant%20-v3.pdf"},{"tipo":"button","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/docs/Presentacion_I_Unidad1_OA1_modificado.pptx","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/eng/Presentation%20-%20Solar%20Plant%20-%20v3.pptx"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Presentación Interactiva"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación interactiva puede ser utilizada para presentar el video de la situación en casos que no se disponga de un buen sistema de audio, o bien, puede ser de ayuda para detenerse y discutir en torno a diferentes elementos que aparecen en el video. ","eng":""},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/energia-solar-donde-ubicar-una-planta-solar-en-chile/ppt_interactivo_planta_solar.pdf"},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/energia-solar-donde-ubicar-una-planta-solar-en-chile/ppt_interactivo_planta_solar.pptx","titulo":{"eng":"Descargar Presentación Interactiva","esp":"Descargar Presentación Interactiva"},"eng":""}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Activity Worksheet","esp":"Hoja de Actividades"},{"tipo":"p","eng":"This document presents a series of questions that are used to promote the construction of knowledge associated with this situation.
","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/energia-solar-donde-ubicar-una-planta-solar-en-chile/pdfs/eng/activty-worksheet.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/pdfs/Hoja_de_actividades_I_Unidad1_OA1_modificado.pdf"},{"titulo":{"esp":"","eng":"Download Activity Worksheet"},"eng":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/energia-solar-donde-ubicar-una-planta-solar-en-chile/editables/eng/activty-worksheet.docx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/docs/Hoja_de_actividades_I_Unidad1_OA1_modificado.docx","recurso":"Descarga","tipo":"button"},{"esp":"Presentación (diapositivas 15 a 25)","tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 15 to 25)"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation of this situation in the classroom.
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula\nde esta situación.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/pdfs/Presentacion_I_Unidad1_OA1_modificado.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/eng/Presentation%20-%20Solar%20Plant%20-v3.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/docs/Presentacion_I_Unidad1_OA1_modificado.pptx","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/eng/Presentation%20-%20Solar%20Plant%20-%20v3.pptx"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 26 a 28)","tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 26 to 28)"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed to support the classroom implementation of this situation.","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula\nde esta situación.
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/pdfs/Presentacion_I_Unidad1_OA1_modificado.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/eng/Presentation%20-%20Solar%20Plant%20-v3.pdf"},{"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/eng/Presentation%20-%20Solar%20Plant%20-%20v3.pptx","tipo":"button","titulo":{"esp":"","eng":"Download Presentation"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/docs/Presentacion_I_Unidad1_OA1_modificado.pptx"}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Practice Worksheet","esp":"Guía Práctica"},{"eng":"This worksheet seeks to help students identify which parameters to modify when facing a new scenario of solar plants located in other places and decide which option is best using a GeoGebra app.","tipo":"p","esp":"En esta guía práctica se busca que las y los estudiantes identifiquen qué parámetros deben\nmodificar al enfrentarse a un nuevo escenario de plantas solares ubicadas en otros lugares,\npara decidir qué opción es mejor, mediante la ayuda de un recurso de GeoGebra.
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/pdfs/Guia_Practica_I_Unidad1_OA1_modificado.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/eng/Practice%20Worksheet%20-%20Solar%20Plant%20-%20v3.pdf"},{"tipo":"button","titulo":{"eng":"Download Practical Worksheet","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/docs/Guia_Practica_I_Unidad1_OA1_modificado.docx","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/eng/Practice%20Worksheet%20-%20Solar%20Plant%20-v3.docx"},{"esp":"Recurso interactivo","eng":"Interactive Resource","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"This GeoGebra app allows students to calculate the average daily energy a solar plant can supply to a city, considering the variables mentioned in the problem. Using sliders, it is possible to modify factors such as the days of sunshine that the plant has in the year, the efficiency of the panel, or the transmission loss, among others.","esp":"El recurso GeoGebra permite calcular la energía diaria promedio que una planta solar\npuede suministrar a una ciudad, considerando las variables que se han mencionado en el\nproblema. Mediante deslizadores, es posible modificar factores como los días de Sol que\ntiene la planta en el año, la eficiencia del panel o la pérdida por transmisión, entre otros recurso GeoGebra.
"},{"tipo":"iframe","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/f8rfthcc/width/350/height/600/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","recurso":"Geogebra","eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/hraczkrc/width/1070/height/554/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false"}]}}},"aspectosAConsiderar":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"p","eng":"This situation does not consider Mathematical Aspects.","esp":"Esta situación no considera Aspectos Matemáticos.
"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":" Significado de la fracción como operador","eng":"Meaning of a fraction as an operator"},{"eng":"Students must understand the meaning of a fraction as an operator, since they must calculate fractions of fractions of the amount of solar energy that reaches the panel. This allows them to recognize that the operations involved are multiplications. Be sure to work beforehand on simpler problems, where they need to calculate the fractions of fractions of a quantity involved.","esp":"Es importante que las y los estudiantes comprendan el significado de fracción como operador, ya que deben calcular fracciones de fracciones de la cantidad de energía solar que llega al panel. Esto les permite reconocer que las operaciones involucradas son multiplicaciones. Asegúrese de trabajar previamente con problemas más simples, en los que deban reconocer las fracciones de fracciones de una cantidad involucradas.","tipo":"p"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"¿Cómo se genera energía a partir de la energía solar?","eng":"How is energy generated from solar energy?","tipo":"h3"},{"esp":"Existen muchas tecnologías que permiten aprovechar la energía del Sol. Una de ellas son las plantas de concentración solar (Figura 1), que mediante una serie de espejos, reflejan la radiación del sol y la concentran en un punto.
","tipo":"p","eng":"There are many technologies that allow us to harness the energy of the Sun and convert it into electrical or thermal energy. Below, we detail some of them:"},{"esp":"Plantas de concentración solar","eng":"Solar concentration plant","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Las plantas de concentración solar (Figura 1) son instalaciones que, mediante una serie de espejos, reflejan la radiación del sol y la concentran en un punto.","eng":"Solar concentration plants (Figure 1) are installations that, through a series of mirrors, reflect the sun's radiation and concentrate it at one point."},{"escala":"50","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/eng/cerro-dominador.jpg","tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/eng/cerro-dominador.jpg","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"Figure 1: \"Cerro dominador\" solar concentration plant, North of Chile","esp":""}},{"eng":"Solar thermal collectors","esp":"Paneles Térmicos","tipo":"h4"},{"eng":"There are also solar thermal collectors (Figure 2), which are usually installed on the roofs of homes and accumulate heat that is used to heat water or cook.","esp":"También están los paneles térmicos (Figura 2), que normalmente se instalan en los tejados\nde las viviendas y acumulan calor que sirve para calentar agua o cocinar.
","tipo":"p"},{"tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"Figure 2: Solar thermal collectors","esp":""},"escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/imgs/principal03.png","eng":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/energia-solar-donde-ubicar-una-planta-solar-en-chile/imgs/eng/02.png"},{"eng":"Photovoltaic solar plants","esp":"Plantas Solares Fotovoltaicas","tipo":"h4"},{"eng":"There are also photovoltaic solar plants (Figure 3), which transform sunlight into electrical energy through solar panels, which are semiconductor metal plates.","esp":"Además están las plantas solares fotovoltaicas (Figura 3), las cuales transforman la luz del\nsol en energía eléctrica mediante paneles solares, que son placas metálicas\nsemiconductoras.
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/donde_ubicar_planta/imgs/principal03_-04.png","caption":{"eng":"Figure 3: Photovoltaic solar plants","esp":""},"titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/energia-solar-donde-ubicar-una-planta-solar-en-chile/imgs/eng/03.png","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","escala":"50"},{"eng":"How do photovoltaic solar plants work?","esp":"¿Cómo funcionan las plantas solares fotovoltaicas?","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"The situation refers to this latest technology. Below, the general aspects of its operation are reviewed.
The Sun's rays are composed of photons that reach the photovoltaic cells of the plate. These photons knock electrons out of their atoms, generating an electric current. This is the photoelectric effect, explained by Albert Einstein in 1905, which is why he won the Nobel Prize in Physics in 1921. In this way, the more intense the light, the more photons, the greater the electric current generated.","esp":"La situación que se aborda en este caso se refiere a esta última tecnología. A continuación,\nse revisan los aspectos generales de su funcionamiento.\n
"},{"tipo":"p","eng":"The energy that can be generated and distributed from solar radiation is affected by various variables. For example, atmospheric humidity, which brings greater cloudiness, limits the amount of sunlight the panels receive. In turn, the panels cannot convert all the energy received into electrical energy since part of it is dissipated as thermal energy. Also, a percentage of the electrical energy generated is lost in its distribution since the material through which the energy is conducted has resistance in its passage.","esp":"
\nLos rayos solares están compuestos por fotones que llegan a las células fotovoltaicas de la\nplaca. Estos fotones sacan a los electrones de sus átomos generando una corriente\neléctrica. Este es el efecto fotoeléctrico, explicado por Albert Einstein en 1905, motivo por\nel cual obtuvo el Premio Nobel de Física en 1921. De esta forma, cuanto más intensa sea la\nluz, es decir más fotones, mayor será la corriente eléctrica generada.\nLa energía que se puede generar y distribuir a partir de la radiación solar se ve afectada\npor diversas variables. Por ejemplo, la humedad atmosférica, que trae consigo mayor\nnubosidad, limita la cantidad de luz solar que reciben los paneles. A su vez, los paneles no\nson capaces de convertir la totalidad de la energía recibida en energía eléctrica, ya que\nparte de ella se disipa en forma de energía térmica. También, un porcentaje de la energía\neléctrica generada se pierde en su distribución, ya que el material por el cual se conduce la\nenergía generalmente posee una resistencia en su paso.
"},{"tipo":"p","esp":"Las plantas solares en Chile están ubicadas, en su gran mayoría, en el norte del país, en las\nregiones de Antofagasta, Atacama y Coquimbo. Este tipo de fuentes de energía van\ntomando un papel cada vez más relevante dentro de la matriz energética nacional. La\nparticipación de la energía solar en la generación eléctrica del país creció del 0,7% en\n2014, a 12,7% en el año 2021.
","eng":"Solar plants in Chile are located, for the most part, in the north of the country, in the regions of Antofagasta, Atacama, and Coquimbo. These types of energy sources are taking on an increasingly relevant role within the national energy matrix. The participation of solar energy in the country's electricity generation grew from 0,7% in 2014 to 12,7% in 2021."},{"eng":"For more information on this topic, you can consult the following references:\n","tipo":"p","esp":"Para obtener más información sobre este tema se pueden consultar las siguientes referencias:
"}]}}}},"6":{"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"latching moment","esp":"Momento de enganche","tipo":"h3"},{"eng":"(Slide 2, Presentation)","esp":"(Diapositiva 2, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","eng":"Begin the lesson by posing the following question and challenge:\n
","esp":"Comience la lección planteando la siguiente pregunta y desafío:\n
"},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","eng":"De espacio para que las y los estudiantes compartan sus creencias sobre las matemáticas y planteen sus ejemplos. La idea es abrir el debate, por lo tanto no es necesario indicar si las respuestas son correctas o no.\n
","tipo":"p","eng":"Allow space for students to share their beliefs about mathematics and come up with examples. The idea is to open the debate, therefore it is not necessary to indicate if the answers are correct or not.\n
"},{"eng":"Presentation of the problem","tipo":"h3","esp":"Presentación del problema"},{"tipo":"h4","eng":"(Slides 3 and 4, Presentation)","esp":"(Diapositivas 3 y 4, Presentación)"},{"eng":"Project the video","esp":"
Proyecte el video y proponga preguntas como las siguientes para asegurarse que las y los estudiantes comprendieron su contenido:
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"- What is a rational number?
- Why do you think the Pythagoreans reacted so badly when they heard about Hippasus's discovery? < li>What is the difference between rational and irrational numbers?
- ¿Qué es un número racional?
- ¿Por qué se cree que los pitagóricos reaccionaron tan mal al enterarse del descubrimiento de Hipaso?
- ¿Cuál es la diferencia entre los números racionales y los irracionales?
¿Cuál es el valor aproximado de \\(\\sqrt{2}\\)?","tipo":"momento","recurso":"Pregunta"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"First part","esp":"Primera parte","tipo":"h3"},{"eng":"(Slide 5, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 5, Presentación)"},{"esp":"Comience el trabajo planteando la siguiente interrogante: \n
","eng":"Begin the paper by asking the following question:\n
","tipo":"p"},{"eng":"- How can we estimate √2 without using a calculator?\n
- ¿Cómo podemos estimar √2 sin usar la calculadora?\n
Next, have students work in small groups on part 1 of the Activity Sheet.\n
","esp":"Luego, proponga a sus estudiantes trabajar en grupos pequeños en la parte 1 de la Hoja de Actividades. Esta actividad busca que los estudiantes reconozcan geométricamente que si el área de un cuadrado es más grande que el área de otro, entonces su lado también es mayor (Tarea Matemática A). Esto se conectará luego con la idea de comparar la raíz cuadrada entre dos números.\n
"},{"eng":"\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/irrational_numbers/imgs/1%20cuadros.png\")
\n- \n
- \nWhich square has the greater area?\n \n
- \nWhich square has a longer side?\n \n
- \nWhat is the relationship between the measures of the sides of the squares and the area of the squares?\n \n
\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/imgs/1%20cuadros.png\")
\n- \n
- \n¿Qué cuadrado tiene mayor área?\n \n
- \n¿Qué cuadrado tiene un lado mayor?\n \n
- \n¿Qué relación existe entre las medidas de los lados de los cuadrados y el área de los mismos?\n \n
Allow students time to address these questions, then have them share their answers with the class. Guide the discussion to agree that the larger the side of a square, the greater the measure of its area and vice versa.\n
","tipo":"p","esp":"Dé un tiempo para que las y los estudiantes aborden estas preguntas y luego pida que compartan sus respuestas con el curso. Guíe la discusión para acordar que a mayor lado de un cuadrado, mayor es la medida del área del mismo y viceversa.\n
"},{"tipo":"h4","eng":"(Slides 7 and 8, Presentation)","esp":"(Diapositivas 7 y 8, Presentación)"},{"esp":"Luego, proponga a sus estudiantes trabajar de manera individual en la parte 2 de la Hoja de actividades. El propósito de estas preguntas es que sus estudiantes establezcan la relación entre el área de un cuadrado y su lado, usando la “raíz cuadrada” (Tarea Matemática B).\n\n
","eng":"Next, have students work individually on part 2 of the Activity Sheet.\n
","tipo":"p"},{"eng":"In relation to the squares of the previous part,\n
\n- \n
- If the area of Figure 1 is a, what is the length of each side? \n
- If the area of Figure 2 is b, what is the length of each side? \n
En relación con los cuadrados de la parte anterior, \n
\n- \n
- Si el área de la Figura 1 es a, ¿cuánto mide cada lado? \n
- Si el área de la Figura 2 es b, ¿cuánto mide cada lado? \n
Es importante concluir que:\n
\nSi dos números positivos a y b satisfacen que a < b, entonces √a < √b (esto lo pueden relacionar con el área de los cuadrados y la medida de los lados que trabajaron en la Hoja de Actividades).
\nA partir de la propiedad anterior, se desprende que:\n
\n\nSi a < b < c, entonces √a < √b < √c\n\n
","eng":"It is important to conclude that:\n
\nIf two positive numbers a and b satisfy that a"},{"esp":"Segunda parte","tipo":"h3","eng":"Second part"},{"tipo":"h4","eng":"(Slides 9 and 10, Presentation)","esp":"(Diapositivas 9 y 10, Presentación)"},{"esp":"Utilice la conclusión del momento anterior para plantear a las y los estudiantes el desafío de estimar el valor de \\(\\sqrt{2}\\) (Tarea Matemática C)para lo cual invítelos a trabajar en la parte 3 de la Hoja de Actividades. Explique que esto lo haremos buscando valores a y b tales que \\(a < \\sqrt{2} < b\\).","tipo":"p","eng":"Use the conclusion from the previous moment to challenge the students to estimate the value of √2, for which invite them to work on part 3 of the Activity Sheet. Explain that we will do this by looking for values a and b such that a"},{"eng":"
From the work carried out, we can conclude the following:\n
\nIf a","esp":"
Del trabajo realizado, podemos concluir lo siguiente:\n
\nSi a < b < c, entonces √a < √b < √c\n
\n- \n
- Si se sabe que 1 < 2 < 4, entonces ¿qué podemos decir de \n√2 ?\n \n
Puede plantear a sus estudiantes preguntas para que ellos se den cuenta que √2 no es un número entero dado que se encuentra entre 1 y 2. \n
","tipo":"momento","recurso":"Destacado","eng":"You can ask your students questions to make them realize that √2 is not a whole number since it lies between 1 and 2.\n
"},{"esp":"(Diapositivas 11 y 12, Presentación)","eng":"(Slides 11 and 12, Presentation)","tipo":"h4"},{"esp":"Luego, con el propósito de acotar de mejor manera la raíz cuadrada de 2 (Tarea Matemática C), invítelos a trabajar en grupos pequeños en la parte 4 de la Hoja de Actividades.\n
","tipo":"p","eng":"Then, invite them to work in small groups on part 4 of the Activity Sheet.\n
"},{"esp":"Explora valores de a y b con un decimal tales que a² < 2 < b² para ir encajonando el valor de √2. Para ello, te proponemos trabajar en el siguiente recurso de GeoGebra en el que puedes modificar el lado de un cuadrado y observar cómo varía su área:\n
\n- \n
- \nCompleta la siguiente tabla:
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/imgs/tabla-hoja-act-1.png\")
\n \n - \n¿Cuál es el área de los dos cuadrados más cercanos a la medida del cuadrado de área 2? \n
- \n¿Qué se puede concluir de los lados de esos cuadrados?\n \n
- \n¿Entre cuál par de números se ubica √2?\n \n
- \n¿Cuál es el valor de \n√2 hasta la primera cifra decimal? ¿Ese valor es exactamente √2?\n \n
Explore values of a and b with a decimal such that a²"},{"esp":"Dé un tiempo para que las y los estudiantes trabajen en la exploración del recurso GeoGebra y concluya con todo el curso que 1,4 < √2 < 1,5, de donde se desprende que la primera cifra decimal de √2 es 4. Asegúrese de que las y los estudiantes comprendan esta deducción, pues es fundamental para el trabajo de estimar √2.","eng":"Allow time for the students to work on the exploration of the GeoGebra resource and conclude with the entire course that 1.4","tipo":"p"},{"eng":"Emphasize that even though they are approximating the value, placing it between two known values, the exact value of √2 is not yet known, for which you can invite them to continue approximating its value, now with two decimal places.","esp":"Destaque que si bien están aproximando el valor, ubicándolo entre dos valores conocidos, aún no se sabe exactamente el valor de \\(\\sqrt{2}\\) para lo cual los puede invitar a seguir aproximando su valor, ahora con dos cifras decimales (Tarea Matemática C).","tipo":"p"},{"tipo":"h4","eng":"(Slides 13 and 14, Presentation)","esp":"(Diapositivas 13 y 14, Presentación)"},{"esp":"
Para ello puede plantear que trabajen en la parte 5 de la Hoja de Actividades.\n
","eng":"To do this, you can ask them to work on part 5 of the Activity Sheet.\n
","tipo":"p"},{"recurso":"Actividades","esp":"Para continuar acotando la √2 te invitamos a buscar entre cuáles números se encuentra su valor, considerando dos cifras decimales.\n
\n- \n
- \nCompleta la siguiente tabla, con ayuda del siguiente recurso GeoGebra:
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/imgs/tabla-hoja-act-2.png\")
\n \n - \nIdentifica dos números a, b tales que a² < 2 < b².
- \n¿Qué puedes deducir de la √2?\n \n
- \n¿Entre cuál par de números se ubica el 2? ¿y la √2?\n \n
- \n¿Cuál es el valor de √2 hasta la segunda cifra decimal? ¿Ese valor es exactamente √2?\n \n
To continue delimiting √2, we invite you to find between which numbers its value is found, considering two decimal places.\n
\n- \n
- \nComplete the following table, using the following resource GeoGebra:
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/irrational_numbers/imgs/table-sheet-act-2.png\")
\n \n - \nIdentify two numbers a, b such that a²"},{"tipo":"p","esp":"Dé un tiempo para que las y los estudiantes trabajen en completar la tabla y el desarrollo de las preguntas, puede pedirles que compartan sus respuestas con el curso y en conjunto concluir que la √2 se encuentra entre 1,41 y 1,42. De donde se desprende que la segunda cifra decimal de √2 es 1.","eng":"Allow time for the students to work on completing the table and developing the questions, you can ask them to share their answers with the class and jointly conclude that √2 is between 1.41 and 1.42. From which it follows that the second decimal place of √2 is 1."},{"esp":"
Si lo considera necesario, puede seguir realizando el mismo trabajo de la tabla para continuar acotando el valor entre 1,41 y 1,42.\n
","eng":"If you consider it necessary, you can continue doing the same work in the table to continue delimiting the value between 1.41 and 1.42.\n
","tipo":"p"},{"eng":"(Slide 15, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 15, Presentación)"},{"eng":"You can ask questions so that students realize that they could do this procedure many times and always find a better approximation of the number √2, but not its exact value. In fact, √2 is a number that has an infinite and non-periodic decimal development. Some questions you can ask are:","esp":"Puede plantear preguntas para que las y los estudiantes se den cuenta que podrían realizar este procedimiento muchas veces y siempre estarán encontrando una mejor aproximación del número √2, pero no su valor exacto. De hecho, √2 es un número que tiene un desarrollo decimal infinito y no periódico. Algunas preguntas que puede plantear son las siguientes:","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"- \n
- \n¿Creen que es posible encontrar todas las cifras decimales de √2?\n \n
- \n¿Cuántas veces se podrá realizar el mismo procedimiento?\n \n
- \n¿Qué relación hay entre la cantidad de veces que se realiza el procedimiento para aproximar la √2 con la cantidad de cifras decimales que se obtienen?\n \n
- \n
- \nDo you think it is possible to find all the decimal places of √2?\n \n
- \nHow many times can the same procedure be performed?\n \n
- \nWhat is the relationship between the number of times the procedure to approximate √2 is carried out with the number of decimal places obtained?\n \n
While the procedure performed to estimate √2 will give students the intuition that this is a number with infinitely many decimal places, some students may question this fact. To convince them of the latter, you can explain that squaring a decimal number increases the number of decimal places (see mathematical aspects).\n
\n\nSince the procedure used just implies limiting √2 between two rational numbers a and b, in each iteration the decimals of √2 will always increase.\n
\nAs explained in the rationale, this does not prove that √2 does not have a repeating decimal expansion. This last idea should be mentioned to the students as an additional characteristic of √2 and of the irrational numbers.\n
","tipo":"momento","esp":"Si bien el procedimiento realizado para estimar √2 dará a los estudiantes la intuición de que este es un número con infinitas cifras decimales, es probable que algunos estudiantes cuestionen este hecho. Para convencerlos de esto último, puede explicar que al elevar al cuadrado un número decimal, va aumentando el número de cifras decimales (ver aspectos matemáticos).\n
\n\nDado que el procedimiento utilizado implica justamente acotar √2 entre dos números a y b racionales, en cada iteración siempre aumentarán los decimales de √2.\n
\nComo se explicó en la fundamentación, esto no prueba que √2 no tiene un desarrollo decimal periódico. Esta última idea, deberá ser mencionada a los estudiantes como una característica adicional de √2 y de los números irracionales.\n
","recurso":"Destacado"}]},"3":{"contenido":[{"esp":"Sistematización","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"(Slides 17 to 19, Introduction)","esp":"(Diapositivas 17 a 19, Presentación) ","tipo":"h4"},{"tipo":"p","eng":"Systematize the following ideas from the lesson:\n
","esp":"Sistematice las siguientes ideas surgidas de la lección:\n
"},{"eng":"- In a rational number, the decimal figures have two possibilities: to be finite or to follow a\npattern and repeat periodically.\n
- From the work carried out, we can conclude that in the case of √2, it has a\ninfinity of decimal figures and without any periodicity.\n
- The real number √2 is not a rational number, that is, it cannot be written as\nquotient of two rational numbers pq, with q ≠ 0.
- \nNumbers that are not rational, such as √2, are called irrational. These\nNumbers are very common and appear in many contexts.\n
- There are other important irrationals such as π = 3.141592... or the number of\neuler. At this point, if you see interest in your students, you can propose that they investigate and\nlook for other irrational numbers.
- Finally, we can conclude that not everything is solved in mathematics, since they are a\ndynamic science that is constantly evolving and that the discovery of Hippaso is only\nan example of this.
- En un número racional, las cifras decimales tienen dos posibilidades: ser finitas o seguir un patrón y repetirse periódicamente.
\n - Del trabajo realizado, podemos concluir que \\(\\sqrt{2}\\) tiene una infinidad de cifras decimales y sin periodicidad alguna.
\n - El número real \\(\\sqrt{2}\\) no es un número racional, es decir, no se puede escribir como cociente de dos números racionales \\(\\frac{p}{q}\\), con \\(q \\neq 0\\).
\n - A los números que no son racionales, como \\(\\sqrt{2}\\), se les llama irracionales. Estos números son muy comunes y aparecen en muchos contextos, como por ejemplo \\(\\pi = 3{,}141592 …\\) o el número de Euler \\(e = 2{,}71828…\\) \n
Presente a sus estudiantes la Guía Práctica y dé tiempo para que trabajen en ella. Los primeros ejercicios tienen por objetivo que las y los estudiantes aproximen √5, realizando un procedimiento similar al trabajado en esta lección. Se espera que a partir de este trabajo, intuyan que √5 también es un número irracional.
","eng":"Introduce your students to the How To Guide and allow time for them to work on it. The objective of the first exercises is for the students to approximate √5, carrying out a procedure similar to the one worked on in this lesson. It is expected that from this work, they intuit that √5 is also an irrational number.
"},{"esp":"En la guía también se proponen ejercicios para que las y los estudiantes distingan números racionales e irracionales fundamentando sus respuestas. Es importante que al justificar la clasificación de un número como racional o irracional lo hagan basados en las características de estos números que fueron abordadas en la lección.
","eng":"The guide also proposes exercises for students to distinguish rational and irrational numbers, justifying their answers. It is important that when justifying the classification of a number as rational or irrational, they do so based on the characteristics of these numbers that were addressed in the lesson.
","tipo":"p"},{"eng":"These exercises can be used to formatively assess the following indicators:
- Estimate and approximate irrational numbers
- Distinguish rational and irrational numbers
Estos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente los siguientes indicadores:
- Estimar y aproximar números irracionales
- Distinguir números racionales y irracionales
Los números racionales son aquellos que pueden escribirse como el cociente entre dos números enteros. Por ejemplo, los siguientes son números racionales:
","tipo":"p","eng":"Rational numbers are those that can be written as the quotient between two integers. For example, the following are rational numbers:
"},{"esp":"- \n
- 2, pues 2 = 21. \n
- -0,32 , pues -0,32 = 32100. \n
\n- \n
- 2, so 2 = 2 1. \n
- -0.32 , so -0.32 = 32100. \n
\n\\[ \\underbrace{10 \\cdot 5,\\bar{3} – 5,\\bar{3}}_{9\\cdot 5,\\bar{3}} = 53,333…. - 5,333… = 48 \\]
","tipo":"p","eng":"\\[ \\underbrace{10 \\cdot 5,\\bar{3} – 5,\\bar{3}}_{9\\cdot 5,\\bar{3}} = 53,333…. - 5,333… = 48 \\]
"},{"tipo":"p","eng":"From this we can conclude that 5,3 = 48/9. Since 48 and 9 are integers, it follows that 5,3 is a rational number. The same procedure illustrated above can be performed to show that any repeating decimal number is rational.","esp":"De esto podemos concluir que 5,3 = 48/9. Como 48 y 9 son números enteros, se desprende que 5,3 es un número racional. El mismo procedimiento ilustrado anteriormente se puede realizar para demostrar que cualquier número decimal periódico es racional."},{"eng":"Irrational numbers","esp":"Números irracionales","tipo":"h3"},{"esp":"Todo número que no es racional se denomina irracional. Cuando se nos entrega un número racional escrito en expresión decimal, es relativamente sencillo verificar que sí es racional. Por el contrario, en general, no es para nada evidente cómo argumentar que un número dado es irracional. Ya que lo que se necesita verificar es que no es igual a ningún cociente entre números enteros, por lo que hay una infinidad de casos a considerar. Por ello, para argumentar que un número es irracional se requiere realizar una demostración.
","eng":"Any number that is not rational is called irrational. When we are given a rational number written in decimal expression, it is relatively easy to verify that it is rational. On the contrary, in general, it is not at all obvious how to argue that a given number is irrational. Since what needs to be verified is that it is not equal to any quotient between integers, so there are an infinite number of cases to consider. Therefore, to argue that a number is irrational, a proof is required.
","tipo":"p"},{"esp":"Si bien en la actividad no se espera que se realice una demostración de la irracionalidad de √2 de todas maneras discutiremos una demostración de que el real √2 es irracional, para evidenciar los tipos de razonamientos que pueden involucrar estas demostraciones.\n
","tipo":"p","eng":"Although in the activity it is not expected that a proof of the irrationality of √2 will be carried out, in any case we will discuss a proof that the real √2 is irrational, to show the types of reasoning that these proofs can involve.\n
"},{"esp":"Para demostrar que la √2 es irracional procederemos por contradicción, es decir, suponer que √2 sí es racional y llegar a un absurdo (o contradicción).
","tipo":"p","eng":"To prove that √2 is irrational we will proceed by contradiction, that is, suppose that √2 is rational and reach an absurdity (or contradiction).
"},{"tipo":"p","eng":"Before we begin, let's state a couple of observations that we will need in the proof.
","esp":"Antes de comenzar, enunciemos un par de observaciones que necesitaremos en la demostración.
"},{"esp":"- \n
- \nTodo número racional puede escribirse como el cociente entre dos números coprimos (esto es, números que no poseen factores comunes). Esto sigue de que si tenemos una fracción ab, podemos simplificar términos comunes hasta reducirla a una en la que el numerador y denominador son coprimos.
\nPor ejemplo podemos simplificar 1524 = 3×53×8 = 58. Los números enteros 5 y 8 son coprimos. \n \n - \nPara todo entero x, x2 es par si y solamente si x es par. \n \n
\n- \n
- \nEvery rational number can be written as the quotient between two coprime numbers (that is, numbers that do not have common factors). This follows from the fact that if we have a fraction a b, we can simplify common terms down to one in which the numerator and denominator are coprime.
\nFor example we can simplify 1524 = 3×5 3×8 = 58. The integers 5 and 8 are coprime.\n \n - \nFor every integer x, x2 is even if and only if x is even.\n \n
\n\\[ 2=a^2/b^2. \\]
","tipo":"p","eng":"\\[ 2=a^2/b^2. \\]
"},{"eng":"That is, a2 = 2b2. This implies that a2 is an even number, which is equivalent to that a is even (by point 2). So we can write a = 2k for some integer k. Replacing a = 2k in the equality a2 = 2b2, we obtain that","esp":"Es decir a2 = 2b2. Esto implica que a2 es un número par, lo cual equivale a que a es par (por el punto 2). Entonces podemos escribir a = 2k para cierto k entero. Reemplazando a = 2k en la igualdad a2 = 2b2, obtenemos que ","tipo":"p"},{"eng":"\\[4k^2=2b^2,\\]
","tipo":"p","esp":"\\[4k^2=2b^2,\\]
"},{"eng":"from which it follows that 2k2 = b2. From this it follows that b2 is even, and therefore b is also even. To recap, we write √2 = ab< /span> where a and b are coprime, and we conclude that both a and b are divisible by 2 (they are even). This is absurd: it contradicts the fact that a and b are coprime. We have thus shown that √2 is irrational.","esp":"de donde se desprende que 2k2 = b2. De acá se deduce que b2 es par, y por lo tanto b también es par. Recapitulando, escribimos √2 = ab donde a y b son coprimos, y concluimos que ambos a y b son divisibles por 2 (son pares). Esto es un absurdo: contradice el hecho que a y b son coprimos. Hemos demostrado así que √2 es irracional.","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"For other irrationals, such as π or e, other proof strategies need to be followed. To illustrate how complex it can be to determine the irrationality of a number, today, in 2022, it is not yet known whether both e π and e ⋅ π are irrational! (but it is known that at least one of them is).
","esp":"Para otros irracionales, como π o e, se necesita seguir otras estrategias de demostración. Para ilustrar lo complejo que puede ser determinar la irracionalidad de un número, hoy, en 2022, ¡aún no se sabe si ambos e + π y e ⋅ π son irracionales! (pero sí se sabe que al menos uno de ellos lo es).
"},{"eng":"In the activity developed in class, you will get an idea of why √2 has an infinite number of decimals. Notice that if we square 3.4 we get a number with two decimal places, namely 11.56:
","esp":"En la actividad desarrollada en clase, se dará una idea de por qué √2 posee una infinidad de decimales. Notemos que, si elevamos al cuadrado 3,4 obtenemos un número con dos cifras decimales, a saber, 11,56:
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"\n \\[ \n 3,4\\cdot 3,4 = (3+0,4)\\cdot(3+0,4) = 9 + 6\\cdot 0,4 + (\\underbrace{(0,4\\cdot 0,4)}_{{centésimos}})\n \\]\n
","eng":"\n \\[\n 3.4\\cdot 3.4 = (3 0.4)\\cdot(3 0.4) = 9 6\\cdot 0.4 (\\underbrace{(0.4\\cdot 0.4)}_{{hundredths }})\n \\]\n
"},{"tipo":"p","eng":"Thus, when multiplying the 4 tenths, you always get hundredths. This procedure illustrates a very general fact, which is that if a decimal number with a number of decimal places (those after the comma) other than zero is squared, the number of decimal places increases.
","esp":"Así, al multiplicar los 4 décimos se obtienen siempre centésimos. Este procedimiento ilustra un hecho muy general, y es que, si un número decimal con una cantidad de cifras decimales (aquellas después de la coma) distinta de cero se eleva al cuadrado, el número de cifras decimales aumenta.
"},{"tipo":"p","esp":"Este hecho puede ser utilizado para mostrar que √2 tiene infinitos decimales. Cuidado, que esto no demuestra que √2 es irracional, pues deberíamos además descartar que aparezcan decimales de manera periódica. Sin embargo, el trabajo realizado en la actividad permite constatar la infinitud de decimales de √2 de manera constructiva.
","eng":"This fact can be used to show that √2 has infinitely many decimal places. Be careful, this does not demonstrate that √2 is irrational, since we should also rule out that decimals appear periodically. However, the work done in the activity allows us to verify the infinity of decimals of √2 in a constructive way.
"},{"esp":"En el siguiente diagrama se muestra el sistema numérico de los números reales.
","eng":"The following diagram shows the number system for real numbers.
","tipo":"p"},{"escala":"50","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/imgs/2.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/imgs/2.png","alinea":"texto-centrado"},{"eng":"As can be seen, the set of rational numbers, together with the set of irrational numbers, form the set of real numbers. Although few irrational numbers are usually known, it is important to note that these are an infinite set of numbers, in fact almost all real numbers are irrational.
","tipo":"p","esp":"Como se puede observar el conjunto de números racionales, junto con el conjunto de números irracionales, forman el conjunto de números reales. A pesar de que se suelen conocer pocos números irracionales, es importante destacar que estos son un conjunto infinito de números, de hecho casi todos los números reales son irracionales.
"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Confusiones e inquietudes plausibles en el desarrollo de la actividad","eng":""},{"esp":"Una confusión habitual en estudiantes sobre números irracionales, es creer que todos los números con desarrollo decimal infinito corresponden a números irracionales. En este caso, es conveniente mostrarles que existen números con desarrollo decimal infinito (periódicos o semiperiódicos) que sí pueden ser expresados como un cociente entre números enteros, por ejemplo, \\(\\frac{1}{3}\\). ","tipo":"p","eng":"Irrational numbers can be confusing for students. A common confusion is to believe that all numbers with infinite decimal development correspond to irrational numbers. In this case, it is convenient to show that there are numbers with infinite decimal development (periodic or semi-periodic) that can be expressed as a quotient between integers, for example, 13, contrasting this with the fact that irrational numbers cannot be written of the form pq with p and q integers and q ≠ 0."},{"tipo":"p","eng":"In relation to the above, it is important to emphasize that these differences determine two different sets of numbers (rational and irrational) which, in turn, make up the so-called real numbers. The latter can help students to better understand the set of real numbers and their characteristics.
","esp":"Es importante enfatizar que los números irracionales no se pueden escribir de la forma \\(\\frac{p}{q}\\) con \\(p\\) y \\(q\\) enteros y \\(q\\neq 0\\), y que esta diferencia da origen a dos conjuntos de números distintos (racionales e irracionales), que juntos conforman los números Reales. Abordar la relación entre estos conjuntos numéricos puede ayudar a sus estudiantes a que comprendan de mejor manera los conjuntos involucrados y sus características. "},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para el desarrollo de esta actividad nos hemos basado en una importante propiedad de los números reales: el orden (<, >) de los números reales es denso en el sentido que siempre es posible encontrar un número real entre otros dos números reales dados. En otras palabras, al elegir cualquier par de números reales \\(a\\) y b\\) de manera que \\(a < b\\), siempre se puede encontrar un número racional \\(c\\) entre ellos. En esta actividad se intenta aproximar el valor de la raíz de 2 a partir de racionales con una y dos cifras decimales, por tanto, puede haber estudiantes que planteen inquietudes acerca de la “verdadera irracionalidad de la raíz” asumiendo que al iterar este proceso una cantidad (grande) de veces, será posible determinar este valor."}]},"3":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Los \"Pitagóricos\" y el descubrimiento de los números irracionales","tipo":"h3"},{"eng":"Pythagoreanism was a philosophical-religious movement founded by Pythagoras in the middle of the 6th century BC, which is why its followers received the name \"Pythagoreans\". For them, numbers were the spiritual basis of their beliefs to the point that the premise \"everything is number\" was the cornerstone on which they based their way of understanding the world.
","tipo":"p","esp":"El pitagorismo fue un movimiento filosófico - religioso fundado por Pitágoras a mediados mediados del siglo VI a.C., razón por la cual sus seguidores recibían el nombre de “pitagóricos”. Para ellos, los números eran la base espiritual de sus creencias al punto que la premisa “todo es número” era la piedra angular en la que basaban sus manera de entender el mundo.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/imgs/pythagoras.jpg","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","escala":"25","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/imgs/pythagoras.jpg","caption":{"eng":"Bust of Pythagoras","esp":"Busto de Pitagóras"}},{"esp":"Se suele atribuir a este grupo, y en particular a un joven seguidor de Pitágoras, Hipaso de Metaponto (470 a.C.), el descubrimiento de una prueba de la existencia de los números irracionales. Si bien en la literatura no hay consenso sobre cuál fue el procedimiento exacto realizado por Hipaso para dar con los números irracionales, algunos autores postulan que los pudo haber descubierto estudiando la simetría del pentagrama, que además era el símbolo de los pitagóricos.
","tipo":"p","eng":"This group, and in particular a young follower of Pythagoras, Hipasus of Metapontus (470 BC), is often credited with discovering proof of the existence of irrational numbers. Although there is no consensus in the literature on what was the exact procedure carried out by Hipaso to find the irrational numbers, some authors postulate that he could have discovered them by studying the symmetry of the pentagram, which was also the symbol of the Pythagoreans.
"},{"caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/imgs/pent_hipaso.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/imgs/pent_hipaso.png","alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50"},{"eng":"It is believed that the discovery of irrational numbers was considered scandalous and sacrilegious to the Pythagoreans, who believed that all things could be explained with whole numbers. This has given rise to a number of stories surrounding the discovery of irrationals. Of these, the most usual, tells that upon learning of this discovery, the Pythagoreans threw Hippaso overboard on a sea voyage, to keep the existence of irrational numbers a secret.
","tipo":"p","esp":"Se cree que el descubrimiento de los números irracionales fue considerado escandaloso y sacrílego para los pitagóricos, quienes creían que todas las cosas podían ser explicadas con números enteros. Lo anterior ha dado fundamento a una serie de historias que rodean el descubrimiento de los irracionales. De ellas, la más usual, cuenta que al enterarse de este descubrimiento, los pitagóricos arrojaron a Hipaso por la borda en un viaje marítimo, para mantener en secreto la existencia de los números irracionales.
"},{"eng":"It is important to note that this brief summary is far from covering the history of irrational numbers and their development. As an example, it was not until 1733 that Euler gave a proof that the number e is irrational, almost 50 years after it was discovered by Jacob Bernoulli. A little later, in 1766 Johan Heinrich Lambert gave a proof for the irrationality of π, that is, more than 3000 years after its discovery by the Egyptians and Babylonians. These historical examples reaffirm the notion that mathematics is a science in constant construction and development, the main idea behind the choice of this learning situation.
","tipo":"p","esp":"Es importante destacar que este breve resumen está lejos de abarcar la historia de los números irracionales y su desarrollo. A modo de ejemplo, recién en 1733 Euler dió una demostración de que el número e es irracional, casi 50 años después de que este fuera descubierto por Jacob Bernoulli. Un poco más adelante, en 1766 Johan Heinrich Lambert dió una demostración para la irracionalidad de π , es decir, más de 3000 años después de su descubrimiento por parte de los egipcios y babilonios. Estos ejemplos históricos reafirman la noción de que las matemáticas son una ciencia en constante construcción y desarrollo, idea principal que fundamenta la elección de esta situación de aprendizaje.
"}],"visible":true}}},"recursosProyecto":[],"recursos":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Video “The discovery of irrational numbers”","esp":"Video “El descubrimiento de los números irracionales”"},{"tipo":"p","eng":"The video mentions the historical context before irrational numbers, how they were discovered, one of the myths surrounding the death of the mathematician to whom its discovery is attributed, and finally the idea that mathematics they are a science that is constantly evolving.
","esp":"En el video se menciona el contexto histórico antes de los números irracionales, cómo se descubrieron, uno de los mitos que hay en torno a la muerte del matemático al que se le atribuye su descubrimiento y finalmente se destaca la idea que las matemáticas son una ciencia que está en constante evolución.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/videos/Numeros%20irracionales.webm","tipo":"video","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/nros%20irracionales/06_El%20descubrimiento%20de%20los%20nu%CC%81meros%20irracionales_v-3_Subt.mp4"},{"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/videos/Numeros%20irracionales.webm","recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/nros%20irracionales/06_El%20descubrimiento%20de%20los%20nu%CC%81meros%20irracionales_v-3_Subt.mp4","titulo":{"eng":"Descargar Video","esp":"Descargar Video"}},{"esp":"Presentación (diapositivas 2 a 4)","eng":"Presentation (slides 2 to 4)","tipo":"h3"},{"eng":"Below you can view and download the complete presentation.
","esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/pdfs/ppt_numeros_irracionales.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/pdfs/ppt_numeros_irracionales.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Descargar Presentación"},"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/docs/ppt_numeros_irracionales.pptx","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/docs/ppt_numeros_irracionales.pptx"}]},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Worksheet","esp":"Hoja de Actividades"},{"eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.
","tipo":"p","esp":"En este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/pdfs/hoja_actividades_irracionales.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/pdfs/hoja_actividades_irracionales.pdf"},{"recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Download Activity Sheet","esp":"Descargar Hoja de Actividades"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/docs/hoja_actividades_irracionales.docx","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/docs/hoja_actividades_irracionales.docx"},{"eng":"Interactive Resource","tipo":"h3","esp":"Recurso Interactivo"},{"esp":"Este recurso GeoGebra se ha diseñado para ayudar a las y los estudiantes a encajonar el valor de la raíz de 2 entre dos números a y b. Se utiliza en la actividad 4 de la hoja de actividades.
","eng":"This GeoGebra resource is designed to help students box in the value of the root of 2 between two numbers a and b. It is used in activity 4 of the activity sheet.
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","tipo":"p","esp":"Este recurso GeoGebra se ha diseñado para ayudar a las y los estudiantes a encajonar el valor de la raíz de 2 entre dos números a y b. Se utiliza en la actividad 5 de la hoja de actividades.
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","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/pdfs/ppt_numeros_irracionales.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/pdfs/ppt_numeros_irracionales.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Download Presentation"},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/docs/ppt_numeros_irracionales.pptx","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/docs/ppt_numeros_irracionales.pptx"}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Guía Práctica ","eng":"Practical Guide"},{"eng":"This guide also proposes exercises for students to distinguish rational and irrational numbers, justifying their answers.
","esp":"En esta guía también se proponen ejercicios para que las y los estudiantes distingan números racionales e irracionales fundamentando sus respuestas.
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/pdfs/guia_practica_irracionales.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/pdfs/guia_practica_irracionales.pdf"},{"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/docs/guia_practica_irracionales.docx","titulo":{"esp":"Descargar Guia práctica ","eng":"Download practical guide"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/docs/guia_practica_irracionales.docx","tipo":"button"},{"eng":"","esp":"Guía Práctica adicional","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En este documento se proponen ejercicios adicionales, en algunos casos de mayor dificultad, para que las y los estudiantes puedan aplicar lo aprendido en esta lección. Los ejercicios de esta guía también pueden servir para evaluar los aprendizajes de la clase.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/pdfs/Guia_Practica_ADICIONAL_Segundo_OA1_Numeros_irracionales.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"eng":"","recurso":"Descarga","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/numeros_irracionales/docs/Guia_Practica_ADICIONAL_Segundo_OA1_Numeros_irracionales.docx","titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica adicional","eng":""}}],"visible":true}}},"visible":true},"7":{"recursosProyecto":[],"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Momento de enganche"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 2 y 3, Presentación)","eng":""},{"esp":"Presente el video introductorio a sus estudiantes y dé espacio para que compartan sus opiniones respecto de las siguientes preguntas:
","eng":"","tipo":"p"},{"recurso":"modalVideo","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/reservas-restaurant/03_-Sobreventa-%20en%20distintos%20servicios%20v-2_Subt.mp4","tipo":"button","eng":""},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"- ¿Por qué la dueña del restaurante quiere comenzar a admitir un número de reservas mayor que la capacidad del restaurante?
- ¿Qué opinan de este tipo de prácticas?
Centre la discusión en que los estudiantes observen que tener mesas vacías afecta económicamente al restaurante y que, dado los antecedentes del último año, hay espacio para reservar más mesas de las disponibles.
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Se espera que las opiniones estén divididas respecto a esta práctica, ya que, por un lado, puede ayudar económicamente a los negocios, y por otro, puede generar problemas debido a que algunos clientes podrían quedarse sin el servicio.
"},{"eng":"","esp":"Presentación del problema","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositiva 4, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Proyecte la pregunta que aparece al final del video:
"},{"eng":"","esp":"¿Cuántas reservas podrían admitir de forma de que, con bastante certeza, no se presenten más de 40 clientes con reserva?
","tipo":"momento","recurso":"Pregunta"},{"tipo":"p","esp":"Siga la discusión preguntando, ¿Cómo se podría abordar matemáticamente esto? Se espera que muchos estudiantes sugieran que se debe admitir 46 reservas, dado que en promedio 6 clientes no se presentan, ignorando la aleatoriedad de la situación. También puede ocurrir que algunos noten que, como es imposible anticipar el número exacto de clientes con reserva que van a llegar cada día, esta situación requiere estudiarse en términos de probabilidad. Si ninguno de los estudiantes menciona esto último, puede preguntar directamente: ¿por qué esta situación requiere abordarse de manera probabilista? El propósito de esta pregunta es que las y los estudiantes reconozcan que la situación requiere ser abordada desde la probabilidad (Tarea Matemática A).\n","eng":""},{"esp":"Oriente la discusión hacia los aspectos probabilistas de la situación enfatizando que, como solo sabemos que el promedio de reservas que no se ocupan son 6, puede haber mucha variabilidad. Por ejemplo, existe la posibilidad de que en una gran cantidad de días lleguen más de 40 clientes con reserva.
","eng":"","tipo":"p"}]},"2":{"contenido":[{"esp":"Primera parte","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 5 y 6, Presentación)","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Una vez establecido junto a la clase que la situación requiere un enfoque probabilístico, se sugiere construir de manera gradual el modelo que permite abordarla. Para ello, es importante que los estudiantes, de forma individual o grupal, formulen en sus propias palabras el problema matemático que plantea la situación. Para ello, pida que respondan a la pregunta 1 de la primera actividad de la Hoja de Actividades.
"},{"recurso":"Actividades","esp":"- ¿Cómo formularías, en tus propias palabras, el problema matemático que plantea la situación?
En la puesta en común, se debería concluir que el problema es decidir cuál es el número total de reservas que se pueden admitir de forma que con bastante certeza el número de clientes que llegan efectivamente al restaurante sea menor o igual que 40.
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"Para continuar, identifiquen las cantidades relevantes en este problema. Solicite que las y los estudiantes respondan la pregunta 2 de la primera actividad de la Hoja de Actividades:
","tipo":"p"},{"esp":"(Diapositivas 7 a 9, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"tipo":"momento","eng":"","esp":"- ¿Qué cantidades relevantes, tales como incógnitas o variables aleatorias, identificas en la situación?
En esta situación es posible identificar dos cantidades que son relevantes:
- el número total de reservas que se pueden admitir.
- el número de clientes que llegan efectivamente al restaurante.
¿Cuál de estas cantidades es la incógnita y cuál es la variable aleatoria de interés?
","tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Observe que, si bien ambas pueden considerarse variables, el número de reservas que se pueden admitir es una cantidad que debe ser decidida por Nicole, la dueña, mientras que no es posible anticipar el número de clientes que llegan efectivamente al restaurante, lo que hace que esta última sea la variable aleatoria de interés. Por otro lado, la incógnita del problema es el número de reservas que Nicole va a admitir.
","eng":""},{"eng":"","esp":"Independientemente de si los estudiantes responden o no la pregunta anterior, defina la incógnita y la variable aleatoria, respectivamente como:- n = número total de reservas que se pueden admitir.
- X = el número de clientes que llegan efectivamente al restaurante (en un día específico).
En lo que sigue de la lección se buscará que los estudiantes reconozcan que la variable X es de tipo binomial.
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Segunda parte"},{"eng":"","esp":"Para comenzar, se sugiere plantear la pregunta: ¿Es posible considerar que X sea una variable de tipo binomial? Recalque que, para responder esta pregunta, deben explorar si se cumple cada uno de los supuestos del modelo binomial (Tarea Matemática C). Recuerde que para ello, es necesario que exista una repetición de un experimento aleatorio de tipo Bernoulli con las siguientes características (revisar Hoja de Actividades). ","tipo":"p"},{"esp":"- El experimento se puede repetir tantas veces como se quiera.
- Cada repetición del experimento es independiente de las anteriores.
- La probabilidad de éxito (p) y de fracaso (q) es la misma para cada repetición del experimento.
En la situación planteada podemos asociar a cada cliente con reserva un experimento de tipo Bernoulli, siendo los resultados posibles:
- que el cliente llegue al restaurante (éxito), con probabilidad p.
- que el cliente no se presente en el restaurante (fracaso), con probabilidad q = 1 - p.
Solicite a las y los estudiantes que, en grupos, discutan y decidan si cada uno de los supuestos se cumple en la situación planteada.
"},{"esp":"Para ello, pida a los estudiantes que respondan la pregunta 1 de la actividad 2 de la Hoja de Actividades:
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 10 a 12, Presentación)","eng":""},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":"","esp":"- ¿Se cumplen los supuestos del modelo binomial en la situación planteada?
El primer supuesto se cumple para el número total de reservas realizadas. Respecto al segundo, sobre la independencia, no es uno que es evidente que se cumpla, y corresponde a un supuesto en el sentido literal de la palabra: debemos suponer que cada cliente con reserva decide de manera independiente a los demás si llegar al restaurante o no. Con este supuesto descartamos, por ejemplo, que algunos clientes se puedan poner de acuerdo si reservar distintas mesas y asistir o no juntos. Para justificar el cumplimiento del tercer supuesto, se debe discutir sobre interpretar el porcentaje histórico de 85% indicado en el video introductorio como el valor de la probabilidad de éxito.
","tipo":"momento","eng":"","recurso":"Respuesta"},{"eng":"","esp":"(Diapositivas 13 a 15, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"En este momento puede ser recomendable hacer una puesta en común con las ideas principales trabajadas hasta el momento.
","eng":""},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Destacado","esp":"Se sugiere centrar la discusión en los pasos que hubo que seguir para esta primera parte del problema:
\n- \n
- Entender la situación con el fin de definir claramente cuál es el problema que hay que resolver. \n
- Darse cuenta que por el carácter aleatorio del fenómeno este debe abordarse con enfoque probabilístico. \n
- Identificar y nombrar las cantidades relevantes del problema, y reconocer si estas corresponden a la incógnita o a variables aleatorias.
- Conjeturar que el modelo binomial podría ser adecuado para resolver el problema, verificando que los supuestos necesarios para el modelo se cumplen. \n
También puede comentar lo siguiente:
\nAl modelar una situación del mundo real es importante entenderla y dejar claro cuál es el problema que se va a abordar. Además, se debe simplificarla, reconociendo las cantidades relevantes del problema y haciendo los supuestos necesarios que nos permitan construir o usar un modelo conocido para resolverlo.
"},{"esp":"Si lo estima conveniente, en este momento puede finalizar la clase y retomar la actividad en la siguiente clase.
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"Tercera parte","eng":""},{"esp":"Una vez establecido que X sigue una distribución binomial, se deben determinar sus parámetros (Tarea Matemática D). Para esto, plantee la pregunta 2 de la actividad 2 de la Hoja de Actividades.
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"(Diapositivas 16 y 17, Presentación)","eng":"","tipo":"h4"},{"eng":"","esp":"- ¿Cuáles son los parámetros p y n de la distribución binomial para este problema?
Se sugiere dar tiempo suficiente a las y los estudiantes para que respondan, y luego hacer una puesta en común complementando sus respuestas con una breve explicación como la siguiente:
- p corresponde a la probabilidad de que un cliente con reserva efectivamente llegue al restaurante, y su valor podemos suponerlo igual a 85%. De esto se desprende que p = 0,85.
- n corresponde al número de “experimentos aleatorios” a realizar, que en este caso coincide con el número de reservas que se admiten dado que cada una de ellas corresponde a un cliente que puede efectivamente llegar o no al restaurante.
- Puede hacer notar que este último parámetro coincide con la definición de n dada anteriormente.
En este momento, se sugiere comentar que, dado los supuestos realizados, sabemos que X sigue una distribución Binomial de parámetros n y p = 0,85. También, hacer notar a los estudiantes que falta entender en términos matemáticos el significado de la expresión “con bastante certeza”. Explicar a los estudiantes que, si bien “con bastante certeza” puede interpretarse de muchas maneras, existe un consenso en de interpretarlo matemáticamente como “con una probabilidad mayor o igual que 95%”. Se sugiere no extenderse demasiado en esta parte, pues no es el foco de la lección.
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Luego, concluya que el problema en términos matemáticos es:
¿Cuál es el mayor valor de n para el cual se cumple que P(X ≤ 40)≥ 0.95?","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Cuarta parte","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositiva 20, Presentación)"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Ya con el problema expresado matemáticamente, es tiempo de buscar la solución al mismo. Observe que, como el valor de n es desconocido, no se puede calcular la probabilidad directamente. Sugerir a los estudiantes usar una hoja de cálculo para explorar el valor de la probabilidad involucrada al variar el valor de n entre 40 y 46, por ejemplo, como se muestra en la siguiente imagen:
"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/gestionando_reservas/imgs/4.png","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"50","tipo":"img"},{"eng":"","esp":"Se puede aprovechar la ocasión para observar que:
- Para n = 40 la probabilidad P(X ≤ 40) es igual a 1, puesto que el número de reservas es igual a la cantidad m de mesas disponibles.
- El valor de P(X ≤ 40) decrece al aumentar n, para valores de n mayores que 40.
En base a los valores de la planilla, pedir a las y los estudiantes que, individualmente o en grupos, decidan cuántas reservas sugieren que Nicole admita diariamente, y que expliquen brevemente por qué ese valor es el adecuado. \n
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"
\nEs importante que las y los estudiantes comprendan que el resultado matemático “correcto” es el mayor número n para el cual la probabilidad\nLa mayor cantidad para la que P(X ≤ 40) es mayor que 0,95 es n = 43, para el cual se tiene P(X ≤ 40) = 0.966.
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Finalmente, comente que hay que interpretar el resultado de acuerdo al contexto. Una manera es preguntarse: suponiendo que cada día del año se hacen 43 reservas, ¿en qué cantidad de días del año se espera que lleguen más de 40 clientes con reserva? La respuesta es (1 - 0,966) · 365 = 12,41, es decir, en no más de 13 días.
"},{"esp":"Puede aprovechar la ocasión de abrir una discusión respecto a la pregunta: ¿Qué sugieres que haga la dueña en esos días para compensar a los clientes que quedan sin mesa? Este tipo de preguntas abiertas tienen la intención de que las y los estudiantes evalúen las soluciones matemáticas considerando también el contexto y que noten que muchas veces estas deben ser ajustadas para dar una mejor solución al problema.
","eng":"","tipo":"p"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Sistematización","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 21 y 22, Presentación)","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Se sugiere que la discusión final sea en torno a los pasos realizados para dar respuesta al problema:
"},{"esp":"- Identificar los parámetros del modelo binomial.
- Expresar el problema original en términos matemáticos.
- Realizar cálculos, con ayuda de una hoja de cálculo, para encontrar la solución matemática al problema.
- Interpretar la solución matemática de acuerdo al contexto.
Para cerrar la actividad, puede comentar lo siguiente:
","eng":""},{"recurso":"Destacado","esp":"Es fundamental que los resultados matemáticos sean interpretados de acuerdo al contexto dado por la situación inicial, esto con la finalidad de evaluar si la solución encontrada da una respuesta satisfactoria al problema.
","tipo":"momento","eng":""}]},"4":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Evaluación y práctica","eng":""},{"esp":"Finalmente entregue la Guía Práctica, en la cual se busca que las y los estudiantes apliquen los conceptos desarrollados en la clase, y analicen otras situaciones contextuales. En la guía se incluyen 4 ejercicios que permiten la evaluación de los aprendizajes.\n
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/gestionando_reservas/Apoyo%20Recursos/Guia%20Practica%20v2-Apoyo.pdf","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"button","recurso":"ModalGP","eng":""}],"visible":true}},"visible":true},"recursos":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Video \"sobreventa\" en distintos servicios"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Este video explica el concepto de sobreventa y describe la situación actual de un restaurante que quiere comenzar a aplicar este concepto.
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/reservas-restaurant/03_-Sobreventa-%20en%20distintos%20servicios%20v-2_Subt.mp4","tipo":"video","eng":""},{"tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/reservas-restaurant/03_-Sobreventa-%20en%20distintos%20servicios%20v-2_Subt.mp4","eng":"","titulo":{"eng":"Descargar Video","esp":"Descargar Video"},"recurso":"descarga"},{"esp":"Presentación (diapositivas 2 a 4)","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.
"},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/gestionando_reservas/Apoyo%20Recursos/Presentacion%20v2-Apoyo.pdf","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/gestionando_reservas/Apoyo%20Recursos/Presentacion%20v2-Apoyo.pptx","titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":""}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Hoja de Actividades","tipo":"h3"},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/gestionando_reservas/Apoyo%20Recursos/Hoja%20de%20Actividades%20IV_U2_OA2-Apoyo.pdf","eng":""},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/gestionando_reservas/Apoyo%20Recursos/Hoja%20de%20Actividades%20IV_U2_OA2-Apoyo.docx","tipo":"button","eng":"","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":""}},{"esp":"Presentación (diapositivas 5 a la 20)","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/gestionando_reservas/Apoyo%20Recursos/Presentacion%20v2-Apoyo.pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/gestionando_reservas/Apoyo%20Recursos/Presentacion%20v2-Apoyo.pptx","tipo":"button","eng":"","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""}}]},"3":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 21 y 22)","tipo":"h3"},{"esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/gestionando_reservas/Apoyo%20Recursos/Presentacion%20v2-Apoyo.pdf"},{"eng":"","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/gestionando_reservas/Apoyo%20Recursos/Presentacion%20v2-Apoyo.pptx","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"}}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Guía Práctica","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes analicen la dispersión en distintos contextos. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/gestionando_reservas/Apoyo%20Recursos/Guia%20Practica%20v2-Apoyo.pdf","eng":""},{"eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía Práctica"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/gestionando_reservas/Apoyo%20Recursos/Guia%20Practica%20v2-Apoyo.docx","tipo":"button"}]}}},"visible":true,"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"p","eng":"","esp":"Para modelar la situación presentada se utilizará el modelo binomial. Recordemos que este modelo representa situaciones donde se repite una cantidad predeterminada de “experimentos aleatorios” que son idénticos en naturaleza e independientes entre sí. Cada uno de estos experimentos tiene sólo dos posibles resultados, generalmente denominados “éxito” y “fracaso”.
"},{"tipo":"p","esp":"En la situación del restaurante, consideramos la llegada al restaurante de cada cliente con reserva como un experimento independiente, con dos posibles resultados como se aprecia en la siguiente imagen:
","eng":""},{"alinea":"texto-centrado","escala":"50","eng":"","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/gestionando_reservas/imgs/2.png","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"eng":"","esp":""}},{"esp":"Esta imagen describe 5 repeticiones del experimento, en que 3 resultan en éxito y 2 en fracaso.
Para precisar matemáticamente un modelo binomial, debe cumplirse que las repeticiones son independientes y además deben especificarse dos parámetros.- p: la probabilidad de obtener “éxito” en cada experimento.
- n: el número predeterminado de experimentos realizados.
Cuando una variable aleatoria X sigue una distribución binomial con estos parámetros, lo anotamos de la siguiente manera:
","eng":""},{"esp":"X ~ Binomial(n,p), o bien X ~ B(n,p)
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Para modelar la situación del restaurante debemos tener algunas consideraciones:
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para modelar la situación del restaurante debemos tener algunas consideraciones:
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- Independencia de experimentos: hacemos el supuesto de que los clientes no influencian entre sí sus decisiones de concretar o no sus respectivas reservas.
- Probabilidad de “éxito” p: se hace necesario suponer que este valor es el mismo para cada cliente. Esto no corresponde exactamente a la realidad, pues hay clientes más responsables, cuya probabilidad de llegar al restaurante es mayor. Sin embargo, la situación planteada no entrega información sobre cada cliente, por lo que hacemos el supuesto de considerar este valor igual para cada cliente, equivalente al porcentaje histórico de 85% de reservas concretadas. Esto es, cada cliente con reserva tiene una probabilidad p = 0,85 de llegar al restaurante.
- Cantidad de repeticiones n: en la situación planteada, corresponde al número de clientes con reserva. El desafío de la situación es decidir el número adecuado de reservas que admitir, por lo que esta cantidad corresponde a una incógnita que denotaremos n, mayor que el número total de 40 mesas, y podemos pensarlo como un parámetro del problema. Vamos a explorar los valores posibles de n para escoger el adecuado.
Las consideraciones anteriores nos permiten plantear un modelo matemático para la situación, considerando la siguiente variable aleatoria:
"},{"eng":"","esp":"X = número de clientes con reserva que llegan efectivamente al restaurante.","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En esta pregunta identificamos dos condiciones que debemos matematizar:
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/gestionando_reservas/imgs/3.png","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/gestionando_reservas/imgs/3.png","eng":"","tipo":"img","escala":"50","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Si bien esto queda a criterio de cada uno, lo usual es asignar un valor de al menos 95%. Esto nos permite podemos asociar una sola condición matemática a la pregunta:
"},{"eng":"","esp":"Si bien esto queda a criterio de cada uno, lo usual es asignar un valor de al menos 95%. Esto nos permite podemos asociar una sola condición matemática a la pregunta:
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"La desigualdad P(X ≤ 40)≥ 0.95 nos permitirá decidir un valor de n adecuado. Para ello, podemos calcular mediante una hoja de cálculo los valores de P(X ≤ 40), variando el valor de n desde 40 a 46. \n
","eng":""},{"esp":"La siguiente imagen nos muestra una hoja de cálculo que permite hacer esto, donde se ha especificado el comando que permite calcular P(X ≤ m) para X ~ Binomial(n,p), y donde m = 40, p = 0.85 y n va tomando valores entre 40 y 46:\n
","eng":"","tipo":"p"},{"caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/gestionando_reservas/imgs/4.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","eng":""},{"escala":"50","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/gestionando_reservas/imgs/4.png","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"eng":""}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"p","esp":"Esta actividad está pensada para realizarse en dos clases y tiene como objetivo aplicar el modelo binomial en una situación de la vida real en la que no es evidente cómo usarlo para tomar una decisión. Para el buen desarrollo de la actividad es necesario que el modelo binomial haya sido estudiado previamente, y que las y los estudiantes estén familiarizados con los supuestos que una variable debe cumplir para seguir este tipo de distribución.
","eng":""},{"tipo":"p","esp":"En la situación presentada se debe decidir cuántas reservas de mesas por sobre la capacidad de un restaurante se podrían admitir diariamente, considerando, por una parte, que históricamente hay un porcentaje conocido de clientes que hacen reservas, pero no llegan al restaurante, y por otra, que el restaurante quiere tener bastante certeza de que los clientes con reservas que efectivamente llegan tendrán una mesa disponible.
","eng":""},{"eng":"","esp":"El problema que surge a partir de esta situación nos plantea que hay una cantidad n≥40 de mesas que se pueden reservar y una cierta probabilidad p, que se puede estimar en base a los datos históricos, de que un cliente con reserva llegue efectivamente. Tal como se detalla en los Aspectos Matemáticos, el problema se puede modelar usando el modelo binomial, con parámetros p y n.
","tipo":"p"},{"esp":"La aplicación usual de este modelo es calcular probabilidades de un evento dados ambos parámetros, por lo que estos deben ser conocidos de antemano. Sin embargo, en esta situación la incógnita es la cantidad de mesas que se pueden reservar, por lo que el valor de n es desconocido. Por tanto, para resolver el problema resulta más apropiado pensar n como una cantidad variable, y no como un parámetro. Esta distinción puede resultar desafiante para estudiantes que solo están acostumbrados a aplicaciones directas del modelo.
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Dificultades al trabajar con el modelo binomial"},{"tipo":"p","esp":"Algunas de las dificultades que surgen al trabajar con el modelo binomial se relacionan con:
","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"- Identificar el experimento aleatorio repetido que permite aplicar el modelo binomial. En este caso, puede resultar difícil para algunos/as estudiantes notar que el “experimento” es la situación de que un cliente que ha hecho reserva la concrete o no, y que es aleatorio, dado que no es posible anticipar con completa certeza cuál de los dos resultados ocurrirá.
- Asegurar que el experimento aleatorio que se repite cumple con los supuestos necesarios para aplicar el modelo binomial. Puede que haya estudiantes que les cueste comprender que “el experimento se puede repetir tantas veces como se quiera”, o que “la probabilidad p de éxito es la misma para cada repetición del experimento” y que existe “la independencia”. Estas ideas se basan en el supuesto de que cada cliente sigue el comportamiento histórico y su asistencia no se ve afectada por las decisiones de otros. Puede resultar provechoso discutir con la clase por qué estos supuestos son necesarios para poder modelar la situación, independientemente de que se pueda cuestionar qué tan razonables son.
- Describir en términos matemáticos los eventos relevantes, particularmente las desigualdades que involucran a la variable aleatoria de interés. En esta situación, por ejemplo, puede resultar desafiante matematizar la condición “debe haber una mesa para los clientes con reserva que llegan” mediante la desigualdad X ≤ 40 donde X es la variable aleatoria que corresponde al número de clientes que llegan efectivamente. Respecto a esto, se sugiere reforzar las conexiones entre el lenguaje cotidiano y las relaciones entre variables, tales como ecuaciones o desigualdades.
La sobreventa o sobrereserva en la mayoría de los sectores económicos relacionados a los servicios es una práctica que no está regulada, con la excepción del transporte aerocomercial. En este último, la sobreventa es una acción que se sustenta en que \"la ley de protección al consumidor chileno permite que las aerolíneas sobrevendan sus vuelos, por una razón comercial, ya que permite que los precios de los tickets sean más baratos\".
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En el caso que algún pasajero no pueda viajar a causa de una sobreventa, según la Ley Pro Consumidor, se le debe reembolsar la totalidad de lo pagado y además recibir una compensación que se asignará según la distancia del vuelo denegado.
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Se estima que en Chile las aerolíneas sobrevenden entre un dos y un tres por ciento de los pasajes en cada vuelo. Este es un porcentaje muy cercano al que se obtiene al resolver el problema que surge de la situación del restaurante.
"}],"visible":true}},"visible":true}},"8":{"recursos":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Infografía","tipo":"h3","eng":"infographic"},{"tipo":"p","eng":"The infographic presents some technical characteristics of the robot \"Perseverance\", a vehicle\nHe is exploring the planet Mars. In addition, a satellite image is presented where\nyou can see some points through which the robot has passed and the displacement it has\nmade to go from one point to another.
","esp":"En la infografía se presentan algunas características técnicas del robot “Perseverance”, un vehículo\nque se encuentra explorando el planeta Marte. Además, se presenta una imagen satelital en donde\nse pueden observar algunos puntos por los que ha pasado el robot y el desplazamiento que ha\nrealizado para ir de un punto a otro.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/pdfs/Infografia_perseverance-2.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/pdfs/Infografia-Perseverance.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/pdfs/Infografia-Perseverance.pdf","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/pdfs/Infografia_perseverance-2.pdf","tipo":"button","titulo":{"esp":"","eng":"Descargar Infografia"}},{"eng":"Presentation (slides 2 to 5)","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 5)"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación. ","tipo":"p","eng":"Below you can view and download the complete presentation.
"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/pdfs/ppt_perseverance.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/nuevas/ppt_perseverance.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/nuevas/ppt_perseverance.pptx","tipo":"button","titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/docs/ppt_perseverance.pptx","recurso":"Descarga"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Hoja de Actividades","eng":"Worksheet"},{"eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.
","tipo":"p","esp":"En este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/pdfs/hoja_actividades_perseverance.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/nuevas/hoja_actividades_perseverance.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/docs/hoja_actividades_perseverance.docx","tipo":"button","titulo":{"esp":"","eng":"Download Activity Sheet"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/nuevas/hoja_actividades_perseverance.docx","recurso":"Descarga"},{"eng":"Presentation (slides 6 to 11)","esp":"Presentación (diapositivas 6 a 11)","tipo":"h3"},{"eng":"Below you can view and download the complete presentation.
","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación. "},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/nuevas/ppt_perseverance.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/pdfs/ppt_perseverance.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/docs/ppt_perseverance.pptx","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/nuevas/ppt_perseverance.pptx","recurso":"Descarga"}]},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 12 and 13)","esp":"Presentación (diapositivas 12 y 13)"},{"eng":"Below you can view and download the complete presentation.
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación. ","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/nuevas/ppt_perseverance.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/pdfs/ppt_perseverance.pdf"},{"titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/docs/ppt_perseverance.pptx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/nuevas/ppt_perseverance.pptx","recurso":"Descarga","tipo":"button"}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Practical Guide","tipo":"h3","esp":"Guía Práctica"},{"eng":"This guide also proposes exercises for students to apply their understanding of the characteristics of a vector and its graphic representation.
","tipo":"p","esp":"En esta guía también se proponen ejercicios para que las y los estudiantes apliquen su comprensión sobre las características de un vector y su representación gráfica.
"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/pdfs/guia_practica_perseverance.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/pdfs/Guia%20Practica%20G3D_U1_OA1.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/docs/guia_practica_perseverance.docx","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/docs/Guia%20Practica%20G3D_U1_OA1.docx","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"","eng":"Download Practical Guide"}},{"esp":"Guía Práctica adicional","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En este documento se proponen ejercicios adicionales, en algunos casos de mayor dificultad, para que las y los estudiantes puedan aplicar lo aprendido en esta lección. Los ejercicios de esta guía también pueden servir para evaluar los aprendizajes de la clase.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/pdfs/Guia_Practica_ADICIONAL_G3D_OA1_El_robot_Perseverance.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/docs/Guia_Practica_ADICIONAL_G3D_OA1_El_robot_Perseverance.docx","eng":"","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"button","recurso":"Descarga"}]}}},"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"Engagement Moment","tipo":"h3","esp":"Momento de Enganche"},{"eng":"(Slide 2, Introduction)","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 2, Presentación)"},{"tipo":"p","esp":"Comience la lección planteando las siguientes preguntas, para introducir a las y los estudiantes al contexto de la clase:\n
","eng":"Begin the lesson by asking questions"},{"eng":"
- Do you know of any mission to explore Mars?
- If you could send a robot to Mars, for what purpose would you do it?
- ¿Conocen alguna misión para explorar Marte?
- Si ustedes pudieran enviar un robot a Marte, ¿con qué propósito lo harían?
Allow time and space for the students to discuss these questions and the importance of having real information that is as accurate as possible to draw conclusions about the type of soil and the possibility of life on the planet Mars.","tipo":"p","esp":"
De tiempo y espacio para que las y los estudiantes discutan sobre estas preguntas y la importancia de contar con información real y lo más certera posible para realizar conclusiones sobre el tipo de suelo y la posibilidad de vida en el planeta Marte.
"},{"tipo":"h3","eng":"Presentation of the problem","esp":"Presentación del problema"},{"eng":"(Slides 3 and 4, Introduction)","esp":"(Diapositivas 3 y 4, Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"Then, project the Infographic and read it together with the students.
","tipo":"p","esp":"Luego, proyecte la Infografía y leala en conjunto con las y los estudiantes.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/pdfs/Infografia_perseverance-2.pdf","recurso":"ModalPDF","tipo":"button","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/pdfs/Infografia-Perseverance.pdf"},{"tipo":"p","esp":"Proponga preguntas como las siguientes para asegurarse que todos han comprendido el contenido de la infografía:
","eng":"Ask questions such as the following to ensure that everyone has understood the content of the infographic:
"},{"recurso":"Pregunta","eng":"- What is Perseverance?
- What do the points that you see in the last image of the infographic correspond to?
- How is Perseverance able to go from one specific point to another?
- ¿Qué es el Perseverance?
- ¿A qué corresponden los puntos que se observan en la última imagen de la infografía?
- ¿Cómo el Perseverance es capaz de ir de un punto específico a otro?
The first two questions seek for the students to understand the context in which the activity will take place, that is, that Perseverance is a robotic vehicle that is exploring Mars and that the points in the last image of the infographic correspond to the different positions through which it has passed on its journey.
","esp":"Las primeras dos preguntas buscan que las y los estudiantes comprendan el contexto en el cual se desarrollará la actividad, es decir, que el Perseverance es un vehículo robotizado que está explorando Marte y que los puntos de la última imagen de la infografía corresponden a las distintas posiciones por las que ha pasado en su recorrido.
"},{"eng":"The last question (“How is Perseverance able to get from one specific point to another?”) is intended for students to recognize the fact that it is the robot itself that can decide how to move from one point to another, thanks to its self-driving system.
","esp":"La última pregunta (“¿Cómo el Perseverance es capaz de ir de un punto específico a otro?”) pretende que los estudiantes reconozcan el hecho de que es el mismo robot el que puede decidir cómo moverse desde un punto a otro, gracias a su sistema de autoconducción.
","tipo":"p"},{"eng":"Finally, and by way of closing this moment, you can ask the following question:
","esp":"Finalmente, y a modo de cierre de este momento, puede plantear el problema que guiará el resto de la clase.
","tipo":"p"},{"esp":"Suponiendo que la primera acción del sistema de autoconducción, cuando el robot recibe una locación de interés, es asumir que no hay obstáculos entre su posición y el punto de interés, \n
\n¿Cuál es la información que el robot obtiene para saber cómo moverse de forma precisa al punto de interés?\"\n\n
","eng":"","recurso":"Pregunta","tipo":"momento"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Con esta pregunta se busca que las y los estudiantes piensen en qué información es necesaria para que el robot pueda ir de un lugar a otro (Tarea Matemática A). En este punto de la discusión, es posible que las y los estudiantes mencionen distintas ideas sobre cómo el robot logra ir de un lugar a otro, por ejemplo, que este se mueve de manera aleatoria o que tiene sensores para detectar rocas u otros obstáculos.
\n"},{"esp":"Si bien esas ideas no son erróneas, procure guiar la discusión hacia las características de un desplazamiento (magnitud, dirección y sentido) sin ahondar demasiado en ellas, pues se trabajarán en el resto de la clase. En particular, destaque como el supuesto planteado en el problema (que no hay obstáculos entre la posición del robot y el punto de interés) permite suponer que el robot se moverá siguiendo trayectorias rectas.
","tipo":"p","eng":""}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 6 y 7, Presentación)","eng":"(Slides 6 and 7, Presentation)"},{"tipo":"p","eng":"To kick off this moment, ask your students to work in small groups on the first part of the Activity Sheet:
","esp":"Para dar inicio a este momento, proponga a sus estudiantes trabajar en grupos pequeños en la primera parte de la Hoja de Actividades:
"},{"recurso":"actividades","eng":"Satellite image showing two points A and B
Assuming that you are given the mission of giving directions to Perseverance to go from point A to B. Answer the following questions that will guide you in this mission:![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/imgs/prueba.png\")
- If you only tell it how many meters it has to travel, would Perseverance reach point B?
- What are the possible positions it could reach?
- Is this information enough to ensure that Perseverance will reach point B?
Imagen satelital que muestra dos puntos A y BSuponiendo que la primera acción del sistema de autoconducción, cuando el robot recibe una locación de interés, es asumir que no hay obstáculos entre su posición (A) y el punto de interés (B), \n- Si el robot sólo obtiene la información relativa a cuántos metros debe recorrer, ¿llegaría al punto B?
- ¿Es suficiente esta información para asegurar que el Perseverance llegará al punto B?
- ¿Cuáles son las posibles posiciones a las que podría llegar?
De espacio para que las y los estudiantes discutan en sus grupos y luego haga una puesta en común cuyo objetivo sea concluir que solo contando con la información relativa a la cantidad de metros, el robot no necesariamente llegaría al punto B (Tarea Matemática A).
","eng":"Give space for the students to discuss in their groups and then share\nwhose objective is to conclude that only by indicating the number of meters, the robot does not necessarily\nwould get to point B.
"},{"eng":"To guide this discussion, you can project the image on slide 6, measure with a ruler the\ndistance between point A and point B and then draw several segments whose lengths are equal to that\nmeasured ensuring that everyone starts at point A (in different directions). If not\nhave a ruler, you can directly project the image of slide 7 that develops this\nsame idea. Make sure that the students recognize that by specifying only the distance,\nthere are many possible locations that the Perseverance could reach.
","esp":"Para guiar dicha discusión, puede proyectar la imagen de la diapositiva 6, medir con una regla la\ndistancia entre el punto A y el B y luego trazar varios segmentos cuyas longitudes sean igual a esa\nmedida procurando que todos comiencen en el punto A (en distintas direcciones). En caso de que no\ncuente con regla, puede proyectar directamente la imagen de la diapositiva 7 que desarrolla esta\nmisma idea. Asegúrese de que las y los estudiantes reconozcan si sólo se dispone de la distancia,\nhay muchas ubicaciones posibles a las que el Perseverance podría llegar.
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Motive a las y los estudiantes a pensar en cómo describir las posibles posiciones a las que puede\nllegar el robot si sólo cuenta con una distancia de movimiento. Ayúdelos a concluir que, en este caso,\ntodas las posibles posiciones quedan descritas por una circunferencia cuyo radio es igual a la\ndistancia entre A y B. A partir de esta constatación, concluya que con la información que se tiene\nhasta ahora, el robot podría llegar a cualquiera de los puntos que componen la circunferencia.
","eng":"Encourage students to think about how to describe the possible positions to which they can\nreach the robot if only a movement distance is indicated. Help them conclude that, in this case,\nall possible positions are described by a circle whose radius is equal to the\ndistance between A and B. From this observation, conclude that with the information available\nUntil now, the robot could reach any of the points that make up the circumference.
"},{"recurso":"Destacado","esp":"A partir de la discusión anterior, concluya en conjunto con las y los estudiantes que esta información no es suficiente para asegurar que el Perseverance se desplace con exactitud del punto A al B.
","eng":"From the discussion above, conclude with the students that this information is not enough to ensure that Perseverance moves accurately from point A to point B.
","tipo":"momento"},{"eng":"Next, have students work in small groups on the second part of the Activity Sheet.
","tipo":"p","esp":"Luego, proponga a sus estudiantes trabajar en grupos pequeños en la segunda parte de la Hoja de Actividades, en donde se agrega una capa de información (la dirección del desplazamiento) adicional a la distancia que debe recorrer el robot Perseverance. Esto con el objetivo de que las y los estudiantes reconozcan que aún conociendo la dirección, no es suficiente para describir el desplazamiento de A hasta B de manera precisa (Tarea Matemática A).\n.
"},{"esp":"(Diapositivas 8 y 9, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slides 8 and 9, Presentation)"},{"eng":"Now suppose that in addition to the number of meters to travel, you tell Perseverance a line to move along, in particular, the line through points A and B.
- ¿ What are the possible positions I could reach?
- Is this information enough to ensure Perseverance gets to point B?
Supón ahora que además de la cantidad de metros que debe recorrer, el sistema de autoconducción del Perseverance reconoce una recta por la cual se debe mover, en particular, la recta que pasa por los puntos A y B.
- ¿Cuáles son las posibles posiciones a las que podría llegar?
- ¿Es suficiente esta información para asegurar que el Perseverance llegue al punto B?
Es probable que las y los estudiantes crean que la dirección y la magnitud del desplazamiento es suficiente información para que el robot se mueva del punto A al B.
","eng":"Students are likely to believe that the direction and magnitude of the displacement is enough information for the robot to move from point A to B.
"},{"tipo":"p","esp":"Para gestionar este momento puede apoyarse en la diapositiva 9, que contiene la recta que une los\npuntos A y B y discutir con las y los estudiantes a qué puntos se podría llegar con esta información\nadicional. Se debe concluir que podrían llegar a 2 puntos: uno es el punto B y el otro es el que se\nencuentra a la misma distancia de A, pero en sentido contrario. Observe que esto está marcado en la\nimagen como punto C (diapositiva 8).
","eng":"To manage this moment, you can rely on slide 9, which contains the line that joins the\npoints A and B and discuss with the students what points could be reached with this information\nadditional. It must be concluded that they could reach 2 points: one is point B and the other is the one\nis the same distance from A, but in the opposite direction. Notice that this is checked on the\nimage as point C (slide 8)."},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 10, Presentación)","eng":"(Slides 10 and 11, Presentation)"},{"eng":"At this time, remind students that Perseverance is intended to come to a\nsingle point (point B) and therefore precise indications must be given for it. raise the\nfollowing questions to help them think about what information is needed to accomplish what\nprevious,
","tipo":"p","esp":"En este momento, recuerde a las y los estudiantes que se busca que el Perseverance llegue a un\núnico punto (punto B) y por lo tanto se debe contar con información precisa para ello. Plantee las\nsiguientes preguntas para ayudarles a pensar en cuál es la información necesaria para lograr lo\nanterior,
"},{"esp":"- ¿Qué información le faltaría obtener al Perseverance para ir del punto A al B?
- What direction is missing to ensure that Perseverance goes from point A only to point B?
- Finally, what are the directions that you would give to Perseverance to ensure that it goes from point A to point B? B?
\nEn conjunto con las y los estudiantes, se debe concluir que es necesario conocer el sentido del\ndesplazamiento además de la distancia (magnitud) y dirección para estar seguros de que el robot\nllegará a un único punto (Tarea Matemática B).
","eng":"
\nAsegúrese que sus estudiantes identifiquen que la magnitud, dirección y sentido son las características que describen el desplazamiento del robot de un punto a otro de forma precisa (Tarea Matemática B). Para ello, si lo considera necesario, puede volver a preguntar qué pasaría si el sistema de autoconducción del robot no recogiera alguna de estas características. \nTogether with the students, it should be concluded that it is necessary to give the meaning of the\ndisplacement plus distance (magnitude) and direction to be sure the robot\nwill come to a single point.
","tipo":"p"},{"esp":"Puede aprovechar este momento para detallar que la dirección del desplazamiento corresponde específicamente a la inclinación de la recta que conecta los puntos A y B y no a la recta propiamente tal. \n
\nHabiendo establecido los requerimientos necesarios para que el robot vaya desde el punto A al B,\nes importante promover una discusión sobre la mejor manera de representar gráficamente dicho\ndesplazamiento. Es relevante notar que dicha representación gráfica debe dar cuenta de las\ncaracterísticas abordadas hasta el momento en la lección (magnitud, dirección y sentido) (Tarea Matemática C).
","eng":"Having established the requirements necessary for the robot to go from point A to B,\nIt is important to promote a discussion on the best way to graphically represent said\ndisplacement. It is important to note that said graphic representation must account for the\ncharacteristics addressed so far in the lesson (magnitude, direction and meaning)
","recurso":"Destacado","tipo":"momento"},{"esp":"Con el objetivo de apoyar el trabajo anterior, puede plantear la siguiente pregunta:
","tipo":"p","eng":"In order to support the above work, you may ask the following question:
"},{"eng":"","esp":"
¿Cómo podemos representar el desplazamiento del Perseverance del punto A al B?
","recurso":"Pregunta","tipo":"momento"},{"eng":"Allow space for students to share the possible ways in which it can be denoted\nthis offset. Guide the discussion so that it is concluded that the use of an arrow is the best\nway of representing the displacement between points A and B, since it systematizes the entire\nrequired information that characterizes said displacement.
","esp":"De espacio para que las y los estudiantes compartan las posibles formas en las que se puede denotar\neste desplazamiento. Guíe la discusión para que se concluya que el uso de una flecha es la mejor\nmanera de representar el desplazamiento entre los puntos A y B, pues sistematiza toda la\ninformación requerida que caracteriza a dicho desplazamiento.
","tipo":"p"},{"eng":"If you notice that the students remember the vectors, you can ask what they remember\nof the concept, its characteristics or the uses that are given to it.
","esp":"Si nota que las o los estudiantes se acuerdan de los vectores, puede indagar qué es lo que recuerdan\ndel concepto, de sus características o los usos que se le dan.
","tipo":"p"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Systematize the following ideas from the lesson:
","esp":"Sistematización","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Sistematice las siguientes ideas surgidas de la lección:
","eng":"(Slides 12, Presentation)"},{"esp":"(Diapositivas 12, Presentación)","tipo":"h4","eng":"- In order to describe the displacement of Perseverance from a point A to another B it has been necessary to specify the magnitude, direction and sense of said displacement.
- It is possible to graphically represent said displacement by means of an arrow that goes from A to B, since this contains all the information that characterizes it.
- Para describir el desplazamiento del Perseverance desde un punto A a otro B ha sido necesario especificar la magnitud, dirección y sentido de dicho desplazamiento.
- Es posible representar gráficamente dicho desplazamiento mediante una flecha que va desde A hasta B, pues esta contiene toda la información que lo caracteriza.
- The situation studied exemplifies the need to describe displacements in a\naccurate. Vectors are mathematical objects that allow us to represent translations or\ndisplacements in the plane or in space, and therefore, a magnitude is needed,\ndirection and sense to define them.
- The vector A⃗B that translates point A to B can be represented graphically\nwith an arrow it goes from A to B. This is called a graphical representation of the\nvector.
- We can describe the characteristics of the vector A⃗B, where A ≠ B, as follows:\n
- Magnitude: corresponds to the distance in which the point is moved. That is, the\ndistance between A and B. Equivalently, the length of segment AB.
- Direction: corresponds to the line that passes through A and B.\nDirection: it gives an account of the direction of displacement from A to B.
- Direction: it gives an account of the direction of displacement from A to B.","tipo":"p","esp":"\n\n\n
- La situación estudiada ejemplifica la necesidad de describir desplazamientos de manera\nprecisa. Los vectores son objetos matemáticos que permiten representar traslaciones o\ndesplazamientos en el plano o en el espacio, y por tanto, se necesita una magnitud,\ndirección y sentido para definirlos.
- El vector A⃗B que traslada el punto A al B se puede representar gráficamente\ncon una flecha que va desde A hasta B. Esta se denomina representación gráfica del\nvector.
- Podemos describir las características del vector A⃗B, donde A ≠ B, como sigue:\n \n
- Magnitud: corresponde a la distancia en que se trasladan el punto. Es decir, la\ndistancia entre A y B. Equivalentemente, el largo del segmento AB. \n\n
- Dirección: corresponde a la inclinación de la recta que pasa por A y por B. \n\n
- Sentido: da cuenta del sentido del desplazamiento de A hacia B.
- \n\n
Introduce your students to the How To Guide and allow time for them to work on it. The exercises\nTheir objective is for students to reinforce what are the characteristics of a vector and\ninterpret the information it provides.
"},{"eng":"These exercises can be used to formatively evaluate the following indicators:- Understand the characteristics of a vector: Direction, sense and magnitude.
- Interpret the information provided by the graphic representation of a vector.
Presente a sus estudiantes la Guía Práctica y dé tiempo para que trabajen en ella. Los ejercicios\ntienen por objetivo que las y los estudiantes refuercen cuáles son las características de un vector e\ninterpreten la información que entrega. Es posible que en el primer ejercicio, más de algún estudiante piense que los vectores tienen distinta dirección. En este caso, enfatice que la dirección del desplazamiento corresponde a la inclinación de la recta que contiene a los puntos de interés. Si es necesario, puede evaluar la pendiente de ambas direcciones para hacerles notar que los vectores tienen igual dirección.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/pdfs/guia_practica_perseverance.pdf","esp":"Estos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente los siguientes indicadores:- Comprender las características de un vector: Dirección, sentido y magnitud.
- Interpretar la información que entrega la representación gráfica de un vector.
Un vector es un objeto que permite representar diversos fenómenos matemáticos, físicos, y de las\nciencias en general. En matemáticas, se usan para describir traslaciones o desplazamientos en el\nplano o el espacio. En física, se usan para describir nociones de interés, como la posición, velocidad,\ncampos de fuerzas, entre muchas otras. En este documento, para simplificar la presentación, nos\nenfocaremos en los vectores como traslaciones, es decir desde un punto de vista geométrico.
","eng":"A vector is an object that can represent various mathematical, physical, and\nscience in general. In mathematics, they are used to describe translations or displacements in the\nplane or space. In physics, they are used to describe notions of interest, such as position, velocity,\nfields of forces, among many others. In this document, to simplify the presentation, we\nWe will focus on vectors as translations, that is, from a geometric point of view.
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Matemáticamente, un vector describe una traslación de puntos según tres características: una magnitud, una dirección y un sentido, que describiremos con detalle más adelante. Si el vector v⃗ traslada el punto A al punto B, usaremos la notación sugerente v⃗ = A⃗B. Esta notación tiene la ventaja que resume la información de que v⃗ traslada A en B.","eng":"Mathematically, a vector describes a translation of points according to three characteristics: a magnitude, a direction and a direction, which we will describe in detail later. If the vector v⃗"},{"esp":"El vector v⃗ = A⃗B se puede representar gráficamente como una flecha que va desde A hasta B. Esta se denomina representación gráfica del vector v⃗. ","eng":"The vector v⃗ = A⃗B can be represented graphically as an arrow going from A to B. This is called the graphical representation of the vector v⃗.","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/imgs/principal2.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/imgs/principal2.png","tipo":"img","escala":"25"},{"esp":"Podemos describir las características del vector A⃗B, donde A ≠ B como sigue.\n- \n
- Magnitud: corresponde a la distancia en que se trasladan los puntos. Es decir, la distancia entre A y B. Equivalentemente, el largo del segmento AB. \n \n
- Dirección: corresponde a la inclinación de la recta que pasa por A y por B.\n \n
- Sentido: da cuenta del sentido de la traslación. Es decir desde A hacia B.\n \n
- \n
- Magnitude: corresponds to the distance in which the points are moved. That is, the distance between A and B. Equivalently, the length of the segment AB.\n \n
- Direction: corresponds to the line that passes through A and through B.\n \n
- Sense: gives an account of the sense of the translation. That is, from A to B.\n \n
Understanding the vector concept can be difficult, since some of its characteristics and\nproperties are different from those of the geometric objects to which the men and women are accustomed.\nstudents. Below are some of the most common difficulties at the time of\nwork with vectors.
","esp":"Comprender el concepto de vector puede resultar difícil, ya que algunas de sus características y\npropiedades son distintas a las de los objetos geométricos a los que están habituados las y los\nestudiantes. Por ejemplo, un segmento de recta no tiene asociado un sentido determinado. A continuación se detallan algunas de las dificultades más usuales al momento de\ntrabajar con vectores.
","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"Confundir una misma flecha con vectores distintos ","eng":"Confusing the same arrow with different vectors"},{"tipo":"p","eng":"When introducing the way to represent vectors by means of arrows, a common confusion is to reduce the idea of a vector to an arrow located in space that only joins two points and generates confusion. This can be seen, for example, when students think that arrows that connect different points in space, even though they have the same magnitude, direction and sense, correspond to different vectors. That is, to believe, for example, that the vector A⃗B only translates the point A.","esp":"Al introducir la forma de representar vectores por medio de flechas, una confusión habitual es reducir la idea de un vector a una flecha situada en el espacio que solo une dos puntos y generar confusiones. Esto se observa, por ejemplo, cuando los estudiantes piensan que flechas que conectan puntos diferentes del espacio, aunque tengan igual magnitud, dirección y sentido, corresponden a vectores distintos. Es decir, creer por ejemplo que el vector A⃗B solo traslada el punto A."},{"esp":"En estos casos se sugiere enfatizar que un vector puede trasladar cualquier punto del plano, independiente de cómo se escriba, pues un vector representa una traslación, la cual es independiente del punto sobre el cual se aplica dicha traslación. Por ejemplo, en la figura de abajo, el vector A⃗B traslada el punto C en el punto D.","tipo":"p","eng":"In these cases, it is suggested to emphasize that a vector can translate any point in the plane, regardless of how it is written, since a vector represents a translation, which is independent of the point on which said translation is applied. For example, in the figure below, vector A⃗B translates point C into point D."},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/imgs/principal8.png","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/imgs/principal8.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"25","caption":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"Naturally, in this case we have A⃗B = C⃗D.","esp":"Naturalmente, en este caso tenemos que A⃗B = C⃗D.","tipo":"p"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Confusiones con el sentido de un vector"},{"tipo":"p","eng":"There are also problems understanding the meaning of vectors. For example, some\nStudents could associate the vector represented by an arrow from a point P to a point Q\nwith the segment that joins these points, or they could not distinguish it from the vector represented by the\narrow going from Q to P.","esp":"
También se presentan problemas para entender el sentido de los vectores. Por ejemplo, algunos\nestudiantes podrían asociar el vector que se representa con una flecha de un punto P a un punto Q\ncon el segmento que une estos puntos, o bien podrían no distinguirlo del vector representado por la\nflecha que va de Q a P.
"},{"esp":"Confundir vector con un segmento de recta","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"Es usual encontrar en algunos libros o en búsquedas de internet, expresiones como las siguientes:
\n","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"- \n
- “Un vector es un segmento de recta orientado” \n
- “Los vectores son segmentos de una línea recta orientados…” \n
Si bien estas expresiones ayudan a fijar ideas, son incorrectas desde el punto de vista matemático. Una recta es un conjunto infinito de puntos extendidos en una misma dirección y por tanto, al hablar de un vector como segmento de recta, se da a entender que un vector está conformado o contiene a una serie de puntos, lo que no es correcto. Tal como se detalló más arriba, un vector representa una traslación en el plano o espacio, la cual es independiente del punto sobre el cual se aplica dicha traslación, y no dice relación con un conjunto de puntos determinado.
"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Misión Mars 2022","tipo":"h3","eng":"What would be the minimum necessary information that would have to be provided to Perseverance in order for it to move from one point to another?
"},{"eng":"The activity is based on the Mars 2022 Mission, which aims to collect information about\nMars. The mission consists of the exploration of the terrain of the red planet made by a type vehicle\nrobot named \"Perseverance\" and that is controlled from Earth. This vehicle sends the\ninformation that collects to our planet by means of high frequency antennas that it possesses.\nIn addition, the vehicle is equipped with a drone that also moves collecting information but\nwhich will not be used for the purposes of the activity.\n
","tipo":"p","esp":"La actividad se basa en la Misión Mars 2022, que tiene como objetivo recopilar información sobre\nMarte. La misión consiste en la exploración del terreno del planeta rojo hecha por un vehículo tipo\nrobot nombrado “Perseverance” y que es controlado desde la Tierra. Este vehículo envía la\ninformación que recopila a nuestro planeta por medio de antenas de alta frecuencia que posee.\nAdemás, el vehículo está dotado de un dron que también se mueve recopilando información pero\nque para efectos de la actividad no se utilizará.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/imgs/principal13.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/robot_perseverance/imgs/principal13.png","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","escala":"25"},{"tipo":"p","eng":"As mentioned in the infographic, the rover has a self-driving system: from Earth\nit is only given indications of which specific places to visit, but it is the robot that decides how\ngetting there, i.e. where to turn, which rocks to avoid, etc. The lesson presented is based on the\nassumption that this self-driving system fails which motivates the following question,
","esp":"Tal como se menciona en la infografía, el rover posee un sistema de autoconducción: desde la Tierra\nsolo se le dan indicaciones de qué lugares específicos visitar, pero es el robot quien decide cómo\nllegar hasta allí, es decir, donde girar, que rocas evitar, etc.
"},{"esp":"Es importante mencionar que la información de la posición que utilizan en la misión está\nrepresentada con respecto a un sistema de referencia complejo y de 3 dimensiones. En la actividad\npropuesta no se utilizan sistemas de referencia, pues se aborda el concepto de vector a partir de la\nnecesidad de describir los desplazamientos del robot de un punto a otro, sin especificar aún las\ncoordenadas de estos. Por cierto, para efectos de esta actividad dichos desplazamientos se\nestudiarán en un plano.
","tipo":"p","eng":"It is important to mention that the position information they use in the mission is\nrepresented with respect to a complex and 3-dimensional reference system. In the activity\nIn the proposal, reference systems are not used, since the vector concept is addressed from the\nneed to describe the movements of the robot from one point to another, without specifying yet the\ncoordinates of these. By the way, for the purposes of this activity, said displacements will be\nthey will study on a plane.
"}]}}},"visible":true,"recursosProyecto":[]},"9":{"visible":true,"recursos":{"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"Video “Braking distance”","esp":"Video “Distancia de frenado”","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"El video “Distancia de frenado” permite introducir la situación, entregando información para que\nlas y los estudiantes comprendan el fenómeno relacionado a las distancia de detención de un\nvehículo y reconozcan la importancia de conocer las distancias que permiten manejar de manera\nsegura y responsable.
","eng":"The video “Stopping Distance” allows you to introduce the situation, providing information so that\nthe students understand the phenomenon related to the stopping distance of a\nvehicle and recognize the importance of knowing the distances that allow safe driving\nsafe and responsible.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/videos/Distancia%20de%20frenado.webm","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/distancia-frenado/04_distancia%20de%20frenado%20subt.mp4","tipo":"video"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/videos/Distancia%20de%20frenado.mp4","tipo":"button","recurso":"descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/distancia-frenado/04_distancia%20de%20frenado%20subt.mp4","titulo":{"esp":"Descargar Video","eng":"Descargar Video"}},{"esp":"Presentación (diapositivas 2 a 7)","tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 2 to 7)"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of\nthis situation.
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de\nesta situación.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/pdfs/ppt_distancia_frenado_modificado.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/pdfs/ppt_distancia_frenado_modificado.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/docs/ppt_distancia_frenado_modificado.pptx","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/docs/ppt_distancia_frenado_modificado.pptx"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Hoja de Actividades","eng":"Worksheet","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción\nde conocimientos asociados a esta situación.
","eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction\nof knowledge associated with this situation.
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/pdfs/Hoja_de_Actividades_LDI_Unidad1_OA1_modificado.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/pdfs/Hoja_de_Actividades_LDI_Unidad1_OA1_modificado.pdf"},{"titulo":{"eng":"Download Activity Sheet","esp":"Descargar Hoja de Actividad"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/docs/Hoja_de_Actividades_LDI_Unidad1_OA1_modificado.docx","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/docs/Hoja_de_Actividades_LDI_Unidad1_OA1_modificado.docx","recurso":"Descarga"},{"eng":"Presentation (slides 8 to 20)","esp":"Presentación (diapositivas 8 a 20)","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of\nthis situation.
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de\nesta situación.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/pdfs/ppt_distancia_frenado_modificado.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/pdfs/ppt_distancia_frenado_modificado.pdf"},{"recurso":"Descarga","tipo":"button","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/docs/ppt_distancia_frenado_modificado.pptx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/docs/ppt_distancia_frenado_modificado.pptx"}]},"3":{"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 21 a 24)","eng":"Presentation (slides 21-24)","tipo":"h3"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of\nthis situation.
","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de\nesta situación.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/pdfs/ppt_distancia_frenado_modificado.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/pdfs/ppt_distancia_frenado_modificado.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/docs/ppt_distancia_frenado_modificado.pptx","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Download Presentation"},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/docs/ppt_distancia_frenado_modificado.pptx","recurso":"Descarga"}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"esp":"Guía Práctica","eng":"Practical Guide","tipo":"h3"},{"esp":"En esta Guía práctica se busca que las y los estudiantes utilicen el modelo matemático\nconstruido para determinar las distancias de detención de automóviles en diversas condiciones\nde tránsito y comprueben sus resultados usando un recurso de GeoGebra. El foco de esta\ninstancia es reflexionar y generar conciencia respecto de la responsabilidad al manejar.
","eng":"In this Practical Guide, the aim is for students to use the mathematical model\nbuilt to determine stopping distances of automobiles under various conditions\ntransit and check your results using a GeoGebra resource. The focus of this\nThis instance is to reflect and raise awareness regarding responsible driving.
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/pdfs/Guia_Practica_LDI_Unidad1_OA1_modificado.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/pdfs/Guia_Practica_LDI_Unidad1_OA1_modificado.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Guía Practica","eng":"Download Practical Guide"},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/docs/Guia_Practica_LDI_Unidad1_OA1_modificado.docx","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/docs/Guia_Practica_LDI_Unidad1_OA1_modificado.docx"},{"eng":"interactive resource","esp":"Recurso interactivo","tipo":"h3"},{"esp":"Este recurso GeoGebra permite calcular la distancia de detención de un automóvil, dada la velocidad y el tiempo de reacción. Se utiliza durante el desarrollo de la Guía práctica.
","eng":"This GeoGebra resource allows you to calculate the stopping distance of a car, given the speed and the reaction time. It is used during the development of the How-to Guide.
","tipo":"p"},{"esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/xfsxvgmy/width/1026/height/540/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/xfsxvgmy/width/1026/height/540/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/ asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","tipo":"iframe","recurso":"Geogebra"}],"visible":true}},"visible":true},"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Momento de enganche","eng":"latching moment"},{"eng":"(Slides 2-4, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 2 a 4, Presentación)"},{"tipo":"p","eng":"Present the video \"Stopping Distance\" to your students and allow space for them to share their thoughts on the following questions:
","esp":"Presente el video \"Distancia de frenado\" a sus estudiantes y dé espacio para que compartan sus opiniones respecto de las siguientes preguntas:
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/videos/Distancia%20de%20frenado.webm","tipo":"button","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/distancia-frenado/04_distancia%20de%20frenado%20subt.mp4","recurso":"modalVideo"},{"esp":"- ¿Qué factores influyen en la distancia de frenado?
- ¿Qué distancias están involucradas en el proceso de frenado de un automóvil? ¿En qué se diferencian esas distancias?
- ¿Cuál es el tiempo de reacción estimado de un conductor que está atento?
- What factors influence stopping distance?"},{"tipo":"p","eng":"
Make sure they recognize that stopping distance is equal to the sum of reaction distance and stopping distance.
","esp":"Asegúrese de que reconozcan que la distancia de detención es igual a la suma de la distancia de reacción y la distancia de frenado.
"},{"tipo":"p","eng":"stopping distance = reaction distance stopping distance","esp":"
distancia de detención = distancia de reacción + distancia de frenado
"},{"esp":"Presentación del problema","tipo":"h3","eng":"Presentation of the problem"},{"tipo":"h4","eng":"(Slides 5 to 7, Presentation)","esp":"(Diapositivas 5 a 7, Presentación)"},{"eng":"Next, ask questions that lead students to consider the need for\nknow the stopping distances of a car. For example:
","tipo":"p","esp":"A continuación, realice preguntas que lleven a los estudiantes a plantearse la necesidad de\nconocer las distancias de detención de un automóvil. Por ejemplo:
"},{"esp":"- La velocidad máxima en zonas urbanas es de 50 km/h. Si un conductor ve un\npeligro en el camino, ¿cuántos metros creen que necesita para frenar\ncompletamente?\n
- En algunos tramos de las carreteras la velocidad máxima es de 120 km/h.\n¿Cuántos metros de distancia creen que deben mantener como mínimo dos\nautomóviles que viajan a esa velocidad?
- The maximum speed in urban areas is 50 km/h. If a driver sees a\ndanger on the road, how many meters do you think he needs to stop\ncompletely?\n
- On some sections of roads the maximum speed is 120 km/h.\nHow many meters away do you think they should keep at least two\ncars traveling at that speed?
Asegúrese de que noten que puede existir estimaciones muy distintas sobre las distancias\ninvolucradas y que es fundamental, para la seguridad vial, determinar estas distancias con mayor\ncerteza. A partir de esta reflexión plantee el problema:
","tipo":"p","eng":"Make sure they notice that there can be wildly different estimates of distances\ninvolved and that it is fundamental, for road safety, to determine these distances with greater\ncertainty. Based on this reflection, state the problem:
"},{"eng":"How can we find a mathematical model that allows us to determine the stopping distance of a car based on its speed and the driver's reaction time?
","tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"¿Cómo podemos encontrar un modelo matemático que permita determinar la distancia de detención de un automóvil en función de su velocidad y del tiempo de reacción del conductor?
"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h4","eng":"(Slides 8 to 18, Presentation)","esp":"(Diapositivas 8 a 18, Presentación)"},{"tipo":"p","eng":"Have students use a notation to express the quantities involved. For example:
","esp":"Proponga a los estudiantes utilizar una notación para expresar las cantidades involucradas. Por ejemplo:
"},{"tipo":"p","esp":"dd : distancia de detención","eng":"dd : stopping distance"},{"tipo":"p","eng":"dr : reaction distance","esp":"dr : distancia de reacción"},{"tipo":"p","esp":"df : distancia de frenado","eng":"df : braking distance"},{"tipo":"p","esp":"\\[d_{d} = d_{r} + d_{f}\\]\n","eng":"\\[d_{d} = d_{r} d_{f}\\]"},{"esp":"A continuación, proponga buscar una expresión que modele la distancia de reacción. Pregunte:
","tipo":"p","eng":"Next, propose to find an expression that models the reaction distance. ask:
"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":"How can you determine the distance a vehicle travels?
","esp":"¿Cómo se puede determinar la distancia que recorre un vehículo?
"},{"recurso":"Respuesta","eng":"\\[\\text{distance} = \\text{speed} \\cdot \\text{time}\\]","esp":"\\[\\text{distancia} = \\text{velocidad} \\cdot \\text{tiempo}\\]\n","tipo":"momento"},{"esp":"En este momento es importante abordar la necesidad de considerar unidades de medida\npertinentes al contexto. Para ello, puede hacer preguntas como las siguientes:
","eng":"At this time it is important to address the need to consider units of measurement\nrelevant to the context. To do this, you can ask questions like the following:
","tipo":"p"},{"eng":"- In what unit is speed expressed on traffic signs? (km/h)
- If the average reaction time is 1 second, in what unit is it convenient to measure the reaction distance? (in meters)
- If the speed is in km/h, what should we do to calculate the reaction distance in meters? (you have to convert km/h to m/s)
- ¿En qué unidad se expresa la velocidad en las señaléticas de tránsito? (km/h)
- Si el tiempo de reacción promedio es de 1 segundo, ¿en qué unidad es conveniente medir la distancia de reacción? (en metros)
- Si la velocidad está en km/h, ¿qué debemos hacer para calcular la distancia de reacción en metros? (hay que convertir km/h en m/s)
A continuación, proponga, a modo de ejemplo, convertir 54 km/h en m/s. Guíe a las y los\nestudiantes en la respuesta.\n
","eng":"Then, as an example, propose to convert 54 km/h into m/s. guide the\nstudents in the answer.\n
"},{"tipo":"momento","recurso":"Respuesta","esp":"\n\\[\nv = 54 \\frac{km}{h} = 54 \\cdot \\frac{1 km} {1 h} = 54 \\cdot \\frac{1000 m}{3600 s} \\]\\[v = \\frac{54000 m}{3600 s} = 15 \\frac{m}{s} \\]
","eng":"\\[\nv = 54 \\frac{km}{h} = 54 \\cdot"},{"tipo":"p","esp":"Utilice el ejemplo anterior para que los estudiantes reconozcan el factor de conversión:\n
","eng":"Use the example above to help students recognize the conversion factor:\n
"},{"esp":"\n\\[\nv = 54 \\frac{km}{h} = 54 \\cdot \\frac{1 km}{1 h} = 54 \\cdot \\frac{1000 m}{3600 s} \n\\]\n\\[\nv = 54 \\cdot \\frac{10}{36} \\frac{m}{s} = 54 \\cdot \\frac{5}{18} \\frac{m}{s}\n\\]","eng":"\\[\nv = 54 \\frac{km}{h} = 54 \\cdot \\frac{1 km}{1 h} = 54 \\cdot \\frac{1000 m}{3600 s}\n\\]\n\\[\nv = 54 \\cdot \\frac{10}{36} \\frac{m}{s} = 54 \\cdot \\frac{5}{18} \\frac{m}{s}\n\\]","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"Therefore, the conversion factor is 5 18.
Now ask:","esp":"Por tanto, el factor de conversión es 5 18.
Ahora, pregunte: "},{"recurso":"Pregunta","esp":"De acuerdo a lo anterior, ¿cuál es la expresión para la distancia de reacción (dr) en metros, considerando que la velocidad (v) está dada en km/h y el tiempo (t) de reacción en segundos?
","eng":"Based on the above, what is the expression for the reaction distance (dr< /b>) in meters, considering that the speed (v) is given in km/h and the time (t) reaction in seconds?
","tipo":"momento"},{"esp":"\\[ d_{r}=v \\cdot \\frac{5}{18} \\cdot t \\]
","eng":"\\[ d_{r}=v \\cdot \\frac{5}{18} \\cdot t \\]
","recurso":"Respuesta","tipo":"momento"},{"tipo":"p","esp":"Para completar el ejemplo, pida calcular la distancia de reacción (en metros) de un automóvil que\nva a una velocidad de 54 km/h, considerando que el tiempo de reacción es de 1 segundo.
","eng":"To complete the example, ask to calculate the reaction distance (in meters) of a car\nit goes at a speed of 54 km/h, considering that the reaction time is 1 second.
"},{"eng":"\n\\[ d_{r}=v \\cdot \\frac{5}{18} \\cdot t =54 \\cdot \\frac{5}{18} \\cdot 1 = 15 m \\]
","tipo":"momento","recurso":"Respuesta","esp":"\n\\[ d_{r}=v \\cdot \\frac{5}{18} \\cdot t =54 \\cdot \\frac{5}{18} \\cdot 1 = 15 m \\]
"},{"esp":"En este momento, se sugiere recordar que están buscando una expresión para la distancia de detención que es de la forma:
","tipo":"p","eng":"At this point, it is suggested to remember that you are looking for an expression for the stopping distance which is of the form:
"},{"tipo":"p","esp":"\\[d_{d} = d_{r} + d_{f}\\]\n","eng":"\\[d_{d} = d_{r} d_{f}\\]"},{"eng":"Where the reaction distance dr , has already been determined:
","tipo":"p","esp":"Donde la distancia de reacción dr , ya fue determinada:
"},{"tipo":"p","eng":"\\[ d_{r}=\\frac{5}{18} \\cdot v \\cdot t \\]
","esp":"\\[ d_{r}=\\frac{5}{18} \\cdot v \\cdot t \\]
"},{"tipo":"p","esp":"Donde v corresponde al velocidad (en km/h) y t al tiempo de reacción (en segundos).
","eng":"Where v corresponds to speed (in km/h) and t to reaction time (in seconds).
"},{"esp":"Ahora corresponde encontrar una expresión para la distancia de frenado ( df ).
","eng":"Now it is time to find an expression for the stopping distance ( df ).
","tipo":"p"},{"esp":"Presente la siguiente información contenida en el “Libro del nuevo conductor” que entrega el\nMinisterio de Transporte y Telecomunicaciones, con el fin de preparar el examen teórico para la\nobtención de licencia de conducir.
","tipo":"p","eng":"Submit the following information contained in the \"Book of the new driver\" issued by the\nMinistry of Transport and Telecommunications, in order to prepare the theoretical exam for the\nobtaining driver's license.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/imgs/libro-conductor.png","tipo":"img","caption":{"eng":"New driver's book (p.24)
","esp":"Libro del nuevo conductor (p.24)
"},"escala":"100","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/imgs/libro-conductor.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado"},{"esp":"Pregunte:
","tipo":"p","eng":"Ask:
"},{"esp":"¿Qué tipo de modelo matemático se ajusta a lo descrito para la distancia de frenado?
","recurso":"Pregunta","eng":"What kind of mathematical model fits the description for stopping distance?
","tipo":"momento"},{"eng":"Remind them of some of the models studied previously: linear, affine, quadratic, exponential,\netc
","esp":"Recuérdeles algunos de los modelos estudiados previamente: lineal, afín, cuadrático, exponencial,\netc.
","tipo":"p"},{"eng":"A quadratic model of the type:\n\n\\[\nd_{f} = A \\cdot v^{2}\n\\]","recurso":"Respuesta","esp":"Un modelo cuadrático del tipo: \n\n\\[\nd_{f} = A \\cdot v^{2}\n\\]","tipo":"momento"},{"tipo":"p","esp":"Es posible que algunos estudiantes argumenten que el modelo debe ser cuadrático a partir del\nconocimiento previo que tienen sobre movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA),\nvisto en Física en 2° medio.
","eng":"Some students may argue that the model should be quadratic from the\nprior knowledge they have about uniformly accelerated rectilinear motion (MRUA),\nseen in Physics in 2nd grade.
"},{"esp":"En el caso que planteen un modelo lineal df = A · v, ayúdelos comprobar que no cumple con los descrito, ya que al ser lineal, si la velocidad aumenta al doble, la distancia de frenado también debe aumentar al doble. Si es necesario, sugiera comprobar lo anterior con algunos valores numéricos para las variables.\n","eng":"In the case that they propose a linear model df = A · v, help them verify that it does not comply with those described, since being linear If the speed doubles, the braking distance should also double. If needed, suggest checking the above with some numeric values for the variables.","tipo":"p"},{"eng":"\\[ d_{d}=d_{r} d_{f}= \\frac{5}{18} \\cdot v \\cdot t \\frac{4}{625} \\cdot v^{2} \\]
","tipo":"momento","recurso":"Respuesta","esp":"\\[ d_{d}=d_{r}+d_{f}= \\frac{5}{18} \\cdot v \\cdot t + \\frac{4}{625} \\cdot v^{2} \\]
"},{"esp":"A continuación, asegúrese de que comprueben que el modelo df = A · v2 satisface la relación entre velocidad y distancia de frenado descrita en el Libro del conductor. Por ejemplo:\n","eng":"Next, make sure they check that the model df = A v2 satisfies the relationship between velocity and braking distance described in the Driver's Book. For example:","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"- \n
- df = A v2. If v doubles then your stopping distance will be df* = A (2v)2 = 4 · (A · v2) = 4df.\n \n
- If v = 5, then df = A 52 =25A.\nIf the speed is doubled, the distance is df = A 102 = 100A . For this particular case, it is observed that the braking distance increases 4 times.\n \n
- \n
- df = A · v2. Si v aumenta al doble entonces su distancia de frenado será df* = A · (2v)2 = 4 · (A · v2) = 4df.\n \n
- Si v = 5, entonces df = A · 52 = 25A.\nSi se aumenta al doble la velocidad se tiene que la distancia es df = A · 102 = 100A. Para este caso particular, se observa que la distancia de frenado aumenta 4 veces.\n \n
Next, point out that there are tables that suggest the braking distances that must be\nconsider for different speeds. One of those tables indicates that:
","tipo":"p","esp":"A continuación, señale que existen tablas que proponen las distancias de frenado que hay que\nconsiderar para distintas velocidades. Una de esas tablas indica que:
"},{"esp":"\"Si la velocidad es de 50 km/h, entonces la distancia de frenado es de 16 m\"
","eng":"\"If the speed is 50 km/h, then the braking distance is 16 m\"
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"Ask:
","esp":"Pregunte:
"},{"recurso":"Pregunta","eng":"Determine the value of A in the model df = A v2, using the information above, where the speed v is measured in km/h and the braking distance df is expressed in meters.","tipo":"momento","esp":"Determinen el valor de A en el modelo df = A · v2, usando la información anterior, donde la velocidad v está medida en km/h y la distancia de frenado df está expresada en metros."},{"recurso":"Respuesta","tipo":"momento","esp":"\\[16 = A \\cdot 50^{2}\n\\]\n\n\n, por tanto \n\n\\[A = \\frac{16}{50^{2}} = \\frac{16}{2500} = \\frac{4}{625}\n\\]\n\nLuego,\n\n\\[d_{f} = \\frac{4}{625} \\cdot v^{2}\\]","eng":"\\[16 = A \\cdot 50^{2}\n\\]\n\n\n, therefore\n\n\\[A = \\frac{16}{50^{2}} = \\frac{16}{2500} = \\frac{4}{625}\n\\]\n\nThen,\n\n\\[d_{f} = \\frac{4}{625} \\cdot v^{2}\\]"},{"esp":"*Nota: En caso de preguntas de los estudiantes respecto de las unidades involucradas en el desarrollo anterior, se puede realizar el cálculo considerando las unidades correspondientes.
","tipo":"p","eng":"*Note: In case of questions from the students regarding the units involved in the previous development, the calculation can be carried out considering the corresponding units.
"},{"tipo":"p","esp":"Para concluir esta parte, pida escribir la expresión para la distancia de detención, considerando que dd=dr + df .\n
","eng":"To conclude this part, ask to write the expression for the stopping distance, considering that dd=dr< /i> df .\n
"},{"tipo":"momento","esp":"Escriba la expresión para la distancia de detención, considerando dd = dr + df
","eng":"Write the expression for the stopping distance, considering dd = dr df
","recurso":"Respuesta"},{"esp":"\\( d_{d}=d_{r}+d_{f}= \\frac{5}{18} \\cdot v \\cdot t + \\frac{4}{625} \\cdot v^{2} \\)
","recurso":"Respuesta","tipo":"momento","eng":"\\( d_{d}=d_{r} d_{f}= \\frac{5}{18} \\cdot v \\cdot t \\frac{4}{625} \\cdot v^{2} \\)
"}]},"3":{"contenido":[{"esp":"(Diapositivas 21 a 24, Presentación)","eng":"(Slides 21 to 24, Presentation)","tipo":"h4"},{"esp":"Sistematice las siguientes ideas surgidas de la lección:
","tipo":"p","eng":"Systematize the following ideas that emerged from the lesson:
"},{"eng":"- The stopping distance ( dd ) of a car corresponds to the sum of the reaction distance ( d r ) and stopping distance ( df ) :
- La distancia de detención ( dd ) de un automóvil corresponde al suma de la distancia de reacción ( dr ) y la distancia de frenado ( df ) :
dd = dr + df
","tipo":"p","eng":"dd = dr df< /sub>
"},{"eng":"- We were able to determine that the reaction distance ( dr ) is given by:
- Pudimos determinar que la distancia de reacción ( dr ) está dada por:
\\[ d_{r}= \\frac{5}{18} \\cdot v \\cdot t \\]
","eng":"\\[ d_{r}= \\frac{5}{18} \\cdot v \\cdot t \\]
"},{"tipo":"p","eng":"- where v corresponds to speed (in km/h) and t to reaction time (in seconds).
- donde v corresponde al velocidad (en km/h) y t al tiempo de reacción (en segundos).
- Para la distancia de frenado df se determinó que el modelo cuadrático \ndf = 4 625 · v2 \n se ajusta a la información disponible:
- For the braking distance df it was determined that the quadratic model\ndf = 4 625 v2 \n conforms to available information:
- \n
- If the speed is doubled, the braking distance is quadrupled. \n
- For a speed of 50 km/h, the braking distance is 16 m. \n
- \n
- \n
- Si la velocidad se duplica, la distancia de frenado se cuadruplica. \n
- Para una velocidad de 50 km/h, la distancia de frenado es de 16 m. \n
- \n
- From the above, it was established that the stopping distance (in meters) of a car can be modeled by the function:
- De lo anterior, se estableció que la distancia de detención (en metros) de un automóvil se puede modelar mediante la función:
\\[ d_{d}= \\frac{5}{18} \\cdot v \\cdot t \\frac{4}{625} \\cdot v^{2} \\]
","esp":"\\[ d_{d}= \\frac{5}{18} \\cdot v \\cdot t + \\frac{4}{625} \\cdot v^{2} \\]
"},{"eng":"where v is the speed of the car (in km/h) and t is the reaction time (in seconds).
","esp":"donde v es la velocidad de automóvil (en km/h) y t es el tiempo de reacción (en segundos).
","tipo":"p"}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Presente a sus estudiantes la Guía Práctica y dé tiempo para que analicen la situación 1.
","eng":"Introduce your students to the How To Guide and allow time for them to analyze situation 1.
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"Address situation 1, asking the students to use the constructed model to calculate the stopping distance for the maximum speed of 50 km/h, in urban areas. Next, ask them to estimate what the stopping distance would be on a road with a one-way lane, where the speed limit is 100 km/h. Lead a discussion where you compare your estimates and remember that stopping distance quadruples when speed doubles, but reaction distance must also be considered. Then have them use the GeoGebra resource to check their answers and determine the stopping distances for the other cases described in situation 1. To close with a reflection on the distances required to stop, ask questions such as:
","esp":"Aborde la situación 1, pidiendo a las y los estudiantes que utilicen el modelo construido para calcular la distancia de detención para la velocidad máxima de 50 km/h, de zonas urbanas. A continuación, pídales que estimen cuál sería la distancia de detención en un camino con una pista de circulación por sentido, donde el límite de velocidad es de 100 km/h. Promueva una discusión en la que comparen sus estimaciones y recuerden que la distancia de frenado se cuadruplica cuando la velocidad se duplica, pero que además se debe considerar la distancia de reacción. A continuación, pídales que utilicen el recurso de GeoGebra para comprobar sus respuestas y determinar las distancias de detención para los otros casos descritos en la situación 1. Para cerrar con una reflexión sobre las distancias requeridas para frenar, realice preguntas tales como:
"},{"esp":"De acuerdo a las distancias calculadas, ¿qué opinan de las velocidades máximas que propone la ley del tránsito?
","eng":"Based on the distances calculated, what do you think of the maximum speeds proposed by the traffic law?
","recurso":"Pregunta","tipo":"momento"},{"eng":"Based on what has been analyzed, promote a reflection on the road responsibility that they should have\nboth drivers and pedestrians regarding the stopping distances that we must\nconsider in different cases. For example, the risks involved when crossing a wide street or\nroad through unauthorized steps or driving exceeding the maximum suggested speeds,\nregarding the distances required by automobiles to stop in those situations.\nThe effect of distracted driving can also be discussed, for example looking at the\ncell, which increases reaction times.","tipo":"p","esp":"En base a lo analizado, promueva una reflexión sobre la responsabilidad vial que deben tener\ntanto conductores como peatones respecto de las distancias de detención que debemos\nconsiderar en distintos casos. Por ejemplo, los riesgos que implica al cruzar una calle ancha o\ncarretera por pasos no habilitados o conducir superando las velocidades máximas sugeridas,\nrespecto de las distancias requeridas por los automóviles para detenerse en esas situaciones.\nTambién se puede discutir el efecto de conducir de manera distraída, por ejemplo mirando el\ncelular, lo que aumenta los tiempos de reacción."},{"eng":"Do a similar job with the rest of the situations raised in the Practical Guide.
","tipo":"p","esp":"Realice un trabajo similar con el resto de las situaciones planteadas en la Guía Práctica.
"},{"tipo":"p","esp":"Estas tareas pueden ser utilizadas para evaluar formativamente los siguientes indicadores:
","eng":"These tasks can be used to formatively assess the following indicators:
"},{"recurso":"ModalGP","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/pdfs/Guia_Practica_LDI_Unidad1_OA1_modificado.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/pdfs/Guia_Practica_LDI_Unidad1_OA1_modificado.pdf","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"button"},{"tipo":"p","eng":"- Identify situations of change, considering linearity or quadratic conditions.
- Model linear or quadratic situations, restricting parameters.
- Identifican situaciones de cambio, considerando condiciones de linealidad o cuadrática.
- Modelan situaciones lineales o cuadráticas, restringiendo parámetros.
In this situation it is essential that the students recognize the expressions associated with the\nlinear and quadratic models, and who can evaluate them to determine the values of their\nparameters.
","esp":"En esta situación es clave que las y los estudiantes reconozcan las expresiones asociadas a los\nmodelos lineales y cuadráticos, y que puedan evaluarlas para determinar los valores de sus\nparámetros.
","tipo":"p"},{"eng":"It is also important that they know how to transform units of measurement, in this case, of length and of\ntime at the same time, which allows them to better interpret problems and find\ncorrect expressions to be able to carry out the calculations that the situation implies.
","tipo":"p","esp":"También es importante que sepan transformar unidades de medida, en este caso, de longitud y de\ntiempo a la misma vez, lo que les permite interpretar de mejor manera los problemas y encontrar\nexpresiones correctas para poder realizar los cálculos que la situación implica.
"}]},"3":{"contenido":[{"eng":"Stopping distance is a widely known concept among people who drive,\nsince it is part of traffic manuals, that is, it is a concept that those who give the\ntest to get a driver's license. In these manuals there are definitions and formulas\nto calculate it, as well as tables that include other variables, in addition to the ones we use\nin this situation to determine the stopping distance (speed and reaction time),\nsuch as the condition of the pavement, condition of the vehicle and the driver.
","esp":"La distancia de detención es un concepto ampliamente conocido entre las personas que manejan,\nya que es parte de manuales de tránsito, es decir, es un concepto que deben saber quienes dan la\nprueba para obtener la licencia de conducción. En estos manuales existen definiciones y fórmulas\npara calcularla, así como también tablas que incluyen otras variables, además de las que usamos\nen esta situación para determinar la distancia de detención (velocidad y tiempo de reacción),\ntales como la condición del pavimento, estado del vehículo y del conductor.
","tipo":"p"},{"esp":"La distancia de detención también la pueden entender los estudiantes (que no manejan\nvehículos) de sus experiencias manejando una bicicleta, andando en patines o incluso corriendo.\n
","eng":"Stopping distance can also be understood by students (who do not drive\nvehicles) from their experiences riding a bicycle, rollerblading, or even running.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"img","escala":"50","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/imgs/asp_cont_1.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/distancia_frenado/imgs/asp_cont_1.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""}},{"esp":"Cuando un conductor recibe una señal que le indica que debe detenerse (por ejemplo, una luz roja o que una persona se cruza en el camino), tarda un tiempo en reaccionar y empezar a frenar. Durante este tiempo de reacción el vehículo sigue avanzando con velocidad constante. La cinemática nos dice entonces que la distancia de reacción dr , que es la distancia que recorre el vehículo antes de empezar a frenar, es:
","tipo":"p","eng":"When a driver receives a signal that tells them to stop (for example, a red light or a person crossing the road), it takes time for them to react and start braking. During this reaction time the vehicle continues to move at a constant speed. The kinematics then tells us that the reaction distance dr , which is the distance the vehicle travels before it begins to brake, is:
"},{"tipo":"p","eng":"\n\\[ d_{r}=v \\cdot t_{r} \\]\n
","esp":"\n\\[ d_{r}=v \\cdot t_{r} \\]\n
"},{"esp":"donde v es la velocidad que tenía el vehículo y tr el tiempo de reacción.","tipo":"p","eng":"where v is the speed that the vehicle had and tr the time of reaction."},{"eng":"This result shows us the importance of paying attention to driving, as a distraction,\nlike looking at the cell phone, the reaction time increases and with it the distance traveled in said\ntime. In the same way, it points out the importance of maintaining the recommended distances to the\ndrive, because when the vehicle in front brakes, one perceives the signal when that\nThe car has already started to brake and only then does the reaction time begin to count.
","tipo":"p","esp":"Este resultado nos muestra la importancia de estar atentos a la conducción, pues una distracción,\ncomo mirar el celular, aumenta el tiempo de reacción y con ello la distancia recorrida en dicho\ntiempo. Del mismo modo, señala la importancia de mantener las distancias recomendadas al\nconducir, porque cuando el vehículo de adelante frena, uno percibe la señal cuando ese\nautomóvil ya empezó a frenar y recién entonces comienza a contar el tiempo de reacción.
"},{"eng":"After this reaction time, the person driving begins to brake. The movement of\nvehicle can be described as moving with constant deceleration a, because the\nfriction force (which we can assume constant for this case) opposes the movement. The\nequations that describe the decelerated motion are:
","esp":"Después de este tiempo de reacción, la persona que conduce empieza a frenar. El movimiento del\nvehículo se puede describir como un movimiento con desaceleración constante a, debido a que la\nfuerza de roce (que podemos suponer constante para este caso) se opone al movimiento. Las\necuaciones que describen el movimiento desacelerado son:
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"\\[V(t) = v - a \\cdot t \\] \n","eng":"\\[V(t) = v - a \\cdot t \\]"},{"eng":"\\[ d(t) = v \\cdot t - a \\cdot \\frac{t^{2}}{2} \\]","esp":"\\[ d(t) = v \\cdot t - a \\cdot \\frac{t^{2}}{2} \\]","tipo":"p"},{"esp":"donde la primera ecuación indica cómo disminuye la velocidad y la segunda cuál es la distancia recorrida, todo hasta un tiempo t. Nos interesa saber cuánta distancia recorre el vehículo hasta detenerse. Para eso buscamos el tiempo de frenado, que se obtiene de la primera ecuación al imponer que la velocidad final sea nula. Es decir,
","tipo":"p","eng":"where the first equation indicates how the speed decreases and the second one indicates the distance traveled, all up to a time t. We are interested in knowing how far the vehicle travels before coming to a stop. For that we look for the braking time, which is obtained from the first equation by imposing that the final speed is zero. That is,
"},{"tipo":"p","esp":"\\[ 0=v-a\\cdot t_{frenado} \\]
","eng":"\\[ 0=v-a\\cdot t_{braking} \\]
"},{"eng":"what it gives us
","esp":"lo que nos da
","tipo":"p"},{"eng":"\\[ t_{braking}=\\frac{v}{a} \\]
","tipo":"p","esp":"\\[ t_{frenado}=\\frac{v}{a} \\]
"},{"tipo":"p","esp":"Con el tiempo de frenado ya calculado, podemos obtener la distancia de frenado reemplazándolo en la segunda ecuación:
","eng":"With the braking time already calculated, we can obtain the braking distance by substituting it into the second equation:
"},{"eng":"\\[ d_{braking} = v \\cdot t_{braking}-a \\cdot \\frac{{t_{braking}}^{2}}{2} \\]
","tipo":"p","esp":"\\[ d_{frenado} = v \\cdot t_{frenado}-a \\cdot \\frac{{t_{frenado}}^{2}}{2} \\]
"},{"esp":"\\[ =v \\cdot \\frac{v}{a}-a \\cdot \\frac{{(\\frac{v}{a})^{2}}}{2} \\]
","eng":"\\[ =v \\cdot \\frac{v}{a}-a \\cdot \\frac{{(\\frac{v}{a})^{2}}}{2} \\]
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"\\[ d_{frenado} = \\frac{v^{2}}{2a} \\]
","eng":"\\[ d_{braking} = \\frac{v^{2}}{2a} \\]
"},{"esp":"Es decir, la distancia de frenado depende de forma cuadrática respecto de la velocidad que traía el vehículo.
","tipo":"p","eng":"That is, the braking distance depends quadratically on the speed of the vehicle.
"},{"esp":"\nHacemos notar que la desaceleración a, de acuerdo a las leyes de Newton, está dada por \n\na = F m\n. Por un lado, la fuerza de roce, que es la que frena, depende de la calidad del pavimento y de las ruedas; un pavimento resbaloso o ruedas en mal estado provocan una fuerza menor y, por lo tanto, una menor a. Una mayor masa del vehículo, porque por ejemplo va muy cargado, también genera una menor a. Y, una menor desaceleración provoca mayores distancias de frenado como muestra la última ecuación.\n","eng":"We note that the deceleration a, according to Newton's laws, is given by\n\na = Fm< /span>\n. On the one hand, the force of friction, which is what brakes, depends on the quality of the pavement and the wheels; a slippery pavement or wheels in poor condition cause less force and, therefore, less a. A greater mass of the vehicle, because for example it is heavily loaded, also generates a lower a. And, less deceleration causes longer stopping distances as the last equation shows.","tipo":"p"}],"visible":true}},"visible":true}},"10":{"recursosProyecto":[],"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Estrategias al trabajar con grandes volúmenes de datos","tipo":"h3","eng":"Strategies when working with large volumes of data"},{"eng":"Sometimes, when there is a lot of data, the variability can be so high that it prevents observing regularities and, therefore, interpreting the information properly. This occurs with the rainfall data between 1970 and 2019 from the Quinta Normal Station, as can be seen in the following graph:
","tipo":"p","esp":"A veces, cuando hay muchos datos, la variabilidad puede ser tan alta que impide observar regularidades y, por lo tanto, interpretar la información de manera adecuada. Esto ocurre con los datos de precipitaciones entre 1970 y 2019 de la Estación Quinta Normal, tal como se puede apreciar en el siguiente gráfico:
"},{"alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"75","caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/p_-02.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/p_-02.png","tipo":"img"},{"esp":"Esto hace que, a partir de la lectura directa del gráfico, no sea posible concluir si es que ha habido una megasequía en la última década.
","eng":"
\n\nPara abordar el problema de corroborar si efectivamente hubo una sequía en la década correspondiente al periodo 2010-2019, hay varias estrategias que se podrían seguir: \nThis means that, from a direct reading of the graph, it is not possible to conclude whether there has been a mega-drought in the last decade.
","tipo":"p"},{"tipo":"h4","esp":"Estrategia 1: Determinar las precipitaciones acumuladas por década","eng":"Strategy 1: Determine accumulated rainfall per decade"},{"tipo":"p","eng":"
\n\nTo address the problem of corroborating whether there was indeed a drought in the decade corresponding to the 2010-2019 period, there are several strategies that could be followed:\nSince the accumulation of water makes sense from a physical point of view, it is natural to determine the total amount of water fallen in each decade, which corresponds to adding the precipitations of all the years of that period. This reduces variability and makes it possible to see more clearly and compare what rainfall has been like for decades, as shown in the graph:
","esp":"Ya que la acumulación de agua tiene sentido desde un punto de vista físico, resulta natural determinar la cantidad total de agua caída en cada década, que corresponde a sumar las precipitaciones de todos los años de ese periodo. Esto reduce la variabilidad y permite ver más claramente y comparar cómo han sido las precipitaciones por décadas. Al comparar los datos de las precipitaciones de la última década con las décadas anteriores, se observa una disminución considerable, que es un antecedente que da cuenta de una posible megasequía. Como se ve en el siguiente gráfico.
"},{"tipo":"img","escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/tabla_Sit_PYE_U1_La%20megasequ%C3%ADa.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/grafico-GP-precipitaciones.png","alinea":"texto-centrado"},{"esp":"Estrategia 2: Determinar el promedio de precipitación por década","eng":"Strategy 2: Determine the average precipitation per decade","tipo":"h4"},{"eng":"A variant of the previous strategy corresponds to calculating the average of the precipitations of the 10 years corresponding to each decade. This is equivalent to simply dividing the total rainfall per decade by 10. With this, it is concluded that the last decade has the lowest average rainfall, equal to 199.29 mm, which is significantly lower than that of previous decades.\n\nThe historical average of annual rainfall at the Quinta Normal Station is known, which is 286.3 mm per year (source: Meteorological Directorate of Chile), a third strategy can be considered:
","esp":"Una variante de la estrategia anterior corresponde a calcular el promedio de las precipitaciones de los 10 años correspondientes a cada década. Esto equivale, simplemente a dividir por 10 las precipitaciones totales por década. Con esto, se concluye que la última década tiene el promedio más bajo de precipitaciones, igual a 199,29 mm, el que es significativamente más bajo que el de las décadas anteriores.\n\nConocido el promedio histórico de precipitaciones por año en la Estación Quinta Normal, el cual es de 286,3 mm por año (fuente: Dirección Meteorológica de Chile), una tercera estrategia puede plantearse:
","tipo":"p"},{"eng":"Strategy 3: Determine number of years with lower rainfall than the historical average","esp":"Estrategia 3: Determinar número de años con precipitaciones más bajas que el promedio histórico","tipo":"h4"},{"tipo":"p","eng":"An alternative strategy is to determine the number of years in which rainfall was lower than the historical average. As shown in the graph, in the last decade all years have lower rainfall than the historical average. This contrasts with previous decades, where there is an alternation of wet years, above average, with drier years. This is again an argument in favor of the occurrence of a mega-drought in the last decade, due to the rainfall deficit in recent years compared to a normal year.
","esp":"Una estrategia alternativa es determinar la cantidad de años en que las precipitaciones fueron más bajas que el promedio histórico. Tal como se muestra en el gráfico, en la última década todos los años tienen precipitaciones menores al promedio histórico. Esto contrasta con las décadas anteriores, donde hay una alternancia de años húmedos, por arriba del promedio, con años más secos. Esto nuevamente es un argumento a favor de la ocurrencia de una megasequía en la última década, debido al déficit de precipitaciones en los últimos años comparados con un año normal.
"},{"tipo":"img","escala":"75","titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/p_-05.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/p_-05.png","caption":{"esp":"","eng":""}},{"esp":"En el contexto del estudio de los fenómenos climáticos, se habla de una sequía cuando en un periodo de tiempo hay un déficit en la acumulación de precipitaciones de al menos un 25% respecto del promedio histórico. Considerando esta información las estrategias anteriores se pueden adaptar para dar un argumento cuantitativo para la presencia de una megasequía:
","tipo":"p","eng":"In the context of the study of climatic phenomena, we speak of a drought when in a period of time there is a deficit in the accumulation of precipitation of at least 25% compared to the historical average. Considering this information, the above strategies can be adapted to give a quantitative argument for the presence of a mega-drought:
"},{"esp":"- Estrategia 1: Como el promedio histórico es 286,3 mm por año, las precipitaciones normales de una década debieran ser 2863 mm. Por lo tanto, para que haya sequía en una década, la acumulación de agua caída debe ser menor a 2863·0,75 = 2147,25 mm. Este valor es mayor que 1992,9 mm, que corresponde a las precipitaciones de la década 2010-2019.
- Estrategia 2: El argumento es similar al anterior, pues el promedio de precipitaciones anual de la década 2010-2019 es igual a 199,9 mm,\nque es menor que 286,3·0,75 = 214,7 mm.\n
- Estrategia 3: En este caso, se puede observar el número de años por década en que llovió menos de 214,7 mm. Tal como se observa en la tabla y en el gráfico a continuación:
- Strategy 1: Since the historical average is 286.3 mm per year, the normal rainfall for a decade should be 2863 mm. Therefore, for there to be a drought in a decade, the accumulation of fallen water must be less than 2863·0.75 = 2147.25 mm. This value is greater than 1992.9 mm, which corresponds to the rainfall for the decade 2010-2019.
- Strategy 2: The argument is similar to the previous one, since the average annual rainfall for the decade 2010-2019 is equal to 199.9 mm,\nwhich is less than 286.3 0.75 = 214.7 mm.\n
- Strategy 3: In this case, the number of years per decade in which it rained less than 214.7 mm can be observed. As seen in the table and graph below:\n
Any of the three arguments given constitute evidence that shows that there has indeed been a mega-drought between 2010 and 2019. In addition, this trend has continued since then, since in the years 2020, 2021 and 2022, rainfall was 187mm, 113.2mm, 161mm respectively.
","esp":"Cualquiera de los tres argumentos dados constituyen evidencias que dan cuenta de que efectivamente ha habido una megasequía entre 2010 y 2019. Además, esta tendencia se ha mantenido desde entonces, pues en los años 2020, 2021 y 2022, las precipitaciones fueron de 187 mm, 113,2 mm, 161 mm respectivamente.
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Dicho lo anterior, es importante notar que si bien la cantidad de años con precipitaciones menores a 214,7 mm es mayor en la última década que en las anteriores, la diferencia es de apenas un año con la década de 1990-1999. Esto hace que de los tres argumentos dados, el tercero resulte ser el más cuestionable.
","eng":"Having said the above, it is important to note that although the number of years with rainfall of less than 214.7 mm is greater in the last decade than in the previous ones, the difference is barely one year compared to the 1990-1999 decade . This means that of the three arguments given, the third one turns out to be the most questionable.
"}]},"2":{"contenido":[{"esp":"Diversas estrategias","tipo":"h3","eng":"The activity is designed to familiarize students with the analysis\ncritical of information, and thus can argue based on statistical evidence.
"},{"esp":"La actividad está diseñada para que los y las estudiantes se familiaricen con el análisis\ncrítico de la información, y así puedan argumentar basándose en evidencia estadística.
","tipo":"p","eng":"The question to be answered is: Imagine that you have to provide evidence that\nthere has been a megadrought from these data. What strategies could you use? To the\naddressing this question, some difficulties may arise at the beginning, given\nthat, since the data is not presented explicitly, but rather through a graph,\nthere is no single possible answer. Given this, it is important to give confidence to the\nstudents to explore and propose relevant strategies, monitoring that\nthere is a good group discussion and teacher interventions that channel the\nsearch for more than one strategy.
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"El problema a abordar es el siguiente: Imaginen que deben entregar evidencia de que ha habido megasequía a partir de estos datos. ¿Qué estrategias podrías utilizar? Al enfrentarse a esta pregunta, es posible que surjan inicialmente algunas dificultades , ya que los datos no se presentan de forma explícita, sino a través de un gráfico, lo que impide encontrar una única respuesta definitiva. Por lo tanto, es esencial brindar confianza a los estudiantes para que exploren y propongan estrategias pertinentes, asegurando al mismo tiempo una discusión grupal efectiva y la intervención del docente para guiar la búsqueda de múltiples estrategias."}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Fifth Normal Station","esp":"Estación Quinta Normal","tipo":"h3"},{"esp":"En el sitio web de la Dirección Meteorológica de Chile, es posible consultar los registros\nhistóricos de las estaciones meteorológicas oficiales del país. Una de ellas es la Estación\nQuinta Normal, ubicada en Santiago, que cuenta con registros históricos ininterrumpidos,\nanuales y mensuales desde 1857, y diarios desde 1914, de variables meteorológicas\ntales como presión atmosférica, temperatura, dirección viento, precipitación, entre otras.
","tipo":"p","eng":"On the website of the Chilean Meteorological Directorate, it is possible to consult the records\ndata from the country's official weather stations. One of them is the Station\nQuinta Normal, located in Santiago, which has uninterrupted historical records,\nannual and monthly since 1857, and daily since 1914, of meteorological variables\nsuch as atmospheric pressure, temperature, wind direction, precipitation, among others.
"},{"tipo":"p","esp":"Si bien hay información meteorológica desde 1857 hasta la actualidad, se decidió utilizar\nlos datos solo de las precipitaciones entre los años 1970 y 2019, para así facilitar la\norganización de los datos en 5 décadas, lo que facilita analizar la existencia de una\nsequía en cada década.
","eng":"Although there is meteorological information from 1857 to the present, it was decided to use\nthe data only of the precipitations between the years 1970 and 2019, in order to facilitate the\norganization of the data in 5 decades, which makes it easier to analyze the existence of a\ndrought in every decade.
"},{"tipo":"p","esp":"Si desea buscar información sobre las precipitaciones recientes e históricas de la Estación Quinta normal u otras puede encontrarla en el siguiente sitio: Dirección meteorológica de Chile
","eng":"If you wish to search for information on the recent and historical precipitations of the normal Fifth Station or others, you can find it at the following site:
"},{"tipo":"h3","esp":"¿Cómo se mide la lluvia?","eng":"How is rain measured?"},{"esp":"
https://climatologia.meteochile.gob.cl/application/diario/visorEmaPrecipitacion/330020La cantidad de precipitación se mide en milímetros (mm) o también en litros por metro cuadrado (lm2), siendo la primera la medida más usual. Cuando la precipitación en un día es de 3 mm, queremos decir que, si se acumula el agua de la lluvia caída en un espacio plano de 1 m2, impermeable y con paredes verticales, la altura de la capa de agua sería de 3 mm.
","eng":"The amount of precipitation is measured in millimeters (mm) or also in liters per square meter (lm2), the first being the most usual measure. When the precipitation in one day is 3 mm, we mean that, if the rainwater falls in a flat space of 1 m2, impermeable and with vertical walls, accumulates, the height of the layer of water would be 3 mm.
","tipo":"p"},{"tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/pluviometro-01.png","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/pluviometro-01.png","escala":"25","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"tipo":"p","eng":"Precipitation is measured with a device called a rain gauge, which is a cylinder that collects the fallen water. Although there are some very simple ones, those that are used in airports and official weather stations have a shape and size that allow more precise measurements to be made.
","esp":"Las precipitaciones se miden con un aparato llamado pluviómetro, que es un cilindro que recolecta el agua caída. Si bien hay algunos muy simples, aquellos que se usan en aeropuertos y estaciones meteorológicas oficiales tienen una forma y tamaño que permiten hacer mediciones más precisas.
"},{"escala":"25","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/pluviometro-02.png","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/pluviometro-02.png","alinea":"texto-centrado"},{"tipo":"h3","esp":"Sequía y megasequía","eng":"Drought and megadrought"},{"eng":"Droughts occur when there is a deficit in the accumulation of rainfall with\nregarding historical behavior. We know the drought regime from the\nobservation over time of the behavior of rainfall, the flow of rivers and other\nhydroclimatic indicators. The University's Center for Climate Science and Resilience\nof Chile, known as (CR)2, speaks of meteorological drought when there is a deficit in the\nprecipitation accumulation of at least 25% compared to the historical average.
","tipo":"p","esp":"Las sequías ocurren cuando hay un déficit en la acumulación de precipitaciones con\nrespecto del comportamiento histórico. Conocemos el régimen de sequías por la\nobservación en el tiempo del comportamiento de las lluvias, del caudal de los ríos y de otros\nindicadores hidroclimáticos. El Centro de Ciencia del Clima y la Resiliencia de la Universidad\nde Chile, conocido como (CR)2, habla de sequía meteorológica cuando hay un déficit en la\nacumulación de precipitaciones de al menos un 25% respecto del promedio histórico.
"},{"eng":"Although it is normal that in every decade there are droughts of one or two years of duration, in\nIn general, these alternate with very rainy years. However, since 2010 the\nAnnual rainfall has been lower than normal in most of the central zone of\nChile, persisting a dry condition that has been going on for more than ten years. To this phenomenon\nhas called it Megasdrought and there is considerable evidence that an important factor that\nThis lack of alternation between drier and wetter years is explained by the effects of\nclimate change.
","esp":"Si bien es normal que en cada década haya sequías de uno o dos años de duración, en\ngeneral estas se alternan con años muy lluviosos. Sin embargo, desde el 2010 las\nprecipitaciones anuales han sido más bajas de lo normal en casi toda la zona central de\nChile, persistiendo una condición seca que ya lleva más de diez años. A este fenómeno se\nle ha denominado Megasequía y hay bastante evidencia de que un factor importante que\nexplica esta falta de alternancia entre años más secos y húmedos son los efectos del\ncambio climático.
","tipo":"p"},{"eng":"The Aculeo lagoon, located in the commune of Paine in the Metropolitan Region, has been\ntransformed into a symbol of the mega-drought in Chile, as can be seen in the\nfollowing satellite images obtained after a decade:
","tipo":"p","esp":"La laguna de Aculeo, ubicada en la comuna de Paine en la Región Metropolitana, se ha\ntransformado en un símbolo de la megasequía en Chile, como se puede apreciar en las\nsiguientes imágenes satelitales obtenidas transcurrida una década:
"},{"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/p_-06.png","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/p_-06.png","escala":"50","tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"tipo":"p","esp":"Si desea buscar más información sobre la megasequía, puede encontrarla en el siguiente sitio: https://www.cr2.cl/capsula-climatica-sequia-o-megasequia/
","eng":"If you want to find more information about the megadrought, you can find it at the following site: https://www.cr2.cl/capsula-climatica-sequia-o-megasequia/
"}]}},"visible":true},"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"latching moment","tipo":"h3","esp":"Momento de enganche"},{"esp":"(Diapositiva 2, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slide 2, Presentation)"},{"eng":"Begin by presenting the video \"The megadrought in Chile\" to your students and allow space for discussion regarding the following question.
","esp":"Comience presentando el video \"La megasequía en Chile\" a sus estudiantes y dé espacio para discutir respecto a la siguiente pregunta.
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/videos/La%20megasequ%C3%ADa%20en%20Chile.mp4","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/videos/La%20megasequ%C3%ADa%20en%20Chile.mp4","titulo":{"eng":"","esp":""},"recurso":"ModalVideo"},{"recurso":"Pregunta","eng":"What are the causes and consequences of the mega-drought mentioned in the video?
","esp":"¿Cuáles son las causas y consecuencias de la megasequía que se mencionan en el video?
","tipo":"momento"},{"eng":"One of the possible causes of the Megadrought is the climate change caused and the\nconsequences that are mentioned in the video are: increased evaporation of water in\nlakes and crops, increase in forest fires, decrease in river flows and\nreduction of water for human consumption and irrigation.
","recurso":"Respuesta","esp":"Una de las posibles causas de la Megasequía es el cambio climático causado y las\nconsecuencias que se mencionan en el video son: aumento de la evaporación del agua en\nlagos y cultivos, aumento de incendios forestales, disminución de caudales de ríos y\ndisminución de agua para consumo humano y riego.
","tipo":"momento"},{"tipo":"h3","esp":"Presentación del problema","eng":"Presentation of the problem"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 3, Presentación)","eng":"(Slide 3, Presentation)"},{"tipo":"p","eng":"Propose to your students to discuss about the statistical study of the mega-drought,\nby asking questions like the following:
","esp":"Proponga a sus estudiantes discutir acerca del estudio estadístico de la megasequía,\nplanteando preguntas como las siguientes:
"},{"eng":"- What variables could we study?
- What data would be important to analyze?
- ¿Qué variables podríamos estudiar?
- ¿Qué datos sería importante analizar?
Deje espacio para que las y los estudiantes reflexionen respecto a las preguntas planteadas y justifiquen sus respuestas.
","tipo":"p","eng":"Allow space for students to reflect on the questions posed and justify their answers.
"},{"esp":"Luego, mencione que, para analizar el fenómeno de la megasequía, estudiaremos una base de datos con las precipitaciones anuales desde el año 1970 al 2019, medidas en la estación Quinta Normal, ubicada en Santiago. Proyecte la Base de datos “Precipitaciones”.
","eng":"Then, mention that, to analyze the phenomenon of the mega-drought, we will study an Excel database with annual rainfall from 1970 to 2019, measured at the Quinta Normal station, located in Santiago. Project the “Rainfall” Database.
","tipo":"p"},{"titulo":{"eng":"Download Database","esp":"Descargar Base de datos"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/Base%20de%20datos%20Precipitaciones%20Apoyo.xlsx","recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/Base%20de%20datos%20Precipitaciones%20Apoyo.xlsx"},{"eng":"You can then ask how the database data can be represented in order to\nView the information that is presented there. It is expected that the students\nconclude that the data can be represented, for example, by a graph of\nbars
","tipo":"p","esp":"Luego se sugiere preguntar cómo se pueden representar los datos de la base para poder visualizar la información que allí se presenta. Se espera que las y los estudiantes discutan acerca de cómo representar datos de una planilla de cálculo (Tarea matemática A), concluyendo que los datos se pueden representar, por ejemplo, mediante un gráfico de barras."}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"First part","esp":"Primera parte"},{"eng":"(Slides 4 to 10, Presentation)","esp":"(Diapositivas 4 a 10, Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"Present the Graphic “Rainfall” with the annual rainfall for the period 1970-2019 in Santiago.
","esp":"Presente el Gráfico “Precipitaciones” con las precipitaciones anuales del periodo 1970-2019 en Santiago.
","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/grafico_precipitaciones.png","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/grafico_precipitaciones.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","tipo":"img"},{"titulo":{"esp":"Descargar Gráfico","eng":"Download Chart"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/grafico_precipitaciones.png","recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/grafico_precipitaciones.png"},{"tipo":"p","esp":"Antes de realizar preguntas en relación al gráfico de barras, verifique que las y los estudiantes comprenden los años correspondientes a una década. Puede ejemplificar con la década de los setenta corresponde al periodo 1970-1979.
","eng":"Before asking questions about the bar graph, check that students understand the years that correspond to a decade. You can exemplify with the seventies corresponds to the period 1970-1979.
"},{"eng":"To strengthen the understanding of the bar graph, we suggest asking the\nStudents gather in groups to answer the questions in Activity 1 of the\nActivity Sheet:","tipo":"p","esp":"Para afianzar la comprensión del gráfico de barras, le sugerimos solicitar a las y los\nestudiantes reunirse en grupos para que respondan las preguntas de la Actividad 1 de la\nHoja de Actividades, esto le permitirá que sus estudiantes puedan analizar un gráfico de barras (Tarea matemática B). \n"},{"esp":"- ¿En qué década/s hubo al menos un año con precipitaciones sobre los 500 mm?
- ¿En todas las décadas hubo un año en que llovió menos de 100 mm?
- ¿En qué año existió la mayor disminución de las precipitaciones respecto al año anterior?
- In which decade/s was there at least one year with rainfall above 500 mm?
- In all decades was there a year in which it rained less than 100 mm?
- In which year was there the greatest decrease in rainfall compared to the previous year?
- En la década de los setenta, los ochenta, los noventa y la década de los 2000.
- No, pues en la década de los setenta, los ochenta y en la década del 2000 no hubo precipitaciones menores a 100 mm.
- En el año 1998 (las lluvias disminuyeron 620 mm respecto al año 1997).
- In the 1970s, 1980s, 1990s, and 2000s.
- No, well, in the 1970s, 1980s, and 2000s there was no rainfall of less than 100 mm.
- In 1998 (rainfall decreased by 620 mm compared to 1997).
Una vez que validó la comprensión del gráfico de barras, por parte de las y los estudiantes, se sugiere plantear las siguientes preguntas en plenario:
","eng":"Once you have validated the students' understanding of the bar graph, it is suggested that they ask the following questions in plenary:
"},{"esp":"- ¿Qué se puede decir de la variabilidad de las precipitaciones a través de los años?
- A partir de la lectura directa del gráfico, ¿se puede concluir que ha habido una megasequía en la última década?
- What can be said about the variability of rainfall across years?
- From a direct reading of the graph, can one conclude that there has been a mega-drought in the last decade?
The purpose of these questions is for students to notice that there is a lot of\nvariability in rainfall, so it cannot be determined, exclusively by\nobserve the graph, that in the last decade there has been a mega-drought.
","tipo":"p","esp":"El propósito de estas preguntas es que las y los estudiantes noten que hay mucha\nvariabilidad en las precipitaciones por lo que no se puede determinar, exclusivamente al\nobservar el gráfico, que en la última década ha habido megasequía.
"},{"eng":"The purpose of these questions is for students to notice that there is a lot of\nvariability in rainfall, so it cannot be determined, exclusively by\nobserve the graph, that in the last decade there has been a mega-drought.
","tipo":"p","esp":"Luego, le sugerimos solicitar a las y los estudiantes reunirse en grupos para que respondan la pregunta de la primera pregunta de la Actividad 2 de la Hoja de actividades, esta pregunta busca que las y los estudiantes propongan estrategias estadísticas que permitan analizar datos con gran variabilidad (Tarea matemática C)."},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"- Imaginen que deben entregar evidencia de que ha habido megasequía a partir de estos datos. ¿Qué estrategias podrías utilizar? Propongan al menos dos.\n
- Imagine that you have to provide evidence that there has been a megadrought from this data. What strategies could you use? Propose at least two.\n
It is suggested that students have enough time to discuss and propose different strategies in groups.\n
","tipo":"p","esp":"Se sugiere que las y los estudiantes cuenten con el tiempo suficiente para discutir y proponer en grupos diversas estrategias.\n
"},{"tipo":"p","eng":"Students are expected to come up with some of the following strategies:\n
","esp":"Se espera que las y los estudiantes planteen algunas de las siguientes estrategias:\n
"},{"eng":"- Accumulation of water: with this strategy, if necessary, you can first\nask about how many years should accumulate. In addition, it is suggested\nEncourage your students to make the graph to visualize this strategy.\nFinally, you can ask for the conclusions of the graph and the trend of\nthis.
- Calculate a representative measure for each decade: First,\nYou can ask about some representative measure for each decade.\nFinally, if necessary, for your students to conclude, ask them to compare\nthe average obtained from each decade.
- Determine the average of the data: before this strategy, if necessary, to\nAfter your students conclude, ask about what the rainfall is like\nof the years of the last decade with respect to the historical average. monitor the\nwork done by each group.
- Acumulación del agua: ante esta estrategia, si es necesario, primero puede\npreguntar respecto de cuántos años conviene acumular. Además, se sugiere\nincentivar a sus estudiantes a realizar el gráfico para visualizar esta estrategia.\nFinalmente, puede preguntar por las conclusiones del gráfico y la tendencia de\neste.
- Calcular una medida representativa por cada década: En primera instancia,\npuede preguntar respecto de alguna medida representativa de cada década.\nFinalmente, si es necesario, para que sus estudiantes concluyan, pídales comparar\nel promedio obtenido de cada década.
- Determinar el promedio de los datos: ante esta estrategia, si es necesario, para\nque sus estudiantes concluyan, pregunte respecto de cómo son las precipitaciones\nde los años de la última década respecto del promedio histórico. Monitoree el\ntrabajo que realiza cada grupo.
Si nota que las y los estudiantes están trabajando en esta última estrategia, en el caso\nque tenga alguna herramienta tecnológica cerca, podría sugerirles utilizarla para realizar\neste cálculo. En caso contrario se recomienda entregar al grupo el promedio de los datos\n(310,4 mm), ya que realizar este cálculo podría ser muy tedioso e implicar bastante\ntiempo. Luego, se recomienda que le indique al grupo que además pueden considerar que\nel promedio histórico declarado en la Estación Quinta Normal (286,3 mm).
","eng":"If you notice that the students are working on this last strategy, in the case\nIf you have a technological tool nearby, you could suggest that they use it to carry out\nthis calculation. Otherwise, it is recommended to give the group the average of the data.\n(310.4 mm), as performing this calculation could be very tedious and involve quite a lot of\ntime. Then, it is recommended that you tell the group that they can also consider that\nthe historical average declared in the Quinta Normal Station (286.3 mm).
"},{"esp":"En el caso que surjan otras estrategias, sean o no adecuadas, pueden explorarlas, señalando que existen muchas maneras de abordar la situación.
","eng":"Should other strategies emerge, appropriate or not, they can explore them, noting that there are many ways to address the situation.
","tipo":"p"},{"esp":"Luego, deje espacio para que las y los estudiantes expongan sus estrategias al grupo y discutan al respecto. Mencione que las estrategias propuestas sirven para dar argumentos que sugieren la presencia de una megasequía.
","tipo":"p","eng":"Then, allow space for students to present their strategies to the group and discuss them. Mention that the proposed strategies serve to provide arguments that suggest the presence of a mega-drought.
"},{"tipo":"h3","esp":"Segunda parte","eng":"Second part"},{"esp":"(Diapositivas 14 y 15, Presentación)","eng":"(Slides 14 and 15, Presentation)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"En este momento, las y los estudiantes podrán justificar que existe una sequía utilizando promedios de precipitaciones (Tarea matemática D).
\n\nMencione a sus estudiantes que, según el Centro de Ciencia del Clima y la Resiliencia (conocido como (CR)2), el criterio para afirmar que existe una sequía en un periodo de tiempo es el siguiente: ","eng":"Mention to your students that, according to the Center for Climate Science and Resilience (known as (CR)2), the criteria for affirming that there is a drought in a period of time is the next:
"},{"eng":"“There is talk of a drought when there is a deficit in the accumulation of rainfall, of at least 25% compared to the historical average.”
","tipo":"p","esp":"“Se habla de sequía cuando hay un déficit en la acumulación de precipitaciones, de al menos un 25 % respecto del promedio histórico”.
"},{"eng":"Then, it is suggested to ask the following questions in plenary:
","tipo":"p","esp":"Luego, se sugiere preguntar en plenaria lo siguiente:
"},{"tipo":"momento","esp":"Dado el criterio anterior, ¿existió una sequía en la década de 2010 a 2019?
","recurso":"Pregunta","eng":"Given the criteria above, was there a drought in the decade from 2010 to 2019?
"},{"recurso":"Respuesta","esp":"- Promedio histórico: 286,3 mm
- 0,75 x 286,3 mm = 214,725 mm
- Promedio última década: 199,29 mm
- Historical average: 286.3 mm
- 0.75 x 286.3 mm = 214.725 mm
- Last average decade: 199.29 mm
En base a lo realizado en la lección, sistematice las siguientes ideas:
","tipo":"p","eng":"Based on what was done in the lesson, systematize the following ideas:
"},{"esp":"Respecto a la situación abordada,- Hemos trabajado varias estrategias de análisis estadístico para argumentar a favor\nde que en la última década ha existido una megasequía. Estas estrategias se\nbasan en la visualización de gráficos, la utilización y cálculo de promedios y la\nagrupación de datos.
- We have worked on various statistical analysis strategies to argue in favor of\nthat in the last decade there has been a mega-drought. These strategies are\nbased on the visualization of graphs, the use and calculation of averages and the\ndata pooling.
- Cuando la variabilidad de los datos es alta puede ser difícil observar\nregularidades, lo que dificulta la interpretación adecuada de la información. En\neste caso, se puede utilizar la técnica de agrupar datos.
- Se suele pensar que los problemas matemáticos o estadísticos tienen una única\nmanera de resolverse, pero en la mayoría de las veces hay varios caminos que se\npueden seguir. Lo importante es siempre explicar las decisiones tomadas y\njustificar que las soluciones encontradas dan respuesta al problema.
- When data variability is high it can be difficult to observe\nregularities, which makes it difficult to properly interpret the information. In\nIn this case, the technique of grouping data can be used.
- It is often thought that mathematical or statistical problems have a unique\nway to be resolved, but in most cases there are several paths that\nthey can follow. The important thing is always to explain the decisions made and\nJustify that the solutions found give an answer to the problem.
Hand out the Practical Guide to the students. Ask them to solve activities 1, 2 and 3,\nto put into practice the lessons learned in the lesson. Then apply\ncarry out activity 4. Use this exercise to formatively assess the learning of\nthe students regarding their ability to address the following indicators:
","tipo":"p","esp":"Entregue la Guía práctica a las y los estudiantes. Pídales resolver las actividades 1, 2 y 3,\npara poner en práctica los aprendizajes abordados en la lección. A continuación, solicite\nrealizar la actividad 4. Utilice este ejercicio para evaluar formativamente el aprendizaje de\nlas y los estudiantes respecto de su capacidad para abordar los siguientes indicadores:
"},{"eng":"- Analyze information from graphs to draw conclusions
- Use statistical analysis strategies to recognize and provide evidence of\na trend regarding phenomena that present high variability.
- Analizar información proveniente de gráficos para extraer conclusiones
- Utilizar estrategias de análisis estadístico para reconocer y dar evidencia de\nuna tendencia respecto de fenómenos que presentan alta variabilidad.
La base de datos “precipitaciones” es un archivo Excel que incluye una tabla de datos con las precipitaciones anuales registradas en la Estación Quinta Normal de Santiago en el periodo comprendido entre 1970 y 2019 (Fuente: Dirección Meteorológica de Chile). Esta información será relevante para que las y los estudiantes observen los datos, piensen cómo representar los datos de forma gráfica y posteriormente los analicen cuantitativamente.
","tipo":"p","eng":"The \"rainfall\" database is an Excel file that includes a data table with the annual rainfall recorded at the Quinta Normal Station in Santiago in the period between 1970 and 2019 (Source: Chilean Meteorological Directorate). This information will be relevant for the students to observe the data, think about how to represent the data graphically and later analyze it quantitatively.
"},{"tipo":"button","titulo":{"eng":"Base de Datos","esp":"Base de Datos"},"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/Base%20de%20datos%20Precipitaciones%20Apoyo.xlsx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/Base%20de%20datos%20Precipitaciones%20Apoyo.xlsx"},{"eng":"Presentation (slides 2 and 3)","esp":"Presentación (diapositivas 2 y 3)","tipo":"h3"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/ppt_megasequia%20Apoyo.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/ppt_megasequia%20Apoyo.pdf"},{"titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/ppt_megasequia%20Apoyo.pptx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/ppt_megasequia%20Apoyo.pptx","recurso":"Descarga"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Precipitation graph","tipo":"h3","esp":"Gráfico Precipitaciones"},{"eng":"This bar graph shows the annual rainfall in mm from 1970 to 2019, recorded at the Quinta Normal Station in Santiago.
","tipo":"p","esp":"Este gráfico de barras muestra las precipitaciones anuales en mm desde el año 1970 al 2019, registradas en la Estación Quinta Normal de Santiago.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/grafico_precipitaciones.png","alinea":"texto-centrado","escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/grafico_precipitaciones.png","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"esp":"","eng":""}},{"titulo":{"esp":"Descargar Grafico Precipitaciones","eng":"Download Graph Precipitation"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/grafico_precipitaciones.png","recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/imgs/grafico_precipitaciones.png"},{"eng":"Worksheet","tipo":"h3","esp":"Hoja de Actividades"},{"eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.
","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/hoja_act_megasequia%20Apoyo.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/hoja_act_megasequia%20Apoyo.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/hoja_act_megasequia%20Apoyo.docx","titulo":{"eng":"Download Activity Sheet","esp":"Descargar Hoja de Actividades"},"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/hoja_act_megasequia%20Apoyo.docx"},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 4 a 15) ","eng":"Presentation (slides 4 to 15)"},{"esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.
","eng":"Below you can view and download the complete presentation.
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/ppt_megasequia%20Apoyo.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/ppt_megasequia%20Apoyo.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Download Presentation"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/ppt_megasequia%20Apoyo.pptx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/ppt_megasequia%20Apoyo.pptx","recurso":"Descarga","tipo":"button"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Presentation (slide 16)","esp":"Presentación (diapositiva 16)"},{"esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.
","eng":"Below you can view and download the complete presentation.
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/ppt_megasequia%20Apoyo.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/ppt_megasequia%20Apoyo.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/ppt_megasequia%20Apoyo.pptx","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/ppt_megasequia%20Apoyo.pptx","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"},"tipo":"button"}]},"4":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Guía Práctica","eng":"Practical Guide"},{"tipo":"p","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes analicen la dispersión de datos en distintos contextos. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.
","eng":"This document proposes various exercises that are intended for students to analyze the dispersion of data in different contexts. In addition, these can be used to formatively assess the knowledge developed from the situation.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/guia_pract_megasequia%20Apoyo.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/guia_pract_megasequia%20Apoyo.pdf"},{"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/guia_pract_megasequia%20Apoyo.docx","titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica","eng":"Download Practical Guide"},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/megasequia/Recursos%20Apoyo/guia_pract_megasequia%20Apoyo.docx"}],"visible":true}}}},"11":{"recursos":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Infografía “Planta solar Cerro Dominador” ","tipo":"h3","eng":"Infographic “Cerro Dominador Solar Plant”"},{"esp":"La infografía “Planta solar Cerro Dominador” introduce el funcionamiento de la planta solar Cerro Dominador y explica cómo se distribuyen los espejos respecto de la torre, esto será fundamental para modelar matemáticamente la situación. \n
","eng":"The infographic “Cerro Dominador solar plant” introduces the operation of the Cerro Dominador solar plant and explains how the mirrors are distributed with respect to the tower, this will be essential to mathematically model the situation.\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/pdfs/Infografia%20-%20planta%20solar.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/pdfs/infografia_superficies_de_plantas_solares_horizontal.pdf"},{"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/pdfs/Infografia%20-%20planta%20solar.pdf","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/pdfs/infografia_superficies_de_plantas_solares_horizontal.pdf","titulo":{"esp":"Descargar Infografía","eng":"Descargar Infografía"}},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 7)","eng":"Presentation (slides 2 to 7)"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/Presentacion%208vo_Unidad1_OA3.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/Presentacion%208vo_Unidad1_OA3.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/Presentacion%208vo_Unidad1_OA3.pptx","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/Presentacion%208vo_Unidad1_OA3.pptx","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"button"}]},"2":{"contenido":[{"esp":"Hoja de actividades","tipo":"h3","eng":"Worksheet"},{"eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.
","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/HojadeActividades%208vo_Unidad1_OA3.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/HojadeActividades%208vo_Unidad1_OA3.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/HojadeActividades%208vo_Unidad1_OA3.docx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/HojadeActividades%208vo_Unidad1_OA3.docx","titulo":{"esp":"","eng":"Download Activity Sheet"},"recurso":"Descarga"},{"eng":"Presentation (slides 8 to 15)","esp":"Presentación (diapositivas 8 a 15)","tipo":"h3"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/Presentacion%208vo_Unidad1_OA3.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/Presentacion%208vo_Unidad1_OA3.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/Presentacion%208vo_Unidad1_OA3.pptx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/Presentacion%208vo_Unidad1_OA3.pptx","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":""}}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 16 a 19)","eng":"Presentation (slides 16 to 19)","tipo":"h3"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/Presentacion%208vo_Unidad1_OA3.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/Presentacion%208vo_Unidad1_OA3.pdf"},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/Presentacion%208vo_Unidad1_OA3.pptx","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/Presentacion%208vo_Unidad1_OA3.pptx"}]},"4":{"contenido":[{"esp":"Guia Practica","eng":"Practical Guide","tipo":"h3"},{"esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes apliquen la multiplicación de potencias de base natural y exponente cuadrado o cúbico, de manera concreta, pictórica y simbólica. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.
","tipo":"p","eng":"This document proposes various exercises whose objective is for students to apply the multiplication of powers of natural base and square or cubic exponent, in a concrete, pictorial and symbolic way. In addition, these can be used to formatively assess the knowledge developed from the situation.
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/GuiaPractica8vo_Unidad1_OA3.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/GuiaPractica8vo_Unidad1_OA3.pdf"},{"titulo":{"eng":"Download Practical Guide","esp":""},"recurso":"Descarga","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/GuiaPractica8vo_Unidad1_OA3.docx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/Recursos%20Apoyo/GuiaPractica8vo_Unidad1_OA3.docx"}],"visible":true}},"visible":true},"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Multiplicación de potencias de igual exponente en el contexto","tipo":"h3","eng":"Multiplication of powers of equal exponent in context"},{"tipo":"p","eng":"In this situation, the problem arises of estimating the amount of energy that the solar thermal plant can produce through the use and management of quadratic power. This situation gives rise to the use and understanding of the product of powers of equal exponent property.\n
","esp":"En esta situación se plantea el problema de estimar la cantidad de energía que puede producir la planta termosolar a través del uso y manejo de potencia cuadrática. Esta situación da pie al uso y comprensión de la propiedad de producto de potencias de igual exponente.\n
"},{"esp":"\\[(a\\cdot b)^n=a^n\\cdot b^n\\]","eng":"(a b)n = anbn
","tipo":"p"},{"eng":"It is considered that the energy is proportional to the surface of a solar concentration plant, which in turn depends proportionally on the square of the radius of the plant in a circular way, taking into account that factors such as the orientation and inclination of the solar panels, as well as the space required for the installation of the mirrors are negligible.
","esp":"Se considera que la energía es proporcional a la superficie de una planta de concentración solar, la que a su vez depende proporcionalmente del cuadrado del radio de la planta de forma circular teniendo en cuenta que factores como la orientación y la inclinación de los paneles solares, así como el espacio requerido para la instalación de los espejos son despreciables.
","tipo":"p"},{"esp":"\\[E\\propto \\pi\\cdot r^2\\]","eng":"E = π r2
","tipo":"p"},{"eng":"The objective itself is to calculate by how much the power capacity of a solar thermal plant will increase considering that the radius triples as shown in the image
","esp":"El objetivo propiamente tal, es calcular en cuánto va a aumentar la capacidad de energía de una planta termosolar considerando que el radio se triplica como se muestra en la imagen
","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/imgs/2.png","escala":"50","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/imgs/2.png","tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""}},{"eng":"So the energy produced in phase one and two will be respectively:\n
","tipo":"p","esp":"Por lo que la energía producida en la fase dos será respectivamente: \n
"},{"eng":"E = πr2","esp":"\\[E' \\propto \\pi(3r)^{2} \\]","tipo":"p"},{"eng":"
This formula gives rise to verifying the property of multiplication of powers of equal exponent, particularly of exponents two","esp":"
Esta fórmula da pie a verificar la propiedad de la multiplicación de potencias de igual exponente, particularmente de exponentes dos (ab)2 = a2b2\ny así expresar (3r)2 = 32r2 = 9 r2
","tipo":"p"},{"esp":"Interpretación geométrica ","tipo":"h3","eng":"geometric interpretation"},{"tipo":"p","esp":"Por otro lado, la propiedad es interpretada en términos geométricos para el caso del exponente n = 2, lo que permite generalizar la propiedad. Se va a justificar la propiedad utilizando cuadrados, lo que geométricamente muestra repeticiones en direcciones perpendiculares.
\nPor ejemplo: (3 · 2)2= 32·22: \n(3 · 2)2 = 32·22
","eng":"On the other hand, the property is interpreted in geometric terms for the case of the exponent n = 2, which allows the property to be generalized. The property is going to be justified using squares, which geometrically shows repetitions in perpendicular directions.
\nFor example:"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/imgs/4.1.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/imgs/4.1.png","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado"},{"tipo":"p","eng":"It should be mentioned that although a = 3 and b = 2 have been used in the scheme, the scheme works for any pair of values","esp":"
Cabe mencionar que si bien en el esquema se ha utilizado a = 3 y b = 2, el esquema funciona para cualquier par de valores a y b naturales. \n
"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Consideraciones para el correcto desarrollo de la actividad"},{"esp":"Para el buen desarrollo de la actividad es necesario que los y las estudiantes conozcan cómo se calcula el área del círculo para así poder determinar expresiones que permitan determinar la superficie de la planta de forma circular para diversos radios.\n
","tipo":"p","eng":"For the proper development of the activity, it is necessary for the students to know how the area of the circle is calculated in order to be able to determine expressions that allow determining the surface of the plant in a circular way for different radii.\n
"},{"tipo":"p","eng":"It should be noted that students generally tend to confuse the multiplication property of powers of the same exponent with the multiplication property of powers of the same base. This activity allows consolidating the understanding of the first mentioned property through contextual work and symbolic and geometric representations.\n
","esp":"Cabe destacar que generalmente las y los estudiantes tienden a confundir la propiedad de multiplicación de potencias de igual exponente con la propiedad multiplicación de potencias de igual base. Esta actividad permite consolidar la comprensión de la primera propiedad mencionada por medio del trabajo contextual y de representaciones simbólicas y geométricas. \n
"},{"eng":"Finally, it is important that the assumptions mentioned in management be considered since these will allow the student to facilitate the search for a resolution of the problem.\n
","esp":"Finalmente, es importante que se consideren los supuestos mencionados en la gestión ya que estos permitirán al estudiante facilitar la búsqueda de resolución del problema. \n
","tipo":"p"}]},"3":{"contenido":[{"esp":"Energía Solar en Chile","eng":"Solar Energy in Chile","tipo":"h3"},{"eng":"Chile is a country with high solar radiation and low atmospheric attenuation, specifically the Atacama desert is the place with the highest solar radiation in the world, and there are many technologies that allow harnessing the energy of the Sun. Solar power plants are facilities for take advantage of the sun's radiation to generate electrical energy and there are two types: Photovoltaic Systems (PV) and Solar Thermal Systems, the main difference is that solar thermal power plants convert solar energy into heat and then into electricity, while photovoltaic power plants directly convert solar energy into electricity.\n
","esp":"Chile es un país con gran radiación solar y baja atenuación atmosférica, específicamente el desierto de Atacama es el lugar con mayor radiación solar del mundo, y existen muchas tecnologías que permiten aprovechar la energía del Sol. Las centrales solares son instalaciones destinadas a aprovechar la radiación del sol para generar energía eléctrica y existen dos tipos: Sistemas fotovoltaicos (PV) y Sistemas solares térmicos, la principal diferencia es que las centrales termosolares convierten la energía solar en calor y luego en electricidad, mientras que las centrales fotovoltaicas convierten directamente la energía solar en electricidad. \n
","tipo":"p"},{"escala":"50","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/imgs/3.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/imgs/3.png","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"Solar concentration plant in Chile Cerro Denominador","esp":"Planta de concentración solar en Chile Cerro Denominador ","tipo":"h3"},{"esp":"Cerro Dominador es una planta termosolar, inaugurada en el año 2021, luego de una serie de etapas desde el 2014. Cerro Dominador cuenta con una superficie de 1.000 hectáreas y 10.600 mega espejos (helióstatos) de 140 m2 que reflejan la luz del sol concentrando el calor en un receptor ubicado a 250 metros de altura en donde se calientan sales (estado líquido) que posteriormente serán utilizadas para generar vapor que en contacto con una turbina de generación eléctrica produce la energía eléctrica final.\n
","eng":"Cerro Dominador is a solar thermal plant, inaugurated in 2021, after a series of stages since 2014. Cerro Dominador has an area of 1,000 hectares and 10,600 mega mirrors (heliostats) of 140 m2 that reflect sunlight concentrating the heat in a receiver located 250 meters high where salts (liquid state) are heated that will later be used to generate steam that in contact with a turbine of electrical generation produces the final electrical energy.\n
","tipo":"p"},{"escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/imgs/5.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/imgs/5.png","caption":{"eng":"For more information on the Cerro Dominador plant, you can review the following infographics","esp":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img"},{"esp":"Consideraciones relevantes para la actividad","eng":"Relevant considerations for the activity","tipo":"h3"},{"esp":"
Los espacios entre los paneles de las centrales termosolares son necesarios para permitir el flujo de aire y facilitar el acceso para el mantenimiento. Esos espacios no contribuyen a la generación de energía, las plantas ajustan la orientación y la inclinación de los paneles para optimizar la captura de la radiación solar y minimizar los espacios entre ellos. Para nuestra actividad no se consideraron relevantes estas zonas libres por lo que se incluirán en el área total de la superficie de la central térmica solar, como si esta estuviera completamente cubierta por espejos.\n
","eng":"The spaces between the panels of solar thermal power plants are necessary to allow air flow and facilitate access for maintenance. Those gaps do not contribute to power generation, the plants adjust the orientation and inclination of the panels to optimize the capture of solar radiation and minimize the gaps between them. For our activity, these free zones were not considered relevant, so they will be included in the total surface area of the solar thermal power plant, as if it were completely covered by mirrors.\n
","tipo":"p"}],"visible":true}},"visible":true},"recursosProyecto":[],"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Momento de enganche","eng":"latching moment","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","eng":"(Slide 2 and 3, Presentation)","esp":"(Diapositiva 2 y 3, Presentación)"},{"eng":"Present the infographic “Cerro Dominador Solar Plant” to your students and give space for them to share their opinions regarding the following questions:\n
","tipo":"p","esp":"Presente la infografía “Planta solar Cerro Dominador” a sus estudiantes y dé espacio para que compartan sus opiniones respecto de las siguientes preguntas:\n
"},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"- \n
- ¿Por qué son importantes las energías renovables? \n
- ¿Cuál es el mecanismo para captar la energía solar en las plantas termosolares?\n \n
- ¿Qué forma tiene la planta termosolar Cerro Dominador?\n \n
- \n
- Why is renewable energy important? \n
- What is the mechanism for capturing solar energy in solar thermal plants?\n \n
- What shape is the Cerro Dominador solar thermal plant?\n \n
Present the following problem to your students:
","tipo":"p","esp":"Presente el siguiente problema a sus estudiantes:
"},{"recurso":"Actividades","esp":"Una planta termosolar que tendrá la misma forma de la planta Cerro Dominador se va a construir en dos etapas. Para la segunda, se triplicará el diámetro de la primera etapa. \n
\n¿Cómo aumentará la capacidad de energía producida?
","tipo":"momento","eng":"A solar thermal plant that will have the same shape as the Cerro Dominador plant will be built in two stages. For the second, the diameter of the first stage will be tripled.\n
\nHow will you increase the power capacity produced?
"},{"tipo":"p","esp":"Conviene dar un breve espacio para que sus estudiantes analicen la situación de manera individual.
","eng":"Give a brief space for your students to analyze the situation individually.
"},{"eng":"(Slides 5 to 7, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 5 a 7, Presentación)"},{"tipo":"p","esp":"Con el objetivo de que las y los estudiantes reconozcan los factores relevantes y los supuestos apropiados para modelar la situación (Tarea Matemática A), puede plantear preguntas como las siguientes: ","eng":"In order for students to recognize relevant factors to model the situation, you can ask questions such as the following:\n
"},{"esp":"¿Qué cantidades son relevantes para resolver el problema? \n
\n¿De qué depende la capacidad de energía producida?\n
","recurso":"Pregunta","eng":"What quantities are relevant to solving the problem?\n
\nWhat does the produced energy capacity depend on?\n
","tipo":"momento"},{"tipo":"p","eng":"It is expected that several quantities will be mentioned such as the size of the mirrors, the number of mirrors, solar radiation, the surface of the solar thermal plant, among others.\n
","esp":"Se espera que se mencionen varias cantidades tales como el tamaño de los espejos, el número de espejos, la radiación solar, la superficie de la planta termosolar, entre otras. \n
"},{"eng":"Discuss that to address the problem requires simplifying the situation. Ask students to identify what assumptions could be made to simplify the situation.\n
","tipo":"p","esp":"Comente que, para abordar el problema se requiere simplificar la situación. Pídale a los y las estudiantes que identifiquen qué supuestos se podrían hacer para simplificar la situación.\n
"},{"esp":"Luego de la discusión, comente que van a trabajar con los siguientes supuestos:
","tipo":"p","eng":"After the discussion, comment that they are going to work with the following assumptions:"},{"eng":"
- The surface of each mirror is the same.
- All mirrors capture the same amount of solar radiation.
- The mirrors cover the entire surface of the plant (the space between mirrors\nis negligible).\n
- La superficie de cada espejo es la misma.
- Todos los espejos captan la misma cantidad de radiación solar.
- Los espejos cubren toda la superficie de la planta (el espacio entre espejos\nes despreciable).\n
A partir de estos supuestos, se puede concluir que:
","tipo":"p","eng":"From these assumptions, it can be concluded that:
"},{"eng":"- Each mirror contributes the same amount of solar energy to the plant.
- The power generation capacity depends proportionally on the\ntotal area covered by the mirrors.
- Cada espejo aporta la misma cantidad de energía solar a la planta.
- La capacidad de generación de energía depende de forma proporcional del\nárea total cubierta por los espejos.
Ask your students to get into groups. Hand out the Activity Sheet and ask them to answer the first 2 questions:\n
","esp":"Solicite a sus estudiantes que se reúnan en grupos. En esta parte las y los estudiantes determinarán cuántas veces aumenta el área de un círculo cuando se pasa de un diámetro de 4 a 12 km (Tarea Matemática B). Entregue la hoja de Actividades y pídales que respondan las 2 primeras preguntas:","tipo":"p"},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","esp":"- \n
- Si en una primera etapa la planta tiene un diámetro de 4 km, ¿cuál es el área cubierta por espejos?\n \n
- ¿Cómo aumenta la superficie cubierta por los espejos si el diámetro aumenta al triple?\n \n
- \n
- If in a first stage the plant has a diameter of 4 km, what is the area covered by mirrors?\n \n
- How does the surface covered by the mirrors increase if the diameter is tripled?\n \n
Monitoree el trabajo realizado por cada grupo. Responda preguntas de las y los estudiantes en el caso que las tengan. En caso de que sea necesario, recuérdeles la expresión para el área de un círculo. Una vez que sus estudiantes terminen de responder las preguntas, deje el espacio para que los grupos expongan sus resultados a los compañeros.\n
","eng":"Monitor the work done by each group. Answer questions from students if they have them. If necessary, remind them of the expression for the area of a circle. Once your students finish answering the questions, allow space for the groups to present their results to their peers.\n
"},{"tipo":"momento","eng":"The area of the plant in the first stage has a diameter of 4 km therefore a radius of 2 km and therefore an area of","recurso":"Respuesta","esp":"
El área de la planta en la primera etapa tiene un diámetro de 4 km por lo tanto un radio de 2 km y por tanto una área de π · (2 km)2 = 4 π km2. Como en la segunda etapa el diámetro aumenta al triple, el radio será de 6 km. Luego, el área cubierta por espejos es π · (6 km)2 = π · 6 2 km2 = 36· π km2 . Luego, la superficie de la planta aumentará 9 veces.
"},{"tipo":"h3","esp":"Segunda parte","eng":"Second part"},{"esp":"(Diapositivas 12 a 14, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slides 12 to 14, Presentation)"},{"eng":"Tell students that we will now return to the general problem, assuming that the radius of the plant in the first stage is 9 km. If it seems pertinent to you, remember the assumptions previously considered. Then, it is suggested that they address the third question on the Activity Sheet .\n
","esp":"Comente a los estudiantes que ahora se volverá al problema general, y se asumirá que el radio de la planta en la primera etapa es \\(r\\) km. Si le parece pertinente recuerde los supuestos antes considerados. En esta parte las y los estudiantes determinan cuántas veces aumenta el área de un círculo cuando el radio original se triplica, explicando de manera simbólica la multiplicación de potencias de base natural y exponente dos (Tarea Matemática C), Se sugiere que aborden la tercera pregunta de la Hoja de Actividades. ","tipo":"p"},{"eng":"3) Assume the first stage plant has radius","esp":"
3) Asuma que la primera etapa la planta tiene radio r km. Encuentre una expresión para el área cubierta por espejos en la primera y segunda etapa de la planta.
","tipo":"momento","recurso":"Actividades"},{"recurso":"Respuesta","tipo":"momento","esp":"La superficie de la planta en la primera etapa es π · r 2 km2 y en la segunda etapa es π · (3r) 2 km2
","eng":"The surface of the plant in the first stage is"},{"tipo":"p","esp":"
Para finalizar, puede pedir a sus estudiantes que respondan la cuarta pregunta de la Hoja de Actividades:\n
","eng":"To finish, you can ask your students to answer the fourth question on the Activity Sheet:\n
"},{"recurso":"Actividades","eng":"4) How did the area of the solar thermal plant increase from the first to the second stage?
","esp":"4) ¿Cómo aumentó la superficie de la planta termosolar de la primera a la segunda etapa?
","tipo":"momento"},{"esp":"Oriente a los grupos para que manipulen la expresión π · (3r) 2 algebraicamente para determinar que el área de la segunda etapa es 9 · π · r 2. Y que a partir de eso concluyan que el área aumentó 9 veces.
","tipo":"p","eng":"Guide groups to manipulate the expression π (3r) 2"},{"esp":"
Se recomienda finalizar con una plenaria para dar respuesta al problema original:
","tipo":"p","eng":"It is recommended to end with a plenary session to answer the original problem:
"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":"","esp":"Una planta termosolar que tendrá la misma forma de la planta Cerro Dominador se va a construir en dos etapas. Para la segunda, se triplicará el diámetro de la primera etapa. \n
\n¿Cómo aumentará la capacidad de energía producida?
"},{"esp":"Se espera que las y los estudiantes no tengan mayores problemas para reconocer que, si el diámetro aumenta al triple, el área cubierta por los espejos aumentará 9 veces y, por lo tanto, la energía generada también. Si nota dificultades para llegar a esta conclusión, recuérdeles que, según el modelo con el que están trabajando, la cantidad de energía generada en la planta es proporcional al área cubierta por los espejos (la que a su vez es proporcional al cuadrado de su radio). ","eng":"","tipo":"p"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Sistematización"},{"tipo":"h4","eng":"(Slides 15 to 19, Presentation)","esp":"(Diapositiva 15 a 19, Presentación)"},{"eng":"Once the previous work is finished, project the detail of the calculation made:\n
","esp":"Una vez finalizado el trabajo anterior, proyecte el detalle del cálculo realizado: \n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"π · (3r) 2= π · (3r)· (3r) = π · 3· 3· r· r = π · 3 2· r 2
","eng":"π (3r) 2= π (3r) (3r) = π 3 3 r r = π 3 2 r 2
"},{"eng":"Ask your students what properties of multiplication and powers they are using in the calculation above,
","tipo":"p","esp":"Pregúntele a sus estudiantes qué propiedades de la multiplicación y de las potencias están usando en el cálculo anterior,
"},{"eng":"The property of distributivity and commutativity is used and it is observed that","esp":"
Se utiliza la propiedad de la distributividad y conmutatividad y se observa que 3 2· r 2 = (3r) 2 la que es una propiedad general de las potencias:\n
\na 2· b 2 = (ab) 2
","recurso":"Destacado","tipo":"momento"},{"esp":"Para visualizar la propiedad, se puede utilizar el siguiente esquema, donde se representa gráficamente porque (3·2)2 = 3 2· 2 2: \n
","tipo":"p","eng":"To visualize the property, the following scheme can be used, where it is represented graphically because (3 2)2 ="},{"caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/imgs/4.1.png","tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/superficies_de_plantas_solares/imgs/4.1.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado"},{"eng":"
You can mention that although the schema used a = 3 and b = 2, the argument works for any pair of a and b natural.
","esp":"Puede mencionar que si bien en el esquema se ha utilizado a = 3 y b = 2, el argumento funciona para cualquier par de valores a y b naturales.
","tipo":"p"},{"eng":"I worked other cases,","tipo":"p","esp":"
Trabaje otros casos, (5·8)2 por ejemplo, y pídale a sus estudiantes que expliquen a qué equivale la expresión y solicite que lo representen de manera pictórica.\n
"}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Evaluación y práctica"},{"eng":"\nGive the students the Practice Worksheet and the link to the associated GeoGebra app to access it through a device (smartphone, tablet, computer).","tipo":"p","esp":"Presente a sus estudiantes la Guía práctica esta tiene por objetivo que las y los estudiantes apliquen la multiplicación de potencias de base natural y exponente cuadrado, de manera concreta, pictórica y simbólica. Primero, dé tiempo para que trabajen en el primer ejercicio. Luego, proponga a las y los estudiantes trabajar en los últimos 2 ejercicios de la guía, estas tareas pueden ser utilizadas para evaluar formativamente el siguiente indicador:\n
"},{"eng":"Ask the students to solve exercise 1, where they must use the GeoGebra app to check if their results are correct. If there are differences in the results, discuss with them the possible causes of the differences detected.
Next, ask them to express the calculations required in exercise 2. Use this question to assess students' learning regarding their ability to interpret and express the calculation of rational numbers in the proposed context.","esp":"- Utilizar la multiplicación de potencias de base natural y exponente cuadrado o cúbico, de manera concreta, pictórica y simbólica. \n
Pídales que compartan sus opiniones acerca del aumento de la población de castores y el daño que están haciendo a los bosques. Para ello, se sugiere hacer algunas preguntas para que tomen conciencia de esta problemática. \n
"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 3, Presentación)","eng":""},{"esp":"- \n
- ¿Cuáles son los problemas que conlleva el rápido crecimiento de los castores en la zona de Tierra del Fuego? \n
- ¿Por qué el castor es una especie exótica invasora?\n \n
\n"},{"eng":"","recurso":"Actividades","esp":"El año 1946 en Tierra del Fuego fueron introducidos 20 ejemplares de castores. Desde esa fecha, la población ha crecido año a año aproximadamente en un 13 %.
\nEl aumento de la población de castores, se puede expresar con el siguiente modelo:\n\\[C = P\\cdot (1, 13)^n\\]\n
\nEn donde, \n- 𝑃 representa la cantidad inicial de castores; \n
- 𝑛 representa el tiempo transcurrido en años desde 1946;
- 𝐶 representa la cantidad total de castores.
- \n
- \n¿Qué sucede con el número de castores a medida que pasa el tiempo? \n \n
- \n¿Qué valor tiene P?\n \n
- \n¿Qué valores puede adoptar n? ¿Y C ? \n \n
- \n
- A medida que pasan los años el número de castores aumenta.\n \n
- P vale ya que corresponde a los 20 castores introducidos el año 1946.\n \n
- Como n representa los años, los valores son: 0,1,2,...\n \n
- Como C es la cantidad de castores, corresponde a números mayor a 20\n \n
- \n
- Aproximadamente, ¿cuántos castores había 30 años después de su introducción? \n
\\[C=20 \\cdot (1,13)^{30}\\]
"},{"esp":"En el año 1976 había aproximadamente 782 castores. ","recurso":"Respuesta","eng":"","tipo":"momento"},{"esp":"Luego, pida que comparen el resultado con sus estimaciones anteriores. Este ejercicio les ayudará a tener una mejor noción del tipo de crecimiento involucrado, aún sin profundizar demasiado en él.
En cuanto a la segunda pregunta de la Hoja de Actividades:","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"- \n
- Aproximadamente, ¿cuántos castores había en el año 2006?\n \n
En el año 2006, es decir, después de 60 años desde su introducción, había aproximadamente 30601 castores.
","tipo":"momento"},{"esp":"Se espera que las y los estudiantes reconozcan que el número de años transcurridos corresponde a la cantidad de años desde 1946 a 2006, y que por tanto, en este caso, n se debe reemplazar por 60. \n","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Al igual que en la pregunta 1, antes de calcular, se sugiere que estimen la cantidad de castores que había el año 2006 y luego verifiquen sus respuestas. Como se mencionó anteriormente, este ejercicio les ayudará a desarrollar una mejor intuición respecto del tipo de crecimiento involucrado.\n","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Finalmente, se sugiere realizar preguntas como las siguientes para que las y los estudiantes profundicen en el estudio del “crecimiento exponencial”, y en particular, que reconozcan que el crecimiento no es lineal:"},{"esp":"(Diapositiva 8, Presentación)","eng":"","tipo":"h4"},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"- \n
- Si el número de años aumenta al doble (de 30 a 60), ¿aumenta al doble el número de castores? \n \n
- ¿Cómo imaginan el gráfico que representa la relación entre los castores y los años transcurridos? \n \n
Luego, presente la diapositiva 9, en donde se muestra la curva que describe el crecimiento exponencial y se destacan algunos puntos de ella. ","tipo":"p","eng":""},{"alinea":"texto-centrado","escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/la_poblacion_de_castores/imgs/grafico_castores_U1_OA2_2M.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En este punto, puede realizar preguntas como las siguientes para ayudar a las y los estudiantes a comprender la magnitud del crecimiento exponencial:"},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","eng":"","esp":"- \n
- ¿La curva que describe el crecimiento de la población de castores, se parece a la que imaginaron? \n
- ¿Cómo crece el número de castores a medida que pasan los años? \n
\nEs posible que más de algún estudiante considere que el crecimiento durante 30 años no es significativo, si se compara por ejemplo, respecto del crecimiento al cabo de 20 años, aún cuando la curva sugiera un crecimiento acelerado. En este caso, se sugiere comparar la cantidad de castores al cabo de 30 y 60 años (782 y 30 601 castores respectivamente), y de esta manera, observar un aumento significativamente mayor.\n
\nEn efecto: el cociente entre 30 601 y 782 es aproximadamente 39,13. Esto significa que la cantidad de castores después de 60 años es aproximadamente 39 veces la cantidad que había al cabo de 30 años, y no el doble. \n"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Segunda Parte"},{"esp":"Pida a sus estudiantes que aborden la pregunta 3 de la Hoja de Actividades y dé un tiempo para que, en parejas o grupos elaboren sus estrategias.
\nEn este momento, se busca que las y los estudiantes reconozcan y valoren el uso del logaritmo para dar respuesta a la pregunta planteada. (Tarea Matemática D)","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"(Diapositivas 10 a 12, Presentación) ","tipo":"h4"},{"recurso":"Actividades","eng":"","esp":"- \n
- Asumiendo que no se adoptaron ni se adoptarán medidas de mitigación, ¿en qué año se superaría el millón de castores?\n \n
\\[1.000.000=20\\cdot (1,13)^n\\]\n
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Para encontrar el valor de n, es posible que los grupos recurran a las siguientes estrategias:
- Ensayo y error: Esto es, reemplazar el n por distintos valores (por ejemplo, 80, 85, 95, 92, 87, etc.) y evaluar la cercanía o lejanía al millón de castores cada vez. Eventualmente, esta estrategia les permitirá concluir que, al cabo de 89 años (esto es, en el 2035) la cantidad de castores superará el millón
- Relacionar potencias con logaritmos: Esto es, reconocer que para despejar n de la ecuación \\[1.000.000=20\\cdot (1,13)^n\\] es necesario utilizar logaritmos:
\\(n=log_{1,13}\\frac{C}{20}\\)\\(n= log_{1,13}\\frac{1\\thinspace000\\thinspace000}{20}\\)\\(n= log_{1,13}{5\\thinspace000\\thinspace000}\\)\\(n\\approx{89}\\)","tipo":"p"},{"esp":"Luego de dar un tiempo para que los distintos grupos compartan sus respuestas y estrategias utilizadas, promueva una discusión para que las y los estudiantes valoren la utilidad del uso de logaritmos por sobre la estrategia de ensayo y error ya que se obtiene el número de años (exponente de la potencia) de una manera directa.
\n\nEn este punto, se sugiere enfatizar porqué el uso del logaritmo permite despejar la cantidad de años transcurridos, lo que además le permitirá volver a revisar con el curso la definición de logaritmo.","recurso":"Destacado","tipo":"momento","eng":""}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Sistematización","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 13 a 15, Presentación)","eng":""},{"esp":"En base a lo realizado en la actividad anterior, sistematice las siguientes ideas:- \n
- La relación entre el número de castores y los años transcurridos la expresamos mediante un modelo de crecimiento exponencial. Constatamos que en este caso, este tipo de relación da lugar a un crecimiento muy rápido o acelerado del número de castores, el cual difiere mucho del crecimiento poblacional que se habría obtenido si la relación entre las variables fuese lineal. \n
- Para encontrar el número de castores al cabo de un cierto número de años, tuvimos que calcular potencias. \n
\n \\[C=20\\cdot (1,13)^n\\]\n \n - En cambio, para encontrar el número de años que debieran transcurrir, para que la población de castores supere una cierta cantidad, nos ayudamos del cálculo de logaritmos.\n
\n \\[n= Log_{1,13}\\frac{C}{20}\\]\n \n - El crecimiento desmedido (exponencial) de la población de castores en Tierra del Fuego, considerada una especie invasora por cuanto se encuentra fuera de su área de distribución natural, hace necesario adoptar medidas para detener su reproducción dado el inmenso daño que hacen a la biodiversidad de la Patagonia. Cabe destacar que, en su hábitat natural, América del Norte, esta especie no causa problemas al ecosistema. \n \n
En el ejercicio 2, donde también pueden usar el recurso de GeoGebra “modelos de crecimiento de poblaciones”, se espera que usen logaritmos para encontrar la cantidad de años que deben transcurrir para que se supere el millón de ejemplares de truchas. \n
","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"En el ejercicio 3, se propone que imaginen y comparen los gráficos del crecimiento de truchas y castores. \n
","tipo":"p"},{"esp":"En el ejercicio 4, usan el GeoGebra “gráfico de crecimiento exponencial” para comparar los gráficos de crecimiento de ambas poblaciones analizadas. \n
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Estos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente los siguientes indicadores:\n
\n","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- \n
- Calculan potencias y logaritmos con apoyo de calculadora u otras herramientas tecnológicas.\n \n
- Aplican la relación entre potencias y logaritmos en el uso de un modelo de crecimiento exponencial. \n \n
- Analizan y usan modelos de crecimiento exponencial de poblaciones. \n \n
La infografía muestra la situación problemática que se vive en Tierra del Fuego, Chile a causa del crecimiento exponencial de una de las especies exóticas invasoras más dañinas del país: El Castor Canadiense. \n
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/los_castores/nuevas/Infografia_Castores.pdf","eng":""},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/los_castores/nuevas/Infografia_Castores.pdf","tipo":"button","eng":"","titulo":{"esp":"Descargar Infografía","eng":"Descargar Infografía"}},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 5)"},{"eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/los_castores/pdfs/Presentacion%20Los%20castores%20I.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/los_castores/docs/Presentacion%20Los%20castores%20I.pptx","eng":"","titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"recurso":"Descarga"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Hoja de actividades","tipo":"h3"},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.\n
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/la_poblacion_de_castores/pdfs/Hoja%20de%20Actividades.pdf"},{"recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/la_poblacion_de_castores/docs/Hoja%20de%20Actividades.docx","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":""}},{"eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 6 a 12)","tipo":"h4"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/los_castores/pdfs/Presentacion%20Los%20castores%20I.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/los_castores/docs/Presentacion%20Los%20castores%20I.pptx","tipo":"button"},{"esp":"Recursos interactivos: ","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":"El recurso GeoGebra “Población de castores” le permite visualizar la gráfica de planteada en la situación, puede en la barra inferior usar el botón “play” y le mostrará 3 puntos importantes para conocer el tipo de crecimiento. Puede hacer zoom para observar de mejor forma la gráfica.
","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/tckcyed3/width/1911/height/864/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false","recurso":"Geogebra","tipo":"iframe"}]},"3":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 13 a 15)","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
\n"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/los_castores/pdfs/Presentacion%20Los%20castores%20I.pdf","eng":""},{"eng":"","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""},"recurso":"Descarga","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/los_castores/docs/Presentacion%20Los%20castores%20I.pptx"}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Guía Práctica"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Este documento propone una situación de crecimiento exponencial con el mismo propósito de la situación de los castores, agregando el uso de GeoGebra, puede utilizarse para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados durante la actividad. \n
"},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/la_poblacion_de_castores/pdfs/Guia%20Practica.pdf","tipo":"pdf"},{"eng":"","recurso":"descarga","titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/la_poblacion_de_castores/docs/Guia%20practica.docx","tipo":"button"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Recursos interactivos "},{"eng":"","esp":"- \n
- El geogebra “ Modelos de crecimiento exponencial” le permitirá obtener resultados de la población total en modelos de crecimiento, también podrá calcular la cantidad de años para una cierta cantidad de población total, haciendo la relación entre potencia y logaritmo, puede servir para cualquier modelo de crecimiento. \n \n
- \n
- El geogebra “Gráfico crecimiento exponencial” le permitirá visualizar las gráficas de dos crecimientos exponenciales, donde puede modificar población inicial y factor de crecimiento y asi poder hacer su respectivo análisis. \n \n
\\[P= 20 \\cdot e ^ {0,12 \\cdot t}\\]\n
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Usando propiedades de las potencias, queda:\n
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\\[P = 20 \\cdot (e ^ {0,12})^{t}\\]
"},{"esp":"Debido a las dificultades en este nivel que puede suponer el uso del número e , se hace la siguiente aproximación: \n
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"\\[e ^ {0,12} \\approx 1,13\\]
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Finalmente, el modelo que se utilizará para esta situación es: \n
","tipo":"p"},{"esp":"\\[P = 20 \\cdot (1,13)^{t}\\]
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"El número 1,13 corresponderá al factor de crecimiento, esto es, el número que resulta una vez que a la población de castores inicial, se le agrega un 13 % al cabo de un año."},{"tipo":"p","eng":"","esp":"De igual forma, se puede llegar al mismo modelo aplicando interés compuesto. Una vez que al primer año se agrega el 13 % a la cantidad inicial de castores, al segundo año se agrega el 13 % de la cantidad resultante. Y así sucesivamente, factorizando convenientemente, se llega a una expresión equivalente al modelo."},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Relación entre potencia y logaritmo"},{"eng":"","esp":"Para esta actividad es determinante la relación entre logaritmos y potencias. \n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"\n \\[ Log_{b}a=c \\Leftrightarrow b^{c}=a \\] \n\n
\n\n\n","eng":""},{"tipo":"p","esp":"\n\n\n \\[\\text{con} a,\\ b,\\ c \\in \\mathbb{R} \\text{ y } b \\neq 1, c \\neq 0 \\] \n\n
","eng":""},{"eng":"","esp":"Cambio de base","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Al abordar una pregunta de la situación, las y los estudiantes, tendrán que calcular logaritmos con base distinta a 10. Para ello, podrían usar la propiedad de cambio de base: \n
"},{"tipo":"p","esp":"\n \\[ Log_{b}a= \\frac{Log_{x}a}{Log_{x}b} \\ \\text{ con } a,\\ b,\\ x \\in \\mathbb{R} \\text{ y} a \\neq b \\neq 0 \\neq 1 \\]\n\n
","eng":""},{"esp":"Dado que no todas las calculadoras calculan logaritmos con base distinta a 10, los y las estudiantes podrían recurrir a esta propiedad. \n
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"De esta forma, para encontrar los años en que la población de castores sobrepasará el millón de ejemplares, pueden realizar los siguientes pasos, que incluye la propiedad de cambio de base: \n
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"$$1.000.000={20\\cdot1,13^n}$$
"}]},"2":{"contenido":[{"esp":"Crecimiento exponencial","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":"
$$50.000= {1,13^n}$$
$$n=Log \\ _{1,13} \\ {50.000}$$
$$n=\\frac{Log \\ 50.000}{Log \\ 1,13}$$
$$n=\\frac{4,69}{0,053}\\approx88,49$$La situación “La población de castores” involucra una relación de dependencia entre dos variables. La población de castores (C) depende de los años transcurridos. Es posible que las y los estudiantes crean que esta relación es de proporcionalidad directa. Por ello, se recomienda plantearles situaciones del tipo: Si aumenta al doble el número de años, ¿aumenta al doble el número de castores?
","tipo":"p"},{"esp":"De esta forma, se espera que reconozcan que, a medida que pasan los años, el número de castores crece de manera muy rápida, en contraposición, a si el crecimiento fuera lineal.\n","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"Para complementar la profundización del estudio de este tipo de crecimiento, es determinante que visualicen y analicen los gráficos. En el caso de las dos situaciones de crecimiento exponencial estudiadas en esta clase, se tiene los siguientes gráficos: \n
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/la_poblacion_de_castores/imgs/graficos.png","caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"","tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- \n
- \nTanto el gráfico de los castores como el de las truchas, corresponden a curvas. \n \n
- \nLas curvas no parten del punto 0, sino de 20 que corresponden a las cantidades iniciales de ejemplares introducidos en cada caso. \n \n
- \nLa población de truchas crece en forma más rápida que los castores. Esto es, la tasa de crecimiento de las truchas es 0,2, en cambio, el de castores es 0,13. Las truchas se reproducen más rápido que los castores. \n \n
En relación a la gráfica de los modelos de crecimiento poblacional se propone usar el recurso GeoGebra 2, Gráfico crecimiento exponencial, en la Guía práctica. Tal como se muestra en la imagen anterior, los estudiantes pueden variar la cantidad inicial de ejemplares introducidos y/o el factor de crecimiento. \n
"},{"esp":"Modelamiento de poblaciones","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"El uso de un modelo exponencial nos ayuda a describir la relación entre los castores y el tiempo transcurrido, pero esto no quiere indicar necesariamente que el crecimiento de castores se mantendrá siempre con la misma tendencia. \n
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Aunque los estudiantes han estudiado las funciones, se evita usar la notación funcional en los modelos, dado que el estudio de la función exponencial propiamente tal, se estudiará en cursos superiores. \n
"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Cálculo de potencias y logaritmos"},{"eng":"","esp":"Para esta situación es fundamental que las y los estudiantes manejen el concepto de potencia como una operación que denota crecimiento o decrecimiento. \n
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"- \n
- Las potencias a calcular tendrán base decimal (1,13 o 1,2) y exponente entero (años). Por tanto, será necesario el uso de planillas de cálculo, GeoGebra, o calculadora que disponga de la función xy.
- En la Guía Práctica podrán usar Geogebra “crecimiento exponencial” para calcular el número de castores y truchas que hay transcurridos una cierta cantidad de años. \n \n
- Los logaritmos a calcular tendrán base decimal (1,13 o 1,2) y el argumento será un número natural (número de castores o truchas). Por tanto, será necesario el uso de planillas de cálculo, GeoGebra, o calculadora que disponga de la función logxy\n \n
Tierra del Fuego es una isla separada del continente americano por el Estrecho de Magallanes y su territorio está dividido entre Argentina y Chile. Cuenta con una biodiversidad de áreas marinas y terrestres incomparable. \n
\nA continuación se presenta un mapa de la zona de Tierra del Fuego: \n
"},{"eng":"","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/la_poblacion_de_castores/imgs/isla_tierra_del_fuego_U1_OA2_2M.png","escala":"50","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Clasificación de las especies según procedencia "},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Las variadas condiciones de clima y ecosistemas que hay en Chile ha favorecido la presencia de una biodiversidad única, lo que posibilita la existencia de especies endémicas y nativas. Sin embargo, el aislamiento geográfico de Chile en la zona austral también hace que su biodiversidad sea especialmente frágil y susceptible de ser afectada por especies exóticas.\n
"},{"escala":"50","tipo":"img","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/la_poblacion_de_castores/imgs/info_castores_U1_OA2_2M_especies.png","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"","esp":"Especies exóticas invasoras ","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"Cuando ciertas especies expanden su población causando un impacto negativo al ecosistema, se les denomina especies exóticas invasoras, y son una de las principales causas de pérdida de biodiversidad en el planeta. En Chile hay la presencia de varias de ellas como por ejemplo: hongo quítrido; avispa chaqueta amarilla; jacinto de agua ; mejillón mediterráneo, entre otros. \n
","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"En el caso del castor en Tierra del fuego, la ausencia de depredadores y competidores naturales, un hábitat favorable con una alta disponibilidad de recursos y la gran capacidad de estas especies para modificar el entorno en que se encuentran, son algunos de los factores que influyeron en el rápido crecimiento poblacional de este animal. \n
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Daños provocados por el castor"},{"eng":"","esp":"Los castores viven en grandes represas que construyen a lo largo de los ríos, lo que provoca que cambien el régimen de descarga y velocidad de las aguas, lo que a su vez provocan inundaciones de bosque nativo y alteran el ciclo del agua de las cuencas afectadas. Los castores se alimentan de material arbóreo y se estima que puede consumir hasta 200 árboles al año. Estos árboles no logran sobrevivir, a diferencia de las zonas naturales donde vivía el castor (América del Norte), lo que conlleva que se modifique el flujo de nutrientes, generando un cambio en el paisaje propiciando el desplazamiento de las especies nativas del lugar. \n
","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/la_poblacion_de_castores/imgs/info_castores_U1_OA2_2M_estudio_uchile.png","escala":"50","eng":"","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Proyectos de erradicación del Castor "},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Durante muchos años no se realizaron medidas de mitigación por falta de información y la prohibición de caza, sin embargo, el año 2005, Chile y Argentina iniciaron un proceso para atender de forma integral la amenaza del castor. El año 2022, el proyecto «Fortalecimiento y Desarrollo de Instrumentos para el Manejo, Prevención y Control del Castor canadensis, una Especie Exótica Invasora en la Patagonia Chilena” (GEF Castor), entregó un completo programa de acción para una gestión integral que, en un horizonte de 15 años, proyecta no solo controlar esta especie exótica invasora, sino también recuperar los ecosistemas patagónicos degradados por su acción. \n
"},{"esp":"Cabe destacar que para la realización de esta situación no se considerará ninguna medida de mitigación, para así facilitar la comprensión del modelo de crecimiento exponencial de la población de castores. \n
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para mayor información sobre el proyecto GEF Castor, puede visitar: https://gefcastor.mma.gob.cl/
"}],"visible":true}},"visible":true}},"13":{"recursos":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Infografía “La Ecobotella” ","tipo":"h3","eng":"Infographic \"The Ecobottle\""},{"esp":"En esta infografía se presenta la Ecobotella como una solución al reciclaje de las botellas plásticas y a los residuos plásticos de un solo uso, como medio de recolección y transporte de los plásticos para ser reciclados en Ecobloques (que es una especie de bloque de “madera” plástica) y con estos se pueden construir objetos e infraestructuras grandes como el “Centro deportivo” en el Parque Bicentenario de Cerrillos” \n
","eng":"This infographic presents the Ecobottle as a solution to recycling plastic bottles and single-use plastic waste, as a means of collecting and transporting plastics to be recycled in Ecoblocks (which is a kind of block of plastic “wood”) and with these you can build large objects and infrastructures such as the “Sports Center” in the Bicentennial Park of Cerrillos”\n
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/plaza-ecoamibagle/pdfs/esp/Infografia.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/plaza_ecoamigable/pdfs/info_ecobotellas.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Infografia","eng":"Descargar Infografia"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/plaza-ecoamibagle/zips/Infografia.zip"},{"eng":"Presentation (slides 2 to 4)","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 4)","tipo":"h3"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/plaza_ecoamigable/pdfs/v2%20Presentacion%20Plaza%20Ecoamigable.pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/plaza-ecoamibagle/pdfs/esp/Presentacion.pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/plaza-ecoamibagle/editables/esp/Presentacion.pptx","tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/plaza_ecoamigable/docs/v2%20Presentacion%20Plaza%20Ecoamigable.pptx","titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"}}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"esp":"Hoja de actividades","tipo":"h3","eng":"Worksheet"},{"eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.\n
","tipo":"p","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.\n
\n"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/plaza_ecoamigable/pdfs/v2%20Hoja%20de%20Actividades.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/plaza-ecoamibagle/ha_ecobotellas_7mo.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/plaza_ecoamigable/docs/v2%20Hoja%20de%20Actividades.docx","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":"Download Activity Sheet"},"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/plaza-ecoamibagle/ha_ecobotellas_7mo.docx"},{"tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 5 to 7)","esp":"Presentación (diapositivas 5 a 7)"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/plaza-ecoamibagle/pdfs/esp/Presentacion.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/plaza_ecoamigable/pdfs/v2%20Presentacion%20Plaza%20Ecoamigable.pdf"},{"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/plaza_ecoamigable/docs/v2%20Presentacion%20Plaza%20Ecoamigable.pptx","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/plaza-ecoamibagle/editables/esp/Presentacion.pptx","tipo":"button","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"}}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 8 y 9)","eng":"Presentation (slides 8 and 9)"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/plaza_ecoamigable/pdfs/v2%20Presentacion%20Plaza%20Ecoamigable.pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/plaza-ecoamibagle/pdfs/esp/Presentacion.pdf","tipo":"pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/plaza_ecoamigable/docs/v2%20Presentacion%20Plaza%20Ecoamigable.pptx","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/plaza-ecoamibagle/editables/esp/Presentacion.pptx","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Download Presentation"},"tipo":"button","recurso":"Descarga"}]},"4":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Practical Guide","esp":"Guía Práctica"},{"esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes analicen la dispersión de datos en distintos contextos. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.\n
","eng":"This document proposes various exercises that are intended for students to analyze the dispersion of data in different contexts. In addition, these can be used to formatively assess the knowledge developed from the situation.\n
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/plaza-ecoamibagle/pdfs/esp/Guia%20Practica.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/plaza_ecoamigable/pdfs/v2%20Guia%20Practica.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Guia práctica","eng":"Download practical guide"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/plaza-ecoamibagle/editables/esp/Guia%20Practica.docx","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/plaza_ecoamigable/docs/v2%20Guia%20Practica.docx"},{"eng":"Interactive Resource","tipo":"h3","esp":"Recurso Interactivo"},{"tipo":"p","eng":"Geogebra GeoGebra resource the “ecomigable square” geogebra resource allows you to calculate the amount of\neco-bottles according to certain families and type of bottle.
","esp":"Geogebra recurso GeoGebra el recurso de geogebra “plaza ecomigable” permite calcular la cantidad de\necobotellas según determinadas familias y tipo de botella.
"},{"recurso":"Geogebra","eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/pe46qvec/width/500/height/402/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/ asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","tipo":"iframe","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/pe46qvec/width/500/height/402/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false"}],"visible":true}}},"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"p","eng":"To approach the proposed situation it is useful to remember strategies for dividing decimal numbers.\n
","esp":"Para abordar la situación propuesta es útil recordar estrategias para dividir números decimales. \n
"},{"eng":"Algorithm for the division of decimals","tipo":"h3","esp":"Algoritmo de la división de decimales"},{"eng":"A first technique to carry out the divisions involved in the problem consists in the use of the conventional division algorithm. Remember that this algorithm is based on the following property:\n
","esp":"Una primera técnica para realizar las divisiones involucradas en el problema consiste en el uso del algoritmo convencional de la división. Recordemos que este algoritmo se sustenta en la siguiente propiedad: \n
","tipo":"p"},{"eng":"“If in a division the dividend and the divisor are multiplied by the same number, the quotient does not change”.
","tipo":"p","esp":"“Si en una división se multiplica el dividendo y el divisor por un mismo número, el cociente no varía”.
"},{"tipo":"p","esp":"En particular, si se multiplica por una potencia de 10, se tiene:\n
","eng":"In particular, if you multiply by a power of 10, you get:\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/plaza_ecoamigable/imgs/pp_-03.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/plaza-ecoamibagle/imgs/esp/pp_-03.png","tipo":"img"},{"tipo":"p","eng":"This property allows you to transform a division of decimals into a division of natural numbers.\n
","esp":"Esta propiedad permite transformar una división de decimales en una división de naturales. \n
"},{"esp":"Por ejemplo:
","tipo":"p","eng":"For example:
"},{"eng":"$$1120 : 0{,}4=\\frac{1120\\cdot10}{0{,}4 \\cdot 10}=\\frac{11200}{4 }=2800$$
","esp":"$$1120 : 0{,}4=\\frac{1120\\cdot10}{0{,}4 \\cdot 10}=\\frac{11200}{4}= 2800$$
","tipo":"p"},{"eng":"Division of decimals transforming into fraction","esp":"División de decimales transformando en fracción","tipo":"h3"},{"eng":"Another strategy for dividing decimal numbers is to transform them into fractions and then divide. For example:\n
","esp":"Otra estrategia para dividir números decimales es transformarlos en fracciones y luego dividirlas. Por ejemplo: \n
","tipo":"p"},{"esp":"$$ 1120:0,4 = \\left(\\frac{1120}{1}\\right) : \\left(\\frac{4}{10}\\right) $$ $$ 1120:0,4 = \\left(\\frac{1120}{1}\\right) \\cdot \\left(\\frac{10}{4}\\right) $$ $$ 1120:0,4 = \\left(\\frac{1120}{1}\\right)\\cdot \\left(\\frac{5}{2}\\right)$$ $$ 1120:0,4 = \\frac{1120\\cdot5}{1\\cdot2} = 2800 $$
","eng":"$$ 1120:0.4 = \\left(\\frac{1120}{1}\\right) : \\left(\\frac{4}{10}\\right) $$ $$ 1120:0.4 = \\left(\\frac{1120}{1}\\right) \\cdot \\left(\\frac{10}{4}\\right) $$ $$ 1120:0.4 = \\left(\\frac{1120}{1 }\\right)\\cdot \\left(\\frac{5}{2}\\right)$$ $$ 1120:0.4 = \\frac{1120\\cdot5}{1\\cdot2} = 2800 $$
","tipo":"p"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Types of problems and representations","tipo":"h3","esp":"Tipos de problemas y representaciones"},{"esp":"Para abordar la situación será necesario considerar tres tipos de problemas multiplicativos, los que se asocian a relaciones de proporcionalidad directa. \n
","tipo":"p","eng":"
En la siguiente tabla se muestra una caracterización de estos problemas y su representación con modelos de barras.\nTo address the situation, it will be necessary to consider three types of multiplicative problems, those associated with direct proportionality relationships.\n
"},{"escala":"80","titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"","caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/plaza-ecoamibagle/imgs/esp/pp-07.png","alinea":"texto-centrado"},{"eng":"When calculating divisions, we can obtain a natural or decimal number as a result. In each case, it is necessary to interpret the meaning of these numbers in the context of the situation. For example, when calculating 2,800:1,000 (2,800 Ecobottles among 1,000 families), 2.8 is obtained and, given the situation, it does not make sense to collect 2.8 Ecobottles. Thus, it is necessary to approximate 3 , that is, each family must collect 3 Ecobottles.
The following table shows a characterization of these problems and their representation with bar models.\n
","tipo":"p","esp":"Al calcular divisiones, podemos obtener como resultado un número natural o decimal. En cada caso, es necesario interpretar el significado de estos números en el contexto de la situación. Por ejemplo, al calcular 2800:1000 (2800 Ecobotellas entre 1000 familias), se obtiene 2,8 y dada la situación no tiene sentido recolectar 2,8 Ecobotellas. Así, es necesario aproximar a 3 , es decir, cada familia debe recolectar 3 Ecobotellas.
"},{"tipo":"p","eng":"It is recommended to use the bar models in case the students have difficulties to identify the necessary operations to address the situation.
","esp":"Se recomienda utilizar los modelos de barras en caso de que las y los estudiantes presenten dificultades para identificar las operaciones necesarias para abordar la situación.
"},{"esp":"Como se verá en la estrategia descrita en la gestión, los tres problemas anteriores están conectados. La incógnita en el primer problema, pasa a ser un dato para el problema siguiente. De igual forma, la incógnita del segundo problema, pasa a ser un dato para resolver el tercer problema, que corresponde a la respuesta a la situación.
","tipo":"p","eng":"As you will see in the strategy described in management, the three problems above are connected. The unknown in the first problem becomes a given for the next problem. In the same way, the unknown of the second problem becomes data to solve the third problem, which corresponds to the response to the situation.
"},{"eng":"Rounding decimals in the context of the situation","esp":"Aproximar decimales en el contexto de la situación","tipo":"h3"},{"esp":"Al calcular divisiones, podemos obtener como resultado un número natural o decimal. En cada caso, es necesario interpretar el significado de estos números en el contexto de la situación. Por ejemplo, al calcular \\(2800:1000\\) (2800 Ecobotellas entre 1000 familias), se obtiene \\(2,8\\) y dada la situación no tiene sentido recolectar \\(2,8\\) Ecobotellas. Así, es necesario aproximar a \\(3\\) , es decir, cada familia debe recolectar 3 Ecobotellas. ","eng":"","tipo":"p"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Plásticos de un solo uso ","tipo":"h3","eng":"single use plastics"},{"eng":"Single-use plastics are those designed and manufactured so that they can be used only once before being recycled or discarded, for example, bags, plastic wrap, rice wrappers, noodles, cookies, etc.\n
","tipo":"p","esp":"Los plásticos de un solo uso son aquellos diseñados y fabricados para que puedan ser utilizados solo una vez antes de ser reciclados o desechados, por ejemplo, bolsas, film plástico, envoltorios de arroz, fideos, galletas, etc.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/plaza_ecoamigable/imgs/pp_-04.png","escala":"50","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/plaza-ecoamibagle/imgs/esp/pp_-04.png"},{"tipo":"p","eng":"In Chile, the recycling of this type of plastic is not as consolidated as the recycling of glass, cardboard or other types of plastic, mainly due to the lack of conditions (collection centers, technologies, etc.).\n
","esp":"En Chile, el reciclaje de este tipo de plásticos no está tan consolidado como el reciclaje de vidrios, cartones u otros tipos de plásticos, debido principalmente a la falta de condiciones (centros de acopio, tecnologías, etc.). \n
"},{"tipo":"h3","eng":"The Ecobottle","esp":"La Ecobotella"},{"tipo":"p","eng":"A common way to recycle single-use plastics is through “Ecobotellas”. These consist of a PET-type plastic bottle that is compactly filled with clean, dry plastic waste. The plastics that are used to fill the Ecobottles are those that are cataloged with the numbers 2, 4, 5 and 7.\n
","esp":"Una manera usual de reciclar los plásticos de un solo uso es mediante “Ecobotellas”. Estas consisten en una botella plástica de tipo PET que se rellena de manera compacta con residuos plásticos limpios y secos. Los plásticos que se utilizan para rellenar las Ecobotellas son los que se catalogan con los números 2, 4, 5 y 7. \n
"},{"tipo":"img","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/plaza-ecoamibagle/imgs/esp/pp_-05.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/plaza_ecoamigable/imgs/pp_-05.png","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50"},{"eng":"Currently, different companies receive the Ecobottles and manufacture Ecoblocks, also known as “Ecomadera”. In general, the industrial process consists of stages such as separation and cleaning of the plastic, crushing, binding, demolition, drying, extrusion of profiles, cooling and cutting.\n
","esp":"Actualmente, distintas empresas reciben las Ecobotellas y fabrican Ecobloques, también denominados como “Ecomadera”. Por lo general el proceso industrial consta de etapas como separación y limpieza del plástico, trituración, aglutinado, demolición, secado, extrusión de perfiles, enfriamiento y corte.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/plaza_ecoamigable/imgs/00-06.png","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/plaza-ecoamibagle/imgs/esp/00-06.png","escala":"50","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado"},{"eng":"The Ecoblocks are large, which are then cut to have the ecotable, they are characterized by being resistant to the elements, rot and corrosion. They are also thermal and acoustic insulators, flame retardant and have a useful life of more than 100 years.\n
","esp":"Los Ecobloques son de gran tamaño los que luego se cortan para tener la ecotabla, se caracterizan por ser resistentes a la intemperie, a la putrefacción y la corrosión. También son aislantes térmicos y acústicos, retardantes de llama y tienen una vida útil superior a los 100 años. \n
","tipo":"p"},{"esp":"Con este material ecológico se pueden hacer diversos objetos como maceteros, sillones, repisas, entre otros. También proyectos de mayor impacto social que ayuden a la comunidad y promuevan la sostenibilidad como por ejemplo: El “pumptrack” realizado en el parque de Cerrillos y el sendero sustentable del Parque Mahuida, entre otros.\n
","eng":"With this ecological material you can make various objects such as flowerpots, armchairs, shelves, among others. Also projects with a greater social impact that help the community and promote sustainability, such as: The \"pumptrack\" carried out in Cerrillos Park and the sustainable trail in Mahuida Park, among others.\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/plaza_ecoamigable/imgs/FW1cjdMWQAEH3Gc.jpg","tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/plaza-ecoamibagle/imgs/esp/FW1cjdMWQAEH3Gc.jpg"},{"tipo":"p","esp":"Para mayor información sobre el proyecto puede revisar el siguiente link
","eng":"
https://chilesinbasura.cl/juntosporelparque/For more information about the project, you can review the following link
"}]}},"visible":true},"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Engagement Moment","tipo":"h3","esp":"Momento de Enganche"},{"esp":"(Diapositiva 2, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slide 2, Presentation)"},{"eng":"
https://chilesinbasura.cl/juntosporelparque/< /a>It is suggested to start the class by asking questions that allow students to relate to the social problem of plastic waste, for example:\n
","tipo":"p","esp":"Se sugiere comenzar la clase realizando preguntas que permitan que las y los estudiantes se vinculen con la problemática social de los residuos plásticos, por ejemplo:\n
"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":"- \n
- How do you think non-recycled plastics affect the environment?\n \n
- What can we do to reduce the impact of plastic waste on the environment?\n \n
- \n
- ¿En qué creen que afecta al medio ambiente los plásticos no reciclados? \n \n
- ¿Qué podemos hacer para reducir el impacto de los residuos plásticos en el medio ambiente? \n \n
Presente la Infografía “La Ecobotella”, dé un tiempo para que la analicen y luego pídales que expliquen lo que entendieron. \n
","eng":"Introduce the Infographic “La Ecobotella”, give them time to analyze it and then ask them to explain what they understood.\n
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/plaza_ecoamigable/pdfs/info_ecobotellas.pdf","titulo":{"eng":"See Infographic","esp":"Ver Infografia "},"tipo":"button","recurso":"ModalPDF","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/plaza_ecoamigable/pdfs/info_ecobotellas.pdf"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 3, Presentación)","eng":"(Slide 3, Presentation)"},{"eng":"After viewing the infographic, it is suggested to ask some questions to guide the understanding of the use of plastics.\n
","tipo":"p","esp":"Luego de ver la infografía, se sugiere realizar algunas preguntas para guiar la comprensión del uso de los plásticos. \n
"},{"esp":"- \n
- ¿Qué son las Ecobotellas? \n \n
- ¿En qué se transforman las Ecobotellas? \n
- ¿Qué se puede hacer con los Ecobloques? \n \n
- \n
- What are Ecobottles?\n \n
- What do Ecobottles become? \n
- What can be done with Ecoblocks?\n \n
Presente la situación “Plaza Ecoamigable” y asegúrese que las y los estudiantes la\ncomprendan.
","eng":"Introduce the “Eco-friendly Plaza” situation and make sure that the students understand it.\nunderstand.
","tipo":"p"},{"tipo":"h4","eng":"(Slide 6, Presentation)","esp":"(Diapositiva 6, Presentación)"},{"tipo":"p","esp":"Se sugiere realizar algunas preguntas para que identifiquen los datos del problema, por ejemplo: \n
","eng":"It is suggested to ask some questions to identify the data of the problem, for example:\n
"},{"recurso":"Pregunta","eng":"- \n
- How many Ecoblocks are needed to build the Eco-friendly plaza? \n
- How many kg of plastic is needed to build each Ecoblock?\n \n
- What is the approximate average mass of the 1.5L Ecobottles?\n \n
- \n
- ¿Cuántos Ecobloques se necesitan para construir la plaza Ecoamigable? \n
- ¿Cuántos kg de plástico se necesita para construir cada Ecobloque? \n \n
- ¿Cuál es la masa promedio aproximada de las Ecobotellas de 1,5 L? \n \n
¿Cuántas Ecobotellas deberían reunir cada una de las 100 familias?"},{"esp":"Esta pregunta tiene como objetivo que sus estudiantes puedan resolver un problema combinado ya que involucra la multiplicación y división de números decimales (Tarea Matemática A). Para facilitar la recopilación de información necesaria para abordar la pregunta problema, se invita a que respondan las siguientes preguntas y luego completen la tabla de la Hoja de Actividades.","eng":"","tipo":"p"},{"recurso":"Actividades","esp":"1. ¿Cuánto pesa una Ecobotella?
\n2. ¿Cuánto pesa un Ecobloque?
\n3. ¿Cuántas Ecobloques necesito para una “plaza Ecoamigable”?\n","tipo":"momento","eng":""},{"esp":"Luego promueva que puedan analizar qué información falta para dar respuesta a la pregunta original. Se espera que calculen la división de un natural por un decimal interpretando los resultados en el contexto dado. (Tarea Matemática B)","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Durante el monitoreo identifique posibles estrategias y eventuales dificultades que puedan experimentar, tanto para decidir las operaciones, como en la realización de los cálculos, especialmente los que involucran la división de un número natural por un decimal. ","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"En la puesta en común, solicite a las y los estudiantes que comuniquen y expliquen las estrategias y técnicas de cálculo utilizadas. Una de las estrategias que podrían desarrollar es la siguiente: ","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Encontrar primero los kg de plástico que se necesitan\\(56 \\cdot 20 =1120\\), se necesitan 1120 kg de plástico.\\(1120 : 0,4 = 2800\\) Se necesitan 2800 Ecobotellas\\(2800:100 = 28\\)Si participan 100 familias, cada una debe reunir 28 Ecobotellas"},{"esp":"A continuación, oriente la discusión en torno a que las y los estudiantes justifiquen las divisiones realizadas y expliquen las técnicas de cálculo. Para ello, se sugiere realizar preguntas como las siguientes:","tipo":"p","eng":""},{"recurso":"Pregunta","esp":"- ¿Por qué calculaste \\(1120 : 0,4\\)?
- \n¿Cómo calculaste \\(1120 : 0,4\\)?\n
- ¿Cómo calculaste \\(2800 : 100\\)? \n
- Si se estima que la masa promedio de una Ecobotella es de 1 kg, ¿Cuántas Ecobotellas necesitaríamos para reunir\\(1120\\) kg de plástico?
- ¿Y si su masa fuera de \\(0,5 kg\\)?
- ¿Es razonable entonces el número total de Ecobotellas que obtuvimos si la masa promedio es \\(0,4 kg\\)?
- Si las Ecobotellas pesaran \\(1 kg\\), necesitaríamos \\(1120\\)Ecobotellas.
- \nSi pesaran la mitad \\(0,5 kg\\), necesitaríamos cerca \\(2200\\) Ecobotellas (el doble de \\(1120\\)).\n
- Pero como pesan menos de la mitad, \\(0,4 kg\\), necesitamos un poco más de \\(2200\\). Así, verificamos que el resultado \\(2800\\) obtenido es razonable. \n
Finally, we suggest highlighting the following ideas:\n
","esp":"Finalmente, se sugiere destacar las siguientes ideas:\n
"},{"tipo":"p","esp":"- \n
- Para determinar la cantidad de Ecobotellas que se necesita recolectar, hemos realizado diversos cálculos, por ejemplo, dividir un natural por un decimal. \n \n
- Por ejemplo, al calcular 1120 : 0,4 podemos usar distintas técnicas. Esto nos permitió saber que se requerían 2800 Ecobotellas en total.\n \n
- La respuesta al problema se obtiene suponiendo que cada una de las 100 familias debería reunir 28 Ecobotellas. Sin embargo, lo importante es reunir entre las 100 familias las 2800 Ecobotellas para así lograr construir la plaza ecoamigable, por lo que podrían surgir otras estrategias para hacerlo que no involucren un reparto equitativo. \n \n
- Mientras más familias participen de la recolección de Ecobotellas, entonces se puede hacer más expedita y rápida la recolección. Sin embargo, la idea es recolectar los plásticos, sin que esto implique a las familias un uso innecesario de ellos, la idea es utilizar menos plásticos en nuestra vida. \n \n
- \n
- To determine the amount of Ecobottles that need to be collected, we have performed various calculations, for example, dividing a natural by a decimal.\n \n
- For example, when calculating 1120 : 0.4 we can use different techniques. This allowed us to know that 2800 Ecobottles in total were required.\n \n
- The answer to the problem is obtained assuming that each of the 100 families should gather 28 Ecobotellas. However, the important thing is to gather the 2800 Ecobottles among the 100 families in order to build the eco-friendly plaza, so other strategies could arise to do so that do not involve an equitable distribution.\n \n
- The more families participate in the collection of Ecobottles, then the collection can be faster and more expeditious. However, the idea is to collect plastics, without this implying unnecessary use by families, the idea is to use less plastics in our lives.\n \n
Luego, se sugiere presentar el recurso GeoGebra “plaza Ecoamigable” explicando su funcionamiento para que experimenten cómo varía el cociente de una división cuando el dividendo y divisor varían. Invite a las y los estudiantes a responder las dos preguntas utilizando el simulador y obteniendo sus conclusiones. \n
","tipo":"p","eng":"Then, it is suggested to present the GeoGebra resource “Eco-friendly plaza” explaining its operation so that they can experiment how the quotient of a division varies when the dividend and divisor vary. Invite the students to answer the two questions using the simulator and drawing their conclusions.\n
"},{"tipo":"p","eng":"You can accompany this moment with the following questions:","esp":"Puede acompañar este momento con las siguientes preguntas:"},{"recurso":"Pregunta","eng":"- What happens when you move the “Bottle” slider to the right? What changes? How? what if you move the “Bottle” slider to the left?
- What changes when you move the “Families” slider left and right? ","esp":"
- ¿Qué ocurre cuando mueves el deslizador “Botella” a la derecha?, ¿qué se modifica?, ¿cómo? ¿y si mueves el deslizador “Botella” a la izquierda?
- ¿Qué varía cuando mueves a la izquierda y a la derecha el deslizador “Familias”?
- They divide natural numbers by powers of 10 with the result a decimal number.
- They divide natural numbers by decimals.
- They deduce results of dividing natural numbers by decimals from Variations in the dividend and divisor.
- Dividen números naturales por potencias de 10 con resultado un número decimal.
- Dividen números naturales por decimales.
- Deducen resultados de divisiones de naturales por decimales a partir de variaciones en el dividendo y divisor.
- ¿Podrían describir la estructura del árbol bronquial? ¿Cuántas bifurcaciones existen en él? ¿Cómo se denominan esas bifurcaciones?
- De acuerdo con el video, ¿cómo se pueden modelar los bronquiolos?
- Could you describe the structure of the bronchial tree? How many forks are there in it? What are these bifurcations called?
- According to the video, how can the bronchioles be modeled?
- The ducts always branch into two.
- The ducts have a circular cylindrical shape.\n
- The rate at which the length and radius of the ducts decrease is always constant.\n
- Los conductos siempre se ramifican en dos.
- Los conductos tienen una forma cilíndrica circular.\n
- La razón en la que decrecen el largo y radio de los conductos es siempre constante.\n
- The branching in each generation is not exact. There may be shorter \"branches\" than others, and in some cases 3 ducts may arise from a previous one.
- The ducts do not have an exactly circular cylindrical shape.
- The reason in which the length and radius of the tubes decrease is not constant throughout the bronchial tree.
- La ramificación en cada generación no es exacta. Puede haber \"ramas\" más cortas que otras, y en algunos casos pueden surgir 3 conductos a partir de uno anterior.
- Los conductos no tienen una forma exactamente cilíndrica circular.
- La razón en la que decrecen el largo y radio de los conductos no es constante a lo largo del árbol bronquial.
- De acuerdo al modelo simplificado de árbol bronquial, ¿cuántos conductos hay en cada una de las primeras cuatro generaciones? \n
- ¿Qué patrón pueden observar en esta secuencia? \n
- 1,2,4 y 8.\n \n
- Son potencias de \\(2, 2^0, 2^1, 2^2, 2^3\\) \n
- 1, 2, 4, 8 and 16.
- They are powers of two: 20, 21, 2< sup>2
Please note that what is presented in the video is a simplified model of the bronchial tree, in which some assumptions are made:
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"Es importante señalar que, aunque contar con un modelo simplificado del árbol bronquial permite estudiarlo matemáticamente, es esencial tener presente que en la realidad:
","eng":"It is important to note that, although having a simplified model of the bronchial tree makes it possible to study it mathematically, it is essential to keep in mind that in reality:
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"Next, restate the final question of the video and allow time for students to come up with their answers.
","tipo":"p","esp":"A continuación, vuelva a plantear la pregunta final del video que guiará el desarrollo de la clase."},{"tipo":"p","eng":"If we know the size of the trachea, how can we calculate the length and radius of the bronchioles of a given generation?\n
","esp":"Si conocemos el tamaño de la tráquea, ¿cómo podemos calcular el largo y radio de los bronquiolos de una determinada generación?\n
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"De un breve espacio de tiempo para que sus estudiantes opinen sobre cómo abordar este problema, sin validar sus respuestas. Luego, comente que en lo que sigue trabajarán en una serie de actividades que los ayudarán a responder a esta pregunta."}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Primera parte","eng":""},{"esp":"(Diapositivas 7 a 13, Presentación)","eng":"(Slides 7 to 16, Presentation)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Para comenzar, mencione a sus estudiantes que abordarán el desafío de estimar cuántos bronquiolos terminales (los de la generación 16) hay en los pulmones. Es importante asegurar que las y los estudiantes comprendan el concepto de generación y cómo la cantidad de conductos va aumentando en cada generación. Para ello, pida que aborden las primeras dos preguntas de la actividad 1 de la Hoja de Actividades, ","eng":"Next, suggest forming groups to work on the questions in the activity. Let them know that they can use a calculator.\n
"},{"esp":"Actividad 1
\n1. How many terminal bronchioles (16th generation) are there in the lungs?
","recurso":"Actividades","tipo":"momento"},{"recurso":"Respuesta","esp":"1. How many terminal bronchioles (16th generation) are there in the lungs?
","tipo":"momento"},{"tipo":"p","eng":" - 216 = 65,536 bronchioles
- ¿Cuántos bronquiolos hay en la 5ta generación? ¿Y en la 6ta generación? \n
- ¿Cómo se relaciona la cantidad de bronquiolos en una generación respecto de la generación inmediatamente anterior? \n
- How many canals are there in each of the first four generations?
- What pattern can you see in this sequence?
- Following the same pattern, how can you calculate the number of bronchioles in generation 16?
Actividad 1
\n- ¿Cuántos bronquiolos terminales (los de la generación 16) hay en los pulmones? \n
2. How many alveolar sacs are there in the lungs?
"},{"recurso":"Respuesta","tipo":"momento","esp":"\\(2^{16} = 65536\\) bronquiolos","eng":""},{"esp":"Aunque se espera que, con el trabajo anterior, los estudiantes reconozcan que la cantidad de bronquiolos se duplica en cada generación, es posible que aún no hayan representado esta conclusión mediante la expresión \\(2^n\\), que modela el número de bronquiolos en la generación \\(n\\). Dé un tiempo para que las y los estudiantes aborden la pregunta y lleguen a esta conclusión por sí mismos. Preguntas como las siguientes le pueden ayudar con este propósito, ","tipo":"p","eng":"It is expected that the students will not have difficulties in recognizing that there are 223 = 8,388,608 alveolar sacs.
Regarding the third question of the Activity Sheet:"},{"eng":"","esp":"- Si \\(n\\) representa la generación, ¿Cómo podríamos expresar el número de bronquiolos en la generación \\(n\\)?
Actividad 1
\n- ¿Cuántos sacos alveolares (generación 23) hay en los pulmones? \n
3. What is the length and radius of the terminal bronchioles?
","tipo":"momento","recurso":"Actividades"},{"tipo":"p","esp":"Se espera que las y los estudiantes no tengan dificultades en reconocer que hay \\({2}^{23}=8.388.608\\) sacos alveolares.","eng":"If you find that the students are not able to calculate the quantities indicated in the question, you could suggest that they complete a table that will help them deduce the formulas for the length and diameter of the cylinders of any generation:
"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Segunda parte"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 14 a 25, Presentación)","eng":""},{"tipo":"p","esp":"En esta sección, las y los estudiantes deberán determinar el largo, radio y volumen de los bronquiolos de la generación 16. Si bien el trabajo es similar al de la sección anterior, en este caso el largo y el radio de los bronquiolos disminuyen a \\(\\frac{5}{6}\\) y \\(\\frac{4}{5}\\) de las medidas de la generación anterior, por lo que las y los estudiantes deberán hacer uso de potencias de base racional y exponente entero para abordar las preguntas que se les planteen. ","eng":"Help them deduce from the table above that, for the n generation, the length and radius of the bronchioles is given by the following powers:"},{"esp":"Pida que, manteniendo los grupos de la sección anterior, aborden la primera pregunta de la actividad 2 de la Hoja de Actividades. En ella deberán completar una tabla con el largo y radio de los bronquiolos hasta la generación 4. Este trabajo les ayudará a deducir las fórmulas para el largo y radio de los bronquiolos en cualquier generación. \n","tipo":"p","eng":"\\[\\text{Length =} \\left(\\frac{5}{6}\\right)^n \\cdot 120\\]"},{"eng":"
4. What is the total volume of the terminal bronchioles?
","recurso":"Actividades","esp":"Actividad 2
\n- Completen la siguiente tabla con el largo y radio de los bronquiolos hasta la generación 4. Las medidas de la generación 0, corresponden al largo y radio de la tráquea.
![](\"http://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/imgs/tabla.png\")
- \n
Using these formulas, students can calculate the length and radius of the terminal bronchioles.
"},{"tipo":"p","esp":"Luego, pida que aborden las preguntas 2 y 3 de la actividad 2 de la Hoja de Actividades. ","eng":"If necessary, remember that the formula for the volume of a cylinder is V = π R2 L, where L is the height of the cylinder and R is the radius of the base.
"},{"esp":"Actividad 2
\n- ¿Cuál es el largo y radio de los bronquiolos terminales (generación 16)? \n
- ¿Cuál es el volumen total de los bronquiolos terminales?\n \n
5. What is the total area of the terminal bronchioles?
","recurso":"Actividades","tipo":"momento"},{"recurso":"Respuesta","tipo":"momento","eng":"\\[\\text{Length =} \\left(\\frac{5}{6}\\right)^{16} \\cdot 120 \\approx 6.5 \\text{ mm} \\]","esp":"
\\[\\text{Largo =} \\left(\\frac{5}{6}\\right)^{16} \\cdot 120 \\approx 6,5 \\text{ mm} \\]
\\[\\text{Radio = } \\left(\\frac{4}{5}\\right)^{16} \\cdot 9 \\approx 0,25 \\text{ mm}\\]
"},{"eng":"
\\[\\text{Volumen de todos los bronquiolos generación 16} = 2^{16} \\cdot \\pi \\cdot R^2 \\cdot L =2^{16} \\cdot \\pi \\cdot \\left[\\left(\\frac{4}{5}\\right)^{16} \\cdot 9 \\right]^2 \\cdot \\left[\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{16} \\cdot 120 \\right]\\text{ mm}^{3}\\]Suggest that, to have a more precise result, in the volume formula, they replace the length and radius by the quantities expressed in power, that is:
","esp":"Ayude a sus estudiantes a deducir de la tabla anterior que, para la generación \\(n\\), el largo y radio de los bronquiolos (en \\(mm\\)) está dado por las siguiente expresiones:\n","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"\\[ \\text{Length =}\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{16} \\cdot 120\\text{ mm.}\\]
","esp":"
\\[ \\text{Radius = }\\left(\\frac{4}{5}\\right)^{16} \\cdot 9 \\text{ mm.}\\]\n\n\\[ \\text{Largo =}\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{n} \\cdot 120\\]
"},{"esp":"Mediante estas fórmulas, se espera que puedan calcular el largo y radio de los bronquiolos terminales.","eng":"
\\[ \\text{Radio =}\\left(\\frac{4}{5}\\right)^{n} \\cdot 9\\]\n\nTo continue, you can ask:","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Respecto de la pregunta 3, recuerde a sus estudiantes que, de acuerdo a los supuestos realizados para modelar el árbol bronquial, los bronquiolos tienen forma cilíndrica, y por tanto su volumen está dado por la expresión, \\(V_b = \\pi\\cdot R^2\\cdot L\\), donde \\(L\\) es la altura del cilindro y \\(R\\) el radio de la base.
Es posible que a las y los estudiantes les confunda el hecho de estimar el “volumen total” de los bronquiolos de la generación 16 (terminales). En este caso, puede sugerirles que primero, determinen el volumen de un bronquiolo de la generación 16,","eng":"You can then ask:
"},{"recurso":"Pregunta","esp":"- ¿Cuál es la expresión para el volumen de un bronquiolo de la generación 16?
- What is the expression for the volume of a 16th generation bronchiole?
\\[\\text{Volume a 16th generation bronchiole}= \\pi \\cdot R^2 \\cdot L =\\pi \\cdot \\left[\\left(\\frac{4}{5}\\right)^ {16} \\cdot 9 \\right]^2 \\cdot \\left[\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{16} \\cdot 120 \\right]\\text{ mm}^{3}\\ ]\n
","tipo":"momento","esp":"\\[\\text{Volumen un bronquiolo de la generación 16}= \\pi \\cdot R^2 \\cdot L =\\pi \\cdot \\left[\\left(\\frac{4}{5}\\right)^{16} \\cdot 9 \\right]^2 \\cdot \\left[\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{16} \\cdot 120 \\right]\\text{ mm}^{3}\\]\n
","recurso":"Respuesta"},{"esp":"Luego de discutir la respuesta a esta pregunta con el curso, puede volver a preguntar, ","tipo":"p","eng":"It is suggested to clarify to the students that, in this case, the objective is not to calculate the total area of the cylinder that represents a bronchiole, but the area of the lateral surface, which corresponds to the surface of the tissue that forms each bronchiole.
"},{"esp":"- ¿Cómo se puede calcular el volumen de todos los bronquiolos de la generación 16?
- Considering the above, how can you calculate the volume of all the bronchioles of generation 16?
It is recommended that you focus the efforts of the students on expressing the volume correctly, instead of doing the calculations with the calculator. Once they have proposed correct expressions for the volume, they can be given the numerical result corresponding to that calculation, which is:
","esp":"Se recomienda que enfoque los esfuerzos de las y los estudiantes en expresar correctamente el volumen, en lugar de realizar los cálculos con la calculadora. Una vez que hayan propuesto expresiones correctas para el volumen, se les puede proporcionar el resultado numérico correspondiente a dicho cálculo, que es:
"},{"eng":"\\[ 85,758.2\\text{ mm}^{3} = 85.76\\text{ cm}^{3} \\]< br>
","esp":"\\[ 85.758,2\\text{ mm}^{3} = 85,76\\text{ cm}^{3} \\]
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Finalmente, y con el objetivo de profundizar en la estrategia realizada para determinar el volumen total de los bronquiolos terminales, pida que aborden la pregunta 4 de la actividad 2 de la Hoja de Actividades:","eng":"You can show the following image to explain the above and to identify the measurements to consider when calculating the area of a bronchiole:
< /p>"},{"eng":"","esp":"Actividad 2
\n- ¿Cuál es el área total de los bronquiolos terminales? \n
\nPuede mostrar la siguiente imagen para explicar lo anterior y para que identifiquen las medidas a considerar en el cálculo del área de un bronquiolo:\n","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/imgs/principal_pulmon_tabla1.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/imgs/principal_pulmon_tabla1.png","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","tipo":"img","alinea":"texto-centrado"},{"eng":"To guide your students, the following sequence of questions is suggested:
","tipo":"p","esp":"Para guiar a sus estudiantes, se sugiere la siguiente secuencia de preguntas:
"},{"esp":"- Si L es el largo del bronquiolo y r es su radio, ¿cómo se puede expresar su área?
- ¿Cuál es el área de un bronquiolo de la generación 16?
- Considerando lo anterior, ¿cómo se puede calcular la superficie total de todos los bronquiolos de la generación 16?
- If L is the length of the bronchiole and r is its radius, how can you express its area?
- What is the area of a 16th generation bronchiole?
- Considering the above, how can the total surface area of all bronchioles of generation 16 be calculated?
- \n
- \nÁrea de un bronquiolo: \\[ 2 \\cdot \\pi \\cdot R \\cdot L \\]\n \n
- \nÁrea de un bronquiolo de generación 16: \\[ 2\\cdot \\pi \\cdot R \\cdot L = 2 \\cdot \\pi \\cdot \\left[\\left(\\frac{4}{5}\\right)^{16} \\cdot 9 \\right] \\cdot \\left[\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{16} \\cdot 120 \\right]\\text{ mm}^{2} \\]\n \n\n
- Hay que multiplicar la expresión anterior por 216, que es la cantidad de bronquiolos terminales de la generación 16. Esto es:\\[ \\text{Área total de los bronquiolos de la generación 16 = }2^{16} \\cdot 2\\pi \\cdot R \\cdot L = 2^{16} \\cdot 2\\pi \\cdot \\left[\\left(\\frac{4}{5}\\right)^{16} \\cdot 9 \\right] \\cdot \\left[\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{16} \\cdot 120 \\right]\\text{ mm}^{2} \\]\n \n\n
- \n
- \nArea of a bronchiole: \\[ 2 \\cdot \\pi \\cdot R \\cdot L \\]\n \n
- \nArea of a 16th generation bronchiole: \\[ 2\\cdot \\pi \\cdot R \\cdot L = 2 \\cdot \\pi \\cdot \\left[\\left(\\frac{4}{5}\\right)^{16} \\cdot 9 \\right] \\cdot \\left[\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{16} \\cdot 120 \\right]\\text{ mm}^{2} \\]\n \n\n
- You have to multiply the previous expression by 216, which is the number of terminal bronchioles of generation 16. This is:\\[ \\text{Total area of the bronchioles of generation 16 = }2^{16} \\cdot 2\\pi \\cdot R \\cdot L = 2^{16} \\cdot 2\\pi \\cdot \\left[\\left(\\frac{4}{5 }\\right)^{16} \\cdot 9 \\right] \\cdot \\left[\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{16} \\cdot 120 \\right]\\text{ mm}^{ 2} \\]\n \n\n
Again, it is recommended that you focus the efforts of the students on expressing the surface area correctly, instead of doing the calculations with the calculator. Once they have proposed correct expressions for the total area of generation 16, they can be given the numerical result corresponding to that calculation, which is:
","esp":"Nuevamente, se recomienda que enfoque los esfuerzos de las y los estudiantes en expresar correctamente la superficie, en lugar de realizar los cálculos con la calculadora. Una vez que hayan propuesto expresiones correctas para la superficie total de la generación 16, se les puede proporcionar el resultado numérico correspondiente a dicho cálculo, que es:
","tipo":"p"},{"eng":"\\[ 677,054.2\\text{ mm}^{2} = 0.68\\text{ m}^{2} \\]","tipo":"p","esp":"\\[ 677.054,2\\text{ mm}^{2} = 0,68\\text{ m}^{2} \\]"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Sistematización","eng":""},{"esp":"(Diapositiva 26 a 28, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slides 17 to 19, Presentation)"},{"esp":"En base a lo realizado en clases, sistematice las siguientes ideas:\n
","eng":"Based on what was done in class, systematize the following ideas:\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"1. Para abordar matemáticamente las preguntas de la actividad, fue esencial considerar un modelo simplificado del árbol bronquial, en el que supusimos que:","eng":"1. To mathematically address the questions of the activity, it was essential to consider a simplified model of the bronchial tree, in which we assumed that:"},{"esp":"- Los conductos siempre se ramifican en dos.\n
- Los conductos tienen una forma cilíndrica circular.\n
- La razón en la que decrecen el largo y radio de los conductos es siempre constante.
- The ducts always branch into two.\n
- The ducts have a circular cylindrical shape.\n
- The rate at which the length and radius of the ducts decrease is always constant.
2. Rational base powers and\n integer exponent.
","esp":"2. En el cálculo del número, área y volumen de los bronquiolos hay involucradas potencias de base racional y\n exponente entero.
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"3. Knowing that in each generation the length and radius of a bronchiole are reduced to\n5 6\nand\n4 5\nFrom the length and radius of the bronchiole of the previous generation, we were able to determine that:","esp":"3. Sabiendo que en cada generación el largo y radio de un bronquiolo se reducen a \n5 6\ny \n4 5\ndel largo y radio del bronquiolo de la generación anterior, pudimos determinar que:"},{"tipo":"p","esp":"- \n
- \nEl número de bronquiolos en la generación n es 2n.\n \n\n
- \nEl área total de los bronquiolos de la generación n es \n2n ·\n2 · \nπ ·\n[(4 5)n · 9] \n· \n[(5 6)n · 120] \nmm2.\n \n\n
- \nEl volumen total de los bronquiolos de la generación n es \n2n ·\nπ ·\n[(4 5)n · 9] 2\n· \n[(5 6)n · 120] \nmm3.\n \n
- \n
- \nThe number of bronchioles in the n generation is 2n.\n \n\n
- \nThe total area of the bronchioles of generation n is\n2n\n2 ·\nπ ·\n[(4 5< /span>)n 9]\n·\n[(5 6< /span>)n 120]\nmm2.\n \n\n
- \nThe total volume of the bronchioles of the n generation is\n2n\nπ ·\n[(4 5< /span>)n 9] 2\n·\n[(5 6< /span>)n 120]\nmm3.\n \n
Estas tareas pueden ser utilizadas para evaluar formativamente los siguientes indicadores:\n
","tipo":"p","eng":"These tasks can be used to formatively assess the following indicators:\n
"},{"tipo":"p","eng":"- They model processes of growth and decrease.\n \n
- They solve problems of daily life and other subjects, related to powers of rational base and integer exponent.\n
- Modelan procesos de crecimiento y decrecimiento.\n \n
- Resuelven problemas de la vida diaria y de otras asignaturas, relacionados con potencias de base racional y exponente entero.\n
To carry out this activity, it is essential to take into account the following considerations:
- The focus of this activity is on mathematically modeling the structure of the bronchial tree, not on analyzing the functioning of the lungs.
- The bronchial tree model used is a simplified representation, in which several assumptions are made to facilitate understanding and study topic.
- It is important to emphasize to students that the actual structure of the bronchial tree differs in some aspects from the simplified model, but that it is essential to simplify it in order to model it mathematically and study it from this model.
Para llevar a cabo esta actividad, es fundamental tener en cuenta las siguientes consideraciones:
- El enfoque de esta actividad se centra en modelar matemáticamente la estructura del árbol bronquial, no en analizar el funcionamiento de los pulmones.
- El modelo del árbol bronquial utilizado es una representación simplificada, en la cual se realizan varios supuestos para facilitar la comprensión y el estudio del tema.
- Es importante destacar a las y los estudiantes que la estructura real del árbol bronquial difiere en algunos aspectos del modelo simplificado, pero que es esencial simplificarla para poder modelarla matemáticamente y estudiarla a partir de este modelo.
Los pulmones son órganos pertenecientes al sistema respiratorio, responsables del intercambio de oxígeno y dióxido de carbono en el cuerpo. El aire que respiramos entra a los pulmones a través de la tráquea, luego se ramifica en los bronquios y continúa en los bronquiolos hasta llegar a los sacos alveolares. La estructura de estos conductos es similar a un árbol, por eso se conoce como árbol bronquial. \n
","eng":"The lungs are organs belonging to the respiratory system, responsible for the exchange of oxygen and carbon dioxide in the body. The air we breathe enters the lungs through the trachea, then branches into the bronchi and continues through the bronchioles until it reaches the alveolar sacs. The structure of these ducts is similar to a tree, which is why it is known as the bronchial tree.\n
"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/imgs/dibujo%20arbol%20bronquial.jpg","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronchial/imgs/dibujo%20arbol%20bronchial.jpg"},{"tipo":"p","eng":"For this situation, we use a simplified model of the bronchial tree, in which a few assumptions are made:\n
","esp":"Para esta situación, utilizamos un modelo simplificado del árbol bronquial, en el que se hacen algunas suposiciones:\n
"},{"esp":"- \n
- Los conductos siempre se ramifican en dos. \n
- Los conductos tienen una forma cilíndrica circular.\n \n
- La razón en la que decrecen el largo y radio de los conductos es siempre constante. \n
- \n
- The ducts always branch into two. \n
- The ducts have a circular cylindrical shape.\n \n
- The rate at which the length and radius of the ducts decrease is always constant. \n
Although having a simplified model of the bronchial tree makes it possible to study it mathematically, it is essential to keep in mind that in reality:\n
","tipo":"p","esp":"Aunque contar con un modelo simplificado del árbol bronquial permite estudiarlo matemáticamente, es esencial tener presente que en la realidad:\n
"},{"esp":"- \n
- La ramificación en cada generación no es exacta. Puede haber \"ramas\" más cortas que otras, y en algunos casos pueden surgir 3 conductos a partir de uno anterior. \n
- Los conductos no tienen una forma exactamente cilíndrica circular.\n \n
- La razón en la que decrecen el largo y radio de los conductos no es constante a lo largo del árbol bronquial. \n
- \n
- The branching in each generation is not exact. There may be shorter \"branches\" than others, and in some cases 3 canals may emerge from a previous one. \n
- The canals are not exactly circular cylindrical in shape.\n \n
- The rate at which the length and radius of the tubes decrease is not constant throughout the bronchial tree. \n
The bronchial tree has approximately 23 subdivisions and it is important to understand the differences between its different zones: the conduction zone and the breathing zone. The conduction zone is the one that most resembles a tree with ramifications in each generation, in addition the ducts maintain an approximate cylindrical shape in this part of the bronchial tree. On the other hand, in the breathing zone (from the 17th generation) the ducts begin to present alveoli on their walls, ending in the 23rd generation with only alveolar sacs. In this area, the bifurcation no longer follows a clear pattern that can be modeled as bifurcations, and the ducts lose their cylindrical shape as they approach the end of the bronchial tree.\n
","tipo":"p","esp":"El árbol bronquial presenta aproximadamente 23 subdivisiones y es importante entender las diferencias entre sus distintas zonas: la zona de conducción y la zona de respiración. La zona de conducción es la que se asemeja más a un árbol con ramificaciones en cada generación, además los conductos mantienen una forma cilíndrica aproximada en esta parte del árbol bronquial. Por otro lado, en la zona de respiración (a partir de la 17ª generación) los conductos comienzan a presentar alvéolos en sus paredes, terminando en la generación 23 solo con sacos alveolares. En esta zona, la bifurcación ya no sigue un patrón claro que pueda ser modelado como bifurcaciones y los conductos pierden su forma cilíndrica a medida que se acercan al final del árbol bronquial.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/imgs/principal_pulmon_tabla2.png","tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/imgs/principal_pulmon_tabla2.png","caption":{"esp":"","eng":""}}]}},"visible":true},"visible":true,"recursos":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Video","esp":"Video","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"The video “What is the bronchial tree?” provides detailed information on the structure and functioning of the bronchial tree, as well as the necessary data for students to complete the proposed activities.\n
","esp":"El video “¿Qué es el árbol bronquial?” proporciona información detallada sobre la estructura y funcionamiento del árbol bronquial, así como los datos necesarios para que los estudiantes puedan completar las actividades propuestas.\n
"},{"tipo":"video","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/arbol-bronquial/07_arbol%20branquial%20subt.mp4","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/videos/Arbol%20Bronquial.webm"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/arbol-bronquial/07_arbol%20branquial%20subt.mp4","titulo":{"eng":"Descargar Video","esp":"Descargar Video"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/videos/Arbol%20Bronquial.webm","tipo":"button","recurso":"Descarga"},{"esp":"Presentación (Diapositivas 2 a 6)","tipo":"h3","eng":"Presentation"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación."},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/arbol-bronquial/ppt_arbol_bronquial_final.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/pdfs/Presentacion_1_Medio_Unidad1_OA2_modificado.pdf"},{"tipo":"button","titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/arbol-bronquial/ppt_arbol_bronquial_final.pptx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/docs/Presentacion_1_Medio_Unidad1_OA2_modificado.pptx"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Hoja de Actividades","eng":"Worksheet"},{"eng":"Printable document that contains the activity that the students must carry out.\n
","tipo":"p","esp":"Documento imprimible que contiene la actividad que deben desarrollar las y los estudiantes.\n
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/arbol-bronquial/ha_arbol_bronquial_vf.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/pdfs/Hoja_de_Actividades_1_Medio_Unidad1_OA2_modificado.pdf"},{"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/docs/Hoja_de_Actividades_1_Medio_Unidad1_OA2_modificado.docx","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/arbol-bronquial/ha_arbol_bronquial_vf.docx","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":"Download Activity Sheet"},"tipo":"button"},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (Diapositivas 7 a 25)","eng":""},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/arbol-bronquial/ppt_arbol_bronquial_final.pdf","eng":""},{"tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/arbol-bronquial/ppt_arbol_bronquial_final.pptx","recurso":"Descarga","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":""}}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Presentación (Diapositivas 26 a 28)","eng":"Presentation (slides 17 to 19)"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.
","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/pdfs/Presentacion_1_Medio_Unidad1_OA2_modificado.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/arbol-bronquial/ppt_arbol_bronquial_final.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://stahttps://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/arbol-bronquial/ppt_arbol_bronquial_final.pptx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/docs/Presentacion_1_Medio_Unidad1_OA2_modificado.pptx","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"},"recurso":"Descarga"}]},"4":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Guía Práctica","eng":"Practical Guide"},{"eng":"In this Practical Guide, students are expected to use an interactive resource to observe how the magnitudes associated with the bronchial tree vary according to the model used.\n
","tipo":"p","esp":"En esta Guía práctica se busca que las y los estudiantes utilicen un recurso interactivo para observar cómo varían las magnitudes asociadas al árbol bronquial de acuerdo con el modelo utilizado.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/pdfs/Guia_Practica_1_Medio_Unidad1_OA2_modificado.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/pdfs/Guia_Practica_1_Medio_Unidad1_OA2_modificado.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/docs/Guia_Practica_1_Medio_Unidad1_OA2_modificado.docx","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/docs/Guia_Practica_1_Medio_Unidad1_OA2_modificado.docx","tipo":"button","titulo":{"eng":"Download Practical Guide","esp":"Descargar Guía Práctica"}},{"esp":"Recurso Interactivo","eng":"Interactive Resource","tipo":"h3"},{"eng":"The GeoGebra resource shows elements such as the number of bifurcations for each generation, total number of bifurcations, volume, area, of the bronchial tree. Using the slider indicating the generations, it is possible to understand how a rational base power behaves with an integer exponent, as more generations are considered.\n
","tipo":"p","esp":"El recurso GeoGebra muestra elementos como la cantidad de bifurcaciones por cada generación, cantidad total de bifurcaciones, volumen, área, del árbol bronquial. Mediante el deslizador que indica las generaciones, es posible comprender cómo se comporta una potencia de base racional con un exponente entero, a medida que se consideran más generaciones.\n
"},{"recurso":"Geogebra","tipo":"iframe","eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/z8b84re3/width/612/height/580/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/ asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/z8b84re3/width/612/height/580/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false"},{"tipo":"h3","esp":"Guía Práctica adicional","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En este documento se proponen ejercicios adicionales, en algunos casos de mayor dificultad, para que las y los estudiantes puedan aplicar lo aprendido en esta lección. Los ejercicios de esta guía también pueden servir para evaluar los aprendizajes de la clase.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/pdfs/Guia_Practica_ADICIONAL_Primero_OA2_Arbol_Bronquial.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica adicional","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/arbol_bronquial/docs/Guia_Practica_ADICIONAL_Primero_OA2_Arbol_Bronquial.docx","tipo":"button"}],"visible":true}}},"recursosProyecto":[]},"15":{"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"behavior to infinity","esp":"El comportamiento al infinito ","tipo":"h3"},{"esp":"En esta actividad se aborda un modelo para analizar cómo responde la pupila ante la luz, lo que se representa mediante el diámetro \\(D(x)\\) de ésta, en función de la iluminancia \\(x\\) a la que es sometida. A través de análisis gráfico se establece que la función \\(D\\) tiene la siguiente propiedad: sus valores se acercan a un número fijo \\(L\\) a medida que \\(x\\) crece indefinidamente.","tipo":"p","eng":"This activity deals with a model to analyze how the pupil responds to different levels of illumination. This relates the diameter D(x) of the pupil, as a function of the illuminance x. Through graphical analysis it is established that the function"},{"eng":"
Understanding this property is achieved by repeatedly moving along the X-axis toward larger and larger values. It is observed that the values of the function get closer and closer to that number.","tipo":"p","esp":"
La comprensión de esta propiedad se logra trasladándose reiterativamente en el eje X hacia valores más y más grandes. Se observa que los valores de la función se acercan cada vez más a dicho número L. \n
"},{"tipo":"p","esp":"Al analizar el gráfico de la función \\(D\\), se observa que para cualquier valor de \\(d\\), por más pequeño que sea, es posible encontrar un \\(x\\), desplazándose hacia la derecha en el eje horizontal, a partir del cual todos los valores de \\(D(x)\\) están a una distancia a lo más \\(d\\) del número \\(L\\):","eng":"When analyzing the graph of the function D , it is observed that for any value of d it is possible to find an x , moving towards the right on the horizontal axis, from which all values of D(x) are at most d of the number"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/imgs/principal_tabla1.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/imgs/principal_tabla1.png","alinea":"texto-centrado","escala":"50","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"
This behavior of the function describes its graph for large values of the variable x. When a function complies with this, we will say that the function has a limit.","esp":"\nEste comportamiento de la función describe su gráfico para valores grandes de la variable \\(x\\). Cuando una función cumpla con esto, diremos que la función tiene límite \\(L\\) a medida que su variable \\(x\\) tiende a infinito. Esto se denota simbólicamente mediante la siguiente expresión:","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"
limx → ∞ D(x) = L
","eng":"limx → ∞"},{"eng":"
When a function f does this, we will use the above notation and say that:\n
","tipo":"p","esp":"Cuando una función f cumpla esto, usaremos la notación anterior y diremos que:\n
"},{"esp":"- x tiende a infinito: es equivalente a decir que la variable x) crece indefinidamente.\n \n
- \nf(x) tiende a L: es equivalente a decir que el límite de f(x) es igual a L. Si bien en esta actividad solo consideramos que x tiende a infinito, debe cuidarse de usar esta expresión siendo explícitos si x tiende a infinito, a menos infinito o a cierto número real.\n
- x tends to infinity: this is equivalent to saying that the variable"},{"tipo":"p","esp":"Este concepto se puede expresar simbólicamente mediante:\n","eng":"
In general, it should be noted that the limit of"},{"eng":"
limx → ∞","tipo":"p","esp":"
limx → ∞ f(x) = L ↔ ∀ d > 0, ∃ x0 ∈ R: x>x0 → |f(x)-L| < d\n
"},{"eng":"Note that the expression ”from a certain value of x” is represented by\n
","esp":"Notemos que la expresión ”a partir de un determinado valor de x” está representada por\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"∃ x0 ∈ R:","esp":"
∃ x0 ∈ R: x>x0
"},{"eng":"where the “determined value” corresponds to the number","esp":"
donde el “determinado valor” corresponde al número x0.\n
","tipo":"p"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"notion of limit","tipo":"h3","esp":"Noción de límite "},{"tipo":"p","eng":"Since it is possible that this is the first time that students are faced with the notion and notation of limits when a function converges to infinity, it is likely that they will have difficulties understanding the definition. Therefore, it is suggested to explain as many times as necessary the equivalence between symbolic language and everyday language.\n
","esp":"Como es posible que sea la primera vez que las y los estudiantes se enfrentan a la noción y a la notación de límite de una función cuando su variable tiende a infinito, es probable que surjan dificultades para entender la definición. Por tanto, se sugiere explicar tantas veces como sea necesario la equivalencia entre el lenguaje simbólico y el lenguaje cotidiano."},{"tipo":"p","eng":"On the other hand, it is important to consider that in the study of limits it is convenient to dialogue and move permanently between different representations (graphics, symbols and tables of values), since in this way a better understanding of the concept is achieved. In addition, to reinforce the ideas worked on in class, you can analyze the infinite limits of other functions known to your students (limx → ∞","esp":"
Por otro lado, es importante considerar que en el estudio de límite es conveniente dialogar y transitar de manera permanente entre diversas representaciones (gráficas, simbólicas y tablas de valores), ya que de esta manera se logra una mejor comprensión del concepto. Además, para afianzar las ideas trabajadas en la clase, puede analizar los límites al infinito de otras funciones conocidas por sus estudiantes (limx → ∞ xn, por ejemplo).\n
"},{"eng":"The analysis of this situation is achieved through the use of educational technologies, in this case it is proposed to work with a spreadsheet such as Excel.\n
","esp":"El análisis de esta situación se logra por medio del uso de tecnologías educativas, en este caso se propone trabajar con una hoja de cálculo como Excel. \n
","tipo":"p"}]},"3":{"contenido":[{"eng":"The pupil","esp":"La pupila","tipo":"h3"},{"esp":"La pupila es el orificio situado en la zona central del iris que actúa como un diafragma cuyo tamaño fluctúa según la cantidad de luz que haya en el ambiente, para que así la retina pueda recibir la luz que necesita. El diámetro promedio de las pupilas es de 3,5 mm, con un rango entre 2 a 7 mm. Se denomina miosis a la contracción de la pupila del ojo y midriasis a la dilatación de la pupila. \n
","eng":"The pupil is the hole located in the central area of the iris that acts as a diaphragm whose size fluctuates according to the amount of light in the environment, so that the retina can receive the light it needs. The average diameter of the pupils is 3.5 mm, with a range between 2 to 7 mm. The contraction of the pupil of the eye is called miosis and the dilation of the pupil is called mydriasis.\n
","tipo":"p"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/imgs/principal_m%C3%83%C2%BAsculosiris.png","escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/imgs/principal_m%C3%83%C2%BAsculosiris.png","tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado"},{"tipo":"h3","esp":"Pupilometría","eng":"pupillometry"},{"esp":"En la actualidad, los pupilómetros con luz infrarroja son los equipos más modernos y precisos para medir la pupila. \n
","eng":"Currently, infrared pupillometers are the most modern and accurate equipment for measuring the pupil.\n
","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/imgs/principal_pupilometria.png","escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/imgs/principal_pupilometria.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""}},{"esp":"Mediante un examen con este instrumento se evalúa el tamaño pupilar en distintas condiciones de luz y la rapidez de reacción e igual intensidad en ambos ojos. Los resultados de este examen permiten conocer el tamaño de la pupila y también si hay alteraciones que se asocian a algún problema neurológico o enfermedades como el alzheimer, la migraña, trastornos del sueño, entre otras.
","eng":"Through an examination with this instrument, the pupil size is evaluated in different light conditions and the speed of reaction and equal intensity in both eyes. The results of this exam allow us to know the size of the pupil and also if there are alterations that are associated with any neurological problem or diseases such as Alzheimer's, migraine, sleep disorders, among others.
","tipo":"p"},{"escala":"50","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/imgs/principal_pupilometria2.png","tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/imgs/principal_pupilometria2.png"},{"eng":"How is light measured?","esp":"¿Cómo se mide la luz?","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"La luz es la forma de energía que ilumina las cosas, las hace visibles y se propaga mediante fotones. Es una onda electromagnética capaz de ser percibida por el ojo humano y cuya frecuencia determina su color. La cantidad de luz emitida depende de los lúmenes producidos por la fuente. Cuanto más alto sea el número de lúmenes, más cantidad de brillo proporcionará el objeto radiante.\n
","eng":"Light is the form of energy that illuminates things, makes them visible, and is propagated by photons. It is an electromagnetic wave capable of being perceived by the human eye and whose frequency determines its color. The amount of light emitted depends on the lumens produced by the source. The higher the number of lumens, the more amount of brightness the radiant object will provide.\n
"},{"eng":"In the research study proposed in the problem of this activity, the model was determined based on illuminance, which measures the light that falls on a surface, different from luminance, which measures the light that comes from a surface to our eyes. The unit of measure to quantify light (illuminance) is the Lux","esp":"
En el estudio de investigación propuesto en el problema de esta actividad se determinó el modelo en función de la iluminancia, la cual mide la luz que incide sobre una superficie, diferente a la luminancia, la que mide la luz que llega desde una superficie a nuestros ojos. La unidad de medida para cuantificar la luz (iluminancia) es el Lux que es igual a lúmenes m2, y que se abrevia lx.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/imgs/principal_vela.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/imgs/principal_vela.png","caption":{"eng":"","esp":""}},{"esp":"A continuación algunos ejemplos de iluminancias aproximadas medidas en lux (lx) :\n
","tipo":"p","eng":"Here are some examples of approximate illuminances measured in lux (lx) :\n
"},{"caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/imgs/principal_tabla2.png","alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/imgs/principal_tabla2.png"}],"visible":true}},"visible":true},"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"latching moment","esp":"Momento de enganche"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 2 y 3, Presentación)","eng":"(Slides 2 and 3, Presentation)"},{"tipo":"p","eng":"Introduce the video “Pupil Size”. Then, ask students to share their opinions about the video, answer questions, and ask questions that help them engage with the activity, such as:\n
","esp":"Presente el video “Tamaño de la pupila”. Luego, pida a las y los estudiantes que compartan sus opiniones sobre el video, resuelva dudas y realice preguntas que les ayuden a involucrarse con la actividad, tales como: \n
"},{"eng":"- \n
- If you are in a dark room and someone turns on a bright light, what should happen to your pupil?\n \n
- What is the function of the pupil?\n \n
- When is the pupil the smallest? Because?\n \n
- \n
- Si estás en un cuarto oscuro y alguien prende una luz intensa, ¿qué debería pasar con tu pupila?\n \n
- ¿Cuál es la función de la pupila?\n \n
- ¿Cuándo la pupila tiene menor tamaño? ¿Por qué? \n \n
Se sugiere pedir a sus estudiantes que lean la siguiente situación que está presente en la Hoja de Actividades: \n
","eng":"It is suggested that you ask your students to read the following situation that is present in the Activity Sheet:\n
","tipo":"p"},{"eng":"In 2019, in Spain, a study was carried out that developed a pupillary diameter measurement system, with which, later, the behavior of the pupil, and, in general, of the human eye, was analyzed before different lighting levels. The study was based on several scientific investigations developed to date. In addition, he contemplated people between the ages of 20 and 30.
","esp":"En el año 2019, en España, se realizó un estudio que desarrolló un sistema de medida del diámetro pupilar, con el que, posteriormente, se analizó el comportamiento de la pupila, y, en general, del ojo humano, ante distintos niveles de iluminación. El estudio consideró como base varias investigaciones científicas desarrolladas hasta la fecha. Además, contempló a personas entre los 20 y los 30 años.
","tipo":"p"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"First part","tipo":"h3","esp":"Primera parte"},{"esp":"(Diapositivas 5 y 6, Presentación)","eng":"(Slides 5 and 6, Presentation)","tipo":"h4"},{"esp":"Antes de resolver las preguntas de la hoja de actividades, muestre el gráfico de la hoja 1 del archivo excel “Diámetro de la pupila para distintos niveles de iluminación”. Declare que gracias a los datos obtenidos del estudio mencionado se pudo construir el gráfico que observan y que este representa la función \\(D\\) la cual relaciona el diámetro de la pupila para cierta iluminancia.\n
","eng":"Before solving the questions on the activity sheet, show the graph on sheet 1 of the excel file “Pupil diameter for different lighting levels”. Declare that thanks to the data obtained from the aforementioned study, it was possible to construct the graph that you observe and that this represents the function \\(D\\) which relates the diameter of the pupil to a certain illuminance.\n
","tipo":"p"},{"eng":"If you consider it necessary, explain that illuminance is defined as the luminous flux received by a surface and its unit of measurement is \\(lux\\).\n
","tipo":"p","esp":"Si lo considera necesario, explique que la iluminancia se define como el flujo luminoso recibido por una superficie y su unidad de medida es el \\(lux\\). \n
"},{"esp":"(Diapositivas 7 a 10, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slides 7 to 10, Presentation)"},{"esp":"\nEn esta parte, las y los estudiantes interpretan un gráfico que relaciona las dos variables del problema (Tarea Matemática A). Realice las siguientes preguntas para validar la comprensión del gráfico por parte de las y los estudiantes:","eng":"Ask the following questions to validate students' understanding of the graph:\n
","tipo":"p"},{"eng":"- \n
- Which variable is represented on the abscissa axis? And on the ordinate axis?\n \n
- \n What is the unit of measurement for the diameter of the pupil?\n \n
- What is the approximate diameter of the pupil when the illuminance is","recurso":"Pregunta","esp":"
- \n
- ¿Qué variable se representa en el eje de las abscisas?, ¿y en el de las ordenadas?\n \n
- \n ¿Cuál es la unidad de medida del diámetro de la pupila?\n \n
- ¿Cuál es aproximadamente el diámetro de la pupila cuando la iluminancia es de 4 lx?\n \n
- \n
- Axis of the abscissa: illuminance; ordinate axis: pupil diameter\n \n
- mm
- Between","esp":"
- \n
- Eje de las abscisas: iluminancia; Eje de las ordenadas: diámetro de la pupila\n \n
- mm
- Entre 4,2 y 4,4 mm \n
Ask the following question in plenary:\n
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","esp":"¿Cómo se comporta el diámetro de la pupila cuando la iluminancia aumenta significativamente?
","recurso":"Pregunta","eng":"How does the pupil diameter behave when the illuminance increases significantly?
"},{"esp":"Se espera que las y los estudiantes respondan de manera intuitiva a esta pregunta, tanto considerando aspectos físicos de lo que puede ocurrir, como matemáticamente. Por ejemplo, podrían decir que se daña la pupila al tener gran iluminación, o que se contrae, proponiendo que se acerca a cero. En este momento no valide ni rechace los argumentos propuestos por sus estudiantes. Se sugiere continuar preguntando en plenaria:\n
","tipo":"p","eng":"Students are expected to respond intuitively to this question, both considering physical aspects of what can happen, and mathematically. For example, they could say that the pupil is damaged by having great lighting, or that it contracts, proposing that it is close to zero. Do not validate or reject the arguments put forward by your students at this time. It is suggested to continue asking in plenary:\n
"},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","eng":"How can we analyze the behavior of D(x) when x grows indefinitely?\n
","esp":"¿Cómo podemos analizar el comportamiento de D(x) cuando x crece de forma indefinida?\n
"},{"esp":"Puede mostrar el gráfico en este momento, se espera que sus estudiantes mencionen que deberían contar con un gráfico que muestre valores “muy grandes” para x. \n
","eng":"You can show the graph at this point, hopefully your students will mention that they should have a graph that shows “very large” values for x.\n
","tipo":"p"},{"esp":"Segunda parte","eng":"Second part","tipo":"h3"},{"eng":"(Slide 13, Presentation)","esp":"(Diapositiva 13, Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"Mention that the function D that the study considered to express the diameter of the pupil (measured in millimeters) is the following:\n
","tipo":"p","esp":"Mencione que la función D que consideró el estudio para expresar el diámetro de la pupila (medido en milímetros) es la siguiente:\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/imgs/principal_d%28x%29.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/imgs/principal_d%28x%29.png","escala":"50","caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img"},{"esp":"Indique que no es necesario por el momento comprender algebraicamente la expresión \\(D(x)\\), sino que el foco estará en analizar el comportamiento de la función \\(D\\) por medio de una tabla de valores (Tarea Matemática C). Además, mencione que para facilitar este análisis, trabajarán con un programa de hojas de cálculos como Excel.","tipo":"p","eng":"State that it is not necessary for the moment to understand the expression D(x) algebraically, but that the focus will be on analyzing the behavior of the function"},{"tipo":"p","eng":"
Ask your students to come together in groups to complete the table (by dragging the fill handle) present on sheet 2 of the Excel file “Pupil diameter for different lighting levels”. In the event that you do not have computers for each group, it is suggested to project the Excel file and address it together with your students.\n
","esp":"Pídale a sus estudiantes reunirse en grupos para completar la tabla (arrastrando el controlador de relleno) presente en la hoja 2 el archivo Excel “Diámetro de la pupila para distintos niveles de iluminación”. En el caso que no cuente con computadores para cada grupo, se sugiere proyectar el archivo Excel y abordarlo en conjunto con sus estudiantes.\n
"},{"eng":"In this part, some of your students are likely to believe that the function converges to zero. To show that this is not true, ask the groups to also try for values of x","esp":"
Es probable que en esta parte algunos de sus estudiantes crean que la función converge a cero. Para que se den cuenta de que eso no es cierto, pida a los grupos que prueben también para valores de x > 100.000 (al menos 6 valores más). Consulte respecto de los nuevos puntos encontrados y vuelva preguntar por el comportamiento de la función cuando x es muy grande.
","tipo":"p"},{"eng":"(Slides 16 to 20, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 16 a 20, Presentación)"},{"tipo":"p","eng":"
\nComente a sus estudiantes que valores tan altos de iluminación serían perjudiciales para el ojo humano, por lo tanto, estos solo se utilizarán con la finalidad de analizar qué ocurre con la función cuando x se va al infinito.\nThen, pose the following question, present on the Activity Sheet, to each of the groups:\n
","esp":"Luego, plantee la siguiente pregunta, presente en la Hoja de Actividades, a cada uno de los grupos con la intención de que las y los estudiantes describan verbalmente el valor de un límite al infinito (Tarea Matemática D)."},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","esp":"- ¿Qué sucede con el valor de D(x) a medida que x aumenta? ¿Qué sucede cuando x toma valores muy grandes? Interprete el valor considerando el contexto.
- What happens to the value of D(x) as"},{"eng":"
When","esp":"
Cuando x aumenta la función tiende a 2, así, D(x) se aproxima tanto como uno quiera a 2 cuando x se hace suficientemente grande. Esto quiere decir que a medida que la iluminancia aumenta de forma indefinida el diámetro de la pupila tiende a medir 2 mm.\n
","tipo":"momento","recurso":"Respuesta"},{"tipo":"p","esp":"Además, realice la siguiente pregunta presente en la Hoja de Actividades para que las y los estudiantes reconozcan la recta a la que aproxima la función en el infinito (Tarea Matemática E).","eng":"In addition, ask the following question from the Activity Sheet:\n
"},{"tipo":"momento","esp":"- ¿A qué recta se aproxima la función D cuando x toma valores muy grandes?
- What line does function D approximate when x takes on very large values?
Approaches the horizontal line y =","esp":"
Se aproxima a la recta horizontal y = 2.\n
","tipo":"momento","recurso":"Respuesta"},{"esp":"Para que sus estudiantes puedan responder la pregunta anterior, pídales explorar el Geogebra “Análisis de la función D” que encuentra en el link https://www.geogebra.org/m/vtsprpvx, indique que deben usar el deslizador “→” y ver qué ocurre para valores de x hasta 1000 (puede proyectar el recurso para explorar en conjunto). Luego de la exploración, pregunte acerca de lo que observan y deje espacio para que respondan a la pregunta realizada.\n
","tipo":"p","eng":"In order for your students to answer the question above, ask them to explore the Geogebra “Analysis of the function D” found at the link https://www.geogebra.org/m/vtsprpvx, indicate that they should use the “→” slider and see what happens for values of x < /i>up to 1000 (you can project the resource to explore together). After the exploration, ask about what they observe and allow space for them to respond to the question asked.\n
"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"(Slides 21 to 24, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 21 a 24, Presentación)"},{"tipo":"p","esp":"Una vez finalizado el trabajo anterior, realice una sistematización junto a sus estudiantes en torno a las siguientes ideas:\n
","eng":"Once the previous work is finished, carry out a systematization with your students around the following ideas:\n
"},{"tipo":"p","eng":"- We are looking at a type of behavior whereby the function gets closer and closer to a specific numerical value as the variable takes on larger and larger values. In this case, the function approaches some horizontal line when x takes on very large values. \n
- We use computational resources to generate tables of values, and thus carry out a study of the behavior of a function at infinity.\n \n
- Analizamos un tipo de comportamiento que consiste en que la función se acerca cada vez más a un valor numérico específico a medida que la variable toma valores más y más grandes. En este caso, la función se aproxima a alguna recta horizontal cuando x toma valores muy grandes. \n
- Usamos recursos computacionales para generar tablas de valores, y así llevar a cabo un estudio del comportamiento de una función al infinito.\n \n
Also, state that to denote such behavior at infinity, there is a compact way of doing it, known as limit notation.\n
","esp":"Asimismo, indique que, para denotar dicho comportamiento al infinito, existe una manera compacta de hacerlo, que se conoce como notación de límite.\n
"},{"tipo":"momento","recurso":"Destacado","esp":"Para decir que los valores f(x) de una función se acercan a un número fijo L, a medida que x crece indefinidamente, usaremos la siguiente notación:
\nlimx → ∞ f(x) = L
\nEsto se lee como “f(x) tiende a L cuando x tiende a infinito”. La expresión anterior dice que L es el límite de f(x) cuando x tiende a infinito.\n
","eng":"To say that the f(x) values of a function approach a fixed number L, as x increases indefinitely , we will use the following notation:
\nlimx → ∞"},{"escala":"50","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/imgs/principal_grafico.png","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/imgs/principal_grafico.png"},{"tipo":"p","eng":"
Explain that the expression x → ∞ (“x tends to infinity”) indicates that the variable","esp":"
Explique que la expresión x → ∞ (“x tiende a infinito”) indica que la variable x crece indefinidamente. Es importante notar que el símbolo ∞ no es un número, sino que representa, en este caso, al concepto “crece indefinidamente”.\n
"}]},"4":{"contenido":[{"esp":"Presente a sus estudiantes la Guía práctica. Esta tiene por objetivo que las y los estudiantes analicen funciones al infinito cuando estas convergen y utilicen la notación de límite para describir tal comportamiento. Se sugiere que primero se dé el tiempo para que trabajen en los primeros 2 primeros ejercicios. Luego, se sugiere proponer a las y los estudiantes trabajar en el ejercicio 3 de la guía, esta tarea puede ser utilizada para evaluar formativamente el siguiente indicador:
\n\n","eng":"Introduce your students to the How To Guide. This is intended for students to analyze functions to infinity when they converge and use the limit notation to describe such behavior. It is suggested that time is given first for them to work on the first 2 exercises. Then, it is suggested to propose to the students to work on exercise 3 of the guide, this task can be used to formatively evaluate the following indicator:
","tipo":"p"},{"esp":"- Analizar funciones al infinito cuando estas convergen y utilizar la notación de límite para describir tal comportamiento.
- Analyse functions to infinity when they converge and use limit notation to describe such behavior.
The video explains how the diameter of our pupil varies depending on the lighting. This video gives rise to reflect on the behavior of the human eye and introduce the problem to work.\n
","esp":"El video explica cómo varía el diámetro de nuestra pupila dependiendo de la iluminación. Este video da pie para reflexionar en torno al comportamiento del ojo humano e introducir el problema a trabajar.\n
"},{"tipo":"video","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/videos/Tama%C3%B1o%20de%20la%20pupila. webm","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/pupila/08_pupilas_v-4_subt.mp4"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/pupila/08_pupilas_v-4_subt.mp4","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/videos/Tama%C3%B1o%20de%20la%20pupila. webm","recurso":"descarga","tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Video","eng":"Descargar Video"}},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 4)","eng":"Presentation (slides 2 to 4)"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/PresentacionLDIUnidad1_OA2.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/PresentacionLDIUnidad1_OA2.pdf"},{"titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/PresentacionLDIUnidad1_OA2.pptx","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/PresentacionLDIUnidad1_OA2.pptx"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Hoja de actividades","tipo":"h3","eng":"Worksheet"},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.\n
","tipo":"p","eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/HojadeActividadesLDI_Unidad1_OA2.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/HojadeActividadesLDI_Unidad1_OA2.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"eng":"Download Activity Sheet","esp":"Descargar Hoja de Actividad"},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/HojadeActividadesLDI_Unidad1_OA2.docx","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/HojadeActividadesLDI_Unidad1_OA2.docx"},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 5 a 16)","eng":"Presentation (slides 5 to 16)"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/PresentacionLDIUnidad1_OA2.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/PresentacionLDIUnidad1_OA2.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/PresentacionLDIUnidad1_OA2.pptx","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"},"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/PresentacionLDIUnidad1_OA2.pptx","tipo":"button"},{"eng":"interactive resources","tipo":"h3","esp":"Recursos interactivos"},{"eng":"Excel file \"Pupil diameter for different lighting levels\"","tipo":"h4","esp":"Archivo Excel \"Diámetro de la pupila para distintos niveles de iluminación\""},{"tipo":"p","esp":"Este documento contiene el gráfico de la función que relaciona el diámetro de la pupila para distintos niveles de iluminación. Además, se describe algebraicamente esta función y se entrega una tabla que permite determinar diversos puntos de ella para analizar su comportamiento al infinito.\n
","eng":"This document contains the graph of the function that relates the diameter of the pupil for different levels of illumination. In addition, this function is described algebraically and a table is provided that allows to determine various points of it to analyze its behavior to infinity.\n
"},{"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano_de_la_pupila_ante_distintos_niveles%20de_iluminacion/docs/Dia%20metro%20de%20la%20pupila%20para%20distintos%20niveles%20de%20iluminaci%C3%83%C2% B3n.xlsx","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Download Dia meter","esp":"Descargar Dia metro"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano_de_la_pupila_ante_distintos_niveles%20de_iluminacion/docs/Dia%20metro%20de%20la%20pupila%20para%20distintos%20niveles%20de%20iluminaci%C3%83%C2%B3n.xlsx"},{"eng":"GeoGebra “Analysis of function D”","esp":"GeoGebra “Análisis de la función D”","tipo":"h4"},{"tipo":"p","eng":"This interactive resource allows you to view the graph of the function D that relates the diameter of the pupil for different levels of illumination. In addition, it allows us to move to the right on the x-axis and thus visualize the graph for \"large\" lighting values. The resource will allow to analyze the behavior of the function D to infinity. https://www.geogebra.org/m/vtsprpvx
","esp":"Este recurso interactivo permite visualizar la gráfica de la función D que relaciona el diámetro de la pupila para distintos niveles de iluminación. Además, permite movernos a la derecha en el eje x y con ello visualizar la gráfica para valores “grandes” de iluminación. El recurso permitirá analizar el comportamiento de la función D al infinito. https://www.geogebra.org/m/vtsprpvx
"},{"eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/mn6wqbgn/width/1796/height/678/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/ asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/mn6wqbgn/width/1796/height/678/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false","recurso":"Geogebra","tipo":"iframe"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Presentation (slides 17 to 20)","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 17 a 20)"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/PresentacionLDIUnidad1_OA2.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/PresentacionLDIUnidad1_OA2.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/PresentacionLDIUnidad1_OA2.pptx","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/PresentacionLDIUnidad1_OA2.pptx","tipo":"button","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"}}]},"4":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Practical Guide","esp":"Guía Práctica","tipo":"h3"},{"esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes analicen la dispersión de datos en distintos contextos. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.\n
","tipo":"p","eng":"This document proposes various exercises that are intended for students to analyze the dispersion of data in different contexts. In addition, these can be used to formatively assess the knowledge developed from the situation.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/GuiaPracticaLDI_Unidad1_OA2.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/GuiaPracticaLDI_Unidad1_OA2.pdf"},{"titulo":{"eng":"Download Practical Guide","esp":"Descargar Guía Practica"},"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/GuiaPracticaLDI_Unidad1_OA2.docx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/tamano%20de%20la%20pupila%20ante%20distintos%20niveles%20de%20iluminacion/Recursos%20Apoyo/GuiaPracticaLDI_Unidad1_OA2.docx","recurso":"Descarga"}]}},"visible":true},"recursosProyecto":[]},"16":{"visible":true,"aspectosAConsiderar":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Desplazamiento y trayectoria","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"El vector desplazamiento es el vector que conecta los puntos inicial o final de una trayectoria, como se muestra a continuación:
"},{"tipo":"p","esp":"
","eng":""},{"esp":"Suma de vectores","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":"La suma de los vectores u⃗ y v⃗ es el vector w⃗, que corresponde a realizar una traslación según u⃗, seguida de una traslación según el vector v⃗. Este vector se escribe w⃗ = u⃗ + v⃗.","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/imgs/tray-despl.gif\")
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Otra forma de visualizar la suma es la siguiente:\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/imgs/suma-triang.png\")
- \n
- Dibujar u⃗ y v⃗ partiendo en el mismo punto inicial A. \n
- Completamos el paralelogramo que tiene como lados los vectores u⃗ y v⃗. \n
- La suma corresponde al vector diagonal que une los punto A y B como se muestra en la figura: \n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/imgs/suma-paral.png\")
Cuando se visualiza la suma de vectores de esta manera, se habla de que se ha utilizado el método del paralelogramo para la suma, y la construcción original que mostramos se conoce como el método del triángulo.
","eng":""},{"eng":"","esp":"En esta situación, la suma de vectores se introduce como desplazamientos sucesivos. Por ejemplo, el desplazamiento que representa ir desde el punto B hasta el punto A, puede realizarse en desplazamientos sucesivos:
","tipo":"p"},{"esp":"- Ir desde B hasta C y luego desde C hasta A. En cuyo caso, escribimos B⃗A= B⃗C+C⃗A.
- Ir desde B hasta D y luego desde D hasta A. En cuyo caso, escribimos B⃗A=B⃗D+D⃗A.
"},{"eng":"","esp":"Propiedades de la suma de vectores","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"Es posible deducir las siguientes propiedades para la suma de vectores,\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/imgs/mapa_ppt_3.png\")
- \n
- Conmutatividad: Para todo par de vectores u⃗ y v⃗, se cumple que u⃗ + v⃗ = v⃗ + u⃗. \n
- Asociatividad: Para todos los vectores u⃗, v⃗ y w⃗, se cumple que u⃗ + (v⃗ + w⃗) = (u⃗ + v⃗) + w⃗
- \n
- (u⃗ + v⃗) + w⃗ \n
- u⃗ + (v⃗ + w⃗) \n
Gracias a la asociatividad estas dos expresiones son iguales, por lo que usualmente no se escriben los paréntesis, puesto que son irrelevantes. Es decir (u⃗ + v⃗) + w⃗ se escribe simplemente como u⃗ + v⃗ + w⃗.\n
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"
\nEstas propiedades pueden visualizarse fácilmente de forma gráfica. La conmutatividad, por ejemplo, se puede observar al trazar el paralelogramo formado por los vectores u⃗ y v⃗ .\nLa asociatividad se puede observar al representar gráficamente la suma de tres vectores , y en distinto orden:
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"
"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"p","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/imgs/asocitividad.png\")
Comprender el concepto de vector puede resultar difícil, ya que algunas de sus características y propiedades son distintas a las de los objetos geométricos a los que están habituados las y los estudiantes. A continuación se detallan algunas de las dificultades más usuales al momento de trabajar con vectores.\n
","eng":""},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Confundir una misma flecha con un vector distinto"},{"eng":"","esp":"Al introducir la forma de representar vectores por medio de flechas, una confusión habitual es reducir la idea de un vector a una flecha situada en el espacio que solo une dos puntos y generar confusiones. Esto se observa, por ejemplo, cuando los estudiantes piensan que flechas que conectan puntos diferentes del espacio, aunque tengan igual magnitud, dirección y sentido, corresponden a vectores distintos. Es decir, creer por ejemplo que el vector A⃗B solo traslada el punto A.\n
\nEn estos casos se sugiere enfatizar que un vector puede trasladar cualquier punto del plano, independiente de cómo se escriba, pues un vector representa una traslación, la cual es independiente del punto sobre el cual se aplica dicha traslación. Por ejemplo, en la figura de abajo, el vector A⃗B traslada el punto C en el punto D. ","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"
","eng":""},{"esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/imgs/principal8.png\")
Naturalmente, en este caso tenemos que A⃗B = C⃗D. \n
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Dar significado al signo \"−\" en un vector","tipo":"h3"},{"esp":"
\nTambién se presentan problemas para entender el sentido de los vectores. Por ejemplo, algunos estudiantes podrían asociar el vector que se representa con una flecha de un punto P a un punto Q con el segmento que une estos puntos, o bien podrían no distinguirlo del vector representado por la flecha que va de Q a P.Es importante que los y las estudiantes comprendan que el vector −(23) = (−2 −3) hace referencia al vector (23), pero en el sentido opuesto. Por esto, es relevante que puedan visualizar el significado geométrico del vector −u⃗, reconociendo en la siguiente imagen que si el vector de color naranjo es el vector u⃗, entonces el de color azul es −u⃗ o viceversa.
\n","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Usar representaciones para abordar las operaciones con vectores"},{"eng":"","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/imgs/inverso-vect.png\")
Es importante que las propiedades de las operaciones con vectores, tales como la suma, sean abordadas desde las distintas representaciones de un vector. Al usar la representación con flechas, los estudiantes podrán observar gráficamente las propiedades de la suma, lo cual será de utilidad cuando necesiten visualizar e idear estrategias para resolver problemas. Por otro lado, comprender estas propiedades usando la representación algebraica de los vectores permite afianzar las ideas que habían observado gráficamente y utilizar el álgebra para probar otras propiedades y resolver problemas geométricos.
","tipo":"p"}]},"3":{"contenido":[{"esp":"El desarrollo de los drones se remonta a principios del siglo XX, cuando los primeros intentos de vuelos controlados y no tripulados se materializaron. Durante gran parte del siglo XX el uso de drones estaba limitado a ámbitos militares. Fue durante la década de 1980 que esta tecnología se empezó a utilizar para otro tipo de aplicaciones, principalmente en fotografía aérea. \n
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"
\nCon los avances tecnológicos de las décadas venideras, los drones se hicieron más pequeños, ligeros y fáciles de usar, lo que permitió su uso en diversas aplicaciones civiles. En la actualidad, los drones se utilizan en una amplia variedad de aplicaciones, tales como fotografía y filmación aérea, entregas de paquetes, vigilancia y seguridad, y operaciones de búsqueda y rescate, entre otros. Por lo que es cada vez más común encontrarse con uno de ellos en nuestro entorno.
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/imgs/dron_principal.png\")
En esta lección, se propone una situación en la que un grupo de expertos, posterior a un terremoto, debe decidir si un dron de reconocimiento alcanza a visitar un punto de interés más antes de hacerlo regresar al centro de control. En particular, el dron se encuentra en el punto B del mapa, y los expertos evalúan si enviarlo al punto C o D antes de regresar el centro de operaciones en A.
","tipo":"p"},{"esp":"
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/imgs/mapa_ppt_1.png\")
En este sentido, al resolver el problema cobra especial relevancia el concepto de autonomía de vuelo del dron, que se refiere al tiempo máximo que un dron puede estar en el aire antes de que se agote su batería. Si bien el problema se puede resolver sin usar la suma de vectores (mediante el cálculo de distancias) en esta lección se intenciona el hecho de describir los posibles desplazamientos del dron utilizando vectores, para hacer surgir el concepto de suma de vectores y su estudio.
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Cabe destacar que si bien la autonomía de un dron es un factor clave al elegir un dron para una tarea específica, y especialmente en situaciones de emergencia y rescate, donde se espera que el dron permanezca en el aire durante largos períodos de tiempo, el problema propuesto es una situación simplificada e idealizada de la realidad. A modo de ejemplo, en la toma de decisiones respecto al uso de drones en emergencias, hay una serie de factores adicionales que son importantes de considerar, tales como las condiciones meteorológicas, el peso del dron, la velocidad de ascenso, etc. que no son mencionados ni analizados en la lección.
"}],"visible":true}}},"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Momento de enganche","eng":""},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 2 y 3, Presentación)"},{"eng":"","esp":"Se sugiere comenzar la lección planteando preguntas como las siguientes:
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","esp":"- ¿Alguno de ustedes ha visto o manipulado drones? ¿En qué situaciones?
- Si ustedes pudieran hacer uso de un dron para entregar algún tipo de ayuda, ¿en qué situaciones lo usarían? ¿Por qué creen que sería útil usar un dron y no otro recurso?
Dé tiempo y espacio para que las y los estudiantes discutan sobre estas preguntas y lo relevante que puede ser el uso de tecnología con el fin de ayudar en situaciones de emergencia. \n
","eng":""},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"recurso":"modalPDF","tipo":"button","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/drones/Infografia_Drones_v2.pdf"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"
\nLuego, presente la infografía “Uso de drones en emergencias” y proponga preguntas como las siguientes para asegurarse de que los estudiantes han comprendido su contenido:- ¿Por qué el uso de drones puede ser de ayuda en situaciones de emergencias?
- ¿Cuáles son los principales usos de los drones en situaciones de emergencia?
- Al momento de planificar tareas de rescate, ¿Por qué es importante tener en cuenta la autonomía de vuelo del dron?
Estas preguntas buscan que las y los estudiantes comprendan el contexto general en el cual se desarrollará la actividad. En particular, es primordial que entiendan el concepto de autonomía de vuelo y su importancia en la planificación de tareas de rescate, pues en torno a este concepto se desarrollará el trabajo matemático posterior. En este sentido, y si lo considera necesario, puede dedicar un poco más de tiempo a discutir este concepto con los estudiantes.
"},{"esp":"Presentación del problema","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"(Diapositiva 4, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Proyecte la diapositiva 4 de la presentación, en la cual se da a conocer el problema. Dé tiempo para que los estudiantes reconozcan que el dron tiene tres posibilidades para volver al centro de control en el punto A. Para ello puede preguntar:\n
","eng":""},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Pregunta","esp":"¿Cuáles son los posibles caminos de regreso que discuten los expertos?
"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Primera parte","eng":""},{"eng":"","esp":"(Diapositivas 5 y 6, Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para dar inicio a este momento, proponga a sus estudiantes trabajar en grupos pequeños en la primera actividad de la Hoja de actividades.
"},{"eng":"","recurso":"Actividades","tipo":"momento","esp":"Gracias a la ausencia de viento en la zona el dron se mueve prácticamente en línea recta cuando viaja de un punto a otro. Representa gráficamente en el mapa los desplazamientos involucrados en los tres caminos posibles para hacer regresar al dron:
- Camino 0: Devolverse desde B hasta A.
- Camino 1: Ir de B hasta C y luego regresar al punto A.
- Camino 2: Ir de B hasta D y luego regresar hasta el punto A.
"},{"eng":"","esp":"Dé un breve espacio de tiempo para que las y los estudiantes representen estos desplazamientos. Luego, puede pedir a las y los estudiantes que compartan sus respuestas, haciéndolos pasar a la pizarra para que representen gráficamente los caminos.
","tipo":"p"},{"recurso":"Destacado","esp":"Dado el contexto, es posible que más de algún estudiante se confunda y realice un boceto de una trayectoria que no corresponda a una línea recta. En este caso, se sugiere recordar a sus estudiantes que en la actividad se pide representar el vector desplazamiento entre dos puntos. \n
\nRecuerde que el desplazamiento corresponde al vector que conecta los puntos inicial y final de una trayectoria (que corresponde a cualquier camino entre los puntos inicial y final).Y que en este caso, dado que el dron se mueve en línea recta, la trayectoria \"coincide\" con el desplazamiento.\n","eng":"","tipo":"momento"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Luego, proyecte la diapositiva 6 que muestra los posibles desplazamientos del dron y plantee las siguiente preguntas,
"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"- ¿Cuál es el punto inicial en cada camino?
- ¿Cuál es el punto final en cada camino?
- Ir desde B hasta la zona de caminos dañados en C (B⃗C) y luego volver al centro de operaciones en A (C⃗A).
- Ir desde B hasta la zona de deslizamientos de tierra en D (B⃗D) y luego volver al centro de operaciones en A (D⃗A).
- B⃗C + C⃗A = B⃗A expresa el hecho de que realizar sucesivamente los desplazamiento B⃗C y C⃗A es igual a realizar el desplazamiento B⃗A (la misma interpretación se puede dar para la suma B⃗D + D⃗A = B⃗A).
En este punto, se sugiere detenerse en explicar gráficamente la suma de vectores, en particular detallar los métodos gráficos que se utilizan para visualizar la suma (método del triángulo y método del paralelogramo).
","eng":""},{"esp":"Segunda parte","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 10 a 13, Presentación)","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Proponga a sus estudiantes trabajar en la segunda parte de la Hoja de actividades.
","eng":""},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","eng":"","esp":"Considera el siguiente plano cartesiano, en donde el origen se ha situado en el centro de operaciones (A).
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/imgs/mapa_ppt_4.png\")
Obtén las coordenadas para los vectores desplazamiento involucrados en cada uno de los caminos anteriores,- Camino 0: B⃗A
- Camino 1: B⃗C y C⃗A
- Camino 2: B⃗D y D⃗A
- B⃗A = (-8 -11).
- B⃗C = (1 5) y C⃗A = (-9 -16).
- B⃗D = (3 -8) y D⃗A = (-11 -3).
Dé un tiempo para que las y los estudiantes obtengan las coordenadas de los vectores, y luego comparen sus respuestas con el resto del curso. Asegúrese de que las y los estudiantes comprendan estas respuestas.
","eng":""},{"esp":"Si nota que sus estudiantes tienen dificultades para realizar estos cálculos, puede recordarles cómo obtener las coordenadas de un vector que traslada un punto P a otro Q,
\n","eng":"","recurso":"Destacado","tipo":"momento"},{"esp":"(Diapositivas 14 a 18, Presentación)","eng":"","tipo":"h4"},{"eng":"","esp":"En este punto, se sugiere detenerse a establecer una relación entre las coordenadas de los vectores y las expresiones para la suma encontradas de manera gráfica. Para ello, puede proyectar la diapositiva 15, en donde se muestra esta relación para la suma B⃗C + C⃗A = B⃗A, obteniendo la expresión:\n$$ {1 \\choose 5} + {-9 \\choose -16} = {-8 \\choose -11}$$\nLas y los estudiantes no saben, o al menos no tienen porqué saber el hecho de que la suma de vectores corresponde a sumar coordenada a coordenada. Sin embargo, saben que dos vectores son iguales cuando sus coordenadas lo son, y por tanto, podrían inferirlo a partir de la igualdad anterior. Con esto en consideración, una vez que ha presentado dicha expresión, se sugiere preguntar, \n","tipo":"p"},{"esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/imgs/coordenadas-v.png\")
¿Cómo creen que se resuelve la operación (1 5) + (-9 -16) ?
","tipo":"momento","eng":"","recurso":"Pregunta"},{"esp":"Pida a sus estudiantes que compartan sus ideas con el curso. Guíe la discusión para que reconozcan el hecho de que al sumar coordenada a coordenada se obtiene la igualdad buscada. Puede apoyarse en la diapositiva 15, que resume esta observación.
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Para que los y las estudiantes comprendan gráficamente que la suma de vectores se realiza coordenada a coordenada y verifiquen que el resultado de la suma anterior es el vector (-8 -11) utilice la imagen de la diapositiva 16 en donde se representan los desplazamientos horizontales y verticales que hace dron para ir desde el punto B al punto A. Estos se detallan a continuación.\n"},{"esp":"Para ir desde el punto B al punto A:
- El dron se desplazó horizontalmente 1 km hacia la derecha (1) y luego 9 km hacia la izquierda (-9), por lo tanto se desplazó 1 + - 9 = -8 km.
- El dron se desplazó verticalmente 5 km hacia arriba (5) y luego 16 km hacia abajo (-16), por lo tanto se desplazó 5 + - 16 = -11 km.
Luego de este trabajo, se sugiere sistematizar el hecho de que la suma de vectores corresponde a sumar coordenada a coordenada. Para ello, puede apoyarse en el siguiente recurso GeoGebra,
"},{"esp":"Tercera parte","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 19 y 20, Presentación)","eng":""},{"esp":"Proponga a sus estudiantes trabajar en grupos o en parejas en la tercera parte de la Hoja de actividades,
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"momento","eng":"","esp":"Para decidir qué lugar visitar (C o D), los profesionales deben evaluar si la autonomía de vuelo del dron es suficiente para alcanzar a visitar esos puntos antes de volver al centro de operaciones en A. Para ello, cuentan con la siguiente información:\n
- \n
- Gracias a la ausencia de viento en la zona el dron se mueve prácticamente en línea recta cuando viaja de un punto a otro, a una velocidad constante de 54 km/h. \n
- El dron tiene una autonomía de 40 minutos. Ya ha ocupado aproximadamente 15 de esos minutos para ir desde el centro de operaciones en A hasta la zona de derrumbes en B. \n\nConsiderando la información anterior, ¿Qué punto de interés alcanza a visitar el dron? ¿El punto C o D? ¿o ninguno?\n
- Camino 0 (B⃗A): |B⃗A|≈ 13,6 km
- Camino 1 (B⃗C y C⃗A) : |B⃗C|+ |C⃗A| ≈ 23,46 km
- Camino 2 (B⃗D y D⃗A): |B⃗D|+ |D⃗A| ≈ 19,95 km
Verifique que las y los estudiantes determinan que la distancia que puede recorrer el dron con el tiempo de autonomía que le queda y considerando que su velocidad es de 54 km/h es de 22,5 km. Para esto, recuerde que la distancia se calcula multiplicando la velocidad del dron por el tiempo de autonomía que le queda. Este último debe estar expresado en horas para que las unidades tengan sentido.
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Luego, recuerde cómo se obtiene el módulo de un vector y que este da cuenta de la distancia entre los puntos inicial y final del vector. Proponga que obtengan la distancia total recorrida en cada camino por medio de los módulos de los vectores. Finalmente, motive a que los y las estudiantes comparen las dos distancias totales recorridas, determinen que el dron solo alcanza a visitar el punto D de interés y compartan sus respuestas con el curso. Puede apoyar esta discusión con la diapositiva 20 de la presentación.
","eng":""},{"tipo":"momento","esp":"Es importante destacar que en el problema planteado, se asume que el dron viaja en línea recta desde un punto a otro (gracias a la ausencia de viento), y que por esta razón, el módulo de los vectores coincide con la distancia total recorrida. Además, en caso de que sea necesario, puede comentar que los tiempos de ascenso y descenso del dron son despreciables y que por ello no se han considerado.
","recurso":"Destacado","eng":""}]},"3":{"contenido":[{"esp":"(Diapositivas 21 y 22, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"esp":"Sistematice las siguientes ideas surgidas de la lección:- Al estudiar los posibles caminos de retorno del dron, evidenciamos que un mismo desplazamiento puede ser descrito por dos desplazamientos sucesivos. En esta situación es posible representar el vector desplazamiento B⃗A como la suma de dos desplazamientos consecutivos. En este caso, B⃗C + C⃗A = B⃗A y B⃗D + D⃗A = B⃗A.
- Además, es posible encontrar otra suma de vectores desplazamientos que se conecten en otro punto, diferente a C y D, que también den como resultado el vector desplazamiento B⃗A.
- Se evidenció gráficamente por medio de los desplazamientos horizontales y verticales totales que realizó el dron que la suma de vectores de forma algebraica corresponde a sumar las coordenadas, es decir, se suma la coordenada x de un vector con la coordenada x del otro vector. Lo mismo se realiza con las coordenadas y.
Presente a sus estudiantes la Guía Práctica y dé tiempo para que trabajen en ella. Los ejercicios tienen por objetivo que las y los estudiantes refuercen que un vector desplazamiento se puede escribir como la suma de dos desplazamientos consecutivos.
"},{"tipo":"button","titulo":{"esp":"","eng":""},"recurso":"ModalGP","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/pdfs/guia_practica_suma_vectores.pdf"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Estos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente los siguientes indicadores:
- Interpretar geométricamente la suma de vectores.
- Comprender algebraicamente la suma de vectores (coordenada a coordenada).
En esta infografía se abordan las principales características de los drones, sus principales usos, y una breve historia del desarrollo de esta tecnología
"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/drones/Infografia_Drones_v2.pdf"},{"recurso":"Descarga","tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/drones/Infografia_Drones_v2.pdf","titulo":{"esp":"Descargar Infografia ","eng":"Descargar Infografia "},"eng":""},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 4)","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/pdfs/ppt-suma-vectores.pdf","eng":""},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/docs/ppt-suma-vectores.pptx","titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"eng":"","recurso":"Descarga"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Hoja de Actividades"},{"esp":"En este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/pdfs/hoja-act-suma-vectores.pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/docs/hoja-act-suma-vectores.docx","tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":""},"eng":""},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 5 a 20)"},{"esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/pdfs/ppt-suma-vectores.pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/docs/ppt-suma-vectores.pptx","tipo":"button","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"}},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Recurso interactivo"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Este recurso GeoGebra permite explorar el hecho de que la suma de vectores corresponde a sumar coordenada a coordenada."},{"eng":"","tipo":"iframe","esp":"https://www.geogebra.org/m/xsfh8xb4","recurso":"Geogebra"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 21 y 22)","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/pdfs/ppt-suma-vectores.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/docs/ppt-suma-vectores.pptx"}]},"4":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Guía Práctica"},{"esp":"En esta guía también se proponen ejercicios para que las y los estudiantes apliquen su comprensión sobre la suma de vectores, tanto de forma gráfica como algebraica.
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/pdfs/guia_practica_suma_vectores.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Guia práctica","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/drones_emergencias/docs/guia_practica_suma_vectores.docx","tipo":"button","eng":""}]}}},"recursosProyecto":[]},"17":{"recursos":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Video “Texto predictivo”","tipo":"h3","eng":"Video “Predictive text”"},{"eng":"The video \"Predictive text\" introduces the situation, telling how text messaging applications try to predict what a person wants to write, making this daily task faster and more comfortable. It is mentioned that these applications are designed with so-called machine learning algorithms that use history to identify the most likely words that the user can type.\n
","esp":"El video “Texto predictivo” permite introducir la situación, contando cómo las aplicaciones de mensajería de texto tratan de predecir lo que una persona desea escribir, haciendo que esta tarea cotidiana se realice de forma más rápida y cómoda. Se menciona que estas aplicaciones están diseñadas con los llamados algoritmos de aprendizaje autónomo que utilizan el historial para identificar las palabras más probables que el usuario puede escribir.\n
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/texto-predictivo/09_textos%20predictivos%20subt.mp4","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/videos/Textos%20predictivos.webm","tipo":"video"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/videos/Textos%20predictivos.mp4","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/texto-predictivo/09_textos%20predictivos%20subt.mp4","recurso":"descarga","tipo":"button","titulo":{"eng":"Descargar Video","esp":"Descargar Video"}},{"eng":"Presentation (slides 2 to 7)","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 7)"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación. \n
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.\n
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/pdfs/Presentacion_III_Unidad1_OA2_modificado.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/pdfs/Presentacion_III_Unidad1_OA2_modificado.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Descargar Presentación"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/docs/Presentacion_III_Unidad1_OA2_modificado.pptx","tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/docs/Presentacion_III_Unidad1_OA2_modificado.pptx"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Worksheet","esp":"Hoja de Actividades"},{"tipo":"p","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación. \n
","eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.\n
"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/pdfs/Hoja_de_Actividades_III_Unidad1_OA2_modificado.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/pdfs/Hoja_de_Actividades_III_Unidad1_OA2_modificado.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/docs/Hoja_de_Actividades_III_Unidad1_OA2_modificado.docx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/docs/Hoja_de_Actividades_III_Unidad1_OA2_modificado.docx","tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":"Download Activity Sheet"}},{"eng":"Presentation (slides 8 to 32)","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 8 a 32)"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.\n
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación. \n
"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/pdfs/Presentacion_III_Unidad1_OA2_modificado.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/pdfs/Presentacion_III_Unidad1_OA2_modificado.pdf"},{"titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"},"recurso":"Descarga","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/docs/Presentacion_III_Unidad1_OA2_modificado.pptx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/docs/Presentacion_III_Unidad1_OA2_modificado.pptx"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 33 y 34)","eng":"Presentation (slides 33 and 34)"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.\n
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación. \n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/pdfs/Presentacion_III_Unidad1_OA2_modificado.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/pdfs/Presentacion_III_Unidad1_OA2_modificado.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/docs/Presentacion_III_Unidad1_OA2_modificado.pptx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/docs/Presentacion_III_Unidad1_OA2_modificado.pptx","tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"}}]},"4":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Guía Práctica","eng":"Practical Guide"},{"eng":"This document proposes various exercises whose objective is for students to determine the joint and conditional probabilities of events in a context other than the one presented in the activity, so that they can analyze conditional probabilities in situations of uncertainty.\n
","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes determinen las probabilidades conjuntas y condicionales de eventos en un contexto distinto al presentado en la actividad, para que analicen probabilidades condicionales en situaciones de incerteza.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/pdfs/Guia_Practica_III_Unidad1_OA2_modificado.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/pdfs/Guia_Practica_III_Unidad1_OA2_modificado.pdf"},{"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/docs/Guia_Practica_III_Unidad1_OA2_modificado.docx","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/docs/Guia_Practica_III_Unidad1_OA2_modificado.docx","titulo":{"esp":"Descargar Guia práctica","eng":"Download practical guide"}},{"eng":"","esp":"Guía Práctica adicional","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"En este documento se proponen ejercicios adicionales, en algunos casos de mayor dificultad, para que las y los estudiantes puedan aplicar lo aprendido en esta lección. Los ejercicios de esta guía también pueden servir para evaluar los aprendizajes de la clase.
","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/pdfs/Guia_Practica_ADICIONAL_Tercero_OA2_Texto_predictivo.pdf","tipo":"pdf"},{"eng":"","titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica Adicional","eng":""},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/docs/Guia_Practica_ADICIONAL_Tercero_OA2_Texto_predictivo.docx","recurso":"Descarga"}],"visible":true}}},"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Momento de enganche","eng":"latching moment","tipo":"h3"},{"eng":"(Slides 2 and 3, Presentation)","esp":"(Diapositivas 2 y 3, Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"Introduce your students to the video “Predictive Text” and ask them to share their experiences with these kinds of apps. To encourage discussion, you can ask questions such as:","tipo":"p","esp":"Presente a sus estudiantes el video “Texto predictivo” y pídales que compartan su experiencia con este tipo de aplicaciones. Para fomentar la discusión, puede plantear preguntas tales como:\n"},{"recurso":"modalVideo","titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/videos/Textos%20predictivos.webm","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/texto-predictivo/09_textos%20predictivos%20subt.mp4","tipo":"button"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":"- Have you ever used an app that has predictive text? What is your opinion about this technology?
- How do you think this application is able to predict the words we might write?
- ¿Alguna vez han utilizado una aplicación que tenga texto predictivo? ¿Cuál es su opinión acerca de esta tecnología?
- ¿Cómo piensan que esta aplicación es capaz de predecir las palabras que podríamos escribir?
Para concluir la discusión, puede mencionar las siguientes ideas a sus estudiantes:
","eng":"To conclude the discussion, you can mention the following ideas to your students:
","tipo":"p"},{"esp":"- Las aplicaciones de texto predictivo utilizan algoritmos que predicen cuál será la siguiente palabra que el usuario escribirá, considerando las palabras escritas previamente.
- Los algoritmos son secuencias de instrucciones paso a paso que se utilizan para resolver un problema o llevar a cabo una tarea específica.
- En el caso de las aplicaciones de texto predictivo, los algoritmos se basan en probabilidades, estimadas a partir de los mensajes de texto previamente escritos por el usuario.
- Predictive text applications use algorithms that predict the next word the user will type, based on previously typed words.
- Algorithms are sequences of step-by-step instructions that are used to to solve a problem or carry out a specific task.
- In the case of predictive text applications, the algorithms are based on probabilities, estimated from the text messages previously written by the user.
Indique a sus estudiantes que al final de esta clase se desarrollará un algoritmo básico que pueda sugerir palabras que el usuario de una aplicación de mensajería de texto podría escribir, basándose en las palabras previamente escritas. Para ello, necesitamos revisar con detalle algunos conceptos matemáticos que utilizaremos.
","eng":"Tell your students that by the end of this class they will develop a basic algorithm that can suggest words that a user of a text messaging app might type, based on previously typed words. To do this, we need to review in detail some mathematical concepts that we will use.
"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Construcción de Conocimientos","eng":""},{"eng":"(Slide 7, Presentation)","esp":"(Diapositiva 7, Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"Hand out Activity 1 of the Activity Sheet and introduce the first situation.
","tipo":"p","esp":"Entregue la Actividad 1 de la Hoja de actividades y presente la primera situación.
"},{"esp":"Actividad 1\n
\n- \nA partir del texto ingresado, sugieran 3 palabras que el texto predictivo podría proponer.\n \n
","recurso":"Actividades","tipo":"momento","eng":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/imgs/p3mu1-03.png\")
\nActivity 1\n
\n- \nFrom the entered text, suggest 3 words that the predictive text could suggest.\n \n
"},{"eng":"\nAsk your students to discuss as a group the three words the app should suggest. Then invite them to share their responses and justify their choice.\n
","esp":"Solicite a sus estudiantes que discutan en grupo acerca de las tres palabras que debería sugerir la aplicación. Después, invítelos a compartir sus respuestas y a justificar su elección.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"h4","eng":"(Slides 8 to 10, Presentation)","esp":"(Diapositivas 8 a la 10, Presentación)"},{"eng":"Next, lead a discussion that addresses the rest of the questions in this activity.\n
","esp":"Luego, lleve a cabo una discusión que aborde el resto de las preguntas de esta actividad. \n
","tipo":"p"},{"eng":"- \n
- What was the criteria used to select the 3 words for the application?\n \n
- Why do you think there was so much variation in the word proposals of the different groups?\n \n
- How can we identify the words most likely to be written after the sentence \"Who can\"?\n \n
- \n
- ¿Cuál fue el criterio utilizado para seleccionar las 3 palabras para la aplicación?\n \n
- ¿Por qué creen que hubo tanta variación en las propuestas de palabras de los diferentes grupos?\n \n
- ¿Cómo podemos identificar las palabras más probables de ser escritas después de la frase \"¿Quién puede\"?\n \n
These questions are intended to help your students understand the following aspects:\n
","tipo":"p","esp":"Estas preguntas buscan ayudar a sus estudiantes a comprender los siguientes aspectos:\n
"},{"esp":"- \n
- El criterio consiste en seleccionar las palabras que son más comunes en el tipo de conversación que cada grupo se imaginó.\n \n
- Hay variación en las palabras propuestas debido al tipo de conversación que cada grupo imaginó. Por ejemplo, si se piensa que es un chat de trabajo, las palabras seleccionadas van a diferir de las palabras elegidas al pensar en un chat entre amigos.\n \n
- Para determinar cuáles son las palabras más probables que sigan a la frase, es necesario contar con más mensajes de texto del mismo tipo de conversación en el que se escribió esa frase.\n \n
- \n
- The criteria is to select the words that are most common in the type of conversation that each group imagined.\n \n
- There is variation in the proposed words due to the type of conversation that each group imagined. For example, if it is thought to be a work chat, the selected words will differ from the words chosen when thinking of a chat between friends.\n \n
- To determine which words are most likely to follow the phrase, it is necessary to have more text messages of the same type of conversation in which that phrase was written.\n \n
A continuación presente la siguiente imagen que contiene la conversación previa al mensaje de texto analizado:\n
","eng":"Then present the following image that contains the conversation prior to the analyzed text message:\n
","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/imgs/p3mu1-04.png","escala":"50","tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/imgs/p3mu1-04.png","titulo":{"eng":"","esp":""}},{"eng":"Ask your students the following question:\n
","tipo":"p","esp":"Plantee la siguiente pregunta a sus estudiantes:\n
"},{"esp":"¿Cambiarían las palabras que proponen para el texto predictivo si conocieran los mensajes anteriores?\n
","eng":"Would the words they propose for the predictive text change if they knew the previous messages?\n
","tipo":"momento","recurso":"Pregunta"},{"eng":"(Slide 12, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 12, Presentación)"},{"tipo":"p","eng":"At this point, it is important that you present the following reflection to your students:\n
","esp":"En este momento, es importante que presenta la siguiente reflexión a sus estudiantes:\n
"},{"eng":"- \n
- Machine learning algorithms used in predictive text applications mimic the way humans learn and make decisions. Just as people base their decisions on past experiences and the current context, these algorithms also analyze the context of the conversation and use previous data to make their predictions. \n
- Although it can be very difficult to create an algorithm that takes into account the full context of the conversation, we can choose to create a simpler one that only considers previous words.\n \n
- \n
- Los algoritmos de aprendizaje autónomo utilizados en las aplicaciones de texto predictivo imitan la forma en que los seres humanos aprenden y toman decisiones. Así como las personas basan sus decisiones en experiencias pasadas y el contexto actual, estos algoritmos también analizan el contexto de la conversación y utilizan datos previos para hacer sus predicciones. \n
- Aunque puede resultar muy difícil elaborar un algoritmo que tome en cuenta el contexto completo de la conversación, podemos optar por crear uno más sencillo que solo considere las palabras previas.\n \n
Next, point out to your students that:\n
","esp":"A continuación, haga notar a sus estudiantes que:\n
"},{"tipo":"p","esp":"- \n
- Sin datos sobre los mensajes de texto que contienen la frase por completar, cualquier comparación de las probabilidades de posibles palabras es subjetiva. Es decir, se basan en creencias o experiencias personales.\n \n
- Para determinar de manera objetiva cuáles son las palabras que tienen más probabilidades de seguir la frase, necesitamos contar con datos de mensajes de texto reales. \n \n
- \n
- Without data on the text messages containing the completion sentence, any comparison of the probabilities of possible words is subjective. That is, they are based on beliefs or personal experiences.\n \n
- To objectively determine which words are most likely to follow the phrase, we need data from actual text messages.\n \n
Hand out Activity 2 of the Activity Sheet, which provides 20 text messages from a study chat.\n
","tipo":"p","esp":"Entregue la Actividad 2 de la Hoja de actividades, en la que se proporcionan 20 mensajes de texto de un chat de estudio.\n
"},{"esp":"El objetivo de esta actividad es identificar las tres palabras que son más probable que se escriban después de la frase \"¿Quién puede\" en el contexto de un chat de estudio. \n
","tipo":"p","eng":"The goal of this activity is to identify the three words that are most likely to be typed after the phrase \"Who can\" in the context of a study chat.\n
"},{"eng":"Activity 2\n
\nThe following table contains 20 text messages from a study group:\n
\n
","tipo":"momento","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/imgs/tabla1.png\")
\nActividad 2\n
\nLa siguiente tabla contiene 20 mensajes de texto de un grupo de estudio:\n
\n
","recurso":"Actividades"},{"esp":"(Diapositiva 15, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slide 15, Presentation)"},{"esp":"\nPlantee la pregunta 1 de la actividad.\n
","eng":"Ask question 1 of the activity.\n
","tipo":"p"},{"recurso":"Actividades","esp":"- Consideremos que A representa la palabra “enviarme” y B la frase \"¿Quién puede\". ¿Cómo podemos calcular la probabilidad de que en un mensaje de texto aparezca la palabra A inmediatamente después que es escrita la frase B?
- Let us consider that A represents the word “send me” and B the phrase “Who can”. How can we calculate the probability that word A will appear in a text message immediately after phrase B is written?
It is important to take into account that strictly speaking we can only estimate the mentioned probability, since the sample space of all the sentences written and to be written is revealed over time. It is not necessary to make this precision when presenting the problem to your students, as it will be covered later.\n
","tipo":"p","esp":"Es importante tener en cuenta que en estricto rigor solo podemos estimar la probabilidad mencionada, ya que el espacio muestral de todas las frases escritas y por escribir se va revelando con el tiempo. No es necesario hacer esta precisión al presentar el problema a sus estudiantes, ya que se abordará más adelante.\n
"},{"tipo":"p","eng":"Have a discussion in which students evaluate different proposals and compare the calculated probabilities.\n
","esp":"Plantee una discusión en la que las y los estudiantes evalúen distintas propuestas y comparen las probabilidades calculadas. \n
"},{"tipo":"h4","eng":"(Slides 16 to 17, Presentation)","esp":"(Diapositivas 16 a la 17, Presentación)"},{"tipo":"p","eng":"Since some students might propose to calculate P(A), it is important to clarify that the question does not exclusively refer to the probability that the word A appears in a text message For this, it is suggested to ask questions such as:","esp":"Dado que algunos estudiantes podrían proponer calcular P(A), es importante aclarar que la pregunta no se refiere exclusivamente a la probabilidad de que en un mensaje de texto aparezca la palabra A. Para ello, se sugiere realizar preguntas como:\n"},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"- \n
- Sea P(A) la probabilidad de que en un mensaje de texto aparezca la palabra A. ¿Cómo podemos calcular esta probabilidad? \n
- ¿Cuál es el evento y el espacio muestral involucrados en la probabilidad P(A)?\n \n
- ¿Es ésta la probabilidad que se pide determinar en esta actividad?\n \n
- \n
- Let P(A) be the probability that the word A appears in a text message. How can we calculate this probability? \n
- What is the event and sample space involved in the probability P(A)?\n \n
- Is this the probability that you are asked to determine in this activity?\n \n
- \n
- P(A) = n(A)n(Ω) = 4 20 = 0,2
\nWhere n(A) is the number of text messages containing A and n(Ω) is the total number of text messages considered.\n \n - The event refers to the appearance of the word A in the 20 text messages, while the sample space is made up of the set of those 20 text messages.\n \n
- No, the probability you are asked to determine is the probability that word A appears immediately after sentence B, not the probability that word A appears in general.\n \n
- \n
- P(A) = n(A) n(Ω) = 4 20 = 0,2
\nDonde n(A) es el número de mensajes de textos que contienen A y n(Ω) es el número total de mensajes de texto considerados. \n \n - El evento se refiere a la aparición de la palabra A en los 20 mensajes de texto, mientras que el espacio muestral está compuesto por el conjunto de esos 20 mensajes de texto.\n \n
- No, la probabilidad que se pide determinar es la probabilidad de que aparezca la palabra A inmediatamente después de la frase B, no la probabilidad de que aparezca la palabra A en general.\n \n
Next, ask your students to suggest ways to express and calculate the probability given in the activity, keeping in mind the following:
","esp":"A continuación, pida a sus estudiantes que propongan formas de expresar y calcular la probabilidad planteada en la actividad, teniendo en cuenta lo siguiente:
"},{"eng":"- The event is limited to text messages that contain the word A immediately after the sentence B, excluding messages where A does not appear immediately after the sentence B.\n \n
- \nThe sample space is reduced to text messages containing the phrase B.\n \n
- El evento se limita a los mensajes de texto que contienen la palabra A inmediatamente después de la frase B, y se excluyen los mensajes en que A no aparece justo después de la frase B.\n \n
- \nEl espacio muestral se reduce a los mensajes de texto que contienen la frase B.\n \n
Es importante que los estudiantes se den cuenta que estas ideas llevan a calcular la probabilidad pedida como \n
","eng":"It is important for students to realize that these ideas lead to calculating the requested probability as\n
","tipo":"p"},{"eng":"\\[ \\frac{n_B(A)}{n(B)} \\]
","tipo":"p","esp":"\\[ \\frac{n_B(A)}{n(B)} \\]
"},{"eng":"Where nB(A) represents the frequency of word A following phrase B, in the sample space reduced to text messages containing phrase B, while n(B) is the number of messages containing phrase B.","tipo":"p","esp":"Donde nB(A) representa la frecuencia de la palabra A siguiendo a la frase B, en el espacio muestral reducido a los mensajes de texto que contienen la frase B, mientras que n(B) es el número de mensajes que contienen la frase B. \n"},{"esp":"(Diapositiva 20, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slide 20, Presentation)"},{"eng":"To illustrate the idea of considering the frequency of A in the sample space reduced to B, you might ask your students the following:\n
","tipo":"p","esp":"Para ilustrar la idea de considerar la frecuencia de A en el espacio muestral reducido a B, puede pedir a sus estudiantes lo siguiente:\n
"},{"eng":"- \n
- Check all S (“send me”) words that appear in text messages \n
- Strike out all the sentences that do not contain phrase B (“Who can”). \n
- Count all the uncrossed out A words. \n
- \n
- Marquen todas las palabras A (“enviarme”) que aparezcan en los mensajes de texto \n
- Tachen todas las oraciones que no contengan la frase B (“¿Quién puede”). \n
- Cuenten todas las palabras A que quedaron sin tachar. \n
\\[ \\frac{n(A \\cap B)}{n(B)} \\]\n
","eng":"\\[ \\frac{n(A \\cap B)}{n(B)} \\]\n
"},{"eng":"(Slide 23, Presentation)","esp":"(Diapositiva 23, Presentación)","tipo":"h4"},{"esp":"Pida a los estudiantes que calculen esta probabilidad y luego compruebe con ellos el resultado:\n
","eng":"Have students calculate this probability, then check the result with them:\n
","tipo":"p"},{"esp":"\\[ \\frac{n(A \\cap B)}{n(B)}=\\frac{3}{16}=0,\\!1875 \\]\n
","eng":"\\[ \\frac{n(A \\cap B)}{n(B)}=\\frac{3}{16}=0,\\!1875 \\]\n
","tipo":"p"},{"eng":"(Slide 24, Presentation)","esp":"(Diapositiva 24, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","eng":"Next, point out that the requested probability corresponds to the conditional probability that the word A appears in a text message, given that the previous sentence is B. This is denoted P(A|B) and can be computed as:","esp":"A continuación, señale que la probabilidad solicitada corresponde a la probabilidad condicional de que en un mensaje de texto aparezca la palabra A, dado que la frase previa es B. Esto se denota P(A|B) y se puede calcular como:\n"},{"esp":"\\[ P(A \\vert B)=\\frac{n(A \\cap B)}{n(B)} \\]\n
","tipo":"p","eng":"\\[ P(A \\vert B)=\\frac{n(A \\cap B)}{n(B)} \\]\n
"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 25, Presentación)","eng":"(Slide 25, Presentation)"},{"tipo":"momento","eng":"Show your students that if you multiply the numerator and denominator of this fraction by 1 n(Ω), we get:\n\n\\[\nP(A|B) = \\frac{n(A \\cap B)}{n(B)}\n\n= \\frac{n(A \\cap B) \\cdot \\frac{1}{n(\\Omega)}}{n(B) \\cdot \\frac{1}{n(\\Omega)}}\n\\]\n\n\\[\nP(A|B)\n= \\frac{\\frac{n(A \\cap B)}{n(\\Omega)}}{\\frac{n(B)}{n(\\Omega)}}\n\n= \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}\n\\]\n\nIn other words, the conditional probability P(A|B) is equal to the quotient between the joint probability P(A∩B) and the probability of the event that acts as condition P(B):\n\n\n\\[\nP(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}\n\n\\]\n","recurso":"Destacado","esp":"Muestre a sus estudiantes que si se multiplica el numerador y denominador de esta fracción por 1 n(Ω), se obtiene:\n\n\\[\nP(A|B) = \\frac{n(A \\cap B)}{n(B)} \n\n= \\frac{n(A \\cap B) \\cdot \\frac{1}{n(\\Omega)}}{n(B) \\cdot \\frac{1}{n(\\Omega)}} \n\\]\n\n\\[\nP(A|B)\n= \\frac{\\frac{n(A \\cap B)}{n(\\Omega)}}{\\frac{n(B)}{n(\\Omega)}} \n\n= \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}\n\\]\n\nEs decir, que la probabilidad condicional P(A|B) es igual al cociente entre la probabilidad conjunta P(A∩B) y la probabilidad del evento que actúa como condición P(B):\n\n\n\\[\nP(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}\n\n\\]\n"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 26 y 27, Presentación)","eng":"(Slides 26 and 27, Presentation)"},{"tipo":"p","esp":"Para continuar, pida que resuelvan en grupo la segunda pregunta de la Actividad 2 de la Hoja de actividades.\n
","eng":"To continue, ask them to solve the second question in Activity 2 of the Activity Sheet as a group.\n
"},{"eng":"- From the delivered text messages, consider the 6 possible A-words that appear immediately after the phrase B = \"Who can\", and for each A-word, find the probability conditional P(A|B).
- A partir de los mensajes de texto entregados, considere las 6 posibles palabras A que aparecen inmediatamente después de la frase B = \"¿Quién puede\", y para cada palabra A, calcule la probabilidad condicional P(A|B).
You can suggest that they color the sentence and the different words that follow it in the given data table, to facilitate counting, as shown below:\n
","esp":"Puede sugerirles colorear la frase y las distintas palabras que la siguen en la tabla de datos entregadas, para facilitar el conteo, como se muestra a continuación:\n
","tipo":"p"},{"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/imgs/tabla3.png","escala":"50","caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/imgs/tabla3.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado"},{"eng":"Take advantage of asking them to express the probabilities in decimal notation and as a percentage.\n
","tipo":"p","esp":"Aproveche de solicitar que expresen las probabilidades en notación decimal y en porcentaje.\n
"},{"recurso":"Respuesta","esp":"P(enviarme|¿Quién puede) = 3 16 = 0,1875 = 18,75%
\n\nP(decirme|¿Quién puede) = 3 16 = 0,1875 = 18,75%
\n\nP(prestarme|¿Quién puede) = 2 16 = 0,125 = 12,5%
\n\nP(ayudarme|¿Quién puede) = 5 16 = 0,3125 = 31,25%
\n\nP(preguntarle|¿Quién puede) = 2 16 = 0,125 = 12,5%
\n\nP(hacer|¿Quién puede) = 1 16 = 0,0625 = 6,25%
\n","eng":"P(send me|Who can) = 3 = 0.1875 = 18.75%
\n\nP(tell me|Who can) = 3 16 = 0.1875 = 18.75%
\n\nP(lend me|Who can) = 2 16 = 0.125 = 12.5%
\n\nP(help me|Who can) = 5 16 = 0.3125 = 31.25%
\n\nP(ask him|Who can) = 2 16 = 0.125 = 12.5%
\n\nP(do|Who can) = 1 16 = 0.0625 = 6.25%
\n","tipo":"momento"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 28, Presentación)","eng":"(Slide 28, Presentation)"},{"eng":"It is recommended that you make the following comments to your students:\n
","esp":"Se recomienda hacer los siguientes comentarios a sus estudiantes:\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"- Las probabilidades que hemos calculado son estimaciones basadas en las frecuencias relativas de los mensajes de texto escritos previamente, por lo que constituyen probabilidades empíricas que utilizamos como aproximaciones de las probabilidades teóricas desconocidas.\n \n
- Hay que tener presente que, dependiendo de los mensajes que tengamos, las probabilidades empíricas pueden variar. En la medida en que aumente la cantidad de mensajes de texto que utilicemos en nuestros cálculos, las probabilidades empíricas se acercarán a sus respectivas probabilidades teóricas.\n
- The probabilities we have calculated are estimates based on the relative frequencies of previously written text messages, so they are empirical probabilities that we use as approximations of the unknown theoretical probabilities.\n \n
- We must keep in mind that, depending on the messages we have, the empirical probabilities may vary. As the number of text messages we use in our calculations increases, the empirical probabilities will get closer to their respective theoretical probabilities.\n
Para finalizar esta parte de la clase, pregunte a sus estudiantes:\n
","tipo":"p","eng":"To wrap up this part of the class, ask your students:\n
"},{"tipo":"momento","eng":"Based on the probabilities estimated from the available text messages, what are the three most appropriate words that a predictive text app should suggest to a user when typing “Who can”?
","recurso":"Pregunta","esp":"Basándonos en las probabilidades estimadas a partir de los mensajes de texto disponibles, ¿cuáles son las tres palabras más apropiadas que una aplicación de texto predictivo debería sugerir a un usuario al escribir “¿Quién puede”?
"},{"esp":"Las tres palabras son:\n
\n\nayudarme (probabilidad de 31,25%)
","eng":"
\nenviarme (probabilidad de 18,75%)
\ndecirme (probabilidad de 18,75%)\nThe three words are:\n
\n\nhelp me (31.25% chance)
","recurso":"Respuesta","tipo":"momento"},{"eng":"(Slides 30, Presentation)","esp":"(Diapositivas 30, Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"
\nsend me (18.75% chance)
\ntell me (18.75% chance)\nAsk your students to describe the step-by-step process they followed to arrive at those three suggestions. Then invite them to discuss the specific instructions they would need to give to a machine to carry out the same procedure precisely. emphasize the importance of writing clear and precise instructions.\n
","esp":"Solicite a sus estudiantes que describan paso a paso el proceso que siguieron para llegar a esas tres sugerencias. Posteriormente, invítelos a discutir sobre las instrucciones específicas que deberían proporcionar a una máquina para llevar a cabo el mismo procedimiento de forma precisa. haga hincapié en la importancia de redactar instrucciones claras y precisas.\n
","tipo":"p"},{"eng":"(Slide 31, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 31, Presentación)"},{"esp":"A continuación, invite a sus estudiantes a trabajar en equipo para completar la Actividad 3 de la Hoja de actividades. Explique que deben crear un algoritmo que permita a una aplicación de texto predictivo sugerir las tres palabras más probables que el usuario desea escribir después de introducir una frase determinada. \n
","tipo":"p","eng":"Next, invite students to work in teams to complete Activity 3 on the Activity Sheet. Explain that they need to create an algorithm that allows a predictive text app to suggest the three most likely words the user wants to type after entering a certain phrase.\n
"},{"recurso":"Actividades","eng":"Activity 3\n
\nWork as a group to complete an algorithm (a step-by-step sequence of instructions) that allows a predictive text app to suggest the three most likely words the user wants to type after entering a specific phrase. The first two steps of the algorithm are provided:\n
\nStep 1: Identify the phrase entered by the user.\n
\nStep 2: Select all the text messages in history that contain the same phrase.\n
\nStep 3:\n
","tipo":"momento","esp":"Actividad 3\n
\nTrabajen en grupo para completar un algoritmo (una secuencia de instrucciones paso a paso) que permita a una aplicación de texto predictivo sugerir las tres palabras más probables que el usuario desea escribir después de introducir una frase específica. Se proporcionan los dos primeros pasos del algoritmo:\n
\nPaso 1: Identifica la frase introducida por el usuario.\n
\nPaso 2: Selecciona todos los mensajes de texto del historial que contengan esa misma frase.\n
\nPaso 3: \n
"},{"tipo":"p","eng":"Oversee the work of the teams and provide support in identifying the steps needed to describe the procedure, ensuring that the steps are written clearly and precisely.\n
","esp":"Supervise el trabajo de los equipos y brinde apoyo en la identificación de los pasos necesarios para describir el procedimiento, asegurándose de que los pasos estén redactados de manera clara y precisa. \n
"},{"eng":"When reviewing algorithms created by the different groups, emphasize that there can be many ways to describe the step-by-step procedure. The fundamental thing is that all the necessary steps have been included and that the instructions are clear, so that a machine can execute them without difficulty.\n
","esp":"Al revisar algoritmos creados por los distintos grupos, destaque que pueden haber muchas maneras de describir el procedimiento paso a paso. Lo fundamental, es que se hayan incluido todos los pasos necesarios y que las instrucciones sean claras, de manera que una máquina pueda ejecutarlas sin dificultad. \n
","tipo":"p"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 32, Presentación)","eng":"(Slides 32, Presentation)"},{"tipo":"p","eng":"Next, show the following version of the algorithm so that students can compare it to the one they have created.\n
","esp":"A continuación, muestre la siguiente versión del algoritmo para que los estudiantes puedan compararla con el que han elaborado.\n
"},{"eng":"Basic predictive text algorithm
\nStep 1: Identify the phrase entered by the user.\n
\nStep 2: Select all the text messages in history that contain the same phrase.\n
\nStep 3: Identify the words that immediately follow the phrase mentioned in the previous step.\n
\nStep 4: Calculate the frequency of all the words identified.\n
\nStep 5: Determine the probability of each identified word by dividing its frequency by the number of text messages that contain the phrase from Step 1.\n
\nStep 6: Identify the three words with the highest probability.\n
\nStep 7: Suggest the three most likely words to the user.\n
","recurso":"Actividades","tipo":"momento","esp":"Algoritmo básico de texto predictivo
\nPaso 1: Identifica la frase introducida por el usuario.\n
\nPaso 2: Selecciona todos los mensajes de texto del historial que contengan esa misma frase.\n
\nPaso 3: Identifica las palabras que siguen inmediatamente a la frase mencionada en el paso anterior. \n
\nPaso 4: Calcula la frecuencia de todas las palabras identificadas.\n
\nPaso 5: Determina la probabilidad de cada palabra identificada, dividiendo su frecuencia entre el número de mensajes de texto que contienen la frase del paso 1.\n
\nPaso 6: Identifica las tres palabras con mayor probabilidad.\n
\nPaso 7: Sugiere las tres palabras con mayor probabilidad al usuario. \n
"}]},"3":{"contenido":[{"esp":"Sistematización","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"(Diapositivas 33 y 34, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slides 33 and 34, Presentation)"},{"eng":"Present the following conclusions to your students:\n
","esp":"Presente las siguientes conclusiones a sus estudiantes:\n
","tipo":"p"},{"recurso":"Destacado","esp":"- \n
- En esta actividad, desarrollamos un algoritmo básico de texto predictivo utilizando probabilidades condicionales. \n
- Para ello, utilizamos datos de mensajes de texto y estimamos las probabilidades de que una determinada palabra A aparezca después de una frase B, utilizando las frecuencias relativas dadas por la expresión \n\\[\n\\frac{n(A \\cap B)}{n(B)}\n\\]\n\n\n \n
- Cuanto mayor sea la cantidad de mensajes de texto que usemos, más se acercarán las probabilidades empíricas calculadas a las probabilidades teóricas correspondientes.\n \n\n\n
- Las probabilidades involucradas en el problema son probabilidades condicionales P(A|B), donde el espacio muestral se reduce al evento B.\n \n\n\n
- Manipulando algebraicamente la expresión n(A ∩ B) n(B), concluimos que: \n\n
\n\\[\nP(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}\n\\]\n \n
- \n
- In this activity, we develop a basic predictive text algorithm using conditional probabilities. \n
- To do this, we use data from text messages and estimate the probabilities that a given word A appears after a phrase B, using the relative frequencies given by the expression\n\\[\n\\frac{n(A \\cap B)}{n(B)}\n\\]\n\n\n \n
- The more text messages we use, the closer the calculated empirical probabilities are to the corresponding theoretical probabilities.\n \n\n\n
- The probabilities involved in the problem are conditional probabilities P(A|B), where the sample space reduces to event B.\n \n\n\n
- Algebraically manipulating the expression n(A ∩ B) n(B), we conclude that:\n\n
\n\\[\nP(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}\n\\]\n \n
Presente a sus estudiantes la Guía práctica y pídales que analicen la información que entrega la tabla y qué tipo de información pueden obtener de ella. Invítelos a compartir estas ideas con sus compañeros y compañeras. \n
","eng":"Introduce your students to the How To Guide and ask them to discuss the information in the table and what kind of information they can get from it. Invite them to share these ideas with their classmates.\n
","tipo":"p"},{"eng":"Allow time for them to solve the proposed exercises, which are intended for students to understand conditional probability as a new measure of probability in a reduced sample space depending on the conditioning event.\n
","tipo":"p","esp":"Dé tiempo para que resuelvan los ejercicios propuestos, que tienen por objetivo que las y los estudiantes comprendan la probabilidad condicional como una nueva medida de probabilidad en un espacio muestral reducido según el evento condicionante.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/pdfs/Guia_Practica_III_Unidad1_OA2_modificado.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/pdfs/Guia_Practica_III_Unidad1_OA2_modificado.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica","eng":"Download Practical Guide"},"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/docs/Guia_Practica_III_Unidad1_OA2_modificado.docx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/docs/Guia_Practica_III_Unidad1_OA2_modificado.docx","recurso":"Descarga"},{"esp":"Estas actividades pueden ser utilizadas para evaluar formativamente el siguiente indicador:\n
","eng":"These activities can be used to formatively assess the following indicator:\n
","tipo":"p"},{"eng":"- Calculate conditional probabilities.\n
- Calculan probabilidades condicionales.\n
En esta situación se abordan algunos conceptos que es importante precisar y entender en el contexto de la situación planteada.\n
","eng":"In this situation, some concepts are addressed that are important to specify and understand in the context of the situation posed.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"Experimento aleatorio (ε)","eng":"Random experiment (ε)"},{"esp":"Un experimento aleatorio es cualquier procedimiento o situación que produce resultados que no se pueden predecir de antemano.\n
","eng":"A randomized experiment is any procedure or situation that produces results that cannot be predicted in advance.\n
","tipo":"p"},{"eng":"From the perspective of a computer, the random experiment involved in this activity consists of predicting the next word that a user will type, since it is not possible to do so deterministically.\n
","esp":"Desde la perspectiva de un ordenador, el experimento aleatorio involucrado en esta actividad consiste en predecir la siguiente palabra que un usuario escribirá, dado que no es posible hacerlo de forma determinista.\n
","tipo":"p"},{"esp":"Espacio muestral (Ω)","eng":"Sample space (Ω)","tipo":"h3"},{"eng":"The sample space is the set of all possible outcomes of a random experiment.\n
","esp":"El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. \n
","tipo":"p"},{"eng":"In the randomized experiment covered in this activity, the initial sample space consists of all available text messages. However, by considering the conditional probability that a word immediately follows a previously written phrase, the experiment is modified and its sample space is reduced to messages containing that phrase.\n
","tipo":"p","esp":"En el experimento aleatorio abordado en esta actividad, el espacio muestral inicial se compone de todos los mensajes de texto disponibles. Sin embargo, al considerar la probabilidad condicional de que una palabra siga inmediatamente a una frase escrita previamente, el experimento se modifica y su espacio muestral se reduce a los mensajes que contienen dicha frase.\n
"},{"tipo":"h3","esp":"Probabilidad empírica (o frecuentista) y probabilidad teórica","eng":"Empirical (or frequentist) probability and theoretical probability"},{"tipo":"p","eng":"Empirical probability is an estimate of the theoretical probability of an event, based on the relative frequency of observed outcomes favorable to the event. By repeating the random experiment a sufficiently large number of times (law of large numbers) independently and under the same conditions, the relative frequencies of occurrence approach a value, which corresponds to the theoretical probability of the event.\n
","esp":"La probabilidad empírica es una estimación de la probabilidad teórica de un evento, basada en la frecuencia relativa de los resultados observados favorables al evento. Al repetir el experimento aleatorio un número suficientemente grande de veces (ley de los grandes números) de manera independiente y en las mismas condiciones, las frecuencias relativas de ocurrencia se acercan a un valor, que corresponde a la probabilidad teórica del evento.\n
"},{"eng":"In this situation, it is proposed to make explicit to the students the differences between both probability approaches, since the probabilities that they will calculate correspond to empirical probabilities. In the activity, students have the opportunity to recognize that to get closer to theoretical probabilities, they need to have more data (text messages).\n
","esp":"En esta situación, se propone hacer explícita a las y los estudiantes las diferencias entre ambos enfoques de probabilidad, ya que las probabilidades que calcularán corresponden a probabilidades empíricas. En la actividad, las y los estudiantes tienen la oportunidad de reconocer que, para acercarse a las probabilidades teóricas, necesitan tener más datos (mensajes de texto). \n
","tipo":"p"},{"tipo":"h3","eng":"conditional probability","esp":"Probabilidad condicional "},{"eng":"Let A and B be two events in a random experiment. The probability that A occurs given that B occurs is represented by P(A|B) and can be determined as:","tipo":"p","esp":"Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio. La probabilidad de que ocurra A dado que ocurre B se representa por P(A|B) y se puede determinar como: \n"},{"esp":"\\[ \nP(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}, \n\n\\]\n\n","tipo":"p","eng":"\\[\nP(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)},\n\n\\]"},{"eng":"\\[\\text{provided that } P(B)","esp":"\\[\\text{siempre que } P(B) > 0\\]","tipo":"p"},{"esp":"Es importante notar que en la probabilidad condicional el espacio muestral se reduce al evento B. \n
","eng":"It is important to note that in conditional probability the sample space reduces to event B.\n
","tipo":"p"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"The teaching of probabilities in schools usually faces various difficulties, mainly related to the confusion between some concepts and the lack of development of probabilistic reasoning. Among the most common errors are the following:\n
","esp":"La enseñanza de las probabilidades en el ámbito escolar suele enfrentar diversas dificultades, principalmente relacionadas con la confusión entre algunos conceptos y la falta de desarrollo del razonamiento probabilístico. Entre los errores más comunes se encuentran los siguientes:\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"- \n
- Confundir probabilidad conjunta P(A ∩ B) con la probabilidad condicional P(A|B), o tener dificultades para discernir cuándo una situación puede plantearse en términos de una probabilidad condicional o conjunta.
- Creer que P(A|B) es igual a P(B|A). Si detecta estas dificultades en sus estudiantes, se recomienda utilizar un lenguaje cotidiano y diagramas de Venn para ilustrar que se refieren a situaciones distintas. Por ejemplo, la probabilidad de necesitar lentes si se tiene más de 50 años es diferente a la probabilidad de tener más de 50 años si se necesitan lentes.\n
- Errores asociados a la “falacia de conjunción”, que se basa en la creencia errónea de que la probabilidad de la intersección de dos eventos es mayor que la probabilidad de cada uno de los eventos por separado. Para demostrar que esto no es cierto, se sugiere pedir a sus estudiantes que calculen y comparen estas probabilidades utilizando un ejemplo concreto.\n \n
- \n
- Confusing joint probability P(A ∩ B) with conditional probability P(A|B)< /i>, or have difficulty discerning when a situation can be stated in terms of a conditional or joint probability.
- Believing that P(A|B) is equal to P(B|A). If you detect these difficulties in your students, it is recommended to use everyday language and Venn diagrams to illustrate that they refer to different situations. For example, the probability of needing glasses if you are over 50 is different from the probability of being over 50 if you need glasses.\n
- Errors associated with the “conjunction fallacy”, which is based on the mistaken belief that the probability of the intersection of two events is greater than the probability of each of the events separately. To show that this is not true, we suggest asking your students to calculate and compare these probabilities using a concrete example.\n \n
En la actualidad, la inteligencia artificial (IA) se ha convertido en una herramienta clave para muchos sectores y disciplinas, desde la industria hasta la medicina y la educación. La IA utiliza tecnologías avanzadas como el aprendizaje autónomo (machine learning), el procesamiento del lenguaje natural y la visión por computadora, entre otras, para realizar tareas complejas de forma autónoma y eficiente.\n
","eng":"Today, artificial intelligence (AI) has become a key tool for many sectors and disciplines, from industry to medicine and education. AI uses advanced technologies such as machine learning, natural language processing, computer vision, and more to perform complex tasks autonomously and efficiently.\n
"},{"tipo":"p","esp":"El aprendizaje autónomo es una rama de la IA que se enfoca en el desarrollo de algoritmos y modelos capaces de “aprender” de forma autónoma a partir del análisis de datos, sin requerir una programación explícita. Su objetivo es enseñar a las máquinas a reconocer patrones y tomar decisiones basadas en ellos de forma automatizada.\n
","eng":"Autonomous learning is a branch of AI that focuses on developing algorithms and models capable of autonomously “learning” from data analysis, without requiring explicit programming. Its goal is to teach machines to recognize patterns and make decisions based on them in an automated way.\n
"},{"tipo":"p","eng":"One of the most common examples of the application of machine learning is that of predictive text algorithms, used in messaging applications and in writing emails, among other applications. These algorithms use probabilistic models to predict the next word or phrase the user will type, based on context and typing history.
","esp":"Uno de los ejemplos más comunes de aplicación del aprendizaje autónomo es el de los algoritmos de texto predictivo, utilizados en aplicaciones de mensajería y en la escritura de correos electrónicos, entre otras aplicaciones. Estos algoritmos utilizan modelos probabilísticos para predecir cuál será la siguiente palabra o frase que el usuario escribirá, en función del contexto y del historial de escritura.
"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"25","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/imgs/p3mu1-02.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/texto_predictivo/imgs/p3mu1-02.png","alinea":"texto-centrado","tipo":"img"},{"eng":"The operation of these predictive text algorithms is based on the analysis of large amounts of data to identify patterns and relationships between words.
","tipo":"p","esp":"El funcionamiento de estos algoritmos de texto predictivo se basa en el análisis de grandes cantidades de datos para identificar patrones y relaciones entre las palabras.
"},{"esp":"Es importante resaltar que el algoritmo rudimentario de texto predictivo que propone a las y los estudiantes desarrollar en esta actividad solo abarca aspectos básicos, como el uso de datos y la probabilidad condicional. Pero se encuentra lejos del funcionamiento real de los algoritmos empleados en las aplicaciones. Estos últimos suelen ser más complejos y utilizan técnicas avanzadas de procesamiento del lenguaje natural y aprendizaje profundo para mejorar su precisión y eficiencia.
","eng":"It is important to highlight that the rudimentary predictive text algorithm that you propose students to develop in this activity only covers basic aspects, such as the use of data and conditional probability. But it is far from the actual operation of the algorithms used in the applications. The latter are often more complex and use advanced natural language processing and deep learning techniques to improve their accuracy and efficiency.","tipo":"p"}]}},"visible":true}},"18":{"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Momento de Enganche","eng":"Engagement Moment"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 2, Presentación)","eng":"(Slide 2, Presentation)"},{"esp":"
Comience la lección planteando preguntas como las siguientes a sus estudiantes:\n
","tipo":"p","eng":"Begin the lesson by asking your students questions such as the following:\n
"},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"- \n
- ¿Cuántas horas durmieron ayer?\n \n
- ¿Cuántas horas creen que duermen en promedio? ¿más de 7?¿menos de 7?\n \n
- ¿Quienes creen que duermen más? ¿hombres o mujeres? ¿las personas más jóvenes o las más adultas?\n \n
- \n
- How many hours did you sleep yesterday?\n \n
- How many hours do you think they sleep on average? more than 7? less than 7?\n \n
- Who do you think sleeps the most? men or women? The younger people or the older ones?\n \n
Allow space for students to share their thoughts on these questions. The\nThe idea is to promote a brief discussion around the amount of sleep in different groups\nages. By way of closing the discussion, you can comment that in this lesson you will study how many\nhours people sleep according to different age groups and sexes.\n
","tipo":"p","esp":"Dé espacio para que las y los estudiantes compartan sus opiniones respecto a estas preguntas. La\nidea es promover una breve discusión en torno a la cantidad de horas de sueño en diferentes grupos\netarios. A modo de cierre de la discusión, puede comentar que en esta lección estudiarán cuántas\nhoras duermen las personas según distintos grupos etarios y sexos.\n
"},{"esp":"Presentación del problema","tipo":"h3","eng":"Presentation of the problem"},{"eng":"(Slides 3 and 4, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 3 y 4, Presentación)"},{"tipo":"p","esp":"Luego, presente la Infografía “¿Cuánto debemos dormir?” y proponga preguntas como las siguientes, para asegurarse que las y los estudiantes comprendieron su contenido.","eng":"Then present the Infographic “How much sleep should we get?” and propose questions such as the following, to ensure that the students understood its content."},{"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/pdfs/Infografia%20horas%20sueno.pdf","titulo":{"esp":"Ver Infografía","eng":"View Infographic"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/pdfs/Infografia%20horas%20sueno.pdf","recurso":"ModalPDF"},{"tipo":"momento","eng":"- \n
- Why is it important to sleep well?\n \n
- In which age group is it recommended to sleep more? In which less?\n \n
- What diseases are associated with not sleeping the recommended hours?\n \n
- \n
- ¿Por qué es importante dormir bien?\n \n
- ¿En qué grupo etario se recomienda dormir más? ¿En cuál menos?\n \n
- ¿Qué enfermedades se asocian con no dormir las horas recomendadas?\n \n
Estas preguntas buscan además que las y los estudiantes comprendan la importancia de dormir la\ncantidad de horas recomendadas, y que estas varían según la edad de las personas. Puede dedicar un\nbreve espacio de tiempo para que sus estudiantes compartan sus respuestas y/o experiencias\nrelacionadas, procurando siempre que la discusión se oriente hacia la importancia de dormir el\ntiempo sugerido.\n
","eng":"These questions also seek for students to understand the importance of sleeping\nnumber of hours recommended, and that these vary according to the age of the people. You can dedicate a\nshort space of time for your students to share their responses and/or experiences\nrelated, always ensuring that the discussion is oriented towards the importance of sleeping on\nsuggested time.\n
"},{"eng":"Finally, comment that they will study next, using tools\nstatistics and real data, how the number of hours of sleep changes\nin different age groups.
","tipo":"p","esp":"Finalmente, comente que a continuación estudiarán, usando herramientas \nestadísticas y datos reales, cómo cambia la cantidad de horas de sueño \nen diferentes grupos etarios.
"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Primera parte","eng":"First part"},{"eng":"(Slides 5 to 6, Presentation)","esp":"(Diapositivas 5 a 6, Presentación)","tipo":"h4"},{"esp":"Comience este momento mencionando que trabajarán con datos correspondientes a 1330 personas\ncon la información de su edad, sexo y horas de sueño. Luego pídales que trabajen en la primera parte\nde la Hoja de actividades, en donde deberán obtener los promedios de horas de sueño para cada\ngrupo etario, según sexo.
","tipo":"p","eng":"Begin this moment by mentioning that you will be working with data corresponding to 1330 people\nwith the information of their age, sex and hours of sleep. Then ask them to work on the first part\nfrom the Activity Sheet, where they should obtain the average hours of sleep for each\nage group, according to sex.
"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"A partir de la información de las horas de sueño, \n
\n- \n
- Determina para cada grupo etario, la cantidad promedio de horas de sueño, y completa la siguiente tabla.\n\n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/tabla-gestion-1.png\")
\n - ¿En qué grupo etario se duerme más horas en promedio? ¿En cuál menos?\n \n
- ¿En qué grupo etario se dan las mayores diferencias entre hombres y mujeres?¿En cuál las menores?\n \n
Based on the information on hours of sleep,\n
\n- \n
- Determine for each age group the average number of hours of sleep, and complete the following table.\n\n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/tabla-gestion-1.png)
\n - Which age group sleeps the most hours on average? In which less?\n \n
- In which age group are there the greatest differences between men and women? In which are the smallest?\n \n
","recurso":"Respuesta","tipo":"momento","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/tabla-gestion-2.png\")
"},{"esp":"Dé un tiempo para que las y los estudiantes trabajen en obtener los promedios de horas de sueño\npara cada grupo etario y luego pida que compartan sus respuestas con el curso. Es posible que\nalgunos estudiantes no recuerden cómo obtener el promedio de datos agrupados por frecuencias, en\ncuyo caso dé el tiempo necesario para que recuerden y entiendan este procedimiento.\n
","tipo":"p","eng":"Allow time for students to work on average sleep hours\nfor each age group and then ask them to share their responses with the class. It is possible that\nsome students do not remember how to obtain the average of data grouped by frequencies, in\nin which case give the necessary time for them to remember and understand this procedure.\n
"},{"tipo":"p","eng":"The last two questions seek to encourage students to analyze the information they have\nfound and assess how the work of obtaining the averages allows them to better describe\nway the data.\n
","esp":"Las últimas dos preguntas buscan promover que las y los estudiantes analicen la información que han\nencontrado y valoren cómo el trabajo de obtener los promedios les permite describir de mejor\nmanera los datos.\n
"},{"esp":"Luego, se sugiere plantear la siguiente pregunta,\n
","eng":"Then, it is suggested to ask the following question,\n
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"- What type of graph would allow us to best compare these data?
- ¿Qué tipo de gráfico nos permitiría comparar de mejor manera estos datos?
and propose a discussion about how to represent the averages obtained previously. guide\nthe discussion so that the students recognize the characteristics of the data that justify the\nchoice of a bar graph: it seeks to compare a value (the average hours of sleep) between\ndifferent categories that correspond to qualitative variables (age group and sex).\n
","tipo":"p","esp":"y proponer una discusión en torno a cómo representar los promedios obtenidos anteriormente. Guíe\nla discusión para que las y los estudiantes reconozcan las características de los datos que justifican la\nelección de un gráfico de barras: se busca comparar un valor (el promedio de horas de sueño) entre\ndistintas categorías que corresponden a variables cualitativas (grupo etario y sexo).\n
"},{"eng":"(Slides 7 to 10, Presentation)","esp":"(Diapositivas 7 a 10, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Pídales a sus estudiantes que construyan el gráfico de barras y luego proyecte la diapositiva 7 para\nque puedan contrastar su trabajo con la representación correcta.\n
","eng":"Ask students to build the bar graph, then show slide 7 to\nthat they can contrast their work with the correct representation.\n
"},{"tipo":"img","escala":"50","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/graf-barras.png","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/graf-barras.png"},{"tipo":"momento","recurso":"Destacado","eng":"It is important that students value and use technological tools to build\ngraphic representations. If possible, it is suggested that your students construct the graph of\nbars using spreadsheets such as Excel or Google Sheets.\n
\nFor these purposes, the resources section includes a database so that the\nstudents work directly on spreadsheets, if feasible. Have in\nKeep in mind that if you include in your planning, teach how to build bar graphs on spreadsheets\ncalculation, the activity will take much longer than expected.\n\n
","esp":"Es importante que las y los estudiantes valoren y usen herramientas tecnológicas para construir\nrepresentaciones gráficas. Si es posible, se sugiere que sus estudiantes construyan el gráfico de\nbarras mediante hojas de cálculo, tales como Excel o Google Sheets. \n
\nPara estos efectos en la sección de recursos se acompaña una base de datos para que las y los\nestudiantes trabajen directamente en planillas de cálculo, en caso de que sea factible. Tenga en\ncuenta que si incluye en su planificación enseñar como construir gráficos de barra en planillas de\ncálculo, la actividad será bastante más larga de lo previsto.\n\n
"},{"eng":"Second part","esp":"Segunda parte","tipo":"h3"},{"esp":"Comience este momento recordando que para cada grupo etario hay una cantidad determinada de\nhoras de sueño que se recomienda dormir (diapositiva 8). Comente que a continuación estudiarán en\ndetalle los datos del grupo etario entre 15 y 24 años, para el cual se asumirá que el promedio de\nhoras recomendadas es entre 7 y 9. Luego, vuelva a proyectar el gráfico de barras obtenido en la\nparte anterior y plantee las siguientes preguntas,\n
","tipo":"p","eng":"Start this moment by remembering that for each age group there is a certain amount of\nhours of sleep that is recommended to sleep (slide 8). Comment that they will study in\ndetail the data for the age group between 15 and 24 years, for which it will be assumed that the average\nrecommended hours is between 7 and 9. Then reproject the bar graph obtained in the\nprevious part and ask the following questions,\n
"},{"tipo":"momento","eng":"In the group between 15 and 24 years,\n
\n- \n
- \nIn which gender is there a higher percentage of people who sleep less than the recommended number of hours?\n \n
- \nThe average number of hours between men and women is 8.11 and 8.14 respectively, does this imply that most people within that group get the recommended sleep?\n \n
- \nHow can we be sure of the above?\n \n
En el grupo entre 15 y 24 años,\n
\n- \n
- \n¿En qué género hay un porcentaje mayor de personas que duermen una cantidad de horas menor a las recomendadas?\n \n
- \nEl promedio de horas entre hombres y mujeres es de 8.11 y 8.14 respectivamente, ¿esto implica que la mayoría de las personas dentro de ese grupo duermen lo recomendado?\n \n
- \n¿Cómo podemos estar seguros de lo anterior?\n \n
Give space for students to reflect on these questions. guide the discussion\nso that they recognize that with the average information of the hours of sleep it is not possible\nanswer them and guide them to understand that it is necessary to analyze the distribution of\nhours of sleep in the age group between 15 and 24 years.\n
","tipo":"p","esp":"Dé espacio para que las y los estudiantes reflexionen en torno a estas preguntas. Guíe la discusión\npara que reconozcan que con la información promedio de las horas de sueño no es posible\nresponderlas y oriéntelos a que comprendan que para ello es necesario analizar la distribución de\nhoras de sueño en el grupo etario entre 15 y 24 años.\n
"},{"eng":"(Slides 10 to 12, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 10 a 12, Presentación)"},{"esp":"Luego, pídales que trabajen en grupos o en parejas en la segunda parte de la hoja de actividades,\n
","tipo":"p","eng":"Then, ask them to work in groups or pairs on the second part of the activity sheet,\n
"},{"esp":"A partir de las tablas de frecuencia para el grupo etario entre 15 y 24 años,\n
\n- \n
- \nConstruya los histogramas para hombres y mujeres.\n
- \nIdentifique y delimite las zona de horas recomendadas sobre el histograma\n \n
- \n¿Es posible notar que hay un grupo (hombres o mujeres) en donde hay más personas que duermen lo recomendado?\n \n
From the frequency tables for the age group between 15 and 24 years,\n
\n- \n
- \nConstruct the histograms for men and women.\n
- \nIdentify and define the recommended time zones on the histogram\n \n
- \nIs it possible to notice that there is a group (men or women) where there are more people who sleep than recommended?\n \n
The following are the histograms for men and women, with the zone of recommended sleep hours delimited on the graphs:
\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/hist-h-bars.png\")
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/hist-m-bars.png\")
When comparing both histograms, it is easily observed that in women there are a greater number of people who sleep than recommended.\n
","esp":"A continuación se muestran los histogramas para hombres y mujeres, con la zona de horas de sueño recomendadas delimitada sobre los gráficos:
\n
\n
\nAl comparar ambos histogramas, se observa fácilmente que en las mujeres hay una mayor cantidad de personas que duermen lo recomendado.\n
\n","recurso":"Respuesta"},{"eng":"Allow sufficient time for all groups to construct the histograms, identify the\nrecommended time slots on the histogram and recognize that in women there is a greater\nnumber of people sleeping as recommended. Then ask them to share their answers and\nhow they got to them with the rest of the course.\n
","esp":"Dé un tiempo suficiente para que todos los grupos construyan los histogramas, identifiquen las\nfranjas de horas recomendadas sobre el histograma y reconozcan que en las mujeres hay una mayor\ncantidad de personas que duermen lo recomendado. Luego, pida que compartan sus respuestas y\ncómo llegaron a ellas con el resto del curso.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"As mentioned above, it is important that students value and use\nTechnological tools to build graphic representations. In this sense, it is suggested that\nstudents construct the histograms using spreadsheets. In the resources section\ncomes with a database that can be used for these purposes.\n
\nKeep in mind that if you include in your planning teach how to build histograms in spreadsheets\ncalculation, the activity will be much longer than expected.\n
","recurso":"Destacado","esp":"Cómo se mencionó anteriormente, es importante que las y los estudiantes valoren y usen\nherramientas tecnológicas para construir representaciones gráficas. En ese sentido, se sugiere que\nlos estudiantes construyan los histogramas mediante hojas de cálculo. En la sección de recursos se\nacompaña una base de datos que puede ser utilizada para estos efectos.\n
\nTenga en cuenta que si incluye en su planificación enseñar como construir histogramas en planillas\nde cálculo, la actividad será bastante más larga de lo previsto.\n
"},{"esp":"Luego, se sugiere plantear la siguiente pregunta al curso:\n
","eng":"Then, it is suggested to pose the following question to the class:\n
","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"Recién notamos que en el grupo etario entre 15 y 24 años, en las mujeres hay más personas que duermen lo recomendado.\n
\n¿Podemos concluir de lo anterior que para este grupo etario las mujeres cumplen mejor la recomendación de horas de sueño que los hombres?\n
","eng":"We have recently noticed that in the age group between 15 and 24 years, in women there are more people who sleep than recommended.\n
\nCan we conclude from the above that for this age group, women meet the recommended hours of sleep better than men?\n
"},{"esp":"Es importante que las y los estudiantes reconozcan que para responder correctamente a esta\npregunta no es suficiente comparar la cantidad de personas en cada género que duerme las horas\nrecomendadas, dado que las poblaciones son de tamaño distinto. Por lo tanto, es necesario\nestablecer la proporción que estas personas representan del total de encuestados en cada género.\nDé tiempo para que las y los estudiantes compartan sus opiniones respecto de la pregunta planteada\ny asegúrese de que comprenden la necesidad de comparar las proporciones de personas en cada\ngénero.\n
","eng":"It is important that students recognize that in order to respond correctly to this\nquestion is not enough to compare the number of people in each gender who sleep the hours\nrecommended, given that the populations are of different sizes. Therefore, it is necessary\nestablish the proportion that these people represent of the total number of respondents in each gender.\nAllow time for students to share their opinions regarding the question posed.\nand make sure they understand the need to compare the proportions of people in each\ngender.\n
","tipo":"p"},{"eng":"(Slides 13 and 14, Presentation)","esp":"(Diapositivas 13 y 14, Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"Next, have your students work through the third part of the activity sheet.\n
","esp":"Luego, pida a sus estudiantes que trabajen la tercera parte de la hoja de actividades.\n
","tipo":"p"},{"recurso":"Actividades","esp":"Para el grupo etario entre 15 y 24 años, obtén los siguientes porcentajes separados por hombres y mujeres:\n
\n- \n
- Porcentaje de personas que duermen menos de las horas recomendadas.\n \n
- Porcentaje de personas que duermen una cantidad de horas recomendadas.\n \n
- Porcentaje de personas que duermen más de las horas recomendadas.\n \n
A partir de lo anterior, \n
\n¿Qué género cumple mejor la recomendación de horas de sueño? \n
","tipo":"momento","eng":"For the age group between 15 and 24 years, obtain the following percentages separated by men and women:\n
\n- \n
- Percentage of people who sleep less than the recommended hours.\n \n
- Percentage of people who sleep the recommended number of hours.\n \n
- Percentage of people who sleep more than the recommended hours.\n \n
From the above,\n
\nWhich gender best meets the sleep recommendation?\n
"},{"tipo":"momento","eng":"- \n
- Men,\n
- \n
- Less than recommended: 23 150 ≈ 15.55% \n
- Within the recommended range: 98 150 ≈ 65.33% \n
- More than recommended: 29 150 ≈ 19.33% \n\n
\n - \nWomen,\n
- \n
- Less than recommended: 34 190 ≈ 17.89% \n
- Within the recommended range: 115 190 ≈ 60.53% \n
- More than recommended: 41 190 ≈ 21.58% \n
\n
- \n
- Hombres,\n
- \n
- Menos de lo recomendado: 23 150 ≈ 15,55% \n
- Dentro de lo recomendado: 98 150 ≈ 65,33 % \n
- Más de lo recomendado: 29 150 ≈ 19,33 % \n\n
\n - \nMujeres, \n
- \n
- Menos de lo recomendado: 34 190 ≈ 17,89 % \n
- Dentro de lo recomendado: 115 190 ≈ 60,53 % \n
- Más de lo recomendado: 41 190 ≈ 21,58 % \n
\n
Give them time to work through these questions, and then ask them to share their\nanswers with the rest of the class. If you notice difficulties, it is suggested to explain the necessary development to\nobtain some of the required percentages from the frequency tables. Then bring up the\nnext question.\n
","tipo":"p","esp":"Dé un tiempo para que trabajen en torno a estas preguntas y luego pida que compartan sus\nrespuestas con el resto del curso. Si nota dificultades, se sugiere explicar el desarrollo necesario para\nobtener alguno de los porcentajes requeridos a partir de las tablas de frecuencia. Luego, plantee la\nsiguiente pregunta. \n
"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 15 y 16, Presentación)","eng":"(Slides 15 and 16, Presentation)"},{"esp":"- ¿Qué tipo de gráfico utilizarías para presentar esta información anterior a otra persona?
- What type of graph would you use to present this above information to another person?
Dé un breve espacio de tiempo para que las y los estudiantes discutan en torno a esta pregunta. Guíe\nla discusión para que identifiquen que un gráfico circular es útil para este caso, pues permite\nvisualizar dentro de cada grupo la proporción de personas que están alguno de los rangos de sueño\n(bajo lo recomendado, dentro de lo recomendado, sobre lo recomendado) y a la vez comparar los\nporcentajes entre dos grupos distintos (hombre y mujeres).\n
","eng":"Allow a short amount of time for students to discuss this question. guide\nthe discussion so that they identify that a circular graph is useful for this case, since it allows\nvisualize within each group the proportion of people who are in any of the sleep ranges\n(under what is recommended, within what is recommended, above what is recommended) and at the same time compare the\npercentages between two different groups (men and women).\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Finalice este momento, solicitando a sus estudiantes que construyan los gráficos circulares para\nambos casos. \n
","eng":"End this moment by asking your students to construct the pie charts for\nboth cases.\n
"},{"esp":"
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/torta-h.png\")
","recurso":"Respuesta","eng":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/torta-m.png\")
\n
","tipo":"momento"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"(Diapositiva 17, Presentación)","eng":"(Slide 17, Presentation)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Sistematice las siguientes ideas surgidas de la lección:\n
","eng":"Systematize the following ideas from the lesson:\n
"},{"tipo":"p","esp":"- \n
- Utilizando los datos de horas de sueño, se construyeron 3 representaciones gráficas, cada\nuna con características y utilidad distinta.\n
- El gráfico de barras facilita la comparación de un valor cuando existen dos categorías. En la\nactividad se utilizó para comprar el promedio de horas de sueño entre las categorías grupo\netario y sexo.\n
- El histograma permite visualizar la distribución de los datos, entregando mucha más\ninformación que el promedio. En la actividad nos sirvió para notar que si bien en promedio el\ngrupo etario entre 15 y 24 años duerme lo recomendado, existe una cantidad no menor de\nindividuos que no cumplen con esto.\n
- El gráfico circular ayuda en la comparación de proporciones de individuos dentro de un\nmismo grupo y entre distintos grupos. En la actividad se usó para representar, en el grupo de\nhombres y de mujeres separadamente, la proporción de personas que están en alguno de los\nrangos de sueño (bajo lo recomendado, dentro de lo recomendado, sobre lo recomendado) y\na la vez comparar los porcentajes entre estos dos grupos.\n
- Es importante destacar que para responder a la pregunta sobre qué grupo, entre hombres y\nmujeres, cumple mejor la recomendación de horas de sueño, se debe hacer comparando los\nporcentajes calculados para construir el gráfico circular ya que los tamaños de ambos grupos\nson distintos.\n \n
\n
\n
\n
\n- \n
- Using the data on hours of sleep, 3 graphic representations were constructed, each\none with different characteristics and utility.\n
- The bar chart makes it easy to compare a value when there are two categories. In the\nactivity was used to compare the average hours of sleep between the group categories\nage and sex.\n
- The histogram allows you to visualize the distribution of the data, giving much more\ninformation than average. In the activity it helped us to notice that although on average the\nage group between 15 and 24 years old sleeps what is recommended, there is an amount of no less than\nindividuals who do not comply with this.\n
- The pie chart aids in the comparison of proportions of individuals within a\nsame group and between different groups. In the activity it was used to represent, in the group of\nmen and women separately, the proportion of people who are in any of the\nsleep ranges (below recommended, within recommended, above recommended) and\nat the same time compare the percentages between these two groups.\n
- It is important to note that in order to answer the question about which group, between men and\nwomen, better meets the recommendation for hours of sleep, it should be done by comparing the\npercentages calculated to build the circular graph since the sizes of both groups\nThey are different.\n \n
\n
\n
\n
\nPresente a sus estudiantes la Guía Práctica y dé tiempo para que trabajen en ella. La actividad 1\npropone un trabajo similar al realizado en clases pero ahora comparando los grupos etarios 15-24\naños y 25-65 años, independiente del género. Es decir, los estudiantes deberán agrupar los datos de\nhombres y mujeres antes de trabajar con ellos.\n
","eng":"Introduce your students to the How To Guide and allow time for them to work on it. activity 1\nproposes a work similar to that carried out in class but now comparing the age groups 15-24\nyears and 25-65 years, regardless of gender. That is, students must group the data from\nmen and women before working with them.\n
"},{"esp":"La actividad 2 también propone un trabajo similar, con el desafío de que sean las y los estudiantes quienes construyan la\nbase de datos sobre la que realizarán el análisis estadístico. Esto les permitirá valorar el proceso\nprevio de obtener información.\n","tipo":"p","eng":"Activity 2 also proposes a similar work, with the challenge that the students are the ones who build the\ndatabase on which the statistical analysis will be carried out. This will allow them to assess the process.\nprior to obtaining information."},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/pdfs/guia-practica-horas-de-sueno.pdf","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/pdfs/guia-practica-horas-de-sueno.pdf","recurso":"ModalGP"}],"visible":true}},"visible":true},"recursos":{"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Infografía","tipo":"h3","eng":"infographic"},{"eng":"This infographic covers the benefits of sleeping, and the consequences of sleeping less\nor more than the recommended hours per hour group.\n
","tipo":"p","esp":"En esta infografía se abordan los beneficios de dormir, y las consecuencias de dormir menos\no más que las horas recomendadas por grupo horario.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/pdfs/Infografia%20horas%20sueno.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/pdfs/Infografia%20horas%20sueno.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Infografia","eng":"Download Infographic"},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/pdfs/Infografia%20horas%20sueno.pdf","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/pdfs/Infografia%20horas%20sueno.pdf"},{"tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 2 to 4)","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 4)"},{"eng":"Below you can view and download the complete presentation.\n
","tipo":"p","esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/pdfs/ppt-horas-de-sueno.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/pdfs/ppt-horas-de-sueno.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/docs/ppt-horas-de-sueno.pptx","recurso":"descarga","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/docs/ppt-horas-de-sueno.pptx","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Download Presentation"}}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Worksheet","esp":"Hoja de Actividades","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"This document presents a series of questions that are used to promote the\nconstruction of knowledge associated with this situation.\n
","esp":"En este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la\nconstrucción de conocimientos asociados a esta situación.\n
"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/pdfs/hoja-de-actividades-horas-de-sueno.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/pdfs/hoja-de-actividades-horas-de-sueno.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/docs/hoja-de-actividades-horas-de-sueno.docx","titulo":{"eng":"Download Activity Sheet","esp":"Descargar Hoja de Actividad"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/docs/hoja-de-actividades-horas-de-sueno.docx","recurso":"Descarga"},{"esp":"Presentación (diapositivas 5 a 16)","tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 5 to 16)"},{"eng":"Below you can view and download the complete presentation.\n
","esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/pdfs/ppt-horas-de-sueno.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/pdfs/ppt-horas-de-sueno.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/docs/ppt-horas-de-sueno.pptx","recurso":"Descarga","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/docs/ppt-horas-de-sueno.pptx"},{"esp":"Base de datos","tipo":"h3","eng":"Database"},{"eng":"The “sleep hours” database is an Excel file that includes a data table with the hours\naverage sleep of 1330 people, grouped according to age group and sex.\n
","tipo":"p","esp":"La base de datos “horas de sueño” es un archivo Excel que incluye una tabla de datos con las horas\npromedio de sueño de 1330 personas, agrupadas según grupo etario y sexo.\n
"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/docs/bd-horas-de-sueno.xlsx","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/docs/bd-horas-de-sueno.xlsx","titulo":{"eng":"Download Database","esp":"Descargar Base de Dato "}}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositiva 16)","eng":"Presentation (slide 16)"},{"eng":"Below you can view and download the complete presentation.\n
","esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/pdfs/ppt-horas-de-sueno.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/pdfs/ppt-horas-de-sueno.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/docs/ppt-horas-de-sueno.pptx","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Download Presentation"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/docs/ppt-horas-de-sueno.pptx"}]},"4":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Guía Práctica ","tipo":"h3","eng":"Practical Guide"},{"tipo":"p","eng":"This guide also proposes exercises for students to apply their understanding\non data analysis and the construction of different graphical representations.\n
","esp":"En esta guía también se proponen ejercicios para que las y los estudiantes apliquen su comprensión\nsobre el análisis de datos y la construcción de distintas representaciones gráficas.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/pdfs/guia-practica-horas-de-sueno.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/pdfs/guia-practica-horas-de-sueno.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/docs/guia-practica-horas-de-sueno.docx","recurso":"Descarga","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/docs/guia-practica-horas-de-sueno.docx","titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica","eng":"Download Practical Guide"}}]}},"visible":true},"visible":true,"aspectosAConsiderar":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Al trabajar con representaciones gráficas de información, es importante que las y los estudiantes\ncomprendan el tipo de variable involucrada y el propósito más adecuado para utilizar diferentes tipos\nde gráficos. A continuación se detalla lo anterior para distintos tipos de gráficos:","eng":"When working with graphical representations of information, it is important that students\nunderstand the type of variable involved and the best purpose for using different types\ngraphics. The above is detailed below for different types of graphs:","tipo":"p"},{"esp":"Gráfico circular o de torta","eng":"Pie or Pie Chart","tipo":"h4"},{"esp":"Los gráficos circulares son útiles para visualizar la proporción entre cada una de las categorías de interés y el total de la población. Las categorías suelen corresponder a variables cualitativas.","eng":"Pie charts are useful for visualizing the ratio between each of the categories of interest and the total population. The categories usually correspond to qualitative variables.","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/tipos_de_graficos_1.png","tipo":"img","escala":"50","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/tipos_de_graficos_1.png","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado"},{"eng":"Bar graphic","esp":"Gráfico de barras","tipo":"h4"},{"esp":"Los gráficos de barras son útiles para comparar la frecuencia, magnitud o valor entre las distintas categorías. Las categorías pueden corresponder a variables cualitativas o cuantitativas discretas.","tipo":"p","eng":"Bar charts are useful for comparing frequency, magnitude, or value between different categories. The categories can correspond to discrete qualitative or quantitative variables."},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/tipos_de_graficos_2.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/tipos_de_graficos_2.png"},{"esp":"Gráfico de líneas","eng":"line chart","tipo":"h4"},{"eng":"Line charts show the behavior of data, usually over a period of time. They are used to study the evolution of the observations, showing the tendencies or variations of an ordinal or quantitative qualitative variable.","tipo":"p","esp":"Los gráficos de líneas muestran el comportamiento de los datos, generalmente a lo largo de un período de tiempo. Se utilizan para estudiar la evolución de las observaciones, mostrando las tendencias o variaciones de una variable cualitativa ordinal o cuantitativa."},{"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/tipos_de_graficos_3.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/tipos_de_graficos_3.png"},{"tipo":"h4","eng":"histogram","esp":"Histograma"},{"eng":"Histograms are used exclusively for quantitative variables and allow observing the distribution of data that are grouped into intervals.","esp":"Los histogramas se usan exclusivamente para variables cuantitativas y permiten observar la distribución de datos que se encuentran agrupados en intervalos.","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/tipos_de_graficos_4.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/tipos_de_graficos_4.png"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"p","esp":"En la actividad propuesta a partir de la situación, las y los estudiantes deberán decidir qué tipo de\nrepresentación gráfica es más útil para responder a distintas preguntas que surgen a partir de\ndeterminada información (horas de sueño según grupo etario y sexo).\n
","eng":"In the proposed activity based on the situation, the students must decide what kind of\ngraphical representation is most useful for answering various questions that arise from\ncertain information (hours of sleep according to age group and sex).\n
"},{"tipo":"p","eng":"Students may initially feel a bit anxious when facing the base\ndata, which has a large amount of data, and therefore requires working with them to\nto systematize the information. In this sense, it is important to give confidence to the students\nso that they explore and propose adequate strategies to work and represent the data, guiding\nthe discussion so that they recognize why one type of graph is more suitable than another for\nrepresent certain information.\n
","esp":"Es posible que en un inicio las y los estudiantes se sientan un poco ansiosos al enfrentarse a la base\nde datos, que tiene una gran cantidad de datos, y que por tanto requiere trabajar con ellos para\npoder sistematizar la información. En este sentido, es importante dar confianza a las y los estudiantes\npara que exploren y propongan estrategias adecuadas para trabajar y representar los datos, guiando\nla discusión para que reconozcan por qué un tipo de gráfico es más adecuado que otro para\nrepresentar determinada información.\n
"},{"eng":"When building graphical representations, some students may have\ndifficulties in understanding them due to conceptual errors or lack of mathematical knowledge.\nFor example, constructing a histogram may be difficult for them if they have doubts about the concept of\nfrequency in a statistical sample. Similarly, constructing a pie chart can\nfind it difficult if they do not understand the concept of percentage. Given the above, this activity\ncan be a valuable opportunity to remember and deepen mathematical concepts\nassociated with the different graphic representations addressed in the lesson.\n
","tipo":"p","esp":"Al momento de construir representaciones gráficas, es posible que algunos estudiantes tengan\ndificultades para comprenderlas debido a errores conceptuales o falta de conocimiento matemático.\nPor ejemplo, construir un histograma puede resultarles difícil si tienen dudas sobre el concepto de\nfrecuencia en una muestra estadística. De forma similar, construir un gráfico circular puede\nresultarles complejo si no comprenden el concepto de porcentaje. Dado lo anterior, esta actividad\npuede ser una valiosa oportunidad para recordar y profundizar en los conceptos matemáticos\nasociados a las distintas representaciones gráficas abordadas en la lección.\n
"},{"eng":"Finally, it is important that students value the use of technological tools and\ndigital tools to analyze information and represent it graphically. Notwithstanding the foregoing, it is also\nIt is relevant that students understand how the different types of\ngraphics. In this sense, technological tools must be used ensuring that they do not\naffect the understanding of the construction of the different graphic representations.\n
","tipo":"p","esp":"Por último, es importante que las y los estudiantes valoren el uso de herramientas tecnológicas y\ndigitales para analizar información y representarla gráficamente. No obstante lo anterior, es también\nes relevante que las y los estudiantes comprendan cómo se construyen los diferentes tipos de\ngráficos. En ese sentido, las herramientas tecnológicas deben ser utilizadas procurando que no\nafecten la comprensión sobre la construcción de las distintas representaciones gráficas. \n
"}]},"3":{"contenido":[{"esp":"Sobre el sueño y sus beneficios","tipo":"h3","eng":"About sleep and its benefits"},{"eng":"Sleep is a vital process essential for physical and mental well-being. During sleep, the\nThe brain carries out a series of important processes for its restoration and maintenance, which\ninclude, for example, the removal of toxins, the processing and storage of the\ninformation we have learned during the day and the regulation of neurotransmitter levels\nand hormones that affect mood, among other essential health processes.\n
","esp":"El sueño es un proceso vital fundamental para el bienestar físico y mental. Durante el sueño, el\ncerebro lleva a cabo una serie de procesos importantes para su restauración y mantenimiento, que\nincluyen por ejemplo, la eliminación de toxinas, el procesamiento y almacenamiento de la\ninformación que hemos aprendido durante el día y la regulación de los niveles de neurotransmisores\ny hormonas que afectan el estado de ánimo, entre otros procesos esenciales para la salud. \n
","tipo":"p"},{"esp":"Algunos de los beneficios más importantes de dormir son:\n
","eng":"Some of the most important benefits of sleep are:\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"- \n
- Mejora de la memoria y el aprendizaje \n
- Mejora del estado de ánimo \n
- Fortalecimiento del sistema inmune \n
- Reparación de tejidos dañados \n
- Reducción del riesgo de enfermedades cardiovasculares \n
- \n
- Improved memory and learning \n
- Mood enhancement \n
- Strengthening of the immune system \n
- Repairs damaged tissues \n
- Reduced risk of cardiovascular disease \n
A lo largo de la vida las necesidades de sueño van cambiando. En general, mientras más joven es una\npersona, más horas de sueño necesita para un desarrollo y crecimiento adecuados. Para las personas\nadultas en cambio, lo que más se necesita es regeneración.\n
","eng":"Throughout life, sleep needs change. In general, the younger a\nperson, more hours of sleep are needed for proper development and growth. For the people\nAdults, on the other hand, what is most needed is regeneration.\n
"},{"eng":"Both lack of sleep and excessive sleep can affect health. In that sense, the\ngeneral recommendation is that each age group meets the range of hours of sleep required.
","tipo":"p","esp":"Tanto la falta de sueño, como el exceso de sueño puede afectar la salud. En ese sentido, la\nrecomendación general es que cada grupo etario cumpla con el rango de horas de sueño requerido.
"},{"tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"75","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/cuadro-horas-sueno.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/cuadro-horas-sueno.png"},{"eng":"Data on hours of sleep","esp":"Datos sobre horas de sueño","tipo":"h3"},{"esp":"En esta actividad, las y los estudiantes trabajarán con una base de datos, que contiene la información\nde 1330 datos sobre horas de sueño según grupo etario y sexo. Esta base de datos se construyó\nespecialmente para esta situación, a partir de los datos públicos del Instituto Nacional de Estadísticas\nde España. En particular, se utilizaron los siguientes datos de media y desviación estándar\n
","eng":"In this activity, students will work with a database, which contains the information\nof 1330 data on hours of sleep according to age group and sex. This database was built\nespecially for this situation, based on public data from the National Institute of Statistics\nfrom Spain. In particular, the following mean and standard deviation data were used\n
","tipo":"p"},{"caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/tablaprincipal_hombres%20y%20mujeres.png","tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/horas_de_sueno/imgs/tablaprincipal_hombres%20y%20mujeres.png","escala":"50"},{"tipo":"p","eng":"to build simulations of the data, assuming a normal distribution. In these simulations, it\ntried that the number of data for each gender, according to age group, was different. The latter,\nwas carried out with the aim of promoting the need to study the proportion of people in both\ngenders that sleep a certain number of hours, in a certain age group (15 - 24 years).\n
","esp":"para construir simulaciones de datos, asumiendo una distribución normal. En estas simulaciones, se\nprocuró que el número de datos para cada género, según grupo etario, fuese diferente. Esto último,\nse realizó con el objetivo de promover la necesidad de estudiar la proporción de personas en ambos\ngéneros que duermen una cierta cantidad de horas, en un determinado grupo etario (15 - 24 años).\n
"},{"eng":"In this activity, the information on the number of hours of sleep recommended by group\nage is relevant to answer certain statistical questions. However, the usual division of\nage groups for these recommendations (0 - 3 months, 4 -11 months, 1 -2 years, ..., ) is not the same\nthan that of the database (0 - 14 years, 15 - 24 years, ...) with which this activity is worked. In\nIn this sense, some assumptions are made to be able to cross the information, in particular, it is\nwill assume that the recommended hours of sleep for the group between 15 and 24 years (with which\nworks in the activity) is between 7 and 9 hours.\n
","esp":"En esta actividad, la información sobre la cantidad de horas de sueño recomendadas según grupo\netario es relevante para responder a ciertas preguntas estadísticas. Sin embargo, la división usual de\ngrupos etarios para estas recomendaciones (0 - 3 meses, 4 -11 meses, 1 -2 años, ..., ) no es la misma\nque la de la base de datos (0 - 14 años, 15 - 24 años, ...) con la que se trabaja en esta actividad. En\neste sentido, se realizan algunas suposiciones para poder cruzar la información, en particular, se\nasumirá que las horas de sueño recomendadas para el grupo entre 15 y 24 años (con el que se\ntrabaja en la actividad) es entre 7 y 9 horas.\n
","tipo":"p"}],"visible":true}}}},"19":{"recursosProyecto":[],"visible":true,"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"Engagement Moment","tipo":"h3","esp":"Momento de Enganche"},{"tipo":"h4","eng":"(Slide 2, Presentation)","esp":"(Diapositiva 2, Presentación)"},{"esp":"Comience la lección planteando preguntas como las siguientes a sus estudiantes:\n
","tipo":"p","eng":"Begin the lesson by asking your students questions such as the following:\n
"},{"eng":"- Do you think the climate has changed in recent years?\n
- Do you think summers are hotter now than they were a few years ago?\n
- ¿Creen que el clima ha cambiado en los últimos años?\n
- ¿Piensan que los veranos son más calurosos ahora que hace unos años atrás?\n
Dé espacio para que las y los estudiantes compartan sus opiniones respecto a estas preguntas. La idea es promover un debate breve en torno a sus percepciones respecto de los cambios en el clima. En este sentido, procure que la discusión no se enfoque demasiado en las causas del cambio climático, tales como gases de efecto invernadero, la quema de combustibles fósiles, etc.\n
","eng":"Allow space for students to share their thoughts on these questions. The idea is to promote a brief discussion around their perceptions regarding changes in climate. In this sense, make sure that the discussion does not focus too much on the causes of climate change, such as greenhouse gases, the burning of fossil fuels, etc.\n
"},{"tipo":"h3","esp":"Presentación del problema","eng":"Presentation of the problem"},{"eng":"(Slides 3 and 4, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 3 y 4, Presentación)"},{"tipo":"p","eng":"Then, project the ","esp":"
Luego, proyecte el Video “Aumento de las temperaturas”, y proponga preguntas como las siguientes para asegurarse que las y los estudiantes comprendieron su contenido.\n
"},{"titulo":{"esp":"Ver Video","eng":"Watch video"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/aumento-temperaturas/10_aumento%20de%20las%20temperaturas%20subt.mp4","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/videos/Aumento%20de%20las%20temperaturas_v.4.mp4","recurso":"modalVideo","tipo":"button"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":"- How much has the temperature changed in recent years?\n
- What are the consequences of the increase in temperature in Chile?\n
- What information is needed to corroborate the temperature increase?\n
- ¿Cuánto ha variado la temperatura en los últimos años?\n
- ¿Qué consecuencias ha provocado el aumento de temperatura en Chile?\n
- ¿Qué información es necesaria para corroborar el aumento de temperatura?\n
Las dos primeras preguntas buscan ayudar a las y los estudiantes a comprender la situación en torno a la cual se trabajará: como consecuencia del cambio climático la temperatura en la Tierra ha aumentado en los últimos años, lo que en Chile se evidencia por ejemplo, con registros de temperaturas históricos o el aumento de olas de calor.\n
","eng":"The first two questions seek to help students understand the situation around which they will work: as a consequence of climate change, the temperature on Earth has increased in recent years, which in Chile is evidenced by For example, with historical temperature records or the increase in heat waves.\n
","tipo":"p"},{"esp":"La tercera pregunta tiene por objetivo dirigir a las y los estudiantes hacia el trabajo que se realizará en la lección, esto es, que es necesario estudiar y trabajar con datos reales para extraer información que permita confirmar o desmentir el aumento de temperatura en los últimos años.","eng":"The third question aims to direct the students towards the work that will be done in the lesson, that is, that it is necessary to study and work with real data to extract information that allows confirming or refuting the temperature rise in recent years.","tipo":"p"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Primera parte","eng":"First part","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositivas 5 a 8 , Presentación)","eng":"(Slides 5 to 8, Presentation)","tipo":"h4"},{"esp":"Comience este momento mencionando que trabajarán con datos reales de la estación meteorológica de Quinta Normal, con el objetivo de estudiar el aumento de temperatura en la zona central, para lo cual analizarán las temperaturas máximas registradas en el mes de Septiembre en los años 1963 y 2021. \n
","eng":"Begin this moment by mentioning that you will work with real data from the Quinta Normal meteorological station, with the aim of studying the increase in temperature in the central zone, for which you will analyze the maximum temperatures registered in the month of September in the years 1963 and 2021.\n
","tipo":"p"},{"eng":"Then, it is recommended that they work on the first part of the Activity Sheet, where the information on temperatures is presented in ranges of 2.5°C, for the years 1963 and 2021 Before asking them to address the questions, make sure that students understand the graphics that appear on them. If you find it necessary, you can use the presentation to remind your students what a histogram is.\n
","tipo":"p","esp":"Luego, se recomienda que trabajen en la primera parte de la Hoja de Actividades, en donde se presenta la información de las temperaturas en rangos de 2,5°C, para los años 1963 y 2021. Antes de pedirles que aborden las preguntas, asegúrese de que los estudiantes comprenden los gráficos que allí aparecen. Si lo considera necesario, puede apoyarse en la presentación para recordar que es un histograma a sus estudiantes.\n
"},{"eng":"Consider the following graphs, which show the daily maximum temperatures in September grouped into ranges of 2.5°C, for the years 1963 and 2021.\n
\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/imgs/1963%20-%202021%20sept.png\")
From the graphics,
\n- \n
- In which year were there more temperatures above 25°C?\n \n
- In which year were the most temperatures recorded in the range between 15 and 30°C?\n \n
- In which year was the average maximum temperature for September the highest?\n \n
- Can we conclude from the above that in recent years the temperature has increased?\n \n
Considera los siguientes gráficos, que muestran las temperaturas máximas diarias en Septiembre agrupadas en rangos de 2.5°C, para los años 1963 y 2021. \n
\n
\nA partir de los gráficos,
\n- \n
- ¿En qué año hubo más temperaturas por sobre los 25°C?\n \n
- ¿En qué año se registraron más temperaturas en el rango entre 15 y 30°C?\n \n
- ¿En qué año la temperatura máxima promedio de septiembre fue mayor?\n \n
- ¿Podemos concluir de lo anterior que en los últimos años la temperatura ha aumentado?\n \n
Allow students time to address these questions, then have them share their answers with the class. The purpose of the first two questions is for the students to recognize that with the information presented in this way, it is easier to compare the temperature data between the two years.\n
","esp":"Dé un tiempo para que las y los estudiantes aborden estas preguntas y luego pida que compartan sus respuestas con el curso. Las primeras dos preguntas tienen por objetivo que las y los estudiantes reconozcan que con la información presentada de esta forma, resulta más sencillo comparar los datos de temperatura entre ambos años.\n
","tipo":"p"},{"esp":"Para responder la tercera pregunta las y los estudiantes deberán, para cada intervalo, obtener la marca de clase, y ponderar por la frecuencia de cada intervalo.\n
","tipo":"p","eng":"To answer the third question, the students must, for each interval, obtain the class mark, and weight by the frequency of each interval.\n
"},{"esp":"Es posible que algunos estudiantes no recuerden cómo obtener el promedio de datos agrupados por frecuencias. En este caso es importante dar el tiempo necesario para que recuerden y entiendan este procedimiento.
","eng":"Some students may not remember how to average data grouped by frequency. In this case it is important to give the necessary time for them to remember and understand this procedure.
","tipo":"momento","recurso":"Destacado"},{"eng":"The fourth question seeks to promote a discussion whose objective is to recognize that although it is possible to establish differences between the years 2021 and 1963, we cannot generalize these observations since the temperature records in these years are very particular. You can mention for example,\n
","tipo":"p","esp":"Con la cuarta pregunta se busca promover una discusión cuyo objetivo sea reconocer que si bien, es posible establecer diferencias entre los años 2021 y 1963, no podemos generalizar estas observaciones dado que los registros de temperaturas en estos años son muy particulares. Puede mencionar por ejemplo, \n
"},{"tipo":"p","eng":"- \"Although the average maximum temperatures in September 2021 increased compared to 1963, this information is not enough to affirm that temperatures have indeed changed in a sustained manner over time.\"\n
- “Si bien el promedio de temperaturas máximas en Septiembre de 2021 aumentó respecto de 1963, esta información no es suficiente para afirmar que efectivamente las temperaturas han cambiado de manera sostenida a lo largo del tiempo”.\n
Comente ahora que con el objetivo de determinar si efectivamente hay un aumento de las temperaturas trabajarán con datos correspondientes a períodos de 30 años. Luego, presente la siguiente tabla que acumula datos desde 1963 a 1992, y pídales que trabajen en la segunda parte de la Hoja de Actividades.\n
","eng":"Comment now that in order to determine if there is indeed an increase in temperatures, they will work with data corresponding to periods of 30 years. Then, present the following table that accumulates data from 1963 to 1992, and ask them to work on the second part of the Activity Sheet.\n
","tipo":"p"},{"recurso":"Actividades","eng":"Consider the historical data of the maximum temperatures in September, for the period between 1963 - 1992, which are shown in the table.\n
\n.\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/imgs/8-SIN%20FONDO.png\")
\nUse this data to construct a histogram. You can use the following GeoGebra resource to do this: https://www.geogebra.org/m/jbvaucbq\n\n
","tipo":"momento","esp":"Considera los datos históricos de las temperaturas máximas en septiembre, para el período entre 1963 - 1992, que se muestran en la tabla.\n
\n.\n
\n\nUsa estos datos para construir un histograma. Puedes utilizar el siguiente recurso GeoGebra para hacerlo: https://www.geogebra.org/m/jbvaucbq\n\n
"},{"eng":"Your students should come up with a graph similar to this:","tipo":"momento","recurso":"Respuesta","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/imgs/resp-hist-1963-1993.png\")
Sus estudiantes deberían llegar a un gráfico similar a este:"},{"eng":"If you cannot use the GeoGebra resource for some reason, you can ask your students to construct the histogram by hand. In this case, be sure to give them the necessary time to do so.\n
\nIn case you have more time, it is possible to take advantage of this situation to teach how to build histograms using spreadsheets, as well as the use of formulas to obtain the average of grouped data. Although the management guidelines provided here do not consider the use of a resource of this type, they can be adapted for it.\n
\nIn the Resources section you will find a Database that can be used to teach this lesson using spreadsheets if you wish.\n
","recurso":"Destacado","tipo":"momento","esp":"Si no puede utilizar el recurso GeoGebra por alguna razón, puede pedirles a sus estudiantes que construyan el histograma a mano. En este caso asegúrese de darles el tiempo necesario para ello. \n
\nEn caso de que disponga de mayor tiempo, es posible aprovechar esta situación para enseñar cómo construir histogramas usando planillas de cálculos, así cómo también el uso de fórmulas para obtener el promedio de datos agrupados. Si bien las orientaciones de gestión que aquí se entregan no consideran el uso de un recurso de este tipo, estas pueden ser adaptadas para ello. \n
\nEn el apartado de Recursos podrá encontrar una Base de datos que puede ser empleada para impartir esta lección usando planillas de cálculo si así lo desea.\n
"},{"esp":"Se sugiere detenerse a reflexionar con sus estudiantes qué es lo que este gráfico representa (diapositiva 10). La idea es reafirmar que los estudiantes entienden que son las temperaturas máximas registradas el mes de septiembre entre los años 1963 y 1992, y que cada intervalo cuenta cuántas temperaturas se encuentran en ese rango. Luego, pídales que aborden las siguientes preguntas de la actividad 3 de la Hoja de Actividades.\n
","eng":"It is suggested that you stop and reflect with your students on what this graph represents (slide 10). The idea is to reaffirm that students understand that these are the maximum temperatures recorded in the month of September between the years 1963 and 1992, and that each interval counts how many temperatures are in that range. Then ask them to address the following questions from activity 3 on the Activity Sheet.\n
","tipo":"p"},{"eng":"Consider the histogram constructed above (using data for the period between 1963 and 1992) and answer the following questions:\n
\n- \n
- What is the most frequent temperature range? the least? \n
- Calculates the average of the data and uses the geogebra resource to locate it in some range \n
- Which temperature ranges are most frequent? Those that are close to the average or those that are further away? \n\n
Considera el histograma construido anteriormente (usando los datos del período entre 1963 y 1992) y responde las siguientes preguntas: \n
\n- \n
- ¿Cuál es el rango de temperaturas que más se repite? ¿el que menos? \n
- Calcula el promedio de los datos y usa el recurso geogebra para ubicarlo en algún rango \n
- ¿Qué rangos de temperaturas son más frecuentes? ¿Aquellos que están cerca del promedio o los que están más alejados? \n\n
- The range that occurs the most is [17.5,20). The least is [5,7.5) \n
- The average temperature is ≈ 19.86°C.
- Temperature ranges that are closer to average are more frequent.\n ","recurso":"Respuesta","esp":"
- El rango que más se repite es [17.5,20). El que menos es [5,7.5) \n
- El promedio de temperaturas es ≈ 19,86°C.
- \n
- Los rangos de temperatura que están más cerca del promedio son más frecuentes.\n \n"},{"esp":"
- ¿Cuáles son las similitudes que encuentras entre ambos gráficos?
- ¿Qué diferencias se pueden apreciar entre ambos gráficos?\n
- What are the similarities that you find between the two graphs?
- What differences can be seen between the two graphs?\n
- Los valores más frecuentes se concentran en torno al centro y los menos frecuentes a los extremos.\n \n
- El gráfico de los años 1992-2022 está “corrido” a la derecha. Por ejemplo, el período 1993 - 2022 tiene más temperaturas por sobre los 25°C que el período 1963 - 1992.\n \n
- The most frequent values are concentrated around the center and the less frequent ones at the extremes.\n \n
- The graph for the years 1992-2022 is “shifted” to the right. For example, the period 1993 - 2022 has more temperatures above 25°C than the period 1963 - 1992.\n \n
- Build the associated histogram (you can use this GeoGebra resource)\n \n
- Obtain the average temperature for this period and place it on the histogram.\n \n
- Construir el histograma asociado (puedes apoyarte en este recurso GeoGebra)\n \n
- Obtener el promedio de temperaturas para este período y ubicarlo en el histograma.\n \n
- The average temperatures in the last 30 years are higher than for the data between 1963 and 1992.\n \n
- The temperature distribution in the histogram presents more data on the right in the last 30 years than in the other time period. For example, it is noted that there were more maximum temperatures over 30 in the last period of time.\n \n
- From the previous points, it can be thought that in approximate terms the complete distribution of temperatures when passing from one period to the other moved to the right.\n
- El promedio de temperaturas en los últimos 30 años es mayor que para los datos entre 1963 y 1992.\n \n
- La distribución de las temperaturas en el histograma presenta más datos a la derecha en los últimos 30 años que en el otro periodo de tiempo. Por ejemplo, se nota que hubo más temperaturas máximas sobre 30 en el último periodo de tiempo.\n \n
- A partir de los puntos anteriores, se puede pensar que en términos aproximados la distribución completa de temperaturas al pasar de un período al otro se movió hacia la derecha. \n
- By comparing only two particular years it is not possible to generalize that there has been an increase in temperature between past and present periods.\n
- The histograms of the maximum temperatures for the month of September when 30-year data are used, are distributed in such a way that the most frequent values are concentrated around the center and the least frequent ones at the extremes.\n
- The temperature distributions we have studied resemble what is known as a “normal distribution”. This distribution is characterized by the fact that the data are concentrated around a central value and are less frequent when they move away from it, in a similar way to what was described for temperatures in the previous point.\n
- It is important to note that the theoretical normal distribution is symmetric about the mean, which is not the case for temperatures, since in practice it is difficult to obtain an exact normal distribution from a set of values. data.\n
- The average of the maximum temperatures in Santiago in the last 30 years (1993-2022), for the month of September, has increased 1.64°C with respect to the same period immediately before (1963-1993).\n
- Al comparar sólo dos años particulares no es posible generalizar que ha habido un aumento de temperatura entre períodos pasados y presentes.\n
- Los histogramas de las temperaturas máximas del mes de septiembre cuando se utilizan datos de 30 años, se distribuyen de manera que los valores más frecuentes se concentran en torno al centro y los menos frecuentes a los extremos.\n
- Las distribuciones de temperatura que hemos estudiado se asemejan a lo que se conoce como “distribución normal”. Esta distribución se caracteriza por que los datos se concentran en torno a un valor central y son menos frecuentes cuando se alejan de él, de forma similar a lo descrito para las temperaturas en el punto anterior.\n
- Es importante destacar que la distribución normal teórica es simétrica respecto de la media, lo que no ocurre en el caso de las temperaturas ya que en la práctica es difícil obtener una distribución normal exacta a partir de un conjunto de datos. \n
- El promedio de las temperaturas máximas en Santiago en los últimos 30 años (1993-2022), para el mes de Septiembre, ha aumentado 1.64°C respecto del mismo período inmediatamente anterior (1963-1993). \n
- Represent data and information about a context using histograms.
- Conjecture about the trend of the data, using a histogram.
- Determine if the data corresponds to a distribution normal.\n
- Representar datos e información sobre un contexto usando histogramas.
- Conjeturar sobre la tendencia de los datos, empleando un histograma.
- Determinar si los datos corresponden a una distribución normal. \n
- Understand the idea that an idealized normal curve does not occur “perfectly” in reality.\n
- Students must handle concepts such as frequency tables and histograms for the correct development of the activity, as well as the calculation of averages for data grouped by frequencies.\n
- The activity proposes working with digital tools, particularly dynamic frequency tables using GeoGebra. In the Resources section, a database is also provided that can be used to calculate averages of grouped data and generate histograms using spreadsheets if necessary.\n
- Relevar la idea de que una curva normal idealizada no se da de manera “perfecta” en la realidad.\n
- Las y los estudiantes deben manejar conceptos como tablas de frecuencias e histogramas para el correcto desarrollo de la actividad, así como también, el cálculo de promedios para datos agrupados por frecuencias.\n
- La actividad propone el trabajo con herramientas digitales, en particular tablas dinámicas de frecuencias usando GeoGebra. En el apartado de Recursos se entrega además una base de datos que puede ser utilizada para calcular promedios de datos agrupados y generar histogramas usando planillas de cálculo en caso de así se estime. \n
- Low-altitude coastal areas
- Much of the territory has arid or semi-arid zones
- Territory susceptible to natural disasters
- Areas with extensive forest cover exposed to deterioration
- Áreas costeras a baja altura
- Gran parte del territorio tiene zonas áridas o semiáridas
- Territorio susceptible a desastres naturales
- Zonas con amplia cobertura forestal expuestas a deterioro
- Análisis de tendencias: Se utilizan herramientas estadísticas para analizar datos climáticos de largo plazo y determinar si hay tendencias significativas en los patrones del clima, como por ejemplo el aumento de la temperatura global.
- Uso de modelos climáticos: Es usual utilizar modelos físicos para predecir cómo podría cambiar el clima en un futuro, en respuesta a diferentes escenarios (por ejemplo, disminución de la concentración de gases de efecto invernadero). Estos modelos se calibran usando datos históricos.
- Trend Analysis: Statistical tools are used to analyze long-term climate data to determine if there are significant trends in weather patterns, such as increases in overall temperature.
- Use of climate models: It is common to use physical models to predict how the climate might change in the future, in response to different scenarios (for example, a decrease in the concentration of greenhouse effect). These models are calibrated using historical data.
- ¿Qué estrategias de precios y promociones se presentaron? ¿Las conocías?\n \n
- De las estrategias de marketing presentadas, ¿hay alguna que pueda ser “algo engañosa”?\n \n
- What pricing and promotion strategies were introduced? Did you know them?\n \n
- Of the marketing strategies presented, are there any that could be “somewhat misleading”?\n \n
- ¿Estás de acuerdo con este razonamiento? Fundamenta tu respuesta. \n
- Do you agree with this reasoning? Justify your answer. \n
- Does the promotion seem misleading?\n \n
- \nDoes the difference in the discount percentage that you determined with the one indicated by the seller seem relevant to you?\n
- ¿Te parece engañosa la promoción?\n \n
- \n¿Les parece relevante la diferencia del porcentaje de descuento que determinaron con la que indica el vendedor?\n
- \nConsider that there is a company that has its products with a \\(a\\) discount and then applies an additional discount of \\(b\\). What would be the final discount after applying the two discounts? Link your results to the context of the problem.\n \n
- \nConsideren que hay una empresa que tiene sus productos con un \\(a\\) de descuento y que luego, aplican un descuento adicional de \\(b\\). ¿Cuál sería el descuento final luego de aplicar los dos descuentos? Vincula tus resultados al contexto del problema.\n \n
- What will you call the initial value of the product? \n
- What would be the expression that represents the price of the product after the first discount? \n
- What would be the expression that represents the price of the product after the second discount?\n \n
- ¿Cómo llamarán al valor inicial del producto? \n
- ¿Cuál sería la expresión que representa el precio del producto después del primer descuento? \n
- ¿Cuál sería la expresión que representa el precio del producto después del segundo descuento?\n \n
- Remarkable products can be a useful tool to solve everyday life situations.\n \n
- It is important to be critical of discounts because, although they can be an effective tool to attract customers and increase sales, regular product prices are also inflated to make discounts appear more attractive.\n \n
- In addition, pictorial representations can help to understand remarkable products in terms of the geometric properties they represent. For example, the notable product \\( (a-b)(a b)=a^2-b^2 \\) can be visualized as a square of side \\(a\\) from which a square of side has been removed at one corner. \\(b\\). This figure can be transformed by being cut and reassembled as follows:\n \n
- Los productos notables pueden ser una herramienta útil para resolver situaciones de la vida cotidiana.\n \n
- Es importante llevar a cabo una actitud crítica frente a los descuentos porque, aunque pueden ser una herramienta efectiva para atraer clientes y aumentar las ventas, también los precios regulares de los productos se inflan para que los descuentos parezcan más atractivos.\n \n
- Además, las representaciones pictóricas pueden ayudar a comprender los productos notables en términos de las propiedades geométricas que representan. Por ejemplo, el producto notable \\( (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \\) puede ser visualizado como un cuadrado de lado \\(a\\) al que se le ha removido en una esquina un cuadrado de lado \\(b\\). Esta figura puede transformarse al cortarse y rearmarse de la siguiente manera:\n \n
- \nUse notable products in a pictorial and symbolic way, applying them to concrete situations and using them in the reduction and development of algebraic expressions.\n
- \nUtilizar los productos notables de manera pictórica y simbólica aplicándolos a situaciones concretas y utilizándolos en la reducción y desarrollo de expresiones algebraicas.\n
- ¿De qué factores depende la germinación de una semilla? \n
- ¿Cómo pueden determinar la probabilidad de que una semilla germine? \n
- What factors does the germination of a seed depend on? \n
- How can you determine the probability that a seed will germinate? \n
Puede discutir con los estudiantes sobre cómo podrían utilizar este tipo de información. Por ejemplo, concluir que en esa época era muy frecuente que la temperatura máxima estuviera entre los 15 y los 25 grados.
","eng":"You can discuss with students how they might use this type of information. For example, concluding that at that time it was very common for the maximum temperature to be between 15 and 25 degrees.
","tipo":"momento","recurso":"Destacado"},{"esp":"Tercera parte","tipo":"h3","eng":"Third part"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 12 a 14, Presentación)","eng":"(Slides 12 to 14, Presentation)"},{"eng":"Next, present your students with the histogram with the data between 1993 and 2022, in order to compare it with the one constructed by them.\n
","tipo":"p","esp":"A continuación, presente a sus estudiantes el histograma con los datos entre 1993 y 2022, con la finalidad de compararlo con el construido por ellos.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/imgs/ambos.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/imgs/ambos.png","tipo":"img","escala":"75","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado"},{"esp":"Comente con los estudiantes las similitudes y diferencias de ambos gráficos. Las siguientes preguntas pueden servir para este propósito.\n
","tipo":"p","eng":"Discuss with students the similarities and differences between the two graphs. The following questions may serve this purpose.\n
"},{"esp":"Es importante que los estudiantes noten que:\n
\n- \n
It is important for students to note that:\n
\n- \n
Next, ask them to work on activity 4 on the Activity Sheet.","tipo":"p","esp":"
Luego, pídales que trabajen en actividad 4 de la Hoja de Actividades.
"},{"tipo":"momento","eng":"Consider the historical data of the maximum temperatures in September, for the period between 1993 - 2022, which are shown in the table.\n\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/increase_temperatures/imgs/table-2.png\")
Use this data to:
\n- \n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/imgs/tabla-2.png\")
Usa estos datos para:
\n- \n
Usando el recurso GeoGebra, sus estudiantes deberían llegar a un gráfico similar al siguiente,
\n
","tipo":"momento","eng":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/imgs/resp-hist-1993-2022.png\")
Using the GeoGebra resource, your students should come up with a graph similar to the following,
\n
"},{"tipo":"p","esp":"Dé tiempo para que las y los estudiantes aborden estas preguntas. Es posible que esta tarea les resulte un poco más sencilla que las anteriores, dado que ya resolvieron preguntas similares para el período entre 1963 - 1992. Luego, pídales que compartan sus respuestas con el curso, y asegúrese de que comprenden las respuestas y los procedimientos para llegar a ellas. \n
","eng":"Allow time for students to address these questions. They may find this task a little easier than the previous ones, since they have already solved similar questions for the period 1963 - 1992. Then ask them to share their answers with the class, making sure they understand the answers and the procedures. to get to them.\n
"},{"eng":"At this point, it is already possible to compare both periods studied, and in particular, draw conclusions about the increase in maximum temperature in September. To do this, you can ask the following question,\n
","esp":"En este punto, ya es posible comparar ambos períodos estudiados, y en particular, realizar conclusiones sobre el aumento de la temperatura máxima en septiembre. Para ello, puede plantear la siguiente pregunta,\n
","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","eng":"By comparing the histograms and averages calculated for both periods, what can you say about the change in maximum temperature in September?
","esp":"Al comparar los histogramas y promedios calculados para ambos períodos ¿qué puedes decir del cambio de la temperatura máxima en septiembre?
","tipo":"momento"},{"eng":"Students must conclude that in recent years the maximum temperature in the month of September has increased compared to the period from 1963 to 1992. For this they must rely on the following ideas:\n\nSistematice las siguientes ideas surgidas de la lección:
","eng":"Systematize the following ideas that emerged from the lesson:
"},{"eng":"Regarding the last point, if time permits, it is suggested to stop to reflect and promote discussion with your students regarding climate change and its consequences. You can rely on the Contextual Aspects section to guide said discussion.\n
","esp":"Respecto al último punto, en caso de que el tiempo lo permita, se sugiere detenerse a reflexionar y promover discutir con sus estudiantes respecto del cambio climático y sus consecuencias. Puede apoyarse en el apartado de Aspectos Contextuales para guiar dicha discusión.\n
"}]},"4":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Evaluación y práctica","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"Give your students the Practical Guide and allow time for the students to understand the data table from activity 1. The objective of this activity is for them to recognize that with the data of the complete period the data is are even more concentrated around a central value and more closely resemble a normal distribution.\nIn this part, you can rely on the GeoGebra resource to generate the histograms and locate the mean of the distribution . The latter must be calculated manually and in this sense, remember how to calculate the average of data grouped by frequencies. It is also possible to obtain the average through spreadsheets, for which you can share the Temperature Database with your students.","esp":"Entregue a sus estudiantes la Guía Práctica y dé tiempo para que las y los estudiantes comprendan la tabla de datos de la actividad 1. Esta actividad tiene por objetivo que reconozcan que con los datos del período completo los datos se encuentran aún más concentrados en torno a un valor central y se asemejan más a una distribución normal. \nEn esta parte, pueden apoyarse en el recurso GeoGebra para generar los histogramas y ubicar el promedio de la distribución. Este último deberán calcularlo manualmente y en ese sentido, recuerde como calcular el promedio de datos agrupados por frecuencias. También es posible obtener el promedio por medio de planillas de cálculo, para lo cual puede compartir con sus estudiantes la Base de datos de temperaturas."},{"tipo":"p","esp":"La segunda actividad de la guía práctica presenta a las y los estudiantes una distribución de datos de temperatura que no se asemeja a una distribución normal. Es importante que comprendan las razones que justifican lo anterior. Puede promover una discusión de curso completo para que sus estudiantes compartan sus ideas y en conjunto concluyan que la distribución de temperaturas en Diciembre es distinta de una distribución normal. ","eng":"The second activity of the practical guide presents students with a distribution of temperature data that does not resemble a normal distribution. It is important that they understand the reasons that justify the above. You can promote a whole course discussion so that your students share their ideas and together conclude that the temperature distribution in December is different from a normal distribution."},{"recurso":"ModalGP","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/pdfs/guia-practica.pdf","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/pdfs/guia-practica.pdf"},{"eng":"The activities proposed in the practical guide can be used to assess the following indicators:\nContext of the video
","esp":"Contexto del video
"},{"tipo":"video","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/videos/Aumento%20de%20las%20temperaturas.webm","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/aumento-temperaturas/10_aumento%20de%20las%20temperaturas%20subt.mp4"},{"recurso":"descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/videos/Aumento%20de%20las%20temperaturas_v.4.mp4","tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/aumento-temperaturas/10_aumento%20de%20las%20temperaturas%20subt.mp4","titulo":{"esp":"Descargar Video","eng":"Descargar Video"}},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 4)","eng":"Presentation (slides 2 to 4)"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/pdfs/ppt-temperaturas.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/pdfs/ppt-temperaturas.pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/docs/ppt-temperaturas.pptx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/docs/ppt-temperaturas.pptx","tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Descargar Presentación"}}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Worksheet","esp":"Hoja de Actividades"},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación. ","tipo":"p","eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation."},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/pdfs/hoja-de-actividades.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/pdfs/hoja-de-actividades.pdf"},{"recurso":"Descarga","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/docs/hoja-de-actividades.docx","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":"Download Activity Sheet"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/docs/hoja-de-actividades.docx"},{"esp":"Presentación (diapositivas 5 a 14)","eng":"Presentation (slides 5 to 14)","tipo":"h3"},{"eng":"Below you can view and download the full presentation.","esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/pdfs/ppt-temperaturas.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/pdfs/ppt-temperaturas.pdf"},{"tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Download Presentation"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/docs/ppt-temperaturas.pptx","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/docs/ppt-temperaturas.pptx"},{"eng":"Interactive Resource","esp":"Recurso Interactivo","tipo":"h3"},{"eng":"This GeoGebra resource allows you to dynamically create histograms from frequency tables.","esp":"Este recurso GeoGebra permite crear histogramas de manera dinámica a partir de tablas de frecuencias. ","tipo":"p"},{"tipo":"iframe","eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/c2b8v4km/width/1184/height/681/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/ asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false\" width=\"1184px\" height=\"681px\" style=\"border:0px;","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/c2b8v4km/width/1184/height/681/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false\" width=\"1184px\" height=\"681px\" style=\"border:0px;","recurso":"Geogebra"},{"eng":"Database","esp":"Base de datos","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"Excel file containing all the frequency tables of the activity sheet and the practical guide.","esp":"Archivo excel que contiene todas las tablas de frecuencias de la hoja de actividades y de la guía práctica. "},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/docs/base-datos-temp.xlsx","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Download Database","esp":"Descargar Base de datos"},"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/docs/base-datos-temp.xlsx"}]},"3":{"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 15 a 18)","tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 15-18)"},{"esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.","tipo":"p","eng":"Below you can view and download the full presentation."},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/pdfs/ppt-temperaturas.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/pdfs/ppt-temperaturas.pdf","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/docs/ppt-temperaturas.pptx","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/docs/ppt-temperaturas.pptx","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Download Presentation"},"tipo":"button"}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Guía Práctica ","eng":"Practical Guide","tipo":"h3"},{"esp":"Este documento propone una serie de ejercicios en los que las y los estudiantes deberán poner en práctica sus conocimientos sobre las características de una distribución normal.","tipo":"p","eng":"This document proposes a series of exercises in which students must put into practice their knowledge about the characteristics of a normal distribution."},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/pdfs/guia-practica.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/pdfs/guia-practica.pdf"},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/docs/guia-practica.docx","titulo":{"eng":"Download practical guide","esp":"Descargar Guia práctica"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/docs/guia-practica.docx"},{"esp":"Recurso Interactivo","tipo":"h3","eng":"Interactive Resource"},{"tipo":"p","esp":"Este recurso GeoGebra permite crear histogramas de manera dinámica a partir de tablas de frecuencias. La escala está ajustada para visualizar correctamente la tabla de datos de la guía práctica.","eng":"This GeoGebra resource allows you to dynamically create histograms from frequency tables. The scale is adjusted to correctly display the data table in the practical guide."},{"eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/szd3tgsv/width/1011/height/629/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/ asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false\" width=\"1011px\" height=\"629px\" style=\"border:0px;","tipo":"iframe","recurso":"Geogebra","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/szd3tgsv/width/1011/height/629/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false\" width=\"1011px\" height=\"629px\" style=\"border:0px;"},{"tipo":"h3","eng":"Database","esp":"Base de datos"},{"eng":"Excel file containing all the frequency tables of the activity sheet and the practical guide.","esp":"Archivo excel que contiene todas las tablas de frecuencias de la hoja de actividades y de la guía práctica. ","tipo":"p"},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/docs/base-datos-temp.xlsx","titulo":{"esp":"Descargar Base de datos","eng":"Download Database"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/docs/base-datos-temp.xlsx"}]}}},"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Variables aleatorias continuas","tipo":"h3","eng":"Continuous random variables"},{"eng":"Let us remember that a continuous random variable X is a variable that can take values in an interval (bounded or not bounded) of the real numbers. It is characterized by having a density function, that is, a function f:R→R such that\n\\[ \\mathbb{P}(a\\leq X \\leq b)=\\int_{a}^{b} f(x)dx\\].\nIf we plot the density curve f, the probability that X takes a value between a and b is equal the area under the curve between a and b.","tipo":"p","esp":"Recordemos que una variable aleatoria continua X es una variable que puede tomar valores en un intervalo (acotado o no acotado) de los números reales. Se caracteriza por tener una función de densidad, es decir una función f:R→R+ tal que \n\\[ \\mathbb{P}(a\\leq X \\leq b)=\\int_{a}^{b} f(x)dx\\]. \nSi graficamos la curva de densidad f, la probabilidad de que X tome un valor entre a y b es igual al área bajo la curva entre a y b."},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/imgs/2.png","escala":"25","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/imgs/2.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img"},{"esp":"Al tener datos sobre una variable continua (como por ejemplo la temperatura), es usual usar histogramas para visualizar la distribución de esta. Como se vio en la actividad, un histograma se puede construir dividiendo el intervalo de valores en varios subintervalos y contando cuántas veces los datos caen en cada subintervalo. Luego, se grafica el número de datos que caen en cada subintervalo en el eje vertical y los subintervalos en el eje horizontal. Esta forma de visualizar los datos es muy útil para analizar la distribución de estos, lo que puede ayudar a entender la frecuencia y la concentración de los valores en un intervalo determinado. A medida que tengamos más y más datos, el histograma se parecerá cada vez más a la curva de densidad de la variable observada y, por tanto, construir un histograma nos da una idea de cómo es la forma de la curva de densidad de la variable en estudio.
","eng":"When having data on a continuous variable (such as temperature), it is usual to use histograms to visualize its distribution. As seen in the activity, a histogram can be constructed by dividing the range of values into multiple sub-ranges and counting how many times the data falls into each sub-range. Then, the number of data items that fall in each subinterval is plotted on the vertical axis and the subintervals on the horizontal axis. This way of visualizing the data is very useful to analyze the distribution of the data, which can help to understand the frequency and concentration of the values in a certain interval. As we get more and more data, the histogram will look more and more like the density curve of the observed variable, and so building a histogram gives us an idea of what the shape of the density curve of the variable looks like. under study.
","tipo":"p"},{"caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"25","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/imgs/3.png","tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/imgs/3.png","titulo":{"eng":"","esp":""}},{"esp":"Existen muchas variables reales (de la naturaleza, la física, la salud, de la economía, las ciencias sociales, etc) cuyos histogramas tienen una forma similar a la de una campana. Ejemplos son la estatura de las personas, los puntos en un examen, la presión sanguínea, la temperatura, la duración de una llamada telefónica, entre muchas otras. Esta forma de campana simétrica respecto a su media, es lo que caracteriza a las denominadas distribuciones normales (o Gaussianas).
","eng":"There are many real variables (from nature, physics, health, economics, social sciences, etc.) whose histograms have a shape similar to that of a bell. Examples are the height of people, the points in an exam, blood pressure, temperature, the duration of a phone call, among many others. This symmetrical bell shape with respect to its mean is what characterizes the so-called normal (or Gaussian) distributions.
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/imgs/4.png","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"25","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/imgs/4.png"},{"eng":"Normal or Gaussian distributions are undoubtedly the most important class of probability distributions, studied and used in statistics. One of the reasons, as we mentioned before, is that many variables of interest are constantly observed to be normally distributed. Another reason, which has a deeper mathematical explanation, stems from an important theorem in probability and statistics called the central limit theorem. It states (under some conditions that we omit to mention) that the distribution of the mean of a sample of independent and identically distributed random variables approximates a normal distribution, independent of the original distribution. That is, even if our data does not follow a normal distribution, we can treat it (average it) so that it follows a normal distribution. This allows incorporating a series of mathematical analysis tools that have been developed over the years for the study of normal distributions.
","tipo":"p","esp":"Las distribuciones normales o Gaussianas son sin duda la clase de distribuciones de probabilidad más importantes, estudiadas y usadas en estadística. Una de las razones, como mencionamos anteriormente, es que, se observa constantemente que muchas variables de interés se distribuyen de manera normal. Otra razón, que tiene una explicación matemáticamente más profunda, se deriva de un importante teorema en probabilidades y estadística, denominado el teorema del límite central. Este establece (bajo algunas condiciones que omitimos mencionar) que la distribución de la media de una muestra de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas se aproxima a una distribución normal, independientemente de la distribución original. Es decir, incluso si nuestros datos no siguen una distribución normal, los podemos tratar (los promediamos) para que sigan una normal. Esto permite incorporar una serie de herramientas de análisis matemático que se han desarrollado a lo largo de los años para el estudio de las distribuciones normales.
"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"p","esp":"El estudio de las distribuciones de probabilidad es uno de los primeros pasos para transitar desde el análisis de datos a la inferencia estadística. Además de representar variados fenómenos naturales y sociales, la distribución normal es la base de muchos procedimientos estadísticos, como por ejemplo el análisis de varianza (ANOVA), que se basan en supuestos de normalidad. En ese sentido, comprender la distribución normal es fundamental para aplicar dichas técnicas y comprender sus resultados.","eng":"The study of probability distributions is one of the first steps to move from data analysis to statistical inference. In addition to representing various natural and social phenomena, the normal distribution is the basis of many statistical procedures, such as analysis of variance (ANOVA), which are based on assumptions of normality. In this sense, understanding the normal distribution is essential to apply these techniques and understand their results."},{"tipo":"p","esp":"En esta actividad se estudia una distribución empírica de probabilidad construida con datos reales de temperaturas. Este puede corresponder a un enfoque distinto al usual, en donde se introducen las nociones de variable aleatoria o propiedades matemáticas de una distribución teórica de probabilidad antes de abordar distribuciones empíricas. En ese sentido, esta clase no está diseñada para profundizar en las variables aleatorias normales, en términos de propiedades matemáticas, cálculo de probabilidades, etc. \n","eng":"In this activity an empirical probability distribution constructed with real temperature data is studied. This may correspond to a different approach to the usual one, where the notions of a random variable or mathematical properties of a theoretical probability distribution are introduced before addressing empirical distributions. In that sense, this class is not designed to delve into normal random variables, in terms of mathematical properties, calculating probability, etc."},{"tipo":"p","esp":"No obstante lo anterior, puede ser valioso para las y los estudiantes trabajar con distribuciones empíricas y a partir de ellas hacer sentido de algunas características de las distribuciones teóricas, introducir las características de la distribución normal y promover en las y los estudiantes un acercamiento intuitivo a este tipo de distribución. Esto último constituye el objetivo de esta situación.","eng":"Notwithstanding the foregoing, it can be valuable for students to work with empirical distributions and from them make sense of some characteristics of theoretical distributions, introduce the characteristics of the normal distribution and promote an intuitive approach to this in students. distribution type. The latter is the objective of this situation."},{"tipo":"p","eng":"In view of the above, during the development of the activity, it is important to keep in mind the following points:\nEl término “cambio climático” se refiere a un cambio en el estado del clima que puede identificarse (por ejemplo, mediante pruebas estadísticas) por cambios en la media y/o en la variabilidad de sus propiedades (temperatura, precipitaciones, humedad, etc.), y que persisten durante un período prolongado de tiempo, normalmente décadas o más.
","eng":"The term “climate change” refers to a change in the state of the climate that can be identified (for example, through statistical tests) by changes in the mean and/or in the variability of its properties (temperature, precipitation, humidity , etc.), and that persist for an extended period of time, usually decades or more.
"},{"tipo":"p","eng":"These changes may be due to natural causes, for example through volcanic eruptions, or variations in solar activity. However, the changes in climate that have occurred in the last century cannot be explained solely by natural causes. Since the 19th century, human activity has been the main cause of changes in the climate, mainly due to the burning of fossil fuels (coal, oil, natural gas).
","esp":"Estos cambios pueden deberse a causas naturales, por ejemplo, a través de erupciones volcánicas, o variaciones en la actividad solar. Sin embargo, los cambios en el clima ocurridos en el último siglo no pueden ser explicados únicamente mediante causas naturales. Desde el siglo XIX, la actividad humana es la principal responsable de los cambios en el clima, debido principalmente a la quema de combustibles fósiles (carbón, petróleo, gas natural).
"},{"tipo":"p","eng":"The burning of fossil fuels generates “greenhouse effect” gases that act like a blanket around the Earth, trapping heat from the sun in the atmosphere preventing it from escaping into space, producing a greenhouse effect and an increase in overall temperature.
","esp":"La quema de combustibles fósiles genera gases de “efecto invernadero” que actúan como una manta que envuelve a la Tierra, atrapando el calor del sol en la atmósfera evitando que este escape hacia el espacio, produciendo un efecto invernadero y un aumento de la temperatura global.
"},{"tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/imgs/5.png","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/imgs/5.png","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"Consequences of climate change","esp":"Consecuencias del cambio climático","tipo":"h3"},{"eng":"One of the main consequences of climate change is the increase in temperature on Earth. In fact, the last decade (2011 - 2020) was the warmest in the last 100 years. Since the Earth is a system, in which everything is connected, changes in one area can influence others. In this way, the consequences of climate change are not only an increase in temperatures, but also intense droughts, rising sea levels, floods, an increase in the frequency and intensity of extreme weather events, such as storms and hurricanes, among others.
","esp":"Una de las principales consecuencias del cambio climático es el aumento de temperatura en la Tierra. De hecho, la última década (2011 - 2020) fue la más cálida de los últimos 100 años. Como la Tierra es un sistema, en el que todo está conectado, los cambios en una zona pueden influir en las demás. De esta manera, las consecuencias del cambio climático no son solo aumento de temperaturas, sino que también sequías intensas, aumento del nivel del mar, inundaciones, aumento de la frecuencia e intensidad de eventos climáticos extremos, tales como tormentas y huracanes, entre otros.
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/imgs/6.png","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/aumento_temperaturas/imgs/6.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","tipo":"img"},{"eng":"These consequences in turn bring other serious problems, for example, they can affect food security, human health, negatively affect biodiversity due to changes in the habitats of species, among others.
","tipo":"p","esp":"Estas consecuencias a su vez traen otros problemas graves, pues por ejemplo, pueden afectar la seguridad alimentaria, la salud humana, afectar negativamente la biodiversidad debido a cambios en los hábitats de las especies, entre otros.
"},{"esp":"El caso de Chile","eng":"The Chilean case","tipo":"h4"},{"esp":"Chile es especialmente vulnerable a las consecuencias del cambio climático. Por ejemplo, la cordillera de los Andes es uno de los principales proveedores de agua dulce del país y por tanto el derretimiento de los glaciares puede tener un impacto significativo en la disponibilidad de agua. Otras de las principales características que hacen de Chile un país altamente expuesto a las consecuencias del cambio climático son las siguientes,
","tipo":"p","eng":"Chile is especially vulnerable to the consequences of climate change. For example, the Andes mountain range is one of the country's main providers of fresh water and therefore the melting of glaciers can have a significant impact on water availability. Other of the main characteristics that make Chile a country highly exposed to the consequences of climate change are the following:
"},{"tipo":"p","eng":"Given the above, it is important that the country take measures to adapt to climate change and mitigate its impacts.
","esp":"Dado lo anterior, es importante que el país tome medidas para adaptarse al cambio climático y mitigar sus impactos.
","tipo":"p"},{"esp":"Uso de herramientas estadísticas","eng":"Use of statistical tools","tipo":"h4"},{"tipo":"p","eng":"The use of statistical tools is essential to provide a rigorous and objective assessment of climate change and its impacts, which helps in decision-making. Some useful approaches are as follows:
","esp":"El uso de herramientas estadísticas es fundamental para proporcionar una evaluación rigurosa y objetiva del cambio climático y sus impactos, que ayude en la toma de decisiones. Algunos enfoques útiles son los siguientes:
"},{"esp":"Notable products are identities or equalities involving products of certain algebraic expressions. They are called \"remarkable\" because they tend to appear quite a lot when trying to factor or develop an algebraic expression.\n
"},{"tipo":"p","esp":"A continuación se presentan los productos notables más usuales, con sus respectivas representaciones algebraica y geométrica, en nuestra actividad no serán usados todos los presentados.","eng":"The following are the most common notable products, with their respective algebraic and geometric representations:\n
"},{"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/imgs/tabla_principal_1.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/imgs/tabla_principal_1.png","tipo":"img","escala":"50"}]},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Uso de representaciones pictóricas"},{"eng":"\nThe use of different representations can be a very effective tool to improve the understanding of notable products as they provide students with a variety of visual and mathematical tools to understand and apply the concepts. In this situation, the algebraic and pictorial representation of the binomial with a common term and of the sum by its difference is addressed. It will be important to ensure that these two representations dialogue permanently considering the context of the situation.\n
","esp":"\nEl uso de distintas representaciones puede ser una herramienta muy efectiva para mejorar la comprensión de los productos notables ya que proporcionan a las y los estudiantes una variedad de herramientas visuales y matemáticas para entender y aplicar los conceptos. En esta situación, se aborda la representación algebraica y pictórica del binomio con término común y de la suma por su diferencia. Será importante procurar que estas dos representaciones dialoguen de manera permanente considerando el contexto de la situación.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"\nIn the context of the pictorial representations of notable products, it is important to note that expressions of the type \\(-ab\\) do not represent negative areas but represent areas that are subtracted from another larger area.\n
","esp":"En el contexto de las representaciones pictóricas de los productos notables, es importante notar que expresiones del tipo \\(-ab\\) pueden tentar a los y las estudiantes a pensar en áreas negativas. Es importante recalcar que estos términos no aparecen expresados por sí solos, sino que aparecen en una sustracción de términos algebraicos, por lo que representan áreas que se restan de otra área mayor."}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"esp":"Descuentos y estrategias de marketing","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"Discounts can be a technique that benefits the consumer, but it can also be a marketing strategy used to lure consumers into believing they are getting a good deal, even if the discount is not significant or the base price of the product has been previously inflated. By adopting a critical attitude in this context, one could assess the authenticity of the discounts and ensure or reject the idea that a fair price is really being obtained for a certain product.
","tipo":"p","esp":"Los descuentos pueden ser una técnica que beneficia al consumidor, pero también pueden ser una estrategia de marketing utilizada para atraer a los consumidores y hacerles creer que están obteniendo una buena oferta, incluso si el descuento no es significativo o si el precio base del producto ha sido inflado previamente. Al adoptar una actitud crítica frente a este contexto, se podría evaluar la autenticidad de los descuentos y asegurar o rechazar la idea de que realmente se está obteniendo un precio justo por un producto determinado.
"},{"eng":"Some of the famous marketing strategies are:
","esp":"Algunas de las estrategias de marketing famosas son:
","tipo":"p"},{"esp":"Black Friday (viernes negro)","eng":"Black Friday (black Friday)","tipo":"h4"},{"eng":"The term \"Black Friday\" originated in Philadelphia in the 1960s to describe the heavy vehicle and pedestrian traffic that occurred on the days leading up to Christmas.
","tipo":"p","esp":"El término \"Black Friday\" se originó en Filadelfia en la década de 1960 para describir el tráfico pesado de vehículos y peatones que se producía días previos a navidad.
"},{"esp":"Es un evento anual de compras que se celebra en varios países del mundo. En este día, muchas tiendas ofrecen grandes descuentos y promociones especiales en sus productos, lo que atrae a una gran cantidad de consumidores que buscan ahorrar en sus compras navideñas.
","eng":"It is an annual shopping event that is held in various countries around the world. On this day, many stores offer deep discounts and special promotions on their products, which attracts a large number of consumers looking to save on their Christmas purchases.
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/imgs/icono_principal_3.png","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/imgs/icono_principal_3.png"},{"eng":"Cyber Day","tipo":"h4","esp":"Cyber Day (Día cibernético)"},{"eng":"Cyber Day is an online shopping event that takes place in various countries. This is an initiative promoted by the main online stores, which offer great discounts and special promotions on their products for several days.
","tipo":"p","esp":"El Cyber Day es un evento de compras en línea que se realiza en varios países. Se trata de una iniciativa impulsada por las principales tiendas online, que ofrecen grandes descuentos y promociones especiales en sus productos durante varios días.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/imgs/icono_principal_1.png","caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/imgs/icono_principal_1.png","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""}}],"visible":true}}},"recursosProyecto":[],"visible":true,"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"latching moment","tipo":"h3","esp":"Momento de enganche"},{"eng":"(Slides 2 and 3, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 2 y 3, Presentación)"},{"esp":"Se sugiere leer en conjunto con sus estudiantes la Infografía “Capturando al cliente”. \n
","eng":"It is suggested that you read together with your students the Infographic “Capturing the customer”.\n
","tipo":"p"},{"esp":"Formule preguntas a sus estudiantes para que comprendan adecuadamente la situación presentada en la infografía, por ejemplo:\n
","tipo":"p","eng":"Ask your students questions so that they properly understand the situation presented in the infographic, for example:\n
"},{"esp":"- \n
- \n
Procure que las y los estudiantes comprendieron las estrategias presentadas. Recaude las opiniones de la segunda pregunta.
","eng":"Ensure that students understand the strategies presented. Collect feedback on the second question.
"},{"esp":"Presentación del problema ","tipo":"h3","eng":"Presentation of the problem"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 4 a 6, Presentación)","eng":"(Slides 4 to 6, Presentation)"},{"eng":"Read the problem posed in Activity 1 of the activity sheet with your students:\n
","esp":"Lea, en conjunto a sus estudiantes, el problema que se plantea en la Actividad 1 de la hoja de actividades:\n
","tipo":"p"},{"esp":"Una persona va a comprar un equipo celular. En la tienda, el vendedor le dice:
\n“los equipos se encuentran con un \\(25\\%\\) de descuento, pero, por esta semana le podemos ofrecer un \\(15\\%\\) de descuento adicional. Es decir, el equipo finalmente tendrá un \\(40\\%\\) de descuento”. \n
\n- \n
A person is going to buy a cell phone. At the store, the salesperson says:
\n“teams are at a \\(25\\%\\) discount, but for this week we can offer you an additional \\(15\\%\\) discount. That is, the team will finally have a \\(40\\%\\) discount”.\n
\n- \n
Leave space for the students to reflect a priori without calculating too much about the problem raised and to propose their ideas to the class.\n
","esp":"Deje espacio para que las y los estudiantes reflexionen a priori sin calcular mayormente respecto de la problemática planteada y que propongan sus ideas al curso. Les puede sugerir aplicar los descuentos a un producto con un costo de 10 mil, 25 mil, o un valor elegido por ellas y ellos para luego generalizar sus conclusiones. En esta parte, las y los estudiantes deben aplicar un descuento sobre un descuento para un valor específico y porcentajes conocidos (Tarea Matemática A)."},{"esp":"Luego pídales que realicen una fundamentación matemática y escuche las propuestas de sus estudiantes: \n
","eng":"Then ask them to make a mathematical foundation and listen to their students' proposals:\n
","tipo":"p"},{"esp":"Una posible forma de abordar la pregunta podría ser:\n\nConsideremos que \\(p\\) representa el precio inicial del equipo celular.\n
\nEntonces, el valor por pagar es de \\(p\\cdot0,75\\cdot0,85 = p\\cdot0,6375\\), por lo que el descuento final es de un \\(36,25\\%\\) sobre el producto inicial. \n
\nPor lo tanto, el vendedor no estaba en lo correcto.","tipo":"p","eng":"Then it is suggested to discuss with your students the following questions
"},{"tipo":"p","esp":"Se sugiere discutir con sus estudiantes las siguientes preguntas:","eng":"- \n
- \n
Here I could comment that the promotion is not misleading, the deception is in the seller's statement. In addition, \\(4\\%\\) might not be so relevant if the price of the product is \"cheap\", but if we are talking about a \"high\" price, \\(4\\%\\) is a significant and relevant value in the final value to pay.
","recurso":"Pregunta","tipo":"momento"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Aquí podría comentar que la promoción no es engañosa, el engaño está en la afirmación del vendedor. Además un \\(4\\%\\) podría no ser tan relevante si el precio del producto es “económico”, pero si hablamos de un precio “elevado”, el \\(4\\%\\) es un valor significativo y relevante en el valor final a pagar.
"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"First part","tipo":"h3","esp":"Primera parte"},{"esp":"(Diapositivas 7 a 11, Presentación)","eng":"(Slides 7 to 11, Presentation)","tipo":"h4"},{"eng":"Now invite your students to answer question 2 on the Activity Sheet . It is suggested that they work in pairs or groups. Then, discuss in plenary the answer to the question.\n
","tipo":"p","esp":"Ahora invite a sus estudiantes a que respondan la pregunta 2 de la Hoja de Actividades. Se busca que las y los estudiantes determinen la expresión algebraica que representa el precio final de un producto al aplicar un descuento sobre un descuento (Tarea Matemática B). Se sugiere que trabajen en parejas o grupos. Luego, discutan en plenaria la respuesta a la pregunta."},{"eng":"- \n
*Note: Consider that \\(a\\) and \\(b\\) are the decimal representations of percentages.\n
","recurso":"Actividades","esp":"- \n
*Observación: Consideren que \\(a\\) y \\(b\\) son las representaciones decimales de los porcentajes.\n
\n","tipo":"momento"},{"tipo":"p","eng":"If you consider it necessary, you could mention that, if we consider that a product has a \\(40\\%\\) discount, then the decimal representation of that percentage is equal to \\(0.4\\), which comes from the fraction \\(\\frac{40}{100}\\).\n
","esp":"Si lo considera necesario podría mencionar que, si consideramos que un producto tiene \\(40\\%\\) de descuento, entonces la representación decimal de ese porcentaje equivale a \\(0,4\\), la cual proviene de la fracción \\(\\frac{40}{100}\\).\n
"},{"eng":"Observe the work done by your students. If you notice that they cannot find the way to address the problem, you can ask questions to guide the work. Here we leave you some options, you can consider any of these depending on the progress shown by your students:\n
","esp":"Observe el trabajo realizado por sus estudiantes. Si nota que no encuentran el camino para abordar el problema puede realizar preguntas para orientar el trabajo. Acá te dejamos algunas opciones, puedes considerar cualquiera de estas según el avance que muestren tus estudiantes:\n
","tipo":"p"},{"eng":"- \n
- \n
Once your students have finished their work, it is suggested that some of the groups present their reasoning.\n
","tipo":"p","esp":"Una vez que sus estudiantes hayan finalizado el trabajo, se sugiere que algunos de los grupos expongan sus razonamientos.\n
"},{"esp":"Consideremos que p representa el precio inicial del producto.
\nSi calculamos los descuentos uno tras otro, luego de aplicar el primer descuento, la expresión que representa el precio del producto es \\[p\\cdot(1-a)\\].
Luego de aplicar el segundo descuento, la expresión que representa el precio final del producto es \\[p\\cdot(1-a)\\cdot(1-b)\\].
\n\nAdemás, desarrollando la expresión anterior se obtiene \n\\[ p\\cdot(1-b-a+ab) = p\\cdot(1- (a+b)+ab) = p - p(a+b) + pab \\]. \n\nEsto quiere decir que el precio final tiene un descuento de a+b-ab. Dado que 0 < a, b < 1, ya que representan descuentos expresados como números decimales, podemos concluir que el descuento dado por la expresión a+b-ab es menor que el descuento a+b. Esto explica el error del razonamiento del vendedor de celulares del problema anterior.","recurso":"respuesta","eng":"Let's consider that \\(p\\) represents the initial price of the product.\n
\nIf we calculate the discounts one after the other, after applying the first discount, the expression that represents the price of the product is \\(p\\cdot(1-a)\\).
\n
After applying the second discount, the expression that represents the final price of the product is \\(p\\cdot(1-a)\\cdot(1-b)\\).\nFurthermore, developing the above expression yields\n\\[ p\\cdot(1-b-a ab)\\) = p\\cdot(1- (a b) ab)\\) = p - p(a b) pab \\].\n
\nThis means that the final price is discounted by \\(a b-ab\\). Since \\(0","tipo":"momento"},{"esp":"
Se recomienda que al llegar a la expresión \\(p\\cdot(1-a)\\cdot(1-b)\\), le pregunte a sus estudiantes por el producto notable involucrado. Es decir, que active los conocimientos previos de las y los estudiantes para que reconozcan que el producto notable involucrado es el binomio con término común. Además, que utilicen el producto notable para encontrar la expresión equivalente y que luego la interpreten según el contexto del problema.\n
","tipo":"p","eng":"It is recommended that when arriving at the expression \\(p\\cdot(1-a)\\cdot(1-b)\\), you ask your students for the notable product involved. That is to say, that activates the previous knowledge of the students so that they recognize that the notable product involved is the binomial with a common term. Also, have them use the notable product to find the equivalent expression and then interpret it according to the context of the problem.\n
"},{"eng":"(Slide 12, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 12, Presentación)"},{"eng":"Introduce the video named “Geometric representation of the notable product (1-a)(1-b)” so that students can observe a geometric deduction of the respective equality. The video is not narrated, so it is necessary for you to explain the transformations that occur as the video progresses. Take breaks if you feel it is necessary. It can be supported by the following story.\n
","esp":"Presente el video de nombre “Representación geométrica del producto notable (1-a)(1-b)” para que los estudiantes puedan observar y comprender una deducción geométrica de la igualdad respectiva (Tarea Matemática C). El video no es narrado, por lo que se hace necesario que usted vaya explicando las transformaciones que se producen a medida que avance el video. Haga pausas si lo considera necesario. Puede apoyarse en el siguiente relato.\n
","tipo":"p"},{"recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar video \"Representación geométrica del producto notable (1-a)(1-b)\"","eng":""},"esp":"http://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/videos/Representacion%20geometrica%20del%20producto%20notable%20%281-a%29%281-b%29.mp4","tipo":"button","eng":""},{"tipo":"h4","esp":"Relato sugerido video “Representación geométrica del producto notable (1-a)(1-b)”","eng":""},{"tipo":"p","esp":"En esta animación se presenta una deducción geométrica de la igualdad \\( (1-a)(1-b) = 1-(a+b)+ab \\) para valores \\(0<a,b<1\\), haciendo una interpretación en términos de composición y descomposición de áreas de todos los términos involucrados. A partir de un cuadrado de lado 1, se divide un lado en dos partes: una de largo \\(a\\) y otra \\(1-a\\). El segmento de lado \\(a\\) se usa como lado de un rectángulo de lados \\(a\\) y \\(1\\), que es removido del cuadrado, quedando un rectángulo de área \\(1-a\\).
","eng":"This animation presents a geometric deduction of the equality \\( (1-a)(1-b) = 1-(a b) ab \\)"},{"tipo":"p","esp":"Haremos ahora una división de un lado del cuadrado, perpendicular al anterior, de modo que queden dos segmentos: uno de largo \\(1-b\\) y otro \\(b\\). Para mantener la situación simétrica, vamos a remover un rectángulo de lados \\(b\\) y \\(1\\) como se ve en la animación. Esto tiene un problema: que hay una esquina del cuadrado original que ya fue removida, por lo que el proceso que hemos descrito pretende remover dicha esquina dos veces. Si bien este proceso no puede llevarse a cabo de esta manera en la realidad, es posible hacerlo en este ejercicio abstracto. Vemos así que el área \\(b\\) quitada en esta segunda parte no puede simplemente restarse del área anterior.\n","eng":"
Now we will make a division of a perpendicular side of the square, so that there are two segments: one long \\(1-b\\) and another \\(b\\). To keep the situation symmetrical, we are going to remove a rectangle with sides \\(b\\) and \\(1\\) as seen in the animation. This has a problem: that there is a corner of the original square that has already been removed, so the process we have described tries to remove that corner twice. Although this process cannot be carried out in this way in reality, it is possible to do so in this abstract exercise. Thus we see that the area \\(b\\) removed in this second part cannot simply be subtracted from the previous area.\n
"},{"eng":"To compensate, we're going to return the corner area that was removed twice. As we can see, this corner is a rectangle with sides \\(a\\) and \\(b\\) so the area that we must return is equal to \\(ab\\). With this return, we can calculate the area of the remaining rectangle: it is equal to \\(1-a-b ab\\), or if we factor the terms \\(-a\\) and \\(-b\\), we get that it is equal to \\ (1-(a b) ab\\),\n
","tipo":"p","esp":"Para compensar, vamos a devolver el área de la esquina que fue quitada dos veces. Como vemos, esta esquina es un rectángulo de lados \\(a\\) y \\(b\\) por lo que el área que debemos devolver es igual a \\(ab\\). Con esta devolución, podemos calcular el área del rectángulo que quedó: es igual a \\(1-a-b+ab\\), o si factorizamos los términos \\(-a\\) y \\(-b\\), obtenemos que es igual a \\(1-(a+b)+ab\\),\n
"},{"tipo":"p","esp":"Por otra parte, el rectángulo que quedó es de lados \\(1-a\\) y \\(1-b\\), por lo que su área es \\((1-a)(1-b)\\). Como las áreas calculadas mediante estas dos estrategias deben coincidir, obtenemos la igualdad deseada.","eng":"On the other hand, the remaining rectangle has sides \\(1-a\\) and \\(1-b\\), so its area is \\((1-a)(1-b)\\) . Since the areas of these two calculation strategies must coincide, we obtain the desired equality.\n
"},{"eng":"Second part","tipo":"h3","esp":"Segunda parte"},{"tipo":"h4","eng":"(Slides 13 to 18, Presentation)","esp":"(Diapositivas 13 a 18, Presentación)"},{"eng":"Tell your students that they will be tackling a situation similar to the one above. Next, show activity 2 from the Activity Sheet:
","esp":"Mencione a sus estudiantes que abordarán una situación similar a la anterior.. En esta parte, se espera que las y los estudiantes determinen la expresión algebraica que representa el precio final de un producto al aplicar un aumento y posteriormente una disminución, ambos por el mismo porcentaje, utilizando productos notables (Tarea Matemática D). A continuación, muestre la actividad 2 presente en la Hoja de Actividades:\n
","tipo":"p"},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","esp":"Existe el mito de que ciertas promociones, como el Cyberday, no ofrecen ningún descuento real, pues el actuar de algunas empresas es el siguiente: previo a las ofertas suben los precios de sus productos en un \\(a\\), para luego bajarlos en un \\(a\\). Suponiendo que la empresa realmente lleva a cabo esta acción, \n
\n¿Cuánto es el descuento, si es que lo hay, sobre el precio original?\n
\n\n*Observación: consideren que nuevamente \\(a\\) es la representación decimal del porcentaje. \n
","eng":"There is a myth that certain promotions, such as Cyberday, do not offer any real discount, since some companies act as follows: prior to the offers, they raise the prices of their products by \\(a\\), to then lower them into a \\(a\\). Assuming that the company actually takes this action,\n
\nHow much, if any, is the discount off the original price?\n
\n\n*Note: Consider that again \\(a\\) is the decimal representation of percent.\n
"},{"tipo":"p","eng":"It is suggested that the students meet again as a group to address the situation. Observe the work done by your students. If you notice that they cannot find the way to address the problem, you can ask questions to guide the work (similar to those worked on in the first part).\n
","esp":"Se sugiere que las y los estudiantes nuevamente se reúnan en grupo para abordar la situación. Observe el trabajo realizado por sus estudiantes. Si nota que no encuentran el camino para abordar el problema puede realizar preguntas para orientar el trabajo (similares a las trabajadas en la primera parte). \n
"},{"eng":"Once your students have finished their work, it is suggested that some of the groups present their reasoning.\n
","esp":"Una vez que sus estudiantes hayan finalizado el trabajo, se sugiere que algunos de los grupos expongan sus razonamientos.\n
","tipo":"p"},{"esp":"Consideremos que p representa el precio inicial del producto.\n
\nLuego, la empresa aplica un aumento de \\(a\\), la expresión que representa el precio del producto es \\(p\\cdot(1+a)\\).\n
\nLuego se aplica un descuento, la expresión que representa el precio del producto es \\(p\\cdot(1+a)\\cdot(1-a)\\). Esta expresión contiene una ‘’suma por su diferencia”, la que sabemos desarrollar, y es igual a \\(p\\cdot(1 - a^2)\\).\n
\nEsto quiere decir que la empresa efectivamente hace un descuento, que no es de \\(a\\) como ha promocionado, sino que es de \\(a^2\\). Observemos que, dado que 0<a<1, el valor de \\(a^2\\) es mucho menor que \\(a\\), por ejemplo, si \\(a=0,3\\), es decir, de un \\(30\\%\\), entonces el descuento efectivo es de \\(a^2=0,09=9\\%\\).\n
","eng":"Let's consider that \\(p\\) represents the initial price of the product.\n
\nThen, the company applies an increase of \\(a\\), the expression that represents the price of the product is \\(p\\cdot(1 a)\\).\n
\nAfter a discount is applied, the expression representing the price of the product is \\(p\\cdot(1 a)\\cdot(1-a)\\). This expression contains a “sum times its difference”, which we know how to expand, and is equal to \\(p\\cdot(1 - a^2)\\).\n
\nThis means that the company effectively gives a discount, which is not \\(a\\) as advertised, but \\(a^2\\). Notice that since \\(0
","recurso":"Respuesta","tipo":"momento"},{"tipo":"p","eng":"Similar to the work done above, it is recommended that once the expression \\(p\\cdot(1 a)\\cdot(1-a)\\)) appears, you ask your students for the notable product involved. That is to say, that activates the previous knowledge of the students so that they recognize that the notable product involved is the sum for its difference. Also, it is suggested to motivate the development of the expression and interpret its meaning in the problem.\n
","esp":"Similar a lo trabajado anteriormente, se recomienda que una vez que aparezca la expresión \\(p\\cdot(1+a)\\cdot(1-a)\\)), le pregunte a sus estudiantes por el producto notable involucrado. Es decir, que active los conocimientos previos de las y los estudiantes para que reconozcan que el producto notable involucrado es la suma por su diferencia. También, se sugiere motivar el desarrollo de la expresión e interpretar su significado en el problema.\n
"},{"tipo":"h4","eng":"(Slide 19, Presentation)","esp":"(Diapositiva 19, Presentación)"},{"tipo":"p","esp":"Presente el video de nombre “Representación geométrica de la suma por diferencia (1-a)(1+a)” para que los estudiantes puedan observar y comprender una deducción geométrica de la igualdad respectiva (Tarea Matemática E). El video no es narrado, por lo que se hace necesario que usted vaya explicando las transformaciones que se producen a medida que avance el video. Haga pausas si lo considera necesario. Puede apoyarse en el siguiente relato.
","eng":"Introduce the video called “Geometric Representation of Addition by Difference (1-a)(1 a)” so that students can observe a geometric deduction of the respective equality. The video is not narrated, so it is necessary for you to explain the transformations that occur as the video progresses. Take breaks if you feel it is necessary. It can be supported by the following story.
"},{"eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar video “Representación geométrica de la suma por diferencia (1-a)(1+a)”"},"tipo":"button","esp":"http://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/videos/Representacion%20geometrica%20de%20la%20suma%20por%20diferencia.mp4"},{"tipo":"h4","esp":"Relato sugerido video “Representación geométrica de la suma por diferencia (1-a)(1+a)”","eng":""},{"eng":"This animation presents a geometric derivation of the equality \\( (1-a)(1 a) = 1-a^2 \\) for a value \\(0
","tipo":"p","esp":"En esta animación se presenta una deducción geométrica de la igualdad \\( (1-a)(1+a) = 1-a^2 \\) para un valor \\(0
"},{"eng":"Start with a rectangle with sides 1-a and 1 a, whose area corresponds to the notable product (1-a)(1 a). This rectangle is cut into three figures, drawing two perpendicular segments to the side with length 1 a, so that the two small rectangles obtained (as seen in this video) each have width a.\n
","tipo":"p","esp":"Se comienza con un rectángulo de lados 1-a y 1+a, cuya área corresponde al producto notable (1-a)(1+a). Este rectángulo, se corta en tres figuras, trazando dos segmentos perpendiculares al lado de largo 1+a, de modo que los dos rectángulos pequeños obtenidos (como se ven en este video) tengan cada uno ancho a. \n
"},{"tipo":"p","esp":"La tercera figura es un rectángulo, cuyo lado superior tiene un largo que podemos calcular dado que originalmente tenía largo 1+a y le restamos dos veces a, obteniendo así 1+a-2a = 1-a. Como este rectángulo tiene alto 1-a, ¡en verdad es un cuadrado!
","eng":"The third figure is a rectangle, whose upper side has a length that we can calculate since it originally had a length of 1 a and we subtract two times a, thus obtaining 1 a-2a = 1-a. Since this rectangle has height 1-a, it really is a square!
"},{"eng":"Now we will make a transformation of the figure, keeping its area. We will rotate the rectangle on the far right and place it just above the square with side 1-a. The rotated rectangle and the square are exactly the same width. The figure thus obtained appears to be a rectangle with one corner removed. Let's calculate the lengths of the sides of this figure to see exactly what we got.\n
","tipo":"p","esp":"Ahora haremos una transformación de la figura, manteniendo su área. El rectángulo de más a la derecha lo rotaremos y pondremos justo arriba del cuadrado de lado 1-a. El rectángulo rotado y el cuadrado coinciden exactamente en su ancho. La figura así obtenida pareciera ser un rectángulo al que se le ha removido una esquina. Calculemos los largos de los lados de esta figura para ver exactamente qué hemos obtenido.\n
"},{"tipo":"p","esp":"La esquina faltante es un rectángulo cuyos lados son de largo a, por lo que es un cuadrado de área \\(a^2\\). En el video se ha pintado esta esquina de rojo. Al considerar la figura incluyendo la esquina roja, podemos observar un cuadrado de lado 1. Esto nos permite describir la figura azul: es un cuadrado de lado 1 al que se ha removido un cuadrado de lado \\(a\\) en una esquina. Por lo que podemos calcular el área azul como \\(1-a^2\\). \n","eng":"The missing corner is a rectangle whose sides are of length a, so it is a square of area \\(a^2\\). In the video this corner has been painted red. When considering the figure including the red corner, we can observe a square of side 1. This allows us to describe the blue figure: it is a square of side 1 from which one square of side \\(a\\) has been removed in one corner. This suggests calculating the blue area as \\(1-a^2\\).\n
"},{"esp":"Como las dos estrategias que se han usado para calcular el área azul coinciden pues la transformación que hicimos no cambia el área azul, obtenemos la igualdad deseada.\n
","tipo":"p","eng":"Since the two strategies that have been used to calculate the blue area coincide since the transformation we did does not change the blue area, we obtain the desired equality.\n
"}]},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Sistematización"},{"esp":"(Diapositivas 20 a 23, Presentación)","eng":"(Slides 20 to 23, Presentation)","tipo":"h4"},{"eng":"Once the previous work is finished, carry out a systematization with your students around the following ideas:\n
","esp":"Una vez finalizado el trabajo anterior, realice una sistematización junto a sus estudiantes en torno a las siguientes ideas:\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"- \n
- \n
This shows how the result is obtained and also provides a geometric understanding of the operation.\n
","tipo":"p","esp":"Esto muestra cómo se obtiene el resultado y también proporciona una comprensión geométrica de la operación.\n
"}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Evaluación y práctica","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Presente a sus estudiantes la Guía práctica. Esta tiene por objetivo que las y los estudiantes analicen situaciones contextuales que guardan relación con los productos notables. Se sugiere que primero se dé el tiempo para que trabajen los dos primeros ejercicios. Luego, se sugiere proponer a las y los estudiantes trabajar en el tercer ejercicio de la guía, esta tarea puede ser utilizada para evaluar formativamente el siguiente indicador:\n
","eng":"Introduce your students to the How To Guide. The purpose of this is for students to analyze contextual situations that are related to notable products. It is suggested that time be given first for the first two exercises to work. Then, it is suggested to propose to the students to work on the third exercise of the guide, this task can be used to formatively evaluate the following indicator:\n
"},{"eng":"The infographic \"Capturing the customer\" shows various marketing strategies used by some companies to attract customers.
","esp":"La infografía “Capturando al cliente” muestra diversas estrategías de marketing que ocupan algunas empresas para atraer a clientes.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/pdfs/Infografia_Descuentos.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/pdfs/Infografia.pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/pdfs/Infografia_Descuentos.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/pdfs/Infografia.pdf","tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Infografia ","eng":"Descargar Infografia "}},{"eng":"Presentation (slides 2 to 4)","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 4)","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/dctos%20sobre%20dctos/ppt_dctos_sobre_dctos_final.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/pdfs/Presentacion%20I_U1_OA3.pdf","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/docs/Presentacion%20I_U1_OA3.pptx","titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/dctos%20sobre%20dctos/ppt_dctos_sobre_dctos_final.pptx"}]},"2":{"contenido":[{"eng":"Presentation (slides 4 to 19)","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 4 a 19)"},{"tipo":"p","esp":"\nEsta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
","eng":"\nThis presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/pdfs/Presentacion%20I_U1_OA3.pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/dctos%20sobre%20dctos/ppt_dctos_sobre_dctos_final.pdf","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"},"tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/dctos%20sobre%20dctos/ppt_dctos_sobre_dctos_final.pptx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/docs/Presentacion%20I_U1_OA3.pptx"},{"tipo":"h3","esp":"Hoja de actividades","eng":"Worksheet"},{"eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.\n
","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/pdfs/Hoja%20de%20Actividades%20I_U1_OA3.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/pdfs/Hoja%20de%20Actividades%20I_U1_OA3.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/docs/Hoja%20de%20Actividades%20I_U1_OA3.docx","tipo":"button","titulo":{"eng":"Download Activity Sheet","esp":"Descargar Hoja de Actividades"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/docs/Hoja%20de%20Actividades%20I_U1_OA3.docx","recurso":"Descarga"},{"eng":"interactive resources","esp":"Recursos interactivos ","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","esp":"Videos de representaciones geométricas","eng":"Videos of geometric representations"},{"tipo":"p","esp":"Estos videos han sido diseñados con el objetivo visualizar las representaciones geométricas de los productos notables utilizados en la situación, estos son: (1-a)(1-b) y (1-a)(1-b) \n
","eng":"These videos have been designed with the objective of visualizing the geometric representations of the notable products used in the situation, these are: (1-a)(1-b) and (1-a)(1-b)\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/videos/Representacion%20geometrica%20de%20la%20suma%20por%20diferencia.webm","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/videos/Representacion%20geometrica%20de%20la%20suma%20por%20diferencia.webm","tipo":"video"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/videos/Representacion%20geometrica%20de%20la%20suma%20por%20diferencia.webm","titulo":{"eng":"Download video","esp":"Descargar Video"},"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/videos/Representacion%20geometrica%20de%20la%20suma%20por%20diferencia.webm","recurso":"Descarga"},{"tipo":"video","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/videos/Representacion%20geometrica%20del%20producto%20notable%20%281-a%29%281-b%29.webm","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/videos/Representacion%20geometrica%20del%20producto%20notable%20%281-a%29%281-b%29.webm"},{"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/videos/Representacion%20geometrica%20del%20producto%20notable%20%281-a%29%281-b%29.webm","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/videos/Representacion%20geometrica%20del%20producto%20notable%20%281-a%29%281-b%29.webm","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Download video","esp":"Descargar Video"}}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 20 a 23)","eng":"Presentation (slides 20-23)","tipo":"h3"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/dctos%20sobre%20dctos/ppt_dctos_sobre_dctos_final.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/pdfs/Presentacion%20I_U1_OA3.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/docs/Presentacion%20I_U1_OA3.pptx","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/dctos%20sobre%20dctos/ppt_dctos_sobre_dctos_final.pptx","tipo":"button","recurso":"Descarga"}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Practical Guide","esp":"Guía Práctica"},{"eng":"This document proposes various exercises that are intended for students to analyze the dispersion of data in different contexts. In addition, these can be used to formatively assess the knowledge developed from the situation.\n
","tipo":"p","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes analicen la dispersión de datos en distintos contextos. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.\n
"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/pdfs/Guia%20Practica%20I_U1_OA3.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/pdfs/Guia%20Practica%20I_U1_OA3.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/docs/Guia%20Practica%20I_U1_OA3.docx","tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/descuentos_sobre_descuentos/docs/Guia%20Practica%20I_U1_OA3.docx","titulo":{"eng":"Download Practical Guide","esp":"Descargar Guía Práctica"}}],"visible":true}}}},"21":{"visible":true,"recursos":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Infografía: ¿De qué depende que una semilla se transforme en una planta?","eng":"Infographic: What does it depend on for a seed to become a plant?"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/pdfs/infografia_germinacion_de_semillas_horizontal.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/pdfs/Infografia.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/pdfs/Infografia.pdf","titulo":{"esp":"Descargar Infografía","eng":"Descargar Infografía"},"recurso":"Descarga","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/pdfs/infografia_germinacion_de_semillas_horizontal.pdf"},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositiva de 2 a la 4)","eng":"Presentation (slide 2 to 4)"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación. \n
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.\n
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/pdfs/Presentacion_IV_Unidad1_OA2_modificado.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/pdfs/Presentacion_IV_Unidad1_OA2_modificado.pdf","tipo":"pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/docs/Presentacion_IV_Unidad1_OA2_modificado.pptx","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Descargar Presentación"},"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/docs/Presentacion_IV_Unidad1_OA2_modificado.pptx"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Worksheet","esp":"Hoja de actividades","tipo":"h3"},{"eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.\n
","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación. \n
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/pdfs/Hoja_de_Actividades_IV_Unidad1_OA2_modificado.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/pdfs/Hoja_de_Actividades_IV_Unidad1_OA2_modificado.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/docs/Hoja_de_Actividades_IV_Unidad1_OA2_modificado.docx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/docs/Hoja_de_Actividades_IV_Unidad1_OA2_modificado.docx","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Download Activity Sheet","esp":"Descargar Hoja de Actividades"},"tipo":"button"},{"eng":"Presentation (slides 5 to 41)","esp":"Presentación (diapositiva 5 a la 41)","tipo":"h3"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación.","tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation."},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/pdfs/Presentacion_IV_Unidad1_OA2_modificado.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/pdfs/Presentacion_IV_Unidad1_OA2_modificado.pdf","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Download Presentation"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/docs/Presentacion_IV_Unidad1_OA2_modificado.pptx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/docs/Presentacion_IV_Unidad1_OA2_modificado.pptx","tipo":"button"},{"esp":"Recurso interactivo","eng":"interactive resource","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"This GeoGebra resource is designed to help students simulate rolling 7 dice. It is used in activity 1 of the activity sheet.","esp":"Este recurso GeoGebra se ha diseñado para ayudar a las y los estudiantes a simular el lanzamiento de 7 dados. Se utiliza en la actividad 1 de la hoja de actividades."},{"eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/rp87nmtt/width/1440/height/639/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/ asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false","tipo":"iframe","recurso":"Geogebra","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/rp87nmtt/width/1440/height/639/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false"},{"esp":"Recurso interactivo","tipo":"h3","eng":"interactive resource"},{"eng":"This GeoGebra resource is designed to help students simulate rolling 7 dice and graph the relative frequencies when this experiment is performed many times. It is used in activity 1 of the activity sheet.","tipo":"p","esp":"Este recurso GeoGebra se ha diseñado para ayudar a las y los estudiantes a simular el lanzamiento de 7 dados y graficar las frecuencias relativas cuando se realiza este experimento muchas veces. Se utiliza en la actividad 1 de la hoja de actividades."},{"eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/syz4bqar/width/1440/height/789/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/ asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/syz4bqar/width/1440/height/789/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","recurso":"Geogebra","tipo":"iframe"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositiva 42)","eng":"Presentation (slide 42)"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.\n
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación. \n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/pdfs/Presentacion_IV_Unidad1_OA2_modificado.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/pdfs/Presentacion_IV_Unidad1_OA2_modificado.pdf","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"},"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/docs/Presentacion_IV_Unidad1_OA2_modificado.pptx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/docs/Presentacion_IV_Unidad1_OA2_modificado.pptx"}]},"4":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Guía Práctica","tipo":"h3","eng":"Practical Guide"},{"tipo":"p","eng":"This document proposes various exercises that are intended for students to analyze the binomial distribution in other extended situations of the context. In addition, these can be used to formatively assess the knowledge developed from the situation.\n
","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes analicen la distribución binomial en otras situaciones extendidas del contexto. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación. \n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/pdfs/Guia_Practica_IV_Unidad1_OA2_modificado.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/pdfs/Guia_Practica_IV_Unidad1_OA2_modificado.pdf"},{"titulo":{"eng":"Download Practical Guide","esp":"Descargar Guía Práctica"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/docs/Guia_Practica_IV_Unidad1_OA2_modificado.docx","tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/docs/Guia_Practica_IV_Unidad1_OA2_modificado.docx"},{"eng":"interactive resource","tipo":"h3","esp":"Recurso interactivo"},{"tipo":"p","esp":"Este recurso GeoGebra se ha diseñado para ayudar a las y los estudiantes a identificar de manera gráfica el efecto de variar los parámetros de una distribución binomial. Se utiliza en la actividad 2 de la guía práctica.
","eng":"This GeoGebra resource has been designed to help students graphically identify the effect of varying the parameters of a binomial distribution. It is used in activity 2 of the practical guide.
"},{"esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wg7za3pw/width/1440/height/789/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wg7za3pw/width/1440/height/789/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/ asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","tipo":"iframe","recurso":"Geogebra"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Guía Práctica adicional"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En este documento se proponen ejercicios adicionales, en algunos casos de mayor dificultad, para que las y los estudiantes puedan aplicar lo aprendido en esta lección. Los ejercicios de esta guía también pueden servir para evaluar los aprendizajes de la clase.
"},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/pdfs/Guia_Practica_ADICIONAL_Cuarto_Medio_OA2_Germinacion_de_Semillas.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica adicional","eng":""},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/docs/Guia_Practica_ADICIONAL_Cuarto_Medio_OA2_Germinacion_de_Semillas.docx","recurso":"Descarga","eng":""}]}}},"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"latching moment","esp":"Momento de enganche","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositiva 2 a 3, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slide 2 to 3, Presentation)"},{"tipo":"p","esp":"Presente la infografía introductoria a sus estudiantes y dé espacio para que compartan sus opiniones respecto a las siguientes preguntas:\n","eng":"Present the introductory infographic to your students and allow space for them to share their thoughts on the following questions:"},{"esp":"- \n
- \n
Next, consider the following situation:\n
","tipo":"p","esp":"A continuación, plantee la siguiente situación:\n
"},{"esp":"Se estima que la probabilidad de que una semilla de tomate germine en clima templado, con un sustrato adecuado y con niveles óptimos de hidratación es de 5 6.\n","eng":"It is estimated that the probability that a tomato seed will germinate in a temperate climate, with an adequate substrate and with optimal levels of hydration is 5< span class=\"bar\">/ 6
Para que un cultivo sea rentable, un agricultor necesita que germinen al menos el 80% de las semillas sembradas. Si el agricultor decide sembrar 1800 semillas de tomate, ¿cuál es la probabilidad de que su cultivo sea rentable? \n
","tipo":"p","eng":"For a crop to be profitable, a farmer needs at least 80% of the seeds sown to germinate. If the farmer decides to plant 1800 tomato seeds, what is the probability that his crop will be profitable?\n
"},{"tipo":"p","esp":"Asegúrese de que sus estudiantes entiendan que para determinar la probabilidad de que el cultivo sea rentable, hay que encontrar la probabilidad de que el número de semillas que germinan sea mayor o igual a 1 440 (80% de 1800).\n
","eng":"Make sure your students understand that to determine the probability that the crop will be profitable, you need to find the probability that the number of seeds that germinate is greater than or equal to 1,440 (80% of 1,800).\n
"},{"eng":"In order to answer this question, tell your students that they will approach the problem starting at a smaller scale and increasing the number of cases.\n
","esp":"Para poder responder esta pregunta, indique a sus estudiantes que abordarán el problema partiendo de una escala más pequeña e irán aumentando el número de casos.\n
","tipo":"p"},{"esp":"Entregue la Hoja de Actividades, y presente la Actividad 1.
","eng":"Hand out the Activity Sheet, and introduce Activity 1.
","tipo":"p"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Construcción de Conocimientos","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"(Diapositiva 5 a 8, Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"Activity 1
\n- \n
- \n
Suppose you want to create a tomato seedling by planting seven tomato seeds:
\n- \n
- What is the probability that all seven seeds germinate? \n
- What is the probability that neither seed germinates? \n
- What is the probability that at least 5 seeds germinate? \n
\n
Actividad 1
\n- \n
- \n
Supongamos que quieres crear un almácigo de tomates, para ello siembras siete semillas de tomate:
\n- \n
- ¿Cuál es la probabilidad de que germinen las siete semillas? \n
- ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna semilla germine? \n
- ¿Cuál es la probabilidad de que germinen al menos 5 semillas? \n
\n
It is suggested to raise a discussion regarding whether it is possible to use Laplace's rule to calculate the indicated probabilities. To do this, you can ask questions such as:\n
","esp":"Se sugiere plantear una discusión respecto de si es posible utilizar la regla de Laplace para calcular las probabilidades señaladas. Para ello, puede realizar preguntas tales como:\n
"},{"eng":"- Is it possible to use Laplace's rule to calculate the probability that all seven seeds germinate?\n
- How many favorable cases are there for this event?\n
- Can we determine how many possible cases there are?\n
- Are all these cases equiprobable? (Condition to apply Laplace's rule).\n
- Let's compare the probabilities of two possible cases: that all the seeds germinate and that none germinate.
- ¿Es posible usar la regla de Laplace para calcular la probabilidad de que las siete semillas germinen?\n
- ¿Cuántos casos favorables hay para este evento?\n
- ¿Podemos determinar cuántos casos posibles hay?\n
- ¿Son todos estos casos equiprobables? (Condición para aplicar la regla de Laplace).\n
- Comparemos las probabilidades de dos casos posibles: que todas las semillas germinen y que ninguna germine.
- \n
- \nIt is not possible to use it, since it is not immediate to construct an equiprobable sample space. However, it is expected that the students initially think that it is possible to apply it.\n \n\n
- A favorable case. \n\n
- There are 27 = 128 possible cases. \n\n
- No. \n\n
- The probability that all the seeds germinate is\n\n5 6 ·\n5 6 ·\n5 6 ·\n5 6 ·\n5 6 ·\n5 6 ·\n5 6\n\n, which is different from the probability that neither will germinate, which is\n\n1 6 1 6< /span> 1 6 1 6< /span> 1 6 1 6 1 6\n\n. \n
- \n
- \nNo es posible usarla, ya que no es inmediato construir un espacio muestral equiprobable. Sin embargo, se espera que las y los estudiantes piensen inicialmente que sí es posible aplicarla. \n \n\n
- Un caso favorable. \n\n
- Hay 27 = 128 casos posibles. \n\n
- No. \n\n
- La probabilidad de que todas las semillas germinen es \n\n5 6 · \n5 6 · \n5 6 · \n5 6 · \n5 6 · \n5 6 · \n5 6\n\n,que es distinta a la probabilidad de que ninguna germine que es \n\n1 6 · 1 6 · 1 6 · 1 6 · 1 6 · 1 6 · 1 6\n\n. \n
Es importante que las y los estudiantes comprendan que los casos posibles componen el espacio muestral, y que para aplicar la regla de Laplace, es esencial que los casos sean equiprobables. Para evidenciar que las probabilidades de los dos casos en cuestión son distintas, se les puede sugerir que los analicen a través de esquemas o dibujos, como el que se muestra a continuación:\n
","eng":"It is important that students understand that the possible cases make up the sample space, and that in order to apply Laplace's rule, it is essential that the cases are equiprobable. To show that the probabilities of the two cases in question are different, you can suggest that they analyze them through diagrams or drawings, such as the one shown below:\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/tabla_principal_3%20-%20copia.png","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/tabla_principal_3%20-%20copia.png"},{"esp":"Concluya que no es posible usar la regla de Laplace en esta situación, por lo que es necesario explorar otros métodos.
","eng":"Conclude that it is not possible to use Laplace's rule in this situation, so other methods need to be explored.
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 9 a 13, Presentación)"},{"tipo":"p","esp":"\nIndique que se realizará una simulación del experimento para determinar si la semilla de tomate germina o no, utilizando un dado de 6 caras. Si el resultado del lanzamiento es 1, la semilla no germinará, mientras que si sale cualquier otro número, la semilla sí germinará. Es importante que sus estudiantes noten que esta asignación de valores está hecha así con el fin de mantener la probabilidad de no germinar en 1 6 (al sacar un 1) y la probabilidad de germinar en 5 6 (al sacar 2, 3, 4, 5 y 6).\n","eng":"Indicate that a simulation of the experiment will be carried out to determine if the tomato seed germinates or not, using a 6-sided die. If the result of the roll is 1, the seed will not germinate, while if any other number is rolled, the seed will germinate. It is important for your students to note that this assignment of values is done this way in order to maintain the probability of not germinating at 1 6 (when rolling a 1) and the probability of germinating in 5 6 (when drawing 2, 3, 4, 5 and 6)."},{"eng":"To carry out the simulation, it is necessary that before the class, ask your students to bring at least one pair of dice each. In case you do not have physical dice, there are several virtual dice applications available on smartphones or on the Internet. You can also use the following GeoGebra simulation https://www.geogebra.org/ m/rp87nmtt.","esp":"Para realizar la simulación, es necesario que con anterioridad a la clase, solicite a sus estudiantes que lleven al menos un par de dados cada uno. En caso de no disponer de los dados físicos, existen diversas aplicaciones de dados virtuales disponibles en smartphones o en Internet. También puede usar la siguiente simulación de GeoGebra https://www.geogebra.org/m/rp87nmtt.\n","tipo":"p"},{"esp":"A continuación, pida a los estudiantes que trabajen en grupos para responder la pregunta 2 de la Actividad 1. Asegúrese de que entiendan bien cómo deben completar la tabla, proporcionándoles un ejemplo ilustrativo como el siguiente:\n
","eng":"Next, ask students to work in groups to answer question 2 of Activity 1. Make sure they fully understand how to complete the table by providing an illustrative example such as the following:\n
","tipo":"p"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/tabla_principal_4.png","escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/tabla_principal_4.png","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""}},{"eng":"The result of the first toss is shown, it can be seen that three 1's were obtained, marked in red, and four results other than 1's, marked in green.\n
","esp":"Se muestra el resultado del primer lanzamiento, se puede observar que se obtuvieron tres 1 marcados en rojo y cuatro resultados distintos de 1, marcados en verde. \n
","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/icono_principal_5.png","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/icono_principal_5.png","tipo":"img"},{"caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/icono_principal_6.png","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/icono_principal_6.png","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/icono_principal_7.png","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/icono_principal_7.png"},{"esp":"Actividad 1
\n- \n
- \n
Para simular lo que ocurre con las siete semillas, lanzaremos siete dados. Si el resultado del dado es 1, la semilla no germinará, y si sale cualquier otro número, la semilla germinará. Deben registrar cuántas semillas germinan en cada lanzamiento, y anotar una \"X\" en la casilla correspondiente en la tabla.
\n\nRepitan este proceso 10 veces y completen las frecuencias.\n
\n \n
","recurso":"Actividades","tipo":"momento","eng":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/tabla_principal_5.png\")
Activity 1
\n- \n
- \n
To simulate what happens to the seven seeds, we'll roll seven dice. If the result of the dice is 1, the seed will not germinate, and if any other number is rolled, the seed will germinate. They must record how many seeds germinate in each toss, and write an \"X\" in the corresponding box on the table.
\n\nRepeat this process 10 times and complete the frequencies.\n
\n \n
"},{"eng":"Once they have completed the table, instruct students that they will use the relative frequencies of the number of seeds that germinated to estimate the respective probabilities. Ask them to share their estimates and make sure they realize that in each case the estimates can vary quite a bit.\n
","esp":"Una vez que hayan completado la tabla, indíqueles a sus estudiantes que utilizarán las frecuencias relativas del número de semillas que germinaron para estimar las respectivas probabilidades. Pídales que compartan sus estimaciones y asegúrese de que se den cuenta que, en cada caso, las estimaciones pueden variar bastante. \n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"A continuación, pregunte: ¿Qué podemos hacer para tener mejores estimaciones de las probabilidades?\n
","eng":"Next, ask: What can we do to get better estimates of the probabilities?\n
"},{"tipo":"p","esp":"Se espera que las y los estudiantes propongan que, para mejorar las estimaciones, es necesario contar con los resultados de muchos más lanzamientos de los dados. Al preguntarles cómo podemos lograr esto, es probable que surja la idea de juntar los resultados que obtuvieron por todos los grupos para aumentar el tamaño de la muestra. \n
","eng":"Students are expected to propose that, to improve estimates, it is necessary to have the results of many more rolls of the dice. When asked how we can achieve this, the idea of pooling the results they obtained for all the groups is likely to come up to increase the sample size.\n
"},{"eng":"Invite them to complete a table like the one below. They can do it on the board or at the following GeoGebra link (sheet link< /a>):","esp":"Invítelos a completar una tabla como la que se muestra a continuación. Pueden hacerlo en la pizarra o en el siguiente enlace de GeoGebra (link de la planilla):\n","tipo":"p"},{"esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fzkqrwmj/width/594/height/370/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fzkqrwmj/width/594/height/370/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/ asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","recurso":"Geogebra","tipo":"iframe"},{"esp":"Para analizar los resultados obtenidos en la tabla anterior, pida a sus estudiantes que interpreten las frecuencias relativas como aproximaciones de las probabilidades de que germinen 0, 1, 2, ..., 7 semillas en un almácigo donde se sembraron 7 semillas en total. Es importante que enfatice en que estas estimaciones se mejoran a medida que se realizan más lanzamientos y se obtienen más datos, como lo sugirieron anteriormente. ","eng":"To analyze the results obtained in the table above, ask your students to interpret the relative frequencies as approximations of the probabilities that 0, 1, 2, ..., 7 seeds will germinate in a seedbed where 7 seeds were sown in total. It is important to emphasize that these estimates improve as more releases are made and more data is obtained, as suggested above.","tipo":"p"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositivas 14 a 15, Presentación)"},{"tipo":"p","eng":"Next, display the following resource GeoGebra showing the relative frequency plots that can be obtain when considering up to 1000 throws of the dice.\n
","esp":"A continuación, muestre el siguiente recurso GeoGebra que muestran los gráficos de frecuencias relativas que se pueden obtener cuando se consideran hasta 1000 lanzamientos de los dados. \n
"},{"tipo":"p","esp":"Utilice este recurso para solicitar a sus estudiantes que describan características que observan en la distribución de probabilidades que se intenta aproximar. En particular, que realicen conjeturas sobre las probabilidades teóricas de cada resultado y describan la forma de la distribución. \n
","eng":"Use this resource to ask your students to describe features they observe in the probability distribution you are trying to approximate. In particular, have them make guesses about the theoretical probabilities of each outcome and describe the shape of the distribution.\n
"},{"esp":"Para concluir esta parte de la lección, pida a sus estudiantes que respondan la pregunta 3 de la Actividad 1.\n
","tipo":"p","eng":"To conclude this part of the lesson, ask your students to answer question 3 of Activity 1.\n
"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"Actividad 1
\n- \n
\nRespondan las siguientes preguntas de acuerdo con lo que observan en el siguiente recurso:\n
\n- \n
- ¿Qué forma tiene el gráfico que describe esta situación? \n
- ¿Cuál podría ser la probabilidad de que las 7 semillas germinen? \n
- ¿Cuál podría ser la probabilidad de que ninguna de las 7 semillas germine? \n
- ¿Cuál podría ser la probabilidad de que al menos 5 de las 7 semillas germinen? \n
Activity 1
\n- \n
\nAnswer the following questions based on what you see in the following resource:\n
\n- \n
- What shape is the graph that describes this situation? \n
- What could be the probability that all 7 seeds germinate? \n
- What could be the probability that none of the 7 seeds germinate? \n
- What could be the probability that at least 5 of the 7 seeds germinate? \n
- \n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/N%C3%BAmero%20de%20simulaciones.png\")
\n- \\[P(X=7) = 0{,}28 \\] \n
- \\[P(X=0)= 0 \\] \n
- \\[P(X \\geq 5) = P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)=0{,}24+0{,}39+0{,}28=0{,}91\\] \n
- \n
- \n
- \\[P(X=7) = 0{,}28 \\] \n
- \\[P(X=0)= 0 \\] \n
- \\[P(X \\geq 5) = P(X=5) P(X=6) P(X=7)=0{,}24 0{,}39 0{,}28=0{ ,}91\\] \n
It is at this point in the class that we suggest introducing the binomial distribution. For this, it is essential that the students recognize the type of random experiment that can be modeled using this probability distribution. It is suggested to present the following ideas:\n
","tipo":"p","esp":"Es en este momento de la clase donde se sugiere introducir la distribución binomial. Para ello, es fundamental que las y los estudiantes reconozcan el tipo de experimento aleatorio que se puede modelar mediante esta distribución de probabilidad. Se sugiere exponer las siguientes ideas:\n
"},{"eng":"- \n
- \nSo far we have used relative frequencies to estimate the probabilities that a given number of the seven seeds will germinate.\n \n
- \nTo determine the exact value of these probabilities we can resort to the binomial distribution.\n \n
- \nThe binomial distribution allows us to calculate the probabilities of situations in which a dichotomous experiment is repeated (with only two possible outcomes) where the probability of each of those outcomes is constant.\n \n
- \n
- \nHasta ahora hemos usado frecuencias relativas para estimar las probabilidades de que determinado número de las siete semillas germinen. \n \n
- \nPara determinar el valor exacto de dichas probabilidades podemos recurrir a la distribución binomial.\n \n
- \nLa distribución binomial permite calcular las probabilidades de situaciones en las que se repite un experimento dicotómico (con solo dos resultados posibles) donde la probabilidad de cada uno de esos resultados es constante.\n \n
At this point you can ask questions that connect these concepts with the seed situation.\n
","tipo":"p","esp":"En este punto puede hacer preguntas que conecten estos conceptos con la situación de las semillas.\n
"},{"recurso":"Pregunta","esp":"- \n
- \nEn la situación de la germinación de las semillas que estamos analizando, ¿cuál sería el experimento aleatorio dicotómico que se repite?\n \n
- ¿Cuáles serían los dos resultados posibles de este experimento?\n \n
- ¿Cuántas veces se repite el experimento?\n \n
- \n
- \nIn the situation of the germination of the seeds that we are analyzing, what would be the dichotomous randomized experiment that is repeated?\n \n
- What would be the two possible outcomes of this experiment?\n \n
- How many times is the experiment repeated?\n \n
- \n
- Sembrar una semilla y observar si germina o no.\n \n
- Los dos resultados posibles de este experimento son: la semilla germina - la semilla no germina.\n \n
- El experimento se repite 7 veces, (se siembran 7 semillas). \n \n
- \n
- Sow a seed and see if it germinates or not.\n \n
- The two possible outcomes of this experiment are: the seed germinates - the seed does not germinate.\n \n
- The experiment is repeated 7 times, (7 seeds are sown).\n \n
Continue to introduce key concepts of the binomial distribution:
","esp":"Continúe presentando conceptos claves de la distribución binomial:
"},{"tipo":"p","eng":"- \n
- For convenience, one of the possible outcomes of the randomized experiment is considered as “success” and the other as “failure”.\n \n
- Each time the experiment is performed the probability of success p is always the same.\n \n
- As a consequence, the probability of failure 1 - p is also constant in each iteration.\n \n
- The n repetitions of the experiment are independent. This means that the probability of a success occurring does not depend on the occurrence of previous successes and failures.\n \n
- \n
- Por conveniencia uno de los resultados posibles del experimento aleatorio se considera como “éxito” y el otro como “fracaso”.\n \n
- Cada vez que se realiza el experimento la probabilidad de éxito p es siempre la misma.\n \n
- Como consecuencia, la probabilidad de fracaso 1 - p también es constante en cada repetición.\n \n
- Las n repeticiones del experimento son independientes. Esto quiere decir que la probabilidad de que ocurra un éxito no depende de la ocurrencia de éxitos y fracasos anteriores.\n \n
Ask more questions to connect these ideas to the seed situation:\n
","esp":"Haga más preguntas para que conecten estas ideas con la situación de las semillas:\n
","tipo":"p"},{"esp":"- \n
- En la situación de las semillas, ¿cuál sería el éxito y cuál el fracaso?\n \n
- ¿Cuál es la probabilidad de éxito y la de fracaso?\n \n
- ¿Qué significa, en el caso de las semillas, suponer que las repeticiones del experimento son independientes?\n \n
- \n
- In the seed situation, which would be success and which would be failure?\n \n
- What is the probability of success and failure?\n \n
- What does it mean, in the case of seeds, to assume that the repetitions of the experiment are independent?\n \n
- \n
- Success: the seed germinates. Failure: the seed does not germinate.\n \n
- Probability of success is p = 52. Failure probability is 1 - p = 1.\n \n
- The probability that a seed germinates does not depend on the other seeds.\n \n
- \n
- Éxito: la semilla germina. Fracaso: la semilla no germina.\n \n
- ¿Probabilidad de éxito es p = 1 2. Probabilidad de fracaso es 1 - p = 1 2. \n \n
- La probabilidad de que una semilla germine no depende de las otras semillas.\n \n
Prosiga introduciendo los siguientes conceptos:\n
","eng":"Continue introducing the following concepts:\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"- \n
- Consideremos que X es la variable aleatoria que representa el número de éxitos en las n repeticiones. \n \n
- La distribución binomial permite calcular la probabilidad de obtener exactamente x éxitos en las n repeticiones del experimento. Esto se denota como P(X = x).\n \n
- La fórmula para calcular dicha probabilidad es:\n\\[ P(X=x)= {{n} \\choose {x}} · p^x · (1-p)^{n-x} \\]\ndonde x = 0, 1, 2, …, n, 0 ≤ p ≤ 1 y n es un entero no negativo. \n \n
- Hay que recordar que (nx) = \n\nn!x! · (n-x)!\n\ncorresponde al número de maneras que se pueden escoger x elementos de sin importar el orden.\n \n
- \n
- "},{"esp":"
Realice preguntas para que relacionen lo expuesto con la situación de las semillas.\n
","eng":"Ask questions so that they relate the above with the situation of the seeds.\n
","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","esp":"- \n
- ¿Cuál sería la variable aleatoria que deberíamos considerar en la situación de las semillas?\n \n
- ¿Qué representa P(X = 1) en esta situación?\n \n
- ¿Cómo se expresa esta probabilidad usando la fórmula de la distribución binomial?\n \n
- \n¿Cuánto vale P(X = 1)? ¿Cómo se interpreta?\n \n
- \n
- What would be the random variable that we should consider in the seed situation?\n \n
- What does P(X = 1) represent in this situation?\n \n
- How is this probability expressed using the formula for the binomial distribution?\n \n
- \nWhat is P(X = 1) worth? How is it interpreted?\n \n
- \n
- X : número de semillas que germinan dentro de las 7 semillas sembradas. \n\n
- P(X = 1) es la probabilidad de que 1 de las 7 semillas germine. \n\n
- \n\nP(X = 1) = \n(71) · \n(56)1 · \n(16)7-1\n\n\n\n\n \n\n
- \n\nP(X = 1) ≈ 0,000125\n\n se puede interpretar que la probabilidad de que germine una sola semilla en un almácigo de 7 semillas es casi nula. \n\n
- \n
- X : number of seeds that germinate within the 7 seeds sown. \n\n
- P(X = 1) is the probability that 1 of the 7 seeds will germinate. \n\n
- \n\nP(X = 1) =\n(71)\n(56)1\n(16)7-1\n\n\n\n\n \n\n
- \n\nP(X = 1) ≈ 0.000125\n\n it can be interpreted that the probability of a single seed germinating in a seedbed of 7 seeds is almost nil. \n\n
So that the students can systematize the concepts related to the binomial distribution and connect them with the situation of the seeds, ask them to answer question 1 of Activity 2.\n
","tipo":"p","esp":"Para que las y los estudiantes puedan sistematizar los conceptos relacionados con la distribución binomial y conectarlos con la situación de las semillas, pídales que contesten la pregunta 1 de la Actividad 2.\n
"},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 25 a 26, Presentación)"},{"recurso":"Actividades","eng":"Activity 2
\n- \n
- \n Associate each concept with its respective interpretation in the situation of the seeds. Connect the corresponding boxes with a line.\n \n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/act2_img.png\")
","esp":"Actividad 2
\n- \n
- \n Asocia cada concepto con su respectiva interpretación en la situación de las semillas. Une los recuadros correspondientes con una línea.\n \n
","tipo":"momento"},{"eng":"","esp":"(Diapositiva 27 a 28, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Es importante hacer notar a sus estudiantes que para modelar una situación mediante la distribución binomial es necesario realizar dos supuestos claves:\n
","eng":"It is important to point out to your students that modeling a situation using the binomial distribution requires two key assumptions:\n
"},{"esp":"- \n
- La probabilidad p del resultado que es considerado “éxito” se mantiene constante en cada realización del experimento.\n \n
- Las n repeticiones del experimento son independientes entre sí. \n
- \n
- The probability p of the outcome that is considered “success” remains constant in each execution of the experiment.\n \n
- The n replicates of the experiment are independent of each other. \n
To see if it is possible to make these assumptions in the situation of the seeds they are addressing, ask questions such as:\n
","esp":"Para que analicen si es posible hacer estos supuestos en la situación de las semillas que están abordando, realice preguntas tales como:\n
"},{"tipo":"momento","eng":"- \n
- \nWhat are the two assumptions we had to make in order to use the binomial distribution for seeds?\n \n
- \nIs it reasonable to make these assumptions in this case?\n \n
- \n
- \n¿Cuáles son los dos supuestos que tuvimos que hacer para poder usar la distribución binomial en el caso de las semillas?\n \n
- \n¿Es razonable hacer estos supuestos en este caso?\n \n
- \n
- The two assumptions are:\n
- \n
- The probability that a seed germinates does not depend on whether another seed germinated or not.\n \n
- The probability of success p = 5 for each seed is always the same.\n \n
\n - There is no reason not to assume that the probability of a seed germinating depends on whether or not others germinate. Also, it seems reasonable to assume that the probability that a seed will germinate can always be the same.\n \n
- \n
- Los dos supuestos son:\n
- \n
- La probabilidad de que una semilla germine no depende de si otra semilla germinó o no.\n \n
- La probabilidad de éxito p = 56 para cada semilla es siempre la misma.\n \n
\n - No hay ninguna razón para no suponer que la probabilidad de que una semilla germine depende de si otras germinan o no. También, parece razonable suponer que la probabilidad de que una semilla germine puede ser siempre la misma.\n \n
A continuación, pida a sus estudiantes que respondan las preguntas del ítem 2 de la Actividad 2. \n
","eng":"Next, ask your students to answer the questions in item 2 of Activity 2.\n
"},{"esp":"Actividad 2
\n- \n
- \n
Expresa las siguientes probabilidades usando la notación de variable aleatoria:\n
\n- \n
- La probabilidad de que ninguna semilla germine: \n
- La probabilidad de que todas las semillas germinen: \n
- La probabilidad de que germinen al menos cinco semillas: \n
\n
Activity 2
\n- \n
- \n
Express the following probabilities using random variable notation:\n
\n- \n
- The probability that no seed germinates: \n
- The probability that all the seeds germinate: \n
- The probability that at least five seeds will germinate: \n
\n
- \n
a. \\( P(X = 0) \\)
b. \\( P(X = 7) \\)
c. \\( P(X \\geq 5) \\)
- \n\n
- \n
- \n
a. \\( P(X = 0) \\)
b. \\( P(X = 7) \\)
c. \\( P(X \\geq 5) \\)
- \n\n
- \n
Question 2 is very important, since translating the probability described in verbal language into its respective random variable notation is essential to understand how to calculate probability using the binomial distribution formula.\n
","esp":"La pregunta 2 es muy importante, ya que traducir la probabilidad descrita en lenguaje verbal a su respectiva notación de variable aleatoria, resulta fundamental para entender cómo calcular la probabilidad usando la fórmula de la distribución binomial.\n
","tipo":"p"},{"esp":"Luego pida a sus estudiantes que ordenen las probabilidades \n\nP(X = 0),\nP(X = 7), \nP(X ≥ 5),\n esto como un ejercicio de estimación, para conocer las ideas previas de sus estudiantes respecto a los valores que pueden tomar las probabilidades de una distribución binomial en un caso particular. Puede orientar a sus estudiantes haciéndoles notar que los parámetros n y p juegan un rol fundamental.\n","tipo":"p","eng":"Then ask your students to order the probabilities\n\nP(X = 0),\nP(X = 7),\nP(X ≥ 5),\n this as an estimation exercise, to know the previous ideas of your students regarding the values that the probabilities of a binomial distribution can take in a particular case. You can guide your students by pointing out that the parameters n and p play a fundamental role."},{"tipo":"p","esp":"Solicite a sus estudiantes que continúen con el ítem 3 de la Actividad 2.\n
","eng":"Ask your students to continue with item 3 of Activity 2.\n
"},{"eng":"Activity 2
\n- \n
- \nCalculate the probabilities of item 2 using the formula for the binomial distribution. Compare these results with the probabilities estimated from the dice simulation.\n \n
Actividad 2
\n- \n
- \nCalcula las probabilidades del ítem 2 usando la fórmula de la distribución binomial. Comparen estos resultados con las probabilidades estimadas a partir de la simulación con dados.\n \n
a. \\[ P(X = 0)={{7} \\choose {0}} \\cdot \\left( \\frac{5}{6}\\right) ^{0} \\cdot \\left( \\frac{1}{6}\\right) ^{7} \\approx 0{,}0000036 \\]
b. \\[ P(X = 7)={{7} \\choose {7}} \\cdot \\left( \\frac{5}{6}\\right) ^{7} \\cdot \\left( \\frac{1}{6}\\right)^{0} \\approx 0{,}28 \\]\n
c. \\[ P(X \\geq 5) = P(X = 5)+P(X = 6)+P(X = 7)\\]\n\\[ = {{7} \\choose {5}} \\cdot \\left( \\frac{5}{6}\\right) ^{5} \\cdot \\left( \\frac{1}{6}\\right) ^{2}+{{7} \\choose {6}} \\cdot \\left( \\frac{5}{6}\\right) ^{6} \\cdot \\left( \\frac{1}{6}\\right) ^{1}+{{7} \\choose {7}} \\cdot \\left( \\frac{5}{6}\\right) ^{7} \\cdot \\left( \\frac{1}{6}\\right) ^{0}\\]\n\\[ \\approx 0{,}2344+0{,}3907+0{,}2790\\]\n\\[ P(X \\geq 5) \\approx 0{,}904\\]\n
","recurso":"Respuesta","eng":"a. \\[ P(X = 0)={{7} \\choose {0}} \\cdot \\left( \\frac{5}{6}\\right) ^{0} \\cdot \\left( \\frac{1}{ 6}\\right) ^{7} \\approx 0{,}0000036 \\]
b. \\[ P(X = 7)={{7} \\choose {7}} \\cdot \\left( \\frac{5}{6}\\right) ^{7} \\cdot \\left( \\frac{1}{ 6}\\right)^{0} \\approx 0{,}28 \\]\n
c. \\[ P(X \\geq 5) = P(X = 5) P(X = 6) P(X = 7)\\]\n\\[ = {{7} \\choose {5}} \\cdot \\left( \\frac{5}{6}\\right) ^{5} \\cdot \\left( \\frac{1}{6}\\right) ^ {2} {{7} \\choose {6}} \\cdot \\left( \\frac{5}{6}\\right) ^{6} \\cdot \\left( \\frac{1}{6}\\right) ^ {1} {{7} \\choose {7}} \\cdot \\left( \\frac{5}{6}\\right) ^{7} \\cdot \\left( \\frac{1}{6}\\right) ^ {0}\\]\n\\[ \\approx 0{,}2344 0{,}3907 0{,}2790\\]\n\\[ P(X \\geq 5) \\approx 0{,}904\\]\n
"},{"tipo":"p","esp":"A continuación, exponga las respuestas y haga notar que, para calcular la probabilidad de que al menos 5 semillas germinen, es necesario considerar la probabilidad de obtener 5 o más semillas germinadas. En otras palabras, esto se puede expresar como \nP(X ≥ 5) = \nP(X = 5) + \nP(X = 6) + \nP(X = 7)\n. Es importante destacar que las probabilidades \"mayor o igual que\", \"menor o igual que\", \"mayor que\" o \"menor que\" se determinan sumando las probabilidades de los valores de x que cumplan con la condición dada. \n","eng":"Next, present the answers and point out that, in order to calculate the probability that at least 5 seeds germinate, it is necessary to consider the probability of obtaining 5 or more germinated seeds. In other words, this can be expressed as\nP(X ≥ 5) =\nP(X = 5)\nP(X = 6)\nP(X = 7)\n. It is important to note that the probabilities \"greater than or equal to\", \"less than or equal to\", \"greater than\" or \"less than\" are determined by adding the probabilities of the values of x< /b> that meet the given condition."},{"eng":"Now, introduce item 1 of Activity 3. You can mention that the difficulty increases, since we have 30 repetitions. Ask your students to first write each requested probability in random variable notation.\n
","tipo":"p","esp":"Ahora, presente el ítem 1 de la Actividad 3. Puede mencionar que la dificultad aumenta, debido a que tenemos 30 repeticiones. Pídale a sus estudiantes que primero escriban cada probabilidad solicitada con notación de variable aleatoria.\n
"},{"recurso":"Actividades","eng":"Activity 3
\n- \n
- \n
\nNow consider 30 events, that is, 30 seeds are sown. Calculate the following probabilities:\n
\n- \n
- Probability that 20 seeds will germinate. \n
- Probability that at least 20 seeds germinate. \n
- Probability that more than 20 seeds germinate. \n
\n
Actividad 3
\n- \n
- \n
\nAhora consideremos 30 eventos, es decir, que se siembran 30 semillas. Calcula las siguiente probabilidades:\n
\n- \n
- Probabilidad de que germinen 20 semillas. \n
- Probabilidad de que germinen al menos 20 semillas. \n
- Probabilidad de que germinen más de 20 semillas. \n
\n
- \n
- \n\\( \\text{Probabilidad de que germinen 20 semillas } P(X = 20) \\)\n \n
- \n\\( \\text{Probabilidad de que germinen al menos 20 semillas } P(X \\geq 20) \\)\n \n
- \n\\( \\text{Probabilidad de que germinen más de 20 semillas } P(X > 20) \\)\n \n
- \n
- \n\\( \\text{Probability that 20 seeds germinate } P(X = 20) \\)\n \n
- \n\\( \\text{Probability that at least 20 seeds germinate } P(X \\geq 20) \\)\n \n
- \n\\( \\text{Probability that more than 20 seeds germinate } P(X","tipo":"momento"},{"eng":"
Next, ask them to substitute the formula parameters for the requested probability in item a. They should get something like:\n
","tipo":"p","esp":"Luego, pida que reemplacen los parámetros de la fórmula para la probabilidad solicitada en el ítem a. Deben obtener algo como: \n
"},{"eng":"\\[ P(X = 20)={{30} \\choose {20}} \\cdot \\left( \\frac{5}{6}\\right) ^{20} \\cdot \\left( \\frac{ 1}{6}\\right) ^{10} \\]\n
","tipo":"p","esp":"\\[ P(X = 20)={{30} \\choose {20}} \\cdot \\left( \\frac{5}{6}\\right) ^{20} \\cdot \\left( \\frac{1}{6}\\right) ^{10} \\] \n
"},{"esp":"Comente que este valor se vuelve un poco engorroso de calcular. Posterior a eso, se sugiere preguntar: \n
","tipo":"p","eng":"Comment that this value becomes a bit cumbersome to calculate. After that, it is suggested to ask:\n
"},{"tipo":"momento","esp":"- ¿Cómo se puede plantear el cálculo de P(X ≥ 20)?,\n
- ¿Cómo se puede plantear el cálculo de P(X > 20)?
- How can we approach the calculation of P(X ≥ 20)?,\n
- How can we approach the calculation of P(X","recurso":"Pregunta"},{"tipo":"momento","recurso":"Respuesta","esp":"
- \n
- Se deben sumar las probabilidades de que germinen de 20 a 30 semillas: \\[P(X\\geq20)=P(X=20)+P(X=21)+P(X=22)+P(X=23)+P(X=24)+P(X=25)+P(X=26)+P(X=27)+P(X=28)+P(X=29)+P(X=30) \\] \n
- Hay que determinar la probabilidad de que germinen más de 20 semillas, es decir, de 21 a 30 semillas \\[P(X>20)=P(X=21)+P(X=22)+P(X=23)+P(X=24)+P(X=25)+P(X=26)+P(X=27)+P(X=28)+P(X=29)+P(X=30)\\] \n
- \n
- The probabilities that 20 to 30 seeds germinate must be added: \\[P(X\\geq20)=P(X=20) P(X=21) P(X=22) P(X=23) P(X=24) P(X=25) P(X=26) P(X=27) P(X=28) P(X=29) P(X=30) \\] \n
- The probability that more than 20 seeds germinate must be determined, that is, from 21 to 30 seeds \\[P(X"},{"esp":"
Hágales notar que, pese a que las probabilidades mencionadas usan de referencia el 20, estas son distintas. Además, si bien los cálculos son posibles de hacer, se vuelve muy engorroso calcular 9 o más probabilidades y sumarlas, con la posibilidad de cometer errores en el proceso. Por lo que, en casos como estos, es recomendable usar aplicaciones para obtener las probabilidades. \n
","eng":"Point out to them that even though the probabilities mentioned use 20 as a reference, they are different. Also, while the calculations are possible to do, it becomes very cumbersome to calculate 9 or more probabilities and add them up, potentially making mistakes in the process. Therefore, in cases like these, it is advisable to use applications to obtain the probabilities.\n
","tipo":"p"},{"eng":"Give them the resource found at: https://www.geogebra.org/m/z2kaharf< /a> and explain how it works. Then have them determine the prior probabilities using the resource.\n
","tipo":"p","esp":"Entrégueles el recurso que se encuentra en: https://www.geogebra.org/m/z2kaharf y explíqueles cómo funciona. Luego, pida que determinen las probabilidades anteriores usando el recurso.\n
"},{"recurso":"Respuesta","eng":"- \n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/P%28X%3D20%29.png\")
< /li>\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/P%28Xgeq20%29.png\")
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/P%28Xmayor%20que20%29.png\")
< /li>\n
- \n
- \n
- \n
- \n
Actividad 3
2. Recordemos que, para que un cultivo sea rentable, el agricultor requiere que germinen al menos el 80% de las semillas sembradas. Si el agricultor decide plantar 900 semillas de tomate, ¿cuál es la probabilidad de que germinen al menos 80% de las 900 semillas?\n
","eng":"Activity 3
2. Remember that, for a crop to be profitable, the farmer requires that at least 80% of the seeds sown germinate. If the farmer decides to plant 900 tomato seeds, what is the probability that at least 80% of the 900 seeds will germinate?\n
","tipo":"momento"},{"eng":"2. \\[ P(X \\geq 720)= 0.99\\]","esp":"2. \\[ P(X \\geq 720)= 0,99\\] ","tipo":"momento","recurso":"Respuesta"},{"eng":"Discuss the final answer to the farmer's problem in a debrief.","esp":"Discutan la respuesta final al problema del agricultor en una puesta en común. \n","tipo":"p"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Sistematización","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositiva 42, Presentación)"},{"eng":"Based on what was done in class, systematize the following ideas:","esp":"En base a lo realizado en clases, sistematice las siguientes ideas:","tipo":"p"},{"esp":"- La distribución binomial se aplica cuando se realizan repeticiones de un experimento dicotómico, donde:\n
- Todas las repeticiones son independientes entre sí
- \nLa probabilidad de éxito en cada repetición es siempre la misma.
- \nLa distribución binomial nos permite determinar la probabilidad de tener exactamente x éxitos en n repeticiones del experimento dicotómico.\n
- \nEs importante tener en cuenta que la probabilidad teórica y las estimaciones obtenidas a partir de las frecuencias relativas pueden diferir bastante, debido a factores como el número de repeticiones del experimento o el número de simulaciones realizadas, por lo que es necesario tener precaución al interpretar los resultados.\n
- The binomial distribution is applied when repeating a dichotomous experiment, where:\n
- All repetitions are independent of each other
- \nThe probability of success in each repetition is always the same.
- \nThe binomial distribution allows us to determine the probability of having exactly x successes in n repetitions of the dichotomous experiment.\n
- \nIt is important to note that the theoretical probability and the estimates obtained from the relative frequencies can differ quite a lot, due to factors such as the number of repetitions of the experiment or the number of simulations performed, so caution is necessary when interpreting the results. results.\n
(link) associated, so that they can access it through any device (smartphone, tablet, computer).
","esp":"(link) asociado, para que accedan a él a través de algún dispositivo (smartphone, tablet, computador).
"},{"esp":"Presente la actividad 1, esta la pueden realizar con o sin el recurso de GeoGebra, lo importante de esta actividad es que relacionen los parámetros de la distribución binomial con la representación gráfica del modelo.\n","tipo":"p","eng":"Introduce activity 1. They can do this with or without the GeoGebra resource. The important thing about this activity is that they relate the parameters of the binomial distribution with the graphical representation of the model."},{"esp":"Para la actividad 2, entregue el recurso de GeoGebra, para formalizar la relación entre los parámetros y el comportamiento gráfico de la distribución binomial. \n","eng":"For activity 2, hand out the GeoGebra resource, to formalize the relationship between the parameters and the graphical behavior of the binomial distribution.","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"Leading them to notice that as n grows, the binomial distribution takes on a symmetric shape. Furthermore, if the value of p is less than 0.5 this symmetric shape moves to the left and if the value of p is greater than 0.5, it is concentrated to the right.","esp":"Guiándolos para que noten que, a medida de que n crece, la distribución binomial adquiere una forma simétrica. Además, si el valor de p es menor a 0,5 esta forma simétrica se mueve a la izquierda y si el valor de p es mayor a 0,5 esta se concentra a la derecha.\n"},{"tipo":"p","esp":"Formalice con sus estudiantes las siguientes conclusiones:\n
","eng":"Formalize with your students the following conclusions:\n
"},{"eng":"- \n
- When n is a sufficiently large value the distribution takes on a symmetrical shape.\n \n
- The symmetric form of the binomial distribution moves on the graph depending on the value of p, the higher the value of p > further to the right is located.\n \n
- \n
- Cuando n es un valor suficientemente grande la distribución adquiere una forma simétrica.\n \n
- La forma simétrica de la distribución binomial se mueve en la gráfica dependiendo del valor de p, entre mayor el valor de p más a la derecha se encuentra.\n \n
These tasks can be used to formatively assess the following indicator:\n
","tipo":"p","esp":"Estas tareas pueden ser utilizadas para evaluar formativamente el siguiente indicador:\n
"},{"eng":"- \n
- Apply the binomial model to predict results of random experiments. \n
- \n
- Aplican el modelo binomial para predecir resultados de experimentos aleatorios. \n
For activity 3, explain how the GeoGebra resource works. The values of n, p, and k they can be modified by entering their values in the respective input boxes. Then, there are two buttons, one of which displays the value of P(X = k) and the other of which simultaneously displays the values of\nP(X ≤ k) and\nP(X","esp":"
Para la actividad 3, explique el funcionamiento del recurso de GeoGebra. Los valores de n, p y k se pueden modificar ingresando sus valores en las casillas de entrada respectivas. Luego, existen dos botones, uno de los cuales muestra el valor de P(X = k) y el otro muestra en simultáneo los valores de \nP(X ≤ k) y \nP(X > k). \n
","tipo":"p"},{"tipo":"button","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/pdfs/Guia_Practica_IV_Unidad1_OA2_modificado.pdf","recurso":"ModalGP","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/pdfs/Guia_Practica_IV_Unidad1_OA2_modificado.pdf"}]}}},"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Distribución Binomial","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"La distribución binomial es una de las distribuciones de probabilidad más útiles, ya que permite modelar una amplia variedad de situaciones en las que se repite un experimento dicotómico (con solo dos resultados posibles) de manera independiente, y donde la probabilidad de cada resultado es constante. De manera más precisa, la distribución binomial se asocia a situaciones en las que se cumple lo siguiente:\n
","tipo":"p","eng":"The binomial distribution is one of the most useful probability distributions, as it allows you to model a wide variety of situations in which a dichotomous experiment (with only two possible outcomes) is repeated independently, and where the probability of each result is constant. More precisely, the binomial distribution is associated with situations in which the following is true:\n
"},{"esp":"- \n
- Hay un experimento aleatorio con dos resultados posibles, uno considerado como “éxito” y el otro como “fracaso”. \n
- Cada vez que se lleva a cabo el experimento, la probabilidad de éxito p es constante, lo que implica que la probabilidad de fracaso 1 - p también es constante. \n \n
- El experimento se repite n veces y cada realización es independiente de las demás, es decir, la probabilidad de éxito de cada una no depende del resultado de las otras.\n \n
- \n
- There is a randomized experiment with two possible outcomes, one regarded as “success” and the other as “failure”. \n
- Each time the experiment is carried out, the probability of success p is constant, which implies that the probability of failure 1 -p is also constant.\n \n
- The experiment is repeated n times and each realization is independent of the others, that is, the probability of success of each one does not depend on the result of the others.\n \n
\n\\[ P(X=x) = {{n} \\choose {x}} \\cdot p^{x} \\cdot (1-p)^{n-x} \\]\n
","eng":"\n\\[ P(X=x) = {{n} \\choose {x}} \\cdot p^{x} \\cdot (1-p)^{n-x} \\]\n
"},{"tipo":"p","esp":"Donde x=0, 1, 2, …, n, 0 ≤ p ≤ 1 y n es un entero no negativo. \n","eng":"Where x=0, 1, 2, …, n, 0 ≤ p ≤ 1 and n is a nonnegative integer."},{"tipo":"p","esp":"La fórmula se obtiene al considerar que la probabilidad de obtener x éxitos seguidos de n - x fracasos es px · (1-p)n-x. Esta probabilidad es la misma en cualquier orden en que se den los éxitos y fracasos. Para obtener la probabilidad de tener exactamente x éxitos en n repeticiones, es necesario multiplicar esta probabilidad por el número de maneras posibles en que esto puede ocurrir, que corresponde a (n x). ","eng":"The formula is obtained by considering that the probability of obtaining x successes followed by n - x failures is px (1-p)n-x. This probability is the same in whatever order the successes and failures occur. To obtain the probability of having exactly x successes in n iterations, it is necessary to multiply this probability by the number of possible ways this can occur, corresponding to (n x)."},{"tipo":"p","esp":"Es importante destacar que modelar una situación mediante la distribución binomial requiere realizar dos supuestos claves:\n
","eng":"It is important to note that modeling a situation using the binomial distribution requires making two key assumptions:\n
"},{"tipo":"p","esp":"- \n
- La probabilidad p del resultado que es considerado “éxito” se mantiene constante en cada realización del experimento.\n \n
- Las n repeticiones del experimento son independientes entre sí.\n \n
- \n
- The probability p of the outcome that is considered “success” remains constant in each execution of the experiment.\n \n
- The n repetitions of the experiment are independent of each other.\n \n
In the case of seed germination, the situation can be thought of as a random experiment of sowing a seed and observing whether it germinates or not, understanding that each seed sown is a repetition of the experiment. It is assumed that there is independence, since there is no reason to think that the result of one seed affects the chances of germination of the others. Also, it is assumed that the probability that each seed will germinate (probability of success) is the same for all seeds planted. Because it was possible to make these assumptions, it is feasible to model the situation using a binomial distribution.\n
","esp":"En el caso de la germinación de las semillas, la situación se puede pensar como el experimento aleatorio de sembrar una semilla y observar si germina o no, entendiendo que cada semilla sembrada es una repetición del experimento. Se supone que hay independencia, ya que no hay razón para pensar que el resultado de una semilla afecta las posibilidades de germinación de las demás. Asimismo, se supone que la probabilidad de que cada semilla germine (probabilidad de éxito) es la misma para todas las semillas plantadas. Gracias a que fue posible hacer estos supuestos, es factible modelar la situación mediante una distribución binomial.\n
"},{"tipo":"p","esp":"Los parámetros p y n, definen una familia de distribuciones binomiales, cuyas diferencias se pueden observar en sus gráficos. Por ejemplo, los siguientes gráficos muestran distribuciones binomiales con n = 6 y diferentes valores de p: \n","eng":"The parameters p and n define a family of binomial distributions, whose differences can be observed in their graphs. For example, the following graphs show binomial distributions with n = 6 and different values of p:"},{"caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/grafs_1.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/grafs_1.png"},{"esp":"En los gráficos anteriores es posible observar que la distribución binomial es simétrica si p = 0,5, es asimétrica hacia la izquierda si p < 0,5 y es asimétrica hacia la derecha si p > 0,5. El sesgo se vuelve menos evidente en la medida que n se hace más grande, tal como se muestra en los siguientes gráficos:\n","tipo":"p","eng":"In the previous graphs it is possible to observe that the binomial distribution is symmetric if p = 0.5, it is asymmetric to the left if p"},{"esp":"n=200 y p = 0,2","tipo":"h4","eng":"n=200 and p = 0.2"},{"tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/Binomial%204.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/Binomial%204.png","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado"},{"eng":"n=200 and p = 0.5","tipo":"h4","esp":"n=200 y p = 0,5"},{"tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/Binomial%205.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/Binomial%205.png","escala":"50","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado"},{"eng":"n=200 and p = 0.8","tipo":"h4","esp":"n=200 y p = 0,8"},{"caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/Binomial%206.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/Binomial%206.png","alinea":"texto-centrado"},{"esp":"La actividad propuesta en la Guía práctica aborda el análisis del comportamiento de la distribución binomial al variar sus parámetros.\n
","tipo":"p","eng":"The activity proposed in the Practical Guide addresses the analysis of the behavior of the binomial distribution when its parameters vary.\n
"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Secuencia didáctica propuesta","eng":""},{"tipo":"p","eng":"There are several ways to introduce the binomial distribution into the teaching of probability. In this case, the following sequence has been chosen:\n
","esp":"Existen varias maneras de introducir la distribución binomial en la enseñanza de la probabilidad. En este caso se ha optado por la siguiente secuencia:\n
"},{"esp":"- \n
- Plantear el cálculo de probabilidades para una situación binomial. \n
- Reconocer que la regla de Laplace no es aplicable debido a que no se puede construir un espacio muestral equiprobable. \n
- Realizar una simulación del experimento con dados para estimar las probabilidades. \n
- Destacar la variabilidad en las estimaciones y enfatizar la necesidad de repetir el experimento varias veces para obtener una aproximación más precisa de las probabilidades. \n
- Utilizar un recurso digital para simular el experimento un número grande de veces y así conjeturar las probabilidades teóricas de la distribución binomial. \n
- Emplear la situación para introducir conceptos y caracterizar la distribución binomial, tales como experimento aleatorio, éxito, fracaso, número de repeticiones, variable aleatoria, entre otros. \n
- Expresar las probabilidades utilizando la notación de variable aleatoria P(X = x). \n
- Introducir la fórmula de la distribución binomial. \n
- Calcular probabilidades puntuales usando la fórmula de la binomial. \n
- Reconocer que puede ser engorroso intentar calcular algunas probabilidades acumuladas usando la fórmula, y que es más práctico recurrir al uso de recursos digitales.\n \n
- \n
- Introduce the calculation of probabilities for a binomial situation. \n
- Recognize that Laplace's rule does not apply because an equiprobable sample space cannot be constructed. \n
- Perform a simulation of the experiment with dice to estimate the probabilities. \n
- Highlight the variability in the estimates and emphasize the need to repeat the experiment several times to obtain a more accurate approximation of the probabilities. \n
- Use a digital resource to simulate the experiment a large number of times and thus guess the theoretical probabilities of the binomial distribution. \n
- Use the situation to introduce concepts and characterize the binomial distribution, such as random experiment, success, failure, number of repetitions, random variable, among others. \n
- Express the probabilities using the random variable notation P(X = x). \n
- Enter the formula for the binomial distribution. \n
- Calculate point probabilities using the binomial formula. \n
- Recognize that it can be cumbersome to try to calculate some cumulative probabilities using the formula, and that it is more practical to resort to using digital resources.\n \n
As for the second point, it is essential to support the reasoning that leads your students to recognize that Laplace's rule is not appropriate for this situation, since it is not immediate to construct an equiprobable sample space.\n
","tipo":"p","esp":"En cuanto al segundo punto, es fundamental respaldar el razonamiento que lleve a sus estudiantes a reconocer que la regla de Laplace no es apropiada para esta situación, ya que no es inmediato construir un espacio muestral equiprobable. \n
"},{"eng":"To achieve this, it is recommended to raise a discussion in which it is evaluated if it is possible to use Laplace's rule to determine the probability that the 7 seeds germinate. Students are likely to easily identify the favorable case. However, they may have difficulty recognizing that there are 27 = 128 possible cases, so support is needed to reach this conclusion.","tipo":"p","esp":"Para lograrlo, se recomienda plantear una discusión en la que se evalúe si es posible utilizar la regla de Laplace para determinar la probabilidad de que germinen las 7 semillas. Es probable que las y los estudiantes identifiquen fácilmente el caso favorable. Sin embargo, podrían tener dificultades para reconocer que existen 27 = 128 casos posibles, por lo que es necesario brindarles apoyo para que lleguen a esta conclusión. \n"},{"eng":"Once they have identified the number of possible cases, it is important that students understand that these make up the sample space and that, in order to apply Laplace's rule, it is necessary for this space to be equiprobable. It is suggested that they analyze specific examples in which it is evidenced that there are results in the sample space that do not have the same probability of occurring, such as:\n
","tipo":"p","esp":"Una vez que hayan identificado el número de casos posibles, es importante que las y los estudiantes comprendan que estos componen el espacio muestral y que, para aplicar la regla de Laplace, es necesario que este espacio sea equiprobable. Se sugiere que analicen ejemplos concretos en los que se evidencie que hay resultados en el espacio muestral que no tienen la misma probabilidad de ocurrir, como por ejemplo:\n
"},{"escala":"50","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/tabla_principal_4.1.png","caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/tabla_principal_4.1.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado"},{"eng":"This proposal to introduce the binomial distribution does not include the deduction of the binomial formula by the students, since this implies combinatorial reasoning. However, if you consider that your students have developed this skill or you want to work on it before the lesson, the following proposal is suggested to integrate into the work proposed in this situation:\n
","tipo":"p","esp":"Esta propuesta para introducir la distribución binomial no incluye la deducción de la fórmula binomial por parte de las y los estudiantes, debido a que esto implica un razonamiento combinatorio. No obstante, si considera que sus estudiantes han desarrollado esta habilidad o desea trabajarla antes de la lección, se sugiere la siguiente propuesta para integrar al trabajo que se propone en esta situación:\n
"},{"tipo":"p","eng":"First, you can ask your students to calculate the probability that any one of the 7 seeds will germinate. For this, suggest that they calculate the probability of the particular case in which the first seed germinates and the other 6 do not, which can be expressed as:\n
","esp":"En primer lugar, puede proponer a sus estudiantes calcular la probabilidad de que una semilla cualquiera de las 7 semillas germine. Para esto, sugiérales que calculen la la probabilidad del caso particular en que la primera semilla germina y las otras 6 no, lo que puede expresarse como: \n
"},{"eng":"\\[P(GNNNNNN)=P(G) \\cdot P(N) \\cdot P(N) \\cdot P(N) \\cdot P(N) \\cdot P(N) \\cdot P(N) = \\frac{5}{6} \\cdot \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} \\ cdot \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} = \\left( \\frac{5}{6}\\right)^1 \\cdot \\left( \\frac{1}{6}\\ right)^6\\]\n
","esp":"\\[P(GNNNNNN)=P(G) \\cdot P(N) \\cdot P(N) \\cdot P(N) \\cdot P(N) \\cdot P(N) \\cdot P(N) = \\frac{5}{6} \\cdot \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} = \\left( \\frac{5}{6}\\right)^1 \\cdot \\left( \\frac{1}{6}\\right)^6\\]\n
","tipo":"p"},{"eng":"where G represents that the seed germinates and N that the seed does not germinate.\n
","esp":"donde G representa que la semilla germina y N que la semilla no germina.\n
","tipo":"p"},{"eng":"Next, help them to notice that this probability is the same in any case where one seed has to germinate and the other 6 do not. Furthermore, there are 7 possible combinations for a seed to germinate and six for it not to.\n
","esp":"A continuación, ayúdeles a notar que esta probabilidad es la misma en cualquier caso donde se tenga que una semilla germine y las otras 6 no. Además, hay 7 combinaciones posibles de que una semilla germine y seis que no lo hagan.\n
","tipo":"p"},{"escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/tabla_principal_2.png","tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/tabla_principal_2.png","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"You can then guide your students to recognize that the number of combinations of one seed that germinates and six that do not correspond to the combinatorial number (< i>7 1). Therefore, the probability that any one of the seven seeds has germinated can be expressed as:","esp":"Después, puede guiar a sus estudiantes para que reconozcan que la cantidad de combinaciones de una semilla que germina y seis que no, corresponde al número combinatorio (7 1). Por tanto, la probabilidad de que una semilla cualquiera de las siete haya germinado se puede expresar como:\n","tipo":"p"},{"esp":"\\[ {{7} \\choose {1}} \\cdot \\left( \\frac{5}{6}\\right)^1 \\cdot \\left( \\frac{1}{6}\\right)^6\\]\n
","eng":"\\[ {{7} \\choose {1}} \\cdot \\left( \\frac{5}{6}\\right)^1 \\cdot \\left( \\frac{1}{6}\\right)^ 6\\]\n
","tipo":"p"},{"esp":"Finalmente, pueden generalizar la fórmula para calcular la probabilidad de que x semillas de un total de n germinen:\n","tipo":"p","eng":"Finally, they can generalize the formula to calculate the probability that x seeds out of a total of n will germinate:"},{"tipo":"p","esp":"\\[ {{n} \\choose {x}} \\cdot p^x \\cdot (1-p)^{n-x}\\]\n
","eng":"\\[ {{n} \\choose {x}} \\cdot p^x \\cdot (1-p)^{n-x}\\]\n
"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Germinación de semillas"},{"tipo":"p","eng":"Seed germination is a process that depends on many factors at once. In some seeds it can take 24 hours and in others more than 15 days, depending on the climatic conditions and the type of seed.
","esp":"La germinación de semillas es un proceso que depende de muchos factores a la vez. En algunas semillas puede tomar 24 horas y en otras más de 15 días, dependiendo de las condiciones climáticas y del tipo de semilla.
"},{"tipo":"p","eng":"This process can be separated into 3 stages:
","esp":"Este proceso se puede separar en 3 etapas:
"},{"eng":"1. Hydration:","esp":"1. Hidratación:","tipo":"h4"},{"esp":"En esta etapa la semilla absorbe agua y una vez que está hidratada, se activan procesos metabólicos que la preparan para las siguientes etapas de la germinación. Algunos de los factores que más influyen en esta etapa son el exceso o déficit de agua, la velocidad a la que la semilla se hidrata y la temperatura del lugar.\n
","tipo":"p","eng":"In this stage the seed absorbs water and once it is hydrated, metabolic processes are activated that prepare it for the following stages of germination. Some of the factors that most influence this stage are excess or deficit of water, the speed at which the seed hydrates and the temperature of the place.\n
"},{"tipo":"img","escala":"50","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/icono_principal_2.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/icono_principal_2.png","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"tipo":"h4","esp":"2. Germinación:","eng":"2. Germination:"},{"esp":"Se reduce de manera significativa la absorción de agua y se activa el metabolismo de las células de la semillas. Esta etapa acaba cuando emerge y crece la radícula.\n
","tipo":"p","eng":"Water absorption is significantly reduced and seed cell metabolism is activated. This stage ends when the radicle emerges and grows.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/icono_principal_3.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/icono_principal_3.png","tipo":"img"},{"tipo":"h4","eng":"3. Growth:","esp":"3. Crecimiento:"},{"eng":"Finally, in this stage the absorption of water and the respiratory activity of the seed are increased. The division and expansion of its cells occurs. The outer layer of these cells begins to secrete enzymes that digest the food stored inside. The seed develops until its own leaves are generated, already on the surface.\n
","esp":"Finalmente, en esta etapa se aumenta la absorción de agua y la actividad respiratoria de la semilla. Ocurre la división y expansión de sus células. La capa externa de estas células comienza a secretar las enzimas que producen la digestión de los alimentos almacenados en su interior. La semilla se desarrolla hasta que se generan sus propias hojas, ya en la superficie.\n
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/icono_principal_4.png","escala":"50","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/germinacion_de_semillas/imgs/icono_principal_4.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img"},{"tipo":"p","eng":"Considering all the variables and time involved, it is important to note that planting a seed does not necessarily guarantee that it will germinate and become a plant within a few days.\n
","esp":"Considerando todas las variables y el tiempo involucrado, es importante tener en cuenta que plantar una semilla no garantiza necesariamente que ésta germinará y se transformará en una planta al cabo de algunos días. \n
"},{"tipo":"p","eng":"For each seed, there are conditions that favor its chances of germinating. The tomato seed, for example, can germinate in environments with temperatures ranging between 10°C and 35°C, however, the ideal climatic conditions for its germination are when the average temperature is around 20°C during the day.\n
","esp":"Para cada semilla, existen condiciones que favorecen sus posibilidades de germinar. La semilla de tomate, por ejemplo, puede germinar en ambientes con temperaturas que oscilan entre los 10°C y 35°C, sin embargo, las condiciones climáticas ideales para su germinación es cuando la temperatura media ronda los 20°C durante el día. \n
"},{"esp":"El sustrato en el que se desarrolla la semilla también tiene un papel importante, ya que hay superficies que tienen una mayor capacidad para retener la humedad y otras propiedades físicas y químicas que favorecen la germinación, como la porosidad del sustrato.
","eng":"The substrate in which the seed develops also plays an important role, since there are surfaces that have a greater capacity to retain moisture and other physical and chemical properties that favor germination, such as the porosity of the substrate.","tipo":"p"},{"esp":"
Cuando se tienen en cuenta los factores que influyen en la germinación de una semilla, es posible estimar la probabilidad de que una semilla germine de acuerdo a su tasa de germinación. Para determinar esta tasa, se hacen pruebas con muestras de semilla tomadas al azar, sometiéndolas a condiciones germinativas favorables. Con muestras de semillas bastante grandes (más de 200) sometidas a estas condiciones, se puede obtener un tasa de germinación para cada tipo de semilla. Por ejemplo, la semilla de tomate posee distintas tasas de germinación, de acuerdo al sustrato en el que se estén desarrollando, siendo el más alto el 98% cuando se usa la turba como sustrato y el más bajo un 57% cuando se usa un almácigo tradicional.
","eng":"When the factors that influence the germination of a seed are taken into account, it is possible to estimate the probability that a seed will germinate according to its germination rate. To determine this rate, tests are carried out with seed samples taken at random, subjecting them to favorable germination conditions. With fairly large seed samples (more than 200) subjected to these conditions, a germination rate can be obtained for each type of seed. For example, the tomato seed has different germination rates, according to the substrate in which they are being developed, the highest being 98% when peat is used as a substrate and the lowest 57% when a seedbed is used. traditional.
","tipo":"p"},{"tipo":"h4","esp":"Referencias:","eng":"References:"},{"tipo":"p","eng":"","esp":""}]}},"visible":true},"recursosProyecto":[]},"22":{"visible":true,"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Momento de enganche","eng":"latching moment","tipo":"h3"},{"eng":"(Slides 2-3, Presentation)","esp":"(Diapositivas 2 a 3, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Se sugiere leer en conjunto con sus estudiantes la Infografía “La escasez de agua”. \nRealice preguntas para que comprendan adecuadamente la información presentada, por ejemplo:\n
","eng":"It is suggested that you read together with your students the infographic “Water scarcity”.\nAsk questions so that they adequately understand the information presented, for example:\n
"},{"tipo":"momento","esp":"- \n
- ¿Qué información te llama más la atención de la infografía? \n
- ¿Dónde se concentra el agua que hay en nuestro planeta? ¿Y en Chile, tenemos poca o mucha agua? \n
- ¿Cuáles son los problemas que conlleva la falta de agua?\n
- \n
- What information stands out to you the most from the infographic? \n
- Where is the water on our planet concentrated? And in Chile, do we have little or a lot of water? \n
- What are the problems caused by the lack of water? What do you do to take care of the water? \n
Give them a short time to share their thoughts on the third question.\n
","esp":"Dé un breve espacio de tiempo para que compartan sus opiniones en torno a la tercera pregunta.\n
","tipo":"p"},{"esp":"Presentación del problema ","tipo":"h3","eng":"Presentation of the problem"},{"esp":"(Diapositiva 4, Presentación) ","eng":"(Slide 4, Presentation)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Presente la Hoja de Actividades y analice junto a sus estudiantes la imagen que resume\ninformación relevante del agua en nuestro planeta. Luego, se sugiere realizar algunas preguntas\npara asegurar que comprenden los datos expresados en porcentaje relativos al agua en nuestro\nplaneta.","eng":"Present the Activity Sheet and discuss with your students the image that summarizes\nrelevant information about water on our planet. Then it is suggested to ask some questions\nto ensure that you understand the percentage data relating to water in our\nplanet."},{"tipo":"momento","esp":"- \n
- Respecto de la cantidad de agua en nuestro planeta, ¿cuál es el porcentaje de agua dulce? \n
- Respecto de la cantidad de agua dulce que hay en nuestro planeta, ¿qué porcentaje está disponible para el consumo? \n \n
- \n
- Regarding the amount of water on our planet, what is the percentage of fresh water? \n
- Regarding the amount of fresh water on our planet, what percentage is available for consumption?\n \n
- \n
- Of the amount of water on our planet, 2.5% is fresh water. \n
- Of the amount of fresh water on our planet, 1% is water suitable for consumption. \n
- \n
- De la cantidad de agua que hay en nuestro planeta, el 2,5 % es agua dulce. \n
- De la cantidad de agua dulce que hay en nuestro planeta, el 1 % es agua apta para el consumo. \n
Give the students the Activity Sheet with the situation “Water scarcity”.
"},{"tipo":"momento","esp":"Representa con diagramas o esquemas:\n- \n
- La cantidad de agua dulce y salada en relación a la cantidad de agua que hay en el planeta. \n \n
- La cantidad de agua que hay en los glaciares, en las napas subterráneas y la apta para el consumo, en relación a la cantidad de agua dulce disponible en el planeta.\n
- \n
- The amount of fresh and salt water in relation to the amount of water on the planet.\n \n
- The amount of water that is in the glaciers, in the groundwater and suitable for consumption, in relation to the amount of fresh water available on the planet.\n
- \n
- La cantidad de agua dulce y salada en relación a la cantidad de agua que hay en el planeta. \n \n
- La cantidad de agua que hay en los glaciares, en las napas subterráneas y la apta para el consumo, en relación a la cantidad de agua dulce disponible en el planeta.\n
- \n
- The amount of fresh and salt water in relation to the amount of water on the planet.\n \n
- The amount of water that is in the glaciers, in the groundwater and suitable for consumption, in relation to the amount of fresh water available on the planet.\n
Regarding schematics and diagrams, you are not expected to make a graphic that represents the\nproportional relationship between numbers. Interested that students make a scheme or\napproximate representation that allows them to assess the relationship between the amounts of water\nconsidering that the referents change in each case (the amount of water on the planet and the\namount of fresh water).\n\n
","tipo":"p","esp":"Una vez que sus estudiantes exponen sus diagramas o esquemas, se sugiere presentarles el siguiente video con las representaciones realizadas con modelos de barras.\n
"},{"tipo":"img","eng":"","escala":"50","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/imgs/escasez%20diagrama.png","alinea":"texto-centrado"},{"eng":"Second part","tipo":"h3","esp":"Segunda Parte"},{"esp":"Pida que realicen la actividad 2a y dé un tiempo para que, en parejas o grupos comenten sus\nestrategias de resolución (se recomienda permitir el uso de calculadora, sin embargo es\nimportante que escriban el cálculo que están realizando). Esta actividad se relaciona con la tarea matemática B (calcular porcentajes interpretando los resultados en el contexto dado).","eng":"Ask them to do activity 2a and allow time for them, in pairs or groups, to discuss their\nsolving strategies (it is recommended to allow the use of a calculator, however it is\nIt is important that they write down the calculation they are doing).\n
","tipo":"p"},{"eng":"(Slide 7, Presentation)","esp":"(Diapositiva 7, Presentación) ","tipo":"h4"},{"eng":"If we know that the total amount of water on earth is 1386 million km3.\n\n - \nComplete the table with the corresponding numbers:
\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/imgs/11.png\")
","recurso":"Actividades","esp":"Si sabemos que la cantidad de agua total en la tierra es 1386 millones de km3.\n\n - \nCompleta la tabla con los números que corresponden:
\n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/imgs/esp/11.png\")
\n","tipo":"momento"},{"eng":" - Para determinar la cantidad de agua salada.
\n El 97,5 % de 1386 = 0,975 1386 = 1351,35
\nHay aproximadamente 1351,35 millones de km3 de agua salada. \n\n - Para determinar la cantidad de agua dulce.
\n 1386 - 1351,35 = 34,65
\nHay aproximadamente 34,65 millones de km3 de agua dulce. \n\n - Para determinar la cantidad de agua que corresponde a glaciares .
\n El 70 % de 34,65 = 24,255
\nHay aproximadamente 24,255 millones de km3 de agua que corresponde a glaciares. \n\n - Para determinar la cantidad de agua que corresponde a napas subterráneas.
\n El 29% de 34,65 = 10,0485
\nHay aproximadamente 10,0485 millones de km3 de agua que corresponde a napas subterráneas \n\n - Para determinar la cantidad de agua apta para el consumo.
\n 34,65 - 24,255 + 10,0485 = 34,65 - 34,3035 = 0,3465
\nHay aproximadamente 0,3465 millones de km3 de agua apta para el consumo. \n - To determine the amount of salt water.
\n 97.5% of 1386 = 0.975 1386 = 1351.35
\nThere are approximately 1351.35 million km3 of salt water. \n\n - To determine the amount of fresh water.
\n 1386 - 1351.35 = 34.65
\nThere is approximately 34.65 million km3 of fresh water. \n\n - To determine the amount of water that corresponds to glaciers .
\n 70% of 34.65 = 24.255
\nThere are approximately 24,255 million km3 of water that corresponds to glaciers. \n\n - To determine the amount of water that corresponds to groundwater tables.
\n 29% of 34.65 = 10.0485
\nThere are approximately 10.0485 million km3 of water that corresponds to groundwater \n\n - To determine the amount of water suitable for consumption.
\n 34.65 - 24.255 10.0485 = 34.65 - 34.3035 = 0.3465
\nThere is approximately 0.3465 million km3 of water suitable for consumption. \n - The amount of water available for consumption is a very small part of an equally small part of the water available on the planet. (1% of 2.5% of available water on the planet).
- To calculate percentages we can multiply by the associated decimal. For example, to calculate 97.5% of 1386, we perform the following calculation:
\n\\[0.975\\cdot1386=1351.35\\]\n \n\n - To calculate percentages of percentages of a number, we can express the percentages as decimals and multiply the three numbers. For example, to calculate the\n1% of 2.5% of 1386, we perform the following calculation:
\n\\[ 0.01\\cdot0.025\\cdot1386=0.3465 \\]\n \n\n - If the amount of water on the planet were 1 liter, then the amount of water that would be available for human consumption would be a quarter of a mL. This corresponds to approximately 5 drops of water. In other words, there is little water on our planet, therefore, among all of us we must make efforts to take care of the consumption of this important element for life. \n
- La cantidad de agua disponible para el consumo es una parte muy pequeña de una parte también pequeña del agua disponible en el planeta. (El 1 % del 2,5 % de agua disponible en el planeta).
- Para calcular porcentajes podemos multiplicar por el decimal asociado. Por ejemplo, para calcular el 97,5 % de 1386, realizamos el siguiente cálculo:
\n\\[0,975\\cdot1386=1351,35\\]\n \n\n - Para calcular porcentajes de porcentajes de un número, podemos expresar los porcentajes en decimales y multiplicar los tres números. Por ejemplo, para calcular el \n1 % del 2,5 % de 1386, realizamos el siguiente cálculo:
\n\\[ 0,01\\cdot0,025\\cdot1386=0,3465 \\]\n \n\n - Si la cantidad de agua que hay en el planeta fuera 1 litro, entonces, la cantidad de agua que habría para el consumo humano sería un cuarto de un mL. Esto corresponde aproximadamente a 5 gotas de agua. Es decir, hay poca agua en nuestro planeta, por tanto, entre todos debemos hacer esfuerzos para cuidar el consumo de este importante elemento para la vida. \n
- Interpretan información del entorno que se presenta en porcentajes.
- Calculan porcentajes de números o cantidades utilizando diversas estrategias.
- Representan porcentajes y la relación entre cantidades utilizando esquemas o diagramas.
- Interpret information from the environment that is presented in percentages.
- Calculate percentages of numbers or quantities using a variety of strategies.
- Represent percentages and the relationship between quantities using charts or diagrams.
- What is a submarine for?\n
- What is sonar used for? How does it work?\n
- ¿Para qué sirve un submarino? \n
- ¿Para qué sirve el sonar? ¿Cómo funciona? \n
- \n¿Qué expresiones permiten determinar la posición de cada submarino y de la onda sonora a partir del tiempo transcurrido? \n \n
- \nWhat expressions allow to determine the position of each submarine and of the sound wave from the elapsed time?\n \n
- The speed of the sound wave is constant, \n
- The speed of each submarine is constant.\n \n
- La velocidad de la onda sonora es constante, \n
- La velocidad de cada submarino es constante.\n \n
- At what instant of time does the sound wave collide with submarine 2? What time does this happen? \n
- What positions do the submarines have at that instant of time? \n
- ¿En qué instante de tiempo la onda sonora choca con el submarino 2? ¿A qué hora sucede esto? \n
- ¿Qué posiciones tienen los submarinos en ese instante de tiempo? \n
- Realicen un diagrama considerando las nuevas ubicaciones de los submarinos una vez que la onda sonora rebotó con el submarino 2,\n
- Make a diagram considering the new locations of the submarines once the sound wave bounced off Sub 2,\n
- \nAt what instant of time does the sound wave collide with submarine 1?\n \n
- \n¿En qué instante de tiempo la onda sonora choca con el submarino 1?\n \n
- Equations are useful mathematical tools for solving situations where\ntwo quantities, both dependent on the same variable, are equal for a value\nunknown of said variable. When it is possible to isolate the variable, it is possible to know\nthe value that makes the equation true, which we call the solution.
- When these quantities have a linear relationship with the common variable, we\nWe are faced with linear equations. In general, this type of equations can have: (a)\nonly one solution, (b) no solutions, (c) infinitely many solutions.
- In this situation, the amounts that match correspond to positions: front of\nwaves and some of the submarines; while the variable corresponds to time\nelapsed since the wave was emitted.
- Thanks to linear equations, precise and efficient solutions can be obtained for\na wide variety of problems, making them an indispensable tool\nin many fields of science.
- Diagrams are a valuable tool for organizing and synthesizing information.\ncomplex, and its use allows information to be processed more effectively and efficiently.\n
- Las ecuaciones son herramientas matemáticas útiles para resolver situaciones en las que\ndos cantidades, ambas dependientes de una misma variable, se igualan para un valor\ndesconocido de dicha variable. Cuando es posible despejar la variable, es posible conocer\nel valor que hace cierta la ecuación, al que llamamos solución.
- Cuando estas cantidades tienen una relación lineal con la variable común, nos\nenfrentamos a ecuaciones lineales. En general este tipo de ecuaciones puede tener: (a)\nsolo una solución, (b) ninguna solución, (c) infinitas soluciones.
- En esta situación, las cantidades que se igualan corresponden a posiciones: del frente de\nondas y de alguno de los submarinos; mientras que la variable corresponde al tiempo\ntranscurrido desde que se emitió la onda.
- Gracias a las ecuaciones lineales, se pueden obtener soluciones precisas y eficientes para\nuna amplia variedad de problemas, lo que las convierte en una herramienta indispensable\nen muchos campos de la ciencia.
- Los diagramas son una herramienta valiosa para organizar y sintetizar información\ncompleja, y su uso permite procesar la información de manera más efectiva y eficiente.\n
- Plantear y resolver situaciones de la vida diaria usando ecuaciones lineales.\n
- Present and solve daily life situations using linear equations.\n
- origin: the position of submarine 1 when emitting the beep,\n \n
- initial instant: the instant in which submarine 1 emits said signal.\n
- origen: la posición del submarino 1 al emitir la señal sonora,\n \n
- instante inicial: el instante en que el submarino 1 emite dicha señal. \n
- The use of diagrams is an essential tool in the teaching and learning process, since they allow representing the real situation, organizing and synthesizing the information and its central aspects. This helps students better understand the problem to be addressed. In this situation, it is recommended that diagrams be used for the positions and movement of the submarines, as well as the signal transmission. Since there will not necessarily be a single drawing that represents the situation, it is important to validate the different proposals, discussing their advantages and disadvantages.
\n
\n - La utilización de diagramas es una herramienta esencial en el proceso de enseñanza y aprendizaje, ya que permiten representar la situación real, organizar y sintetizar la información y los aspectos centrales de esta. Esto contribuye a que las y los estudiantes comprendan mejor el problema que deben abordar. En esta situación, es recomendable que se utilicen diagramas para las posiciones y el movimiento de los submarinos, así como la transmisión de la señal. Como no necesariamente se tendrá un único dibujo que representa la situación, es importante validar las distintas propuestas, discutiendo sus ventajas y desventajas.\n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/imgs/5.png\")
\n - Are you familiar with serum or saline solutions? Have they used them?\n \n
- During the pandemic, it was recommended to use gel alcohol at 70%, what can this percentage mean?\n \n
- What do you understand by dissolution or what do you think it is? \n
- ¿Conocen el suero o disoluciones salinas? ¿Las han utilizado?\n \n
- En la pandemia, se recomendaba usar alcohol gel al 70%, ¿qué puede significar este porcentaje?\n \n
- ¿Qué entienden por disolución o qué creen que es? \n
- What is a dissolution?\n \n
- What common uses do they have?\n \n
- What does it mean for a saline solution to be 0.9%?\n \n
- ¿Qué es una disolución?\n \n
- ¿Qué usos comunes tienen?\n \n
- ¿Qué significa que una disolución salina sea del 0,9 %? \n \n
- x: cantidad de suero en mL al 0,9 % \n \n
- y: cantidad de suero en mL al 24 %\n \n
- ¿Cuál es el significado de la ecuación que planteó Antonia?\n \n
- ¿Cuántas incógnitas tiene esta ecuación?\n \n
- Hay varias maneras para lograr los 500 mL, completa en la tabla las cantidades con las que obtenemos este volumen. ¿Habrá otras cantidades que cumplan?\n \n
- x: amount of serum in mL at 0.9%\n \n
- y: amount of serum in mL at 24%\n \n
- What is the meaning of the equation that Antonia raised?\n \n
- How many unknowns does this equation have?\n \n
- There are several ways to achieve 500 mL, complete in the table the quantities with which we obtain this volume. Will there be other amounts that meet?\n \n
- ¿Cuál es la característica de los puntos de la recta del gráfico? ¿A qué corresponden en nuestro contexto?\n \n
- ¿Cuántos puntos hay sobre la recta? ¿Todos ellos cumplen con la condición planteada por Antonia?\n \n
- ¿Hay sumas que deban ser descartadas? Nombra una.\n \n
- What is the characteristic of the points on the line of the graph? What do they correspond to in our context?\n \n
- How many points are on the line? Do they all meet the condition raised by Antonia?\n \n
- Are there sums that need to be discarded? Name one.\n \n
- Describe con tus palabras, el significado de las siguientes expresiones en el contexto:
- Describe in your own words the meaning of the following expressions in context:
- How many points are on this line? \n
- Do they all meet the conditions set by Antonia? \n
- Are there sums that need to be discarded? Name one. \n
- she can ask for the interpretation of the expressions on each side of the equality. \n
- ¿Cuántos puntos hay sobre esta recta? \n
- ¿Todos ellos cumplen con las condiciones planteadas por Antonia? \n
- ¿Hay sumas que deban ser descartadas? Nombra una. \n
- Puede preguntar por la interpretación de las expresiones a cada lado de la igualdad. \n
- Ecuación 1: \"Todos los puntos cuyas coordenadas en mL suman 500 mL, cantidad requerida por Antonia\"
- Ecuación 2: \"Todos los puntos cuyas coordenadas corresponden a una mezcla proporcional de agua y sales en una disolución al 8%\"
- Equation 1: \"All points whose coordinates in mL add up to 500 mL, amount required by Antonia\"
- Equation 2: \"All points whose coordinates correspond to a proportional mixture of water and salts in an 8% solution\"
- Al considerar las dos ecuaciones anteriores y el contexto, representadas por rectas en un gráfico. ¿Qué significa el punto P marcado?
- By considering the two previous equations and the context, represented by lines on a graph. What does the marked point P mean?
- Redacta el correo informativo que Antonia podría enviar a Marcos, para compartir sus resultados.
- Write the informative email that Antonia could send to Marcos, to share her results.
- \nUna ecuación lineal de dos incógnitas x y se expresa por ax + by = c , donde a, b y c son números racionales. \n
- Gráficamente, las soluciones de estas ecuaciones corresponden a todos los puntos (x, y) del plano que cumplen la igualdad, lo que se representa por una línea recta. \n
\n - Al resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, buscamos valores de x e y que satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones.\n
- \n
- Gráficamente, estos valores corresponden a los puntos (x, y) del plano que pertenecen tanto a L1 como a L2). Es decir, son aquellos que pertenecen a la intersección de las rectas L1 y L2.\n \n
- Para resolver estos sistemas de ecuaciones lineales se pueden utilizar sus representaciones gráficas en herramientas tecnológicas, como Geogebra, o métodos algebraicos. \n
\n - \nA linear equation in two unknowns x y is expressed by ax by = c , where a< /i>, b, and c are rational numbers.\n
- Graphically, the solutions of these equations correspond to all points (x, y) of the plane that satisfy the equality, which is represented by a straight line.\n
\n - When solving a system of linear equations in two unknowns, we look for values of x and y that simultaneously satisfy both equations.\n
- \n
- Graphically, these values correspond to the points (x, y) in the plane that belong to both L1 as to L2). That is, they are those that belong to the intersection of lines L1 and L2.\n \n
- To solve these systems of linear equations, their graphical representations can be used in technological tools, such as Geogebra, or algebraic methods. \n
\n - The lines are parallel and distinct: in this case, there is no solution to the system of equations, since the lines have no points of intersection.
- Las rectas son paralelas y distintas: en este caso, no hay solución al sistema de ecuaciones, ya que las rectas no tienen puntos de intersección.
- The lines are parallel and equal: in this case, the solution set of the system of equations is the entire line L1 or L2, since both lines coincide.\n
- Las rectas son paralelas e iguales: en este caso, el conjunto solución del sistema de ecuaciones es toda la recta L1 o L2, ya que ambas rectas coinciden. \n
- The lines are not parallel (intersecting): in this case, there is a single point that is a solution to the system of equations. This is the point where lines L1 and L2 intersect, and is found by solving the system of equations.\n
- Las rectas no son paralelas (secantes): en este caso, hay un único punto que es solución del sistema de ecuaciones. Este es el punto donde las rectas L1 y L2 se intersectan, y se encuentra al resolver el sistema de ecuaciones.\n
- solute, which is what dissolves and can be a solid, liquid, or gas.\n \n
- solvent, which is usually a liquid, and is where the solute is dispersed.\n \n
- soluto, que es lo que se disuelve y puede ser sólido, líquido o gas. \n \n
- disolvente, que generalmente es líquido, y es donde se dispersa el soluto.\n \n
- Percentage mass-mass (% m/m): corresponds to the grams of solute in 100 grams of solution.\n \n
- Percentage mass-volume (% m/v): corresponds to the grams of solute in 100 mL of solution.\n \n
- Porcentaje masa-masa (% m/m): corresponde a los gramos de soluto en 100 gramos de disolución.\n \n
- Porcentaje masa-volumen (% m/v): corresponde a los gramos de soluto en 100 mL de disolución.\n \n
- ¿Conocían este deporte? ¿Han visto la competencia de clavados de los Juegos Olímpicos?
- ¿Cómo es la trayectoria que siguen los clavadistas en sus saltos?
- Did you know this sport? Have you seen the diving competition at the Olympic Games?
- What is the trajectory that divers follow in their jumps?
- At what point of the body of the divers can we focus so that the movement is as similar to a parabola?
- ¿En qué punto del cuerpo de los clavadistas podemos fijarnos para que el movimiento sea lo más parecido a una parábola?
- Divers perform spins and pirouettes in the air, so if you look only at the feet or head of the diver, they may not follow a parabolic trajectory. The point on the divers body, whose trajectory is more like a parabola, is the center of mass. This point is near the navel.\n
- Los clavadistas realizan giros y piruetas en el aire, por lo que si nos fijamos únicamente en los pies o en la cabeza del clavadista, es posible que no describan una trayectoria parabólica. El punto del cuerpo de los clavadistas, cuya trayectoria se asemeja más a una parábola, es el centro de masa. Este punto está cerca del ombligo.\n
- In the final question of the video, what do you want to determine?
- En la pregunta final del video, ¿qué es lo que se quiere determinar?
- ¿Cómo piensan que se relaciona la altura del clavadista con el tiempo transcurrido?
- ¿Si graficamos la altura del clavadista versus el tiempo que ha transcurrido desde el salto, que curva creen que se obtendría? ¿Por qué?
- Usualmente, para encontrar un modelo matemático se toman datos y prueban diferentes modelos algebraicos, como lineal, afín, cuadrático, etc., que se ajusten a esos datos.
- Como se pudo observar en el video, la trayectoria de los clavadistas es parabólica, lo que nos lleva a suponer que la relación entre altura y tiempo también sigue una forma parabólica. Esto nos hace pensar que un modelo cuadrático podría describir adecuadamente esta relación.
- Una vez que encontremos una expresión matemática que modele la relación entre altura y tiempo, es necesario evaluar si dicho modelo se aproxima bien a datos obtenidos empíricamente.
","recurso":"Respuesta","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/imgs/12.png\")
","tipo":"momento"},{"esp":"Al completar la tabla requerirán realizar los siguientes cálculos de porcentajes:\n\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/imgs/esp/12.png\")
\n\n- \n\n
\n\n- \n\n
\n\n1% of 2.5% of 1386
\n 0.01 ⋅ 0.025 ⋅ 1386 = 0.3465
\nThere are approximately 0.3465 million km3 of water suitable for consumption.","tipo":"momento","esp":"Note que si los estudiantes deciden calcular directamente la cantidad de agua disponible para consumo humano, pueden recurrir a lo siguiente:1 % del 2,5 % de 1386\n\n\n0,01 ⋅ 0,025 ⋅ 1386 = 0,3465Hay aproximadamente 0,3465 millones de km3 de agua apta para el consumo.
\nPermita que sus estudiantes comparen sus estrategias de resolución con la anterior, enfatizando los pasos realizados y los conocimientos involucrados en ellos. Por ejemplo, para calcular la cantidad de agua apta para el consumo, no se necesita disponer de la cantidad de agua que hay en los glaciares y en las napas subterráneas. "},{"esp":"Luego, se sugiere pedirles que realicen la actividad 2b y dé un tiempo para que en parejas o grupos elaboren sus estrategias de resolución. Esta pregunta les permitirá abordar dos estrategias: calcular porcentaje de porcentaje (Tarea matemática C) y expresar en porcentaje la relación entre dos cantidades (Tarea matemática D).\n
","tipo":"p","eng":"Allow students to compare both strategies in relation to knowledge and\nnumber of steps taken. For example, to calculate the amount of water suitable for the\nconsumption, it is not necessary to have the amount of water that is in the glaciers and in the groundwater\nunderground.\n
"},{"eng":"What percentage of the amount of water available on the planet is suitable for consumption?","tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"¿Qué porcentaje de la cantidad de agua disponible en el planeta es apta para el consumo?"},{"eng":"0.025% of the amount of water available on the planet is suitable for consumption.","tipo":"momento","esp":"El 0,025 % de la cantidad de agua disponible en el planeta, es apta para el consumo.","recurso":"Respuesta"},{"esp":"Para responder a esta pregunta, sus estudiantes pueden recurrir a las siguientes estrategias:\n
","tipo":"p","eng":"To answer this question, your students might use the following strategies:\n
"},{"esp":"Calcular porcentaje de porcentaje
","tipo":"p","eng":"Calculate percentage of percentage
"},{"esp":"\\[1\\% \\text{del}\\,2,5\\% = \\frac{1}{100}\\cdot\\frac{2,5}{100}=\\frac{0,025}{100}=0,025\\%\\]
\n","tipo":"p","eng":"\\[1\\% \\text{ of the} 2.5\\% = \\frac{1}{100}\\cdot\\frac{2.5}{100}=\\frac{0.025}{100}=0.025 \\%\\]
"},{"esp":"Expresar en porcentaje la cantidad de agua dulce en relación a la cantidad de agua en el planeta. \n
","tipo":"p","eng":"Express as a percentage the amount of fresh water in relation to the amount of water on the planet.\n
"},{"tipo":"p","eng":"\\[\\frac{0.3465}{1351.35}=0.000256410256\\]\n\\[0.000256410256\\cdot100\\approx0.025\\%\\]\n
","esp":"\\[\\frac{0,3465}{1351,35}=0,000256410256\\] \n\\[0,000256410256\\cdot100\\approx0,025\\%\\]\n
"},{"esp":"Producto del trabajo realizado es importante que sus estudiantes reconozcan que el porcentaje\ndepende de la cantidad de referencia. Para verificar esta comprensión puede realizar preguntas como la siguiente: \n¿Qué es mayor, el 50% o el 25%?
","eng":"Product of the work done it is important that your students recognize that the percentage\nIt depends on the amount of reference, for this you can ask:\n
","tipo":"p"},{"esp":"Así, se espera que discutan que depende de la cantidad de referencia. Por ejemplo, si calculamos\nel 50 % de 200 se obtiene 100, en cambio, si calculamos el 25 % de 800, se obtiene 200, que es\nun número mayor que 100.\n
","eng":"So, you are expected to discuss that it depends on the reference amount. For example, if we compute\n50% of 200 is obtained 100, on the other hand, if we calculate 25% of 800, we obtain 200, which is\na number greater than 100.\n
","tipo":"p"},{"esp":"(Diapositiva 11, Presentación) ","tipo":"h4","eng":"(Slide 11, Presentation)"},{"tipo":"p","esp":"A continuación pida que realicen la actividad 3 de la Hoja de Actividades y dé un tiempo para\nque, en parejas o grupos comenten sus estrategias de resolución.\n
","eng":"Then ask them to do activity 3 of the"},{"tipo":"momento","esp":"Imaginemos que toda el agua de la Tierra corresponde a un litro (1000 mL) y la vertemos en una botella:
\n\na) ¿Qué cantidad de agua de esa botella crees sería apta para el consumo?
\nb) Calcula la cantidad de agua que sería apta para el consumo.
\nc) Si 1 mL (mililitro) ≈ 20 gotas. ¿Cuántas gotas corresponden a esa cantidad? ","recurso":"Actividades","eng":"Let's imagine that all the water on Earth corresponds to one liter (1000 mL) and we pour it into a bottle:
\n\na) How much water from that bottle do you think would be fit for consumption?
\nb) Calculate the amount of water that would be suitable for consumption.
\nc) If 1 mL (milliliter) ≈ 20 drops. How many drops correspond to that quantity?"},{"recurso":"Respuesta","eng":"The strategy they can develop is:
\n
\n1% of 2.5% of 1 L
\n0.01 ⋅ 0.025 ⋅ 1000 = 0.25 mL
\n1/4 mL
\nTo answer question c, you are expected to use the above information and calculate 20:4. If the planet's water were a liter, then the water available for consumption would be 5 drops.","tipo":"momento","esp":"La estrategia que pueden desarrollar es:
\n
\n1 % del 2,5 % de 1 L
\n0,01 ⋅ 0,025 ⋅ 1000 = 0,25 mL
\n1/4 mL
\nPara responder a la pregunta c, se espera que usen la información anterior y calculen 20:4. Si el agua del planeta fuera un litro, entonces, el agua disponible para el consumo serían 5 gotas."},{"esp":"Para la pregunta a), incentive que sus estudiantes propongan cantidades de agua y anótelas para registrarlas. Pueden proponer: una tapita de agua, un vaso de agua, una gota, etc. Luego, invítelos a responder la pregunta b) para que verifiquen sus respuestas. De un breve espacio para que las y los estudiantes reflexionen sobre las respuestas a esta actividad interpretándolas en en el contexto del problema estudiado. \n \n
","eng":"For question a), encourage your students to come up with amounts of water and write them down to record. They can propose: a cap of water, a glass of water, a drop, etc. Then, invite them to answer question b) to check their answers.\n
","tipo":"p"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Sistematización","tipo":"h3","eng":"Systematization"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 13 y 14, Presentación)","eng":"(Slides 13 and 14, Presentation)"},{"esp":"En base a lo realizado en la actividad anterior, sistematice las siguientes ideas:","eng":"Based on what was done in the previous activity, systematize the following ideas:","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"- \n
\n\n- \n
\n\nAsk the students to solve exercise 1, where they are asked for direct information that can be obtained from a graph related to the distribution of water consumption in Chile.
","tipo":"p","esp":"Pida a las y los estudiantes resolver el ejercicio 1, donde se les pregunta por información directa que se puede obtener de un gráfico relativo a la distribución del consumo de agua en Chile.
"},{"eng":"In exercise 2, they should perform percentage calculations using the information from the same graph above.
","tipo":"p","esp":"En el ejercicio 2, deben realizar cálculos de porcentajes utilizando la información del mismo gráfico anterior.
"},{"eng":"These exercises can be used to formatively assess the following indicators:
","esp":"Estos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente los siguientes indicadores:
","tipo":"p"},{"esp":"The p% of a quantity means that for every 100 units of said quantity are considered p of them. The symbol % represents the denominator 100. Thus, the percentage can be considered as a multiplicative operator, p% =p 100
","esp":"El p% de una cantidad significa que por cada 100 unidades de dicha cantidad se consideran p de ellas. El símbolo % representa al denominador 100. Así, el porcentaje puede ser considerado como un operador multiplicativo, p% =p 100
\n","tipo":"p"},{"tipo":"h3","eng":"Calculation of percentages","esp":"Cálculo de porcentajes"},{"esp":"Para calcular un porcentaje de un número que corresponde a una cantidad de\nreferencia, se multiplica el porcentaje, expresado en fracción o decimal, con el\nnúmero.\n\n
","eng":"To calculate a percentage of a number that corresponds to an amount of\nreference, the percentage, expressed as a fraction or decimal, is multiplied with the\nnumber.\n\n
","tipo":"p"},{"esp":"Por ejemplo, el 23% de 820 es 23 100 ⋅ 820, o bien, 0,23 ⋅ 820, lo que da el mismo valor.","eng":"For example, 23% of 820 is 23 100 ⋅ 820, or 0.23 ⋅ 820, which gives the same value.","tipo":"p"},{"esp":"Para el cálculo de porcentajes en esta situación, se recurrirá preferentemente a\nla idea de operador multiplicativo decimal.
","tipo":"p","eng":"For the calculation of percentages in this situation, it will preferably be used\nthe idea of decimal multiplicative operator.
"},{"eng":"Percentage of percentages.","tipo":"h3","esp":"Porcentaje de porcentajes. "},{"esp":"Para calcular porcentajes de porcentajes se puede proceder como en el siguiente ejemplo:\n
","eng":"To calculate percentages of percentages you can proceed as in the following example:\n
","tipo":"p"},{"eng":"\nIf we express the percentages in decimals:\n\\[ 10\\% \\text{ of }20\\% \\text{ of }n\\]\n\\[10\\% \\text{ of }(0,2 \\cdot n)\\]\n\\[0.1 \\cdot (0.2 \\cdot n)\\]\n\\[(0.1 \\cdot 0.2) \\cdot n\\]\n\\[ 0.02 \\cdot n\\]\n\\[ \\frac{2}{100} \\cdot n\\]\n\\[ 2\\% \\text{ of }n\\]\n
","tipo":"p","esp":"\nSi expresamos los porcentajes en decimales:\n\\[ 10\\% \\text{ del }20\\% \\text{ de }n\\] \n\\[10\\% \\text{ de }(0,2 \\cdot n)\\]\n\\[0,1 \\cdot (0,2 \\cdot n)\\]\n\\[(0,1 \\cdot 0,2) \\cdot n\\]\n\\[ 0,02 \\cdot n\\] \n\\[ \\frac{2}{100} \\cdot n\\]\n\\[ 2\\% \\text{ de }n\\]\n
"},{"eng":"If we express the percentages in fractions: \\[10 \\% \\text{ of }20\\%\\text{ of }n \\]\n\\[\\frac{1}{10}\\text{ of }\\frac{1}{5}\\text{ of }n \\]\n\\[\\frac{1}{10}\\cdot\\left(\\frac{1}{5}\\cdot n\\right) \\]\n\\[\\left(\\frac{1}{10}\\cdot\\frac{1}{5}\\right)\\cdot n \\]\n\\[\\frac{1}{50}\\cdot n \\]\n\\[\\frac{2}{100}\\cdot n \\]\n\\[2\\%\\text{ of }n \\]\n
","esp":"Si expresamos los porcentajes en fracciones: \\[10 \\% \\text{ del }20\\%\\text{ de }n \\] \n\\[\\frac{1}{10}\\text{ de }\\frac{1}{5}\\text{ de }n \\]\n\\[\\frac{1}{10}\\cdot\\left(\\frac{1}{5}\\cdot n\\right) \\]\n\\[\\left(\\frac{1}{10}\\cdot\\frac{1}{5}\\right)\\cdot n \\]\n\\[\\frac{1}{50}\\cdot n \\]\n\\[\\frac{2}{100}\\cdot n \\]\n\\[2\\%\\text{ de }n \\]\n
","tipo":"p"},{"esp":"Así, para obtener el porcentaje de un porcentaje de una cantidad, se multiplica la cantidad original por los decimales o fracciones, que representan los porcentajes.\n
","eng":"So, to get the percentage of a percentage of a quantity, multiply the original quantity by the decimals or fractions, which represent the percentages.\n
","tipo":"p"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Porcentaje como medida relativa","eng":"Percentage as a relative measure"},{"esp":"Es importante que las y los estudiantes noten que los resultados de porcentajes\ndependen de la cantidad de referencia. Por ejemplo:\n
","tipo":"p","eng":"It is important for students to note that the percentage results\ndepend on the reference amount. For example:\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/imgs/2.png","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/imgs/esp/2.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","escala":"50","alinea":"texto-centrado"},{"tipo":"p","eng":"It can be seen that, despite the fact that 25% is being calculated, the resulting amounts are different, this is because the referents are different. By having a larger reference, 25% of said amount is also larger.","esp":"Se puede observar que, pese a que se está calculando el 25%, las cantidades resultantes son distintas, esto es porque los referentes son distintos. Al tener un referente mayor, el 25% de dicha cantidad también es mayor."},{"eng":"On the other hand, it may happen that when comparing 25% with 35%, your students mistakenly think that the latter is strictly higher, however, this depends on the referent as observed below.","tipo":"p","esp":"Por otro lado puede ocurrir que al comparar el 25% con un 35% sus estudiantes piensen equivocadamente que este último es estrictamente mayor, sin embargo, esto depende del referente tal como se observa a continuación."},{"caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/imgs/esp/3.png","escala":"50","tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/imgs/3.png","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"Percentage Representations","tipo":"h3","esp":"Representaciones de porcentajes"},{"esp":"En el caso de las representaciones de cantidades expresadas en porcentajes de la\nsituación, se espera que sean aproximadas y no exhaustivas, pero que reflejen la\nrelación entre los datos. \n
","tipo":"p","eng":"In the case of representations of quantities expressed as percentages of the\nsituation, they are expected to be approximate and not exhaustive, but to reflect the\nrelationship between the data.\n
"},{"eng":"For example, in activity 1 of the Activity Sheet, students could draw the following diagrams or diagrams:\n
","tipo":"p","esp":"Por ejemplo en la actividad 1 de la Hoja de Actividades, las y los estudiantes podrían dibujar los siguientes diagramas o esquemas:\n
"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/imgs/esp/4.png","caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","escala":"75","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/imgs/4.png"},{"esp":"Estimación de porcentajes","eng":"Estimation of percentages","tipo":"h3"},{"eng":"In percentage calculations, it is suggested that your students assess the relevance of the results through estimation. For example, when calculating 97.5% of 1348, they are expected to recognize that the result is close to that number since it is almost 100% of it.","esp":"En los cálculos de porcentajes, se sugiere que sus estudiantes valoren la pertinencia de los resultados a través de la estimación. Por ejemplo, al calcular el 97,5% de 1348, se espera que reconozcan que el resultado es cercano a ese número ya que es casi el 100% de él. ","tipo":"p"},{"esp":"Uso de calculadora","tipo":"h3","eng":"Calculator use"},{"tipo":"p","esp":"Se sugiere usar la calculadora, procurando que sus estudiantes calculen porcentajes\nexpresándolos en decimales y así multipliquen los números (operador multiplicativo\ndecimal). Por ejemplo, para el 2,5% de 1348, se espera que calculen 0,025 · 1348.","eng":"It is suggested to use the calculator, ensuring that your students calculate percentages\nexpressing them in decimals and thus multiply the numbers (multiplicative operator\ndecimal). For example, for 2.5% of 1348, they are expected to calculate 0.025 · 1348."},{"tipo":"p","eng":"Consider that some calculators when typing \"%\" transform the percentage into\ndecimal, which can help your students recognize that percent can be\ncan be expressed as a decimal multiplicative operator.","esp":"Considerar que algunas calculadoras al teclear “%”, transforman el porcentaje en\ndecimal, lo cual puede ayudar a que sus estudiantes reconozcan que el porcentaje se\npuede expresar como un operador multiplicativo decimal.\n"},{"esp":"Por ejemplo, al teclear en la calculadora estos pasos: 1348 ⋅ 2,5%, se muestra la multiplicación realizada, esto es,","tipo":"p","eng":"For example, when typing in the calculator these steps: 1348 ⋅ 2.5%, the multiplication performed is shown, that is,"},{"escala":"25","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/imgs/5.png","alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/imgs/5.png","tipo":"img"}]},"3":{"contenido":[{"eng":"Lack of water","tipo":"h3","esp":"Escasez de agua"},{"eng":"“Access to safe drinking water is a fundamental human need and, in\nconsequently, a basic human right” (UN). It is currently estimated that\nconsumes 54% of the fresh water available per year and, according to UNESCO, in the middle of the\nXXI century the world population will reach 12,000 million inhabitants, the\nDemand will have doubled and the use of our planet's water reserves\nwill reach its limit. Today almost one fifth of the world's population lives in\nareas of physical water scarcity, and about a quarter of the world's population,\nfaces situations of economic water scarcity, where countries lack the\nnecessary infrastructure to transport water from rivers and aquifers.\n\n
","esp":"“El acceso a agua apta para el consumo es una necesidad humana fundamental y, en\nconsecuencia, un derecho humano básico” (ONU). Se estima que actualmente se\nconsume al año el 54% del agua dulce disponible (es decir, de toda el agua dulce que se renueva cada año a través del ciclo hidrológico) y, según la UNESCO, a mediados del\nsiglo XXI, cuando la población mundial alcance los 12.000 millones de habitantes, la\ndemanda se habrá duplicado y el uso de las reservas hídricas de nuestro planeta\nllegará a su límite. Actualmente casi una quinta parte de la población mundial vive en\náreas de escasez física de agua, y alrededor de un cuarto de la población mundial, se\nenfrenta a situaciones de escasez económica de agua, donde los países carecen de la\ninfraestructura necesaria para transportar el agua desde ríos y acuíferos.\n\n
","tipo":"p"},{"caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/imgs/6.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/imgs/6.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"25","tipo":"img","alinea":"texto-centrado"},{"tipo":"h3","eng":"Sweet water","esp":"Agua dulce"},{"esp":"El agua dulce contiene cantidades mínimas de sales disueltas, de ahí su nombre para distinguirla del agua salada. Estas se encuentran en: \n
","tipo":"p","eng":"Fresh water contains trace amounts of dissolved salts, hence its name to distinguish it from salt water. These are found at:\n
"},{"eng":"Glaciers and polar caps","esp":"Glaciares y casquetes polares","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Los glaciares son grandes masas de hielo que se forman en zonas montañosas y\npolares. Están compuestos por nieve que se acumula durante siglos y se compacta\nhasta convertirse en hielo. Los glaciares son importantes porque actúan como\nreguladores del clima y del suministro de agua dulce. Sin embargo, la transformación\nde los glaciares en agua apta para el consumo no es una práctica viable aún, debido a\nlos desafíos técnicos, económicos y ambientales que conlleva.\n
","eng":"Glaciers are large masses of ice that form in mountainous areas and\npolar. They are made up of snow that accumulates over centuries and compacts\nuntil it turns to ice. Glaciers are important because they act as\nregulators of climate and fresh water supply. However, the transformation\nof glaciers into water suitable for consumption is not yet a viable practice, due to the\nthe technical, economic and environmental challenges that it entails.\n
"},{"tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/imgs/7.png","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/imgs/7.png"},{"tipo":"h4","esp":"Napas subterráneas y acuíferos ","eng":"Groundwater and aquifers"},{"eng":"Groundwater tables are layers of water that lie below the surface\nterrestrial and are recharged by rain and water that infiltrates the soil. fresh water\nin groundwater is an important source of water for consumption and for\nagriculture in many parts of the world.\n
","esp":"Las napas subterráneas son capas de agua que se encuentran debajo de la superficie\nterrestre y se recargan con la lluvia y el agua que se infiltra en el suelo. El agua dulce\nen napas subterráneas es una importante fuente de agua para el consumo y para la\nagricultura en muchas partes del mundo.\n
","tipo":"p"},{"esp":"Sin embargo, hay ciertos factores que condicionan que el agua subterránea no sea\nrecomendable para su consumo: la contaminación debido a la eliminación inadecuada\nde residuos agrícolas e industriales. También puede contener minerales y otros\ncomponentes perjudiciales para la salud, por lo que es importante asegurarse que el\nagua subterránea sea monitoreada y tratada adecuadamente antes de ser utilizada\ncomo fuente de agua potable.\n
","eng":"However, there are certain factors that determine that groundwater is not\nrecommended for consumption: contamination due to improper disposal\nagricultural and industrial waste. It may also contain minerals and other\ncomponents harmful to health, so it is important to ensure that the\ngroundwater is properly monitored and treated before it is used\nas a source of drinking water.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/imgs/8.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/imgs/8.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"25"},{"esp":"El monocultivo desregulado de especies, como el eucalipto y el pino, favorece el secado de pozos y aguas subterráneas. \n
","eng":"The unregulated monoculture of species, such as eucalyptus and pine, favors the drying up of wells and groundwater.\n
","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/imgs/9.png","tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"25","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/imgs/9.png"},{"tipo":"h4","esp":"Aguas superficiales y aptas para el consumo","eng":"Surface waters and suitable for consumption"},{"tipo":"p","esp":"El agua que se encuentra en ríos, lagos, embalses, y humedales se puede usar para el\nconsumo humano, para esto es necesario que se realice previamente un tratamiento\nadecuado para eliminar cualquier contaminante que pueda estar presente.\n
","eng":"Water found in rivers, lakes, reservoirs, and wetlands can be used for\nhuman consumption, for this it is necessary to carry out a previous treatment\nadequate to remove any contaminants that may be present.\n
"},{"tipo":"p","esp":"El agua debe cumplir ciertos estándares de calidad que son establecidos por las\nautoridades sanitarias de cada país. En general, el agua apta para el consumo humano\ndebe ser clara, sin sabor u olor y estar libre de contaminantes como bacterias, virus,\nmetales pesados y químicos tóxicos.\n
","eng":"The water must meet certain quality standards that are established by the\nhealth authorities of each country. In general, water suitable for human consumption\nIt must be clear, without taste or odor and be free of contaminants such as bacteria, viruses,\nheavy metals and toxic chemicals.\n
"},{"escala":"25","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/imgs/10.png","tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/imgs/10.png"},{"tipo":"p","eng":"It is important to consider the geographical diversity of Chile, and consequently the place\nthat their students live and their experiences with water resources. For example, it is\nIt is possible that students from the southern zone of Chile consume water directly from\nsprings, rivers and slopes unlike students from cities that do not have\nthat possibility. Therefore, it is recommended to contextualize in their school reality, as well\nAlso, if you want more information about the water situation in Chile, you can visit Radiography of Water: Gap and Water Risk in Chile.\n
","esp":"Es importante considerar la diversidad geográfica de Chile, y por consecuencia el lugar\nque viven sus estudiantes y sus experiencias con el recurso hídrico. Por ejemplo, es\nposible que estudiantes de la zona sur de Chile, consuman agua en forma directa de\nmanantiales, ríos y vertientes a diferencia de estudiantes de ciudades que no tienen\nesa posibilidad. Por lo tanto se recomienda contextualizar esta situación a su realidad escolar. Para ello, el siguiente informe sobre la situación hídrica de Chile le puede ser de utilidad: Radiografía del Agua: Brecha y Riesgo Hídrico en Chile.\n
"}],"visible":true}}},"recursosProyecto":[],"recursos":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Infografía ","eng":"infographic"},{"eng":"The infographic presents some data on water on our planet, percentages of water and land and percentages of fresh and salt water, as well as different percentages related to water and our country.\n
","esp":"En la infografía se presentan algunos datos sobre el agua en nuestro planeta, porcentajes de agua y tierra y porcentajes de agua dulce y salada, además distintos porcentajes relacionados al agua y nuestro país. \n
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/pdfs/infografia_la_escasez_de_agua_horizontal.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/pdfs/Infografia_Agua.pdf","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/pdfs/infografia_la_escasez_de_agua_horizontal.pdf","tipo":"button","titulo":{"eng":"Descargar Infografia","esp":"Descargar Infografia"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/pdfs/Infografia_Agua.pdf","recurso":"Descarga"},{"esp":"Presentación (diapositivas 2 a 4)","tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 2 to 4)"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/ppt-escasez-agua.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/pdfs/v2%20Presentacion%20Escasez%20de%20agua.pdf","tipo":"pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/docs/v2%20Presentacion%20Escasez%20de%20agua.pptx","recurso":"descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/ppt-escasez-agua.pptx","titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"tipo":"button"}]},"2":{"contenido":[{"esp":"Hoja de Actividades","eng":"Worksheet","tipo":"h3"},{"eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.\n
","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/pdfs/v2%20Hoja%20de%20Actividades.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/Hoja%20de%20Actividades_7_U1_OA4.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/docs/v2%20Hoja%20de%20Actividades.docx","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/Hoja%20de%20Actividades_7_U1_OA4.docx","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":"Download Activity Sheet"}},{"esp":"Presentación (diapositivas 5 a 13)","tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 5 to 13)"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/pdfs/v2%20Presentacion%20Escasez%20de%20agua.pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/ppt-escasez-agua.pdf","tipo":"pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/docs/v2%20Presentacion%20Escasez%20de%20agua.pptx","tipo":"button","recurso":"descarga","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Download Presentation"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/ppt-escasez-agua.pptx"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"eng":"Presentation (slides 14 and 15)","esp":"Presentación (diapositivas 14 y 15)","tipo":"h3"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/ppt-escasez-agua.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/pdfs/v2%20Presentacion%20Escasez%20de%20agua.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/ppt-escasez-agua.pptx","recurso":"descarga","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Download Presentation"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/docs/v2%20Presentacion%20Escasez%20de%20agua.pptx"}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Guía Práctica","eng":"Practical Guide"},{"tipo":"p","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los\nestudiantes analicen la dispersión de datos en distintos contextos. Además, estos pueden\nser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la\nsituación\n
","eng":"This document proposes various exercises whose objective is that\nStudents analyze the dispersion of data in different contexts. Also, these can\nbe used to formatively assess the knowledge developed from the\nsituation\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/pdfs/v2%20Guia%20Practica.pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/pdfs/esp/Guia%20Practica.pdf","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escasez-agua/editables/esp/Guia%20Practica.docx","tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Guia práctica","eng":"Download practical guide"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/docs/v2%20Guia%20Practica.docx","recurso":"Descarga"}]}}}},"23":{"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Momento de enganche","eng":"latching moment","tipo":"h3"},{"eng":"(Slides 2 and 3, Presentation)","esp":"(Diapositivas 2 y 3, Presentación)","tipo":"h4"},{"esp":"Presente la Infografía “Los submarinos” y proponga preguntas como las siguientes, para asegurarse que las y los estudiantes comprendieron su contenido.
","eng":"Introduce the Infographic “The Submarines” and propose questions such as the following, to ensure that the students understood its content.
","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","eng":"Tell students that the purpose of the lesson is to study the time it takes to\ntransmitting a sound signal between two moving submarines. And, that they are going to address a\nproblem that corresponds to an idealized situation of this phenomenon.
","tipo":"p","esp":"Comente a sus estudiantes que el propósito de la lección es estudiar el tiempo que tarda en\ntransmitirse una señal sonora entre dos submarinos en movimiento. Y, que van a abordar un\nproblema que corresponde a una situación idealizada de este fenómeno.
"},{"tipo":"p","eng":"Read the problem posed in Activity 1 of the Activity Sheet with your students:\n
","esp":"Lea, en conjunto a sus estudiantes, el problema que se plantea en la Actividad 1 de la Hoja de Actividades:\n
"},{"recurso":"Actividades","eng":"Two submarines sailing at the same depth in the sea are heading towards each other. Submarine 1 sails at a speed of \\(15\\) \\(m/s\\) and submarine 2 sails at \\(20\\) \\(m/s\\).\n
\nTo communicate they use sound signals, which travel through seawater at a speed of \\(1500\\) \\(m/s\\). If at 12:00 hrs submarine 1 sends a signal to locate submarine 2, which is located at \\(10\\) \\(km\\) at that moment.\n
\nWhere will the two subs be when the bounce signal returns to Sub 1?\n
","esp":"Dos submarinos que navegan a la misma profundidad en el mar se dirigen el uno hacia el otro. El submarino 1 navega a una velocidad de \\(15\\) \\(m/s\\) y el submarino 2 lo hace a \\(20\\) \\(m/s\\). \n
\nPara comunicarse utilizan señales sonoras, las cuales viajan por el agua del mar a una velocidad de \\(1500\\) \\(m/s\\). Si a las 12:00 hrs el submarino 1 envía una señal para ubicar el submarino 2, el cual se ubica a \\(10\\) \\(km\\) en ese momento. \n
\n¿Dónde estarán los dos submarinos cuando la señal de rebote vuelva al submarino 1?\n
","tipo":"momento"},{"tipo":"p","esp":"Si es necesario, dé espacio para que las y los estudiantes expliquen la situación con sus propias palabras para verificar que todos hayan comprendido el problema. Además, se sugiere que pida a sus estudiantes que representen la situación con un diagrama (Tarea Matemática A).\n","eng":"This part suggests making sure that all of your students understand the problem. If necessary, allow space for students to explain the situation in their own words. In addition, it is suggested to ask your students for a representation of the initial situation.\n
"},{"tipo":"momento","recurso":"Destacado","eng":"Students are expected to represent the initial situation in a way similar to the following:\n
\n
","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/imgs/8.png\")
Se espera que las y los estudiantes representen la situación inicial de una manera similar a la que sigue:\n
\n
"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Part 1","esp":"Primera Parte"},{"eng":"(Slides 7 to 9, Presentation)","esp":"(Diapositivas 7 a 9, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Pregunte a sus estudiantes de qué manera podrían abordar el problema. Considere las ideas propuestas y encamine la discusión para que sus estudiantes planteen expresiones que permitan determinar la posición de los submarinos y de la onda sonora a partir del tiempo transcurrido (Tarea Matemática B). Para esto, pídales que respondan la pregunta 1 de la Hoja de Actividades.","eng":"It is suggested to ask your students how they could approach the problem. consider\nthe proposed ideas and lead the discussion so that your students come up with expressions that\nallow to determine the position of the submarines and the sound wave from the time\nelapsed. To do this, ask them to answer question 1 on the activity sheet.
"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"- \n
- \n
Students are expected to state the equations of motion for each submarine and\nof the sound wave. It should be considered that, since the speeds are measured in m/s, the\nDistance between submarines must be measured in meters.\n
","recurso":"Respuesta","tipo":"momento","esp":"En este caso, cuando hayan pasado t segundos, las las posiciones de los submarinos y las\nondas estarán dadas por las siguientes ecuaciones:
\n$$x = 15\\cdot {t} \\textnormal{ (posición del submarino 1, su posición inicial es cero)}$$\n$$y = 10000 - 20\\cdot {t}\\textnormal{ (posición del submarino 2)}$$\n$$z = 1500\\cdot {t} \\textnormal{ (posición de la señal sonora)}$$\n\nOtra opción, es que las y los estudiantes trabajen la distancia entre los submarinos en\nkilómetros, pero en este caso las velocidades deben estar en km/hr. \n"},{"esp":"Se espera que las y los estudiantes planteen las ecuaciones de movimiento de cada submarino y\nde la onda sonora. Se debe considerar que, dado que las velocidades se miden en m/s la\ndistancia entre los submarinos deben estar medidas en metros. En este momento de la clase puede ser recomendable hacer una puesta en común con los supuestos que se están asumiendo para plantear las ecuaciones de movimiento.\n","tipo":"p","eng":"At this point in the class it may be advisable to share a discussion with the\nassumptions that are being assumed to raise the equations of motion.\n
"},{"tipo":"p","eng":"It is suggested to transmit to your students that, to model this situation and make the problem\nis approachable for them given their knowledge, there are several assumptions:\n
","esp":"Se sugiere transmitir a sus estudiantes que, para modelar esta situación y lograr que el problema\nsea abordable para ellos dados sus conocimientos, hay varios supuestos:\n
"},{"eng":"- \n
- \n
These assumptions are based on considering that the variations in velocity due to currents\nmarine, to changes in density or temperature of the water, etc., will be negligible and affect\nminimally to the result of our problem. These assumptions allow us to use a\nknown model to solve it. For all of the above, we anticipate that our result is a\napproximation to what is observable in reality.\n
","esp":"Estos supuestos se basan en considerar que las variaciones en velocidad debidas a corrientes\nmarinas, a cambios de densidad o temperatura del agua, etc., serán despreciables y que afectan\nde manera mínima al resultado de nuestro problema. Estos supuestos nos permiten usar un\nmodelo conocido para resolverlo. Por todo lo anterior, anticipamos que nuestro resultado es una\naproximación a lo observable en la realidad.\n
"},{"esp":"Pregunte respecto de las maneras en que sus estudiantes proponen abordar el problema, pero ahora considerando las ecuaciones planteadas. Luego, se sugiere orientar a sus estudiantes en el trabajo que deben realizar. Específicamente, oriéntelos para que determinen el instante en que la onda sonora choca con el submarino 2 y las posiciones en las que se encuentran los submarinos en ese instante de tiempo. En esta parte las y los estudiantes igualan ecuaciones lineales y determinan la solución (Tarea Matemática C). Para esto, pídales que respondan las preguntas 2 y 3 de la Hoja de Actividades:","eng":"Ask about ways your students propose to approach the problem, but\nnow considering the proposed equations. Then, it is suggested to guide your students in the\nwork they must do. Specifically, guide your students in determining the\ninstant in which the sound wave collides with submarine 2 and the positions in which\nfind the submarines at that instant of time. For this, ask them to answer the\nquestions 2 and 3 of the activity sheet.
","tipo":"p"},{"esp":"(Diapositivas 10 a 14, Presentación)","eng":"(Slides 10 to 14, Presentation)","tipo":"h4"},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","eng":"- \n
- \n
To guide the work of the first question, you can make the following return: What\nequation allows us to express the collision of the wave with the submarine 2?.\n
","esp":"Para orientar el trabajo de la primera pregunta, puede hacer la siguiente devolución: ¿Qué\necuación nos permite expresar el choque de la onda con el submarino 2?.\n
"},{"eng":"It is suggested that these questions be addressed as a group by your students.\n
","tipo":"p","esp":"Se sugiere que estas preguntas sean abordadas de manera grupal por sus estudiantes.\n
"},{"recurso":"Respuesta","esp":"La ecuación lineal que permite determinar el instante de tiempo s en que la onda sonora choca con el submarino 2 es:\n
\n\\[ 1500\\cdot t = 10000 - 20\\cdot {t} \\]\n\\[ t = \\frac{10000}{1520} = \\frac{125}{19} \\approx 6,58 \\]
\nPor lo tanto, han transcurridos 6,58 segundos aproximadamente desde que el submarino 1 emite la onda sonora y ésta choca con el submarino 2, es decir aproximadamente a las 12:00:6,58 la onda sonora choca con el submarino 2. Además, el submarino 1 ha avanzado \\(x=15\\cdot \\frac{125}{19}=\\frac{1875}{19}\\) que corresponde a \\(98,68\\) metros aproximadamente respecto del punto 0. Y, el submarino 2 ha avanzado \\(20\\cdot\\frac{125}{19}=131,58\\) metros aproximadamente, es decir, queda ubicado aproximadamente en el metro \\(9868,42\\).\n
","tipo":"momento","eng":"The linear equation that allows us to determine the instant of time s in which the sound wave collides with submarine 2 is:\n
\n\\[ 1500\\cdot t = 10000 - 20\\cdot {t} \\]\n\\[ t = \\frac{10000}{1520} = \\frac{125}{19} \\approx 6.58 \\]
\nTherefore, approximately 6.58 seconds have elapsed since submarine 1 emits the sound wave and it collides with submarine 2, that is, at approximately 12:00:6.58 the sound wave collides with the submarine 2. In addition, submarine 1 has advanced \\(x=15\\cdot \\frac{125}{19}=\\frac{1875}{19}\\) which corresponds to \\(98.68\\) meters approximately with respect to the point 0. And, submarine 2 has advanced \\(20*\\frac{125}{19}=131.58\\) meters approximately, that is, it is located approximately at meter \\(9868.42\\).\n
"},{"esp":"Segunda Parte","eng":"Part 2","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","eng":"(Slides 15 to 17, Presentation)","esp":"(Diapositivas 15 a 17, Presentación)"},{"esp":"Pida a sus estudiantes realizar una nueva representación de la situación considerando las nuevas ubicaciones de los submarinos una vez que la onda sonora rebotó con el submarino 2 (Tarea Matemática A). Para esto pídales que respondan la pregunta 4 de la Hoja de Actividades. ","eng":"Ask students to re-enact the situation considering the new\nlocations of the submarines once the sound wave bounced off the submarine 2. For this\nask them to answer question 4 on the activity sheet.\n
","tipo":"p"},{"esp":"- \n
- \n
The following describes two possible diagrams that may pose the\nstudents. The first one considers the places where the submarines are located at the instant\nin which the sound wave emitted by submarine 1 collides with submarine 2. The second\nrepresentation, consider the new locations, but place submarine 1 at position 0,\nthat is, a new reference origin.\n
\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/imgs/9.png\")
Which is equivalent to:
\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/imgs/10.png\")
Discuss with your students the two representations so that both are understood by your students.\n
","tipo":"momento","esp":"A continuación, se describen dos posibles diagramas que pueden plantear las y los\nestudiantes. La primera, considera los lugares donde se ubican los submarinos en el instante\nen que la onda sonora emitida por el submarino 1 choca con el submarino 2. La segunda\nrepresentación, considera las nuevas ubicaciones, pero ubica al submarino 1 en la posición 0,\nes decir, un nuevo origen de referencia.\n
\n
\nLa cual es equivalente a:
\n
\nDiscuta con sus estudiantes las dos representaciones para que ambas sean comprendidas por sus estudiantes.\n
"},{"esp":"Oriente el trabajo para que sus estudiantes planteen la ecuación que permite determinar el\ntiempo que debe transcurrir para que la señal de rebote que sale desde el submarino 2 llegue al\nsubmarino 1. Se sugiere un trabajo grupal para esta parte de la lección. Para esto pídales que\nrespondan la pregunta 5 de la hoja de actividades.\n
","eng":"Guide the work so that your students raise the equation that allows to determine the\ntime that must elapse for the bounce signal coming from submarine 2 to reach the\nsubmarine 1. Group work is suggested for this part of the lesson. For this ask them to\nAnswer question 5 on the activity sheet.\n
","tipo":"p"},{"eng":"(Slides 18 to 22, Presentation)","esp":"(Diapositivas 18 a 22, Presentación)","tipo":"h4"},{"recurso":"Actividades","eng":"- \n
- \n
Se espera que las y los estudiantes realicen lo siguiente:\n
\n\n\\[ 15\\cdot {t} = {9769,74} - 1.500 \\cdot {t} \\]\n\\[ t = {9769,74}:1515 \\]\n\\[ t = {6,45} \\]\n
\nEs decir, la onda de rebote se demora \\(6,45\\) segundos en ir del submarino 2 al submarino 1.\n
","eng":"Students are expected to:\n
\n\n\\[ 15\\cdot {t} = {9769.74} - 1,500 \\cdot {t} \\]\n\\[ t = {9769.74}:1515 \\]\n\\[ t = {6.45} \\]\n
\nThat is, it takes the bouncing wave \\(6.45\\) seconds to go from submarine 2 to submarine 1.\n
"},{"tipo":"h4","eng":"(Slides 23 and 24, Presentation)","esp":"(Diapositivas 23 y 24, Presentación)"},{"esp":"Luego, pida a las y los estudiantes responder a la pregunta inicial del problema (descrito en la Hoja de actividades), es decir, dónde estarán los dos submarinos cuando la señal de rebote vuelva al submarino 1. En esta parte las y los estudiantes deberán evaluar expresiones algebraicas para determinar su valor en un determinado tiempo (Tarea Matemática D).\n","eng":"Next, ask students to answer the initial question of the problem (described in the Activity Sheet), i.e., where will the two submarines be when the bouncing signal returns to the submarine? 1.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","esp":"Una posible manera de pensar la solución es la siguiente:\n
\nEn ir del submarino 1 al submarino 2, la onda sonora se demora \\(6,58\\) segundos. En volver del submarino 2 al submarino 1 la onda se demora \\(6,45\\). Así, el tiempo de demora de ir desde el submarino 1 y volver a este es de \\(13,03\\) segundos aproximadamente. Considerando las ecuaciones planteadas en el inicio de la parte 1 y reemplazando \\(t = 13,03\\) se tiene:\n
\n\n$$x = 15\\cdot {t}$$\n$$x = 15 \\cdot {13,03} = 195,45$$\n$$y = 10000 - 20\\cdot {t}$$\n$$y = 10000 - 20 \\cdot {13,03} = 9739,40$$\n
\n\nEn conclusión, una vez que la onda vuelve al submarino 1, este queda ubicado en el metro \\(195,45\\) y el submarino 2 queda ubicado en el metro \\(9739,40\\). Además, esto sucede a las 12:00:13 aproximadamente. \n
\n","recurso":"Respuesta","eng":"A possible way to think about the solution is as follows:\n
\nIn going from submarine 1 to submarine 2, the sound wave takes \\(6.58\\) seconds. The wave takes \\(6.45\\) to return from submarine 2 to submarine 1. Thus, the delay time to go from submarine 1 and return to it is approximately \\(13.03\\) seconds. Considering the equations raised at the beginning of part 1 and replacing \\(t = 13.03\\) we have:\n
\n\n$$x = 15\\cdot {t}$$\n$$x = 15 \\cdot {13.03} = 195.45$$\n$$y = 10000 - 20\\cdot {t}$$\n$$y = 10000 - 20 \\cdot {13.03} = 9739.40$$\n
\n\nIn conclusion, once the wave returns to submarine 1, it is located at meter \\(195.45\\) and submarine 2 is located at meter \\(9739.40\\). Also, this happens at about 12:00:13.\n
"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Sistematización"},{"esp":"(Diapositivas 25 a 28, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slides 25 to 28, Presentation"},{"tipo":"p","esp":"Se sugiere que en una discusión grupal se aborden los siguientes puntos:\n
","eng":"It is suggested that in a group discussion the following points be addressed:\n
"},{"eng":"Presente a sus estudiantes la Guía práctica. Esta tiene por objetivo que las y los estudiantes\nmodelen situaciones de la vida real usando ecuaciones lineales. Se sugiere que primero se dé el\ntiempo para que trabajen los dos primeros ejercicios de la guía. Luego, se sugiere proponer a las\ny los estudiantes trabajar en el tercer ejercicio de la guía, esta tarea puede ser utilizada para\nevaluar formativamente el siguiente indicador:\n
","eng":"Introduce your students to the How-To Guide. The objective of this is that the students\nmodel real life situations using linear equations. It is suggested that first the\ntime for them to work on the first two exercises in the guide. Then, it is suggested to propose to the\nand students work on the third exercise in the guide, this task can be used to\nformatively evaluate the following indicator:\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"La infografía “Los submarinos” explica qué son los submarinos, para qué se usan y cómo funciona el sonar. Esto último será relevante para abordar el problema central de la clase.\n
","tipo":"p","eng":"The “Submarines” infographic explains what submarines are, what they are used for, and how sonar works. The latter will be relevant to address the central problem of the class.\n
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/pdfs/infografia_transmisi%C3%B3n_de_sonido_en_submarinos_horizontal.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/pdfs/Infografia_submarino.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/pdfs/infografia_transmisi%C3%B3n_de_sonido_en_submarinos_horizontal.pdf","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Descargar Infografia","esp":"Descargar Infografia"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/pdfs/Infografia_submarino.pdf"},{"esp":"Presentación (diapositivas 2 a 6)","eng":"Presentation (slides 2 to 6)","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/pdfs/Presentacion%208vo_U2_OA8.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/pdfs/Presentacion%208vo_U2_OA8.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Descargar Presentación"},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/docs/Presentacion%208vo_U2_OA8.pptx","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/docs/Presentacion%208vo_U2_OA8.pptx"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"eng":"Worksheet","esp":"Hoja de actividades","tipo":"h3"},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.\n
","eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/pdfs/Hoja%20de%20Actividades%208vo_U2_OA8.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/pdfs/Hoja%20de%20Actividades%208vo_U2_OA8.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":"Download Activity Sheet"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/docs/Hoja%20de%20Actividades%208vo_U2_OA8.docx","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/docs/Hoja%20de%20Actividades%208vo_U2_OA8.docx","recurso":"Descarga"},{"tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 7 to 24)","esp":"Presentación (diapositivas 7 a 24)"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/pdfs/Presentacion%208vo_U2_OA8.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/pdfs/Presentacion%208vo_U2_OA8.pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/docs/Presentacion%208vo_U2_OA8.pptx","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Download Presentation"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/docs/Presentacion%208vo_U2_OA8.pptx","tipo":"button"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 25 a 28 )","eng":"Presentation (slides 25 to 28)","tipo":"h3"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/pdfs/Presentacion%208vo_U2_OA8.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/pdfs/Presentacion%208vo_U2_OA8.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/docs/Presentacion%208vo_U2_OA8.pptx","tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/docs/Presentacion%208vo_U2_OA8.pptx","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Download Presentation"}}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"eng":"Practical Guide","esp":"Guía Práctica","tipo":"h3"},{"eng":"This document proposes various exercises whose objective is that\nStudents analyze the dispersion of data in different contexts. Furthermore, these\ncan be used to formatively assess knowledge\ndeveloped from the situation.\n
","tipo":"p","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los\nestudiantes analicen la dispersión de datos en distintos contextos. Además, estos\npueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos\ndesarrollados a partir de la situación.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/pdfs/Guia%20Practica%208vo_U2_OA8.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/pdfs/Guia%20Practica%208vo_U2_OA8.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica","eng":"Download Practical Guide"},"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/docs/Guia%20Practica%208vo_U2_OA8.docx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/docs/Guia%20Practica%208vo_U2_OA8.docx","recurso":"Descarga"}],"visible":true}}},"aspectosAConsiderar":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Planteamiento del modelo"},{"esp":"En la situación presentada se requiere modelar el movimiento de dos submarinos. Para simplificar su movimiento, en el problema planteado se hace el supuesto de que su movimiento es unidimensional, y que se acercan uno al otro a velocidad constante, como se detalla en el siguiente diagrama:\n
","eng":"In the situation presented, it is required to model the movement of two submarines. To simplify their movement, the problem posed assumes that their movement is one-dimensional, and that they approach each other at constant speed, as detailed in the following diagram:\n
","tipo":"p"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/imgs/2.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/imgs/2.png","alinea":"texto-centrado","tipo":"img"},{"tipo":"p","esp":"Este tipo de diagrama permite a los y las estudiantes incorporar toda la\ninformación relevante para plantear un modelo lineal, como se detalla en los\nAspectos Didácticos. En este caso el supuesto de modelamiento que permite\nsimplificar la situación es que la velocidad de este frente de ondas también es\nconstante. Esta simplificación matemática se basa en que la velocidad de estas\nondas depende principalmente de la temperatura del agua, de la profundidad a\nque se encuentra y de la velocidad de las corrientes marinas que encuentra en\nsu trayectoria. Supondremos que la temperatura es homogénea en el trayecto,\nque los submarinos se encuentran a la misma profundidad, y que no hay\ncorrientes marinas. Estos supuestos de la situación real nos permiten hacer el\nsupuesto matemático de que la velocidad del frente de ondas es constante.\n
","eng":"This type of diagram allows students to incorporate all the\nrelevant information to propose a linear model, as detailed in the\nDidactic Aspects. In this case, the modeling assumption that allows\nsimplifying the situation is that the velocity of this wavefront is also\nconstant. This mathematical simplification is based on the fact that the speed of these\nwaves depends mainly on the temperature of the water, the depth at\nthat it finds and the speed of the sea currents that it finds in\nhis trajectory. We will assume that the temperature is homogeneous along the way,\nthat the submarines are at the same depth, and that there is no\nOcean currents. These assumptions of the real situation allow us to make the\nmathematical assumption that the velocity of the wave front is constant.\n
"},{"esp":"Un modelo de movimiento para un objeto cuya velocidad es constante requiere fijar un origen de referencia espacial y un instante inicial en que comienza a medirse el tiempo. En la situación, esto se hace dos veces: una vez al emitirse la señal y otra vez cuando rebota. Al emitirse la señal tenemos que:\n
","eng":"A motion model for an object whose velocity is constant requires setting a spatial reference origin and an initial instant at which time begins to be measured. In the situation, this is done twice: once when the signal is emitted and again when it bounces. When the signal is emitted we have to:\n
","tipo":"p"},{"eng":"While from when the signal bounces, we can redefine the spatial reference origin or not, according to our convenience, but it is very simplifying to redefine the initial instant at the moment the signal bounces, since the speed of the signal of interest changes sign from this moment on.\n
","tipo":"p","esp":"A partir del momento en que la señal rebota, podemos redefinir el origen de referencia espacial o no, según sea nuestra conveniencia, pero resulta muy simplificador redefinir el instante inicial al momento en que la señal rebota, pues la velocidad de la señal de interés cambia de signo a partir de este momento.\n"},{"esp":"Con estas consideraciones, podemos utilizar un modelo general para este tipo de movimiento:\n
","eng":"With these considerations, we can use a general model for this type of movement:\n
","tipo":"p"},{"escala":"75","alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/imgs/3.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/imgs/3.png","caption":{"eng":"","esp":""}},{"esp":"Este modelo nos permite plantear tanto las posiciones de los submarinos, como la posición del frente de ondas.
","tipo":"p","eng":"
\nThis model allows us to consider both the positions of the submarines and the position of the wave front.
"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Igualar ecuaciones lineales"},{"tipo":"p","esp":"\nLas ecuaciones aparecen al igualar cantidades que dependen de una variable en común. En esta situación estas cantidades corresponden a posiciones: en una instancia es la posición del submarino 2 y la del frente de ondas, y en otra instancia es la posición del frente de ondas que ha rebotado y la del submarino 1. \n
The equations appear by equating quantities that depend on a common variable. In this situation these quantities correspond to positions: in one instance it is the position of submarine 2 and that of the wave front, and in another instance it is the position of the rebounded wave front and that of submarine 1.\n
\nLa variable común en estos casos es el tiempo, que se convierte en la incógnita de las ecuaciones. \n","eng":"The common variable in these cases is time, which becomes the unknown in the equations.\n
"},{"tipo":"p","esp":"Manipular algebraicamente ecuaciones tiene por finalidad encontrar los valores\nde las variables que hacen que la igualdad se cumpla, es decir, determinar las\nsoluciones de la igualdad dada por la ecuación. Idealmente, esta manipulación\npermite despejar una variable para dar con las soluciones. Esto lo hacemos\naplicando las operaciones usuales (suma, resta, multiplicación y división) a\nambos lados de una igualdad de manera de que esta se mantenga.\n
","eng":"Manipulating equations algebraically has the purpose of finding the values\nof the variables that make the equality true, that is, determine the\nsolutions of the equality given in the equation. Ideally, this manipulation\nIt allows clearing a variable to find the solutions. This we do\napplying the usual operations (addition, subtraction, multiplication and division) to\nboth sides of an equality so that it is maintained.\n
"},{"eng":"In the case of linear equations with one variable, it is always possible to isolate\nthe unknown to determine if there is one, none, or infinitely many solutions. He\nprocedure is based on transforming the equation into an equivalent that\nhave the same solutions, but in which on one of the sides of the equation\nonly the unknown appears.\n
","tipo":"p","esp":"En el caso de ecuaciones lineales con una variable, siempre es posible despejar\nla incógnita para determinar si existe una, ninguna o infinitas soluciones. El\nprocedimiento se basa en transformar la ecuación en una equivalente que\ntenga las mismas soluciones, pero en la que en uno de los lados de la ecuación\naparece solo la incógnita.\n
"},{"tipo":"p","esp":"Otra manera de establecer si existen o no soluciones de una ecuación lineal es usando la representación de la expresión de cada lado de la igualdad en el plano cartesiano. Para una ecuación del tipo \\(ax + b = cx + d\\) esto se obtiene al graficar las rectas \\(y = ax + b\\) e \\(y = cx + d\\). En esa representación las rectas pueden intersecarse en un único punto, en ningún punto (son paralelas no coincidentes) o en infinitos puntos (son coincidentes).","eng":"Another way to establish whether or not there are solutions of a linear equation is by using the representation of the expression of each side of the equality in the Cartesian plane. For an equation of the type \\(ax b = cx d\\), there are three possible cases, which correspond to when the lines \\(y = ax b\\) and \\(y = cx d\\) intersect at a single point, are parallel and when are the same.\n
"},{"caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/imgs/4.png","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/imgs/4.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img"},{"esp":"Es importante tener en cuenta que en esta actividad no se aborda la búsqueda de las soluciones de una ecuación utilizando estas representaciones gráficas, pero estas podrían ser trabajadas en OA posteriores.\n
","tipo":"p","eng":"It is important to note that this activity does not address the search for solutions to an equation using these graphical representations, but these could be worked on in subsequent LOs.\n
"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Utilización de diagramas","tipo":"h3"},{"eng":"- \n
- \n
Unlike conventional ships, submarines are designed to\nsubmerge and emerge from the surface of the water and can operate at depths\nsignificant underwater. The buoyancy and sinking capacity of a\nsubmarine are due to their relative density and are controlled by filling and emptying\nof ballast tanks and the use of depth control systems. The\nSubmarines are used by the armed forces of many countries, for missions of\ndefense and submarine surveillance, are also used for scientific exploration of the\nbottom of the sea and there are even some tourist submarines.\n
","tipo":"p","esp":"A diferencia de los barcos convencionales, los submarinos están diseñados para\nsumergirse y emerger de la superficie del agua y pueden operar a profundidades\nsignificativas bajo el agua. La flotabilidad y la capacidad de hundimiento de un\nsubmarino se deben a su densidad relativa y se controlan mediante el llenado y vaciado\nde los tanques de lastre y el uso de sistemas de control de profundidad. Los\nsubmarinos son utilizados por las fuerzas armadas de muchos países, para misiones de\ndefensa y vigilancia submarina, también se utilizan para la exploración científica del\nfondo del mar e incluso existen algunos submarinos turísticos.\n
"},{"eng":"speed of submarines","esp":" Velocidad de los submarinos ","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"The speed of a submarine depends on several factors, such as the type of submarine, its design, its size, its propulsion system and the depth at which it is located.
","esp":"
The knot is the unit of measurement of speed which is commonly used in sea and air navigation.\n \nLa velocidad de un submarino depende de algunos factores, como el tipo de submarino, su diseño, su tamaño, su sistema de propulsión y la profundidad a la que se encuentra.
"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/imgs/6.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/imgs/6.png"},{"tipo":"p","eng":"
El nudo es la unidad de medida de velocidad que se utiliza comúnmente en la navegación marítima y aérea. \n \nIn general, modern submarines can reach speeds ranging from 20 to 30 knots (37 to 56 kilometers per hour) when cruising on the surface and between 20 and 40 knots (37 to 74 kilometers per hour) when they are submerged\n
","esp":"En general, los submarinos modernos pueden alcanzar velocidades que oscilan entre los 20 y los 30 nudos (37 a 56 kilómetros por hora) cuando navegan en superficie y entre los 20 y los 40 nudos (37 a 74 kilómetros por hora) cuando están sumergidos.\n
"},{"tipo":"h3","esp":"Propagación de las ondas sonoras","eng":"propagation of sound waves"},{"esp":"Comprender las ondas sonoras es importante ya que los submarinos utilizan el sonar el\ncual les permite detectar y localizar objetos en el agua.\nLas ondas sonoras son una forma de energía mecánica,a diferencia de las\nelectromagnéticas, requieren un medio para transmitirse. Además, la velocidad del\nsonido varía según el medio en el cual se propaga. Por ejemplo, las ondas sonoras se\npropagan mucho más rápido en el agua que en el aire, debido a su mayor densidad. De\nhecho, la velocidad en el agua en condiciones estándar de temperatura y presión es\naproximadamente cuatro veces mayor que en el aire.\n
","eng":"Understanding sound waves is important because submarines use sonar to\nwhich allows them to detect and locate objects in the water.\nSound waves are a form of mechanical energy, unlike\nElectromagnetic, require a medium to transmit. Furthermore, the speed of the\nSound varies according to the medium in which it propagates. For example, sound waves are\nThey propagate much faster in water than in air, due to their higher density. Of\nIn fact, the velocity in the water under standard conditions of temperature and pressure is\nabout four times greater than in air.\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/imgs/7.png","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/transmision_del_sonido_en_submarinos/imgs/7.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","escala":"50"},{"eng":"There are some factors that cause the speed of sound waves to vary such as the\ntemperature, salinity and water pressure. In the case of water temperature, at\nhigher temperature, higher elasticity of the water and as a result higher is the speed\nsound. Salinity will also play a role, since saltwater is denser than seawater.\nfresh water, which causes the speed of sound to increase in the sea. The pressure of\nwater can also influence the speed of sound, the greater the depth,\nthe greater the pressure and therefore the greater the speed of sound.\n
","tipo":"p","esp":"Existen algunos factores que hacen que la velocidad de las ondas sonoras varíe como la\ntemperatura, la salinidad y la presión del agua. En el caso de la temperatura del agua, a\nmayor temperatura, mayor elasticidad del agua y como resultado mayor es la velocidad\ndel sonido. La salinidad también influirá, ya que el agua salada es más densa que el\nagua dulce, lo que hace que en el mar aumenta la velocidad del sonido. La presión del\nagua también puede influir en la velocidad del sonido, cuanto mayor es la profundidad,\nmayor es la presión y por lo tanto mayor es la velocidad del sonido.\n
"}],"visible":true}}},"visible":true},"24":{"recursos":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"infographic","tipo":"h3","esp":"Infografía "},{"esp":"\tEn la infografía se describe el contexto de esta actividad, se definen disoluciones, se muestran ejemplos de uso común y se expresa la interpretación de porcentajes en este contexto.\n
","eng":"The infographic describes the context of this activity, defines solutions, shows examples of common use, and expresses the interpretation of percentages in this context.\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/pdfs/info_DIS.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/pdfs/infografia_telemedicina_y_disoluciones_horizontal.pdf","tipo":"pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/pdfs/info_DIS.pdf","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/pdfs/infografia_telemedicina_y_disoluciones_horizontal.pdf","titulo":{"eng":"Descargar Infografia ","esp":"Descargar Infografia "},"tipo":"button"},{"eng":"Presentation (slides 1 to 6)","esp":"Presentación (diapositivas 1 a 6)","tipo":"h3"},{"eng":"Below you can view and download the complete presentation.\n
","esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/pdfs/ppt-telemedicina.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/pdfs/ppt-telemedicina.pdf"},{"recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Descargar Presentación"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/docs/ppt-telemedicina.pptx","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/docs/ppt-telemedicina.pptx"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Worksheet","esp":"Hoja de actividades"},{"tipo":"p","esp":"En este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación. \n
","eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.\n
"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/pdfs/hoja-actividades-telemedicina.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/pdfs/hoja-actividades-telemedicina.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/docs/hoja-actividades-telemedicina.docx","tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/docs/hoja-actividades-telemedicina.docx","titulo":{"eng":"Download Activity Sheet","esp":"Descargar Hoja Actividades"}},{"tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 7 to 15)","esp":"Presentación (diapositivas 7 a 15)"},{"eng":"Below you can view and download the complete presentation.\n
","esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/pdfs/ppt-telemedicina.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/pdfs/ppt-telemedicina.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/docs/ppt-telemedicina.pptx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/docs/ppt-telemedicina.pptx"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 16 a 18)","tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 16-18)"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/pdfs/ppt-telemedicina.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/pdfs/ppt-telemedicina.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/docs/ppt-telemedicina.pptx","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/docs/ppt-telemedicina.pptx","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Download Presentation"},"tipo":"button"}]},"4":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Guía práctica","eng":"Practical Guide"},{"esp":"En la guía también se proponen ejercicios para que las y los estudiantes practiquen los contenidos estudiados en la clase.\n
","eng":"The guide also proposes exercises for students to practice the contents studied in class.\n
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/pdfs/guia-practica-telemedicina.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/pdfs/guia-practica-telemedicina.pdf","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/docs/guia-practica-telemedicina.docx","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/docs/guia-practica-telemedicina.docx","titulo":{"eng":"Download Practical Guide","esp":"Descargar Guía Práctica"},"tipo":"button"}]}}},"recursosProyecto":[],"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Engagement Moment","tipo":"h3","esp":"Momento de Enganche"},{"eng":"(Slide 2, Introduction)","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 2, Presentación) "},{"eng":"Begin the lesson by asking the following questions:
","esp":"Comience la lección planteando las siguientes preguntas:
","tipo":"p"},{"eng":"- \n
- \n
De tiempo para que las y los estudiantes discutan sobre estas preguntas y de importancia a la comprensión del contexto, identificando los conceptos de concentración y disolución, antes de comenzar la resolución del problema. Procure que aparezcan ejemplos de uso común como descongestionantes nasales en spray, que se utilizan para infantes.\n
","eng":"Allow time for students to discuss these questions and the importance of understanding the context, identifying the concepts of concentration and dissolution, before beginning problem solving. Look for examples of common use such as decongestant nasal sprays, which are used for infants.\n
","tipo":"p"},{"esp":"Presentación del problema","eng":"Presentation of the problem","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","eng":"(Slides 3 to 5, Introduction)","esp":"(Diapositivas 3 a 5, Presentación) "},{"esp":"Luego, proyecte la Infografía y leala en conjunto con las y los estudiantes. \n
","eng":"Then, project the Infographic and read it together with the students.\n
","tipo":"p"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/pdfs/infografia_telemedicina_y_disoluciones_horizontal.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/pdfs/info_DIS.pdf","recurso":"ModalPDF","tipo":"button"},{"tipo":"p","eng":"Ask questions such as the following to ensure that everyone has understood the content of the infographic:\n
","esp":"Proponga preguntas como las siguientes para asegurarse que todos han comprendido el contenido de la infografía:\n
"},{"eng":"- \n
- \n
The first question aims to check that students understand what the solutions are based on the information presented in the infographic. The second seeks to identify, based on the infographic and their personal experiences, possible daily uses.\n
","tipo":"p","esp":"La primera pregunta tiene como objetivo comprobar que los estudiantes comprenden que son las disoluciones a partir de la información presentada en la infografía. La segunda busca que identifiquen, en base a la infografía y sus experiencias personales, posibles usos cotidianos.\n
"},{"tipo":"p","esp":"La tercera pregunta será crucial para el trabajo de nuestra actividad, por lo que es importante que los estudiantes comprendan que significa el 0,9 %. Puede presentar distintos casos cambiando el porcentaje para asegurar que entiendan el significado.\n
","eng":"The third question will be crucial to our activity work, so it's important that students understand what 0.9% means. You can present different cases by changing the percentage to make sure they understand the meaning.\n
"},{"eng":"To end this moment, describe the situation that will be worked on in this class. Show slide 5 and read along with your students (note that this information is not present on your students' activity sheet, and is intended to contextualize the problem).","tipo":"p","esp":"Para finalizar este momento, describa la situación que se trabajará en esta clase. Muestre la diapositiva 5 y lea en conjunto con sus estudiantes (considere que esta información no está presente en la hoja de actividades de sus estudiantes, y pretende contextualizar el problema)."},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"75","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/imgs/pp_-05-01.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/imgs/pp_-05-01.png","caption":{"eng":"","esp":""}}]},"2":{"contenido":[{"eng":"First part","tipo":"h3","esp":"Primera parte"},{"esp":"A continuación, pídales que trabajen en la primera parte de la Hoja de Actividades.\n
","tipo":"p","eng":"Next, ask them to work on the first part of the Activity Sheet.\n
"},{"tipo":"momento","esp":"Antonia da la indicación a Marcos de preparar 500 mL de disolución salina al 8 %. Como esta disolución no es muy común, Marcos le indica que cuenta con soluciones salinas al 0,9 % y al 24 %. \n
\nAntonia va a realizar los cálculos para identificar cuántos mL de cada uno necesita para lograr la concentración deseada. Ella comenzó definiendo dos variables: \n
\n- \n
Luego, planteó la ecuación x + y = 500.\n
\n- \n
","recurso":"Actividades","eng":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/imgs/pp_-06.png\")
Antonia tells Marcos to prepare 500 mL of 8% saline solution. As this solution is not very common, Marcos tells you that he has saline solutions at 0.9% and 24%.\n
\nAntonia is going to perform the calculations to identify how many mL of each she needs to achieve the desired concentration. She started by defining two variables:\n
\n- \n
Next, she set up the equation x y = 500.\n
\n- \n
"},{"esp":"Dé tiempo para que las y los estudiantes aborden estas preguntas y luego pida que compartan sus respuestas con el curso. La primera pregunta busca que le den sentido a la ecuación en base al contexto y confirmar su comprensión de las variables y cómo se relacionan.\n
","eng":"Allow time for students to address these questions and then have them share their answers with the class. The first question asks you to make sense of the equation based on the context and confirm your understanding of the variables and how they are related.\n
","tipo":"p"},{"eng":"The second question asks them to recognize that x and y are two unknowns with values to be determined, which allows them to introduce the concept of an equation with two variables.","esp":"La segunda pregunta busca que reconozcan que x e y son dos incógnitas con valores a determinar, lo que permite introducir el concepto de ecuación con dos variables.","tipo":"p"},{"eng":"Finally, the idea of question 3 is that you notice that the equation has more than one solution and that in fact there are many others. This question leads to graphing the solutions and showing that the solution set has infinitely many points and corresponds to a line. You can support this understanding by showing the following graph of the line described by x y = 500.","esp":"Finalmente, la idea de la pregunta 3 es que noten que la ecuación tiene más de una solución y que de hecho existen muchas otras. Esta pregunta da paso para representar las soluciones en un gráfico y mostrar que el conjunto de solución tiene infinitos puntos y corresponde a una recta. Puede apoyar esta comprensión mostrando el siguiente gráfico de la recta descrita por x + y = 500.","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/imgs/pp_-07.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/imgs/pp_-07.png","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","escala":"50"},{"esp":"A continuación, plantee al curso las siguientes preguntas:\n
","eng":"Next, ask the class the following questions:\n
","tipo":"p"},{"esp":"- \n
- \n
Allow students time to address these questions, then have them share their answers with the class.\n
","esp":"Dé un tiempo para que las y los estudiantes aborden estas preguntas y luego pida que compartan sus respuestas con el curso. \n
"},{"tipo":"p","esp":"La pregunta 1 se tiene como objetivo reforzar la interpretación de la ecuación en el contexto y que todos los pares de puntos sobre la recta cumple con la condición de sumar 500 mL. \n
","eng":"Question 1 aims to reinforce the interpretation of the equation in the context and that all pairs of points on the line meet the condition of adding 500 mL.\n
"},{"eng":"Question 2 aims to discover that there are infinitely many combinations of points that satisfy this equation, but with only this information it is not possible to determine the combination of quantities that Marcos should use.\n
","tipo":"p","esp":"La pregunta 2 apunta a descubrir que existen infinitas combinaciones de puntos que cumplen con esa ecuación, pero que con solo esa información no es posible determinar la combinación de cantidades que debe utilizar Marcos.\n
"},{"eng":"The third question has the purpose of recognizing that although the point (–100, 600) shown in the projected graph, satisfies the equation (since –100 600 = 500< /i>), it is discarded as it is not relevant in the context.","esp":"La tercera pregunta, tiene el propósito de reconocer que si bien el punto (–100, 600) que se muestra en el gráfico proyectado, cumple con la ecuación (pues –100 + 600 = 500), esta se descarta, ya que no es pertinente en el contexto.","tipo":"p"},{"recurso":"Destacado","tipo":"momento","esp":"Es posible que haya estudiantes que no conozcan el concepto de infinito. En casos como este, puede plantear ejemplos o situaciones que movilicen el razonamiento de infinito desde lo concreto hacia la abstracción, pudiendo abordarlo por medio de la enumeración, medida, temporalidad, etc.
","eng":"Students may not be familiar with the concept of infinity. In cases like this, you can propose examples or situations that mobilize the reasoning of infinity from the concrete to the abstract, being able to approach it through enumeration, measurement, temporality, etc.
"},{"tipo":"h3","eng":"Second part","esp":"Segunda parte"},{"eng":"To make them notice that the equation already presented by itself is not enough to find the desired quantities, ask the following question.\n
","tipo":"p","esp":"Para hacerles notar que la ecuación ya presentada por sí sola, no es suficiente para encontrar las cantidades deseadas, proponga la siguiente pregunta.\n
"},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"Considerando puntos de la recta anterior, ¿con todos ellos o solo con algunos se puede lograr una disolución del 8 %?
","eng":"Considering points of the previous line, can a dissolution of 8% be achieved with all of them or only with some?
"},{"esp":"Luego de que compartan sus respuestas, los alumnos pueden indicar que no tienen información suficiente. Antes de continuar con las actividades, haga notar que no todos los puntos de esta recta logran una concentración del 8 % puede tomar, por ejemplo, el punto (100, 400) y calcular la concentración final dada. También es de utilidad para anticipar la ecuación que viene a continuación.","tipo":"p","eng":"After they share their responses, students can indicate that they do not have enough information. Before continuing with the activities, note that not all points on this line achieve a concentration of 8%. You can take, for example, the point (100, 400) and calculate the given final concentration. It is also useful to anticipate the equation that follows."},{"esp":"0,08・500: ______________________________________________________\n
\n0,009・x :______________________________________________________\n
\n0,24・y :______________________________________________________\n
","eng":"0.08・500: ______________________________________________________\n
\n0.009・x :______________________________________________________\n
\n0.24・y :______________________________________________________\n
","recurso":"Actividades","tipo":"momento"},{"tipo":"p","esp":"Esta parte tiene por objetivo que los y las estudiantes interpreten las expresiones anteriores de acuerdo al contexto, asociándolos al porcentaje de disolución que corresponda. \n
","eng":"The purpose of this part is for students to interpret the above expressions according to the context, associating them with the corresponding dissolution percentage.\n
"},{"tipo":"p","esp":"Mencione que la expresión 0,08・500 corresponde al cálculo de masa de soluto en 500 mL, pues:","eng":"Mention that the expression 0.08・500 corresponds to the calculation of the mass of solute in 500 mL, since:"},{"eng":"\\[ 0.08 \\frac{g}{mL} \\cdot 500 mL= 40g \\]","esp":"\\[ 0,08 \\frac{g}{mL} \\cdot 500 mL= 40g \\]","tipo":"p"},{"eng":"In this sense, 0.08 does not correspond to a percentage in a mathematical sense, in fact, it has associated units: [ g/ml ] and percentages (in a mathematical sense) are dimensionless. You can ask them questions so they can interpret the other expressions.","esp":"En este sentido, el 0,08 no corresponde a un porcentaje en sentido matemático, de hecho, tiene asociado unidades : [ g/ml ] y los porcentajes (en sentido matemático) son adimensionales. Puede plantearles preguntas para que interpreten las otras expresiones.","tipo":"p"},{"eng":"Then show slide 10 with the second equation, which corresponds to the condition of obtaining 8% concentration and can be written as:\n
","esp":"Luego, muestre la diapositiva 10 con la segunda ecuación, que corresponde a la condición de obtener 8 % de concentración y que puede ser escrita como:\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"\\[ 0.009・x 0.24・y = 0.08・500 \\]\n
","esp":"\\[ 0,009・x + 0,24・y = 0,08・500 \\]\n
"},{"tipo":"p","esp":"De manera similar al trabajo con la primera ecuación, puede plantear al curso las siguientes preguntas:\n
","eng":"Similar to working with the first equation, you can ask the class the following questions:\n
"},{"recurso":"Pregunta","eng":"- \n
","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/imgs/pp_-08.png\")
- \n
","tipo":"momento"},{"esp":"Pídales que registren la información analizada en su Hoja de Actividades, además que interpreten dichas ecuaciones en el contexto.\n
","eng":"Ask them to record the information they analyzed on their Activity Sheet, as well as to interpret these equations in context.\n
","tipo":"p"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/imgs/pp_-09.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/imgs/pp_-09.png","alinea":"texto-centrado","tipo":"img"},{"tipo":"momento","esp":"Es posible que haya estudiantes que describan matemáticamente las ecuaciones, sin interpretarlas en el contexto dado. Por ejemplo “equis más y, es igual a …” . Debe animarlos a utilizar el contexto para explicar las ecuaciones. Se esperan respuestas como las siguientes:Luego, proyecte la siguiente imagen (en la diapositiva 13) y de tiempo para que respondan la quinta pregunta de la Hoja de Actividades.\n
","tipo":"p","eng":"Then, project the following image (on slide 13) and give them time to answer the fifth question on the Activity Sheet.\n
"},{"alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/imgs/pp_-10.png","tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/imgs/pp_-10.png"},{"esp":"Puede comentar que en otro momento analizarán métodos de resolución algebraica para los sistemas de ecuaciones. \n
","tipo":"p","eng":"You can comment that at another time they will analyze algebraic solving methods for systems of equations.\n
"},{"esp":"Puede comentar que en otro momento analizarán métodos de resolución algebraica para los sistemas de ecuaciones. \n
","tipo":"p","eng":"You can comment that at another time they will analyze algebraic solving methods for systems of equations.\n
"},{"esp":"
\n","recurso":"Actividades","tipo":"momento","eng":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/imgs/pp_-12.png\")
"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Sistematización","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"Sistematice las siguientes ideas surgidas de la lección:\n
","tipo":"p","eng":"Systematize the following ideas from the lesson:\n
"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 15 y 16, Presentación) ","eng":"(Slides 15 and 16, Presentation)"},{"esp":"
","tipo":"p","eng":"
"},{"alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/imgs/pp_-13.png","tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/imgs/pp_-13.png"},{"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/imgs/pp_-14.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/imgs/pp_-14.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50"}]},"4":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Evaluación y práctica"},{"eng":"This document proposes a dissolution situation with the same purpose as the main situation, modifying the percentages of the problem. In addition, the use of GeoGebra is integrated to graphically find the solutions of the proposed system.\n
","tipo":"p","esp":"Este documento propone una situación de disolución con el mismo propósito de la situación principal, modificando los porcentajes del problema. Además, se integra el uso de GeoGebra para encontrar gráficamente las soluciones del sistema planteado.\n
"},{"tipo":"p","esp":"El problema presentado en esta sección no tiene solución en el contexto. Al compartir los resultados de la pregunta 5, puede mencionar que intuitivamente podrían haber pronosticado que no hay solución en el contexto, y que esto fue corroborado con el modelo matemático.\n
","eng":"The problem presented in this section has no solution in context. When sharing the results of question 5, you can mention that intuitively they could have predicted that there is no solution in the context, and that this was corroborated with the mathematical model.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/pdfs/guia-practica-telemedicina.pdf","recurso":"ModalGP","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/telemedicina_y_disoluciones/pdfs/guia-practica-telemedicina.pdf","tipo":"button"}]}}},"aspectosAConsiderar":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Lines and their equations","esp":"Rectas y sus ecuaciones","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"To describe a line L in the Cartesian plane, we can use an equation of the form ax by = c , where a, b and c are constants that determine the location and orientation of the line. This is called the general equation of a line and represents the relationship between the coordinates of its points.","esp":"Para describir una recta L en el plano cartesiano, podemos utilizar una ecuación de la forma ax + by = c , donde a, b y c son constantes que determinan la ubicación y orientación de la recta. Esta se llama la ecuación general de la recta y representa la relación entre las coordenadas de sus puntos."},{"esp":"Para determinar si un punto está en la recta L descrita por esta ecuación, se deben sustituir las coordenadas del punto en la ecuación y verificar si se cumple la igualdad. Si se cumple, entonces el punto está en la recta L; de lo contrario, no está en la recta L.\n","eng":"To determine if a point lies on the line L described by this equation, we must substitute the coordinates of the point in the equation and check if the equality holds. If true, then the point lies on the line L; otherwise, it is not on the line L.","tipo":"p"},{"eng":"Solutions of a system of linear equations","tipo":"h3","esp":"Soluciones de un sistema de ecuaciones lineales"},{"tipo":"p","esp":"Supongamos que tenemos dos rectas, L1 y L2, que están descritas por las ecuaciones ax + by = c y dx + ey = f, respectivamente. Al resolver el sistema de ecuaciones:","eng":"Suppose we have two lines, L1 and L2, which are described by the equations ax by = c and dx ey = f , respectively. By solving the system of equations:"},{"eng":"(1) ax by = c
","esp":"
(2) dx ey = f(1) ax + by = c
","tipo":"p"},{"esp":"lo que estamos buscando son los valores de x e y que satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones.","eng":"what we are looking for are the values of x and y that simultaneously satisfy both equations.","tipo":"p"},{"esp":"Gráficamente, estos valores corresponden a los puntos (x, y) del plano que pertenecen tanto a L1 como a L2, es decir, a la intersección de ellas.","tipo":"p","eng":"Graphically, these values correspond to the points (x, y) in the plane that belong to both L1 and L2, that is, to their intersection."},{"tipo":"p","esp":"
(2) dx + ey = fDependiendo de la posición de las rectas en el plano, se pueden presentar tres casos diferentes en cuanto a la solución del sistema de ecuaciones. \n
","eng":"Depending on the position of the lines in the plane, there can be three different cases regarding the solution of the system of equations.\n
"},{"eng":"When using a system of equations to model real-life problems, it's not enough to find solutions that are mathematically correct. It is important that these make sense and are within the context of the problem that is being studied or solved. That is, that the solutions are relevant to the context.\n
","esp":"Cuando se utiliza un sistema de ecuaciones para modelar problemas de la vida real, no es suficiente encontrar soluciones que sean matemáticamente correctas. Es importante que estas tengan sentido y estén dentro del contexto del problema que se está estudiando o resolviendo. Es decir, que las soluciones sean pertinentes al contexto. \n
"},{"tipo":"p","esp":"Para asegurarnos que esto ocurra, es necesario analizar detenidamente las variables y las restricciones del problema en cuestión. En algunos casos, es posible que se requiera una solución que satisfaga ciertas condiciones adicionales, como un rango de valores específicos para las variables. \n
","eng":"To make sure this happens, it is necessary to carefully analyze the variables and constraints of the problem in question. In some cases, a solution may be required that satisfies certain additional conditions, such as a specific value range for the variables.\n
"},{"esp":"Por ejemplo, si las variables x e y representan el volumen o la masa de objetos, soluciones negativas no tendrían un significado real. En este caso, las soluciones deben limitarse a valores no negativos. Es posible que al considerar estas restricciones adicionales, no existan soluciones al sistema de ecuaciones, esto significa que el problema modelado no tiene solución.","eng":"For example, if the variables x and y represent the volume or mass of objects, negative solutions would have no real meaning. In this case, the solutions must be limited to non-negative values. It is possible that when considering these additional restrictions, there are no solutions to the system of equations, this means that the modeled problem has no solution.","tipo":"p"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Vínculo entre álgebra y geometría","eng":""},{"eng":"Linking algebraic procedures with geometric aspects promotes the in-depth development of the mathematical concepts and ideas at stake. In our case, concepts such as equations, system solutions, straight lines (parallel, coincident, intersecting), etc. appear.\n
","esp":"Vincular procedimientos algebraicos con aspectos geométricos promueve el desarrollo en profundidad de los conceptos e ideas matemáticas que están en juego. En nuestro caso, aparecen conceptos como ecuaciones, soluciones del sistema, líneas rectas (paralelas, coincidentes, secantes), etc.\n
","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"La representación gráfica del sistema de ecuaciones que modela el fenómeno químico estudiado permite visualizar la relación entre las variables del problema, de esta manera facilita la interpretación en el contexto, por ejemplo, de la intersección de dos rectas en el plano. Puede comentar a sus estudiantes la importancia de establecer relaciones entre las representaciones gráfica y algebraica en este problema.","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"Vinculo entre lenguaje natural y simbólico","eng":""},{"eng":"Using the context of this activity allows students to use the language of the situation to express mathematical ideas, which will then be formally described. Thus, they are faced with linking natural language with symbolic language, which promotes the assignment of a \"sense or meaning\" to mathematical expressions.\n
","tipo":"p","esp":"El uso del contexto de esta actividad, permite a los y las estudiantes utilizar el lenguaje de la situación para expresar las ideas matemáticas, que luego serán descritas formalmente. Así, se ven enfrentados a vincular el lenguaje natural con el simbólico, lo que promueve la asignación de un “sentido o significado” a las expresiones matemáticas.\n
"},{"tipo":"p","esp":"Finalmente, es importante considerar que en el trabajo con ecuaciones y sistemas en el plano, puede haber estudiantes que confunden las soluciones del sistema con las intersecciones con los ejes. Otra confusión habitual es tomar como solución del sistema puntos que pertenecen solo a una de las rectas.\n
","eng":"Finally, it is important to consider that when working with equations and systems in the plane, there may be students who confuse the solutions of the system with the intersections with the axes. Another habitual confusion is to take as solution of the system points that belong only to one of the lines.\n
"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Disoluciones","tipo":"h3","eng":"solutions"},{"tipo":"p","esp":"Una disolución es una mezcla homogénea entre una o más especies químicas, que no reaccionan químicamente entre sí. Una disolución se compone de:\n
","eng":"A solution is a homogeneous mixture of one or more chemical species, which do not react chemically with each other. A solution is made up of:\n
"},{"tipo":"p","eng":"- \n
- \n
When only two elements combine, the less abundant substance that is diluted is called solute. On the other hand, the most abundant substance that dissolves the solute is called the solvent. Thus, when combining water with sugar, the solute is sugar and the solvent is water. In the activity you work with a solution composed of salts (solute) and water (solvent).
","esp":"Cuando solo se combinan dos elementos, a la sustancia menos abundante y que es diluida se le denomina soluto. Por otro lado, a la sustancia más abundante y que disuelve al soluto se le denomina disolvente. Así, al combinar agua con azúcar, el soluto es el azúcar y el disolvente, el agua. En la actividad se trabaja con una disolución compuesta de sales (soluto) y agua (solvente).
"},{"esp":"Concentración de una disolución","eng":"concentration of a solution","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"La concentración de una solución se refiere a la cantidad de soluto disuelto en una cantidad de solvente. Existen distintas formas de medirla, las más fáciles de calcular empíricamente son:\n
","eng":"The concentration of a solution refers to the amount of solute dissolved in an amount of solvent. There are different ways to measure it, the easiest to calculate empirically are:\n
"},{"eng":"- \n
- \n
La medida masa-volumen es de las más utilizadas en la práctica. Por ejemplo, el suero fisiológico de venta en farmacias es una disolución de sales en agua, la concentración típica de este es 0,9 % m/v, esto significa que hay 0,9 gramos de sales en 100 mL de disolución. Dado que esta medida permite comparar de forma fácil y precisa la concentración entre diferentes disoluciones, es ampliamente utilizada en química y medicina.\n
","eng":"The mass-volume measure is one of the most used in practice. For example, the physiological serum sold in pharmacies is a solution of salts in water, the typical concentration of this is 0.9% m/v, this means that there are 0.9 grams of salts in 100 mL of solution. Since this measurement allows easy and accurate comparison of concentration between different solutions, it is widely used in chemistry and medicine.\n
"},{"tipo":"p","eng":"However, it's important to note that the mass-volume percentage isn't really a percentage in the mathematical sense, because the quantities are not expressed in the same unit of measure. The following would be percentages in the mathematical sense: mass/mass and volume/volume.\n
","esp":"Sin embargo, es importante notar que el porcentaje masa-volumen no es realmente un porcentaje en el sentido matemático, porque las cantidades no están expresadas en la misma unidad de medida. Los siguientes sí serían porcentajes en el sentido matemático: masa/masa y volumen/volumen.\n
"},{"eng":"Sum of volumes in mixtures.","tipo":"h3","esp":"Suma de volúmenes en mezclas."},{"eng":"When combining two substances, the “Law of Conservation of Mass” tells us that the mass of the resulting mixture will be equal to the sum of the masses of the two substances, that is, the mass is conserved. However, the same does not happen with the volumes, that is, the volume of the resulting mixture is not necessarily equal to the sum of the volumes of the two substances.\n
","tipo":"p","esp":"Al combinar dos sustancias, la “Ley de conservación de masas” nos dice que la masa de la mezcla resultante será igual a la suma de las masas de las dos sustancias, es decir, la masa se conserva. Sin embargo, no ocurre lo mismo con los volúmenes, es decir, el volumen de la mezcla resultante no es necesariamente igual a la suma de los volúmenes de las dos sustancias.\n
"},{"esp":"En la práctica, para simplificar los cálculos se asume a menudo que el volumen sí se conserva, pues el error producido (“por el volumen que se pierde”) al trabajar con sustancias que poseen densidades cercanas a 1, es despreciable. Esta simplificación será considerada en nuestra actividad para plantear la ecuación 1, es decir, diremos que la suma de los volúmenes de ambos sueros será igual al volumen del suero obtenido al mezclar ambos.\n
","eng":"In practice, to simplify the calculations it is often assumed that the volume is conserved, since the error produced (“by the volume that is lost”) when working with substances that have densities close to 1, is negligible. This simplification will be considered in our activity to formulate equation 1, that is, we will say that the sum of the volumes of both serums will be equal to the volume of serum obtained by mixing both.\n
","tipo":"p"}]}}},"visible":true},"25":{"recursosProyecto":[],"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Momento de enganche","eng":"latching moment"},{"eng":"(Slide 2 and 3, Presentation)","esp":"(Diapositiva 2 y 3, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Reproduzca el video \"Clavados\" y dé un tiempo para que las y los estudiantes compartan sus apreciaciones respecto a este deporte. Para promover la conversación, puede formular preguntas como:","eng":"Play the video \"Diving\" and allow time for the students to share their insights about this sport. To promote the conversation, you can ask questions like:"},{"recurso":"ModalVideo","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/videos/clavados.mp4","titulo":{"esp":"Ver Video","eng":"Watch video"},"tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/11_Clavado%20main_Subt.mp4"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"\nTell your students that since the diver's body is not point-like, it is difficult to identify the diver's trajectory during the jump. Therefore, it is advisable to choose a point on the diver's body that facilitates the recognition of the trajectory.\n
","esp":"\nComente a sus estudiantes que, para identificar la trayectoria de un clavadista durante el salto, es necesario fijar la atención en un punto de su cuerpo. Para apoyar esta idea, puede proyectar la siguiente imagen, y pedir a sus estudiantes que grafique la trayectoria de un punto ubicado en el tobillo de la clavadista. \n
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/punto-trayectoria.png","escala":"50","caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"","titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Este trabajo les ayudará a reconocer que no cualquier punto del cuerpo del clavadista describe una trayectoria parabólica y además, a fijar su comprensión sobre el concepto de trayectoria. Luego de que las y los estudiantes compartan sus respuestas a esta primera pregunta, plantee la siguiente pregunta al curso completo: "},{"recurso":"Pregunta","eng":"Haga notar a sus estudiantes que:\n
","eng":"Note to your students that:\n
","tipo":"p"},{"eng":"A continuación, pregunte:
","eng":"Next, ask:
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"Asegúrese de que sus estudiantes reconozcan que el video invita a pensar en maneras de determinar la altura máxima que alcanza un clavadista y el momento en que eso ocurre. \n
","tipo":"p","eng":"Make sure your students recognize that the video invites them to think about ways to determine the maximum height a diver reaches and when that occurs.\n
"},{"tipo":"p","eng":"Encourage students to come up with several alternatives to determine the maximum height and when it occurs during dives. You can point out that one option is to find a mathematical expression that relates the height of the diver to time, and then analyze it to determine the exact instant at which the maximum height is reached and the value of that height.\n
","esp":"Anime a sus estudiantes a plantear diversas alternativas para determinar la altura máxima y el momento en que ocurre durante los clavados. Puede destacar que una opción es buscar una expresión matemática que relacione la altura del clavadista con el tiempo, y luego analizarla para determinar el instante exacto en que se alcanza la altura máxima y el valor de dicha altura. \n
"},{"esp":"Es importante que las y los estudiantes comprendan que para responder a la pregunta del video, interesa relacionar la altura del clavadista con el tiempo. Esto a diferencia de lo que se observó en el vídeo, en que se describe que la trayectoria del clavadista (relación entre la altura y la distancia horizontal al trampolín) se asemeja a una parábola. ","tipo":"momento","recurso":"Destacado","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Después de hacer esta aclaración puede plantear preguntas como las siguientes para que sus estudiantes piensen en la relación entre ambas variables, ","eng":""},{"recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"Luego de abordar las respuestas de los estudiantes a las preguntas anteriores, sistematice junto a ellos las siguientes ideas:\n
","eng":"Tell your students that:\n
"},{"tipo":"momento","recurso":"Destacado","eng":"","esp":"To continue, show the following video to your students, from minute 2 and 57 seconds to minute 3 and 20 seconds, which corresponds to the springboard jump of diver Shi Tingmao, who won the diving gold medal from springboard (height 3 meters) at Tokyo 2021\n
","tipo":"p","esp":"Comience este momento, mencionando que trabajarán en desarrollar un modelo matemático que les permita encontrar la altura máxima y el momento en que ocurre, del salto ganador del oro olímpico en las olimpiadas de Tokyo 2020, realizada por la clavadista Shi Tingmao. Luego, muestre el siguiente video, en que se puede apreciar el salto.\n
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/shi-tingmao-tokyo2020.mp4","tipo":"video","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/videos/The%20best%20rated%20dives%20at%20Tokyo%202020%21%20.webm"},{"eng":"Source: Fuente: ClaroSports, Youtube
","tipo":"p"},{"esp":"(Diapositiva 10, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slide 8, Presentation)"},{"tipo":"p","eng":"Then ask:
","esp":"Luego, pregunte:
"},{"eng":"- How can we graphically identify the maximum height reached by the diver? Where is that height measured from?
¿Cómo podemos identificar gráficamente la altura máxima alcanzada por la clavadista? ¿Desde dónde se mide esa altura?","recurso":"Pregunta","tipo":"momento"},{"eng":"Point out that, for this situation, we identify the maximum height as the greatest vertical distance the diver reaches, measured from the surface of the water to her center of mass.\n
","tipo":"p","esp":"Indique que, para esta situación, identificamos la altura máxima como la mayor distancia vertical que alcanza la clavadista, medida desde la superficie del agua hasta su centro de masa.\n
"},{"esp":"(Diapositiva 11, Presentación)","eng":"(Slides 9 to 11, Presentation)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Entregue la actividad 1 de la Hoja de Actividades y presente la primera situación.\n
","eng":"Hand out activity 1 of the Activity Sheet and present the first situation.\n
"},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","esp":"Actividad 1
\n- De las gráficas que aparecen a continuación, ¿cuál elegirías para representar la relación entre altura y tiempo? \n\n
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/opci%C3%B3n-1.png\")
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/opci%C3%B3n-2.png\")
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/opci%C3%B3n-3.png\")
- \n
Of the graphs below, which one would you choose to represent the relationship between height and time?
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/imgs/selectgraf.png\")
< /p>\n \n- \n
Some data was collected from Shi Tingmao's dive in Tokyo 2021:
\n- \n
- The height of the trampoline is 3 meters. \n
- The diver is 1.6 meters tall. \n
- The jump lasted approximately 1.67 seconds. \n
- At 1.21 seconds the diver was at the same height as at the beginning of the jump. \n
\n- \n
Use the data provided to complete the following table:\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/imgs/tablapregunta.png\")
< /p> \nPlace the points from the table on the item 1 graph you selected.\n
\n
\n
De espacio para que las y los estudiantes compartan con el resto del curso la justificación de porque eligieron un gráfico u otro. Guíe la discusión para concluir que:
\n- En el primer gráfico, la altura máxima se alcanza en un tiempo negativo, lo que no tiene sentido en el contexto.
- En el segundo gráfico, la altura del clavadista desciende hasta alcanzar un mínimo, de valor negativo, cuestión que no es coherente con la realidad.
- El tercer gráfico, muestra que cuando el tiempo es positivo, la altura del clavadista aumenta hasta alcanzar un máximo y luego desciende hasta 0 m (cuando alcanza el agua), lo que es consistente con la realidad.
- Se recolectaron algunos datos del clavado realizado por Shi Tingmao en Tokio 2021:\n
- \n
- La altura del trampolín es de 3 metros. \n
- La clavadista mide 1,6 metros. \n
- El salto tuvo una duración aproximada de 1,67 segundos. \n
- A los 1,21 segundos la clavadista se encontraba a la misma altura que al inicio del salto. \n
\n- \n
Utiliza los datos proporcionados para completar la siguiente tabla: \n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/tabla-1.png\")
\nUbica, aproximadamente, los puntos de la tabla sobre el gráfico del ítem 1 que seleccionaste. \n
\n
Asegúrese de que pongan especial atención en el centro de masa, ubicado cerca del ombligo de la clavadista, para determinar la altura en los momentos señalados en la tabla: \n
","eng":"Make sure they pay special attention to the center of mass, located near the diver's navel, to determine the height at the moments noted in the table:\n
"},{"esp":"- En t = 0 el centro de masa está a una altura de 3,8 m, que corresponde a los 3 m del trampolín, más la mitad de la altura de la clavadista, 1,6 2 m.
- \n\nLa altura que la clavadista vuelve a tener en el tiempo t = 1,21 segundos es la misma que la altura anterior.\n
- \nEl tercer y último punto se obtiene al analizar que la duración total del salto es de 1,67 segundos, momento en el cual la clavadista entra en el agua. Al establecer la superficie del agua como referencia, se considera que la altura en este instante es de 0 m.
- At t = 0 the center of mass is at a height of 3.8 m, which corresponds to the 3 m of the springboard, plus half the height of the diver, 1.6 2m.
- \n\nThe height that the diver returns to at time t = 1.21 seconds is the same as the previous height.\n
- \nThe third and last point is obtained by analyzing that the total duration of the jump is 1.67 seconds, at which time the diver enters the water. By establishing the water surface as a reference, it is considered that the height at this instant is 0 m.
De esta manera la tabla queda:
","tipo":"p","eng":"This way the table looks like:
"},{"escala":"30","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/imgs/tablapregunta2.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/tabla-2.png","caption":{"eng":"","esp":""}},{"tipo":"p","esp":"Respecto a ubicar los puntos de la tabla en el gráfico, se espera que el punto que les cause más dificultad es el par \\(1.21, 3.8\\). Si nota que sus estudiantes tienen dificultades con esto, puede ayudarlos mencionando que tiene la misma coordenada vertical que el punto \\(0, 3.8\\). Después de realizar el trabajo anterior, se sugiere volver a mencionar que la expresión que se propuso para modelar la altura en función del tiempo, es de la forma h(t) = at2 + bt + c, donde a, b y c son constantes que representan los coeficientes del modelo.
\nA continuación pregunte:\n","eng":"Mention again that the expression that was proposed to model height as a function of time is of the form h(t) = at2 bt c, where a, b, and c are constants that represent the coefficients of the model."},{"esp":"(Diapositiva 15, Presentación)","eng":"(Slide 13, Presentation)","tipo":"h4"},{"eng":"- How can you determine the algebraic expression that models the dive using the data found in the table?
- ¿Cómo se puede determinar la expresión algebraica que modela el clavado utilizando los datos encontrados en la tabla?
- Evaluate the values of the table in the expression h(t) = at2 bt c and obtain 3 equations.
- Evaluating the expression at the point (0, 3,8) yields the value of c is 3.8.
- Using the other two equations, a system of equations can be formed that, when solved, will allow us to determine the values of a and b
- Evaluar los valores de la tabla en la expresión h(t) = at2 + bt + c y obtener 3 ecuaciones.
- Al evaluar la expresión en el punto (0, 3,8), se obtiene que el valor de c es 3,8.
- Utilizando las otras dos ecuaciones se puede formar un sistema de ecuaciones que, al ser resuelto, permitirá determinar los valores de a y b
Hand out activity 2 from the Activity Sheet:
","esp":"Entregue la actividad 2 de la Hoja de Actividades:
","tipo":"p"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositiva 16, Presentación)"},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","esp":"Actividad 2
\nDetermina la expresión algebraica que modela la altura del clavado de Shi Tingmao en función del tiempo utilizando los datos de la tabla.","eng":"Determine the algebraic expression that models the height of Shi Tingmao's dive as a function of time using the data in the table.
"},{"eng":"Ask students to evaluate the points and set up the corresponding system of equations, where the unknowns are a and b. Emphasize the importance of avoiding rounding errors by writing all decimal places. When they are finished, ask them to share their development on the board.","esp":"Solicite a los estudiantes que evalúen los puntos y planteen el sistema de ecuaciones correspondiente, donde las incógnitas sean \\(a\\) y \\(b\\). Es importante que reconozcan que , al evaluar la función usando los datos de la tabla, se obtiene un sistema de ecuaciones para \\(a\\) y \\(b\\). Destaque además, la importancia de evitar errores de aproximación, escribiendo todas las cifras decimales. Cuando concluyan, pídales que compartan sus desarrollos en la pizarra.\n","tipo":"p"},{"esp":"(Diapositivas 17 a 19, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Para h(0) tenemos: \\[ h(0) = 3{,}8 \\] \\[ a \\cdot 0^{2} + b \\cdot 0 +c = 3{,}8 \\] \\[ c = 3{,}8 \\]","eng":"For h(0) we have: \\[ h(0) = 3{,}8 \\] \\[ a \\cdot 0^{2} b \\cdot 0 c = 3{,}8 \\] \\[ c = 3{,}8 \\]"},{"eng":"For h(1,21) it results:\n\n\\[ h(1{,}21) = 3{,}8 \\] \\[ a \\cdot (1{,}21)^2 b \\cdot (1{,}21) 3{,}8 = 3{ ,}8 \\] \\[ (1{,}21)^2 \\cdot a (1{,}21) \\cdot b = 3{,}8 -3{,}8 \\] \\[ 1{,}4641 \\cdot a 1{,}21 \\cdot b = 0 \\]\n\nFor h(1,67) it results:\n\n\\[ h(1{,}67) = 0 \\] \\[a \\cdot (1{,}67)^2 b \\cdot (1{,}67) 3{,}8 = 0 \\] \\[( 1{,}67)^2 \\cdot a (1{,}67) \\cdot b = -3{,}8 \\] \\[2{,}7889 \\cdot a 1{,}67 \\cdot b = - 3{,}8 \\]\n\nThis is how the system of equations remains:\n\n$$ \\left.\\begin{array}{cc} 1{,}4641 \\ a 1{,}21 \\ b","tipo":"p","esp":"Para h(1,21) resulta:\n\n\\[ h(1{,}21) = 3{,}8 \\] \\[ a \\cdot (1{,}21)^2 + b \\cdot (1{,}21) +3{,}8 = 3{,}8 \\] \\[ (1{,}21)^2 \\cdot a + (1{,}21) \\cdot b = 3{,}8 -3{,}8 \\] \\[ 1{,}4641 \\cdot a + 1{,}21 \\cdot b = 0 \\]\n\nPara h(1,67) resulta:\n\n\\[ h(1{,}67) = 0 \\] \\[a \\cdot (1{,}67)^2 + b \\cdot (1{,}67) +3{,}8 = 0 \\] \\[(1{,}67)^2 \\cdot a+ (1{,}67) \\cdot b = -3{,}8 \\] \\[2{,}7889 \\cdot a+ 1{,}67 \\cdot b = -3{,}8 \\]\n\nDe esta forma queda el sistema de ecuaciones:\n\n$$ \\left.\\begin{array}{cc} 1{,}4641 \\ a + 1{,}21 \\ b &=& 0\\\\ 2{,}7889 \\ a+ 1{,}67 \\ b &=& -3{,}8 \\\\ \\hline \\end{array} \\\\ \\right| $$"},{"tipo":"p","eng":"Tell your students that the system of equations that allows you to find the values of a and b contains decimal values, which can make it laborious to solve it using algebraic methods and that the approximation of the values could result in loss of precision in the results.","esp":"Plantee a sus estudiantes que el sistema de ecuaciones que permite encontrar los valores de a y b contiene valores decimales, lo que puede hacer que sea laborioso resolverlo mediante métodos algebraicos y que la aproximación de los valores podría resultar en pérdida de precisión en los resultados. \n"},{"tipo":"p","esp":"Dependiendo de los recursos con que cuentan sus estudiantes y el tiempo de gestión, puede optar por las siguiente alternativas: \n
","eng":"Depending on the resources your students have and the management time, you can opt for the following alternatives:\n
"},{"eng":"- Provide the solution directly a = -4.95 and b = 5.99 .\n
- Use the Graphing Calculator from GeoGebra as an additional tool. Students can be shown how to enter the equations and find the solution of the system of equations by clicking on the point of intersection of the lines, as shown in the following image:
- Entregar directamente la solución a = -4,95 y b = 5,99.\n
- Usar la Calculadora Gráfica de GeoGebra como una herramienta adicional. Se puede mostrar a las y los estudiantes cómo ingresar las ecuaciones y encontrar la solución del sistema de ecuaciones haciendo clic en el punto de intersección de las rectas, como se muestra en la siguiente imagen:
\\[h(t)=-4{,}95 t^{2} 5{,}99 t 3{,}8\\]
","esp":"\\[h(t)=-4{,}95 t^{2}+5{,}99 t +3{,}8\\]
"},{"eng":"Second part","esp":"Segunda parte","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Plantee a sus estudiantes que, ahora que tenemos la función que modela la altura de la clavadista en función del tiempo, debemos utilizarla para determinar la altura máxima alcanzada. \n
","eng":"Tell your students that now that we have the function that models the height of the diver as a function of time, we need to use it to determine the maximum height reached.\n
"},{"eng":"Provide students to analyze the graph of a quadratic function similar to the one they have found, in order to determine where the maximum point is. Present a graph like the following:\n
","tipo":"p","esp":"Proponga a sus estudiantes analizar el gráfico de la función cuadrática que han obtenido, con el propósito de determinar dónde se encuentra el punto máximo. Para ello pídales que aborden la primera pregunta de la actividad 3 de la Hoja de Actividades.
"},{"esp":"(Diapositivas 21 a 22, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":"","esp":"Actividad 3
\n- Marca el vértice de la curva \\(h(t)\\) en el gráfico a continuación. Luego, dibuja una línea paralela al eje vertical que pase por el vértice que marcaste. ¿Qué característica aprecias respecto a esta recta?
"},{"eng":"","esp":"Esta tiene por objetivo que las y los estudiantes ubiquen visualmente el vértice de la parábola, y reconozcan que este se encuentra sobre el eje de simetría que divide a la curva en dos partes, de forma que los puntos opuestos son equidistantes entre sí. ","tipo":"p"},{"tipo":"img","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/gr%C3%A1fico-clavadista-2-v2.png","eng":"","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"50","caption":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Si le parece pertinente, puede volver a mencionar que estamos usando esta curva para modelar la situación real, y en ese sentido, solo un segmento de ella, desde el tiempo 0 s hasta que la clavadista alcanza el agua (altura 0 m), es el que representa la situación real. Puede apoyar esta idea, con un gráfico como el siguiente, "},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/gr%C3%A1fico-clavadista-5.png","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","eng":""},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 23 a 24, Presentación)"},{"eng":"","esp":"\nLuego, pídales que aborden la segunda y tercera pregunta de la Actividad 3 de la Hoja de Actividades. En ella las y los estudiantes deberán ubicar en el gráfico los puntos que utilizaron para encontrar la curva, y usar el hecho de que dos puntos opuestos son equidistantes entre sí, para determinar la coordenada horizontal del vértice, es decir, el tiempo para el cual se alcanza la altura máxima. ","tipo":"p"},{"eng":"","recurso":"Actividades","esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/gr%C3%A1fico-clavadista-1-v2.png\")
- Ubica en la gráfica de la altura versus el tiempo, los siguientes puntos utilizados para encontrar la función \\(h(t)\\), ¿Estos puntos son simétricos respecto del eje de simetría que marcaron en la pregunta anterior? ¿Por qué?
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/tabla-3.png\")
- Usen sus respuestas anteriores para determinar la coordenada horizontal del vértice de la curva \\(h(t)\\).
Recuerde a sus estudiantes que:\n
","eng":"Remind your students that:\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"Remind your students that:\n
","esp":"- \n
- Eligieron un modelo cuadrático para la relación entre la altura y el tiempo sin tener certeza si este tipo de modelo podría ajustarse bien a la situación. \n
- Ahora que ya disponemos del modelo, es necesario revisar qué tan bien modela la situación real. \n
- Para ello, es necesario comparar el valor de la altura máxima que obtuvimos con nuestro modelo, con el valor real de la altura alcanzada por Shi Tingmao. Utilizando herramientas de análisis audiovisual, se obtiene lo siguiente: \n
Presente las siguientes conclusiones a sus estudiantes:\n
","tipo":"p","eng":"Present the following conclusions to your students:\n
"},{"eng":"- We identify that the trajectory of the diver's jump has a parabolic shape if we focus on the center of mass of the athlete.\n
- We look at the parabolic trajectory of the diver to assume that the relationship between height and time could be adequately modeled with a quadratic function h(t) = at2 bt c.
- From some jump data we algebraically determine the values of a, b and c, which allowed us to find a model.
- We graphically analyzed where the vertex of a quadratic function like the one we obtained is located, recognizing that it is located on the axis of symmetry of the parabola.
- With the two symmetrical points that we had in the table, we were able to determine the coordinates of the vertex of the function we found.
- Finally, we compare the maximum height that we predicted with the function with the value of the maximum height of the diver obtained from the video.\n
- Identificamos que la trayectoria del salto de la clavadista tiene forma parabólica si nos enfocamos en el centro de masa de la deportista.\n
- Nos fijamos en la trayectoria parabólica de la clavadista para suponer que la relación entre altura y tiempo, se podría modelar adecuadamente con una función cuadrática h(t) = at2 + bt + c.
- A partir de algunos datos del salto determinamos algebraicamente los valores de a, b y c, lo que nos permitió encontrar un modelo.
- Analizamos gráficamente dónde se ubica el vértice de una función cuadrática como la que obtuvimos, reconociendo que se encuentra sobre el eje de simetría de la parábola.
- Con los dos puntos simétricos que teníamos en la tabla pudimos determinar las coordenadas del vértice de la función que encontramos.
- Finalmente, comparamos la altura máxima que obtuvimos con el modelo desarrollado con el valor de la altura máxima de la clavadista obtenida mediante una herramienta audiovisual. \n
The Practical Guide seeks for students to apply what they have learned in a different context, solving problems that involve identifying a parabolic trajectory in a given situation and determining the values of the corresponding quadratic function.< /p>","esp":"
La Guía Práctica busca que las y los estudiantes apliquen lo aprendido en un contexto distinto, resolviendo problemas que implican identificar una trayectoria parabólica en una situación dada y determinar los valores de la función cuadrática correspondiente.
"},{"tipo":"button","titulo":{"esp":"Ver Guía Práctica","eng":""},"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/pdfs/Guia_Practica_II_Unidad2_OA3_modificado.pdf","recurso":"ModalGP"},{"esp":"Entregue la guía y dé tiempo para que las y los estudiantes comprendan de qué trata este nuevo contexto. A continuación, presente la pregunta 1, que pueden responder sin necesidad de realizar cálculos. Es importante que las y los estudiantes establezcan una relación entre los parámetros presentados en el contexto con la función cuadrática que describe las trayectorias involucradas.
","eng":"Hand out the guide and allow time for students to understand what this new context is about. Then present question 1, which they can answer without any calculations. It is important that the students establish a relationship between the parameters presented in the context with the quadratic function that describes the trajectories involved.
","tipo":"p"},{"eng":"For question 2, guide your students to solve the proposed exercises, which have as objective that they understand that, when they identify 3 points in a parabola, it is possible to find the quadratic function that defines it, which allows to determine other important points within along its path, such as the point where it intersects the x axis.","esp":"Para la pregunta 2, guíe a sus estudiantes para que resuelvan los ejercicios propuestos, que tienen por objetivo que comprendan que, cuando identifican 3 puntos en una parábola, es posible encontrar la función cuadrática que la define, la que permite determinar otros puntos importantes dentro de su trayectoria, como el punto donde intersecta el eje x.","tipo":"p"}]}}},"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Funciones cuadráticas"},{"tipo":"p","esp":"Las funciones cuadráticas se definen como aquellas que pueden expresarse en la forma f(x) = ax2+ bx + c, donde a, b y c son constantes, con a ≠ 0.\n","eng":"Quadratic functions are defined as those that can be expressed in the form f(x) = ax2 bx c, where a, b, and c are constants, with < i>a ≠ 0."},{"tipo":"p","esp":"Este tipo de funciones se utilizan ampliamente para modelar y resolver problemas en diversos ámbitos del mundo real. Para abordar estos problemas, es fundamental entender las características del gráfico de la función cuadrática, como su forma de parábola y los puntos clave del gráfico, como el vértice y las intersecciones con los ejes. Esta comprensión nos permite analizar visualmente los problemas y utilizar la función cuadrática para encontrar soluciones.\n
","eng":"Functions like these are widely used to model and solve problems in various real-world settings. To address these issues, it is essential to understand the characteristics of the graph of the quadratic function, such as its parabolic shape and the key points of the graph, such as the vertex and intercepts with the axes. This understanding allows us to visually analyze problems and use the quadratic function to find solutions.\n
"},{"esp":"En el punto de intersección del gráfico de la función cuadrática con el eje y, donde x = 0, el valor de la función es igual a la constante c. \n","eng":"At the point of intersection of the graph of the quadratic function with the y axis, where x = 0, the function value is equal to the constant c.","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/imgs/graficos1.png","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/imgs/graficos1.png","escala":"75"},{"tipo":"p","eng":"The first coordinate of the points of intersection of the graph of the quadratic function with the x axis, correspond to the roots of the quadratic equation ax2 bx c = 0. Depending on the number of real solutions to this equation, the graph may cut the x axis in two, one, or no point.","esp":"La primera coordenada de los puntos de intersección del gráfico de la función cuadrática con el eje x, corresponden a las raíces de la ecuación cuadrática ax2+ bx + c = 0. Dependiendo del número de soluciones reales de esta ecuación, el gráfico puede cortar al eje x en dos, uno o en ningún punto."},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/imgs/graficos2.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/imgs/graficos2.png","alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","escala":"100"},{"eng":"Also, the graph of the quadratic function opens up or down depending on the sign of the coefficient a.","esp":"Además, el gráfico de la función cuadrática se abre hacia arriba o hacia abajo según el signo del coeficiente a.\n","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/imgs/graficos3.png","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/imgs/graficos3.png","escala":"75","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""}},{"esp":"El gráfico de una función cuadrática presenta simetría con respecto a la recta vertical que pasa por el vértice de la parábola. Cuando a < 0, la función cuadrática alcanza su valor máximo en el vértice de la parábola, mientras que si a > 0 la función presenta su valor mínimo en dicho punto. \n","tipo":"p","eng":"The graph of a quadratic function presents symmetry with respect to the vertical line that passes through the vertex of the parabola. When a"},{"caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/imgs/graficos4.png","escala":"75","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/imgs/graficos4.png"},{"esp":"En esta actividad, fomentamos el cálculo del máximo o mínimo de la función cuadrática a través de un razonamiento geométrico, en lugar de la aplicación rutinaria de la fórmula del vértice.\n
","tipo":"p","eng":"In this activity, we encourage the calculation of the maximum or minimum of the quadratic function through geometric reasoning, rather than the routine application of the vertex formula.\n
"},{"esp":"\\[V=\\left(-\\frac{b}{2a},\\frac{b^2-4ac}{4a} \\right)\\]\n
","tipo":"p","eng":"\\[V=\\left(-\\frac{b}{2a},\\frac{b^2-4ac}{4a} \\right)\\]\n
"},{"esp":"La situación de aprendizaje planteada se enfoca en utilizar los puntos característicos del gráfico de la función cuadrática para responder preguntas del contexto dado. \n
","eng":"The proposed learning situation focuses on using the characteristic points of the graph of the quadratic function to answer questions from the given context.\n
","tipo":"p"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"To fully understand the situation that arises, it is important to take into account some relevant physical concepts, which are:\n
","esp":"Para comprender plenamente la situación que se plantea, es importante tener en cuenta algunos conceptos físicos relevantes, los cuales son:\n
","tipo":"p"},{"esp":"Trayectoria","eng":"Trajectory","tipo":"h3"},{"eng":"The divers' trajectory can be described in a Cartesian plane (x, y), where their position in x and in y, both coordinates refer to distances:","esp":"La trayectoria de los clavadistas se puede describir en un plano cartesiano (x, y), donde importa su posición en x y en y, ambas coordenadas referidas a distancias: \n","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"- x es la distancia horizontal: distancia horizontal entre el trampolín y el clavadista.\n
- y es la distancia vertical: altura alcanzada por el clavadista respecto a la superficie del agua.\n
- x is the horizontal distance: the distance the diver moves away from the springboard.\n
- y is the vertical distance: height reached by the diver in relation to the surface of the water.\n
El centro de masas es donde la masa de un objeto está equilibrada en todas las direcciones. Por ejemplo, si puedes equilibrar un lápiz en tu dedo, el punto donde lo sostienes es el centro de masas. Para los humanos, está más o menos en el ombligo y varía según la forma y la postura particulares de cada cuerpo. Este concepto es importante pues, en la actividad, es justamente el punto que corresponde al centro de masa del clavadista el que describe una trayectoria parabólica. \n
","eng":"The center of mass is where the mass of an object is balanced in all directions. For example, if you can balance a pencil on your finger, the point where you hold it is the center of mass. For humans, it is more or less at the navel and varies depending on the particular shape and posture of each body.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"La física detrás del clavado","eng":"The physics behind diving"},{"eng":"Although we can easily identify that the trajectory is parabolic, it is not the only reason to assume that the expression that relates the height as a function of time is quadratic. The presence of gravity, which affects both the initial jump and subsequent fall into the water, produces an acceleration that makes height as a function of time accurately modelable by a quadratic model.
","esp":"Si bien podemos identificar fácilmente que la trayectoria es parabólica, no es la única razón para suponer que la expresión que relaciona la altura en función del tiempo sea cuadrática. La presencia de la gravedad, que afecta tanto el salto inicial como la caída posterior al agua, produce una aceleración que hace que la altura en función del tiempo se pueda modelar con certeza mediante un modelo cuadrático.
","tipo":"p"}]},"3":{"contenido":[{"esp":"Clavados, un deporte olímpico","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"El salto o clavado es un deporte que consiste en saltar desde una plataforma o trampolín hacia el agua de una piscina. El clavado es evaluado por un grupo de jueces, los cuales basan su puntuación en 5 aspectos:\n
","eng":"Jumping or diving is a sport that consists of jumping from a platform or springboard into the water of a swimming pool. The dive is evaluated by a group of judges, who base their score on 5 aspects:\n
","tipo":"p"},{"esp":"- Aproximación: La posición inicial del cuerpo en la plataforma o trampolín.
- Elevación: La altura que alcanza el clavadista en su salto.
- Ejecución: Evaluación del salto en sí mismo, analizando su técnica y giros.
- Entrada al agua: Entrada de forma vertical, con los pies y brazos extendidos. Se busca que salpique la menor cantidad de agua posible.
- Dificultad: Tipo de salto realizado, número de giros y posiciones realizadas durante el salto.\n
- Approach: The initial position of the body on the platform or springboard.
- Elevation: The height the diver reaches in his jump.
- Execution: Evaluation of the jump himself, analyzing his technique and turns.
- Entering the water: Entering vertically, with feet and arms extended. The goal is to splash as little water as possible.
- Difficulty: Type of jump performed, number of turns and positions performed during the jump.\n
A nivel olímpico, existen 4 categorías:\n
","eng":"At the Olympic level, there are 4 categories:\n
","tipo":"p"},{"esp":"- Trampolín de 3 metros.
- Trampolín de 3 metros sincronizado (salto de dos personas).
- Plataforma de 10 metros.
- Plataforma de 10 metros sincronizado.\n
- 3 meter springboard.
- Synchronized 3 meter springboard (two person jump).
- 10 meter platform.
- Platform Synchronized 10 meter\n
In relation to the pool and the platforms, the dimensions they must have are established by the International Swimming Federation (FINA). Some of the relevant measures for diving are the following:\n
","esp":"En relación a la piscina y las plataformas, las dimensiones que deben tener son establecidas por la Federación Internacional de Natación (FINA). Algunas de las medidas relevantes para los clavados son las siguientes:\n
"},{"eng":"- The pool must have a minimum depth of 5 meters.\n
- The diving board is 4.8 meters long and 0.5 meters wide.
- Both the platform and the diving board should protrude 1.5 meters from the edge of the the pool
- La piscina debe tener una profundidad mínima de 5 metros.\n
- El trampolín mide 4,8 metros de largo y 0,5 metros de ancho.
- Tanto la plataforma como el trampolín deben sobresalir a 1,5 metros de distancia de la orilla de la piscina
- National Commission for Physical Culture and Sports of Mexico \"> World Aquatics Competition Regulations
El video presenta el deporte Olímpico de los clavados, sus categorías y algunas exigencias físicas para los deportistas. Se analiza la trayectoria de los saltos y su similitud con una parábola, partiendo de esto, se busca determinar una expresión cuadrática que relacione la altura máxima con el tiempo.\n
","eng":"The video presents the Olympic sport of diving, its categories and some physical demands for athletes. The trajectory of the jumps and its similarity with a parabola are analyzed, starting from this, it seeks to determine a quadratic expression that relates the maximum height with time.\n
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/11_Clavado%20main_Subt.mp4","tipo":"video","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/videos/clavados.mp4"},{"titulo":{"eng":"Descargar Video","esp":"Descargar Video"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/11_Clavado%20main_Subt.mp4","tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/videos/clavados.mp4"},{"eng":"Presentation (slides 2 to 6)","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 8)","tipo":"h3"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación."},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/ppt_clavados_vf.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/pdfs/Presentacion_II_Unidad2_OA3_modificado.pdf"},{"titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/docs/Presentacion_II_Unidad2_OA3_modificado.pptx","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/ppt_clavados_vf.pptx","tipo":"button","recurso":"Descarga"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Hoja de actividades","eng":"Worksheet","tipo":"h3"},{"eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.\n
","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación. \n
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/ha_clavados_vf.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/pdfs/Hoja_de_Actividades_II_Unidad2_OA3_modificado.pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/ha_clavados_vf.docx","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":"Download Activity Sheet"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/docs/Hoja_de_Actividades_II_Unidad2_OA3_modificado.docx","tipo":"button"},{"esp":"Presentación (diapositivas 9 a 26)","eng":"Presentation (slides 7 to 26)","tipo":"h3"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación."},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/ppt_clavados_vf.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/pdfs/Presentacion_II_Unidad2_OA3_modificado.pdf","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/ppt_clavados_vf.pptx","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"},"recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/docs/Presentacion_II_Unidad2_OA3_modificado.pptx"},{"esp":"Video Clavado de Shi Tingmao","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En la construcción de conocimientos las y los estudiantes utilizarán datos reales de la altura y el tiempo del clavado ganador del oro en la competencia femenina de trampolín de 3 metros. A continuación puede descargar o visualizar el video de dicho salto. "},{"tipo":"video","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/shi-tingmao-tokyo2020.mp4"}]},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 27 y 28)","eng":"Presentation (slides 27 and 28)"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.\n
","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación. \n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/pdfs/Presentacion_II_Unidad2_OA3_modificado.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/ppt_clavados_vf.pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/clavados/ppt_clavados_vf.pptx","tipo":"button","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/docs/Presentacion_II_Unidad2_OA3_modificado.pptx","recurso":"Descarga"}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"eng":"Practical Guide","esp":"Guía Práctica","tipo":"h3"},{"eng":"This document proposes various exercises that are intended for students to analyze the parabolic trajectory in other Olympic sports. In addition, these can be used to formatively assess the knowledge developed from the situation.\n
","tipo":"p","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes analicen la trayectoria parabólica en otros deportes Olímpicos. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación. \n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/pdfs/Guia_Practica_II_Unidad2_OA3_modificado.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/pdfs/Guia_Practica_II_Unidad2_OA3_modificado.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/docs/Guia_Practica_II_Unidad2_OA3_modificado.docx","titulo":{"eng":"Download Practice Guide","esp":"Descargar Guía de Pratica"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/clavados/docs/Guia_Practica_II_Unidad2_OA3_modificado.docx","recurso":"Descarga"}],"visible":true}}}},"26":{"recursos":{"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"Video","esp":"Video","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"The video introduces the blobfish, considered the ugliest animal, and explores\nhow its appearance changes in the depths of the ocean. The impact is analyzed\nof hydrostatic pressure on human health, affecting the eardrums and causing\ndiscomfort, as well as decompression syndrome in rapid ascents. is raised\nFind an algebraic expression that relates pressure to depth.\n
","esp":"En el video, se presenta al pez borrón, considerado el animal más feo, y se explora\ncómo su apariencia cambia en las profundidades del océano. Se analiza el impacto\nde la presión hidrostática en la salud humana, así como el síndrome de descompresión al que se exponen los buzos en ascensos rápidos. Se plantea el desafío encontrar una expresión algebraica que relacione la presión con la profundidad.\n
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/presion-agua/13_Presio%CC%81n%20Hidrostatica_Subt.mp4","tipo":"video","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/presion_bajo_el_agua/videos/Hidrostaticav1.mp4"},{"eng":"","tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/presion-agua/13_Presio%CC%81n%20Hidrostatica_Subt.mp4","titulo":{"esp":"Descargar Recurso Principal","eng":"Descargar Recurso Principal"},"recurso":"Descarga"},{"esp":"Presentación (diapositivas 2 a 4)","tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 2 to 4)"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/presion-agua/ppt-presion-7mo.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/presion_bajo_el_agua/pdfs/Presentacion%207mo_Unidad2_OA6.pdf"},{"tipo":"button","titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/presion-agua/ppt-presion-7mo.pptx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/presion_bajo_el_agua/docs/Presentacion%207mo_Unidad2_OA6.pptx"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"eng":"Worksheet","esp":"Hoja de actividades","tipo":"h3"},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.\n
","eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/presion-agua/ha-presion-7mo.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/presion_bajo_el_agua/pdfs/Hoja%20de%20Actividades%207mo_Unidad2_OA6.pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/presion-agua/ha-presion-7mo.docx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/presion_bajo_el_agua/docs/Hoja%20de%20Actividades%207mo_Unidad2_OA6.docx","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":"Download Activity Sheet"},"tipo":"button"},{"tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 5 to 16)","esp":"Presentación (diapositivas 5 a 16)"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/presion-agua/ppt-presion-7mo.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/presion_bajo_el_agua/pdfs/Presentacion%207mo_Unidad2_OA6.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/presion_bajo_el_agua/docs/Presentacion%207mo_Unidad2_OA6.pptx","tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/presion-agua/ppt-presion-7mo.pptx"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 17)","eng":"Presentation (17 slides)"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.\n
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación. \n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/presion_bajo_el_agua/pdfs/Presentacion%207mo_Unidad2_OA6.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/presion-agua/ppt-presion-7mo.pdf"},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/presion_bajo_el_agua/docs/Presentacion%207mo_Unidad2_OA6.pptx","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/presion-agua/ppt-presion-7mo.pptx","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Download Presentation"}}]},"4":{"contenido":[{"eng":"Practical Guide","esp":"Guía Práctica","tipo":"h3"},{"esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes analicen la dispersión de datos en distintos contextos. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.\n
","tipo":"p","eng":"This document proposes various exercises that are intended for students to analyze the dispersion of data in different contexts. In addition, these can be used to formatively assess the knowledge developed from the situation.\n
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/presion-agua/gp-presion-7mo.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/presion_bajo_el_agua/pdfs/Guia%20Practica%207mo_Unidad2_OA6.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Guia práctica","eng":"Download practical guide"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/presion_bajo_el_agua/docs/Guia%20Practica%207mo_Unidad2_OA6.docx","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/presion-agua/gp-presion-7mo.docx","recurso":"Descarga","tipo":"button"}],"visible":true}},"visible":true},"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Algebraic expressions","esp":"Expresiones Algebraicas"},{"tipo":"p","eng":"In this situation, students will use algebraic language to describe a relationship between two variables, in this case, hydrostatic pressure and depth. Given the above, it is worth remembering some aspects of algebraic language:\n
","esp":"En esta situación, las y los estudiantes harán uso de lenguaje algebraico para describir una relación entre dos variables, en este caso, la presión hidrostática y la profundidad. Dado lo anterior, resulta valioso recordar algunos aspectos del lenguaje algebraico:\n
"},{"esp":"- Las expresiones algebraicas permiten generalizar distintas situaciones.\nMediante ellas es posible expresar fórmulas y regularidades, describir\npropiedades y situaciones provenientes de distintos contextos, entre otras.
- Las variables de una expresión algebraica siempre representan números o\nmedidas. Las variables pueden ser denotadas por distintas letras, sin que\nello cambie su significado.
- Evaluar una expresión algebraica es dar un valor numérico a sus variables.\nEste proceso ayuda a entender la validez de la expresión propuesta y de las\nmanipulaciones algebraicas que llevaron a ella. Además, en aquellos casos\nen que la expresión algebraica se usa para describir una situación específica,\nevaluarla contribuye a interpretar la situación en el contexto y darle sentido\na su estudio.\n
- Algebraic expressions allow you to generalize different situations.\nThrough them it is possible to express formulas and regularities, describe\nproperties and situations from different contexts, among others.
- The variables of an algebraic expression always represent numbers or\nmeasures. Variables can be denoted by different letters, without\nit changes its meaning.
- To evaluate an algebraic expression is to give a numerical value to its variables.\nThis process helps to understand the validity of the proposed expression and the\nalgebraic manipulations that led to it. Furthermore, in those cases\nin which the algebraic expression is used to describe a specific situation,\nevaluating it helps to interpret the situation in context and make sense of it\nto his studio.\n
La relación entre presión hidrostática y profundidad en el mar, corresponde a una\nfunción afín. En particular, la presión depende de la profundidad a la que se\nencuentra el objeto, esta relación es directa, es decir, a mayor profundidad mayor\npresión, como se aprecia en la siguiente expresión:
","tipo":"p","eng":"The relationship between hydrostatic pressure and depth in the sea corresponds to a\naffine function. In particular, the pressure depends on the depth at which\nfinds the object, this relationship is direct, that is, the greater the depth, the greater the\npressure, as can be seen in the following expression:
"},{"tipo":"p","esp":"\\[P_{h}= 0,1 [\\frac{atm}{m}] \\cdot h + 1 [atm] \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (*) \\]","eng":"\\[P_{h}= 0,1 [\\frac{atm}{m}] \\cdot h 1 [atm] \\ \\ \\ \\ \\ \\ (*) \\]"},{"eng":"As can be seen, the pressure Ph","tipo":"p","esp":"Como se puede observar, la presión Ph aumenta 0,1 atmósferas por cada metro que se desciende. En la superficie del mar, es decir cuando h=0 la presión Ph corresponde a la presión atmosférica, que es igual a 1 atmósfera (función afín). En el apartado de aspectos contextuales, podrá revisar la deducción de esta expresión y el significado de las unidades de presión involucradas."},{"eng":"Although in this situation, the expression \\( (*) \\) is not addressed from a functional approach, the previous analysis can be valuable to support the understanding of it in the classroom.\n
","tipo":"p","esp":"Si bien en esta situación, la expresión \\( (*) \\) no se aborda desde un enfoque funcional, el análisis anterior puede ser valioso para apoyar la comprensión respecto de ella en el aula.\n
"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"esp":"Propuesta didáctica y posibles dificultades asociadas a ella ","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"In this situation the students have a more formal approach to the\nalgebra. In it, it is sought that they manage to construct an algebraic expression that\nrelates the hydrostatic pressure under the sea with the depth, for which\nproposes the following sequence:\n\n
","tipo":"p","esp":"En esta situación las y los estudiantes tienen un acercamiento más formal al\nálgebra. En ella se busca que logren construir una expresión algebraica que\nrelaciona la presión hidrostática bajo el mar con la profundidad, para lo cual se\npropone la siguiente secuencia:\n\n
"},{"esp":"- Comprender mediante tablas de datos la relación entre presión y\nprofundidad al notar que los valores de presión y profundidad aumentan\nproporcionalmente.\n
- Usan la comprensión anterior para determinar los valores inmediatamente\nsiguientes de la tabla.
- Calculen la presión hidrostática para valores mucho más grandes para\ncrear la necesidad de buscar patrones generales que faciliten dicha tarea.\n
- Deben explicar su procedimiento, esto con la finalidad de generalizar el\ncálculo.\n
- Usan símbolos para representar cada una de las variables y determinan\nuna expresión algebraica para referirse a la relación entre presión\nhidrostática y profundidad.
- Understand through data tables the relationship between pressure and\ndepth by noticing that the pressure and depth values increase\nproportionally.\n
- Use prior understanding to determine values immediately\nfrom the table.
- Calculate the hydrostatic pressure for much larger values for\ncreate the need to look for general patterns that facilitate this task.\n
- They should explain their procedure, this in order to generalize the\ncalculation.\n
- Use symbols to represent each of the variables and determine\nan algebraic expression to refer to the relationship between pressure\nhydrostatic and depth.
Although the activity is designed for students to recognize the\nneed to express algebraically the relationship between pressure and depth, and\nin fact, find the expression that generalizes the relationship between the two\nvariables, it is possible that students will find a way to\ndetermine the hydrostatic pressure at extreme depths, without relating the\nvariables directly using recursive reasoning, as detailed in the\nfollowing scheme:\n
","esp":"Si bien la actividad está pensada para que las y los estudiantes reconozcan la\nnecesidad de expresar algebraicamente la relación entre presión y profundidad, y\nde hecho, encuentren la expresión que generaliza la relación entre ambas\nvariables, es posible que las y los estudiantes encuentren una manera para\ndeterminar la presión hidrostáticas a profundidades extremas, sin relacionar las\nvariables directamente usando un razonamiento recursivo, como se detalla en el\nsiguiente esquema:\n
"},{"tipo":"img","escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/presion-agua/imgs/tabla-principal-v2.png","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/presion_bajo_el_agua/imgs/tabla_principal_1.png"},{"tipo":"p","eng":"As shown in this schematic, it is possible to obtain the pressure for a depth of 1000 m using a vertical pattern:\n
","esp":"Como se muestra en este esquema, es posible obtener la presión para una profundidad de 1000 m usando un patrón vertical: \n
"},{"esp":"- Se reconoce que entre 1000 m y 40 m hay 960 m de diferencia.
- De la tabla se reconoce que cada 10 m la presión aumenta 1 atm. Por tanto, al “ir” de 40 a 1000 m de profundidad la presión aumenta en 96 atm.
- El aumento de 96 atm es desde 40 m hasta los 1000 m, por tanto la presión final en 1000 m es 96 atm más 5 atm (presión en 40 m)
- It is recognized that between 1000 m and 40 m there is a difference of 960 m.
- From the table it is recognized that every 10 m the pressure increases 1 atm. Therefore, when “going” from 40 to 1000 m deep, the pressure increases by 96 atm.
- The increase of 96 atm is from 40 m to 1000 m, therefore the final pressure at 1000 m is 96 atm plus 5 atm (pressure at 40 m)
Sin embargo, lo que se quiere establecer es una relación entre las variables\npresión hidrostática y profundidad. Si nota que sus estudiantes proponen un\npatrón recursivo para generalizar la situación, motívelos a encontrar una relación\ndirecta entre ambas variables, es decir, que permita calcular la presión\nhidrostática a partir del valor de la profundidad.
","eng":"However, what you want to establish is a relationship between the variables\nhydrostatic pressure and depth. If you notice that your students propose a\nrecursive pattern to generalize the situation, encourage them to find a relationship\nrelationship between both variables, that is, that allows calculating the pressure\nhydrostatic from the depth value.
"},{"esp":"Consideraciones respecto al concepto de presión y su unidad de medida","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"En esta situación, las y los estudiantes deberán trabajar con el concepto físico de presión, cuya magnitud se mide, en el sistema internacional en Pascales (Pa). Estos a su vez se definen como la presión que ejerce una fuerza normal de 1 newton (N) sobre una superficie de un metro cuadrado \\(m^2\\). Por cierto, estos conocimientos escapan al nivel del curso, y de hecho, hacerlos explícitos a los estudiantes puede confundirlos y afectar el correcto desarrollo de la lección. ","eng":""},{"eng":"","esp":"Considerando lo anterior, para efectos de la propuesta didáctica y su desarrollo, solo basta que las y los estudiantes comprendan que la presión hidrostática se refiere al peso que la masa de agua ejerce sobre un cuerpo sumergido en él, y que para medir dicho peso se utilizan unidades de medida. En esta situación en particular, la unidad de medida de presión con la que se trabajará es la atmósfera (atm). ","tipo":"p"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"hydrostatic pressure","esp":"Presión hidrostática","tipo":"h3"},{"esp":"La presión hidrostática se refiere a la presión que ejerce una columna de líquido\nen reposo sobre un objeto. Esta presión depende de la profundidad \\(h\\) a la que\nse encuentra el objeto y al peso específico del líquido \\( \\rho \\cdot g \\), donde \\(\n\\rho \\) es la densidad del líquido y \\(g\\) es la aceleración de gravedad, valores que\nse asumen constantes. Además, a esta expresión debemos sumarle la presión\nque ejerce la atmósfera terrestre \\(P_{atm}\\). La expresión algebraica que se usa\npara modelar esto es:
","tipo":"p","eng":"Hydrostatic pressure refers to the pressure exerted by a column of liquid\nat rest on an object, this pressure depends on the depth \\(h\\) at which\nis the object and the specific weight of the liquid \\( \\rho \\cdot g \\), where \\(\n\\rho \\) is the density of the liquid and \\(g\\) is the acceleration of gravity, values that\nare assumed constant. In addition, to this expression we must add the pressure\nexerted by the Earth's atmosphere \\(P_{atm}\\). The algebraic expression used\nto model this is:
"},{"eng":"\\[P_{h}= \\rho \\cdot g \\cdot h P_{atm}\\]
","tipo":"p","esp":"\\[P_{h}= \\rho \\cdot g \\cdot h + P_{atm}\\]
"},{"tipo":"p","esp":"Ahora llevaremos esta expresión, al caso particular de esta situación, que es la\npresión hidrostática en el océano, suponiendo que es un líquido en reposo de\npeso específico constante. A \\(10 \\text{ m}\\) de profundidad, la densidad del mar\nes de aproximadamente \\(1 \\ 030 \\frac{\\text{kg}}{\\text{m}^3}\\) y la aceleración de\ngravedad \\(9{,}8 \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\), y la presión atmosférica es de\naproximadamente \\(101 \\ 325 \\text{ Pa}\\). De esta forma se obtiene que:\n
","eng":"Now we will take this expression, to the particular case of this situation, which is the\nhydrostatic pressure in the ocean, assuming that it is a liquid at rest of\nconstant specific weight. At \\(10 \\text{ m}\\) depth, the density of the sea\nis approximately \\(1 \\ 030 \\frac{\\text{kg}}{\\text{m}^3}\\) and the acceleration of\ngravity \\(9{,}8 \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\), and the atmospheric pressure is\napproximately \\(101 \\ 325 \\text{ Pa}\\), then we are left with:\n
"},{"esp":"$$P_{h}= \\rho \\cdot g \\cdot h + P_{atm}$$\n$$P_{h}=1 \\ 030\\frac{\\text{kg}}{\\text{m}^3} \\cdot 9{,}8 \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2} \\cdot 10 \\text{ m} + 101 \\ 325 \\text{ Pa} $$\n$$P_{h}=100 \\ 940 \\text{ Pa}+ 101 \\ 325 \\text{ Pa}$$\n$$P_{h}=202 \\ 295 \\text{ Pa} \\approx 2 P_{atm} $$\n
","tipo":"p","eng":"$$P_{h}= \\rho \\cdot g \\cdot h P_{atm}$$\n$$P_{h}=1 \\ 030\\frac{\\text{kg}}{\\text{m}^3} \\cdot 9{,}8 \\frac{\\text{m}}{\\text{s} ^2} \\cdot 10 \\text{ m} 101 \\ 325 \\text{ Pa} $$\n$$P_{h}=100 \\ 940 \\text{ Pa} 101 \\ 325 \\text{ Pa}$$\n$$P_{h}=202 \\ 295 \\text{ Pa} \\approx 2 P_{atm} $$\n
"},{"eng":"This can be interpreted as every \\(10 \\text{ m}\\) of depth the hydrostatic pressure in the ocean increases by approximately \\(101 \\ 940 \\text{ Pa}\\) which can be approximated to \\(1 \\text{atm}\\). So we can use the following model for the hydrostatic pressure in the ocean:\n
","esp":"Esto se puede interpretar como que cada \\(10 \\text{ m}\\) de profundidad la presión hidrostática en el océano aumenta aproximadamente \\(101 \\ 940 \\text{ Pa}\\) que se puede aproximar a \\(1 \\text{ atm}\\). Por lo que podemos usar el siguiente modelo para la presión hidrostática en el océano:\n
","tipo":"p"},{"eng":"$$P_{h} = \\frac{h}{10\\text{ m}} \\cdot 1 P_{atm} 1 P_{atm}$$
","tipo":"p","esp":"$$P_{h} = \\frac{h}{10\\text{ m}} \\cdot 1 P_{atm} + 1 P_{atm}$$
"},{"tipo":"p","eng":"If we measure the pressure in atmospheres and the height in meters, we get the hydrostatic pressure of the ocean:\n
","esp":"Por lo tanto, si medimos la presión en atmósferas y la altura en metros, obtenemos la expresión para presión hidrostática del océano con la que se trabajará en esta actividad:"},{"esp":"\\[P_h = 0,1 \\cdot h + 1\\]
","eng":"\\[P_h = 0.1 \\cdot h 1\\]
","tipo":"p"}]}},"visible":true},"recursosProyecto":[],"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Momento de Enganche","tipo":"h3","eng":"Engagement Moment"},{"eng":"(Slides 2 and 3, Presentation)","esp":"(Diapositivas 2 y 3, Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"Present the introductory video to your students and allow space for them to share their thoughts on the following questions:\n
","tipo":"p","esp":"Presente el video introductorio a sus estudiantes y dé espacio para que compartan sus opiniones respecto de las siguientes preguntas:\n
"},{"esp":"- ¿Por qué el pez borrón luce tan distinto fuera del agua en comparación con su hábitat natural?\n
- Según lo que se explica en el video, ¿Por qué a medida que un buzo desciende la presión sobre él es mayor?\n
- ¿Cuáles son los riesgos para la salud física a los que se expone un buzo? ¿Cómo se relacionan estos con el aumento de la presión en el mar?
- Why does the blobfish look so different out of water compared to its natural habitat?\n
- Why might a diver experience pain and discomfort in his ears as he descends to the bottom of the sea?\n
- Why do divers have to ascend slowly when they return to the surface?
Estas preguntas buscan que las y los estudiantes consoliden la comprensión\nrespecto de la relación entre la presión hidrostática y la profundidad en el mar. En particular, \n
- \n
- \nque reconozcan que a mayor profundidad hay una mayor masa de agua sobre un cuerpo sumergido, y por tanto es cada vez mayor el peso que dicha masa de agua ejerce sobre el cuerpo (ie. la presión aumenta con la profundidad). \n \n
- Lo anterior tiene efectos en el cuerpo humano por ejemplo, y por ende, los buzos deben conocer y manejar una serie de estrategias para contrarrestarlos. \n
These questions are intended for students to consolidate understanding\nregarding the relationship between hydrostatic pressure and depth in the sea. Is\nThe third question is likely to be more difficult for you to answer, as it requires a\nmajor analysis. If necessary, it is suggested to re-project the part of the\nvideo that explains decompression syndrome and answer the question in\ntogether with the whole course.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"h3","eng":"Presentation of the problem","esp":"Presentación del problema "},{"eng":"(Slide 4, Presentation)","esp":"(Diapositiva 4, Presentación)","tipo":"h4"},{"esp":"Comente a sus estudiantes que la situación presentada lleva a plantear la siguiente interrogante:
","eng":"Tell your students that the situation presented leads to the following question:
","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","eng":"- How is hydrostatic pressure related to the depth at which an object is located?
¿De qué manera se relacionan la presión hidrostática con la profundidad a la que se encuentra un objeto?"},{"eng":"Mention that for the remainder of class, they will work on finding an algebraic expression that accounts for the relationship between both variables.
","tipo":"p","esp":"Mencione que en lo que resta de clase, trabajarán en encontrar una expresión algebraica que dé cuenta de la relación entre ambas variables.
"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"First part","esp":"Primera parte"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 5 a 12, Presentación)","eng":"(Slides 5 to 12, Presentation)"},{"eng":"Read the problem posed in Activity 1 of the Activity Sheet with your students:
","tipo":"p","esp":"Lea, en conjunto a sus estudiantes, el problema que se plantea en la Actividad 1 de la Hoja de Actividades. Esta primera actividad tiene como objetivo que las y los estudiantes reconozcan que los valores de presión y profundidad aumentan proporcionalmente (Tarea matemática A) .
"},{"eng":"Activity 1
\nAs we have studied, the pressure under the sea increases as the depth increases, since when descending there is an increasing mass of water that exerts its weight on the submerged object (a fish, a diver, etc.). The following table shows some values for the pressure under the sea for different depths:\n
\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/presion_bajo_el_agua/imgs/tabla_principal_2.png\")
From the table above, answer the following questions:
\n- How do the depth and pressure values in the table increase?
- What happens to the hydrostatic pressure when the depth changes from 0 to 10 meters?
- What is the difference in hydrostatic pressure between 20 meters deep and 30 meters deep?\n
- What would be the hydrostatic pressure at a depth of 50 meters? And at 60?\nmeters?
Actividad 1
\nCómo hemos estudiado, la presión bajo el mar aumenta a medida que aumenta la profundidad, pues al descender hay una masa de agua cada vez mayor que ejerce su peso sobre el objeto sumergido (un pez, un buzo, etc.). En la siguiente tabla, se muestran algunos valores para la presión bajo el mar para distintas profundidades:\n
\n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/presion-agua/imgs/esp/tabla_principal_2.png\")
A partir de la tabla anterior, responde las siguientes preguntas:
\n- ¿Cómo aumentan los valores de profundidad y presión en la tabla?
- ¿Qué ocurre con la presión hidrostática cuando la profundidad cambia de 0 a 10 metros?
- ¿Cuál es la diferencia de presión hidrostática entre 20 metros de profundidad y 30 metros de profundidad?\n
- ¿Cuál sería la presión hidrostática a una profundidad de 50 metros?, ¿y a 60\nmetros?
- Aumenta en 10 metros y la presión aumenta en 1 atm\n
- Aumenta\n
- La diferencia es de una atmósfera\n
- La presión hidrostática a 50 metros de profundidad es de 6 atmósferas y a\n60 metros de profundidad es de 7 atmósferas.
- It increases by 10 meters and the pressure increases by 1 atm\n
- Increases\n
- The difference is one atmosphere\n
- The hydrostatic pressure at a depth of 50 meters is 6 atmospheres and at\n60 meters deep is 7 atmospheres.
Dé un tiempo para que las y los estudiantes respondan estas preguntas y luego pida que compartan sus respuestas con el resto del curso. En este momento se sugiere realizar preguntas para que sus estudiantes identifiquen relaciones entre la presión hidrostática y la profundidad. Para ello puede plantear preguntas como la siguiente,\n
","eng":"Allow students time to answer these questions and then have them share their answers with the rest of the class. At this time it is suggested to ask questions for your students to identify relationships between hydrostatic pressure and depth. To do this, you can ask questions like the following:\n
"},{"esp":"¿Encuentran alguna relación entre la presión y la profundidad?
","recurso":"Pregunta","eng":"Do you find any relationship between pressure and depth?
","tipo":"momento"},{"eng":"Lead the discussion so that students recognize that hydrostatic pressure increases by 1 atmosphere for every 10 meters of depth.
","esp":"Guíe la discusión para que las y los estudiantes reconozcan que la presión hidrostática aumenta en 1 atmósfera cada 10 metros de profundidad.
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"Next, present activity 2 of the Activity Sheet to your students, and read together the questions that are intended for students to be able to Recognize and apply the operations involved in determining hydrostatic pressure at 1,000 m, 3,600 m, and 5,650 m depth. :\n
","esp":"Luego, presente a sus estudiantes la actividad 2 de la Hoja de Actividades, y lean en conjunto las preguntas que tienen por objetivo que las y los estudiantes sean capaces de reconocer y aplicar las operaciones involucradas al determinar la presión hidrostática en 1000 m, 3600 m y 5650 m de profundidad (Tarea Matemática B):\n
"},{"tipo":"momento","esp":"Actividad 2\n
- ¿Cuál sería la presión hidrostática a una profundidad de 1000 metros de profundidad?\n
- ¿Cuál sería la presión hidrostática a una profundidad de 3600 metros de profundidad?\n
- ¿Cuál sería la presión hidrostática a una profundidad de 5650 metros de profundidad?
- Describe cómo obtener la presión hidrostática para cualquier profundidad.
Activity 2\n
- What would be the hydrostatic pressure at a depth of 1000 meters?\n
- What would be the hydrostatic pressure at a depth of 3600 meters?\n
- What would be the hydrostatic pressure at a depth of 5650 meters?
- Describe how to obtain the hydrostatic pressure for any depth.
Dé tiempo para que aborden estas preguntas y luego pida a sus estudiantes que compartan sus resultados y las descripciones de cómo obtuvieron la presión para estas profundidades. Las ideas que pueden surgir son:
","tipo":"p","eng":"Allow time for them to address these questions, and then have students share their results and descriptions of how they obtained the pressure for these depths. The ideas that may arise are:
"},{"eng":"- Divide the depth by 10 and add 1
- Multiply the depth by 0.1 and add 1
- Dividir la profundidad en 10 y sumarle 1
- Multiplicar la profundidad por 0,1 y sumarle 1
By monitoring work, some of your students may:
","esp":"Al monitorear el trabajo, es posible que algunos/as de sus estudiantes:
\n\n","tipo":"p"},{"esp":"- Determinen la presión construyendo una tabla hasta 1000 metros de profundidad. En este caso, motívelos a que busquen una estrategia más general y menos laboriosa. Puede pedirles, que observen la regularidad de lo que hicieron en los casos anteriores, para aplicarla a los casos de profundidades mayores.
- Describan el procedimiento para obtener la presión hidrostática de manera rudimentaria. Por ejemplo, “para obtener la presión hay que quitarle el cero a la profundidad y a ese número sumarle uno”. En estos casos se sugiere proponer que asocien estas ideas con operaciones matemáticas.
- Reconozcan la relación de proporcionalidad entre ambas variables la cual puede ser expresada en forma algebraica o gráfica. En este caso, destaque ese razonamiento y mencione que abordarán esta idea a continuación.\n
- Determine the pressure by building a table up to 1000 meters deep. In this case, encourage them to look for a more general and less laborious strategy. You can ask them to observe the regularity of what they did in the previous cases, to apply it to the cases of greater depths.
- Describe the procedure to obtain the hydrostatic pressure in a rudimentary way. For example, \"to obtain the pressure you have to remove the zero from the depth and add one to that number\". In these cases, it is suggested to propose that they associate these ideas with mathematical operations.
- Recognize the proportional relationship between both variables, which can be expressed algebraically or graphically. In this case, highlight that reasoning and mention that you will address this idea next.\n
In conjunction with the course, systematize the main ideas addressed at this time, for example:\n
","esp":"En conjunto con el curso sistematicen las principales ideas abordadas en este momento, por ejemplo:\n
","tipo":"p"},{"esp":"- A partir de la relación que existe entre las dos variables, establecemos patrones.
- Usamos las regularidades del modelo para poder predecir qué ocurrirá en casos de mayor dificultad
- Finalmente, buscamos una expresión algebraica que generalice la situación para poder resolver problemas.
- From the relationship that exists between the two variables, we establish patterns.
- We use the regularities of the model to be able to predict what will happen in more difficult cases
- Finally, we look for an algebraic expression that generalizes the situation in order to solve problems.
Luego, presente la actividad 3 de la Hoja de Actividades, que tiene por objetivo que sus estudiantes expresen algebraicamente la relación entre presión y profundidad (Tarea Matemática C). Note que la tabla presenta en su primera columna la profundidad, y en la segunda, la presión.\n
","eng":"Next, introduce activity 3 from the Activity Sheet, which is intended for your students to express algebraically the relationship between pressure and depth. Note that the table presents in its first column the depth, and in the second, the pressure.\n
","tipo":"p"},{"eng":"Activity 3
\nDetermine the algebraic expression that relates the Hydrostatic Pressure measured in atmospheres (atm) and the depth in meters (m)\n
","tipo":"momento","esp":"Actividad 3
\nDetermina la expresión algebraica que relaciona la Presión hidrostática medida en atmósferas (atm) y la profundidad en metros (m)\n
\n","recurso":"Actividades"},{"eng":"Allow space for students to address this question. It is suggested to highlight that\nthrough the \"algebraic expression\" a general rule is sought that can be applied to\nall the values that the parameters involved can take, in this case the pressure\nhydrostatic and depth..
","esp":"Dé espacio para que las y los estudiantes aborden esta pregunta. Se sugiere resaltar que\nmediante la “expresión algebraica” se busca una regla general que se puede aplicar a\ntodos los valores que pueden tomar los parámetros involucrados, en este caso la presión\nhidrostática y la profundidad..
","tipo":"p"},{"eng":"At this point, it is important to note that to represent the relationship sought it is possible\nuse letters or symbols to which a specific meaning is associated. It is suggested to motivate\nyour students to discuss different ways of representing the relationship between\nhydrostatic pressure and depth. To do this, highlight the need to represent each\nvariable involved.
","esp":"En este punto, es importante destacar que para representar la relación buscada es posible\nutilizar letras o símbolos a los que se asocia un significado concreto. Se sugiere motivar a\nsus estudiantes a discutir distintas maneras de cómo representar la relación entre la\npresión hidrostática y la profundidad. Para ello destaque la necesidad de representar cada\nvariable involucrada.
","tipo":"p"},{"esp":"Con estas consideraciones se espera que las y los estudiantes den respuesta a la pregunta,\ny den una expresión algebraica para la relación entre Presión hidrostática (\\(P_h\\)). y\nprofundidad(\\(h\\)). Estas pueden ser:
","tipo":"p","eng":"With these considerations, students are expected to answer the question,\nand give an algebraic expression for the relationship between Hydrostatic Pressure (\\(P_h\\)). and\ndepth(\\(h\\)). These can be:
"},{"tipo":"p","esp":"- \\(P_h= (h : 10) +1\\)
- \\(P_h= 0,1 \\cdot h +1\\)
- \\(P_h= \\frac{h}{10} +1\\)
- \\(P_h= (h : 10) 1\\)
- \\(P_h= 0.1 \\cdot h 1\\)
- \\(P_h= \\ frac{h}{10} 1\\)
Pídales anotar las expresiones algebraicas a las que llegaron en la pizarra, y luego con el\ngrupo curso, destaque las que están correctas y muestre la equivalencia entre ellas.\nAdemás, analicen las expresiones que no son correctas, debatiendo con el grupo curso las\nrazones de porque son erróneas. Por ejemplo, qué le falta a la expresión, qué le sobra y\ncómo se pueden mejorar.
","tipo":"p","eng":"Ask them to write down the algebraic expressions they arrived at on the board, and then with the\ncourse group, highlight those that are correct and show the equivalence between them.\nAlso, analyze the expressions that are not correct, discussing with the class group the\nreasons why they are wrong. For example, what is missing from the expression, what is left over and\nhow can they be improved.
"},{"tipo":"momento","recurso":"Destacado","esp":"Pese a que esta actividad está pensada para estudiantes de 7mo básico, y que en cursos previos debieron abordar relaciones algebraicas y otros conceptos asociados, es posible que hayan dificultades para expresar la relación en términos algebraicos. En este sentido, se sugiere dar el tiempo necesario, para que sus estudiantes comprendan e interioricen la expresión algebraica.
","eng":"Despite the fact that this activity is designed for 7th grade students, and that in previous courses they had to deal with algebraic relationships and other associated concepts, it is possible that they may have difficulties expressing the relationship in algebraic terms. In this sense, it is suggested to give the necessary time so that your students understand and internalize the algebraic expression.
"},{"esp":"(Diapositivas 13 a 16, Presentación)","eng":"(Slides 13 to 16, Presentation)","tipo":"h4"},{"esp":"Presente la actividad 4 de la Hoja de Actividades, en la cual las y los estudiantes deben completar una tabla con diversos valores para la presión y profundidad, relacionados con situaciones específicas. Para ello deberán construir y resolver ecuaciones sencillas, usando la relación algebraica que desarrollaron anteriormente (Tareas Matemáticas D y E).\n. Lea el enunciado y dé indicaciones generales de cómo usar la expresión en cada caso particular (en algunos casos la incógnita es la presión y en otros la profundidad).\n
","eng":"Introduce activity 4 from the Activity Sheet, in which students complete a table using the algebraic expression they just established. Read the statement and give general instructions on how to use the expression in each particular case (in some cases the unknown is the pressure and in others the depth).\n
","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"Segunda parte","eng":"Second part"},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","eng":"Activity 4
\nConsidering the algebraic expression obtained in the previous activity, complete the following table, which relates the hydrostatic pressure at certain depths with depth records reached by submarines and divers, and with its impacts on human beings.
\n
","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/presion_bajo_el_agua/imgs/tabla_principal_3.png\")
\nActividad 4
\nConsiderando la expresión algebraica obtenida en la actividad anterior, completa la siguiente tabla, que relaciona la presión hidrostática a ciertas profundidades con récords de profundidad alcanzados por submarinos y buzos, y con sus impactos en seres humanos.
\n
"},{"eng":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/presion-agua/imgs/esp/tabla_principal_3.png\")
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/presion_bajo_el_agua/imgs/tabla_principal_4.png\")
< /p>","recurso":"Respuesta","tipo":"momento","esp":"
"},{"esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/presion-agua/imgs/esp/tabla_principal_4.png\")
Una vez completada la tabla, destaque la interpretación de cada uno de los valores encontrados, con preguntas tales como:\n
","eng":"Once the table is complete, highlight the interpretation of each of the values found, with questions such as:\n
","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","eng":"- What is the pressure that the Trieste submarine was able to withstand?
- At what depth can divers suffer physical consequences if they do not take adequate precautions?
- ¿Cuál es la presión que era capaz de soportar el submarino Trieste?
- ¿A partir de qué profundidad los buzos pueden sufrir consecuencias físicas si no toman las precauciones adecuadas?
- ¿Hay submarinos en la actualidad que soporten mayores presiones que el Trieste?
- La narcosis de nitrógeno es un estado similar a la embriaguez causada por el\nnitrógeno presente en nuestro sistema nervioso al exponerse a altas presiones, su\ncausa específica se desconoce, pero es rápidamente reversible, ¿cómo crees que se\npuede revertir?\n?
- Are there submarines today that withstand higher pressures than the Trieste?
- Nitrogen narcosis is a state similar to intoxication caused by the\nnitrogen present in our nervous system when exposed to high pressures, its\nspecific cause is unknown, but it is rapidly reversible, how do you think it is\ncan reverse?\n?
Se sugiere que considerando lo realizado en clases, sistematice las siguientes ideas:\n
","eng":"It is suggested that considering what was done in class, systematize the following ideas:\n
"},{"tipo":"p","esp":"- Las expresiones algebraicas pueden utilizarse para modelar situaciones del mundo real, como la relación entre la presión bajo el mar y la profundidad.
- Para encontrar esta expresión algebraica usamos símbolos para representar cada una de las variables involucradas y las operaciones matemáticas que las relacionan.
- Evaluar una expresión algebraica contribuye a interpretar la situación en el contexto.
- Algebraic expressions can be used to model real world situations, such as the relationship between pressure under the sea and depth.
- To find this algebraic expression we use symbols to represent each of the variables involved and the mathematical operations that relate them.
- Evaluating an algebraic expression helps to interpret the situation in context.
Introduce your students to the How To Guide. The objective of this is for students to find algebraic expressions for two situations:\n
","esp":"Presente a sus estudiantes la Guía práctica. Esta tiene por objetivo que las y los estudiantes encuentren expresiones algebraicas para dos situaciones: \n
","tipo":"p"},{"eng":"- Relationship between Kelvin degrees and Celsius degrees
- Gay-Lussac's law, which establishes that the volume of a gas is directly proportional to its temperature (this is a subject that students have addressed in natural sciences).\n
- Relación entre escalas de temperatura (grados celsius y Kelvin)
- Ley de Gay-Lussac, que establece que el volumen de un gas es directamente proporcional a su temperatura (este es un tema que las y los estudiantes han abordado en ciencias naturales).\n
Para cada situación se propone un trabajo similar al realizado en la actividad para\nestablecer la expresión algebraica que describe la relación entre presión y\nprofundidad. Es posible que la situación relativa a la ley de Gay-Lussac les resulte\nun poco más complicada, debido a la relación entre las variables. En caso de notar\ndificultades, se sugiere recordar a sus estudiantes que significa que las dos variables\nsean directamente proporcionales.\n
","tipo":"p","eng":"For each situation, a task similar to that carried out in the activity for\nEstablish the algebraic expression that describes the relationship between pressure and\ndepth. You may find the situation regarding Gay-Lussac's law\na little more complicated, due to the relationship between the variables. In case you notice\ndifficulties, it is suggested to remind your students what it means that the two variables\nare directly proportional.\n
"},{"eng":"The tasks proposed in the Practical Guide can be used to formatively assess the following assessment indicators:\n
","esp":"Las tareas propuestas en la Guía práctica pueden ser utilizadas para evaluar formativamente los siguientes indicadores de evaluación:\n
","tipo":"p"},{"eng":"- Relate natural language expressions with algebraic terms.
- Represent algebraic expressions.
- Relacionan expresiones del lenguaje natural con términos algebraicos.
- Representan expresiones algebraicas.
La infografía “Contaminación intradomiciliaria” explica el concepto de contaminación intradomiciliaria y presenta un gráfico basado en un estudio que analizó el promedio de las concentraciones de material particulado cuando se utilizan distintas fuentes de calefacción en hogares de una comuna de Chile.
"},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/pdfs/infografia_calefaccionando_el_hogar_horizontal.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Infografia","eng":"Descargar Infografia"},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/pdfs/infografia_calefaccionando_el_hogar_horizontal.pdf","eng":"","recurso":"Descarga"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 4)"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20PyE_U2_OA2.pdf","eng":""},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Descargar Presentación"},"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20PyE_U2_OA2.pptx"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Hoja de Actividades","tipo":"h3"},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/Recursos%20Apoyo/Hoja%20de%20Actividades%20PyE_U2_OA2.pdf"},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/Recursos%20Apoyo/Hoja%20de%20Actividades%20PyE_U2_OA2.docx","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Hoja de Actividades"},"eng":""},{"esp":"Presentación (diapositivas 5 a 27)","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20PyE_U2_OA2.pdf","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20PyE_U2_OA2.pptx","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"},"tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":""},{"eng":"","esp":"Base de datos ","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"La base de datos “Base de datos - Actividad 4 Guía Práctica” presenta las tallas de calzado y estaturas de una muestra de 18 personas. La planilla se dispone para que los estudiantes puedan calcular la suma de los productos (xi - x)·(yi - y) y el coeficiente de correlación de las variables, usando las herramientas de las hojas de cálculo.
","tipo":"p"},{"tipo":"button","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/docs/Base%20de%20datos%20-%20Actividad%204%20Guia%20Practica.xlsx","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Base de dato"},"recurso":"Descarga"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 28 a 31 )"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20PyE_U2_OA2.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20PyE_U2_OA2.pptx","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""},"tipo":"button","eng":""}]},"4":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Guía Práctica","tipo":"h3"},{"esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes analicen la dispersión de datos en distintos contextos. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/Recursos%20Apoyo/Guia%20Practica%20PyE_U2_OA2.pdf"},{"eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía Práctica"},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/Recursos%20Apoyo/Guia%20Practica%20PyE_U2_OA2.docx"},{"tipo":"h3","esp":"Base de datos","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"La base de datos “Base de datos - Actividad 4 Guía Práctica” presenta las tallas de calzado y estaturas de una muestra de 18 personas. La planilla se dispone para que los estudiantes puedan calcular la suma de los productos (xi - x)·(yi - y) y el coeficiente de correlación de las variables, usando las herramientas de las hojas de cálculo.
"},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/docs/Base%20de%20datos%20-%20Actividad%204%20Guia%20Practica.xlsx","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Base de dato"}}],"visible":true}},"visible":true},"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Momento de Enganche","eng":""},{"esp":"(Diapositiva 2 y 3, presentación)","eng":"","tipo":"h4"},{"esp":"Presente la Infografía “Contaminación intradomiciliaria”. Luego, pida a las y los estudiantes que compartan sus opiniones sobre lo leído. Resuelva dudas y realice preguntas que les ayuden a involucrarse con la actividad, tales como:
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"","esp":"- ¿Qué combustible genera mayores concentraciones promedios de materiales particulados en el aire?\n
- Si el gas genera menores concentraciones de promedios de materiales particulados en el aire, ¿por qué la parafina o la leña se usan con mayor frecuencia?\n
","recurso":"Pregunta"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Presentación del problema "},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(diapositiva 4 y 5, presentación)"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Presente a sus estudiantes el siguiente contexto de la Hoja de Actividades:\n
"},{"eng":"","esp":"Se encargó un estudio para evaluar el consumo de parafina en los meses de invierno en una ciudad del sur de Chile. Para ello, se eligió una muestra de 30 hogares, y se recopilaron datos del consumo semanal de parafina y otras tres variables: superficie de la vivienda, temperatura promedio semanal y ocupación promedio de la vivienda, que corresponde al promedio semanal de horas en la que hubo al menos una persona en la vivienda durante el día.","tipo":"p"},{"esp":"A continuación, pida que respondan la Actividad 1 de la Hoja de Actividades, se sugiere dar un tiempo para que sus estudiantes analicen la situación de manera individual.
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"momento","esp":"1.¿Cuál de las otras tres variables crees que puede estar más relacionada con el consumo semanal de parafina?
","eng":"","recurso":"Actividades"},{"tipo":"p","esp":"Con el objetivo de que las y los estudiantes reflexionen sobre cómo se podrían relacionar las variables involucradas en el estudio (Tarea Matemática A), puede plantear preguntas como las siguientes: ","eng":""},{"eng":"","esp":"- ¿Cómo crees que se relaciona la superficie de la vivienda con el consumo de parafina? ¿Y la ocupación? \n
- ¿Crees que la temperatura ambiental influye en el consumo de parafina?\n
","recurso":"Pregunta","tipo":"momento"},{"eng":"","esp":"No es necesario profundizar en esta parte, pues el objetivo de la lección es responder a estas preguntas mediante el análisis de los datos y de los gráficos que representan la relación entre la variable consumo de parafina semanal y las otras tres variables del\nestudio, lo que se desarrollará durante la clase.\n
","tipo":"p"}]},"2":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Primera Parte","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"(Diapositivas 6 a 18, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Para comenzar el análisis sobre la relación entre el consumo de parafina y cada una de las otras variables es importante el uso de gráficos. Para que las y los estudiantes reflexionen respecto al gráfico que permite visualizar la relación entre variables (Tarea Matemática B), puede preguntar a las y los estudiantes: "},{"esp":"- \n¿Qué tipo de gráfico les parece adecuado para analizar la relación entre dos variables cuantitativas?
La idea es concluir que para analizar la relación entre dos variables cuantitativas se usa el gráfico de dispersión, también conocido como “nube de puntos”. A continuación se sugiere presentar los gráficos de las variables involucradas.
","eng":""},{"eng":"","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/imgs/p_-02.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"100"},{"eng":"","esp":"A continuación, solicite que lean la Actividad 2 de la Hoja de Actividades. En esta parte las y los estudiantes analizan nubes de puntos para establecer relaciones entre variables (Tarea Matemática C).","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"momento","esp":"2. A partir del estudio ya descrito, se graficó el consumo de parafina en relación con cada una de las otras variables.\n\nConsiderando los gráficos, ¿se puede establecer cuál de las variables está más relacionada con el consumo semanal de parafina? ¿Por qué?","recurso":"Actividades"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Se sugiere darles un tiempo para que los y las estudiantes entiendan los gráficos y en qué eje está representada cada variable. Puede comentar que el consumo de parafina está representado en el eje vertical, pues resulta natural que corresponda a la variable dependiente dado el problema planteado.
"},{"tipo":"img","eng":"","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/imgs/p_-03.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"75"},{"esp":"
\nNuevamente, se espera que los estudiantes no lleguen a consenso sobre qué variable es la más relacionada con el consumo semanal de parafina. Explique que lo que van a hacer es construir una medida cuantitativa que dé cuenta de esa relación.
\nPara continuar, indique que comenzarán estudiando solo el primer gráfico, y que se han incluido las medias muestrales del consumo semanal de parafina. Verifique la comprensión de sus estudiantes preguntando por el valor de las medias muestrales de la superficie de la vivienda y del consumo de parafina.\nA continuación, comente que en ese gráfico de dispersión se han dibujado dos líneas segmentadas que representan la ubicación de las dos medias muestrales, y que definen las cuatro regiones a las que nos referiremos como cuadrantes y que se denotan usando números romanos.
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Destacado","esp":"Comente a sus estudiantes que una forma de analizar la relación entre pares de variables, es estudiar la disposición de los puntos en los cuadrantes definidos por las medias. Luego, para cada dato, calculamos el producto de las diferencias de cada variable con respecto a su media, y veremos que el signo de este depende del cuadrante donde se ubica el punto.
"},{"eng":"","esp":"En lo que sigue, las y los estudiantes darán sentido a los productos de las diferencias de cada variable con respecto a su media, y a la suma de dichos productos (Tarea Matemática D).\n
\nPara comprender en qué casos el producto de las diferencias es positivo o negativo, se propone trabajar en un ejemplo con menos puntos. Para esto sugiera que trabajen en parejas o grupos en la Actividad 3 de la Hoja de Actividades. Se recomienda que pinten con rojo los productos negativos y con azul los productos positivos.","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"","esp":"3. Para facilitar el estudio del producto de las diferencias de cada variable con respecto a su media, revisaremos el siguiente gráfico. Completa la tabla propuesta y luego responde: ¿Qué se puede decir de la ubicación de los puntos en los cuadrantes? ¿Qué pasa con el producto de las diferencias respecto a las medias?
","recurso":"Actividades"},{"tipo":"momento","recurso":"Respuesta","esp":"Respecto a la variable x, la diferencia de cada dato con respecto a su media será: positiva en el I y IV cuadrante y negativa en el II y III cuadrante.![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/imgs/p_-04.png\")
\nRespecto a la variable y, la diferencia de cada dato con respecto a su media será: positiva en el I y II cuadrante y negativa en el III y IV cuadrante.
\nPor lo tanto, el producto de estas diferencias es siempre positivo para los puntos ubicados en los cuadrantes I y III, mientras que es negativo para los puntos ubicados en los cuadrantes II y IV.\n","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Al finalizar la puesta en común anterior, vuelva a mostrar el gráfico consumo de parafina versus superficie de la vivienda con los cuadrantes y pregunte a sus estudiantes: Solamente mirando el gráfico, ¿hay más puntos cuyos productos de sus diferencias respecto a las medias muestrales son positivos o negativos?
","eng":""},{"eng":"","esp":"La idea es que las y los estudiantes puedan concluir que la mayoría de los puntos se encuentran en los cuadrantes I y III, pues para ellos el producto de las diferencias es positivo, entonces existe una asociación positiva.
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"
\nSe sugiere ahora realizar la siguiente pregunta a sus estudiantes: ¿Cómo se podría encontrar una medida cuantitativa (valor o cantidad) que permita dar cuenta de qué tipo de puntos son los que predominan en el gráfico (rojos o azules)?\nGestione las respuestas de sus estudiantes de forma que surja la idea de sumar los productos de las diferencias.
Para continuar, pida que calculen la suma de los productos para la situación de la Actividad 3 de la Hoja de Actividades.
En la puesta en común, mencione que la expresión∑ ni=1 (xi - x)·(yi - y)busca representar mediante un solo valor la mayor o menor presencia de puntos azules o puntos rojos, y cuán alejados están de las medias muestrales.
Invite a las y los estudiantes a discutir y responder las siguientes preguntas"},{"esp":"- ¿Qué valores tomaría la suma cuando hay muchos más puntos azules? ¿Y cuándo hay muchos más puntos rojos?\n
- ¿Es correcto afirmar que siempre que hay más puntos azules que rojos, esta suma será positiva? ¿Qué puede afectar al valor de la suma?\n
","recurso":"Pregunta","eng":"","tipo":"momento"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Gestione la discusión para que las y los estudiantes se convenzan de que el valor de la suma de los productos se ve más afectado por puntos más alejados del punto (x, y), dado que para ellos el producto obtenido es mayor. Podemos ver que, entonces, el signo de la suma no solo depende del número de puntos azules y rojos, sino que además depende de cuán alejados están los valores de sus medias
"},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"
Muestre el gráfico de consumo de parafina versus superficie de la vivienda, junto con el valor de la suma de los productos, y haga notar que en ese caso la suma es positiva dada la ubicación de los puntos en los cuadrantes.
Para evaluar si las y los estudiantes han comprendido las ideas fundamentales trabajadas, puede presentar el gráfico de consumo de parafina versus temperatura y pregunte:¿La suma de los productos de las diferencias respecto a la media debería ser positiva o negativa? Considera que la media de la temperatura es 8,5 ºC y recuerda que la media del consumo es 18,1 litros
"},{"esp":"Gestione la discusión de forma que se concluya que el producto debe ser negativo, dado que al construir los cuadrantes debería observarse una mayor presencia de puntos rojos que azules y que los puntos están bastante balanceados en cuanto a sus distancias a sus respectivas medias, por lo tanto, hablaremos de una asociación negativa.
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Segunda Parte","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"(Diapositivas 20 a 26, Presentación)","tipo":"h4"},{"esp":"En lo que sigue, las y los estudiantes comprenden que el coeficiente de correlación elimina la dependencia de la escala utilizada para medir los datos, y permite comparar la fuerza de la relación lineal entre pares variables (Tarea Matemática E).\n
\nPresente a sus estudiantes la Actividad 4 de la Hoja de actividades en la que se muestran los valores de la suma de productos para cada uno de los gráficos:![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/imgs/p_-06.png\")
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Recuerde a sus estudiantes que el valor positivo de la suma de productos sugiere una asociación positiva, mientras que el valor negativo sugiere una asociación negativa. Para continuar la discusión en la clase, pida que revisen la pregunta 1 de la Actividad 4.
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"4. 1. Observando los gráficos y la suma de productos para los tres casos: ¿En cuál de ellos pareciera que los puntos se ven más alineados","eng":"","recurso":"Actividades","tipo":"momento"},{"esp":"Se espera que aparezca la idea de que, a simple vista, parece que en el gráfico de consumo versus temperatura los datos se alinean mejor en torno a una recta. Observar que esto sucede pese a que la suma de productos en el gráfico de consumo versus superficie tiene un valor más grande. Para ahondar en esto último, presente a la clase los siguientes gráficos de temperaturas. Note que el gráfico de la izquierda considera en el eje \\(x\\) la temperatura medida en grados Fahrenheit y el gráfico de la derecha considera en el eje \\(x\\) la temperatura medida en grados Celsius.","tipo":"p","eng":""},{"escala":"75","caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/imgs/p_-07.png","alinea":"texto-centrado","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":""}},{"tipo":"p","esp":"Se sugiere comentar brevemente a la clase la relación entre grados Celsius y grados Fahrenheit:
Una temperatura de x grado Celsius, se puede convertir a Fahrenheit de la siguiente forma:x°F = 95 · x° C + 32
Por ejemplo, una temperatura de 37 ºC corresponde a 95 · 37 + 32 =98,6 °F.\n
Pregunte a la clase: \n","eng":""},{"eng":"","tipo":"momento","esp":"- Considera las variables consumo de parafina y temperatura. Si la temperatura se calcula en grados Fahrenheit en vez de Celsius, ¿la suma de los productos de las diferencias será mayor, menor o igual?
","recurso":"Pregunta"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Comente que, al considerar la conversión, los factores (xi - x) no se ven afectados por la suma de 32, pero sí son amplificados por 95, ocasionando que la suma de productos en Fahrenheit sea mayor que en Celsius, precisamente, se amplifica por 95"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Concluya junto a los y las estudiantes que el cambio de escala de medición tiene efectos sobre el valor de la suma de productos, ¿Qué efecto negativo tiene esto para el análisis de datos?
- No permite usar la suma de productos para evaluar el grado de asociación, dada la dependencia en la escala.\n
- No permite comparar el grado de asociación entre pares distintos de \nvariables, dado que éstas posiblemente están medidas en escalas \ndistintas.\n
Anuncie a la clase que se va a introducir una nueva medida estadística con el fin de eliminar el efecto de las escalas de medición. Esta medida es el coeficiente de correlación:
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/imgs/p_-08.png\")
en donde x e y son los respectivos promedios de los conjuntos de datos.
","eng":"","tipo":"momento"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Por ejemplo, al calcular este coeficiente para la temperatura (y) y el consumo de parafina (x) se obtiene un valor r = -0,915, independiente de la escala en que se mida la temperatura. Justamente, la idea de dividir la suma de cuadrados entre los factores que se ven en el denominador de la fórmula es eliminar la dependencia en la escala usada para medir los datos.
Además, otras propiedades del coeficiente r son:
"},{"esp":"- Siempre es una cantidad entre -1 y 1.
- Solo es igual a -1 o 1 cuando entre las variables hay una relación lineal de la forma y = mx + n. Cuando (m > 0) se tiene que (r = 1) y cuando (m < 0) se tiene que (r = -1). Cuando (m = 0) el coeficiente no se puede calcular, pues se obtiene una división del tipo 0/0.
- Cuando (r) es positivo las variables crecen o decrecen conjuntamente; y cuando es negativo una variable decrece a medida que la otra crece.
- Cuando (r) es muy cercano a -1 o 1, se interpreta que hay una fuerte relación lineal entre las variables. Es importante acompañar esta interpretación de la visualización gráfica que lo confirme. En este caso, se puede utilizar (r) como una medida comparativa de la fuerza de la asociación lineal: mientras más alejado de cero está (r), mayor es la fuerza de la asociación lineal.
Finalmente, presente la siguiente tabla donde se muestra la correlación ya calculada para los tres casos y pídales que respondan la pregunta 2 de la Actividad 4 de la Hoja de actividades.\n
En esta parte, las y los estudiantes interpretan coeficientes de correlación (Tarea Matemática F).","eng":""},{"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/imgs/p_-09.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"50"},{"tipo":"momento","esp":"4.2 En base a estos valores y lo revisado durante la clase, ¿cuál es la variable más relacionada con el consumo semanal de parafina?
","recurso":"Actividades","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Se espera que las y los estudiantes observen que la correlación entre la temperatura y el consumo es sustancialmente más fuerte que para las demás variables por tener un valor cercano a -1, por lo que la variable más relacionada con el consumo sería la temperatura y su asociación sería negativa, según estos datos.
","eng":""}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Sistematización "},{"eng":"","esp":"(Diapositivas 28 a 30, Presentación)","tipo":"h4"},{"esp":"Se sugiere realizar una sistematización de las principales ideas trabajadas en la clase, estas son:- El coeficiente de correlación es una medida estadística que nos indica la fuerza de la relación lineal entre dos variables, o conjuntos de datos. Se calcula mediante la fórmula:
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Esta medida es una versión “estandarizada” de la suma de productos, que no se ve afectada por los cambios de escala.![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/imgs/p_-10.png\")
Otras propiedades que puede presentar son:- Siempre es una cantidad entre -1 y 1.
- Solo es igual a -1 o 1 cuando entre las variables hay una relación lineal de la forma y = mx + n. Cuando (m > 0) se tiene que (r = 1) y cuando (m < 0) se tiene que (r = -1). Cuando (m = 0) el coeficiente se indefine, no se puede calcular.
- Cuando (r) es muy cercano a -1 o 1, se interpreta \nque hay una fuerte relación lineal entre las variables. Es importante \nacompañar esta interpretación de la visualización gráfica que lo \nconfirme. En este caso, se puede utilizar (r) como una medida comparativa de la fuerza de la asociación lineal: mientras más alejado de cero está (r), mayor es la fuerza de la asociación lineal.
- Calcular, por medio de herramientas digitales, la sumatoria de los productos de las diferencias respecto a la media y el coeficiente de correlación e interpretar los valores encontrados.
En esta situación se presenta el problema de analizar la incidencia de tres variables respecto del consumo de parafina. Para ello, se motiva el desarrollo de ideas conducentes a la definición del coeficiente de correlación.
","eng":"","tipo":"p"},{"caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"25","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/calefaccionando_el_hogar/imgs/p_-08.png","tipo":"img"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"
\n\nEl coeficiente de correlación r es una medida estadística que indica la fuerza de la relación lineal entre dos variables. Este se estima a partir de pares de datos obtenidos conjuntamente para ambas variables. En esta situación vamos a utilizar el coeficiente de correlación para determinar la fuerza y dirección de la relación entre pares de conjuntos de datos, asociados cada uno a las variables: consumo de parafina, temperatura media, superficie del hogar, y número de ocupantes del hogar.
\n\nDados dos conjuntos de datos de igual tamaño, (x1,…, xn) e (y1,…, yn), el coeficiente de correlación entre ellos se calcula mediante la siguiente fórmula: \n\nen donde x e y son los respectivos promedios de los conjuntos de datos.
Una fórmula equivalente es:r = cov(x,y)sx + sydonde:
- cov(x,y) es la covarianza muestral entre las variables x e y
- sx es la desviación estándar de x
- sy es la desviación estándar de y
Es importante tener en cuenta que la correlación no implica causalidad. Aunque dos variables estén fuertemente correlacionadas, no se puede asumir que una es causa de la otra. Antes de establecer una relación causa y efecto, es importante considerar otros factores. \n\n","eng":"","tipo":"p"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Para llevar a cabo esta actividad, es fundamental tener en cuenta las siguientes consideraciones:
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- La utilización de representaciones gráficas en el aula es una herramienta esencial al estudiar estadística, especialmente en el estudio de la correlación. En esta situación es importante que las y los estudiantes utilicen e interpreten los gráficos de dispersión, también llamados “nubes de puntos”, como apoyo en la comprensión del contenido matemático. En este tipo de gráficos, cada punto representa una observación de las dos variables. En su análisis es interesante contrastar la visualización de los puntos con el valor del coeficiente r y estudiar los puntos que se alejan del resto (lo que podría indicar valores atípicos).
- Es importante considerar que para esta situación se decidió utilizar la fórmula para el cálculo de la correlación sin utilizar la covarianza, ni desviación estándar, para así facilitar el trabajo matemático.
- Se debe considerar que la construcción del concepto de correlación se realiza por medio del análisis del cambio conjunto de las variables (si ambas crecen juntas, si una crece cuando la otra decrece, o ninguna de ellas crece o decrece), para hacer aparecer naturalmente la fórmula del coeficiente.
- La clase propuesta permite desarrollar la comprensión del concepto de correlación. Se sugiere que en una próxima clase se profundice en el cálculo de la correlación utilizando algún software.
En esta situación se abordan algunos conceptos que es importante precisar y entender en el contexto de la situación planteada.
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"
Respecto a la contaminación intradomiciliaria
Como se mencionó en la infografía, en los países en vías de desarrollo la contaminación de interiores deriva principalmente de las actividades diarias como cocinar y calefaccionarse, debido al uso de combustibles que emiten contaminantes de alta toxicidad. Sin embargo, también se debe considerar que, en muchas de las grandes ciudades del mundo, una fuente importante de contaminación de interiores lo constituye el aire que se infiltra desde el exterior, el cual es frecuentemente de mala calidad y contiene cientos de sustancias químicas peligrosas para la salud humana.Uso de la parafina en Chile
","tipo":"p"}]}}},"recursosProyecto":[]},"28":{"recursos":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Video","tipo":"h3","esp":"Video \"Fenilcetonuria\""},{"tipo":"p","eng":"
\nEn países en vías de desarrollo, la parafina es utilizada principalmente para la preparación de alimentos. En países de ingresos medios y altos, también se utiliza para calefacción. Sin embargo, a pesar de la masividad de su uso, este no está exento de riesgo para la salud de las personas debido a la emisión de algunos contaminantes propios de su combustión.\nEn Chile, alrededor de un millón de hogares utilizan la parafina como combustible de calefacción. En los últimos años, el gobierno ha estado considerando varias medidas energéticas para controlar los precios de la parafina, gas y electricidad. Una de estas medidas ha sido el aumento de los recursos destinados a reducir el precio de la parafina. Con estas iniciativas, se espera que los beneficiarios puedan acceder a este combustible de calefacción a precios más accesibles.The video \"Phenylketonuria\" allows the introduction of the situation, providing information so that the students understand the metabolism disorder on which the activity is based. In addition, it includes relevant data that will be used in its development.\n
","esp":"\tEl video permite introducir la situación, entregando información para que las y los estudiantes comprendan el trastorno del metabolismo en el que está basado la actividad. Además, incluye datos relevantes que serán utilizados en su desarrollo.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/videos/Fenilcetourinav2.mp4","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/fenilcetonuria/Fenilcetourina%20version%20sep.mp4","tipo":"video"},{"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/videos/Fenilcetourinav2.mp4","recurso":"descarga","titulo":{"eng":"Descargar Video","esp":"Descargar Video"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/fenilcetonuria/Fenilcetourina%20version%20sep.mp4"},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 1 a 5)","eng":"Presentation (slides 1 to 5)"},{"eng":"Below you can view and download the complete presentation.\n
","tipo":"p","esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/pdfs/ppt-fenilcetonuria.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/pdfs/ppt-fenilcetonuria-v3.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/docs/ppt-fenilcetonuria-v3.pptx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/docs/ppt-fenilcetonuria.pptx","titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"}},{"esp":"Presentación Interactiva","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Esta presentación interactiva puede ser utilizada para presentar el video de la situación en casos que no se disponga de un buen sistema de audio, o bien, puede ser de ayuda para detenerse y discutir en torno a diferentes elementos que aparecen en el video.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/pdfs/ppt_interactivo_fenilcetonuria.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"titulo":{"eng":"Descargar Presentación Interactiva","esp":"Descargar Presentación Interactiva"},"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/docs/ppt_interactivo_fenilcetonuria.pptx","eng":""}]},"2":{"contenido":[{"eng":"Worksheet","tipo":"h3","esp":"Hoja de actividades"},{"esp":"En este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación. \n
","tipo":"p","eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/pdfs/ha-fenilcetonuria.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/pdfs/hoja-actividades-fenilcetonuria-v3.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/docs/hoja-actividades-fenilcetonuria-v3.docx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/docs/ha-fenilcetonuria.docx","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Download Activity Sheet","esp":"Descargar Hoja de Actividades"}},{"eng":"Presentation (slides 6 to 13)","esp":"Presentación (diapositivas 6 a 19)","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"Below you can view and download the complete presentation.\n
","esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/pdfs/ppt-fenilcetonuria-v3.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/pdfs/ppt-fenilcetonuria.pdf","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","tipo":"button","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/docs/ppt-fenilcetonuria.pptx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/docs/ppt-fenilcetonuria-v3.pptx"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Presentation (slides 14-15)","esp":"Presentación (diapositivas 20 a 22)","tipo":"h3"},{"esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.\n
","eng":"Below you can view and download the complete presentation.\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/pdfs/ppt-fenilcetonuria.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/pdfs/ppt-fenilcetonuria-v3.pdf"},{"titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/docs/ppt-fenilcetonuria.pptx","recurso":"Descarga","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/docs/ppt-fenilcetonuria-v3.pptx"}]},"4":{"contenido":[{"esp":"Guía práctica","eng":"Practical Guide","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"En la guía también se proponen ejercicios para que las y los estudiantes practiquen los contenidos estudiados en la clase.
","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/pdfs/gp-fenilcetonuria.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/docs/gp-fenilcetonuria.docx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/pdfs/guia-practica-fenilcetonuria-v3.pdf","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/docs/Guia_Practica_3_Medio_Unidad1_OA2.docx","eng":"","recurso":"Descarga","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guia práctica"}},{"esp":"Guía Práctica adicional","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En este documento se proponen ejercicios adicionales, en algunos casos de mayor dificultad, para que las y los estudiantes puedan aplicar lo aprendido en esta lección. Los ejercicios de esta guía también pueden servir para evaluar los aprendizajes de la clase.
"},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/pdfs/Guia_Practica_ADICIONAL_Tercero_OA2_Fenilcetonuria.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/docs/Guia_Practica_ADICIONAL_Tercero_OA2_Fenilcetonuria.docx","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía Práctica adicional"},"recurso":"Descarga"}],"visible":true}},"visible":true},"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Momento de enganche","eng":"latching moment","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositivas 2 a 6, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slides 2 to 6, Presentation)"},{"eng":"Begin the lesson by asking questions such as:\n
","tipo":"p","esp":"\nCon el propósito de introducir la idea de que existen casos en los que un test da positivo, aunque la persona no esté contagiada, y viceversa, comience la lección planteando preguntas como:\n\n
"},{"esp":"- ¿Conocen el test rápido para detectar el Covid? ¿Qué tan certero es?
- Si el test da negativo, ¿es seguro que NO estás contagiado?
- Si el test da positivo, ¿es seguro que Sí estás contagiado?
Next, show the video and mention that in this class we will study one of these cases, in a test that is applied to newborns.
","esp":"A continuación, muestre el video para introducir el problema a trabajar y mencione que en esta clase estudiaremos uno de estos casos, en un test que se aplica a recién nacidos.
","tipo":"p"},{"titulo":{"eng":"Watch video","esp":"Ver Video"},"recurso":"ModalVideo","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/videos/Fenilcetourinav2.mp4","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/fenilcetonuria/12_Fenilcetourinav2_Subt.mp4","tipo":"button"},{"esp":"Luego del video, evalúe la comprensión lograda del contexto. Para esto, plantee preguntas como las siguientes. Puede proyectarlas desde la diapositiva 4.\n
","eng":"After the video, test your understanding of the context. To do this, ask questions like the following. You can project them from slide 4.\n
","tipo":"p"},{"esp":"¿Qué tan común es esta condición en Chile? ¿Cuál es la proporción de recién nacidos que padecen esta condición?
¿Qué porcentaje de los recién nacidos da positivo al test?
¿Observan una diferencia entre estos datos? ¿Por qué creen que esto ocurre?
How common is this condition in Chile? What is the proportion of newborns with this condition?
What percentage of the newborns test positive?","tipo":"momento"},{"recurso":"Respuesta","eng":"
It is very rare. In Chile it occurs in approximately 1 in 10,000 newborns.
For 1% of those tested are returned positive.
There is a difference. Positive test results are higher than the proportion of newborns who actually have PKU. This can occur because the test returns positive results, even though the baby does not have the condition.
Es muy poco común. En Chile se da en 1 de cada 10.000 recién nacidos, aproximadamente.
Para el 1 % de los testeados se obtiene positivo.
Existe diferencia. Los resultados positivos del test son más altos que la proporción de recién nacidos que realmente tienen PKU. Esto puede ocurrir debido a que el test entrega resultados positivos, a pesar de que el bebé no tenga la condición.
Encourage discussion around the questions above so that students recognize that:","esp":"
Promueva una discusión en torno a las preguntas anteriores para que las y los estudiantes reconozcan que:
- Existe una diferencia entre la incidencia de la condición en la población (1 de cada 10.000, pregunta 1) y la positividad del test (1 de cada 100, pregunta 2).
- Es fundamental que sus estudiantes reconozcan el hecho de que “si el test da positivo no necesariamente se tiene la condición”.
Se recomienda avanzar con la lección después de que haya consenso sobre esta idea, pues es clave que sus estudiantes comprendan que esta diferencia moviliza el estudio de las probabilidades en esta clase. Comente a continuación, que en esta clase utilizarán probabilidades condicionales para abordar esta discrepancia.
","tipo":"p","eng":"It is recommended to move on with the lesson after there is consensus on this idea, since it is key that your students understand that this difference mobilizes the study of probabilities in this class."},{"eng":"Presentation of the problem","tipo":"h3","esp":"Presentación del problema"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 5, Presentación)","eng":"(Slides 6, Presentation)"},{"eng":"Present to your students the main situation that motivates this lesson:","esp":"Plantee a sus estudiantes la situación principal que motiva esta lección:","tipo":"p"},{"esp":"
Si el examen de PKU de un recién nacido es positivo,
¿cuál es la probabilidad de que el bebé realmente tenga esta condición?
","eng":"If a newborn is tested positive for PKU,
what is the probability that the baby actually ","tipo":"momento","recurso":"Pregunta"}]},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Construcción de Conocimientos","eng":""},{"eng":"(Slides 6 to 13, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 6 a 13, Presentación)"},{"eng":"
Begin this section by mentioning that: when a newborn does not have the condition but tests positive, it is called a “false positive”.","tipo":"p","esp":"
Comience esta sección mencionando que: cuando un recién nacido no tiene la condición pero da positivo al test, se denomina un “falso positivo”. En esta clase estudiaremos el problema de los falsos positivos para el PKU.
"},{"esp":"
Para ello, identifique los eventos que están involucrados en el problema, proyectando la diapositiva 6, y pídales que trabajen en la primera parte de la Hoja de Actividades. Estas preguntas tienen el propósito de que sus estudiantes traduzcan el lenguaje cotidiano en lenguaje matemático (Tarea Matemática A). \nConsidera los siguientes eventos, asociados al problema que estudiaremos en la clase.
\\(A\\): Un recién nacido tiene PKU.\\(B\\): El test da positivo.
Expresa en palabras las siguientes probabilidades condicionales:
a. \\( P(A | B) \\)b. \\( P(B | A) \\)
Consider the following events, associated with the problem that we will study in class.
< span style=\"font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; vertical-align: baseline;\">
\\(A\\): A newborn < /span>has < /span>PKU.
\\(B\\): The test returns positive.
Express the following conditional probabilities in words:
a. \\( P(A | B ) \\)b. \\( P(B | A) \\)
< /ol>","tipo":"momento"},{"recurso":"Respuesta","tipo":"momento","eng":"
1. Consider that for both cases, there are other ways to describe them.
a. \\( P(A | B) \\): Probability that a newborn has PKU, knowing that the test is positive.
b. \\( P(B | A) \\): Probability that the test is positive, knowing that newborn has PKU.
","esp":"1. Considere que para ambos casos, existen otras formas de describirlas.
a. \\( P(A | B) \\): Probabilidad de que un recién nacido tenga PKU, sabiendo que el test da positivo.
b. \\( P(B | A) \\): Probabilidad de que el test de positivo, sabiendo que el recién nacido tiene PKU.
"},{"esp":"Recuerde a sus estudiantes el problema propuesto (en la diapositiva 5) y pregunte cuál de las probabilidades condicionales anteriores es la que queremos calcular.
","tipo":"p","eng":"Remind your students of the problem (on slide 5) and ask which of the above conditional probabilities we want to compute.
"},{"eng":"Manage a pool of these ideas, in order to achieve a broad consensus that \\( P(A | B) \\) en< span style=\"font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; vertical-align: baseline;\"> the conditional probability we want to compute. Do not share the correct answer yet and do not validate your students' answers.Bajo la condición de que el test dio positivo a un recién nacido, ¿cuál es la probabilidad de que realmente tenga PKU?
Sabiendo que el test dio positivo, ¿cuál es la probabilidad de que el recién nacido realmente tenga PKU?
¿Cuál es la probabilidad de que el recién nacido tenga efectivamente PKU si es que ya se sabe que dio positivo en el test?
Under the condition that a newborn was tested positive, what is the probability that he actually has PKU?
< /li>Given that the test was positive, what is the probability that the newborn actually has PKU?
< li dir=\"ltr\" style=\"list-style-type: disc; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; vertical-align: baseline;\" aria-level=\"1\">
What is the probability that the newborn does indeed have PKU if the test is already known to be positive?
A continuación, con el propósito de que expresen sus intuiciones respecto del valor de la probabilidad buscada, pregunte: ¿Creen que esta probabilidad es alta?
"},{"eng":"","esp":"Dé espacio para que compartan sus opiniones en torno a dicha pregunta. Comente que después de que hagan los cálculos, podrán contrastar los resultados con estos valores. Luego proyecte la diapositiva 7 y pídales que resuelvan las preguntas 2 y 3 de la Hoja de actividades. Estas preguntas tienen el propósito de que sus estudiantes determinen cuál es la probabilidad condicional que responde a la problemática de la situación (Tarea Matemática B) y que luego, a partir de la información entregada en el video, reconozcan a qué probabilidades corresponden (Tarea Matemática C), expresadas en lenguaje matemático (Tarea Matemática A).
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Actividades","esp":"- \n
- ¿Cuál de las siguientes probabilidades es la que queremos calcular \\(P(A | B)\\) o \\(P(B | A)\\)? Justifica. \n
- Recordemos la siguiente información que fue entregada en el video:\n
- \n
- 1 de cada 10.000 recién nacidos tiene PKU en Chile. \n
- El test da positivo en el \\(1 %\\) de los recién nacidos. \n
- De las personas que tienen la condición, el test da positivo para el \\(97,8 %\\). \n
\n
- A partir de esta información indica el valor de las siguientes probabilidades.\n\\( P(A) = \\)\n\\( P(B) = \\)\n\\( P(B|A) = \\)\n
- \n
- Se quiere calcular \\(P(A | B)\\). Porque, “bajo la condición de que el test dio positivo a un recién nacido” nos interesa averiguar “cuál es la probabilidad de que (este recién nacido) tenga realmente tenga PKU”.\n
- \n\\(P(A) = \\frac{1}{10000} = 0,0001\\)\n\\(P(B) = \\frac{1}{100} = 0,01\\)\n\\(P(B | A) = 0,978\\)\n\n
Una vez que hayan compartido sus respuestas y resultados, plantee preguntas para que sus estudiantes noten que \\( P(B | A) \\) es muy cercana a 1, es decir, la probabilidad es muy alta. Luego, pregunte: ¿Pasará lo mismo con \\( P(A | B) \\)?
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"A continuación, comente que, antes de hacer cálculos, interpretarán las probabilidades utilizando la regla de Laplace. Esta interpretación conlleva el supuesto de que cada bebé tiene la misma probabilidad de tener la condición.
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Luego, presente a sus estudiantes la diapositiva 11, donde se muestra un diagrama que representa \\(P(B)\\). Comente que este servirá de ejemplo para representar otras probabilidades.
"},{"tipo":"momento","esp":"Utilizando la regla de Laplace y un diagrama de conjuntos, representaremos \\(P(B)\\).
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/imgs/9.png\")
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/imgs/10.png\")
","recurso":"Pregunta","eng":""},{"eng":"","esp":"En este punto se sugiere recordar enfatizar en el hecho de que la regla de Laplace expresa la probabilidad de un evento como el cociente entre dos cantidades: \n- \n\n
- El número de resultados favorables, que en este caso corresponde a la cantidad de recién nacidos que dan positivo al test y que denotamos por \\(\\#B\\). \n
- El número de resultados posibles, que en este caso corresponde al total de recién nacidos y que denotamos por \\(\\#T\\). \n
Luego, pida a sus estudiantes que trabajen en la pregunta 4 de la Hoja de Actividades, mientras proyecta la diapositiva 12. Estas preguntas tienen el propósito de que sus estudiantes identifiquen y representen en un diagrama de conjuntos, la información probabilística (Tarea Matemática D).
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"momento","esp":"- \n
- Considerando:\n
- La regla de Laplace: \\[P(A) = \\frac{\\text{Cant. casos favorables}}{\\text{Cant. casos totales}}\\] \n
- los siguientes colores en el Diagrama de conjuntos:
- rojo para representar el “conjunto de casos favorables”,
- azul para el “conjunto de los casos totales”.
\n - Identifica \\(P(A)\\).
- Achura las zonas con el color indicado.
- \n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/imgs/11.png\")
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/imgs/12.png\")
\nComparta las respuestas de sus estudiantes y asegúrese de que sus estudiantes establezcan coincidencias y diferencias con el diagrama de \\( P(B) \\).
"},{"tipo":"p","esp":"A continuación, dado que interpretarán las probabilidades condicionales presentes en el problema, proyecte la diapositiva 13, en la que se muestra la información para \\( P(B | A) \\), en palabras, para la “probabilidad de que el test de positivo, sabiendo que el recién nacido tiene PKU”.
","eng":""},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"75","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/imgs/13.png","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""}},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Aproveche este momento para enfatizar que en este caso la Regla de Laplace se está aplicando en el espacio muestral A que corresponde a una reducción del espacio total, pues buscamos los casos en que el test es positivo dado que el recién nacido tiene PKU. Para ayudar a sus estudiantes a notar que los casos favorables corresponden a la intersección de ambos eventos, se sugiere comenzar achurando el evento \\(A\\) (casos totales) y preguntar por ejemplo: “Dentro de este conjunto, ¿cuáles son los casos que nos interesan?”.
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Luego, pídales que trabajen en la pregunta 5 de la Hoja de Actividades. Al igual que la pregunta anterior, estas tienen el propósito de que sus estudiantes identifiquen y representen en un diagrama de conjuntos, la información probabilística (Tarea Matemática D).
"},{"recurso":"Actividades","eng":"","esp":"- Teniendo en cuenta las mismas consideraciones de la actividad anterior\n
- \n
- Identifica \\(P(A | B)\\). \n \n
- Achura las zonas con el color indicado.\n \n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/imgs/14_v2.png\")
\n\n\n\n\n\n
- \n
- \\(P(A | B) = \\frac{\\text{Cant. de personas cuyo test es positivo y tienen PKU}}{\\text{Cant. de personas con test positivo}} = \\frac{\\#(A \\cap B)}{\\#B}\\) \n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/imgs/15.png\")
Una vez que hayan revisado los diagramas en conjunto y que sus estudiantes relacionen la regla de Laplace con la representación gráfica de la probabilidad condicional, realice las siguientes preguntas con el propósito que noten que ambas probabilidades tienen igual numerador y que, intuitivamente, estimen que \\(P(A | B)\\) no será cercana a \\(P(B | A)\\).
","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"- \n
- ¿Cómo esperarían que sea esta probabilidad?, ¿será cercana a \\(P(B | A)\\)?\n \n
- ¿Qué tienen en común las fracciones que representan a \\(P(A | B)\\) y \\(P(B | A)\\)? \n
Mencione que a continuación trabajarán en calcular \\(P(A | B)\\). Para ello recuerde a sus estudiantes que el problema nos entrega probabilidades y no cantidades totales: \\(P(A) = 0,0001\\), \\(P(B) = 0,01\\) y \\(P(B | A) = 0,978\\).
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Por este motivo, se transformarán los cocientes que expresan las probabilidades, mediante el siguiente proceso:
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"\\[ P(B|A)=\\frac{\\#(A\\cap B)}{\\# A} \\cdot \\frac{ \\frac{1}{\\# T}}{\\frac{1}{\\# T}} \\]"},{"eng":"","esp":"\\[P(B|A)=\\frac{ \\frac{\\#(A\\cap B)}{ \\# T }}{ \\frac{\\# A }{\\# T }}=\\frac{P(A\\cap B)}{P(A)} \\] ","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"De forma similar, se obtiene que:\n\\[ P(A|B)=\\frac{P(A\\cap B)}{P(B)} \\] \n"},{"recurso":"Destacado","tipo":"momento","esp":"Destaque que las expresiones anteriores son muy importantes, ya que permiten calcular probabilidades condicionales sin utilizar las cantidades totales.
","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Luego, pída a sus estudiantes que aborden la última pregunta de la actividad , en la que tendrán que dar respuesta al problema principal de esta clase (Tarea Matemática E). Proyecte la diapositiva 13, e indique que responderán la pregunta 6 de la Hoja de Actividades:
"},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"- Calcula \\(P(A | B)\\), usando la información que hemos encontrado:\n
- \\(P(A) = 0,0001\\), \\(P(B) = 0,01\\) y \\(P(B | A) = 0,978\\)
- \\(P(A | B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}\\ y \\(P(B | A) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(A)}\\
\n\\(P(A | B) =0{,}00978 \\)
\nUn procedimiento para hacer el cálculo es el siguiente: \n
\n- \n
- Reemplazamos los datos en \\(P(B | A) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(A)}\\).
\n- Obtenemos que \\(\\frac{P(A \\cap B)}{0,0001}=0,978\\).
\n- Luego, \\(P(A \\cap B) = 0,978 \\cdot 0,0001 = 0,000978\\)
\n- Reemplazamos los nuevos datos en \\(P(A | B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}\\).
\n- Finalmente, obtenemos que \\(P(A | B) = \\frac{0,0000978}{0,01} = 0,00978\\).\n
Comente que el paso fundamental fue encontrar el valor de \\(P(A \\cap B)\\) a partir de los valores de \\(P(B | A)\\) y \\(P(A)\\), para usarlo en el cálculo de \\(P(A | B)\\).
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Promueva que sus estudiantes comparen \\(P(A | B)\\) con \\(P(B | A)\\), y que puedan concluir que \\(P(A | B)\\) es muy pequeña, ya que \\(P(A)\\) es muy pequeña comparada con (\\P(B)\\). Así es que aunque \\(P(A | B)\\) y \\(P(B | A)\\) compartan el mismo numerador, sus denominadores son muy diferentes.
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Finalmente, es importante que pueda tomar unos minutos para interpretar este valor en el contexto del problema y que den respuesta explícita a la pregunta planteada.
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- \n
- \\(P(A | B) = 0,00978\\) → Cercano a 0
La probabilidad de que un recién nacido con examen PKU positivo, realmente tenga esta condición es bajísima.
\n - \\(P(B|A) = 0,978\\) → Cercano a 1
La probabilidad de que un recién nacido con PKU resulte positivo en el examen es altísima.
\n
Para cerrar la clase con las ideas centrales abordadas, comente en conjunto con sus estudiantes las conclusiones obtenidas.
"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"(Slide 14, Presentation)","tipo":"h3","esp":"Sistematización"},{"tipo":"p","esp":"En base a lo realizado en clases, sistematice las siguientes ideas:
","eng":"- The conditional probability is represented by \\(P(A | B)\\), read as “the probability of \\(A\\) given \\(B\\)” and can be interpreted as “considering the cases in which \\(B\\) is true, what is the fraction of these cases in which \\(A\\) is also true”."},{"esp":"(Diapositiva 14 , Presentación)","tipo":"h4","eng":"
- To compute the probability of event \\(A\\) given an event \\(B\\), we use a reduced sample space corresponding to event \\(B\\). One way to understand the above is to use Laplace's rule applied to the reduced space \\(B\\), where the favorable cases are those that belong to both \\(A\\) and \\(B\\).
- La probabilidad condicional se representa por \\(P(A | B)\\), se lee como “la probabilidad de \\(A\\) dado \\(B\\)” y se puede interpretar como “considerando los casos en los que \\(B\\) se cumple, cuál es la fracción de estos casos en los que \\(A\\) también se cumple”. Se calcula mediante la expresión: \\(P(A | B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}\\).
- Conditional probabilities can be displayed using set diagrams, for example, in the following we observe the \\(P(A | B)\\)."},{"tipo":"p","eng":"
- In medical contexts, it is common to use conditional probabilities as a tool for informed decision making . In this problem, we use real data that were obtained from reliable research and of official documents of the Minsal.
- Para calcular la probabilidad del evento \\(A\\) dado un evento \\(B\\), se utiliza un espacio muestral reducido correspondiente al evento \\(B\\). Una forma de entender lo anterior, es utilizar la regla de Laplace aplicada en el espacio reducido \\(B\\), donde los casos favorables son aquellos que pertenecen tanto a \\(A\\) como a \\(B\\).
- Las probabilidades condicionales se pueden visualizar por medio de diagramas de conjuntos, por ejemplo, en el siguiente observamos la \\(P(A | B)\\). - IMAGEN PENDIENTE -
- En contextos médicos, es común utilizar probabilidades condicionales como herramienta para la toma de decisiones fundamentadas. En este problema, utilizamos datos reales que fueron obtenidos de investigaciones confiables y de documentos oficiales del Minsal.
Provide your students to work on the Practical Guide. In it, the same context worked on in the activity is considered, but considering the situation of taking the exam on the third day of life of the babies. On the third day of life, 0.3% of the results are false negatives.
","tipo":"h3","esp":"Evaluación y Práctica"},{"tipo":"p","esp":"Presente a sus estudiantes la Guía Práctica y dé tiempo para que trabajen en ella. Los ejercicios propuestos permitirán a las y los estudiantes determinar la probabilidad del falso negativo, es decir, la probabilidad de que el test de PKU dé negativo aun cuando se sabe que el recién nacido tiene PKU.
","eng":"The procedure to solve the problem posed in the guide is analogous to the procedure carried out in the activity.
"},{"esp":"Los ejercicios de la guía se han propuesto en una secuencia similar a la abordada en clase para determinar las probabilidad P(A | B) y P(B | A). En ese sentido, la principal dificultad que podría surgir en este momento, tiene que ver con la noción de complemento. Al monitorear el trabajo de las y los estudiantes procure que comprendan las siguientes ideas:
","eng":"These tasks can be used to formatively assess the following indicators:\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"- \n
- P (Bc) : Probabilidad de que el test de PKU dé negativo \n
- P (Bc |A) : Probabilidad de que el test dé negativo, sabiendo que el recién nacido tiene PKU \n
- P (Bc |A) + P (B |A) = 1 \n
- Select and relate information, calculating conditional probabilities to make decisions.
- Use trees or double entry tables to represent and determine conditional probability.
\nPara ello, se sugiere apoyarse en los diagramas de conjuntos trabajados en clase y propuestos en la Guía Práctica. \n
"},{"tipo":"p","esp":"Los ejercicios propuestos en la Guía Práctica podrían ser utilizados para evaluar formativamente los siguientes indicadores::\n
","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"- Seleccionan y relacionan información, calculando probabilidades condicionales para tomar decisiones.
- Utilizan diagramas de conjunto para representar y determinar probabilidades.
Conditional probability is a fundamental concept in probability theory. It refers to the probability that an event will occur, given certain preconditions that have been specified. In other words, it refers to the probability that an event will occur, knowing that another event has occurred or not.
","esp":"La probabilidad condicional es un concepto fundamental en la teoría de probabilidades. Se refiere a la probabilidad de que un evento ocurra, dadas ciertas condiciones previas que se han especificado. En otras palabras, se refiere a la probabilidad de que un evento ocurra, sabiendo que otro evento ha ocurrido o no.
"},{"tipo":"p","eng":"Conditional probabilities are used in various fields: biology, engineering, economics, in machine learning, and in decision making, where the probability of an event is used to assess the risk of an action or investment.\n
","esp":"Las probabilidades condicionales se utilizan en diversos campos: biología, ingeniería, economía, en el aprendizaje de máquinas y en la toma de decisiones, donde la probabilidad de un evento se utiliza para evaluar el riesgo de una acción o inversión.\n
"},{"esp":"Se utilizan para modelar situaciones en las que la probabilidad de un evento está influenciada por otros eventos o condiciones previas. Por ejemplo, la probabilidad de que una persona tenga una enfermedad puede depender de su edad, género y antecedentes familiares, entre otros factores. \n
","eng":"They are used to model situations in which the probability of an event is influenced by other events or previous conditions. For example, the likelihood that a person will have a disease may depend on their age, gender, and family history, among other factors.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"La formulación matemática es la siguiente:
","eng":"The mathematical formulation is as follows:
"},{"esp":"Sea \\(B\\) un evento de probabilidad positiva. La probabilidad condicional de \\(A\\) dado \\(B\\) se calcula por:","eng":"Let \\(B\\) be an event of positive probability. The conditional probability of \\(A\\) given \\(B\\) is calculated by:","tipo":"p"},{"esp":"\\[ P(A | B)=\\frac{P(A\\cap B)}{P(B)} \\]","tipo":"p","eng":"\\[ P(A | B)=\\frac{P(A\\cap B)}{P(B)} \\]"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/imgs/2.png","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/imgs/2.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"25","caption":{"eng":"","esp":""}},{"tipo":"p","eng":"Taking a frequentist approach, this can be interpreted as “how often \\(A\\) is observed, within \\(B\\)”.","esp":"Adoptando un enfoque frecuentista, esto se puede interpretar como “qué tan frecuente se observa \\(A\\), dentro de \\(B\\)”. En esta figura se ilustran los eventos \\(A\\) y \\(B\\). Es conveniente pensar en \\(P(A)\\) y en \\(P(B)\\) como las áreas encerradas."},{"caption":{"esp":"La probabilidad \\(P(A | B)\\) es la proporción entre la probabilidad de la parte de \\(A\\) que se solapa con \\(B\\) y la probabilidad de \\(B\\) en su totalidad. Es decir, la proporción de \\(A\\cap B\\) dentro de (o relativa a) \\(B\\). ","eng":"The probability \\(P(A | B)\\) is the ratio between the probability of the part of \\(A\\) that overlaps with \\(B\\) and the probability of \\(B\\) as a whole. That is, the proportion of \\(A\\cap B\\) within (or relative to) \\(B\\)."},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/imgs/3.png","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/imgs/3.png","escala":"25","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img"},{"esp":"Por ejemplo, en la figura a continuación \\(P(A\\cap B)=0,1\\), \\(P(B)=0,1+0,4=0,5\\). \n
","eng":"For example, in the figure below \\(P(A\\cap B)=0.1\\), \\(P(B)=0.1 0.4=0.5\\).\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/imgs/4.png","escala":"25","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/fenilcetonuria/imgs/4.png","tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"esp":"","eng":""}},{"esp":"La proporción de estas probabilidades es \\(P(A | B)= \\frac{0,1}{0,5}=0,2\\).\n
","eng":"The ratio of these probabilities is \\(P(A | B)= \\frac{0.1}{0.5}=0.2\\).\n
","tipo":"p"},{"esp":"Fórmula de Bayes y de probabilidad total","eng":"\\[ P(B)= P(B|A)P(A) P(B|A^c)P(A^c)\\]\n
","tipo":"h3"},{"eng":"The Bayes formula is a fundamental tool in conditional probability and is used to update a probability in the light of new information. This consists of the algebraic relationship between \\(P(A | B)\\) and \\(P(B | A)\\):\n
","tipo":"p","esp":"La fórmula de Bayes es una herramienta fundamental en la probabilidad condicional y se utiliza para actualizar una probabilidad a la luz de nueva información. Esta consiste en la relación algebraica entre \\(P(A | B)\\) y \\(P(B | A)\\): \n
"},{"eng":"\\[ P(A|B)=\\frac{P(B|A)\\cdot P(A)}{P(B)} \\]\n
","esp":"\\[ P(A|B)=\\frac{P(B|A)\\cdot P(A)}{P(B)} \\]\n
","tipo":"p"},{"esp":"Para deducir esta fórmula, observar que si \\(A\\) y \\(B\\) tienen probabilidad positiva, podemos escribir:\n
","eng":"To derive this formula, note that if \\(A\\) and \\(B\\) have positive probability, we can write:\n
","tipo":"p"},{"eng":"\\[P(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)} {P(B)}\\]\n\\[P(B|A) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(A)}\\]\n
","esp":"\\[P(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)} {P(B)}\\] \n\\[P(B|A) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(A)}\\]\n
","tipo":"p"},{"esp":"Se desprende que \\( P(A\\cap B)=P(A|B)\\cdot P(B)=P(B|A)\\cdot P(A) \\) y por lo tanto \\(P(A|B)=\\frac{P(B|A)\\cdot P(A)}{P(B)}\\). \n
","tipo":"p","eng":"It follows that \\( P(A\\cap B)=P(A|B)\\cdot P(B)=P(B|A)\\cdot P(A) \\) and therefore \\(P (A|B)=\\frac{P(B|A)\\cdot P(A)}{P(B)}\\).\n
"},{"eng":"Often, the total probability formula is used in conjunction with Bayes' formula. This allows us to calculate \\(P(A)\\) or \\(P(B)\\) (depending on the problem), and with that information to be able to use Bayes' formula.
","esp":"
Given an event B, we have to:\n\nA menudo, se usa la fórmula de probabilidad total conjuntamente con la fórmula de Bayes. Esta nos permite calcular \\(P(A)\\) o \\(P(B)\\) (dependiendo del problema), y con esa información poder usar la fórmula de Bayes.
","tipo":"p"},{"eng":"
Dado un evento B, se tiene que: \n\nThis follows from noting that \\( P(B|A)P(A) P(B|A^c)P(A^c)=P(B\\cap A) P(B\\cap A^c )=P(B)\\).\n
","tipo":"p","esp":"\\[ P(B)= P(B|A)P(A)+ P(B|A^c)P(A^c)\\] \n
"},{"esp":"Esto sigue de notar que \\( P(B|A)P(A)+ P(B|A^c)P(A^c)=P(B\\cap A)+P(B\\cap A^c)=P(B)\\).\n
","tipo":"p","eng":"In this activity, this theorem will not be formalized, and it is included in this section for reference.\n
"},{"eng":"","esp":"En esta actividad, no se formalizará este teorema, y se incluye en esta sección a modo de referencia.\n
","tipo":"p"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Consideraciones Generales","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"- Para abordar esta clase es necesario que los estudiantes comprendan la regla de Laplace, y hayan estudiado el significado de la probabilidad condicional. Por otra parte, se requiere que los estudiantes sean capaces de interpretar fracciones, porcentajes y razones en contextos y realizar operatoria básica con fracciones.
- El problema abordado en esta clase promueve un trabajo más conceptual sobre probabilidades condicionales, pues con los datos iniciales no es posible calcular directamente la probabilidad condicional buscada. Por este motivo, recursos como tablas de contingencia o árboles de probabilidad no son útiles para resolver este problema.
- Confundir probabilidad conjunta \\(P(A \\cap B)\\) con la probabilidad condicional \\(P(A | B)\\). Esto se puede evidenciar al momento de decidir cuál de estas probabilidades es la que que busca encontrar en esta clase. De ser necesario, ayude a sus estudiantes a aclarar las diferencias mostrando un caso que ilustre con simplicidad sus diferencias.
- Creer que \\(P(A | B) = P(B | A)\\) o que son casi iguales. Esto se puede evidenciar al momento de interpretar la información de la situación, pues se tendrán que distinguir para determinar cuál de estas probabilidades es dada y cuál es la que se busca. Puede apoyar a sus estudiantes utilizando lenguaje y contextos cotidianos para expresar las diferencias, y usando diagramas de Venn que ilustren la relación entre ellas. Por ejemplo, “que una persona use lentes si se sabe que tiene más de 50 años” es diferente a “que una persona tenga más de 50 años si se sabe que usa lentes”. En la gestión de la situación, se abordará explícitamente esta creencia, utilizando representaciones de conjuntos.
- Creer que “la probabilidad de la intersección de dos eventos es mayor que la probabilidad de cada uno de los eventos (por separado)”. A este fenómeno se le conoce como “falacia de la conjunción”. En esta situación, se puede evidenciar al momento de comenzar a utilizar la información dada para hacer los primeros cálculos de probabilidades. Si es necesario, para mostrar que este razonamiento es incorrecto, de un ejemplo concreto para que sus estudiantes calculen \\(P(A)\\), \\(P(B)\\) y \\(P(A \\cap B)\\), y luego comparen estas probabilidades.
- Puede haber estudiantes que interpreten erróneamente la expresión \\(P(A | B)\\) como una relación causal o temporal entre los eventos. Estos eventos pueden ocurrir simultáneamente o en tiempos diferentes. Es importante destacar que las relaciones causales o temporales no son ideas asociadas al ámbito de las probabilidades.
The results of a medical test are usually expressed as positive ( ) or negative (–). However, there is the possibility that these results are \"false\", for example, when the test does not indicate the presence of a pathology that is present in a person, it is called \"false negative\". On the contrary, when the test indicates the presence of a pathology in a person who does not really have it, it is called a \"false positive\".
","tipo":"p","esp":"Los resultados de un test médico suelen expresarse como positivos (+) o negativos (–). Sin embargo, existe la posibilidad de que estos resultados sean “falsos”, por ejemplo, cuando el test no indica la presencia de una patología que sí está presente en una persona, se denomina \"falso negativo\". Por el contrario, cuando el test indica la presencia de una patología en una persona que en realidad no la tiene, se denomina \"falso positivo”.
"},{"eng":"As an example, we can remember the home tests to detect Covid-19, which for a while became quite popular because they can obtain results in minutes, unlike the PCR test. Since these tests may not detect the virus in the early stages of infection, especially when there are no associated symptoms, \"false negative\" results may be generated. These antigen tests are more accurate when the person has symptoms, since there are more virus in the body.","esp":"Como ejemplo, podemos recordar los test caseros para detectar el Covid-19, que por un tiempo se volvieron bastante populares debido a que pueden obtener resultados en minutos, a diferencia del test PCR. Dado que estos test pueden no detectar el virus en fases tempranas de infección, sobre todo cuando no se presentan síntomas asociados, pueden generarse resultados “falsos negativos”, Estos test de antígenos tienen mayor precisión cuando la persona tiene síntomas, pues hay mayor cantidad de virus en el cuerpo.","tipo":"p"},{"esp":"En el caso de resultados “positivos”, ya sean “verdaderos” o “falsos” se recomienda aislar al paciente para evitar la propagación. Por tanto, el verdadero problema se encuentra en los “falsos negativos”. (En general, las tasas de falsos positivos de los test son bajas).
","eng":"For “positive” results, whether they are “true” or “false” it is recommended to isolate the patient to prevent spread. Therefore, the real problem is found in the “false negatives”. (In general, false positive rates for tests are low.)
","tipo":"p"},{"esp":"En Chile, después de 28 años de desarrollo del programa gubernamental para abordar los casos de PKU, se han diagnosticado más de 600 casos, a los cuales se les ha aplicado el tratamiento adecuado para disminuir los riesgos asociados.","tipo":"p","eng":"In Chile, after 28 years of development of the government program to address PKU cases, more than 600 cases have been diagnosed, to which appropriate treatment has been applied to reduce associated risks."}]}},"visible":true},"recursosProyecto":[],"visible":true},"29":{"aspectosAConsiderar":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Raíces cuadradas en el contexto de la situación"},{"tipo":"p","esp":"En esta actividad se define la raíz cuadrada de un número como el número no negativo que, al ser elevado al cuadrado, da como resultado el número original. Es decir, para cualquier número a ≥ 0, se tiene que:\n\\[\\sqrt{a} = b \\text{ si y sólo si }b^{2} = a\\text{ y }b \\geq 0 \\]\n \n\n\n\n\n","eng":""},{"esp":"Es fundamental diferenciar entre el concepto de raíz cuadrada de un número \\(a\\) y el concepto de las raíces de la ecuación \\(x^2=a\\). La raíz cuadrada de \\(a\\) es el valor no negativo \\(\\sqrt{a}\\), mientras que las raíces de la ecuación son \\(\\sqrt{a}\\) y \\(-\\sqrt{a}\\).","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Es importante aclarar que la raíz cuadrada de un número siempre se refiere al número no negativo para evitar confusiones comunes. Por ejemplo, en la ecuación \\(x^2=9\\), las “raíces de la ecuación” son \\(x=\\sqrt{9}=3\\) y \\(x=-\\sqrt{9}=-3\\), pero solo 3 corresponde a la raíz cuadrada de 9.\n"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En esta actividad, se busca que las y los estudiantes puedan hacer este tipo de distinciones, aunque sin explicitar la noción de ecuación cuadrática. El propósito es prevenir errores comunes en los que se asume que la raíz cuadrada de un número es igual a dos números opuestos. Por ejemplo, hay muchas personas que piensan que \\(\\sqrt{9} = \\pm 3\\)."},{"esp":"En esta clase, además de introducir el concepto de raíz cuadrada, se propone estimar el valor de algunas raíces de números naturales. Para ello, se acota la raíz cuadrada de un número natural entre dos racionales cada vez más cercanos entre sí. Gracias a la propiedad de densidad de los racionales en la recta numérica, es posible aproximar irracionales mediante racionales con tanta precisión como se desee. Por ejemplo:","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"$$1^2 < 3 < 2^2 \\Rightarrow 1 < \\sqrt{3} < 2$$\n$$(1{,}7)^2 < 3 < (1{,}8)^2 \\Rightarrow 1{,}7 < \\sqrt{3} < 1{,}8$$\n$$(1{,}73)^2 < 3 < (1{,}74)^2 \\Rightarrow 1{,}73 < \\sqrt{3} < 1{,}74$$\n$$(1{,}732)^2 < 3 < (1{,}733)^2 \\Rightarrow 1{,}73 2< \\sqrt{3} < 1{,}733$$\n","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Estas desigualdades son ciertas porque se cumple que:\n\n\\[a \\leq b \\Rightarrow \\sqrt{a} \\leq \\sqrt{b}\\]\n\ncon a, b ≥ 0.","tipo":"p","eng":""}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Noción de raíz cuadrada","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En esta situación, las y los estudiantes se enfrentan al desafío de encontrar un número \\(t\\) tal que, satisfaga una ecuación del tipo \\(t^2= a\\), con \\(a\\) conocido. Es decir, la noción de raíz cuadrada aparece a partir de la operación inversa: encontrar un número cuyo cuadrado sea igual a un valor conocido. Es importante que las y los estudiantes reconozcan esta relación entre las operaciones a fin de que puedan proponer números que satisfagan la ecuación. Este trabajo les ayudará a lograr una correcta comprensión de la raíz cuadrada. "},{"eng":"","esp":"Un aspecto importante de la raíz cuadrada de un número \\(a\\) corresponde al número no negativo que, al ser elevado al cuadrado, da como resultado el número \\(a\\). En el contexto de la situación planteada, la variable que interesa encontrar es el tiempo que demora en caer un objeto desde una cierta altura, que es siempre positivo. Es decir, el problema que se intenta resolver en este contexto es coherente con la definición de raíz cuadrada. Dado lo anterior, se sugiere aprovechar este hecho para destacar las características de la raíz cuadrada. ","tipo":"p"},{"esp":"Estimación de la raíz cuadrada de 2","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":"Es usual que las y los estudiantes tengan dificultades para ubicar la raíz cuadrada de un número en la recta numérica. Para abordar esta dificultad, hacia el final de la lección se propone un trabajo en que deberán estimar la raíz de 2. Un requisito previo para la realización de este trabajo es que las y los estudiantes se familiaricen con números cuadrados perfectos (aquellos cuya raíz cuadrada es un número natural). Esto les ayudará a concluir que la raíz cuadrada de 2 es un número entre 1 y 2. Luego, las y los estudiantes deberán completar una tabla con los cuadrados de los números entre 1 a 2, con un paso de 0,1.","tipo":"p"},{"esp":"http://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/caida_libre/imgs/tabla4_principal.png","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"50","eng":"","tipo":"img"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"De esta forma, podrán volver a acotar el valor de la raíz cuadrada de 2, esta vez entre 1,4 y 1,5. Es importante en este punto, permitir que las y los estudiantes comuniquen sus conclusiones haciendo énfasis en su comprensión de la raíz cuadrada. Si bien el trabajo podría continuar, no es la intención de esta propuesta que las y los estudiantes estimen la raíz de 2 con gran precisión, ni tampoco, que reconozcan su carácter irracional. Este trabajo de estimación busca que las y los estudiantes afiancen su comprensión de la raíz cuadrada de un número, que desarrollen estrategias para ubicar una raíz cuadrada en la recta numérica, y por último, que reconozcan que la raíz cuadrada de un número no es necesariamente un número natural. "}]},"3":{"contenido":[{"esp":"Caída libre","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Cuando un objeto se suelta, este cae debido a la acción de la aceleración de gravedad. En Física, este movimiento se clasifica como un movimiento uniformemente acelerado, debido a que la aceleración de gravedad se considera constante. "},{"esp":"Para contar con un modelo matemático simplificado que relacione el tiempo de caída con la altura desde la que se deja caer el objeto, se optó por considerar una bolita, similar a las que se muestran en la imagen, con el fin de poder despreciar el efecto del aire.","eng":"","tipo":"p"},{"escala":"25","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/caida_libre/imgs/imagen1_principal.png","caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Algunas consideraciones físicas de la situación propuesta en esta actividad son:\n- Se dejan caer bolitas desde distintas alturas, lo que implica que no hay velocidad inicial.
- \nLa aceleración de gravedad, en el contexto escolar, se aproxima a 10 [m s2] y actúa en dirección vertical y sentido negativo.
- \nLa posición final de la bolita será el origen del sistema de coordenadas.\n
- De esta manera, la gravedad g y la posición h de la bolita quedan con la misma dirección, pero distinto sentido. \n
- Si se deja caer una bolita desde la azotea del Sky Costanera (300 m), ¿cuánto tiempo creen que tardará en llegar al suelo?\n
- Si se deja caer desde la mitad de la altura, ¿cuánto tiempo creen que tardará en llegar al suelo?\t
- \nSi se deja caer una pelota de tenis desde la azotea del Sky Costanera, ¿demorará menos o más que la bolita en llegar al suelo? ¿Por qué?\n
- \nAl caer de la mitad de la altura, la bolita tardará la mitad del tiempo.\n
- La pelota de tenis debe demorar menos tiempo que la bolita en llegar al suelo, porque es más pesada.\n
- La pelota de tenis demora más porque opone mayor resistencia al aire.
- ¿Cuál era el objetivo del experimento de Galileo Galilei?\n
- ¿Qué magnitudes físicas están involucradas en la caída de los objetos y cómo se relacionan entre sí?\n
- ¿Por qué crees que se siguen realizando experimentos de caída de objetos?\n
Es importante, para el modelo matemático que se usará, aclarar algunas ideas sobre los tiempos de caída y efecto del aire:\n
- \nEl tiempo de caída es independiente del peso del cuerpo.\n
- El roce con el aire se opone a la caída, por lo que es de esperar que la pelota de tenis, que tiene una superficie mayor a la de la bolita, demore más en llegar al suelo.\n
- En objetos pequeños y aerodinámicos el efecto del roce del aire es menor. En este caso, al considerar una bolita, el roce con el aire se puede despreciar.\n
- ¿Cuánto tarda en caer el objeto desde 300 m de altura?\n
- ¿Cuánto tarda en caer el objeto desde 150 m de altura?\n
- \nSegún el recurso, el tiempo de caída desde 300 m de altura es de t = 7,75 s.
- Según el recurso, el tiempo de caída desde 150 m de altura es de t = 5,48 s.
- Concluyan que la relación entre altura y tiempo de caída no es proporcional.\n
- \nComprendan que el objeto acelera por acción de la gravedad, por lo que el tiempo en caer desde la mitad de la altura no es la mitad del tiempo.\n
Dada la altura en que se deja caer un objeto, ¿cómo podemos calcular el tiempo de caída?","tipo":"p"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Construcción de conocimientos","eng":""},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 9, Presentación)"},{"esp":"Comente a sus estudiantes que:","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"- Existe una rama específica de la física que se dedica al estudio del movimiento de los objetos, y en ella se utilizan modelos matemáticos para describir estos movimientos de manera precisa.
- En el contexto de la caída libre, el tiempo t que tarda un objeto en caer desde una altura dada h, sin considerar la resistencia del aire, puede expresarse matemáticamente como:\\[ t^{2}=\\frac{2h}{g} \\] Donde g es la aceleración de gravedad.
- Para simplificar los cálculos, en el ámbito escolar, la aceleración de gravedad suele aproximarse a 10 m s2. Si se sustituye este valor en la expresión anterior y se simplifica, se llega a:\n\n\\[ t^{2}=\\frac{h}{5} \\]\n\nDonde h se mide en metros y t en segundos.\n
- En este caso particular, no incluiremos las unidades en los cálculos.\n
Propicie una discusión en la que sus estudiantes reconozcan que:\n
- \nAl reemplazar la altura de 45 m en la expresión se obtiene que t2 = 9.\n
- Determinar el tiempo t es encontrar un número que multiplicado por sí mismo dé como resultado 9.\n
- Esto corresponde a resolver el problema inverso de elevar al cuadrado.\n
- \nSi pensamos en un número que multiplicado por sí mismo dé como resultado 9, debemos considerar dos resultados, 3 y -3.\n
- Sin embargo, solo el 3, que es un valor positivo, corresponde con la definición de la raíz cuadrada de 9.
- ¿Cuál es el valor de √(16)?\n
- \n¿Cuál es el valor de √(36)?\n
- \n\n¿Cuál es el valor de √(81)?\n
- ¿La √(2) es un número entero?
- ¿Entre qué números cuadrados perfectos se encuentra el número 2?
- De acuerdo a lo anterior, 1<2<4.
- Si calculamos la raíz cuadrada de cada uno de los números de la desigualdad, se tiene que √(1) < √(2) < √(4).\n
- Esto permite concluir que 1 < √(2) < 2.\n
- ¿Cómo podemos estimar √(2) sin usar la calculadora?
2. Completen la siguiente tabla:
","recurso":"Actividades"},{"esp":"Dé un tiempo para que las y los estudiantes completen la tabla. Luego, pídales que respondan las preguntas 3, 4 y 5 de la Actividad 2. ","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 20, Presentación)"},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Actividades","esp":"3. ¿Entre qué valores de x2 se encuentra el 2?\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/caida_libre/imgs/tabla4_principal.png\")
\n4. ¿Entre qué valores de x se ubica √(2)?\n
\n\n5. ¿Cuál es el valor de √(2) hasta la primera cifra decimal? \n
"},{"eng":"","esp":"(Diapositiva 21 y 22, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"momento","recurso":"Respuesta","eng":"","esp":"2. Cada valor de la segunda fila de la tabla corresponde al cuadrado del valor de la primera fila, por ejemplo, 4 es el valor de 22, por lo tanto, el resto de los valores faltantes en la tabla quedarán de la siguiente forma:\n\\(x\\) 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 \\(x^{2}\\) 1 1,21 1,44 1,69 1,96 2,25 2,56 2,89 3,24 3,61 4 \n3. Al completar la tabla, se puede ver que el número 2 se encuentra entre los valores x2= 1,96 y x2= 2,25.\n
\n4. Ya que el número 2 se encuentra entre los valores x2= 1,96 y x2= 2,25, la √(2) se encontrará entre las raíces de esos valores, es decir, entre 1,4 y 1,5.\n
\n5. Dado que el valor de √(2) está entre entre 1,4 y 1,5, el valor de √(2) hasta la primera cifra decimal es 1,4.
"},{"eng":"","esp":"(Diapositiva 23, Presentación)","tipo":"h4"},{"recurso":"Actividades","eng":"","esp":"6. ¿Ese valor es exactamente √(2)?","tipo":"momento"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Con la última pregunta se espera que sus estudiantes concluyan que el valor encontrado no es exactamente el valor de √(2) y que el proceso se puede continuar para encontrar más decimales."},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Comente con sus estudiantes que si bien se puede seguir realizando el mismo trabajo de la tabla para continuar acotando el valor entre 1,4 y 1,5, dado el propósito de la actividad no se continuará con este proceso. "},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Destacado","esp":"En este momento podemos concluir que, el tiempo que tarda un objeto que se deja caer desde una altura de 10 m es √(2), que es aproximadamente 1,4 segundos. "},{"esp":"Finalmente, pídales que respondan la pregunta 7 de la Actividad 2 (de la Hoja de Actividades).","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 24, Presentación) "},{"recurso":"Actividades","esp":"7. Si se deja caer una bolita desde la azotea del Sky Costanera (300 m), ¿cuánto tiempo creen que tardará en llegar al suelo?. Responde entre qué valores enteros se encuentra ese tiempo de caída","tipo":"momento","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Con esta pregunta se espera que sus estudiantes ocupen la fórmula para el tiempo de caída t2= h 5, obteniendo que t= √(60). Luego, que 60 es un valor que se encuentre entre los cuadrados perfectos 49 y 64, por lo tanto, el tiempo de caída t se encontrará entre los 7 y 8 segundos."},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Este resultado puede ser comparado con el que entregaba el recurso GeoGebra cuando se soltaba un objeto desde 300 metros, el cual indicaba que esta caída debería demorar 7,75 segundos."}]},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Sistematización"},{"esp":"(Diapositiva 25, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"esp":"En base a lo realizado en clases, sistematice las siguientes ideas:\n","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"- En el modelo de la situación, el tiempo es una potencia de exponente 2 (cuadrado de un número), por lo que encontrar el tiempo es buscar un número que multiplicado por sí mismo dé ese valor.\n
- A este proceso de encontrar el inverso del cuadrado de un número, se le denomina calcular la raíz cuadrada de un número.
- \nLa raíz cuadrada de un número es siempre un valor positivo o cero.\n
- \nAplican la raíz cuadrada en la solución de problemas de la vida cotidiana.
En este documento se proponen ejercicios adicionales, en algunos casos de mayor dificultad, para que las y los estudiantes puedan aplicar lo aprendido en esta lección. Los ejercicios de esta guía también pueden servir para evaluar los aprendizajes de la clase.
","eng":""},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/caida_libre/pdfs/Guia_Practica_ADICIONAL_Octavo_OA4_Cuanto_demora_en_caer.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica adicional","eng":""},"recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/caida_libre/docs/Guia_Practica_ADICIONAL_Octavo_OA4_Cuanto_demora_en_caer.docx"}]}}},"recursosProyecto":[]},"30":{"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Puntos y Vectores","tipo":"h3"},{"esp":"Para comenzar, definamos la notación que usaremos en esta actividad:
","tipo":"p","eng":"To get started, let's define the notation we'll use in this activity:
"},{"tipo":"p","esp":"- Puntos del espacio de coordenadas 3D serán escritos con paréntesis redondos, utilizando letras mayúsculas para identificarlos. Por ejemplo P = (2, 3, 1), A = (a, b, c), etc. \n
- Vectores del espacio de coordenadas 3D serán escritos con paréntesis angulares. Por ejemplo ⟨ -1, 2, -7 ⟩, ⟨ √2, a, 0 ⟩, etc. \n
- Para un punto P del plano o espacio, denotaremos por P⃗ al vector que corresponde a O⃗P, es decir a la flecha que une el origen O y el punto P. Por ejemplo si P = (1, -2, 5), se tiene que P⃗ = ⟨ 1, -2, 5 ⟩.
- Points in 3D coordinate space will be written with round brackets, using capital letters to identify them. For example P = (2, 3, 1), A = (a, b, c), etc. \n
- Vectors of the 3D coordinate space will be written with angle brackets. For example ⟨ -1, 2, -7 ⟩, ⟨ √2, a, 0 ⟩, etc. \n
- For a point P of the plane or space, we will denote by P⃗ the vector that corresponds to O⃗P, that is, the arrow that joins the origin O and the point P. For example, if P = (1, -2, 5), then P⃗ = ⟨ 1, -2, 5 ⟩.
Es importante tener en cuenta que la notación utilizada para representar puntos y vectores puede variar según la bibliografía consultada.\n
","tipo":"p","eng":"It is important to note that the notation used to represent points and vectors may vary depending on the bibliography consulted.\n
"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Ecuación vectorial de la recta"},{"tipo":"p","esp":"La ecuación vectorial de la recta es una forma algebraica de representar una recta en el plano o en el espacio de coordenadas 3D mediante vectores. Es una herramienta muy útil en geometría y en otras ramas de las matemáticas y la física. \n
","eng":"The vector equation of a line is an algebraic way of representing a line in the plane or in 3D coordinate space by means of vectors. It is a very useful tool in geometry and in other branches of mathematics and physics.\n
"},{"esp":"Dado un punto P0 del plano o espacio y un vector d⃗ ≠ 0 la ecuación:","tipo":"p","eng":"Given a point P0 of the plane or space and a vector d⃗ ≠ 0 the equation:"},{"esp":"\\[ \\vec{P}=\\vec{P_0} +t \\vec{d} \\]
","eng":"\\[ \\vec{P}=\\vec{P_0} t \\vec{d} \\]
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"represents the straight line L that passes through the point P0 and whose direction vector is d⃗.","esp":"representa a la recta L que pasa por el punto P0 y que tiene por vector director a d⃗."},{"eng":"The notion of director vector refers to the fact that from point P0 we can move in the direction d ⃗ and stay on the line L. The parameter t takes real values and allows us to traverse the line, moving in the direction of the vector d⃗, as its value varies. That is to say:","esp":"La noción de vector director hace referencia a que a partir del punto P0 nos podemos desplazar en la dirección d⃗ y permanecer en la recta L. El parámetro t toma valores reales y nos permite recorrer la recta, moviéndonos en la dirección del vector d⃗, a medida que su valor varía. Es decir:","tipo":"p"},{"esp":"\\[ L = \\{ (x, y, z) : \\langle x,y,z \\rangle = \\vec{P} + t \\vec{d} \\text{ para algún } t\\in \\mathbb{R}.\\} \\]\n
","tipo":"p","eng":"\\[ L = \\{ (x, y, z) : \\langle x,y,z \\rangle = \\vec{P} t \\vec{d} \\text{ for some } t\\in \\mathbb{ R}.\\} \\]\n
"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/imgs/rectas-capsula.png","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/imgs/rectas-capsula.png"},{"tipo":"p","esp":"Cabe notar que el rayo (o semirrecta) definido por P y el vector d⃗ es el conjunto","eng":"Note that the ray (or ray) defined by P and the vector d⃗ is the set"},{"tipo":"p","eng":"\\[ R = \\{ (x, y, z) : \\langle x,y,z \\rangle = \\vec{P} t \\vec{d} \\text{ for some } t\\geq 0 .\\ } \\]
","esp":"\\[ R = \\{ (x, y, z) : \\langle x,y,z \\rangle = \\vec{P} + t \\vec{d} \\text{ para algún } t\\geq 0 .\\} \\]
"},{"esp":"Es decir, en el rayo solo admitimos valores de t mayores o iguales a cero, mientras que en la recta, t puede ser cualquier valor (positivo, negativo o cero).","eng":"That is, in the ray we only admit values of t greater than or equal to zero, while in the line, t can be any value (positive, negative or zero).","tipo":"p"}]},"2":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Diferencia entre punto y vector","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"- Recordemos que en geometría, punto y vector son conceptos diferentes. Un punto se refiere a una posición en el espacio, mientras que un vector se describe con una dirección, magnitud y sentido. En este sentido cabe notar que la ecuación vectorial de la recta si bien involucra vectores, la recta que determina es un conjunto de puntos del plano o espacio. Esto a menudo provoca confusiones entre estas dos nociones, por tanto, es recomendable que promueva que sus estudiantes describan las diferencias, cada vez que corresponda.\n
- Remember that in geometry, point and vector are different concepts. A point refers to a position in space, while a vector is described with a direction, magnitude, and sense. In this sense, it should be noted that the vector equation of the line, although it involves vectors, the line it determines is a set of points of the plane or space. This often causes confusion between these two notions, so it is recommended that you encourage your students to describe the differences, whenever appropriate.\n
- The fact that a vectorial equation of a line is used has several advantages. For example, its flexibility makes it applicable in any dimension, allowing lines to be represented on the plane, in space, and in higher dimensions. In addition, its algebraic simplicity allows a coherent geometric visualization, since its direction and position of the line in space are made explicit.
- El hecho de que se utilice una ecuación vectorial de una recta tiene diversas ventajas. Por ejemplo, su flexibilidad la hace aplicable en cualquier dimensión, permitiendo representar rectas en el plano, en el espacio y en dimensiones superiores. Además, su simplicidad algebraica permite una visualización geométrica coherente, pues se hace explícita su dirección y posición de la recta en el espacio.
- Para el desarrollo de esta clase, se requiere que estudiantes hayan desarrollado habilidades de reconocimiento de figuras, no tan solo por su apariencia, sino que provistas de propiedades que pueden ser relacionadas con las de otras figuras y objetos geométricos. \n
- For the development of this class, students are required to have developed figure recognition skills, not only by their appearance, but also provided with properties that can be related to those of other figures and geometric objects.\n
- En esta actividad representaremos rectas gráfica y algebraicamente, asociadas a un contexto descrito en lenguaje natural. Pues, “ningún objeto real” se puede considerar como representante perfecto de un objeto matemático (Duval (1998)), por tanto, es necesario referirse a ellos a través de alguna de sus formas de representación.
- In this activity we will represent lines graphically and algebraically, associated with a context described in natural language. Well, \"no real object\" can be considered as a perfect representative of a mathematical object (Duval (1998)), therefore, it is necessary to refer to them through some of their forms of representation.
- Given the context of the activity, the concept of lightning is initially addressed. Its vector equation is developed and then the definition is extended to obtain a line. If you consider it necessary, you can point out this difference to your students, without telling them that, as the last activity of the class, they will obtain the equation of the line.
- Dado que el contexto de la actividad, se aborda inicialmente el concepto de rayo. Se desarrolla su ecuación vectorial y luego, se extiende la definición para obtener una recta. Si considera necesario, puede hacer notar esta diferencia a sus estudiantes, sin adelantarles que, como última actividad de la clase, obtendrán la ecuación de la recta.
- Al abordar este tema, se pueden observar errores frecuentes, como los siguientes:
- En ocasiones, los estudiantes tienen dificultades para comprender de manera general el significado de un enunciado matemático y asociarlo a su representación geométrica. Como consecuencia de esto, los estudiantes pueden construir erróneamente la noción de recta debido a la poca comprensión de los cuantificadores presentes en la notación algebraica, que no siempre son explícitos en el lenguaje natural, y no suelen incluirse en la representación gráfica.\n
- Intentar aplicar la noción de “pendiente” de la recta en el plano para describir la recta en el espacio de coordenadas 3D. En casos como este, conviene abordar vectorialmente la recta en el plano.\n
- In approaching this topic, frequent errors can be observed, such as the following:
- Sometimes, students have difficulties to understand in a general way the meaning of a mathematical statement and associate it to its representation geometric. As a consequence of this, students may erroneously construct the notion of a straight line due to their poor understanding of the quantifiers present in algebraic notation, which are not always explicit in natural language, and are not usually included in the graphical representation.\n
- Try to apply the notion of “slope” of a line in the plane to describe the line in 3D coordinate space. In cases like this, it is convenient to approach the line in the plane vectorially.\n
- La noción de Raycast se enuncia en el contexto de programación de videojuegos como un rayo, pues tiene un origen y un solo sentido, definición que es coherente con la noción matemática de rayo.
- The notion of Raycast is enunciated in the context of video game programming as lightning, since it has an origin and a single meaning, a definition that is consistent with the mathematical notion of lightning.
- This tool that allows you to create functions is an object of mathematical origin, and allows you to obtain information on, for example, the positions of objects.
- Esta herramienta que permite crear funciones es un objeto de origen matemático, y permite obtener información de por ejemplo, las posiciones de objetos.
- It is important to mention that in video games you face the challenge of representing the 3D coordinate space on a two-dimensional (2D) screen. The raycast concept has been used for this task, since it allows to calculate which objects (from the 3D environment) are in the player's line of sight and, therefore, should be displayed on the screen. That is, among the functions of the raycast is to determine which objects are in front of the player's vision.
- Es importante mencionar que en los videojuegos se enfrenta el desafío de representar el espacio de coordenadas 3D en una pantalla bidimensional (2D). El concepto de raycast se ha usado para esta tarea, ya que permite calcular qué objetos (del ambiente 3D) están en la línea de visión del jugador y, por tanto deben mostrarse en la pantalla. Es decir, entre las funciones del raycast están determinar qué objetos se encuentran frente a la visión del jugador.
This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.\n
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación. \n
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/pdfs/presentacion_raycast.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/pdfs/presentacion_raycast.pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/docs/presentacion_raycast.pptx","titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/docs/presentacion_raycast.pptx","tipo":"button"}]},"2":{"contenido":[{"eng":"Worksheet","esp":"Hoja de Actividades","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.\n
","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación. \n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/pdfs/hoja-de-actividades-raycast.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/pdfs/hoja-de-actividades-raycast.pdf"},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":"Download Activity Sheet"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/docs/hoja-de-actividades-raycast.docx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/docs/hoja-de-actividades-raycast.docx"},{"tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 08 to 16)","esp":"Presentación (diapositivas 08 a 16)"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación. \n
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/pdfs/presentacion_raycast.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/pdfs/presentacion_raycast.pdf","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/docs/presentacion_raycast.pptx","tipo":"button","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"},"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/docs/presentacion_raycast.pptx"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"eng":"Presentation (slides 17 to 19)","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 17 a 19)"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación. \n
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/pdfs/presentacion_raycast.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/pdfs/presentacion_raycast.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/docs/presentacion_raycast.pptx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/docs/presentacion_raycast.pptx","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":"Descargar Presentación"}}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Guía Práctica","eng":"Practical Guide","tipo":"h3"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/pdfs/guia-practica-raycast.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/pdfs/guia-practica-raycast.pdf","tipo":"pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/docs/guia-practica-raycast.docx","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Download Practical Guide","esp":"Descargar Guia Práctica"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/docs/guia-practica-raycast.docx","tipo":"button"},{"esp":"Guía Práctica adicional","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"En este documento se proponen ejercicios adicionales, en algunos casos de mayor dificultad, para que las y los estudiantes puedan aplicar lo aprendido en esta lección. Los ejercicios de esta guía también pueden servir para evaluar los aprendizajes de la clase.
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/pdfs/Guia_Practica_ADICIONAL_G3D_OA2_Raycast_Matematica_en_videojuegos.pdf","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/docs/Guia_Practica_ADICIONAL_G3D_OA2_Raycast_Matematica_en_videojuegos.docx","eng":"","tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica adicional","eng":""}}]}}},"recursosProyecto":[],"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Momento de enganche","eng":"latching moment","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"Begin the lesson by asking questions such as:
","esp":"Comience la lección, planteando preguntas como:
"},{"eng":"(Slides 2 and 3, Presentation)","esp":"(Diapositivas 2 y 3, Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"- Do you have a favorite video game?
- In which games can you take the role of the main character?
- Can you imagine how mathematics contributes to the programming of these video games?
- ¿Tienen algún videojuego favorito?
- ¿En qué juegos puedes tomar el rol del personaje principal?
- ¿Se imaginan cómo la matemática aporta en la programación de estos videojuegos?
The purpose of these questions is to identify different types of three-dimensional video games. Focus attention on those who are in first person, opening doors, having a laser pointer or night vision, grabbing or breaking objects, etc.
","esp":"El propósito de estas preguntas es identificar diferentes tipos de video juego tridimensionales. Centre la atención en aquellos que están en primera persona, que abren puertas, tienen un puntero láser o visión nocturna, toman o rompen objetos, etc.
","tipo":"p"},{"eng":"Next, show the Infographic and time so they can interpret the information.
","tipo":"p","esp":"A continuación, muestre la Infografía y de tiempo para que puedan interpretar la información.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/pdfs/infografia_raycast.pdf","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/pdfs/infografia_raycast_matematicas_en_videojuegos_I_horizontal.pdf","recurso":"ModalPDF"},{"esp":"Presentación del problema","eng":"Presentation of the problem","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 4 a 6, Presentación)","eng":"(Slides 4 to 6, Presentation)"},{"esp":"Para introducir el contexto del problema, plantee las siguientes preguntas, mientras continúa proyectando la infografía.","eng":"To introduce the context of the problem, ask the following questions, while continuing to project the infographic.","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","eng":"- What is a raycast?\n
- What is it used for in video games?\n
- What mathematical concepts can you distinguish?\n
- How does a raycast work? What kind of information can be obtained from it?\n
- What elements define a raycast?
- ¿Qué es un raycast?\n
- ¿Para qué se usa en videojuegos?\n
- ¿Qué conceptos matemáticos puedes distinguir?\n
- ¿Cómo funciona un raycast? ¿Qué tipo de información se puede obtener de él?\n
- ¿Qué elementos definen un raycast?
- \nEs la emisión de un rayo, desde un origen, en una dirección determinada.\n
- Se usa para identificar objetos que se encuentran en la dirección del rayo: línea de visión de enemigos, determinar suelo o paredes, seleccionar o tomar objetos, etc.\n
- Rayo, origen, dirección, rotación, vector, ejes coordenados 3D.
- \nSe dirige un rayo para verificar si impacta con un objeto o no. Por ejemplo, a partir de esta información se puede conocer la distancia al objeto.\n
- Un punto de origen, la dirección del rayo y la información que se recupera del impacto (del rayo) con otros objetos.
- \nIt is the emission of a ray, from an origin, in a certain direction.\n
- Used to identify objects that are in the direction of the beam: line of sight of enemies, determine floor or walls, select or take objects, etc.\n
- Ray, origin, direction, rotation, vector, 3D coordinate axes.
- \nA beam is directed to verify whether it hits an object or not. For example, from this information the distance to the object can be known.\n
- A point of origin, the direction of the ray and the information that is recovered from the impact (of the ray) with other objects.
\n\nWe want to lead our character towards an escape door. Our character has a laser and, to find out if the door will take him to another level, he must aim his lock with the laser, if the door glows then he can escape through it.\n
\n\nTo find out if the door glows when struck by lightning, we need to trace the ray from its origin to the door lock. For this, it is necessary to have the location of the character and the door, which is given by the coordinates of the points that define their position in space.","esp":"Consideremos que tenemos un videojuego con un personaje principal (con cámara en primera persona), que debe avanzar a diferentes etapas a través de puertas que lo trasladan a los siguientes niveles. En su búsqueda, va recolectando herramientas y objetos que le ayudarán a avanzar a otras etapas.\n
\n\nQueremos llevar a nuestro personaje hacia una puerta de escape. Nuestro personaje tiene un láser y, para saber si la puerta lo llevará a otro nivel, debe apuntar su cerradura con el láser, si la puerta brilla entonces podrá escapar por ella.\n
\n\nPara saber si la puerta brilla al ser impactada por el rayo, necesitamos trazar el rayo desde su origen hacia la cerradura de la puerta. Para esto, se necesita tener la ubicación del personaje y de la puerta, lo que está dado por las coordenadas de los puntos que definen su posición en el espacio.","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/imgs/sujetopuerta.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/imgs/sujetopuerta.png","escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""}},{"esp":"¿Cómo representamos matemáticamente el “rayo que impacta la cerradura de la puerta de escape”?","recurso":"Pregunta","eng":"How do we mathematically represent “lightning striking the escape door lock”?","tipo":"momento"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Primera parte","eng":"First part"},{"eng":"Comment that they will now represent the situation in a 3D Cartesian graph (first activity of the Activity Sheet). Also, please note that we will use the term ray to refer to raycast.\n
\n\nThe purpose is that they indicate that the point from where the ray is emitted is required, in this activity we will use the point (0, 0, 3) as the origin of the ray. Also, tell them that the point where the door lock is located is (6, 5, 1).
\n\nYou can comment that integer coordinate points were chosen to make the calculations easier.","tipo":"p","esp":"Comente que a continuación representarán la situación en un gráfico cartesiano 3D (primera actividad de la Hoja de Actividades). Además, indique que utilizaremos el término rayo para referirnos al raycast.
\n\nEl propósito es que ellos indiquen que se requiere el punto desde donde se emite el rayo, en esta actividad utilizaremos el punto (0, 0, 3) como el origen del rayo. Además, dígales que el punto que donde está ubicada la cerradura de la puerta es el (6, 5, 1).
\n\nPuede comentar que se eligieron puntos de coordenadas enteras para facilitar los cálculos.\n"},{"eng":"- Represents the ray in 3D Cartesian space.
","esp":"- Representa el rayo en el espacio cartesiano 3D.
","recurso":"Actividades","tipo":"momento"},{"tipo":"p","eng":"Allow time for students to make their outline. The purpose of this question is to mobilize the student's thinking towards the three-dimensional space with coordinates.![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/imgs/1%29%20RAYCAST.png\")
\n\nThen ask them to share their diagrams. If necessary, show the one on slide 8. Where the points A = (0, 0, 3) and B = (6, 5, 2) are identified.","esp":"Dé tiempo para que los estudiantes hagan su esquema. El propósito de esta pregunta es movilizar el pensamiento del estudiante hacia el espacio tridimensional con coordenadas.
\n\nA continuación, solicite que compartan sus diagramas. Si es necesario muestre el que está en la diapositiva 8. Donde se identifican los puntos A = (0, 0, 3) y B = (6, 5, 2)."},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/imgs/2%29%20RAYCAST.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/imgs/2%29%20RAYCAST.png","alinea":"texto-centrado","escala":"25","caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"Give students time to update (modify or correct) their schematics.
\n\nQuestions could arise about the need to calculate the slope of the line, trying to generalize to space what happens in the plane. In cases like this, you can comment that the slope indicates the inclination of the line in a plane (with respect to 2 axes), but in space there are 3 axes, therefore, we must find a new way to describe the \"inclination\" of this line. straight.
\nThen, in order to make the vector A⃗B appear, ask questions like:","esp":"Dé tiempo a los estudiantes para que actualicen (modifiquen o corrijan) sus esquemas.
\n\nPodrían surgir preguntas sobre la necesidad de calcular la pendiente de la recta, intentando generalizar al espacio lo que sucede en el plano. En casos como este, puede comentar que la pendiente indica la inclinación de la recta en un plano (respecto de 2 ejes), pero en el espacio hay 3 ejes, por tanto, debemos buscar una nueva manera de describir la “inclinación” de esta recta.
\nLuego, con el propósito de que aparezca el vector A⃗B, plantee preguntas como:\n","tipo":"p"},{"eng":"- Could we know which direction is the beam pointing towards the door?
- Apart from its direction, do we know which way the ray is going?
- Does the vector A⃗B contain this information?
- ¿Podríamos saber qué dirección tiene el rayo que apunta hacia la puerta?
- Además de su dirección, ¿sabemos en qué sentido va el rayo?
- ¿El vector A⃗B contiene esta información?
- What are the components of the vector A⃗B?
- Calculate the following:
- \n
- 1 5 A⃗B \n
- 9 2 A⃗B
- ¿Cuáles son las componentes del vector A⃗B?
- Calcula lo siguiente:
- \n
- 1 5 A⃗B \n
- 9 2 A⃗B
\n\nShare the answers of 3, and ask a question so that they can visualize the position vector obtained in both questions.","esp":"Pida a sus estudiantes que compartan los resultados de 2 y compare las respuestas. Haga notar que el A⃗B entrega la información de la dirección, sentido del rayo. Además, también permite calcular la magnitud entre el personaje y la puerta, pero esta información por el momento no la necesitaremos.
\n\nComparta las respuestas de 3, y plantee una pregunta para que visualicen el vector posición obtenido en ambas preguntas. \n"},{"esp":"- Representa el vector 1 5 A⃗B con origen en:\n
- el punto (0, 0, 0). \n
- el punto A = (0, 0, 3).
\n - Estos dos vectores dibujados son paralelos, ¿cuál de ellos se encuentra sobre el rayo?
- Represents the vector 1 5 A⃗B originating from:\n
- the point (0, 0, 0). \n
- point A = (0, 0, 3).
\n - These two drawn vectors are parallel, which one is on the ray?
- Does the following expression define the ray we are looking for? Why?
- La siguiente expresión, ¿define el rayo que buscamos? ¿Por qué?
\n\nProject slide 12 and ask them to sketch a vector that serves as an example to note that none of the vectors thus found corresponds to the position of a point on our ray.
\nAlso, encourage your students to explain the equality ⟨ x, y, z ⟩ = αA⃗B as an equality between vectors, and that in this way, for each value of α we can obtain a new vector.","tipo":"p","esp":"Haga una encuesta a mano alzada para conocer las opiniones de sus estudiantes respecto de la pregunta 4, se espera que respondan “la expresión no define el rayo que buscamos”, porque estos puntos obtenidos no están sobre el rayo. Luego, organice una puesta en común de las ideas.
\n\nProyecte la diapositiva 12 y pídales que hagan el bosquejo de un vector que sirva de ejemplo para notar que ninguno de los vectores así encontrados, corresponde a la posición de un punto de nuestro rayo.
\nAdemás, promueva que sus estudiantes expliquen la igualdad ⟨ x, y, z ⟩ = αA⃗B como una igualdad entre vectores, y que de esta manera, para cada valor de α podemos obtener un nuevo vector. \n"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/imgs/3%29%20RAYCAST.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/raycast/imgs/3%29%20RAYCAST.png","tipo":"img","escala":"25","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"esp":"Luego, continúe con las preguntas 5 y 6 de la Hoja de Actividades.","eng":"Then continue with questions 5 and 6 on the Activity Sheet.","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"- Para describir efectivamente el rayo que buscamos, ¿qué dato necesitamos incorporar a lo anterior?
- Da un ejemplo de cómo integrarías ese dato en la expresión \n⟨ x, y, z ⟩ = αA⃗B (con algún α positivo) para que efectivamente describa el rayo. \n
- To effectively describe the ray we are looking for, what information do we need to add to the above?
- Give an example of how you would integrate that information into the expression\n⟨ x, y, z ⟩ = αA⃗B (with some positive α) so that it effectively describes lightning.\n
\n \nTo end the class, inform your students that they are about to state an even more general conclusion. For that, ask them to go to the last question on the activity sheet.","esp":"Comente que finalmente hemos representado matemáticamente la ecuación del rayo, que se dirige desde la posición del jugador hacia la cerradura de la puerta. Por tanto, hemos identificado cómo internamente, en la programación de videojuegos, se trabaja con vectores.
\n \nPara finalizar la clase, informe a sus estudiantes que están ad-portas de plantear una conclusión aún más general. Para eso, pídales que pasen a la última pregunta de la hoja de actividades.\n"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":"- What happens if in the vector equation of lightning, α is negative?
- ¿Qué sucede si en la ecuación vectorial del rayo, α es negativo?
- In this activity we have constructed the definition of the vector equation of a line in 3D space.
\\[ L = \\{ (x, y, z) : \\langle x, y, z \\rangle = \\langle P\\rangle t \\vec{d} \\text{ for some } t \\in \\mathbb{R}\\} \\] - Mathematics has multiple applications in video game. One of them is called Raycast, which uses lines in space and vector equations to determine impacts with virtual objects.
- En esta actividad hemos construido la definición de ecuación vectorial de la recta en el espacio 3D.
\\[ L = \\{ (x, y, z) : \\langle x, y, z \\rangle = \\langle P\\rangle + t \\vec{d} \\text{ para algún } t \\in \\mathbb{R}\\} \\] - La matemática tiene múltiples aplicaciones en videojuegos. Una de ellas es denominada Raycast, que utiliza rectas en el espacio y ecuaciones vectoriales para determinar impactos con objetos virtuales.
En esta guía práctica, los y las estudiantes retoman el contexto de un videojuego en el que se utilizan rayos para detectar objetos y determinar interacciones en el espacio. A partir de nuevas posiciones del personaje y de diversos objetos, se les propone aplicar las herramientas trabajadas en clase para analizar trayectorias de rayos y proponer condiciones para que un rayo alcance un determinado conjunto de puntos.
","tipo":"p","eng":"To practice the content covered in this class, ask your students to work on the Practical Guide.
"},{"esp":"Estos ejercicios pueden servir para evaluar formativamente los siguientes indicadores:\n\n
- \n
- Representan rectas en el espacio tridimensional mediante ecuaciones vectoriales, a partir de un punto y un vector. \n
- Verifican si un punto pertenece a una recta, argumentando en base a su ecuación vectorial. \n
Teniendo en cuenta que la implementación de planes integrales de mitigación desde el 2018 disminuirá el ritmo de crecimiento de los castores, se propone un modelo simple que no incluye factores que pueden condicionar éste crecimiento (depredadores, longevidad, número de crías, caza, etc.)
","eng":"Taking into account that the implementation of comprehensive mitigation plans since 2018 will decrease the growth rate of beavers, a simple model is proposed that does not include factors that may condition this growth (predators, longevity, number of offspring, hunting etc)
","tipo":"p"},{"esp":"El modelo se expresa como:
\\(C=132+ \\sqrt{{0,2}\\cdot{m}}\\)","tipo":"p","eng":"The model is expressed as:
\\(C=132 \\sqrt{{ 0,2}\\cdot{m}}\\)"},{"tipo":"p","eng":"Including the square root in the formula ensures that the value of C (number of beavers in thousands) does not increase excessively as m grows. The square root function is represented by a smooth curve in the first quadrant of the Cartesian plane, with a rate of growth that progressively decreases as the independent variable m increases.\n
\nIt is important to note that this model is fictitious and has been formulated solely to simulate a situation in which the growth of the beaver population is sought to be reduced over time.","esp":"La inclusión de la raíz cuadrada en la fórmula asegura que el valor de C (número de castores en miles) no aumente excesivamente a medida que m crece. La función raíz cuadrada se representa mediante una curva suave en el primer cuadrante del plano cartesiano, con un ritmo de crecimiento que disminuye progresivamente al aumentar la variable independiente m.\n
\nEs importante destacar que este modelo es ficticio y se ha formulado únicamente para simular una situación en la que se busca reducir el crecimiento de la población de castores a lo largo del tiempo. \n"},{"eng":"Relationship between power and root","tipo":"h3","esp":"Relación entre potencia y raíz"},{"eng":"It is crucial that students understand the relationship between the square root and the corresponding power. This relationship can be defined as:
","esp":"Es crucial que las y los estudiantes comprendan la relación entre la raíz cuadrada y la potencia correspondiente. Esta relación se puede definir como:
","tipo":"p"},{"esp":"\\(a=\\sqrt{b}\\Leftrightarrow {a}^2 =b ,
","tipo":"p","eng":"
b\\geq0, b\\in R\\)\\(a=\\sqrt{b}\\Leftrightarrow {a}^2 =b ,
"},{"tipo":"p","eng":"
b\\geq0, b\\in R\\ )Therefore, the power operation and the root operation are inverse operations of each other.
","esp":"Por lo tanto, la operación de la potencia y la operación de la raíz son operaciones inversas una de la otra.
"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Recomendación","tipo":"h3","eng":"Recommendation"},{"tipo":"p","eng":"As noted above, this scenario is expected to take place after the “beaver population” scenario, which looked at the exponential growth of beavers without considering any mitigation measures.
","esp":"Tal como se señaló anteriormente, se espera que esta situación se realice después de la situación “la población de castores”, en que se analizaba el crecimiento exponencial de los castores sin considerar ninguna medida de mitigación.
"},{"eng":"Root function growth model graph","esp":"Gráfico de Modelo de crecimiento función raíz","tipo":"h3"},{"esp":"En esta situación, es fundamental que los estudiantes comprendan que la población de castores sigue creciendo a través del tiempo, pero a un ritmo “más lento” en comparación con el modelo de crecimiento exponencial estudiado anteriormente. Para lograr esto, es esencial que analicen cuidadosamente el gráfico y observen cómo la población de castores evoluciona según el nuevo modelo.
","eng":"In this situation, it is critical that students understand that the beaver population continues to grow over time, but at a “slower” rate compared to the exponential growth model studied above. To achieve this, it is essential that they carefully analyze the graph and observe how the beaver population evolves according to the new model.
","tipo":"p"},{"caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/imag/2%20%283%29.png","escala":"50","alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/imag/2%20%283%29.png"},{"tipo":"p","eng":"Keep in mind that from the graph it can be concluded that:- \nIt is a gradual curve and shows a progressive increase towards the right of the graph.
- \nAs the independent variable m (years) increases, the dependent variable C (beavers) also increases, but its rate of growth progressively decreases.
- \nThe beginning of the curve is at the point (0, 132) which represents the initial number of beavers in thousands before the implementation of the mitigation plans.\n
- \nEs una curva gradual y muestra un incremento progresivo hacia la derecha del gráfico.
- \nA medida que aumenta la variable independiente m (años), la variable dependiente C (castores) también aumenta, pero su ritmo de crecimiento disminuye progresivamente.
- \nEl inicio de la curva se encuentra en el punto (0, 132) lo que representa la cantidad inicial de castores en miles antes de la implementación de los planes de mitigación.\n
The Geogebra “Beaver Population Control” https://www.geogebra.org/m/ wjthqxsw allows us to review the global and local behavior of the model proposed for the beaver population. Zooming in on the graph allows you to see the curve in greater detail, while zooming out can make the curve look like a straight line.\n
","esp":"El Geogebra “Control de la población de castores” https://www.geogebra.org/m/wjthqxsw permite revisar el comportamiento global como local del modelo propuesto para la población de castores. Al hacer zoom en el gráfico, se puede apreciar con mayor detalle la curva, mientras que al alejarnos, la graduación puede hacer que la curva parezca una recta.\n
"},{"esp":"Modelamiento de poblaciones","tipo":"h3","eng":"Population modeling"},{"tipo":"p","eng":"Using the square root model allows us to understand the relationship between beavers and time in a different way, compared to the exponential model previously studied. However, it is important to take into account that the projection of the population growth of beavers may not follow the same trend in the future.
","esp":"
It should be noted that, although the students already have previous knowledge about functions, it has been chosen for avoiding the use of functional notation in the models presented. This is because the deep understanding of the root function will be covered in higher courses.
In order for your students to fully understand the importance of mitigation measures, it is essential that they be able to see the evolution of population growth of beavers over time, with and without these measures. Likewise, it is valuable that in the long-term graph they can see the difference in the number of beavers that there are in the year 2022, if the mitigation measures had not been implemented. In this way, they will be able to understand more clearly the effectiveness of these measures in the management and control of the population growth of beavers.\nLa utilización del modelo con raíz cuadrada nos permite comprender de forma distinta la relación entre los castores y el tiempo, en comparación con el modelo exponencial previamente estudiado. No obstante, es importante tener en cuenta que la proyección del crecimiento poblacional de los castores puede no seguir la misma tendencia en el futuro.
"},{"eng":"Calculation of power and roots","tipo":"h3","esp":"Cálculo de potencia y raíces"},{"esp":"
Cabe destacar que, aunque los estudiantes ya tienen conocimientos previos sobre funciones, se ha optado por evitar el uso de notación funcional en los modelos presentados. Esto se debe a que la comprensión profunda de la función raíz se abordará en cursos superiores.
Para que sus estudiantes comprendan plenamente la importancia de las medidas de mitigación, es fundamental que puedan ver la evolución del crecimiento de la población de castores a lo largo del tiempo, con y sin estas medidas. Asimismo, resulta valioso que en el gráfico a largo plazo puedan observar la diferencia en el número de castores que hay en el año 2022, si no se hubieran implementado las medidas de mitigación. De esta manera, podrán comprender de manera más clara la efectividad de estas medidas en la gestión y control del crecimiento poblacional de los castores.\nEn el modelo que se utiliza, se involucran cálculos de raíces, para los cuales se espera que las y los estudiantes utilicen calculadora, aunque también se recomienda que estén atentos a su capacidad de estimar los resultados. Por ejemplo, al calcular la raíz cuadrada de 5, se espera que los estudiantes reconozcan que es un número ligeramente mayor a 2. Dado que ciertas raíces cuadradas corresponden a números irracionales con desarrollos decimales infinitos, los estudiantes deben ser capaces de truncar o aproximar según sea necesario. Por ejemplo, al calcular la raíz cuadrada de 0,8, se obtiene el decimal 0,894427191..., que se puede truncar a tres cifras decimales, de modo que 0,894 es una aproximación aceptable. Es importante tener en cuenta que si aproximan o truncan los resultados, no afectará significativamente la solución del problema, ya que se trata de un número estimado.\n
","eng":"In the model used, root calculations are involved, for which students are expected to use a calculator, although it is also recommended that they be attentive to their ability to estimate the results. For example, when calculating the square root of 5, students are expected to recognize that it is a number slightly greater than 2. Since certain square roots correspond to irrational numbers with infinite decimal developments, students should be able to truncate or approximate according to be necessary. For example, taking the square root of 0.8 yields the decimal 0.894427191..., which can be truncated to three decimal places, so 0.894 is a fair approximation. It is important to note that if you round or truncate the results, it will not significantly affect the solution of the problem, since it is an estimated number.\n
","tipo":"p"}]},"3":{"contenido":[{"esp":"En la actualidad, el castor en Chile es considerado una especie exótica invasora. Su rápido crecimiento poblacional en Tierra del Fuego, se debe a la ausencia de depredadores y competidores naturales, y a un hábitat favorable con una alta disponibilidad de recursos.
","tipo":"p","eng":"
Este crecimiento exponencial de la población conlleva graves consecuencias para el ecosistema local ya que viven en grandes represas que construyen a lo largo de los ríos, lo que altera el régimen de descarga y velocidad de las aguas. Esto, a su vez, provoca inundaciones de bosques nativos. Además, esta especie se alimenta de árboles, se estima que puede consumir hasta 200 árboles al año. los cuales no logran sobrevivir, lo que conlleva una modificación en el flujo de nutrientes, generando consecuencias negativas para las especies nativas del lugar. A continuación, se puede observar el daño ilustrado en los bosques patagónicos debido a la presencia de castores.\nCurrently, the beaver in Chile is considered an invasive alien species. Its rapid population growth in Tierra del Fuego is due to the absence of natural predators and competitors, and a favorable habitat with a high availability of resources.
"},{"escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/imag/3%20%281%29.png","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/imag/3%20%281%29.png","tipo":"img"},{"tipo":"h4","eng":"Beaver Eradication","esp":"Erradicación del Castor "},{"tipo":"p","eng":"
This exponential population growth has serious consequences for the local ecosystem since they live in large dams that they build along the rivers, which alters the discharge regime and speed of the waters. This, in turn, causes flooding of native forests. In addition, this species feeds on trees, it is estimated that it can consume up to 200 trees a year. which fail to survive, which entails a modification in the flow of nutrients, generating negative consequences for the native species of the place. Below, you can see the illustrated damage in Patagonian forests due to the presence of beavers.\nFor many years, the lack of information and the complexity involved in hunting animals prevented the implementation of mitigation measures to address the beaver threat in Tierra del Fuego. However, in 2005, Chile and Argentina began a joint process to comprehensively address this problem. Since then, various measures have been taken to control this species.
","esp":"
In the year 2020, the project \"Strengthening and Development of Instruments for the Management, Prevention and Control of Castor canadensis, an invasive exotic species in Chilean Patagonia\" (GEF Castor), presented a plan, which includes long-term comprehensive management measures that aim not only to control the beaver population, but also to restore essential ecosystems for climate change mitigation, including the capture of CO2 and other greenhouse gases, the provision of fresh water and biodiversity conservation.
It is important to note that any beaver eradication plan is a costly and complex process that requires careful planning and the collaboration of trained ecological restoration professionals, local authorities and community groups. nature conservation. Some of the beaver control measures include beaver trapping and hunting, removal of water barriers, breeding control, ecosystem restoration, and continued research.
As an additional resource, provided the video \"The Invasion of the Beaver in Patagonia\", provided by the GEF Beaver Management Project of the FAO and the Ministry of the Environment, which allows a better understanding of the context of the problem.\n\n\nDurante muchos años, la falta de información y la complejidad que implica la caza de animales, impidió la implementación de medidas de mitigación para abordar la amenaza del castor en Tierra del Fuego. Sin embargo, en el año 2005, Chile y Argentina iniciaron un proceso conjunto para abordar integralmente este problema. Desde entonces se han realizado diversas medidas para el control de esta especie.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/videos%20/La%20invasi%C3%B3n%20de%20castor%20en%20la%20Patagonia%20%28Ingl%C3% A9s%29.mp4","tipo":"video","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/videos%20/La%20invasi%C3%B3n%20de%20castor%20en%20la%20Patagonia%20%28Ingl%C3%A9s%29.mp4"}],"visible":true}},"visible":true},"recursosProyecto":[],"recursos":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"La infografía “Controlando la población de castores”","tipo":"h3","eng":"The infographic “Controlling the beaver population”"},{"esp":"
En el año 2020, el proyecto \"Fortalecimiento y Desarrollo de Instrumentos para el Manejo, Prevención y Control del Castor canadensis, una especie exótica invasora en la Patagonia Chilena\" (GEF Castor), presentó un plan, que incluye medidas de gestión integral a largo plazo que tiene como objetivo no solo controlar la población de castores, sino también restaurar los ecosistemas esenciales para la mitigación del cambio climático, incluyendo la captura de CO2 y otros gases de efecto invernadero, la provisión de agua dulce y la conservación de la biodiversidad.
Es importante tener en cuenta que cualquier plan de erradicación del castor es un proceso costoso y complejo que requiere una planificación cuidadosa y la colaboración de profesionales capacitados en restauración ecológica, autoridades locales y grupos de conservación de la naturaleza. Algunas de las medidas de control del castor incluyen el trampeo y caza de castores, la eliminación de barreras de agua, el control de la reproducción, la restauración de ecosistemas y la investigación continua.
Como recurso adicional, se proporciona el video \"La invasión del Castor en la Patagonia\", aportado por el Proyecto GEF de Gestión del Castor de la FAO y el Ministerio del Medio Ambiente, que permite comprender mejor el contexto del problema.\n\n\nLa infografía muestra el crecimiento exponencial del Castor Canadiense a lo largo del tiempo, se menciona la importancia de contar con medidas de control de esta especie y cuáles podrían ser algunas de estas medidas de mitigación.
","eng":"The infographic shows the exponential growth of the Canadian Beaver over time, mentioning the importance of having control measures for this species and what some of these mitigation measures could be.
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/pdfs/Infografia%20castores%20%282%29.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/la_poblacion_de_castores/pdfs/infografia_control_de_la_poblacion_de_castores_horizontal_v_2.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/pdfs/Infografia%20castores%20%282%29.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/la_poblacion_de_castores/pdfs/infografia_control_de_la_poblacion_de_castores_horizontal_v_2.pdf","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Descargar Infografia","esp":"Descargar Infografia"}},{"eng":"Presentation (slides 2 to 5)","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 5)","tipo":"h3"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.
","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/pdfs/Presentacion%20%22Control%20de%20la%20poblacion%20de%20castores%22%20.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/pdfs/Presentacion%20%22Control%20de%20la%20poblacion%20de%20castores%22%20.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Descargar Presentación"},"recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/docs/Presentacion%20%22control%20de%20la%20poblacion%20de%20castores%22.pptx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/docs/Presentacion%20%22control%20de%20la%20poblacion%20de%20castores%22.pptx"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Worksheet","esp":"Hoja de Actividades","tipo":"h3"},{"eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.
","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/pdfs/Hoja%20de%20Actividades_2M_U1_OA2.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/pdfs/Hoja%20de%20Actividades_2M_U1_OA2.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":"Download Activity Sheet"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/docs/Hoja%20de%20Actividades_2M_U1_OA2.docx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/docs/Hoja%20de%20Actividades_2M_U1_OA2.docx","tipo":"button","recurso":"Descarga"},{"tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 6 to 12)","esp":"Presentación (diapositivas 6 a 12)"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/pdfs/Presentacion%20%22Control%20de%20la%20poblacion%20de%20castores%22%20.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/pdfs/Presentacion%20%22Control%20de%20la%20poblacion%20de%20castores%22%20.pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/docs/Presentacion%20%22control%20de%20la%20poblacion%20de%20castores%22.pptx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/docs/Presentacion%20%22control%20de%20la%20poblacion%20de%20castores%22.pptx","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Download Presentation"},"tipo":"button"},{"esp":"Recurso interactivo ","tipo":"h3","eng":"interactive resource"},{"eng":"He","tipo":"p","esp":"El GeoGebra “Control de la población de castores” le permite visualizar la gráfica planteada en la situación, puede mover el punto y le entregará las coordenadas correspondientes.- https://www.geogebra.org/m/wjthqxsw
Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/pdfs/Presentacion%20%22Control%20de%20la%20poblacion%20de%20castores%22%20.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/pdfs/Presentacion%20%22Control%20de%20la%20poblacion%20de%20castores%22%20.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Download Presentation"},"tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/docs/Presentacion%20%22control%20de%20la%20poblaci%C3%B3n%20de%20castores%22.pptx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/docs/Presentacion%20%22control%20de%20la%20poblaci%C3%B3n%20de%20castores%22.pptx"}]},"4":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Guía Práctica","eng":"Practical Guide","tipo":"h3"},{"esp":"Este documento propone una situación de análisis del crecimiento con y sin medidas de mitigación, con el uso de GeoGebra “ Calculadora población de castores” podrá realizar algunos cálculos necesarios y evaluar formativamente a sus estudiantes.
","eng":"This document proposes a situation of analysis of growth with and without mitigation measures, with the use of GeoGebra \"Beaver population calculator\" you will be able to perform some necessary calculations and formatively evaluate your students.
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/pdfs/Guia%20Practica%20castores%202.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/pdfs/Guia%20Practica%20castores%202.pdf","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/pdfs/Guia%20Practica%20castores%202.pdf","titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica","eng":"Download Practical Guide"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/pdfs/Guia%20Practica%20castores%202.pdf","tipo":"button","recurso":"Descarga"},{"tipo":"h3","esp":"Recursos interactivos ","eng":"interactive resources"},{"eng":"The","esp":"
El GeoGebra “Calculadora población de castores” le permitirá obtener resultados de la población total en dos modelos de crecimiento: modelo exponencial (sin medidas de mitigación) y modelo raíz cuadrada (con medidas de mitigación) logrando así comparar ambos modelos.
","tipo":"p"},{"recurso":"Geogebra","tipo":"iframe","eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/att9ztsz/width/921/height/495/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/ asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false\" width=\"921px\" height=\"495px\" style=\"border:0px;","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/att9ztsz/width/921/height/495/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false\" width=\"921px\" height=\"495px\" style=\"border:0px; "}]}},"visible":true},"visible":true,"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Momento de enganche","eng":"latching moment"},{"eng":"(Slides 2 and 3, Presentation)","esp":"(Diapositivas 2 y 3, Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"Begin class by presenting the Infographic “Controlling the Beaver Population”. Allow time for the students to comment on the information presented. It is suggested to ask:","tipo":"p","esp":"Comience la clase presentando la Infografía “Controlando la población de castores”. De un tiempo para que los y las estudiantes opinen de la información presentada. Se sugiere preguntar:"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/pdfs/Infografia%20castores%20%282%29.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/la_poblacion_de_castores/pdfs/infografia_control_de_la_poblacion_de_castores_horizontal_v_2.pdf","tipo":"button","recurso":"modalPDF","titulo":{"esp":"Ver Infografía","eng":"infographic"}},{"esp":"- ¿Recuerdan la problemática del crecimiento exponencial de la población de castores que estudiamos anteriormente? ¿Qué recuerdan?\n
- ¿Por qué es importante controlar esta especie?\n
- Remember the problem of exponential growth of the beaver population that we studied earlier? What do they remember?\n
- Why is it important to control this species?\n
Generate a discussion to reflect on the need to have more effective plans to control its growth given the negative impacts on the ecosystem of Tierra del Fuego. It is important to emphasize to the students that in the previous situation exponential growth was assumed without considering mitigation measures, which projected rapid population growth in the future. However, in this situation, the mitigation measures that have been adopted to control the growth of the beaver population from 2018 onwards and have been increasing since then are considered.
","esp":"Generar una discusión para reflexionar sobre la necesidad de tener planes más efectivos para controlar su crecimiento dado los impactos negativos al ecosistema de Tierra del Fuego. Es importante recalcar a las y los estudiantes que en la situación anterior se asumió un crecimiento exponencial sin considerar medidas de mitigación, lo que proyectaba un rápido crecimiento de la población en el futuro. Sin embargo, en esta situación, se consideran las medidas de mitigación que se han adoptado para controlar el crecimiento de la población de castores desde 2018 en adelante y que han ido en aumento desde entonces.
"},{"eng":"Presentation of the problem","tipo":"h3","esp":"Presentación del problema"},{"tipo":"h4","eng":"(Slide 4 and 5, Presentation)","esp":"(Diapositiva 4 y 5, Presentación) "},{"tipo":"p","esp":"Presente la situación “Controlando la población de castores” \nSe sugiere hacer preguntas para que los estudiantes analicen el modelo, identificando la relación de dependencia entre las variables y su dominio de validez. Además, es importante que reconozcan que el número \n132 se refiere aproximadamente a la cantidad de castores en miles (132 000 castores) que se estima que había en Tierra del Fuego, antes de la implementación de medidas y planes integrales de mitigación.","eng":"Introduce the scenario “Controlling the beaver population”\nIt is suggested to ask questions for students to analyze the model, identifying the dependency relationship between the variables and their domain of validity. In addition, it is important that they recognize that the number\n132 refers to the approximate number of beavers in the thousands (132,000 beavers) estimated to have existed in Tierra del Fuego, prior to the implementation of comprehensive mitigation measures and plans."},{"tipo":"momento","eng":"- What values can C take?\n
- What values can m take?
- \nWhat will happen to the number of beavers as the years go by?\n
- ¿Qué valores puede adoptar C?\n
- ¿Qué valores puede adoptar m?
- \n¿Qué sucederá con el número de castores a medida que pasen los años?\n
- C será un número mayor que 132 mil ya que a ese número se les irá sumando cada vez el número de castores que aumentan cada año.
- \nComo m representa los años desde el 2018, sus valores son: 0,1,2,....
- \nA medida que pasen los años el número de castores irá aumentando.\n
- C will be a number greater than 132 thousand since the number of beavers that increase each year will be added each time.
- \nSince m represents years since 2018, its values are: 0,1,2,....
- \nAs the years go by, the number of beavers will increase.\n
Se sugiere comentar que efectivamente el aumento de castores es continuo a través del tiempo y que solo para efectos de su contabilización, se establece hacerlo año a año.
","tipo":"p","eng":"It is suggested to comment that indeed the increase in beavers is continuous over time and that only for accounting purposes, it is established to do it year by year.
"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"eng":"First part","esp":"Primera Parte","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositiva 6-9, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slide 6-9, Presentation)"},{"esp":"Entregue a las y los estudiantes la Hoja de Actividades de la situación “Control de la población de castores”.
\nInvítelos a que en parejas realicen la pregunta 1. Permita el uso de calculadora.","eng":"Give the students the Activity Sheet of the situation “Control of the beaver population”.
\nInvite them to ask question 1 in pairs. Allow the use of a calculator.","tipo":"p"},{"eng":"1. Complete the table that relates the number of beavers that there would be in relation to the years elapsed since the execution of measures and comprehensive mitigation plans.
","esp":"1. Completa la tabla que relaciona la cantidad de castores que habría en relación a los años transcurridos desde la ejecución de medidas y planes integrales de mitigación.
","recurso":"Actividades","tipo":"momento"},{"eng":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/imag/4%20%282%29.png\")
","recurso":"Respuesta","tipo":"momento","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/imag/5%20%281%29.png\")
"},{"esp":"Al completar la tabla tendrán que realizar diversos cálculos, por ejemplo para 4 años transcurridos (m=4):![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/imag/6.png\")
","eng":"When completing the table, they will have to perform various calculations, for example for 4 years elapsed (m=4):","tipo":"p"},{"esp":"En el caso de m = 5, desafíe a sus estudiantes a realizar el cálculo sin apoyo de calculadora. Se sugiere invitar a un/a estudiante a explicar los cálculos que realizaría, que incluso los puede hacer en forma mental.
A continuación pida a sus estudiantes que respondan la pregunta 2 de la Hoja de Actividades.","tipo":"p","eng":"In the case of m = 5, challenge your students to perform the calculation without the aid of a calculator. It is suggested to invite a student to explain the calculations that he would carry out, that he can even do them mentally.
Next ask your students to answer question 2 on the Activity Sheet."},{"eng":"2.What can you tell about the beaver population with this model? Justify.
","recurso":"Actividades","esp":"2.¿Qué puedes decir de la población de castores con este modelo? Justifica.
","tipo":"momento"},{"tipo":"p","esp":"Algunas respuestas pueden ser: “El aumento de la población de castores crece en menos de 1000 ejemplares cada año”, “el aumento de los castores crece poco año a año”. No es necesario detenerse a analizar la validez de estas respuestas, pues el objetivo es hacer un primer acercamiento sobre el aumento “lento” de la población con este modelo.
","eng":"
\nAhora pídales que aborden la pregunta 3 de la Hoja de Actividades.Some answers could be: “The increase of the beaver population grows by less than 1000 individuals each year”, “the increase of the beavers grows little every year”. It is not necessary to stop to analyze the validity of these answers, since the objective is to make a first approach to the \"slow\" increase of the population with this model.
"},{"recurso":"Actividades","eng":"
\nNow ask them to address question 3 on the Activity Sheet.3. Sketch the graph you imagine for the beaver population using this model.
","tipo":"momento","esp":"3. Esboza el gráfico que imaginas para la población de castores con este modelo.
"},{"tipo":"p","esp":"Una vez que las y los estudiantes proponen gráficos generales para representar la población de castores con este modelo, se sugiere presentarles el gráfico de la población de castores con apoyo del recurso GeoGebra “Control de la población de castores”
","eng":"
\nPara apoyar este momento se propone realizar las siguientes preguntas: \nOnce the students propose general graphs to represent the beaver population with this model, it is suggested to present them with the graph of the beaver population with the support of the resource"},{"esp":"
- ¿Se parece al gráfico que esbozaron?
- \n¿Qué características tiene este gráfico?\n
- ¿Cómo crece el número de castores a medida que pasan los años?\n
- Does it look like the graph you sketched?
- \nWhat features does this chart have?\n
- How does the number of beavers grow as the years go by?\n
- Identify that it is an ascending curve.\n
- Recognize that it is divided into 132 thousand beavers, that is, from the coordinate point (0.132).
- \nAs time goes by the population grows, but less and less year by year.\n
- Identifiquen que es una curva ascendente.\n
- Reconozcan que se parte en 132 mil castores, esto es, del punto de coordenadas (0,132).
- \nA medida que pasa el tiempo crece la población, pero cada vez menos año a año.\n
Ahora pídales que observen la tabla realizada anteriormente, y comente que para comprender ese ritmo “lento” de crecimiento vamos a considerar las diferencias del aumento de castores año a año, proyecte esas diferencias o pida a sus estudiantes que las calculen. Luego de observar las diferencias preguntar:
","tipo":"p","eng":"Now ask them to look at the table made above, and comment that to understand this “slow” rate of growth we are going to consider the differences in beaver increase from year to year, project those differences or ask your students to calculate them. After observing the differences ask:
"},{"eng":"What can you say about the rate of growth for the first 6 years?
","tipo":"momento","esp":"¿Qué puedes decir del ritmo de crecimiento para los primeros 6 años?
","recurso":"Pregunta"},{"esp":"Para finalizar, se concluye que el crecimiento de los castores va en aumento, pero a un ritmo de crecimiento cada vez menor.
","eng":"Finally, it is concluded that the growth of beavers is increasing, but at a decreasing growth rate.
","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"Segunda parte ","eng":"Second part"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 10-13, Presentación) ","eng":"(Slide 10-13, Presentation)"},{"esp":"Ahora pida que aborden la pregunta 4 y 5 de la Hoja de Actividades. De un tiempo para que, en parejas o grupos elaboren sus estrategias.
","eng":"Now ask them to address questions 4 and 5 on the Activity Sheet. Allow time for them, in pairs or groups, to develop their strategies.
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":"4.In what year would the 134 thousand beavers be reached?
","esp":"4.¿En qué año se alcanzarían los 134 mil castores?
"},{"tipo":"p","eng":"Before calculating, we suggest asking them to anticipate the year in which there would be 134,000 beavers by asking their students: When do you think the beaver population will be 134,000?
","esp":"Antes de calcular, se sugiere solicitarles que anticipen el año en que habría 134 mil castores preguntado a sus estudiantes: ¿Cuándo creen que la población de castores será 134 mil?
"},{"tipo":"p","esp":"Es posible que a partir de la tabla anterior piensen erróneamente el año en que la población de castores alcance los 134 mil ejemplares. En tal caso, registre las respuestas de sus estudiantes y luego, pídales calcular teniendo en cuenta que, en este caso, se conoce el valor de C, pero no de m. Así, reconocen que la expresión que permite responder a la pregunta 4 es: ","eng":"It is possible that from the previous table they mistakenly think the year in which the beaver population reaches 134 thousand copies. In this case, record your students' responses and then ask them to calculate, taking into account that in this case the value of C is known, but m is not. Thus, they recognize that the expression that allows answering question 4 is:"},{"tipo":"img","escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/imag/7.png","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/imag/7.png","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"tipo":"p","esp":"Para la pregunta 5, se sugiere realizar una gestión similar a la pregunta 4
","eng":"For question 5, it is suggested to carry out a management similar to question 4
"},{"eng":"5.In what year do you reach 135 thousand beavers?
","recurso":"Actividades","esp":"5.¿En qué año se llega a los 135 mil castores?
","tipo":"momento"},{"tipo":"momento","eng":"After 45 years, that is, in the year 2063, it would reach 135 thousand copies.
","recurso":"Respuesta","esp":"Al cabo de 45 años, esto es, en el año 2063, se alcanzaría los 135 mil ejemplares.
"},{"tipo":"p","esp":"Para finalizar pregunte a sus estudiantes :
","eng":"To finish, ask your students:
"},{"tipo":"momento","eng":"What would the graph look like if we think about the trajectory of beaver population growth from 1946 to 2018 (without mitigation measures) and then from 2018 onwards (with mitigation plans)?
","esp":"¿Cómo sería el gráfico si pensamos en la trayectoria del crecimiento de la población de castores desde el 1946 hasta el 2018 (sin medidas de mitigación) y luego desde el 2018 en adelante (con planes de mitigación)?
","recurso":"Pregunta"},{"esp":"Solicite a los estudiantes que realicen un esbozo que muestre el comportamiento general de las curvas que representan el crecimiento de la población de castores con y sin medidas de mitigación. Posteriormente, proyecte un gráfico no graduado que muestra el crecimiento de la población de castores desde 1946, sin y con medidas de mitigación. Las y los estudiantes deberán comparar sus dibujos con el gráfico proyectado y discutir las similitudes y diferencias entre ellos.
","eng":"Ask students to make a sketch showing the general behavior of the curves representing beaver population growth with and without mitigation measures. Next, project an ungraded graph showing the growth of the beaver population since 1946, with and without mitigation measures. The students should compare their drawings with the projected graph and discuss the similarities and differences between them.
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/imag/8%20%282%29.png","alinea":"texto-centrado","escala":"50","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/castores%202/imag/8%20%282%29.png"},{"esp":"Es importante destacar que, si la tendencia de crecimiento sin medidas de mitigación hubiera continuado, se habría alcanzado una población cercana a los 216 mil ejemplares de castores para el año 2022. Sin embargo, gracias a la implementación de medidas de mitigación, esta cantidad ha aumentado gradualmente, y se ha alcanzado una cifra cercana a los 133 mil ejemplares.\n
","tipo":"p","eng":"It is important to highlight that, if the growth trend without mitigation measures had continued, a population of close to 216,000 beavers would have been reached by the year 2022. However, thanks to the implementation of mitigation measures, this number has gradually increased, reaching a figure close to 133 thousand copies.\n
"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"esp":"Sistematización","eng":"Systematization","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","eng":"(Slides 14-16, Presentation)","esp":"(Diapositivas 14-16, Presentación)"},{"esp":"En base a lo realizado en la actividades, sistematice las siguientes ideas:\n
","tipo":"p","eng":"Based on what was done in the activities, systematize the following ideas:\n
"},{"eng":"- To represent the relationship between the number of beavers and the years since the start of the mitigation plan, we use a model that involves a square root. We have also been able to represent this relationship using tables and graphs.
- \nThe beaver population growth curve with this model is upward and grows slowly as the years go by.
- \nTo find the number of beavers after a certain number of years, we had to use root calculations. For example, if we want to find the number of beavers there are after 10 years, we calculate:
- Para representar la relación entre el número de castores y los años transcurridos desde el inicio del plan de mitigación, utilizamos un modelo que involucra una raíz cuadrada. Esta relación también la hemos podido representar mediante tablas y gráficos.
- \nLa curva de crecimiento de la población de castores con este modelo es ascendente y crece lentamente a medida que pasan los años.
- \nPara encontrar el número de castores después de un cierto número de años, tuvimos que utilizar cálculos con raíces. Por ejemplo, si queremos encontrar el número de castores que hay transcurridos 10 años, calculamos:
$$C=132 \\sqrt{{0,2}\\cdot{10}}$$","esp":"$$C=132+\\sqrt{{0,2}\\cdot{10}}$$","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"- Instead, to find the time it takes for the beaver population to reach a certain amount, we had to use the inverse relationship between root and power. For example, if we want to find the time that must elapse for the population to reach 134 thousand beavers, we calculate:
- En cambio, para encontrar el tiempo que se necesita para que la población de castores sea una cierta cantidad, tuvimos que utilizar la relación inversa entre raíz y potencia. Por ejemplo, si queremos encontrar el tiempo que debe transcurrir para que la población llegue a 134 mil castores, calculamos:
$$134=132+\\sqrt{{0,2}\\cdot{m}}$$\n$$2=\\sqrt{{0,2}\\cdot{m}} $$$$2^2=0,2\\cdot {m}$$","tipo":"p","eng":"$$134=132 \\sqrt{{0,2}\\cdot{m}}$$\n$$2=\\sqrt{{0,2}\\cdot{m}} $$$$2^2=0,2\\cdot {m}$$"},{"eng":"- It is expected that with the application of mitigation and monitoring measures from 2018 onwards, the rate of growth of the beaver population that has been observed since its introduction can effectively be reduced.\n
- \nIt should be noted that it is important to control the beaver population in Tierra del Fuego because its introduction has caused serious damage to the ecosystem. Beavers are an invasive alien species that did not exist in the region before their introduction by humans in the 20th century and are expected to be definitively controlled in the long term.\n
- Se espera que con la aplicación de medidas de mitigación y monitoreo desde el año 2018 en adelante, efectivamente se pueda reducir el ritmo de crecimiento de la población de castores que se ha observado desde su introducción.\n
- \nCabe destacar que es importante controlar la población de castores en Tierra del Fuego porque su introducción ha causado graves daños al ecosistema. Los castores son una especie exótica invasora que no existía en la región antes de su introducción por parte de los humanos en el siglo XX y que se espera que se controle definitivamente a largo plazo. \n
Introduce your students to the How To Guide.\nIt is recommended to read the guide in detail and then proceed to solve exercise 1, which consists of using the resource of","esp":"
Presente a sus estudiantes la Guía Práctica. \nSe recomienda leer detalladamente la guía y luego proceder a resolver el ejercicio 1, el cual consiste en utilizar el recurso de GeoGebra “Calculadora población de castores para determinar la cantidad de castores que habrá después de un cierto número de años. Es importante tener en cuenta que los años transcurridos serán diferentes para cada modelo y que deberán comparar la cantidad de castores en el modelo sin plan de mitigación y en el modelo con plan de mitigación.
","tipo":"p"},{"eng":"
En el ejercicio 2, se espera que los estudiantes realicen un análisis del crecimiento anual de ambos modelos, para lo cual deberán restar la cantidad de castores del año 2031 a la del año 2030 y comparar los resultados. Luego, deberán continuar con este proceso para los años siguientes.
Estos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente los siguientes indicadores:\n- Solve routine and non-routine problems involving powers and roots.\n
- Calculate square roots with software support.
- \nAnalyze and compare population growth models.\n
- Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren potencias y raíces.\n
- Calcular raíces cuadradas con apoyo de software.
- \nAnalizar y comparar modelos de crecimiento de poblaciones. \n
Esta presentación interactiva puede ser utilizada para presentar el video de la situación en casos que no se disponga de un buen sistema de audio, o bien, puede ser de ayuda para detenerse y discutir en torno a diferentes elementos que aparecen en el video.
"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/el-libro-de-arena/ppt_interactivo_libro_de_arena.pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/el-libro-de-arena/ppt_interactivo_libro_de_arena.pptx","tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Presentación Interactiva","eng":"Descargar Presentación Interactiva"},"eng":""}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Hoja de Actividades","eng":"Activity worksheet"},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.","eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/pdfs/hoja-actividades-libro-de-arena-v3.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/eng/activity_sheet_book_of_sand_v3.pdf"},{"titulo":{"eng":"Download Activity Worksheet","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/eng/activity_sheet_book_of_sand_v3.docx","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/docs/guia-practica-libro-de-arena-v3.docx","recurso":"Descarga"},{"esp":"Presentación (diapositivas 6 a 16)","eng":"Presentation (slides 6 to 16)","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom.\nof this situation.","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula\nde esta situación."},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/eng/Presentation%20The%20Book%20of%20Sand_v3.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/pdfs/ppt-el-libro-de-arena-v3.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/docs/ppt-el-libro-de-arena-v3.pptx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/eng/Presentation%20The%20Book%20of%20Sand_v3.pptx","tipo":"button","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":""},"recurso":"Descarga"}]},"3":{"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 17 a 19)","tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 17 to 19)"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom.\nof this situation.","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula\nde esta situación."},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/pdfs/ppt-el-libro-de-arena-v3.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/eng/Presentation%20The%20Book%20of%20Sand_v3.pdf"},{"titulo":{"esp":"","eng":"Download Presentation"},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/docs/ppt-el-libro-de-arena-v3.pptx","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/eng/Presentation%20The%20Book%20of%20Sand_v3.pptx"}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"esp":"Guía Práctica","eng":"Practice Worksheet","tipo":"h3"},{"eng":"This document proposes various exercises whose objective is for the\nstudents apply their knowledge of square roots to solve problems in\nthe context of the parachute jump. In addition, these exercises can be used to\nformatively evaluate the knowledge developed from the situation.","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los\nestudiantes apliquen sus conocimientos sobre raíces cuadradas para resolver problemas en\nel contexto del salto en paracaídas . Además, estos ejercicios pueden ser utilizados para\nevaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/eng/practice_worksheet_book_of_sand_v3.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/pdfs/guia-practica-libro-de-arena-v3.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/docs/guia-practica-libro-de-arena-v3.docx","titulo":{"esp":"","eng":"Download Practice Worksheet"},"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/eng/practice_worksheet_book_of_sand_v3.docx","recurso":"Descarga"},{"tipo":"h3","esp":"Recurso Interactivo","eng":"Interactive Resource"},{"eng":"This GeoGebra resource shows some\nterms of the sequence {an} = { 5𝑛 𝑛-1 } located on the number line.","esp":"En este recurso GeoGebra se muestran algunos\ntérminos de la sucesión {an} = {5𝑛 𝑛+1} ubicados sobre la recta numérica. ","tipo":"p"},{"tipo":"iframe","eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ue7re8qy/width/785/height/492/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/bbbe3w36/width/850/height/557/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false","recurso":"Geogebra"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Guía Práctica adicional"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En este documento se proponen ejercicios adicionales, en algunos casos de mayor dificultad, para que las y los estudiantes puedan aplicar lo aprendido en esta lección. Los ejercicios de esta guía también pueden servir para evaluar los aprendizajes de la clase.
"},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/pdfs/Guia_Practica_ADICIONAL_LDI_OA2_Libro_de_Arena.pdf","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/docs/Guia_Practica_ADICIONAL_LDI_OA2_Libro_de_Arena.docx","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía Práctica adicional"}}],"visible":true}},"visible":true},"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Below is a summary of the concepts related to limits of sequences.","tipo":"p","esp":"A continuación se presenta un resumen de los conceptos relacionados con límites de sucesiones."},{"tipo":"h3","esp":"Sucesiones","eng":"Sequences"},{"esp":"De manera informal, una sucesión es una lista de elementos que puede ser finita o infinita.\nEn el caso del estudio del límite de sucesiones, interesa analizar el comportamiento de\nsucesiones infinitas.","tipo":"p","eng":"A sequence is a list of elements that can be finite or infinite. In the case of studying the limit of sequences, it is interesting to analyze the behavior of infinite sequences."},{"tipo":"p","esp":"Se suele utilizar {an} para denotar una sucesión, donde an hace referencia al término general de la sucesión, mientras que el subíndice n ∈ ℕ indica la posición de cada término dentro de la sucesión. ","eng":"{an} is usually used to denote a sequence, where an refers to the general term of the sequence, while the subscript n ∈ ℕ indicates the position of each term within the sequence."},{"tipo":"p","eng":"For example, the first five terms of the general term sequence an = n+1n are:","esp":"Por ejemplo, los primeros cinco términos de la sucesión de término general an = n+1 n son:\n\n"},{"eng":"\\[a_1 = 2 \\quad a_2 = \\frac{3}{2} \\quad a_3 = \\frac{4}{3} \\quad a_4 = \\frac{5}{4} \\quad a_5 = \\frac{6} {5}\\]","tipo":"p","esp":"\\[a_1 = 2 \\quad a_2 = \\frac{3}{2} \\quad a_3 = \\frac{4}{3} \\quad a_4 = \\frac{5}{4} \\quad a_5 = \\frac{6}{5}\\]"},{"esp":"Límite de una sucesión","eng":"The limit of a sequence","tipo":"h3"},{"eng":"Intuitively, a sequence an converges to \\(L\\) if it is possible to get as close to \\(L\\) as desired by going through the sequence without necessarily reaching that value. In other words, as we go through the sequence, the terms get closer and closer to \\(L\\).","tipo":"p","esp":"De manera intuitiva, decimos que una sucesión an converge a L si es posible acercarse a L tanto como se desee al recorrer la sucesión, sin llegar a alcanzar ese valor. En otras palabras, a medida que avanzamos en la sucesión, los términos se acercan cada vez más a L."},{"esp":"Hay varias maneras de expresar y denotar este comportamiento:\n- La sucesión {an} converge a L.\n
- El límite de la sucesión {an} es L.\n
- El límite de an cuando n tiende a \n\ninfinito es L.\n
- \nlim n → ∞ an = L \n\n
- The sequence {an} converges to L .\n
- The limit of the sequence {an} is L.\n
- The limit of an as n approaches infinity is L.\n
- \nlim n → ∞ an = L \n\n
Formally, we will say that \\(L\\) is the limit of the sequence \\(\\{a_n\\}\\) if, for any number \\(\\epsilon > 0\\), it is always possible to find a term in the sequence a from which all subsequent terms are at a distance less than \\(\\epsilon\\) from \\(L\\). This idea can be stated in the following way:
","tipo":"p"},{"esp":"\\[\\displaystyle \\lim_{{n \\to \\infty}} a_n = L \\text{ si y solo si para cualquier valor } \\epsilon > 0 \\text{ existe } N \\in \\mathbb{N} \\text{ tal que } |a_n - L| < \\epsilon \\text{ para todo } n \\geq N\\]\n\n","tipo":"p","eng":"\\[\\displaystyle \\lim_{{n \\to \\infty}} a_n = L \\text{ if and only if for any value } \\epsilon > 0 \\text{ there exists } N \\in \\mathbb{N} \\text{ such that } |a_n - L| < \\epsilon \\text{ for all } n \\geq N\\]"},{"tipo":"p","esp":"\n\nPor ejemplo, para demostrar que\n\\[\\displaystyle \\lim_{{n \\to \\infty}} \\frac{1}{n} = 0\\]","eng":"For instance, to prove that \\[\\displaystyle \\lim_{{n \\to \\infty}} \\frac{1}{n} = 0\\]"},{"tipo":"p","esp":"es necesario mostrar que para todo ε > 0, existe N ∈ ℕ tal que | 1n - 0 | < ε para todo n ≥ N.","eng":"it is necessary to show that for every ε > 0, there exists N ∈ ℕ such that | 1n - 0 | < ε for all n ≥ N."},{"tipo":"p","eng":"Note that always \\(\\frac{1}{n}>0\\) therefore we only have to verify that from a certain \\(N\\) we have that \\(\\frac{1}{n} <\\epsilon \\) for all \\(n\\geq N\\). Multiplying by \\(n\\) and dividing by \\(epsilon\\) both sides of the inequality, we obtain that this occurs when \\(n>\\frac{1}{\\epsilon}\\). Therefore, if we consider \\(N\\) a natural number greater than \\(\\frac{1}{\\epsilon}\\), we will have for \\(n\\geq N\\):","esp":"Notemos que siempre 1 n > 0, por lo tanto solo debemos verificar que a partir de un cierto N se tiene que 1 n < ε para todo n ≥ N. Multiplicando por n y dividiendo por ε a ambos lados de la desigualdad, obtenemos que esto ocurre cuando n > 1 ε . Por lo tanto, si consideramos N un número natural mayor que 1 ε , tendremos que para n ≥ N:\n"},{"tipo":"p","esp":" \\[\\left | \\frac{n+1}{n} - 1 \\right |<\\epsilon\\]","eng":" \\[\\left | \\frac{n+1}{n} - 1 \\right |<\\epsilon\\]"},{"tipo":"p","eng":"For example, for \\(\\epsilon = 0{,}2\\), all terms of the sequence \\(\\{a_n\\} = \\{\\frac{1}{n}\\}\\) starting from the term \\ (a_N\\), where \\(N > \\frac{1}{0{,}2}=5\\) are at a distance less than \\(\\epsilon = 0{,}2\\) from \\(0\\) . That is, from the term \\(a_6\\).","esp":"Por ejemplo, para ε = 0,2, todos los términos de la sucesión an = n+1 n a partir del término aN , donde \nN > 1 0,2 = 5\nestán a una distancia menor que ε = 0,2 de 1. Es decir, a partir del término a6.\n\n\n"},{"alinea":"texto-centrado","escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/imgs/asp_mat_1.png","caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/imgs/asp_mat_1.png","tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""}},{"esp":"En caso que una sucesión no converja diremos que diverge.La actividad propuesta en la situación “El libro de arena” se enfoca en introducir las ideas de límite de una sucesión de manera informal. El trabajo de definición del concepto de límite para este nivel, puede ser tratado en clases posteriores.","eng":"If a sequence does not converge, we will say that it diverges.","tipo":"p"}]},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Understanding the concept of infinity","esp":"Abordar la comprensión del infinito"},{"eng":"The activity proposed in the situation “The Book of Sand” focuses on introducing the ideas of the limit of a sequence in an informal way. Defining the concept of limit for this level can be dealt with in subsequent classes.In the situation “The Book of Sand,” a fictional context is proposed, which describes a book without beginning or end, to contribute to the visualization of infinity. In the story, an object with infinite pages, “the book,” is described as connected to an infinite process of turning the pages without reaching either the beginning or the end. These descriptions are related to the notions of potential infinity and actual infinity (Kolar and Čadež, 2012; Tall, 2001) which are associated with the understanding of infinity.","esp":"De acuerdo a Kolar y Čadež (2012) “una de las principales dificultades para que los niños y jóvenes comprendan el infinito es su naturaleza abstracta: el concepto de infinito es difícil de vincular con las experiencias de la vida real y, por lo tanto, depende de nuestra capacidad de visualización mental”. ","tipo":"p"},{"eng":"Potential infinity is related to an endless continuous process. For example, we can imagine counting the natural numbers 1, 2, 3, 4, ... but we cannot do it in practice. On the other hand, the concept of actual infinity attributes a finite object to an infinite process (Kolar & Čadež, 2012). In the proposed activities, students are asked to label the book's sheets of paper using two infinite sequences. The study of the limit of the sequences considered is motivated by labeling the book covers, connecting the infinite process with its final state associated with the actual infinity, which corresponds to the limit.","tipo":"p","esp":"En la situación “El libro de Arena”, se propone un contexto ficticio, que describe un libro sin principio ni fin, con el propósito de contribuir a la visualización del infinito. En el cuento, se describe un objeto con infinitas hojas “el libro”, conectado a un proceso infinito de pasar las hojas sin llegar ni al principio ni al final. Estas descripciones, se relacionan con las nociones de infinito potencial e infinito actual (Kolar y Čadež, 2012; Tall, 2001) las cuales están asociadas a la comprensión del infinito."},{"tipo":"p","esp":"El infinito potencial está relacionado con un proceso continuo sin fin, por ejemplo, contar los números naturales 1, 2, 3, 4…. Podemos imaginar este procedimiento, pero no podemos realizarlo en la práctica. Por otra parte, el concepto de infinito actual atribuye un objeto finito a un proceso infinito (Kolar y Čadež, 2012). En las actividades propuestas, se considera que los estudiantes etiqueten las páginas del libro a partir de dos sucesiones infinitas. El estudio del límite de las secuencias consideradas, se motiva a partir de etiquetar las tapas del libro, conectando el proceso infinito con su estado final, asociado al infinito actual que en este caso corresponde al límite. ","eng":"
"},{"eng":"References","tipo":"h4","esp":"Referencias"},{"esp":"- Manfreda Kolar, V., & Hodnik Čadež, T. (2012). Analysis of factors influencing the understanding of the concept of infinity. Educational Studies in Mathematics, 80, 389-412.
- Tall, D. (2001). Natural and formal infinities. Educational Studies in Mathematics, 48(2–3), L199–L238.
- Manfreda Kolar, V., & Hodnik Čadež, T. (2012). Analysis of factors influencing the understanding of the concept of infinity. Educational Studies in Mathematics, 80, 389-412.
- Tall, D. (2001). Natural and formal infinities. Educational Studies in Mathematics, 48(2–3), L199–L238.
Jorge Luis Borges (1899 - 1986) was an Argentine writer, poet and essayist, considered one of the most influential writers of the 20th century.
","esp":"Jorge Luis Borges (1899 - 1986) fue un escritor, poeta y ensayista argentino, considerado\nuno de los escritores más influyentes del siglo XX.
","tipo":"p"},{"caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/l-d-i/el-libro-de-arena/imgs/esp/Jorge_Luis_Borges.jpg","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/libro_de_arena/imgs/Jorge_Luis_Borges.jpg","tipo":"img","escala":"25","titulo":{"eng":"","esp":""}},{"eng":"Borges was characterized by using a unique literary style based on interpreting concepts such as time, space, destiny, or reality. Their narrative structures alter conventional forms of time or space, creating alternate worlds of great symbolic content.
","tipo":"p","esp":"Borges se caracterizó por utilizar un singular estilo literario, basado en la interpretación de\nconceptos como el tiempo, espacio, destino o realidad. Sus estructuras narrativas alteran\nlas formas convencionales del tiempo o del espacio, creando mundos alternos de gran\ncontenido simbólico.
"},{"tipo":"p","eng":"In this situation, some of the mathematical ideas present in the fragment of his story “The Book of Sand” are studied, which is included in the video of the situation. The mathematical ideas in the complete story are complex, so it is suggested only to use the fragment. Furthermore, in the lesson plan, assumptions are added to make a first approximation to the ideas of the story. It should be noted that several authors have made different interpretations of the mathematical concepts that can be associated with the ideas described in this story.","esp":"En esta situación se estudian algunas de las ideas matemáticas que están presentes en el fragmento de su cuento “El libro de arena”, que se incluye en el video de la situación. Las ideas matemáticas presentes en el cuento completo, son más complejas, por lo que se sugiere ceñirse al fragmento. Más aún, en la gestión se agregan supuestos para poder hacer una primera aproximación a las ideas del cuento. Cabe destacar que varios autores han realizado diversas interpretaciones de los conceptos matemáticos que se pueden asociar a las ideas descritas en este cuento. "}]}},"visible":true},"visible":true,"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Engagement","esp":"Momento de enganche","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositivas 2 y 3, Presentación)","eng":"(Slides 2 and 3, Presentation)","tipo":"h4"},{"esp":"En este primer momento se busca que los estudiantes identifiquen algunas de las ideas presentadas en el video, particularmente relacionadas con el infinito. Para esto se sugieren las siguientes preguntas.","eng":"In this first moment, the students are asked to identify some of the ideas presented in the video, particularly related to infinity. For this, the following questions are suggested.","tipo":"p"},{"esp":"- ¿De qué trata el cuento “El libro de Arena”?\n
- ¿Cuál es el dilema que enfrenta el protagonista?\n
- ¿Por qué el protagonista no puede llegar ni a la primera ni a la última hoja del libro?\n
- What is the story “The Book of Sand\" about?
- What is the dilemma facing the protagonist?
- Why can't the protagonist reach the book's first or last page?
- It is impossible to reach the first page of the book because, every time one tries to approach it, several pages appear. The same thing happens when one tries to get to the last page.
- The protagonist cannot convince himself of the impossibility of reaching the first and last pages. However, the seller claims that \"it can't be, but it is.\"
- The seller assures that the book is infinite and that no page is the first or the last.
- Es imposible acceder a la primera página del libro debido a que, cada vez que uno intenta acercarse, aparecen varias hojas. Lo mismo ocurre cuando se intenta llegar a la última hoja.
- El protagonista no logra convencerse de la imposibilidad de llegar a la primera y a la última hoja. Sin embargo, el vendedor afirma que \"no puede ser, pero es\".
- El vendedor asegura que el libro es infinito, y que ninguna hoja es la primera ni la última.
\nThe idea will be to model a book with the characteristics described in the video using a numerical set. Present the following assumptions that allow us to simplify the structure of the Book of Sand so that it can be analyzed at this level. The original structure that Borges proposes in the story is much more complex, and its analysis requires advanced mathematics.\nLet us consider that the sand book has the following properties:- Each sheet has a sheet immediately before it and one immediately after it.\n
- Given two book sheets, one can always get from one to the other by turning pages.
\nIntroduce Activity 1 from the Activity Worksheet.","esp":"En esta sección se busca conectar el libro de arena con los números enteros. \n
\nPlantee a sus estudiantes que la idea será modelar un libro, con las características descritas en el video, usando un conjunto numérico. Presente los siguientes supuestos que permiten simplificar la estructura del libro de arena para que pueda ser analizado a este nivel. La estructura original que plantea Borges en el cuento es mucho más compleja y su análisis requiere matemática avanzada.\n
\nConsideremos que el libro de arena tiene las siguientes propiedades:- \nCada hoja tiene una hoja inmediatamente anterior y una inmediatamente posterior.\n
- Dadas dos hojas del libro, siempre se puede llegar de una a la otra pasando páginas.
\nPresente la actividad 1 de la Hoja de Actividades.","tipo":"p"},{"eng":"Activity 1
\nLet us consider the sheets of the Book of Sand as if they were numbers so that
\n- Each sheet corresponds to a different number. \n
- If one sheet is before another, a smaller number corresponds to it.
\n\nAhora consideremos las hojas del libro de arena como si fueran números, de modo que:- \nCada hoja se corresponde con un número distinto.\n
- Si una hoja está antes que otra, le corresponde un número menor.
- Considerando que hay infinitos números naturales, se puede inferir que habría un número infinito de hojas en el libro de arena, tal como se indica en el cuento.
- Considering that there are infinite natural numbers, it can be inferred that there would be an infinite number of leaves in the sand book, as indicated in the story.
- Dado que los números naturales forman un conjunto ordenado que no tiene un\núltimo elemento, se puede argumentar que ninguna página sería la última en el libro\nde arena, tal como se señala en el cuento. \n
- No obstante, como los números naturales tienen un primer elemento, se podría\nllegar a la primera hoja desde cualquier otra, lo que contradice la afirmación del\nvendedor en el cuento, que señala que ninguna hoja del libro de arena es la primera.
- Since the natural numbers form an ordered set with no last element, it can be argued that no page would be the last in the sand book, as noted in the story. \n
- However, since natural numbers have a first element, the first page could be reached from any other page, which contradicts the seller's statement in the story that no page in the Book of Sand is the first.
- \nCada hoja se corresponde con un número distinto.\n
- Si una hoja está antes que otra, le corresponde un número menor.
Activity 2
\nAs in the previous activity, let us consider the pages of the Book of Sand as if they were numbers so that:- Each sheet corresponds to a different number.
- If one sheet is before another, a smaller number corresponds to it.
- Debido a que los números enteros conforman un conjunto ordenado sin un primer ni\núltimo elemento definido, si asignáramos estos números a las hojas de un libro,\nobtendríamos un libro infinito donde ninguna página sería considerada como la\nprimera o la última.
- Because integers make up an ordered set without a first or last element, if we assigned these numbers to the pages of a book, we would obtain an infinite book where no page would be considered the first or the last.
- Lo anterior coincide con la descripción del libro de arena que hace el vendedor en el pasaje del cuento que estamos considerando.
- The above coincides with the seller's description of the Book of Sand in the passage of the story we are considering.
- It is essential to understand that the assumption that each sheet of the sand book has a previous sheet and a next sheet allows us to associate them with negative numbers.
- Furthermore, as we can always get from one book sheet to another, each sheet is associated with an integer.
- Es importante comprender que el supuesto de que cada hoja del libro de arena\ntiene una hoja anterior y una hoja siguiente nos permite asociarlas con los\nnúmeros negativos. \n\n
- Además, como siempre podemos llegar de una hoja del libro a cualquier otra, cada hoja se asocia a un número entero.
\nPresent Activity 3 from the Activity Worksheet.","tipo":"p","esp":"La siguientes actividades tiene como propósito modelar las hojas del libro de arena, que cumple con los supuestos considerados, a través de sucesiones de números racionales, conjeturando el límite de las sucesiones consideradas, y conectando estos límites con el etiquetado de la tapa y contratapa del libro. \n
\nPresente la actividad 3 de la Hoja de Actividades."},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":"Activity 3
\nLet us now think of an imaginary book in which all its pages can be labeled in the following way:
\n- \n
- We open this book on any page, and we assign it 1 to the previous one the number 1, to the one before that the number 1 3, and so on. \n
- With this procedure, we label only the sheet we chose and the previous ones. Later, we will see how to label the\n subsequent sheets. \n
\n- \n
- \n How many sheets are there between the sheet labeled with the number 1 10 and the sheet labeled with the number 1, both included?\n
- If m > n, both natural numbers, which sheet comes before, the one labeled 1 n or the one labeled 1 m? \n
- If we label the front cover, what number would be appropriate to assign it? \n
- \n\nAbrimos este libro en cualquier hoja, y le asignamos el 1, a la anterior el número 1 2, a la anterior a esa el número 1 3, y así sucesivamente.\n
- Con este procedimiento estamos etiquetando solo la hoja que escogimos y las anteriores. Después veremos cómo etiquetar las hojas posteriores.
\n
- \n¿Cuántas hojas hay entre la hoja etiquetada con el número 1 10 y la etiquetada con el número 1 2, ambas incluídas?\n
- Si m > n, ambos números naturales, ¿qué hoja está antes, la etiquetada 1 n o la etiquetada 1 m?
- \nEste libro, ¿tiene primera hoja?\n
- Si etiquetamos la tapa frontal, ¿qué número sería apropiado asignarle?\n
\nPromote a discussion that allows us to conclude that:\n- \n
- Between the sheet labeled with the number 1 10 and the sheet labeled with the number 1 2,\n there are exactly 9 sheets, including both. \n
- We know that if m > n, where m and n are natural numbers, then 1 m <\n 1 n\n This means that the sheet labeled 1 m will be before the one\n labeled 1 n\n \n
- Given the number 1 n , where n is a natural number, it is always possible to find another\n natural number m > n, so that 1 m < 1 n. This implies that, by\n locating ourselves on a sheet labeled 1 m that is located before it. Consequently, the book\n cannot have a first page. \n
- The sequence of numbers 1, , 1 2, 1\n 3, 1 4,... is getting closer\n and closer to 0 without reaching it. By associating the number 0 to the book's cover, the sheets\n labeled with this sequence of numbers will get as close as we want to the cover, but they will never reach it.\n \n
\nPromueva una discusión de curso completo para que en conjunto con sus estudiantes concluyan que:- Entre la hoja etiquetada con el número 1 10 y la hoja etiquetada con el número 1 2, hay exactamente 9 hojas, incluyendo ambas.
- Sabemos que si m > n, donde m y n son números naturales, entonces 1 m < 1 n. Esto significa que la hoja etiquetada como 1 m estará antes que la hoja etiquetada como 1 n.
- \nDado el número 1 n, donde n es un número natural, siempre es posible encontrar otro número natural m > n, de modo que 1 m < 1 n. Esto implica que, al ubicarnos en una hoja etiquetada como 1 n, siempre podemos encontrar una hoja etiquetada como 1 m que se encuentra antes de ella. En consecuencia, el libro no puede tener primera hoja.
- La secuencia de números 1, 1 2, 1 3, 1 4 , ... se acerca cada vez más a 0 sin llegar a alcanzarlo. Al asociar el número 0 a la tapa o portada del libro, las hojas etiquetadas con esta secuencia de números se acercarán tanto como deseemos a la tapa, pero nunca la alcanzarán.
\nPresent Activity 4 from the Activity Worksheet.","esp":"En la siguiente actividad, se etiquetarán las hojas restantes del libro, a partir de la hoja 1, usando una sucesión de números racionales cuyo límite es 2. Nuevamente, los estudiantes conjeturarán el límite de la sucesión considerada, conectando este valor con la etiqueta de la tapa posterior.\n
\nPresente la actividad 4 de la Hoja de Actividades.","tipo":"p"},{"esp":"Continuemos etiquetando las hojas del libro de la actividad anterior, de la siguiente forma:\n
\nA la hoja siguiente a la hoja que etiquetamos con el 1, le damos el número 2 - 1 2 = 3 2. a la que sigue 2 - 1 3, es decir 5 3, a la que sigue 2 - 1 4, o sea 7 4, y así sucesivamente.
\n\nResponde las siguientes preguntas:\n
- \nSi contamos 10 hojas a partir de la hoja etiquetada con el número 1, ¿qué etiqueta tiene esa hoja?\n
- ¿Cuántas hojas hay entre la hoja etiquetada con 1 2 y la etiquetada con el número 9 5, incluyendo ambas?\n
- Este libro, ¿tiene última hoja?\n
- Si etiquetamos la tapa posterior, ¿qué número sería apropiado asignarle?\n
Activity 4
\nLet us continue labeling the sheets of the book from the previous activity as follows:\n
\nTo the sheet following the one that we labeled with 1, we give the number 2 - 1 2 = 3 2 which is followed by 2 - 1 3, that is, 5 3, which is followed by 2 - 1 4, that is 7 4, and so on.\n
Answer the following questions:
\n- \n
- \n If we count 10 sheets starting from the one labeled with the number 1, what label does that sheet have?\n \n
- sheets starting from the one labeled with the number 1 2 and the sheet labeled 9 5, including both?\n \n
- Does this book have a last sheet?\n \n
- If we label the back cover, what number would be appropriate to assign it?\n \n
- La regla de etiquetado de las hojas del libro establece que la hoja en la posición n-ésima, contada a partir de aquella que tiene el número 1 en adelante, se le asigna la etiqueta 2 - 1 n. En consecuencia, al contar 10 hojas a partir de la hoja etiquetada con el número 1, la hoja resultante lleva la etiqueta 2 - 1 10 = 19 10.
- \n
- The book sheet labeling rule establishes that the sheet in the nth position, counted from the one with\nthe number 1 onwards, is assigned the label 2 - 1 n . Consequently, when counting 1\nsheets from the\nsheet labeled with the number 1, the resulting sheet is labeled 2 - 1 10 = 19 10. \n
- La hoja que lleva la etiqueta con 1 2 = 1 - 1 2 corresponde a la segunda hoja contada desde la hoja del 1 hacia atrás. Por otro lado, la hoja etiquetada como 9 5 = 2 - 1 5 es la quinta hoja contada a partir de la hoja del 1 en adelante. Por tanto, entre la hoja con la etiqueta 1 2 y la hoja con la etiqueta 9 5, hay en total 6 hojas, incluyendo ambas.
- The sheet labeled with 1 2 = 1 - 1 2 corresponds to the second sheet counted from the sheet 1 backwards. On the other hand, the sheet labeled 9 5 = 2 - 1 5 is the fifth sheet counted from the sheet 1 onwards. Therefore, between the sheet with the label 1 2 and the sheet with the label 9 5, there are a total of 6 sheets, including both.
- \n
- When placed on the sheet labeled 2 - 1 n , there always exists a natural number m > n such that\n 2 - 1 n < 2 - 1 m, which causes the sheet labeled 2 - 1 m to be found after\n the sheet labeled 2 - 1 n. Consequently, the book cannot have a last page. \n
- Al ubicarse en una hoja etiquetada como 2 - 1 n, siempre existe un número natural m > n tal que 2 - 1 n < 2 - 1 m, que hace que la hoja etiquetada como 2 - 1 m se encuentra después de hoja etiquetada como 2 - 1 n. En consecuencia, el libro no puede tener última hoja.
- La secuencia de números 1, 3 2, 5 3, 7 4 , ... se acerca cada vez más a 2 sin llegar a alcanzarlo. Al asociar el número 2 a la tapa posterior del libro, las hojas etiquetadas con esta secuencia de números se acercarán tanto como deseemos a la tapa posterior, pero nunca la alcanzarán.
- The sequence of numbers 1, 3 2, 53, 7 4 , ... is getting closer and closer to 2 without reaching it. By associating the number 2 to the back cover of the book, the sheets labeled with this sequence of numbers will come as close as we want to the back cover but never reach it.
"},{"eng":"In this section, ideas regarding sequences and limits will be systematized in connection with labeling the book sheets.","tipo":"p","esp":"Plantee las siguientes ideas a sus estudiantes:"},{"eng":"Present the following ideas to your students:","esp":"- Para etiquetar las hojas del libro usamos los términos de dos sucesiones de números reales:
- To label the pages of the book, we use the terms of two sequences of real numbers:
- Una sucesión es una lista de elementos que puede ser finita o infinita. En el caso\nque nos ocupa, ambas sucesiones son infinitas.
- El término n-ésimo de una sucesión se puede escribir con un subíndice n ∈ ℕ, que indica la posición de cada término dentro de la sucesión. Por ejemplo, paa la sucesión, \n\\[ \\{1,\\frac{1}{2}, \\frac{1}{3}, \\frac{1}{4}, \\dotsc\\}\\]\ntenemos que: \n\\[a_1=1, a_2=\\frac{1}{2},\\ldots, a_n=\\frac{1}{n}\\]
- A sequence is a list of elements that can be finite or infinite. In the cases we have considered the sequences are infinite.\n
- Los términos de la sucesión {an} se acercan tanto como se quiera a 0 sin\nalcanzarlo nunca. Este comportamiento se puede expresar con el siguiente lenguaje\ny notación:
- La sucesión {an} converge a 0.
- El límite de la sucesión {an} es 0. \n
- El límite de an cuando n tiende a infinito es 0. \n
- lim n → ∞ an = 0 .
- The nth term of a sequence can be written with a subscript n ∈ ℕ, indicating the position of each term within the sequence. For example, for the sequence,\n\\[ \\{1,\\frac{1}{2}, \\frac{1}{3}, \\frac{1}{4}, \\dotsc\\}\\]\nwe have:\n\\[a_1=1, a_2=\\frac{1}{2},\\ldots, a_n=\\frac{1}{n}\\]
- The terms of the sequence {an} get as close as you want to 0 without ever reaching it. This behavior can be expressed with the following language and notation:
- The sequence {an} converges to 0.
- The limit of the sequence {an} is 0. \n
- The limit of an as n approaches infinity is 0 . \n
- lim n → ∞ an = 0 .
- Dado que lim n → ∞ an = lim n → ∞ 1 n = 0, tiene sentido asignar el 0 a la tapa de este libro. De esta manera, al recorrer las hojas del libro en dirección hacia la tapa, podemos acercarnos tanto como deseemos a ella, pero sin llegar nunca a alcanzarla. Siempre habrá un número infinito de hojas que se interpondrán entre cualquier hoja dada y la tapa.\n
- De manera similar, si llamamos \\( b_n \\) al término n-ésimo de la sucesión \\(\\{2-\\frac{1}{1}, 2-\\frac{1}{2}, 2-\\frac{1}{3}, 2-\\frac{1}{4},1,1+\\frac{13}{2}, 1+ \\frac{5}{3}, \\frac{7}{4}, \\dotsc\\}\\), es decir \\( b_n=2-\\frac{1}{n} \\), se tiene que \\(\\displaystyle \\lim_{{n \\to \\infty}} b_n = \\lim_{{n \\to \\infty}} \\left(2 - \\frac{1}{n}\\right) = 2\\), por lo que podemos asignar el \\(2\\) a la contratapa de este libro. Así, al recorrer las hojas del libro en dirección a la contratapa, podemos acercarnos tanto como deseemos, pero sin llegar jamás a alcanzarla. Otra vez, habrá un número infinito de hojas que se interpondrán entre cualquier hoja dada y la contratapa.
- Since lim n → ∞ an = lim n → ∞ \n1n = 0, it makes sense to assign 0 on the cover of this book. In this way, moving through the book sheets toward the cover can get as close as we want without reaching it. There will always be an infinite number of leaves that will come between any given sheet and the cover.\n
- Similarly, since lim n → ∞ bn = lim n → ∞ (2-1 n) = 2, it makes sense to assign the 2 to the back cover of this book. Thus, by going through the pages of the book in the direction of it, we can get as close as we want, but without ever reaching it. Again, there will be an infinite number of sheets that will stand between any given sheet and the back cover.
- El análisis de este cuento ayuda a acercarnos a la noción de límite de una sucesión de manera informal.
- The analysis of this story helps us approach the notion of the limit of a sequence in an informal way.
\n\nThe UF calculation process for any day of the month is detailed below.
\n\nFirst, the factor is calculated:
\n\nFactor= daily readjustment factor of the UF.
\nCPI_(-1) = Percentage variation of the CPI registered immediately before.
\nd= Number of days included in the period for which the value of the UF is calculated
\n\n\\begin{eqnarray}\nFactor=[1 \\frac{CPI_(-1)}{100}]\\Huge^\\frac{1}{d}\n\\end{eqnarray}
\n\\(UF(\\text{hoy}) = UF(\\text{ayer}) \\cdot \\text{factor de reajuste} \\)
\n\nEste factor depende de la última variación conocida que experimente el Índice de Precios al Consumidor (IPC). Esto hace que dicho factor de reajuste se calcule una vez al mes. Por ejemplo, para el valor de la UF correspondiente al 5 de marzo se considera un factor que depende del último IPC conocido, que en este caso sería el de enero, pues el IPC de febrero recién es publicado el día 10 de marzo. De este modo, para el valor de la UF del 10 de marzo se considera un nuevo factor, que utiliza la variación del IPC de febrero.
\n\nComo el valor del IPC del mes anterior se conoce oficialmente el día 10 del mes en curso, dicho día es posible calcular la UF para el periodo comprendido entre el día 10 de dicho mes y el día 9 del siguiente. \n"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"El Factor de reajuste"},{"eng":"","esp":"Para calcular este factor, se utiliza la siguiente fórmula:\\( \\text{factor} = \\left(1 + \\frac{\\Delta \\text{ IPC}}{100}\\right)^{\\frac{1}{d}}\\)
donde \\(\\Delta \\text{ IPC}\\) corresponde a la última variación del IPC conocida, y \\(d\\) es el número de días del periodo actual.\n\nPor ejemplo para calcular el factor para el periodo entre el 10 de diciembre de 2021 hasta el 9 de enero 2022, se utiliza la variación del IPC de noviembre que corresponde a 0,5%, y se considera que \\(d=31\\), pues son los días de este periodo (10 de diciembre al 9 de enero ambos incluido que coinciden con los días del mes de diciembre):\\( \\text{factor} = \\left(1 + \\frac{0,5}{100}\\right)^{\\frac{1}{31}} = 1,000160901\\)
Es relevante observar que este periodo tiene tantos días como el mes de diciembre, por lo que no es necesario contar los días del período.\n","tipo":"p"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Relación entre el factor de reajuste y el IPC"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"¿Por qué se utiliza esta fórmula para el factor de reajuste? La idea detrás de esta fórmula es que la variación relativa de la UF en un periodo, coincida exactamente con la última variación conocida para el IPC. Como la UF varía diariamente, tendremos la siguiente fórmula:"},{"esp":"\\( UF(\\text{hoy}) = UF(\\text{ayer}) \\cdot \\text{factor} \\)\n\nIterando la fórmula, podemos calcular la variación en un periodo que tiene \\(d\\) días:\\( UF(\\text{fin periodo actual}) = UF(\\text{fin periodo anterior}) \\cdot \\text{factor}^d \\)","tipo":"p","eng":""},{"esp":"\nPor otra parte, en el transcurso de un periodo, el cambio relativo de la UF debe coincidir con la variación (porcentual) del IPC, es decir:\\(\\frac{UF(\\text{fin periodo actual})-UF(\\text{fin periodo anterior})}{UF(\\text{fin periodo anterior})} = \\frac{\\Delta\\text{ IPC}}{100} \\)","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"Esta última expresión equivale a:\\( UF(\\text{fin periodo actual}) = UF(\\text{fin periodo anterior}) \\cdot \\left(1 + \\frac{\\Delta\\text{ IPC}}{100}\\right) \\)","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Para que las dos expresiones encontradas sean compatibles, vemos que necesariamente debe cumplirse que:\\( \\text{factor}^d = \\left(1 + \\frac{\\Delta\\text{ IPC}}{100}\\right),\\)\ny elevando ambos términos a \\(\\frac{1}{d}\\), obtenemos:\n\\( \\text{factor} = \\left(1 + \\frac{\\Delta \\text{ IPC}}{100}\\right)^{\\frac{1}{d}}.\\)
Por lo tanto, la fórmula para el factor funciona justamente para que la variación relativa de la UF en un periodo sea igual a la variación del IPC.\n","eng":""}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Deducción del factor de reajuste ","eng":"Years considered in the problem","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"\nLas y los estudiantes pueden verse abrumados por la deducción formal de la fórmula del factor de reajuste, por lo que se sugiere solo presentarla en la clase si observa que los y las estudiantes pueden seguir la deducción. En esta actividad, se busca que comprendan y sepan utilizar el concepto de composición de reajustes, basándose en potencias, lo cual es necesario para la deducción de dicho factor.\n","eng":"The problem was contextualized using data from 2021 and 2022, taking advantage of the CPI values available during that period. In case you want to apply the situation with more updated data, it is possible to adjust the dates and consider the new CPI values.
"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Uso de Planillas de Cálculo"},{"esp":"El uso de hoja de cálculo en esta actividad es muy relevante pues permite a los estudiantes asociar eficazmente la multiplicación iterada del factor de reajuste con el uso de potencias. Esto es muy relevante pues el factor típicamente tiene muchas cifras decimales que hacen tedioso el cálculo manual o incluso en calculadora.\n","eng":"","tipo":"p"}]},"3":{"contenido":[{"eng":"What is UF?","tipo":"h3","esp":"¿Qué es la UF?"},{"eng":"The Unidad de Fomento (UF) is an index of readjustment, calculated and authorized by the Central Bank of Chile (Bank), for money credit operations in national currency carried out by banking companies and savings and credit. For purposes of calculating this index, the value of the UF is readjusted from the tenth day of each month until the ninth day of the following month, on a daily basis, according to the variation experienced by the Consumer Price Index ( IPC) determined by the National Institute of Statistics (INE) or the body that replaces it in the calendar month immediately prior to the period for which the UF is calculated and published. (Source: Central Bank of Chile)\n
","esp":"La Unidad de Fomento (UF) es un índice de reajustabilidad, calculado y autorizado por el Banco Central de Chile (Banco), para las operaciones de crédito de dinero en moneda nacional que efectúen las empresas bancarias y las cooperativas de ahorro y crédito. Su valor refleja las variaciones de la inflación, por lo que permite comparar el valor del dinero en distintas fechas. \n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"
Para fines del cálculo de este índice, el valor de la UF se reajusta a partir del día diez de cada mes y hasta el día nueve del mes siguiente, en forma diaria, de acuerdo a la variación experimentada por el Índice de Precios al Consumidor (IPC) que determina el Instituto Nacional de Estadísticas (INE) o el organismo que lo reemplace en el mes calendario inmediatamente anterior al período para el cual la UF se calcula y publica. (Fuente: Banco Central de Chile)\nThe following shows the variation in the value of the UF in recent years.
","esp":"A continuación se puede observar la variación del valor de la UF en los últimos años.
"},{"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/imgs/principal_tabla_3.png","tipo":"img","escala":"75","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/imgs/principal_tabla_3.png"},{"eng":"How does a mortgage loan work?","esp":"¿Cómo funciona un crédito hipotecario?","tipo":"h3"},{"esp":"En Chile, el crédito hipotecario se expresa en UF en lugar de moneda local. Esto significa que el saldo de la deuda y las cuotas se ajustan periódicamente de acuerdo con la variación de la UF. Si la UF aumenta, la deuda y las cuotas también aumentarán su valor en pesos.
","tipo":"p","eng":"In Chile, mortgage loans are expressed in UF instead of local currency. This means that the balance of the debt and the installments are adjusted periodically according to the variation of the UF. If the UF increases, the debt and installments will also increase.
"},{"tipo":"p","eng":"Using UF credits has advantages and disadvantages.
","esp":"El uso de créditos en UF tiene ventajas y desventajas.
"},{"esp":"Ventajas","tipo":"h4","eng":"Advantages"},{"eng":"- Stability and protection against inflation: The UF is updated daily according to the CPI. This allows the amounts in UF to maintain their purchasing power over time and to be protected against inflation.
- Reference standard: The UF is widely used as a standard measure to calculate and compare values over time. This makes it easy to compare prices and rates over different periods.
- Estabilidad y protección contra la inflación: La UF se actualiza diariamente de acuerdo con el IPC. Esto permite que los montos en UF mantengan su poder adquisitivo en el tiempo y estén protegidos contra la inflación.
- Estándar de referencia: La UF se utiliza ampliamente como una medida estándar para calcular y comparar valores en el tiempo. Esto facilita la comparación de precios y tasas a lo largo de diferentes períodos.
- Dificultad para comprender su valor: El valor de la UF puede resultar confuso en comparación con la moneda nacional, el peso chileno. Esto puede generar cierta complejidad en el momento de realizar transacciones o interpretar contratos expresados en UF.
- Volatilidad y riesgo cambiario: Si bien la UF está vinculada al IPC, su valor puede verse afectado por cambios en la economía y las tasas de inflación. Esto puede generar volatilidad y riesgo cambiario para aquellos que realizan transacciones en UF, especialmente en contextos económicos inciertos.
- Difficult to understand its value: The value of the UF can be confusing compared to the national currency, the Chilean peso. This can generate some complexity when carrying out transactions or interpreting contracts expressed in UF.
- Volatility and exchange risk: Although the UF is linked to the CPI, its value can be affected by changes in the economy and inflation rates. This can generate volatility and exchange risk for those who carry out transactions in UF, especially in uncertain economic contexts.
For more details about the mortgage loan you can review:\n
","tipo":"p","esp":"
https://www.sernac.cl/portal/604/articles- 57077_resource_4.pdfPara más detalles sobre el crédito hipotecario puede revisar:\n
"},{"esp":"Años considerados en el problema de la actividad","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"\nEl problema se contextualizó utilizando datos del 2021 y 2022, aprovechando los valores del IPC disponibles durante ese período. En caso de que se desee aplicar la situación con datos más actualizados, es posible ajustar las fechas y considerar los nuevos valores del IPC.
https://www.sernac.cl/portal/604/articles-57077_recurso_4.pdf
\n\nPara consultar los valores del IPC, se recomienda la siguiente página: Banco Central IPC","eng":"","tipo":"p"}],"visible":true}}},"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"latching moment","tipo":"h3","esp":"Momento de enganche"},{"tipo":"p","esp":"Presente la Infografía “El impacto de la UF”, y dé tiempo para que sus estudiantes la lean y compartan que sabían y que no . ","eng":"Introduce the Infographic “The Impact of UF”, and allow time for your students to read it carefully."},{"esp":"(Diapositiva 2 y 3, Presentación)","eng":"(Slide 2 and 3, Presentation)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"A continuación, se sugiere plantear preguntas que promuevan la comprensión de la Infografía, centrándose específicamente en la UF y su impacto como índice de reajustabilidad.
","eng":"Next, it is suggested to ask questions that promote the understanding of Infographics, focusing specifically on the UF and its impact as an index of readjustment.
"},{"esp":"- ¿Qué es el IPC? ¿Qué relación tiene con la UF?
- ¿Qué entendemos por la UF? ¿Qué características tiene?
- ¿Principalmente, dónde se usa? ¿Por qué?
- What is CPI? What relationship does it have with the UF?
- What do we understand by the UF? What features does it have?
- Mainly, where is it used? Why?
\nValores diarios de la UF para Diciembre 2021:
\n\nDía 1 $ 30776,05
\nDía 2 $ 30789,30
\nDía 5 $ 30829,10
\n","tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":"- Considering that the UF for December 1, 2021 was $30,776.05, how did the bank find out that the monthly fee was 16.25 UF?
\nDía 1 $500 111
\nDía 2 $ 500 326
\nDía 5 $ 500 973","recurso":"Respuesta","tipo":"momento"},{"tipo":"p","esp":"Para responder la pregunta anterior, basta multiplicar la cuota de 16,25 UF por el valor diario de la UF. Por ejemplo, para el día 2 de diciembre 2021 el valor de cuota es: \\(16,15\\cdot\\,$30\\,776,05\\). Luego puede preguntar, ","eng":""},{"recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"- Observando los resultados anteriores ¿Influye el día de pago?\n
- ¿Siempre será así? ¿de qué creen que depende?\n
\n\nLa UF se reajusta de forma diaria y su valor se calcula a principios de cada mes para el periodo comprendido, entre el día 10 de dicho mes y el día 9 del siguiente, de acuerdo a la variación que experimente el IPC.
\nPor lo tanto:\\( UF(\\text{hoy}) = UF(\\text{ayer}) \\cdot \\text{factor de reajustabilidad} \\)
donde,\\( \\text{factor de reajustabilidad} = \\left(1 + \\frac{\\Delta\\text{ IPC}}{100}\\right)^{\\frac{1}{d}}\\)
En esta fórmula, la variación del IPC corresponde al último IPC conocido (mes anterior) y d es el número de días del periodo en curso.
Luego, pida que resuelvan la pregunta 2 de la Hoja de Actividades.","tipo":"p","eng":"Then ask them to read question 2 a) of the Activity Sheet"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"2. Considerando la publicación oficial del IPC y que la UF al 9 de diciembre 2021 es de $30 882,24, calcula la UF para los días 10, 11 y 12 de diciembre de 2021. ","eng":"- Considering the official publication of the CPI and that the UF as of December 31, 2021 is $30,991.74. Calculate the UF for January 1, 5 and 9, 2022
- The corresponding CPI variation is that of November (0.5%) given the condition that the readjustment factor and therefore the value of the UF is calculated from the 10th of the month to the day 9 of the following month, being January 1, 5 and 9 corresponds to the CPI for November.
- The days included for the period are 31 days (from December 10 to January 9)\n
- ¿A qué mes corresponde el IPC que van a usar para el cálculo del factor de reajustabilidad? ¿Por qué
- ¿Cuánto es el valor de \\(d\\) (días comprendido para el periodo)?
- What CPI are you going to use to calculate the readjustment factor? Because?
- What is the value of d (days included in the period) to calculate the factor?
- La variación de IPC que deberían utilizar para el cálculo del factor, corresponde al del mes de noviembre 2021 (\\(0,5\\%\\))
- \\(d\\) corresponde al total de días de diciembre que son 31 días.
- ¿A partir de la UF del día 9, cuántas veces se debe multiplicar por el factor para obtener la UF para el día 15? ¿Y para el 20 y el 30?
- ¿Se puede calcular la UF del día 30 sin calcular la UF de los días anteriores?
\n\\[\\large UF_{día\\,15}= 3UF_{día\\,9}\\cdot(1,000160901)^6\\]\n","eng":""},{"esp":"Si le parece pertinente puede explicar como se obtiene la fórmula del factor (puede revisar los aspectos matemáticos) de tal manera de enfatizar que la fórmula para el factor funciona justamente para que la variación relativa de la UF en un periodo sea igual a la variación del IPC.\n","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"A continuación, pida que resuelvan la pregunta 4 de la Hoja de Actividades. idealmente que trabajen en la Hoja de cálculo “entendiendo el crédito” Esta pregunta le permitirá comprender la distinción del factor de reajustabilidad de la UF para los días antes y después del día 10 del mes."},{"tipo":"momento","esp":"4. Considerando la publicación oficial del IPC y que la UF al 31 de diciembre 2021 es de $30 991,74 calcula la UF para los días 5, 9, 10 y 20 de enero de 2022. ","recurso":"Actividades","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Se recomienda verificar el trabajo de los estudiantes con la versión de la planilla de Cálculo “Entendiendo el crédito docente”. Y si le parece pertinente puede modelar la operatoria para el día 5 de enero: ","eng":""},{"eng":"","esp":"Cálculo de la UF para el 5 de enero (variación del IPC correspondiente a noviembre: 0,5%)
\n
\nPaso 1. Se debe calcular el factor de reajuste de diciembre:
\n\n\\begin{eqnarray} \nFactor_{dic\\,2021}&=&[1+\\frac{IPC_{nov\\,2021}}{100}]\\huge^\\frac{1}{días\\,dic}\\\\ \nFactor_{dic\\,2021}&=&[1+\\frac{{0,5}}{100}]\\huge^\\frac{1}{31}\\\\\\\\\nFactor_{dic\\,2021}&=&{1,000160901}\n\\end{eqnarray}\n
\nPaso 2. Calcular la UF para el día 5 de enero con el factor de reajuste de diciembre.:
\n\n\\begin{eqnarray} \nUF_{día\\,5}&=& \\text{UF último día mes anterior}\\cdot(factor_{dic})^5\\\\\nUF_{día\\,5}&=& 30\\,991,74\\cdot(1,000160901)^5\\\\\nUF_{día\\,5}&=& 31\\,016,68 \\end{eqnarray}\n
\nProcediendo de manera similar, podemos calcular que la UF para el 9 de enero es de \\(\\$ 31.036,65\\).\n","tipo":"p"},{"esp":"Cálculo de la UF para el 10 y 20 de enero (variación del IPC correspondiente a diciembre: 0,8%)
\n
\n\nPara el cálculo de la UF de los días 10 y 20 es fundamental que verifique que sus estudiantes realicen el nuevo cálculo de factor de reajuste utilizando en este caso el IPC de enero. Esto busca que sepan identificar los valores correspondientes de las variables en las fórmulas dadas. (Tarea matemática C)
\n\nPara calcular el Factor para los días 10 y 20 de enero se utiliza la variación de IPC del mes de diciembre 2021 correspondiente e a 0,8% como se observa a continuación: \n","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"\\begin{eqnarray} \nFactor_{enero\\,2022}&=&[1+\\frac{IPC_{dic}}{100}]\\huge^\\frac{1}{días\\,enero}\\\\ \nFactor_{enero\\,2022}&=&[1+\\frac{{0,8}}{100}]\\huge^\\frac{1}{31}\\\\\\\\\nFactor_{enero\\,2022}&=&{1,000257071}\n\\end{eqnarray}\n","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Para el 10 de enero se obtiene \\(\\$ 31.044,63\\) y para el 20 de enero se obtiene \\(\\$ 31.124,53\\).\n
\nLuego de confirmar que las y los estudiantes han logrado completar los valores de la UF para el mes de enero, pida que desarrollen la pregunta 5 de la Hoja de Actividades: ","tipo":"p"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":" (Diapositivas 12 a 18, Presentación) "},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Actividades","esp":"5. Completa en la base de datos “Entendiendo el crédito_estudiante” el valor de la UF para los días 5, 9, 10 y último día de cada mes para el año 2022. "},{"tipo":"p","esp":"Para finalizar este momento, puede preguntar: \n","eng":""},{"eng":"","esp":"- ¿El factor de reajustabilidad aumenta o disminuye al pasar el tiempo?
- ¿Cómo podemos revisar si nuestros valores de UF están correctos?\n
Se sugiere generar un momento de discusión frente a la pregunta, podrían surgir ideas como las siguientes:
- \n\nSi, le podríamos recomendar pagar el 5 del mes, ya que como vimos en la actividad, el IPC tiende ir al alza ( en el año 2022 acumuló un 7,2% en el año), podría ser conveniente pagar el crédito los primeros días del mes de tal manera que el valor de la UF sea menor, sin embargo dependerá de otros factores por ejemplo, los costos de oportunidad asociados, planificación de ingresos mensual, entre otros.
- \n\nLa diferencia en un año puede ser menos significativa que si la llevamos a un horizonte de 20 años de crédito. \n\n
- The Unidad de Fomento (UF) is an index of readjustment, calculated and authorized by the Central Bank of Chile.\n
- \nA mortgage loan is a loan granted by a financial entity, such as a bank, for the purpose of acquiring real estate.
- The currency of this loan is the UF, in such a way that the value of the property adjusts for inflation.\n\nFor calculation purposes, the value of the UF is readjusted from the tenth day of each month until the ninth day of the following month, on a daily basis, according to the Consumer Price Index (IPC). The UF is calculated daily using the following formula:\n
- Un crédito hipotecario es un préstamo otorgado por una entidad financiera, como un banco, con el propósito de adquirir una propiedad inmobiliaria. La moneda de este crédito es la UF, de tal manera que el valor de la propiedad se ajusta automáticamente según la inflación.
- \n\nPara fines del cálculo, el valor de la UF se reajusta a partir del día diez de cada mes y hasta el día nueve del mes siguiente, en forma diaria, de acuerdo con el Índice de precios al consumidor (IPC). El cálculo de la UF se realiza diariamente utilizando la siguiente fórmula:\n
- From the activity carried out, the question was raised about the difference between paying the installments of a mortgage loan at the beginning of the month or at the end of it. We observe that the payment made at the end of the month results in a higher annual total value, because the value of the UF is adjusted according to the CPI, which experiences an annual increase.\n
- \nHaving said the above, we asked ourselves the question whether or not it is convenient to pay this additional amount to obtain flexibility and we concluded that its valuation may vary for each individual, therefore, there is no correct answer. Rather, the important thing is to be clear about what we pay and understand our charges.
- \n\nFinancial education provides the knowledge and tools necessary to make informed decisions about money management. It allows you to understand the different financial products and services available, evaluate their advantages and disadvantages, and choose the most suitable options for your needs.\n
- A partir de la actividad realizada, se planteó la pregunta sobre la diferencia entre pagar las cuotas de un crédito hipotecario al principio del mes o al final de este. Observamos que el pago realizado al final del mes resulta en un valor total anual más elevado, debido a que el valor de la UF se ajusta según el IPC, que para el 2022 experimenta un aumento anual. Por lo tanto, es importante tener claridad de lo que pagamos y entender nuestros cobros.
- \nLa educación financiera proporciona los conocimientos y las herramientas necesarias para tomar decisiones informadas sobre el manejo del dinero. Te permite comprender los diferentes productos y servicios financieros disponibles, evaluar sus ventajas y desventajas, y elegir las opciones más adecuadas para tus necesidades.
Presente a sus estudiantes la Guía Práctica. Esta tiene por objetivo que las y los estudiantes analicen situaciones en las que se deben tomar decisiones fundamentadas en matemática financiera. Se sugiere utilizar la primera actividad de la guía para verificar la comprensión de los estudiantes con respecto al concepto de UF. Luego, permítales trabajar en las otras actividades para que puedan analizar otros contextos en los que se aplican las herramientas adquiridas en la clase. Se sugiere ir definiendo y dejando registro en la pizarra de aquellos conceptos de educación financiera que los estudiantes no conozcan.\n
","tipo":"p","eng":"Introduce your students to the How To Guide. The purpose of this is for students to analyze situations in which decisions based on financial mathematics must be made. It is suggested to use the first activity of the guide to verify the understanding of the students regarding the concept of UF. Then, allow them to work on the other activities so that they can analyze other contexts in which the tools acquired in the class are applied. It is suggested to define and record on the blackboard those financial education concepts that students do not know.\n
"},{"eng":"The tasks in the guide will allow you to formatively evaluate the following indicators:\n
","esp":"Las tareas de la guía le permitirán evaluar formativamente los siguientes indicadores:\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"- Evalúan diferentes posibilidades de créditos, utilizando porcentajes, tasas de interés o índices económicos para tomar una decisión fundamentada.\n
- Ajustan modelos que involucran porcentajes, tasas de interés o índices económicos para determinar las mejores posibilidades de una situación del ámbito financiero y económico.\n
- Evaluate different credit possibilities, using percentages, interest rates or economic indices to make an informed decision.\n
- Fit models involving percentages, interest rates, or economic indices to determine the best chances of a financial and economic situation.\n
La infografía titulada \"El Impacto de la UF\" proporciona una información sobre la UF como índice económico, cómo se calcula y en qué ámbitos se utiliza.
","eng":"The infographic entitled \"The Impact of the UF\" provides information on the UF as an economic index, how it is calculated and in which areas it is used.
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/pdfs/Infografia.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/pdfs/infografia_credito_hipotecario_horizontal.pdf"},{"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/pdfs/Infografia.pdf","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/pdfs/infografia_credito_hipotecario_horizontal.pdf","tipo":"button"},{"esp":"Presentación (diapositivas 2 a 4)","eng":"Presentation (slides 2 to 4)","tipo":"h3"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.
","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20IV_U2_OA1.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20IV_U2_OA1.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20IV_U2_OA1.pptx","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20IV_U2_OA1.pptx","tipo":"button"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Excel \"Understanding the calculation_student\"","esp":"Recurso Base de Datos “Entendiendo el cálculo estudiante”"},{"esp":"Se trata de una hoja de cálculo diseñada para que las y los estudiantes puedan realizar un seguimiento de los cálculos necesarios para determinar los montos que deben pagarse en el crédito hipotecario del problema abordado en la clase.\n
","eng":"This is a spreadsheet designed so that students can keep track of the calculations necessary to determine the amounts that must be paid in the mortgage loan of the problem addressed in class.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/docs/Entendiendo%20el%20credito_estudiante.xlsx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/docs/Entendiendo%20el%20credito_estudiante.xlsx","titulo":{"esp":"","eng":""},"recurso":"Descarga"},{"tipo":"h3","esp":"Recurso Base de Datos “Entendiendo el cálculo docente”","eng":"Excel \"Understanding the teaching_calculus\""},{"esp":"Se trata de una hoja de cálculo diseñada específicamente para que el docente pueda manejar las soluciones de los cálculos que determinan los montos que deben pagarse en el crédito hipotecario del problema abordado en la clase.\n
","tipo":"p","eng":"This is a spreadsheet specifically designed so that the teacher can handle the solutions of the calculations that determine the amounts that must be paid in the mortgage loan of the problem addressed in class.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/docs/Entendiendo%20el%20credito_docente.xlsx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/docs/Entendiendo%20el%20credito_docente.xlsx","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"button","recurso":"Descarga"},{"tipo":"h3","eng":"Worksheet","esp":"Hoja de Actividades"},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.\n
","eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Hoja%20de%20Actividades%204M_U2_OA1.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Hoja%20de%20Actividades%204M_U2_OA1.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Hoja%20de%20Actividades%204M_U2_OA1.docx","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Hoja%20de%20Actividades%204M_U2_OA1.docx","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"esp":"Presentación (diapositivas 5 a 20)","eng":"Presentation (slides 5 to 20)","tipo":"h3"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.
","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20IV_U2_OA1.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20IV_U2_OA1.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20IV_U2_OA1.pptx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20IV_U2_OA1.pptx","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"","eng":""}}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Presentation (slides 21-26)","esp":"Presentación (diapositivas 21 a 26)","tipo":"h3"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20IV_U2_OA1.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20IV_U2_OA1.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20IV_U2_OA1.pptx","recurso":"Descarga","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20IV_U2_OA1.pptx"}]},"4":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Practical Guide","tipo":"h3","esp":"Guía Práctica"},{"tipo":"p","eng":"This document proposes various exercises that aim to help students solve problems in the context of financial mathematics. In addition, these can be used to formatively assess the knowledge developed from the situation.
","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes resuelvan problemas en el contexto de la matemática financiera. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.
"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Guia%20Practica%204M_U2_OA1.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Guia%20Practica%204M_U2_OA1.pdf"},{"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Guia%20Practica%204M_U2_OA1.docx","titulo":{"eng":"","esp":""},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/explorando_uf_creditos/Recursos%20Apoyo/Guia%20Practica%204M_U2_OA1.docx"}]}},"visible":true},"recursosProyecto":[],"visible":true},"34":{"aspectosAConsiderar":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"p","esp":"Para abordar la situación propuesta es útil recordar la definición y algunas propiedades de la proporcionalidad directa. \n
","eng":"To address the proposed situation, it is useful to remember the definition and some properties of direct proportionality."},{"esp":"Proporcionalidad directa y propiedades","eng":"Direct proportionality","tipo":"h3"},{"eng":"We will say that two variables x and y are directly proportional if the quotient between them remains constant, that is:
\n \\[y=k\\cdot{x}\\]
\nThe number k ≠ 0 is the proportionality constant. As can be seen from the previous expression, the proportionality constant is the quotient between the corresponding values of both variables.","tipo":"p","esp":"Diremos que dos variables x e y son directamente proporcionales si el cociente entre ellas se mantiene constante, es decir:
\n \\[\\frac{y}{x}=k\\]
\n
El número k ≠ 0 se conoce como constante de proporcionalidad. Tal como se desprende de la expresión anterior, la constante de proporcionalidad es el cociente valores correspondientes de ambas variables."},{"tipo":"p","esp":"\\[ \\frac{y_1}{x_1} = \\frac{y_2}{x_2} = \\frac{y_3}{x_3} =...= \\frac{y_n}{x_n} = k \\]
","eng":"\\[\\frac{y_1}{x_1}=\\frac{y_2}{x_2}=\\frac{y_3}{x_3}=\\ldots=\\frac{y_n}{x_n} = k\\]"},{"eng":"An important property of direct proportionality, that students will be able to use in this situation, is that if the values of one of the variables are doubled, tripled, etc., the corresponding values of the other variable are also doubled, tripled, etc.","tipo":"p","esp":"Una propiedad importante de la proporcionalidad directa y que las y los estudiantes podrán utilizar en esta situación, es que si los valores de una de las variables se duplican, triplican, etc., los valores correspondientes de la otra variable también se duplican, triplican, etc.
"},{"eng":"Direct Proportionality Graph","esp":"Gráfico de la Proporcionalidad directa","tipo":"h4"},{"esp":"El gráfico que representa una relación de proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. La inclinación de esta recta está determinada por el valor de la constante de proporcionalidad. ","eng":"The graph representing a direct proportionality relationship is a straight line that passes through the origin of the coordinate system. The value of the proportionality constant determines the inclination of this line.","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/imgs/asp-mat-1.png","tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/imgs/asp-mat-1.png","alinea":"texto-centrado","escala":"50"},{"eng":"Functional notation of direct proportionality","esp":"Notación funcional de la proporcionalidad directa","tipo":"h4"},{"esp":"Dos variables x e y directamente proporcionales definen una función f, dada por f(x) = k · x. En el contexto de esta situación no se empleará la notación funcional ni se mencionará explícitamente que esta relación corresponde a una función lineal. Como se indica en el apartado de “Aprendizajes”, utilizaremos expresiones algebraicas o modelos de la forma yn= k · xn para analizar la proporcionalidad directa.","eng":"Two directly proportional variables x and y define a function f, given by f(x) = k · x. In this situation, functional notation will not be used, nor will it be explicitly mentioned that this relationship corresponds to a linear function. As indicated in the “Learning outcomes” section, we will use algebraic expressions or models of the form yn= k · xn to analyze direct proportionality.","tipo":"p"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Determinación de la proporcionalidad directa","eng":"Identifying a direct proportionality","tipo":"h3"},{"esp":"En esta situación, las predicciones del avance del mar establecen una relación de proporcionalidad directa. Por ejemplo, se indica que cada 10 años el mar avanza 6 metros. Para el desarrollo de la actividad es importante que sus estudiantes reconozcan que este crecimiento será constante a lo largo de los años y que expresen estas relaciones usando razones equivalentes. Para ello, es importante apoyarlos con el uso de diagramas para representar dichas relaciones. ","eng":"In this situation, the predictions of the advance of the sea establish a relationship of direct proportionality. For example, it is stated that the sea advances 6 meters every ten years. For the development of the activity, your students must recognize that this growth will be constant over the years and that they express these relationships using equivalent ratios. To do this, it is important to support them using diagrams to represent these relationships.","tipo":"p"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"75","eng":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/imgs/eng/01.png","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/imgs/esp/01.png"},{"eng":"Direct proportionality and advance of the sea","tipo":"h3","esp":"Proporcionalidad directa y avance del mar"},{"esp":"Es importante que las y los estudiantes reconozcan que estas predicciones se basan en estudios científicos, pero eso no implica necesariamente que la relación se mantendrá exactamente como se proyecta. Los modelos que se espera que sus estudiantes construyan permiten hacer una proyección del avance del mar, pero es necesario tener en cuenta que existen múltiples factores que pueden influir en esta relación y generar variaciones en la realidad. En este sentido, es fundamental que las y los estudiantes comprendan que los modelos que elaborarán en la lección son posibles gracias a supuestos que ayudan a simplificar la realidad y hacer el problema abordable con la información que se dispone.","eng":"Students need to recognize that these predictions are based on scientific studies, but that does not necessarily mean that the relationship will hold exactly as projected. The models that your students will build are used to predict the sea-level rise. Still, it is necessary to consider that multiple factors can influence this relationship and generate variations in reality. In this sense, students must recognize that the models they will develop in the lesson are possible thanks to assumptions that help simplify reality and make the problem approachable with available information.","tipo":"p"},{"esp":"Dificultades en el trabajo con proporcionalidad","eng":"Difficulties in working with proportionality","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Las relaciones de proporcionalidad son un tipo particular de relación entre dos variables. El currículum de Educación Básica hace gran énfasis a este tipo de relaciones y muchas veces no se ejemplifica otro tipo de relación, lo que puede causar que cada vez que las y los estudiantes se encuentren con variables relacionadas, las clasifiquen como directamente proporcionales o inversamente proporcionales, sin admitir la posibilidad de otro tipo de relación entre las variables. ","eng":"Proportionality relationships are a particular type of relationship between two variables. The primary education curriculum places great emphasis on this type of relationship, and many times, no other kind of relationship is exemplified, which can cause students to classify each time they encounter related variables as directly proportional or inversely proportional without admitting the possibility of another type of relationship between the variables."}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Sea level rise and sea advance","tipo":"h3","esp":"Aumento del nivel del mar y el avance del mar"},{"esp":"El aumento del nivel del mar es una consecuencia directa del cambio climático y se produce debido al calentamiento global que causa el derretimiento de los glaciares y el aumento de la temperatura del océano.
","eng":"Sea level rise is a direct consequence of climate change. It occurs due to global warming, causing glaciers to melt and ocean temperatures to rise.","tipo":"p"},{"eng":"The following image shows how the sea level has risen over time.","esp":"En la siguiente imagen se puede observar cómo ha aumentado el nivel del mar a través del tiempo.
","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/imgs/esp/02.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","eng":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/imgs/eng/02.png"},{"esp":"Este fenómeno puede provocar el avance del mar hacia las playas, lo que puede tener graves consecuencias por ejemplo, para las comunidades que viven cerca de la costa.
","eng":"This phenomenon can cause the sea to advance towards the beaches, which can have serious consequences, for example, for communities living near the coast.","tipo":"p"},{"esp":"En la siguiente imagen se puede observar ese fenómeno:
","eng":"In the following image you can see this phenomenon:","tipo":"p"},{"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","escala":"50","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/imgs/esp/03.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/imgs/eng/contextual-aspects-v2.png"},{"tipo":"h3","esp":"El avance del mar en las costas de Chile","eng":"The advance of the sea on the coasts of Chile"},{"eng":"The rise in sea level on Chile's coast and the sea's advance are complex and multifactorial processes that depend on various local and global factors, such as climate change, coastal topography, erosion, and sedimentation. Therefore, constant monitoring and adequate adaptation measures are required to face these challenges on the Chilean coast.","esp":"Es importante destacar que el aumento del nivel del mar en la costa de Chile y el avance del mar son procesos complejos y multifactoriales, que dependen de diversos factores locales y globales, como el cambio climático, la topografía costera, la erosión y la sedimentación. Por lo tanto, se requiere de un monitoreo constante y medidas de adaptación adecuadas para enfrentar estos desafíos en la costa chilena.\n
","tipo":"p"},{"eng":"For example, in the Valparaíso Region, Valparaíso Bay and the Concón county have been particularly affected by the advance of the sea in recent decades. According to studies carried out by the Center for Advanced Studies in Arid Zones (CEAZA), it is estimated that in the bay of Valparaíso the sea advances at a rate of between 0.4 and 0.8 meters per year in some areas, while in the Concón county has recorded an advance of the sea of up to 4 meters in the last 30 years.","tipo":"p","esp":"Por ejemplo, en la Región de Valparaíso, la bahía de Valparaíso y la comuna de Concón son zonas que se han visto particularmente afectadas por el avance del mar en las últimas décadas. Según estudios realizados por el Centro de Estudios Avanzados en Zonas Áridas (CEAZA), se estima que en la bahía de Valparaíso el mar avanza a una tasa de entre 0,4 y 0,8 metros por año en algunas zonas, mientras que en la comuna de Concón se ha registrado un avance del mar de hasta 4 metros en los últimos 30 años.
"}]}}},"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Momento de Enganche","eng":"Engagement ","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositiva 2 y 3, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slides 2 and 3, Presentation)"},{"eng":"Present the infographic “The rise in sea level” and give them time to analyze it. For your students to reflect on the rise in sea level generated by climate change and how this affects some areas of the coast of Chile, you can pose questions such as the following:","tipo":"p","esp":"Presente la Infografía “Aumento del nivel mar” y dé un tiempo para que la analicen. Con el objetivo de que sus estudiantes reflexionen acerca del aumento del nivel del mar generado por el cambio climático, y cómo esto afecta algunas zonas de la costa de Chile, se sugiere plantear preguntas como las siguientes: "},{"eng":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/recurso-principal/eng/infographic.pdf","recurso":"ModalPDF","tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/pdfs/esp/infografia.pdf","titulo":{"esp":"","eng":"See Infographic"}},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"- ¿Por qué el cambio climático afecta en el aumento del nivel del mar?
- ¿Cómo influye el aumento del nivel del mar en la costa de Chile?
- ¿Han notado el avance del mar en alguna playa? o ¿Han escuchado sobre esto?
- Why does climate change affect sea level rise?
- How does the rise in sea level influence the coast of Chile?
- Have you noticed the advance of the sea on any beach? Have you heard about this?
Asegúrese que sus estudiantes comprendan que el avance del mar es consecuencia directa del aumento del nivel del mar provocado por el cambio climático.
","eng":"Ensure your students understand that the advancing sea is a direct consequence of sea level rise caused by climate change."},{"eng":"Problem presentation","esp":"Presentación del problema ","tipo":"h3"},{"eng":"(Slide 4 and 5, Presentation)","esp":"(Diapositiva 4 y 5, Presentación) ","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Presente la situación “Avance del mar” (diapositiva 4) en la que se describe el avance de la línea de costa en dos lugares de Chile. ","eng":"Present the situation “The rise in sea level” (slide 4) in which the advance of the coastline in two places in Chile is described."},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":"Different predictions have been made about the speed at which the sea will advance in some locations of the Chilean coast. Below are two of them:\n- \n
- In Antofagasta, the sea's advance rate will be 6 meters every 10 years. \n
- In Constitución, the sea's advance rate will be 8 meters every 10 years. \n
- En Antofagasta el ritmo de avance del mar será de 6 metros cada 10 años. \n
- En Constitución el ritmo de avance del mar será de 8 metros cada 10 años.
- What is the rate of advance of the sea for each area? \n\n
- What does it mean that the sea's advance rate in Antofagasta is 6 meters every 10 years? \n\n
- If the pace continues, what would be the progress after 20 years? Why?
- ¿Cuál es el ritmo de avance del mar para cada zona? \n
- ¿Qué significa que el ritmo de avance del mar en Antofagasta sea de 6 metros cada 10 años? \n
- De mantenerse el ritmo, ¿cuál sería el avance luego de 20 años? ¿por qué?
\nEn la primera pregunta, se espera que utilicen un razonamiento proporcional para obtener puntos en el gráfico y trazar las rectas que describen el avance del mar en cada zona costera (Tarea Matemática B).","tipo":"p","eng":"Give your students the Activity Worksheet. Ask them to work in groups and do the first four activities. In this first moment, the aim is for students to use proportional reasoning to project the advance of the sea in the future and graph the relations of sea advance for each coastal zone.\n
\nIn the first question, they are expected to use proportional reasoning to obtain points on the graph and draw the lines that describe the advance of the sea in each coastal area (Mathematical Task B)."},{"eng":"- Draw the graphs of the predictions of the advance of the sea for each of the coastal zones mentioned.
","tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/imgs/eng/gestion-1.png\")
- Dibuja los gráficos de las predicciones del avance del mar para cada una de las zonas costeras mencionadas.
"},{"esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/imgs/esp/04.png\")
","recurso":"Respuesta","eng":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/imgs/esp/06.png\")
","tipo":"momento"},{"esp":"Durante el monitoreo , identifique posibles estrategias y eventuales dificultades que las y los estudiantes puedan experimentar en el dibujo de los gráficos. ","eng":"Identify possible strategies and possible difficulties that students may experience when drawing graphs.","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"For example, the graduation of the axes does not allow any point to be located at points of intersection of lines in the given coordinate system. Thus, when locating the point (10, 6), it is not possible to locate the point 6 on the Y axis. In the same way, it is not possible to locate the point (10,8) exactly. In this way, they are expected to use proportional reasoning to locate other points and then draw the lines (Mathematical Task C). For example, if in 10 years the sea advances 6 meters, then in 50 years the sea will advance 30 meters. In the same way for the other area: If in 10 years the sea advances 8 meters, then in 100 years the sea will advance 80 meters.","esp":"Por ejemplo, la graduación de los ejes no permite ubicar cualquier punto en puntos de intersección de líneas en el sistema de coordenadas entregado. Así, al ubicar el punto (10, 6), no es posible ubicar el punto 6 en el eje Y. De la misma manera, no es posible ubicar exactamente el punto (10,8). De esta forma, se espera que utilicen un razonamiento proporcional que les permita ubicar otros puntos para luego trazar las rectas (Tarea Matemática C). Por ejemplo, si en 10 años el mar avanza 6 metros, entonces en 50 años el mar avanzará 30 metros. De la misma forma para la otra zona: Si en 10 años el mar avanza 8 metros, entonces en 100 años el mar avanzará 80 metros. "},{"esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/imgs/eng/gestion-2.png\")
En cada caso, se sugiere apoyar estos razonamientos con diagramas de relación:
","eng":"In each case, it is suggested to support this reasoning with relationship diagrams such as the following:","tipo":"p"},{"caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","escala":"75","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/imgs/esp/05.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/imgs/eng/05.png","alinea":"texto-centrado"},{"eng":"In this way, they are expected to draw each line starting from the origin with these points.\n
\nIn the second question on the Activity Worksheet, students are expected to clearly recognize that the advance of the sea in the coastal area of Constitución occurs faster than in the coastal area of Antofagasta (Mathematical Task D).","tipo":"p","esp":"De esta manera, se espera que con esos puntos puedan dibujar cada recta comenzando desde el origen.
\nEn la segunda pregunta de la Hoja de Actividades, se espera que las y los estudiantes reconozcan claramente que el avance del mar en la zona costera de Constitución ocurre a un ritmo más rápido que en la zona costera de Antofagasta (Tarea Matemática D). "},{"esp":"- ¿En qué zona costera está avanzando más rápido el mar? ¿Cómo se relaciona con el gráfico?
- In which coastal area is the sea advancing the fastest? How does it relate to the graph?
- How many meters will the sea have advanced in Antofagasta and Constitución in 50 more years?
- ¿Cuántos metros habrá avanzado el mar en Antofagasta y Constitución en 50 años más?
- ¿Cuántos metros habrá avanzado el mar en Antofagasta y Constitución en 30 años más?
- How many meters will the sea have advanced in Antofagasta and Constitución in 30 more years?
- Escribe una fórmula que describa la relación entre el tiempo y el avance del mar para las zonas costeras de Antofagasta y Constitución.
- Write a formula that describes the relationship between time and the advance of the sea for the coastal areas of Antofagasta and Constitución.
- In Antofagasta : y =0,6 · x (x years, y meters) \n
- In Constitución: y =0,8 · x (x years, y meters)
- En Antofagasta : y =0,6 · x (x años, y metros) \n
- En Constitución: y =0,8 · x (x años, y metros)
- En Anfogasta:
- 10 años → 6 metros
- 5 años → 3 metros
- 1 año → 3⁄ 5 metros
- 1 año → 0,6 metros
- y = 0,6 · x (x años, y metros)
- In Anfogasta:
- 10 years → 6 meters
- 5 years → 3 meters
- 1 year → 3⁄ 5 meters
- 1 year → 0,6 meters
- y = 0,6 · x (x years, y meters)
- En Constitución:
- 10 años → 8 metros
- \t\n…
- 1 año → 0,8 metros
- y = 0,8 · x (x años, y metros)
- In Constitución:
- 10 years → 8 meters
- \t\n…
- 1 year → 0,8 meters
- y = 0,8 · x (x years, y meters)
- Use the formulas to calculate the advance of the sea after 2 years.
- Utiliza las fórmulas para calcular el avance del mar después de 2 años.
- In Antofagasta:
- \n
- y = 0,6 · x \n
- y = 0,6 · 2 \n
- y = 1,2
\n
- In Constitución:
- \n
- y = 0,8 · x \n
- y = 0,8 · 2 \n
- y = 1,6
\n
- En Anfogasta:
- \n
- y = 0,6 · x \n
- y = 0,6 · 2 \n
- y = 1,2
\n
- En Constitución:
- \n
- y = 0,8 · x \n
- y = 0,8 · 2 \n
- y = 1,6
\n
- En Antofagasta , la casa está a 15 metros de la costa. \n
- En Constitución, la casa está a 20 metros de la costa.
- En cada caso, escribe en los carteles el año en que el mar avanzará los metros indicados. \n
- ¿A qué casa llegará el mar primero? ¿En qué año?
- In Antofagasta, the house is 15 meters from the coast. \n
- In Constitución, the house is 20 meters from the coast.
- In each case, write on the signs the year the sea will advance the indicated meters. \n
- Which house will the sea reach first? In what year?
- \n
- In Antofagasta:
- In the year 2028 the sea will have advanced 3 meters.
- In the year 2043 the sea will have advanced 12 meters.
- In Concepción:
- In the year 2028 the sea will have advanced 4 meters.
- In the year 2038 the sea will have advanced 12 meters.
\n\n - In Antofagasta:
- The coastline will take the same time (25 years, 2048) to reach both houses
- En Antofagasta:
- En el año 2028 el mar habrá avanzado 3 metros.
- En el año 2043 el mar habrá avanzado 12 metros.
- En Constitución:
- En el año 2028 el mar habrá avanzado 4 metros.
- En el año 2038 el mar habrá avanzado 12 metros.
- Directly apply the formula by confusing the variables, for example, answering in the first poster 1,8 m (y = 0,6 · 3).
\n- Do not interpret the value obtained according to the context. For example, answering in the first poster 5 years and not 2028 (2023 plus 5 years).
\n","esp":"Esta tarea es distinta a la anterior ya que se debe encontrar el valor de x (años) dado el valor de y (metros). Es posible que surjan algunas de las siguientes dificultades:- \n
- Aplicar directamente la fórmula confundiendo las variables, por ejemplo, respondiendo en el primer cartel 1,8 m (y = 0,6 · 3). \n
- No interpretar el valor obtenido de acuerdo al contexto, por ejemplo, respondiendo en el primer cartel 5 años y no 2028 (2023 más 5 años).
- Avance de 3 metros:\n
- \n
- y = 0,6 · x \n
- 3 = 0,6 · x \n
- 3⁄0,6 = x \n
- 5 = x
\n
- Advance of 3 meters:\n
- \n
- y = 0,6 · x \n
- 3 = 0,6 · x \n
- 3⁄0,6 = x \n
- 5 = x
\n
- Avance de 12 metros:\n
- \n
- y = 0,6 · x \n
- 12 = 0,6 · x \n
- 12⁄0,6 = x \n
- 20 = x
\n
- Advance of 12 meters:\n
- \n
- y = 0,6 · x \n
- 12 = 0,6 · x \n
- 12⁄0,6 = x \n
- 20 = x
\n
- Antofagasta:\n
- \n
- y = 0,6 · x \n
- 15 = 0,6 · x \n
- 15⁄0,6 = x \n
- 25 = x
\n
- Antofagasta:\n
- \n
- y = 0,6 · x \n
- 15 = 0,6 · x \n
- 15⁄0,6 = x \n
- 25 = x
\n
- Constitución:\n
- \n
- y = 0,8 · x \n
- 20 = 0,6 · x \n
- 20⁄0,6 = x \n
- 25 = x
\n
- Constitución:\n
- \n
- y = 0,8 · x \n
- 20 = 0,6 · x \n
- 20⁄0,6 = x \n
- 25 = x
\n
- \n
- Las predicciones dadas sobre el avance del mar en las zonas costeras, expresan una relación de proporcionalidad directa entre las variables. Es decir, se asume que el ritmo de avance del mar es constante. Esta relación se puede expresar mediante una recta que pasa por el origen. \n\n
- Para describir la proporcionalidad directa a través de una expresión algebraica en cada zona costera, es necesario encontrar la constante de proporcionalidad. Para ello, identificamos el avance en metros cuando ha pasado un año. \n
\nEn el caso de Antofagasta, donde se predice \"un avance del mar de 6 metros cada 10 años\", podemos expresarlo como \"un avance del mar de 0,6 metros por año\". Es decir, si x es el tiempo transcurrido en años e y el avance del mar en metros en Antofagasta, se tiene que \n\\[y=0,6 x\\]
\n \n\n - De igual forma, obtenemos que para Constitución, \n\\[y=0,8 x\\]\ndonde x es el tiempo transcurrido en años e y el avance del mar en metros en Constitución. \n\n
- La constante de proporcionalidad del avance del mar en Constitución es mayor que la de Antofagasta, lo que indica que su ritmo de avance es más acelerado. Esto se refleja en el gráfico, donde la recta correspondiente a Constitución se encuentra por encima de la de Antofagasta. \n\n
- Utilizando las fórmulas de proporcionalidad directa, podemos determinar el avance en metros del mar en cada zona en función del tiempo transcurrido. \n\n
- Además, podemos calcular la cantidad de años necesarios para que el avance del mar alcance una determinada cantidad de metros. \n\n\n
- Esta situación nos permitió cuantificar el aumento del nivel del mar producto del cambio climático. Usar la matemática es fundamental para adoptar medidas precautorias y reducir el impacto y las consecuencias para la población y el medio ambiente. \n\n
- \n
- The predictions given on the advance of the sea in coastal areas express a relationship of direct proportionality between the variables. That is, it is assumed that the rate of sea advance is constant. This relationship can be represented by a straight line passing through the origin. \n
- It is necessary to find the proportionality constant to describe the direct proportionality through an algebraic expression in each coastal zone. To do this, we identify the advance in meters after one year. \n
- For example, in Antofagasta, where “the sea's advance rate will be 6 meters every 10 years” we can express it as “an advance of 0,6 meter each year”. Thus, if x is the time elapsed in years and y the advance of the sea in meters in Antofagasta, we have, \\[y=0,6 x\\]\n \n
- Likewise, we obtain that for Constitución,\n\\[y=0.8 x\\]\nwhere x is the time elapsed in years and y the advance of the sea in meters in Constitución. \n
- The proportionality constant of the advance of the sea in Constitución is greater than that of Antofagasta, which indicates that its rate of advance is faster. Thus, in the graph, the line corresponding to Constitución is above that of Antofagasta. \n
- Using the direct proportionality formulas, we can determine the advance in meters of the sea in each area as a function of the time elapsed. \n
- In addition, we can calculate the number of years necessary for the advance of the sea to reach a certain number of meters. \n
- This situation allowed us to quantify the rise in sea level due to climate change. Using mathematics is essential to adopt preventive measures and reduce the impact and consequences for the population and the environment. \n
Estos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente los siguientes indicadores:\n
","eng":"These exercises can be used to assess according to the following indicators:"},{"eng":"- Make tables of values for direct proportional relationships.
- Explain the characteristics of the graph of a direct proportionality.
- Solve problems in daily life and other subjects related to direct proportionality.
- Realizan tablas de valores para relaciones proporcionales directas.
- Explican las características de la gráfica de una proporcionalidad directa.
- Resuelven problemas de la vida diaria y de otras asignaturas relacionados a proporcionalidad directa
Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/pdfs/esp/presentacion.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/eng/presentation%20-%20advance%20of%20the%20sea%20-v3.pdf"},{"recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/eng/presentation%20-%20advance%20of%20the%20sea%20-%20v3.pptx","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/editables/esp/presentacion.pptx","tipo":"button"}]},"2":{"contenido":[{"esp":"Hoja de Actividades","eng":"Activity Worksheet","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"This document details the rates of sea advancement in two places in Chile and proposes a series of activities to promote the knowledge construction based on this situation.","esp":"En este documento se detallan los ritmos de avance del mar en dos zonas costeras de Chile y se proponen una serie de actividades para favorecer la construcción de conocimientos a partir de esta situación. "},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/imgs/eng/Activity%20Worksheet%20-%20advance%20of%20the%20sea.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/pdfs/Hoja%20de%20Actividades%20_avance%20del%20mar_.docx.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/docs/Hoja%20de%20Actividades%20_avance%20del%20mar_.docx","titulo":{"eng":"Download Activity Worksheet","esp":""},"recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/imgs/eng/Activity%20Worksheet%20-%20advance%20of%20the%20sea.docx"},{"eng":"Presentation (slides 6 to 21)","esp":"Presentación (diapositivas 6 a 21 )","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación. ","eng":"This presentation has been designed to support the classroom implementation of this situation."},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/pdfs/esp/presentacion.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/eng/presentation%20-%20advance%20of%20the%20sea%20-v3.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/eng/presentation%20-%20advance%20of%20the%20sea%20-%20v3.pptx","recurso":"Descarga","tipo":"button","titulo":{"esp":"","eng":"Download Presentation"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/editables/esp/presentacion.pptx"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 20 to 23)","esp":"Presentación (diapositivas 20 a 23 )"},{"eng":"This presentation has been designed to support the classroom implementation of this situation.","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/eng/presentation%20-%20advance%20of%20the%20sea%20-v3.pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/pdfs/esp/presentacion.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/eng/presentation%20-%20advance%20of%20the%20sea%20-%20v3.pptx","tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/editables/esp/presentacion.pptx","titulo":{"eng":"Download Presentation","esp":""}}]},"4":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Guía Práctica","tipo":"h3","eng":"Practice Worksheet"},{"tipo":"p","eng":"This document proposes various exercises that aim for students to use direct proportionality in the context of the advance of the sea in the Valparaíso region.","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes utilicen la proporcionalidad directa en el contexto de avance del mar en la región de Valparaíso. Estos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación."},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/pdfs/esp/guia-practica.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/imgs/eng/Practice%20Worksheet%20-%20advance%20of%20the%20sea.pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/avance-del-mar/editables/esp/guia-practica.docx","tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Download Practice Worksheet","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/imgs/eng/Practice%20Worksheet%20-%20advance%20of%20the%20sea.docx"},{"tipo":"h3","esp":"Guía Práctica adicional","eng":""},{"tipo":"p","esp":"En este documento se proponen ejercicios adicionales, en algunos casos de mayor dificultad, para que las y los estudiantes puedan aplicar lo aprendido en esta lección. Los ejercicios de esta guía también pueden servir para evaluar los aprendizajes de la clase.
","eng":""},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/pdfs/Guia_Practica_ADICIONAL_Septimo_OA8_Avance_del_mar.pdf","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","eng":"","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía Práctica adicional"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/avance_del_mar/docs/Guia_Practica_ADICIONAL_Septimo_OA8_Avance_del_mar.docx"}]}},"visible":true},"visible":true},"35":{"recursos":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Video: Deep Dive","esp":"Video: Buceo profundo","tipo":"h3"},{"esp":"El video presenta el buceo profundo, en qué consiste esta actividad y el equipamiento para realizarla de manera segura. A partir de la restricción de profundidad a la que se puede sumergir un buceador, se plantea la pregunta de cómo estimar la profundidad a la que se encuentra.
","eng":"The video introduces deep diving, what this activity consists of and the equipment to do it safely. From the depth restriction to which a diver can submerge, the question arises of how to estimate the depth at which he is.
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/buceo/15_BuceoV2_subt.mp4","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/videos/Buceo.webm","tipo":"video"},{"recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Descargar Video","esp":"Descargar Video"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/buceo/15_BuceoV2_subt.mp4","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/videos/Buceo.mp4","tipo":"button"},{"eng":"Presentation (slides 2 to 6)","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 6)","tipo":"h3"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.
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","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/pdfs/Hoja%20de%20Actividades%20II%C2%B0_Unidad2_OA5.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/pdfs/Hoja%20de%20Actividades%20II%C2%B0_Unidad2_OA5.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/docs/Hoja%20de%20Actividades%20II%C2%B0_Unidad2_OA5.docx","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/docs/Hoja%20de%20Actividades%20II%C2%B0_Unidad2_OA5.docx","titulo":{"esp":"Descargar hoja de actividades","eng":"Download activity sheet"},"tipo":"button"},{"tipo":"h3","esp":" Presentación (diapositiva de 7 a 19)","eng":"Presentation (slide 7 to 19)"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
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","esp":"Este recurso de GeoGebra muestra el gráfico de la función \\(p(h)\\). Mediante un deslizador, se puede variar los valores de la profundidad \\(h\\), señalando la imagen correspondiente para esos valores.
","tipo":"p"},{"recurso":"Geogebra","eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/vhbm6pxp/width/880/height/500/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/ asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","tipo":"iframe","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/vhbm6pxp/width/880/height/500/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Presentation (slide 20 and 21)","esp":"Presentación (diapositivas 20 y 21)","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/pdfs/Presentacion%20II%C2%B0_Unidad2_OA5.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/pdfs/Presentacion%20II%C2%B0_Unidad2_OA5.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/docs/Presentacion%20II%C2%B0_Unidad2_OA5.pptx","tipo":"button","titulo":{"eng":"Download presentation","esp":"Descargar presentación"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/docs/Presentacion%20II%C2%B0_Unidad2_OA5.pptx","recurso":"Descarga"}]},"4":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Guía Práctica","tipo":"h3","eng":"Practical Guide"},{"esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes analicen la dispersión en distintos contextos. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.
","tipo":"p","eng":"This document proposes various exercises that are intended for students to analyze dispersion in different contexts. In addition, these can be used to formatively assess the knowledge developed from the situation.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/pdfs/Guia%20Practica%20II_Unidad2_OA5.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/pdfs/Guia%20Practica%20II_Unidad2_OA5.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar guía practica","eng":"Download practical guide"},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/docs/Gui%C2%ADa%20Practica%20II_Unidad2_OA5.docx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/docs/Gui%C2%ADa%20Practica%20II_Unidad2_OA5.docx","tipo":"button"},{"esp":"Recurso interactivo (Temperatura en grados Celsius y Fahrenheit)","tipo":"h3","eng":"Interactive resource (Temperature in degrees Celsius and Fahrenheit)"},{"eng":"This GeoGebra resource shows the graph of the function \\(F(C)\\). Using a slider, you can vary the temperature values in degrees Celsius, pointing to the corresponding image for those values in degrees Fahrenheit.
","tipo":"p","esp":"Este recurso de GeoGebra muestra el gráfico de la función \\(F(C)\\). Mediante un deslizador, se puede variar los valores de la temperatura en grados Celsius, señalando la imagen correspondiente para esos valores en grados Fahrenheit.
"},{"esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zyafuf3j/width/800/height/700/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zyafuf3j/width/800/height/700/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/ asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","recurso":"Geogebra","tipo":"iframe"}]}},"visible":true},"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"latching moment","esp":"Momento de enganche"},{"esp":"(Diapositiva 2, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slide 2, Presentation)"},{"tipo":"p","esp":"Reproduzca el Video \"¿Qué es el buceo?\" y dé un tiempo para que las y los estudiantes compartan sus apreciaciones respecto a esta actividad. Para promover la conversación, puede formular preguntas como:
","eng":"Play the Video \"What is scuba diving?\" and allow time for students to share their insights about this activity. To promote the conversation, you can ask questions like:
"},{"recurso":"ModalVideo","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/buceo/15_BuceoV2_subt.mp4","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/videos/Buceo.webm","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"button"},{"tipo":"momento","eng":"- What do you know about scuba diving?
- What restriction do divers have when they dive into the water?
- What is the relationship between pressure What does the diver feel and how deep is it?
- How can divers estimate how deep they are?\n
- ¿Qué conocen sobre el buceo?
- ¿Qué restricción tienen los buceadores cuando se sumergen en el agua?
- ¿Cuál es la relación que existe entre la presión que siente el buceador y la profundidad a la que se encuentra?
- ¿Cómo pueden los buceadores estimar a qué profundidad están?\n
\nThese questions seek that, based on the information in the video, the students notice that:
","tipo":"p","esp":"\nEstas preguntas buscan que, a partir de la información del video, las y los estudiantes noten que:
"},{"tipo":"p","eng":"- There is a restriction for divers as it is not safe for them to dive beyond a certain depth, so it is important for them to know how deep they are.\n
- The deeper you go, the greater the pressure the diver feels.
- Typically, divers use an instrument called a depth gauge that estimates their depth from the pressure measurement.
- li>
- Existe una restricción para los buceadores, ya que no es seguro que se sumerjan más allá de cierta profundidad, por lo que es importante para ellos saber a qué profundidad se encuentran. \n
- A mayor profundidad, mayor es la presión que siente el buceador.
- Normalmente, los buceadores utilizan un instrumento llamado profundímetro que estima su profundidad a partir de la medición de presión.
Tell your students that the situation leads us to ask:
","tipo":"p","esp":"Coménteles a sus estudiantes que la situación nos lleva a preguntarnos:
"},{"esp":"Si se conoce la presión que debe soportar un buceador en un momento dado, ¿cómo podemos estimar la profundidad a la que se encuentra?
","eng":"If we know the pressure that a diver must endure at a given moment, how can we estimate the depth at which he is?
","recurso":"Pregunta","tipo":"momento"},{"tipo":"h4","eng":"(Slide 5, Presentation)","esp":" (Diapositiva 5, Presentación)"},{"eng":"Comment that a function is known that relates the pressure (in bars) to which an object that is submerged in water is subjected, with the depth (in meters) at which said object is:
","esp":"Comente que se conoce una función que relaciona la presión (en bares) a la que está sometido un objeto que se encuentra sumergido en el agua, con la profundidad (en metros) a la que está dicho objeto:
","tipo":"p"},{"esp":"\\[ P(h) = 0{,}1h+1 \\]
","tipo":"p","eng":"\\[ P(h) = 0{,}1h 1 \\]
"},{"esp":"Si desea justificar a sus estudiantes este modelo matemático, puede consultar los aspectos contextuales de esta situación, donde se explica cómo se construye el modelo a partir de los conceptos físicos involucrados. Sin embargo, tenga presente que el objetivo de la clase es abordar la función inversa.\n
","tipo":"p","eng":"If you want to justify this mathematical model to your students, you can consult the contextual aspects of this situation, which explains how the model is built from the physical concepts involved. However, keep in mind that the goal of the class is to cover the inverse function.\n
"},{"tipo":"h4","eng":"(Slide 6, Presentation)","esp":"(Diapositiva 6, Presentación)"},{"recurso":"Destacado","eng":"Lead a discussion in which your students acknowledge that:
\n- \n
- The function \\(P(h)\\) allows you to calculate the pressure \\(P\\) given a value of depth \\(h\\), that is, the pressure is a function of depth. \n
- However, we are looking to estimate the depth from a certain pressure, which is the inverse problem. \n
Propicie una discusión en la que sus estudiantes reconozcan que:
\n- \n
- La función \\(P(h)\\) permite calcular la presión \\(P\\) dado un valor de profundidad \\(h\\), es decir, la presión está en función de la profundidad. \n
- Sin embargo, estamos buscamos estimar la profundidad a partir de una determinada presión, que es el problema inverso. \n
Plantee la siguiente pregunta;
","eng":"Ask the following question;
","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","eng":"How can we, from the function \\(P(h)\\), estimate the depth \\(h\\) knowing the pressure \\(P\\) at that depth?
","esp":"¿Cómo podemos, a partir de la función \\(P(h)\\), estimar la profundidad \\(h\\) conociendo la presión \\(P\\) a esa profundidad?
"},{"esp":"Comente que, para responder la pregunta anterior, es necesario analizar con mayor detalle la función \\(P(h)\\).
","tipo":"p","eng":"Comment that, in order to answer the previous question, it is necessary to analyze the function \\(P(h)\\) in more detail.
"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Construcción de Conocimientos","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositiva 7, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slide 7, Presentation)"},{"esp":"A continuación, entregue la Hoja de Actividades, y presente la Actividad 1. Pida a sus estudiantes que trabajen en las preguntas del ítem 1.
","eng":"Next, hand out the Activity Sheet, and present Activity 1. Ask your students to work on the questions from item 1.
","tipo":"p"},{"eng":"Activity 1
\nExplore the following resource GeoGebra that graphs the function \\(P(h) = 0{ ,}1h 1\\). The resource has a slider on the horizontal axis to vary the value of the depth \\(h\\). At the same time, using dotted lines, it shows the corresponding value of the pressure \\(P\\) on the vertical axis.\n
\n- \n
Move the slider on the GeoGebra resource to answer the following questions:
\n- \n
- Complete the following table:
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/imgs/tabla1.png\")
\n - What is the pressure (in bars) that a diver feels when diving to a depth of 65 meters? \n
- What is the minimum pressure (in bars) felt by a diver and at what depth is it reached? \n
- Complete the following table:
Actividad 1
\nExplora el siguiente recurso GeoGebra que grafica la función \\(P(h) = 0{,}1h + 1\\). El recurso tiene un deslizador en el eje horizontal para variar el valor de la profundidad \\(h\\). A la vez, mediante líneas punteadas, muestra el valor correspondiente de la presión \\(P\\) en el eje vertical. \n
\n- \n
Mueve el deslizador del recurso de GeoGebra para responder las siguientes preguntas:
\n- \n
- Completa la siguiente tabla:\n
- ¿Cuál es la presión (en bares) que siente un buceador cuando se sumerge hasta una profundidad de 65 metros? \n
- ¿Cuál es la presión (en bares) mínima que siente un buceador y a qué profundidad se alcanza? \n
- Completa la siguiente tabla:
Before moving on to the rest of Activity 1, have a debrief to share responses.
","esp":"Antes de continuar con el resto de la Actividad 1, realice una puesta en común para que compartan las respuestas.
"},{"eng":"(Slide 8, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 8, Presentación)"},{"eng":"- \n
- \n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/imgs/tabla2.png\")
\n- The resource indicates that the pressure at a depth of 65 m is \\(7{,}5\\) bar. \n
- The minimum depth a diver can be at is \\(0\\) meters, where \\(1\\) bar of pressure is experienced. \n
- \n
- \n
- \n
- El recurso indica que la presión a 65 m de profundidad es de \\(7{,}5\\) bar. \n
- La profundidad mínima a la que puede estar un buceador es a \\(0\\) metros, donde se experimenta \\(1\\) bar de presión. \n
A continuación, pida a sus estudiantes que respondan la pregunta del ítem 2 de la Actividad 1.\n
","tipo":"p","eng":"Next, ask your students to answer the question in item 2 of Activity 1.\n
"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":"Using the GeoGebra resource, answer the following question\n- Complete the following table:
","esp":"Usando el recurso GeoGebra, responde la siguiente pregunta\n- Completa la siguiente tabla:
\n"},{"eng":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/imgs/tabla3.png\")
Allow students time to answer this question and have them share how they arrived at their answers with the rest of the class.
","esp":"Dé un tiempo para que las y los estudiantes respondan esta pregunta y pídales que compartan cómo llegaron a sus respuestas con el resto del curso.
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","esp":"
","eng":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/imgs/tabla4.png\")
","recurso":"Respuesta"},{"eng":"(Slide 11, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 11, Presentación)"},{"eng":"\nBased on the discussion about how your students arrived at the depth values of the previous question, indicate that what was done was to identify the inverse relationship between these two variables, that is, for each of these pressure levels, find the depth that corresponds.
","tipo":"p","esp":"\nEn base a la discusión acerca de cómo sus estudiantes llegaron a los valores de profundidad de la pregunta anterior, indique que lo realizado fue identificar la relación inversa entre estas dos variables, es decir, para cada uno de esos niveles de presión, encontrar la profundidad que corresponde.
"},{"recurso":"Destacado","tipo":"momento","eng":"From the inverse relationship that your students were able to recognize in the resource, note that:
\nIn the previous question we saw that some values of \\(P\\) can be made to correspond to values of \\(h\\). This allows us to conjecture that, as there is a function \\(P(h)\\) that associates a pressure value \\(P\\) to each depth \\(h\\), it is possible to find a function \\(h(P) \\), which does the reverse path.
","esp":"A partir de la relación inversa que pudieron reconocer sus estudiantes en el recurso, haga notar que:
\nEn la pregunta anterior vimos que a algunos valores de \\(P\\) se les puede hacer corresponder valores de \\(h\\). Esto permite conjeturar que, tal como existe una función \\(P(h)\\) que a cada profundidad \\(h\\) le asocia un valor de presión \\(P\\), es posible encontrar una función \\(h(P)\\), que haga el camino inverso.
"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 12 a 15, Presentación)","eng":"(Slide 12 to 15, Presentation)"},{"recurso":"Destacado","esp":"A continuación, introduzca la definición de función inversa y explique en qué casos no existe función inversa.
\n- \n
- Si una función \\(f: A \\to B\\) cumple que todo elemento de \\(B\\) tiene una única preimagen, podemos definir su inversa, \\(f^{-1}: B \\to A\\) como: \\[ f^{-1}(y)=x \\Leftrightarrow y=f(x) \\] \n
- Lo anterior quiere decir que \\(f^{-1}(y)\\) es igual a la única preimagen de \\(y\\). Esto se puede visualizar en el siguiente diagrama sagital:
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/imgs/principal_tabla_1.png\")
\n - Lo anterior quiere decir que \\(f^{-1}(y)\\) es igual a la únicEn el caso de la función \\(P(h)\\), su inversa es la función \\(h(P)\\), es decir, si \\(f=P(h)\\) entonces \\(f^{-1}=h(P)\\).\n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/imgs/principal_tabla_6.png\")
\n - No todas las funciones tienen inversa:
\n- \n
- Puede suceder que la función \\(f\\) asigna a más de un elemento de \\(A\\) una misma imagen en \\(B\\). Eso implica que, \\(f^{-1}\\) no es función, ya que una preimagen en en\\(B\\) tendrá dos imágenes en \\(A\\).\n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/imgs/principal_tabla_7.png\")
\n - Puede haber una función \\(f\\) en la que algunos elementos de \\(B\\) no tenga preimagen en \\(A\\). Eso implica que, \\(f^{-1}\\) no es función, ya que no todos las preimágenes de \\(B\\) tendrán una imagen en \\(A\\).\n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/imgs/principal_tabla_8.png\")
\n
- \n\n
- Puede suceder que la función \\(f\\) asigna a más de un elemento de \\(A\\) una misma imagen en \\(B\\). Eso implica que, \\(f^{-1}\\) no es función, ya que una preimagen en en\\(B\\) tendrá dos imágenes en \\(A\\).\n
Next, introduce the definition of an inverse function and explain in which cases there is no inverse function.
\n- \n
- If a function \\(f: A \\to B\\) fulfills that every element of \\(B\\) has a unique preimage, we can define its inverse, \\(f^{-1}: B \\to A\\ ) as: \\[ f^{-1}(y)=x \\Leftrightarrow y=f(x) \\] \n
- The above means that \\(f^{-1}(y)\\) is equal to the unique preimage of \\(y\\). This can be visualized in the following sagittal diagram:
- The above means that \\(f^{-1}(y)\\) is equal to the unique. In the case of the function \\(P(h)\\), its inverse is the function \\(h(P )\\), that is, if \\(f=P(h)\\) then \\(f^{-1}=h(P)\\).\n\n
- Not all functions have an inverse:
\n- \n
- It can happen that the function \\(f\\) assigns to more than one element of \\(A\\) the same image in \\(B\\). That implies that \\(f^{-1}\\) is not a function, since a preimage in en\\(B\\) will have two images in \\(A\\).\n\n
- There may be a function \\(f\\) in which some elements of \\(B\\) do not have a preimage in \\(A\\). This implies that \\(f^{-1}\\) is not a function, since not all preimages of \\(B\\) will have an image in \\(A\\).\n\n
- \n\n
- It can happen that the function \\(f\\) assigns to more than one element of \\(A\\) the same image in \\(B\\). That implies that \\(f^{-1}\\) is not a function, since a preimage in en\\(B\\) will have two images in \\(A\\).\n
Next, introduce your students to item 1 of Activity 2 of the Activity Sheet:\n
","esp":"Luego, presente a sus estudiantes el ítem 1 de la Actividad 2 de la Hoja de Actividades:\n
","tipo":"p"},{"recurso":"Actividades","esp":"Actividad 2
\n- Determine una expresión algebraica que calcula la profundidad a la que se encuentra un buceador en función de la presión a la que está sujeto.
Activity 2
\n- Determine an algebraic expression that calculates the depth at which a diver is based on the pressure to which he is subjected.
Ask your students, from the expression \\(P = 0{,}1h 1\\), to solve for \\(h\\) as a function of \\(P\\), that is, to find an expression for \\ ()\\). The students should arrive at the expression \\(h= 10P - 10\\).
","esp":"Solicite a sus estudiantes que, a partir de la expresión \\(P = 0{,}1h + 1\\), despejen \\(h\\) en función de \\(P\\), es decir, encontrar una expresión para \\(h(P)\\). Las y los estudiantes deberían llegar a la expresión \\(h= 10P - 10\\).
","tipo":"p"},{"esp":"Ayúdelos a entender que la expresión anterior se puede escribir como la función \\[h(P) = 10P - 10\\] \n
","tipo":"p","eng":"Help them understand that the above expression can be written as the function \\[h(P) = 10P - 10\\]\n
"},{"esp":"(Diapositiva 18, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slide 18, Presentation)"},{"esp":"\nLuego, indique que usen la función \\(h(P) = 10P - 10\\), para responder el ítem 2 y 3 de la Actividad 2 de la Hoja de Actividades:\n
","tipo":"p","eng":"\nThen, tell them to use the function \\(h(P) = 10P - 10\\), to answer item 2 and 3 of Activity 2 of the Activity Sheet :\n
"},{"esp":"Actividad 2
\n- \n
- Completa los valores faltantes en la tabla
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/imgs/tabla5.png\")
\n - Un nuevo equipamiento permite a los buceadores sumergirse en el agua y funcionar de manera segura hasta profundidades donde la presión es de \\(10\\) bares. Usa la función \\(h(P)\\) para calcular la profundidad máxima a la que pueden llegar los buceadores con este nuevo equipamiento.\n \n
Activity 2
\n- \n
- Fill in the missing values in the table
\n - New equipment allows divers to submerge in the water and operate safely down to depths where the pressure is \\(10\\) bar. Use the function \\(h(P)\\) to calculate the maximum depth that divers can go with this new equipment.\n \n
Analice las respuestas con sus estudiantes.
","tipo":"p","eng":"Discuss the responses with your students.
"},{"eng":"- Since the new equipment can work up to \\(10\\) bars, just plug this value into the function \\(h(P)\\) and obtain that the new maximum depth that they can reach is \\(90\\) meters.
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/imgs/tabla6.png\")
- Dado que el nuevo equipamiento puede funcionar hasta \\(10\\) bares, basta con reemplazar este valor en la función \\(h(P)\\) y obtener que la nueva profundidad máxima a la que pueden llegar son \\(90\\) metros.
Based on what was done in class, systematize the following ideas:
","esp":"En base a lo realizado en clases, sistematice las siguientes ideas:
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"- Tal como existe una función \\(P(h)\\) que a cada profundidad \\(h\\) le asocia un valor de presión \\(P\\), es posible encontrar una función \\(h(P)\\), que haga el camino inverso. Es decir, que para cada presión \\(P\\) pueda hacer corresponder un valor de profundidad \\(h\\).\n
- Lo anterior es posible porque a cada valor de \\(h\\) le corresponde una y solo una preimagen \\(P\\).\n
- Since there is a function \\(P(h)\\) that associates a pressure value \\(P\\) to each depth \\(h\\), it is possible to find a function \\(h(P )\\), which does the reverse path. That is to say, that for each pressure \\(P\\) it can match a value of depth \\(h\\).\n
- The above is possible because each value of \\(h\\) corresponds to one and only one preimage \\(P\\).\n
- If a function \\(f: A \\to B\\) fulfills that every element of \\(B\\) has a unique preimage, we can define its inverse, \\(f^{-1}: B \\ to A\\) as: \\[ f^{-1}(y)=x \\Leftrightarrow y=f(x) \\]\n
- Si una función \\(f: A \\to B\\) cumple que todo elemento de \\(B\\) tiene una única preimagen, podemos definir su inversa, \\(f^{-1}: B \\to A\\) como: \\[ f^{-1}(y)=x \\Leftrightarrow y=f(x) \\]\n
- Para encontrar la expresión algebraica de la función inversa de \\(P(h)\\) despejamos \\(h\\) en función de \\(P\\), obteniendo\\[ h(P) = 10P - 10 \\]\n
- To find the algebraic expression of the inverse function of \\(P(h)\\) we solve for \\(h\\) as a function of \\(P\\), obtaining \\[ h(P) = 10P - 10 \\]\n
Introduce your students to the How To Guide. The objective of this document is for students to analyze and apply what they have learned about the inverse function in a new context: the equivalences between temperature scales.\n
","tipo":"p","esp":"Presente a sus estudiantes la Guía práctica. Este documento tiene por objetivo que las y los estudiantes analicen y apliquen lo aprendido acerca de la función inversa en un nuevo contexto: las equivalencias entre escalas de temperatura. \n
"},{"eng":"Provide link to GeoGebra resource https://www.geogebra.org/m/zyafuf3j","esp":"Entregue el link del recurso GeoGebra https://www.geogebra.org/m/zyafuf3j asociado a esta guía y dé tiempo para que sus estudiantes se familiaricen con el recurso y respondan las preguntas del ítem 1. Lo importante de este ítem es que los y las estudiantes noten que existe una relación entre estas dos escalas de temperaturas, en particular, que es posible obtener la escala Fahrenheit a partir de los grados Celsius.","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"For item 2, guide your students in the first question so that they can correctly calculate the inverse of the function \\(F(C)\\), especially since this inverse function can be expressed with decimals, fractions or the use of parentheses. The rest of the questions in this item are similar to item 1 and to what was done in the Activity Sheet, so it allows reinforcing what has been learned in this situation.
","esp":"Para el ítem 2, guíe a sus estudiantes en la primera pregunta para que logren calcular de manera correcta la inversa de la función \\(F(C)\\), sobre todo, porque esta función inversa puede expresarse con decimales, fracciones o el uso de paréntesis. El resto de las preguntas de este ítem son análogas al ítem 1 y a lo realizado en la Hoja de Actividades, por lo que permite reforzar lo aprendido en esta situación.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/pdfs/Guia%20Practica%20II_Unidad2_OA5.pdf","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/pdfs/Guia%20Practica%20II_Unidad2_OA5.pdf","recurso":"ModalGP","titulo":{"esp":"Ver Guía Práctica","eng":"See Practical Guide"}}],"visible":true}},"visible":true},"visible":true,"recursosProyecto":[],"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Función","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"For this situation it is necessary to remember the function definition.
","tipo":"p","esp":"Para esta situación se hace necesario recordar la definición de función.
"},{"esp":"Función: Una función es una regla o correspondencia qué a cada elemento (preimagen) de una colección o conjunto de entradas, le asigna un único elemento (imagen) de una colección o conjunto de salidas.
","eng":"Function: A function is a rule or correspondence which assigns to each element (preimage) of a collection or set of inputs a single element (image) of a collection or set of outputs.
","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"Función inversa","eng":"inverse function"},{"tipo":"p","esp":"Si una función \\(f: A \\to B\\) cumple que todo elemento de \\(B\\) tiene una única preimagen, podemos definir su inversa, \\(f^{-1}: B \\to A\\) como:
","eng":"If a function \\(f: A \\to B\\) fulfills that every element of \\(B\\) has a unique preimage, we can define its inverse, \\(f^{-1}: B \\to A\\ ) as:
"},{"tipo":"p","eng":"\\[ f^{-1}(y)=x \\Leftrightarrow y=f(x) \\]
","esp":"\\[ f^{-1}(y)=x \\Leftrightarrow y=f(x) \\]
"},{"esp":"Esto quiere decir que \\(f^{-1}(y)\\) es igual a la única preimagen de \\(y\\). Esto se puede visualizar en el siguiente diagrama sagital:\n
","tipo":"p","eng":"This means that \\(f^{-1}(y)\\) is equal to the unique preimage of \\(y\\). This can be visualized in the following sagittal diagram:\n
"},{"tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/imgs/principal_tabla_1.png","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/imgs/principal_tabla_1.png","escala":"25","alinea":"texto-centrado"},{"tipo":"p","esp":"En la expresión algebraica para denotar a \\(f^{-1}(y)\\) se puede reemplazar la variable \\(y\\) por cualquier otra. Es usual reemplazar esta variable por \\(x\\), para representar la función inversa de \\(f(x)\\) como \\(f^{-1}(x)\\). Esto permite graficar ambas funciones en el mismo sistema de coordenadas, de modo que el dominio de las dos funciones se encuentre en el eje horizontal.
","eng":"In the algebraic expression to denote \\(f^{-1}(y)\\) you can replace the variable \\(y\\) by any other. It is usual to replace this variable by \\(x\\), to represent the inverse function of \\(f(x)\\) as \\(f^{-1}(x)\\). This allows both functions to be graphed in the same coordinate system, so that the domain of the two functions lies on the horizontal axis.
"},{"esp":"Una forma de verificar si una función tiene inversa, es que cumpla con ser inyectiva (todo elemento del conjunto \\(A\\) tiene una única imagen en el conjunto \\(B\\)) y sobreyectiva (todo elemento del conjunto \\(B\\) tiene una única preimagen en \\(A\\)). Si \\(f\\) no cumple con alguna de estas condiciones \\(f^{-1}\\) no es función. Esto se puede representar como se muestra a continuación:\n
","tipo":"p","eng":"One way to verify if a function has an inverse, is that it meets the requirement of being injective (every element of the set \\(A\\) has a unique image in the set \\(B\\)) and surjective (every element of the set \\(B\\) has a unique preimage in \\(A\\)). If \\(f\\) does not meet any of these conditions \\(f^{-1}\\) is not a function. This can be represented as shown below:\n
"},{"eng":"- \\(f\\) is not injective \\(\\Rightarrow f^{-1}\\) is undefined, since the image \\(a\\) has two preimages associated with it: ","tipo":"p","esp":"
- \\(f\\) no es inyectiva \\(\\Rightarrow f^{-1}\\) no está definida, ya que la imagen \\(a\\) tiene asociada dos preimágenes:
- \\(f\\) is not surjective \\(\\Rightarrow f^{-1}\\) is undefined, since the element \\(c\\) does not have a preimage:< /li>
- \\(f\\) no es sobreyectiva \\(\\Rightarrow f^{-1}\\) no está definida, ya que el elemento \\(c\\) no tiene una preimagen:
- The density of the sea is approximately \\(1 \\ 030 \\frac{\\text{kg}}{\\text{m}^3}\\).
- Acceleration due to gravity \\(9{,}8 \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\).
- And the atmospheric pressure is about \\(101 \\ 325 \\text{ Pa}\\).
- La densidad del mar es de aproximadamente \\(1 \\ 030 \\frac{\\text{kg}}{\\text{m}^3}\\).
- La aceleración de gravedad \\(9{,}8 \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\).
- Y la presión atmosférica es de aproximadamente \\(101 \\ 325 \\text{ Pa}\\).
- graphs: the solution must be considered to correspond to the point of intersection of two lines in the plane.\n
- algebraic: the value of the unknowns is sought through the algebraic manipulation of the equations.
- gráficos: se debe considerar que la solución corresponde al punto de intersección de dos rectas en el plano.\n
- algebraicos: se busca el valor de las incógnitas a través de la manipulación algebraica de las ecuaciones.
- Población. Estadísticamente, este término se refiere al conjunto de elementos que se quiere investigar, los que pueden ser objetos, acontecimientos, situaciones, grupos de personas, animales, etc.
- \n\nNatalidad. La natalidad es una medida demográfica que se refiere al número de nacimientos en una población durante un período de tiempo específico, generalmente un año. \n
- \nMortalidad. Tasa de muertes producidas en una población durante un tiempo dado, en general o por una causa determinada.\n
- \nTasa. Relación entre dos magnitudes. En esta actividad, las magnitudes son: cantidad de nacimientos o muertes y el periodo de tiempo correspondiente a un año calendario y serán expresadas en porcentajes. A diferencia de esta notación, en ocasiones cuando se refiere a cantidad de personas que habitan un determinado lugar geográfico, es una relación que se expresa en personas por cada mil habitantes.\n
- Índice. Expresión numérica de la relación entre dos cantidades. En esta actividad, haremos uso de índices para cuantificar tasas, como las de natalidad y mortalidad.
- Population. Statistically, this term refers to the set of elements to be investigated, which can be objects, events, situations, groups of people, animals, etc.
- \n\nNatality. Proportional number of births in a given population and time.\n
- \nMortality. Rate of deaths produced in a population during a given time, in general or from a specific cause.\n
- \nRate. Relationship between two magnitudes. In this activity, the magnitudes are: number of births or deaths and the period of time corresponding to a calendar year and will be expressed in percentages. Unlike this notation, sometimes when it refers to the number of people who inhabit a certain geographical place, it is a relationship that is expressed in people per thousand inhabitants.\n
- Index. Numerical expression of the relationship between two quantities. In this activity, we will use indices to quantify rates, such as birth and death rates.
- Do you know what an ecosystem is?\n
- Do you think there is a relationship between the number of living organisms between two consecutive years?
- ¿Conoces qué es un ecosistema?\n
- ¿Crees que hay una relación entre la cantidad de organismos vivos entre dos años consecutivos?
- What elements affect the relationship between the number of living organisms of a species in two consecutive years?
- \nDoes the birth and death rate affect this relationship?\n
- ¿Qué elementos afectan la relación entre la cantidad de organismos vivos de una especie en dos años consecutivos?
- \n¿Afecta la tasa de natalidad y mortalidad a esta relación?\n
- cada año nace cierta cantidad de patos, considerados jóvenes.\n
- cada año fallecen patos adultos y jóvenes, debido a diferentes factores.\n
- hay una fracción de patos jóvenes que se convierten en adultos, durante un año.\n
- los patos adultos se reproducen de manera que aportan, en promedio, una cantidad anual de crías (jóvenes) a la población.
- each year a certain number of ducks are born, considered young.\n
- adult and young ducks die each year, due to different factors.\n
- there is a fraction of young ducklings that become adults, within a year.\n
- Adult ducks reproduce in such a way that they contribute, on average, an annual number of young (young) to the population.
- What mathematical concepts do you think could help us make these estimates?
- ¿Qué conceptos matemáticos crees que podrían ayudarnos a hacer estas estimaciones?
- ¿Cuál será la población de patos en el 2024?
- \n¿Cuál habrá sido la población de patos en el 2021?\n
- What will the duck population be in 2024?
- \nWhat will the duck population have been in 2021?\n
- La cantidad de patos jóvenes fallecidos el 2023 es \\(1769 \\cdot 8% = 141,52 \\). \n
- La cantidad de crías jóvenes para el 2023 es \\(187 \\cdot 9 = 1683\\). \n
- La cantidad de patos jóvenes que seguirán siendo jóvenes el 2024 es \\(1769 \\cdot 0,75 = 1326,75\\). \n
- La cantidad de patos adultos fallecidos el 2023 es \\(187 \\cdot 10% = 18,7\\). \n
- La cantidad de patos jóvenes que se convertirán en adultos el 2023 es \\(0,25 \\cdot 1769 = 442,25\\). \n
- Opción 1. Si truncamos a 12, habrá entonces 12 · 4 = 48 crías.\n
- Opción 2. Al considerar 12,5 patos vivos, las crías serían 12,5 · 4 = 50 .
- Option 1. If we truncate to 12, then there will be 12 · 4 = 48 offspring.\n
- Option 2. When considering 12.5 live ducks, the hatchlings would be 12.5 · 4 = 50 .
- What are the differences between the two procedures?
- \nWhat convinced you that procedure [1 or 2] is correct?
- \nI'm not sure I understand you, can you explain it again step by step?\n
- ¿Qué diferencias hay entre los dos procedimientos?
- \n¿Qué fue lo que te convenció de que el procedimiento [1 o 2] es correcto?
- \nNo estoy seguro de haberte entendido, ¿puedes volver a explicarlo paso a paso?\n
- In the expression of A2024 the total number of adults from the previous year A2024 was not added i>.
- In the expression J2024 the total number of deceased young ducks was not subtracted.\n
- En la expresión de A2024 no se sumó el total de adultos del año anterior A2024.
- En la expresión J2024 no se restó el total de patos jóvenes fallecidos.\n
- A2024 : cantidad de patos adultos el 2024.\n
- J2024 : cantidad de patos jóvenes el 2024
- Y2024 : number of adult ducks in 2024.\n
- J2024 : number of young ducklings in 2024
- A2024 depends on A2023; their mortality rate and how many young ducklings become adults.\n
- J2024 depends on its 2023 mortality rate, how many young ducks remain young, and how many ducklings are born.\n
- A2024 depende de A2023; de su tasa de mortalidad y de cuántos patos jóvenes se transforman en adultos.\n
- J2024 depende de su tasa de mortalidad 2023, de cuántos patos jóvenes siguen siendo jóvenes y de cuántos patos nacen.\n
- Why is it necessary to use subscript notation on variables A and J?
- \nWhat we got is a system of equations?
- \nWhat are the unknowns in these equations?\n
- ¿Por qué es necesario utilizar la notación con subíndices en las variables A y J?
- \n¿Lo que obtuvimos es un sistema de ecuaciones?
- \n¿Cuáles son las incógnitas de estas ecuaciones?\n
- We have done the work of mathematically modeling a real problem in the context of population growth in an ecosystem. In the process it was necessary to use algebraic notation to summarize and facilitate the manipulation of terms, which allowed us to propose a system of linear equations from which we obtained the quantities requested.
- \n\nThere are several algebraic methods for solving systems of linear equations with 2 unknowns and 2 equations. On this occasion, we use the “substitution method”. Remember that systems can also be solved graphically, determining the intersection between the two lines involved.
- \n\nThe expressions raised in this class are called recursive, because there is information dependency between one period of time and the next. We could not have determined information for 2021 without first calculating the data for 2022.
- \n\nThe problem we are addressing is a simplification of a real problem of population growth, since these depend on many more variables, however, it allowed us to capture the essence of this type of problem.\n
- Hemos hecho el trabajo de modelar matemáticamente un problema real en el contexto del crecimiento de la población en un ecosistema. En el proceso fue necesario utilizar notación algebraica para resumir y facilitar la manipulación de términos, lo que nos permitió plantear un sistema de ecuaciones lineales a partir del cual, obtuvimos las cantidades pedidas.
- \n\nExisten diversos métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2 incógnitas y 2 ecuaciones. En esta oportunidad, utilizamos el “método de sustitución”. Recordemos que también se pueden resolver sistemas gráficamente, determinando la intersección entre las dos rectas involucradas.
- \n\nLas expresiones planteadas en esta clase se denominan recursivas, porque existe dependencia de la información entre un período de tiempo y el siguiente. No podríamos haber determinado información del 2021 sin haber calculado antes los datos del 2022.
- \n\nEl problema que abordamos es una simplificación de un problema real de crecimiento poblacional, pues estos dependen de muchas más variables, sin embargo, permitió capturar la esencia de este tipo de problemas.\n
- Si la relación lineal es positiva, el coeficiente de correlación \\(r_{xy}>0 \\) aumenta al remover el dato atípico.
- \nSi la relación lineal es negativa, el coeficiente de correlación \\(r_{xy}<0 \\) disminuye al remover el dato atípico.
- If the linear relationship is positive, the correlation coefficient \\(r_{xy}"},{"esp":"Dato atípico que forma parte de la tendencia lineal","tipo":"h4","eng":"Atypical data that is part of the linear trend"},{"esp":"Al remover un dato atípico en este tipo de situaciones, el coeficiente de correlación cambia en menor medida que en el caso anterior, lo que hace difícil estimar a priori si aumentará o disminuirá","tipo":"p","eng":"By removing an outlier in this type of situation, the correlation coefficient changes to a lesser extent than in the previous case, which makes it difficult to estimate a priori whether it will increase or decrease."},{"escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/exp%20oceanicas/img/4%20%281%29.png","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/exp%20oceanicas/img/4%20%281%29.png","caption":{"eng":"","esp":""}},{"eng":"It is difficult to estimate whether the correlation coefficient increases or decreases by removing the outliers.","tipo":"p","esp":"Es difícil estimar si el coeficiente de correlación aumenta o disminuye al remover el dato atípico. "},{"tipo":"p","eng":"When analyzing the relationship between two variables, it is always important to take into account the context and not just the value of the correlation coefficient. For example, if it is suspected that the outlier may be due to a recording error, it may make sense to remove it when calculating the correlation coefficient.","esp":"Al analizar la relación que se da entre dos variables es importante siempre tener en cuenta el contexto y no solo el valor del coeficiente de correlación. Por ejemplo, si se sospecha que el dato atípico puede deberse a un error en el registro, puede hacer sentido removerlo al calcular el coeficiente de correlación. "},{"esp":"Cálculo del coeficiente de correlación en Hoja de cálculo ","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"
En la celda donde desea calcular el coeficiente de correlación se debe escribir la fórmula:
\n=COEF.DE.CORREL(rango_variable1; rango_variable 2)- En \"rango_variable1\" se deben seleccionar todas las celdas que contiene los datos de la variable 1.\n
- En \"rango_variable2\" se deben seleccionar todas las celdas que contiene los datos de la variable 2.
\n\nAl presionar Enter, se mostrará en la celda el coeficiente de correlación.Por ejemplo, considerando la hoja 2 de la Base de Datos “Datos Tara Ocean” se puede calcular el coeficiente de correlación entre la Temperatura y el microorganismo Arquea (Archaea) de la siguiente manera:\n\n =COEF.DE.CORREL(B3:B60; E3:E60)
\n\nTara Ocean ha proporcionado valiosos datos y conocimientos sobre la vida marina y los océanos en general. Su trabajo ha contribuido a la conciencia pública sobre la importancia de los océanos y la necesidad de proteger y conservar estos ecosistemas vitales.\n\n","eng":"The Tara ship is a research schooner that has state-of-the-art equipment and technology to carry out marine research around the world. During the expeditions, the scientists on board collect samples of water, plankton, microorganisms and other marine organisms. These samples are used to investigate genetic diversity, chemical composition, and other aspects of the ocean.
\n\nTara Ocean has provided valuable data and insights into marine life and the oceans in general. His work has contributed to public awareness of the importance of the oceans and the need to protect and conserve these vital ecosystems."},{"tipo":"h3","esp":"El microbioma del océano","eng":"The ocean microbiome"},{"tipo":"p","esp":"El 70% de la superficie de la Tierra está formada por mares y océanos y en ellos habitan la mayor parte de formas de vida del planeta, los organismos microscópicos como el plancton. ","eng":"70% of the Earth's surface is made up of seas and oceans and most of the planet's life forms inhabit them, the microscopic organisms of marine plankton. Plankton is made up of microscopic organisms: viruses, bacteria, archaea, protists, and small multicellular eukaryotes."},{"tipo":"h4","esp":"Dominios de la vida: Eucariotas, arqueas y bacterias ","eng":"Domains of Life: Eukaryotes, Archaea, and Bacteria"},{"tipo":"p","esp":"Los dominios de la vida son una clasificación utilizada en la biología para agrupar a los seres vivos en categorías principales basadas en sus características y relaciones evolutivas. En la actualidad, se reconocen tres dominios principales de la vida: arqueas, bacterias y eucariotas.","eng":"The samples of marine biodiversity (plankton) collected relate the three domains into which life can be divided according to the order of branching of the lineages during evolutionary history:
- Archaea, Bacteria and Eukaryota\n\nArchaea and Bacteria: Cells do not contain a defined nucleus, Archaea live in extreme environments unlike bacteria which inhabit a wide variety of environments, they reproduce asexually by dividing into two and cells from both domains have cell walls, although they differ in their composition and structure.
- Eukaryota: Eukaryotes include multicellular organisms, such as animals, plants, and fungi, as well as unicellular organisms, such as protozoa and algae. which involves the combination of genetic material from two parents.\n
- Dominio Bacteria: En este dominio se incluyen las bacterias, que son organismos microscópicos unicelulares. Las bacterias son muy diversas y se encuentran en una amplia variedad de entornos, desde suelos hasta ambientes extremos, como aguas termales y hábitats salinos.\n
- \nDominio Arqueas: microorganismos unicelulares, similares a las bacterias pero con diferencias fundamentales en su bioquímica y genética. Se encuentran en entornos extremos, como aguas termales, salinas y ambientes ácidos, pero también se pueden encontrar en entornos más comunes.\n
- \nDominio Eucariotas: Los eucariotas incluyen organismos multicelulares, como animales, plantas y hongos, así como organismos unicelulares, como protozoos y algas Los eucariotas sí contienen núcleo y pueden reproducirse tanto asexualmente como sexualmente, lo que implica la combinación de material genético de dos progenitores.\n
A variety of eukaryotes can be found in the plankton, such as algae that carry out photosynthesis and contribute to primary production in aquatic ecosystems. We also find some species of archaea, such as the methanogenic archaea present in marine sediments. For their part, bacteria play an essential role as components of zooplankton and bacterioplankton, contributing to biogeochemical cycles and being key in the decomposition of organic matter. Taken together, plankton represent a complex community where eukaryotes, archaea, and bacteria interact and perform vital roles in aquatic ecosystems.
"},{"tipo":"p","esp":"En el plancton se puede encontrar una variedad de eucariotas, como algas que realizan la fotosíntesis y contribuyen a la producción primaria en los ecosistemas acuáticos. También encontramos algunas especies de arqueas, como las arqueas metanogénicas presentes en sedimentos marinos. Por su parte, las bacterias desempeñan un papel esencial como componentes del zooplancton y el bacterioplancton, contribuyendo a los ciclos biogeoquímicos y siendo clave en la descomposición de la materia orgánica. En conjunto, el plancton representa una comunidad compleja donde eucariotas, arqueas y bacterias interactúan y desempeñan funciones vitales en los ecosistemas acuáticos.
","eng":"Ocean samples for activity"},{"eng":"The scenario “Oceanographic Expeditions” uses data from ocean samples collected by Tara on these and other expeditions in various locations around the world. A total of 173 samples were collected, from which non-polar and superficial samples are selected, thus reducing them to 61 samples. In each of these samples, ambient temperature (°C), oxygen (umol/kg) and the three biodiversity variables (Archaea, Bacteria and Eukaryota) were identified and recorded. The distribution of these samples is presented below.","tipo":"h4","esp":"Muestras oceánicas para la actividad"},{"tipo":"p","esp":"En la situación “Expediciones oceanográficas” se utilizan datos de las muestras oceánicas recolectadas por Tara en estas y otras expediciones en diversas ubicaciones del mundo. Se recolectó un total de 173 muestras de las que se seleccionan las muestras no polares y superficiales por lo que se reducen a 61 muestras. En cada una de estas muestras se identificó y registró temperatura ambiental(°C), Oxígeno (umol/kg) y las tres variables de biodiversidad (Arquea, Bacteria y Eucariota) a continuación se presenta la distribución de estas muestras. \n\n","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/exp%20oceanicas/img/10%20%281%29.png"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","eng":"","escala":"50","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/exp%20oceanicas/img/10%20%281%29.png"}],"visible":true}},"visible":true},"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Momento de enganche","eng":"latching moment"},{"tipo":"h4","eng":"(Slides 2 and 3, Presentation)","esp":"(Diapositivas 2 y 3, Presentación)"},{"tipo":"p","eng":"Present the Video “Tara Ocean”. Then ask students to share their thoughts on the video. Solve their doubts and ask questions that help them get involved with the activity, such as:","esp":"Presente el Video “Cambio climático y biodiversidad marina”. El propósito de este video es que los y las estudiantes se involucren en la actividad dada la importancia del plantón en la vida del planeta. Preguntas como las siguientes pueden ayudar a esto:"},{"esp":"- ¿Cuál es la importancia de los océanos?\n
- ¿Por qué es importante estudiar el plancton? \n
- What is the importance of the oceans?\n
- What does the Tara Ocean Foundation do?\n
- Why is it important to study plankton?\n
\nPresent sheet 1 of the Database “Tara Ocean Foundation Data” to your students. Ask your students questions to ensure understanding of the database and to reflect on the work that follows, the following questions are suggested:","esp":"Específicamente, se cuenta con las variables Temperatura y Oxígeno, así como las variables Arquea, Bacteria y Eucariota, que representan tres tipos de microorganismos marinos. \nComparta con sus estudiantes la Base de Datos “Datos Tara Ocean”. Es importante que dedique un tiempo a explicar el significado de cada una de las columnas de esta base. Para esto revisen la diapositiva 4.\n\n
\nRealice preguntas a sus estudiantes para asegurar la comprensión y la interpretación de los datos de la de planilla de cálculo relacionados a las variables medioambientales y de biodiversidad, que se muestran en la hoja 1 (Tarea matemática A), por ejemplo:","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","esp":"- ¿Qué tipo de variables se presentan?\n
- ¿Qué representa el valor de la celda B9?\n
- ¿Qué representa la fila 5?\n
- What kind of variables are there?\n
- What does the value in cell B9 mean?\n
- What does row 5 mean?\n
- Variables de tipo medioambientales (temperatura y oxígeno) y las variables del tipo biodiversidad (Arquea, Bacteria y Eucariota).\n
- La celda B9 significa que la muestra TSC027 tenía una temperatura de 27,3 grados.\n
- La fila 5 muestra los datos del oxígeno, temperatura, Arquea, Bacteria y eucariota para la muestra TSC016.\n
\nDada la cantidad de datos y su complejidad se trabajará con planillas de cálculo, particularmente con la herramienta de Excel COEF.DE.CORREL para determinar los coeficientes de correlación entre cada una de las variables (Tarea matemática B). En la diapositiva 5 hay un ejemplo que ilustra el uso de la herramienta. \n
\nEn lo que sigue, sus estudiantes deberían investigar las posibles correlaciones usando esta herramienta. Pídales resolver la pregunta 1 de la Hoja de Actividades:"},{"eng":"1. How is the linear correlation between two variables calculated?","tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"1. Determina correlaciones para las variables de la Base de datos “Datos Tara Ocean”."},{"eng":"Through this question, it seeks to activate the previous knowledge of the students. They are expected to mention that linear correlation can be measured by means of the correlation coefficient and to indicate the procedure for calculating it.\n\n
Then, it is suggested to ask:","esp":"Se espera que ellos exploren las distintas variables y sus correlaciones. En el caso que no cuente con computadores para cada estudiante, puede proyectar la hoja 2 y explorar de manera conjunta las posibles correlaciones. \n
\nMonitoree el trabajo de las y los estudiantes y luego valide en plenaria las correlaciones que sus estudiantes calcularon. Resguarde que se discuta el sentido de cada correlación calculada, por ejemplo, ","tipo":"p"},{"eng":"Considering the data, could you manually calculate the correlation coefficients involved?","tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"- ¿Por qué les pareció interesante calcularla?
- \n¿Qué información entregan los coeficientes de correlación que determinaron?\n
- ¿Se relacionan los valores de las correlaciones con los gráficos?
\na) ¿Qué observas en relación con los coeficientes de correlación?
\nb) ¿Qué nos dicen los signos de los coeficientes?, ¿y su magnitud?\n\n","eng":"","recurso":"Actividades"},{"tipo":"p","esp":"Se espera que concluyan que las variables que tienen una relación más fuerte son Temperatura y abundancia de Eucariota (con un coeficiente de correlación de -0,33). El signo del coeficiente indica que a mayor temperatura se encontrarán menos microorganismos Eucarióticos. \n
\nSi bien las otras correlaciones son aún más pequeñas, las y los estudiantes podrían plantear análisis similares al anterior, por ejemplo, que a mayor temperatura habrá mayores concentraciones de bacterias (coeficiente de correlación de 0,12). \n
\nPuede completar las teorías de sus estudiantes con algunos datos como: en aguas frías, como las regiones polares, hay una menor diversidad bacteriana en comparación con las aguas cálidas de los trópicos. Las bacterias tienen mayor capacidad para adaptarse a condiciones medioambientales.\n
\nEn lo que sigue, para contrastar sus predicciones e interpretaciones de las correlaciones se van a graficar los datos. Para ello, presente la hoja 3 de la Base de Datos “Datos Tara Ocean” y proponga preguntas como las siguientes:","eng":""},{"tipo":"momento","esp":"- ¿Qué les parecen los gráficos?\n
- ¿Son coherentes con sus interpretaciones de los coeficientes de correlación?\n
\na) ¿Qué pasaría con las correlaciones si se quitan los datos atípicos?
\nb) ¿A qué crees que se deben los datos atípicos?\n","tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Dé tiempo para que sus estudiantes discutan en parejas esta actividad.
\n\nLas y los estudiantes deberían concluir que depende del dato atípico que se extraiga. Pregunte a sus estudiantes por un dato atípico y quítenlo de los datos. Para esto pida realizar la parte 4 de la Hoja de Actividades."},{"recurso":"Actividades","eng":"","esp":"4. Trabaja en lo siguiente:
\na) Observa que el dato TSC126 es atípico cuando se observa el gráfico de Oxígeno versus Eucariota. Quita ese dato y analiza cómo cambia el coeficiente de correlación sin él.
\nb) Observa que el dato TSC140 es atípico cuando se observa el gráfico de Oxígeno versus Eucariota. Quita ese dato y analiza cómo cambia el coeficiente de correlación sin él.\n","tipo":"momento"},{"eng":"","esp":"4.
\na) El coeficiente de correlación cambia de 0,28 a 0,35, es decir, la correlación aumenta.
\nb) El coeficiente de correlación cambia de 0,28 a 0,21, es decir, la correlación disminuye.\n","recurso":"Respuesta","tipo":"momento"},{"esp":"Concluya, en conjunto a sus estudiantes, que si el dato atípico se aleja de la tendencia lineal, es usual que la magnitud del coeficiente de correlación aumente, ya que la correlación lineal es más fuerte. En cambio, si el dato atípico forma parte de la tendencia lineal, es difícil estimar si el coeficiente de correlación aumenta o disminuye al remover el dato atípico.
\n\nMotive a sus estudiantes a realizar el mismo trabajo con otros valores atípicos. Además, recopile y discuta las respuestas de sus estudiantes respecto de por qué se podrían haber dado los datos atípicos.\n","tipo":"p","eng":""}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Sistematización","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"(Slides 20 to 24, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 20 a 24, Presentación)"},{"eng":"Systematize the ideas worked on in class, it is proposed to address the following points:\n- The use of software is useful for the calculation of the correlation coefficient, since it facilitates and speeds up the calculation process, especially when there are large data sets. The software allows you to automate the calculations, avoiding manual errors and providing accurate results quickly.
- \n\nIn the variables analyzed, those with the highest linear correlation is Temperature with the Eukaryota microorganism. Furthermore, it is observed that the correlation increases when the outliers are removed.\n
- \nOutliers can affect the analysis and interpretation of the value of the linear correlation coefficient. The degree of influence that not considering the outlier will have on the value of the linear correlation coefficient will depend on its position in the scatter plot. At least the following two cases can be distinguished:\n
- If the outlier moves away from the linear trend, it is usual for the magnitude of the correlation coefficient to increase, since the linear correlation is stronger.\n
- If the outlier is part of the linear trend, it is difficult to estimate whether the correlation coefficient increases or decreases by removing the outlier.
- \nIt is important to assess the context of the data (data in statistics are \"numbers in context\", not single values). Sometimes there are inaccurate measurements or other factors that affect the results.\n
- It is essential that this research is carried out, in order to promote awareness and protection of the oceans.
- El uso de softwares es útil para el cálculo del coeficiente de correlación, ya que facilita y agiliza el proceso de cálculo, especialmente cuando se tienen conjuntos de datos grandes. Los softwares permiten automatizar los cálculos, evitando errores manuales y proporcionando resultados precisos de manera rápida.
- \n\nEn las variables analizadas, las que presentan mayor correlación lineal es la Temperatura con el microorganismo Eucariota. Además, se observa que la correlación aumenta cuando se quitan los datos atípicos.\n
- \nLos datos atípicos pueden afectar el análisis y la interpretación del valor del coeficiente de correlación lineal. El grado de influencia que tendrá no considerar el dato atípico sobre el valor del coeficiente de correlación lineal dependerá de su posición en el gráfico de dispersión. Se pueden distinguir al menos los siguientes dos casos:\n
- Si el dato atípico se aleja de la tendencia lineal, es usual que la magnitud del coeficiente de correlación aumente, ya que la correlación lineal es más fuerte.\n
- Si el dato atípico forma parte de la tendencia lineal, es difícil estimar si el coeficiente de correlación aumenta o disminuye al remover el dato atípico.
- \nEs importante evaluar el contexto de los datos (los datos en estadística son “números en contexto”, no valores sueltos). A veces hay mediciones imprecisas u otros factores que afectan los resultados.\n
- Es importante que se realicen estas investigaciones, para así promover la conciencia y la protección de los océanos.
- \nCalcular el coeficiente de correlación utilizando tecnologías educativas, interpretarlo en función de su fuerza, y reconocer la presencia de datos atípicos en una nube de puntos.\n
- \nCalculate the correlation coefficient using educational technologies, interpret it based on its strength, and recognize the presence of outliers in a point cloud.\n
Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/pdfs/Presentacion%20PPT%20-%20Raycast_%20Tiro%20al%20blanco%20con%20matematicas.pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/raycast%20ii/ppt_raycast_ii.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"eng":"Descargar presentación","esp":"Descargar presentación"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/docs/Presentacion%20PPT%20-%20Raycast%20Tiro%20al%20blanco%20con%20matematicas.pptx","tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/raycast%20ii/ppt_raycast_ii_v2.pptx","recurso":"Descarga"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Worksheet","tipo":"h3","esp":"Hoja de Actividades"},{"tipo":"p","eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.
","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/raycast%20ii/ha_raycast_ii.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/pdfs/Hoja%20de%20Actividades%20-%20Raycast_%20Tiro%20al%20blanco%20con%20matematicas.pdf"},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Download activity sheet","esp":"Descargar Hoja de Actividades"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/docs/Hoja%20de%20Actividades%20-%20Raycast_%20Tiro%20al%20blanco%20con%20matematicas.docx","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/raycast%20ii/ha_raycast_ii.docx"},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 7 a 23)","eng":"Presentation (slides 07 to 13)"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación. \n
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/pdfs/Presentacion%20PPT%20-%20Raycast_%20Tiro%20al%20blanco%20con%20matematicas.pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/raycast%20ii/ppt_raycast_ii_v2.pdf","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/docs/Presentacion%20PPT%20-%20Raycast%20Tiro%20al%20blanco%20con%20matematicas.pptx","titulo":{"esp":"Descargar presentación","eng":"Download presentation"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/raycast%20ii/ppt_raycast_ii_v2.pptx"}]},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Presentación (Diapositiva 24)","eng":"Presentation (slide 14)"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/raycast%20ii/ppt_raycast_ii_v2.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/pdfs/Presentacion%20PPT%20-%20Raycast_%20Tiro%20al%20blanco%20con%20matematicas.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/docs/Presentacion%20PPT%20-%20Raycast%20Tiro%20al%20blanco%20con%20matematicas.pptx","titulo":{"eng":"Download presentation","esp":"Descargar presentación"},"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/raycast%20ii/ppt_raycast_ii_v2.pptx"}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Practical Guide","esp":"Guía Práctica"},{"tipo":"p","eng":"This Practical Guide seeks that, in the same context of the class, the students apply the model used to determine the score when making shots in the Target Shooting video game.
","esp":"En esta Guía práctica se busca que, en el mismo contexto de la clase, las y los estudiantes apliquen el modelo utilizado para determinar el puntaje al realizar lanzamientos en el videojuego Tiro al Blanco.
"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/pdfs/Guia%20practica%20-%20Raycast_%20Tiro%20al%20blanco%20con%20matematicas.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/pdfs/Guia%20practica%20-%20Raycast_%20Tiro%20al%20blanco%20con%20matematicas.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/docs/Guia%20practica%20-%20Raycast%20Tiro%20al%20blanco%20con%20matematicas.docx","titulo":{"esp":"Descargar guía práctica","eng":"Download practical guide"},"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/docs/Guia%20practica%20-%20Raycast%20Tiro%20al%20blanco%20con%20matematicas.docx"}],"visible":true}},"visible":true},"recursosProyecto":[],"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Puntos y Vectores","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"To get started, let's define the notation we'll use in this activity:
","esp":"Para comenzar, definamos la notación que usaremos en esta actividad:
"},{"tipo":"p","esp":"- Puntos del espacio de coordenadas 3D serán escritos con paréntesis redondos, utilizando letras mayúsculas para identificarlos. Por ejemplo \\(P = (2, 3, 1)\\), \\(A = (a, b, c)\\), etc.
- Vectores del espacio de coordenadas 3D serán escritos con paréntesis angulares. Por ejemplo \\(\\langle-1, 2, -7 \\rangle\\), \\(\\langle \\sqrt{2} ,a , 0 \\rangle\\), etc. \n
- Para un punto \\(P\\) del plano o espacio, denotaremos por \\(\\vec{P}\\) al vector que corresponde a \\( \\vec{OP} \\), es decir a la flecha que une el origen \\(O\\) y el punto \\(P\\). Por ejemplo si \\(P = (1, -2, 5) \\), se tiene que \\(\\vec{P}=\\langle 1,-2,5 \\rangle\\).
- Points in 3D coordinate space will be written with round brackets, using capital letters to identify them. For example \\(P = (2, 3, 1)\\), \\(A = (a, b, c)\\), etc.
- Vectors of space 3D coordinates will be written with angle brackets. For example \\(\\langle-1, 2, -7 \\rangle\\), \\(\\langle \\sqrt{2} ,a , 0 \\rangle\\), etc.\n
- For a point \\(P\\) of the plane or space, we will denote by \\(\\vec{P}\\) the vector that corresponds to \\( \\vec{OP} \\), that is, to the arrow joining the origin \\(O\\) and the point \\(P\\). For example, if \\(P = (1, -2, 5) \\), we have that \\(\\vec{P}=\\langle 1,-2.5 \\rangle\\).
Es importante tener en cuenta que la notación utilizada para representar puntos y vectores puede variar según la bibliografía consultada.
","eng":"It is important to note that the notation used to represent points and vectors may vary depending on the bibliography consulted.
"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Intersección de una recta y un plano"},{"eng":"Intersection of a line and a plane. The intersection of a line \\(L\\) and a plane \\(\\Pi\\) corresponds to the set of points that belong simultaneously to the line \\(L\\) and to the plane \\(\\Pi\\). We can distinguish three cases for this intersection.
","tipo":"p","esp":"Intersección de una recta y un plano. La intersección de una recta \\(L\\) y un plano \\(\\Pi\\) corresponde al conjunto de puntos que pertenecen simultáneamente a la recta \\(L\\) y al plano \\(\\Pi\\). Podemos distinguir tres casos para esta intersección.
"},{"esp":"- La intersección es vacía. Esto ocurre si la recta y el plano son paralelos y no se cruzan en ningún punto.
- La intersección es toda la recta \\(L\\). Esto ocurre cuando la recta \\(L\\) es un subconjunto de \\(\\Pi\\).
- La intersección es un único punto. Esto ocurre cuando no se tienen ni el caso 1 ni el 2.
- The intersection is empty. This occurs if the line and the plane are parallel and do not intersect at any point.
- The intersection is the entire line \\(L\\). This occurs when the line \\(L\\) is a subset of \\(\\Pi\\).
- The intersection is a single point. This occurs when neither case 1 nor case 2 is available.
En lo que sigue nos enfocaremos en el caso 3, pues es el de interés en esta actividad.
","eng":"
Para encontrar la intersección, podemos hacer uso de las ecuaciones de la recta y el plano. En nuestro caso, nos enfocaremos en el caso en que tenemos las ecuaciones vectoriales de la recta y del plano.In what follows we will focus on case 3, since it is the one of interest in this activity.
"},{"tipo":"p","eng":"
To find the intersection, we can make use of the equations of the line and the plane. In our case, we will focus on the case in which we have the vector equations of the line and the plane.Remember that the vector equation of a line is:
","esp":"Recordemos que la ecuación vectorial de una recta es:
"},{"eng":"\\[ \\langle x,y,z \\rangle = \\vec{P_1} t \\cdot \\vec{d_1} \\]\nwhere, \\( \\vec{P_1} \\) is the position vector of a point \\( P_1 \\) of the line, and \\( \\vec{d_1} \\) is a direction vector of the line. Remember that the points \\( (x,y,z) \\in L\\) satisfy that:\n\\[ \\langle x,y,z \\rangle = \\vec{P_1} t \\cdot \\vec{d_1} \\text{ for some } t\\in \\mathbb{R}. \\]
","esp":"\\[ \\langle x,y,z \\rangle = \\vec{P_1} + t \\cdot \\vec{d_1} \\] \ndonde, \\( \\vec{P_1} \\) es el vector posición de un punto \\( P_1 \\) de la recta, y \\( \\vec{d_1} \\) es un vector director de la recta. Recordar que los puntos \\( (x,y,z) \\in L\\) satisfacen que:\n\\[ \\langle x,y,z \\rangle = \\vec{P_1} + t \\cdot \\vec{d_1} \\text{ para algún } t\\in \\mathbb{R}. \\]
","tipo":"p"},{"eng":"On the other hand, a plane \\(\\Pi\\) can be described by its vector equation,
","tipo":"p","esp":"Por otro lado, un plano \\(\\Pi\\) se puede describir por su ecuación vectorial,
"},{"tipo":"p","eng":"\\[ \\langle x,y,z \\rangle = \\vec{P_2} s \\cdot \\vec{d_2} r \\cdot \\vec{d_3} \\]\nwhere, \\( \\vec{P_2} \\) is the position vector of a point \\( P_2 \\) of the plane, \\( \\vec{d_2} \\) and \\( \\vec{d_3} \\) are its direction vectors. Remember that the points \\( (x,y,z) \\in \\Pi \\) satisfy that:\n\\[ \\langle x,y,z \\rangle = \\vec{P_2} s \\cdot \\vec{d_2} r \\cdot \\vec{d_3} \\text{ for some } s, r\\in \\mathbb{R}. \\]\n
","esp":"\\[ \\langle x,y,z \\rangle = \\vec{P_2} + s \\cdot \\vec{d_2} + r \\cdot \\vec{d_3} \\]\ndonde, \\( \\vec{P_2} \\) es el vector posición de un punto \\( P_2 \\) del plano, \\( \\vec{d_2} \\) y \\( \\vec{d_3} \\) son sus vectores directores. Recordar que los puntos \\( (x,y,z) \\in \\Pi \\) satisfacen que:\n\\[ \\langle x,y,z \\rangle = \\vec{P_2} + s \\cdot \\vec{d_2} + r \\cdot \\vec{d_3} \\text{ para algún } s, r\\in \\mathbb{R}. \\] \n
"},{"tipo":"p","eng":"To algebraically find the coordinates of the intersection point between a line and a plane, set their vector equations equal. If we call \\( P_0 = (x_0, y_0, z_0) \\) to the solution, it belongs to the line and to the plane, simultaneously.
","esp":"Para encontrar algebraicamente las coordenadas del punto de intersección entre una recta y un plano, se igualan sus ecuaciones vectoriales. Si llamamos \\( P_0 = (x_0, y_0, z_0) \\) a la solución, esta pertenece a la recta y al plano, simultáneamente.
"},{"tipo":"p","esp":"\\[ \\vec{P_1} + t \\cdot \\vec{d_1} = \\vec{P_2} + s \\cdot \\vec{d_2} + r \\cdot \\vec{d_3} \\]
","eng":"\\[ \\vec{P_1} t \\cdot \\vec{d_1} = \\vec{P_2} s \\cdot \\vec{d_2} r \\cdot \\vec{d_3} \\]
"},{"esp":"De esta igualdad se desprenden 3 ecuaciones, cuyas incógnitas son \\( t\\), \\( s\\) y \\( r\\). En esta actividad, se recomienda resolver el sistema mediante un recurso online:
","eng":"Three equations can be derived from this equality, whose unknowns are \\( t\\), \\( s\\) and \\( r\\). In this activity, it is recommended to solve the system using an online resource:
","tipo":"p"},{"esp":"https://www.neurochispas.com/calculadoras-algebra/calculadora-de-sistema-de-ecuaciones-3x3/
","tipo":"p","eng":"https://www.neurochispas.com /algebra-calculators/3x3-system-of-equations-calculator/
"},{"tipo":"p","eng":"Comment that the interface on this page is in the 3-equation format, where decimal places must be entered with periods (.), for example, 2.5 instead of 2.5.\n
","esp":"Comente que la interfaz de esta página tiene el formato de 3 ecuaciones, en el que las cifras decimales se deben ingresar con puntos (.), por ejemplo, 2.5 en vez de 2,5.\n
"},{"eng":"In general, the simplest way to obtain the coordinates of the point \\( P_0 = (x_0, y_0, z_0) \\) is by replacing the value of \\(t \\) obtained, in the equation of the line.\n
","esp":"En general, la manera más simple de obtener las coordenadas del punto \\( P_0 = (x_0, y_0, z_0) \\) es reemplazando el valor de \\(t \\) obtenido, en la ecuación de la recta.\n
","tipo":"p"},{"eng":"Distance between two points","tipo":"h3","esp":"Distancia entre dos puntos"},{"eng":"It is necessary, towards the end of this class, that you remind your students how to obtain the distance between two points, \\(P_1=(x_1,y_1,z_1)\\) and \\( P_2= (x_2,y_2,z_2)\\), from the 3D coordinate space:
","esp":"Es necesario, más hacia el final de esta clase, que recuerde a sus estudiantes la manera en la que se obtiene la distancia entre dos puntos, \\(P_1=(x_1,y_1,z_1)\\) y \\( P_2=(x_2,y_2,z_2)\\), del espacio de coordenadas 3D:
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"\\[ d(P_1,P_2)= \\sqrt{ (x_1-x_2)^2 (y_1- y_2)^2 (z_1 - z_2)^2. } \\]
","esp":"\\[ d(P_1,P_2)= \\sqrt{ (x_1-x_2)^2 + (y_1- y_2)^2 +(z_1 - z_2)^2. } \\]
"},{"eng":"In this activity, it is suggested to do this distance calculation with the following online resource:
","tipo":"p","esp":"En esta actividad, se sugiere hacer este cálculo de distancia con el siguiente recurso online:
"},{"esp":"https://es.onlinemschool.com/math/assistance/cartesian_coordinate/p_length/
","tipo":"p","eng":"https://es.onlinemschool.com/math/assistance/cartesian_coordinate/p_length /
"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Diferencias conceptuales entre punto y vector","tipo":"h3"},{"esp":"Es importante que pueda abordar las diferencias conceptuales entre punto y vector. Por ejemplo, puede hacer notar que si bien la ecuación vectorial de la recta involucra vectores, estos determinan un conjunto de puntos del plano o espacio. De manera análoga, se tiene para la ecuación vectorial del plano.\n
","eng":"It is important that you can address the conceptual differences between point and vector. For example, you can note that although the vector equation of a line involves vectors, they determine a set of points in the plane or space. In a similar way, we have for the vector equation of the plane.\n
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Sobre el uso de ecuaciones vectoriales"},{"eng":"Using vector equations for lines and planes has several advantages. For example, it is applicable in any dimension and its algebraic simplicity allows for a coherent geometric visualization. In the particular case of the equation of the plane, it is possible to visualize geometrically obtaining the points that make it up, from the relationship between its directing vectors and its position.\n
","tipo":"p","esp":"Utilizar ecuaciones vectoriales para rectas y planos tiene diversas ventajas. Por ejemplo, es aplicable en cualquier dimensión y su simplicidad algebraica permite una visualización geométrica coherente. En el caso particular de la ecuación del plano, es posible visualizar geométricamente la obtención de los puntos que lo conforman, a partir de la relación entre sus vectores directores y su posición. \n
"},{"esp":"Una desventaja de trabajar con ecuaciones vectoriales del plano se puede observar en el momento de plantear la igualdad que da origen al sistema de ecuaciones, ya que puede ser engorroso de resolver algebraicamente. Por este motivo, en esta actividad se propone el uso de una herramienta online que permite hacer los cálculos de sistemas de ecuaciones de 3x3.
","eng":"A disadvantage of working with vector equations of the plane can be observed at the moment of raising the equality that gives rise to the system of equations, since it can be cumbersome to solve algebraically. For this reason, this activity proposes the use of an online tool that allows calculating systems of 3x3 equations.
","tipo":"p"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Errores frecuentes al abordar la intersección entre rectas y planos"},{"tipo":"p","esp":"Al abordar la intersección entre rectas y planos, se pueden observar errores frecuentes, como los siguientes:
","eng":"When dealing with the intersection between lines and planes, frequent errors can be observed, such as the following:
"},{"tipo":"p","esp":"- En ocasiones, los estudiantes tienen dificultades para comprender el significado de cortar estos dos objetos geométricos. Puede apoyar este trabajo, abordando las posiciones relativas entre ellos, utilizando representaciones gráficas que apoyan esta noción.
- La resolución de sistemas de ecuaciones lineales de 3X3, puede tornarse engorroso en algunos casos. Por este motivo, es relevante que antes de plantear un sistema de este tipo a sus estudiantes, que analice algebraica y gráficamente lo que ocurre, anticipando cualquier inconveniente.
- Sometimes students have difficulty understanding the meaning of cutting these two geometric objects. You can support this work, addressing the relative positions between them, using graphical representations that support this notion.
- Solving systems of 3X3 linear equations can become cumbersome in some cases. For this reason, it is relevant that before proposing a system of this type to your students, that they analyze algebraically and graphically what happens, anticipating any inconvenience.
The notion of Raycast is enunciated in the context of video game programming as lightning, since it has an origin and a single meaning, a definition that is consistent with the mathematical notion of lightning.
","tipo":"p","esp":"La noción de Raycast se enuncia en el contexto de programación de videojuegos como un rayo, pues tiene un origen y un solo sentido, definición que es coherente con la noción matemática de rayo.
"},{"eng":"This tool that allows you to create functions is an object of mathematical origin, and it allows you to obtain information about object positions. In this activity, it will be used by intersecting the ray with a plane and obtaining points, which we will call \"impact\", to assign scores in a game of \"target shooting\"
","tipo":"p","esp":"Esta herramienta que permite crear funciones es un objeto de origen matemático, y permite obtener información sobre posiciones de objetos. En esta actividad se utilizará intersectando el rayo con un plano y obteniendo puntos, a lo que llamaremos “de impacto”, para asignar puntajes en un juego de “tiro al blanco”
"},{"tipo":"p","eng":"It is important to mention that in video games you face the challenge of representing the 3D coordinate space on a two-dimensional (2D) screen. The raycast concept has been used for this task, since it allows to calculate which objects (from the 3D environment) are in the player's line of sight and, therefore, should be displayed on the screen. That is, among the functions of the raycast is to determine which objects are in front of the player's vision.
","esp":"Es importante mencionar que en los videojuegos se enfrenta el desafío de representar el espacio de coordenadas 3D en una pantalla bidimensional (2D). El concepto de raycast se ha usado para esta tarea, ya que permite calcular qué objetos (del ambiente 3D) están en la línea de visión del jugador y, por tanto deben mostrarse en la pantalla. Es decir, entre las funciones del raycast están determinar qué objetos se encuentran frente a la visión del jugador.
"}]}},"visible":true},"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Momento de enganche","eng":"latching moment"},{"esp":"(Diapositivas 2 a 4, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"eng":"Begin this lesson by asking questions that allow you to introduce a shooting video game as the main context. For this, you can address the following questions with your students:
","tipo":"p","esp":"Comience esta lección, planteando preguntas que permitan introducir un videojuego de tiro al blanco como contexto principal. Para esto, puede abordar las siguientes interrogantes con sus estudiantes:
"},{"tipo":"p","esp":"- ¿Conocen el juego del tiro con arco?
- ¿Han jugado algún juego de tiro al blanco en consola?
- Are you familiar with the game of archery?
- Have you played any console shooting games?
Luego, para iniciar el trabajo muestre y comente la Infografía. Analice el significado del proceso denominado Raycast, solicite que puedan describirlo con sus palabras.
","tipo":"p","eng":"Then, to start the work, show and comment on the infographic. Analyze the meaning of the process called Raycast, ask them to describe it in their words.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/pdfs/Raycast.pdf","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/pdfs/Raycast.pdf","recurso":"ModalPDF","tipo":"button"},{"eng":"- What is a raycast?
- What is it used for in video games?
- What mathematical ideas can you see in this technique?
- ¿Qué es un raycast?
- ¿Para qué se usa en videojuegos?
- ¿Qué ideas matemáticas pueden observar en esta técnica?
¿Como podemos determinar matemáticamente el punto de impacto de la flecha en el tablero y calcular su distancia al centro, para asignar el puntaje de cada lanzamiento?","eng":"","tipo":"momento"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"esp":"Primera parte (comprensión del problema)","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 7 a 9, Presentación)"},{"eng":"Let us consider that in the programming of this video game, all the objects are placed in a 3D virtual environment, with respect to the character, so the video game always knows the precise coordinates of the character's location and of the objects in its environment. In general, the player does not have the coordinates, but must try to aim at the target, based on what he sees. In this problem, we will assume the role of the developer of the game, so that other people can play it. It is recommended that you reiterate this idea throughout the class, to prevent students from getting confused thinking that they shoot the arrow, for example.\n
","esp":"Consideremos que en la programación de este videojuego, se sitúan todos los objetos en un ambiente virtual 3D, respecto del personaje, por lo que siempre el videojuego conoce las coordenadas precisas de la ubicación del personaje y de los objetos de su entorno. En general, el jugador no dispone de las coordenadas, sino que debe tratar de apuntar al blanco, a partir de lo que ve. En este problema, nosotros asumiremos el rol de quienes programan el videojuego, para que otras personas puedan jugarlo. Se recomienda que reitere esta idea a lo largo de la clase, para evitar que los estudiantes se confundan pensando que ellos disparan la flecha, por ejemplo.\n
","tipo":"p"},{"esp":"En este problema, nosotros nos concentraremos en el razonamiento geométrico de las personas que programan el videojuego, para que otras personas puedan jugarlo. Se recomienda que reitere esta idea a lo largo de la clase, para evitar que los estudiantes se confundan pensando que ellos disparan la flecha, por ejemplo.","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/imgs/pp-03.png","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/imgs/pp-03.png","escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"tipo":"p","esp":"En la segunda imagen se muestran los ejes de coordenadas 3D y el vector que representa la dirección de la flecha.","eng":""},{"eng":"After sharing this information, ask them to answer the first few questions on the activity sheet.
","esp":"Luego de compartir esta información, pídales que respondan las primeras preguntas de la Hoja de Actividades.
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En el caso que haya dudas, comente a sus estudiantes que en la hoja de actividades el “punto final” de la flecha corresponde a la punta de la flecha \\(B\\) y que el “punto origen”, a la cola de la flecha \\(A\\)."},{"eng":"- If the points \\( A = (0; 0; 1.2) \\) and \\( B = (1; 1; 1.25) \\) correspond to the origin and end points of the arrow which will be released. What is the direction vector of the line that represents its displacement?
- Write a vector equation of the line that contains the path of the arrow.
- Si los puntos \\( A = (0; 0; 1,2) \\) y \\( B = (1; 1; 1,25) \\) corresponden a los puntos origen y final de la flecha que será lanzada. ¿Cuál es el vector director de la recta que representa su desplazamiento?
- Escriba una ecuación vectorial de la recta que contiene la trayectoria de la flecha.
Comente nuevamente que para efectos prácticos, se puede considerar desplazamiento rectilíneo de la flecha, para simplificar el análisis (sin considerar gravedad, roce, etc). Comente que utilizaremos la representación vectorial de la recta para continuar con la actividad. En caso que algún estudiante se confunda con el hecho que vamos a elegir esta ecuación, indíqueles que el vector director y la posición se pueden cambiar, manteniendo la misma recta, por tanto hay muchas ecuaciones, pero la siguiente es práctica de utilizar, pues surge a partir de las coordenadas dadas en el problema.
","eng":"Comment again that for practical purposes, rectilinear displacement of the arrow can be considered, to simplify the analysis (without considering gravity, friction, etc). Comment that we will use the following representation to continue with the activity. In the event that a student is confused by the fact that we are going to choose an equation, tell us that the direction vector and the position can be changed, keeping the same line, therefore there are many equations, but the following is practical to use, since arises from the coordinates given in the problem.
"},{"eng":"Equation of a line: \\( L: \\langle x, y , z \\rangle = \\langle 0, 0, 1.2 \\rangle t \\langle 1, 1, 0.05 \\rangle \\)
","tipo":"p","esp":"Ecuación de la recta: \\( L: \\langle x, y , z \\rangle = \\langle 0, 0, 1.2 \\rangle + t \\langle 1, 1, 0.05 \\rangle \\)
"},{"esp":"Regístrela en un lugar visible de la pizarra. Luego, a partir de la ecuación, plantee la siguiente pregunta:
","eng":"Record it in a conspicuous place on the board. Then, from the equation, ask the following question:
","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"En la ecuación de la recta, ¿qué significa \\( t\\) positivo en el contexto del videojuego? ¿Y \\(t\\) negativo?","tipo":"momento"},{"tipo":"p","esp":"Haga notar que para valores positivos de \\( t\\), mayores que 1, la flecha se lanza hacia el tablero, y que para valores negativos, se lanza en sentido contrario. Indique que en esta actividad, consideraremos valores positivos de \\( t\\). En caso que haya estudiantes que pregunten, qué sucede con los valores de \\( t\\) entre 0 y 1, comente que el punto B se mueve (o retrocede) hacia el punto A, tal como se observa al momento de preparar el disparo, estirando la cuerda.
","eng":"Note that for positive values of \\( t\\), greater than 1, the arrow shoots toward the board, and for negative values, it shoots the other way. Point out that in this activity, we will consider positive values of \\( t\\). In case there are students who ask what happens to the values of \\( t \\) between 0 and 1, comment that point B moves (or recedes) towards point A, as observed when preparing the shot , stretching the rope.
"},{"esp":"A continuación, muestre la diapositiva en la que se plasma visualmente la idea de que los tableros de tiro al blanco están sobre un plano, plano que no es visible para los jugadores, pero que aporta información muy útil, en la programación del videojuego. \n","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/imgs/pp-04.png","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/imgs/pp-04.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 10 a 15, Presentación)","eng":""},{"esp":"Plantee preguntas para que los estudiantes puedan reconocer que el centro del tablero es el punto que fija su posición, pues a partir de la distancia del impacto a este punto se establecerán los puntajes.
","tipo":"p","eng":"Ask questions so that students can recognize that the center of the board is the point that sets their position, since from the distance of the impact to this point the scores will be established.
"},{"tipo":"momento","eng":"- When taking a shot, how would we know how good or bad the shot was?
- What information do you need to know to score a shot? < /ul>","esp":"
- Al efectuar un lanzamiento, ¿cómo podríamos saber qué tan bueno o malo fue el tiro?
- ¿Qué información se necesita saber para calcular el puntaje de un lanzamiento?
- los tableros están sobre un plano, \n
- en los tableros hay dos puntos relevantes: el centro \\(C\\) y la posición en la que caerá la flecha \\(Q\\), \n
- Luego, se requiere calcular la distancia de \\(Q\\) a \\(C\\) para asignar el puntaje correspondiente.
- Write the equation of the plane the board is on and using P as position, \\( \\vec{d_1} \\) and \\( \\vec{d_2 }\\) as direction vectors.
- Which of the following vectors could represent the position of the center of a board? why? \n
- Escriba la ecuación del plano en el que se encuentra el tablero y que utiliza P como posición, \\( \\vec{d_1} \\) y \\( \\vec{d_2}\\) como vectores directores.
- ¿Cuál de los siguientes vectores podría representar la posición del centro de un tablero? ¿Por qué? \n\n\\[ \\vec{Q} = \\langle 3, 5, 0 \\rangle + 0.5 \\langle 2.5, -1.5, 0 \\rangle + 0.4 \\langle 0, 0, 2 \\rangle = \\langle 4.25, 4.25, 0.8 \\rangle \\]\n\n\\[ \\vec{R} = \\langle 3, 5, 0 \\rangle + 6 \\langle 2.5, -1.5, 0 \\rangle + 8 \\langle 0, 0, 2 \\rangle = \\langle 18, -4, 16 \\rangle \\]\n
- Are these values the coordinates of the point \\(Q\\) we were looking for?
- How do we use these values to determine the coordinates of \\(Q\\)?
- ¿Son esos valores las coordenadas del punto \\(Q\\) que buscábamos?
- ¿De qué manera utilizamos estos valores para determinar las coordenadas de \\(Q\\)?
- What is the score of this throw?
- ¿Cuál es el puntaje obtenido con este lanzamiento?
- En esta actividad trabajamos intersectando una recta y un plano. Para determinar las coordenadas del punto de intersección, se necesita resolver un sistema de ecuaciones de 3 ecuaciones y 3 incógnitas.
- In this activity we work intersecting a line and a plane. To determine the coordinates of the point of intersection, you need to solve a system of equations with 3 equations and 3 unknowns.
- In general, you can detect three cases that occur when trying to find the intersection between lines and plane:\n
- \n
- The line intersects the plane in a single point. \n
- The line is parallel to the plane and does not intersect it. \n
- The line is parallel to the plane and is contained in it, therefore it intersects in all the points of the line.\n \n
\n - En general, se pueden detectar tres casos que ocurren al intentar buscar la intersección entre rectas y plano:\n
- \n
- La recta intersecta en un solo punto al plano. \n
- La recta es paralela al plano y no lo intersecta. \n
- La recta es paralela al plano y está contenida en él, por tanto se intersecta en todos los puntos de la recta.\n \n
\n - Determinan el vector director de una recta en el espacio tridimensional a partir de dos puntos dados, y formulan su ecuación vectorial. \n
- Plantean un sistema de ecuaciones para encontrar la intersección entre una recta y un plano, y argumentan sobre la existencia o no de su solución. \n
- Calculan e interpretan la distancia entre dos puntos en el espacio 3D en una situación dada. \n
- ¿Cuál es el nombre que recibe el conjunto de gases que rodea la Tierra?\n
- ¿Por qué los volcanes tienen nieve cerca de sus cráteres?
- \n¿Por qué la nieve se forma más o menos a una misma altitud en las cadenas montañosas de la infografía?\n
- En qué lugar la temperatura ambiente es mayor, ¿Cerca de la costa, o en lo alto de una montaña?\n
- What is the name given to the group of gases that surrounds the Earth?\n
- Why do volcanoes have snow near their craters?
- \nWhy does snow form at roughly the same altitude on the mountain ranges in the infographic?\n
- Where is the ambient temperature higher, near the coast, or on top of a mountain?\n
- Atmósfera\n
- Porque en la altura hace más frío y la temperatura baja lo suficiente para que la nieve se forme.\n
- La nieve se forma a una misma altitud en las cadenas montañosas porque la temperatura ahí es lo suficientemente baja para que la nieve pueda formarse.\n
- La temperatura ambiente es mayor cerca de la costa porque está más cerca del nivel del mar.\n
- Atmosphere\n
- Because at altitude it is colder and the temperature drops enough for snow to form.\n
- Snow forms at the same altitude on mountain ranges because the temperature there is low enough for snow to form.\n
- The ambient temperature is higher near the coast because it is closer to sea level.\n
- ¿Cuáles son las variables involucradas en esta situación? \n
- ¿De las variables mencionadas cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente? \n
- Calcula la tasa de cambio considerando las variables que identificaste. ¿Qué tipo de función describe esta relación?
- Use equispaced height data (data that is equally spaced apart), such as every \\(50 \\text{ m}\\) , \\(100 \\text{ m}\\) or every \\(150 \\text{ m}\\).
- Order the data from lowest to highest height.
- What is the rate of change and what does it represent in this situation?\n
- What is the position coefficient and what does it represent in this situation?
- \nHow much does the temperature decrease in an interval of 200 m?\n
- Grafica los datos de la tabla de la actividad anterior y responde las siguientes preguntas:\n\n
- ¿Cuál es la pendiente y qué representa en esta situación?\n
- ¿Cuál es el coeficiente de posición y qué representa en esta situación?
\n\n - Usa lo anterior para plantear la expresión algebraica que representa la función que relaciona la temperatura con la altura \\(T = f(h)\\).
- \\(m= - \\frac{1}{150}\\) se interpreta como que la temperatura disminuye en 1 grado cada 150 metros. O bien, que por cada aumento de 150 metros de altura, la temperatura desciende 1 grado. \n
- \\(n=20\\) implica que la temperatura a nivel del mar (\\(h=0\\)\\) en este caso particular es de 20 grados.
- La relación entre la temperatura ambiente y la altitud puede modelarse mediante una función afín. Es decir, la tasa de cambio entre la temperatura y la altitud es constante.\n\n\\[\\frac{\\Delta T}{\\Delta h} = -\\frac{1}{150}\\left[\\frac{°C}{m}\\right]\\] \n\n
- En este contexto, la pendiente de la función \\(T(h)\\) se puede interpretar como que la temperatura disminuye en 1°C por cada \\(150 \\text{ m}\\) de altitud. \n
- Por otro lado, el coeficiente de posición corresponde a la temperatura ambiente a nivel del mar (\\(h = 0 \\text{ m}\\)) \n
- Para determinar la altura a la que comienza a aparecer nieve en el volcán, fue necesario imponer la condición \\(T(h) = 0°C\\), ya que esa es la temperatura de congelación del agua.
![\"Volcán](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/temperatura-altura/volcan-parinacota.jpg\")
\n - Modelar la temperatura del ambiente mediante una función afín permite comprender por qué habitualmente la nieve aparece a un mismo nivel en volcanes y cordones montañosos. \n
- The relationship between height and temperature in the weather balloon shows a decreasing linear behavior.\n
- The slope of the line that models the situation represents the rate of change, that is, the decrease in temperature for each increase in height.\n
- The position coefficient of the affine function is a constant, which represents the temperature at ground level (zero height).\n
- The algebraic expression of the function T(h) is an affine function because it corresponds to a linear behavior plus a constant. That is, of the type \\(f(x)=ax b\\).\n
- Volcanoes and mountains can have snow because the temperature decreases with height, so the snow line on these shows the point where the temperature is \\(0°\\text{C}\\) .\n
- Modeling physical phenomena from mathematics can foster the development of critical and analytical thinking, since physical phenomena can be observed, analyzed and explained.\n
- They model everyday life or science situations with linear or related functions.
- Modelan situaciones de la vida cotidiana o de ciencias con funciones lineales o afines.
- \\(m\\) es la pendiente que indica la tasa de cambio constante y \n
- \\(n\\) es el valor en dónde la recta intersecta al eje vertical, es decir, el valor que toma la función en \\(x=0\\).
- En esta situación, los estudiantes deben interpretar una pendiente negativa en el contexto dado. Es posible que algunos estudiantes, basados en la idea de que una variable disminuye cuando la otra aumenta, indiquen que la relación entre la temperatura y la altitud es “inversamente proporcional”. En estos casos es importante hacer notar que la relación entre las variables no es inversamente proporcional, debido a que no hay una constante de proporcionalidad \\(k\\), tal que \\(T\\cdot h=k\\). Puede orientar a los estudiantes a usar un lenguaje más preciso para describir la situación, por ejemplo “la temperatura disminuye al aumentar la altitud” o “temperatura y altitud tienen una relación inversa”.\n\n
- The concept of function is given by a correspondence of terms, from the elements of one set to another, the correspondence of terms is generally given by an algebraic assignment rule. Students often have difficulties understanding this correspondence when dealing with an affine function, as it is given by two operations, a multiplication or division in the slope term, and an addition or subtraction of a constant such as the position coefficient. .\n
- En la segunda actividad de la lección, las y los estudiantes deberán enfrentar el desafío de encontrar una expresión algebraica que describa la relación funcional entre las variables. Es posible que algunos tengan dificultades, ya que en la función afín la correspondencia se establece mediante dos operaciones (una multiplicación y una suma o resta). En estos casos, se sugiere apoyar el trabajo de deducción de la expresión algebraica a través de:\n
- La interpretación de la pendiente y el coeficiente de posición en el contexto, para luego reemplazarlos en la expresión general \\(f(x)=m\\cdot x +n\\) \n
- Usar la tasa de cambio constante \\(\\frac{\\Delta T}{\\Delta h}\\) y a partir de un punto conocido, por ejemplo \\((0,20)\\) y un punto general \\((T,h)\\) trabajar algebraicamente para determinar la expresión. \n\n\n
- For this situation, it is likely that the idea of inversely proportional comes out when establishing the relationship between altitude and temperature, it must be reinforced that it is not an inversely proportional relationship, because there is no constant of proportionality \\( k\\), such that \\(T=kh\\). For this reason it is important to reinforce talking about a decreasing trend, or an inverse relationship.
- ¿Qué significa que la palabra “que” sea la tercera en el ranking?\n
- ¿Cómo se determinó la posición en el ranking de una palabra?\n
- What is CREA? What data does CREA provide us?\n
- How could you explain Zipf's law in your own words?\n
- How many times will the tenth most used word appear in CREA?\n
- Si sabemos que la palabra “las” está en la posición \\(11\\) del ranking, ¿podremos estimar cuál es la frecuencia de esta palabra?
- \\(n\\): ranking de una palabra en la base de datos.
- \n\\(f\\): frecuencia absoluta de una palabra en la base de datos.\n
- Si graficamos todos los datos de la base, ¿cómo se imaginan que será el gráfico?
- ¿Qué creen que pasará con la forma del gráfico al realizar esta transformación?
- A partir de este nuevo gráfico, ¿es posible estimar la frecuencia de la palabra número \\(200\\)?
- ¿En qué rangos del ranking el modelo predice de forma más precisa las frecuencias reales?
- \n ¿Qué tan bien predice las frecuencias el modelo?\n
- Al trabajar con el cambio de escala logarítmica, se facilita la tarea de encontrar el modelo que se ajusta a la situación, en este caso lineal, simplificando así la tarea de análisis.\n\n
- \nLa función inversa del logaritmo se llama exponencial. Si se tiene una función logarítmica de la forma \\(f(x)=\\log_a(x)\\), su función inversa es \\(f^{-1}(x)=a^x\\).
- \n\nLa ley de Zipf es una ley empírica que describe la distribución de las frecuencias de las palabras en corpus lingüísticos. Esta ley establece que la frecuencia de una palabra en un texto es inversamente proporcional a su posición en el ranking de frecuencias, es decir, la palabra más frecuente aparecerá aproximadamente el doble de veces que la segunda palabra más frecuente, tres veces más que la tercera palabra más frecuente, y así sucesivamente.\n
- \nLa ley de Zipf se comprueba y se valida a través de análisis estadísticos y empíricos de grandes corpus lingüísticos. En esta clase, validamos la distribución de frecuencia de las palabras en un corpus, observando como los datos se comportan de acuerdo con los patrones descritos por la ley. \n
- \nEs interesante comprender cómo la matemática se aplica en campos que parecieran tan lejanos a ella como la lingüística. Se ha comprobado que la ley de Zipf se cumple en una gran variedad de idiomas.\n
- \nUtilizan modelos de situaciones de crecimiento y decrecimiento que involucran las funciones exponencial y logarítmica para determinar valores o hacer proyecciones.\n
- Construyen modelos de situaciones de crecimiento y decrecimiento que involucran las funciones exponencial y logarítmica para determinar valores o hacer proyecciones.\n\n
- Logaritmo en base 10: Para calcular el logaritmo en base 10 de un número, utiliza la función =LOG10(). Por ejemplo, si deseas calcular el logaritmo en base \\(10\\) de \\(x=100\\), escribe en una celda: =LOG10(100).\n
- Gráfico de dispersión:\n
- Selecciona los datos: Se deben seleccionar los dos conjuntos de datos, uno para el eje X y otro para el eje Y.\n
- Insertar gráfico: Ve a la pestaña \"Insertar\" en la barra de herramientas, selecciona \"Gráfico de dispersión\" y elige el tipo de gráfico que desees.\n
- Línea de tendencia:\n
- Selecciona el gráfico de dispersión: Haz clic en el gráfico para seleccionarlo.
- Agregar línea de tendencia: Ve a la pestaña \"Diseño\" que aparece cuando seleccionas el gráfico. En el grupo \"Análisis\", selecciona \"Agregar elemento de gráfico\" y luego \"Línea de tendencia\".\n
- Selecciona el tipo de línea de tendencia: En esta situación se debe elegir una línea lineal.\n
- Mostrar ecuación: marca la casilla correspondiente de ecuación.
- Charge Rating \\(C\\varepsilon\\): The maximum amount of charge that a device can handle safely and efficiently. It is the capacity designated or specified by the manufacturer for the normal and optimum operation of the equipment.
- Maximum load \\(CM\\): it is defined as \\(CM= \\lim_{t \\to \\infty} Q \\).
- Carga nominal \\(C\\varepsilon\\): es la cantidad máxima de carga que un dispositivo puede manejar de manera segura y eficiente. Es la capacidad designada o especificada por el fabricante para el funcionamiento normal y óptimo del equipo.
- Carga máxima \\(CM\\): se define como \\(CM= \\lim_{t \\to \\infty} Q\\).
- ¿Cuánto tiempo dura la carga completa de tu celular?\n
- ¿De qué factores depende el tiempo de carga de una batería?
- De acuerdo a la tabla vista en el video, ¿la velocidad de carga de la batería es mayor o menor a medida que se va cargando el celular?\nAlternativa: ¿La velocidad de carga de la batería es mayor cuando el celular está cerca de descargarse o de llegar a su capacidad máxima?\n
- How long does it take to fully charge your cell phone?\n
- On what factors does the charging time of a battery depend?
- According to the table seen in the video, is the charging speed of the battery greater or less than As the cell phone charges?\nAlternative: Is the battery charging speed faster when the cell phone is close to being discharged or reaching its maximum capacity?\n
- The process of charging a battery depends on many factors, including the current level of charge of the battery.\n
- The table shows that the charging speed depends on the charge level of the battery, since this speed decreases as the charge level approaches the nominal charge capacity of the battery.
- li>
- El proceso de cargar una batería depende de muchos factores, entre otros, del nivel actual de carga de la batería.\n
- La tabla muestra que la velocidad de carga depende del nivel de carga de la batería, ya que esta velocidad disminuye a medida que el nivel de carga se acerca a la capacidad de carga nominal de la batería.
- El tiempo está en el eje horizontal. En el gráfico también están representados los niveles de carga (porcentajes) asociados a fracciones del tiempo de carga nominal \\(\\tau\\) vistos en la tabla. \n
- La carga de la batería se encuentra en el eje vertical y se mide en porcentaje de carga respecto a la carga nominal. \n
- En el instante inicial \\(t=0\\), la batería está completamente descargada, es decir, su carga es del \\(0%\\). \n
- Time is on the horizontal axis. The graph also represents the load levels (percentages) associated with fractions of the nominal load time \\(\\tau\\) seen in the table. \n
- Battery charge is on the vertical axis and is measured as a percentage of charge compared to nominal charge. \n
- At the initial instant \\(t=0\\), the battery is completely discharged, that is, its charge is \\(0%\\). \n
- The battery has a maximum capacity (nominal charge), measured in Coulombs (\\(C\\)), of \\(18,000 \\ C\\).
- Its nominal charge time is of \\(120\\) minutes. That is, if the battery is completely discharged, it takes that time to reach its nominal capacity.
- The function \\(Q(t)\\) of the Cellular battery follows the charge percentages for the fractions of the full charge time \\(T = 120\\) minutes:
- La batería tiene una capacidad máxima (carga nominal), medida en Coulomb (\\(C\\)), de \\(18.000 \\ C\\).
- Su tiempo de carga nominal es de \\(120\\) minutos. Es decir, si la batería está totalmente descargada, demora ese tiempo en llegar a su capacidad nominal.
- La función \\(Q(t)\\) de la batería Celular sigue los porcentajes de carga para las fracciones del tiempo de carga total \\(T = 120\\) minutos:
- The graph of \\(Q(t)\\) is:
- El gráfico de \\(Q(t)\\) es:
- \n
Complete the table, rounding your answer to integer values.
\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_batterias/imgs/tabla_hojaactividades_2.png\")
\n - \n
Verify that the charge percentages for this battery at \\(30\\), \\(60\\) and \\(90\\) minutes match the charge percentages for a generic battery described in the video. Remember that the nominal charge time of the Cellular battery is \\(T=120\\) minutes.
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_batterias/imgs/tabla_hojaactividades_3.png\")
< /p>\n \n - \n
Completa la tabla, aproximando tu respuesta a valores enteros.
\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/tabla_hojaactividades_2.png\")
\n - \n
Verifica que los porcentajes de carga de esta batería a los \\(30\\), \\(60\\) y \\(90\\) minutos, coinciden con los porcentajes de carga de una batería genérica descritos en el video. Recuerda que el tiempo de carga nominal de la batería Celular es de \\(T=120\\) minutos.
\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/tabla_hojaactividades_3.png\")
\n ![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/tabla_hojaactividades_r1.png\")
\n \n- \n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/tabla_hojaactividades_r2.png\")
\n ![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_batteries/imgs/tabla_hojaactividades_r1.png\")
< div style=\"text-align: center;\">
Apoye a sus estudiantes a reconocer el rol del centro del tablero (C), para definir círculos concéntricos con diferentes puntajes en cada uno. Animelos a describir el proceso que permite asignar el puntaje, reconociendo que la distancia del impacto (Q) al centro del tablero (C) es fundamental. Puede mostrar la siguiente imagen, para visualizar esta idea.
","eng":"Support your students to recognize the role of the center of the board (C), to define concentric circles with different scores on each one. Encourage your students to describe the scoring process, recognizing that the distance from the impact (Q) to the center of the board (C) is critical. You can show the following image, to visualize this idea.
"},{"escala":"50","tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/imgs/pp-06.png","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/imgs/pp-06.png","alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"Note that for each impact point, the distance to the center needs to be calculated, which we'll write down as \\( d(C, Q_1) \\).\n
","tipo":"p","esp":"Haga notar que para cada punto de impacto, se necesita calcular la distancia al centro, lo que anotaremos como \\( d(C, Q_1) \\). \n
"},{"esp":"Luego ponga énfasis en cómo matemáticamente, podríamos identificar el punto de impacto. ","eng":"Then emphasize how mathematically, we could identify the point of impact.","tipo":"p"},{"esp":"¿Cómo obtenemos matemáticamente las coordenadas de este punto de impacto?
","eng":"How do we get the coordinates of this point of impact mathematically?
","tipo":"momento","recurso":"Pregunta"},{"esp":"Es importante que comente que en el videojuego, el plano es “invisible” al jugador, pero que para nosotros es necesario considerarlo, ya que nos permite obtener información útil.
","eng":"It is important that you mention that in the video game, the plane is “invisible” to the player, but that we in the role of programmers need to consider it, since it allows us to obtain useful information.
","tipo":"p"},{"eng":"Share responses, and allow students to explain in their own words. They are expected to conclude that, mathematically, the lightning will cross the plane and that the intersection between them corresponds to the point of impact needed to assign the score.
","esp":"Comparta las respuestas, y permita que los estudiantes expliquen con sus palabras. Se espera que concluyan que, matemáticamente, el rayo cruzará el plano y que la intersección entre ellos corresponde al punto de impacto que se necesita para asignar el puntaje.
","tipo":"p"},{"caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/imgs/pp-07.png","escala":"50","titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/imgs/pp-07.png"},{"esp":"A continuación, plantee que, para resolver el problema, identificarán el plano que utilizaremos en esta actividad. Pídales que respondan las preguntas de la hoja de actividades, considerando que \\( P = (3, 5, 0) \\) es una posición en el plano, y \\( \\vec{d_1} = \\langle 2,5; -1,5, 0 \\rangle, \\vec{d_2} = \\langle 0,0,2 \\rangle \\) sus vectores directores.
","eng":"Next, ask them to identify the plane that we will use in this activity. Ask them to answer the questions on the activity sheet, considering that \\( P = (3, 5, 0) \\) is a position of the plane, and \\( \\vec{d_1} = \\langle 2.5; -1, 5, 0 \\rangle, \\vec{d_2} = \\langle 0,0,2 \\rangle \\) their directions.
","tipo":"p"},{"eng":"Next, show the slide that visually captures the idea that the target shooting boards are on a plane, a plane that is not visible to the players, but that provides very useful information in programming the game. video game.
","tipo":"p","esp":"Si es necesario, puede plantear preguntas para que sus estudiantes hagan explícitas las siguientes ideas:\n
\n\\[ \\vec{Q} = \\langle 3, 5, 0 \\rangle 0.5 \\langle 2.5; -1.5, 0 \\rangle 0.4 \\langle 0, 0, 2 \\rangle = \\langle 4.25; 4.25; 0.8 \\rangle \\]\n\n\\[ \\vec{R} = \\langle 3, 5, 0 \\rangle 6 \\langle 2.5; -1.5, 0 \\rangle 8 \\langle 0, 0, 2 \\rangle = \\langle 18, -4, 16 \\rangle \\]\n
In sharing the answers to 4, note that point R is not located in the sector of the visible plane, and emphasize how the values s and r used in the equations affect the points that result.\n
","tipo":"p","esp":"Al poner en común las respuestas de la pregunta 4, haga notar que el punto \\(R\\) no está ubicado en el sector del plano visible, y haga énfasis en cómo los valores \\(s\\) y \\(r\\) que se usan en las ecuaciones, afectan los puntos que resultan.\n
"},{"tipo":"p","eng":"You can comment that “mathematically, any point that belongs to the plane would work, but many of them don't make sense in the context of this video game”.\n
","esp":"Puede comentar que “matemáticamente, nos serviría cualquier punto que pertenezca al plano, pero muchos de ellos no tienen sentido en el contexto de este videojuego”.\n
"},{"eng":"Next, record the equation of the plane in a conspicuous place on the board:
","esp":"Luego, registre la ecuación del plano en un lugar visible de la pizarra:
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"\\( \\langle x, y, z \\rangle = \\vec{P} + s \\vec{d_1} + r \\vec{d_2} = \\langle 3, 5, 0 \\rangle + s \\langle 2.5, -1.5, 0 \\rangle + r \\langle 0, 0, 2 \\rangle \\)\n
","eng":"\\( \\langle x, y, z \\rangle = \\vec{P} s \\vec{d_1} r \\vec{d_2} = \\langle 3, 5, 0 \\rangle s \\langle 2.5; - 1,5, 0 \\rangle r \\langle 0, 0, 2 \\rangle \\)\n
"},{"tipo":"h3","eng":"Part 2: Intersection between line and plane.","esp":"Parte 2: Intersección entre recta y plano."},{"eng":"","esp":"(Diapositivas 16 a 19, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Ahora que tenemos ambas ecuaciones, del rayo y plano, y además sabemos que necesitamos el punto de impacto \\(Q\\) (que pertenece al rayo y al plano simultáneamente), plantee la siguiente pregunta:\n
","eng":"Now that we have both the equations, for the ray and the plane, and we also know that we need the point of impact Q (which belongs to the ray and the plane simultaneously), ask the following question:\n
"},{"recurso":"Pregunta","eng":"How can we get the point Q mathematically?
","tipo":"momento","esp":"¿Cómo podemos obtener matemáticamente el punto \\(Q\\)?
"},{"esp":"Guíe la puesta en común para que los estudiantes expresen que la igualdad entre el rayo y el plano permitiría iniciar la búsqueda de las coordenadas del punto. Muestre a continuación la ecuación vectorial, y defina las incógnitas. Pídales que registren la igualdad en su Hoja de Actividades.
","eng":"Guide the discussion so that the students express that the equality between the ray and the plane would allow them to start the search for the coordinates of the point. Show the vector equation below, and define the unknowns. Ask them to record equality on their activity sheet.
","tipo":"p"},{"esp":"\\[ \\vec{A} + t \\vec{d} = \\vec{P} + s \\vec{d_1} + r \\vec{d_2}\\]\n
","eng":"\\[ \\vec{A} t \\vec{d} = \\vec{P} s \\vec{d_1} r \\vec{d_2}\\]\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"\\[ \n\\langle 0,0,1.2\\rangle + t\\langle1,1,0.05\\rangle\n= \n\\langle 3, 5, 0 \\rangle + s \\langle 2.5, -1.5, 0 \\rangle + r \\langle 0, 0, 2 \\rangle \n\\]\n
","eng":"\\[\n\\langle 0,0,1.2\\rangle t\\langle1,1,0.05\\rangle\n=\n\\langle 3, 5, 0 \\rangle s \\langle 2.5; -1.5, 0 \\rangle r \\langle 0, 0, 2 \\rangle\n\\]\n
"},{"eng":"Expand the equality until you get the system of equations. Then, you can work on this development in a visible place on the board, to emphasize that it corresponds to a system of 3 equations and 3 unknowns.\n
","esp":"Desarrolle la igualdad hasta obtener el sistema de ecuaciones. Luego, puede trabajar este desarrollo en un lugar visible de la pizarra, para dar énfasis a que corresponde a un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas. \n
","tipo":"p"},{"esp":"\\[\\langle 0,0,1.2\\rangle + \\langle t, t, 0.05t \\rangle = \\langle 3, 5, 0 \\rangle + \\langle 2.5s; -1.5s, 0 \\rangle + \\langle 0, 0, 2r \\rangle \\]
","eng":"\\( \\langle 0,0,1.2\\rangle \\langle t, t, 0.05t \\rangle = \\langle 3, 5, 0 \\rangle \\langle 2.5s; -1.5s, 0 \\rangle \\langle 0, 0, 2r \\rangle \\)
","tipo":"p"},{"esp":"\\[ \\langle t, t, 0.05t +1.2 \\rangle = \\langle 3 + 2,5s+ 0; 5 + -1,5s+ 0, 0 + 0 + 2r \\rangle \\]
","tipo":"p","eng":"\\( \\langle t, t, 0.05t 1.2 \\rangle = \\langle 3 2.5s 0; 5 -1.5s 0, 0 0 2r \\rangle \\)
"},{"tipo":"p","esp":"A partir de lo anterior, podemos identificar las 3 ecuaciones y sus 3 incógnitas:
","eng":"From the above, we can identify the 3 equations and their 3 unknowns:
"},{"eng":"\n\\[ t = 3 2.5s 0 \\] \\[ t = 5 -1.5s 0 \\] \\[ 0.05t 1.2= 0 0 2r \\]\n
","esp":"\n\\[ t = 3 + 2,5s+ 0 \\] \\[ t = 5 + -1,5s+ 0 \\] \\[ 0.05t +1.2= 0 + 0 + 2r \\]\n
","tipo":"p"},{"esp":"Indique que este sistema puede ser resuelto en un software online:\nejemplo software. Comente que esta interfaz tiene formato de 3 ecuaciones, en el que las cifras decimales se deben ingresar con un punto (.), por ejemplo, 2.5.\n
","eng":"indicate that this system can be solved in online software:\nhttps://www.neurochispas.com/calculators- algebra/3x3-system-of-equations-calculator/ Comment that this interface is in 3-equation format, where decimal places must be entered with a period (.), eg 2.5.\n
","tipo":"p"},{"eng":"After calculating the solution values to the system of equations, for \\(t = \\frac{17}{4}\\), \\(s=\\frac{1}{2}\\) and \\(r=\\ frac{113}{160}\\), interpret the information to obtain the coordinates of point \\(Q\\), and record this information on the board, or ask them to record it on their activity sheet.
","tipo":"p","esp":"Luego de calcular los valores solución al sistema de ecuaciones, para \\(t = \\frac{17}{4}\\), \\(s=\\frac{1}{2}\\) y \\(r=\\frac{113}{160}\\), interprete la información para obtener las coordenadas del punto \\(Q\\), y deje registrada esta información en la pizarra, o pídales que la registren en su hoja de actividades.
"},{"eng":"Permita que compartan sus ideas y procedimientos para obtener las coordenadas de \\(Q\\). Promueva la comparación de estrategias y sistematice aquella que sea más económica o simple para sus estudiantes, que sería reemplazar \\( t = \\frac{17}{4} \\) en la ecuación de la recta:
","tipo":"p","eng":"Allow them to share their ideas and procedures for finding the coordinates of \\(Q\\). Promote the comparison of strategies and systematize the one that is most economical or simple for your students, which would be to replace \\( t = \\frac{17}{4} \\) in the equation of the line:
"},{"eng":"\\( \\langle 0,0,1.2\\rangle \\frac{17}{4} \\langle 1,1,0.05 \\rangle \\)\n → \\( Q = \\left( \\frac{17}{4} , \\frac{17}{4} , \\frac{17}{80} 1.2 \\right) \\)\n → \\( Q = \\left( 4.25 , 4.25 , 1.4125 \\right) \\)
","tipo":"p","esp":"\\( \\langle 0,0,1.2\\rangle + \\frac{17}{4} \\langle 1,1,0.05 \\rangle \\)\n → \\( Q = \\left( \\frac{17}{4} , \\frac{17}{4} , \\frac{17}{80} +1.2 \\right) \\) \n → \\( Q = \\left( 4.25 , 4.25 , 1.4125 \\right) \\)
"},{"esp":"(Diapositivas 20 a 23, Presentación)","eng":"","tipo":"h4"},{"eng":"Indicate that now that we have found \\(Q\\); we will consider a board with center in \\(C =(4,25; 4,25; 0,8)\\) and we will express its distance from the point of impact \\(Q\\), as \\(d(C , Q)\\), to define the scores on the throws.
","esp":"Indique, que ahora que hemos encontrado \\(Q\\); consideraremos un tablero con centro en \\(C =(4,25; 4,25; 0,8)\\) y expresaremos la distancia del punto \\(C\\) al punto \\(Q\\), como \\(d(C, Q)\\), para definir los puntajes en los lanzamientos.
","tipo":"p"},{"caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"20","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/imgs/pp-05.png","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/imgs/pp-05.png","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"esp":"Los puntajes del tablero se determinan según la distancia a este punto. Comente que estos valores fueron definidos arbitrariamente, con la intención de resolver este problema.
\n","tipo":"p","eng":"Board scores are determined by distance to this point.
"},{"eng":"\\[ 0 \\leq (C, Q) \\leq 0.25 → 100 points \\]\n\\[ 0.25","tipo":"p","esp":"
\\[ 0 \\leq (C, Q) \\leq 0.25 → 100 puntos \\]\n\\[ 0.25 < d(C, Q) \\leq 0.5 → 75 \\]\n\\[ 0.5 < d(C, Q) \\leq 1 → 50 \\]\n\\[ 1 < d(C, Q) \\leq 1.5 → 25 \\]\n\\[ 2 < d(C, Q) → 0 \\]
"},{"eng":"You can present the formula for the distance between two points, and if you consider it necessary, you can recall the basic notions that originate it.
","tipo":"p","esp":"
If we consider the points \\(C= (x_1,y_1,z_1)\\) and \\(Q= (x_2,y_2,z_2)\\), then the distance between them is given by:Puede presentarles la fórmula de la distancia entre dos puntos, y si lo considera necesario, puede recordar las nociones básicas que la originan.
"},{"esp":"
Si consideramos los puntos \\(C= (x_1,y_1,z_1)\\) y \\(Q= (x_2,y_2,z_2)\\), entonces la distancia entre ellos está dada por:\\[ d(C, Q)=\\sqrt{(x_1- x_2)^2+(y_1- y_2)^2+(z_1- z_2)^2} \\]\n
","tipo":"p","eng":"\\[ d(C, Q)=\\sqrt{(x_1- x_2)^2 (y_1- y_2)^2 (z_1- z_2)^2} \\]\n
"},{"tipo":"p","esp":"Finalmente, pídales que trabajen en la última pregunta de la hoja de actividades.
","eng":"Finally, ask them to work on the last question on the activity sheet.
"},{"recurso":"Actividades","eng":"It is suggested to do this distance calculation with the following online resource:
\n","tipo":"p","esp":"
https ://es.onlinemschool.com/math/assistance/cartesian_coordinate/p_length/
In the event that you cannot access the previous link or if you decide to exercise this calculation manually, you can solve it together with your students and a calculator. Consider that the expected response is:Se sugiere hacer este cálculo de distancia con el siguiente recurso online:
\n"},{"tipo":"p","eng":"
Ir a recurso online
En el caso que no pueda acceder al enlace anterior o bien si usted decide ejercitar este cálculo manualmente, puede resolverlo junto con sus estudiantes y una calculadora. Considere que la respuesta esperada es:\\[ d(C, Q)=\\sqrt{(4.25 - 4.25)^2 (4.25 - 4.25)^2 (1.4125 - 0.8)^2} \\] \\[ d(C, Q)=\\sqrt {0.37515625}=0.6125 \\]\n\n
","esp":"\\[ d(C, Q)=\\sqrt{(4.25 - 4.25)^2+(4.25 - 4.25)^2+(1.4125 - 0.8)^2} \\] \\[ d(C, Q)=\\sqrt{0.37515625}=0.6125 \\]\n\n
"},{"esp":"Permita que los estudiantes compartan sus resultados y que indiquen, dado que la distancia entre Q y C es 0.6125, que se debe asignar 50 puntos a dicho lanzamiento.
","eng":"Have students share their results and indicate, since the distance between Q and C is 0.6125, that 50 points should be assigned to that toss.
","tipo":"p"},{"eng":"So far we have addressed the search for scores for a single launch, indicate that addressing this case is essential to understand geometrically what happens in the video game and thus program it. However, point out that in the context of the video game, a large number of calculations are required, for each launch. And as technology advances, much more realistic video games have been created, since processors have a greater capacity to make such calculations.
","tipo":"p","esp":"Hasta el momento hemos abordado la búsqueda de puntaje para un solo lanzamiento, indique que abordar este caso es fundamental para comprender geométricamente qué ocurre en el videojuego y así programarlo. Sin embargo, indique que en el contexto del videojuego, se requiere una gran cantidad de cálculos, para cada lanzamiento. Y conforme el avance de la tecnología, se ha permitido crear videojuegos mucho más realistas, pues los procesadores tienen mayor capacidad de hacer dichos cálculos.
"},{"eng":"Go on to the systematization of the class on the intersection between lines and planes.
","tipo":"p","esp":"Pase a la sistematización de la clase sobre la intersección entre rectas y planos.
"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Sistematización"},{"eng":"(Slide 14, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 24, Presentación)"},{"esp":"En esta Guía práctica se busca que, en el mismo contexto de la clase, las y los estudiantes apliquen el modelo utilizado para determinar el puntaje al realizar otros lanzamientos en el videojuego Tiro al Blanco.
","eng":"This Practical Guide seeks that, in the same context of the class, the students apply the model used to determine the score when making other throws in the Target Shooting video game.
"},{"esp":"Estos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente los siguientes indicadores: \n
Comment that now, they will analyze the situation of a new launch, for that we will carry out the same procedure that we did before.
","tipo":"p"},{"titulo":{"esp":"Ver Guía Práctica","eng":""},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/pdfs/Guia%20practica%20-%20Raycast_%20Tiro%20al%20blanco%20con%20matematicas.pdf","recurso":"ModalGP","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/raycast_tiro_al_blanco/pdfs/Guia%20practica%20-%20Raycast_%20Tiro%20al%20blanco%20con%20matematicas.pdf"}]}}}},"39":{"recursos":{"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Infografía: “¿Cómo cambia la temperatura con la altitud?","tipo":"h3","eng":"Infographic: “How does temperature change with altitude?"},{"tipo":"p","esp":"La infografía explica el contexto, explica sobre la atmósfera y sus capas, siendo la más importante la troposfera en la ocurre el fenómeno físico de la variación de temperatura a mayor altitud. ","eng":"The infographic explains the context, explains about the atmosphere and its layers, the most important being the troposphere in which the physical phenomenon of temperature variation occurs at higher altitudes."},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/pdf/Infografia.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/pdf/Infografia.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/pdf/Infografia.pdf","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/pdf/Infografia.pdf","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"button"},{"eng":"Presentation (slides 2 to 7)","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 7)"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación. "},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/pdf/Presentacion_8vo_U2_OA10.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/pdf/Presentacion_8vo_U2_OA10.pdf"},{"tipo":"button","titulo":{"esp":"","eng":""},"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/Doc/Presentacion_8vo_U2_OA10.pptx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/Doc/Presentacion_8vo_U2_OA10.pptx"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"esp":"Hoja de Actividades","tipo":"h3","eng":"Worksheet"},{"eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.","tipo":"p","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación."},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/temperatura-altura/ha_temp_altura_8vo.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/pdf/Hoja_de_Actividades_8vo_U2_OA10.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/Doc/Hoja_de_Actividades_8vo_U2_OA10.docx","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/temperatura-altura/ha_temp_altura_8vo.docx","recurso":"Descarga"},{"esp":"Presentación (diapositivas 8 a 18)","eng":"Presentation (slides 8 to 18)","tipo":"h3"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación. "},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/pdf/Presentacion_8vo_U2_OA10.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/pdf/Presentacion_8vo_U2_OA10.pdf","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/Doc/Presentacion_8vo_U2_OA10.pptx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/Doc/Presentacion_8vo_U2_OA10.pptx","tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"Simulator - Probe Balloon","esp":"Simulador - Globo Sonda","tipo":"h3"},{"recurso":"Geogebra","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/z9ucjvbm/width/492/height/678/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false","tipo":"iframe","eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/z9ucjvbm/width/492/height/678/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/ asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false"},{"eng":"Function T(h) and Globe Probe","esp":"Función T(h) y Globo Sonda","tipo":"h3"},{"recurso":"Geogebra","tipo":"iframe","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ygbqueer/width/917/height/470/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ygbqueer/width/917/height/470/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/ asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"eng":"Presentation (slides 19 and 20)","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 19 y 20)"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación. ","tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation."},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/pdf/Presentacion_8vo_U2_OA10.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/pdf/Presentacion_8vo_U2_OA10.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/Doc/Presentacion_8vo_U2_OA10.pptx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/Doc/Presentacion_8vo_U2_OA10.pptx","titulo":{"eng":"","esp":""},"recurso":"Descarga","tipo":"button"}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Guía Práctica","tipo":"h3","eng":"Practical Guide"},{"tipo":"p","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes comprendan la función afín como la suma de una constante con una función lineal. Además, estos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.\n","eng":"This document proposes various exercises whose objective is for students to understand the affine function as the sum of a constant with a linear function. In addition, these exercises can be used to formatively assess the knowledge developed from the situation."},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/pdf/Guia_Practica_8vo_U2_OA10.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/pdf/Guia_Practica_8vo_U2_OA10.pdf"},{"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/Doc/Guia_Practica_8vo_U2_OA10.docx","titulo":{"eng":"","esp":""},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/Doc/Guia_Practica_8vo_U2_OA10.docx"}]}},"visible":true},"recursosProyecto":[],"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Momento de enganche","eng":"latching moment"},{"eng":"(Slide 2 and 6, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 2 y 6, Presentación)"},{"tipo":"p","esp":"Presente la Infografía \"Cómo cambia la temperatura en la altitud\" a sus estudiantes. La idea principal es que el comportamiento del clima está asociado a elementos como temperatura, viento, humedad, entre otros y que estos elementos se ven afectados por otros factores tales comon la altitud, latitud, relieve, distancia al mar, entre otros. Dé espacio para que compartan sus opiniones respecto de las siguientes preguntas:","eng":"Present the infographic to your students, mention that the behavior of the climate is associated with climate elements such as temperature, wind, humidity, among others and that they are affected by climate factors such as altitude, latitude, relief, distance from the sea , among others. Allow space for them to share their opinions regarding the following questions:"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"En el volcán Parinacota, ¿a qué altura comenzaría la presencia de nieve si la temperatura a nivel del mar es de 20 °C?","eng":"","tipo":"momento"},{"tipo":"p","eng":"Tell your students that although they cannot give an exact answer to this question now, they will be able to do so at the end of this class.","esp":"Coméntele a sus estudiantes, que si bien no pueden dar una respuesta exacta a esta pregunta ahora, podrán hacerlo al finalizar esta clase."}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"esp":"Construcción de conocimientos","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Presente a sus estudiantes la actividad 1 de la Hoja de Actividades:\n","eng":"Introduce your students to activity 1 on the Activity Sheet:"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"Para estudiar cómo varía la temperatura con la altitud, se utiliza un globo meteorológico, que registra datos de la atmósfera a medida que asciende.\n
\nActividad 1
\nCon la información obtenida por el globo se desarrolló el siguiente simulador GeoGebra con este recurso completa la siguiente tabla:\n
\n\nA partir de la tabla anterior, responde las siguientes preguntas, \n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/img/Tabla_1.png\")
A meteorological balloon was launched, from the data obtained it was determined that \"the temperature decreases 1 degree Celsius every 150 meters of height\", with a linear and continuous behavior up to a height of approximately 11 kilometers.\n
\nActivity 1
\nWith the information obtained from the balloon, the following simulator was developed GeoGebra"},{"esp":"Antes de comenzar la actividad, mencione a sus estudiantes que para completar la tabla usen datos equiespaciados de altura (datos que tengan la misma separación), como por ejemplo cada \\(50 \\text{ m}\\), \\(100 \\text{ m}\\) o cada \\(150 \\text{ m}\\). Esto les ayudará a simplificar el cálculo de la tasa de cambio y también la representación gráfica, ayudándoles a ver con más claridad la relación afín entre altura y temperatura.\n","tipo":"p","eng":"Before beginning the activity, tell your students that to complete the table:
\nGraph the data in the table from the previous activity and answer the following questions:
\n\n
\nThen, present to your students item 2 of activity 2 of the Activity Sheet","tipo":"p","esp":"Guíe la discusión para que sus estudiantes puedan interpretar correctamente la pendiente y el coeficiente de posición. En particular, \n\n- \n
How high will snow be found on Parinacota Volcano?","esp":"¿A qué altura se encontrará nieve en el Volcán Parinacota?","tipo":"p"},{"eng":"(Slide 18, Presentation)","esp":"(Diapositiva 18, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"\nPresente la actividad 3 de la Hoja de Actividades, y dé tiempo a sus estudiantes para que encuentren dicha altura.\n","eng":"Remind your students that water freezes at \\(0°\\text{C}\\), so snow is expected at that temperature. With that said, introduce activity 4 from the Activity Sheet, and give your students time to find that height."},{"esp":"Si sabemos que esta toma de datos se realizó cerca del Volcán Parinacota (6 282 m s.n.m),
\n\n¿A qué altura aproximadamente se encontrará nieve en dicho volcán?
Usa la función \\(T(h)\\) estudiada en la actividad anterior para encontrar dicho valor.
","recurso":"Actividades","eng":"If we know that this data collection was carried out near the Parinacota Volcano (6 282 m a.s.l.), at what height will the snow line be found on said volcano? Use the function \\(T(h)\\), to find the value and then compare the result obtained with the value returned by the resource from activity 1.","tipo":"momento"},{"esp":"Dé un momento para que las y los estudiantes piensen cómo abordar el problema. Una pista clave para resolverlo es considerar que el agua se congela a \\(0°\\text{C}\\); por lo tanto, a esa temperatura es esperable la presencia de nieve. Es decir, plantear la ecuación, \n\n\\[0 = 20° \\text{C} - \\frac{h}{150}\\] \n\n","tipo":"p","eng":"Allow time for students to think about how to approach this problem. Ask them to share their responses, and guide the discussion so that they recognize that they are looking for the height at which the temperature equals zero degrees (where snow begins to form). In conjunction with the course, use these conditions to find an equation (\\(0 = 20° \\text{C} - \\frac{h}{150}\\)) to find the height of the snow line. They are expected to reach\n \\(T(3000)=0\\) and that can corroborate said value with the Probe Balloon resource . This is to compare two different records of information from the same function."},{"esp":"Pídales que compartan sus respuestas y guíe la discusión para que comprendan porque la ecuación anterior resuelve el problema. Sugerimos escribir la respuesta en su forma funcional, es decir, \\(T=f(3000) = 0°C\\). Puede volver sobre el \n\n recurso anterior\n \npara corroborar este valor y visualizarlo gráficamente.","tipo":"p","eng":""}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Sistematización","eng":""},{"eng":"(Slides 19 and 20, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 19 y 20, Presentación)"},{"esp":"The altitude of volcanoes is usually given in meters \\(m\\), adding s.n.m which means above sea level. If you want to review more data about the volcanoes in Chile you can visit","esp":"La altitud de los volcanes suele darse en metros \\(m\\), y se agrega s.n.m que significa sobre el nivel del mar. Si quieren revisar más datos acerca de los volcanes en Chile pueden visitar https://rnvv.sernageomin.cl/"},{"esp":"Estas tareas pueden ser utilizadas para evaluar formativamente los siguientes indicadores:","tipo":"p","eng":"These tasks can be used to formatively assess the following indicators:"},{"tipo":"p","eng":"
Cabe destacar que la temperatura de 20ºC se considera como la temperatura ambiente a nivel del mar y esta varía dependiendo del lugar geográfico y el clima. La tasa de cambio precisa corresponde a una disminución promedio \\(1° \\text{C}\\) cada \\(153{,}8 \\text{ m}\\), pero para simplificar los cálculos, en esta actividad se trabajará con \\( m=-\\frac{1}{150}\\).\n\n
Otro aspecto importante a tener en cuenta es que, en este caso, la función afín que describe la variación de altitud con la temperatura es válida únicamente en el dominio \\( [0 \\ , \\ 11 \\ 000]\\) metros. Esto se debe a que el comportamiento que se está modelando es específicamente en la troposfera, que tiene dicha extensión. ","tipo":"p","eng":"Since the relationship between temperature and altitude in the troposphere is observed, it can be modeled with an affine function with negative slope, where the position coefficient is associated with the ambient temperature at sea level \\(0 \\text{ m} \\) and corresponds to 20°C.\n\n
It should be noted that the temperature of 20ºC is considered as the ambient temperature at sea level and this varies depending on the geographical location and the climate. The slope, on the other hand, is assumed to be constant: it decreases on average \\(1° \\text{C}\\) every \\(153{,}8 \\text{ m}\\)\n\n
In the algebraic expression, the rate of change corresponds to the slope, and the initial condition to the position coefficient, which in this case depends on the temperature of the earth's surface. This change is assumed to be constant, so if a temperature of \\(20°\\text{C}\\) is recorded on the earth's surface, it will gradually decrease in vertical ascent, approximately \\(1° \\text{C}\\) every \\(153{,}8 \\text{ m}\\). In order to simplify the activity, we will use the following rate of change:"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"function concept","esp":"Dificultades y confusiones plausibles"},{"tipo":"p","eng":"Regarding the concept of function and its understanding, it is possible to identify various difficulties for its teaching, among these the following can be identified:","esp":"La clase propuesta busca que las y los estudiantes deduzcan la expresión algebraica de una función afín a partir de un registro de datos y, con apoyo en su representación gráfica, interpreten sus parámetros en el contexto de la situación. \n
En este recorrido, es posible que surjan algunas de las siguientes dificultades y confusiones en los estudiantes:\n"},{"esp":"
The atmosphere is essential for life on Earth. In it is the oxygen that is essential for the respiration of some living beings. It also contains carbon dioxide, crucial in the respiration process of plants and trees. In addition, it regulates the temperature through the greenhouse effect, creating an environment conducive to life. On the other hand, the ozone layer acts as a filter that protects from harmful ultraviolet light.\n\n
In general air pressure and density decreases with altitude. However, temperature has a much more complicated behavior with altitude and therefore, based on this behavior, a classification of the atmosphere in layers has been proposed, as shown in the following profile.","tipo":"p","esp":"La atmósfera terrestre es una capa de gases, a la que llamamos aire, retenidos por la gravedad terrestre y que rodea al planeta y se extiende aproximadamente hasta los 1000 \\( [km] \\). \n\n
La atmósfera es fundamental para la vida en la Tierra. En ella se encuentra el oxígeno que es esencial para la respiración de algunos seres vivos. También contiene dióxido de carbono, crucial en el proceso de respiración de plantas y árboles. Además, regula la temperatura mediante el efecto invernadero, creando un ambiente propicio para la vida. Por otro lado, la capa de ozono actúa como un filtro que protege de la dañina luz ultravioleta. \n\n
En general la presión del aire y su densidad decrece con la altitud. Sin embargo, la temperatura tiene un comportamiento mucho más complicado con la altitud y por tanto, en función de este comportamiento se ha propuesto una clasificación de la atmósfera en capas, tal como se muestra en el siguiente perfil. \n"},{"alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/img/principal_tabla.png","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/img/principal_tabla.png","tipo":"img"},{"eng":"Temperature and altitude in the troposphere","esp":"Temperatura y altitud en la troposfera","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"In this situation, the decrease in temperature with altitude in the troposphere (0 to 11 km approx.) is studied, where the temperature changes at an approximate rate of \\(6.4°\\text{C}\\) for each kilometer Tall. This rate of change is known as the vertical temperature gradient of the atmosphere.\n\n
This may seem counterintuitive, since one might think that the layers closest to the sun should have higher temperatures. This is not the case, because of the sunlight that reaches the planet, 30% is reflected (returned to space), approximately 20% is retained by the atmosphere, and the remaining 50% reaches the earth's surface, thus In this way, in the troposphere the temperature is higher near the surface.","esp":"En esta situación se estudia la disminución de la temperatura con la altitud en la troposfera (0 a 11 km aprox.) en donde la temperatura cambia en una razón aproximada de \\(6,4°\\text{C}\\) por cada kilómetro de altura. A esta razón de cambio se le conoce como gradiente de temperatura vertical de la atmósfera.\n\n
Esto puede parecer contradictorio, ya que se podría pensar que las capas más cercanas al sol deberían tener temperaturas más altas. Esto no es así, debido a que de la luz solar que llega al planeta, un 30% es reflejado (devuelto al espacio), el 20% aproximadamente es retenido por la atmósfera, y el 50% restante llega a la superficie terrestre, de esta manera, en la troposfera la temperatura es mayor cerca de la superficie.\n"},{"esp":"Globo sonda","tipo":"h3","eng":"probe balloon"},{"eng":"A weather balloon is a device used to make measurements and collect data in the atmosphere. It consists of a balloon filled with a light gas, such as helium or hydrogen, which rises into the air. The balloon is equipped with measuring instruments, such as sensors for temperature, humidity, atmospheric pressure, among others.","tipo":"p","esp":"Un globo sonda es un dispositivo utilizado para realizar mediciones y recopilar datos en la atmósfera. Consiste en un globo lleno de un gas ligero, como el helio o el hidrógeno, que se eleva en el aire. El globo está equipado con instrumentos de medición, como sensores de temperatura, humedad, presión atmosférica entre otros."},{"caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"25","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/img/principal_imagen.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Temperatura%20en%20Altura/img/principal_imagen.png"},{"eng":"As the balloon ascends, sensors record the data and send it to the ground via a radio frequency transmitter system. The balloon can reach considerably high altitudes. Once the balloon has reached its maximum altitude or has exhausted its climbing capacity, it bursts and descends, aided by a small parachute to recover it.\n\n
Field balloons are used in meteorological studies, atmospheric research, weather forecasting, air quality monitoring, and other scientific fields. They provide valuable information about atmospheric conditions at different altitudes and geographic locations. The GOS (Global Observing System of the World Weather Watch) facilitates meteorological observations made with weather balloons in all parts of the world by its members, also facilitates the free and unrestricted exchange of such data.
Sources: https://www.meteored.cl, https://public.wmo.int,https://library.wmo .int","esp":"A medida que el globo asciende, los sensores registran los datos y los envían a tierra a través de un sistema de transmisor de radiofrecuencia. El globo puede alcanzar altitudes considerablemente altas. Una vez que el globo ha alcanzado su máxima altitud o se ha agotado su capacidad de ascenso, revienta y desciende, ayudados de un pequeño paracaídas para recuperarlo.\n\n
Los globos sondas son utilizados en estudios meteorológicos, investigación atmosférica, pronósticos del tiempo, monitoreo de la calidad del aire y otros campos científicos. Proporcionan valiosa información sobre las condiciones atmosféricas en diferentes altitudes y ubicaciones geográficas. El SMO (Sistema Mundial de Observación de la Vigilancia Meteorológica Mundial) facilita las observaciones meteorológicas realizadas con globos sondas en todas partes del mundo por sus miembros, además facilita el intercambio libre y sin restricciones de dichos datos.
Fuentes:https://www.meteored.cl,https://public.wmo.int,https://library.wmo.int","tipo":"p"}],"visible":true}}},"visible":true},"40":{"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Momento de enganche","eng":"latching moment"},{"esp":"(Diapositivas 2 y 3, Presentación)","eng":"(Slides 2 and 3, Presentation)","tipo":"h4"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/PDF/Presentacion%20IIImedio_Unidad2_OA3.pdf","esp":"Presente el Video “¿Cuáles son las palabras que más utilizamos en el español?” a sus estudiantes\n
\nEn esta parte de clase, es importante que quede claro que la base se construyó utilizando las palabras que aparecen en una gran colección de textos seleccionados por RAE y que los datos corresponden a la cantidad de veces que aparecen las palabras entre todos estos textos. Si alguno de los estudiantes no está familiarizado con esta institución, también puede explicar qué es la RAE. \n
\nAdemás, asegúrese de que sus estudiantes comprendan el significado de la variable ranking, la cual se refiere a la posición en la que se ubica una palabra en la base de datos al ser ordenada desde la más a la menos frecuente. \n
\nPlantee preguntas para asegurar la compresión del video, por ejemplo:\n","tipo":"p"},{"eng":"Present the Video “The Mystery of Zipf's Law” to your students and allow space for them to share the answers to the following questions:","recurso":"Pregunta","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Nueva%20ley%20de%20ziph/img/4%20%286%29.png\")
¿Será posible estimar la frecuencia de una palabra \ndada su posición en el ranking? \n","recurso":"Actividades","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/PDF/Presentacion%20IIImedio_Unidad2_OA3.pdf","tipo":"momento"},{"tipo":"p","esp":"Para asegurarse de que los estudiantes comprendan el sentido del problema, puede preguntarles: ","eng":"Ideally, it is suggested to work in a computer lab or with a mobile lab that has Excel. In this way, with the teacher's monitoring, the students will be able to develop the learning situation in work groups. If you do not have a computer lab, you can carry out the class projecting the work from a single computer, as long as the participation of the students is encouraged with the management questions.\n\n
Present the following problem to your students, allow time for them to read it, and then present sheet 1 of the CREA Database."},{"tipo":"momento","esp":"
Is Zipf's law verified for CREA? ","recurso":"Pregunta"},{"tipo":"p","esp":"Para abordar esta pregunta es fundamental que sus estudiantes comprendan la tabla presentada en el problema. Además, se sugiere realizar la siguiente pregunta de la Actividad 1 de la Hoja de Actividades. Esta pregunta tiene como propósito que las y los estudiantes observen que la variación entre una palabra y la siguiente es cada vez menor. ","eng":"It is suggested to validate the understanding of the problem and of the Excel database with the following questions:"},{"recurso":"Actividades","esp":"1. Grafica la frecuencia de las primeras \\(10\\) palabras y luego responde la siguiente pregunta: ¿Qué se puede observar respecto a la forma en que disminuye la frecuencia de las palabras a medida que se avanza en el ranking?","eng":"","tipo":"momento"},{"esp":"A continuación, vuelva a leer la pregunta del problema: ¿Será posible estimar la frecuencia de una palabra dada su posición en el ranking? Comente que en la actividad se tratará dar respuesta a esta pregunta buscando un modelo que describa la relación entre el ranking de una palabra y su frecuencia. Por último, explique que estas variables se van a denotar de la siguiente manera:\n
\n\nPara comenzar, se sugiere mostrar a sus estudiantes la planilla de cálculo “Base de Datos de la RAE” y recorrerla comentando que esta tiene las \\(1000\\) palabras más comunes del español.\n
\nLuego, pregunte a sus estudiantes: \n","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/PDF/Presentacion%20IIImedio_Unidad2_OA3.pdf"},{"esp":"
\nProyecte el gráfico que representa la relación entre las dos variables, en el eje horizontal al ranking \\((n)\\) y el eje vertical a la frecuencia \\((f)\\) de la palabra. Es decir que el gráfico es ranking v/s frecuencia. \n"},{"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Nueva%20ley%20de%20ziph/img/Grafico%20LZ%201.png","caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para apoyar la comprensión del gráfico, se propone realizar las siguientes preguntas presentes en la Actividad 2 de la Hoja de Actividades. \n"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":"","esp":"2. Responde las siguientes preguntas:
\na) ¿Cómo varía la frecuencia a medida que se avanza en el ranking?
\nb) A partir del gráfico, ¿es posible apreciar la frecuencia de la palabra que está en la segunda posición del ranking? ¿Y en la posición \\(200\\)?
\nc) ¿Qué dificultad presenta este gráfico para visualizar los datos?
\n"},{"tipo":"momento","esp":"a) Las frecuencias disminuyen muy rápidamente en relación a las primeras del ranking.
\nb) En el gráfico se puede distinguir la frecuencia de las primeras palabras, pero no así palabras que están más adelante en el ranking. De hecho, es imposible determinar qué diferencia hay, por ejemplo, entre las palabras \\(200\\) y la \\(500\\) en el ranking.
\nc) La dificultad que se aprecia en el gráfico es que la escala de la frecuencia está expresada en millones, lo que dificulta la visualización de las frecuencias cuando éstas son menores que una centena de mil, lo que ocurre, aproximadamente, para \\(n\\geq 50\\).\n","recurso":"Respuesta","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Señale que, para mejorar la visualización de los datos, se va a modificar la escala de los ejes por medio de una transformación logarítmica para la variable \\(f\\). Esto significa que se graficará el logaritmo de los valores de la variable \\(f\\) en el eje vertical. (Tarea matemática D)","eng":""},{"eng":"","esp":"Para continuar, se sugiere preguntar lo siguiente:","tipo":"p"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"
\n\nPara ayudar a que sus estudiantes comprendan lo que conlleva este cambio de variable, se sugiere pedirles que realicen la Actividad 3 de la Hoja de Actividades. ","tipo":"p","eng":""},{"recurso":"Actividades","eng":"","esp":"3. Completa la tabla con el logaritmo de la frecuencia, aproximado los valores a dos cifras decimales, y luego responde:
\n\n\n\n¿Cómo cambia la variable frecuencia \\(f\\) al aplicar logaritmo?\n","tipo":"momento"},{"esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Nueva%20ley%20de%20ziph/img/5%20%288%29.png\")
Los valores aproximados al calcular el \\(log(f)\\) son:
\n\nLos valores de \\(log(f)\\) son menores de los que la frecuencia \\(f\\), y además se observa que la variación entre sus valores es mucho más acotada que la de la frecuencia.","eng":"","recurso":"Respuesta","tipo":"momento"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Mencione que los valores\\(log(f)\\)en esta escala logarítmica indican entre qué potencias de \\(10\\) se encuentra la frecuencia \\(f\\). Por ejemplo, que para \\(n=18\\), se tiene que el \\(log(f) = 6,03\\), lo que indica la frecuencia de la palabra “para” es \\(10^6 = 1.000.000\\) aproximadamente; y para la palabra “trabajo” \\((n=142)\\) su frecuencia de estar entre \\(10^4=10.000\\) y \\(10^5=100.000\\). \n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Nueva%20ley%20de%20ziph/img/6%20%287%29.png\")
\nSi en la clase las y los estudiantes están trabajando con la Base de Datos, pueden agregar una columna denominada “\\(log(f)\\)”, para calcular el logaritmo de las frecuencias. Y luego realizar un gráfico con la variable ranking en el eje horizontal y la variable \\(log(f)\\) en el eje vertical. Deberían obtener un gráfico como el que se presenta a continuación:\n"},{"alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Nueva%20ley%20de%20ziph/img/Gr%C3%A1fico%20%20LZ%202.png","eng":"","tipo":"img"},{"esp":"Para analizar este nuevo gráfico, se sugiere realizar las siguientes preguntas a sus estudiantes:","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"momento","esp":"\\( \\log (a\\cdot y )-\\log(a\\cdot x) = \\log (y)-\\log(x), \\textrm{ para } a, x, y >0.\\)
\nEn particular, esto se cumple al multiplicar ambos números por cualquier potencia de \\(x=10\\). \n
\nLa propiedad anterior hace que el cambio de escala a una logarítmica sea especialmente útil cuando se tiene un rango de datos muy amplio, como en el caso de las frecuencias de las palabras. Empleando una escala logarítmica se puede apreciar de mejor manera el orden de magnitud de las frecuencias más bajas.\n"},{"esp":"Comente a sus estudiantes que se graficarán ambas en escala logarítmica. En el eje \\(y\\) se representará el logaritmo de la frecuencia, lo que corresponde a hacer el cambio de variable \\(y = log(f)\\) y en el eje \\(x\\) se representará el logaritmo del ranking, que corresponde a realizar el cambio de variable \\(x = log(n)\\).
\nSi están trabajando con planillas de cálculo, pueden crear dos columnas: una \\(log(n)\\) y otra \\(log(f)\\). Luego, calcular los logaritmos y graficar con estas dos variables. Obtendrán el siguiente gráfico: \n","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"","escala":"50","alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Nueva%20ley%20de%20ziph/img/Grafico%203.png"},{"esp":"Para verificar la comprensión y discutir sobre este nuevo gráfico se sugiere plantear las preguntas presentes en la Actividad 4 de la Hoja de Actividades: ","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"4. ¿Qué tipo de función podría modelar el gráfico \\(log(n)\\) v/s \\(log(f)\\)?"},{"esp":"Se puede observar que el gráfico \\(log(n)\\) v/s \\(log(f)\\) es similar a una línea recta decreciente, por lo que es razonable plantear un modelo lineal de la forma \\(y=ax+b\\) para representar la relación entre las variables. \n
\nMuestre a las y los estudiantes como las planillas de cálculo ofrecen la posibilidad de buscar un modelo lineal que se ajuste al gráfico de dispersión de puntos por medio de una “línea de tendencia”. Para esto, marque la opción de “presentar ecuación en el gráfico” para que puedan ver la fórmula de la función afín que mejor se ajusta a los datos. Puede pedirles que le cambien el color a la recta para su mejor visualización. \n","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"img","escala":"50","eng":"","alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Nueva%20ley%20de%20ziph/img/Graf%204.png"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Para monitorear la comprensión de los estudiantes, se sugiere que realicen la Actividad 5 de la Hoja de Actividades: "},{"esp":"5. Responde las siguientes preguntas:
\na) ¿La pendiente del modelo es positiva o negativa? ¿Dónde cruza el eje \\(y\\)?
\nb) Observando los datos y la recta, ¿para qué rango de valores se ajusta mejor la recta? \n","recurso":"Actividades","tipo":"momento","eng":""},{"eng":"","esp":"a) Como la recta es decreciente tiene pendiente negativa, es decir, \\(a<0\\). Por otro lado, la recta cruza el eje \\(y\\) en \\(b = 7\\) aproximadamente.
\nb) Además, se puede observar que los datos se ajustan mejor a la recta desde \\(x=1{,}5\\) aproximadamente.\n","recurso":"Respuesta","tipo":"momento"},{"esp":"Para cerrar la actividad, es importante que se reemplace en este modelo lineal las variables \\(x\\) e \\(y\\) con originales \\(n\\) y \\(f\\). El objetivo es que observen que el modelo \\(y=ax+b\\) corresponde a:\\(\\log(f) = -a\\cdot \\log(n) + b\\)
Para obtener el modelo que relaciona las variables \\(n\\) y \\(f\\), se debe desarrollar la ecuación logarítmica teniendo en cuenta que su inversa es la exponencial de base 10, esto permite aplicar conceptos de potencia y logaritmos. (Tarea matemática E). \n\n\n
\n\nAl desarrollar la ecuación \\(\\log(f) = a\\cdot \\log(n) + b\\) se obtiene la siguiente expresión:\\(f = \\frac{1}{n^a} \\cdot 10^b\\)\n\n\n
Cuando sus estudiantes lleguen a esta expresión, hágales notar que como el modelo lineal estaba dado por la recta \\(y = {-0,9499}x+{6,9647}\\)), los parámetros son \\(a = -0,9499\\) y \\(b= 6,9647\\). Pida que reemplacen estos valores de forma de llegar a la siguiente expresión:\\(f=\\frac{1}{n^{0,9499}}\\cdot 10^{6,9647} \\)","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Para finalizar este momento, comente a sus estudiantes que, para facilitar la manipulación del modelo, denominaremos \\(K\\) a la constante \\(10^{6,9647}\\). Así, el modelo resultante es:\\(f = \\frac{K}{n^{0,9499}}\\)
Puede comentar que, a medida que aumenta el valor de \\(n\\), la expresión \\frac{K}{n^{0,9499}}\\) decrece, lo que es consistente con lo que se observó en el gráfico de frecuencia versus ranking. \nCierre este momento, con la siguiente idea:\n","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Usar la escala logarítmica nos permitió determinar un modelo que permite calcular la frecuencia de una palabra dado su ranking.\\(\\text{frecuencia}=\\frac{k}{\\left (\\text{ranking} \\right )^a} \\), con \\(k\\) y \\(a\\) constantes positivas.","recurso":"Destacado","eng":"","tipo":"momento"},{"tipo":"h3","esp":"Segunda Parte","eng":""},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"Diapositivas X a X, Presentación)"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En este momento sus estudiantes van a evaluar la pertinencia del modelo determinado mediante la comparación de sus resultados con los datos reales. (Tarea matemática F).
\nPida a sus estudiantes que respondan la pregunta 1 de la Actividad 2 de la Hoja de Actividades."},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","eng":"","esp":"1. Completa la siguiente tabla
"},{"esp":"2.![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Nueva%20ley%20de%20ziph/img/7%20%284%29.png\")
\n
","eng":"","recurso":"Respuesta","tipo":"momento"},{"esp":"Observe que la diferencia positiva de la palabra del ranking número \\(453\\) es menor a la de la posición \\(20\\). Esto se relaciona con lo visto en el gráfico, en que alrededor de \\(2.66 = log(453)\\) la recta está más cerca de los datos: ","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Nueva%20ley%20de%20ziph/img/10%20%282%29.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"También pueden observar que a partir de \\(log(n=1,4)\\) aprox., que corresponde a \\(n = 10^{1,4} ~ 25\\), la recta se va acercando más los datos, lo que es un indicio de que el modelo funcionaría mejor desde esa posición en el ranking. \n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Nueva%20ley%20de%20ziph/img/8%20%282%29.png\")
\nSi le parece conveniente, pueden crear una nueva columna llamada “f con modelo” y calcular las frecuencias para los diferentes rankings considerando el modelo determinado y además calcular la diferencia entre las frecuencias reales y las predichas por el modelo. Para facilitar la comprensión de los estudiantes, puede preguntar:\n"},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"
\nFinalice la clase mostrando las curvas comparativas de los datos de las frecuencias reales y la curva dada por el modelo, esto es el siguiente gráfico del ranking versus la frecuencia con y sin modelo, Hágales notar que este gráfico está diseñado desde la palabra \\(100\\) del ranking para facilitar la comparación.\n","tipo":"p","eng":""},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Nueva%20ley%20de%20ziph/img/11%20%281%29.png","tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"","escala":"50"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Comente que el trabajo anterior se relaciona con la ley de Zipf. Esta ley es un fenómeno lingüístico que describe la distribución de la frecuencia de las palabras en un lenguaje natural. Fue propuesta por George Zipf, un lingüista estadounidense, en la década de 1930. La ley de Zipf muestra cómo las frecuencias de las palabras disminuyen de manera proporcional al inverso del ranking. En este grupo de 1000 palabras no se observa una distribución perfecta que cumpla estrictamente la ley de Zipf, ya que esta ley se basa en grandes cantidades de texto. Sin embargo, estudiamos cómo se comportan las frecuencias de las palabras y cómo la matemática permite analizar patrones en la lingüística. "}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"esp":"Sistematización","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 33 a 37, Presentación)","eng":""},{"esp":"En base a lo realizado en la lección, sistematice las siguientes ideas:","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","esp":"
Se sugiere que en la Actividad 1 de la guía se dé espacio para que las y los estudiantes trabajen de la manera más autónoma posible y, de esa manera, demuestren manejar las herramientas de Excel en el análisis de una base de datos. Luego, se sugiere proponer a las y los estudiantes trabajar en el resto de la guía para verificar la comprensión conceptual de las funciones logarítmica y exponencial \n\n
Esta guía puede ser utilizada para evaluar formativamente los siguientes indicadores:","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"
\nEn la escala logarítmica de base \\(10\\), un número \\(x\\) se ubica en la posición \\(\\log_{10}(x)\\) de la recta real. El número \\(\\log_{10}(1) = 0\\) sirve de referencia (tal como el cero en la recta usual o lineal). Es así que podemos representar la escala logarítmica como se ve en la siguiente imagen:\n","eng":"When we have the graph of a function in which a very slow or very fast increase or decrease is observed, it can be useful to represent the values of the axes using a scale other than linear. The scaling strategy can also be useful for visualizing the relationship between two variables when the data is represented in a scatter or point cloud plot.
\n\nOne of the most common scales is the logarithmic, in which numbers are represented using the powers of a fixed number \\(b\\), called the logarithmic base. On this scale, a number \\(x\\) is located at the position \\(\\log_b(x)\\) of the real line in relation to the number \\(\\log_b(1) = 0\\), which serves as a reference (such as zero on the usual or linear line). For example, for the base \\(b=10\\) , we get the following scale:","tipo":"p"},{"tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"75","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/img/01-02.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Nueva%20ley%20de%20ziph/img/2%20%287%29.png"},{"eng":"A peculiarity of this scale is that the distance between two numbers \\(x\\) and \\(y\\) is the same when multiplying both by the same factor. In particular, this is true when multiplying both numbers by any power of 10:
\n\\(\n \\log (10^n\\,y )-\\log(10^n\\,x) = \\log \\left ( \\frac{10^n\\,y}{10^n\\,x} \\right ) = \\ log \\left ( \\frac{y}{x} \\right ) = \\log (y)-\\log(x)\n\\)","esp":"Una propiedad de esta escala es que la distancia entre dos números \\(x\\) e \\(y\\) se mantiene al multiplicar ambos por un mismo factor. Por ejemplo, si nos fijamos en la distancia entre las representaciones del 2 y el 8 en esta escala, y en la distancia entre las representaciones del 20 y el 80, podemos apreciar que son iguales. Esto sucede por las propiedades de la función logaritmo:
\n\n\\[ \\log (80)-\\log(20) = \\log \\left( \\frac{80}{20} \\right) = \\log(4)\\] \\[ \\log (8)-\\log(2) = \\log \\left( \\frac{8}{2} \\right) = \\log(4) \\]","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/img/01-03.png","escala":"75","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Nueva%20ley%20de%20ziph/img/3%20%286%29.png","tipo":"img"},{"esp":"Lo anterior se cumple de manera general, al multiplicar dos números \\(x\\) e \\(y\\) por cualquier potencia de 10:
\n\\[ \\log (10^n\\,y )-\\log(10^n\\,x) = \\log \\left( \\frac{10^n\\,y}{10^n\\,x} \\right) = \\log \\left( \\frac{y}{x} \\right) = \\log (y)-\\log(x)\n\\]
\nEsta propiedad se contrasta con la escala lineal, en la cual dos pares de números tienen la misma distancia cuando su diferencia es la misma. En este sentido, podemos enunciar la propiedad considerada como sigue:En la escala logarítmica dos pares de números están a la misma distancia cuando sus respectivos cocientes son iguales.\n
","tipo":"p","eng":"This property allows the logarithmic scale to be very useful for appreciating the order of magnitude of a value, since the distance between two consecutive powers of 10 is the same and, therefore, it allows studying functions in which the range of values that can be take is very broad.
\nChanging a linear scale to a log scale on a graph with x and y axes corresponds to making a change of variable: \\(x \\rightarrow x'= \\log(x)\\) or \\(y \\rightarrow y'= \\log(y )\\). This change can be made to just one or both variables."},{"esp":"Esta propiedad nos dice que la escala logarítmica nos muestra el orden de magnitud de los datos, y resulta muy útil cuando los datos contienen valores en diversos órdenes de magnitud. Por lo tanto, permite estudiar funciones que toman un rango de valores muy amplio.","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/img/01-04.png","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Cambio a escala logarítmica en uno o ambos ejes"},{"tipo":"p","esp":"Durante la situación se presentarán diversos gráficos que las y los estudiantes deberán analizar. Modificar una escala lineal a una logarítmica en un gráfico con ejes \\(x\\) e \\(y\\) corresponde a realizar un cambio de variable: \\(x \\rightarrow x’= \\log(x)\\) o bien \\(y \\rightarrow y’= \\log(y)\\). Este cambio puede realizarse en solo una o en ambos ejes y consecuentemente modificará el gráfico de dispersión para los datos, por lo que es importante que sus estudiantes comprendan claramente qué representan los ejes de cada gráfico.","eng":"As seen in this example, a graph of a function that looks exponential when the scale of both variables is linear can look like a line when both scales are logarithmic. In this lesson, this strategy is applied to data in a scatter plot in which decreasing behavior is observed."},{"esp":"Un modelo para los datos","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Al graficar los datos de esta situación, y utilizar escalas logarítmicas en ambos ejes, podemos ver que los datos se ven más o menos alineados en torno a una recta. Esta alineación es bastante buena para \\( \\log(x) \\ge 1,5\\), pero no es tan buena para \\( \\log(x) \\leq 1,5\\).","eng":""},{"caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"75","tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/img/g-02%20%282%29o.png","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"La estrategia será hallar un modelo lineal para los datos en escala logarítmica y luego transformarlo algebraicamente en un modelo para las variables originales. Para hallar dicho modelo lineal se utilizará la herramienta “Tendencia Lineal” incorporada en las planillas de cálculo (Excel, GoogleSheets, etc.). Esto nos permite establecer la siguiente relación entre las variables \\(\\log(n)\\) y \\(\\log(f)\\):"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\\[\n\\log(f) = -a\\cdot \\log(n) + b,\n\\]\ndonde \\(a\\) y \\(b\\) son los valores que se obtienen del ajuste lineal para los datos del gráfico de dispersión en escala log-log.\nA partir de esta relación, podemos despejar la variable \\(f\\) (frecuencia de una palabra) para establecer una relación más directa con \\(n\\) (posición de la palabra en el ranking), obteniendo:\n\\[ f = \\frac{10^b}{n^{a}} \\]"}]},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Cambio de escala ","eng":"Linearization of a power function"},{"tipo":"p","eng":"The linearization strategy of a power function is a relevant topic in mathematics, since it allows transforming a power function into a linear function. When working with a linear function, you can apply simpler techniques of mathematical analysis to determine patterns and trends in your data. Additionally, when linearization is used, students can apply their knowledge of power, exponential, and logarithmic functions. Since this strategy may be new to students, they may have difficulty understanding it. For this reason, it is important to provide enough spaces during the learning process to consolidate the mathematical concepts involved in linearization. This includes offering various opportunities for discussion and practice.","esp":"Los y las estudiantes deben comprender, como se detalla en los Aspectos Matemáticos, que en la escala logarítmica las distancias entre potencias sucesivas de diez son constantes, es decir, la distancia entre \\(x=1\\) y \\(x=10\\), es igual a la distancia entre \\(x=10\\) y \\(x=100\\), y también a la distancia entre \\(x=100\\) y \\(x=1000\\), puesto que la diferencia entre los logaritmos de cada par de estas potencias es igual al logaritmo de sus respectivos cocientes, que es igual en cada caso.\nEl efecto del cambio de escala logarítmico es especialmente importante cuando tenemos datos que varían en un amplio rango. Al aplicar la escala logarítmica, podemos comprimir los valores extremos y hacer que los datos sean más manejables y fáciles de visualizar, resaltando patrones y tendencias que podrían ser difíciles de apreciar en la escala original lineal.\n"},{"esp":"Uso de gráficos ","eng":"Use of graphics","tipo":"h3"},{"esp":"Las planillas de cálculo, permiten a las y los estudiantes realizar cálculos matemáticos de manera rápida y precisa. Esto es especialmente útil para tareas que implican grandes conjuntos de datos, como estadísticas, análisis numéricos y resolución de problemas matemáticos complejos.\nPor otro lado, muchos trabajos en la actualidad requieren habilidades en el manejo de planillas de cálculo. Saber cómo usar herramientas de hoja de cálculo es una habilidad valiosa y solicitada por los empleadores.\n
\nDurante la situación, las y los estudiantes o el docente deberán emplear las funciones logaritmo, crear un gráfico de dispersión y trazar una línea de tendencia en planillas. A continuación, se proporciona una explicación detallada de cada una de estas herramientas en planillas de cálculo de Google Sheets:
\nConsiderando el progreso de sus estudiantes, se recomienda evaluar si es adecuado implementar esta situación en una o dos clases. Esta adaptación permitirá ajustar el ritmo de enseñanza según las necesidades, asegurando una comprensión completa de todos los pasos involucrados en la obtención del modelo que permite determinar la frecuencia según la clasificación de las palabras.\n","tipo":"p"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"esp":"La ley de Zipf","eng":"Zipf's law","tipo":"h3"},{"esp":"La ley de Zipf es una ley empírica que describe la distribución de frecuencia de las palabras en un texto o corpus de texto. Fue formulada por el lingüista estadounidense George Kingsley Zipf en los años treinta, mientras trabajaba en la Universidad de Harvard. La ley se basa en la observación de que la frecuencia de una palabra en un corpus se relaciona con la posición de la palabra en un ranking que las ordena de mayor a menor. De esta forma, la palabra más común en un corpus aparece aproximadamente el doble de veces que la segunda palabra más común, tres veces más que la tercera palabra más común, y así sucesivamente. La ley de Zipf puede expresarse matemáticamente como: \\[ \\text{frecuencia}=\\frac{k}{\\left (\\text{ranking} \\right )^a} \\text{ }k,a > 0 \\]","eng":"Zipf's law is an empirical law that describes the frequency distribution of words in a text or corpus of text. It was formulated by the American linguist George Kingsley Zipf in the 1930s, while he was working at Harvard University. The law is based on the observation that the frequency of a word in a corpus is versus the position of the word in the ranking. In other words, the most common word in a corpus appears approximately twice as often as the second most common word, three times as often as the third most common word, and so on. Zipf's law is also known as a power law because it can be expressed mathematically as \\( \\text{frequency}=\\frac{k}{\\left (\\text{ranking} \\right )^a} \\), with \\(k\\) and \\(a\\) are positive constants.","tipo":"p"},{"eng":"","caption":{"esp":"George Kinsley Zipf, 1917","eng":""},"escala":"25","tipo":"img","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/ley%20de%20zipf/George_Kingsley_Zipf_1917.jpg","alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"","esp":"La Real Academia Española (RAE) ","tipo":"h3"},{"esp":"La RAE, una institución española fundada en 1713 con el objetivo principal de preservar y promover el buen uso de la lengua española. Es la entidad encargada de establecer las normas y criterios que rigen el idioma español en términos de ortografía, gramática, léxico y otras cuestiones lingüísticas. La RAE tiene un papel crucial en la promoción del español como lengua internacional y en la protección y conservación de su riqueza cultural y literaria. Su labor es de gran importancia para mantener la unidad y cohesión del español en todo el mundo hispanohablante.\n","tipo":"p","eng":""},{"escala":"25","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/ley%20de%20zipf/rae.jpg","alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img"}],"visible":true}}},"visible":true,"recursos":{"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Video “El misterio de la ley de Zipf”","eng":"Video \"The mystery of Zipf's law\""},{"eng":"The video titled \"The Mystery of Zipf's Law\" presents the meaning of this law and its application in the linguistic context, while providing various examples where this law can be applied.","esp":"El video titulado “El misterio de la ley de Zipf” presenta el significado de esta ley y su aplicación en el contexto lingüístico, a la vez que brinda diversos ejemplos en donde esta ley se puede aplicar.","tipo":"p"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/ley%20de%20zipf/30%20PALABRAS%20subt%20vf.mp4","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/Video/ley%20zipf%20v2.mp4","tipo":"video"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/Video/ley%20zipf%20v2.mp4","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/ley%20de%20zipf/30%20PALABRAS%20subt%20vf.mp4","recurso":"ModalVideo"},{"eng":"Presentation (slides 2 to 5)","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 5)","tipo":"h3"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/PDF/Presentacion%20IIImedio_Unidad2_OA3.pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/ley%20de%20zipf/ppt_ley_zipf_4to.pdf"},{"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/PDF/Presentacion%20IIImedio_Unidad2_OA3.pdf","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/ley%20de%20zipf/ppt_ley_zipf_4to.pptx","tipo":"button"},{"eng":"","esp":"Presentación Interactiva","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Esta presentación interactiva puede ser utilizada para presentar el video de la situación en casos que no se disponga de un buen sistema de audio, o bien, puede ser de ayuda para detenerse y discutir en torno a diferentes elementos que aparecen en el video.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/PDF/ppt_interactivo_ley_de_zipf.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Presentación Interactiva","eng":"Descargar Presentación Interactiva"},"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/Doc/ppt_interactivo_ley_de_zipf.pptx","recurso":"Descarga"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"eng":"Worksheet","esp":"Hoja de Actividades","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.","eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation."},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/ley%20de%20zipf/ha_ley_zipf_4to.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/PDF/Hoja%20de%20Actividades%20IIImedio_Unidad2_OA3.pdf"},{"recurso":"ModalHA","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/Doc/Hoja%20de%20Actividades%20IIImedio_Unidad2_OA3.docx","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/ley%20de%20zipf/ha_ley_zipf_4to.docx","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"tipo":"h3","eng":"\"CREATE\" Database","esp":"Base de Datos \"CREA\""},{"esp":"Este archivo Excel contiene las 1000 palabras más usadas en español de acuerdo con el Corpus de Referencia del Español Actual. El archivo contiene cuatro hojas que permiten acompañar la construcción de los aprendizajes de las y los estudiantes. Además, se dispone de una versión para el docente. ","tipo":"p","eng":"This Excel file contains the 1000 most used words in Spanish according to the Current Spanish Reference Corpus. The file contains four sheets that allow accompanying the construction of the learning of the students. In addition, a version for teachers is available."},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/Excel/CREA-%20Version%20Estudiante.xlsx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/Excel/CREA-%20Version%20Estudiante.xlsx","titulo":{"eng":"CREA-Student version","esp":"CREA-Versión estudiante"}},{"recurso":"Descarga","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/Excel/CREA-Version%20Docente.xlsx","titulo":{"eng":"CREA-Teaching version","esp":"CREA-Versión docente"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/Excel/CREA-Version%20Docente.xlsx"},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 6 a 32)","eng":"Presentation (slides 6 to 32)"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/ley%20de%20zipf/ppt_ley_zipf_4to.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/PDF/Presentacion%20IIImedio_Unidad2_OA3.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/Doc/Presentacion%20IIImedio_Unidad2_OA3.pptx","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/ley%20de%20zipf/ppt_ley_zipf_4to.pptx"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"eng":"Presentation (slides 33-37)","esp":"Presentación (diapositivas 33 a 37)","tipo":"h3"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/PDF/Presentacion%20IIImedio_Unidad2_OA3.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/ley%20de%20zipf/ppt_ley_zipf_4to.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/Doc/Presentacion%20IIImedio_Unidad2_OA3.pptx","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":""},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/ley%20de%20zipf/ppt_ley_zipf_4to.pptx"}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"eng":"Practical Guide","esp":"Guía Práctica","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes trabajen con la ley de Zipf y con funciones potencias, logarítmicas y exponenciales. Además, esta puede utilizarse para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.","eng":"This document proposes various exercises whose objective is for students to work with Zipf's law and with power, logarithmic and exponential functions. In addition, it can be used to formatively assess the knowledge developed from the situation."},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/PDF/Guia%20Practica%20%20IIImedio_Unidad2_OA3.pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/ley%20de%20zipf/gp_ley_zipf_4to.pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/ley%20de%20zipf/gp_ley_zipf_4to.pdf","tipo":"button","titulo":{"esp":"","eng":""},"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/Doc/Guia%20Practica%20%20IIImedio_Unidad2_OA3.docx"},{"tipo":"h3","eng":"Database \"Activity 1- Practical Guide\"","esp":"Base de Datos \"Actividad 1- Guía Práctica\""},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/Excel/Base%20de%20datos%20-%20Actividad%201%20Guia%20Practica.xlsx","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Ziph/Excel/Base%20de%20datos%20-%20Actividad%201%20Guia%20Practica.xlsx","recurso":"Descarga"}],"visible":true}},"visible":true},"recursosProyecto":[]},"41":{"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"Reason to change","esp":"Razón de cambio","tipo":"h3"},{"esp":"Para una variable \\(y = f(x)\\) que está en función de la variable independiente \\(x\\), la razón de cambio es:
","eng":"For a variable \\(y = f(x)\\) that is a function of the independent variable \\(x\\), the rate of change is:
","tipo":"p"},{"esp":"\\[\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}=\\frac{f \\left( x + \\Delta x \\right) - f(x)}{\\Delta x}\\]
","tipo":"p","eng":"\\[\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}=\\frac{f \\left( x \\Delta x \\right) - f(x)}{\\Delta x}\\]
"},{"esp":"La razón de cambio puede interpretarse como la pendiente de la recta secante al gráfico de \\(f(x)\\) que pasa por los puntos \\((x_0,f(x_0)\\) y \\((x_0 + \\Delta x,f(x_0 + \\Delta x)\\).
","eng":"The rate of change can be interpreted as the slope of the secant line to the graph of \\(f(x)\\) passing through the points \\((x_0,f(x_0)\\) and \\((x_0 \\Delta x,f(x_0 \\Delta x)\\).
","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/Recta%20secante.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/Recta%20secante.png","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"instantaneous rate of change","tipo":"h3","esp":"Razón de cambio instantánea"},{"eng":"The instantaneous rate of change in \\(x = x_0\\) is defined as:
","tipo":"p","esp":"La razón de cambio instantánea en \\(x = x_0\\) se define como:
"},{"esp":"\\[ \\lim\\limits_{\\Delta x \\to 0}\\frac{f(x_0+\\Delta x)-f(x_0)}{\\Delta x}\\]
","tipo":"p","eng":"\\[ \\lim\\limits_{\\Delta x \\to 0}\\frac{f(x_0 \\Delta x)-f(x_0)}{\\Delta x}\\]
"},{"esp":"Esta medida se interpreta como la tasa a la que la función \\(f(x)\\) está cambiando en el punto \\(x=x_0\\).\n
","tipo":"p","eng":"This measure is interpreted as the rate at which the function \\(f(x)\\) is changing at the point \\(x=x_0\\).\n
"},{"tipo":"p","eng":"The instantaneous rate of change in \\(x=x_0\\) corresponds to the slope of the tangent line to the graph of \\(f(x)\\) at the point \\((x_0,f(x_0)).< /p>","esp":"
La razón de cambio instantánea en \\(x=x_0\\) corresponde a la pendiente de la recta tangente al gráfico de \\(f(x)\\) en el punto \\((x_0,f(x_0)).
"},{"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/Recta%20tangente.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/Recta%20tangente.png"},{"eng":"When the function \\(f(t)\\) is time dependent, the instantaneous rate of change is called the instantaneous velocity of \\(f(t)\\) at \\(t=t_0\\).
","tipo":"p","esp":"Cuando la función \\(f(t)\\) depende del tiempo, la razón de cambio instantánea se denomina velocidad instantánea de \\(f(t)\\) en \\(t=t_0\\).
"},{"eng":"derivative at a point","tipo":"h3","esp":"Derivada en un punto"},{"tipo":"p","esp":"La derivada de \\(f(x)\\) en \\(x=x_0\\) se define como:
","eng":"The derivative of \\(f(x)\\) at \\(x=x_0\\) is defined as:
"},{"esp":"\\[ f’(x_0)=\\lim\\limits_{h \\to 0}\\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \\]
","eng":"\\[ f’(x_0)=\\lim\\limits_{h \\to 0}\\frac{f(x_0 h)-f(x_0)}{h} \\]
","tipo":"p"},{"eng":"If this limit exists.
","esp":"Si este límite existe.
","tipo":"p"},{"eng":"The definition of the derivative at a point coincides with the definition of the instantaneous rate of change and also corresponds to the slope of the tangent line to the graph of \\(f(x)\\) at the point \\((x_0,f (x_0)).
","esp":"La definición de la derivada en un punto coincide con la definición de razón de cambio instantánea y corresponde además a la pendiente de la recta tangente al gráfico de \\(f(x)\\) en el punto \\((x_0,f(x_0)).
","tipo":"p"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"En esta situación se propone un enfoque para la enseñanza de la derivada que se basa principalmente en el análisis gráfico. El objetivo de este enfoque es permitir a las y los estudiantes visualizar y comprender de mejor manera los conceptos, evitando las dificultades inherentes al tratamiento simbólico del enfoque analítico convencional.
","eng":"In this situation we propose an approach to teaching the derivative that is mainly based on graphical analysis. The objective of this approach is to allow students to better visualize and understand the concepts, avoiding the difficulties inherent in the symbolic treatment of the conventional analytical approach.
","tipo":"p"},{"esp":"Para lograr esto, se utilizan recursos de GeoGebra que permiten visualizar que la razón de cambio instantánea es la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en un punto determinado. De hecho, la recta tangente se puede definir sólo a partir de la derivada. De esta manera, se busca que las y los estudiantes puedan asociar la derivada en un punto a estas dos interpretaciones.
","tipo":"p","eng":"To achieve this, GeoGebra resources are used to visualize that the instantaneous rate of change is the slope of the tangent line to the graph of the function at a given point. In fact, the tangent line can be defined only from the derivative. In this way, it is sought that the students can associate the derivative at a point to these two interpretations.
"},{"eng":"It is important to note that this activity focuses solely on introducing the concept of derivative at a point through its physical and geometric interpretation. The calculation of derivatives using the definition can be covered later, in another class. Also, the definition of a derived function is after this lesson.
","esp":"Es importante destacar que esta actividad se enfoca únicamente en introducir el concepto de derivada en un punto a través de su interpretación física y geométrica. El cálculo de derivadas usando la definición puede abordarse luego, en una otra clase. Asimismo, la definición de función derivada es posterior a esta lección.
","tipo":"p"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Las características de la batería son fundamentales en los teléfonos móviles. Algunos dispositivos ofrecen cargas rápidas y de larga duración, permitiendo un uso prolongado sin interrupciones.
","eng":"Battery characteristics are essential in mobile phones. Some devices offer fast and long-lasting charges, allowing prolonged use without interruptions.
","tipo":"p"},{"esp":"Batería","eng":"Battery","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Una batería es un dispositivo que almacena energía química y la convierte en energía eléctrica. La unidad básica de la batería es la celda, que consiste en un ánodo (electrodo negativo) y un cátodo (electrodo positivo) separados por un electrolito.
","eng":"A battery is a device that stores chemical energy and converts it into electrical energy. The basic unit of the battery is the cell, which consists of an anode (negative electrode) and a cathode (positive electrode) separated by an electrolyte.
"},{"eng":"During battery discharge, a chemical reaction occurs that produces a potential difference or voltage \\(V\\), generating an electric field that allows electrons from the external circuit to flow from the anode to the cathode. The flow of electrons is called electric current \\(I\\).
","tipo":"p","esp":"Durante la descarga de la batería, ocurre una reacción química que produce una diferencia de potencial o voltaje \\(V\\), generando un campo eléctrico que permite que los electrones del circuito externo fluyan desde el ánodo al cátodo. Al flujo de electrones se le denomina corriente eléctrica \\(I\\).
"},{"eng":"During charging, the reaction is reversed, allowing the battery to recharge. The capacity of a battery is measured in amount of charge \\(Q\\) whose unit of measurement is the Coulomb \\(C\\), however, commercially the amount of battery charge is reported in ampere-hours (Ah ).
","tipo":"p","esp":"Durante la carga, se invierte la reacción, permitiendo que la batería se recargue. La capacidad de una batería se mide en cantidad de carga \\(Q\\) cuya unidad de medida es el Coulomb \\(C\\), sin embargo, de forma comercial se informa la cantidad de carga de las baterías en ampere-hora (Ah).
"},{"eng":"It is important to note that batteries do not generate electrons, but rather facilitate the flow of electrons through the circuit by establishing an electric field that allows their circulation.
","esp":"Es importante destacar que las baterías no generan electrones, sino que facilitan el flujo de electrones a través del circuito al establecer un campo eléctrico que permite su circulación.
","tipo":"p"},{"esp":"Carga de una batería","eng":"charging a battery","tipo":"h3"},{"esp":"Para comprender el proceso de carga de la batería de un celular, es necesario definir algunos conceptos:
","tipo":"p","eng":"To understand the process of charging a cell phone battery, it is necessary to define some concepts:
"},{"eng":"The maximum load \\(CM\\) is a theoretical value that is never reached. When the cell phone indicates that the battery is 100% charged, it means that it has reached its nominal charge \\(C\\varepsilon\\), which is always less than the maximum charge.
","esp":"La carga máxima \\(CM\\) es un valor teórico que nunca se alcanza. Cuando el celular indica que la batería está cargada en un 100%, se refiere a que alcanzó su carga nominal \\(C\\varepsilon\\), que es siempre menor que la carga máxima.
","tipo":"p"},{"esp":"El siguiente gráfico representa el proceso de carga de una batería de celular, cuyo 100% de carga corresponde a la carga nominal en el tiempo T informado por el fabricante.
","eng":"The following graph represents the charging process of a cell phone battery, whose 100% charge corresponds to the nominal charge at time T reported by the manufacturer.
","tipo":"p"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/grafico_principal.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/grafico_principal.png"},{"esp":"Los puntos marcados en la curva corresponden a los datos de la siguiente tabla:
","tipo":"p","eng":"The points marked on the curve correspond to the data in the following table:
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/tabla_principal.png","escala":"25","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/tabla_principal.png"},{"tipo":"p","esp":"El modelo teórico que relaciona el nivel de carga \\(q(t)\\) de una batería con el tiempo \\(t\\) que lleva siendo cargada, está basado en la carga de un condensador en un circuito RC, es decir, un circuito compuesto de una resistencia y un condensador. El modelo se describe mediante la siguiente expresión:
","eng":"The theoretical model that relates the charge level \\(q(t)\\) of a battery with the time \\(t\\) that it has been charged, is based on the charge of a capacitor in an RC circuit, is that is, a circuit composed of a resistor and a capacitor. The model is described by the following expression:
"},{"esp":"\\[ \\huge{q(t)=C\\varepsilon (1-e^{\\frac{-t}{RC}}) = Q_{max}(1-e^{\\frac{-t}{RC}})}\\]
","tipo":"p","eng":"\\[ \\huge{q(t)=C\\varepsilon (1-e^{\\frac{-t}{RC}}) = Q_{max}(1-e^{\\frac{-t} {RC}})}\\]
"},{"esp":"donde \\(Q_{max}\\) corresponde a la carga nominal, \\(e\\) es la base de los logaritmos naturales, \\(R\\) es el valor de la resistencia y \\(C\\) la capacidad del condensador.
","eng":"where \\(Q_{max}\\) corresponds to the nominal load, \\(e\\) is the base of the natural logarithms, \\(R\\) is the value of the resistance and \\(C\\) the capacity of the condenser.
","tipo":"p"},{"eng":"Electric current and instantaneous current","tipo":"h3","esp":"Corriente eléctrica y corriente instantánea"},{"eng":"Electric current is defined as the average flow rate of electric charge \\( \\Delta Q\\) through a surface in a time interval \\( \\Delta t\\). Its unit of measurement is the ampere \\(A\\), whose equivalence is \\(1A= 1 \\frac{C}{s}\\).
","tipo":"p","esp":"La corriente eléctrica se define como la tasa de flujo promedio de carga eléctrica \\( \\Delta Q\\) a través de una superficie en un intervalo de tiempo \\( \\Delta t\\). Su unidad de medida es el ampere \\(A\\), cuya equivalencia es \\(1A= 1 \\frac{C}{s}\\).
"},{"eng":"On the other hand, the instantaneous electric current \\(I\\) is the limit of the electric current when the time interval tends to zero. ie:
","tipo":"p","esp":"Por otro lado, la corriente eléctrica instantánea \\(I\\) es el límite de la corriente eléctrica cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. es decir:
"},{"esp":"\\[I=\\lim_{\\Delta t \\to 0} \\frac{\\Delta Q}{\\Delta t} \\]
","eng":"\\[I=\\lim_{\\Delta t \\to 0} \\frac{\\Delta Q}{\\Delta t} \\]
","tipo":"p"},{"esp":"Esto permite interpretar la derivada de la función de la carga en un instante de tiempo como la intensidad de corriente en ese momento.
","eng":"This allows us to interpret the derivative of the charge function at an instant of time as the current intensity at that moment.
","tipo":"p"}]}},"visible":true},"visible":true,"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Momento de enganche","tipo":"h3","eng":"latching moment"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 2 y 3, Presentación)","eng":"(Slide 2 and 3, Presentation)"},{"esp":"\nReproduzca el video “Carga de batería” y dé un tiempo para que las y los estudiantes compartan sus opiniones respecto a las siguientes preguntas:\n
","eng":"\nPlay the video “Battery Charging” and allow time for students to share their thoughts on the following questions:\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/Baterias/Videos/Carga%20de%20baterias%20v2.mp4","titulo":{"esp":"Ver video","eng":"Watch video"},"recurso":"modalVideo","tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/carga-baterias/18_Carga%20de%20baterias%20v2_subt.mp4"},{"esp":"Estas preguntas buscan que, a partir de la información del video, las y los estudiantes noten que:
","eng":"These questions seek that, based on the information in the video, the students notice that:
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"Remind your students that the video raises the following problem:
","tipo":"p","esp":"Recuerde a sus estudiantes que el video plantea el siguiente problema:
"},{"esp":"¿Cómo podemos determinar la velocidad de carga de una batería en un momento dado? \n
","tipo":"p","eng":"How can we determine the charging rate of a battery at any given time?\n
"},{"esp":"Proponga tratar de abordar este problema analizando la información que proporciona el gráfico que se muestra en el video.
","tipo":"p","eng":"Propose trying to address this problem by analyzing the information provided by the graph shown in the video.
"},{"eng":"Introduce the graph and comment that it is a model of the percentage charge function of a type of battery in relation to time.
","esp":"Presente el gráfico y comente que se trata de un modelo de la función de porcentaje de carga de un tipo de batería en relación con el tiempo.
","tipo":"p"},{"caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/grafico_principal.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/grafico_principal.png","tipo":"img"},{"tipo":"p","esp":"Los puntos en la curva corresponden a porcentajes de carga en distintas fracciones del tiempo de carga total T de una batería.
","eng":"The points on the curve correspond to charge percentages in different fractions of the total charge time T of a battery.
"},{"escala":"25","tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/tabla_principal.png","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/tabla_principal.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado"},{"esp":"Comente a sus estudiantes que respecto del modelo presentado, es importante considerar lo siguiente:
\n- \n
Tell your students that regarding the model presented, it is important to consider the following:
\n- \n
Propose to your students to review the case of the charge function \\(Q(t)\\) of a commonly used cell phone battery, which we will call Cellular battery, which has the following characteristics:
","esp":"Proponga a sus estudiantes revisar el caso de la función de carga \\(Q(t)\\) de una batería de celular de uso común, que denominaremos batería Celular, que tiene las siguientes características:
","tipo":"p"},{"eng":"To explore this function in more detail, invite your students to review the following resource GeoGebra that allows to know the charge level (measured in Coulombs) of a battery in relation to time (measured in minutes). Show how to use the cursor and the box to determine the load at different times.\n
","esp":"Para analizar con mayor detalle esta función, invite a sus estudiantes a revisar el siguiente recurso GeoGebra que permite saber el nivel de carga (medido en Coulomb) de una batería en relación al tiempo (medido en minutos). Muestre cómo usar el cursor y la casilla para determinar la carga en distintos momentos.\n
"},{"eng":"Remind your students that the goal is to answer the question:
","tipo":"p","esp":"Recuerde a sus estudiantes que el objetivo es responder la pregunta:
"},{"esp":"¿Cómo podemos determinar la velocidad de carga de esta batería en un momento dado?
","tipo":"momento","eng":"How can we determine the charging rate of this battery at a given time?
","recurso":"Pregunta"},{"esp":"Entregue la Hoja de Actividades, y presente los ítem 1 y 2 de la Actividad 1.
","eng":"Hand out the Activity Sheet, and present items 1 and 2 of Activity 1.
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":"Activity 1
\nUse the resource GeoGebra to answer the following questions:
\n- \n
Actividad 1
\nUtiliza el recurso GeoGebra para responder las siguientes preguntas:
\n- \n
- \n
- \n
In this situation, the concept of inverse function is addressed, which can be abstract and difficult for students to understand. However, using various representations of function and its inverse can be an effective strategy.
","tipo":"p","esp":"En esta situación se aborda el concepto de función inversa, el cual puede resultar abstracto y difícil de comprender para las y los estudiantes. Sin embargo, utilizar diversas representaciones de función y su inversa puede ser una estrategia efectiva.
"},{"tipo":"p","eng":"Pictorial, symbolic, tabular, graphical, and sagittal representations, along with the use of natural language, are tools that help students understand the concept of inverse function. By providing a variety of visual and mathematical options, conceptual understanding is facilitated. In this situation we try to facilitate the understanding of the inverse function with sagittal diagrams, graphs and tables.
","esp":"Las representaciones pictóricas, simbólicas, tabulares, gráficas y diagramas sagitales, junto con el uso del lenguaje natural, son herramientas que ayudan a las y los estudiantes a comprender el concepto de función inversa. Al proporcionar una variedad de opciones visuales y matemáticas, se facilita la comprensión conceptual. En esta situación se intenta facilitar la comprensión de la función inversa con diagramas sagitales, gráficos y tablas.
"},{"tipo":"p","esp":"Esta clase es una primera aproximación a la comprensión de la función inversa. Se explorarán las condiciones para que exista una función inversa sin adentrarse aún en los conceptos formales como dominio, codominio, recorrido, inyectividad, biyectividad y sobreyectividad. En su lugar, se utilizarán diagramas sagitales y los términos imagen y preimagen para apoyar la comprensión.
","eng":"This class is a first approach to understanding the inverse function. The conditions for an inverse function to exist will be explored without even delving into formal concepts such as domain, codomain, range, injectivity, bijectivity and surjectivity. Instead, sagittal diagrams and the terms image and preimage will be used to support understanding.
"},{"eng":"It is suggested that future classes define these formal concepts and ensure that students have a vocabulary they can use to accurately express the mathematical ideas discussed. This will allow a better understanding and facilitate communication in learning the inverse function.
","esp":"Se sugiere que en las próximas clases se definan estos conceptos formales y se asegure de que las y los estudiantes cuenten con un vocabulario al que puedan recurrir para expresar con precisión las ideas matemáticas tratadas. Esto permitirá un mejor entendimiento y facilitará la comunicación en el aprendizaje de la función inversa.
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Al introducir la notación \\(f^{-1}(x)\\) para la función inversa es importante aclarar a las y los estudiantes que no se refiere a elevar la función a \\((-1)\\), que es la manera en que hasta ese momento se ha usado la notación en el caso de las potencias.","eng":"When introducing the notation \\(f^{-1}(x)\\) for the inverse function, it is important to make it clear to students that it is not referring to raising the function to \\((-1)\\), which is the way in which up to now the notation has been used in the case of powers."}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"esp":"A continuación se presentan una serie de conceptos relacionados con esta situación:\n
","tipo":"p","eng":"The following are a series of concepts related to this situation:\n
"},{"esp":"Buceo","eng":"Dive","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"El buceo es una actividad en la que las personas exploran el mundo subacuático sumergiéndose bajo el agua, ya sea en el mar, en lagos u otros. Utilizando equipo especializado como tanques de aire a altas presiones o llenados con mezclas de gases respirables, máscaras, aletas, trajes de neopreno para protegerse y desplazarse con mayor facilidad. El buceo puede ser recreativo, deportivo, comercial o incluso utilizado en actividades profesionales como la investigación científica o la inspección submarina. Algunos de estos contextos llevan a las personas a condiciones extremas de presión, temperatura y profundidad. Es por ello que deben contar con instrumentos que les proporcionen información sobre estos parámetros, considerando además las condiciones para que esta práctica sea segura, tales como, velocidad de ascenso y descenso, períodos de descompresión, límites de tiempo y frecuencia de inmersión, etc.
","eng":"Scuba diving is an activity in which people explore the underwater world by submerging themselves underwater, be it in the sea, in lakes or other. Using specialized equipment such as high pressure air tanks or filled with mixtures of breathable gases, masks, fins, neoprene suits to protect themselves and move more easily. Diving can be recreational, sport, commercial or even used in professional activities such as scientific research or underwater inspection. Some of these contexts take people to extreme conditions of pressure, temperature and depth. That is why they must have instruments that provide them with information on these parameters, also considering the conditions for this practice to be safe, such as ascent and descent speed, decompression periods, time limits and frequency of immersion, etc.
"},{"eng":"Manometer and depth gauge","tipo":"h3","esp":"Manómetro y profundímetro"},{"eng":"The equipment used by divers for their dives includes a manometer and a depth gauge.
","esp":"Dentro del equipo que utilizan los buceadores para sus inmersiones, se encuentran el manómetro y el profundímetro.
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"The scuba manometer is a generally analog instrument that connects to the air tank and measures the internal pressure of it. Allows divers to monitor the level of air remaining in the tank during the dive. It is common to find pressure gauges that measure pressure in Bar or PSI.
","esp":"El manómetro de buceo es un instrumento generalmente analógico que se conecta al tanque de aire y mide la presión interna de este. Permite a los buceadores monitorear el nivel de aire restante en el tanque durante la inmersión. Es común encontrar manómetros que miden la presión en Bar o en PSI.
"},{"eng":"The depth gauge is an instrument that measures depth in diving. It can be built into a dive computer that is similar to a smartwatch or be a standalone accessory. There are different types according to their operation, such as the Boyle-Mariotte, with Bourdon tube, membrane, among others. The principle of the types of depth gauges mentioned is the same, they measure pressure and through the direct relationship between Pressure and depth, they give an approximate value of depth.\n
","esp":"El profundímetro es un instrumento que mide la profundidad en buceo. Puede estar integrado en un ordenador de buceo que es similar a un reloj inteligente o ser un accesorio independiente. Hay diferentes tipos según su funcionamiento, como el de Boyle-Mariotte, con tubo de Bourdon, de membrana, entre otros. El principio de los tipos de profundímetros mencionados es el mismo, miden presión y mediante la relación directa entre Presión y profundidad, dan un valor aproximado de la profundidad.\n
","tipo":"p"},{"esp":"Es común encontrar estos dos instrumentos juntos en el equipo de buceo.
","tipo":"p","eng":"It is common to find these two instruments together in the diving equipment.
"},{"caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"25","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/imgs/principal_imagen_1.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/buceo/imgs/principal_imagen_1.png"},{"esp":"Presión hidrostática","tipo":"h3","eng":"hydrostatic pressure"},{"eng":"The construction of the hydrostatic pressure model used for this situation and its physical foundation are presented below. Because the purpose of this class is to understand the inverse function and not the physical model construction used, model construction is not covered in the class.
","tipo":"p","esp":"A continuación se presenta la construcción del modelo de presión hidrostática utilizado para esta situación y la fundamentación física de este. Debido a que el propósito de esta clase es comprender la función inversa y no la construcción del modelo físico utilizado, la construcción del modelo no se aborda en la clase.
"},{"tipo":"p","eng":"Although the model proposed in this class uses the relationship between pressure and depth, there are many other factors involved, since the pressure changes with the temperature of the water and its density, both values are assumed constants< /b>. In any case, it is important to point out and never forget that this is a simplified model, the water temperature decreases with depth, and it depends on the geographical area. On the other hand, the density of seawater is different according to each specific composition, species that inhabit it, waste, algae, human intervention, etc., just to mention a few variables.\n
","esp":"Si bien el modelo planteado en esta clase utiliza la relación entre presión y profundidad, hay muchos otros factores involucrados, debido a que la presión cambia con la temperatura del agua y densidad de esta, ambos valores se suponen constantes. De todas maneras, es importante señalar y nunca olvidar, que se trata de un modelo simplificado, la temperatura del agua disminuye con la profundidad, y depende de la zona geográfica. Por otro lado, la densidad del agua del mar es distinta de acuerdo a cada composición específica, especies que la habitan, desechos, algas, intervención humana, etc, solo por mencionar algunas variables. \n
"},{"tipo":"p","eng":"Hydrostatic pressure refers to the sum of the pressure exerted by a column of liquid at rest on an object, this pressure depends on the depth \\(h\\) at which the object is found and the specific weight of the liquid \\( \\rho \\cdot g \\), where \\( \\rho \\) is the density of the liquid and \\(g\\) is the acceleration of gravity, values that are assumed to be constant. Plus the pressure exerted by the Earth's atmosphere \\(P_{atm}\\). The algebraic expression used to model this is:\n
","esp":"La presión hidrostática se refiere a la suma de la presión que ejerce una columna de líquido en reposo sobre un objeto, esta presión depende de la profundidad \\(h\\) a la que se encuentra el objeto y al peso específico del líquido \\( \\rho \\cdot g \\), donde \\( \\rho \\) es la densidad del líquido y \\(g\\) es la aceleración de gravedad, valores que se suponen constantes. Más la presión que ejerce la atmósfera terrestre \\(P_{atm}\\). La expresión algebraica que se usa para modelar esto es: \n
"},{"eng":"\\[ P= \\rho \\cdot g \\cdot h P_{atm} \\]
","tipo":"p","esp":"\\[ P= \\rho \\cdot g \\cdot h + P_{atm} \\]
"},{"esp":"Ahora llevaremos esta expresión, al caso particular de esta situación, que es la presión hidrostática en el océano, usando las unidades de medida establecidas por el SI y suponiendo que es un líquido en reposo de peso específico constante, tenemos que:\n
","tipo":"p","eng":"Now we will take this expression, to the particular case of this situation, which is the hydrostatic pressure in the ocean, using the units of measurement established by the SI and assuming that it is a liquid at rest of weight specific constant, we have:\n
"},{"tipo":"p","eng":"Entonces nos queda que a \\(10 \\text{ m}\\) de profundidad la presión sería:
","eng":"Then we have that at \\(10 \\text{ m}\\) depth the pressure would be:
","tipo":"p"},{"esp":"$$P(10)=1 \\ 030\\frac{\\text{kg}}{\\text{m}^3} \\cdot 9{,}8 \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2} \\cdot 10 \\text{ m} + 101 \\ 325 \\text{ Pa} $$ $$P(10)=100 \\ 940 \\text{ Pa}+ 101 \\ 325 \\text{ Pa}$$ $$P(10)=202 \\ 295 \\text{ Pa} \\approx 2 P_{atm} $$\n
","tipo":"p","eng":"$$P(10)=1 \\ 030\\frac{\\text{kg}}{\\text{m}^3} \\cdot 9{,}8 \\frac{\\text{m}}{\\text {s}^2} \\cdot 10 \\text{ m} 101 \\ 325 \\text{ Pa} $$ $$P(10)=100 \\ 940 \\text{ Pa} 101 \\ 325 \\text{ Pa}$$ $ $P(10)=202 \\ 295 \\text{ Pa} \\approx 2 P_{atm} $$\n
"},{"eng":"For the interpretation below, the units of measurement that adapt to the context are used:
","tipo":"p","esp":"Para la interpretación a continuación se usan las unidades de medida que se adaptan al contexto:
"},{"esp":"Que \\(P(10) \\approx 2 P_{atm}\\) nos dice que en los primeros \\(10 \\text{ m}\\) de profundidad la presión aumenta \\(1 \\text{ atm}\\). Como este modelo es de crecimiento lineal, a los \\(20 \\text{ m}\\) la presión aumenta \\(1 \\text{ atm}\\) y así sucesivamente. Tenemos que, cada \\(10 \\text{ m}\\) de profundidad la presión hidrostática en el océano aumenta aproximadamente \\(1 \\text{ atm}\\) que se puede aproximar a \\(1 \\text{ bar}\\), se usará esta aproximación, debido a que generalmente el equipo de buceo cuenta con un manómetro que mide la presión en \\(text{bar}\\).
","eng":"That \\(P(10) \\approx 2 P_{atm}\\) tells us that in the first \\(10 \\text{ m}\\) of depth the pressure increases \\(1 \\text{ atm}\\) . Since this model is of linear growth, at \\(20 \\text{ m}\\) the pressure increases \\(1 \\text{ atm}\\) and so on. We have that, every \\(10 \\text{ m}\\) of depth the hydrostatic pressure in the ocean increases approximately \\(1 \\text{ atm}\\) which can be approximated to \\(1 \\text{ bar}\\), this approximation will be used, since scuba equipment usually has a pressure gauge that measures pressure in \\(text{bar}\\).
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"De lo anterior, la expresión que relaciona la presión \\(P(h)\\) con la profundidad \\(h\\) es:
","eng":"From the above, the expression that relates the pressure \\(P(h)\\) with the depth \\(h\\) is:
"},{"eng":"$$P(h) = \\frac{h}{10\\text{ m}} \\cdot 1 \\text{ bar} 1 \\text{ bar}$$
","tipo":"p","esp":"$$P(h) = \\frac{h}{10\\text{ m}} \\cdot 1 \\text{ bar} + 1 \\text{ bar}$$
"},{"eng":"If we measure the pressure in \\(\\text{bar}\\) and the height in meters, we get the hydrostatic pressure of the ocean:
","tipo":"p","esp":"Si medimos la presión en \\(\\text{bar}\\) y la altura en metros, obtenemos la presión hidrostática del océano:
"},{"esp":"\\[ P(h) = 0,1 \\cdot h + 1 \\]
","tipo":"p","eng":"\\[ P(h) = 0.1 \\cdot h 1 \\]
"}],"visible":true}},"visible":true}},"36":{"aspectosAConsiderar":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Sistemas de ecuaciones lineales con 2 incógnitas. ","tipo":"h3","eng":"Systems of linear equations with 2 unknowns."},{"tipo":"p","eng":"We call in this way a set of equations in which there are 2 unknowns, which are x and y, and which are linear in these variables. The solution of the system corresponds to the values of these unknowns that satisfy all the equations of the system simultaneously. Of particular importance is the case where there are exactly two equations. In this case, it is called a linear system of 2 equations in 2 unknowns, or simply a 2x2 linear system.","esp":"Llamamos de esta manera a un conjunto de ecuaciones en las que hay 2 incógnitas, a las cuales denominaremos x e y, y que son lineales en estas variables. La solución del sistema corresponde a los valores de estas incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del sistema de manera simultánea. De particular importancia es el caso en el que hay exactamente dos ecuaciones. En este caso, se denomina sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, o simplemente un sistema lineal de 2x2."},{"eng":"A general way to write a linear system of 2 equations in 2 unknowns is\n\\[ a_1 \\cdot x b_1 \\cdot y = c_1\\]\n\\[a_2 \\cdot x b_2 \\cdot y = c_2 \\]\nwhere the coefficients a1, a2, b1, b2, c 1 and c2 are real numbers.","tipo":"p","esp":"Una forma general de escribir un sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incógnitas es\n\\[ a_1 \\cdot x + b_1 \\cdot y = c_1\\]\n\\[a_2 \\cdot x + b_2 \\cdot y = c_2 \\] \ndonde los coeficientes a1, a2, b1, b2, c1 y c2 son números reales."},{"eng":"For example, in the system of equations:\n\\[ 2x – y = 4 \\]\\[3x 2y = – 1\\]\nthe solution is x = 1 and y = – 2.","tipo":"p","esp":"Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones: \n\\[ 2x – y = 4 \\]\\[3x + 2y = – 1\\]\nla solución es x = 1 e y = – 2."},{"tipo":"h3","eng":"resolution methods","esp":"Métodos de resolución"},{"eng":"Methods can be used to solve systems of equations:\n
We can solve for the first equation y = 2x – 4. Substituting in the second equation we get 3x 2(2< i>x – 4) = –1, from which we obtain that x = 1. Substituting this value into any of the equations, it follows that y = -2.","tipo":"p","esp":"Consiste en despejar una variable en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra. Por ejemplo, consideremos el sistema:\n\\[ 2x – y = 4 \\]\\[3x + 2y = – 1 \\]\n
Podemos despejar en la primera ecuación y = 2x – 4. Reemplazando en la segunda ecuación se obtiene 3x + 2(2x – 4) = –1, de donde se obtiene que x = 1. Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones se deduce que y = –2. \n"},{"esp":"Método de eliminación o reducción","eng":"Elimination or reduction method","tipo":"h4"},{"esp":"En este método se multiplican las ecuaciones por un número real distinto de cero apropiado, para que los coeficientes de una variable se cancelen al sumar o restar las ecuaciones.\nPara aplicar este método al sistema precedente, podemos por ejemplo multiplicar la primera ecuación por 2 y sumarla a la segunda. Obtenemos así 4x + 3x = 8 + – 1, de donde se deduce que x = 1. Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones se deduce que y = – 2.","tipo":"p","eng":"In this method, the equations are multiplied by an appropriate non-zero real number, so that the coefficients of a variable cancel when adding or subtracting the equations.\nTo apply this method to the previous system, we can, for example, multiply the first equation by 2 and add it to the second. We thus obtain 4x 3x = 8 – 1, from which it follows that x = 1. Substituting this value into any of the equations, we get It follows that y = – 2."},{"eng":"equalization method","tipo":"h4","esp":"Método de igualación "},{"tipo":"p","eng":"In this method, the same variable is solved in both equations, to then equalize the resulting expressions. Considering the previous system of equations, isolating the variable y in both equations, we obtain:\n\\[ y = 2x – 4 \\]\n\\[y = \\frac{–1 – 3x}{2}\\]\nThen what we get is an equation with only one unknown 2x – 4 = -1 - 3x2, from which it follows that x = 1. In a similar way to the previous methods, substituting in any of the two equations or in the expressions where the variable y is clear, we have that y = – 2.","esp":"En este método, en ambas ecuaciones se despeja la misma variable, para luego igualar las expresiones resultantes. Considerando el sistema de ecuaciones anterior, al despejar la variable y en ambas ecuaciones, obtenemos:\n\\[ y = 2x – 4 \\]\n\\[y = \\frac{–1 – 3x}{2}\\]\nLuego, lo que obtenemos es una ecuación con solo una incógnita 2x – 4 = -1 - 3x2, de la cual se deduce que x = 1. De manera análoga a los métodos anteriores, reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones o bien en las expresiones donde la variable y está despejada, tenemos que y = – 2."},{"esp":"Poblaciones y recursividad","eng":"Populations and recursion","tipo":"h3"},{"eng":"The study of populations is a topic of great interest in biology and ecology. Population growth is analyzed under the assumption that they are determined by birth and death rates. This information makes it possible to relate the values of the populations from one period of time to the next, thus being able to predict how a population will evolve over time. This gives rise, in the simplest situations, to linear equations.\n\n
","tipo":"p","esp":"
A recursive system of linear equations is a way of representing the interaction between two variables in a data system that varies in time, that is, saying that the future values of the variables depend on the previous values. These types of models are used in areas such as economics, ecology, and mathematics, among others.\nEl estudio de poblaciones es un tema de gran interés en biología y ecología. Se analiza el crecimiento de poblaciones bajo el supuesto que están determinadas por tasas de nacimientos y muertes. Esta información permite relacionar los valores de las poblaciones de un período de tiempo con el siguiente, pudiendo de esa forma predecir cómo evolucionará una población en el tiempo. Esto da lugar, en las situaciones más simples, a ecuaciones lineales.\n\n
"},{"esp":"Si tenemos dos variables x e y, y expresamos los valores de estas variables en el tiempo o instante n, lo denotaremos por xn e yn. Un sistema de ecuaciones lineales recursivas, construido de esta forma, queda expresado por: \n\n\\[x_{n+1}= a \\cdot x_{n} + b \\cdot y_{n}\\] \\[ y_{n+1} = c \\cdot x_{n} + d \\cdot y_{n}\\]\n\n
Un sistema de ecuaciones lineales recursivo es una forma de representar la interacción entre dos variables en un sistema de datos que varía en el tiempo, es decir, cuando los valores futuros de las variables dependen de los valores anteriores. Este tipo de modelos se usan en áreas como la economía, la ecología, la matemática, entre otras. \n
donde los coeficientes a, b, c y d son números reales que no dependen de n, y describen las influencias de una variable sobre la otra.\n","tipo":"p","eng":"If we have two variables x and y, and we express the values of these variables in time or instant n, we will denote it by x n and yn. A system of recursive linear equations, constructed in this way, is expressed by:\n\n\\[x_{n 1}= a \\cdot x_{n} b \\cdot y_{n}\\] \\[ y_{n 1} = c \\cdot x_{n} d \\cdot y_{n}\\]\n\n
where the coefficients a, b, c and d are real numbers that do not depend on of n, and describe the influences of one variable on the other."},{"tipo":"p","esp":"Conocidos los valores de xn e yn para un cierto instante n, el sistema de ecuaciones nos permite calcular los valores de xn+1 e yn+1. \n\n
En muchas ocasiones, es necesario recuperar valores de un tiempo anterior a n+1. Si por ejemplo, conocemos los valores de xn+1 e yn+1, las incógnitas del problema serían xn e yn, por tanto, se genera un sistema de ecuaciones. Este tipo de cálculos se realizarán en esta clase.\n\n
Cabe notar que estas ecuaciones son simplificaciones de la realidad, puesto que los ecosistemas son sistemas complejos, donde hay muchas variables involucradas.","eng":"Knowing the values of xn and yn for a certain instant n, the system of equations allows us to calculate the values of xn 1 and yn 1.\n\n
In many cases, it is necessary to retrieve values from a time prior to n 1. If, for example, we know the values of xn 1 and yn 1, the unknowns of the problem would be < i>xn and yn, therefore, a system of equations is generated. These types of calculations will be performed in this class.\n\n
It should be noted that these equations are simplifications of reality, since ecosystems are complex systems, where there are many variables involved."}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Dar significado a las variables involucradas en el problema"},{"tipo":"p","eng":"In this activity it is of vital importance that your students can attribute a meaning to the variables, constants, unknowns and the operation that relates them. With this, the ability to mathematically model a problem that arises from a real context is promoted.
","esp":"
\n\nMathematical tasks such as those carried out in this activity are ideal for significantly developing the ability to argue in your students. It is key that, during the development of the class, you can ask questions that motivate your students to think more deeply about the concepts covered. For example, ask questions like: what convinced you that this value is added and not subtracted in the expression?\nEn esta actividad es de vital importancia que sus estudiantes puedan atribuir un significado a las variables, constantes, incógnitas y a la operatoria que las relaciona. Con esto, se promueve la habilidad de modelar matemáticamente un problema que surge desde un contexto real.
"},{"esp":"Expresiones recursivas","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"
\n\nTareas matemáticas como las realizadas en esta actividad, son ideales para desarrollar de manera significativa la habilidad de argumentar en sus estudiantes. Es clave que, durante el desarrollo de la clase, pueda plantear preguntas que motiven a sus estudiantes a razonar más profundamente acerca de los conceptos abordados. Por ejemplo, plantear preguntas como: ¿qué te convenció de que este valor se suma y no se resta en la expresión?\nThis is probably the first time your students are dealing with recursive expressions. In these cases, a first care is to make clear the use and meaning of the subscript. In our context, the subindex is the year from which the data is being considered, and it is very useful to refer to the values of the same variable in different periods of time. Thus, the evolution of this variable over time can be studied.\n\n
","tipo":"p","esp":"
The use of recursive expressions arises frequently when analyzing some biological phenomena over time, therefore, it is a useful field of knowledge in various professional careers.\n\n
In working with population growth, other factors could be explicitly considered, such as the existence of predators that decrease the population. In this activity, we only consider a mortality rate without indicating what it is composed of, this could consider a synthesis of the possible causes of death of the ducks. Indicating this information separately or involving other variables makes the equations that model the problem much more complex, which under certain circumstances even stop being linear.\nEs probable que sea la primera vez que sus estudiantes se enfrenten a expresiones recursivas. En estos casos, un primer cuidado es dejar claro el uso y significado del subíndice. En nuestro contexto, el subíndice es el año del que se están considerando los datos, y es de gran utilidad para referirse a los valores de una misma variable en distintos períodos de tiempo. Así, se puede estudiar la evolución de esta variable a lo largo del tiempo.\n\n
"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"esp":"
El uso de expresiones recursivas surge de manera frecuente al analizar algunos fenómenos biológicos en el tiempo, por tanto, es un campo útil de conocimiento en diversas carreras profesionales.\n\n
En el trabajo con crecimiento poblacional, se podrían considerar explícitamente otros factores, como la existencia de depredadores que disminuyen la población. En esta actividad, consideramos sólo una tasa de mortalidad sin indicar de qué está compuesta, esta podría considerar una síntesis de las posibles causas de muerte de los patos. Indicar por separado esta información o bien involucrar otras variables, complejizan mucho más las ecuaciones que modelan el problema, las que en bajo ciertas circunstancias, incluso dejan de ser lineales.\nPara el desarrollo de esta actividad es fundamental una comprensión básica del contexto del problema, que se basa en posibles relaciones entre individuos que componen un ecosistema. Esta descripción, permitirá fomentar que los y las estudiantes den sentido a los objetos matemáticos involucrados, y que den significado a parámetros, variables y sus relaciones (expresadas mediante ecuaciones recursivas) a partir de su comprensión del contexto. \n\n
","eng":"
Por este motivo, se definen a continuación los conceptos fundamentales y se indica brevemente cuál será su rol durante la clase. \nFor the development of this activity, a basic understanding of the context of the problem is essential, which is based on possible relationships between individuals that make up an ecosystem. This description will encourage students to make sense of the mathematical objects involved, and to give meaning to parameters, variables and their relationships (expressed through recursive equations) based on their understanding of the context.\n\n
","tipo":"p"},{"esp":"Sistema Ecológico o Ecosistema ","eng":"Ecological System or Ecosystem","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"
For this reason, the fundamental concepts are defined below and briefly indicates what their role will be during the class.\nEs un lugar de la naturaleza constituido por un espacio determinado y los seres que lo habitan. Están formados por dos elementos principales: \n
","eng":"It is a place of nature constituted by a determined space and the beings that inhabit it. They are made up of two main elements:\n
"},{"esp":"Los organismos vivos (seres o factores bióticos), son todos aquellos seres con vida que habitan un medio, ya sean microorganismos, vegetales, peces, aves o cualquier animal, como por ejemplo nosotros, los humanos. \n
El espacio físico (elementos o factores abióticos), está formado por componentes como la energía, el calor, la luz, el aire, los minerales, la disponibilidad de agua y los suelos.
\n
\nFuente: www.ecologiaverde.com","eng":"Living organisms (biotic beings or factors) are all those living beings that inhabit an environment, be they microorganisms, plants, fish, birds or any animal, such as us humans.\n
The physical space (abiotic elements or factors) is made up of components such as energy, heat, light, air, minerals, water availability and soil .
\n
\nFountain:","tipo":"p"},{"esp":"Definiciones ","eng":"Definitions","tipo":"h3"},{"eng":"To understand the context of this activity we have included definitions of the terms that we will use. These were consulted, mainly, in the Royal Spanish Academy (RAE).
","esp":"Para la comprensión del contexto de esta actividad hemos incluido definiciones de los términos que utilizaremos. Estas fueron consultadas, principalmente, en la Real Academia Española (RAE).
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Begin the lesson by asking the following questions:
"},{"eng":"Allow time for students to discuss these questions, and promote understanding of the context of the problem: the growth of populations in an ecosystem.
","esp":"
\n\nProject the Infographic \"population growth\" and read it together with the students, focusing on the variation of the population over time.Dé tiempo para que las y los estudiantes comenten estas preguntas, y promueva la comprensión del contexto del problema: el crecimiento de poblaciones en un ecosistema.
"},{"esp":"Proponga preguntas similares a las del inicio, para fortalecer las ideas presentes en la infografía.","tipo":"p","eng":"Propose questions similar to those at the beginning, to strengthen the ideas present in the infographic."},{"eng":"
\n\nProyecte la Infografía \"crecimiento de poblaciones\" y léala en conjunto con las y los estudiantes, centrando el foco en la variación de la población en el tiempo.\nStart by describing the situation that will be worked on in this class. Show slide 3 and 4, and read it together with your students. It is essential to contextualize the problem.\n
","esp":"\nParta por describir la situación que se trabajará en esta clase. Muestre la diapositiva 3 y 4, y léala en conjunto con sus estudiantes. Es fundamental para contextualizar el problema.\n
"},{"esp":"Contexto
\nEn un estudio acerca de la población de una determinada especie de patos en una zona de nuestro país, se clasificó a los individuos de esta especie en dos tipos: “adultos” y “jóvenes”.\n \nEn esta población, al igual que en otras especies, ocurre que:
\n
\nIn a study about the population of a certain species of ducks in an area of our country, the individuals of this species were classified into two types: \"adults\" and \"young\".\n \nIn this population, as in other species, it happens that:
\nDurante varios años un especialista estuvo analizando esta población, lo que llevó a determinar índices que permiten estimarla anualmente con bastante precisión, cualquiera sea el año que se considere. La información que reportó en el informe del año 2023, es la siguiente:
","tipo":"p","eng":"For several years a specialist was analyzing this population, which led to the determination of indices that allow it to be estimated annually with great precision, whatever the year considered. The information he reported in the 2023 report is as follows: "},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/imagenes/2%20%283%29.png","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/estimacion-poblaciones/tabla-informacion-vf.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","escala":"50"},{"tipo":"p","eng":"
Discuss that from this information, it is possible to estimate the duck population for 2024 and also for previous years, applying mathematical ideas and concepts. Ask questions that allow your students to think about mathematical topics or content that can be used in this process:\n
","esp":"Comente que a partir de esta información, es posible estimar la población de patos del 2024 y también la de años anteriores, aplicando ideas y conceptos matemáticos. Plantee preguntas que permitan a sus estudiantes pensar en temas o contenidos matemáticos que pueden ser utilizados en este proceso:\n
"},{"eng":"Se espera que den respuestas como: fórmulas, ecuaciones, funciones, relaciones algebraicas, proporcionalidad, etc. Destaque algunas de ellas, sin entrar en detalles.\n
","eng":"They are expected to give answers such as: formulas, equations, functions, algebraic relationships, proportionality, etc. Highlight some of them, without going into details.\n
"},{"eng":"Then show slide 5 and state the central problem of the class:\n
","tipo":"p","esp":"Luego, muestre la diapositiva 5 y plantee el problema central de la clase:\n
"},{"esp":"Una persona interesada en la crianza de la especie de patos estudiada, \ntomó los datos de este especialista y a partir de ellos se preguntó:\n
A person interested in the breeding of the species of ducks studied,\nshe took the data from this specialist and from them asked herself:\n
A continuación, comente que la clase estará centrada en ayudar a responder ambas preguntas. Pida a sus estudiantes que inicien el trabajo en la primera parte de la Hoja de Actividades.
","eng":"Next, comment that the class will be focused on helping to answer both questions. Ask your students to start working on the first part of the Activity Sheet.
","tipo":"p"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"First part","esp":"Primera Parte"},{"tipo":"h4","eng":"Understanding the problem and modeling the equations","esp":"Comprensión del problema y modelamiento de las ecuaciones"},{"eng":"Begin this moment by asking the following question: What will the duck population be in 2024?. Then ask them to work on the first part of the Activity Sheet .","tipo":"p","esp":"Comience este momento planteando la siguiente pregunta: ¿Cuál será la población de patos en el 2024?. Luego pídales que trabajen en la primera parte de la Hoja de Actividades. Este trabajo es fundamental pues les ayudará a comprender y relacionar entre sí las distintas variables involucradas en el problema. Por ejemplo, para determinar la cantidad de patos jóvenes fallecidos en el 2023, deberán utilizar la tasa de mortalidad de patos jóvenes y su cantidad. "},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","eng":"1. Calculate the following amounts and record them in the corresponding boxes.
a. The number of young ducks that died in 2023 is ________.
b. The number of young pups by 2023 is ________.
c. The number of young ducklings that will still be young in 2024 is ________.
d. The number of dead adult ducks in 2023 is ________.
e. The number of young ducks that will become adults in 2023 is ________.\n\n2. Based on the above data, what will be the population of young and adult ducks in 2024?
","esp":"1. Calcula las siguientes cantidades y regístralas en las casillas correspondientes.
a. La cantidad de patos jóvenes fallecidos el 2023 es ________.
b. La cantidad de crías jóvenes para el 2023 es ________.
c. La cantidad de patos jóvenes que seguirán siendo jóvenes el 2024 es ________.
d. La cantidad de patos adultos fallecidos el 2023 es ________.
e. La cantidad de patos jóvenes que se convertirán en adultos el 2023 es ________.\n\n2. Basándote en los datos anteriores, ¿cuál será la población de patos jóvenes y adultos el 2024?
"},{"esp":"Dé tiempo para que las y los estudiantes aborden estas preguntas y luego pida que compartan sus respuestas con el curso. Promueva que ellos expliquen los cálculos hechos en la pregunta 1.
","eng":"Allow time for students to address these questions and then have them share their answers with the class. Encourage them to explain the calculations made in question 1.
","tipo":"p"},{"esp":"Se esperan las siguientes respuestas en la primera pregunta:\n- \n\n
Como el contexto se refiere a cantidad de individuos, es probable que sus estudiantes opten por aproximar o truncar ciertas cantidades y utilizar el número natural obtenido, sin embargo, pídales que por el momento no lo hagan. En el caso que pregunten por qué, puede mostrarles el siguiente ejemplo, en el que al truncar se obtiene una cifra final muy diferente: \n
","eng":"Since the context refers to number of individuals, it is likely that your students will choose to round or truncate certain quantities and use the natural number obtained, however, ask them not to do this for now. In case they're wondering why, you can show them the following example, where truncating results in a very different final figure:\n
"},{"esp":"Si en una población de 25 patos, en un año muere la mitad y no nacen otros. Y de los que quedan vivos cada uno aporta 4 crías. Podemos abordarlo con los siguientes cálculos, si sabemos que mueren 252 = 12,5 patos:\n
Post out the use of special notation to refer to the amounts mentioned. Suggest YOUNG2024 or simply J2024 to represent the number of YOUNG ducks in 2024. Encourage the use of this notation as a synthesis of the idea that simplifies language, but requires that it be understood by everyone.
Project the following two calculation procedures on the board to obtain J2024 and A2024, as shown on slide 7. Point out that one is correct and the other is not, and that they need to identify which is which. Give them time to discuss them and then share them with your students. This phase is very important in class, as it will allow your students to explain the numerical relationships that will become algebraic in the next question.","tipo":"p","esp":"Luego, pídales que justifiquen las relaciones propuestas para obtener las respuestas de la pregunta 2. Haga notar las relaciones involucradas entre los datos que permiten obtener la información del año siguiente.
Plantee el uso de notación especial para referirse a las cantidades mencionadas. Sugiera JOVENES2024 o, simplemente J2024 para representar la cantidad de patos JÓVENES el 2024. Promueva el uso de esta notación como una síntesis de la idea que simplifica el lenguaje, pero que requiere que sea comprendido por todos y todas.
Proyecte en la pizarra las siguientes dos procedimientos de cálculo para obtener J2024 y A2024, como se muestran en la diapositiva 7. Indique que una de ellas es correcta y la otra no, y que ellos deben identificar cuál es cuál. Dé tiempo para que las analicen y luego haga una puesta en común con sus estudiantes. Esta fase es muy importante dentro de la clase, pues les permitirá a sus estudiantes explicar las relaciones numéricas que en la siguiente pregunta se transformarán en algebraicas."},{"caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/imagenes/3%20%281%29.png","alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/imagenes/3%20%281%29.png","tipo":"img"},{"eng":"Encourage your students to express the justifications and explain the numerical relationships that they observe in the previous procedures. Allow them to convince themselves that procedure 1 is correct, without you giving them the final verdict. To promote an effective conversation about the topic, ask questions such as:","esp":"Promueva que sus estudiantes expresen las justificaciones y expliquen las relaciones numéricas que observan en los procedimientos anteriores. Permita que puedan convencerse de que el procedimiento 1 es el correcto, sin que usted sea quien les indique el veredicto definitivo. Para promover una conversación efectiva acerca del tema, plantee preguntas como:","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","eng":"
Note that the use of years as subscripts is really important to quickly understand what the variables refer to, and also because later in this class, we will change the subscripts to other years.","recurso":"Destacado","esp":"Es fundamental la utilización de notación algebraica: A2024 y J2024; A2023 y J2023; o bien, la que ustedes hayan acordado utilizar.
Considere que el uso de los años como subíndices es de real importancia para entender rápidamente a qué se refieren las variables y, también porque más adelante en esta misma clase, cambiaremos los subíndices por otros años.\n"},{"eng":"Then ask them to answer question 3 on the Activity Sheet.","tipo":"p","esp":"A continuación, pida que respondan la pregunta 3 de la Hoja de Actividades. \n"},{"esp":"\n3. Expresa algebraicamente los cálculos del procedimiento correcto.
\n\nTe sugerimos utilizar las siguientes variables:\n
\n\nWe suggest using the following variables:\nNext, ask them to answer the next question on the Activity Sheet.
","esp":"A continuación, pida que respondan la siguiente pregunta de la Hoja de Actividades.
"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/imagenes/6%20%281%29.png"},{"tipo":"p","esp":"Se espera que planteen las siguientes ecuaciones, indicando el significado de cada uno de los términos que están involucrados, utilice un lugar visible de la pizarra para ir registrando la información proporcionada por sus estudiantes. A continuación, puede proyectar la diapositiva 10 una vez que sus estudiantes hayan compartido las respuestas.","eng":"They are expected to pose the following equations, indicating the meaning of each of the terms that are involved, use a visible place on the board to record the information provided by their students. You can then project slide 10 after your students have shared their responses."},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/imagenes/7%20%281%29.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/imagenes/7%20%281%29.png","alinea":"texto-centrado","escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img"},{"esp":"Al momento de realizar la puesta en común, asegúrese de que todos y todas comprendan el significado de las expresiones algebraicas y de las relaciones entre ellas. Además, considere la reducción de términos semejantes en cada ecuación, para esto, señale los cálculos realizados y avance a la siguiente diapositiva, en la que se muestran estos resultados.\n","tipo":"p","eng":"When doing the sharing, make sure that everyone understands the meaning of the algebraic expressions and the relationships between them. Also, consider reducing like terms in each equation by marking the calculations you performed and moving on to the next slide, which shows these results."},{"esp":"4. Si tuviéramos los valores del 2022, ¿cómo calcularíamos las cantidades del 2023? Considera las mismas las tasas y coeficientes que hemos utilizado.\n\n
5. Considerando que no sabemos las cantidades del 2022 pero que sí sabemos las del 2023 (187 adultos y 1769 jóvenes), ¿de qué manera calcularíamos las cantidades del 2022? ","tipo":"momento","eng":"4. If we had the values for 2022, how would we calculate the amounts for 2023? Consider the same rates and coefficients that we have used.\n\n
5. Considering that we do not know the numbers for 2022 but we do know those for 2023 (187 adults and 1769 youth), how would we calculate the numbers for 2022?","recurso":"Actividades"},{"esp":"Promueva que sus estudiantes compartan respuestas de 4 y 5 con todo el curso. Plantee preguntas para que hagan explícita la relación recursiva entre las cantidades de patos de dos años consecutivos y que reconozcan la aparición de un sistema de ecuaciones. Puede plantear preguntas como:","tipo":"p","eng":"Encourage your students to share answers of 4 and 5 with the whole class. Ask questions to make explicit the recursive relationship between the numbers of ducks in two consecutive years and to recognize the appearance of a system of equations. You can ask questions like:"},{"eng":"
Ask your students to solve the following question on the activity sheet. This describes the steps to use the resolution by substitution method, since what is relevant for the class is not to focus on this or other forms of algebraic resolution, but rather that they emerge as a means that helps us find solutions to the central problem.","tipo":"p","esp":"Dado que ya están formalizadas las ecuaciones cuyas incógnitas son A2022 y J2022, si usted lo considera apropiado o conveniente para realizar este cálculo final, puede sugerir a sus estudiantes que reemplacen dichas incógnitas por las letras tradicionales en este tipo de problemas x e y.\n
Pida a sus estudiantes que resuelvan la siguiente pregunta de la hoja de actividades. En esta se describen los pasos para utilizar la resolución por método de sustitución, ya que lo relevante para la clase no es focalizarnos en este u otras formas de resolución algebraica, sino que surjan como un medio que nos ayuda a buscar soluciones al problema central.\n"},{"esp":"1. Utiliza el siguiente método para resolver el sistema de ecuaciones, denominado método de sustitución.
","tipo":"momento","eng":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/imagenes/tabla.png\")
1. Use the following method to solve the system of equations, called the substitution method.
","recurso":"Actividades"},{"eng":"Make a sharing with the intention that your students share the solutions of the system of equations, since it is relevant in the work that follows. Encourage your students to detect possible errors made in their calculations by comparing them with those of their classmates.
You can ask questions that allow you to explore the methods of solving systems of equations that your students know: graphing both lines and identifying the point where they intersect, or using other solving methods (equalization or reduction ).\n\n
Remember that there is still one question for the class that we still need to answer: What will the duck population have been in 2021? Encourage your students to think about how they will be able to obtain these values, generalizing the previous reasoning and conclusions. They are expected to comment that with the data recently obtained they will propose a new system of equations, which will allow finding the populations of adult and young ducks for 2021, that is, considering A2021 and J2021 as unknowns.
\n\nAfter your students have shared their answers, appreciate the work and effort they put in in this class, since important mathematical concepts were addressed in solving real-life problems.","tipo":"p","esp":"Haga una puesta en común con la intención de que sus estudiantes compartan las soluciones del sistema de ecuaciones, pues es relevante en el trabajo que sigue. Promueva que sus estudiantes detecten posibles errores cometidos en sus cálculos al compararlos con los de sus compañeros.
Puede plantear preguntas que permitan explorar los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones que conozcan sus estudiantes: graficando ambas rectas e identificar el punto en el que se intersectan, o la utilización de otros métodos de resolución (igualación o reducción).\n\n
Recuerde que todavía hay una pregunta de la clase que nos falta por responder: ¿Cuál habrá sido la población de patos en el 2021? Incentive a sus estudiantes a pensar en cómo podrán obtener estos valores, generalizando los razonamientos y conclusiones anteriores. Se espera que comenten que con los datos recién obtenidos planteen un nuevo sistema de ecuaciones, que permita encontrar las poblaciones de patos adultos y jóvenes del 2021, es decir, considerando A2021 y J2021 como incógnitas.
\n\nLuego de que sus estudiantes hayan compartido sus respuestas, valore el trabajo y esfuerzo que ellos y ellas hicieron en esta clase, ya que se abordaron conceptos matemáticos importantes en la resolución de problemas de la vida real.\n\n"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Sistematización","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 15 y 16, Presentación) ","eng":"(Slides 15 and 16, Presentation)"},{"esp":"Sistematice las siguientes ideas surgidas de la lección:","eng":"Systematize the following ideas that emerged from the lesson:","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"
\n\nIn addition, this document includes exercises that allow us to address how the fact that the data is truncated from the beginning affects the final result. In this way, the analysis of the relevance of the solutions of the system of equations is complemented.","esp":"La Guía Práctica busca que los y las estudiantes continúen abordando el problema estudiado en clase. Para lograrlo, basándose en la información recopilada y en el modelo matemático formalizado deberán plantear un nuevo sistema de ecuaciones, a través del cual se determina la respuesta definitiva a la pregunta central de la clase: ¿Cuál habrá sido la población de patos en el 2021?
\n\nAdemás, en este documento se incluyen ejercicios que permiten abordar cómo afecta en el resultado final, el hecho que desde un principio se trunquen los datos. De esta manera, se complementa el análisis de la pertinencia de las soluciones del sistema de ecuaciones.\n","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Pdf/guia-practica-poblaciones.pdf","recurso":"ModalGP","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Pdf/guia-practica-poblaciones.pdf"}]}}},"visible":true,"recursos":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Infographic \"Estimation of populations in ecosystems\"","esp":"Infografía “Estimación de poblaciones en ecosistemas”","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"The infographic describes the context of this activity, defines some concepts related to population estimation and shows examples of the evolution of some of these.\n
","esp":"En la infografía se describe el contexto de esta actividad, se definen algunos conceptos relacionados a la estimación de poblaciones y se muestran ejemplos de la evolución de algunas de estas.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Pdf/infografia_estimacion_de_poblaciones_en_ecosistemas_horizontal.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"tipo":"button","titulo":{"eng":"Descargar Infografía","esp":"Descargar Infografía"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Pdf/infografia_estimacion_de_poblaciones_en_ecosistemas_horizontal.pdf","eng":"","recurso":"Descarga"},{"tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 1 to 8)","esp":"Presentación (diapositivas 1 a 8)"},{"tipo":"p","eng":"Below you can view and download the full presentation, with the aim of supporting implementation in the classroom.
","esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa, con el objetivo de apoyar la implementación en el aula.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Pdf/ppt-poblaciones.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Pdf/ppt-poblaciones.pdf","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Doc/ppt-poblaciones.pptx","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Doc/ppt-poblaciones.pptx"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Hoja de Actividades","eng":"Worksheet","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.
","esp":"En este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Pdf/hoja-de-actividades-poblaciones.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Pdf/hoja-de-actividades-poblaciones.pdf","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Doc/hoja-de-actividades-poblaciones.docx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Doc/hoja-de-actividades-poblaciones.docx","recurso":"Descarga","tipo":"button","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 9 to 18)","esp":"Presentación (diapositivas 9 a 18)"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Pdf/ppt-poblaciones.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Pdf/ppt-poblaciones.pdf","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Doc/ppt-poblaciones.pptx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Doc/ppt-poblaciones.pptx"}]},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 19-20)","esp":"Presentación (diapositivas 19 a 20)"},{"eng":"Below you can view and download the complete presentation.
","tipo":"p","esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Pdf/ppt-poblaciones.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Pdf/ppt-poblaciones.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Doc/ppt-poblaciones.pptx","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Doc/ppt-poblaciones.pptx"}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Practical Guide","esp":"Guía Práctica","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"The guide also proposes exercises for students to practice the content studied in class.
","esp":"En la guía también se proponen ejercicios para que las y los estudiantes practiquen los contenidos estudiados en la clase.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Pdf/guia-practica-poblaciones.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Pdf/guia-practica-poblaciones.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Doc/guia-practica-poblaciones.docx","recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Poblaciones/Doc/guia-practica-poblaciones.docx","titulo":{"eng":"","esp":""}}]}},"visible":true}},"37":{"visible":true,"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Correlation coefficient","esp":"Coeficiente de correlación"},{"tipo":"p","esp":"El coeficiente de correlación lineal es una medida que nos permite cuantificar la relación entre dos variables. Dados dos conjuntos de datos de igual tamaño, \\(x_1,\\ldots, x_n\\) e \\(y_1,\\ldots, y_n\\), el coeficiente de correlación entre ellos se calcula mediante la siguiente fórmula: ","eng":"The linear correlation coefficient is a measure that allows us to quantify the relationship between two variables. Given two data sets of equal size, \\(x_1,\\ldots, x_n\\) and \\(y_1,\\ldots, y_n\\), the correlation coefficient between them is calculated using the following formula:"},{"escala":"25","tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/exp%20oceanicas/img/2%20%283%29.png","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/exp%20oceanicas/img/2%20%283%29.png"},{"esp":"En donde \\(\\overline{x}\\) e \\(\\overline{y} \\) son los respectivos promedios de los conjuntos de datos.","tipo":"p","eng":"Where \\(\\overline{x}\\) and \\(\\overline{y} \\) are the respective averages of the data sets."},{"eng":"The closer the correlation coefficient is to \\(1\\) or \\(-1\\), the better the data is expected to fit a line. When it is exactly \\(1\\) or \\(-1\\), in fact, there is always a linear relationship between the variables. If the variables are not related or are related in a non-linear way, the value of the correlation coefficient is more likely to be close to zero.","esp":"Cuanto más cercano es el coeficiente de correlación a \\(1\\) o \\(-1\\), se espera que los datos se ajusten mejor a una recta. Cuando es exactamente \\(1\\) o \\(-1\\), de hecho, siempre hay una relación lineal entre las variables. Si las variables no están relacionadas o lo hacen de forma no lineal, es más probable que el valor del coeficiente de correlación sea cercano a cero.","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"Valores atípicos","eng":"Atypical values"},{"esp":"Un valor o dato atípico es una observación extrema que no sigue el patrón o la tendencia general del resto de los datos. En un gráfico de dispersión, los datos atípicos son generalmente aquellos que se encuentran alejados del resto de las observaciones. Como los datos atípicos pueden afectar el análisis y la interpretación del valor del coeficiente de correlación lineal, es importante identificarlos.\n\n
El grado de influencia que los datos atípicos tienen sobre el valor del coeficiente de correlación lineal dependerá de la posición de este dato en el gráfico de dispersión. Al remover los datos atípicos, se pueden identificar al menos los siguientes casos:","tipo":"p","eng":"An outlier or data is an extreme observation that does not follow the general pattern or trend of the rest of the data. In a scatter plot, outliers are generally those that are far from the rest of the observations. Because outliers can affect the analysis and interpretation of the linear correlation coefficient value, it is important to identify them.\n\n
The degree of influence that outliers have on the value of the linear correlation coefficient will depend on the position of this data in the scatterplot. By removing outliers, at least the following cases can be identified:"},{"eng":"Atypical data that moves away from the linear trend","esp":"Dato atípico que se aleja de la tendencia lineal","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Cuando no se considera este tipo de datos, es usual que la magnitud del coeficiente de correlación aumente, ya que la correlación lineal es más fuerte. Dependiendo del tipo de relación, se tiene lo siguiente: ","eng":"When this type of data is not considered, it is usual for the magnitude of the correlation coefficient to increase, since the linear correlation is stronger. Depending on the type of relationship, you have the following:"},{"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/exp%20oceanicas/img/3%20%281%29.png","escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/exp%20oceanicas/img/3%20%281%29.png","tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"eng":"","esp":""}},{"esp":" \n - In medical contexts, it is common to use conditional probabilities as a tool for informed decision making . In this problem, we use real data that were obtained from reliable research and of official documents of the Minsal.
- \n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_batteries/imgs/tabla_hojaactividades_r2.png\")
\n","tipo":"momento","recurso":"Respuesta"},{"eng":" - The average velocity corresponds to the ratio between the change experienced by a variable in a time interval \\( \\Delta y\\) and the width of said interval \\ ( Δt \\).
\\[ \\text{Average velocity} = \\frac{\\Delta y}{\\Delta t} = \\frac{y_2-y_1}{t_2-t_1}\\]\n \n - In the case of the load function \\(Q(t)\\) that we are analyzing, the average speed of load in a given time interval is calculated: \n
- La velocidad media corresponde a la razón entre el cambio que experimenta una variable en un intervalo de tiempo \\( \\Delta y\\) y el ancho de dicho intervalo \\( \\Delta t \\).
\\[ \\text{Velocidad media} = \\frac{\\Delta y}{\\Delta t} = \\frac{y_2-y_1}{t_2-t_1}\\]\n \n - En el caso de la función de carga \\(Q(t)\\) que estamos analizando, la velocidad promedio de carga en un intervalo de tiempo dado se calcula: \n
- Usando los valores de la tabla del ítem 1, calcula la velocidad media de la carga de la batería Celular entre los 20 y 30 minutos.
- Using the values from the table in item 1, calculate the average speed of charging the Cellular battery between 20 and 30 minutes.
- La función de carga \\(Q(t)\\). \n
- La recta secante que pasa por dos puntos móviles, \\(P_1\\) y \\(P_2\\). \n
- Los valores de \\(\\Delta t\\) y \\(\\Delta Q\\). \n
- La pendiente \\(m\\) de la recta secante, que se calcula a partir de (\\Delta Q\\) y \\(\\Delta t\\).\n \n
- Los valores de \\(t_1)\\) y \\(t_2)\\) asociados a los puntos \\(P_1\\) y \\(P_2\\). \n
- The charge function \\(Q(t)\\). \n
- The secant line that passes through two moving points, \\(P_1\\) and \\(P_2\\). \n
- The values of \\(\\Delta t\\) and \\(\\Delta Q\\). \n
- The slope \\(m\\) of the secant line, which is calculated from (\\Delta Q\\) and \\(\\Delta t\\).\n \n
- The values of \\(t_1)\\) and \\(t_2)\\) associated to the points \\(P_1\\) and \\(P_2\\). \n
- Usando el recurso, calcula la velocidad media de la carga de la batería Celular entre los \\(30\\) y \\(45\\) minutos.
- Using the resource, calculate the average rate of Cellular battery charging between \\(30\\) and \\(45\\) minutes.
- \n
Complete the following tables:
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/tabla_hojaactividades_4.png\")
\n \n - \n
Looking at both tables, what happens to the slope of the secant line as \\(\\Delta t\\) approaches \\(0\\)?
\n \n - \n
Completa las siguientes tablas:
\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/tabla_hojaactividades_5.png\")
\n - \n
Al observar ambas tablas, ¿qué sucede con la pendiente de la recta secante cuando \\(\\Delta t\\) tiende a \\(0\\)?
\n \n ![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/tabla_hojaactividades_r3.png\")
2.","recurso":"Respuesta","tipo":"momento","esp":"
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/tabla_hojaactividades_r4.png\")
2. Cuando \\(\\Delta t\\) tiende a \\(0\\), tanto por la izquierda como por la derecha, la pendiente de la recta secante tiende a un valor que está en torno a \\(225{,}515\\).
Manipulate the GeoGebra resource from the previous activity to illustrate the following ideas:
\n- \n
- As \\(\\Delta t\\) tends to \\(0\\), the secant line becomes more and more similar to the tangent line to the graph of \\(Q(t)\\) at the point \\ ((30,Q(30))\\). \n
- Even if the secant line gets as close to the tangent line as you like, it will always be a secant. \n
- As \\(\\Delta t\\) approaches \\(0\\), the slope of the secant line approaches the slope of the tangent line to the graph of \\(Q(t)\\) at the point \\(( 30,Q(30))\\).\n \n
- The above implies that the rate at which the battery charge is changing at instant \\(t=30\\) (instantaneous rate) is equal to the limit of the average rates as \\(\\Delta t\\) tends to \\(0\\). This can be expressed:
\n\\[ \\text{instantaneous velocity} =\\lim\\limits_{\\Delta t \\to 0}\\frac{\\Delta Q}{\\Delta t} \\]\n \n - Using the GeoGebra resource we were able to estimate that the instantaneous velocity of the charge function \\(Q(t)\\) at instant \\(t=30\\) is \\(225{,}515 \\left[\\ frac{C}{min}\\right]\\).\n \n
Manipule el recurso de GeoGebra de la actividad anterior para ilustrar las siguientes ideas:
\n- \n
- En la medida que \\(\\Delta t\\) tiende a \\(0\\), la recta secante se va pareciendo cada vez más a la recta tangente al gráfico de \\(Q(t)\\) en el punto \\((30,Q(30))\\). \n
- Aunque la recta secante se acerque a la recta tangente tanto como se quiera, siempre será una secante. \n
- Cuando \\(\\Delta t\\) tiende a \\(0\\), la pendiente de la recta secante tiende a la pendiente de la recta tangente al gráfico de \\(Q(t)\\) en el punto \\((30,Q(30))\\).\n \n
- Lo anterior implica que la velocidad a la que está cambiando la carga de la batería en el instante \\(t=30\\) (velocidad instantánea) es igual al límite de las velocidad media cuando \\(\\Delta t\\) tiende a \\(0\\). Esto se puede expresar:
\n\\[ \\text{velocidad instantánea} =\\lim\\limits_{\\Delta t \\to 0}\\frac{\\Delta Q}{\\Delta t} \\]\n \n - Utilizando el recurso de GeoGebra pudimos estimar que el la velocidad instantánea de la función de carga \\(Q(t)\\) en el instante \\(t=30\\) es \\(225{,}515 \\left[\\frac{C}{min}\\right]\\). \n \n
A continuación, proceda a definir la razón de cambio instantánea y asociarla a la definición de derivada de una función en un punto.
","eng":"Next, proceed to define the instantaneous rate of change and associate it with the definition of the derivative of a function at a point.
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","recurso":"Destacado","esp":"Razón de cambio instantánea
\nDada la función \\(f(x)\\), la razón de cambio instantánea en \\(x = x_0\\) se define como:
\n\\[ \\lim\\limits_{\\Delta x \\to 0}\\frac{f(x_0+\\Delta x)-f(x_0)}{\\Delta x}\\]\n
\nEsta medida se interpreta como la tasa a la que la función \\(f(x)\\) está cambiando en el punto \\(x=x_0\\).
\nLa razón de cambio instantánea en \\(x=x_0\\) corresponde a la pendiente de la recta tangente al gráfico de \\(f(x)\\) en el punto \\((x_0,f(x_0)).
\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/Recta%20tangente.png\")
La derivada de \\(f(x)\\) en \\(x=x_0\\) se define como:
\n\\[ f’(x_0)=\\lim\\limits_{h \\to 0}\\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \\]
\nSi este límite existe.
\nLa definición de la derivada en un punto coincide con la definición de razón de cambio instantánea y corresponde además a la pendiente de la recta tangente al gráfico de \\(f(x)\\) en el punto \\((x_0,f(x_0))\\).\n
","eng":"Instantaneous rate of change
\nGiven the function \\(f(x)\\), the instantaneous rate of change in \\(x = x_0\\) is defined as:
\n\\[ \\lim\\limits_{\\Delta x \\to 0}\\frac{f(x_0 \\Delta x)-f(x_0)}{\\Delta x}\\]\n
\nThis measure is interpreted as the rate at which the function \\(f(x)\\) is changing at the point \\(x=x_0\\).
\nThe instantaneous rate of change in \\(x=x_0\\) corresponds to the slope of the tangent line to the graph of \\(f(x)\\) at the point \\((x_0,f(x_0)).< /p>\n
\nThe derivative of \\(f(x)\\) at \\(x=x_0\\) is defined as:
\n\\[ f’(x_0)=\\lim\\limits_{h \\to 0}\\frac{f(x_0 h)-f(x_0)}{h} \\]
\nIf this limit exists.
\nThe definition of the derivative at a point coincides with the definition of the instantaneous rate of change and also corresponds to the slope of the tangent line to the graph of \\(f(x)\\) at the point \\((x_0,f (x_0))\\).\n
"},{"esp":"\nHaga notar a sus estudiantes que, de acuerdo a la definición anterior, la velocidad instantánea a la que se carga la batería en el instante \\(t=0\\) estimada a través del GeoGebra, corresponde a la derivada de la función \\(Q(t)\\) en ese punto. Esto es
","eng":"\nPoint out to your students that, according to the above definition, the instantaneous rate at which the battery charges at instant \\(t=0\\) estimated through GeoGebra, corresponds to the derivative of the function \\(Q (t)\\) at that point. This is
","tipo":"p"},{"eng":"\\[ \\text{instantaneous velocity}=Q’(30) \\approx 225{,}515 \\left[\\frac{C}{min}\\right]\\]
","tipo":"p","esp":"\\[ \\text{velocidad instantánea}=Q’(30) \\approx 225{,}515 \\left[\\frac{C}{min}\\right]\\]
"},{"eng":"Invite your students to solve Activity 3, where they will apply what they have seen so far.
","tipo":"p","esp":"Invite a sus estudiantes a resolver la Actividad 3, donde aplicarán lo que han visto hasta ahora.
"},{"recurso":"Actividades","esp":"Actividad 3
\nEl recurso de GeoGebra que está en https://www.geogebra.org/m/kuhjcsnf entrega la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función de carga \\(Q(t)\\) en el punto \\((t_0, Q(t_0))\\). \n
\nUtiliza el recurso para responder las siguientes preguntas:
\n- \n
- \n
Determina el valor de las siguientes derivadas:
\n- \n
- \\(Q’(15)\\)
- \\(Q’(45)\\)
- \\(Q’(60)\\)
- \\(Q’(90)\\)
\n - \\(Q’(15)\\)
- \n
¿A qué velocidad \\(\\left[\\frac{C}{min}\\right]\\) está cargándose la batería en los siguientes instantes?
\n- \n
- A los 15 min.
- A los 45 min.
- A los 60 min.
- A los 90 min.
\n - A los 15 min.
- \n
¿Cuántas veces más rápido, aproximadamente, se carga la batería a los 15 min que a los 90 min?
\n \n
Activity 3
\nThe GeoGebra resource at https://www.geogebra.org/m/kuhjcsnf returns the slope of the tangent line to the graph of the charge function \\(Q(t)\\) at the point \\((t_0, Q(t_0))\\).\n
\nUse the resource to answer the following questions:
\n- \n
- \n
Determine the value of the following derivatives:
\n- \n
- \\(Q’(15)\\)
- \\(Q’(45)\\)
- \\(Q’(60)\\)
- \\(Q’(90)\\)
\n - \\(Q’(15)\\)
- \n
How fast is \\(\\left[\\frac{C}{min}\\right]\\) charging the battery at the following instants?
\n- \n
- At 15 min.
- At 45 min.
- At 60 min.
- At 90 min.
\n - At 15 min.
- \n
Approximately how many times faster does the battery charge in 15 min than in 90 min?
\n \n
- \n
- \n
Ingresando los valores de \\(t_0\\) a la casilla de entrada del recurso de GeoGebra, se obtienen los siguientes resultados:\n
\n- \n
- \\(Q’(15)=361{,}98\\)
- \\(Q’(45)=140{,}5\\)
- \\(Q’(60)=87{,}53\\)
- \\(Q’(90)=33{,}98\\)
\n - \\(Q’(15)=361{,}98\\)
- \n
¿A qué velocidad \\(\\left[\\frac{C}{min}\\right]\\) está cargándose la batería en los siguientes instantes?
\n- \n
- La velocidad de carga de la batería a los 15 min es \\(Q’(15)=361{,}98 \\left[\\frac{C}{min}\\right]\\).
- La velocidad de carga de la batería a los 45 min es \\(Q’(45)=140{,}5 \\left[\\frac{C}{min}\\right]\\).
- La velocidad de carga de la batería a los 60 min es \\(Q’(60)=87{,}53 \\left[\\frac{C}{min}\\right]\\). \n
- La velocidad de carga de la batería a los 90 min es \\(Q’(90)=33{,}98 \\left[\\frac{C}{min}\\right]\\). \n
\n - La velocidad de carga de la batería a los 15 min es \\(Q’(15)=361{,}98 \\left[\\frac{C}{min}\\right]\\).
\\( \\large{ \\frac{Q’(15)}{Q’(90)}} \\normalsize{=} \\large{\\frac{361{,}98}{33{,}98}} \\normalsize{\\approx 10{,}7 } \\). Por tanto, a los 15 min la batería se carga aproximadamente 10 veces más rápido que a los 90 min.
\n
- \n
- \n
Entering the values of \\(t_0\\) to the input box of the GeoGebra resource, the following results are obtained:\n
\n- \n
- \\(Q’(15)=361{,}98\\)
- \\(Q’(45)=140{,}5\\)
- \\(Q’(60)=87{,}53\\)
- \\(Q’(90)=33{,}98\\)
\n - \\(Q’(15)=361{,}98\\)
- \n
How fast is \\(\\left[\\frac{C}{min}\\right]\\) charging the battery at the following instants?
\n- \n
- The battery charge rate at 15 min is \\(Q’(15)=361{,}98 \\left[\\frac{C}{min}\\right]\\).
- The battery charge rate at 45 min is \\(Q'(45)=140{,}5 \\left[\\frac{C}{min}\\right]\\).
- The battery charge rate at 60 min is \\(Q’(60)=87{,}53 \\left[\\frac{C}{min}\\right]\\).\n
- The battery charge rate at 90 min is \\(Q’(90)=33{,}98 \\left[\\frac{C}{min}\\right]\\).\n
\n - The battery charge rate at 15 min is \\(Q’(15)=361{,}98 \\left[\\frac{C}{min}\\right]\\).
\\( \\large{ \\frac{Q'(15)}{Q'(90)}} \\normalsize{=} \\large{\\frac{361{,}98}{33{,} 98}} \\normalsize{\\approx 10{,}7 } \\). Therefore, after 15 min the battery charges approximately 10 times faster than at 90 min.
\n
Based on what was done in class, systematize the following ideas:
","tipo":"p","esp":"En base a lo realizado en clases, sistematice las siguientes ideas:
"},{"esp":"- \n
- \nPara una variable \\(y = f(x)\\) que está en función de la variable independiente \\(x\\), la razón de cambio es:\n\\[\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}=\\frac{f \\left( x + \\Delta x \\right) - f(x)}{\\Delta x}\\]\n\n \n
- \nLa razón de cambio es igual a la pendiente de la recta secante al gráfico de \\(f(x)\\) que pasa por los puntos \\((x_0,f(x_0)\\) y \\((x_0 + \\Delta x,f(x_0 + \\Delta x)\\).\n\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/imgs/Recta%20secante.png\")
\n - \nCuando la función \\(f(t)\\) depende del tiempo, la razón de cambio se conoce como velocidad media.\n \n
- \n
- \nFor a variable \\(y = f(x)\\) that is a function of the independent variable \\(x\\), the rate of change is:\n\\[\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}=\\frac{f \\left( x \\Delta x \\right) - f(x)}{\\Delta x}\\]\n\n \n
- \nThe rate of change is equal to the slope of the secant line to the graph of \\(f(x)\\) passing through the points \\((x_0,f( x_0)\\) and \\((x_0 \\Delta x,f(x_0 \\Delta x)\\).\n\n
\n\n - \nWhen the function \\(f(t)\\) depends on time, the rate of change is known as average velocity.\n \n
Los ejercicios de la Guía práctica, presenta un modelo simplificado de lo que hace un atleta al correr los 100 metros planos, en el que trata de alcanzar su máxima velocidad, en un periodo de aceleración y luego trata de mantener esa velocidad máxima hasta el final de la carrera.
","eng":"The exercises in the Practical Guide present a simplified model of what an athlete does when running the 100-meter dash, in which he tries to reach his maximum speed, in a period of acceleration and then tries to maintain that maximum speed until the end of the race.
","tipo":"p"},{"eng":"In the first exercise, the question is open, the idea is to invite your students to discuss the conditions that could help them determine the possible winner of the race, having two students, Martina, whose acceleration is less, but she manages to maintain it for more time than Tomás, that his acceleration is greater, but in less time. These data are not conclusive on their own, so average speed and instantaneous speed must be applied, in order to have a complete picture and answer the other questions proposed.","tipo":"p","esp":"En el primer ejercicio, la pregunta es abierta, la idea es que invite a sus estudiantes a discutir las condiciones que podrían ayudarles a determinar al posible ganador de la carrera, teniendo dos estudiantes, Martina que su aceleración es menor, pero logra mantenerla por más tiempo que Tomás, que su aceleración es mayor, pero en menos tiempo. Estos datos no son concluyentes por sí solos, por lo que deben aplicar velocidad media y velocidad instantánea, para tener un panorama completo y responder las demás preguntas propuestas."},{"esp":"Utilizando un recurso de GeoGebra.
","tipo":"p","eng":"- They solve problems related to the instantaneous speed of a change.
- They justify their answers, using the derivative of functions.\n
- Resuelven problemas relacionados con la rapidez instantánea de un cambio.
- Argumentan sus respuestas, utilizando la derivada de funciones.\n
- ¿Cómo funciona el riego por pivotes? ¿conocías este sistema de riego? \n
- ¿Por qué el sistema de riego con pivote central podría ser más eficiente? \n
- El pivote A mide 30 metros de largo.
- El pivote B mide 60 metros de largo.
- ¿Qué tan grande es la zona que riega el pivote A? ¿Y el B?
- ¿Cuánto crees que es la medida del largo del pivote utilizado?
- Calcula el largo del pivote utilizado.
- Cuando un pivote gira alrededor de un punto, crea una superficie regada que adopta la forma de un círculo. Para calcular el área de dicho círculo, se emplea la fórmula \\(A=\\pi \\cdot r^{2}\\), donde el radio corresponde a la longitud del pivote.\n
- A medida que la longitud del pivote aumenta, su capacidad para cubrir una extensa superficie de riego también se incrementa. Cuando el pivote tiene una longitud de 30 metros, el área regada es aproximadamente de 2826 \\(m^2\\), al aumentar la longitud del pivote en 5 metros, es decir, a 35 metros, el área regada se incrementa significativamente a aproximadamente 3847 \\(m^2\\). En nuestra actividad vimos que al aumentar el radio de un círculo al doble, su área se cuadruplica.
- \n Para expresar la medida de áreas utilizamos la hectárea, la cual corresponde a 10 000 \n\\(m^2\\), que es una unidad de medida muy utilizada para medir grandes extensiones de terreno.\n
- La utilización de pivote en la agricultura permite optimizar el uso del agua utilizada para sembrar grandes extensiones de terrenos agrícolas.
- Calculan y estiman el área de círculos con apoyo de software.
- Comuna de Primaveras. Magallanes, Punta Arenas (Magallanes).
- Longovilo, al sur de Melipilla (Longovilo).
- Distribución uniforme del agua
- Mayor alcance y cobertura
- Menor pérdida de agua por evaporación \n
- Mayor automatización y control
- Costo inicial
- Consumo de energía (electricidad)\n
- Necesidad de mantenimiento
- Limitaciones en la selección de cultivos y topográficas
- ¿Conocías las momias Chinchorro?
- ¿En qué lugar se ubicaba esta cultura?
- ¿Cómo se puede estimar la antigüedad de una momia?
- Did you know the Chinchorro mummies?
- Where was this culture located?
- How can you estimate the age of a mummy?
- Las momias Chinchorro son las más antiguas encontradas hasta la fecha.
- La cultura Chinchorro y la mayoría de sus asentamientos y vestigios se encuentran en el norte del país.
- La antigüedad de una momia o cualquier organismo vivo puede estimarse utilizando la cantidad de átomos de Carbono 14.
- The Chinchorro mummies are the oldest found to date.
- The Chinchorro culture and most of its settlements and vestiges are found in the north of the country.
- The age of a mummy or any living organism can be estimated using the number of Carbon 14 atoms.
- El Carbono 14 se absorbe en los organismos durante su vida y, al morir, la cantidad de átomos de C-14 en una muestra orgánica empieza a disminuir.
- Supondremos que la concentración de C-14 en el ambiente ha sido constante en los últimos \\(50.000\\) años y que los seres vivos mantienen la misma proporción de C-14 en sus tejidos.
- El C-14 tiene un período de semidesintegración de \\(5.730\\) años, lo que significa que después de este tiempo, en el organismo quedará la mitad de los átomos de C-14 que estaban presentes al momento de su muerte.
- La datación por C-14 es precisa para objetos que tienen menos de \\(50.000 \\) años. Después de ese período, la cantidad residual de C-14 en los organismos es tan pequeña que se vuelve difícil de medir con precisión.
It is possible that the approximations of the students in question 2 are slightly different from the percentages of a generic battery, but they are close enough to these values.\n
","esp":"Es posible que las aproximaciones de las y los estudiantes en la pregunta 2 sean levemente distintas a los porcentajes de una batería genérica, pero son lo suficientemente cercanos a dichos valores.\n
","tipo":"p"},{"esp":"A continuación, proponga a sus estudiantes abordar el problema de determinar la velocidad a la que se está cargando esta batería en un instante cualquiera.
","tipo":"p","eng":"Next, ask your students to tackle the problem of determining the rate at which this battery is being charged at any given instant.
"},{"tipo":"momento","eng":"To get started, remind your students that:\n- \n
- \n
A modo de ejemplo, muestre cómo se calcula la velocidad media de carga entre 0 y 10 minutos.
","eng":"As an example, show how the average upload speed between 0 and 10 minutes is calculated.
"},{"tipo":"p","esp":"\\[ \\text{Velocidad media} = \\frac{\\Delta Q}{\\Delta t} = \\frac{Q(10)-Q(0)}{10-0}= \\frac{4.983-0}{10} = 498{,}3 \\frac{C}{min}\\]\n
","eng":"\\[ \\text{Average velocity} = \\frac{\\Delta Q}{\\Delta t} = \\frac{Q(10)-Q(0)}{10-0}= \\frac{4.983-0 }{10} = 498{,}3 \\frac{C}{min}\\]\n
"},{"esp":"En este momento pida que respondan la pregunta 3 de la Actividad 1.\n
","tipo":"p","eng":"Now ask them to answer question 3 of Activity 1.\n
"},{"esp":"Actividad 1
\nActivity 1
\n\nUsando la expresión para calcular la velocidad media obtenemos:\n
\n\\[ \\text{Velocidad media} = \\frac{Q(30)-Q(20)}{30-20}= \\frac{11.269-8.618}{10}= 265{,}1 \\frac{C}{min} \\]
\n\n","eng":"\nUsing the expression to calculate the average speed we obtain:\n
\n\\[ \\text{Average speed} = \\frac{Q(30)-Q(20)}{30-20}= \\frac{11.269-8.618}{10}= 265{,}1 \\frac{ C}{min}\\]
","tipo":"momento","recurso":"Respuesta"},{"eng":"Next, indicate that calculations of mean velocities can also be represented graphically, and present the following resource from GeoGebra.\n
","esp":"A continuación, indique que los cálculos de velocidades medias también pueden ser representados de manera gráfica y presente el siguiente recurso de GeoGebra.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Comente a sus estudiantes que el recurso muestra:
","eng":"Tell students that the resource shows:
"},{"tipo":"p","esp":"- \n
- \n
Manipulate the resource to display the secant line between the points \\((20,Q(20))\\) and \\((30,Q(30))\\). Point out that the way in which the slope of said line is calculated coincides with the calculation of the average velocity between \\(t_1=20\\) and \\(t_2=30\\).
","tipo":"p","esp":"Manipule el recurso para mostrar la recta secante entre los puntos \\((20,Q(20))\\) y \\((30,Q(30))\\). Destaque que la forma en que se calcula la pendiente de dicha recta coincide con el cálculo de la velocidad media entre \\(t_1=20\\) y \\(t_2=30\\).
"},{"eng":"\\[\\frac{\\Delta Q}{\\Delta t}=265{,}14 \\frac{C}{min}\\]
","esp":"\\[\\frac{\\Delta Q}{\\Delta t}=265{,}14 \\frac{C}{min}\\]
","tipo":"p"},{"esp":"A continuación, pida que respondan la pregunta 4 de la Actividad 1.
","tipo":"p","eng":"Next, ask them to answer question 4 of Activity 1.
"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"Actividad 1
\nActivity 1
\nWhen we set the values \\(t_1=30\\) and \\(t_2=45\\) in the resource, we have that the slope of the secant line, and therefore the average speed in that time interval is:< /p>\n
\\[\\frac{\\Delta Q}{\\Delta t}=179{,}67 \\frac{C}{min}\\]
","esp":"Cuando en el recurso fijamos los valores \\(t_1=30\\) y \\(t_2=45\\), se tiene que la pendiente de la recta secante, y por tanto la velocidad media en ese intervalo de tiempo es:
\n\\[\\frac{\\Delta Q}{\\Delta t}=179{,}67 \\frac{C}{min}\\]
","tipo":"momento","recurso":"Respuesta"},{"esp":"En este momento, recuerde a sus estudiantes que lo que han hecho hasta ahora se dirige a responder la pregunta:
","eng":"At this point, remind your students that what they've done so far is going toward answering the question:
","tipo":"p"},{"eng":"How can we determine the charging rate of this battery at a given time?
","tipo":"momento","esp":"¿Cómo podemos determinar la velocidad de carga de esta batería en un momento dado?
","recurso":"Pregunta"},{"tipo":"p","eng":"Propose to try to answer this question for a particular case, such as when \\(t=30\\) minutes.
","esp":"Proponga tratar de responder esta pregunta para un caso particular, como por ejemplo cuando \\(t=30\\) minutos.
"},{"eng":"Introduce Activity 2 and ask them to work as a group. Explain that they can enter the values of \\(t_1\\) in the box and observe the values \\Delta t\\) and \\(m\\) provided by the resource to complete the table.\n
","esp":"Presente la Actividad 2 y pídales que trabajen en grupo. Explique que pueden ingresar los valores de \\(t_1\\) en la casilla y observar los valores \\Delta t\\) y \\(m\\) que entrega el recurso para completar la tabla.\n
","tipo":"p"},{"eng":"Activity 2
\nUse the GeoGebra resource to answer the following questions.\n
\n- \n
Actividad 2
\nUtiliza el recurso de GeoGebra para responder las siguientes preguntas.\n
\n- \n
The video introduces the context of cell phone batteries, on what factors their full charge time and charging speed depend. Based on the relationship between the time it takes to fill its capacity and its current charge level, questions are posed to explore this relationship and estimate the charging speed at any given time.
","tipo":"p","esp":"El video introduce el contexto de las baterías de celulares, de qué factores depende su tiempo de carga completa y velocidad de carga. A partir de la relación entre el tiempo que demora en completar su capacidad y su nivel actual de carga, se plantean preguntas para explorar esta relación y estimar la velocidad de carga en cualquier momento dado.
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/carga-baterias/18_Carga%20de%20baterias%20v2_subt.mp4","tipo":"video","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/Baterias/Videos/Carga%20de%20baterias%20v2.mp4"},{"eng":"Presentation (slides 2 to 3)","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 3)"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/pdfs/Presentacion_LDI_U3_OA3.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/pdfs/Presentacion_LDI_U3_OA3.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/docs/Presentacion_LDI_U3_OA3.pptx","titulo":{"eng":"Descargar presentación","esp":"Descargar presentación"},"recurso":"Descarga","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/docs/Presentacion_LDI_U3_OA3.pptx"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Presentation (slides 3 to 26)","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 3 a 26)"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/pdfs/Presentacion_LDI_U3_OA3.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/pdfs/Presentacion_LDI_U3_OA3.pdf","tipo":"pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/docs/Presentacion_LDI_U3_OA3.pptx","tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Download presentation","esp":"Descargar presentación"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/docs/Presentacion_LDI_U3_OA3.pptx"},{"eng":"Worksheet","tipo":"h3","esp":"Hoja de actividades"},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación. \n
","tipo":"p","eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.\n
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/pdfs/Hoja_de_Actividades_LDI_U3_OA3.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/pdfs/Hoja_de_Actividades_LDI_U3_OA3.pdf"},{"titulo":{"eng":"Download activity sheet","esp":"Descargar hoja de actividades"},"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/docs/Hoja_de_Actividades_LDI_U3_OA3.docx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/docs/Hoja_de_Actividades_LDI_U3_OA3.docx","recurso":"Descarga"}]},"3":{"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 27 a 28)","eng":"Presentation (slides 27-28)","tipo":"h3"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación. \n
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/pdfs/Presentacion_LDI_U3_OA3.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/pdfs/Presentacion_LDI_U3_OA3.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar presentación","eng":"Download presentation"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/docs/Presentacion_LDI_U3_OA3.pptx","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/docs/Presentacion_LDI_U3_OA3.pptx"}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Practical Guide","esp":"Guía Práctica","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes apliquen sus conocimientos en el contexto de carreras de velocidad en atletismo, utilizando un recurso interactivo para determinar la velocidad media para los atletas en distintos instantes de tiempo. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación. \n
","eng":"This document proposes various exercises whose objective is for students to apply their knowledge in the context of sprints in athletics, using an interactive resource to determine the average speed for athletes at different moments in time. In addition, these can be used to formatively assess the knowledge developed from the situation.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/pdfs/Guia_Practica_LDI_U3_OA3.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/pdfs/Guia_Practica_LDI_U3_OA3.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/docs/Guia_Practica_LDI_U3_OA3.docx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/carga_de_baterias/docs/Guia_Practica_LDI_U3_OA3.docx","titulo":{"eng":"Download practical guide","esp":"Descargar guía práctica"},"recurso":"Descarga","tipo":"button"}]}},"visible":true}},"42":{"visible":true,"recursos":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Infografía “Pivotes: Círculo de Riesgo Sostenible”"},{"esp":"En la infografía “Pivotes: Círculo de Riego Sostenible” permite introducir la situación, entregando información sobre este proceso de riego, las características más importantes e imágenes para comprenderlo.
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/regadios-circulares/pdfs/esp/Infografia.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/regadios-circulares/zips/esp/Infografia.zip","eng":"","titulo":{"esp":"Descargar infografía","eng":"Descargar infografía"},"recurso":"Descarga"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 5)"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/regadios_circulares/pdfs/PPT_7mo_Unidad3_OA11.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"recurso":"Descarga","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/regadios_circulares/docs/PPT_7mo_Unidad3_OA11.pptx","titulo":{"esp":"Descargar presentación","eng":"Descargar presentación"},"eng":""},{"tipo":"h3","esp":"Gif Regadíos circular","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Se recomienda descargar e incluir en su presentación para que no existan dudas del funcionamiento de los pivotes. "},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/regadios_circulares/videos/20231207_132558.mp4","tipo":"video"}]},"2":{"contenido":[{"esp":"Hoja de Actividades","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/regadios_circulares/pdfs/Hoja%20de%20Actividades7mo_Unidad3_OA11.pdf","eng":""},{"titulo":{"esp":"Descargar Hoja de actividades","eng":""},"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/regadios_circulares/docs/Hoja%20de%20Actividades7mo_Unidad3_OA11.docx","eng":""},{"esp":"Presentación (diapositivas 6 a 23)","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/regadios_circulares/pdfs/PPT_7mo_Unidad3_OA11.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar presentación"},"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/regadios_circulares/docs/PPT_7mo_Unidad3_OA11.pptx"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 24 y 26)","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/regadios_circulares/pdfs/PPT_7mo_Unidad3_OA11.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"tipo":"button","eng":"","titulo":{"esp":"Descargar presentación","eng":""},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/regadios_circulares/docs/PPT_7mo_Unidad3_OA11.pptx"}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Guía Práctica","tipo":"h3"},{"esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes analicen la dispersión de datos en distintos contextos. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación. Además compartimos un video para orientar de mejor forma la utilización de Google Earth.
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/regadios-circulares/pdfs/esp/Guia%20Practica.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/regadios-circulares/editables/esp/Guia%20Practica.docx","eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar guía practica"}},{"esp":"Video “Usando Google Earth”","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/regadios-circulares/videos/esp/Area-sector-circular.webm","tipo":"video","eng":""},{"recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar video"},"tipo":"button","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/regadios-circulares/zips/Area%20sector%20circular.zip"}]}},"visible":true},"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Momento de enganche","eng":""},{"esp":"(Diapositivas 2 a 3, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Se sugiere en primera instancia realizar preguntas como las siguientes a sus estudiantes: ¿Has visto terrenos sembrados?, ¿dónde?, ¿qué forma tienen?, ¿cómo se riegan?, con el objetivo de iniciar una conversación relacionada con el contexto que trabajarán en esta lección. "},{"esp":"A continuación, revise junto con sus estudiantes la Infografía “Pivotes: círculo de Riego sostenible”. Realice preguntas para que comenten acerca del contexto de la situación y su relación con la circunferencia y área de círculos, por ejemplo:\n
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"Presente el contexto de la Hoja de Actividades y analice junto a sus estudiantes la información que se presenta.\n
"},{"esp":"(Diapositiva 5, Presentación) ","eng":"","tipo":"h4"},{"recurso":"Actividades","esp":"Problema
\nEn una zona agrícola, se han realizado cultivos usando el sistema de riego de pivotes circulares. En la imagen se observan dos superficies circulares regadas con ese sistema: \n\n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/regadios-circulares/imgs/esp/5.png\")
- \n
¿Qué tan grande es la extensión de terreno en las dos superficies circulares?","tipo":"momento","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Genere una reflexión que permita que sus estudiantes aprecien la cantidad de terreno circular que abarca el riego con cada pivote. Es importante precisar que la longitud del pivote corresponde al radio del círculo respectivo. Luego, se sugiere preguntar: "},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"Se espera que sus estudiantes imaginen el largo de cada pivote y lo asocien a longitudes del entorno para dimensionar su magnitud. Por ejemplo, el largo del pivote de 30 metros es como el largo de la cancha del patio de un colegio. Si ponemos un cordel de ese largo en una esquina, y lo hacemos girar, ésa sería la superficie cultivada por el pivote A. En el caso del pivote B, pueden imaginar que corresponde al largo de 2 canchas. \n
","eng":""}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Primera Parte"},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 6 a 7, Presentación) "},{"esp":"Lea junto con sus estudiantes la actividad 1 de la Hoja de Actividades y luego pida que la resuelvan. Se espera que los estudiantes reconozcan que deben utilizar la fórmula del área del círculo sustituyendo el valor del radio por las medidas de los pivotes. Se recomienda que en primera instancia utilicen el símbolo \\(\\pi\\) en sus expresiones algebraicas y que luego lo reemplacen por el valor aproximado 3,14, a fin de poder dimensionar el terreno (Tarea Matemática B)\n \n.
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Actividades","esp":"1. Calcula el área de las dos superficies circulares."},{"recurso":"Respuesta","eng":"","esp":"Área círculo A
\n$$ A=\\pi \\cdot r^{2} $$\n$$ A=\\pi \\cdot 30^{2} $$\n$$ A= 900\\pi $$\n$$ A= 900 \\cdot 3{,}14 $$\n$$ A=2826 \\, \\text{m}^{2}$$\n\n\nÁrea círculo B
\n$$ B=\\pi \\cdot r^{2} $$\n$$ B=\\pi \\cdot 60^{2} $$\n$$ B= 3600\\pi $$\n$$ B=3 600 \\cdot 3{,}14 $$\n$$ B=11 304 \\, \\text{m}^{2}$$
","tipo":"momento"},{"esp":"(Diapositiva 8 a 10, Presentación) ","eng":"","tipo":"h4"},{"esp":"Luego, pida que realicen la actividad 2 de la Hoja de Actividades, y dé un tiempo para que la aborden.\n","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"momento","esp":"2. Recordemos que el radio del círculo A mide 30 metros y el del círculo B mide 60 metros. Es decir el radio de uno es del doble del otro. Entonces, ¿el área del círculo B es el doble del área del círculo A?","eng":"","recurso":"Actividades"},{"eng":"","recurso":"Respuesta","esp":"\\[\\frac{B}{A}=\\frac{3\\,600\\pi}{900\\pi}=4\\]
\nEl área del círculo B, es 4 veces el área del círculo A.\n","tipo":"momento"},{"esp":"Se espera que las y los estudiantes identifiquen que el radio del círculo B es el doble del radio del círculo A y que eso no significa que el área del círculo B debe ser el doble del círculo A. Si es necesario, dedique un tiempo adicional a fin de asegurarse que los estudiantes comprendan que en un círculo, el área no es proporcional a la medida del radio. \n
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Luego de este trabajo, pida a sus estudiantes que aborden la pregunta 3 de la Hoja de Actividades, en la que deberán estimar en primera instancia y luego calcular el radio de un círculo, dada su área (Tarea Matemática D). ","eng":""},{"tipo":"momento","eng":"","esp":"\n3. En otra zona agrícola, se ha utilizado el mismo sistema de riego circular. Se sabe que el área de la superficie circular es \\(6 \\ 000 \\text{ m}^{2}\\):\nSi el pivote mide \\(30\\) metros, el área es \\(2 \\ 826 \\text{ m}^{2}\\)
\n
Si el pivote mide \\(60\\) metros, el área es \\(11 \\ 304 \\text{ m}^{2}\\)\nDe esta forma, si el área del círculo es \\(6 \\ 000 \\text{ m}^{2}\\), entonces este nuevo pivote debe medir entre \\(30\\) y \\(60\\) metros.
","eng":""},{"esp":"Una vez que las y los estudiantes propongan distintas medidas para el largo del pivote, pídales que realicen los cálculos que permitan encontrar su medida. En este caso, los estudiantes llegarán a una ecuación del tipo \\(r^2=C\\). Es posible que algunos estudiantes mencionen que no es posible obtener la medida, pues no saben cómo resolver una ecuación de estas características o bien, que algunos lleguen al resultado mediante ensayo y error. Es importante aprovechar este momento para promover una pequeña discusión respecto a cómo obtener el valor del radio en este caso, considerando además que curricularmente aún no han estudiado la raíz cuadrada. Una posible forma de abordarlo puede ser la siguiente: \n","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"img","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/regadios-circulares/imgs/esp/6.png","alinea":"texto-centrado","escala":"50","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"eng":"","esp":""}},{"tipo":"h3","esp":"Segunda Parte","eng":""},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 14 a 23, Presentación) ","eng":""},{"eng":"","esp":"Pida que realicen la actividad 4 de la Hoja de Actividades. Se sugiere leer en conjunto la información presentada en la pregunta y así asegurar que sus estudiantes han comprendido los datos entregados.\n
","tipo":"p"},{"esp":"4. Analiza la siguiente información relativa al uso de sistemas de riego de pivote en el país:
\n
“En la comuna de María Pinto había un pivote, que era uno de los más largos usados en Chile. Se sabe que este medía 815 metros de largo, pero no regaba un círculo completo, solo 114 ha, pudiendo haber regado 210 ha…”
","eng":"","recurso":"Actividades","tipo":"momento"},{"recurso":"Destacado","eng":"","esp":"Luego de leer la pregunta es importante concordar que las dimensiones del pivote son considerablemente mayores que en las actividades previas. Como resultado, el área abarcada por el pivote es bastante extensa. Por lo tanto, se requiere expresarla en una unidad de medida más amplia, específicamente en hectáreas.","tipo":"momento"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"
(red agricola, 2016)Para que las y los estudiantes reconozcan la unidad de medida “Hectáreas” se sugiere presentarles un esquema que permita reconocer sus medidas y visualizar su magnitud:
"},{"escala":"75","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/regadios-circulares/imgs/esp/7.png","eng":"","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"esp":"De esta manera se espera que sus estudiantes reconozcan que en 1 hectárea hay 10 000 \\(m^2\\) y que el símbolo usado para representarlas es \\(ha\\). Para la actividad entonces no es necesario transformar unidades, se recomienda trabajar en metros y luego dividir por 10 000 \\(m^2\\).\n
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"A continuación, dé un tiempo para que, en parejas o pequeños grupos aborden los ejercicios 1 y 2 de la actividad 4. \n
"},{"eng":"","esp":"1. ¿Es correcta la información relativa a la cantidad de hectáreas que podía regar ese pivote?","tipo":"momento","recurso":"Actividades"},{"esp":"\n$$A = \\pi \\cdot r^{2}$$\n$$A = 3{,}14 \\cdot 815^{2}$$\n$$A = 2 \\ 085 \\ 666 {,}5$$
\n$$\\frac{2 \\ 085 \\ 666{,}5}{10 \\ 000} \\approx 208{,}566 \\text{ ha} $$
\nSi es correcta, ya que la cifra es cercana a las \\(210 \\text{ ha}\\), por tanto, era el área que regaba el pivote.
","recurso":"Respuesta","eng":"","tipo":"momento"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Se puede abrir una discusión de por qué el pivote no regaba la superficie completa. Permita que sus estudiantes den sus opiniones y que se imaginen que podría haber pasado, considerando la longitud del pivote y el área cubierta.\n
\nEl siguiente problema no es rutinario, pero motive a sus estudiantes a que se imaginen la situación y la puedan representar. (Tarea Matemática E)"},{"esp":"2. Haz un dibujo estimado de la superficie regada por ese pivote.","eng":"","recurso":"Actividades","tipo":"momento"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Para responder al ejercicio 2, dé un tiempo para que en parejas o grupos elaboren dibujos de la superficie regada por el pivote y escriban sus argumentos.
"},{"esp":"Se espera que puedan llegar a una reflexión como la siguiente: dado que \\(114\\) es un poco más de la mitad de \\(208\\), entonces el pivote cubría una superficie que corresponde a un poco más de la mitad del círculo. Dicho esto, el dibujo acorde a la superficie cubierta por el pivote que podría surgir es similar al siguiente :
","eng":"","tipo":"p"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/regadios-circulares/imgs/8.png","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"","escala":"25"},{"esp":"Una vez que se concuerda el sector circular regado por el pivote, se puede pedir a sus estudiantes que estimen la medida del ángulo del centro. Se espera que indiquen que mide un poco más de 180°.
","tipo":"p","eng":""},{"esp":" (Diapositiva 21 a 23, Presentación) ","tipo":"h4","eng":""},{"esp":"A continuación pida que aborden la actividad 5 de la Hoja de Actividades\n
","eng":"","tipo":"p"},{"recurso":"Actividades","eng":"","esp":"Un agricultor tiene un terreno circular que es regado por un pivote de 10 metros. Desea incrementar el área de la zona de riego en 5 metros cuadrados. Para lograrlo, plantea aumentar en 5 metros la longitud del pivote. ¿La idea del agricultor es correcta? Justifica.
","tipo":"momento"},{"eng":"","esp":"Área círculo con pivote 10 metros\n$$A = \\pi \\cdot r^{2}$$\n$$A = 3{,}14 \\cdot 10^{2}$$\n$$A = 3{,}14 \\cdot 100$$\n$$A = 314$$\n\n
El área del círculo es \\(314 \\text{ m}^{2}\\)
\nÁrea círculo con pivote 15 (10+5) metros.\n$$A = \\pi \\cdot r^{2}$$\n$$A = 3{,}14 \\cdot 15^{2}$$\n$$A = 3{,}14 \\cdot 225$$\n$$A = 706{,}5$$
\nEl área del círculo aumentado en 5 metros el pivote es \\(706,5 \\,\\text{m}^{2}\\).\nAsí, si el pivote es de \\(10\\) metros, el área del círculo es \\(314 \\text{ m}^{2}\\). Al aumentar en \\(5\\) metros el radio del pivote, el área es \\(706{,}5 \\text{ m}^{2}\\). Es decir, el área ha aumentado en \\(392{,}5 \\text{ m}^{2}\\), que es mucho más que los \\(5 \\text{ m}^{2}\\) de aumento que pensaba el agricultor.
\n","recurso":"Respuesta","tipo":"momento"},{"esp":"Se recomienda otorgar un tiempo para que las y los estudiantes lean la información presentada. Posteriormente, se sugiere fomentar una discusión en la que los estudiantes analicen si la idea del agricultor es correcta o no. Se espera que, basándose en todo lo estudiado hasta el momento, puedan elaborar justificaciones adecuadas respecto a la propuesta del agricultor. Luego, se espera que los estudiantes comprueben sus hipótesis calculando las áreas y finalmente exponiendo sus conclusiones. \n
","eng":"","tipo":"p"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Sistematización","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"(Diapositivas 22, Presentación)","tipo":"h4"},{"esp":"En base a lo realizado en la actividad anterior, sistematice las siguientes ideas:
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"En la Guía práctica se les invita a calcular de manera aproximada el área de sectores circulares en superficies regadas por uno de los pivotes más grandes de Chile. Para esta actividad, utilizarán la herramienta \"medir superficies y distancias\" de Google Earth.\n
"},{"esp":"Es importante destacar que, para medir el área de los sectores circulares 1 y 2, no podrán aplicar directamente la fórmula del área del círculo, ya que no se conoce la medida de su ángulo. Por esta razón, será necesario utilizar la herramienta mencionada para delimitar y determinar el área aproximada de la zona señalada. En la sección recursos, encontrará un video ejemplificador de la herramienta “regla” del aplicativo. \n
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Estos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente el siguiente indicador:\n
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","esp":"En esta situación se usan algunas nociones matemáticas que son importantes de recordar y puntualizar.\n
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Fórmula para el área del círculo"},{"eng":"","esp":"El área de un círculo se refiere a la medida de su superficie. La medida se expresa en unidades cuadradas, como metros cuadrados o hectáreas dependiendo de las unidades utilizadas para medir el radio. En esta situación, las y los estudiantes utilizarán la fórmula del área del círculo para resolver una serie de problemas, pero es importante que previamente hayan estudiado cómo se obtiene. Una forma de ayudar a los estudiantes a comprender la fórmula es dividir el círculo en sectores circulares congruentes y mostrar que a medida que aumenta el número de divisiones, al colocar las secciones circulares una al lado del otra, la figura que se obtiene se asemeja cada vez más a un rectángulo de altura \\(r\\) y base \\(\\pi r\\), como se ilustra en el siguiente recurso GeoGebra:\n","tipo":"p"},{"tipo":"iframe","recurso":"Geogebra","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/vzeqt2he/width/860/height/561/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false\" width=\"860px\" height=\"561px\" style=\"border:0px;","eng":""},{"esp":"Por lo tanto, como sabemos que para calcular el área de un paralelogramo, se multiplica la base por altura, se tiene que:
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"\\[A=\\pi \\cdot r \\cdot r = \\pi \\cdot r^2\\]
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Es importante destacar que este procedimiento no constituye una demostración formal para la fórmula del área del círculo. No obstante, este tipo de recursos pueden ayudar a sus estudiantes a afianzar su comprensión sobre el área del círculo y la expresión matemática utilizada para calcularla. ","tipo":"p","eng":""}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Calcular el radio para una cierta área del círculo"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En problemas en que se conoce la medida del radio, las y los estudiantes pueden aplicar la fórmula y obtener el área del círculo de forma directa. Sin embargo, cuando se plantea la operación inversa, es decir cuando dada el área se pide encontrar el radio de un círculo (como en la actividad 3 de la Hoja de Actividades), los estudiantes llegarán a una expresión que involucra el cálculo de una raíz. Como en este nivel aún no se estudia esa noción, en este caso puede sugerir a las y los estudiantes que aproximen el número que corresponde a la medida del radio por ensayo y error, o bien, una vez que las y los estudiantes hayan expresado correctamente la ecuación, puede entregarles el valor del radio directamente. "},{"esp":"Utilización de Google Earth","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"h3","esp":"Utilización de Google Earth","eng":""},{"recurso":"ModalVideo","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/regadios_circulares/videos/Area-sector-circular.webm","titulo":{"esp":"Ver video","eng":"Ver video"},"tipo":"button"},{"esp":"De la misma forma se procede para determinar el área del sector circular 2. \n
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Una vez que terminen la Guía Práctica, se recomienda presentar a sus estudiantes diferentes zonas de Chile que son regadas por este sistema y calcular el área de los círculos. A continuación, se proporcionan los link de algunos lugares: \n
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En cada zona, se recomienda hacer zoom out para identificar la ubicación geográfica de esos lugares y tener una perspectiva de su extensión. Esto permitirá obtener una visión general de la zona en la que se encuentran los lugares mencionados y visualizar la escala de las áreas de regadío circular. \n
","eng":""},{"eng":"","esp":"En el caso de Longovilo podría suceder que los estudiantes se pregunten por el área del sector circular que está sembrado. En tal caso, pueden utilizar la aplicación para estimar el área. \n
","tipo":"p"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Sistema de riego: Pivotes ","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Los Pivotes son equipos para el riego agrícola propulsados eléctricamente que suministran el agua y los fertilizantes a través de una estructura desde la cual se extienden brazos o tuberías con aspersores o emisores de agua, con el fin de regar homogéneamente grandes superficies.
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/regadios-circulares/imgs/3.png","caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","escala":"50","eng":"","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"tipo":"h4","esp":"Ventajas ","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"El pivote central es un sistema de riego que utiliza una tubería metálica montada sobre torres móviles para llevar agua a los cultivos. El pivote gira en círculos manteniendo un extremo fijo en el centro del campo. A lo largo de la tubería, se encuentran aspersores estratégicamente ubicados a diferentes alturas para distribuir el riego de manera eficiente. Para mayor información puede revisar el siguiente video.
","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"A medida que aumenta la longitud de los pivotes centrales, la superficie que pueden regar también se incrementa significativamente. Por ejemplo, un pivote central estándar de alrededor de 400 metros puede regar un círculo de aproximadamente 50 hectáreas, mientras que un sistema de 800 metros puede regar un círculo de cerca de 200 hectáreas.
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Diferencia entre sembrar, cultivar y plantar"},{"tipo":"p","esp":"Puede ser necesario entender la diferencia entre plantar, sembrar y cultivar. Por un lado, llamamos “sembrar” al proceso de colocar una semilla directamente en el suelo, esperar a que brote y se convierta en una planta. Por otro lado, se denomina “plantar” al proceso de colocar una planta en el suelo para que crezca. Este es el caso de los árboles o los helechos. Finalmente, “cultivar” es el término utilizado para hacer referencia al proceso de preparación del suelo y cuidado de tanto la plantación como la siembra, siendo en este último donde se utiliza primordialmente el sistema de regadío por pivotes.
","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En algunas zonas regadas por pivotes, es común encontrar círculos con sectores circulares de color verde y otros de color café. El color verde indica que las plantas ya han crecido y están siendo regadas, mientras que el color café indica que el terreno está siendo preparado para la siembra y el regadío aún no ha comenzado en esa zona. \n
"},{"tipo":"img","escala":"50","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/regadios-circulares/imgs/4.png"}]}},"visible":true}},"43":{"recursosProyecto":[],"visible":true,"recursos":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Infographic “Carbon 14 Dating”","esp":"Infografía “Datación por Carbono 14”","tipo":"h3"},{"esp":"La presentación introduce el contexto sobre las momias Chinchorro, los asentamientos y desarrollos de esta cultura. También se menciona cómo es posible, a partir de la datación con carbono 14, estimar la antigüedad de una momia.
","eng":"The presentation introduces the context about the Chinchorro mummies, the settlements and developments of this culture. It also mentions how it is possible, from carbon 14 dating, to estimate the antiquity of a mummy.
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/pdfs/InfografiaMomias.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/pdfs/InfografiaMomias.pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/pdfs/InfografiaMomias.pdf","titulo":{"esp":"Descargar infografía","eng":"Descargar infografía"},"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/pdfs/InfografiaMomias.pdf"},{"esp":"Presentación (diapositivas 2 a 11) ","eng":"Presentation (slides 2 to 8)","tipo":"h3"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación. \n
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/momias-chinchorro/ppt_momias_chinchorro.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/pdfs/Presentacion%20III%C3%82%C2%B0_Unidad3_OA3.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar presentación","eng":"Descargar presentación"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/momias-chinchorro/ppt_momias_chinchorro.pptx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/docs/Presentacion%20III%C3%82%C2%B0_Unidad3_OA3.pptx","tipo":"button","recurso":"Descarga"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Worksheet","tipo":"h3","esp":"Hoja de Actividades"},{"tipo":"p","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
","eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/momias-chinchorro/ha_momias_chinchorro.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/pdfs/Hoja%20de%20Actividades%20III%C3%82%C2%B0_Unidad3_OA3.pdf","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/momias-chinchorro/ha_momias_chinchorro.docx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/docs/Presentacion%20III%C3%82%C2%B0_Unidad3_OA3.pptx","recurso":"Descarga","tipo":"button","titulo":{"eng":"Download activity sheet","esp":"Descargar hoja de actividades"}},{"esp":"Presentación (diapositivas 12 a 22)","tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 9 to 20)"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación.
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the Classroom of this situation.
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/pdfs/Presentacion%20III%C3%82%C2%B0_Unidad3_OA3.pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/momias-chinchorro/ppt_momias_chinchorro.pdf"},{"titulo":{"eng":"Download presentation","esp":" Descargar presentación"},"recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/docs/Presentacion%20III%C3%82%C2%B0_Unidad3_OA3.pptx","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/momias-chinchorro/ppt_momias_chinchorro.pptx"}]},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 23 a 25)","eng":"Presentation (slides 21-23)"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.
","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/pdfs/Presentacion%20III%C3%82%C2%B0_Unidad3_OA3.pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/momias-chinchorro/ppt_momias_chinchorro.pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/momias-chinchorro/ppt_momias_chinchorro.pptx","titulo":{"esp":"Descargar presentación","eng":"Download presentation"},"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/docs/Presentacion%20III%C3%82%C2%B0_Unidad3_OA3.pptx","tipo":"button"}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Guía Práctica","tipo":"h3","eng":"Practical Guide"},{"tipo":"p","esp":"Este documento tiene por objetivo que las y los estudiantes analicen y apliquen lo aprendido acerca de las situaciones de decrecimiento que pueden ser modeladas por funciones exponenciales en un nuevo contexto. \n
","eng":"This document is intended for students to analyze and apply what they have learned about decay situations that can be modeled by exponential functions in a new context.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/pdfs/Gu%C3%ADa%20Pr%C3%A1ctica%20III_Unidad3_OA3.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/pdfs/Gu%C3%ADa%20Pr%C3%A1ctica%20III_Unidad3_OA3.pdf","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar guía práctica","eng":"Download practical guide"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/docs/Gu%C3%ADa%20Pr%C3%A1ctica%20III_Unidad3_OA3.docx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/docs/Gu%C3%ADa%20Pr%C3%A1ctica%20III_Unidad3_OA3.docx"},{"tipo":"h3","esp":"Recurso Interactivo","eng":"Interactive Resource"},{"esp":"Recurso que permite calcular los valores relacionados con logaritmos, involucrados en la actividad.
","tipo":"p","eng":"Resource that allows calculating the values related to logarithms, involved in the activity.
"},{"recurso":"Geogebra","eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/r8fnwf4z/width/566/height/634/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/ asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","tipo":"iframe","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/r8fnwf4z/width/566/height/634/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false"}]}},"visible":true},"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"latching moment","tipo":"h3","esp":"Momento de enganche"},{"eng":"(Slides 2-3, Presentation)","esp":"(Diapositivas 2 a 7, Presentación)","tipo":"h4"},{"esp":"Muestre la infografía “Momias Chinchorro” y dé un tiempo para que las y los estudiantes compartan sus opiniones respecto a las siguientes preguntas:","tipo":"p","eng":"Show the context presentation PPT “Carbon 14 Dating” and allow time for students to share their thoughts on the following questions:
"},{"tipo":"momento","esp":"Estas preguntas tienen como objetivo que los estudiantes, a partir de la información presentada, observen lo siguiente:
","eng":"These questions are intended for students, based on the information presented, to observe the following:
"},{"tipo":"p","esp":"Es importante que sus estudiantes consideren lo siguiente en relación a la datación por C-14:
\n\nIt is important for your students to consider the following in relation to C-14 dating:
that the concentration of C-14 in the environment has been constant in the last \\(50,000\\) years and that living beings maintain the same proportion of C-14 in their tissues.
\n\n - To compute the probability of event \\(A\\) given an event \\(B\\), we use a reduced sample space corresponding to event \\(B\\). One way to understand the above is to use Laplace's rule applied to the reduced space \\(B\\), where the favorable cases are those that belong to both \\(A\\) and \\(B\\).
- C-14 has a half-life of \\(5,730\\) years, which means that after this time, half of the C-14 atoms that were present at the time of death will remain in the body .
- C-14 dating is accurate for objects that are less than \\(50,000 \\) years old. After that period, the residual amount of C-14 in organisms is so small that it becomes difficult to measure accurately.
Indique a sus estudiantes que en esta clase abordarán la siguiente pregunta:
","eng":"Tell your students that in this class they will address the following question:
","tipo":"p"},{"eng":"\nHow can we determine the antiquity of the Chinchorro mummies?\n
","tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"\n¿Cuál es la antigüedad de las momias Chinchorro y cómo podemos determinarla?\n
"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Construcción de Conocimientos"},{"esp":"Presente el modelo matemático que utilizarán para analizar esta situación.
","eng":"Introduce the mathematical model you will use to analyze this situation.
","tipo":"p"},{"esp":"(Diapositiva 11, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slides 6 and 7, Presentation)"},{"esp":"Comente a sus estudiantes que la relación entre la cantidad de átomos de C-14 y los años de antigüedad de un organismo se puede modelar mediante la expresión
\n\\[C(t) = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}}\\]
\n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/momias-chinchorro/c14-graph.png\")
Explique que:
\n- El modelo indica la cantidad de átomos (\\(C(t))\\) de C-14 que hay en un organismo cuando han transcurrido \\(t\\) años desde su muerte. Por ejemplo, \\(C(10)\\) corresponde a la cantidad de átomos de C-14 que hay en un resto orgánico a \\(10\\) años de su muerte.\n
- La constante \\(C_0\\) corresponde a la cantidad de átomos de C-14 que tiene un organismo al momento de su muerte.\n
- La constante \\(P\\) corresponde al período de semidesintegración del C-14, que se estima en \\(5.730\\) años.\n
Tell students that the relationship between the number of C-14 atoms and the age of an organism can be modeled using the expression
\n\\[C(t) = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}}\\]
\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/imgs/C-14.png\")
Explain that:
\n- The model indicates the number of (\\(C(t))\\) C-14 atoms in an organism when \\(t\\) years have elapsed since its death. For example, \\(C(10\\) corresponds to the number of C-14 atoms in an organic residue \\(10\\) years after its death.\n
- The constant \\(C_0\\) corresponds to the number of C-14 atoms that an organism has at the time of its death.\n
- The constant \\(P\\) corresponds to the half-life of C-14, which is estimated to be \\(5,730\\) years.\n
To further understand the expression \\(C(t)\\), ask students to answer the following questions:
","esp":"Para lograr una mayor comprensión de la expresión \\(C(t)\\) (Tarea Matemática A) y el concepto de semidesintegración (Tarea Matemática B), pida a sus estudiantes que respondan las siguientes preguntas:
","tipo":"p"},{"tipo":"h4","eng":"(Slide 8, Presentation)","esp":"(Diapositivas 12 y 13, Presentación)"},{"esp":"- ¿Qué interpretación tiene el valor de \\(C(0)\\)?
- ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a \\(C(P)\\)?\n
- \\(C_0\\)\n
- \\(\\frac{C_0}{2}\\)
- \\(5.730\\)
- \\(\\frac{5.730}{2}\\)
- What interpretation does the value of \\(C(0)\\) have?
- Which of the following expressions corresponds to \\(C(P)\\)?\n
- \\(C_0\\)\n
- \\(\\frac{C_0}{2}\\)
- \\(5.730\\)
- \\(\\frac{5.730}{2}\\)
When we evaluate the function at \\(0\\), the expression reduces to \\(C_0\\), that is, at time \\(t=0\\) there are \\(C_0\\) C-14 atoms, which corresponds to the initial amount of C-14 atoms in a sample of an organism at the time of its death.
- \n
Evaluating the function in \\(P\\) and we obtain the expression:\n
\\begin{align*}\nC(P)","tipo":"momento","esp":"
Cuando evaluamos la función en \\(0\\), la expresión se reduce a \\(C_0\\), es decir, en el tiempo \\(t=0\\) hay \\(C_0\\) átomos de C-14, que corresponde a la cantidad inicial de átomos de C-14 de una muestra de un organismo al momento de su muerte.
- \n
Al evaluar la función en \\(P\\) y obtenemos la expresión: \n
\\[ C(P) = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{P}{P}}\\] \\[C(P)=C_0 \\cdot 0{,}5^{1} \\] \\[C(P)=C_0 \\cdot 0{,}5 \\]
es decir, la mitad de la cantidad inicial de átomos de C-14, por lo que la alternativa correcta es la b).
\n
Now ask them to answer item 1 of Activity 1.\n
","tipo":"p","esp":"En este momento, con el propósito que sus estudiantes reconozcan la función exponencial y su tipo de crecimiento (Tarea Matemática A), pida que respondan el ítem 1 de la Actividad 1.\n
"},{"recurso":"Actividades","esp":"Actividad 1
\n- Considera la función \\(C(t) =C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}}\\) para responder las siguientes preguntas:\n
- ¿A qué tipo de función corresponde este modelo? (cuadrática, exponencial, logarítmica).
- ¿Es una función creciente o decreciente? Justifica.
Activity 1
\n- Consider the function \\(C(t) =C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}}\\) to answer the following questions:\n
- What type of function does this model correspond to? (quadratic, exponential, logarithmic).
- Is it an increasing or decreasing function? Justify.
Recuerde a sus estudiantes que las funciones exponenciales son aquellas que pueden ser representadas de la forma
\n\\[f(x) = a \\cdot b^x\\]
\ndonde \\(b > 0 \\) y \\(b \\neq 1\\). El número \\(b\\) se conoce como base.
\nAdemás, que la constante \\(a\\) corresponde al valor donde el gráfico de la función intercepta al eje \\(y\\), mientras que el valor de la base \\(b\\) determina si la función es creciente o decreciente. Si \\(0
\n
","eng":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/imgs/Funciones%20exponenciales%20(1).png\")
Remind your students that exponential functions are those that can be represented in the form
\n\\[f(x) = a \\cdot b^x\\]
\nwhere \\(b","tipo":"momento"},{"esp":"(Diapositiva 16, Presentación)","eng":"(Slide 12, Presentation)","tipo":"h4"},{"eng":"
Present the following development of the proposed model for \\(C(t) = \\(C_0\\) \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}}\\), for Have students identify that the base of this exponential function is \\(b={0{,}5}^{\\frac{1}{P}}\\):\n
","esp":"Presente el siguiente desarrollo del modelo propuesto para \\( C(t) = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}}\\), para que los estudiantes identifiquen que la base de esta función exponencial es \\(b={0{,}5}^{\\frac{1}{P}}\\):\n
","tipo":"p"},{"eng":"By rewriting the expression in the form
","tipo":"p","esp":"Al reescribir la expresión en la forma
"},{"esp":"\\[C(t) = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}} = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{1}{P}\\cdot t}= C_0 \\cdot {\\left[{0{,}5}^{\\frac{1}{P}}\\right]}^t\\]
","tipo":"p","eng":"\\[C(t) = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}} = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{1}{P}\\cdot t}= C_0 \\cdot {\\left[{0{,}5}^{\\frac{1}{P}}\\right]}^t\\]
"},{"esp":"vemos que \\(C(t)\\) es una función exponencial con \\(b={0{,}5}^{\\frac{1}{P}}\\).
","tipo":"p","eng":"we see that \\(C(t)\\) is an exponential function with \\(b={0{,}5}^{\\frac{1}{P}}\\).
"},{"esp":"Ayúdelos a reconocer que \\(0<b={0{,}5}^{\\frac{1}{P}}<1\\), y que por tanto \\(C(t)\\) es una función decreciente.
","tipo":"p","eng":"Help them recognize that \\(0"},{"eng":"(Slides 13 and 14, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 17 y 18, Presentación)"},{"tipo":"p","eng":"
Hand out the Activity Sheet, and present items 2 and 3 of Activity 1.
","esp":"Entregue la Hoja de Actividades, y presente el ítem 2 de la Actividad 1. Estas preguntas tienen el propósito que sus estudiantes comprendan numéricamente una función exponencial y sus parámetros (Tarea Matemática C). En particular determinan la concentración inicial \\(C_0\\), el periodo de semidesintegración \\(P\\) y cantidad de átomos y tiempo después de la muerte a partir de los datos proporcionados y la función exponencial. Sus estudiantes refuerzan además el concepto de semidesintegración (Tarea Matemática B), en las preguntas b) y c).\n
"},{"tipo":"momento","eng":"Activity 1
\n- The following table shows the variation of the amount of C-14 in an organic sample:\n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/imgs/tabla1_guionprincipal.png\")
< /p>\n- What is the value of the constant \\(C_0\\)?
- Fill in the missing data in the table, remembering that the half-life< /b> indicates that every \\(5,730\\) years, the number of C-14 atoms is reduced by half.
- How many years does it take for C-14 to be reduced from \\(8,000\\) to \\(4,000\\) atoms?
Actividad 1
\n- La siguiente tabla muestra la variación de la cantidad de C-14 en una muestra orgánica:\n
\n- ¿Cuál es el valor de la constante \\(C_0\\)?
- Completa los datos faltantes en la tabla, recordando que el período de semidesintegración indica que cada \\(5.730\\) años, la cantidad de átomos de C-14 se reduce a la mitad.
- ¿Cuántos años demora el C-14 en reducirse de \\(8.000\\) a \\(4.000\\) átomos?
- \n
La constante \\(C_0\\) es igual a 40.000, ya que corresponde a la cantidad de átomos de C-14 que hay en los restos orgánicos al momento de la muerte.
Dado que el período de semidesintegración es igual a \\(5.730\\) años, cada vez que pase este tiempo se reduce a la mitad la cantidad de átomos de C-14, es decir, al pasar \\(5.730\\), quedarán \\(20.000\\) átomos, como se ve en la tabla inicialmente. Luego, cuando pasen \\(5.730\\) años más, quedarán \\(10.000\\) átomos de C-14, y cuando pasen otros \\(5.730\\) años más, quedarán \\(5.000\\) átomos de C-14 . Entonces, la tabla con los valores faltantes queda de la siguiente manera:
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/imgs/tabla2_guionprincipal.png\")
De \\(8.000\\) a \\(4.000\\) átomos, el C-14 se reduce a la mitad, lo que corresponde a un período de semidesintegración, que es de \\(5.730\\) años.
\n
Remind your students that the goal is to answer the question:
","esp":"Recuerde a sus estudiantes que el objetivo es responder la pregunta:
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"¿Cuál es la antigüedad de las momias Chinchorro?
","eng":"How can we determine the age of the Chinchorro mummies?
"},{"esp":"Para abordar esta pregunta, presente la Actividad 2 con el propósito que sus estudiantes determinen la antigüedad de una momia negra de Chinchorro (Tarea Matemática D).
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"To address this question, comment that:
","esp":"Para abordar esta pregunta, comente que:
","tipo":"p"},{"esp":"- Hemos supuesto que la cantidad de C-14 en la atmósfera no ha variado significativamente durante los últimos 50.000 años. Es decir la cantidad C-14 que los seres vivos absorben del aire ha permanecido más o menos igual durante todo ese tiempo.
- Dado lo anterior, mientras están vivos, los organismos mantienen una proporción constante de C-14 en sus cuerpos, en relación con la cantidad presente en el ambiente. Esto hace que la cantidad inicial de C-14 en una muestra de una momia Chinchorro sea conocida.
- Para la muestra de la momia negra que estamos estudiando la cantidad inicial de C-14 se estima en (\\(C_0 = 40.000\\) átomos.
- Es posible medir la cantidad actual \\(C_a\\) de átomos de C-14 en dicha muestra, que se estima que \\(C_a=17.000\\) átomos.
- We have assumed that the C-14 concentration of a living organism has remained constant over the past \\(50,000\\) years.
- That makes the initial amount of C-14 in a sample of a Chinchorro mummy is known.
- For the sample of the mummy that we are studying, the initial amount of C-14 is estimated at (\\(C_0 = 40,000\\) atoms.
- It is possible to measure the actual amount \\(C_a\\) of C-14 atoms in such a sample, which is estimated to be \\(C_a=17,000\\) atoms.
Actividad 2
\nSe busca determinar la antigüedad de una momia negra de Chinchorro, de la que se sabe que la cantidad inicial de C-14 se estima en (\\(C_0 = 40.000\\) átomos y que la cantidad actual medida en una muestra es de \\(C_a=17.000\\) átomos. Recuerda que la concentración de C-14 decae exponencialmente de acuerdo a la siguiente expresión:\n\\[C_a =C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{5.730}}\\] \n
\n- Reemplaza los valores de \\(C_a\\) y \\(C_0\\) para luego despejar y determinar la antigüedad \\(t\\) de esta momia.
De un tiempo a sus estudiantes para que respondan a esta pregunta, y si es necesario vaya guiando los procedimientos para hacer los cálculos.
","eng":""},{"esp":"(Diapositiva 20, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slides 17 to 19, Presentation)"},{"eng":"Next, show your students the steps to follow to determine the age \\(t\\) of the mummy, from the expression\n
","tipo":"p","esp":"A continuación, para asegurarse que entendieron bien cómo hacer los cálculos o aclarar dudas, muestre a sus estudiantes los pasos a seguir para determinar la antigüedad \\(t\\) de la momia, a partir de la expresión\n
"},{"eng":"\\[C(t) =C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}}\\]
","tipo":"p","esp":"\\[C(t) =C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}}\\]
"},{"eng":"By replacing by the values of \\(C_0\\) and \\(C(t)=C_a\\) given previously, we have
\n\\[17,000 =40,000 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{5,730}}\\]
\nWe divide both sides of the expression by \\(40,000\\):\\[\\frac{17,000}{40,000} =0{,}5^{\\frac{t}{5,730}} \\]
Considering the definition of logarithm \\(log_{b}(x)=y\\) if and only if \\(b^y=x\\), it is possible write the above as \\[ log_{0.5}(\\frac{17,000}{40,000})=\\frac{t}{5,730} \\]\n
=t\\]\n
Using the following tool to calculate the value of the expression is that \\[t=7.073 \\text{ years}\\].
","esp":"Dividimos a ambos lados de la expresión por \\(40.000\\):\\[\\frac{17.000}{40.000} =0{,}5^{\\frac{t}{5.730}}\\]
Considerando la definición de logaritmo \\(log_{b}(x)=y\\) si y sólo si \\(b^y=x\\), es posible escribir lo anterior como \\[ log_{0,5}(\\frac{17.000}{40.000})=\\frac{t}{5.730} \\]\n
Multiplicando ambos lados de la igualdad por \\(5.730\\) se obtiene que \\[5.730 \\cdot log_{0,5}(\\frac{17.000}{40.000})=t \\]\n
Usando la siguiente herramienta para calcular el valor de la expresión se tiene que \\[t=7.073 \\text{ años}\\].
- Usando el recurso GeoGebra , completa en la siguiente tabla las antigüedades de estas momias:
- where \\(b","esp":"Sistematización"},{"esp":"(Diapositivas 23 a 25, Presentación)","eng":"(Slides 22 to 24, Presentation)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"
En base a lo realizado en clases, sistematice las siguientes ideas:
","eng":"Based on what was done in class, systematize the following ideas:
"},{"esp":"","eng":"- Las funciones exponenciales permiten modelar muchos fenómenos del mundo real que involucran crecimiento o decrecimiento, tales como crecimiento poblacional, desintegración radioactiva, concentración de medicamento, interés compuesto, entre otras muchas situaciones.
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"- Exponential functions allow you to model many real-world phenomena that involve growth or decrease, such as population growth, radioactive decay, drug concentration, compound interest, among many other situations.
- Exponential functions are those that can be represented in the form\n
- Las funciones exponenciales son aquellas que pueden ser representadas de la forma\n
","eng":"- \\[f(x) = a \\cdot b^x\\]\n
"},{"tipo":"p","eng":"- \\[f(x) = a \\cdot b^x\\]\n
- Also, that the constant \\(a\\) corresponds to the value where the graph of the function intercepts the \\(y\\) axis, while the value of the base \\(b\\) determines whether the function is increasing or decreasing. if \\(0","esp":"
donde \\(b > 0 \\) y \\(b \\neq 1\\). El número \\(b\\) se conoce como base.\n
"},{"tipo":"p","esp":"- Además, la constante \\(a\\) corresponde al valor donde el gráfico de la función intercepta al eje \\(y\\), mientras que el valor de la base \\(b\\) determina si la función es creciente o decreciente. Si \\(0 \\lt b \\lt 1\\), la función exponencial decrece a medida que \\(x\\) se incrementa. Por otro lado, si \\(b\\gt 1\\), la función exponencial crece a medida que \\(x\\) se incrementa.
"},{"tipo":"p","esp":"","eng":""},{"esp":"- It is possible to determine the age of the mummy, from the expression \\(C(t)\\), when we solve for \\(t\\) and express it as a function of the initial and current number of C-14 atoms\n
- En esta actividad, usamos un modelo exponencial para determinar la antigüedad de distintas momias de la cultura chinchorro, cuyos asentamientos estaban en la costa del desierto de Atacama. Este modelo describe como decae la cantidad de carbono 14 en un organismo después de su muerte. \n
"},{"tipo":"img","escala":"50","eng":"","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/momias-chinchorro/c14-graph.png","alinea":"texto-centrado"},{"eng":"","esp":"- Since the expression \\(C(t)\\) is an exponential model, to isolate the value of \\(t\\) it is necessary to use the definition of logarithm.< /li>
\n\\[C_a = C_0\\cdot 0,5^{\\frac{t_a}{5730}}\\leftrightarrow t_a = 5730\\cdot log_{0,5}\\left(\\frac{C_a}{C_0}\\right)\\]","tipo":"p"}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Evaluación y Práctica","tipo":"h3"},{"eng":"- A partir de él, fue posible determinar la antigüedad de las momias, conociendo la cantidad inicial y actual de C-14 y despejando el tiempo t a partir de la definición de logaritmo. \n
Introduce your students to the How To Guide. The purpose of this document is for students to analyze and apply what they have learned about decrease situations that can be modeled by exponential functions in a new context: the amount of milligrams of a drug in a patient's blood and the time elapsed. since the medication was administered.
","esp":"Presente a sus estudiantes la Guía práctica. Este documento tiene por objetivo que las y los estudiantes analicen y apliquen lo aprendido acerca de las situaciones de decrecimiento que pueden ser modeladas por funciones exponenciales en un nuevo contexto: la cantidad de miligramos de un medicamento en la sangre de un paciente y el tiempo transcurrido desde que le fue administrado el medicamento.
","tipo":"p"},{"eng":"These tasks can be used to formatively assess the following indicators:
","tipo":"p","esp":"Estas tareas pueden ser utilizadas para evaluar formativamente los siguientes indicadores:
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/pdfs/Gu%C3%ADa%20Pr%C3%A1ctica%20III_Unidad3_OA3.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/pdfs/Gu%C3%ADa%20Pr%C3%A1ctica%20III_Unidad3_OA3.pdf","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"button","recurso":"ModalGP"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- Aplican modelos matemáticos a situaciones de decrecimiento.\n
- Resuelven problemas relacionados con la función exponencial, mediante el uso de herramientas tecnológicas\n
Exponential functions are those that can be represented in the form
","esp":"Las funciones exponenciales son aquellas que pueden ser representadas de la forma
","tipo":"p"},{"esp":"\\[f(x) = a \\cdot b^x\\]
","eng":"\\[f(x) = a \\cdot b^x\\]
","tipo":"p"},{"esp":"donde \\(b > 0 \\) y \\(b \\neq 1\\). El número \\(b\\) se conoce como base.
","tipo":"p","eng":"where \\(b"},{"eng":"
Exponential functions allow you to model real-world phenomena that involve growth or decrease, such as population growth, radioactive decay, drug concentration, compound interest, among many other situations.
","tipo":"p","esp":"Las funciones exponenciales permiten modelar fenómenos del mundo real que involucran crecimiento o decrecimiento, tales como crecimiento poblacional, desintegración radioactiva, concentración de medicamento, interés compuesto, entre otras muchas situaciones.
"},{"esp":"En la función exponencial \\(f(x) = a \\cdot b^x\\), la constante \\(a\\) corresponde al valor donde el gráfico de la función intercepta al eje \\(y\\), mientras que el valor de la base \\(b\\) determina si la función es creciente o decreciente. Si \\(0\\,<\\,b\\,<1\\), la función exponencial decrece a medida que \\(x\\) se incrementa. Por otro lado, si \\(b>1\\), la función exponencial crece a medida que \\(x\\) se incrementa. ","eng":"In the exponential function \\(f(x) = a \\cdot b^x\\), the constant \\(a\\) corresponds to the value where the graph of the function intercepts the \\(y\\) axis, while the value of the base \\(b\\) determines if the function is increasing or decreasing. If \\(0\\,","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/imgs/Funciones%20exponenciales%20(1).png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/imgs/Funciones%20exponenciales%20(1).png","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50"},{"tipo":"h3","eng":"- We divide both sides of the expression \\(C_a = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}} \\) by \\(C_0\\): \\[\\frac{C_a}{C_0} =0{,}5^{\\frac{t}{P}}\\]
- Considering the definition of logarithm \\(log_{b}(x) =y\\) if and only if \\(b^y=x\\), it is possible to write the above as \\[ log_{0,5}(\\frac{C_a}{C_0})=\\frac{t}{P } \\]
- Multiplying both sides of the equality by \\(P\\) gives that \\[P \\cdot log_{0,5}(\\frac{C_a}{C_0})=t \\]
La función \\(C(t) = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}}\\) modela la cantidad de átomos de carbono 14 (C-14) presentes en un organismo \\(t\\) años después de su muerte. La constante \\(C_0\\) representa la cantidad inicial de átomos de C-14 en el organismo al momento de su muerte, mientras que \\(P\\) corresponde al período de semidesintegración del C-14, que se estima en \\(5.730\\) años.
","eng":"The function \\(C(t) = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}}\\) models the number of carbon 14 (C-14) atoms ) present in an organism \\(t\\) years after its death. The constant \\(C_0\\) represents the initial amount of C-14 atoms in the body at the time of death, while \\(P\\) corresponds to the half-life of C-14, which is estimated at \\(5.730 \\) years.
","tipo":"p"},{"esp":"Al reescribir la expresión en la forma
","eng":"By rewriting the expression in the form
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"\\[C(t) = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}} = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{1}{P}\\cdot t}= C_0 \\cdot {\\left[{0{,}5}^{\\frac{1}{P}}\\right]}^t\\]\n
","eng":"\\[C(t) = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}} = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{1}{P}\\cdot t}= C_0 \\cdot {\\left[{0{,}5}^{\\frac{1}{P}}\\right]}^t\\]\n
"},{"eng":"we see that \\(C(t)\\) is an exponential function with \\(b={0{,}5}^{\\frac{1}{P}}\\).
","tipo":"p","esp":"vemos que \\(C(t)\\) es una función exponencial con \\(b={0{,}5}^{\\frac{1}{P}}\\).
"},{"tipo":"h4","eng":"The general procedure proposed is as follows:
","esp":"Logaritmos"},{"tipo":"p","eng":"In this situation the definition of logarithm is used
","esp":"En esta situación se utiliza la definición de logaritmo
"},{"esp":"\\(log_{b}(x)=y\\) si y sólo si \\(b^y=x\\)
","eng":"\\(log_{b}(x)=y\\) if and only if \\(b^y=x\\)
","tipo":"p"},{"eng":"to isolate the variable \\(t\\) in the expression \\(C_a = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}}\\), where \\ (C_a\\) is the actual number of C-14 atoms in a sample.\n
","esp":"para despejar la variable \\(t\\) en la expresión \\(C_a = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}}\\), en la que \\(C_a\\) es la cantidad de átomos de C-14 actual de una muestra, \\(P \\neq 0 \\) y \\(C_0 \\neq 0\\). \n
","tipo":"p"},{"esp":"El procedimiento general propuesto es el siguiente:
","tipo":"p","eng":"In class, it is proposed to do this clearance using specific \\(C_0\\), \\(C_a\\) and \\(T\\) values. To calculate the value of \\(t\\) it is proposed to use the following resource Geogebra.
"},{"esp":"- Dividimos a ambos lados de la expresión \\(C_a = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}} \\) por \\(C_0\\): \\[\\frac{C_a}{C_0} =0{,}5^{\\frac{t}{P}}\\]
- Considerando la definición de logaritmo \\(log_{b}(x)=y\\) si y sólo si \\(b^y=x\\), es posible escribir lo anterior como \\[ log_{0,5}(\\frac{C_a}{C_0})=\\frac{t}{P} \\]
- Multiplicando ambos lados de la igualdad por \\(P\\) se obtiene que \\[P \\cdot log_{0,5}(\\frac{C_a}{C_0})=t \\]
En la clase, se propone realizar este despeje usando valores de \\(C_0\\), \\(C_a\\) y \\(T\\) específicos. Para calcular el valor de \\(t\\) se propone utilizar el siguiente recurso Geogebra.
","eng":"","tipo":"p"}]},"2":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Consideraciones relevantes para el desarrollo de la clase"},{"esp":"Cuando se usa la datación por Carbono-14, normalmente no se realizan cálculos respecto a la cantidad actual de átomos de C-14 de una muestra, \\(C_a\\) ni a la cantidad inicial de átomos del organismo, \\(C_0\\), sino que se utiliza la proporción de C-14 en una muestra, ya que esto elimina la necesidad de conocer la cantidad inicial exacta de carbono-14 en el organismo en el momento de su muerte, lo cual suele ser desconocido. La razón es que diferentes organismos pueden tener cantidades iniciales de C-14 ligeramente diferentes debido a variaciones en la producción de C-14 en la atmósfera, y conocer la proporción de C-14 en la muestra es información suficiente para estimar cuánto tiempo ha pasado desde la muerte de un organismo.\n
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Durante esta clase, las y los estudiantes trabajarán con valores conocidos para las variables \\(C_0\\) y \\(C_a\\), ya que posee las siguientes ventajas matemáticas respecto a usar la proporción de C-14:\n
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"- Los cálculos y procedimientos matemáticos que se realizan en la clase son más claros al usar estos dos valores conocidos, por ejemplo, al expresar el logaritmo.\n \n
- \nLa función \\(C(t) = C_0 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{P}}\\) relaciona entre la cantidad de átomos de C-14 y los años de antigüedad de un organismo, y al trabajar de manera separada los valores de la cantidad actual y original de átomos de C-14, es más fácil interpretar la función como “Cantidad de átomos que se midió en la muestra en la actualidad”, además se que asemeja a la representación habitual de las funciones exponenciales, de la forma \\(f(x) = a \\cdot b^x\\).\n
For years Carbon-14 (C-14) dating has predominated in the estimation of dates for archaeology, paleontology, geography, among others. C-14 is the only naturally occurring radioactive isotope of Carbon. This is constantly formed from the Nitrogen in the atmosphere, due to the nuclear reactions that produce cosmic rays.
","tipo":"p","esp":"Por años la datación por Carbono-14 (C-14), ha predominado en la estimación de fechas para la arqueología, paleontología, geografía, entre otras. El C-14 es el único isótopo radiactivo natural del Carbono. Este se forma constantemente a partir del Nitrógeno de la atmósfera, debido a las reacciones nucleares que producen los rayos cósmicos.
"},{"eng":"For this situation we will assume that the concentration of C-14 during the last 50 thousand years has remained constant in the environment. We will also assume that living beings, through their interaction with the environment, maintain the same proportion of C-14 in their tissues. However, when an organism dies, this exchange with the environment ceases and the proportion of C-14 in its body begins to decline.
","esp":"Para esta situación supondremos que la concentración de C-14 durante los últimos 50 mil años se ha mantenido constante en el ambiente. Supondremos también que los seres vivos, a través de su interacción con el entorno, mantienen la misma proporción de C-14 en sus tejidos. Sin embargo, cuando un organismo muere, cesa este intercambio con el ambiente y la proporción de C-14 en su cuerpo comienza a decaer.
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"El decaimiento del C-14 sigue el patrón típico de cualquier isótopo radiactivo, disminuyendo a la mitad su concentración en un periodo de tiempo específico llamado periodo de semidesintegración. En el caso del C-14, el periodo de semidesintegración se calcula en 5730 ± 40 años.
","eng":"The decay of C-14 follows the typical pattern of any radioactive isotope, halving its concentration in a specific period of time called half-life. In the case of C-14, the half-life is estimated to be 5730 ± 40 years.
"},{"tipo":"p","eng":"Currently one of the most widely used methods to determine the concentration of C-14 in a sample is Acceleration Mass Spectrometry. This method makes it possible to count C-14 atoms, even in very small samples.
","esp":"En la actualidad uno de los métodos más utilizados para determinar la concentración de C-14 en una muestra es la Espectrometría de Aceleración de Masas. Este método permite contar los átomos de C-14, incluso en muestras muy pequeñas.
"},{"tipo":"p","esp":"Link con más información sobre la Espectrometría: Fuente\n
","eng":"Link with more information about Spectrometry: Source\n
"},{"esp":" Momias Chinchorro","tipo":"h3","eng":"Chinchorro mummies"},{"tipo":"p","esp":"La cultura Chinchorro se ubicó en el litoral del desierto de Atacama, entre Ilo, Perú, hasta Antofagasta, Chile. Se estima que se establecieron hace más de 7.000 años, vivieron de la caza, la pesca, recolección de recursos marinos y de frutas.
","eng":"The Chinchorro culture was located along the coast of the Atacama desert, between Ilo, Peru, to Antofagasta, Chile. It is estimated that they settled more than 7,000 years ago, they lived by hunting, fishing, gathering marine resources and fruits.
"},{"tipo":"p","esp":"Pese a que no desarrollaron ni la cerámica ni la metalurgia, tenían un culto muy elaborado a sus muertos, el cual consistía en la momificación artificial a través de diversos métodos, mostrando un impresionante conocimiento de la anatomía humana.
","eng":"Although they did not develop ceramics or metallurgy, they had a very elaborate cult of their dead, which consisted of artificial mummification through various methods, displaying an impressive knowledge of human anatomy
"},{"alinea":"texto-centrado","escala":"100","tipo":"img","caption":{"eng":"They had a high infant mortality rate, which refers to possible arsenic poisoning, present in the water they drank.
","esp":"Tenían una alta tasa de mortalidad infantil, que se refiere a una posible intoxicación por arsénico, presente en el agua que consumían.
"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/imgs/imagen_guionprincipal.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/imgs/imagen_guionprincipal.png","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"tipo":"p","eng":"","esp":""}],"visible":true}},"visible":true}},"44":{"visible":true,"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"latching moment","esp":"Momento de enganche","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositiva 2, Presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slide 2, Presentation)"},{"eng":"It is suggested to start the class by asking questions that allow the students to relate to the problem of saving, for example:","esp":"Se sugiere comenzar la clase realizando preguntas que permitan que las y los estudiantes se vinculen con la problemática del ahorro, por ejemplo:","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"","eng":"- ¿Ahorras? ¿Alguna vez has ahorrado? En el caso que sí, ¿cómo guardas el dinero? ¿En qué usaste o usarás el dinero ahorrado? ¿Te ha sido difícil ahorrar?
"},{"eng":"(Slide 3, Presentation)","esp":"(Diapositiva 3, Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"- Save? Have you ever saved? If yes, how do you keep the money? What did you use or will you use the money saved for? Has it been difficult for you to save?
Present the Infographic “Savings”. Allow time for them to analyze it and then ask them to comment on what they understood or what caught their attention.\n
","esp":"Presente la Infografía “El Ahorro”. Dé un tiempo para que la analicen y luego pídales que comenten lo que entendieron o les llamó la atención. \n
","tipo":"p"},{"eng":"Then, it is suggested to ask some questions to share your impressions:
","tipo":"p","esp":"Luego, se sugiere realizar algunas preguntas para compartir sus impresiones:
"},{"tipo":"momento","eng":"- What is Savings? How can savings be saved?\n
- What is a time deposit? What are its advantages and disadvantages?
- ¿Qué es el Ahorro? ¿Cómo se pueden guardar los ahorros?\n
- ¿Qué es un depósito a plazo? ¿Cuáles son sus ventajas y desventajas?
Se espera que las y los estudiantes hayan comprendido de modo general el funcionamiento de los Depósitos a Plazo.
","eng":"It is expected that the students have understood in a general way how Term Deposits work.
"},{"tipo":"h3","eng":"Presentation of the problem","esp":"Presentación del problema "},{"eng":"(Slide 5, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 5, Presentación)"},{"eng":"Hand out the Activity Sheet and read the situation presented together.
","tipo":"p","esp":"Entregue la Hoja de Actividades y lean en conjunto la situación presentada.
"},{"tipo":"p","esp":"Puede acompañar este momento con preguntas tales como:
","eng":"You can accompany this moment with questions such as:
"},{"eng":"- What is the amount of money the family is considering putting into a time deposit?
- What information does the table give?
- How are interest rates as the terms increase?
- ¿Cuál es el monto de dinero que la familia está evaluando poner en un depósito a plazo?
- ¿Qué información entrega la tabla?
- ¿Cómo son las tasas de interés a medida que aumentan los plazos?
En el caso de la primera pregunta es importante recalcar que la familia está dispuesta a poner en en un Depósito a Plazo los $500.000 que ahorraron.
","eng":"In the case of the first question, it is important to emphasize that the family is willing to put the $500,000 they saved in a Term Deposit.
","tipo":"p"}]},"2":{"contenido":[{"eng":"Part 1","tipo":"h3","esp":"Primera Parte"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 7, Presentación)","eng":"(Slide 7, Presentation)"},{"esp":"En este momento se busca que las y los estudiantes comparen las tasas de interés para ciertos depósitos a plazo (Tarea matemática A). Así también calculen porcentajes que corresponden a las ganancias asociadas a las tasas de interés de los depósitos a plazo. (Tarea Matemática B). Para esto invite a sus estudiantes a que respondan las pregunta 1 y 2 de la Hoja de Actividades.","eng":"At this moment the students will tackle the mathematical task that involves comparing interest rates and calculating an amount by applying a certain percentage increase.
","tipo":"p"},{"eng":"Invite students to answer questions 1 and 2 on the Activity Sheet.
","tipo":"p","esp":"
\nConsider that they can use a calculator or a spreadsheet.\nInvite a sus estudiantes a que respondan las preguntas 1 y 2 de la Hoja de Actividades.
"},{"eng":"
\nConsidere que pueden usar calculadora o una planilla de cálculo. \n- If you decide to put your money in a 30-day Term Deposit, which bank is best for you? Because?
- Si deciden poner su dinero en un Depósito a Plazo a 30 días, ¿cuál banco les conviene? ¿Por qué?
Es posible que algunos estudiantes elijan la tasa del 0,85%, ya que al comparar los decimales podrían equivocadamente pensar que 0,85 es mayor que 0,9. En ese caso, se sugiere que analicen detenidamente el valor posicional de las cifras para que comprendan que 0,9 es mayor que 0,85, ya que 9 décimos es mayor que 8 décimos. Permita que sus estudiantes reconozcan la importancia de comparar correctamente decimales, ya que en situaciones como ésta podrían tomar decisiones equivocadas respecto de la elección de banco.\n
","eng":"Some students may choose the rate of 0.85%, since when comparing the decimals they might mistakenly think that 0.85 is greater than 0.9. In that case, it is suggested that they carefully analyze the place value of the figures so that they understand that 0.9 is greater than 0.85, since 9 tenths is greater than 8 tenths. Allow your students to recognize the importance of correctly comparing decimals, since in situations like this they could make wrong decisions regarding the choice of bank.\n
"},{"recurso":"Actividades","eng":"- What profit will they have after 30 days with bank A and bank B?
- ¿Que ganancia tendrán al cabo de 30 días con el banco A y con el banco B?
- With bank A, $4,250.
- With bank B, $4,500.
- Con el banco A, $4250.
- Con el banco B, $4500.
Para que sus estudiantes valoren el resultado obtenido, se sugiere indicarles que partan calculando el 10% de 500 mil (50 000) y luego el 1% de (50 000) es 5 000. Así, determinan que el 0,9% de 500 mil es “un poco menos” que 5 000.\n
","eng":"In order for your students to assess the result obtained, it is suggested that they start by calculating 10% of 500 thousand (50,000) and then 1% of (50,000) is 5,000. Thus, they determine that 0.9% of 500 thousand is “a little less” than 5,000.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"By answering this question, your students will be able to check question 1 and see that with bank B they make more profit within 30 days, since it offers a higher interest rate.\n
","esp":"Al responder esta pregunta, sus estudiantes podrán comprobar la pregunta 1 y observar que con el banco B obtienen mayor ganancia en un plazo de 30 días, ya que ofrece una mayor tasa de interés. \n
"},{"eng":"Part 2","tipo":"h3","esp":"Segunda Parte"},{"eng":"(Slide 10, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 10, Presentación)"},{"eng":"At this time the students will tackle the mathematical task that involves the calculation of compound interest.
","esp":"En este momento las y los estudiantes calculan y evalúan el interés compuesto asociado a ciertos depósitos a plazos. (Tarea matemática C)","tipo":"p"},{"esp":"Presente las preguntas 3 y 4 de la Hoja de Actividades. \n
","tipo":"p","eng":"Introduce questions 3 and 4 of the Activity Sheet.\n
"},{"esp":"- En la familia se plantean la siguiente pregunta: \nSi asumimos que la tasa mensual se mantendrá constante en los próximos 3 meses, ¿nos conviene hacer un Depósito a Plazo a 90 días, o nos conviene hacerlo a 30 días y renovarlo cada mes?
\nOrganiza la información para responder a la pregunta.\n
- The family asks the following question:\nIf we assume that the monthly rate will remain constant in the next 3 months, is it convenient for us to make a 90-day Term Deposit, or should we do it for 30 days and renew it every month?
\nOrganize the information to answer the question.\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/imgs/tabla%204.png\")
R.
\nIn bank A, it is convenient to make the deposit once for the 3 months (90 days)\n
","esp":"
In bank B, it is convenient to renew the deposit month by month (30 days)
When comparing all the options, it is convenient to make the deposit in bank A for 90 days since the greatest profit is generated.\n
\nR.
\nEn el banco A, conviene hacer el depósito de una vez por los 3 meses (90 días) \n
"},{"tipo":"p","eng":"
En el banco B, conviene ir renovando mes a mes el depósito (30 días)
Al comparar todas las opciones conviene hacer el depósito en el banco A a 90 días ya que se genera la mayor ganancia. \nAs noted in the didactic dimension, students are expected to use a spreadsheet like the one shown. Another option is for them to build a table and do the compound interest calculations using a calculator, as shown below:
","esp":"Tal como se señaló en la dimensión didáctica, se espera que los estudiantes utilicen una hoja de cálculo como la mostrada. De esta forma sus estudiantes pueden tener un acercamiento importante a este tipo de herramientas de cálculo tan útiles y eficientes para el tratamiento de datos (Tarea matemática D), otra opción es que construyan una tabla y hagan los cálculos de interés compuesto usando una calculadora, tal como se muestra a continuación: \n"},{"eng":"or, directly, that is, calculating the new accumulated amount month by month.\n
","tipo":"p","esp":"Banco A\n
Siendo n cantidad de períodos y r la tasa de interés.\nPor lo tanto para el banco A al cabo de 3 meses:\n\n\\begin{eqnarray}\nC_{f}&=& C_i\\cdot(1+\\frac{r}{100})^n \\\\C_{f}&=& 5\\,00\\,000\\cdot(1+\\frac{0,85}{100})^3 = 5\\,12\\,858,682\n\\end{eqnarray}\n
o bien, de forma directa, es decir, calculando mes a mes el nuevo monto acumulado.
\nBanco A\n\\begin{eqnarray} C_{f}= 5\\,00\\,000 \\cdot(1,0085) = 5\\,04\\,250\\\\C_f= 5\\,04\\,250 \\cdot(1,0085)= 5\\,08\\,536,125\n\\\\C_f= 5\\,08\\,536,125 \\cdot(1,0085)= 5\\,12\\,858,682 \\end{eqnarray}"},{"eng":"In both banks but especially in bank B, the error of calculating the final amount using an interest rate for 90 days (\n2.7%), thinking that it corresponds to the same calculation as three times the 30-day rate (30.9%). In this case, guide them so that they recognize that in the case of the Revolving Deposit the amount accumulated in each period is reapplied interest in the following period, with which the profit is greater.
","esp":"En ambos bancos pero especialmente en el banco B, puede surgir el error de calcular el monto final usando una tasa de interés para 90 días (\n2,7 %), pensando que corresponde al mismo cálculo que tres veces la tasa de 30 días (30,9 %). En tal caso, orientarlos para que reconozcan que en el caso del Depósito renovable el monto acumulado en cada periodo se le vuelve a aplicar interés en el periodo siguiente, con lo cual la ganancia es mayor.
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Sistematice esta idea en plenaria, se sugiere conectar ambos procedimientos:
","eng":"Systematize this idea in plenary, it is suggested to connect both procedures:
"},{"eng":"- Applying the compound interest formula is equivalent to multiplying the initial amount by the increase factor as many times as the number of periods indicates.
- Calculating the final amount month by month is equivalent to applying the formula of compound interest.
- Aplicar la fórmula de interés compuesto, equivale a multiplicar el monto inicial por el factor de aumento tantas veces como indica la cantidad de períodos.
- Calcular el monto final mes a mes equivale a aplicar la fórmula de interés compuesto.
Banco A
\n\\begin{eqnarray} C_{f}= 5\\,00\\,000 \\cdot(1,0085) \\cdot(1,0085)\\cdot(1,0085) \\\\= 5\\,12\\,858,682\\\\ C_{f}= 5\\,00\\,000 \\cdot(1,0085)^3 \\\\= 5\\,12\\,858,682 \\end{eqnarray}","tipo":"momento","eng":"Bank A
\n\\begin{eqnarray} C_{f}= 5\\,00\\,000 \\cdot(1,0085) \\cdot(1,0085)\\cdot(1,0085) \\\\= 5\\,12\\,858,682\\\\ C_{f}= 5\\,00\\,000 \\cdot(1,0085)^3 \\\\= 5\\,12\\,858,682 \\end{eqnarray}"},{"eng":"Next, the students are invited to ask question 4 of the Activity Sheet, in this question they address the mathematical task related to finding the interest rate associated with a Term Deposit knowing the initial, final amount and the terms.
","esp":"A continuación, se invita a las y los estudiantes a realizar la pregunta 4 de la Hoja de Actividades, a través de esta pregunta se pretende que las y los estudiantes encuentren la tasa de interés asociada a un Depósito a plazo conociendo el monto inicial, final y los plazos. (Tarea matemática E)","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"- A family friend told them that at another bank, if you choose a Term Deposit of $300,000 for 90 days, you get an amount final $308,250. Would it be in the family's best interest to put the $500,000 in that bank?
","tipo":"momento","recurso":"Actividades"},{"tipo":"momento","esp":"- Una amiga de la familia les comentó que en otro banco, si se opta por un Depósito a Plazo de $300 000 a 90 días, se obtiene un monto final de $308 250. ¿Le sería conveniente a la familia poner los $500 000 en ese banco?
","recurso":"Respuesta","eng":"- La tasa de interés ofrecida por ese banco para un periodo de 90 días es del 2,75 % . Esta tasa no le conviene a la familia, ya que la tasa para el mismo tipo de depósito en el banco A es mayor.
"},{"eng":"- The interest rate offered by that bank for a period of 90 days is 2.75% . This rate is not convenient for the family, since the rate for the same type of deposit in bank A is higher.
Your students are expected to address the question by identifying what the interest rate needs to be determined. To do this, they could pose the following equation,
","tipo":"p","esp":"Se espera que sus estudiantes aborden la pregunta identificando que se necesita determinar la tasa de interés. Para ello, podrían plantear la siguiente ecuación,
"},{"eng":"Considering x = interest rate","tipo":"p","esp":"Considerando x = tasa de interés"},{"tipo":"p","eng":"\\begin{eqnarray} 3\\,00\\,000 x\\cdot 3\\,00\\,000","esp":"\\begin{eqnarray} 3\\,00\\,000 + x\\cdot 3\\,00\\,000&=&3\\,08\\,250 \\\\ x\\cdot 3\\,00\\,000&=&3\\,08\\,250-3\\,00\\,000 \\\\ x\\cdot 3\\,00\\,000 &=&8\\,250 \\\\ x &=& \\frac{8\\,250}{3\\,00\\,000}\\\\ x&=&0.0275\\\\x&=& 2,75\\% \\end{eqnarray}"},{"eng":"Note that students can represent x as the rate but not consider the percentage. Thus, they might conclude that the interest rate is 0.0275%. If this happens, ask them to apply that percentage increase to 300,000 to see if you get 308,250.","tipo":"p","esp":"Notar que los estudiantes pueden representar que x es la tasa pero no considerar el porcentaje. Así, podrían concluir que la tasa de interés es 0,0275 %. Si esto ocurre, pídales que apliquen ése porcentaje de aumento a 300 000 para verificar si se obtiene 308 250."},{"tipo":"p","eng":"It is suggested to emphasize that interest rates should be expressed as a percentage.
","esp":"Se sugiere enfatizar que las tasas de interés deben ser expresadas como porcentaje.
"},{"eng":"End with a discussion, reviewing the strategies of some of your students and then close the class with ideas proposed in the systematization.\n
","tipo":"p","esp":"Finalice con una puesta en común, revisando las estrategías de algunos de sus estudiantes y a continuación cierre la clase con ideas propuestas en la sistematización. \n
"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Sistematización","eng":"Systematization"},{"esp":"(Diapositiva 16, Presentación)","eng":"(Slide 16, Presentation)","tipo":"h4"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/v2%20Presentacion%20IV_U2_OA1.pdf","recurso":"ModalPDF","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/v2%20Presentacion%20IV_U2_OA1.pdf","tipo":"button","titulo":{"eng":"View Presentation","esp":"Ver Presentación"}},{"eng":"- Term Deposits are savings instruments in which a client deposits an amount of money in an account for a specific period, such as 30, 60, 90 days, among others. In exchange for this deposit, the client receives a return or interest on the initial amount invested.
- Los Depósitos a Plazo son instrumentos de ahorro en los cuales un cliente deposita una cantidad de dinero en una cuenta por un período específico, como 30, 60, 90 días, entre otros. A cambio de este depósito, el cliente recibe un rendimiento o interés sobre la cantidad inicial invertida.
- When renewing a Term Deposit month by month, compound interest is applied, which means that the earnings generated are added to the initial amount, achieving a progressive increase in accumulated interest. It is important to note that this is only valid if interest rates remain constant during each period.
- Al renovar mes a mes un Depósito a Plazo, se aplica el interés compuesto, lo que significa que las ganancias generadas se suman al monto inicial, logrando un aumento progresivo de los intereses acumulados. Es importante destacar que esto solo es válido si las tasas de interés se mantienen constantes durante cada período.
- La fórmula de interés compuesto nos permite calcular el monto final de un depósito a plazo que se renueva n períodos, asumiendo que se mantiene fija la tasa de interés x :\n
- The compound interest formula allows us to calculate the final amount of a term deposit that is renewed n periods, assuming that the interest rate is kept fixed x :\n
\\(C_f =C_i(1+i)^n\\)
","tipo":"p","eng":"\\(C_f =C_i(1 i)^n\\)
"},{"eng":"Where:
","esp":"
\n\\(C_f\\) = Final Capital
\n\\(C_i\\) = Initial capital
\n\\(i\\) = Interest rate
\n\\(n\\) = Saving period
\nDonde:
","tipo":"p"},{"esp":"
\n\\(C_f\\) = Capital final
\n\\(C_i\\) = Capital inicial
\n\\(i\\) = Tasa de interés
\n\\(n\\) = Período del ahorro
\n- Los bancos ofrecen una variedad de tasas con diferentes condiciones. Para tomar la mejor decisión, es necesario realizar cálculos y analizar la información obtenida. Por ejemplo, puede resultar mucho más conveniente optar por un Depósito a Plazo de un año en lugar de renovar un depósito cada 30 días. Sin embargo, esta elección dependerá en gran medida de las tasas de interés involucradas en cada opción. Es esencial comparar cuidadosamente las tasas ofrecidas para maximizar los beneficios de nuestras inversiones.
- Banks offer a variety of rates with different conditions. To make the best decision, it is necessary to perform calculations and analyze the information obtained. For example, it may be much more convenient to opt for a one-year Term Deposit instead of renewing a deposit every 30 days. However, this choice will largely depend on the interest rates involved in each option. It is essential to carefully compare the rates offered to maximize the benefits of our investments.
- Recuerda que cada familia tiene diferentes circunstancias financieras y metas de ahorro, por lo que es importante evaluar las necesidades y buscar las opciones que mejor se adapten a cada situación.
- Remember that each family has different financial circumstances and savings goals, so it is important to assess the needs and find the options that best suit each situation.
Presente a sus estudiantes la Guía práctica en la cual se espera que sus estudiantes analicen información relativa a Depósitos a Plazo, que se presenta en un diario de circulación pública.
","eng":"Introduce your students to the Practical Guide in which your students are expected to analyze information related to Term Deposits, which is presented in a newspaper of public circulation.
"},{"esp":"En la actividad 1, los estudiantes deben identificar de una tabla, el o los bancos que ofrecen mejores tasas de interés para depósitos a plazo de 30, 90 y a 1 año de plazo. \n
\n
\nEn las siguientes actividades, las y los estudiantes deben analizar la conveniencia de realizar depósitos a plazo renovándose cada mes, cada 3 meses o haciendo depósitos de una vez a 1 año de plazo. Finalmente podrán calcular la tasa de interés de un cierto banco, dado el monto final de un depósito a plazo. ","eng":"In activity 1, students must identify from a table the bank(s) that offer the best interest rates for 30, 90, and 1-year term deposits.\n
\n
\nIn the following activities, the students must analyze the convenience of making term deposits, renewing each month, every 3 months or making deposits once for a 1-year term. Finally they will be able to calculate the interest rate of a certain bank, given the final amount of a term deposit.","tipo":"p"},{"esp":"Estas actividades pueden ser utilizados para evaluar formativamente los siguientes indicadores:
","tipo":"p","eng":"These activities can be used to formatively assess the following indicators:
"},{"esp":"","tipo":"p","eng":"- Calculan porcentajes de aumento de cantidades e interés compuesto utilizando planillas de cálculo. \n
- A partir de información contextualizada analizan la toma de decisiones respecto de la mejor opción para Depósitos a Plazo. \n
"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/Gu%C3%ADa%20Pr%C3%A1ctica%20OA1-4to..pdf","recurso":"ModalGP","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/Gu%C3%ADa%20Pr%C3%A1ctica%20OA1-4to..pdf"}]}}},"recursosProyecto":[],"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"- Calculate percentage increase amounts and compound interest using spreadsheets.\n
- Based on contextualized information, they analyze decision-making regarding the best option for Term Deposits.\n
Para la situación se tienen las siguientes consideraciones matemáticas:
","eng":"For the situation we have the following mathematical considerations:
","tipo":"p"},{"eng":"Calculation of percentages.","esp":"Cálculo de porcentajes. ","tipo":"h3"},{"esp":"Existen diversas estrategias para calcular porcentajes. Puede que alguna sea más conveniente que otra dependiendo de la pregunta que interesa resolver.
Por ejemplo,\n\n- ¿Cómo calcular el 0,93 % de $500000? \n
\nPueden expresar los porcentajes como un operador multiplicativo decimal.
\nEsto es: \n\n
\n0,0093 ⋅ 500000 = 4650
\nAsí, el 0,93 % de $500000 es $4650
- How to calculate 0.93% of $500000?\n
\nThere are many strategies for calculating percentages. In this situation, students are expected to express percentages as a decimal multiplicative operator. This is:\n
\n0.0093 ⋅ 500000 = 4650.\n
\nSo 0.93% of $500,000 is $4,650.\n
- How to calculate the number that results when $500000 is increased by 0.93%?\n
\n Strategy 1. Calculate the % and then add,\n
\n0.0093 ⋅ 500000 = 4650.
\n500000 4650 = 504650.\n
\nStrategy 2. Multiply by the increase operator.\n
\n500000 ⋅ 1.0093 = 504650. (100% 0.93%)\n
- ¿Cómo calcular el número que resulta cuando a $500000 le aumentamos su 0,93%? \n
\n Estrategia 1. Calcular el % y luego sumar,\n
\n\\(0,0093\\cdot 500\\,000 = 4\\,650\\)
\n\\(500\\,000 + 4\\,650 = 504\\,650\\)\n\n
\nEstrategia 2. Multiplicar por el operador de aumento.\n
\n\\(500\\,000 \\cdot 1,0093 = 504\\,650 \\cdot (100\\% + 0,93\\%\\)) \n
Dado que los porcentajes corresponden a tasas de interés, se espera que en esta situación, las y los estudiantes calculen porcentajes de aumento de una cantidad.
","tipo":"p","eng":"Since the percentages correspond to interest rates, it is expected that in this situation, the students will calculate percentage increases in an amount, preferably using the idea of the increase operator.
"},{"tipo":"h3","eng":"Notion of simple and compound interest.","esp":"Noción de interés simple y compuesto."},{"esp":"En finanzas y en economía, el interés se refiere a toda suma de dinero superior a la cantidad prestada o ahorrada que recibe o tiene derecho a recibir un acreedor (una persona natural o una institución financiera, por ejemplo), a una tasa de interés determinada. Es decir, ","eng":"Simple interest is calculated only on an initial amount, expressed as a percentage. In contrast, compound interest takes accrued interest into account.\n
","tipo":"p"},{"eng":"Compound interest is usually more profitable than simple interest. In the case of savings, the profits generated are added to the capital and, if a new period begins, the interest is calculated on this new amount.
","esp":"\\[I = C_f - C_i \\]\n
\nDonde:
\n\\(I\\) = Interés
\n\\(C_f\\)= Capital final
\n\\(C_i\\) = Capital inicial
\n","tipo":"p"},{"esp":"En el interés simple, se considera únicamente el monto inicial (\\(C_i\\)), es decir se excluyen los intereses acumulados a lo largo del tiempo, al determinar el capital al final del período (mensual, trimensual, anual, etc.). Así, en cada período el interés está dado por la expresión \\(i C_i\\), en donde \\(i\\) es la tasa de interés del período. Es decir, para \\(n\\) períodos, se habrá pagado en intereses una cantidad \\(i n C_i\\). Luego, el capital final en este caso se determina como, :\\[C_f =(1+ i\\cdot n) \\cdot C_i\\]\nDonde:
\n- \n
- \\(C_f\\)= Capital final. \n
- \\(C_i\\) = Capital inicial. \n
- \\(i\\)= Tasa de interés del préstamo o ahorro. \n
- \\(n\\)= Período del préstamo o ahorro. \n
Renewable Term Deposits involve compound interest. In this case, a money deposit is made for a specific period and an interest rate is agreed to be applied during that time. At the end of the period, both the initial amount and the profits obtained are renewed with the new rate offered by the bank.\n
"},{"tipo":"p","esp":"En contraste, el interés compuesto tiene en cuenta los intereses acumulados. Es decir, el interés se calcula sobre el dinero adeudado (o ahorrado) sobre el final de cada período. Por ejemplo, si consideramos una tasa de interés \\(i\\) para el período, tenemos que,\n- \n
- Al finalizar el primer período el capital ahorrado o adeudado es \\[C_f = C_i + iC_i = (1 + i)C_i\\] \n
- Al finalizar el segundo período, el capital ahorrado o adeudado es \\[C_f = (1 + i) C_i + (1 + i) C_i \\cdot i = (1+i)(C_i + iC_i) = (1+i)^2C_i\\] \n
- Siguiendo con este procedimiento, se puede mostrar que al finalizar \\(n\\) períodos, el capital ahorrado o adeudado es \\[C_f = (1+i)^n C_i\\] \n
\nEn esta situación, uno de los supuestos para comparar un Depósito a Plazo de 30, 60, 90 días y un año, consiste en mantener la tasa constante. De esta manera, se podría calcular el valor final utilizando la fórmula del interés compuesto. \n\n","eng":"In this situation, one of the assumptions to compare a Term Deposit of 30, 60, 90 days and one year, consists of keeping the rate constant. In this way, the final value could be calculated using the compound interest formula. Cf = Ci ⋅ (1 i)n"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Tiempo y período de inversión","eng":"Use of spreadsheets"},{"esp":"Es usual que en problemas donde se requiere obtener el capital reajustado según una tasa de interés, esta última se conozca para un período distinto que el período de duración del crédito o préstamo. Consideremos por ejemplo el siguiente problema, \n
¿Cuál es el capital al cabo de 1 año y medio, si se invirtieron $2 000 000 en un depósito a plazo con una tasa de interés simple del 3% anual, aplicada semestralmente?\n\nEn este caso, la tasa de interés se aplica semestralmente sobre el capital, es decir, la tasa de interés semestral es \\(i = \\frac{3\\%}{2} = 1.5 \\% \\) la que se aplica en 3 períodos. Luego, el capital final se determina como sigue,
\\[C_f =(1 +1.5\\% \\cdot 3) \\cdot 2 000 000\\]\n\\[C_f = 2 090 000\\]
\nEs posible que las y los estudiantes tengan dificultades al interpretar correctamente el período de inversión y su tasa de interés asociada. Esto puede llevar a confusiones respecto a cuántas veces se capitaliza el interés en un período dado, y cuál es el valor de dicho interés. \n","eng":"In part 2 of the knowledge construction, students are asked to investigate a Time Deposit situation that involves the calculation of compound interest. To facilitate the calculations and to organize the information, the use of a spreadsheet is suggested.\n
","tipo":"p"},{"esp":"Diferencia entre interés simple y compuesto","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":"Es posible que las y los estudiantes tengan dificultades para comprender la diferencia entre interés simple y compuesto, y debido a ello, la justificación de las fórmulas para obtener el capital reajustado según la tasa de interés para ambos casos. ","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Se sugiere dedicar un tiempo para mostrar período a período cómo cambia el capital en ambos casos. Este trabajo les permitirá evidenciar las diferencias entre ambos tipos de interés y comprender las fórmulas matemáticas asociadas. "}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"formal savings","tipo":"h3","esp":"El ahorro Formal"},{"tipo":"p","esp":"El ahorro se refiere a la parte de los ingresos que no se destina al gasto y se reserva para necesidades futuras. Esto se logra mediante el uso de instrumentos financieros proporcionados por instituciones autorizadas por la ley para captar dinero, como cuentas de ahorros, depósitos a plazo o cuentas de ahorro previsional voluntario, en el caso de los trabajadores.\n
","eng":"Savings refers to the part of income that is not used for spending and is reserved for future needs. This is achieved through the use of systems provided by institutions authorized by law to collect money, such as savings accounts, term deposits or voluntary pension savings accounts, in the case of workers.\n
"},{"tipo":"p","eng":"To enrich the topic, we share a video from Sernac that might be interesting to review with your students. The video provides additional information on saving and its benefits: Financial Education for Youth: Saving
","esp":"Para enriquecer el tema, compartimos un video del Sernac que podría resultar valioso de revisar con sus estudiantes, en caso de que disponga del tiempo para ello. El video proporciona información adicional sobre el ahorro y sus beneficios: Educación Financiera para jóvenes: El ahorro
"},{"tipo":"h3","eng":"term deposits","esp":"Depósitos a plazo "},{"tipo":"p","eng":"Term Deposits are amounts of money delivered to a financial institution, with the purpose of generating profits (interest) in a determined period of time, as the risk is null (there is never a loss), the earnings are low.\n
","esp":"Los Depósitos a Plazo son montos de dinero entregados a una institución financiera, con el propósito de generar ganancias (intereses) en un período de tiempo determinado. Como el riesgo asociado a ellos es nulo (nunca hay pérdida), las ganancias son bajas. \n
"},{"tipo":"p","esp":"Este tipo de instrumentos de ahorro son regulados por normas dictadas por el Banco Central y la Comisión para el Mercado Financiero (CMF). Los depósitos a plazo pueden clasificarse en: depósitos a plazo fijo y depósitos a plazo renovable. \n
","eng":"This type of savings instrument is regulated by regulations issued by the Central Bank and the Financial Market Commission (CMF). Term deposits can be classified into: fixed term deposits and renewable term deposits.\n
"},{"eng":"Fixed term deposits","esp":"Depósitos a plazo fijo","tipo":"h4"},{"esp":"En los depósitos a plazo fijo, la institución financiera se compromete a realizar el pago en una fecha específica previamente acordada. Durante el plazo establecido, se generan intereses que serán entregados junto con el capital al vencimiento del depósito.
","eng":"In fixed-term deposits, the financial institution agrees to make the payment on a specific previously agreed date. During the established term, interest is generated that will be delivered together with the capital at the maturity of the deposit.
","tipo":"p"},{"esp":"Depósitos a plazo renovable","eng":"Renewable term deposits","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Los depósitos a plazo renovable, por su parte, contemplan condiciones similares a los depósitos a plazo fijo, pero con la posibilidad de prorrogar automáticamente el depósito por un nuevo período a una nueva tasa de interés establecidas por el banco. Cabe destacar que durante los primeros días del siguiente periodo se podrá aumentar o disminuir el monto del depósito.
","eng":"Renewable term deposits, for their part, contemplate conditions similar to fixed term deposits, but with the possibility of automatically extending the deposit for a new period at a new interest rate established by the bank. It should be noted that during the first days of the following period the amount of the deposit may be increased or decreased.
"},{"tipo":"h3","esp":"Tasas de interés ","eng":"Interest rates"},{"tipo":"p","eng":"The interest rate on term deposits refers to the percentage that a financial institution pays to the holders of those deposits as a form of compensation for leaving their money invested for a certain period of time. This rate can be fixed or variable, depending on the conditions agreed between the client and the financial institution.
","esp":"La tasa de interés en depósitos a plazo se refiere al porcentaje que una institución financiera paga a los titulares de esos depósitos como una forma de retribución por dejar su dinero invertido durante un período de tiempo determinado. Esta tasa puede ser fija o variable, dependiendo de las condiciones acordadas entre el cliente y la institución financiera.
"},{"tipo":"h4","eng":"Interest rates in Chile","esp":"Tasas de interés en Chile"},{"eng":"In the following website of the Central Bank of Chile, you can see the variation of interest rates for different periods of time, it is recommended to visit: statistics/interest-rates\n
","esp":"En la siguiente página web del Banco central de Chile, puede observar la variación de las tasas de interés para distintos periodos de tiempo se recomienda visitar: estadisticas/tasas-de-interes \n
","tipo":"p"}]}},"visible":true},"recursos":{"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Infographic \"Savings\"","esp":"Infografía “El ahorro”"},{"esp":"Esta Infografía muestra la noción de ahorro, y las formas que se puede ahorrar informal o formal, dentro de este último se encuentran los depósitos a plazos los que se detallan con más detención. \n
","eng":"This Infographic shows the notion of savings, and the ways that you can save informally or formally, within the latter are time deposits, which are detailed in more detail.\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/info_ahorro.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/infografia_decisiones_financieras_horizontal.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/infografia_decisiones_financieras_horizontal.pdf","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/info_ahorro.pdf","titulo":{"eng":"Descargar infografía","esp":"Descargar infografía"},"recurso":"Descarga"},{"eng":"Presentation (slides 2 to 6)","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 6)"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/v2%20Presentacion%20IV_U2_OA1.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/v2%20Presentacion%20IV_U2_OA1.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/docs/v2%20Presentacion%20IV_U2_OA1.pptx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/docs/v2%20Presentacion%20IV_U2_OA1.pptx","titulo":{"eng":"Descargar presentación","esp":"Descargar presentación"},"recurso":"Descarga"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Hoja de actividades","tipo":"h3","eng":"Worksheet"},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.\n
","tipo":"p","eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/v2%20Hoja%20de%20Actividades%20OA1-4to.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/v2%20Hoja%20de%20Actividades%20OA1-4to.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar hoja de actividades","eng":"Download activity sheet"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/docs/v2%20Hoja%20de%20Actividades%20OA1-4to.docx","recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/v2%20Hoja%20de%20Actividades%20OA1-4to.pdf"},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 7 a 15)","eng":"Presentation (slides 7 to 15)"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/v2%20Presentacion%20IV_U2_OA1.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/v2%20Presentacion%20IV_U2_OA1.pdf"},{"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/docs/v2%20Presentacion%20IV_U2_OA1.pptx","titulo":{"eng":"Download presentation","esp":"Descargar presentación"},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/docs/v2%20Presentacion%20IV_U2_OA1.pptx"}]},"3":{"contenido":[{"eng":"Presentation (slides 16 to 19)","esp":"Presentación (diapositivas 16 a 19)","tipo":"h3"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/v2%20Presentacion%20IV_U2_OA1.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/v2%20Presentacion%20IV_U2_OA1.pdf"},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/docs/v2%20Presentacion%20IV_U2_OA1.pptx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/docs/v2%20Presentacion%20IV_U2_OA1.pptx","titulo":{"esp":"Descargar presentación","eng":"Download presentation"}}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Guía Práctica","eng":"Practical Guide"},{"esp":"Este documento propone que apliquen los conceptos desarrollados en la clase y analicen una noticia sobre las rentabilidades de distintos bancos chilenos. \n
","eng":"This document proposes that they apply the concepts developed in class and analyze a news item about the profitability of different Chilean banks.\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/Gu%C3%ADa%20Pr%C3%A1ctica%20OA1-4to..pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/pdfs/Gu%C3%ADa%20Pr%C3%A1ctica%20OA1-4to..pdf","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/docs/Gu%C3%ADa%20Pr%C3%A1ctica%20OA1-4to..docx","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/decisiones_financieras/docs/Gu%C3%ADa%20Pr%C3%A1ctica%20OA1-4to..docx","titulo":{"eng":"Download practical guide","esp":"Descargar guía práctica"},"tipo":"button"}],"visible":true}},"visible":true}},"45":{"recursosProyecto":[],"recursos":{"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Infografía “Teorema de Pitágoras” ","eng":"Infographic “Pythagoras Theorem”","tipo":"h3"},{"esp":"Esta Infografía presenta quién fue Pitágoras y la escuela pitagórica, para luego centrarse en la relación entre las medidas de los lados de un triángulo rectángulo. También se presentan algunas de las aplicaciones del teorema y su relevancia para las matemáticas. Es importante destacar que en la infografía no se muestra el teorema explícitamente, ya que el objetivo de la lección es establecer la relación que describe, para luego demostrarlo.\n
","tipo":"p","eng":"This Infographic presents who Pythagoras was and the Pythagorean school, and then focuses on the relationship between the measures of the sides of a right triangle. Some of the applications of the theorem and its relevance to mathematics are also presented. It is important to note that the infographic does not show the theorem explicitly, since the objective of the lesson is to establish the relationship it describes, and then prove it.\n
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/pdfs/pitagoras.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/pdfs/pitagoras.pdf"},{"titulo":{"eng":"Descargar infografia","esp":"Descargar infografia"},"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/pdfs/pitagoras.pdf","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/pdfs/pitagoras.pdf"},{"tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 2 and 3)","esp":"Presentación (diapositivas 2 y 3)"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/pdfs/Presentacion%208vo_U_OA12.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/Presentacion8vo_U_OA12.pdf"},{"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/Presentacion8vo_U_OA12.pptx","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar presentación","eng":"Descargar presentación"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/docs/Presentacion%208vo_U_OA12.pptx"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Worksheet","esp":"Hoja de Actividades"},{"eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.\n
","tipo":"p","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/HojadeActividades%208vo_U3_OA12.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/HojadeActividades%208vo_U3_OA12.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/HojadeActividades8vo_U3_OA12.docx","titulo":{"eng":"Download activity sheet","esp":"Descargar hoja de actividades"},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/HojadeActividades8vo_U3_OA12.docx","recurso":"Descarga"},{"eng":"Presentation (slides 4 to 66)","esp":"Presentación (diapositivas 4 a 66)","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/pdfs/Presentacion%208vo_U_OA12.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/Presentacion8vo_U_OA12.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar presentación","eng":"Download presentation"},"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/Presentacion8vo_U_OA12.pptx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/docs/Presentacion%208vo_U_OA12.pptx","recurso":"Descarga"},{"esp":"Recurso de material concreto “Rompecabezas pitagórico”","eng":"Resource of concrete material \"Pythagorean Puzzle\"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"This resource contains the pieces of the puzzle that students must put together at the beginning of the activity. It is recommended to print it, ideally in color, so that the students can use it during the activity. If you don't have a color printer, you can print in black and white and number the parts. You can also use it as a mold to make it in another type of material.
","esp":"Este recurso contiene las piezas del rompecabezas que deben armar las y los estudiantes al comienzo de la actividad. Se recomienda imprimirlo, idealmente en colores, para que las y los estudiantes puedan utilizarlo durante la actividad. En caso de no contar con una impresora a color, puede imprimir en blanco y negro y enumerar las piezas. Puede utilizarlo como molde también para hacerlo en otro tipo de material.
"},{"escala":"75","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/rompecabezas_carta.png","caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/rompecabezas_carta.png","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar imagen","eng":"Download image"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/rompecabezas_carta.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/rompecabezas_carta.png","recurso":"Descarga"},{"esp":"Recurso interactivo GeoGebra “Rompecabezas pitagórico” ","tipo":"h3","eng":"GeoGebra interactive resource “Pythagorean Puzzle”"},{"tipo":"p","eng":"The interactive resource provides a visual proof of the Pythagorean Theorem, showing how the pieces of the puzzle are rearranged. Note that this resource allows you to modify the triangle measurements, allowing students to be convinced that the relationship holds for all right triangles.\n\n
","esp":"El recurso interactivo proporciona una demostración visual del teorema de Pitágoras, donde se observa cómo se reorganizan las piezas del rompecabezas. Tenga en cuenta de que este recurso permite modificar las medidas del triángulo, lo que permite que las y los estudiantes se convenzan de que la relación es válida para todos los triángulos rectángulos. \n\n
"},{"esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/aahnsmv8/width/1075/height/824/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false","recurso":"Geogebra","tipo":"iframe","eng":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/aahnsmv8/width/1075/height/824/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/ asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 67 a 70)","tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 67 to 70)"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/pdfs/Presentacion%208vo_U_OA12.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/Presentacion8vo_U_OA12.pdf","tipo":"pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/Presentacion8vo_U_OA12.pptx","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar presentación","eng":"Download presentation"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/docs/Presentacion%208vo_U_OA12.pptx","tipo":"button"}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Practical Guide","esp":"Guía Práctica"},{"eng":"This document is intended for students to apply the Pythagorean theorem in various situations of everyday life. In addition, another geometric proof of the theorem is included. These exercises can be used to formatively assess the knowledge developed from the situation.
","tipo":"p","esp":"Este documento tiene por objetivo que las y los estudiantes apliquen el teorema de Pitágoras en diversas situaciones de la vida cotidiana. Además, se incluye otra demostración geométrica del teorema. Estos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/GuiaPractica8vo_U3_OA12.pdf","tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/GuiaPractica8vo_U3_OA12.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/GuiaPractica8vo_U3_OA12.docx","recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/GuiaPractica8vo_U3_OA12.docx","titulo":{"eng":"Download practical guide","esp":"Descargar guía practica"}}],"visible":true}},"visible":true},"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"latching moment","esp":"Momento de enganche"},{"esp":"(Diapositivas 2 y 3, presentación)","tipo":"h4","eng":"(Slides 2 and 3, presentation)"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/Presentacion8vo_U_OA12.pdf","recurso":"ModalPDF","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/pdfs/Presentacion%208vo_U_OA12.pdf","tipo":"button","titulo":{"esp":"Ver presentación","eng":"see presentation"}},{"eng":"Introduce the Infographic “The Pythagorean Theorem”. Keep in mind that this does not include the mathematical expression of the theorem, since precisely one of the purposes of the lesson is for students to establish it from the assembly of the puzzle. To begin, it is suggested to ask the following question:\n
","tipo":"p","esp":"Presente la Infografía “Teorema de Pitágoras”. Tenga en cuenta que esta no incluye la expresión matemática del teorema, ya que precisamente uno de los propósitos de la lección es que los estudiantes la establezcan a partir del armado del rompecabezas. Para comenzar, se sugiere plantear la siguiente pregunta: \n
"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/pdfs/pitagoras.pdf","tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/pdfs/pitagoras.pdf","recurso":"ModalPDF"},{"esp":"- El teorema de Pitágoras establece la relación entre los lados de cierto tipo de figuras geométricas, ¿cuáles son estas figuras? \n
- The Pythagorean theorem establishes the relationship between the sides of a certain type of geometric figures. What are these figures? \n
Dada la información en la Infografía, se espera que las y los estudiantes señalen que el teorema establece una relación entre los lados de triángulos rectángulos. Incluso, es posible que muchos estudiantes ya conozcan la expresión. En tal caso, se sugiere gestionar la discusión para que no se describa ni se exprese inmediatamente en términos algebraicos, para así no alterar el desarrollo de la actividad. \n
","eng":"Given the information in the Infographic, students are expected to point out that the theorem establishes a relationship between the sides of right triangles. It is even possible that many students already know the expression. In this case, it is suggested to manage the discussion so that it is not immediately described or expressed in algebraic terms, so as not to alter the development of the activity.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"Presentación del problema ","eng":"Presentation of the problem"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 4, presentación)","eng":"(Slide 4, presentation)"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/Presentacion8vo_U_OA12.pdf","titulo":{"eng":"see presentation","esp":"Ver presentación"},"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/Presentacion8vo_U_OA12.pdf","recurso":"ModalPDF"},{"tipo":"p","eng":"Explain to your students the goal of the activity, noting that they will be challenged to put together a seven-piece puzzle. Show the following picture and allow time for them to look at it.
","esp":"Explique a sus estudiantes el objetivo de la actividad, señalando que tendrán el desafío de armar un rompecabezas de siete piezas. Muestre la siguiente imagen y dé tiempo para que la observen.
"},{"escala":"25","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen6_guionprincipal.png","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen6_guionprincipal.png","caption":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"Comment that the task will be to place the colored pieces (or numbers) so that they exactly cover the white square.\n
","esp":"Comente que la tarea será ubicar las piezas de colores (o números), de manera que cubran exactamente el cuadrado blanco. \n
","tipo":"p"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Primera Parte","eng":"Part 1"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 5 a 6, presentación)","eng":"(Slides 5-6, presentation)"},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/pdfs/Presentacion%208vo_U_OA12.pdf","recurso":"ModalPDF","titulo":{"esp":"Ver presentación","eng":"see presentation"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/Presentacion8vo_U_OA12.pdf"},{"tipo":"p","esp":"Invite a sus estudiantes a trabajar en grupos y entregue a cada uno el Recurso de material concreto“ Rompecabezas pitagórico”. Pídales que recorten las piezas, teniendo en cuenta que los cortes deben ser lo más precisos que puedan, y que enumeren cada pieza por ambos lados. Esto es necesario, porque para el armado hay que dar vuelta algunas piezas.\n
","eng":"Invite your students to work in groups and give each one the Factual Material Resource“ Pythagorean Puzzle”. Ask them to cut out the pieces, keeping in mind that the cuts should be as precise as possible, and to number each piece on both sides. This is necessary, because for assembly you have to turn some pieces.\n
"},{"tipo":"p","eng":"Then project the following image and explain that they must put together the puzzle, placing the pieces in the large square.
","esp":"Luego proyecte la siguiente imagen y explique que deben armar el rompecabezas, ubicando las piezas en el cuadrado grande.
"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"25","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen6_guionprincipal.png","tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen6_guionprincipal.png","alinea":"texto-centrado"},{"eng":"Give precise instructions on the assembly rules:\n
","esp":"Entregue instrucciones precisas de las reglas de armado: \n
","tipo":"p"},{"eng":"- All pieces must be used.
- Pieces cannot overlap.
- Pieces must perfectly cover the white square.
- It is allowed to turn a piece if necessary.
- Se deben utilizar todas las piezas.
- Las piezas no se pueden traslapar.
- Las piezas deben cubrir perfectamente el cuadrado blanco.
- Está permitido dar vuelta una pieza en caso de ser necesario.
Note that this last rule corresponds to a reflection of the figure in the plane formed by the table top.\n
","tipo":"p","esp":"Tenga en cuenta de que esta última regla corresponde a una reflexión de la figura en el plano formado por la superficie de la mesa.\n
"},{"eng":"Allow a convenient time for each group to put the puzzle together. You can visit groups to clear up any questions they have and monitor progress to make sure everyone has a chance to do so.
","tipo":"p","esp":"Dé un tiempo conveniente para que cada grupo pueda armar el rompecabezas. Puede visitar a los grupos para aclarar las dudas que tengan y monitorear el avance, para así asegurarse de que todos tengan la posibilidad de hacerlo.
"},{"esp":"Una vez que todos lo hayan armado, plantee la pregunta que sigue. Esta pregunta busca que las y los estudiantes exploren las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo utilizando material concreto (Tarea matemática A).","tipo":"p","eng":"Once everyone has put it together, ask the following question:
"},{"eng":"- Which puzzle pieces are congruent with each other?
- ¿Qué piezas del rompecabezas son congruentes entre sí?
Si lo considera necesario, puede recordar el concepto de congruencia de figuras geométricas. Los estudiantes deberían observar que hay tres pares de piezas congruentes (los pares de piezas 1 y 2; 3 y 6; 4 y 5). Para justificar esto, podrían superponer dos piezas congruentes o bien indicar que esto ocurre dada la simetría de cómo se disponen en los cuadrados pequeños. Tenga en cuenta que en este momento no es necesario que den justificaciones formales de por qué estos pares son congruentes, ya que eso se abordará más adelante.
","eng":"If you consider it necessary, you can remember the concept of congruence of geometric figures. Students should note that there are three pairs of congruent pieces (piece pairs 1 and 2; 3 and 6; 4 and 5). To justify this, they could superimpose two congruent pieces or indicate that this occurs because of the symmetry of how they are arranged in the small squares. Note that at this point you do not need to give formal justifications for why these pairs are congruent, as that will be covered later.
","tipo":"p"},{"eng":"Project the image showing a solution to the puzzle and ask them to compare with their solution. Point out to them that there are many assembly options due to the congruence of the pieces, so their solution may differ from the one pictured. However, all solutions have the same structure.
","esp":"Proyecte la imagen que muestra una solución al rompecabezas y pídales que comparen con su solución. Hágales notar que hay muchas opciones de armado por la congruencia de las piezas, por lo que es posible que su solución difiera de la representada. Sin embargo, todas las soluciones tienen la misma estructura.
","tipo":"p"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen7_guionprincipal.png","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen7_guionprincipal.png"},{"eng":"Next, ask them to answer question 1 of Activity 1 on the Activity Sheet.\n
","esp":"Luego, pida que respondan la pregunta 1 de la Actividad 1 de la Hoja de Actividades. Esta pregunta busca que las y los estudiantes formulen geométricamente el teorema de Pitágoras (Tarea matemática B).","tipo":"p"},{"tipo":"h4","eng":"(Slides 7 to 19, presentation)","esp":"(Diapositivas 7 a 19, presentación)"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/pdfs/Presentacion%208vo_U_OA12.pdf","recurso":"ModalPDF","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/Presentacion8vo_U_OA12.pdf","titulo":{"eng":"see presentation","esp":"Ver presentación"},"tipo":"button"},{"tipo":"momento","eng":"- From the assembly of the puzzle, what relationship can we establish between the areas of the three squares?
- A partir del armado del rompecabezas, ¿qué relación podemos establecer entre las áreas de los tres cuadrados?
Conclude with your students that, since the pieces of the two small squares exactly covered the large square, the sum of the areas of the two smaller squares is equal to the area of the large square. Then present the following image, explaining that notation will be used for the vertices and sides of the triangle so that they can be referred to:\n
","tipo":"p","esp":"Concluya junto a sus estudiantes que, como con las piezas de los dos cuadrados pequeños se cubrió exactamente el cuadrado grande, la suma de las áreas de los dos cuadrados más pequeños es igual al área del cuadrado grande. Luego, presente la imagen de la diapositiva 9, explicando que se va a usar notación para los vértices y los lados del triángulo, de forma de poder referirse a ellos. Haga notar que el ángulo en C es de 90°, por lo que el triángulo ACB es rectángulo"},{"eng":"Then ask them to address question 2 of Activity 1 on the Activity Sheet.\n
","tipo":"p","esp":"Luego pídales que aborden la pregunta 2 de la Actividad 1 de la Hoja de Actividades. Con estas preguntas se busca que las y los estudiantes expresen algebraicamente el teorema de Pitágoras (Tarea matemática C)."},{"esp":"- Responde las siguientes preguntas:
- ¿Cómo se puede expresar algebraicamente el área de cada uno de los tres cuadrados?
- ¿Cómo se puede expresar algebraicamente la relación que observaron entre las áreas de los tres cuadrados?
- Answer the following questions:
- How can you express the area of each of the three squares algebraically?
- How can you express algebraically the relationship you observed between the areas of the three squares?
- Since the sides of each square measure","esp":"
- Dado que los lados de cada cuadrado miden a, b y c, sus áreas son a2, b2 y c2, respectivamente.
- La relación entre las áreas de los cuadrados, se expresa así: c2= a2+ b2
Take this moment to mention that in a right triangle, the three sides are given special names: the two sides that form the right angle are called legs and the side opposite the angle The straight line is called the hypotenuse, and it is always the one with the greatest length.\n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen9_guionprincipal.png\")
The Pythagorean theorem establishes the following: “the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of both legs”. For the right triangle in the image, this is expressed as:\n
c2= a2 b2
","recurso":"Destacado","esp":"Aproveche este momento para mencionar que en un triángulo rectángulo, los tres lados reciben nombres: los dos lados que forman el ángulo recto se denominan catetos y el lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa, y es siempre el que tiene la mayor longitud, dicho esto el teorema de Pitágoras establece lo siguiente: “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de ambos catetos”. Para el triángulo rectángulo de la imagen, esto se expresa como:\nc2= a2+ b2
","tipo":"momento"},{"tipo":"p","eng":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen10_guionprincipal.png\")
Then ask:
","esp":"Luego, pregunte:
"},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"- ¿Por qué es cierto el teorema de Pitágoras? ¿El armado del rompecabezas que realizamos permite justificarlo?
- Why is the Pythagorean theorem true? Does the assembly of the puzzle that we carry out allow us to justify it?
The purpose of these questions is for students to understand that a statement like this must be justified, which means that it must be true for all right triangles. If students think that the puzzle supports the proof of the theorem, point out that the theorem was done for a particular triangle. And that it is not evident that a puzzle of this same type can be built for any right triangle.
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"En este momento, señale que vamos a usar un recurso interactivo para visualizar que efectivamente el teorema pareciera cumplirse para cualquier triángulo rectángulo. Para ello:
","eng":"At this point, point out that we are going to use an interactive resource to visualize that the theorem does seem to hold for any right triangle. To do this:
"},{"tipo":"p","esp":"Pida a sus estudiantes abrir el recurso GeoGebra “Rompecabeza pitagórico” y que lo exploren moviendo el punto C y el deslizador t.
","eng":"
Para validar que sus estudiantes comprenden cómo funciona el recurso se sugiere preguntar:\nAsk students to open the resource GeoGebra “Pythagorean Puzzle” and explore it by moving point C and slider t.
"},{"tipo":"momento","eng":"
To validate that your students understand how the resource works, we suggest asking:\n- What do we get by moving point C?\n
- What is the t slider for?
- What can be deduced from the resource?
- ¿Qué conseguimos al mover el punto C?\n
- ¿Para qué sirve el deslizador t?
- ¿Qué se puede deducir a partir del recurso?
Señale que al mover el punto C se cambia la forma del triángulo y que el deslizador t permite mostrar cómo se reubican las piezas del rompecabezas. Destaque que el recurso de GeoGebra permite modificar el triángulo rectángulo y visualizar que la estrategia para armar el rompecabezas sirve para distintos triángulos. \n
","eng":"Point out that moving point C changes the shape of the triangle and that the slider t shows how the puzzle pieces are repositioned. Point out that the GeoGebra resource allows you to modify the right triangle and visualize that the strategy for assembling the puzzle works for different triangles.\n
"},{"tipo":"p","esp":"Tenga en cuenta que, tal como se menciona en los “Aspectos didácticos” cuando el triángulo rectángulo es isósceles, el rompecabezas tiene solo cuatro piezas congruentes al triángulo ACB. Y por lo que en ese caso la demostración es más directa. \n
","eng":"Note that, as mentioned in “Teaching Aspects” when the right triangle is isosceles, the puzzle has only four pieces congruent to triangle ACB. And so in that case the proof is more direct.\n
"},{"eng":"Once everyone is satisfied that the puzzle works for right triangles of different shapes, and therefore the relationship they previously observed seems to always hold, project the following statement:
","tipo":"p","esp":"Una vez que todos estén convencidos de que el rompecabezas funciona para triángulos rectángulos de distintas formas y que, por lo tanto, la relación que observaron previamente pareciera cumplirse siempre, puede decir la siguiente afirmación:
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
\nFormalmente, para un triángulo rectángulo ACB con ángulo recto en C, cuya hipotenusa mide c y sus catetos a y b, se cumple que:
\nc2 = a2+ b2
"},{"eng":"Explain that a statement that is believed to be true, but has not yet been justified, is known as a conjecture. In the context of the class, the Pythagorean theorem is still a conjecture because it has not been proven.\n
\nAlthough you were able to see from the interactive resource that the puzzle works for many right triangles, this is not a proof of the theorem.\n
","tipo":"momento","recurso":"Destacado","esp":"Explique que una afirmación que se cree que es verdadera, pero que aún no se ha justificado, se conoce como conjetura. En el contexto de la clase, el teorema de Pitágoras es aún una conjetura porque no se ha demostrado. \n
\nSi bien a través del recurso interactivo pudieron observar que el rompecabezas funciona para muchos triángulos rectángulos, esto no constituye una demostración del teorema. \n
"},{"tipo":"h3","eng":"Part 2","esp":"Segunda Parte"},{"eng":"(Slides 20 to 66, presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 20 a 66, presentación)"},{"tipo":"button","titulo":{"eng":"see presentation","esp":"Ver presentación"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/pdfs/Presentacion%208vo_U_OA12.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/Presentacion8vo_U_OA12.pdf","recurso":"ModalPDF"},{"esp":"Recuerde a sus estudiantes que el armado del rompecabezas les permitió verificar que se cumple la afirmación para un triángulo rectángulo particular y que el recurso interactivo permitió visualizarlo para triángulos rectángulos de otras formas. \n
","tipo":"p","eng":"Remind your students that putting together the puzzle allowed them to verify that the statement is true for a particular right triangle, and that the interactive resource allowed them to visualize it for right triangles of other shapes.\n
"},{"tipo":"p","eng":"The purpose now is to give a general argument based on the construction of such a puzzle for any right triangle, we will do this in the case where the legs are different.\n
","esp":"El propósito ahora es dar un argumento general basado en la construcción de un rompecabezas de este tipo para cualquier triángulo rectángulo, lo haremos en el caso en que los catetos son distintos. \n
"},{"esp":"Para la gestión es importante que tenga en cuenta que la demostración considera las siguientes etapas: \n","tipo":"p","eng":"For management, it is important to take into account that the demonstration considers the following stages:\n"},{"tipo":"button","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/Recursos%20Apoyo/Presentacion8vo_U_OA12.pdf","titulo":{"esp":"Ver presentación","eng":"see presentation"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/pdfs/Presentacion%208vo_U_OA12.pdf","recurso":"ModalPDF"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/tabla1.png","escala":"50","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/tabla1_guionprincipal.png","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado"},{"eng":"The following details each of the stages:\n
","tipo":"p","esp":"A continuación, se detalla cada una de las etapas:\n
"},{"tipo":"p","eng":"Stage 1 - Building the puzzle. Begin by explaining how the pieces of a puzzle are built for any right triangle \\(ACB\\) by subdividing the squares on the legs.
","esp":"Etapa 1 - Construyendo el rompecabezas. Comience explicando cómo se construyen las piezas de un rompecabezas para un triángulo rectángulo \\(ACB\\) cualquiera, subdividiendo los cuadrados sobre los catetos.
"},{"tipo":"p","eng":"The steps are as follows:
","esp":"Los pasos son los siguientes:
"},{"esp":"- Se dibujan los cuadrados BCED y AJGC sobre los catetos BC y AC, respectivamente.
- Se traza la diagonal EB en el cuadrado BCED.
- Se dibujan puntos F y H de manera que los segmentos CF y HJ sean congruentes al lado BC del triángulo ACB.
- Se dibuja el punto I para formar el cuadrado HGFI.
- Finalmente, se trazan los segmentos que salen desde el vértice A: AF, AI y AH.
- The squares are drawn"},{"esp":"
Muestre la siguiente imagen, donde se aprecia la construcción:
","eng":"Show the following image, where the construction can be seen:
","tipo":"p"},{"tipo":"img","escala":"25","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen11_guionprincipal.png","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen11_guionprincipal.png","titulo":{"eng":"","esp":""}},{"tipo":"p","esp":"Etapa 2 - Identificando triángulos congruentes. Pídales a sus estudiantes responder la pregunta 1 de la Actividad 2 de la Hoja de Actividades:\n
","eng":"Stage 2 - Identifying congruent triangles. Ask students to answer question 1 of Activity 2 on the Activity Sheet:\n
"},{"esp":"- Justifica por qué los siguientes triángulos son congruentes entre sí:
- BCE y BED
- ACB, AFC y AJH
- AIF y AHI
- Justify why the following triangles are congruent to each other:
- BCE and BED
- ACB, AFC and AJH
- AIF and AHI
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen11_guionprincipal.png\")
< /p>","recurso":"Actividades","tipo":"momento"},{"esp":"Los triángulos BED y BCE son congruentes, pues son dos mitades del mismo cuadrado, por lo que aplica el criterio lado-lado-lado (LLL):
\n
","eng":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen13_guionprincipal.png\")
Triangles","tipo":"momento","recurso":"Respuesta"},{"esp":"
Los triángulos ACB, AFC y AJH son congruentes por el criterio lado-ángulo-lado (LAL):\n
","tipo":"p","eng":"The triangles ACB, AFC and AJH are congruent by the side-angle-side test ( LAL):\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen14_guionprincipal.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen14_guionprincipal.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"25","alinea":"texto-centrado"},{"tipo":"p","esp":"Lo anterior permite afirmar que FA=HA=AB=c. Esto permite concluir que los triángulo AIF y AHI son congruentes por el criterio lado-lado-lado (LLL):\n
","eng":"The above allows us to affirm that FA=HA=AB=c. This allows us to conclude that the triangles AIF and AHI are congruent by the side-side-side (LLL) criterion:\n
"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen15_guionprincipal.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen15_guionprincipal.png","tipo":"img","escala":"25"},{"tipo":"p","eng":"Stage 3 - Making more congruent triangles. Now we are going to show that the triangles BCE and AIF can be perfectly coupled to form a right triangle congruent to ACB. To do this, ask your students to address question 2 of Activity 2 of the Activity Sheet. Keep in mind that this question may be difficult for the students, so if you deem it appropriate, they can address it together with the whole class.\n
","esp":"Etapa 3 - Formando más triángulos congruentes. Ahora vamos a mostrar que los triángulos BCE y AIF se pueden acoplar perfectamente para formar un triángulo rectángulo congruente a ACB. Para esto pida a sus estudiantes abordar la pregunta 2 de la Actividad 2 de la Hoja de Actividades. Tenga en cuenta que esta pregunta posiblemente resulte difícil para las y los estudiantes, por lo que si lo estima conveniente, pueden abordarla en conjunto con toda la clase.\n
"},{"esp":"- Explica por qué al yuxtaponer el triángulo BCE con el triángulo AIF se forma un triángulo congruente con el triángulo ACB.
- Explain why juxtaposing triangle BCE with triangle AIF forms a triangle congruent with triangle ACB< /i>.
< /p>","tipo":"momento","recurso":"Actividades"},{"tipo":"momento","recurso":"Respuesta","eng":"One way to justify this is by extending the segments","esp":"
Una forma de justificar esto es extendiendo los segmentos FI y HI hacia los lados del cuadrado, lo que permite definir los puntos P y Q, tal como se muestra en la imagen:
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen16_guionprincipal.png\")
Observemos que se forma el cuadrado AIQ cuyo lado es congruente a CB. Esto se debe a que los puntos F y H se construyeron de forma que ambos midieran a, que es la longitud del lado CB:
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen17_guionprincipal.png\")
Además, los triángulos API y BCE son congruentes usando el criterio LAL: son triángulos rectángulos cuyos catetos miden lo mismo.\n
Con esto se concluye que el triángulo BCE se acopla perfectamente (yuxtapone) con el triángulo AIF, formando el triángulo APF, que es congruente con el triángulo ACB.\n
"},{"esp":"Un argumento análogo permite justificar por qué los triángulos BED y AHI se pueden acoplar para formar otro triángulo rectángulo congruente a ACB.
","eng":"An analogous argument allows us to justify why the triangles BED and AHI can be coupled to form another right triangle congruent to ACB.
","tipo":"p"},{"eng":"Stage 4 - Joining 4 triangles. At this point, point out that we have shown that the triangular puzzle pieces make it possible to make 4 copies of the triangle \\(ACB\\):\n
","esp":"Etapa 4 - Juntando 4 triángulos. Llegado a este punto, indique que hemos mostrado que las piezas triangulares del rompecabezas permiten formar 4 copias del triángulo \\(ACB\\): \n
","tipo":"p"},{"tipo":"img","escala":"25","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen18_guionprincipal.png","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen18_guionprincipal.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado"},{"eng":"Since the non-right angles of the triangle measure together 90°, since they are complementary, these 4 pieces can be arranged to form a square whose side measures c, as shown shows in the following image. Let's note that to do this, you have to reflect, that is, turn copies 2 and 3 upside down.\n
","tipo":"p","esp":"Como los ángulos no rectos del triángulo miden en conjunto 90°, pues son complementarios, estas 4 piezas se pueden organizar para formar un cuadrado cuyo lado mide c, tal como se muestra en la siguiente imagen. Notemos que para hacerlo, hay que reflejar, es decir, dar vuelta las copias 2 y 3. \n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen19_guionprincipal.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"25","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen19_guionprincipal.png"},{"eng":"Stage 5 - Locating the center square. To conclude, it is enough to justify why the square piece of the puzzle can be perfectly covered in the space left in the center (the squareHGFI). For this, it is suggested to ask question 3 of Activity 2 of the Activity Sheet. Give enough space for the students to develop this work. It is suggested to guide by asking: What is the measure of the side of the square","esp":"
Etapa 5 - Ubicando el cuadrado del centro. Para concluir, solo basta justificar por qué en el espacio que queda al centro se puede cubrir perfectamente la pieza cuadrada del rompecabezas (el cuadrado HGFI). Para esto se sugiere realizar la pregunta 3 de la Actividad 2 de la Hoja de Actividades. Dé el espacio suficiente para que las y los estudiantes puedan desarrollar este trabajo. Se sugiere orientar preguntando: ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado HGFI?\n
","tipo":"p"},{"recurso":"Actividades","eng":"- Why is the space left in the center, when putting together the puzzle, congruent with the square","tipo":"momento","esp":"
- ¿Por qué el espacio que queda en el centro, al armar el rompecabezas, es congruente con el cuadrado HGFI?
Notemos que el lado del cuadrado HGFI mide b-a:
\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen20_guionprincipal.png\")
Por otro lado, el espacio que queda en el centro es un rectángulo, pues todos sus ángulos son rectos. Además, cada lado mide b-a, por lo que el espacio tiene forma cuadrada con un lado de longitud igual al cuadrado HGFI.\n
","tipo":"momento","eng":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen21_guionprincipal.png\")
Note that the side of the square","recurso":"Respuesta"},{"eng":"
Finally, from the procedures and justifications of these stages, it is concluded that the 7 pieces of the puzzle fit perfectly in a square with side c. These correspond to four copies of the triangle ABC plus the seventh piece corresponding to the square HGFI. This is:
","esp":"Finalmente, a partir de los procedimientos y justificaciones de estas etapas, se concluye que las 7 piezas del rompecabezas encajan perfectamente en un cuadrado de lado c. Estas corresponden a cuatro copias del triángulo ABC más la séptima pieza correspondiente al cuadrado HGFI. Esto es:
","tipo":"p"},{"escala":"25","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen7_guionprincipal.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen22_guionprincipal.png"},{"esp":"Como las transformaciones que hicimos preservan el área y dado que no hay espacios vacíos ni hay figuras traslapadas en el arreglo final, concluimos que:
","eng":"Since the transformations we made preserve area and since there are no gaps or overlapping shapes in the final arrangement, we conclude that:
","tipo":"p"},{"esp":"- Las siete piezas del rompecabezas cubren perfectamente el cuadrado sobre la hipotenusa. \n
- Como estas piezas cubren también los cuadrados construidos sobre los catetos, se demuestra la conjetura y, por lo tanto, el teorema de Pitágoras.
- The seven puzzle pieces perfectly cover the square on the hypotenuse.\n
- Since these pieces also cover the squares built on the legs, the conjecture is proved and, therefore, the Pythagorean theorem.
Para sistematizar las ideas trabajadas en la clase, se sugiere presentar una imagen del triángulo rectángulo y luego comentar los puntos que siguen.:
","tipo":"p","eng":"To systematize the ideas worked on in class, it is suggested to present an image of the right triangle and then comment on the following points:
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen9_guionprincipal.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen9_guionprincipal.png","escala":"25","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""}},{"tipo":"p","esp":"\nSi ACB es un triángulo rectángulo en C, cuya hipotenusa mide c y sus catetos a y b, se cumple el teorema de Pitágoras que establece que:
\nc2 = a2 + b2.
","eng":"If ACB is a right triangle in C, whose hypotenuse measures c and its legs a< /i> and b, the Pythagorean theorem holds, which states that:
\nc2 = a2 b< sup>2.
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- The Pythagorean theorem establishes a relationship between the sides of a triangle, allowing the calculation of unknown lengths to solve various geometric problems and practical applications.\n
"},{"eng":"- El teorema de Pitágoras establece una relación entre los lados de un triángulo permitiendo calcular longitudes desconocidas para resolver diversos problemas geométricos y aplicaciones prácticas.\n
- There are several visual proofs to check equality","tipo":"p","esp":"
- Existen varias demostraciones visuales para comprobar la igualdadc2 =a2 + b2, por ejemplo la siguiente:
Introduce your students to the How To Guide. The purpose of this is for students to apply the Pythagorean theorem in everyday situations and to become familiar with another geometric proof of it. Use exercises 1 and 2 of the guide to formatively assess the following indicators:\n
","tipo":"p","esp":"Presente a sus estudiantes la Guía Práctica. Esta tiene por objetivo que las y los estudiantes apliquen el teorema de Pitágoras en situaciones cotidianas y que se familiaricen con otra demostración geométrica de este. Utilice los ejercicios 1 y 2 de la guía para evaluar formativamente los siguientes indicadores:\n
"},{"esp":"- Resuelven problemas cotidianos para calcular el largo de lados desconocidos y no accesibles en el plano y en el espacio, determinando primero los triángulos rectángulos respectivos.
- Descubren el teorema de Pitágoras concreta o pictóricamente, mediante descomposición o composición de cuadrados y triángulos rectángulos.\n
- Solve everyday problems to calculate the length of unknown and inaccessible sides in the plane and in space, first determining the respective right triangles.
- Discover the Pythagorean theorem concretely or pictorially, by decomposition or composition of squares and right triangles.\n
El teorema de Pitágoras es posiblemente el resultado más conocido de la matemática, y en particular de la geometría euclidiana. Al establecer una relación algebraica entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, permite conectar la geometría con el álgebra. Al ser la base del cálculo de distancia en un plano de coordenadas cartesianas, fue uno de los cimientos con que Descartes desarrolló la geometría algebraica en el siglo XVII.\n
","eng":"The Pythagorean theorem is possibly the best known result of mathematics, and in particular of Euclidean geometry. By establishing an algebraic relationship between the lengths of the sides of a right triangle, it allows you to connect geometry with algebra. Being the basis of distance calculation in a Cartesian coordinate plane, it was one of the foundations with which Descartes developed algebraic geometry in the 17th century.\n
","tipo":"p"},{"eng":"Remember that the two sides that form the right angle of a right triangle are called the legs, while the side opposite the right angle is called the hypotenuse. In the figure, the length of the legs is a and b, and the length of the hypotenuse is c.\n
","esp":"Recordemos que los dos lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo se denominan catetos, mientras que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. En la figura, la longitud de los catetos es a y b, y la de la hipotenusa es c.\n
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen1_guionprincipal.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"25","tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen1_guionprincipal.png"},{"esp":"El teorema afirma que, en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Esta relación se puede expresar algebraicamente de la siguiente manera:\n
","eng":"The theorem states that, in any right triangle, the square of the length of the hypotenuse is equal to the sum of the square of the lengths of the legs. This relationship can be expressed algebraically as follows:\n
","tipo":"p"},{"eng":"c2 =a2 b< sup>2
","tipo":"p","esp":"c2 = a2 + b2
"},{"eng":"In addition to being a fundamental result of Euclidean geometry, the Pythagorean theorem has many applications. For example, it can be used to calculate the distance between two points on a plane, find the height of structures such as buildings or mountains, and also in architecture and construction.\n
","esp":"Además de ser un resultado fundamental de la geometría euclidiana, el teorema de Pitágoras tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo, se puede utilizar para calcular la distancia entre dos puntos en un plano, encontrar la altura de estructuras como edificios o montañas y también en la arquitectura y construcción. \n
","tipo":"p"},{"esp":"Demostraciones del teorema de Pitágoras","eng":"Proofs of the Pythagorean theorem","tipo":"h3"},{"eng":"There are more than a hundred proofs of the Pythagorean theorem, both geometric and algebraic. An element common to many of them is that the square on each side is interpreted as the area of a square built on that side. In the case of this activity, a demonstration based on the following Pythagorean puzzle has been chosen:\n
","esp":"Existen más de un centenar de demostraciones del teorema de Pitágoras, tanto geométricas como algebraicas. Un elemento común a muchas de ellas es que el cuadrado de cada lado se interpreta como el área de un cuadrado construido sobre dicho lado. En el caso de esta actividad, se ha optado una demostración basada en el siguiente rompecabezas pitagórico:\n
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen2_guionprincipal.png","caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen2_guionprincipal.png","tipo":"img","escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado"},{"esp":"A continuación se presenta una demostración algebraica más formal, usualmente atribuida a Euclides. Esta no se trabaja en la actividad, pero puede ser utilizada si lo estima conveniente. \n
","eng":"The following is a more formal algebraic proof, usually attributed to Euclid. This is not worked on in the activity, but it can be used if you deem it convenient.\n
","tipo":"p"},{"eng":"Demonstration:","esp":"Demostración:","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Si dibujamos la altura CP desde el ángulo recto, observamos que esta divide a la hipotenusa en dos segmentos, cuyas longitudes llamaremos x e y, tal como en la figura. Notemos que c = x + y
","eng":"If we draw the height"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen3_guionprincipal.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen3_guionprincipal.png","tipo":"img","escala":"25","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"esp":"
Observemos que los triángulos CAP, BCP y BCA son semejantes, ya que sus ángulos tienen las mismas medidas.\n
","tipo":"p","eng":"Note that the triangles CAP, BCP and BCA are similar, since their angles have the same measures.\n
"},{"eng":"From this, we get that","tipo":"p","esp":"
A partir de esto, obtenemos que AP AC = AC AB y BP BC = BC AB.
Escribiendo esto en términos de las longitudes, tenemos que x b = b c y y a = a c.
Despejando, x = b2 c e y =a2 c.
"},{"esp":"Finalmente, como c = x + y, se tiene que c = a2 c + b2 c , de donde se concluye que c2 = a2 + b2
\n
","eng":"Finally, as","tipo":"p"},{"eng":"
In the video En el video Pythagorean Theorem: Six Proofs, realizado por el artista brasileño Beau Janzen, se pueden encontrar demostraciones visuales del teorema. \n
","tipo":"p"},{"eng":"In the video you can see that several of the visual demonstrations are based on subdividing the squares drawn on the legs into several pieces and rearranging them to exactly cover the square on the hypotenuse. This strategy is also used for the Pythagorean puzzle in this activity. As only isometric transformations (translations, rotations or reflections) of the pieces are performed and, furthermore, these do not overlap, it can be ensured that the area of the surfaces they cover is the same.\n
","tipo":"p","esp":"En el video se puede observar que varias de las demostraciones visuales se basan en subdividir en varias piezas los cuadrados dibujados sobre los catetos y reordenarlas para cubrir exactamente el cuadrado sobre la hipotenusa. Esta estrategia se utiliza también para el rompecabezas pitagórico de esta actividad. Como solo se realizan transformaciones isométricas (traslaciones, rotaciones o reflexiones) de las piezas y, además estas no se traslapan, se puede asegurar que el área de las superficies que cubren es la misma. \n
"},{"esp":"Criterios de congruencia ","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":"Es relevante que las y los estudiantes manejen los criterios de congruencia para el buen desarrollo de esta situación. Recordemos que para que dos triángulos sean congruentes entre sí, sus lados y ángulos correspondientes deben ser iguales en longitud y medida.
Los siguientes criterios aseguran que dos triángulos son congruentes:","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"- Criterio Lado-Lado-Lado (LLL): Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.
- Criterio Lado-Ángulo-Lado (LAL): Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales.
- Criterio Ángulo-Lado-Ángulo (ALA): Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado.\n
El trabajo con el rompecabezas nos muestra una estrategia para probar que la relación entre las áreas de los cuadrados se cumple en ese caso específico, evidentemente esto no implica que la estrategia de armado funciona para cualquier triángulo rectángulo. De todas maneras, este punto constituye un momento importante pues permite a las y los estudiantes distinguir la estrategia de armado utilizada.\n
","eng":"Working with the puzzle shows us a strategy to prove that the relationship between the areas of the squares is true in that specific case, obviously this does not imply that the assembly strategy works for any right triangle. In any case, this point constitutes an important moment because it allows the students to distinguish the assembly strategy used.\n
"},{"eng":"Unlike the puzzle, the GeoGebra resource allows you to visualize that the strategy would be valid for several right triangles, which leads to a conjecture about it. However, it is important to take into account that this work does not guarantee that the strategy will always be fulfilled. The dynamic geometry of the resource could easily lead students to believe that the resource constitutes a formal argument. In this case, it is essential that they understand that the visual strategy that emerges from the resource does not constitute a demonstration, so the conjecture must be proven mathematically. In this context, it is relevant to motivate students' critical thinking so that they reflect on the fact that representations of particular cases may contain elements that are not universally applied.\n
","tipo":"p","esp":"A diferencia del rompecabezas, el recurso de GeoGebra permite visualizar que la estrategia sería válida para varios triángulos rectángulos, lo que lleva a plantear una conjetura al respecto. Sin embargo, es importante tener en cuenta que este trabajo no garantiza que la estrategia se va a cumplir siempre. La geometría dinámica del recurso podría hacer creer fácilmente a las y los estudiantes que el recurso constituye un argumento formal. En este caso, es esencial que comprendan que la estrategia visual que se desprende del recurso no constituye una demostración, por lo que la conjetura debe ser probada matemáticamente. En este contexto, es relevante motivar el pensamiento crítico de las y los estudiantes para que reflexionen en torno al hecho de que representaciones de casos particulares pueden contener elementos que no se aplican de manera universal.\n
"},{"eng":"To prove the theorem geometrically, it is necessary for the students to present mathematical arguments that justify why the area initially covered by the pieces coincides exactly with the area of the square built on the hypotenuse.\n
","esp":"Para demostrar geométricamente el teorema, es necesario que las y los estudiantes presenten argumentos matemáticos que justifiquen por qué el área inicialmente cubierta por las piezas coincide exactamente con el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. \n
","tipo":"p"},{"esp":"Importancia de la justificación ","eng":"Importance of justification","tipo":"h3"},{"eng":"One difficulty that may arise is that students assume that simply matching the pieces in the puzzle or Geogebra resource constitutes a proof of the Pythagorean theorem. It is important to highlight that a proof requires arguing precisely, using logic and mathematical language.\n
","esp":"Una dificultad que puede surgir es que las y los estudiantes asuman que la simple coincidencia de las piezas en el rompecabezas o en recurso de Geogebra constituye una demostración del teorema de Pitágoras. Es importante resaltar que una demostración requiere argumentar de manera precisa, utilizando lógica y lenguaje matemático. \n
","tipo":"p"},{"eng":"In this case, the proof requires arguing why the pieces of the smaller squares exactly cover the surface of the square built on the hypotenuse, which in this case results from justifying the congruence of geometric figures .\n
","esp":"En este caso, la demostración requiere argumentar por qué las piezas de los cuadrados más pequeños cubren exactamente la superficie del cuadrado construido sobre la hipotenusa, lo que en este caso resulta de justificar la congruencia de las figuras geométricas.\n
","tipo":"p"},{"esp":"Gestión del tiempo","eng":"Time management","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"In the situation, the mathematical work associated with the geometric proof of the Pythagorean theorem is structured in five phases. Each of these phases requires a justification based on school geometry (Euclidean), which allows the use of congruence criteria and deductive reasoning. It is important to keep in mind that some of these justifications require analysis that will not necessarily emerge naturally for the students, so it is suggested to spend enough time on each phase, making sure that the students fully understand the process. Considering the progress of your students, it is recommended to evaluate if it is appropriate to implement the situation in one or two classes. In this way, the pace of the class can be adjusted as necessary to ensure a proper understanding of the geometric proof of the Pythagorean theorem.\n
","esp":"En la situación, el trabajo matemático asociado a la demostración geométrica del teorema de Pitágoras se estructura en cinco fases. Cada una de estas fases requiere una justificación basada en geometría escolar (euclidiana), lo que permite utilizar criterios de congruencia y razonamiento deductivo. Es importante tener en cuenta que algunas de estas justificaciones requieren un análisis que no necesariamente va a emerger de manera natural para las y los estudiantes, por lo que se sugiere dedicar suficiente tiempo a cada fase, asegurándose de que las y los estudiantes comprendan plenamente el proceso. Considerando el progreso de sus estudiantes, se recomienda evaluar si es adecuado implementar la situación en una o dos clases. De esta manera, se podrá ajustar el ritmo de la clase según sea necesario para garantizar una comprensión adecuada de la demostración geométrica del teorema de Pitágoras.\n
"},{"eng":"Particular case","tipo":"h3","esp":"Caso particular"},{"eng":"The strategy used in the puzzle is invalid when the triangle is a right isosceles triangle. However, because the proof of this case is more direct, it was not addressed in the situation. In this particular case, the puzzle consists of only 4 pieces congruent to the triangle ACB. The following is the visualization of the strategy:\n
","esp":"La estrategia que se utiliza en el rompecabezas no es válida cuando el triángulo es rectángulo isósceles. Sin embargo, debido a que la demostración de este caso es más directa, no se abordó en la situación. En este caso particular, el rompecabezas consta únicamente de 4 piezas congruentes al triángulo ACB. A continuación, se presenta la visualización de la estrategia:\n
","tipo":"p"},{"tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen4_guionprincipal.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/descubriendo_el_teorema_de_pitagoras/imgs/imagen4_guionprincipal.png","escala":"50"},{"tipo":"h3","esp":"Uso de colores en la situación","eng":"Use of colors in the situation"},{"tipo":"p","esp":"Durante la actividad, se utiliza un recurso con un rompecabezas compuesto por piezas geométricas de colores diferentes. A lo largo de la actividad, estas piezas serán identificadas por su respectivo color. Sin embargo, si se observa que tiene dificultades para trabajar con los colores podrán referirse a las piezas utilizando los números asignados en lugar de los colores.\n
","eng":"During the activity, a resource with a puzzle made up of geometric pieces of different colors is used. Throughout the activity, these pieces will be identified by their respective color. However, if you notice that some of your students have difficulty distinguishing colors, you can continue naming the pieces by the numbers from the first part of the activity. This way, students will be able to refer to the pieces using the assigned numbers instead of colors.\n
"}]},"3":{"contenido":[{"esp":"Pitágoras y la escuela pitagórica","eng":"Pythagoras and the Pythagorean school","tipo":"h3"},{"eng":"Pythagoras was a Greek philosopher and mathematician who lived between 570 B.C. C. and 495 a. C, approx. While little is known about his life, he is known to have founded in Crotona, Italy, a school that focused on the study of philosophy, politics, and mathematics. This became known as the Pythagorean school and its members were called the Pythagoreans.\n
","tipo":"p","esp":"Pitágoras fue un filósofo y matemático griego que vivió entre el 570 a. C. y el 495 a. C, aproximadamente. Si bien es poco lo que se sabe sobre su vida, es conocido porque fundó en Crotona, Italia, una escuela que se centró en el estudio de la filosofía, la política y la matemática. Esta se conoció como la escuela pitagórica y a sus miembros se les llamaba los pitagóricos. \n
"},{"eng":"It is important to note that many of the concepts and theorems attributed to Pythagoras were not necessarily discovered or invented by him, but rather developed within the Pythagorean school.\n
","tipo":"p","esp":"Es importante tener en cuenta que muchos de los conceptos y teoremas atribuidos a Pitágoras no fueron necesariamente descubiertos o inventados por él, sino que se desarrollaron dentro de la escuela pitagórica. \n
"},{"eng":"Pythagoras theorem","esp":"Teorema de Pitágoras","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Uno de los grandes resultados de la escuela pitagórica es el famoso Teorema de Pitágoras. Existen indicios de que el conocimiento de la relación entre los lados de un triángulo rectángulo se remonta a civilizaciones antiguas mucho antes de su época. De hecho, hay evidencia de que las civilizaciones de Babilonia, Egipto, India y China tenían conocimiento de esta relación. Por ejemplo, los egipcios usaban el trío pitagórico 3-4-5 en sus construcciones, pues permite formar ángulos rectos. \n
","eng":"One of the great results of the Pythagorean school is the famous Pythagorean Theorem. There are indications that knowledge of the relationship between the sides of a right triangle dates back to ancient civilizations long before their time. In fact, there is evidence that the Babylonian, Egyptian, Indian, and Chinese civilizations were aware of this relationship. For example, the Egyptians used the Pythagorean trio 3-4-5 in their constructions, since it allows to form right angles.\n
"},{"esp":"A través de su trabajo y el de su escuela, el teorema ganó reconocimiento y se convirtió en un pilar de las matemáticas.\n
","eng":"Through his work and that of his school, the theorem gained recognition and became a mainstay of mathematics.\n
","tipo":"p"},{"esp":"El mérito de Pitágoras y su escuela no radica tanto en el descubrimiento de la relación entre los lados de un triángulo rectángulo en sí, sino en su formulación matemática precisa y en la exploración de sus propiedades y aplicaciones. También es importante destacar que Pitágoras y sus seguidores hicieron contribuciones significativas al desarrollo de la matemática en general, entre ellas la introducción de la noción de números irracionales. Por ejemplo, √2 aparece naturalmente al usar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide una unidad.\n
","eng":"The merit of Pythagoras and his school lies not so much in discovering the relationship between the sides of a right triangle per se, but in its precise mathematical formulation and exploration of its properties and applications. It is also important to note that Pythagoras and his followers made significant contributions to the development of mathematics in general, including the introduction of the notion of irrational numbers. For example, √2 appears naturally when using the Pythagorean theorem to find the length of the diagonal of a square whose side is one unit.\n
","tipo":"p"}],"visible":true}},"visible":true},"visible":true},"46":{"recursosProyecto":[],"aspectosAConsiderar":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Cuerpo generado mediante traslación","tipo":"h3","eng":"body generated by translation"},{"tipo":"p","esp":"Se dice que un cuerpo es generado por traslación si se puede obtener mediante sucesivas traslaciones de una figura plana, de acuerdo a s · u⃗ , donde s es un escalar que recorre el intervalo entre 0 a 1 y u⃗ es un vector no nulo y no paralelo al plano de la figura que representa el desplazamiento desde la primera figura plana hasta la última.\n
","eng":"A body is said to be generated by translation if it can be obtained by successive translations of a plane figure, according to s · u⃗, where s is a scalar that covers the interval between 0 to 1 and"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/nuevas/p_-02%20%282%29.png","escala":"50","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-02.png","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"esp":"Cortes mediante planos paralelos a un cuerpo generado mediante traslación","tipo":"h3","eng":"
The bodies obtained by translation are bodies that have a pair of equal and parallel faces. Particularly, if the plane figure is a polygon, a prism will be obtained. Any cut that is made with a plane parallel to the figure generated by the body will always produce the same flat figure.\n
"},{"tipo":"p","esp":"Los cuerpos que se obtienen por la traslación son cuerpos que tienen un par de caras congruentes y paralelas. Particularmente, si la figura plana es un polígono, se obtendrá un prisma. Cualquier corte que se realice con un plano paralelo a la figura que genera el cuerpo, siempre producirá la misma figura plana.\n
","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-03.png"},{"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-03.png","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"75","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Estimación de un área"},{"eng":"","esp":"Existen varias maneras de estimar un área cuando la figura no es conocida. A continuación se presentan algunas:\n
\n- \n
- División en subregiones: Una estrategia efectiva es dividir la figura en subregiones más simples y conocidas, como triángulos o rectángulos. Además, se pueden utilizar figuras que incluyan sectores circulares. Luego, se calcula el área de cada subregión y se suman para obtener una estimación total del área de la figura original. Esto se conoce como el método de subdivisión. \n
- Estimación superior e inferior: Al dividir la figura en subregiones, es posible obtener tanto una estimación superior como una inferior del área. La estimación superior se logra al considerar subregiones que quedan por fuera de la figura (en este caso la estimación será mayor al área de la figura), mientras que la estimación inferior se basa en subregiones que quedan por dentro de la figura (en este caso la estimación será menor al área de la figura). \n
- Método de promedio: una técnica que consiste en promediar las estimaciones superior e inferior del área. Esto puede dar una estimación más precisa. \n
Dependiendo de la técnica de estimación empleada, algunas estimaciones serán más precisas que otras.
"},{"esp":"Cálculo de volumen de un cuerpo obtenido mediante una traslación","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"El volumen de un objeto tridimensional lo entendemos como una medida del espacio que este ocupa. Es una magnitud inherente al objeto, siempre mayor o igual que cero, y posee las siguientes propiedades:
\n- \n
Si un cuerpo se descompone en una o más partes, el volumen de un cuerpo es igual a la suma de los volúmenes de cada una de las partes (propiedad aditiva).
\nAl desplazar o rotar un cuerpo, el volumen se mantiene. Si un cuerpo se obtiene otro mediante reflexión entonces los dos cuerpos tienen igual volumen (propiedad de invarianza por transformaciones isométricas).
\n
Para cualquier cuerpo geométrico, generado por traslación de una figura plana de acuerdo a un vector perpendicular a ella, su volumen es igual al área de su base por su altura.
","eng":""}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"esp":"Figura trasladada versus cuerpo obtenido mediante traslación","tipo":"h3","eng":"Translated figure versus body obtained by translation"},{"eng":"When the students studied translation, they understood that each of the points of a figure must be moved by a translation vector, obtaining the translated figure.\n
","tipo":"p","esp":"Cuando las y los estudiantes estudiaron traslación, comprendieron que se debe desplazar cada uno de los puntos de una figura mediante un vector de traslación obteniendo la figura trasladada.\n
"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-04.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-04.png","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","escala":"50"},{"eng":"In contrast, now they must understand that when obtaining a body by translation, they are interested in the entire path that the figure experiences from its initial location to its final position. All this sequence of translations generates the body.\n
","esp":"En cambio, ahora deben entender que al obtener un cuerpo mediante traslación interesa todo el recorrido que experimenta la figura desde su ubicación inicial hasta su posición final. Toda esta secuencia de traslaciones genera el cuerpo.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-05.png","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-05.png","escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"eng":"","esp":""}},{"tipo":"p","eng":"Make sure students understand this difference.\n
","esp":"Procure que las y los estudiantes comprendan esta diferencia.\n
"},{"tipo":"h3","eng":"Titanium tower structure","esp":"Adaptación de la estructura de la torre de Titanium para la actividad"},{"eng":"In the following image it can be seen that the Titanium tower is not uniform on all its floors. However, for practical purposes it has been considered that it is, since the generation of bodies by translation is achieved by means of a translation of the same figure. In this case, said figure corresponds to the \"type structure of a floor\".\n
","esp":"En la imagen que sigue se aprecia que la torre de Titanium no presenta una uniformidad en todos sus pisos. Sin embargo, con fines prácticos se ha considerado que sí, ya que la generación de cuerpos por traslación se logra mediante una traslación de una misma figura. En este caso, dicha figura corresponde a la “estructura tipo de un piso”.\n
","tipo":"p"},{"escala":"50","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-06.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-06.png"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"esp":"Torre Titanium ","tipo":"h3","eng":"Titanium Tower"},{"esp":"La Torre Titanium en Santiago de Chile es un rascacielos icónico y vanguardista que destaca por su diseño innovador, su enfoque en la sostenibilidad y su sistema antisísmico. Hasta la fecha (año 2023), es el segundo edificio más alto en Chile con una altura de 195 m y 55 pisos.
","tipo":"p","eng":"The Titanium Tower in Santiago de Chile is an iconic and avant-garde skyscraper that stands out for its innovative design, its focus on sustainability and its anti-seismic system. To date (year 2023), it is the second tallest building in Chile with a height of 195 m and 55 floors.
"},{"tipo":"h3","esp":"La planta de un edificio","eng":"The floors of a building are the different levels or floors that make up its structure. Each floor is located horizontally throughout the building and is designed to house different functions and spaces.\n
"},{"eng":"3D digital modeling and 3D printers","tipo":"p","esp":"Las plantas de un edificio son los diferentes niveles o pisos que componen su estructura. Cada planta se encuentra ubicada horizontalmente a lo largo del edificio y está diseñada para albergar diferentes funciones y espacios.\n
"},{"tipo":"h3","eng":"This technology offers architects and builders new possibilities to visualize and materialize their architectural designs. From conceptual models to prototypes and construction components.
","esp":"Modelado digital 3D e Impresoras 3D"},{"tipo":"p","eng":"In order to carry out 3D printing, there must be a 3D model designed in software, this model is a digital mathematical representation of three-dimensional objects. Below you can see an example of a 3D model.\n
","esp":"Esta tecnología, ofrece a los arquitectos y constructores nuevas posibilidades para visualizar y materializar sus diseños arquitectónicos. Desde maquetas conceptuales hasta prototipos y componentes constructivos.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-07.png","esp":"Este modelo es una representación digital de objetos tridimensionales. A continuación puedes observar un ejemplo de modelo 3D. \n
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-07.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"75"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"\nUna impresora 3D es una máquina que crea objetos tridimensionales sólidos a partir de un modelo digital. Utiliza un proceso conocido como fabricación aditiva, que implica agregar material capa por capa para construir el objeto deseado. Estas impresoras funcionan con un filamento, siendo el PLA (ácido poliláctico) uno de los materiales más comunes. El costo de impresión depende del volumen del objeto y del costo del material por unidad de volumen. En el siguiente video puedes observar el funcionamiento de una impresora 3D. \n
"}],"visible":true}}},"recursos":{"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Infografía","eng":"infographic","tipo":"h3"},{"eng":"Through the Infographic \"Modeling in 3D\" you will be able to approach design technology and 3D printers, which allow the creation of prototypes or scale replicas of houses, buildings, among others, with the advantage of producing detailed representations in a short time.
","tipo":"p","esp":"A través de la Infografía “Modelando en 3D” podrá abordar la tecnología del diseño e impresoras 3D, las cuales permiten la realización de prototipos o réplicas a escala de casas, de edificios, entre otros, con la ventaja de producir representaciones en poco tiempo de forma detallada.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/nuevas/Infografia-3D.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/pdfs/3d.pdf","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/nuevas/Infografia-3D.pdf","titulo":{"esp":"Descargar infografia","eng":"Descargar infografia"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/pdfs/3d.pdf","recurso":"Descarga","tipo":"button"},{"tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 2 to 6)","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 6)"},{"eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Presentacion%20G3D_Unidad3_OA4.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20G3D_Unidad3_OA4.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20G3D_Unidad3_OA4.pptx","titulo":{"eng":"Descargar presentación","esp":"Descargar presentación"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Presentacion%20G3D_Unidad3_OA4.pptx"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Worksheet","esp":"Hoja de Actividades"},{"eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.\n
","tipo":"p","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Hoja%20de%20Actividades%20G3D_Unidad3_OA4.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Recursos%20Apoyo/Hoja%20de%20Actividades%20G3D_Unidad3_OA4.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar hoja de actividades","eng":"Download activity sheet"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Recursos%20Apoyo/Hoja%20de%20Actividades%20G3D_Unidad3_OA4.docx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Hoja%20de%20Actividades%20G3D_Unidad3_OA4.docx","recurso":"Descarga","tipo":"button"},{"eng":"Presentation (slides 7 to 26)","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 7 a 25)"},{"eng":"This presentation has been designed with the aim of supporting\n
","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar \n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20G3D_Unidad3_OA4.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Presentacion%20G3D_Unidad3_OA4.pdf","tipo":"pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20G3D_Unidad3_OA4.pptx","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Presentacion%20G3D_Unidad3_OA4.pptx","titulo":{"esp":"Descargar presentación","eng":"Download presentation"},"tipo":"button"},{"tipo":"h3","esp":"Recursos audiovisuales","eng":"Audiovisual resources"},{"esp":"“Torre de titanium software” es un pequeño video que muestra la traslación de la planta desde un software.
","tipo":"p","eng":"“Titanium software tower” is a short video that shows the translation of the plant from a software.
"},{"tipo":"video","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/videos/torre%20titanium%20software.webm","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/videos/torre%20titanium%20software.webm"},{"titulo":{"eng":"Download video","esp":"Descargar video"},"recurso":"Descarga","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/videos/torre%20titanium%20software.mp4","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/videos/torre%20titanium%20software.mp4","tipo":"button"},{"eng":"“Successive translations” is a gif that shows successive translations geometrically.\n
","tipo":"p","esp":"“Sucesivas traslaciones” es un gif que muestra de forma geométrica las sucesivas traslaciones. \n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/sucesivas%20traslaciones.gif","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/sucesivas%20traslaciones.gif","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"esp":"","eng":""}},{"tipo":"button","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/sucesivas%20traslaciones.gif","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Ver Gif"}}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 26 a 28)","eng":"Presentation (slides 27 and 28)","tipo":"h3"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
","eng":"This presentation has been designed with the objective of supporting the implementation in the classroom of this situation.\n
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Presentacion%20G3D_Unidad3_OA4.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20G3D_Unidad3_OA4.pdf","tipo":"pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20G3D_Unidad3_OA4.pptx","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Presentacion%20G3D_Unidad3_OA4.pptx","tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar presentación","eng":"Download presentation"}}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Practical Guide","esp":"Guía Práctica","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"This document proposes various exercises whose objective is for students to identify and analyze bodies generated by translation of plane figures and calculate their volumes. In addition, these can be used to formatively assess the knowledge developed from the situation.\n
","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes identifiquen y analicen cuerpos generados por traslación de figuras planas y calculen sus volúmenes. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.\n
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Recursos%20Apoyo/Guia%20Practica%20G3D_Unidad3_OA4.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Recursos%20Apoyo/Guia%20Practica%20G3D_Unidad3_OA4.pdf","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar guía práctica","eng":"Download practical guide"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Recursos%20Apoyo/Guia%20Practica%20G3D_Unidad3_OA4.docx","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Recursos%20Apoyo/Guia%20Practica%20G3D_Unidad3_OA4.docx"}]}},"visible":true},"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"latching moment","esp":"Momento de enganche","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 2 y 3, Presentación)","eng":"(Slides 2 and 3, Presentation)"},{"recurso":"ModalPDF","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20G3D_Unidad3_OA4.pdf","titulo":{"esp":"Ver presentación","eng":"see presentation"},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Recursos%20Apoyo/Presentacion%20G3D_Unidad3_OA4.pdf"},{"eng":"Introduce the context through the infographic “Modeling in 3D”.
","esp":"Presente el contexto por medio de la Infografía “Modelando en 3D”.
","tipo":"p"},{"eng":"Then, ask the students to share their opinions about what they read, answer any questions and ask the following questions:\n
","esp":"Luego, pida a las y los estudiantes que compartan sus opiniones sobre lo leído, resuelva dudas y realice las siguientes preguntas:\n
","tipo":"p"},{"eng":"- What is 3D digital modeling?\n
- What does 3D modeling and printing allow in the field of architecture?
- ¿Qué es el modelado digital en 3D?\n
- ¿Qué permite el modelado y la impresión 3D en el área de la arquitectura?
Asegúrese de que sus estudiantes comprendan que el modelado 3D es el proceso de desarrollar una representación matemática digital de objetos. Además, el modelado e impresión 3D permite la realización de prototipos o réplicas de casas, de edificios, entre otros, con la ventaja de producir representaciones en poco tiempo de forma detallada y a escala. \n
","tipo":"p","eng":"Make sure your students understand that 3D modeling is the process of developing a digital mathematical representation of objects. In addition, 3D modeling and printing allows the realization of prototypes or replicas of houses, buildings, among others, with the advantage of producing detailed and scale representations in a short time.\n
"},{"esp":"Presentación del problema ","tipo":"h3","eng":"Presentation of the problem"},{"eng":"(Slides 4 to 6, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 4 a 6, Presentación)"},{"esp":"Presenta a sus estudiantes el siguiente problema presente en la Hoja de Actividades.\n
","eng":"Introduce your students to the following problem from the Activity Sheet.\n
","tipo":"p"},{"recurso":"Actividades","eng":"An architect must present the design of the Titanium Tower in an exhibition.
\nThis tower is the second tallest in Chile and is located in Santiago.
\nFor the exhibition, you need to make a scale replica of the tower using 3D modeling software. In the replica, all floors will be considered to be identical and will have the following shape:
\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-06.png\")
The architect started by designing this figure in the software in the XY plane, as shown below:\n
\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-10.png\")
What action could the architect take with the software to generate a 3D model of the tower?\n
","esp":"Un arquitecto debe presentar el diseño de la torre Titanium en una exposición. \nEsta torre es la segunda más alta de Chile y se ubica en Santiago.\nPara la exposición, necesita hacer una réplica a escala de la torre mediante un software de modelado 3D. En la réplica, se considerará que todos los pisos son idénticos y que tendrán la siguiente forma:
\n
\nEl arquitecto partió diseñando en el software la figura plana que se muestra en el plano XY a continuación:\n
\n
\n¿Qué movimiento de la figura dibujada podría realizar el arquitecto con el software para generar un modelo 3D de la torre?\n
","tipo":"momento"},{"eng":"Allow time for students to think about how to answer the question. It is expected that your answers allude to the idea of translation. If you see it necessary, remember what a translation is.
","tipo":"p","esp":"Dé tiempo para que las y los estudiantes piensen en cómo responder a la pregunta. Se espera que sus respuestas aludan a la idea de traslación. Si lo ve necesario, recuerde qué es una traslación.
"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"esp":"Parte 1","eng":"Part 1","tipo":"h3"},{"eng":"(Slides 7 to 16, Presentation)","esp":"(Diapositivas 7 a 16, Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"To deepen the discussion, we suggest asking the following questions from Activity 1 of the Activity Sheet.\n
","tipo":"p","esp":"Para profundizar en la discusión, se sugiere realizar las siguientes preguntas de la Actividad 1 de la Hoja de Actividades. Estas tareas buscan que las y los estudiantes comprendan cómo se genera un cuerpo mediante traslación (Tarea matemática A).\n
"},{"esp":"- Responde las siguientes preguntas:
- ¿Basta realizar una sola traslación de la figura plana generada en el plano XY para generar la torre? ¿Por qué?
- Describe con tus palabras un proceso para generar el modelo 3D de la torre a través de traslaciones.
- Answer the following questions:
- Is it enough to translate the generated plane figure once in the XY plane to generate the tower? Why?
- Describe in your own words a process to generate the 3D model of the tower through translations.
Se espera que las y los estudiantes mencionen que realizar una sola traslación de la figura plana no genera la réplica de la torre. Además, se espera que concluyan que la traslación se está aplicando “muchas veces”. En este sentido, se debe realizar una secuencia continua de traslaciones de la planta hasta llegar a la altura máxima del edificio. Es importante destacar que se requieren sucesivas traslaciones, pues el edificio se reconstituye a través de todo el recorrido que experimenta la figura desde su ubicación inicial hasta su posición final. Toda esta secuencia de traslaciones generará la réplica de la torre Titanium. Dé el espacio suficiente para discutir todas estas ideas con sus estudiantes.\n
","eng":"Students are expected to mention that performing a single translation of the plane figure does not generate the replica of the tower. In addition, they are expected to conclude that the translation is being applied \"many times.\" In this sense, a continuous sequence of translations of the plan must be carried out until reaching the top floor of the building. It is important to note that successive translations are required, since the entire journey that the figure experiences from its initial location to its final position is of interest. All this sequence of translations will generate the replica of the Titanium tower. Give enough space to discuss all of these ideas with your students.\n
","tipo":"p"},{"eng":"The mistake of thinking that the number of translations is equal to the number of floors may arise, in this case, reiterate the importance that we are interested in the entire journey that the figure experiences from its initial location to its final position.\n
","tipo":"p","esp":"Puede surgir el error de pensar que la cantidad de traslaciones es igual a la cantidad de pisos, en este caso, reitere la importancia de que nos interesa todo el recorrido que experimenta la figura desde su ubicación inicial hasta su posición final. Una cantidad “pequeña” de traslaciones entrega una serie de cortes planos del edificio, no el edificio completo.\n
"},{"esp":"Luego, se sugiere realizar la siguiente pregunta de la Actividad 1 de la Hoja de Actividades. El propósito es que las y los estudiantes determinen la altura del modelo de la torre aplicando proporcionalidad (Tarea matemática B). \n
","tipo":"p","eng":"Next, it is suggested to ask the following questions:\n
"},{"esp":"A continuación, se muestran las medidas que tiene la figura que genera el modelo a escala de la torre.\n
\n
\n\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-11.png\")
2. Además, se sabe que las medidas originales de la torre Titanium son 34 metros de ancho, 60 metros de largo y 190 metros de alto. ¿Cuál es la altura del modelo?\n","eng":"","tipo":"momento","recurso":"Actividades"},{"tipo":"momento","eng":"- Is the information we have so far enough to generate the model of the tower? Because?\n
- What other information do we need to know to generate the model of the tower?\n
- To determine the height x of the replica, proportionality can be used, which leads to the following equation: x15 = ","esp":"","recurso":"Respuesta"},{"tipo":"p","eng":"
- Para determinar la altura x de la réplica se puede usar proporcionalidad, lo que lleva a plantear la siguiente ecuación: x15 = 190 60 . Por lo tanto, la réplica de la torre debe tener una altura de 47,5 cm.
Then, we suggest asking the following questions from Activity 1 of the Activity Sheet. These look for the students to understand the translation vector.\n
","esp":"Si le parece puede hacer que sus estudiantes verifiquen que la planta está a escala chequeando que el ancho y el largo en el modelo a escala y en la medidas reales están en la misma proporción.
\n\nLuego, se sugiere realizar la pregunta 3 de la Actividad 1 de la Hoja de actividades. Estas preguntas buscan que las y los estudiantes profundicen en la comprensión acerca de cómo se genera un cuerpo mediante una traslación (Tarea matemática A).\n
"},{"esp":"3. Responde las siguientes preguntas:
\n- \na) Considerando que cada traslación se puede determinar a través de un vector de traslación, ¿cuál es la dirección de los vectores de traslación que permiten construir el modelo?
\n\nb) ¿Cuál es el vector correspondiente a la máxima traslación que se debe utilizar para generar la réplica de la torre?3.
","tipo":"momento"},{"esp":"
a) Considering that we want to determine the translation vector that must be applied to the figure generated by the model, what direction does that vector have?
\nb) What is the translation vector that should be used to generate the replica of the tower?","eng":"- Debemos trasladar únicamente en la dirección ortogonal al plano XY, es decir, en la dirección del eje Z. \n
- La torre Titanium se puede generar a partir de sucesivas traslaciones de la planta en la dirección del vector máximo ( v⃗ = <0, 0, 47,5>). La coordenada x = 0 e y = 0 significa que no habrá movimiento en el plano XY y la coordenada z = 47,5 significa se harán sucesivas traslaciones hasta llegar a una altura de 47,5 centímetros.\n
- We must translate only in the direction orthogonal to the plane","recurso":"Respuesta","tipo":"momento"},{"tipo":"p","eng":"
Next, highlight the following:
","esp":"Cabe notar que en las sucesivas traslaciones que permiten reconstruir el modelo del edificio destaca el vector máximo que es el que permite llegar al techo del edificio, pero hay un continuo de vectores que son múltiplos de ese vector máximo por un múltiplo s entre cero y uno.
"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 17 y 18, Presentación)","eng":"(Slides 17 and 18, Presentation)"},{"eng":"
\nLuego, destaque lo siguiente:It is possible to build geometric solids from successive translations of a plane figure in the direction of a given vector.
","esp":"Es posible construir cuerpos geométricos a partir de sucesivas traslaciones de una figura plana en la dirección de un vector dado.
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"This way of modeling bodies in three dimensions is widely used today. In fact, all current 3D design software includes a tool dedicated to building bodies in this way, called extrusion, and it is used frequently in the field of architecture.
","esp":"Esta forma de modelar cuerpos en tres dimensiones es muy usada en la actualidad, de hecho todos los softwares de diseño 3D actuales incluyen una herramienta dedicada a construir cuerpos de esta forma, denominada por extrusión, y se utiliza de manera frecuente en el campo de la arquitectura.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/videos/torre%20titanium%20software.webm","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/videos/torre%20titanium%20software.webm","tipo":"video"},{"esp":"Se dice que un cuerpo es generado por traslación si se puede obtener \nmediante sucesivas traslaciones de una figura plana, de acuerdo a los vectores s · \nu⃗, donde s es un escalar que recorre el intervalo entre 0 a 1 y u⃗ es \nun vector no nulo y no paralelo al plano de la figura que representa el \ndesplazamiento desde la primera figura plana hasta la última.\n
","eng":"A body is said to be generated by translation if it can be obtained\nthrough successive translations of a plane figure, according to the vectors s ·\nu⃗, where s is a scalar spanning the interval from 0 to 1 and","tipo":"p"},{"tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/sucesivas%20traslaciones.gif","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/sucesivas%20traslaciones.gif","escala":"50"},{"esp":"
Las siguientes preguntas le permitirán hacer observaciones respecto de los cuerpos obtenidos mediante traslación. \n
","eng":"The following questions will allow you to make observations about bodies obtained by translation.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","esp":"- Considerando el modelo de la torre que se generará, ¿qué figura se obtiene al realizar cortes con planos paralelos al plano XY? \n
- Si pensamos en un cuerpo generado por medio de traslación y le hacemos un corte con un plano paralelo a la figura que origina dicho cuerpo, ¿se obtiene siempre la misma figura? ¿Por qué?\n
- Considering the model of the tower that will be generated, what figure is obtained by making cuts with planes parallel to the XY plane?\n
- If we think of a body generated by means of translation and we make a cut with a plane parallel to the figure that originates said body, is the same figure always obtained? Because?\n
They are expected to conclude that when cutting the model that will be obtained from the Titanium tower with planes parallel to the base, the same figure will always be obtained.\n
","tipo":"p","esp":"Se espera que concluyan que al realizar cortes al modelo que se obtendrá de la la torre de Titanium con planos paralelos a la base siempre se obtendrá la misma figura. \n
"},{"esp":"Cualquier cuerpo resultante de una traslación generará siempre la misma figura plana al realizar un corte con un plano paralelo a la figura que origina dicho cuerpo, ya que este se obtiene a partir de la traslación de una misma figura.\n
","tipo":"p","eng":"In general, any body resulting from a translation will always generate the same plane figure when cutting with a plane parallel to the figure that originates said body, since this is obtained from the translation of the same figure.\n
"},{"eng":"Part 2","esp":"Segunda Parte","tipo":"h3"},{"eng":"(Slides 19 to 26, Presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 19 a 25, Presentación)"},{"tipo":"p","eng":"Present the following situation to your students:
","esp":"En esta parte, se plantea el problema de determinar el volumen de la réplica a escala. Para esto, primero se anima a las y los estudiantes a deducir la manera de determinar el volumen (Tarea matemática C).
"},{"eng":"
Presente la siguiente situación a sus estudiantes:The created design will be printed using a 3D printer. In order to estimate the cost of printing, it is necessary to determine the volume of the scale replica of the Titanium tower. Remember that the measurements of the base are:\n
","esp":"El diseño creado se imprimirá mediante una impresora 3D. Con el fin de estimar el costo de la impresión, es necesario determinar el volumen de la réplica a escala de la torre Titanium. Recuerda que las medidas de la base son:\n
","tipo":"p"},{"escala":"50","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-11.png","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-11.png","titulo":{"eng":"","esp":""}},{"tipo":"p","esp":"Recuerde que de acuerdo a la Infografía, el costo de la impresión depende del volumen de la torre y del costo del material por unidad de volumen. El costo de material por unidad de volumen estará dado por su precio de mercado, por lo tanto lo que falta por determinar y que se debe calcular es el volumen. \n
\n\n\n\n","eng":"
Realice la siguiente pregunta a sus estudiantes:\n\nIf your students cannot conclude how volume can be determined, you can ask the following to guide your students:\n
"},{"eng":"- What do you need to know about a body generated by translation in order to calculate its volume? Why?
- How can we know the height if we know the translation vector?
¿Cuál es el volumen de la réplica a escala de la torre Titanium?
","recurso":"Actividades","tipo":"momento"},{"eng":"Allow space for your students to respond in plenary to the first question posed. The students are expected to mention that to determine the volume, the basal area must be multiplied by the height of the tower replica.\n
","esp":"Dé espacio para que sus estudiantes discutan en torno a cómo se podría determinar este volumen. Se espera que mencionen que para determinar el volumen de este tipo de cuerpo se debe multiplicar el área basal por la altura.\n\n
\nSi sus estudiantes no concluyen cómo se puede determinar el volumen, puede preguntar lo siguiente para orientarlos:","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"","esp":"- Do you remember the formulas that allow us to determine the volume of a prism? What about the volume of a cylinder?\n
- What do these volumes have in common with the volume of the tower replica?\n
","recurso":"Pregunta"},{"eng":"- ¿Recuerdan las fórmulas que permiten determinar el volumen de un prisma? ¿Y la del volumen de un cilindro? \n
- ¿Qué tienen en común estos volúmenes con el volumen de la réplica de la torre?\n
Together with your students, systematize the following:\n
","tipo":"p","esp":"En conjunto con sus estudiantes sistematice lo siguiente:\n
"},{"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-12.png","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-12.png","escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"eng":"","esp":""}},{"tipo":"p","eng":"After this, conclude with your students that to determine the volume you must multiply the basal area by the height of the replica of the tower.\n
","esp":"Después de esto concluya, en conjunto a sus estudiantes que para determinar el volumen se debe multiplicar el área basal por la altura de la réplica de la torre.\n
"},{"tipo":"p","esp":"
\nSe sugiere realizar la siguiente pregunta para hacer notar que las herramientas que tienen no son suficientes para calcular el valor exacto del área basal ya que no es una figura estándar.\n\nLuego, se recomienda que sus estudiantes trabajen en grupos la siguiente pregunta de la Actividad 2 de la Actividad 2 de la Hoja de Actividades. Esta pregunta tienen propósito que las y los estudiantes estimen el área basal del modelo a escala de la torre (Tarea matemática D).\n
","eng":"Next, it is recommended that your students work in groups on the following questions from Activity 2 of the Activity Sheet.\n
"},{"recurso":"Actividades","esp":"- ¿Cómo podemos estimar el área basal de la réplica de la torre?
- How can we estimate the basal area of the tower replica?
\n 1 rectangle with length 15 cm and width 12 8.5 cm
","esp":"Se espera que las y los estudiantes presenten diversas maneras de estimar el área basal de la réplica de la torre. Una manera de estimar el área es la siguiente:
\n 1 rectángulo de largo 15 cm y ancho 12 · 8,5 cm
"},{"tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"25","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-13.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-13.png"},{"tipo":"p","eng":"4","esp":"
4 triángulos de base 12 · 15 cm y altura 14 · 8,5 cm
"},{"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-14.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"25","tipo":"img","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/imgs/p_-14.png"},{"eng":"Therefore, the total area of the base of the model can be estimated with 1 rectangle of area 63.75 cm2 plus 4 triangles of area 31,875 cm2, so the estimated area corresponds to 95,625 cm 2
","tipo":"p","esp":"Por lo tanto, el área total de la base del modelo se puede estimar con 1 rectángulo de área 63,75 cm2 más 4 triángulos de área 31,875 cm2, por lo que la estimación del área corresponde a 95,625 cm2
"},{"tipo":"p","eng":"Allow space for students to present their strategies. Validate that there are several ways to estimate the basal area of the tower. These include upper estimate or lower estimate and even work with an average of both. The idea is to approximate the basal area of the tower model by shapes that have known areas, such as triangles and rectangles.\n
","esp":"Dé espacio para que las y los estudiantes expongan sus estrategias. Valide que existen varias maneras de estimar el área basal de la torre. Estas incluyen estimación superior o estimación inferior e inclusive trabajar con un promedio de ambas. La idea es aproximar el área basal del modelo de la torre por figuras que tengan áreas conocidas, como triángulos y rectángulos. \n
"},{"eng":"Ask your students to answer what is the volume of the scale replica of the Titanium Tower considering the estimates made and what height of the replica is 47.5 centimeters . For example, for our estimation the estimated volume is 95.625 cm2 47.5 cm = 4 542.2 cm3\n
","esp":"Pida a sus estudiantes que respondan cuál es la estimación del volumen de la réplica a escala de la torre Titanium (Tarea matemática D). Menciona que deben considerar las estimaciones realizadas y que altura de la réplica es de 47,5 centímetros. Por ejemplo, para nuestra estimación el volumen estimado es de 95,625 cm2 · 47,5 cm = 4 542,2 cm3\n
","tipo":"p"},{"esp":"Concluya que ya se ha calculado lo necesario para determinar el costo de impresión.
","eng":"To finish, we recommend asking question 2 of Activity 2 of the Activity Sheet in plenary.\n
","tipo":"p"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Sistematización","eng":"Systematization"},{"eng":"(Slides 27 and 28, Presentation)","esp":"(Diapositivas 26 a 28, Presentación)","tipo":"h4"},{"esp":"Sistematice las ideas trabajadas en la clase, se propone tratar los siguientes puntos:\n
","eng":"Systematize the ideas worked on in class, it is proposed to address the following points:\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"- A body is said to be generated by translation if it can be obtained\nthrough successive translations of a plane figure, according to the vectors s ·\nu⃗, where s is a scalar spanning the interval from 0 to 1 and","esp":""}]},"4":{"contenido":[{"eng":"
- Se dice que un cuerpo es generado por traslación si se puede obtener \nmediante sucesivas traslaciones de una figura plana, de acuerdo a los vectores s · \nu⃗, donde s es un escalar que recorre el intervalo entre 0 a 1 y u⃗ es \nun vector no nulo y no paralelo al plano de la figura que representa el \ndesplazamiento desde la primera figura plana hasta la última.\n \n
- Dado que el costo de una impresión 3D depende del volumen por imprimir, en la actividad se calculó el volumen de la réplica de la torre. \n
- El volumen de cualquier cuerpo geométrico generado por traslación de una figura plana se puede calcular como el área de su base por su altura.
Introduce your students to the How To Guide. The purpose of this is for students to analyze different bodies and identify which ones can be generated by translation of plane figures. In addition, the calculation of body volumes generated by translation is exercised. Use Activity 3 of the Practical Guide to formatively assess the following indicator:\n
","esp":"Evaluación y Práctica","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Presente a sus estudiantes la Guía práctica. Esta tiene por objetivo que las y los estudiantes analicen distintos cuerpos e identifiquen cuáles pueden ser generados por traslación de figuras planas. Además, se ejercita el cálculo de volúmenes de cuerpo generados por traslación. Utilice la Actividad 3 de la Guía Práctica para evaluar formativamente el siguiente indicador:\n
","eng":""},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Recursos%20Apoyo/Guia%20Practica%20G3D_Unidad3_OA4.pdf","esp":"- Solve problems that involve calculating area or volume of 3D figures generated by translation and rotation of plane figures.\n
","tipo":"p"},{"recurso":"ModalGP","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/la_torre_titanium_en_3d/Recursos%20Apoyo/Guia%20Practica%20G3D_Unidad3_OA4.pdf","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":""}}],"visible":true}},"visible":true},"visible":true},"47":{"recursos":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Infographic \"Normal distribution: Study of the weight of newborns in Chile\"","esp":"Infografía “Distribución normal: Estudio del peso de recién nacidos en Chile”"},{"eng":"- Resuelven problemas que involucran calcular área o volumen de figuras 3D generadas por traslación y rotación de figuras planas.\n
The infographic presents information regarding birth weight, the weights considered normal and the weights that are considered low, and the implications that being born with a low weight may have.\n
","esp":"\tEn la infografía se presenta información respecto al peso al nacer, los pesos considerados normales y los pesos que son considerados bajos y las implicancia que puede tener nacer con un peso bajo. \n
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/bebes.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/bebes.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Infografía","eng":"Descargar Infografía"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/bebes.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/bebes.pdf","tipo":"button","recurso":"Descarga"},{"tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 1 to 7)","esp":"Presentación (diapositivas 1 a 7)"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/PPT%20-%20Distribuci%C3%B3n%20normal_%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci%C3%A9n%20nacidos%20en%20Chile%20-%203_4_U2_0A3.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/PPT%20-%20Distribuci%C3%B3n%20normal_%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci %C3%A9n%20born%20in%20Chile%20-%203_4_U2_0A3.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar presentación","eng":"Descargar presentación"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/docs/PPT%20-%20Distribuci%C3%B3n%20normal_%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci%C3%A9n%20nacidos%20en%20Chile%20-%203_4_U2_0A3.pptx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/docs/PPT%20-%20Distribuci%C3%B3n%20normal_%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci %C3%A9n%20born%20in%20Chile%20-%203_4_U2_0A3.pptx","tipo":"button","recurso":"Descarga"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Worksheet","esp":"Hoja de Actividades"},{"esp":"En este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
","tipo":"p","eng":"This document presents a series of questions that are used to favor the construction of knowledge associated with this situation.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/Hoja%20de%20Actividades%20-%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci%C3%A9n %20born%20in%20Chile.pdf","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/Hoja%20de%20Actividades%20-%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci%C3%A9n%20nacidos%20en%20Chile.pdf"},{"tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar hoja de actividades","eng":"Download activity sheet"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/docs/Hoja%20de%20Actividades%20-%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci%C3%A9n %20born%20in%20Chile.docx","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/docs/Hoja%20de%20Actividades%20-%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci%C3%A9n%20nacidos%20en%20Chile.docx"},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 8 a 14)","eng":"Presentation (slides 8 to 14)"},{"eng":"Below you can view and download the complete presentation.
","tipo":"p","esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/PPT%20-%20Distribuci%C3%B3n%20normal_%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci%C3%A9n%20nacidos%20en%20Chile%20-%203_4_U2_0A3.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/PPT%20-%20Distribuci%C3%B3n%20normal_%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci %C3%A9n%20born%20in%20Chile%20-%203_4_U2_0A3.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/docs/PPT%20-%20Distribuci%C3%B3n%20normal_%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci%C3%A9n%20nacidos%20en%20Chile%20-%203_4_U2_0A3.pptx","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/docs/PPT%20-%20Distribuci%C3%B3n%20normal_%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci %C3%A9n%20born%20in%20Chile%20-%203_4_U2_0A3.pptx","titulo":{"esp":"Descargar presentación","eng":"Download presentation"},"recurso":"Descarga"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 15 a 18)","tipo":"h3","eng":"Presentation (slides 15-18)"},{"tipo":"p","esp":"A continuación puedes visualizar y descargar la presentación completa.\n
","eng":"Below you can view and download the complete presentation.\n
"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/PPT%20-%20Distribuci%C3%B3n%20normal_%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci %C3%A9n%20born%20in%20Chile%20-%203_4_U2_0A3.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/PPT%20-%20Distribuci%C3%B3n%20normal_%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci%C3%A9n%20nacidos%20en%20Chile%20-%203_4_U2_0A3.pdf"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/docs/PPT%20-%20Distribuci%C3%B3n%20normal_%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci %C3%A9n%20born%20in%20Chile%20-%203_4_U2_0A3.pptx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/docs/PPT%20-%20Distribuci%C3%B3n%20normal_%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci%C3%A9n%20nacidos%20en%20Chile%20-%203_4_U2_0A3.pptx","tipo":"button","titulo":{"eng":"Download presentation","esp":"Descargar presentación"},"recurso":"Descarga"}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Practical Guide","esp":"Guía Práctica","tipo":"h3"},{"eng":"The guide also proposes exercises for students to practice the content studied in class.\n
","esp":"En la guía también se proponen ejercicios para que las y los estudiantes practiquen los contenidos estudiados en la clase.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/Gu%C3%ADa%20pr%C3%A1ctica%20Distribuci%C3%B3n%20normal%20- %20Study%20of%20weight%20of%20reci%C3%A9n%20born%20in%20Chile.pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/Gu%C3%ADa%20pr%C3%A1ctica%20Distribuci%C3%B3n%20normal%20-%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci%C3%A9n%20nacidos%20en%20Chile.pdf"},{"titulo":{"eng":"Download practical guide","esp":"Descargar guía práctica"},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/docs/Gu%C3%ADa%20pr%C3%A1ctica%20Distribuci%C3%B3n%20normal%20- %20Estudio%20del%20peso%20de%20reci%C3%A9n%20nacidos%20%20en%20Chile.docx","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/docs/Gu%C3%ADa%20pr%C3%A1ctica%20Distribuci%C3%B3n%20normal%20-%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci%C3%A9n%20nacidos%20en%20Chile.docx","recurso":"Descarga","tipo":"button"}]}}},"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Recordar que una variable aleatoria continua \\(X\\) es una variable que puede tomar valores en un intervalo (acotado o no acotado) de los números reales. Se caracteriza por tener una función de densidad, es decir una función \\(f\\colon R \\to R_{+}\\) tal que
","tipo":"p","eng":"Remember that a continuous random variable \\(X\\) is a variable that can take values in an interval (bounded or unbounded) of the real numbers. It is characterized by having a density function, that is, a function \\(f\\colon R \\to R_{ }\\) such that
"},{"tipo":"p","esp":"\\[ \\mathbb{P}(a\\leq X \\leq b)=\\int_{a}^{b} f(x)dx\\].
","eng":"\\[ \\mathbb{P}(a\\leq X \\leq b)=\\int_{a}^{b} f(x)dx\\].
"},{"esp":"Si graficamos la curva de densidad \\(f\\), la probabilidad de que \\(X\\) tome un valor entre \\(a\\) y \\(b\\) es igual al área bajo la curva entre \\(a\\) y \\(b\\).
","tipo":"p","eng":"If we graph the density curve \\(f\\), the probability that \\(X\\) takes a value between \\(a\\) and \\(b\\) is equal to the area under the curve between \\(a \\) and \\(b\\).
"},{"tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-02%20%281%29.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-02%20%281%29.png","escala":"50"},{"esp":"Al tener datos sobre una variable continua (como por ejemplo la temperatura), es usual usar histogramas para visualizar la distribución de esta. Como se vio en la actividad, un histograma se puede construir dividiendo el intervalo de valores en varios subintervalos y contando cuántas veces los datos caen en cada subintervalo. Luego, se grafica el número de datos que caen en cada subintervalo en el eje vertical y los subintervalos en el eje horizontal. Esta forma de visualizar los datos es muy útil para analizar la distribución de estos, lo que puede ayudar a entender la frecuencia y la concentración de los valores en un intervalo determinado. A medida que tengamos más y más datos, el histograma se parecerá cada vez más a la curva de densidad de la variable observada y, por tanto, construir un histograma nos da una idea de cómo es la forma de la curva de densidad de la variable en estudio.\n
","tipo":"p","eng":"When having data on a continuous variable (such as temperature), it is usual to use histograms to visualize its distribution. As seen in the activity, a histogram can be constructed by dividing the range of values into several sub-ranges and counting how many times the data falls in each sub-range. Then, the number of data items that fall in each subinterval is plotted on the vertical axis and the subintervals on the horizontal axis. This way of visualizing the data is very useful to analyze the distribution of the data, which can help to understand the frequency and concentration of the values in a certain interval. As we get more and more data, the histogram will look more and more like the density curve of the observed variable, and so building a histogram gives us an idea of what the shape of the density curve of the variable looks like. in study.\n
"},{"tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-03%20%281%29.png","alinea":"texto-centrado","escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-03%20%281%29.png"},{"esp":"Existen muchas variables reales (de la naturaleza, la física, la salud, de la economía, las ciencias sociales, etc) cuyos histogramas tienen una forma similar a la de una campana. Ejemplos son la estatura de las personas, los puntos en un examen, la presión sanguínea, la temperatura, la duración de una llamada telefónica, entre muchas otras. Esta forma de campana simétrica respecto a su media, es lo que caracteriza a las denominadas distribuciones normales (o Gaussianas). \n
","eng":"There are many real variables (from nature, physics, health, economics, social sciences, etc) whose histograms have a shape similar to that of a bell. Examples are the height of people, the points in an exam, blood pressure, temperature, the duration of a phone call, among many others. This symmetrical bell shape with respect to its mean is what characterizes the so-called normal (or Gaussian) distributions.\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-04.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-04.png","escala":"50","caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado"},{"tipo":"p","eng":"Normal or Gaussian distributions are undoubtedly the most important class of probability distributions, studied and used in statistics. One of the reasons, as we mentioned before, is that many variables of interest are constantly observed to be normally distributed. Another reason, which has a deeper mathematical explanation, stems from an important theorem in probability and statistics called the central limit theorem. It states (under some conditions that we omit to mention) that the distribution of the mean of a sample of independent and identically distributed random variables approximates a normal distribution, independent of the original distribution. That is, even if our data does not follow a normal distribution, we can treat it (average it) so that it follows a normal distribution. This allows incorporating a series of mathematical analysis tools that have been developed over the years for the study of normal distributions.\n
","esp":"Las distribuciones normales o Gaussianas son sin duda la clase de distribuciones de probabilidad más importantes, estudiadas y usadas en estadística. Una de las razones, como mencionamos anteriormente, es que, se observa constantemente que muchas variables de interés se distribuyen de manera normal. Otra razón, que tiene una explicación matemáticamente más profunda, se deriva de un importante teorema en probabilidades y estadística, denominado el teorema del límite central. Este establece (bajo algunas condiciones que omitimos mencionar) que la distribución de la media de una muestra de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas se aproxima a una distribución normal, independientemente de la distribución original. Es decir, incluso si nuestros datos no siguen una distribución normal, los podemos tratar (los promediamos) para que sigan una normal. Esto permite incorporar una serie de herramientas de análisis matemático que se han desarrollado a lo largo de los años para el estudio de las distribuciones normales.\n
"},{"esp":"Distribución Normal Estándar","eng":"Standard Normal Distribution","tipo":"h4"},{"eng":"For each continuous random variable \\(X\\) that is distributed as a normal with parameters \\(\\mu\\) and \\(\\sigma\\), that is, \\( X \\sim N(\\mu, \\sigma )\\) it is possible to define a new random variable:\n
","esp":"Para cada variable aleatoria continua \\(X\\) que se distribuye como una normal con parámetros \\(\\mu\\) y \\(\\sigma\\), es decir, \\( X \\sim N(\\mu, \\sigma)\\) es posible definir una nueva variable aleatoria: \n
","tipo":"p"},{"esp":"\\[ Z = \\frac{X - \\mu}{\\sigma}\\].\n
","tipo":"p","eng":"\\[ Z = \\frac{X - \\mu}{\\sigma}\\].\n
"},{"tipo":"p","eng":"This new variable is called the standard normal distribution and has the property that its mean is \\(\\mu_Z = 0\\) and its standard deviation is \\(\\sigma_Z = 1 \\). That is, \\(Z \\sim N(0,1)\\):
","esp":"Esta nueva variable se denomina distribución normal estándar y tiene la propiedad que su media es \\(\\mu_Z = 0\\) y su desviación estándar es \\(\\sigma_Z = 1\\). Es decir, \\(Z \\sim N(0,1)\\):
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/graf1.png","escala":"75","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/graf1.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado"},{"esp":"La transformación que produce la nueva variable \\(Z\\) a partir de \\(X\\) se conoce como estandarización y, como veremos, resulta útil para calcular probabilidades y además comparar distribuciones normales que tienen distintos parámetros.\n
","tipo":"p","eng":"The transformation that produces the new variable \\(Z\\) from \\(X\\) is known as standardization and, as we will see, it is useful for calculating probabilities and also compare normal distributions that have different parameters.\n
"},{"eng":"Note that for any values \\(a\\) and \\(b\\) we have that:\n
","tipo":"p","esp":"Notemos que para cualesquiera valores \\(a\\) y \\(b\\) se tiene que: \n
"},{"tipo":"p","esp":"\\[ a \\le X < b \\Leftrightarrow \\frac{a-\\mu}{\\sigma} \\le Z < \\frac{b-\\mu}{\\sigma} \\]
","eng":"\\[ to \\le X"},{"eng":"
And therefore you have to:\n
","tipo":"p","esp":"Y por tanto se tiene que: \n
"},{"esp":"\\[\\textrm{P} (a \\le X < b) = \\textrm{P} \\left(\\frac{a-\\mu}{\\sigma} \\le Z < \\frac{b-\\mu}{\\sigma}\\right)\\] \n
","eng":"\\[\\textrm{P} (to \\le X","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/graf2.png","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/graf2.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"75"},{"esp":"Cálculo de probabilidades utilizando la distribución normal estandarizada","tipo":"h4","eng":"Calculation of probabilities using the standardized normal distribution"},{"eng":"
The normal distribution with parameters \\(\\mu\\) and \\(\\sigma\\), satisfies the so-called empirical rule:
","tipo":"p","esp":"La distribución normal con parámetros \\(\\mu\\) y \\(\\sigma\\), cumple la denominada regla empírica:
"},{"alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/imagen%20dis%20normal%20-%20porcentajes.png","escala":"75","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/imagen%20dis%20normal%20-%20porcentajes.png"},{"tipo":"p","esp":"A partir de esta propiedad, una variable aleatoria \\(X\\) que sigue una distribución normal con parámetros \\(\\mu\\) y \\(\\sigma\\) cumple que:\n
","eng":"From this property, a random variable \\(X\\) that follows a normal distribution with parameters \\(\\mu\\) and \\(\\sigma\\) satisfies that:\n
"},{"tipo":"p","esp":"","eng":"- La probabilidad de que \\(\\mu - \\sigma \\leq X \\leq \\mu + \\sigma\\) corresponde al 68,2% de los valores de \\(X\\).\n
- La probabilidad de que \\(\\mu - 2\\sigma \\leq X \\leq \\mu + 2\\sigma\\) corresponde al 95,4% de los valores de \\(X\\).\n
- El 99,6% de los valores de la variable \\(X\\) se encuentran a menos de \\(3\\sigma\\) del valor esperado.
"},{"esp":"Para la normal estandarizada se cuenta con tabla de áreas bajo la curva (llamada también tabla Z). En esta tabla cada uno de los valores corresponde a la probabilidad de que la variable \\(Z\\) tome un valor entre 0 y \\(z\\).\n","eng":"For the standardized normal, there is a table of areas under the curve (also called the Z table). In this table, each of the values corresponds to the probability that the variable \\(Z\\) takes a value between 0 and \\(z\\).","tipo":"p"},{"esp":"- The probability that \\(\\mu - \\sigma \\leq X \\leq \\mu \\sigma\\) corresponds to 68.2% of the values of \\(X\\ ).\n
- The probability that \\(\\mu - 2\\sigma \\leq X \\leq \\mu 2\\sigma\\) corresponds to 95.4% of the values of \\(X\\).\n
- 99.6% of the values of the variable \\(X\\) are less than \\(3\\sigma\\) from the expected value.
A continuación se muestra una parte de esta tabla (hasta \\(z=1,7\\)).\n
","eng":"A portion of this table is shown below (up to \\(z=1.7\\)).\n
","tipo":"p"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-05%20%281%29.png","tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-05%20%281%29.png"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-06%20%281%29.png","escala":"75","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-06%20%281%29.png","tipo":"img"},{"eng":"\nExamples:\n
","esp":"\nEjemplos:\n
","tipo":"p"},{"eng":"\\[P(0 \\leq Z \\leq 1.18)=0.3810\\]\n
","tipo":"p","esp":"\\[P(0 \\leq Z \\leq 1,18)=0,3810\\]\n
"},{"tipo":"p","eng":"In addition, thanks to the symmetry of the curve, the following is established:\n
","esp":"Además, gracias a la simetría de la curva se establece lo siguiente:\n
"},{"eng":"\\[P(0 \\leq Z \\leq 1.18) = P(-1.18 \\leq Z \\leq 0)\\]\n
","esp":"\\[P(0 \\leq Z \\leq 1,18) = P(-1,18 \\leq Z \\leq 0)\\]\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"De forma general se tiene que:
","eng":"In general, you have to:
"},{"eng":"\\[P(0 \\leq Z \\leq z) = P(-z \\leq Z \\leq 0)\\]
","tipo":"p","esp":"\\[P(0 \\leq Z \\leq z) = P(-z \\leq Z \\leq 0)\\]
"}]},"2":{"contenido":[{"eng":"It is important to highlight that this activity is designed as an application of the normal distribution, therefore, to carry it out it was considered that the students know how to interpret the mean (or average), the standard deviation and How are they displayed graphically? Also, they can recognize and understand the standardized normal distribution and its parameters.","tipo":"p","esp":"Es importante destacar que esta actividad está diseñada como una aplicación de la distribución normal, por lo tanto, para realizarla se consideró que los y las estudiantes saben interpretar la media (o promedio), la desviación estándar y cómo estas se visualizan gráficamente. Además, que pueden reconocer y comprender la distribución normal estandarizada y sus parámetros."},{"eng":"Students may already be familiar with using the table of areas under the curve of the standardized normal distribution. In any case, it is important that you show some examples so that you remember the information that the table gives and how it is used in the calculation of probabilities.
","tipo":"p","esp":"Es posible que haya estudiantes que ya estén familiarizados/as con el uso de la tabla de áreas bajo la curva de la distribución normal estandarizada. De todas maneras, es importante que muestre algunos ejemplos para recordar la información que entrega la tabla y cómo se utiliza en el cálculo de probabilidades.
"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"low birth weight","esp":"Bajo peso al nacer","tipo":"h3"},{"eng":"
The World Health Organization (WHO) defines “low birth weight” as when a baby's birth weight is less than 2500 grams. A normative document on low birth weight establishes a goal of reducing the cases of low birth weight by 30%. This document mentions the following:","esp":"\n
La Organización Mundial de la Salud (OMS) define como “bajo peso al nacer” cuando el peso de un/a bebé al nacer es inferior a 2500 gramos. Un documento normativo sobre el bajo peso al nacer establece como meta reducir un 30% los casos de bajo peso al nacer. En este documento se menciona lo siguiente:\n","tipo":"p"},{"eng":"“Low birth weight remains a significant public health problem worldwide and is associated with a number of short- and long-term consequences. In total, it is estimated that between 15% and 20% of children born worldwide have low birth weight, which represents more than 20 million newborns each year. The goal for 2025 is to reduce by 30% the number of children with a birth weight of less than 2500 g (1). This would mean an annual reduction of 3% between 2012 and 2025, bringing the annual number of children with low birth weight from about 20 million to about 14 million” [1].","tipo":"p","esp":"“El bajo peso al nacer sigue siendo un problema significativo de salud pública en todo el mundo y está asociado a una serie de consecuencias a corto y largo plazo. En total, se estima que entre un 15% y un 20% de los niños nacidos en todo el mundo presentan bajo peso al nacer, lo que supone más de 20 millones de neonatos cada año. El objetivo para 2025 es reducir un 30% el número de niños con un peso al nacer inferior a 2500 g (1). Esto supondría una reducción anual del 3% entre 2012 y 2025, con lo que el número anual de niños con bajo peso al nacer pasaría de unos 20 millones a unos 14 millones” [1]."},{"tipo":"p","eng":"Based on the information provided in the virtual magazine Medline Plus health information for you, some of the implications of having a low birth weight are the following [2]:","esp":"En base a la información entregada en la revista virtual Medline Plus información de salud para usted algunas de las implicancias de tener un bajo peso al nacer son las siguientes [2]:\n"},{"esp":"Algunas causas del bajo peso al nacer","eng":"Some causes of low birth weight","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"- Tomar ciertos medicamentos durante el embarazo.\n
- Tener infecciones durante el embarazo.\n
- Estar embarazada de más de un bebé.\n
- Tener problemas con la placenta, el órgano que lleva oxígeno y nutrientes al bebé.\n
- Tener padres pequeños.\n
- Taking certain medications during pregnancy.\n
- Having infections during pregnancy.\n
- Being pregnant with more than one baby.\n
- Having problems with the placenta, the organ that carries oxygen and nutrients to the baby.\n
- Having small parents.\n
- Respiratory problems.\n
- Infections.\nHypoglycemia (low blood sugar).\n
- Trouble maintaining temperature.\n
- Problemas respiratorios.\n
- Infecciones.\nHipoglucemia (bajo nivel de azúcar en la sangre).\n
- Problemas para mantener su temperatura.\n
\n[1] Organización Mundial de la Salud. (2017). Metas mundiales de nutrición 2025 Documento normativo sobre bajo peso al nacer. file:///C:/Users/Cris/Downloads/WHO_NMH_NHD_14.5_spa%20(1).pdf
\n\n[2] Biblioteca Nacional de Medicina. (2022). Peso del bebé al nacer. Medline Plus información de salud para usted. https://medlineplus.gov/spanish/birthweight.html
\n[3] González, R. Gómez, R. Casto, R. Kae Nien, J. Merino, P. Etchegaray, A, Carstens, M, Medina, L. Viviani, P. Rojas, I. (2004). Curva nacional de distribución de peso al nacer según edad gestacional. Chile, 1993 a 2000. Revista Médica de Chile, 132(10) , 1155-1165. http://dx.doi.org/10.4067/S0034-98872004001000001 ","eng":"The situation on which the work of the Activity Sheet is based corresponds to a study carried out in Chile on birth weights between 1993 and 2000. The main objective of this study is to construct a curve national distribution of weight, height and weight index at birth according to gestational age for Chile, according to the criteria proposed by the WHO [3].
\n[1] World Health Organization. (2017). Global Nutrition Targets 2025 Policy document on low birth weight. file:///C:/Users/Cris/Downloads/WHO_NMH_NHD_14.5_spa%20(1).pdf
\n\n[2] National Library of Medicine. (2022). Baby weight at birth. Medline Plus health information for you. https://medlineplus.gov/spanish/birthweight.html
\n[3] González, R. Gómez, R. Casto, R. Kae Nien, J. Merino, P. Etchegaray, A, Carstens, M, Medina, L. Viviani, P. Rojas, I. (2004). National birth weight distribution curve according to gestational age. Chile, 1993 to 2000. Chilean Medical Journal, 132(10), 1155-1165. http://dx.doi.org/10.4067/S0034-98872004001000001","tipo":"p"}]}},"visible":true},"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"Engagement Moment","tipo":"h3","esp":"Momento de Enganche"},{"esp":"(Diapositivas 2 - 6, Presentación) ","tipo":"h4","eng":"(Slides 2 - 6, Presentation)"},{"titulo":{"eng":"see presentation","esp":"Ver presentación"},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/PPT%20-%20Distribuci%C3%B3n%20normal_%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci%C3%A9n%20nacidos%20en%20Chile%20-%203_4_U2_0A3.pdf","recurso":"ModalPDF","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/PPT%20-%20Distribuci%C3%B3n%20normal_%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci %C3%A9n%20born%20in%20Chile%20-%203_4_U2_0A3.pdf"},{"eng":"Begin the lesson by asking the following questions:\n
","esp":"Comience la lección planteando las siguientes preguntas:\n
","tipo":"p"},{"esp":"- ¿Sabes cuál fue tu peso al nacer?
- ¿Cuáles crees que son los pesos considerados normales al nacer?
- ¿Qué consecuencias crees que puede tener nacer con peso bajo?
- Do you know what your birth weight was?
- What do you think are the weights considered normal at birth?
- What consequences do you think may have to be born with underweight?
Allow space for students to share their thoughts on these questions.\n
","esp":"Dé espacio para que las y los estudiantes compartan sus opiniones respecto a estas preguntas.\n
"},{"esp":"Presentación del problema","eng":"Presentation of the problem","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Luego, presente la infografía “Distribución normal: Estudio del peso de recién nacidos en Chile” y proponga preguntas como las siguientes, para asegurarse que las y los estudiantes comprendieron su contenido.
","eng":"Then, present the infographic “Normal distribution: Study of the weight of newborns in Chile” and propose questions such as the following, to ensure that the students understood its content
"},{"tipo":"momento","esp":"En base a la infografía, responde las siguientes preguntas:
\n- Al nacer, ¿cuáles son los pesos que se consideran dentro de un rango normal?
- ¿Qué problemas puede tener un recién nacido que pesa menos de 2500 gramos?
Based on the infographic, answer the following questions:
\n- At birth, what weights are considered within a normal range?
- What problems can a newborn weighing less than 2500 grams have? < /ul>","recurso":"Pregunta"},{"esp":"
- ¿Cuál es el rango de pesos que más se repite?
- ¿En qué rangos de pesos hay la menor cantidad de recién nacidos?
- ¿En qué rango crees que se ubica el promedio de los pesos al nacer?
- ¿Cómo representarías la distribución de los datos del histograma con una línea continua? ¿Por qué?
- Which is the range of weights that is repeated the most?
- In which ranges of weights are there the least number of newborns?
- In which range do you think the average birth weight is located?
- How would you represent the distribution of the data in the histogram with a solid line? Why?
- 3000 to 3200 grams
- 1600 to 1800 and 5000 to 5200 grams
- Between 3000 and 3600 grams
- The answers can be diverse: Curve that joins each bar connecting each midpoint of the upper end of each bar, a continuous curve that goes up and then goes down, under which all the bars remain, a curve that somehow joins each of the bars, among others, and the Gaussian bell
- 3000 a 3200 gramos
- 1600 a 1800 y 5000 a 5200 gramos
- Entre 3000 y 3600 gramos
- Las respuestas pueden ser diversas: Curva que une cada barra conectando cada punto medio del extremo superior de cada barra, curva continua que sube y luego baja, bajo la que quedan todas las barras, una curva que una de alguna manera cada una de las barras, entre otras, y la campana de Gauss
- Where is the approximate mean of the weights in the graph above?
- \\([\\mu - 2\\sigma, \\mu 2\\sigma]\\). Then, graphically identify the area under the normal curve bounded by these intervals.
- For each interval, fill in the approximate percentage of data that falls in each interval. ","esp":"
- ¿Dónde se ubica aproximadamente la media de los pesos en el gráfico anterior?
- \\([\\mu - 2\\sigma, \\mu + 2\\sigma]\\). Luego, identifica gráficamente el área bajo la curva normal que delimitan estos intervalos.
- Para cada intervalo, complete con el porcentaje de datos aproximado que se encuentra en cada intervalo.
- In the interval [3200, 3400)\n
- En el intervalo [3200, 3400)\n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-09%20%281%29.png\")
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/tablaresp.png\")
- Using the table of areas of the standardized normal, answer the following questions:
- What is the probability that choosing a newborn at Its weight is randomly between 2,500 and 4,000 grams?
- What is the probability that when a newborn is chosen at random its weight is less than 2,500 grams?
- What do you think? What do the obtained values look like?
- Utilizando la tabla de áreas de la normal estandarizada, responde las siguientes preguntas:
- ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un recién nacido al azar su peso se encuentre entre 2500 y 4000 gramos?
- ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un recién nacido al azar su peso sea menor a 2500 gramos?
- ¿Qué te parecen los valores obtenidos?
- \\( P(-1,65\\leq Z\\leq 1,24) = P(-1,65\\leq Z\\leq 0)+P(0\\leq Z\\leq 1,24)\\)
\\( = P(0\\leq Z\\leq 1,65)+P(0\\leq Z\\leq 1,24)\\)
Reemplazando los valores correspondientes se tiene lo siguiente:
\\( = 0,4505 + 0,3925 = 0,843\\)\n - \\( P(Z < -1,65) = 1 – [P(0 \\leq Z\\leq 1,65)+ 0,5] \\)
Reemplazando los valores correspondientes se tiene lo siguiente:
\\( = 1 – [0,4505 + 0,5] = 0,0495 \\)\n - \\( P(-1.65\\leq Z\\leq 1.24) = P(-1.65\\leq Z\\leq 0) P(0\\leq Z\\leq 1,24)\\)
\\( = P(0\\leq Z\\leq 1,65) P(0\\leq Z\\leq 1,24)\\)
Replacing the corresponding values we get the following:
\\( = 0.4505 0.3925 = 0.843\\)\n - \\( P(Z < -1.65) = 1 – [P(0 \\leq Z\\leq 1.65) 0.5] \\)
Replacing the corresponding values we get the following next:
\\( = 1 – [0.4505 0.5] = 0.0495 \\)\n - Es muy poco probable que un bebé tenga bajo peso al nacer, lo que es muy positivo.
- La probabilidad de nacer con “peso normal” es alta, lo que es muy favorable.
- It is very unlikely that a baby will have a low birth weight, which is very positive.
- The probability of being born with “normal weight” is high, which is very favorable.
- Para los bebés que nacen actualmente, ¿es más probable que nazcan con el peso recomendado o fuera de ese rango?
- ¿La probabilidad de que nazca un bebé bajo peso es grande o pequeña?
- For babies currently being born, are they more likely to be born at the recommended weight or outside of that range?
- The probability that they will be born is a low weight baby big or small?
- The distribution of newborn weights follows a normal distribution. This was visualized with the data of newborns in Chile between the years 1993 and 2000.
- La distribución de pesos de recién nacidos sigue una distribución normal. Esto se visualizó con los datos de los recién nacidos en Chile entre los años 1993 y 2000.
- Conociendo la media \\(\\mu\\) y la desviación estándar \\(\\sigma\\), se pueden obtener algunos valores de probabilidades conocidos. Por ejemplo, la probabilidad que la variable tome un valor entre \\( [\\mu-\\sigma,\\mu+\\sigma] \\) es 0,682.
- Knowing the mean \\(\\mu\\) and the standard deviation \\(\\sigma\\), some known probability values can be obtained. For example, the probability that the variable takes a value between \\( [\\mu-\\sigma,\\mu \\sigma] \\) is 0.682.
- To calculate probabilities with respect to a normal distribution, the standardized normal distribution is commonly used, since the necessary data are available. The steps to carry out this calculation are the following:
- Identify the probabilities that you want to calculate.
- Make the change of variable, using the following expression: \\( Z = \\frac{X -\\mu}{\\sigma} \\).
- Express the probabilities with respect to the values of \\(Z\\). In some cases, symmetry must be used to express some probabilities such as the probability that the variable is between 0 and a desired value and thus be able to use the table with which we worked in this activity.
- Finally consult the table to find the value(s) of the probabilities sought.\n
- Para calcular probabilidades respecto a una distribución normal se utiliza comúnmente la distribución normal estandarizada, ya que se cuenta con los datos necesarios. Los pasos para realizar este cálculo son los siguientes:
- Identificar las probabilidades que se quieren calcular.
- Realizar el cambio de variable, usando la siguiente expresión: \\( Z = \\frac{X-\\mu}{\\sigma} \\).
- Expresar las probabilidades respecto a los valores de \\(Z\\). En algunos casos se debe utilizar la simetría para expresar algunas probabilidades como la probabilidad de que la variable se encuentre entre 0 y un valor deseado y de esta forma poder utilizar la tabla con la que se trabajó en esta actividad.
- Finalmente consultar la tabla para encontrar el o los valores de las probabilidades buscadas.\n
- En este contexto particular se concluyó que la probabilidad de nacer con un peso en el rango 2500 g y 4000 g es de 0,843 y el de nacer bajo este rango es de 0,049.
- In this particular context, it was concluded that the probability of being born with a weight in the range 2500 g and 4000 g is 0.843 and that of being born under this range is 0.049.< /li>
- ¿Podrían describir cómo es una carrera de 100 metros planos?
- ¿En qué fase de la carrera un atleta busca incrementar su velocidad y en cuál se esfuerza por mantenerla constante?
- Es posible identificar un modelo simplificado de la carrera, el cual se divide en dos tramos según la posición en el tiempo del atleta. En la etapa inicial, el corredor se enfoca en acelerar e incrementar su velocidad. Una vez que ha alcanzado su punto máximo, su objetivo se centra en mantener constante esa velocidad a lo largo de la carrera.
- La carrera tuvo lugar en 2009, en el mundial de atletismo de Berlín.
- Bolt corrió los \\(100\\) metros en \\(9{,}58\\) segundos.
- La primera etapa de la carrera, donde se acelera, se puede representar mediante una función cuadrática de la forma:\n\\[x(t) = a \\cdot t^{2}\\]
- A partir de un instante \\(t_*\\), el atleta deja de acelerar. En ese momento, comienza la segunda etapa de la carrera, en la que se mantiene una velocidad constante. Esta etapa puede modelarse como una función afín, mediante la expresión:\n\n \\[x(t) = b \\cdot t + c\\]\n
- Por lo tanto, la función que relaciona la distancia en el tiempo a lo largo de la carrera se puede modelar como: \n\\[x(t) = \\left\\{ \\begin{array}{cl}\na \\cdot t^{2} &\\text{ si } 0 \\leq t \\leq t_{*} \\\\\nb \\cdot t + c &\\text{ si } t_* < t \\leq t_f \n\\end{array} \\right. \\]\n
- Para modelar la situación de la carrera de \\(100\\) metros planos, usamos un modelo simplificado de esta carrera, dividiéndola en dos tramos: una en la que el atleta acelera y otra en la que busca mantener su velocidad constante.
- A partir de este modelo simplificado y la representación gráfica de la posición en el tiempo del atleta, ajustamos un modelo matemático a esta situación que expresamos algebraicamente.
- Expliquen cómo se relaciona la expresión matemática que modela la carrera de Usain Bolt con los aspectos de las carreras de 100 metros planos descritas anteriormente.
- Si tenemos una función \\(y=f(t)\\), que describe una variable \\(y\\) que está en función del tiempo, su primera derivada, \\(\\frac{dy}{dt}\\) corresponde a la tasa de cambio de \\(y\\) en el instante \\(t\\), lo que, en este caso, se interpreta como la velocidad a la que cambia \\(y\\) en ese instante.
- Por lo tanto, calcular la velocidad del atleta en cualquier punto es equivalente a calcular la derivada de la función \\(x(t)\\).\n
- Calcular la primera derivada de una función por tramos (Tarea Matemática D). \n\n
- Determinar la velocidad para una función de posición en distintos instantes, usando derivadas (Tarea Matemática E).
Encuentra la derivada de cada tramo de esta función.
\nUsa la derivada de \\(x(t)\\) para calcular la velocidad del atleta cuando ha transcurrido \\(1\\) segundo de carrera.
\n¿En qué instante Usain Bolt alcanza la velocidad máxima y cuál es dicha velocidad?
\n¿Cuál es la velocidad de llegada a la meta?
\nLa derivada de \\(x(t)=2{,}8 \\ t^{2}\\), correspondiente al tramo \\(0 \\leq t \\leq 2{,}09\\), es
\\[\\frac{dx}{dt}=2{,}8 \\cdot 2t=5{,}6 t\\]
\n\nLa derivada \\(x(t)=11{,}7 \\ t - 12{,}22\\), correspondiente al tramo \\(2{,}09 < t \\leq 9{,}58\\) es
\\[\\frac{dx}{dt}=11{,}7 \\cdot 1 - 0 = 11{,}7\\]\n
\n\n\n\n\n\nCuando ha transcurrido \\(1\\) segundo, la velocidad del atleta en ese instante corresponde a la derivada \\(\\frac{dx}{dt}=5{,}6 t\\) evaluada en \\(t=1\\), que corresponde a \\( 5{,}6 \\frac{\\text{m}}{\\text{s}}\\).
\nDe acuerdo con la función, el primer tramo de aceleración llega hasta \\(t=2{,}09\\), donde el corredor alcanza la velocidad máxima. Al evaluar la derivada \\(\\frac{dx}{dt}=5{,}6 t\\) en este valor obtenemos que la velocidad máxima es aproximadamente \\(11{,}7 \\frac{\\text{m}}{\\text{s}}\\). \n
\n\nLa llegada a la meta ocurre en el instante \\(t = 9{,}58\\) segundos, por lo que la velocidad del atleta en ese momento corresponde a la derivada \\(\\frac{dx}{dt}=11{,}7\\) evaluada en ese valor. Es decir, la velocidad es constante e igual a \\(11{,}7 \\frac{\\text{m}}{\\text{s}}\\).
\n- Tal como se mencionó anteriormente, cuando tenemos una función \\(x(t)\\) que representa la posición del atleta en función del tiempo, la primera derivada corresponde a la velocidad del atleta.
- Asimismo, la segunda derivada de la posición en función del tiempo corresponde a la aceleración del corredor en cualquier momento.
- Para denotar la segunda derivada de \\(x\\) respecto de \\(t\\) usaremos la notación \\(\\frac{d^2 x}{d t^2}\\).
- Calcular la segunda derivada de una función por tramos (Tarea Matemática D).\n
- Determinar la aceleración para una función de posición en distintos instantes, usando derivadas (Tarea Matemática E).\n
Encuentra la segunda derivada de cada tramo de esta función.\n
\nCalcula la aceleración del atleta en \\(t=0\\). ¿Qué ocurre en esta parte de la carrera?
\nCalcula la aceleración en el segundo tramo de la carrera. ¿Qué puedes concluir a partir de ese resultado?\n
\nLa segunda derivada de \\(x(t)=2{,}8 \\ t^{2}\\), correspondiente al primer tramo es:
\\[\\frac{d^2x}{dt^2}=5{,}6 \\]
\n\n- \n
La derivada \\(x(t)=11{,}7 \\ t - 12{,}22\\), correspondiente al tramo \\(2{,}09 < t \\leq 9{,}58\\) es igual a
\\[\\frac{d^2x}{dt^2}=0\\]\n
\n En \\(t=0\\), la aceleración en esta parte corresponde al primer tramo de la carrera, por lo que es igual a \\(5{,}6 \\frac{m}{s^2}\\) y es constante, ya que no depende del tiempo \\(t\\)
\n\n\nEn la segunda parte de la carrera, la aceleración en el tiempo del atleta es igual a 0, es decir, no existe aceleración en este tramo, por lo que la velocidad del atleta es constante.
\n- Para modelar la situación de la carrera de 100 metros \nplanos, fue necesario usar un modelo simplificado de esta carrera, \nseparándola en dos tramos: una en la que el atleta acelera y otra en la\n que busca mantener su velocidad constante. \n\n
- A partir de este \nmodelo simplificado y la representación gráfica de la posición en el \ntiempo del atleta, se ajustó un modelo matemático a esta situación, \nexpresado algebraicamente. \n\n
- Para una función x(t) que relaciona el tiempo t y la distancia recorrida x, la velocidad en cualquier instante t es la primera derivada de la función x(t) respecto al tiempo. \n\n
- Asimismo, la aceleración para cualquier tiempo t es la segunda derivada de la función x(t) respecto al tiempo.
- Resuelven problemas relacionados con el cambio de la velocidad en el tiempo.\n
- Argumentan sus respuestas, utilizando la derivada de funciones.
- En cada tramo, se aplican las fórmulas para obtener la expresión de la derivada en ese intervalo específico.
- En los puntos donde se produce un cambio en la expresión definida para cada tramo, es necesario comprobar si la derivada de la expresión en el lado izquierdo, evaluada en ese punto, coincide con la derivada de la expresión en el lado derecho, también evaluada en dicho punto. Si ambas derivadas coinciden, entonces la derivada en ese punto existe. Sin embargo, si no coinciden, la derivada en ese punto no estará definida.
- Corrió desde el inicio tan rápido como sus compañeros de carrera más bajos, lo que llama la atención, puesto que ser alto suele considerarse una desventaja para los velocistas. \n\n
- Siguió acelerando, superando rápidamente a los demás competidores, sacando una amplia ventaja, que mantuvo hasta el término de la carrera. \n\n
- Se pudo observar una ligera desaceleración en los últimos metros de pista debido a que Bolt ve la pantalla del cronómetro, y comienza a celebrar. \n\n
- Su tiempo de carrera fue de 9,58 segundos y los 10 metros que más rápido recorrió, los hizo en tan sólo 0,81 segundos, que corresponde a una velocidad media de \\(12{,} \\bar{34} \\frac{\\text{m}}{\\text{s}}\\).
- Logra una gran aceleración a partir de un primer impulso explosivo.
- Mantiene esa aceleración constante hasta alcanzar su velocidad máxima.
- Luego lleva su cuerpo al límite para mantener esa velocidad hasta cruzar la meta.
- No desacelera en ningún instante.
- t* es el instante donde deja de acelerar y continúa con una velocidad constante.
- tf es el instante en que el velocista llega a la meta.
- x* = (1/2)· a · t*2, es la distancia que recorrió el velocista hasta el momento en que deja de acelerar.
- La primera derivada de la posición respecto del tiempo es la velocidad. \\[v=\\frac{dx}{dt}\\]
- La segunda derivada de la posición respecto del tiempo es la aceleración.\\[a=\\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\\]
- Cuando \\( a>0 \\) y \\( b>1 \\), la función exponencial \\(f(x)=b^x\\) crece rápidamente a medida que el exponente \\(x\\) aumenta, \\(y\\) disminuye a medida que \\(x\\) se hace cada vez más negativo.
- Cuando \\(a>0\\) y \\( 0<b<1 \\), la función \\(f(x)=b^x\\) disminuye a medida que \\(x\\) crece, acercándose al eje horizontal, y aumenta cuando \\(x\\) se hace negativo.
- Si \\(a<0\\) el crecimiento en los puntos anteriores se invierte, es decir, cuando era creciente pasa a ser decreciente y viceversa.
- Gráfico de una función logística con \\(a=b=c=1\\).
- Gráfico de una función logística con \\(a=2\\), \\(b=7\\), \\(c=1\\).
- ¿Se contagian otras personas de la familia o compañeros? \n
- ¿Qué tan rápido aumentan los contagios?
- ¿Se contagia en algún momento la mayoría de los miembros del grupo?
- ¿Cuál es la temática de la infografía?\n
- ¿Qué información se muestra en el gráfico? Descríbela. \n
- La infografía expone el caso de una población contagiada de gripe.
- Se muestra una representación gráfica sobre los casos acumulados contagiados durante el transcurso de los días.
- Describe el comportamiento de los casos acumulados:
\n- \n
- ¿Aumentan, disminuyen o presentan otro comportamiento durante el transcurso de los días? \n
- ¿Podrías distinguir etapas en la evolución de los contagios? ¿Cuáles? ¿Qué características tienen?\n \n
- ¿Qué ocurre hacia el final del período considerado? \n
\n - ¿Cuál de las funciones que conoces (lineal, cuadrática, exponencial u otra) crees que podría representar de mejor manera el comportamiento de los casos de gripe acumulados?
- En relación a la función que elegiste, ¿cuál(es) crees que es(son) su limitación(es) para representar completamente el comportamiento de esta gripe? \n
- del día 0 hasta el día 20, aproximadamente, el crecimiento es lento,
- luego desde el día 20 al 40, aproximadamente, se produce un crecimiento acelerado, y finalmente,
- desde el día 40 al 60, aproximadamente, lentamente se va estabilizando en un valor fijo. \n
- Si la curva se divide en tres tramos, podrían mencionar que son tres rectas, una constante, otra creciente y otra, constante. \n
- Se puede dividir en dos tramos, cada una asociada a una parábola (primero una cóncava hacia arriba y luego, una cóncava hacia abajo).\n
- En tu clase se proyectará un recurso interactivo que permite explorar gráficamente divisiones de funciones. Para cada nueva gráfica, responde las siguientes preguntas:
- ¿Se asemeja el gráfico a la curva de contagios acumulados?
- ¿En qué aspectos del gráfico te fijaste?
- han analizado posibles modelos matemáticos para describir la propagación de una enfermedad, obtenidos mediante la exploración. Finalmente, se encontró una función que se ajustara a la dinámica real de los datos observados.
- ninguna de las funciones previamente estudiadas representa completamente la gráfica de la propagación de la enfermedad. \n
- Hemos evaluado distintos modelos para describir la propagación de la gripe.\n
- De todas las funciones que hemos probado solo una tiene la forma de los datos de contagios.\n
- En la práctica, resulta complejo encontrar un modelo matemático que describa completamente la gráfica de contagiados.\n
- \\(c > 0\\) corresponde al “valor límite superior\".
- si \\(x = 0\\) se tiene el “valor inicial” \\( \\frac{c}{1+a} \\).
- \\(b > 0\\) se denomina “constante de crecimiento logístico”.
- Luego de un poco de manipulación algebraica, la función logística también se puede reescribir como: \\(f(x) = \\frac{c}{1 + a \\cdot e^{-bx} } \\).
- Para los primeros valores de \\(x\\), tiene similitudes con una función exponencial creciente.
- A medida que la variable \\(x\\) aumenta, el crecimiento de la función se hace “más lento”.
- La función eventualmente alcanza su valor “valor límite superior”, es decir, no crece infinitamente.\n
- Considerando que \\(c=50.000\\) y que en el tiempo \\(x=0\\) días, hay 1 persona con gripe, calcula el valor de \\(a\\).
- Se plantea una ecuación con \\(c = 50.000\\), \\(x=0\\) y la función se iguala a 1. Se despeja el valor de \\(a\\), como se muestra a continuación:
- El crecimiento logístico se utiliza para modelar fenómenos que inicialmente crecen o decrecen de manera exponencial, pero que tienen límites. Por ejemplo, el crecimiento de una población o la propagación de una enfermedad. \n
- La función logística se describe por la ecuación: \\(f(x)=\\frac{c}{1+a \\cdot e^{-bx}}\\), donde b > 0, a > 0 y c > 0.
- Si bien \\(x\\) puede ser cualquier número real, para el caso de los contagios solo basta estudiarlo en un intervalo.\n
- Si bien, la función \\(f(x)\\) puede tomar valores positivos y negativos, en este contexto solo los valores positivos tienen sentido, ya que se están contando el número de infectados.
- Resuelven problemas relacionados con la función logística.\n
- Alicia.
- El Sombrerero.
- Tienen las mismas posibilidades.
- Algunos estudiantes pueden creer que Alicia y el Sombrerero tienen la misma posibilidad de ganar, ya que al escoger las cartas al azar, ambos resultados (cartas de igual color y cartas de distinto color) tienen la misma posibilidad de ocurrir. Esta idea errónea se relaciona con la creencia de que el azar está asociado con la equiprobabilidad.
- Otros estudiantes podrían pensar que Alicia tiene más posibilidades de ganar, ya que de las 3 cartas 2 son rojas. En este razonamiento está implícito la consideración errónea de que el espacio muestral de este experimento está compuesto de 3 resultados correspondientes a cada una de las cartas.
- Otros estudiantes, por su parte, pueden creer que el Sombrerero tiene más posibilidades de ganar, ya que reconocen que hay dos casos en que las dos cartas son de distinto color, y solo un caso en que las dos cartas son de igual color.
- Formen grupos de 2.
- Cada uno debe elegir el personaje que va a representar (Alicia o el Sombrerero).
- Sin mirar, deben sacar dos cartas de la bolsa que les entregó su profesor(a).
- Si las cartas son del mismo color, pinten 1 ficha en la columna de Alicia.
- Si las cartas son de distinto color, pinten 1 ficha en la columna del Sombrerero.
- Repitan lo anterior 10 veces.
- Después de revisar los resultados del juego de todos los grupos, ¿se puede concluir si alguno de los personajes tiene mayor posibilidad de ganar que el otro?
- Con pocas repeticiones del juego, existe mucha variabilidad en los resultados.
- No sabemos si estos resultados indican una tendencia a favor de uno de los personajes o si simplemente los resultados variados se dieron al azar.
- Jugar muchas más veces.
Esto implica más tiempo. - Juntar los resultados de los juegos anteriores.
Esto permite contar con muchos resultados de una sola vez. - No disponemos de información suficiente para afirmar con certeza si el Sombrerero tiene más posibilidades de ganar que Alicia.
- Si la cantidad de datos es lo suficientemente grande, al repetir el juego un número similar de veces, la tendencia a favor del Sombrerero debería mantenerse más o menos constante.
- Los resultados del juego llevaron a Alicia a reflexionar que al parecer los juegos de azar no dependen exclusivamente de la suerte.
- Alicia se dió cuenta que en este juego hay resultados que salen más que \notros, pero no logra entender la razón de que eso ocurra.
- Tarea D: Identificar los casos posibles de un experimento aleatorio.
- Tarea E: Comparar las probabilidades de dos sucesos mediante el análisis de los casos favorables a cada uno.
- Al sacar dos cartas al azar de entre las tres cartas de arriba, ¿cuántos pares de cartas distintos se pueden obtener? Muestra todos los casos posibles. \n
- ¿En cuántos de esos casos gana el Sombrerero? ¿En cuántos de esos casos gana Alicia?\n \n
- ¿Qué puedes concluir de lo anterior respecto a las probabilidades de ganar de Alicia y el Sombrerero? \n
- Al sacar dos cartas al azar de entre las tres cartas dadas, se tienen 3 resultados posibles:
- El Sombrerero gana en 2 casos:
- Alicia gana en 1 caso:
- Dado que de los tres casos posibles, hay dos en los que gana el Sombrerero y uno en el que gana Alicia, se puede afirmar que el Sombrerero tiene el doble de probabilidades de ganar que Alicia. \n
- Mediante el análisis de los casos posibles, comprobamos que los casos favorables al Sombrerero son el doble de los casos favorables a Alicia.
- Esto permite explicar por qué las fichas del Sombrerero tienden a ser el doble de las de Alicia, cuando se repite muchas veces el juego.
- En un juego de azar, es frecuente pensar que todos los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir; sin embargo, esto no siempre es cierto, como sucede en el caso del juego del Sombrerero.
- Después de repetir el juego varias veces, pudimos notar que la frecuencia de aparición de cartas de distinto color (Sombrerero) era aproximadamente el doble que la frecuencia de cartas del mismo color (Alicia).
- Al comparar las frecuencias de los resultados, es posible hacer conjeturas acerca de sus probabilidades. En este caso, las frecuencias sugerían que la probabilidad de que el Sombrerero ganara era el doble de la probabilidad de que ganara Alicia.
- Para comprobar la veracidad de la conjetura basada en el análisis de las frecuencias de los resultados, es fundamental determinar y comparar los posibles casos del juego.
- Al diferenciar las cartas del mismo color, logramos identificar todos los posibles casos que podrían ocurrir al sacar dos cartas al azar del sombrero que contenía 2 cartas rojas y 1 azul.
- Al comparar el número de casos favorables al Sombrerero con los de Alicia, llegamos a la conclusión de que la probabilidad de que el Sombrerero gane es el doble que la de Alicia.
- Resuelven problemas relacionados con un juego de azar y sus resultados posibles.
- Argumentan sus respuestas, diferenciando los casos favorables.
- Comparar las frecuencias absolutas de ocurrencia de estos sucesos después de realizar un gran número de repeticiones del experimento aleatorio.
- Determinar y comparar el número de casos posibles del experimento aleatorio, que son favorables a cada suceso.
- Utilizar las frecuencias absolutas para hacer una conjetura sobre cuál resultado tiene más probabilidades de ocurrir.
- Identificar y comparar el número de casos favorables a cada suceso para comprobar dicha conjetura.
- Seno: la razón entre la longitud del cateto opuesto a α y la longitud de la\nhipotenusa. \n
- Coseno: la razón entre la longitud del cateto adyacente al ángulo α y la\nlongitud de la hipotenusa. \n
- Tangente: la razón entre la longitud del cateto opuesto al ángulo α y la\nlongitud de su cateto adyacente . \n
- Unidad astronómica: se define como la distancia media entre la Tierra y el\nSol, y corresponde a aproximadamente 1,5 · 108 kilómetros.
- Año luz: es una medida de distancia, no de tiempo. Corresponde a la distancia\nque recorre la luz en el vacío durante un año. Dado que la luz recorre\n300.000 km en un segundo, un año luz corresponde\naproximadamente a 9,46· 1012km\nPara imaginar a cuánto\nequivale esa distancia, considere que la Luna se encuentra a un segundo luz de\nla Tierra, y el Sol a ocho minutos luz, aproximadamente.\n \n
- ¿Por qué el lápiz parece cambiar de posición cuando hacemos el ejercicio de cerrar un ojo y luego el otro? \n
- ¿Por qué la estrella parece cambiar de posición cuando se observa desde dos posiciones distintas de la órbita terrestre? \n
- ¿Qué es el paralaje? \n\n
- Al cambiar el punto de vista de un ojo a otro, la línea de visión cambia, lo que aparenta un cambio de posición en el lápiz respecto del fondo. \n
- El mismo fenómeno anterior ocurre cuando observamos una estrella desde distintas posiciones en la órbita de la Tierra. \n
- Es el cambio en la posición aparente de un objeto en función del punto de vista. \n
- Para medir el desplazamiento aparente de la estrella se utilizan observaciones separadas por 6 meses, esperando así maximizar el movimiento aparente. \n
- Para decidir en qué momentos del año conviene hacer estas observaciones, exploraremos la geometría del problema a través del siguiente recurso Geogebra: \n
- ¿Qué representan los puntos T y T’? \n
- ¿Qué representa el largo del segmento punteado que une el punto T y E ? ¿Y el segmento punteado que une el punto T' con E?\n \n
- Representan dos posiciones de la Tierra en su órbita en torno al Sol, separadas por 6 meses de diferencia \n
- Representa la distancia entre la estrella de interés y la posición T de la Tierra. Lo mismo con el largo del segmento que une los punto T' y E \n
- ¿Entre qué valores varía el ángulo de paralaje? \n
- ¿Cuál es el valor máximo?¿Cuál es el valor mínimo? \n\n
- ¿Qué ocurre con las distancias desde T’ a E y desde T a E cuando el ángulo de paralaje es máximo? \n
- ¿Qué tipo de triángulo forman las posiciones de la Tierra, T y T’, junto con la posición E de la estrella, cuando el ángulo de paralaje es máximo? \n
- Son aproximadamente iguales.
- Pareciera formar un triángulo isósceles.
- Al observar una estrella desde distintas posiciones de la Tierra, esta parece moverse respecto al fondo cósmico. \n\n
- Para medir este movimiento aparente, consideramos en principio, posiciones de la Tierra lo más separadas en tiempo posible (6 meses) pues de esta manera se tiene un desplazamiento aparente mayor y más fácil de medir. \n\n
- Las posiciones de la Tierra y la estrella definen un ángulo, llamado de paralaje, cuyo valor cambia según el par de posiciones de la Tierra que consideremos. \n \n
- Este ángulo tiene un máximo, y por tanto, conviene estudiar el movimiento aparente de la estrella en este caso, pues es más fácil de medir. \n\n
- Este trabajo nos permitió formular un modelo matemático, que corresponde a un triángulo isósceles definido por las posiciones de la Tierra en que se hacen las observaciones y la estrella. Este modelo nos permitirá calcular la distancia de la Tierra a la estrella. \n\n\n
- Unidad Astronómica \\(\\approx1{,}5\\cdot10^8\\,\\text{km}\\) \n
- Año luz \\(\\approx 9{,}46\\cdot10^{12}\\,\\text{km}\\)\n \n
- ¿Qué razón trigonométrica usaron para responder la pregunta 2? ¿Por qué?
- ¿Qué razón trigonométrica usaron para responder la pregunta 3? ¿Por qué?
- El paralaje estelar es el aparente cambio de posición de una estrella en el cielo cuando\nesta se observa desde dos puntos diferentes en la órbita de la Tierra. Se utiliza para\ndeterminar la distancia a estrellas cercanas midiendo el desplazamiento angular.\n
- Cuanto mayor sea el ángulo de paralaje, más cercana está la estrella de la Tierra.
- La trigonometría puede ser utilizada para calcular distancias astronómicas mediante\nparalaje. En esta actividad utilizamos las razones trigonométricas seno y tangente del\nángulo de paralaje para el cálculo de las distancias desconocidas, para esto fue clave\nutilizar esquemas como el siguiente:\n
- Resuelven problemas de la vida cotidiana, de geometría y de ciencias naturales, aplicando las\nrazones trigonométricas.\n
- What is pool testing?
Why is it necessary to divide each individual sample into two? What advantage does pool testing have over individual sample analysis? - \n
How many individual tests must be performed to detect samples with the presence of the antibody? How many tests in total should be performed in this situation to identify those that are positive? \n- a) ¿Qué valores puede tomar la variable X? \n
- b) ¿Por qué X es una variable aleatoria? \n
- c) Expresa en términos matemáticos la probabilidad correspondiente a la pregunta del problema. \n
- What values can the variable X take? \n
- Why is X a random variable? \n
- Express in mathematical terms the probability corresponding to the problem question.
- a) La variable aleatoria X puede tomar valores enteros entre 0 y 10. \n
- b) Dado que no es posible saber a priori la cantidad de muestras individuales positivas que tendrá cada grupo, X es una variable aleatoria. \n
- c) La probabilidad buscada es \\( \\textrm{P}( X \\geq 1) \\). \n
- The random variable X can take integer values between 0 and 10. \n
- Since it is impossible to know a priori the number of positive individual samples each group will have, \\(X\\) is a random variable. \n
- The desired probability is \\( \\textrm{P}( X \\geq 1) \\). \n
- The range of values that can take, for example: in this situation X takes the integer values between 0 and 10, although we do not know in advance which of them it will take. \n
- The probability of taking each of the values in that range. \n
- El rango de valores que puede tomar, por ejemplo, en esta situación X toma los valores enteros entre 0 y 10, aunque no sabemos de antemano cuál de ellos va a tomar. \n
- La probabilidad de tomar cada uno de los valores en dicho rango. \n
- What does X=0 and X=10 represent? \n
- How do you represent the probability that there is exactly one positive sample in a group? \n
- ¿Qué representa X=0 y X=10? \n
- ¿Cómo se representa la probabilidad de que haya exactamente una muestra positiva en un grupo? \n
- ¿Qué es lo que entendemos por un experimento repetido en esta situación? \n
- ¿Cuántos resultados son posibles en cada experimento y cuáles son estos? \n
- ¿Qué representarías como éxito y fracaso en este experimento? \n
- ¿Cuáles son las probabilidades de éxito y fracaso en este experimento? \n
- What do we mean by a repeated experiment in this situation? \n
- How many outcomes are possible in each experiment, and what are these? \n
- What would you represent as success and failure in this experiment? \n
- What are the probabilities of success and failure in this experiment?
- p = “probability that an individual sample will test positive” \n
- q = 1 - p = “probability that an individual sample will be negative” \n
- p = “probabilidad de que una muestra individual dé positiva” \n
- q = 1 - p = “probabilidad de que una muestra individual dé negativa” \n
- What does it mean for experiments to be independent of each other? \n
- Is it reasonable to assume that an athlete's use or non-use of steroids is not affected by the use of other athletes?
- ¿Qué significa que los experimentos sean independientes entre sí? \n
- ¿Es razonable asumir que el uso o no de esteroides por un atleta no se ve afectado por el uso de otros deportistas? \n\n\n\n
- ¿Es razonable asumir que la probabilidad de que una muestra dé positivo a esteroides es la misma para cada uno de los atletas? \n
- Is it reasonable to assume that the probability of a sample testing positive for steroids is the same for each athlete? \n
- ¿Qué probabilidad hay de que una muestra combinada dé positiva?\n\n \n
- ¿Qué probabilidad hay de que haya más de una persona que haya usado esteroides en una muestra combinada que dio positiva? \n\n
- What is the probability that a combined sample will test positive? \n
- What is the probability that there will be more than one person who used steroids in a combined sample who tested positive?
- We use the complement property to establish that \\[\\textrm{P}(X \\geq 1) = 1 - \\textrm{P}(X=0)\\] As \\[\\textrm{P}(X=0) = {10 \\choose 0} \\cdot 0{,}006^0 \\cdot 0.994^{10} \\approx 0{,}94\\] Then, \\[\\textrm{P}(X \\geq 1) \\approx 0{,}06 = 6 \\%\\]. \n
- Similarly, we calculate that: \\[ \\textrm{P}(X>1) = 1- \\textrm{P}(X=0)-\\textrm{P}(X=1)\\] \\[\\textrm{P}(X>1) = 1-0.994^{10} - {10 \\choose 1} \\cdot 0{,}006^1 \\cdot 0.994^{9} \\approx 0{,}16 \\%\n\\]
- El pool testing es una estrategia que permite analizar muestras en grupos, reduciendo así la cantidad de testeos. Es particularmente útil cuando se requiere analizar de manera rápida un gran volumen de muestras. \n\n
- Para modelar una situación mediante la distribución binomial se debe verificar que se cumplan ciertos supuestos. Estos son: que cada experimento solo tenga dos posibles resultados complementarios, que los experimentos sean independientes entre sí y que la probabilidad de éxito sea la misma en cada experimento. \n\n
- Analizar los supuestos detrás del uso de un modelo matemático permite comprender mejor la situación e interpretar mejor las soluciones del problema. \n\n
- La variable aleatoria X definida como “el número de éxitos obtenidos en n experimentos”, donde cada experimento es independiente de los otros y tiene probabilidad de éxito igual a p, se distribuye como una binomial de parámetros n y p. Esto se denota usualmente como \n
- Pool testing is a strategy that allows samples to be analyzed in groups, thus reducing the number of tests. It is beneficial when a large volume of samples needs to be analyzed quickly. \n
- To model a situation using the binomial distribution, it must be verified that certain assumptions are met. These are: that each experiment only has two possible complementary results, that the experiments are independent of each other, and that the probability of success is the same in each experiment. \n
- Analyzing the assumptions behind the use of a mathematical model allows us to better understand the situation and better interpret the solutions to the problem. \n
- The random variable X defined as “the number of successes obtained in n experiments”, where each experiment is independent of the others and has a probability of success equal to p, is distributed as a binomial of parameters n and p. This is usually denoted as \n
- When X corresponds to a binomial of parameters n and p, it can take the integer values between 0 and n. The probability of obtaining X=k successes is calculated by the formula:
- Cuando X corresponde a una binomial de parámetros n y p , puede tomar los valores enteros entre 0 y n. La probabilidad de obtener X=k éxitos se calcula por medio de la fórmula:
- Argumentan cuándo se puede modelar una situación o fenómeno con una distribución binomial o normal. \n
- Modelan fenómenos o situaciones cotidianas, científicas y sociales mediante distribuciones binomiales y normales.
- They argue when a situation or phenomenon can be modeled with a binomial or normal distribution. \n
- They model everyday, scientific and social phenomena or situations using binomial and normal distributions.
- Each experiment is Bernoulli type.\n
Each experiment has only two possible outcomes, often called success and failure.\n - The experiments must be independent of each other.\n
This means that the outcome of a particular experiment does not condition the outcomes of subsequent or previous experiments.\n - The probability of success is the same in each experiment.
The probability of success, denoted as p, remains the same in each random experiment. This value is the other parameter of the binomial distribution.\n - Cada experimento es de tipo Bernoulli.\n
En cada experimento hay solo dos posibles resultados, a menudo etiquetados como éxito y fracaso.\n - Los experimentos deben ser independientes entre sí. \n
Esto significa que el resultado de un experimento particular no condiciona los resultados de los experimentos posteriores ni de los anteriores.\n - La probabilidad de éxito es la misma en cada experimento.
La probabilidad de éxito, denotada como p, se mantiene igual en cada experimento aleatorio. Este valor es el otro parámetro de la distribución binomial.\n - ¿Qué información se representa en los gráficos de la infografía?
- A partir del ejemplo de la infografía, ¿entre qué días hay mayor aumento de contagios: entre los días 116 y 118, o entre los días 122 y 124?
- En el gráfico mostrado en la tercera página de la infografía, ¿qué representa en general la pendiente de la recta marcada en rojo en términos de este contexto?
- La información representada en los gráficos corresponde a los contagios acumulados a medida del paso de los días.
- Hay mayor aumento de contagios entre los días 122 y 124 ya que, la pendiente de la recta es mayor. De hecho, entre los días 122 y 124, el aumento de los contagios es alrededor de 60/2=30 por día, mientras que entre los días 116 y 118, el aumento es alrededor de de 120/2=60 por día.
- En este contexto, la pendiente representa el aumento de los contagios por día, o en otros términos, la velocidad de aumento de los contagios.
- ¿Qué concepto matemático te recuerda la recta de color rojo proyectada en la tercera imagen?
- ¿Y la pendiente de dicha recta?
- En tu clase se proyectará un recurso que en cada punto de la función logística, grafica la recta tangente en ese punto y el valor de la derivada. Utilizando esto responde a las siguientes preguntas.
- ¿Cuál es la velocidad de contagio el día 78?
- ¿En qué momentos la velocidad de contagios es pequeña?
- Describe con tus palabras cómo cambia el valor de la velocidad de contagio que se muestra en el recurso. ¿Puedes identificar algunas etapas en el transcurso de los días?
- La velocidad es de 17,64 \\( \\text{contagios}/\\text{día}\\).
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/inflexion%20enfermedad%20infecciosa/imgs/hoja-sol-1a.png\")
- Para los primeros días y para los últimos se puede notar que la velocidad de contagio tiene valores pequeños.
- La idea es que identifiquen al menos dos etapas: primero la velocidad crece hasta un punto, y segundo, la velocidad decrece.
- La velocidad aumenta hasta llegar a un máximo.
- Luego, la velocidad disminuye.
- Describe con tus palabras lo que entiendes por “punto de inflexión” en este contexto.
- Utilizando el recurso anterior ¿cuál es aproximadamente la velocidad máxima de contagio que alcanza y en qué día aproximado ocurre esto?\n
- En el gráfico de la función logística, marca donde se encuentra aproximadamente el punto de inflexión de la epidemia.
- En este contexto, se definió el punto de inflexión como el “punto más álgido” en cuanto a los contagios nuevos, o equivalentemente al de “mayor o máxima velocidad de contagio”. Pueden decir también que es el momento hasta el cual la velocidad de contagio aumenta, y a partir del cual la velocidad comienza a disminuir.
- La velocidad aproximada es de unos 84 contagios por día, y ocurre alrededor del día 192.\n
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/inflexion%20enfermedad%20infecciosa/imgs/solucionario%20hoja%20de%20act%203%20y%204.png\")
\n - En la imagen arriba, se marca en azul donde se encuentra aproximadamente el punto de inflexión.
- ¿Qué criterios matemáticos se pueden utilizar para determinar en qué punto una función alcanza un máximo?
- ¿Cómo aplicarías estos criterios a la función derivada C’(x)?
- Considerando la expresión de C’’(x), determina el valor de x, para el cual la segunda derivada de los contagios es nula, es decir, C’’(x)=0.
- Con lo anterior, responde la pregunta principal de esta actividad: ¿en qué día ocurre el punto de inflexión de la epidemia?
- Al resolver la ecuación C’’(x)=0, dado que todo lo que está a la derecha es no nulo, vemos que equivale a resolver que lo que está en paréntesis a la derecha sea cero: \\[1-120e^{-0{,}025x}=0\\]
Despejando, obtenemos: \\[x=\\frac{\\ln(120)}{0{,}025}\\] - El punto de inflexión ocurre efectivamente en el día \\(x\\) donde: \\[x=\\frac{\\ln(120)}{0{,}025} \\approx 192\\].
- \\[ C(x) = - \\frac{13500}{1+120e^{-0{,}025x}}\\]
- \\[C’(x) = \\frac{40500e^{-0{,}025x}}{(1+120e^{-0{,}025x})^2} \\]
- ¿Cuál es la velocidad y número de contagios en el punto de inflexión?
- Para resolver rápidamente esta pregunta, se puede notar que en el punto de inflexión x* se satisface \\[1-120e^{-0{,}025x^{*}}=0\\], es decir, \\[120e^{-0{,}025x^{*}}=1.\\]Por lo tanto,
- El número de contagios acumulados es \\[ C(x^{*}) = \\frac{13500}{1+120e^{-0{,}025x^{*}}} =\\frac{13500}{1+1} = 6750 \\text{ contagios} \\]
- La velocidad de contagio es \\[ C’(x^{*}) = \\frac{40500e^{-0{,}025x^{*}}}{(1+120e^{-0{,}025x^{*}})^2} = \\frac{40500\\cdot \\frac{1}{120}}{(1+1)^2} = 84{,}375 \\text{ contagios}/\\text{día}\\]
- Un modelo utilizado en el contexto de enfermedades contagiosas es el logístico, donde los contagios acumulados están modelados por la función logística: \\[ C(x) = \\frac{c}{1+ae^{-bx}} \\]
Los valores de \\(a\\), \\(b\\) y \\(c\\) se determinan dependiendo de la población y del comportamiento de la enfermedad. - En la situación que abordamos, el momento en el que la velocidad de contagios alcanza un máximo, que llamamos punto de inflexión, se produce cuando la segunda derivada de los contagios es nula, es decir, C’’(x)=0.
- En general un punto de inflexión de una función C(x) ocurre cuando la velocidad C’(x) alcanza un máximo, pero también puede ser un mínimo.
- Una propiedad general de funciones que se pueden derivar varias veces es que si x es un punto de inflexión, entonces C’’(x)=0.
- Utilizan la función logística para modelar una situación de crecimiento de población.\n
- Interpretan las derivadas, primera y segunda, en el contexto.
- Identifican el punto de inflexión de la función logística a partir de las derivadas, primera y segunda.
- Calculan algebraicamente la velocidad máxima de crecimiento de la población.
- Si f’≥ 0 en I, entonces f es creciente en I. Si además f’>0 en I, entonces f es estrictamente creciente en I. \n
- Si f’≤ 0 en I, entonces f es decreciente en I. Si además f’<0 en I, entonces f es estrictamente decreciente en I. \n
- f’ es estrictamente creciente en (c,x) y estrictamente decreciente en (x,d)
- f’ es estrictamente decreciente en (c,x) y estrictamente creciente en (x,d).
- f’’(x)=0 y f’’>0 en (c,x) y f’’< 0 en (x,d)
- f’’(x)=0 y f’’<0 en (c,x) y f’’> 0 en (x,d)
- Para la función f(x)=x 2, x=0, es un punto crítico pero no es un punto de inflexión.
- Para la función f(x)=x 3, x=0 es a la vez punto de inflexión y punto crítico.\n
- Para la función f(x)=x+x 3, x=0 es un punto de inflexión pero no es punto crítico.
- La recolección de datos en problemas de este tipo, permiten de manera natural considerar los días de manera discreta, es decir, números naturales que representan esta variable. Sin embargo, para modelar se considera una función de dominio real que nos entrega información de la propagación de la pandemia para valores reales, los que se pueden interpretar como la cantidad de contagiados en cada instante de tiempo en el transcurso de un día.
Por lo expuesto anteriormente, utilizamos el término “aproximadamente” para referirnos a la pendiente de C(x), ya que es \"aproximadamente el número de contagios diarios”. - Hemos optado por no incluir gráficos de la función derivada en el desarrollo de la situación para evitar posibles confusiones con la función principal. Sin embargo, si lo estima conveniente, utilice la gráfica de la función derivada para apoyar visualmente el trabajo asociado a la búsqueda del valor máximo buscado. A continuación se presenta el gráfico de la función principal C(x) y su derivada C’(x).
- Para simplificar la terminología matemática, definimos “punto de inflexión” a partir de la caracterización de la derivada, mientras que usualmente se hace a partir de la convexidad de la curva. Puede considerar una siguiente clase en la que pueda avanzar en la construcción más general del “punto de inflexión”, asociándolo a los mínimos o máximos de la derivada, es decir, cuando la segunda derivada es nula. Esto también, se puede vincular con el análisis de los signos de la primera derivada.
- En la sistematización de esta situación se indica una propiedad general de las funciones: Si x0 es un punto de inflexión entonces C’’(x0 )=0. \n
- En general, esto no es siempre suficiente, pues además debe ocurrir que la concavidad cambie de sentido en ese punto.
- En este caso efectivamente ocurre, si vemos que en ese punto la función cambia de estar abierta hacia arriba a estar abierta hacia abajo. Aquí la motivación fue más bien la de caracterizar y determinar el punto de inflexión matemáticamente.
- Esta propiedad se enuncia de manera general, pero no se hace explícita la extensión a otras funciones. Por esto, es recomendable que los estudiantes tengan la oportunidad de trabajar con ello en otro momento.
- ¿Dónde se ubica Rapa Nui?\n
- ¿Cuál es el propósito de que exista un área protegida marina alrededor de la Isla?
- ¿Por qué se le denomina “de múltiples usos”? ¿Cuán grande será? \n
- ¿El resultado del área que obtuvieron fue cercano a 700 mil \\(km^2\\)?
- \n¿La aproximación con el rectángulo fue acorde? fundamenta\n
- Una escala en un mapa es una relación matemática que se establece entre las dimensiones del mundo real y las representadas en el mapa. La escala permite entender cómo se relacionan las distancias en el mapa con las distancias en el terreno real.
- \nLa escala se puede expresar de varias maneras, por ejemplo, si en un mapa la escala es 1 : 10 000, significa que una unidad de medida en el mapa representa 10 000 unidades equivalentes en la realidad.\n\n
- Las escalas son esenciales para interpretar y utilizar mapas de manera precisa, ya que permiten estimar y calcular distancias, dimensiones y relaciones espaciales con base en las proporciones establecidas.\nPara representar el área de Rapa Nui utilizamos la escala gráfica que interpretamos como 1 cm : 2 Km y obtuvimos un área de 162 \\(km^2\\) .
- Para representar el área marina protegida, que corresponde a una superficie bastante más grande, utilizamos la escala 3 cm : 360 km y obtuvimos un área de 712 800 \\(km^2\\), muy cercana al área total real de la zona marina protegida. Además, esta área equivale en extensión a casi toda la superficie de Chile Continental. \n\n
- \n\nAplican propiedades de semejanza y de proporcionalidad a modelos a escala \n
- Podemos dividir los 10 datos en dos grupos de 5 datos cada uno. De esta forma, podemos considerar Q2 como el promedio de los datos de las posiciones 5 y 6.
- Si consideramos la primera mitad que contiene 5 datos, el elemento central es el dato de la posición 3, por lo que podemos tomar a este valor como Q1. De manera análoga, podemos definir Q3 como el dato de la posición 8.
- Q2 es el promedio de los datos de las posiciones 5 y 6,es decir, \\[Q_2 = \\frac{5 + 5}{2} = 5\\].
- Q1 es el dato de la posición 3, esto es Q1=4.\n
- Q3 es el dato de la posición 8, esto es Q3=12
- Determinar el valor k, que corresponde al 25% del número de datos.
- Dependiendo de k, se tienen dos casos:
- Caso 1: Si k es un número entero, Q1 es el promedio de los datos en las posiciones k y (k + 1).
- Caso 2: Si k no es un número entero, entonces Q1 es el dato en la posición que corresponde al entero inmediatamente superior a k.
- El 25% de 10 datos es k=2,5.
- Puesto que, \\(k=2{,}5\\) no es entero, estamos en el caso 2. Por tanto, Q1 es el dato en la posición del entero inmediatamente superior a 2,5, es decir el dato que está en la posición 3, cuyo valor es Q1 = 4.
- El primer cuartil Q1 es un valor tal que, al menos el 25% de las observaciones son menores o iguales que él y al menos el 75% son mayores o iguales que él.
- El segundo cuartil Q2 es un valor tal que, al menos el 50% de las observaciones son menores o iguales que él y al menos el 50% son mayores o iguales que él.
- El tercer cuartil Q3 es un valor tal que, al menos el 75% de las observaciones son menores o iguales que él y al menos el 25% son mayores o iguales que él.
- ¿Qué cosas sabían sobre las olas de calor?, ¿han experimentado alguna?
- \n¿Cuándo se puede afirmar que estamos experimentando una ola de calor?
- De acuerdo a la infografía, ¿qué puede estar sucediendo con las olas de calor en la zona centro-sur de Chile?\n
- ¿Cuántas olas de calor hubo en la temporada 1996-1997?\n
- ¿En qué temporada hubo la menor cantidad de olas de calor?, ¿cuántas fueron?\n
- ¿En qué temporada hubo la mayor cantidad de olas de calor?, ¿cuántas fueron?
- ¿En qué décadas están ubicadas las 5 temporadas con mayor número de olas de calor?
- \n¿Cómo han variado las olas de calor en el tiempo?, ¿en qué aspecto del gráfico se puede reconocer esta variación?
- \n¿Las olas de calor han aumentado en el tiempo?, ¿Cómo se puede distinguir ese aumento en el gráfico?\n
- \nEn la temporada 1996-1997 hubo 14 olas de calor.\n
- En las temporadas 1984-1985, 1989-1990 y 2007-2008 hubo 3 olas de calor, la menor cantidad registrada en las últimas décadas.\n
- La temporada 2017-2018 tuvo la mayor cantidad de olas de calor, con 50.\n
- En 4 temporadas de la década de los 2010 y 1 de la década de los 2000 se registraron las 5 temporadas con mayor número de olas de calor.
- \nLas olas de calor varían mucho de año a año, lo que se puede observar en las constantes subidas y bajadas de los gráficos, muchas veces en años consecutivos.\n
- A pesar de esta variabilidad en el tiempo, se puede ver en el gráfico de líneas y de barras que las olas de calor han aumentado con el paso de los años.\n
- \n\n¿Cuál es el mínimo y el máximo? ¿Cómo se interpretan en este contexto?\n
- \n¿Cuál es el valor de cada cuartil? ¿Cómo se interpretan en este contexto?\n
- \n¿Qué podemos decir respecto de las olas de calor de la década de 1980, considerando la forma del diagrama de cajón?\n
- En esta década, hubo un mínimo de tres olas de calor por temporada y un máximo de 18.
- El valor del cuartil 1 indica que, en la década del 1980, aproximadamente el 25% de las temporadas hubo menos de 4 olas de calor.
- \nDe forma equivalente, aproximadamente el 75% de las temporadas de esta década superaron las 4 olas de calor.
- \nEl segundo cuartil, /(Q_2/) coincide con la mediana y corresponde al valor 5, es decir, en la década del 1980, aproximadamente el 50% de las temporadas hubo menos de 5 olas de calor.\n
- De manera análoga, el tercer cuartil, /(Q_3/), se interpreta como que en esta década, aproximadamente el 75% de las temporadas hubo menos de 12 olas de calor.\n
- Además del valor de los cuartiles, los diagramas de cajón entregan información cualitativa sobre un conjunto de datos.
- \nEn este caso podemos observar que:
- \n\n\nLa distancia entre el tercer cuartil (\\(Q_3\\)) y el máximo es grande (12 a 18), lo que indica una dispersión significativa en los valores más altos. Algunas temporadas tuvieron un número sustancialmente mayor de olas de calor.\n
- La distancia entre el primer cuartil (\\(Q_1\\)) y el mínimo es pequeña. Esto permite concluir que aproximadamente la mitad de las temporadas en la década de 1980 tuvieron un número moderado de olas de calor (alrededor de 5). \n\n
- Ordenar los datos de menor a mayor.
- Determina el valor del primer, segundo y tercer cuartil, además del valor mínimo y máximo para cada una de estas décadas y completa la tabla.
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/olas%20de%20calor/imgs/tabla%202.png\")
- Dibuja el diagrama de cajón correspondiente a cada década en la parte superior de los gráficos anteriores.
- Dibuja el diagrama de cajón correspondiente a cada década en la parte superior de los gráficos anteriores.
- A partir de los diagramas de cajón de las olas de calor, describe comparaciones entre cada década.
- En las últimas dos décadas la cantidad de olas de calor es mucho más variable que en las primeras dos décadas, lo que se puede notar por la extensión de sus diagramas.
- El primer cuartil de la década del 2010 es mayor al valor máximo de la década de 1980, es decir, una temporada con una cantidad de olas de calor que está ubicado en el 25% más bajo de la década del 2010 podría ser superior a la cantidad de olas de calor que hubo en cualquier temporada de la década del 1980.
- Además de que el valor máximo de olas de calor por década ha ido aumentando, este aumento también es notorio en los diagramas, donde vemos que las cajas van subiendo cada vez más, siendo más evidente el caso de la última década.
- Los diagramas de cajón permiten ver que las olas de calor efectivamente han aumentado con el paso del tiempo. Esta tendencia se hace evidente al observar cómo los diagramas están progresivamente desplazados hacia arriba en el gráfico.
- De todas maneras, hay que ser cuidadoso con las conclusiones extraídas a partir de estos datos, considerando que la información mostrada está limitada a las últimas 4 décadas. Si dispusiéramos de una mayor cantidad de datos, por ejemplo, desde 1900 en adelante, puede que las conclusiones cambien, o refuercen lo visto en estas 4 décadas.
- Los cuartiles son tres valores que dividen un conjunto de datos, ordenados de menor a mayor, en cuatro grupos, donde cada uno de ellos contiene, aproximadamente, el 25% de los datos.\n
- \n\nLos diagramas de cajón son representaciones gráficas de la distribución de un conjunto de datos, y que esta representación está basada en cinco medidas de resumen: el mínimo, el máximo y los cuartiles \\(Q_1\\), \\(Q_2\\) y \\(Q_3\\)\n
- El rectángulo que va desde \\(Q_1\\) hasta \\(Q_3\\) se denomina “cajón”, mientras que las líneas en los extremos se conocen como “bigotes”.\n
- Los diagramas de cajón son una herramienta gráfica para representar la distribución y resumir estadísticas clave de un conjunto de datos. En el contexto de esta situación, permite comparar la distribución de la cantidad de olas de calor por temporada entre cada década y la tendencia con el paso del tiempo.
- Resuelven problemas relacionados con aplicar el cálculo de cuartiles y representar datos usando diagramas de cajón.\n
- Comparan dos distribuciones de datos usando diagramas de cajón.\n\n\n
- ¿Cómo funciona la rueda London Eye? \n \n
- ¿Cuál es su altura? ¿Cuánto tiempo tarda en dar una vuelta completa? \n \n
- A partir de la Infografía, realiza un esquema para representar los datos de la rueda London Eye. Incluye el radio de la rueda y su medida.
- La rueda será modelada a través de una circunferencia de \\(60\\) metros de radio. \n
- La dimensión de la cabina será despreciable, es decir, se optará por tratarla como un punto de la circunferencia. Esta consideración permite abordar el problema de una manera más simple, prescindiendo de las complejidades que podrían surgir al tener en cuenta las dimensiones físicas de la cabina.\n \n
- En el modelamiento se trabajará con una cabina que en el tiempo inicial se encuentra ubicada en el punto más bajo de la rueda. \n \n
- Responde las siguientes preguntas considerando solo una vuelta de la rueda:
- ¿Cuánto tiempo ha transcurrido si la cabina se encuentra en la altura máxima de la rueda?\n \n
- ¿Cuál es la altura en la que se encuentra una cabina si ha transcurrido la cuarta parte del tiempo en el cual la rueda completa una vuelta? ¿Hay otro tiempo en que la cabina se encuentre a esa misma altura?
- Basándote en las alturas que ya conoces para ciertos tiempos transcurridos, realiza un gráfico que represente la relación entre el tiempo y la altura de la cabina para dos vueltas completas de la rueda.
- ¿Cuál es el ángulo \\(\\alpha\\) formado entre el radio que conecta el centro con la posición de la cabina y el radio que se dirige al punto más bajo de la rueda? Exprésalo en radianes y en términos del tiempo \\(t\\).
- La rueda da una vuelta cada \\(30\\) minutos, es decir, \\(\\frac{1}{30}\\) de vuelta por minuto. Además, una vuelta equivale a \\(2\\pi\\,\\mathrm{rad}\\), por lo que la rueda avanza \\(\\frac{2\\pi}{30} \\mathrm{rad/min}\\). Así el ángulo \\(\\alpha\\) transcurridos \\(t\\) minutos es \\( \\frac{2\\pi \\cdot t}{30} \\, \\mathrm{rad}\\).
- En el triángulo celeste dibujado en el esquema, ¿cuál es la medida del cateto vertical en términos de \\(h\\)?
- Considerando el esquema que se muestra, plantea una razón trigonométrica que te permita calcular la altura \\(h\\) en función del ángulo \\(\\alpha\\).
- Despejen \\(h\\) en función de \\(\\alpha\\).
- Reemplacen el valor del ángulo \\(\\alpha\\) en función del tiempo \\(t\\) para determinar \\(h(t)\\).\n
- Responde las siguientes preguntas e interpreta los resultados: \n
- ¿Qué tan alto estará la cabina después de \\(10\\) minutos desde que pasó por el punto más bajo de la rueda? \n
- ¿En qué tiempos la cabina se encuentra a \\(80\\) metros de altura? \n
- Después de \\(10\\) minutos desde que pasó por el punto más bajo, la cabina se encontrará a una altura de \\(105\\) metros. \n
- Se debe resolver la ecuación \\(80 = 75 - 60 \\cdot \\cos \\left (\\frac{2\\pi\\cdot t}{30} \\right )\\), cuyas soluciones son \\(7{,}9\\) y \\(22{,}1\\) minutos. \n
- A los \\(10\\) minutos, la altura de la cabina será \\(h(10)\\), esto es:\n$$\nh(10) = 75 - 60 \\cdot \\cos \\left (\\frac{2\\pi\\cdot 10}{30} \\right )\\\\\n= 75 - 60 \\cdot \\cos \\left (\\frac{2\\pi}{3} \\right )\\\\\n= 75 - 60 \\cdot \\left (-\\frac{1}{2} \\right )\\\\\n= 105\\,\\text{m}\\\\\n$$\nDespués de \\(10\\) minutos desde que pasó por el punto más bajo, la cabina se encontrará a una altura de \\(105\\) metros.\n \n
- En este caso, se sabe que \\(h(t)=80\\), por lo que se tiene que: \\[ 80 = 75 - 60 \\cdot \\cos \\left (\\frac{2\\pi\\cdot t}{30} \\right )\\] \\[60 \\cdot \\cos \\left (\\frac{2\\pi\\cdot t}{30} \\right )=75-80\\] \\[\\cos \\left (\\frac{2\\pi\\cdot t}{30} \\right )=\\frac{75-80}{60}\\] \\[\\cos \\left (\\frac{2\\pi\\cdot t}{30} \\right )=-\\frac{1}{12}\\] Para despejar el valor de \\(t\\) de la ecuación anterior se puede aplicar \\(\\mathrm{arcocoseno}\\) a ambos lados de la igualdad, obteniéndose lo siguiente: \\[ \\frac{2\\pi\\cdot t}{30}= \\mathrm{arcocoseno}\\left( -\\frac{1}{12} \\right)\\] \\[\\frac{2\\pi\\cdot t}{30}= 1{,}654\\] Notemos que si bien el ángulo \\(1{,}654\\,\\mathrm{rad}\\) es solución, también lo es el ángulo \\(\\left(2\\pi-1{,}654\\right)\\,\\mathrm{rad}\\), pues el valor de la función coseno cumple con que \\(\\cos(\\alpha)=\\cos(2 \\pi -\\alpha)\\). Puede explorar esta identidad discutiendo con sus estudiantes el siguiente diagrama. \n
- Las funciones trigonométricas permiten modelar fenómenos oscilatorios como el movimiento de las mareas, el comportamiento de péndulos y resortes o la descripción de señales eléctricas de naturaleza periódica. En esta actividad se utilizaron para modelar un movimiento circular.\n \n
- A diferencia de lo que suele ocurrir con las ecuaciones lineales o cuadráticas, las ecuaciones trigonométricas suelen admitir infinitas soluciones. Esto se debe a que este tipo de funciones modelan patrones cíclicos, por lo que las soluciones se repiten en intervalos de periodos constantes.\n \n
- En el caso de nuestra actividad, la función que modelaba la altura a la que va una cápsula de la rueda London Eye de acuerdo al tiempo transcurrido involucró la función coseno. \n
- Interpretan información, utilizando modelos que involucran funciones potencia y trigonométricas para deducir resultados.\n \n
- Describen modelos existentes que involucran funciones potencia y trigonométricas para relacionar partes y características de la situación.\n \n
- Construyen modelos de situaciones que involucran funciones potencias y trigonométricas para inferir resultados en diferentes momentos.\n \n
- Dado un número real \\(x\\), encontramos el punto de la circunferencia que se obtiene al desplazarse \\(x\\) rad desde el punto (1,0). \n
- Notemos que ese punto define un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud igual a 1. \n
- Luego, \\(\\text{sen}(x)\\) y \\(\\cos(x)\\) se definen como las coordenadas en el eje vertical y horizontal de ese punto. \n \n
- la variación en el ángulo de centro por unidad de tiempo (rapidez angular) \n
- la variación en la longitud de arco por unidad de tiempo (rapidez lineal) \n","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"
- ¿Cómo funciona el torno?
- ¿Cuáles son sus elementos u objetos principales?
- Describe el movimiento de la herramienta de corte. ¿Se mueve en 360° alrededor de la pieza que está siendo tallada?
- se mueve sobre un riel, que es paralelo al eje de rotación,
- puede acercarse y alejarse del eje,
- no gira alrededor de la pieza tallada.
- ¿Por qué la barra cilíndrica se representa con un rectángulo?\n
- Imagina que estás mirando el funcionamiento del torno, ¿dónde estaría el observador?
- ¿Cuál o cuáles de las siguientes figuras se pueden obtener al tallar una pieza en el torno?
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/revolucion-figuras2d/imgs/9.png\")
\n - Remarca (sobre las imágenes anteriores) un posible recorrido que hace la herramienta de corte al tallar las piezas que se pueden obtener en un torno. \n
- la pieza tallada es/no es simétrica,
- es/no es “igual por ambos lados del eje”
- La herramienta no talla solo una parte de la pieza, sino que todo su contorno.
- reconocer la importancia del eje y de la rotación.
- identificar la línea que describe la herramienta de corte como aquello que define la forma de la pieza que se talla.\n
- deducir que la distancia del eje al borde de la pieza es igual a ambos lados del eje, pues este borde es simétrico respecto del eje.\n
- 3. Observa la siguiente pieza.
- Completa la figura que se observaría en el lugar de cada corte.
- ¿son coherentes con la idea del torno vista inicialmente?
- ¿comparten características con los generados en un torno?
- En geometría, denominamos sólido de revolución a aquel cuerpo geométrico que se obtiene “al girar una figura plana en torno a una recta (eje de rotación)”.
- Esta recta puede pasar por la figura plana o ser exterior a ella.
- Considera que rotarás las siguientes figuras en torno al eje. Esboza el sólido de revolución que se obtendría en cada caso.
- Considera que realizarás distintos cortes a los sólidos generados en la pregunta anterior, con planos perpendiculares a su eje. Esboza las figuras que se podrían obtener en cada caso
- ¿Quiénes obtuvieron círculos (o circunferencias)? ¿Quiénes obtuvieron anillos?
- ¿Por qué piensan que ocurrió eso?\n
- En geometría, denominamos sólido de revolución a aquel cuerpo geométrico que se obtiene “al girar una figura plana en torno a una recta (eje de rotación)”. Esta recta puede pasar por la figura plana o ser exterior a ella. \n
- Los sólidos de revolución tienen características especiales que se evidencian al cortarlos con ciertos planos. Si el plano de corte:\n
- contiene al eje de rotación, la sección que se obtiene es siempre la misma, y esto nos indica que que el sólido tiene simetría axial.\n
- es perpendicular al eje de la pieza, las secciones que se obtienen son círculos o anillos concéntricos. Esto también confirma que el sólido de revolución tiene simetría axial.
- Esbozan en el plano un sólido de revolución.\n
- Representan secciones o cortes de sólidos de revolución.\n
- Visualizan sólidos de revolución dadas una región y un eje.\n
- Un cilindro corresponde a rotar un rectángulo en torno a un eje que contiene a uno de sus lados. \n
- Un cono corresponde a rotar un triángulo rectángulo en torno a un eje que contiene a un cateto. \n
- Una esfera corresponde a rotar un círculo o semicírculo en torno a una recta que pasa por su centro.
- La propuesta metodológica para abordar el concepto de “sólidos de revolución” está enfocada en analizar las características geométricas de piezas que se pueden obtener en tornos. Para luego, desprenderse del contexto para definir de manera general este tipo de cuerpos geométricos.\n
- El contexto del torno es algo restrictivo, pues no permite generar sólidos de revolución más generales, pero sirve como una interesante introducción al tema, de la que hay que desprenderse para lograr la abstracción, y es esto precisamente lo que se plantea en esta clase.
- Para desarrollar la habilidad de visualización de manera más integral, los sólidos de revolución se pueden vincular con vistas y cortes de cuerpos geométricos.
- Al cortar un sólido con un plano, las figuras que se obtienen en el lugar del corte se llaman secciones. Para visualizar las secciones es importante imaginar que se está mirando de manera perpendicular al plano de corte.
- Visualizar las secciones de manera perpendicular al plano de corte puede resultar complejo para algunos o algunas estudiantes. En casos como este, puede mostrar el siguiente recurso GeoGebra y comentar que la figura plana corresponde a la sección, es decir, es la figura que se obtiene al “mirar de manera perpendicular al plano de corte”.
- En la actualidad, existen tornos mecánicos, y se pueden definir como “una o más máquinas y herramientas que permiten tallar piezas por revolución”, y son esenciales en procesos industriales de mecanizado. Algunas de sus partes se grafican en la siguiente imagen.
- En esta clase estaremos considerando tornos mecánicos que pueden tallar piezas metálicas. Hemos descartado el contexto de torno usado en alfarería, porque no siempre se extrae el material, sino que se reposiciona en la pieza, lo que hace más difícil describir lo que ocurre.
- Es importante considerar que la herramienta de corte no se mueve sólo en la dirección paralela al eje de rotación, también es posible que extraiga material de la pieza moviéndose en una dirección perpendicular al eje de rotación.\n
- Las piezas de trabajo que se pueden tallar en este tipo de máquinas pueden ser cilíndricas o con forma de prisma, sin embargo, en esta clase estaremos considerando solamente piezas cilíndricas. Por ejemplo, en la base de la pieza A se observa un prisma, por lo que podríamos deducir que fue elaborada a partir de una pieza con dicha forma. Al no ser cilíndricas, no se puede garantizar que la pieza torneada tenga simetría axial. \n
- El principio aditivo. Si un evento A puede ocurrir de m maneras y otro evento B puede ocurrir de n maneras, siendo ambos eventos mutuamente excluyentes, entonces A o B puede ocurrir de m+n maneras. \n\n
- El principio multiplicativo. Si un evento puede ocurrir de m maneras, e independientemente de lo que ocurrió en él, un segundo evento puede ocurrir de n maneras, entonces ambos eventos pueden ocurrir de m ⋅ n maneras. \n
- se pueden repetir los elementos o no, \n
- se deben ordenar todos los elementos disponibles o no, \n
- es importante el orden o no. \n
- \n\nPermutaciones sin elementos repetidos: Para determinar cuántas palabras de cuatro letras podemos formar con las letras de ROMA usamos una permutación, pues se deben ordenar cuatro elementos de un total de cuatro. En este caso, para la primera letra tenemos cuatro opciones; para la segunda, tres; para la tercera, dos, y para la última solo una. Así, hay 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 4! opciones de ordenar esos cuatro elementos. En general, hay n! formas de ordenar n elementos no repetidos, tal que n! representa el valor n ⋅ (n-1) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1.\n\n
\nPermutaciones con elementos repetidos: Para determinar cuántas palabras de cuatro letras podemos formar con las letras de RAMA usamos una permutación, pues se deben ordenar cuatro elementos de un total de cuatro. Sin embargo, en este caso, no hay 4! formas distintas, pues al haber una letra repetida, todas las palabras están siendo contadas dos veces. Consideremos, la palabra RAMA sin reordenar. Las 4! permutaciones implican que estamos considerando 4 letras distintas, por tanto, debemos distinguir entre las dos A: A1 Y A2, luego la palabra “RAMA” podría corresponder a \n
\n- \n
- RA1MA2
- RA2MA1
\n
\n
\n\nEs decir, de las 2 = 2! maneras que se pueden ordenar las dos A que están en las posiciones 2 y 4. Esto ocurre para cualquier otra ordenación de RAMA, por ejemplo “AMAR” = A1MA2R , A2MA1R. Luego por cada ordenación de RAMA tenemos dos palabras de 4 cuatro letras. Lo anterior lleva a plantear la siguiente igualdad,\n
\n\\[\\text{número de ordenaciones de RAMA} \\cdot \\underbrace{\\text{número de ordenaciones de las dos A}}_{\\Large 2!} = \\underbrace{\\text{número de ordenaciones de RAMA con cuatro letras distintas}}_{\\Large 4!}\\]\n
\n\nAsí, en este caso la cantidad de palabras por ordenar es 4! 2! \n
\nDe manera análoga si una palabra de 7 letras tuviera una letra repetida tres veces, estaríamos contando todas las palabras 3! veces, y por lo tanto habrían 7! 3! ordenaciones diferentes de la palabra. \n
\nDel mismo modo, si una palabra de 10 letras, tiene una letra repetida tres veces y otra letra repetida 2 veces, entonces hay 10! 2! ⋅ 3! ordenaciones diferentes de la palabra. \n- Variaciones sin repetir elementos: Pensemos en cuántas contraseñas distintas de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos del uno al nueve. Esta situación es una variación porque debemos ordenar solo cuatro elementos de un total de nueve. En este caso, para el primer dígito tenemos nueve opciones; para el segundo, ocho; para el tercero, siete, y para el último, seis opciones. Es decir, la cantidad de opciones disponibles es 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6. Si amplificamos por 5!, esta cantidad de opciones se puede reescribir como 9! (9-4)! , de donde se puede generalizar la fórmula usual del número de variaciones de k elementos de un total de n. \n\n
- Variaciones repitiendo elementos: Pensemos ahora en cuántas contraseñas distintas de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos del uno al nueve, pero pudiendo repetirlos. En este caso, para el primer dígito tenemos nueve opciones; para el segundo, nueve; para el tercero, nueve, y para el último, también nueve opciones. Luego, la cantidad de opciones disponibles es 94. \n\n
- Aleatoriedad de las jugadas. Esto se hizo para poder definir un espacio equiprobable sencillo. Si los jugadores utilizaran algún tipo de estrategias deberíamos saber cuales son, antes de hacer cualquier cálculo de probabilidades. Más aún, los espacios muestrales simples que se podrían pensar seguramente no serían equiprobables. Notemos que esta es una simplificación fuerte de la realidad, pues es difícil imaginar que se juegue al gato sin ninguna estrategia. \n\n
- Nos restringimos a 5 jugadas porque son los juegos de gato más simples y que dan lugar al espacio muestral más pequeño posible, lo que permite realizar cálculos razonables para una clase. Notemos que considerar ganar en más jugadas, haría también que la descripción de los casos favorables sea más compleja. \n\n
- Una versión más simple de enunciar de este problema es la siguiente, ¿cuál es la probabilidad de ganar jugando al gato en los primeros 5 turnos? \n
\nEste problema es equivalente al propuesto en la clase, pero no es tan simple notarlo. En principio, el espacio muestral para este problema debería considerar todas las posibles partidas del juego del gato, es decir, no solo las que terminan en 5 jugadas. Se podría pensar en un espacio muestral que considere partidas que terminan en 5, 6, 7, etc. turnos, pero este espacio no sería equiprobable. Una posible solución a esto, sería considerar que todas las posibles partidas duran 9 jugadas, es decir, completar el tablero aún cuando un jugador ya haya ganado. Si bien este espacio muestral es equiprobable, no se desprende intuitivamente de la manera en que se juega. \n
\nSin entrar en mayores detalles, es posible verificar que si reducimos este espacio a 5 jugadas, sigue siendo equiprobable, y permite representar el problema de ganar en 5 jugadas y por tanto resolverlo tal como se propone en esta actividad. \n - Tablero: se refiere a una cuadrícula o matriz que consta de 3 filas y 3 columnas.\n\n
- Símbolos: son los elementos distintivos que un jugador coloca en el tablero para representar su jugada, por lo general se ocupa una equis X o un círculo O. \n\n
- Turno: oportunidad de un jugador para colocar su símbolo en el tablero. \n\n
- Partida: conjunto de jugadas que comienzan con el tablero vacío y se desarrolla a medida que los jugadores toman turnos para colocar sus símbolos. Finaliza cuando alguno de los jugadores gana o el tablero está completo (empate). \n\n
- Disposición: se refiere a la ubicación o posición de los símbolos en el tablero. \n\n
- Configuraciones: se refiere a las diferentes posiciones o disposiciones de los símbolos en el tablero durante el transcurso del juego. Cada configuración representa un estado particular del juego en un momento dado. \n
- ¿Cuál es el mínimo de turnos que se requieren para que algún jugador gane? "},{"esp":"El propósito de esta pregunta es que las y los estudiantes observen que el mínimo de turnos es cinco, lo que ocurre cuando el primer jugador logra formar una línea en sus tres turnos. Esta observación es importante pues, el foco de la lección es analizar la probabilidad de que gane un jugador en 5 turnos.\n
- Los participantes juegan de manera aleatoria, es decir, en cada turno marcan al azar cualquier casilla que queda disponible. \n\n
- El jugador que comienza utiliza X. \n
- Se juegan solo 5 turnos, por lo que gana el jugador que marca X o bien ninguno gana. \n
- ¿Qué necesitamos saber para aplicar la regla de Laplace? ","eng":"","recurso":"Pregunta","tipo":"momento"},{"tipo":"p","esp":"Se espera que las y los estudiantes mencionen que deben determinar la cantidad de casos favorables y la de casos totales. Se recomienda aprovechar este momento para discutir a qué corresponden estos casos en el contexto del problema. Es importante que quede claro que:
- Los casos favorables se refieren a aquellas partidas en que el jugador que comenzó gana en 5 turnos. \n
- Los casos totales engloban todas las posibles partidas que pueden haber ocurrido luego de 5 turnos. \n
- Dibuja dos casos favorables y tres casos no favorables. Recuerda que el jugador que comienza lo hace con X. ","recurso":"Pregunta"},{"recurso":"Respuesta","esp":"
- ¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar las X en el tablero? \n
- Una vez ubicadas las tres X, ¿de cuántas maneras se pueden ubicar los dos O? \n
- Se puede pensar que primero se escogen las 3 casillas en donde quedaron ubicadas las X en el tablero y luego las 2 posiciones de los O en las 9 - 3 = 6 casillas restantes. \n
- Hay (9 3) maneras de escoger 3 ubicaciones de las X en las 9 casillas. \n
- Hay (6 2) maneras de escoger 2 ubicaciones de los O en las 6 casillas restantes. \n
- Dibuja todas las posibles disposiciones de las X en el tablero que corresponden a los casos favorables, ¿cuántas son? ","tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Se espera que los estudiantes puedan dibujar las siguiente disposiciones: ","eng":""},{"tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/imagenes/p-06.png","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","eng":""},{"eng":"","esp":"Luego, se sugiere preguntar:","tipo":"p"},{"esp":"
- ¿De cuántas maneras distintas (sin considerar orden) se pueden ubicar las O restantes si el primer jugador ganó formando la línea en la primera fila del tablero? ","eng":"","tipo":"momento","recurso":"Pregunta"},{"eng":"","esp":"Puede acompañar esta pregunta mostrando algunos ejemplos como los siguientes: ","tipo":"p"},{"eng":"","escala":"50","tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/imagenes/07-gato.jpg"},{"esp":"Se espera que las y los estudiantes reconozcan que:\n
- La combinatoria permite tener en cuenta las posiciones de los círculos. Específicamente, se deben elegir 2 posiciones de un conjunto de 6, lo que se denota por (6 2).
- Considerando la disposición de las X cuando se gana formando la primera fila del tablero y el orden en que fueron escritas las X, ¿cuántos casos hay? \n
- Considerando el orden, ¿cuántas posibles configuraciones de las X hay en donde se gana? \n
- Considerando el orden, ¿de cuántas formas se pueden ubicar las O? \n
- El considerar el orden o no en el problema determina la manera en que contamos los casos y determinamos la probabilidad, esto es ","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Dado el evento (G): ganar en 5 turnos, \n\n
- Sin orden: \\[P(G)=\\frac{CF}{CP}=\\frac{8\\cdot {6\\choose 2}}{{9\\choose 3}\\cdot {6\\choose 2}} = \\frac{8}{\\frac{9!}{6!\\cdot 3!}} = \\frac{8}{\\frac{7\\cdot 8\\cdot 9}{2\\cdot 3}}=\\frac{2}{7\\cdot 3}=\\frac{2}{21}\\]\n \n
- Con orden: \n\\[P(G)=\\frac{CF}{CP}=\\frac{8\\cdot 3! \\cdot 6 \\cdot 5}{9\\cdot 8\\cdot 7\\cdot 6\\cdot 5}=\\frac{2\\cdot 3}{9\\cdot 7}=\\frac{2}{7\\cdot 3}=\\frac{2}{21}\\]\n \n
- Considerar o no el orden nos arrojó la misma probabilidad, esto no siempre sucede y dependerá del contexto del problema en cuestión. En este problema, al considerar el orden en el que se colocan los símbolos y no considerarlo, los espacios muestrales son equiprobables. \n
- Los casos favorables y los casos totales se deben contar considerando la misma estrategia de conteo (con o sin orden). \n
- Utilizar técnicas de conteo como la combinatoria, permutación y variación nos permitió determinar la probabilidad del problema central de la clase. \n
- Resuelven problemas de juegos de azar y de la vida cotidiana, aplicando combinatoria y permutaciones. \n"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/pdfs/Gu%C3%ADa%20Pr%C3%A1ctica%202do_U4_OA11_1.pdf","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Ver Guía Práctica"},"recurso":"ModalGP","eng":""}],"visible":true}},"visible":true},"recursos":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Infrografía"},{"eng":"","esp":"La infografía Juego “El gato” muestra información acerca del juego “El gato”, y algunos nombres como es conocido en otros lugares del mundo. ","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/imagenes/gato_info.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar infografía","eng":"Descargar infografía"},"tipo":"button","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/imagenes/gato_info.pdf","recurso":"Descarga"},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 4)","eng":""},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/pdfs/Presentacion%202do_U2_OA11%20Gato.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Descargar Presentación"},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/docs/Presentacion%202do_U2_OA11%20Gato.pptx","tipo":"button","eng":""}]},"2":{"contenido":[{"esp":"Hoja de Actividades","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/pdfs/Hoja%20de%20Actividades%202do_U4_OA11_1.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/docs/Hoja%20de%20Actividades%202do_U4_OA11_1.docx","eng":"","recurso":"Descarga"},{"esp":"Presentación (diapositivas 5 a 34)","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.","eng":""},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/pdfs/Presentacion%202do_U2_OA11%20Gato.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/docs/Presentacion%202do_U2_OA11%20Gato.pptx","eng":"","tipo":"button","recurso":"Descarga"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 35 a 37)","tipo":"h3"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/pdfs/Presentacion%202do_U2_OA11%20Gato.pdf"},{"eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/docs/Presentacion%202do_U2_OA11%20Gato.pptx"}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"esp":"Guía Práctica","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes apliquen herramientas de combinatoria en el cálculo de probabilidades. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/pdfs/Gu%C3%ADa%20Pr%C3%A1ctica%202do_U4_OA11_1.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía Práctica"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/docs/Gu%C3%ADa%20Pr%C3%A1ctica%202do_U4_OA11_1.docx","recurso":"Descarga","eng":""}],"visible":true}},"visible":true},"recursosProyecto":[],"visible":true},"59":{"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Enfoques de probabilidad","eng":""},{"esp":"\nEn la situación de “Alicia y el juego Real” se busca comparar las posibilidades de ocurrir de los distintos resultados del juego, sin calcular las probabilidades. Para ello, se recurre a dos análisis complementarios:","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"
- Se analiza la distribución de los datos obtenidos al repetir un gran número de veces el juego, identificando patrones que permiten comparar las posibilidades de ocurrir de cada resultado.
- Determinar y comparar el número de casos posibles del experimento aleatorio, que son favorables a cada resultado.
- Utilizar la tendencia de la distribución de los datos para hacer una conjetura sobre cuál resultado tiene más probabilidades de ocurrir.
- Identificar y comparar el número de casos favorables a cada suceso para comprobar dicha conjetura.
- Las y los estudiantes deben distinguir que algunos resultados del experimento aleatorio son distintos entre sí. Para ello, se les pide discutir afirmaciones en las que no se distinguen resultados, y contrastar las posibilidades que se desprenden de estas afirmaciones con los resultados empíricos que se obtienen al repetir el experimento (ver actividad 3, de la Hoja de Actividades, sección Recursos). Esto les permite convencerse de que deben haber más resultados posibles asociados a un evento.
Para distinguir resultados es clave, en este caso, diferenciar los dados. Para ello, es importante que al implementar la situación, cambie los dados de un color que utilizarán las y los estudiantes inicialmente, a dados de dos colores distintos. - Identificar todos los resultados posibles de un experimento aleatorio es una tarea que puede resultar compleja si no se cuenta con procedimientos que permitan sistematizar la búsqueda. En la situación, se propone a las y los estudiantes utilizar un diagrama que ordena los resultados y facilita su identificación.
- ¿De qué se trata el “Gran Juego Real”?
- ¿Qué caballo eligió Alicia? ¿Con qué caballo se quedó la Reina?
- ¿Por qué creen que Alicia estaba interesada en quedarse con el caballo 7?
- ¿Por qué creen que Alicia le sugiere a la Reina que tome el 12?
- Jueguen el “Juego Real” y registren los resultados como se indica a continuación:
\n- Cada grupo debe lanzar dos dados y calcular su suma.
- El caballo que coincide con esa suma debe avanzar un casillero. Para registrar el avance, deben pintar un círculo en dicho casillero.
- Repitan lo anterior hasta que algún caballo haya llegado a la última casilla.
\n - Después de revisar los resultados del juego de todos los grupos, ¿qué observaron respecto a los resultados de los caballos 7 y 12? \n
- Si bien, existe variabilidad en los resultados, en general, el caballo 7 avanza muchas más casillas que el caballo 12. \n
- Aunque el caballo 7 no siempre ganó, en varios tableros quedó ubicado entre los primeros, mientras que el caballo 12 a menudo quedó entre los últimos lugares. \n
- Muestre cómo se van creando las barras, primero cuando se hace un lanzamiento a la vez, luego de 10 en 10, de 100 en 100 y de 1000 en 1000.
- Destaque que a medida que se realizan muchas repeticiones, el gráfico de barras comienza a tener una forma más definida, se empiezan a develar patrones claros en los resultados.
- Utilice el botón “Reiniciar juego” y muestre que, en otra secuencia de muchas repeticiones, los resultados varían respecto de la secuencia anterior, pero que se mantiene la forma de la distribución de los datos.
- Los gráficos de barras son representaciones que permiten visualizar la distribución de los datos. La forma de la distribución proporciona información sobre la manera en que varían los datos y los patrones o regularidades presentes en ellos.
- Analizar la distribución de los datos de repeticiones de un experimento aleatorio permite identificar regularidades que sirven para hacer conjeturas sobre las posibilidades de los distintos resultados.
- ¿Qué se puede concluir de la distribución de los datos?, ¿existe alguna tendencia en los resultados?
- ¿Qué conclusiones se pueden extraer acerca de las probabilidades de los caballos del “Juego Real”, al considerar la distribución de los datos de un gran número de lanzamientos?\n
- ¿Qué se puede concluir de la distribución de los datos?, ¿existe alguna tendencia en los resultados?
- Aunque los resultados observados al repetir muchas veces este juego varían entre cada simulación, es posible identificar tendencias en la distribución de los datos.
- Los resultados del centro, tales como el 6, 7 y 8, aparecen con mayor frecuencia que la de los extremos, como el 2 y el 12. En particular, la distribución de los datos tiene una forma aproximadamente simétrica.
- ¿Qué conclusiones se pueden extraer acerca de las probabilidades de los caballos del “Juego Real”, al considerar la distribución de los datos de un gran número de lanzamientos?
- Cuando repetimos un experimento aleatorio un gran número de veces, podemos usar la distribución de los datos para comparar probabilidades. Podemos comparar sus probabilidades de ocurrir basándonos en la comparación de las frecuencias absolutas de los resultados.
- En el caso del Juego Real, la distribución observada da a entender que:
- El 6, 7 y 8 ocurren con mayor frecuencia que el 2 y el 12.
- La forma simétrica de la distribución sugiere que la probabilidad de ocurrencia del 2 y 12 son las mismas, así como las del 3 y 11, 4 y 10, 5 y 9 y las del 6 y 8.
- El 7 parece ser el resultado que tiene más probabilidad de ocurrir, en comparación con el resto.
\n - \n
Analiza la siguiente afirmación:
“Al lanzar dos dados, solo existe una manera de obtener un 12: que ambos dados sean un 6. Mientras que para obtener un 7 existen tres formas: que salga un 1 y un 6, un 2 y un 5 o que salga un 3 y un 4.”
¿Es correcto este razonamiento?, ¿las posibilidades de obtener un 7 son el triple de las probabilidades de obtener un 12? Comenta.
\n - \n
Utiliza el recurso para generar 5 distribuciones de datos de 1000 lanzamientos cada una y completa la siguiente tabla:
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/alicia-juego-real/imgs/p_-04.png\")
\n - ¿Los resultados de la tabla anterior respaldan la afirmación de que las posibilidades de obtener un 7 son tres veces mayores que las probabilidades de obtener un 12?
Analiza la siguiente afirmación:
“Al lanzar dos dados, solo existe una manera de obtener un 12: que ambos dados sean un 6. Mientras que para obtener un 7 existen tres formas: que salga un 1 y un 6, un 2 y un 5 o que salga un 3 y un 4.”
¿Es correcto este razonamiento?, ¿las posibilidades de obtener un 7 son el triple de las probabilidades de obtener un 12? Comenta.
- ¿Los resultados de la tabla anterior respaldan la afirmación de que las posibilidades de obtener un 7 son tres veces mayores que las probabilidades de obtener un 12?
- A partir de la tabla, la frecuencia del 7 es mucho mayor que la del 12, aproximadamente, 6 veces más grande,
- Esto indica que no es cierto que obtener un 7 sea tres veces más probable que obtener un 12.
- Esto muestra que la afirmación analizada no es correcta. No pueden haber solo 3 formas de obtener un 7, deben haber más.
- ¿Cuántos son todos los posibles resultados al lanzar dos dados?
- ¿Cuáles son los resultados en que la suma es 7 y los resultados en que la suma es 12?
- ¿Cuántas veces es más probable obtener un 7 que un 12?, ¿tiene sentido con los resultados recolectados en la simulación?
- En un experimento aleatorio, es común que existan eventos que sucedan de manera más frecuente que otros.
- Analizar la distribución de los datos recolectados al repetir muchas veces un experimento aleatorio, como en el caso del Juego Real, permite hacer conjeturas acerca de las probabilidades asociadas al caballo de Alicia y el de la Reina.
- Distinguir los dados, por ejemplo, mediante un diagrama, permite contar de mejor manera todos los casos posibles de un experimento aleatorio.
- Para poder comparar las probabilidades asociadas a cada caballo a partir de sus casos favorables, es necesario que cada uno de esos casos sean igualmente probables. En el caso del lanzamiento de dos dados, los 36 resultados descritos en el diagrama tienen la misma probabilidad de ocurrir. \n
- Resuelven problemas relacionados con un juego de azar y sus resultados posibles.
- Argumentan sus respuestas, diferenciando los casos favorables a cada suceso.
- ¿Qué se observa en el primer gráfico que muestra el cambio de la temperatura global?
- ¿Cuál es el objetivo del Acuerdo de París?
- ¿Cuáles son los tres escenarios que se simularon en el contexto del Acuerdo de París? ¿ qué supone cada uno?
- La temperatura ha aumentado sostenidamente desde 1900.
- El objetivo del acuerdo internacional es limitar el aumento de la temperatura global a \"mucho menos de 2 grados Celsius\" y esforzarse por limitarlo a 1.5 grados Celsius.
- En el Acuerdo de París, se llevaron a cabo simulaciones de distintos escenarios, siendo los principales: 1) Emisiones altas: se caracteriza prácticamente por mantenernos tal como estamos 2) Emisiones Intermedias y 3) Emisiones bajas, estos últimos suponen diferentes políticas y esfuerzos por reducción de emisiones contaminantes.
- Para el escenario de emisiones altas, ¿cuándo se alcanzan las siguientes temperaturas? (Consejo: Utiliza una regla)\n
- \n
- 1,5 °C \n
- 2,5 °C
- ¿Qué procedimiento realizaron para responder la pregunta anterior?
- La siguiente tabla muestra los posibles años para cada temperatura:
- La gráfica obtenida debiese ser similar a la siguiente:
- Se toma 27 años en incrementar de 1,5°C a 2,5°C
- ¿Qué variable está en el eje horizontal? ¿y el vertical?
- ¿Cuál es el dominio? ¿Cuál es el recorrido?
- \nEn el eje horizontal corresponde al Delta de Temperatura (°C) y en el vertical la variable año. \n
- El dominio corresponde a todos los valores de temperaturas, que van desde el 0 al 5 y el recorrido a los años desde 1992 a 2100.
- Han construido una curva en que a cada temperatura se le asigna un año en el que ocurrirá. Dicha curva corresponde a una función, pues a cada temperatura se le asigna una única preimagen (año). \n
- En esta nueva función la variable independiente (eje x), se asocia a la temperatura mientras que la variable dependiente (eje y), a los años. \n
- De esta forma, el dominio estudiado para esta nueva función está dado por [0.5, 4.5] y su recorrido por [1995, 2095]. \n
- Decimos que esta función, es la función inversa de la función original que describe cómo aumenta la temperatura en función de cada año. \n\n
- Usa el procedimiento desarrollado en la actividad anterior para completar la siguiente tabla,
- Grafica los datos obtenidos en la tabla anterior usando la temperatura como variable independiente.
- Usa el gráfico construido en la pregunta anterior para responder lo siguiente: ¿Cuántos años toma en este escenario pasar de 1,5°C a 2,5°C? ¿Demora más o menos tiempo que en el escenario de emisiones altas?
- Si una función f: A → B cumple que todo elemento de B tiene una única preimagen, podemos definir su inversa, f -1 : B → A como: \\[ f^{-1}(y)=x \\Leftrightarrow y=f(x)\\] \n
- Lo anterior quiere decir que f -1 (y) es igual a la única preimagen de y. Esto se puede visualizar en el siguiente diagrama sagital:
- En el caso de la función T(t), siendo T la variable que describe el aumento de temperatura y t el tiempo en años, su inversa es la función T -1 = t (T), es decir, una función que a cada aumento de temperatura le asigna el tiempo en años en el que ocurrirá, tal como se muestra en el siguiente diagrama (se han usado valores ejemplo para el caso de emisiones altas).
- No todas las funciones tienen inversa:
- Puede suceder que la función f asigna a más de un elemento de A una misma imagen en B. Eso implica que, f -1 no es función, ya que una preimagen en B tendrá dos imágenes en A.
- Puede haber una función f en la que algunos elementos de B no tengan preimagen en A. Eso implica que, f -1 no es función, ya que no todos las preimágenes de B tendrán una imagen en A.
- ¿ La diferencia de temperatura aumenta todo el tiempo?\n
- ¿ Hay un máximo valor de aumento de temperatura ?\n
- ¿Podremos construir la función inversa en este caso?¿por qué?
- ¿En qué intervalo de temperatura es posible definir la función inversa t (T) en el escenario de emisiones bajas?
- ¿A partir de qué diferencia de temperatura, un mismo valor de diferencia de temperatura ocurre para dos años distintos?
- \nSi una función \\(f: A \\to B\\) cumple que todo elemento de \\(B\\) tiene una única preimagen, podemos definir su inversa, \\(f^{-1}: B \\to A\\) como:\n\n\\[ f^{-1}(y)=x \\Leftrightarrow y=f(x)\\]
\n - Tal como existe una función \\(T(t)\\) para el caso de escenarios altas e intermedia emisiones, es posible encontrar una función \\(t(T)\\), que haga el camino inverso. Es decir, que para cada año \\(t\\) pueda hacer corresponder un valor de temperatura\\(t\\).\n
- Lo anterior es posible porque a cada valor de \\(t\\) le corresponde una y solo una preimagen \\(T\\). sin embargo esto no ocurre para el caso de emisiones bajas, por lo que se restringió el dominio a 1,72°C como máximo y así pudiese graficarse y validar la función inversa para este caso.
- \nEs importante ser conscientes del cuidado del medio ambiente y que los países adopten medidas relevantes para poder retrasar el inminente aumento de temperatura terrestre.\n
- Escenario de emisiones bajas: Las emisiones de gases de efecto invernadero disminuyen rápidamente y se estabilizan. Se caracteriza por un enfoque agresivo en la transición hacia fuentes de energía renovable, mejoras en la eficiencia energética y la adopción de tecnologías bajas en carbono. El aumento de la temperatura global se mantiene por debajo de los 2°C en comparación con los niveles preindustriales, lo que es consistente con el objetivo principal del Acuerdo de París.
- Escenario de emisiones intermedias: En este escenario, las emisiones continúan aumentando, pero a un ritmo más lento que en los escenarios de emisiones altas. Se implementan algunas políticas de mitigación, pero la reducción de emisiones no es tan agresiva como en el escenario de emisiones bajas. Como resultado, el aumento de la temperatura global podría superar los 2°C, pero aún se esfuerza por mantenerlo por debajo de los 3°C en comparación con los niveles preindustriales.
- Escenario de emisiones altas: En este escenario, las emisiones de gases de efecto invernadero continúan aumentando sin restricciones significativas. Representa un mundo en el que no se toman medidas efectivas para mitigar el cambio climático. Como resultado, el aumento de la temperatura global podría ser significativamente alto, superando los 4°C o más en comparación con los niveles preindustriales. Este escenario tendría efectos graves y generalizados en el clima, los ecosistemas y las comunidades humanas.
- Redimensionamiento proporcional de imágenes digitales.
- Simulación de un efecto de movimiento. En esta actividad desarrollaremos este proceso mediante una secuencia de homotecias, que simulan el avance de un automóvil en un videojuego 2D.
- un centro u origen \\(H\\), que corresponde al punto fijo de la transformación, y
- un factor de escala \\(k \\neq 0 \\), que determina cuánto se ampliará o reducirá el objeto.\n
- Si \\(k>0 \\), el punto \\(A\\) y \\(A’\\) quedan al “mismo lado” del centro \\(H\\).
- Si \\(k<0\\), el punto \\(A’\\) queda en el “lado opuesto” de \\(A\\) respecto de \\(H\\). En esta actividad no abordaremos este caso.
- Un objeto puede tener diferentes atributos, tales como color, aroma, peso (masa), etc. Los atributos que se suelen abordar matemáticamente son: longitud, superficie y volumen. Al trabajar con homotecias u otras transformaciones geométricas, es importante reconocer cuál es el atributo de los objetos que está siendo modificado por el factor, y cómo este afecta.
- Una homotecia de factor \\(k\\), aplicada a una figura plana, transforma el atributo:
- longitud, de manera que si una de sus longitudes mide \\(a\\), luego de aplicar la homotecia, su imagen correspondiente medirá \\(ka\\).
- área, de manera que si su área mide A, luego de aplicar la homotecia, el área de su imagen medirá \\(k^2 \\cdot A\\).
- Algunos de los errores frecuentes al abordar este tema son:
- Considerar que el área de la figura está siendo modificada por un factor igual al de la homotecia. Por ejemplo, si el factor de homotecia es 2 se suele creer, erróneamente, que el área se duplica. Puede ser complejo para algunos estudiantes reconocer que la homotecia transforma las longitudes de los lados de una figura. Si es necesario, desarrolle actividades adicionales a la propuesta en esta clase para relevar este aspecto.
- Considerar que el factor de la homotecia se aplica aditivamente. Por ejemplo: si un segmento mide 3 cm al transformarlo a otro que mida 4 cm, se puede creer, erróneamente, que la transformación está sumando 1 cm, por tanto, todos los demás aumentarán en 1 cm. \n
- En general el uso de la tecnología permite obtener figuras homotéticas de manera simple, ya sea, en recursos como GeoGebra o similares. Es importante explorar los procesos involucrados en la generación de estas imágenes y desarrollar el pensamiento deductivo derivado del análisis de estas situaciones, con el fin de definir modelos matemáticos, como en esta clase, abordamos el concepto de homotecia asociado a los efectos visuales que esta permite lograr. \n
- En la creación de videojuegos se utilizan diversos recursos matemáticos, como homotecias, vectores, etc, para recrear efectos visuales. Además, estos se combinan con otras técnicas de videojuegos, para enriquecer la experiencia de juego del usuario. En esta clase, se utiliza Geogebra para simular el efecto de movimiento, debido a que es principalmente gráfico. Cabe notar que el código que hay detrás de este, es muy similar al que se podría encontrar en otros softwares.\n
- Durante la clase será necesario que manipule diferentes elementos del recurso Geogebra, por tanto, es importante que pueda revisarlo con antelación.
- Para pausar o reiniciar la animación, a la izquierda-abajo de la pantalla encontrará un botón.\n
- Para mostrar u ocultar información, modifique los deslizadores a la derecha e izquierda, respectivamente. \n
En el recurso Geogebra que se utilizará en esta clase, el dibujo del automóvil, la palmera y la señalética se encuentran en “capas diferentes” a la del plano donde ocurre la homotecia, por tanto, son objetos que no se ven afectados por ella. Para aclarar esta idea, se agregó el botón “Capa fija”. Durante la clase, se indica el momento en el que es necesario que muestre esta diferencia, con el fin de potenciar la homotecia como una transformación de todo el plano.
En diseño gráfico es muy común utilizar diferentes capas para construir escenas, de manera que los cambios que se aplican a una de estas capas, no afecte a las demás.
\n- Hay diversos softwares para programar videojuegos, algunos de ellos de uso libre, como es el caso de “Godot Engine”, que es un motor de juegos multiplataforma, gratuito, que facilita la creación de juegos en 2D y 3D. Puede motivar a sus estudiantes a buscar mayor información en: https://godotengine.org/ y a desarrollar algunas ideas básicas, si es un área de su interés.
- ¿Qué videojuegos en 2D conoces?
- ¿Conoces videojuegos de carreras de autos o motos en 2D?
- ¿Te has fijado que en ellos es como si fueras avanzando hacia adelante en la pista?
- ¿Cómo se imaginan que se puede lograr este efecto visual de “avanzar”?
- Desactiva “Vista juego”.
- Activa “Vista análisis”. Indique que en videojuegos de este tipo, estos elementos están ocultos para el jugador.
- Comenta que dejarán visibles solo estos elementos.
- A partir del objeto que está fijo, ¿cómo se podría obtener el que está en “movimiento”?
- “cambia el tamaño” o “se agranda”.
- “se agranda, pero mantienen su forma original”.
- “cambia el tamaño de manera proporcional”.
- “las palmeras están hechas a escala, por eso se ven pequeñas primero y grandes después”.
- Observa la animación y los puntos visibles, luego responde.\n
- Describe cómo los puntos visibles producen un efecto visual de “movimiento”.
- El punto \\(O\\), ¿está en “movimiento”? Explica.
- Al punto \\(O\\) le llamaremos “centro” y es un punto que está fijo.
- En el contexto de videojuegos, generalmente el centro (o punto de fuga) es invisible al jugador, e incluso puede estar fuera de la pantalla, sin embargo, tiene un rol fundamental en la manera en la que se percibe el videojuego.
- Sabiendo que estamos aplicando una Homotecia:
- Si la longitud del segmento \\(OE_1\\) es la mitad que la del segmento \\(OE\\), ¿la longitud de \\(OF_1\\) será la mitad que la del segmento \\(OF\\)? ¿Por qué?
- Si la longitud del segmento \\(OE_1\\) es igual a la del segmento \\(OE\\), ¿la longitud de \\(OF_1\\) será igual que la del segmento \\(OF\\)? ¿Por qué?
- Si la longitud del segmento \\(OE_1\\) es el triple que la del segmento \\(OE\\), ¿la longitud de \\(OF_1\\) será el triple que la del segmento \\(OF\\)? ¿Por qué?
- Plantea una relación algebraica entre:
- el largo de los segmentos \\(OE_1\\), \\(OE\\) y el factor \\(k\\).
- el largo de los segmentos \\(OF_1\\), \\(OF\\) y el factor \\(k\\).
- si \\(k\\) está entre 0 y 1, la imagen es más pequeña que la original.
- si \\(k\\) es igual a 1, la imagen es del mismo tamaño que la original.
- si \\(k\\) es mayor que 1, la imagen será más grande que la original.\n
- Recordemos que la homotecia es una transformación de puntos del plano con las siguientes propiedades:
- Hay un factor \\(k \\neq 0\\) y un punto central \\(O\\). Cualquier punto \\(E\\) del plano se transforma a un punto \\(E_1\\), según la relación \\(OE_1 = k \\cdot OE\\).
- Según el valor de \\(k\\), se tiene:
- si \\(0 < k < 1\\), el segmento \\(OE_1\\) es de menor longitud que \\(OE\\).
- si \\(k = 1\\), el segmento \\(OE_1\\) es de igual longitud que \\(OE\\).
- si \\(k > 1\\), el segmento \\(OE_1\\)es de mayor longitud que \\(OE\\).
- En esta actividad abordamos homotecias con \\(k > 0\\), para las cuales los puntos \\(E_1\\) y \\(F_1\\) están en la línea del mismo lado respecto del centro.\n
- En esta clase abordamos una situación asociada a videojuegos, cuya programación hace uso de una secuencia de homotecias para producir el efecto visual de movimiento. En cada instante de tiempo se aplica una homotecia, cuyo factor aumenta a medida que el tiempo transcurre.\n
- El principio aditivo: Si un evento \\(A\\) puede ocurrir de \\(m\\) maneras y otro evento \\(B\\) puede ocurrir de \\(n\\) maneras, siendo ambos eventos mutuamente excluyentes, entonces \\(A\\) o \\(B\\) puede ocurrir de \\(m+n\\) maneras.\n
\nEn la situación de aprendizaje es importante comprender este principio para calcular la cantidad de caminos que llevan a cada punto. Por ejemplo, para llegar al punto marcado de color negro en la figura adjunta desde el punto de la esquina inferior izquierda, se debe pasar por el punto azul o por el punto rojo. Como hay \\(6\\) formas de llegar al punto azul y \\(4\\) formas de llegar al punto rojo, hay \\(6+4\\) formas de llegar al punto de color negro (esto, considerando que la grilla se recorre sólo avanzando hacia arriba o hacia la derecha).\n - El principio multiplicativo: Si un evento puede ocurrir de \\(m\\) maneras, e independientemente de lo que ocurrió en él, un segundo evento puede ocurrir de \\(n\\) maneras, entonces ambos eventos pueden ocurrir de \\(m\\cdot n\\) maneras.
\n\nConsideremos, por ejemplo, que se quiere llegar al punto rojo de la figura adjunta pasando por el punto azul, comenzando en el punto de la esquina inferior izquierda. Como hay \\(10\\) formas de llegar al punto azul, e independientemente de cómo se llegó al punto azul, hay \\(3\\) formas de llegar al punto rojo desde el punto azul, entonces hay \\(10 \\cdot 3\\) formas de llegar al punto rojo pasando por el punto azul (esto, considerando que la grilla se recorre sólo avanzando hacia arriba o hacia la derecha).\n - se pueden repetir los elementos o no, \n
- se deben ordenar todos los elementos disponibles o no, \n
- es importante el orden o no. \n
- Cuadrícula o grilla: en la actividad se usan ambos términos como sinónimos y corresponden al conjunto de cuadrados que se forman al cortarse perpendicularmente segmentos de líneas. En esta actividad se hace referencia a la dimensionalidad de la cuadrícula a través del número de cuadrados que tiene en la dirección vertical y en la horizontal. Por ejemplo, la siguiente figura corresponde a una cuadrícula de 2×3.
- Calles y cuadras: en la cuadrícula, las calles están representadas por líneas horizontales y verticales, con lo que estas se asumen perpendiculares entre sí. El lado de cada cuadrado de la cuadrícula (segmento que une dos calles) corresponde a las cuadras, tal como se representa en la siguiente figura. Es importante señalar que, para los efectos de la actividad, el ancho de las calles es irrelevante, por lo cual es innecesario distinguir la vereda de la calle en las cuadras.
- Camino o ruta: esta corresponde al conjunto de cuadras que al ser recorridas llevan de un lugar a otro. En la figura adjunta se marca un posible camino para llegar de A a B. En el contexto de la actividad, para ir de A a B solo se puede avanzar hacia la derecha o hacia arriba, sin retrocesos. En el contexto de esta actividad a los caminos de este tipo le llamaremos caminos minimales.
- ¿Qué es importante a la hora de planificar un viaje de un punto a otro?
- \n¿Cómo el uso de probabilidades ayuda en la elección de rutas óptimas?\n
- ¿Qué información era relevante en el caso de la ambulancia?\n
- ¿Qué entienden por camino en el contexto del problema?
- ¿Creen que hay alguna razón para preferir una cuadra sobre otra?
- Dado que el repartidor quiere llegar lo más rápido posible a B, siempre optará por cuadras que lo acerquen a B, es decir, se moverá siempre hacia la derecha o hacia arriba.\n \n","recurso":"Destacado"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Luego concluya con las y los estudiantes que:\n
- Para contar los casos, consideraremos únicamente aquellos caminos que recorren la mínima cantidad de cuadras para llegar de A hasta B. En el contexto de esta actividad, a estos los llamaremos caminos minimales. \n
- Dada la manera en que elegimos estos caminos, por ejemplo, que tienen el mismo largo, estos resultan equiprobables. \n
- ¿Qué necesitamos para aplicar la regla de Laplace?
- Los casos favorables se refieren a la cantidad de caminos minimales que van de A hasta B, pero que no pasan por C.\n
- Los casos totales engloban todos los caminos minimales que van de A hasta B.\n
\nPara evaluar si las y los estudiantes tienen claridad sobre estos casos, pida que trabajen en la pregunta 2 de la Actividad 1 de la Hoja de Actividades. "},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"2. Dibuja tres casos favorables y tres casos no favorables.","eng":""},{"tipo":"momento","eng":"","esp":" - ¿Creen que es posible dibujar todos los caminos que permiten determinar la cantidad de casos favorables y de casos totales?
- ¿Creen que es posible dibujar todos los caminos que permiten determinar la cantidad de casos favorables y de casos totales?
- 2 cuadras deben ser recorridas “hacia arriba”
- 3 cuadras deben ser recorridas “hacia la derecha”\n "},{"esp":"Es posible que las y los estudiantes ocupen diferentes estrategias para responder esta pregunta. Cabe destacar que es necesario asegurarse que no faltan caminos. \n
- ¿Cómo podríamos representar los caminos sin dibujarlos?
- Cada camino minimal tiene 5 cuadras.\n
- De estas cuadras, siempre 2 se recorren hacia la derecha y 3 hacia arriba.
Los caminos diferirán en cuales son las cuadras que se recorren hacia la derecha y cuales hacia arriba. \n - ¿Cuántos caminos minimales son los que permiten llegar de A hasta B, pero que sí pasan por C?
- Cantidad de caminos que van de A a C
\n - Cantidad de caminos que van de C a B
\n\n¿Qué operación con ellas permite determinar la cantidad de caminos de A hasta B que sí pasan por C? \n\n"},{"esp":"1. La cantidad de caminos van de A a C son 3. - \n\n¿Qué es un camino minimal?\n
- ¿Por qué se utilizó una versión simplificada del problema?\n
- ¿Por qué los caminos que sí pasan por C se pueden obtener como una resta entre los caminos totales y los caminos que no pasan por C ?\n
Estas preguntas tienen por objetivo la comprensión de la infografía e introducir al estudiante en el contexto en el que se basa el siguiente trabajo.
","tipo":"p","eng":"These questions are aimed at understanding infographics and introducing the student to the context on which the following work is based.
"},{"tipo":"p","esp":"Para introducir a los y las estudiantes en el contexto que se utilizará, parta diciendo que explorarán la información recopilada de los nacimientos en Chile entre los años 1993 y 2000. Luego proyecte el histograma de la diapositiva 6 que contiene esta información.
","eng":"To introduce the students to the context that will be used, start by saying that they will explore the information collected on births in Chile between the years 1993 and 2000. Then project the histogram on slide 6 that contains this information.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-07.png","caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-07.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado"},{"eng":"Note that each bar represents the amount in a 200-gram interval, for example, the first bar from left to right represents the frequency of babies whose birth weights are between 1,600 and 1,800 grams.\n
","tipo":"p","esp":"Hágale notar que cada barra representa la cantidad en un intervalo de 200 gramos, por ejemplo, la primera barra de izquierda a derecha representa la frecuencia de bebés cuyo peso al nacer se encuentra entre 1600 y 1800 gramos.\n
"},{"eng":"Then, stressing the importance of a baby being born with a normal weight, ask the following questions to work on during the activity.
","esp":"Luego, remarcando la importancia de que un bebé nazca con un peso normal, plantee las siguientes preguntas a trabajar durante la actividad.
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","esp":"¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un recién nacido al azar este pese entre 2500 y 4000 gramos, es decir, se encuentre en un rango normal de peso?\n
¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un recién nacido al azar este pese menos de 2500 gramos?\n
","recurso":"Pregunta","eng":"What is the probability that when a newborn is chosen at random it weighs between 2500 and 4000 grams, that is, it is in a normal weight range?\n
What is the probability that when a newborn is chosen at random it weighs less than 2500 grams?\n
"}]},"2":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Construcción de conocimientos","tipo":"h3"},{"eng":"To begin this moment, ask the students to answer the following questions in relation to the histogram above.
","esp":"Para comenzar este momento pídale a las y los estudiantes que respondan las siguientes preguntas en relación al histograma anterior.
","tipo":"p"},{"esp":"These questions are intended for students to explore the shape of the histogram, noting that the least frequent weights are at its extremes and the most frequent at its center.\n
","esp":"Con esta preguntas se pretende que los y las estudiantes exploren la forma que tiene el histograma, notando que los pesos menos frecuentes se encuentran en sus extremos y los más frecuentes al centro de este. \n
","tipo":"p"},{"eng":"For the last question, allow space for students to share their answers with the class. Guide the answers to detect the concentration of the data more to the center and the decay to the extremes. Point out that there is some symmetry about the center, and conclude that the curve representing the distribution of the data can be approximated by the Gaussian bell curve, which is characteristic of the normal distribution and will be explored further below.
","tipo":"p","esp":"Para la última pregunta, de espacio para que los y las estudiantes compartan sus respuestas con el curso. Guía las respuestas para que detecten la concentración de los datos más al centro y el decaimiento a los extremos. Hágales notar que existe cierta simetría con respecto al centro y concluyan que la curva que representa la distribución de los datos se puede aproximar por la campana de Gauss, característica de la distribución normal y que se explorará con mayor profundidad a continuación.
"},{"eng":"Students may immediately try to calculate the proposed probabilities using just the histogram. Point out to him that the total number of newborns is not available and that although an approximation of this amount can be made graphically, bar by bar, there are several approximations and that it will require a lot of time.
","tipo":"p","esp":"Es posible que algún o alguna estudiante intente calcular de inmediato las probabilidades planteadas utilizando solo el histograma. Hazle notar que no se cuenta con el total de recién nacidos y que si bien se puede hacer una aproximación de esta cantidad gráficamente, barra a barra, son varias aproximaciones y que requerirá de harto tiempo.
"},{"tipo":"p","eng":"To solve the questions in the problem, ask your students to start working on the second part of the Activity Sheet.\n
","esp":"Para resolver las interrogantes del problema pida a sus estudiantes que inicien el trabajo en la segunda parte de la Hoja de Actividades.\n
"},{"eng":"First part","esp":" Primera Parte","tipo":"h3"},{"esp":"A continuación comente que se definirá por \\(X\\) la variable aleatoria definida como pesos al nacer, la que sigue una distribución normal. ","tipo":"p","eng":"Next, comment that the random variable defined as birth weights will be defined by \\(X\\), which follows a normal distribution."},{"eng":"In the event that a student has doubts that the distribution of birth weights corresponds to a normal distribution, they can mention that several studies have found that a good approximation to this distribution is the distribution normal.
","esp":"En el caso que algún o alguna estudiante tenga dudas de que la distribución de los pesos al nacer corresponde a una distribución normal, puede mencionar que varios estudios han encontrado que una buena aproximación a esta distribución es la distribución normal.
","tipo":"p"},{"eng":"In addition, as mentioned above, it is possible that some student believes that the stated probabilities can be calculated directly. In this case, have them calculate some particular probability, so you'll notice that it's not a straightforward calculation to do.
","tipo":"p","esp":"Además, como se mencionó anteriormente, es posible que algún o alguna estudiante crea que se pueden calcular las probabilidades planteadas directamente. En este caso, hágales calcular alguna probabilidad en particular, para que note que no es un cálculo directo de hacer.
"},{"tipo":"p","eng":"In addition, as mentioned above, it is possible that some student believes that the stated probabilities can be calculated directly. In this case, have them calculate some particular probability, so you'll notice that it's not a straightforward calculation to do.
","esp":"Además, como se mencionó anteriormente, es posible que algún o alguna estudiante crea que se pueden calcular las probabilidades planteadas directamente. En este caso, hágales calcular alguna probabilidad en particular, para que note que no es un cálculo directo de hacer.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-08%20%281%29.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-08%20%281%29.png","tipo":"img"},{"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","escala":"50","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-08%20%281%29.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-08%20%281%29.png"},{"tipo":"p","eng":"Then, ask them to answer the following questions on the Activity Sheet.
","esp":"Luego, pídales que respondan a las siguientes preguntas de la Hoja de Actividades.
"},{"eng":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/tabla.png\")
Recuérdeles que si se conoce la función de densidad de una variable aleatoria continua, para calcular probabilidades basta con conocer el área bajo la curva entre dos valores dados. Coméntales que en este caso, sabemos que los pesos al nacer siguen una distribución normal pero no conocemos su función de densidad y por lo tanto no podemos calcular directamente las probabilidades solicitadas. Finalmente dígales que para estos cálculos se utilizará la normal estandarizada.
","tipo":"p","eng":"Remind them that if the density function of a continuous random variable is known, then to calculate probabilities it is enough to know the area under the curve between two given values. Tell them that in this case, we know that the birth weights follow a normal distribution but we do not know their density function and therefore we cannot directly calculate the requested probabilities. Finally tell them that the standardized normal will be used for these calculations.
"},{"tipo":"h3","esp":"Segunda Parte","eng":"Second part"},{"eng":"Also, mention that if you know that a data distribution is normal, you can work with the standardized normal by performing a change of variable that relates each of the original data points to a value of the variable in the standardized normal
","tipo":"p","esp":"Además, mencione que si sabe que una distribución de datos es normal, se puede trabajar con la normal estandarizada realizando un cambio de variable que relaciona cada uno de los datos originales con un valor de la variable de la normal estandarizada
"},{"eng":"To help them answer the first question in the problem, recall the change of variable that must be made and the values of \\(\\mu = 3357.4\\) grams and standard deviation \\(\\sigma = 518.4\\) grams. .","tipo":"p","esp":"Para ayudarlos a responder la primera pregunta del problema, recuerde el cambio de variable que se debe realizar y los valores de \\(\\mu = 3357,4\\) gramos y de la desviación estándar \\(\\sigma = 518,4\\) gramos."},{"eng":"Also, mention that if you know that a data distribution is normal, you can work with the standardized normal by performing a change of variable that relates each of the original data points to a value of the variable in the standardized normal
","esp":"Además, mencione que si sabe que una distribución de datos es normal, se puede trabajar con la normal estandarizada realizando un cambio de variable que relaciona cada uno de los datos originales con un valor de la variable de la normal estandarizada
","tipo":"p"},{"eng":"To guide them in the next question, recall with an example how the table of areas of the standardized normal is used. You can use the probability calculation \\(P(0 \\leq Z \\leq 1.18)\\) as an example. Project slide 13 with the table and explain the information it provides.","esp":"Para guiarlos en la siguiente pregunta, recuerde con un ejemplo cómo se usa la tabla de áreas de la normal estandarizada. Puede utilizar el cálculo de la probabilidad \\(P(0 \\leq Z \\leq 1,18)\\) como ejemplo. Proyecte la diapositiva 13 con la tabla y explique la información que esta entrega.","tipo":"p"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-05%20%281%29.png","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-05%20%281%29.png","escala":"50","caption":{"eng":"","esp":""}},{"tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"75","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-06%20%281%29.png","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-06%20%281%29.png"},{"esp":"Recuerde que el área bajo la curva marcada en azul representa la probabilidad de que \\(Z\\) tome un valor entre \\(0\\) y \\(1,18\\). Y que esto se escribe de la siguiente manera:","tipo":"p","eng":"Remember that the area under the curve marked in blue represents the probability that \\(Z\\) takes a value between \\(0\\) and \\(1.18\\). And that this is written as follows:"},{"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-05%20%281%29.png","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-05%20%281%29.png","tipo":"img","escala":"50","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-06%20%281%29.png","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"75","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/img/p_-06%20%281%29.png","caption":{"eng":"","esp":""}},{"eng":"To answer the following question, you can ask the students to write the probabilities requested in the previous way, as a function of \\(Z\\).","tipo":"p","esp":"Para responder la siguiente pregunta, puede pedir a las y los estudiantes escribir las probabilidades solicitadas de la forma anterior, en función de \\(Z\\)."},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","eng":"Coménteles que si bien los parámetros de la normal se calcularon con datos de 1993 al 2000, esta puede ser aproximación de los parámetros actuales de nacimiento, y por lo tanto, estas probabilidades se pueden utilizar para nacimientos actuales.
","eng":"Tell them that although the normal parameters were calculated using data from 1993 to 2000, this may be an approximation of current birth parameters, and therefore these probabilities can be used for current births .
","tipo":"p"},{"eng":"The purpose of part c. of the previous question is that your students can comment on the values obtained, justifying their comments with the probabilities. For example:\n
","tipo":"p","esp":"El propósito de la parte c. de la pregunta anterior es que sus estudiantes puedan opinar respecto de los valores obtenidos, justificando sus comentarios con las probabilidades. Por ejemplo:\n
"},{"esp":"Plantee las siguientes preguntas para que los y las estudiantes interpreten los resultados obtenidos.
","eng":"Ask the following questions for the students to interpret the results obtained.
","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","esp":"","eng":"","tipo":"momento"},{"eng":"The goal of the first question is for you to use the value calculated in the previous part to say that it is very likely that you will be born with the appropriate weight. The answer to the second question may be different. If compared with the probability of being born in the appropriate range, it is small; however, as low birth weight can cause some complications, it would be desirable for it to be closer to 0, which is not the case in this case, and they could conclude that it is not. it's so small.
","esp":"El objetivo de la primera pregunta es que utilicen el valor calculado en la parte anterior para decir que es muy probable que nazca con el peso adecuado. La respuesta a la segunda pregunta puede ser diversa. Si se compara con la probabilidad de que nazca en el rango adecuado es pequeña, sin embargo, como el nacer bajo peso puede generar algunas complicaciones se desearía que está fuera más cercano a 0, lo que no ocurre en este caso y podrían concluir que no es tan pequeña.
","tipo":"p"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Sistematización","eng":""},{"eng":"Systematize the following ideas that emerged from the lesson:
","esp":"Sistematice las siguientes ideas surgidas de la lección:
","tipo":"p"},{"esp":"(Diapositivas 16 a 19, Presentación) ","tipo":"h4","eng":"(Slides 16 to 19, Presentation)"},{"recurso":"ModalPDF","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/PPT%20-%20Distribuci%C3%B3n%20normal_%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci%C3%A9n%20nacidos%20en%20Chile%20-%203_4_U2_0A3.pdf","eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/PPT%20-%20Distribuci%C3%B3n%20normal_%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci %C3%A9n%20born%20in%20Chile%20-%203_4_U2_0A3.pdf","titulo":{"eng":"see presentation","esp":"Ver presentación"},"tipo":"button"},{"tipo":"p","eng":"","esp":""},{"esp":"","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":""},{"esp":"","eng":"","tipo":"p"}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Evaluación y práctica","eng":""},{"esp":"La Guía Práctica busca que los y las estudiantes continúen abordando el problema estudiado en clase. Para esto, se considerará la información de los pesos divididos por semanas de gestación obteniendo así para tres semanas distintas, distintos valores de promedio y desviación estándar. El objetivo será ahora comparar las distintas distribuciones obtenidas y reforzar el cálculo de probabilidades.
","tipo":"p","eng":"The Practical Guide seeks for students to continue addressing the problem studied in class. For this, the information of the weights divided by weeks of gestation will be considered, thus obtaining for three different weeks, different values of average and standard deviation. The objective will now be to compare the different distributions obtained and reinforce the calculation of probabilities.
"},{"eng":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/Gu%C3%ADa%20pr%C3%A1ctica%20Distribuci%C3%B3n%20normal%20- %20Study%20of%20weight%20of%20reci%C3%A9n%20born%20in%20Chile.pdf","tipo":"button","recurso":"ModalGP","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/PYE/Peso%20de%20los%20bebes/pdfs/Gu%C3%ADa%20pr%C3%A1ctica%20Distribuci%C3%B3n%20normal%20-%20Estudio%20del%20peso%20de%20reci%C3%A9n%20nacidos%20en%20Chile.pdf"}],"visible":true}}},"visible":true,"recursosProyecto":[]},"48":{"visible":true,"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Momento de enganche","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositiva 2 a 3, Presentación)"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\nReproduzca el video “100 metros planos” y dé un tiempo para que las y los estudiantes compartan sus opiniones respecto a las siguientes preguntas:\n
"},{"eng":"","esp":"Estas preguntas buscan que los estudiantes, a partir de la información que proporciona el video, identifiquen un modelo simplificado de la realidad que describe la posición de un corredor (Tarea Matemática A). A partir de las respuestas de sus estudiantes, se espera que concluyan que:\n
","tipo":"p"},{"esp":"Comente a sus estudiantes que en la clase trabajarán en responder la siguiente pregunta:\n
"},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"¿Cómo podemos determinar la aceleración y velocidad del atleta durante la carrera? \n
"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"La pregunta planteada en la sección anterior se abordará considerando la carrera de Usain Bolt en la que obtuvo el récord mundial.
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Entregue a sus estudiantes información respecto de esta carrera:
"},{"esp":"Comente que existen registros que documentan cuánto demoró en recorrer distintas distancias durante la carrera. Al representar estos puntos, obtenemos el siguiente gráfico:
"},{"caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/100_metros/imgs/Modelo%20Usain%20Bolt.png","escala":"50","tipo":"img","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":""}},{"esp":"Mencione que este gráfico muestra la posición en el tiempo de Usain Bolt durante la carrera.\n
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\nA continuación, plantee la siguiente pregunta, que busca que las y los estudiantes puedan conectar el gráfico de una función de posición con el modelo simplificado (Tarea Matemática B).\n
"},{"esp":"Suponiendo que esta carrera se ajusta a las fases descritas en el video, donde hay un periodo inicial de aceleración, seguido de uno donde se intenta mantener la velocidad constante hasta el final, responde:
\n¿A partir de qué momento crees que el corredor deja de acelerar e intenta mantener una velocidad constante?
\n","tipo":"momento","eng":"","recurso":"Pregunta"},{"tipo":"p","esp":"Esta pregunta busca que, a partir de la información del gráfico, las y los estudiantes noten que:
","eng":""},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"Del gráfico no se puede determinar el momento exacto donde deja de acelerar."},{"esp":"De todos modos, parece que después de los \\(2\\) segundos el corredor mantiene una velocidad constante, ya que los puntos se encuentran alineados.","tipo":"h4","eng":""},{"esp":"(Diapositiva 7 a 10, Presentación)","eng":"","tipo":"h4"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/100_metros/pdfs/ppt-100-metros.pdf","eng":"","titulo":{"esp":"Ver presentación","eng":""},"tipo":"button","recurso":"ModalPDF"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Para modelar la relación entre estas dos variables, mencione a sus estudiantes las siguientes consideraciones:
"},{"esp":"Indique que, a partir de los datos, es posible estimar los parámetros \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\), \\(t_*\\) y \\(t_f\\) de la función \\(x(t)\\) que modela esta relación. Note que \\(t_f\\) es el momento en que Usain Bolt cruza la meta (\\(9{,}58\\) segundos).\n
"},{"eng":"","esp":"\\[x(t) = \\left\\{ \\begin{array}{cl}\n 2{,}8 \\ t^{2} &\\text{ si } \\ \\ \\ \\ \\ \\ 0 \\leq t \\leq 2{,}09 \\\\ \n11{,}7 \\ t - 12{,}22 &\\text{ si } \\ 2{,}09 < t \\leq 9{,}58 \n\\end{array} \\right. \\]\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Su gráfico es el siguiente:
"},{"escala":"50","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/100_metros/imgs/modelo-bolt-ajustada.png","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"","recurso":"Destacado","esp":"Concluya con sus estudiantes que:
\nA continuación, plantee la siguiente pregunta que busca que sus estudiantes relacionen el modelo simplificado con un modelo matemático expresado de forma algebraica (Tarea Matemática C).\n
","eng":""},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 11 a 12, Presentación)","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/100_metros/pdfs/ppt-100-metros.pdf","recurso":"ModalPDF","eng":"","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Ver presentación"}},{"esp":"Se espera que sus estudiantes relacionen la expresión algebraica de cada tramo de la función con las fases de la carrera, es decir, que el primer tramo de la carrera se puede modelar mediante una función cuadrática y el segundo tramo a través de una función afín.
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"A continuación, recuerde a sus estudiantes que el objetivo de la clase es responder la pregunta:
"},{"esp":"¿Cómo podemos determinar la aceleración y velocidad del atleta durante la carrera?
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Plantee resolver, en primera instancia, el problema de determinar la velocidad del atleta en cualquier instante dado.
","eng":""},{"esp":"Para resolver este problema, destaque que:
\n\nEntregue la Hoja de Actividades, y presente la Actividad 1, en la que las y los estudiantes deben:
","eng":""},{"eng":"","esp":"Pida resolver esta actividad en grupos.
"},{"eng":"","esp":"(Diapositiva 13 a 15, Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/100_metros/pdfs/ppt-100-metros.pdf","titulo":{"esp":"Ver presentación","eng":""},"recurso":"ModalPDF","tipo":"button"},{"esp":"Actividad 1
\nConsidera la función \\(x(t)\\), que modela la distancia (en metros) en el tiempo (en segundos) recorrida por Usain Bolt en la carrera de 100 metros del mundial de Berlín de 2009. \n
\n\\[x(t) = \\left\\{ \\begin{array}{cl}\n 2{,}8 \\ t^{2} &\\text{ si } \\ \\ \\ \\ \\ \\ 0 \\leq t \\leq 2{,}09 \\\\ \n11{,}7 \\ t - 12{,}22 &\\text{ si } \\ 2{,}09 < t \\leq 9{,}58 \n\\end{array} \\right. \\]\n
\n- \n
Pida a sus estudiantes que respondan las preguntas 1 y 2 de la Actividad 1. Se espera que puedan responder que:
\n\n\n\n- \n
\nLuego, indique que aborden las preguntas 3 y 4 de la Actividad 1 y dé un tiempo para que las respondan. Recoja las interpretaciones que hagan sus estudiantes y concluya con ellos que:\n
\n\n\n\n- \n
Una vez que calcularon la velocidad del atleta en cualquier momento, indique a sus estudiantes que ahora hay que determinar la aceleración del atleta durante la carrera.
"},{"eng":"","esp":"Para ello, plantee a sus estudiantes la siguiente pregunta:
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"¿Cómo podemos, a partir de la función \\(x(t)\\), estimar la aceleración del atleta en cualquier momento?
"},{"tipo":"momento","recurso":"Destacado","eng":"","esp":"Destaque que:
\nEntregue la Hoja de Actividades, y presente la Actividad 2, en las que las y los estudiantes deben:\n
","eng":""},{"esp":"Actividad 2
\nConsidera la función \\(x(t)\\), que modela la distancia (en metros) en el tiempo (en segundos) recorrida por Usain Bolt en la carrera de 100 metros del mundial de Berlín de 2009. \n
\n\\[x(t) = \\left\\{ \\begin{array}{cl}\n 2{,}8 \\ t^{2} &\\text{ si } \\ \\ \\ \\ \\ \\ 0 \\leq t \\leq 2{,}09 \\\\ \n11{,}7 \\ t - 12{,}22 &\\text{ si } \\ 2{,}09 < t \\leq 9{,}58 \n\\end{array} \\right. \\]\n
\n- \n
Pida a sus estudiantes que respondan la pregunta 1 de la Actividad 2. Se espera que logren responder que:\n
\n- \n\n
\nUna vez que identificaron la expresión algebraica de la derivada para cada tramo de la función, pídales que respondan la pregunta 2 y 3 de la Actividad 2. En base a las respuestas de los estudiantes, concluya con ellos y ellas que:
\n- \n
En base a lo realizado en clases, sistematice las siguientes ideas:
","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Presente a sus estudiantes la Guía práctica. Este documento tiene por objetivo que las y los estudiantes analicen y apliquen lo aprendido acerca de derivadas utilizando el mismo contexto de los 100 metros planos, pero esta vez para la velocista Elaine Thompson-Herah, quien batió el récord olímpico de los 100 metros planos en la competencia femenina, en los juegos olímpicos de Tokio 2020.
Se espera que las y los estudiantes puedan resolver estos ejercicios de manera autónoma, dada la similitud a las actividades expuestas en la clase.
Estos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente los siguientes indicadores de evaluación:
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"El video introduce el contexto de la competencia de 100 metros planos, destacando los principales factores que influyen en el tiempo que los deportistas tardan en completar la carrera. A partir de identificar que existen partes de la carrera en que el atleta busca acelerar o mantener su velocidad, se plantean preguntas para describir en mayor profundidad estos tramos y estimar la velocidad y aceleración en distintos puntos de la carrera.
","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/100m-planos/19_100metrosv_2_subt.mp4","eng":"","tipo":"video"},{"recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Descargar Video","esp":"Descargar Video"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/100m-planos/19_100metrosv_2_subt.mp4","tipo":"button","eng":""},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 12)"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/100_metros/pdfs/ppt-100-metros.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/100_metros/docs/ppt-100-metros.pptx","tipo":"button"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 13 a 19)","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/100_metros/pdfs/ppt-100-metros.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""},"tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/100_metros/docs/ppt-100-metros.pptx"},{"esp":"Hoja de Actividades","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/100_metros/pdfs/hoja-de-actividades-100-metros.pdf","eng":""},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":""},"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/100_metros/docs/hoja-de-actividades-100-metros.docx"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 20 y 21)","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/100_metros/pdfs/ppt-100-metros.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/100_metros/docs/ppt-100-metros.pptx","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""},"eng":"","recurso":"Descarga"}]},"4":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Guía Práctica"},{"eng":"","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes analicen la derivada en un contexto donde deben determinar la velocidad y aceleración de una velocista. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/100_metros/pdfs/guia-practica-100-metros.pdf","eng":""},{"recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía Práctica"},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/100_metros/docs/guia-practica-100-metros.docx","eng":""}],"visible":true}},"visible":true},"aspectosAConsiderar":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Interpretación de las derivadas","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"Si tenemos una función y=f(t), que describe una variable y que está en función del tiempo, su primera derivada dy/dt corresponde a la tasa de cambio de y en el instante t, lo que, en este caso, se interpreta como la velocidad a la que cambia y en ese instante.
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"La aceleración, a su vez, es la tasa de cambio de la velocidad, es decir, la primera derivada de la velocidad respecto al tiempo. Por lo tanto, la aceleración instantánea es la segunda derivada de la función y=f(t), que denotamos d2y/dt2.
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"Notación de las derivadas","tipo":"h3"},{"esp":"En matemáticas, existen varias notaciones para representar las derivadas de una función. En esta situación usamos la notación de Leibniz, la cual usa la expresión dy/dt para representar la derivada de la función y con respecto a la variable t y se lee como \"la derivada de y con respecto a t\". Para derivadas de orden mayor, se usa la notación dny/dtn que habitualmente se lee \"la derivada enésima de y respecto de t\".
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Derivadas de funciones definidas por tramos"},{"eng":"","esp":"En una función por tramos, la expresión de la derivada puede cambiar en cada intervalo, debido a que la función tiene distintas definiciones en cada uno de ellos. Para determinar la derivada de una función por tramos, es necesario considerar lo siguiente:
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Consideremos el ejemplo de la función que utilizaremos en esta clase para modelar la posición en el tiempo de la carrera de Usain Bolt:
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"\\[x(t) = \\left\\{ \\begin{array}{cl} \n2{,}8 \\ t^{2} &\\text{ si } \\ \\ \\ \\ \\ \\ 0 < t \\leq 2{,}09 \\\\ \n11{,}7 \\ t - 12{,}22 &\\text{ si } \\ 2{,}09 < t \\leq 9{,}58 \n\\end{array} \\right. \\]\n
"},{"esp":"Cuando se deriva cada parte se tiene que
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"
\n\\[\\frac{dx}{dt} = \\left\\{ \\begin{array}{cl}\n 5{,}6 \\ t &\\text{ si } \\ \\ \\ \\ \\ \\ 0 < t \\leq 2{,}09 \\\\\n11{,}7 &\\text{ si } \\ 2{,}09 < t \\leq 9{,}58\n\\end{array} \\right. \\]Al evaluar dx/dt en t=2,09 en la expresión de cada tramo, notamos que 5,6x2,09 es aproximadamente igual a 11,7. Esto permite suponer que, en este caso, la derivada en el número donde x(t) cambia de expresión está bien definida.
"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Análisis de un modelo matemático","tipo":"h3"},{"esp":"
Lo anterior, no ocurre necesariamente en todas las funciones definidas por tramos.En esta situación, las y los estudiantes deben analizar un modelo matemático que surge a partir de una simplificación de la situación real. Es fundamental destacar que la situación real, que representa la posición de los atletas durante una carrera de 100 metros planos, puede ser difícil de abordar en todos sus aspectos matemáticos. Por lo tanto, para abordarla, es necesario crear una versión simplificada de la realidad (modelo real) que capture los aspectos más relevantes del fenómeno. En este caso específico, el modelo simplificado considera el supuesto de que la carrera consta de dos fases (una etapa de aceleración constante, seguida de un período de velocidad constante), desestimando otras etapas que son menos relevantes para el análisis que se quiere realizar.
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"La actividad presenta una función que modela esta situación simplificada. Es esencial guiar a los estudiantes en el análisis de la coherencia entre el modelo real y el modelo matemático propuesto. Los supuestos considerados son fundamentales para justificar la elección de la expresión cuadrática y afín que conforman las partes de la función definida por tramos, que se presenta como el modelo matemático con el que deben trabajar. Al entender la relación entre el modelo y la realidad, los estudiantes podrán apreciar mejor las limitaciones y la utilidad del modelo en el contexto específico de la carrera de 100 metros planos.
","tipo":"p","eng":""}]},"3":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"El velocista ideal"},{"tipo":"p","esp":"El más famoso e impresionante de todos los velocistas hasta el momento es Usain Bolt. Sus récords mundial y olímpico siguen vigentes en las competencias masculinas. Su último récord fue en el Mundial de Atletismo de Berlín del 2009, con un tiempo de 9,58 segundos en la carrera de 100 metros planos.
","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Estas hazañas no han pasado desapercibidas por la comunidad científica, la cual se ha preguntado, por ejemplo, cuál es la velocidad máxima que alcanzó Usain Bolt en sus mejores carreras. El estudio del último récord de Bolt permite identificar algunos aspectos relevantes de su rendimiento:
"},{"eng":"","esp":"- \n
Bolt se acerca mucho a un “velocista ideal”, que tendría, entre otras, las siguientes características:
"},{"eng":"","esp":"Para simplificar el análisis de la situación, en esta clase consideraremos dos fases en la carrera del velocista ideal:
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Fase 1: periodo de aceleración hasta que alcanza su velocidad máxima.
"},{"eng":"","esp":"Periodo de aceleración","tipo":"h4"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"
Fase 2: periodo en que mantiene esta velocidad máxima constante hasta cruzar la línea de meta.En física podemos describir este periodo como un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. La distancia recorrida x en función del tiempo t se modela como \\[x(t)=x_i+v_i \\cdot t+ \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot t^{2}\\]. El velocista parte del reposo, esto quiere decir que vi su velocidad inicial es nula, y su posición inicial xi es 0 m. Así, este periodo de aceleración se modela mediante la expresión:\n\\[x(t)=\\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot t^{2}\\]\ndonde a corresponde a la aceleración que logra el velocista en su primer impulso explosivo, y que supondremos mantiene constante.\n
"},{"eng":"","esp":"Velocidad máxima","tipo":"h4"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"El velocista alcanza su máxima velocidad cuando ya no puede seguir acelerando por sus limitaciones físicas. La velocidad máxima se alcanza en un tiempo t*. En ese momento ha recorrido una distancia de x*, que es equivalente a:\n\\[x_{*} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot t_{*}^{2} \\]\n
"},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"Período de velocidad constante"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Hasta el instante t* el corredor recorre una distancia x*. En lo que resta de la carrera, el velocista debe mantener una velocidad constante v. Esto implica un movimiento rectilíneo uniforme dado por la expresión:\n \\[x(t) = x_{*} + v \\cdot t\\]\n
"},{"tipo":"h4","esp":"Modelo matemático para la posición del velocista ideal","eng":""},{"esp":"Teniendo en consideración los detalles mencionados anteriormente, la posición de un velocista ideal para una carrera de 100 metros planos se puede modelar como:\n\\[x(t) = \\left\\{ \\begin{array}{cl}\n \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot t^{2} &\\text{ si } 0 \\ \\leq t \\leq t_{*} \\\\ \nx_{*} + v \\cdot t &\\text{ si } t_{*} < t \\leq t_{f} \n\\end{array} \\right. \\]
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"El gráfico de x(t) es el siguiente:
"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/100_metros/imgs/velocista-ideal.png","caption":{"esp":"","eng":""}},{"esp":"Distancia, velocidad y aceleración","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"El cálculo diferencial e integral proporcionan herramientas matemáticas para describir y explicar el movimiento de los objetos, así como las relaciones entre fuerza, masa, velocidad y aceleración. Se sabe que en un movimiento rectilíneo:
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"En esta sección abordaremos las principales características de las funciones exponencial y logística.
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"Función exponencial","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"La función exponencial en su forma general se escribe como \\(f(x)=ab^x\\) donde \\( a \\in \\mathbb{R} \\) y \\( b>0 \\). En la expresión \\(b^x\\), el número positivo \\(b\\) se denomina la base y el real \\(x\\), exponente.
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Un caso particular de \\(f(x)=a \\cdot b^x\\) se tiene cuando \\(a = 1\\) y \\(b = e\\), denominada “función exponencial natural”. En ella, el número real \\(e\\) se conoce como número de Euler y es un número irracional que tiene un valor de 2.71828…
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","esp":"A continuación se muestra el gráfico de \\(f(x)=e^x\\), donde se observa que la función crece rápidamente a medida que el exponente \\(x\\) aumenta.
","eng":""},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/gripe_y_el_crecimiento_logistico/imgs/exponencial%20geogebra.png","alinea":"texto-centrado","eng":"","tipo":"img","escala":"50","caption":{"eng":"","esp":""}},{"esp":"Función logística","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"La función logística es una función muy usada en la modelación matemática en diversos campos como la biología, la psicología, la medicina, las probabilidades, la economía, entre muchas otras. Tal como se estudiará en la lección, esta función se usa para modelar fenómenos que inicialmente crecen o decrecen de manera exponencial pero que tienen límites o saturación. Tales fenómenos incluyen el crecimiento de una población o la propagación de una enfermedad.
","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Matemáticamente, una función logística se define como \\(f(x) = \\frac{c}{1 + ae^{-bx}} \\), donde \\(a\\), \\(b\\) y \\(c\\) son números reales positivos.
","eng":""},{"eng":"","esp":"Cabe notar que este tipo de funciones aparecen al resolver ecuaciones diferenciales que describen un fenómeno de interés, por ejemplo, el asociado al crecimiento de una población que deja de crecer cuando alcanza el tamaño \\(c\\). La función logística corresponde a la solución ecuaciones diferenciales del tipo: \n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"\\( \\frac{dy}{dx} = b \\cdot y \\cdot (1 - \\frac{y}{c})\\)
","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"
\nen donde \\(y = f(x)\\) y \\(c\\) es la población total.\nEcuaciones diferenciales de este tipo son fundamentales en el modelamiento de propagación de enfermedades, de crecimiento de poblaciones, entre muchas otras situaciones.
"},{"esp":"El gráfico de una función logística se puede identificar como el de una curva que cerca de \\(x=0\\) crece exponencialmente, pero se va estabilizando a medida que \\(x\\) crece, y nunca sobrepasa el valor \\(c\\). Los valores de los parámetros \\(a\\), \\(b\\) y \\(c\\) determinan la forma de la función. Por ejemplo, un mayor valor de \\(b\\) indica un crecimiento más abrupto al inicio, como se puede visualizar en los siguientes gráficos\n
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Cabe notar que en los problemas de modelamiento tratados en esta actividad, la variable \\(x\\) representa el tiempo, y por lo tanto, se puede considerar el gráfico solo para valores mayores o iguales a cero.
"}]},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Consideraciones relevantes para el desarrollo de la actividad"},{"tipo":"p","esp":"En esta situación, las y los estudiantes deben analizar un modelo matemático que surge a partir de una simplificación de la situación real. En particular, en este modelo se asume que “las personas se contagian solo una vez”, es decir, luego de ser contagiados contraen inmunidad. Así, es seguro que el máximo en el número de contagiados acumulados es el total de la población.\n
","eng":""},{"esp":"Para el correcto desarrollo de la actividad es fundamental que los estudiantes conozcan las funciones exponenciales, ya que la función logística se construye a partir de ella. Para reforzar esta comprensión, se pueden realizar ejercicios prácticos donde los estudiantes calculen valores específicos de alguna función exponencial como \\(f(x)=e^x\\) o \\(g(x)=2^x\\), y la función logística utilizando herramientas como calculadoras o GeoGebra.
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para apoyar en la comprensión de la función logística y su relación con la función exponencial, es recomendable utilizar gráficos. Estos gráficos permiten visualizar de manera clara cómo se comporta la función logística y cómo se diferencia de la función exponencial.
"},{"eng":"","esp":"Al representar dos funciones en un mismo gráfico, los estudiantes pueden visualizar cómo la función logística muestra un crecimiento inicial rápido que se desacelera a medida que se acerca a su valor máximo, en contraste con la función exponencial que continúa creciendo sin límites. Además, al variar los parámetros de la función logística, los y las estudiantes pueden observar cómo estos modifican la gráfica de la función.
","tipo":"p"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Modelamiento de la propagación de la gripe","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Una hipótesis importante a considerar en esta actividad es que “las personas se contagian solo una vez”, es decir, luego de ser contagiados contraen inmunidad. Así, es seguro que el máximo en el número de contagiados acumulados es el total de la población.
"},{"eng":"","esp":"Para modelar la propagación de una enfermedad, se considera la población total como la suma de las personas susceptibles de contraer la enfermedad, las personas infectadas y las personas recuperadas o inmunes.
","tipo":"p"},{"esp":"En las primeras etapas de la propagación, el número de personas infectadas aumenta rápidamente y, mientras más personas se infecten, más rápido se van contagiando otras. Por ello, inicialmente la propagación se asemeja a un crecimiento exponencial. Sin embargo, esta tendencia no puede continuar, pues a medida que más personas se infectan, la población susceptible de enfermarse disminuye, por tanto, el crecimiento se desacelera y eventualmente alcanza un punto de equilibrio o saturación. Una vez alcanzado este punto, ya no es necesario enfocarse en los valores que la función logística entrega para tiempos más grandes.\n
","tipo":"p","eng":""},{"caption":{"eng":"","esp":"Hasta la línea punteada, la función crece con tendencia a la función exponencial. Luego de eso comienza a desacelerar para estabilizarse en un valor. "},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/gripe_y_el_crecimiento_logistico/imgs/logistica%20con%20punto%20inflexion.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Este modelo simplifica algunos aspectos complejos del fenómeno de propagación de enfermedades, pero es una herramienta muy útil para hacer simulaciones, predicciones, y finalmente comprender el fenómeno de propagación de una enfermedad."}]}}},"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Momento de enganche","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositivas 1 a 4, Presentación)","eng":"","tipo":"h4"},{"eng":"","esp":"Comience la lección, planteando preguntas con el propósito de introducir el contexto que se abordará en esta clase: “propagación de una enfermedad”.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"","esp":"En tu curso o grupo familiar, cuando una persona a tu alrededor presenta alguna gripe:
\nLas respuestas esperadas son las siguientes: \n
Plantee a sus estudiantes la situación principal que motiva esta lección:\n
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"¿Qué función permite modelar la cantidad de infectados de gripe?\n
","eng":"","recurso":"Pregunta","tipo":"momento"},{"esp":"Comente que a continuación se desarrollarán actividades con el fin de responder esta pregunta.\n
","tipo":"p","eng":""}]},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Primera parte","eng":""},{"esp":"(Diapositiva 6 a 17, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"esp":"Para comenzar a abordar la pregunta anterior, pida a los y las estudiantes que trabajen en la actividad 1 de la Hoja de actividades. \n
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":"","esp":"Actividad 1: Explorando modelos matemáticos
\nEn el siguiente gráfico se muestran los casos acumulados de contagio de gripe común, en el transcurso de 60 días. \n
\nA partir de la información del gráfico:
\n- \n
El objetivo de la primera pregunta es que los y las estudiantes identifiquen que los casos acumulados aumentan hasta que se estabilizan en cierto valor. Para ayudarlos(as), les puede pedir que describan la función en intervalos (o etapas). Si no surge de ellos, puede las siguientes etapas: \n
"},{"esp":"El objetivo de la segunda pregunta es que recuerden algunas funciones conocidas, en particular la función exponencial. Para ayudarlos(as) a responder esta pregunta puede recordar y dibujar estas funciones y sus gráficas. \n
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"La idea es que los y las estudiantes identifiquen a la función exponencial como una candidata para representar la situación planteada hasta cierto punto del gráfico (aproximadamente a los 40 días). También es posible que algunos estudiantes mencionen que la curva del gráfico se puede representar con diferentes funciones, en diferentes tramos. Por ejemplo, \n
"},{"esp":"El objetivo de la tercera pregunta es que los y las estudiantes determinen que ninguna de las funciones anteriores representa completamente la gráfica. Si bien la función exponencial creciente podría representar el comportamiento de los datos hasta cierto punto, este tipo de crecimiento no puede continuar indefinidamente, pues la curva de casos acumulados debe estar limitada por el total de la población. Este requisito no se cumple en ninguna de las funciones que se muestran.
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"A continuación, proyecte el siguiente recurso GeoGebra, que le permitirá explorar la gráfica de diferentes cocientes de funciones:","eng":"","tipo":"p"},{"recurso":"Geogebra","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/nvkyzszg/width/1002/height/545/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","eng":"","tipo":"iframe"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Comente a sus estudiantes que el propósito de esta actividad es identificar cuál de las gráficas, a través de sus características, permite explicar el aumento de contagios. Pídales que respondan la pregunta 4 de la Hoja de actividades.
"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":"","esp":"Dada la gran cantidad de funciones disponibles, le recomendamos que oriente el trabajo de sus estudiantes para que exploren combinaciones con las siguientes funciones: \\(f_1(x) = 20.000\\), \\(f_2(x) = x\\), \\(f_3(x) = e^{2x}\\) y \\(f_4(x) = 1 + e^{2x}\\).\n
"},{"tipo":"p","esp":"También puede incorporar otras funciones conocidas por sus estudiantes, con el objetivo de resaltar las características buscadas en el modelo. Es conveniente que mantenga oculta la numeración de los ejes, para concentrarse en la forma de las curvas. \n
","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Comience graficando las siguientes funciones que no se asemejan a la curva de contagios: \\(\\frac{f_3}{f_1}\\), \\(\\frac{f_3}{f_2}\\) o \\(\\frac{f_1}{f_4}\\). Para cada una de ellas, plantee preguntas que permitan compararla con la curva de contagios.\n
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Promueva que sus estudiantes expliciten aquellos elementos de la gráfica en los que se fijaron para dar sus respuestas. Pueden argumentar usando la forma de la curva o indicando que la función crece indefinidamente, sin estabilizarse. Es importante que esté recordando las características más importantes de la curva de contagios observadas en la Actividad 1. Idealmente, solicite a los mismos estudiantes que indiquen las funciones a testear, siempre promoviendo el análisis gráfico.
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Finalmente, proyecte la gráfica de \\( \\frac{f_3}{f_4}\\) y promueva que sus estudiantes den argumentos gráficos para justificar que esta función sí permite modelar el comportamiento de la enfermedad: inicialmente crece de manera similar a una función exponencial y luego se estabiliza, sin crecer indefinidamente. \n
"},{"tipo":"p","esp":"Comente que, desde ahora en adelante, explorarán este tipo de funciones.\n
","eng":""},{"eng":"","esp":"Haga notar a sus estudiantes que:
\nAl tomar en cuenta estos aspectos, pueden apreciar la complejidad del comportamiento de la enfermedad y la necesidad de buscar un modelo matemático que se ajuste de manera adecuada a todos los patrones observados. \n
","tipo":"momento","recurso":"Destacado"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Puede hacer explícitas las ideas mencionadas en el recuadro anterior, proyectando la diapositiva 11, en la que se muestra un resumen de estas.\n
"},{"esp":"¿Qué podemos concluir hasta el momento?
\nEn esta actividad se define matemáticamente la función logística y el modelo de crecimiento logístico, que resulta ser el que se ajusta de forma más precisa a los datos de infectados de gripe.\n
","eng":""},{"esp":"A continuación, pídales que trabajen en su Hoja de actividades. Proyecte la diapositiva 12 y presente el modelo de crecimiento logístico, explicando las características de su gráfico. Luego, pídeles que trabajen en el problema de aplicación del modelo logístico.\n
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Actividades","esp":"Actividad 2: Modelo de crecimiento logístico
\nEl modelo de crecimiento logístico se describe por la función: \\(f(x) = \\frac{c \\cdot e^{bx} }{a + e^{bx} } \\), en donde:
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/gripe_y_el_crecimiento_logistico/imgs/Guion_Gripe_04.png\")
Notas:
\nComente que la expresión \\(f(x) = \\frac{c}{1 + a \\cdot e^{-bx} } \\) es la que típicamente aparece en los textos de estudio, sin embargo, ambas expresiones son algebraicamente equivalentes.\n
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Es importante que sus estudiantes reconozcan que gráficamente no es posible determinar el valor de \\(a\\), necesario para identificar la función que modela este caso, y que para esto se tiene que realizar un trabajo algebraico con la función. A continuación, con el propósito de obtener algebraicamente dicho valor, pídales que trabajen en la Hoja de actividades.
"},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"\\(\\frac{c}{1+a}=1\\)
\\(\\frac{50.000}{1+a}=1\\)\n
\\(50.000=1+a\\)\n
\\(a=49.999\\)\n
","recurso":"Respuesta","tipo":"momento","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"De tiempo para que los y las estudiantes realicen estas operaciones. Proyecte la diapositiva 15 para mostrar el desarrollo de los cálculos en la parte 5a. Promueva que sus estudiantes comparen este valor de \\(a\\) con alguno obtenido gráficamente. Finalmente proyecte la imagen con la curva sobre la gráfica de puntos, disponible en la diapositiva 15, puede plantear preguntas para que identifiquen que efectivamente la curva se ajusta a los puntos: ¿Cómo se ajusta la curva obtenida a los datos del problema?\n
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Concluya que el ajuste de esta función a los datos es certero “aún cuando la curva obtenida no pasa exactamente por todos los puntos”. Comente que al trabajar con problemas aplicados, es muy difícil que los modelos representen exactamente lo que ocurre, y se considera que los resultados son buenos cuando se tienen buenas aproximaciones, como en este caso. \n
"},{"tipo":"p","esp":"Para que no quede la idea de que se obtuvo la función logística por simple exploración o “ensayo y error” con funciones conocidas, comente que tiene su origen en el modelamiento matemático de situaciones de crecimiento de poblaciones que presentan un máximo valor. Es preferible que no entregue detalles que estén fuera del alcance de sus estudiantes (como el hecho que esta proviene de ecuaciones diferenciales).\n
","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para finalizar la clase, presente la sistematización.\n
"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Sistematización"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositiva 16, Presentación)"},{"esp":"Presente a sus estudiantes la Guía práctica. Este documento tiene por objetivo que las y los estudiantes apliquen lo aprendido acerca de la función logística, para resolver un problema análogo al estudiado en esta situación, en el que además tendrán que estimar en qué tiempo se contagiará un determinado porcentaje de la población. Por otro lado, se agrega una condición: considerar que hay un porcentaje de la población que es inmune.\n
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Se espera que resuelvan estos problemas de manera autónoma, dada la similitud a las actividades expuestas en la clase.\n
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Estos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente el siguiente indicador de evaluación:\n
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación. \n
"},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/gripe_y_el_crecimiento_logistico/pdfs/Presentacion%203%C2%B0Medio_Unidad1_0A2_La%20gripe%20y%20el%20crecimiento%20logistico.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/gripe_y_el_crecimiento_logistico/docs/Presentacion%203%C2%B0Medio_Unidad1_0A2_La%20gripe%20y%20el%20crecimiento%20logi%C2%ADstico.pptx","eng":"","titulo":{"eng":"Descargar presentación","esp":"Descargar presentación"},"recurso":"Descarga"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Hoja de Actividades","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación. \n
","eng":""},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/gripe_y_el_crecimiento_logistico/pdfs/Hoja%20de%20actividades%203M_Unidad2_OA3_La%20gripe%20y%20el%20crecimiento%20logi%C2%ADstico.pdf","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/gripe_y_el_crecimiento_logistico/docs/Hoja%20de%20actividades%203M_Unidad2_OA3_La%20gripe%20y%20el%20crecimiento%20logistico.docx","recurso":"Descarga","eng":"","tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar hoja de actividades","eng":""}},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 6 a 15)"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación. \n
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/gripe_y_el_crecimiento_logistico/pdfs/Presentacion%203%C2%B0Medio_Unidad1_0A2_La%20gripe%20y%20el%20crecimiento%20logistico.pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/gripe_y_el_crecimiento_logistico/docs/Presentacion%203%C2%B0Medio_Unidad1_0A2_La%20gripe%20y%20el%20crecimiento%20logi%C2%ADstico.pptx","eng":"","titulo":{"esp":"Descargar presentación","eng":""},"tipo":"button"}]},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositiva 16)","eng":""},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el Aula de esta situación.
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/gripe_y_el_crecimiento_logistico/pdfs/Presentacion%203%C2%B0Medio_Unidad1_0A2_La%20gripe%20y%20el%20crecimiento%20logistico.pdf","eng":""},{"titulo":{"eng":"","esp":"Descargar presentación"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/gripe_y_el_crecimiento_logistico/docs/Presentacion%203%C2%B0Medio_Unidad1_0A2_La%20gripe%20y%20el%20crecimiento%20logi%C2%ADstico.pptx","tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":""}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Guía Práctica","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Este documento propone dos actividades con el objetivo de que las y los estudiantes analicen la función logística en el mismo contexto de la clase, pero con otros parámetros. Además, estas pueden ser utilizadas para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.
"},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/gripe_y_el_crecimiento_logistico/pdfs/Hoja%20de%20actividades%203M_Unidad2_OA3_La%20gripe%20y%20el%20crecimiento%20logi%C2%ADstico.pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/gripe_y_el_crecimiento_logistico/docs/Guia%20Practica%203%C2%B0Medio%20Unidad2_OA3_La%20gripe%20y%20el%20crecimiento%20logi%C2%ADstico.docx","eng":"","tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar guía practica","eng":""}},{"esp":"GeoGebra","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Para el desarrollo de esta actividad es fundamental que utilice el siguiente recurso gráfico interactivo. \n
"},{"esp":"https://www.geogebra.org/classic/fbkgjees","recurso":"Geogebra","tipo":"iframe","eng":""}]}},"visible":true}},"50":{"recursosProyecto":[],"recursos":{"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 8)"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","eng":""},{"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/juego-sombrerero/pdfs/esp/Presentacion.pdf","tipo":"pdf"},{"eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Descargar Presentación"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/juego-sombrerero/editables/esp/Presentacion.pptx","tipo":"button"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositiva 9 a 34)","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación."},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/juego-sombrerero/pdfs/esp/Presentacion.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/juego-sombrerero/editables/esp/Presentacion.pptx","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""},"tipo":"button"},{"esp":"Hoja de actividades","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación. ","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/juego-sombrerero/ha-juegosombrerero-7mo.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/juego-sombrerero/ha-juegosombrerero-7mo.docx","eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":""}},{"tipo":"h3","esp":"Recurso interactivo GeoGebra “Juego del Sombrerero”","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Recurso GeoGebra que simula los resultados del juego, realiza hasta 300 repeticiones, y gráfica la cantidad de fichas que obtiene cada personaje."},{"esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/t8bvmuza/width/829/height/403/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false\" width=\"829px","tipo":"iframe","recurso":"Geogebra","eng":""}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositiva 35 a 37)"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación."},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/juego-sombrerero/pdfs/esp/Presentacion.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""},"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/juego-sombrerero/editables/esp/Presentacion.pptx","recurso":"Descarga"}]},"4":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Guía Práctica","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes analicen lo aprendido en la situación en un contexto similar. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación. ","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/juego-sombrerero/gp-juegosombrerero-7mo.pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/juego-sombrerero/gp-juegosombrerero-7mo.docx","recurso":"Descarga","tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Guía Practica","eng":""},"eng":""}],"visible":true}},"visible":true},"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Momento de enganche"},{"eng":"","esp":"Al inicio de la clase, indique a sus estudiantes que explorarán temas relacionados con probabilidades a partir de uno de los juegos de azar que aparecen en el cuento “Alicia en el país de las probabilidades”.
Muestre las diapositivas 2 a la 4, que presentan pasajes del cuento relacionados con la historia de “El juego del Sombrerero”. Se recomienda involucrar a las y los estudiantes en la lectura en voz alta de este extracto del cuento.
A continuación, se sugiere plantear la siguiente pregunta con el objetivo de garantizar la comprensión del juego descrito en el cuento:","tipo":"p"},{"esp":"(Diapositivas 2 a 3, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"tipo":"momento","esp":"¿De qué se trata el juego que el Sombrerero le propone a Alicia?","eng":"","recurso":"Pregunta"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 6, Presentación)","eng":""},{"eng":"","esp":"Presente el siguiente resumen del juego del Sombrerero:
","tipo":"p"},{"escala":"50","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/el%20juego%20del%20sombrerero/p_-03.png","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para continuar, se propone explorar las creencias iniciales que tienen las y los estudiantes acerca de las posibilidades de ganar en este juego. En este momento, no se busca que justifiquen cuál de los dos resultados tiene más posibilidades de ocurrir, sino que expresen quién creen que tiene más posibilidades de ganar. La intención es que, más adelante, puedan contrastar sus ideas iniciales con los resultados obtenidos al realizar el juego.
"},{"eng":"","esp":"Presentación del problema ","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositiva 7, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"eng":"","esp":"Plantee la siguiente pregunta:
","tipo":"p"},{"esp":"¿Quién creen que tiene más posibilidad de ganar este juego?
Se espera que haya estudiantes que adopten cada alternativa basándose en razonamientos similares a los que se presentan a continuación:
Sin embargo, es fundamental no profundizar en este momento en las razones de los estudiantes que señalan que el Sombrerero tiene más posibilidades de ganar, para evitar adelantar el análisis de casos que se realizará más adelante en la clase."},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 8, Presentación)","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Indique que en esta clase se busca resolver el siguiente problema:\n¿Quién tiene mayores posibilidades de ganar en el juego del Sombrerero: Alicia, el Sombrerero o tienen igual posibilidad de ganar?\n"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Construcción de conocimientos","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"Señale a sus estudiantes que para comenzar a analizar las posibilidades de ganar en el juego del Sombrerero, podemos jugarlo algunas veces y observar qué sucede. Para ello, es necesario que formen parejas, donde cada uno represente a uno de los personajes.
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"(Diapositiva 9, Presentación)"},{"recurso":"Actividades","eng":"","tipo":"momento","esp":"
Entregue la Hoja de Actividades y presente la Actividad 1. Proporcione una bolsa para cada pareja, que contenga 2 cartas rojas y 1 carta azul (puede utilizar cartas de baraja inglesa u otro material impreso que sea similar).Actividad 1
1. Jueguen el juego del Sombrero y registren los resultados como se indica a continuación:![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/juego-sombrerero/p_-04.png\")
2. Después de revisar los resultados del juego de todos los grupos, ¿se \npuede concluir si alguno de los personajes tiene mayor posibilidad de \nganar que el otro ?
"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 10, Presentación)","eng":""},{"eng":"","esp":"Una vez que completen la Actividad 1, pida a cada grupo que diga cuál personaje ganó más fichas y que muestren su registro al curso.
","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"(Diapositiva 11, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"
Se espera que las y los estudiantes noten que existe variedad de resultados en los distintos grupos de la sala de clases. En muchas parejas habrá ganado más fichas el Sombrerero, en otros habrá empate y en una proporción menor de las parejas, Alicia obtuvo más fichas.A continuación, plantee la pregunta del ítem 2 de la Actividad 1.
"},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"
En base a estos resultados, es probable que las y los estudiantes piensen que el Sombrerero tiene más posibilidades de ganar que Alicia. También pueden pensar que, dado que no todos los grupos tuvieron un resultado similar, no es posible afirmar quién tiene más o menos probabilidad.
"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositiva 12, Presentación)"},{"tipo":"p","esp":"Haga notar a sus estudiantes que a partir del análisis anterior se puede observar que:Para continuar, plantee la siguiente pregunta:
"},{"eng":"","tipo":"momento","esp":"¿Qué podemos hacer para ver si existe o no una tendencia a favor de alguno de los personajes?
","recurso":"Pregunta"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Se espera que sus estudiantes planteen que contar con más resultados del juego permitiría identificar con más claridad si hay alguna tendencia.
"},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 14, Presentación)"},{"tipo":"p","esp":"Evalúe con ellos las posibilidades que disponen para obtener más resultados del juego:
Registre en la pizarra los resultados obtenidos por cada grupo y escriba el total de fichas que obtuvo Alicia y el Sombrerero en todos los juegos. Puede usar una tabla como la siguiente:
","eng":""},{"eng":"","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/juego-sombrerero/imgs/esp/p_-05.png"},{"esp":"(Diapositiva 15, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"eng":"","esp":"A continuación, pregunte:
","tipo":"p"},{"esp":"¿Qué personaje ganó más fichas al juntar los resultados de todos los grupos?
","recurso":"Pregunta","tipo":"momento","eng":""},{"esp":"Se espera que los estudiantes noten que, al juntar los resultados del juego de todos los grupos, se observa que el total de fichas del Sombrerero es significativamente mayor que el de Alicia.
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"(Diapositiva 16, Presentación)","eng":"","tipo":"h4"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Realice la siguiente pregunta:
"},{"eng":"","recurso":"Pregunta","esp":"¿Creen que la tendencia a favor del Sombrerero se mantenga si repetimos el juego un número similar de veces? ¿De qué depende?
","tipo":"momento"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositiva 17, Presentación)"},{"tipo":"p","esp":"Respecto de esta pregunta, destaque lo siguiente:
Muestre el recurso GeoGebra que realiza hasta 300 repeticiones de este juego y grafica la cantidad de fichas que obtiene cada personaje.
"},{"caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/juego-sombrerero/imgs/esp/Pantallazo.jpg","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","tipo":"img","eng":"","alinea":"texto-centrado"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Realice múltiples repeticiones de esta simulación utilizando el botón \"Reiniciar juego\".
Haga notar a sus estudiantes que aunque la altura de las columnas de fichas no sea idéntica en cada nueva secuencia de 300 repeticiones del juego, existe una clara tendencia a favor del Sombrerero, que se mantiene más o menos constante.
A continuación, pregunte:"},{"recurso":"Pregunta","eng":"","tipo":"momento","esp":"De acuerdo a lo observado en el recurso, ¿qué pueden decir sobre las posibilidades de ganar del Sombrerero y Alicia?
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Para responder a esta pregunta sus estudiantes deberán comparar las probabilidades de dos sucesos mediante sus frecuencias absolutas (Tarea Matemática C)."},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 20 y 21, Presentación)"},{"esp":"Sintetice las conclusiones a través de las siguientes ideas:
1. En todas las secuencias de 300 juegos se observa un patrón similar en los resultados, que indica que el Sombrerero gana aproximadamente el doble de veces que Alicia.
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/el%20juego%20del%20sombrerero/Graficos.jpg\")
2. Esto sugiere que la posibilidad de ganar del Sombrerero es el doble que la de Alicia.
3. Esta conclusión se fundamenta en la comparación de las frecuencias obtenidas al repetir el juego en múltiples ocasiones, por lo que es solamente una conjetura que necesita ser verificada mediante otros métodos.
","recurso":"Destacado","eng":"","tipo":"momento"},{"eng":"","esp":"Invite a sus estudiantes a ver cómo se desarrolló esta historia en el cuento. Proyecte las diapositivas 22 a la 26.
Una vez que terminen de leer esa parte del cuento, pídales que comenten qué similitudes hay entre lo que ocurrió en el cuento y lo que ellos hicieron en clases.","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"(Diapositiva 27, Presentación)","tipo":"h4"},{"esp":"A continuación, destaque la reflexión que hace Alicia al final del relato:Entregue la Hoja de Actividades, y presente la Actividad 2, en la que las y los estudiantes deberán abordar las siguiente tareas matemáticas:
Actividad 2\n
\nConsidera las tres cartas del juego del Sombrerero. Para distinguir las cartas rojas, doblaremos la punta de una de ellas.![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/juego-sombrerero/2%20cartas%20rojas%2C%201%20azul.png\")
\n
- \n
- \n
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/juego-sombrerero/p_-07.png\")
- \n
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/juego-sombrerero/p_-08.png\")
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/juego-sombrerero/p_-09.png\")
- \n
Finalmente, pídales que comparen la respuesta a la que llegaron ahora con las basadas en sus creencias iniciales.
"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Sistematización","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":"(Diapositiva 35 y 37, Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para finalizar, sistematice las siguientes ideas:
Estos problemas pueden ser utilizados para evaluar formativamente los siguientes indicadores de evaluación:
En este caso, la probabilidad se interpreta como el valor teórico al que se acercaría la frecuencia relativa si fuera posible repetir el experimento un número infinito de veces. Dado que no es posible hacer eso, se utilizan las frecuencias relativas obtenidas en repeticiones finitas del experimento aleatorio como estimaciones de la probabilidad teórica.","eng":""},{"esp":"Enfoque clásico o de Laplace","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"Se aplica a situaciones donde todos los resultados posibles del experimento aleatorio (espacio muestral) tienen la misma probabilidad de ocurrir.
En el enfoque clásico, cuando se tiene un espacio muestral equiprobable, se puede determinar la probabilidad de un suceso utilizando la regla de Laplace:","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"\\[\\text{Probabilidad del suceso}=\\frac{\\text{Número de casos favorables al suceso}}{\\text{Número de casos posibles del experimento}}\\]
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Es importante insistir en que, si bien en la situación se involucran ideas de ambos enfoques de probabilidad para resolver el problema, no se estiman probabilidades mediante frecuencias relativas ni se utilizan cálculos basados en la regla de Laplace. El tratamiento de probabilidad que se propone es más intuitivo y se enfoca en dos aspectos principales:
Se espera que muchos estudiantes piensen que Alicia y el Sombrerero tienen la misma posibilidad de ganar, ya que asumen que en cualquier experimento aleatorio todos los sucesos asociados con él tienen la misma probabilidad de ocurrir.
Este tipo de razonamiento equivocado se conoce como “sesgo de equiprobabilidad” y consiste en asociar indebidamente equiprobabilidad a los resultados de cualquier situación que involucra el azar. En otras palabras, se asume que la equiprobabilidad es una característica inherente a todo fenómeno aleatorio.
Es importante que las y los estudiantes no estén expuestos solo a experimentos aleatorios con resultados equiprobables, como lanzar una moneda o un dado. Necesitan enfrentarse gradualmente a situaciones aleatorias donde los resultados no tienen la misma probabilidad.
Para corregir estas creencias, es fundamental que los estudiantes analicen los resultados obtenidos al repetir muchas veces un experimento aleatorio. Así podrán darse cuenta de que las diferencias observadas en las frecuencias de los resultados sugieren que no todos tienen la misma probabilidad de ocurrir.
En el caso del juego del Sombrerero, las y los estudiantes pueden notar que hay diferencias significativas en las frecuencias de los dos resultados analizados, lo que sugiere que no tienen igual probabilidad. Más aún, dado que una frecuencia es aproximadamente el doble de la otra, es lógico conjeturar que la probabilidad de uno es el doble de la probabilidad del otro. Sin embargo, esta es solo una conjetura basada en los resultados empíricos. Para confirmar esa conclusión, deben examinar y comparar los casos favorables a cada resultado."}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Alicia en el país de las probabilidades"},{"eng":"","esp":"Alicia en el país de las probabilidades es un cuento interactivo diseñado para estudiantes de entre 11 y 15 años. Se trata de una historia inspirada en personajes y elementos del cuento clásico de Lewis Carroll y busca motivar a niños y niñas a aprender matemáticas.
","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"30","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/juego-sombrerero/imgs/esp/Libro-Alicia-1-768x806.png","eng":"","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""}}]}},"visible":true}},"51":{"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Razones trigonométricas","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"Las razones trigonométricas son relaciones fundamentales para el estudio de los\ntriángulos. Ellas permiten relacionar cuantitativamente los lados de un triángulo y sus\nángulos","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para definirlas, se considera un triángulo rectángulo como el de la figura, y uno de sus\nángulos agudos, que hemos denominado α."},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","eng":"","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"25","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/distancias_en_el_universo/imgs/imagen1_guionprincipal.png"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Definimos las siguientes razones trigonométricas para α:\n
A través de un relato que combina acertijos matemáticos con un mundo de fantasía, se presentan ideas fundamentales de la probabilidad. El cuento contiene hermosas ilustraciones que no solo dan vida a entrañables personajes y escenarios mágicos, sino que también apoyan la comprensión de conceptos matemáticos y la visualización de estrategias de conteo.
Este cuento fue creado en el Laboratorio de Educación del Centro de Modelamiento Matemático (CMM) de la Universidad de Chile por un equipo multidisciplinario, compuesto por matemáticos, profesores de matemática, ingenieros, diseñadores, ilustradores, guionistas y programadores.
En 2020, el Ministerio de Educación distribuyó más de 220.000 ejemplares a los establecimientos educacionales del país en el nivel de 7° básico. Actualmente, el libro se encuentra disponible para descarga en la Biblioteca Digital Escolar: Alicia en el país de las probabilidades. También cuenta con un sitio web en el que se puede acceder a más información: https://cmmedu.uchile.cl/formacion-inicial/alicia-en-el-pais-de-las-probabilidades/ . Se sugiere la lectura de este cuento al finalizar esta situación, como una actividad complementaria.- \n
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Esta presentación interactiva puede ser utilizada para presentar el video de la situación en casos que no se disponga de un buen sistema de audio, o bien, puede ser de ayuda para detenerse y discutir en torno a diferentes elementos que aparecen en el video.
"},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/distancias_en_el_universo/pdfs/ppt_interactivo_distancias_en_el_universo.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Presentación Interactiva","eng":"Descargar Presentación Interactiva"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/distancias_en_el_universo/docs/ppt_interactivo_distancias_en_el_universo.pptx","tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":""}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"esp":"Hoja de Actividades","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la\nconstrucción de conocimientos asociados a esta situación.\n","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/distancias-en-el-universo/ha_distancias_universo_2do.pdf","eng":""},{"titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/distancias-en-el-universo/ha_distancias_universo_2do.docx","eng":"","recurso":"Descarga","tipo":"button"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 5 a 26)"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el\naula de esta situación.\n","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/distancias-en-el-universo/ppt_distancias_universo_2do.pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/distancias-en-el-universo/ppt_distancias_universo_2do.pptx","eng":"","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"}}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 27 a 29)"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el\naula de esta situación.\n","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/distancias-en-el-universo/ppt_distancias_universo_2do.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/distancias-en-el-universo/ppt_distancias_universo_2do.pptx","tipo":"button","eng":"","recurso":"Descarga"}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Guía Práctica"},{"esp":"Este documento propone ejercicios para que las y los estudiantes apliquen las razones\ntrigonométricas en problemas de las ciencias y otros contextos. Además, estos pueden\nutilizarse para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la\nsituación.","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/distancias_en_el_universo/pdfs/Guia_Practica_II_Unidad3_OA08.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/distancias_en_el_universo/docs/Guia_Practica_II_Unidad3_OA08.docx","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía Práctica"},"eng":""}],"visible":true}},"visible":true},"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Momento de enganche"},{"esp":"(Diapositivas 2 y 3, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"eng":"","esp":"Presente el video “Paralaje” a sus estudiantes. Se sugiere pausar el video luego de que se explique el fenómeno de paralaje ejemplificado con el lápiz, para que sus estudiantes puedan experimentar el fenómeno por ellos mismos.","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Es importante que las y los estudiantes comprendan que el paralaje corresponde al cambio en la posición aparente de un objeto en función del punto de vista. Para apoyar esta comprensión, se sugiere plantear las siguientes preguntas: "},{"tipo":"momento","eng":"","esp":"- \n
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¿En qué momentos del año conviene medir la posición de la estrella desde la Tierra?","recurso":"Actividades"},{"eng":"","esp":"Le sugerimos plantear este objetivo comentando lo siguiente: ","tipo":"p"},{"esp":"- \n
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\nAntes de avanzar a ese momento de la clase, se sugiere destacar los principales aspectos del trabajo realizado hasta ahora,\n- \n
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\nLuego, convertimos los kilómetros en años luz \\[(1\\,\\text{año luz} = 9{,}46 \\cdot\n10^{12}\\,\\text{km})\\] y tenemos que:\n\\[x = \\frac{8{,}159002551\\cdot\\,10^{13}}{9{,}46\\cdot 10^{12}} = 8{,}624738\\,\\text{años luz} \\]\nPor lo tanto, la estrella está aproximadamente a \\[8{,}62\\,\\text{años luz} \\] del Sol.\n"},{"esp":"Para esta pregunta puede recordar las razones trigonométricas, así como también la notación\ncientífica.","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Luego de verificar las respuestas, puede señalar como dato curioso que la estrella Sirio es la\nestrella más brillante de todo el cielo nocturno."},{"esp":"A continuación, realice una puesta en común. Puede preguntar lo siguiente:","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"- \n
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¿Qué es el pool testing?
\n¿Por qué es necesario dividir cada muestra individual en dos?
\n¿Qué ventaja tiene el pool testing frente a los análisis individuales de las muestras? \n
To ensure that students understand the technique, it is suggested to work with the following particular situation:","tipo":"p","esp":"Dada la información en la Infografía , se espera que las y los estudiantes puedan explicar la técnica y compararla con los análisis individuales. Es importante que entiendan que, como se mezclan muestras de varios individuos, es necesario contar con una adicional por individuo en el caso de que la muestra combinada resulte positiva.
\n\nPara asegurarse que las y los estudiantes comprendan la técnica, se sugiere trabajar con la siguiente situación particular:\n"},{"eng":"The figure depicts 60 blood samples that were pooled into six groups of 10 and then analyzed for the presence of a certain antibody. The groups that tested positive are marked in red:\n","tipo":"p","esp":"En la figura se representan 60 muestras de sangre que fueron combinadas en seis grupos de 10 y luego analizadas para detectar la presencia de un cierto anticuerpo. En rojo se marcan los grupos que dieron positivo:"},{"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/p-y-e/muestras-combinadas/imgs/esp/Gion_Pool-03.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","tipo":"img","eng":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/p-y-e/muestras-combinadas/imgs/eng/03_.png"},{"eng":"Then you can ask:","esp":"Luego se sugiere preguntar:","tipo":"p"},{"esp":"- \n
¿Cuántos test individuales deben realizarse para detectar las muestras con presencia del anticuerpo? \n
\n¿Cuántos test en total se deben realizar en esta situación para identificar las que son positivas? \n
It is known that the prevalence of steroid use in athletes in similar competitions, such as the 2018 Olympic Games, is 0,6 %.
What is the probability that in a combined sample, at least one athlete will test positive for steroid use?","tipo":"p"},{"eng":"To check understanding of the problem, ask them to explain the situation in their own words, highlighting the relevant data about the problem.","tipo":"momento","esp":"Para detectar el uso de esteroides en 200 atletas que participarán en una competencia deportiva, se analizarán sus muestras de orina usando la estrategia de pool testing. Las muestras serán combinadas en grupos de 10 deportistas.\n
\n\nSe sabe que la prevalencia del consumo de esteroides en los deportistas en competencias similares, como los Juegos Olímpicos de 2018, es de un 0,6%. \n
\n\n¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra combinada haya al menos un atleta que dé positivo al uso de esteroides? ","recurso":"Actividades"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Para verificar la comprensión del problema pida que expliquen la situación con sus propias palabras, destacando los datos relevantes del problema."}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Primera Parte","eng":" First part"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 7 a 12, presentación)","eng":"(Slides 7 to 12, presentation)"},{"eng":"Before addressing the problem question, invite your students to answer the questions in Activity 1 of the Activity Worksheet. In this part, students are expected to justify that the variable “number of positive individual samples in a combined sample” is a random variable (Mathematical Task A).","tipo":"p","esp":"Antes de abordar la pregunta del problema invite a sus estudiantes a responder las preguntas de la Actividad 1 de la Hoja de Actividades. En esta parte, se espera que las y los estudiantes fundamenten que la variable “número de muestras individuales positivas en una muestra combinada” es una variable aleatoria (Tarea matemática A)."},{"esp":"1. Considera la variable X = “número de muestras individuales positivas en una muestra combinada” y responde:\n- \n
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Below, questions are proposed to establish compliance with each assumption. It is important that you ask them consecutively so as to avoid anticipating the answers.","esp":"El foco de lo que sigue es determinar si la situación se puede modelar mediante la distribución binomial, analizando si se cumplen o no los supuestos detrás del modelo (Tarea matemática B). A continuación, se proponen preguntas para establecer el cumplimiento de cada supuesto. Es importante que las vaya preguntando de manera consecutiva, de forma de evitar anticipar las respuestas. \n","tipo":"p"},{"eng":"(Slides 13 to 15, presentation)","esp":"(Diapositivas 13 a 15, presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"h4","esp":" Supuesto 1: Cada experimento se modela como una Bernoulli. ","eng":"Assumption 1: Each experiment is modeled as a Bernoulli. "},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"- \n
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You can conclude by pointing out that analyzing assumptions is necessary to use a mathematical model. In addition, it allows to understand the situation better, be aware of the model's limitations, and properly interpret the solutions to the problem.","tipo":"p","esp":"Dada la información que se dispone, es razonable asumir que cada atleta tiene la misma probabilidad de marcar positivo. Una manera de convencerse es “dar vuelta la pregunta”: ¿hay alguna razón para pensar que distintos atletas tengan distinta probabilidad de dar positivo? Puede plantear esta pregunta a los estudiantes se encuentran atrapados en su discusión. La idea es que puedan observar que cuando los atletas son seleccionados al azar, no tenemos ninguna información que los pueda diferenciar, de manera que lo razonable es modelar a cada uno de ellos de la misma manera, en particular, con la misma probabilidad de dar positivo.\n
\n\nPuede concluir señalando que analizar los supuestos es necesario para usar un modelo matemático. Además, permite comprender mejor la situación, ser conscientes de las limitaciones del modelo e interpretar adecuadamente las soluciones al problema.\n"},{"tipo":"h3","esp":"Segunda Parte","eng":"Second part"},{"esp":"(Diapositivas 16 a 21, presentación)","eng":"(Slides 16 to 21, presentation)","tipo":"h4"},{"esp":"En lo que sigue, las y los estudiantes deberán calcular e interpretar probabilidades utilizando conceptos y fórmulas previamente conocidas del modelo de distribución binomial (Tarea matemática C y D).\n
\nInvite a sus estudiantes a responder las preguntas de la Actividad 2 de la Hoja de Actividades.","tipo":"p","eng":"In what follows, students must calculate and interpret probabilities using previously known concepts and formulas of the binomial distribution model (Mathematical Tasks C and D).\n
Invite your students to answer the questions in Activity 2 of the Activity Worksheet."},{"recurso":"Actividades","esp":"- \n
","tipo":"p","esp":"En la pregunta 1, es posible que las y los estudiantes tengan dificultad para darse cuenta de que una muestra combinada es positiva es equivalente a que X ≥ 1 . Si le parece adecuado, puede anotar en la pizarra todos los casos, X = 0, X = 1, ..., X = 10 , y preguntarles en cuáles de ellos la muestra combinada daría positiva. Esto puede ayudar a que surja la idea de usar el complemento de un evento, que es la idea que se aplica para responder la pregunta 2.
"}]},"3":{"contenido":[{"esp":"Sistematización","tipo":"h3","eng":"Systematization"},{"eng":"(Slides 22 to 26, presentation)","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 22 a 26, presentación)"},{"esp":"- \n
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The assumptions represent the conditions or premises necessary for the validity and reliability of the model. In other words, they constitute the foundations on which the model rests. In this case, it must be analyzed that each experiment only has two possible complementary results, that the experiments are independent of each other and that the probability of success is the same in each experiment.","tipo":"p","esp":"Antes de aplicar el modelo binomial, resulta esencial que se promueva la discusión con las y los estudiantes acerca de los supuestos requeridos para su uso. Aplicar un modelo no debe ser una acción automática, sino reflexiva y atenta a su pertinencia. Esta aproximación fomenta que las y los estudiantes cuestionen y adopten un enfoque crítico antes de emplear cualquier modelo.
\nLos supuestos representan las condiciones o premisas necesarias para la validez y fiabilidad del modelo. En otras palabras, constituyen los cimientos en los que el modelo se apoya. En este caso, se debe analizar que cada experimento solo tenga dos posibles resultados complementarios, que los experimentos sean independientes entre sí y que la probabilidad de éxito sea la misma en cada experimento.\n"},{"esp":"Variable binomial","tipo":"h3","eng":"Binomial variable"},{"esp":"Al utilizarse en modelamiento matemático, no siempre es evidente que una situación sea de tipo “repetición de un experimento aleatorio”. En ese caso, es importante analizar si es posible pensar o modelar la situación como si fuera de repetición, en cuyo caso el modelo binomial será aplicable. La situación presentada nos ofrece este desafío, pues no es evidente que el test sobre una muestra combinada corresponda a una repetición de experimentos. Este desafío se resuelve al pensar el test sobre la muestra combinada, de manera equivalente, como una repetición independiente de test sobre cada muestra individual. A partir de esta interpretación del test en la muestra combinada, podemos proponer un modelo binomial para calcular la probabilidad de que este test resulte positivo.","tipo":"p","eng":"When used in mathematical modeling, it is not always apparent that a situation is of the “repetition of a random experiment” type. In that case, it is important to analyze whether it is possible to think or model the situation as if it were repetition, in which case the binomial model will be applicable. The situation presented offers us this challenge since it is not evident that the test on a combined sample corresponds to a repetition of experiments. This challenge is resolved by thinking of the test on the combined sample, equivalently, as an independent repetition of the test on each individual sample. From this interpretation of the test in the combined sample, we can propose a binomial model to calculate the probability that this test will be positive."}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"Pool testing","esp":"Pool testing"},{"esp":"El pool testing, también conocido como pruebas grupales, es una técnica utilizada en pruebas diagnósticas para examinar de manera eficiente un gran número de muestras en búsqueda de una condición específica, como la presencia de una enfermedad o infección. Este método consiste en combinar varias muestras en un \"pool\" o grupo, y luego analizar la muestra agrupada en su conjunto. Este enfoque ayuda a ahorrar recursos, tiempo y materiales de prueba, especialmente cuando la prevalencia de la condición es baja. El procedimiento de cómo se toman y se analizan las muestras se detalla en el recurso Infografía “¿Qué es el pool testing?”.
\n\nPor lo general el pool testing se realiza con muestras de sangre, sin embargo, es posible realizar pruebas de agrupamiento utilizando muestras de orina o hisopos nasofaríngeos. En el contexto del COVID-19, el pool testing se ha utilizado para evaluar la presencia del virus SARS-CoV-2.
\n\nSin embargo, es importante considerar que no todas las pruebas o enfermedades son adecuadas para el pool testing, ya que existe un riesgo de dilución de la sustancia a detectar y, en consecuencia, una disminución en la sensibilidad de la prueba.","tipo":"p","eng":"Pool testing, also known as group testing, is a technique used in diagnostic testing to efficiently examine a\nlarge number of samples for a specific condition, such as the presence of a disease or infection. This method combines\nseveral samples into a \"pool\" or group, and then analyzes the pooled sample as a whole. This approach helps save\nresources, time, and testing materials, especially when the condition's prevalence is low. The procedure for taking and\nanalyzing samples is detailed in the Infographic resource “What is pool testing?”
\nPool testing is generally performed with blood samples. However, it is possible to perform pooling tests using urine samples or nasopharyngeal swabs. In the context of COVID-19, pool testing has been used to evaluate the presence of the SARS-CoV-2 virus.
\nHowever, it is important to consider that not all tests or diseases are suitable for pool testing, since there is a risk of dilution of the substance to be detected and, consequently, a decrease in the test's sensitivity."},{"tipo":"h3","esp":"Uso de esteroides en deportistas ","eng":"Use of steroids in athletes"},{"eng":"Anabolic steroids are addictive substances taken to boost strength and increase muscle mass. These compounds are synthetic versions of the male hormone testosterone and have anabolic (tissue-building) and androgenic (masculinizing effects) effects. Athletes and sportspeople sometimes use anabolic steroids to artificially improve their athletic performance and increase their muscle mass, which is why their use is prohibited.","esp":"Los esteroides anabólicos son sustancias adictivas que se toman para estimular la fuerza y aumentar la masa muscular. Estos compuestos son versiones sintéticas de la hormona masculina testosterona y tienen efectos anabólicos (construcción de tejido) y androgénicos (efectos masculinizantes). Los atletas y deportistas a veces utilizan esteroides anabólicos con la intención de mejorar artificialmente su rendimiento atlético y aumentar su masa muscular, razón por la cual su uso está prohibido. ","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"El dopaje","eng":"Doping"},{"esp":"El dopaje es el acto de consumir sustancias artificiales, y a menudo ilícitas, con el fin de obtener una ventaja sobre los demás en las competiciones deportivas (por ejemplo, esteroides anabólicos, hormonas de crecimiento humano, estimulantes y diuréticos).","tipo":"p","eng":"Doping is consuming artificial, and often illicit substances to gain an advantage over others in sporting competitions (for example, anabolic steroids, human growth hormones, stimulants, and diuretics)."}]}}}},"53":{"visible":true,"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"\nLa gestión propuesta en esta sección se centra en introducir la temática que se abordará en la situación, referente a la propagación de una enfermedad contagiosa en el contexto de una epidemia. \n","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Momento de Enganche","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":"(Diapositivas 2 a 3, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Comience la clase presentando la Infografía “Velocidad de contagios en una epidemia”. ","eng":""},{"eng":"","tipo":"button","recurso":"ModalPDF","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/inflexion%20enfermedad%20infecciosa/pdfs/Infografia_Ebola.pdf"},{"eng":"","esp":"Para introducir el contexto, puede partir leyendo la definición de epidemia en la infografía.\n
\nPuede comentar además que en el campo de la epidemiología es necesario utilizar modelos matemáticos que permitan proyectar en el tiempo cómo se comporta una enfermedad en determinada población, para así implementar políticas de salud pública. Para apoyar la idea anterior, puede indicar como ejemplo el caso del Covid, en el que se esperaba que la cantidad de contagios dejara de aumentar y se deseaba estimar cuándo ocurriría eso. \n","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Esta parte de la gestión, busca introducir el contexto, y en particular reconocer el modelo logístico como un modelo pertinente en el contexto de una enfermedad contagiosa (Tarea Matemática A). En efecto, en la segunda página de la infografía, se dan ejemplos de la curva de los contagios del Covid en India el 2020, y del Ébola en Sierra Leona en 2014-2015, que siguen precisamente un comportamiento logístico.\n","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"En la última página de la infografía, se hace un zoom al gráfico de los contagios acumulados del Ébola, para ver en detalle cómo crecen los contagios en un período corto de algunos días. El propósito de esto, es que las y los estudiantes se familiaricen con la información que está representada en los gráficos de contagios acumulados, para luego responder las siguientes preguntas. ","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Dé un tiempo para que los y las estudiantes opinen de la información presentada. Se sugiere plantear las siguientes preguntas u otras, para garantizar que comprendieron el contexto y el contenido de la infografía."},{"esp":"¿Cómo encontramos con exactitud y algebraicamente el punto de inflexión?","recurso":"Pregunta","eng":"","tipo":"momento"},{"esp":"Retome y proyecte nuevamente el Geogebra que muestra el valor de la derivada en distintos puntos de la curva logística.","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"iframe","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/bpcjzhjf/width/1047/height/762/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","eng":"","recurso":"Geogebra"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Comente que tal como lo vieron previamente, para cada día es posible encontrar la velocidad de contagio como el valor de la derivada de los contagios. En otras palabras, a cada día x, se le puede asociar el valor de la derivada C’(x) como la velocidad de contagio en ese día, es decir, C’(x) también es una función. "},{"recurso":"Destacado","eng":"","tipo":"momento","esp":"Nuevamente, es importante notar que no se espera que utilice la parte anterior para introducir el concepto de función derivada. Esta debe utilizarse simplemente como un recuerdo."},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Comente a sus estudiantes, que ya saben que la velocidad de contagio alcanza un máximo en el punto de inflexión, y que a su vez la velocidad contagio corresponde a la función C’(x). Diga que entonces la función derivada C’(x) alcanza un máximo y plantee las siguientes preguntas:"},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"Para finalizar, comente que cuando se habla de punto de inflexión, interesa saber en qué día ocurre, el número de contagios en ese día y la velocidad máxima de contagios alcanzada.
Invite a las y los estudiantes a responder la última pregunta de la Hoja de actividades. Para esto entregue y proyecte las expresiones de C(x) y C’(x):
Después de que sus estudiantes hayan compartido sus respuestas, puede mostrar nuevamente el recurso Geogebra, esta vez interpretando en él los valores obtenidos, y su relación con \\( x=\\frac{\\ln(120)}{0{,}025} \\approx 192 \\).
"}]},"3":{"contenido":[{"esp":"(Diapositivas 13 a 14, Presentación)","eng":"","tipo":"h4"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En la epidemiología es necesario utilizar modelos matemáticos que permitan proyectar en el tiempo cómo se comporta una enfermedad en determinada población, para así poner en práctica políticas de salud pública."},{"esp":"
Finalmente, puede avanzar a la sección Sistematización.Datos propagación Ébola Sierra Leona
","tipo":"p"}],"visible":true}},"visible":true},"recursosProyecto":[],"recursos":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Infografía \"Velocidad de contagios en una epidemia\""},{"esp":"Esta infografía introduce la definición de epidemia y la importancia de los modelos matemáticos para proyectar su comportamiento en el tiempo. ","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/inflexion%20enfermedad%20infecciosa/pdfs/Infografia_Ebola.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","eng":"","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/inflexion%20enfermedad%20infecciosa/pdfs/Infografia_Ebola.pdf","titulo":{"esp":"Descargar Infografía","eng":"Descargar Infografía"}},{"esp":"Presentación (diapositivas 2 a 5)","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación. ","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/inflexion%20enfermedad%20infecciosa/pdfs/ppt_ldi_propagacion_enfermedad_infecciosa.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/inflexion%20enfermedad%20infecciosa/docs/ppt_ldi_propagacion_enfermedad_infecciosa.pptx","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Descargar Presentación"},"recurso":"Descarga","tipo":"button"}]},"2":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Hoja de Actividades"},{"eng":"","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación. ","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/inflexion%20enfermedad%20infecciosa/pdfs/Hoja%20de%20Actividades%20-%20epidemia.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/inflexion%20enfermedad%20infecciosa/docs/Hoja%20de%20Actividades%20-%20epidemia.docx","eng":"","recurso":"Descarga","tipo":"button"},{"eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 6 a 12)","tipo":"h3"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación. ","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/inflexion%20enfermedad%20infecciosa/pdfs/ppt_ldi_propagacion_enfermedad_infecciosa.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/inflexion%20enfermedad%20infecciosa/docs/ppt_ldi_propagacion_enfermedad_infecciosa.pptx","recurso":"Descarga"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 13 a 14)","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación. ","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/inflexion%20enfermedad%20infecciosa/pdfs/ppt_ldi_propagacion_enfermedad_infecciosa.pdf","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/inflexion%20enfermedad%20infecciosa/docs/ppt_ldi_propagacion_enfermedad_infecciosa.pptx","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"","tipo":"button"}]},"4":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Guía Práctica","tipo":"h3"},{"esp":"Este documento presenta una serie de pregunta en las que las y los estudiantes podrán aplicar los conocimientos aprendidos en la lección.","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/inflexion%20enfermedad%20infecciosa/pdfs/Gu%C3%ADa%20Pr%C3%A1ctica%20-%20epidemia.pdf","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/inflexion%20enfermedad%20infecciosa/docs/Gu%C3%ADa%20Pr%C3%A1ctica%20-%20epidemia.docx","tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica","eng":""},"eng":""},{"esp":"Guía Práctica adicional","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"En este documento se proponen ejercicios adicionales, en algunos casos de mayor dificultad, para que las y los estudiantes puedan aplicar lo aprendido en esta lección. Los ejercicios de esta guía también pueden servir para evaluar los aprendizajes de la clase.
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/inflexion%20enfermedad%20infecciosa/pdfs/Guia_Practica_ADICIONAL_LDI_OA4_Velocidad_de_contagio_de_una_epidemia.pdf","eng":""},{"eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía Práctica adicional"},"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/inflexion%20enfermedad%20infecciosa/docs/Guia_Practica_ADICIONAL_LDI_OA4_Velocidad_de_contagio_de_una_epidemia.docx"}],"visible":true}},"visible":true}},"54":{"recursosProyecto":[],"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Momento de enganche","eng":""},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositivas 2 a 3, Presentación)"},{"esp":"En este primer momento se busca que las y los estudiantes comprendan la lejanía de Rapa Nui al continente y en particular, la representación de ella en un mapa a escala. \n
\n
Puede comenzar la clase preguntando a sus estudiantes: ¿Qué saben de Rapa Nui?","tipo":"p","eng":""},{"esp":"A continuación, comparta con sus estudiantes la Infografía “Rapa Nui”. De tiempo para que la lean y comenten. Se sugiere realizar preguntas para asegurar la comprensión de la información presentada, tales como:","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"Fuente: Wikipedia
"},"alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""}},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Escuche las respuestas de sus estudiantes, pida que registren lo sugerido e invítelos a realizar las actividades propuestas en la Hoja de Actividades para así a través de distintas actividades dar respuesta correcta a esta pregunta. "}]},"2":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Primera Parte"},{"esp":"(Diapositiva 6, Presentación) ","tipo":"h4","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Lea junto con sus estudiantes la actividad 1 de la Hoja de Actividades y luego pida que la resuelvan. Estas preguntas buscan que las y los estudiantes interpreten la escala de un mapa geográfico, para así asegurar que puedan aplicarla en las actividades que se realizarán posteriormente. (Tarea Matemática A)","eng":""},{"eng":"","esp":"1. Utiliza la escala del mapa para establecer una relación entre centímetros en el mapa y kilómetros en la isla.
2. ¿A cuántos kilómetros equivalen en la realidad 3 centímetros en el mapa? \n","tipo":"momento","recurso":"Actividades"},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Respuesta","esp":"1. 1 cm en el mapa equivale a 2 km en la realidad
\n2. 3 cm corresponden a 6 km en la realidad"},{"esp":"Se espera que sus estudiantes utilicen una regla para medir las longitudes de la escala y así determinar que 1 cm equivale a 2 km en la realidad. Con esta relación, obtienen la cantidad de kilómetros que corresponden a 3 cm en el mapa. ","eng":"","tipo":"p"},{"escala":"25","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Rapa%20Nui/img/regla-mapa%20%281%29.jpg","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Es posible que también identifiquen otras relaciones, por ejemplo, que 1,5 cm equivalen a 3 km en la realidad. En tal caso, permita que establezcan la funcionalidad de la primera relación y concuerden una manera de registrarla identificando las unidades de medida correspondientes. Algunos registros pueden ser:1 cm : 2 km1 cm\\(\\rightarrow\\) 2 km"},{"tipo":"p","esp":"A continuación, lea junto con sus estudiantes la pregunta 3 de la actividad 1 de la Hoja de Actividades y luego pida que la aborden. Esta actividad busca que las y los estudiantes calculen longitudes y distancias entre lugares reales usando escalas en un mapa (Tarea Matemática B). Para ello tendrán que usar la escala concordada anteriormente. ","eng":""},{"recurso":"Actividades","eng":"","esp":"3. Encuentra la distancia aproximada en kilómetros desde el volcán Rano kau al volcán Puakatike (indicados con puntos rojos en el mapa). ","tipo":"momento"},{"esp":"3. La razón de semejanza es 1 cm a 2 km, por lo tanto si la medida es de 11 cm en el mapa, corresponde a 22 km en la realidad, por lo tanto, la distancia entre los dos volcanes es de aproximadamente 22 km.","tipo":"momento","eng":"","recurso":"Respuesta"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Se espera que realicen la medición con regla como se ve a continuación, esta actividad tiene como fin que las y los estudiantes validan el uso de la razón de escala y puedan hacer un cálculo simple para comprender su uso. "},{"alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Rapa%20Nui/img/p_-08%20%281%29.png","escala":"25","tipo":"img","eng":""},{"tipo":"p","esp":"A continuación, lea junto con sus estudiantes la pregunta 1 de la actividad 2 de la Hoja de Actividades y luego pida que la resuelvan. Para ello, deberán calcular áreas de zonas geográficas usando escalas de un mapa aplicando el factor de escala para áreas (Tarea Matemática C).","eng":""},{"esp":"(Diapositiva 12, Presentación) ","tipo":"h4","eng":""},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","eng":"","esp":"1. ¿Cuál es el área aproximada en \\(km^2\\) de Rapa Nui? Registra tu estrategia."},{"esp":"Se prevé que las y los estudiantes identifiquen la forma triangular de la isla y, por ende, puedan emplear la fórmula correspondiente para calcular su área. Para ser más precisos, podrían percibir que se trata de un triángulo rectángulo, lo que simplifica el cálculo ya que la medida de los catetos podrían corresponder a la base y altura. ","eng":"","tipo":"p"},{"escala":"25","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Rapa%20Nui/img/img%201.png","tipo":"img","alinea":"texto-centrado"},{"esp":"Sus estudiantes también pueden elaborar otras estrategias para encontrar el área, por ejemplo: identifican un triángulo con una base y altura distinta a las anteriores:","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Rapa%20Nui/img/p_-09%20%281%29.png","caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"25"},{"tipo":"p","esp":"Si surgen otras estrategias pídales a sus estudiantes que las expongan. Valide las respuestas que se acercan al área real de Rapa Nui \\(163\\,km^2\\) y luego discutan acerca de su eficacia (cantidad de medidas que se toman, cuán cerca está del área real, conocimientos que se utilizan, etc.)","eng":""},{"eng":"","esp":"En el caso de haber considerado un triángulo rectángulo, la estrategia de cálculo podría ser:\n","tipo":"p"},{"esp":"Medir los catetos (ambos miden 9 cm aproximadamente)Como 1 cm → 2 km, cada cateto mide 18 km en la realidad","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Rapa%20Nui/img/p-11.png","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"25","titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"","alinea":"texto-centrado","tipo":"img"},{"eng":"","esp":"Luego se usa la fórmula del área de un triángulo:\\(\\large{\\frac{b\\cdot h}{2} = \\frac{18\\cdot18}{2}=162\\,km^2}\\)","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Es posible que para realizar el cálculo del área, los estudiantes relacionen la razón de semejanza para distancias \\(k\\) con la razón de semejanza para áreas \\(k^2\\) y apliquen dicha relación para estimar el área de la Isla. Es decir, que sigan una estrategia similar a la siguiente: ","eng":""},{"esp":"Área de la Isla en la hoja impresa\n\\[ (9\\cdot9) : 2=40,5 cm^2\\]\nRazón de longitudes (\\(k\\)):\n\\[1 cm → 2\\,km\\]\nRazón de áreas (\\(k^2\\)):\n\\[1 cm^2 → 4\\,km^2\\]\nPor lo tanto, el área de la isla está dada por:\n\\(40,5 cm^2\\cdot 4 [km^2/cm^2] =162\\,km^2\\).","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"\nEs posible que algunos de las y los estudiantes que sigan esta estrategia piensen equivocadamente que, como la razón de longitudes es 1:2, entonces el área de la isla está dada por: \\[40,5 cm^2\\cdot 2 \\rightarrow 81\\,km^2\\]\n","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En tal caso, para que sus estudiantes reconozcan su error, se sugiere realizar la siguiente pregunta y acompañar este momento con el GeoGebra\"razón de semejanza\" debido a que es importante que las y los estudiantes reconozcan que la razón de las áreas es distinta a la razón de semejanza, pues relacionan medidas distintas. \n"},{"eng":"","esp":"Si tenemos un cuadrado de medida 1 cm y en la realidad es 2 km. ¿Cuál es el área en la imagen y en la realidad?","tipo":"momento","recurso":"Pregunta"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Si la estrategia de utilizar la razón de semejanza de distancia con la razón de semejanza de áreas no surge desde las respuestas de sus estudiantes, se sugiere presentarla de todas maneras a fin de destacar dicha propiedad de la semejanza de figuras. \n"},{"esp":"Razón de longitudes \\(k\\): \n\\[1 cm → 2 km\\]Razón de áreas \\(k^2\\): \n\\[1 cm^2 → 4 km^2\\]","tipo":"momento","recurso":"Destacado","eng":""},{"eng":"","esp":"Después de verificar las respuestas de sus estudiantes, puede mostrar la superficie de la isla, esto es, \\(163,8\\,km^2\\). (fuente: Wikipedia). Para que las y los estudiantes valoren la dimensión de esta medida, se sugiere que resuelvan la pregunta 2 de la actividad 2 de la Hoja de Actividades:","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"","esp":"2. ¿Qué tan grande es la isla? ¿conoces algún lugar de tamaño parecido?","recurso":"Actividades"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"De espacio para que las y los estudiantes investiguen brevemente en internet el área de algunos lugares y luego pídales que compartan sus respuestas. Luego se sugiere mostrar zonas geográficas de Chile con un área similar a Rapa Nui, por ejemplo, el área de la superficie del lago Villarrica ubicado en la X región, que tiene un área de 176 \\(km^2\\). También puede comentar que es más pequeña que Santiago que tiene un área de 641 km cuadrados, y aún más pequeña que Iquique que tiene 2242 km cuadrados, esto permite que sus estudiantes den sentido a el área encontrada. "},{"caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Rapa%20Nui/img/p_-12%20%282%29.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"","escala":"50"},{"esp":"Segunda parte","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 16, Presentación) ","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En este momento se busca que las y los estudiantes estimen el área de la zona de protección marina de Rapa Nui usando las escalas de un mapa geográfico.
Lea junto con sus estudiantes la actividad 3 de la Hoja de Actividades y luego pida que la resuelvan. "},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","esp":"Recientemente se ha creado alrededor de Rapa Nui una zona denominada Área Marina Protegida Costera de Múltiples Usos. A continuación se muestra en un mapa a escala la forma aproximada de la zona alrededor de la isla. Suponiendo que la zona protegida se puede aproximar mediante un rectángulo, estima el área de la Zona Marina Protegida Costera de Múltiples Usos.","eng":""},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Rapa%20Nui/img/p_-14%20%283%29.png","alinea":"texto-centrado","escala":"50","caption":{"esp":"","eng":""}},{"tipo":"p","esp":"Producto del trabajo previo, se espera que sus estudiantes identifiquen y utilicen la escala para reconocer la relación entre cm y km: ","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"3 cm → 360 km1 cm → 120 km."},{"tipo":"p","esp":"En este punto, motive a sus estudiantes a que utilicen la razón de semejanza del área para estimar la superficie de la zona marina protegida. ","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\\(1 cm → 120 km\\,(k)\\)\\((1cm)^2 → (120)^2 km^2\\,(k^2)\\)"},{"esp":"Entonces, al medir los lados del rectángulo, deberían ser valores aproximados a\n5,5 cm y 9 cm respectivamente, luego utilizando la razón de semejanza para áreas, podría surgir lo siguiente: \n","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"\\(5,5\\cdot9=49,5\\,cm^2\\)\\(\\LARGE{\\frac{1\\,cm^2}{120^2\\,km^2}=\\frac{49,5\\,cm^2}{x}}\\)\\(\\large{x=49,5\\,cm^2\\cdot {120^2} \\frac{km^2}{cm^2}}\\)\\(\\large{x=712\\,800\\,km^2}\\)","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para que las y los estudiantes validen su respuestas entregue el dato oficial acerca de esta área protegida la que corresponde a \\(720\\,000\\,km^2\\), y puede preguntar:\n"},{"eng":"","esp":"
Estos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente el siguiente indicador:En este documento se proponen ejercicios adicionales, en algunos casos de mayor dificultad, para que las y los estudiantes puedan aplicar lo aprendido en esta lección. Los ejercicios de esta guía también pueden servir para evaluar los aprendizajes de la clase.
"},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Rapa%20Nui/PDF/Guia_Practica_ADICIONAL_Primero_OA10_Rapa_Nui_y_Area_Marina_Protegida.pdf"},{"recurso":"Descarga","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía Práctica adicional"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Rapa%20Nui/Doc/Guia_Practica_ADICIONAL_Primero_OA10_Rapa_Nui_y_Area_Marina_Protegida.docx","tipo":"button"}],"visible":true}}},"aspectosAConsiderar":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Escalas en Mapas"},{"esp":"Las escalas en mapas, representan la relación de semejanza que existe entre las longitudes en un plano y las dimensiones reales. Hay dos formas de representar la escala en un mapa: la escala numérica y gráfica (o de barra).\n\n
\nLa escala numérica es una razón en donde el antecedente representa la longitud en el mapa, mientras que el consecuente representa la longitud en la realidad. En el ejemplo, una escala numérica de \\(1:10000\\) significa que una unidad de longitud en el mapa representa \\(10\\,000\\) unidades de la misma longitud en la realidad.\n\n
\nLa escala gráfica se presenta por lo general como una línea horizontal marcada en millas, kilómetros o alguna otra unidad de medida. La línea se subdivide en segmentos de igual longitud para indicar la distancia en el mapa. En la imagen anterior, con una regla se puede medir la distancia entre dos zonas negras o blancas y establecer la escala, si la medida de una parte negra mide 1 cm, entonces equivalen a 100 m en la realidad. ","eng":"","tipo":"p"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"","tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Rapa%20Nui/img/p_-02%20%281%29.png","escala":"50"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Razón de semejanza"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Coloquialmente, decimos que dos figuras son semejantes cuando estas tienen la misma forma. De forma más precisa, dos figuras son semejantes si y sólo si las longitudes de sus lados correspondientes son proporcionales y sus ángulos correspondientes son congruentes. La constante de proporcionalidad k recibe el nombre de razón de semejanza y es una forma de describir cuánto más grande o más pequeña es la figura semejante respecto de la original. \n"},{"tipo":"img","eng":"","escala":"50","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Rapa%20Nui/img/asp-contextuales-semejanza.png","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado"},{"tipo":"h3","esp":"Razón de semejanza y cartografía","eng":""},{"eng":"","esp":"La razón de semejanza es fundamental en la cartografía y en la creación de mapas a escala. Como un mapa es una representación bidimensional de la Tierra, la razón de semejanza da cuenta de la relación entre las medidas de dicha representación (figura semejante) y la superficie terrestre real (figura original). Así, en estos casos la razón de semejanza coincide con la escala del mapa. Por ejemplo, en la primera actividad de esta situación, se presenta un mapa cuya escala es 1 cm : 2 km, es decir, ","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\\(\\large{k = \\frac{\\text{medida en el mapa}}{\\text{medida en la realidad}} = \\frac{1}{2} \\left[\\frac{cm}{km}\\right] }\\)"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"La razón de semejanza puede ser utilizada para calcular distancias en la realidad, conociendo la medida de dicha distancia en un mapa. Por ejemplo, en la primera actividad de esta situación nos interesa conocer a cuánto equivale en la realidad una distancia de 9 cm en un mapa cuya escala es 1 cm : 2 km,"},{"esp":"\\[\\large{k = \\frac{1}{2} \\left[\\frac{cm}{km}\\right] = \\frac{9 \\text{cm}}{x}} \\]\n\\[\\large{x = \\frac{9\\text{cm}}{\\frac{1}{2} \\left[\\frac{cm}{km}\\right]}\\rightarrow x=18 \\text{ km}} \\]","eng":"","tipo":"p"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Uso de unidades en mapas a escala"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En esta situación, se propone el trabajo con mapas cuyas escalas son del tipo cm : km. Es decir, la razón de semejanza en este caso tiene unidades, por ejemplo, "},{"tipo":"p","esp":"\\[k = \\frac{1}{2} \\left[\\frac{cm}{km}\\right] \\]","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esto puede resultar confuso para las y los estudiantes, pues suelen abordar este contenido de manera adimensional, esto es, por medio de razones de semejanza que relacionan longitudes con la misma unidad de medida. "},{"tipo":"p","esp":"Una manera de ayudar a superar esta confusión, es enfatizar el significado de la razón de semejanza y su interpretación en el caso de la cartografía, para que así comprendan de dónde provienen y con qué se relaciona cada unidad de medida expresada en la razón de semejanza. ","eng":""},{"tipo":"p","esp":"\\(\\large{k} = \\frac{\\large\\text{medida en el mapa}}{\\large\\text{medida en la realidad}}\\)","eng":""},{"tipo":"p","esp":"En esta actividad, las medidas en centímetros en el mapa corresponden a una cierta cantidad de kilómetros en la realidad. ","eng":""},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Relación de Áreas y semejanza"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"\n\nUn error habitual en el que incurren los estudiantes cuando trabajan con figuras semejantes, es pensar que otras medidas de una figura, como por ejemplo su área, están en la misma razón que la razón de semejanza (que equivale a una razón entre longitudes). \n"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Para ayudar a superar esta confusión, puede apoyarse de recursos visuales, como el recurso GeoGebra que se muestra a continuación, que muestran de manera dinámica como cambia razón de las áreas de dos figuras semejantes. Es importante que las y los estudiantes reconozcan que la razón de las áreas es distinta a la razón de semejanza, pues relacionan medidas distintas. "},{"tipo":"iframe","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/uwkmdndh/width/1012/height/505/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","eng":"","recurso":"Geogebra"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Mantener los tamaños de las imágenes"},{"esp":"Tanto para la Hoja de Actividades como para la Guía Práctica, es importante tener en cuenta que los mapas fueron creados a escala, por lo que se deben conservar los tamaños proporcionados para no alterar las longitudes y áreas. Se sugiere imprimir los mapas con antelación y realizar los cálculos necesarios para asegurar que la impresión sea precisa.","eng":"","tipo":"p"}]},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Áreas Marinas Protegidas"},{"esp":"Son áreas delimitadas y definidas geográficamente cuya administración y regulación permiten alcanzar objetivos específicos de conservación y/o preservación.","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En Chile existen cuatro tipos de áreas marinas protegidas: los parques marinos y las reservas marinas, que son esencialmente acuáticas; y los santuarios de la naturaleza y las áreas marinas y costeras protegidas de múltiples usos, que pueden contener porciones de tierra. Todas son decretadas por el Ministerio de Medio Ambiente. "},{"esp":"El Área Marina Costera Protegida de Múltiples Usos (AMCP-MU) es un área destinada a conservar la biodiversidad, proteger especies marinas en peligro, reducir conflictos de uso, generar investigación y educación; y actividades comerciales y recreativas de modo sustentable. La regulación de las actividades de esta área se encuentra definida en el plan de administración de la misma, cuya elaboración le corresponde a un comité integrado por lo organismos antes indicados","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"El área marina protegida de Rapa Rui abarca 720.000 \\(km^2\\) de la zona exclusiva que rodea Rapa Nui e incluye el Parque Marino Motu Motiro Hiva, como se aprecia en la siguiente imagen obtenida en la página del Ministerio del Medio Ambiente. ","eng":""},{"tipo":"img","eng":"","escala":"50","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Rapa%20Nui/img/p_-04.png"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Para mayor información sobre esta zona marina protegida puede ver leer el siguiente decreto de ley: https://www.bcn.cl/leychile/navegar?idNorma=1119369
"}],"visible":true}}}},"55":{"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Cuartiles","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Es posible encontrar varias definiciones de cuartiles. La idea es dividir un conjunto de datos ordenados de menor a mayor en \\(4\\) grupos, cada uno con aproximadamente la misma cantidad de datos. Los valores que dividen al conjunto de datos de esta manera se denotan Q1, Q2 y Q3, y se denominan primer, segundo y tercer cuartil, respectivamente. ","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Los cuartiles pertenecen a los valores estadísticos denominados “medidas de posición”. En este contexto, el segundo cuartil es igual a la mediana de los datos. Es importante destacar que los cuartiles son valores de la variable observada que pueden o no coincidir con algunos valores específicos de los datos."},{"esp":"Si el número de datos es divisible por \\(4\\), podemos dividir el conjunto de datos en 4 grupos con el mismo número de observaciones. Para ilustrarlo, consideremos el siguiente conjunto de 12 datos ordenados de menor a mayor:","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/olas%20de%20calor/imgs/p_-02%20%281%29.png","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Cualquier valor de la variable entre el dato de la posición 3 y el dato de la posición 4 cumple la definición de cuartil 1, ya que el 25% de 12 datos es igual a 3 datos. Cuando esto ocurre, por convención se considera como Q1 al promedio entre el valor del dato 3 y el valor del dato 4, es decir \n\\[Q_1 = \\frac{720 + 728}{2} = 724\\]. \n\nDe manera similar se puede determinar Q2 y Q3."},{"eng":"","esp":"Cuando el número de datos no es divisible por 4, no siempre es factible lograr que cada grupo tenga exactamente el mismo tamaño. ","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En la situación \"Olas de calor\", se trabaja con conjuntos de 10 datos. Dado que 10 no es divisible por 4, se busca otra forma de encontrar los cuartiles. A continuación, se presenta un esquema que ilustra la posición de los cuartiles en un conjunto de 10 datos ordenados de menor a mayor:"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/olas%20de%20calor/imgs/p_-03.png","escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","eng":"","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""}},{"eng":"","tipo":"p","esp":"705, 712, 740, 740, 745, 748, 756, 762, 763, 768, 778, 785","tipo":"p"},{"recurso":"Geogebra","tipo":"iframe","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/rayq65an/width/850/height/300/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Notar que en el recurso los porcentajes que muestra la flecha que se mueve, indica los porcentajes de datos de la izquierda, incluyendo eventualmente a los puntos que están justo donde se encuentre la flecha. Lo mismo ocurre con el porcentaje de datos a la derecha. Esto concuerda con la definición de los cuartiles que se encuentra más arriba, que son “menor o igual” y “mayor o igual” que los porcentajes definidos para cada cuartil: 25%, 50% y 75%. "},{"tipo":"p","esp":"En el recurso se puede reconocer que Q1 = 740, ya que es el único valor de los datos en que al menos 25% de ellos son menores o iguales que 740 y al menos 75% de son mayores o iguales que 740.","eng":""},{"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/olas%20de%20calor/imgs/geo_1_v2.png","eng":"","tipo":"img","escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"","tipo":"p","esp":"También se puede observar que cualquier valor entre 748 y 756 cumple con que al menos el 50% de las observaciones son menores o iguales que él y al menos el 50% son mayores o iguales que él. Por convención, se escoge \\[Q_2=\\frac{748+756}{2}=752\\]."},{"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/olas%20de%20calor/imgs/geo_2.png","eng":""},{"esp":"Por último, vemos que cualquier valor que está entre 763 y 768 cumple con que al menos el 75% de las observaciones son menores o iguales que él y al menos el 25% son mayores o iguales que él. Por tanto, \\[Q_3=\\frac{763+768}{2}=765{,}5\\].","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/olas%20de%20calor/imgs/geo_3.png","tipo":"img"},{"tipo":"h3","esp":"Diagrama de cajón","eng":""},{"eng":"","esp":"Un diagrama de cajón o boxplot es una representación gráfica de la distribución de los datos que se basa en cinco valores de resumen: mínimo, máximo, primer cuartil, tercer cuartil y la mediana (o segundo cuartil). ","tipo":"p"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/olas%20de%20calor/imgs/boxplot.png"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"El rectángulo que va desde Q1 hasta Q3 se denomina “cajón”, mientras que las líneas en los extremos se conocen como “bigotes”. Las longitudes del cajón y de los bigotes ofrecen información sobre la dispersión de los datos. "},{"esp":"Por ejemplo, en el diagrama anterior, la mediana está más cerca del tercer cuartil que del primero, lo que sugiere que los valores de las observaciones están más concentrados en la parte superior del cajón. En esta situación, se alienta a los estudiantes a utilizar tanto la información cuantitativa como la visual de los diagramas de cajón para describir y comparar distribuciones de datos.","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Los diagramas de cajón son herramientas útiles para comparar conjuntos de datos. Al representarlos en el mismo gráfico, podemos realizar una comparación visual de los 5 estadísticos de resumen y evaluar las diferencias en la forma de la distribución al observar las longitudes de los cajones y los bigotes.\n","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En esta situación, las y los estudiantes utilizan el siguiente gráfico para comparar las distribuciones de datos de olas de calor de las últimas cuatro décadas y analizar si han aumentado."},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/olas%20de%20calor/htmls/diagramas_caja.html","tipo":"iframe","recurso":"Geogebra"},{"esp":"Los diagramas de cajón son representaciones útiles de la distribución de un conjunto de datos y se pueden combinar eficazmente con otros gráficos, como diagramas de puntos o gráficos de barras. ","tipo":"p","eng":""}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Representaciones de datos","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Uno de los modos fundamentales de razonamiento estadístico, según algunos autores, es la transnumeración, un término que se utiliza para describir el proceso dinámico de cambiar representaciones con el fin de generar comprensión (Wild y Pfannkuch, 1999). Este proceso implica aprender a organizar los datos de distintas formas para obtener información (Estrella y Olfos, 2015). \n"},{"esp":"En la situación “Olas de calor”, se comienza analizando los datos a través de gráficos de barras y de líneas, los cuales proporcionan información relevante sobre la forma en que las observaciones varían y evolucionan con el tiempo. Sin embargo, al intentar analizar los datos de las olas de calor por décadas, los estudiantes notan que el gráfico anterior no lo permite fácilmente. Esta observación motiva la introducción de los diagramas de cajón como una nueva forma de representar los datos.","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"Es fundamental que las y los estudiantes reconozcan que tanto los gráficos de barras como los diagramas de cajón resaltan aspectos específicos de cómo están distribuidos los datos. Los gráficos de barras facilitan la visualización de las diferencias en magnitud entre las observaciones, mientras que los diagramas de cajón ayudan a mostrar cómo se distribuyen los datos en relación con los cuartiles. También es importante que noten que en el gráfico de barras utilizado en la situación se pueden ver todas las observaciones, mientras que el diagrama de cajón no revela información sobre valores de datos individuales.","tipo":"p"}]},"3":{"contenido":[{"esp":"Olas de Calor","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Los eventos meteorológicos extremos como las olas de calor han aumentado durante las últimas décadas de manera significativa, producto del aumento de la temperatura, lo que es perjudicial e incluso peligroso para las personas, flora, fauna y el medio ambiente en general. "},{"eng":"","esp":"En climatología dichos eventos meteorológicos extremos se suelen definir bajo un criterio estadístico. En particular, las olas de calor se definen como «periodo de al menos \\(3\\) días consecutivos, en los cuales las temperaturas máximas están dentro del \\(10\\%\\) de las temperaturas máximas históricas para cada uno de esos días, es decir, sobrepasan el umbral diario del último decil». ","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para determinar los umbrales diarios, se utilizan los datos históricos de distintas estaciones meteorológicas ubicadas a lo largo del país. Estos datos recabados por la Dirección General de Aeronáutica Civil (DGAC), comprenden el periodo 1981- 2010. La DGAC aclara que en algunas estaciones ha utilizado un periodo climatológico diferente debido a ciertos datos faltantes. Para más información referente a las olas de calor, se puede consultar esta página de la dirección meteorológica de Chile."},{"esp":"El siguiente gráfico se construyó a partir de los datos del Reporte Anual de la Evolución del Clima en Chile 2022 elaborado por la DGAC. El gráfico muestra el número total de olas de calor anual en la zona centro-sur de Chile en el periodo 1981- 2020, en cada temporada estival, comprendida entre los meses de noviembre y marzo. La zona centro-sur abarca las ciudades de Santiago, Curicó, Chillán, Concepción, Temuco, Valdivia, Osorno, Talca y Angol. Notar que el cálculo de olas de calor corresponde a la suma de las olas de calor de todas las ciudades. ","tipo":"p","eng":""},{"recurso":"Geogebra","eng":"","tipo":"iframe","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/olas%20de%20calor/htmls/grafico_interactivo.html"}],"visible":true}},"visible":true},"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Momento de enganche"},{"esp":" (Diapositivas 2 y 3, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Muestre a sus estudiantes la Infografía “Olas de calor en Chile” y dé un tiempo para que compartan sus opiniones respecto a las siguientes preguntas:"},{"eng":"","esp":"Se espera que los y las estudiantes concluyan que:\n
\n\n
","tipo":"momento","eng":""},{"tipo":"p","esp":"A continuación, entregue la Hoja de Actividades de la Actividad 1, en la que sus estudiantes deberán interpretar la información que entregan los diagramas de cajón (Tarea Matemática B). ","eng":""},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositiva 13 y 14, Presentación)"},{"esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/olas%20de%20calor/imgs/boxplot.png\")
\n
Comente que el rectángulo que va desde \\(Q_1\\) hasta \\(Q_3\\) se denomina “cajón”, mientras que las líneas en los extremos se conocen como “bigotes”. \nRecuerde a sus estudiantes que los cuartiles son tres valores que dividen un conjunto de datos, ordenados de menor a mayor, en cuatro grupos, donde cada uno de ellos contiene, aproximadamente, el 25% de los datos.Actividad 1
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/olas%20de%20calor/imgs/Boxplot%20-%20d%C3%A9cada%201980.png\")
\n\n\nAnaliza el diagrama de cajón y responde:![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/olas%20de%20calor/imgs/diagrama-puntos-1.png\")
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/olas%20de%20calor/imgs/diagrama-puntos-2.png\")
","recurso":"Respuesta","eng":"","tipo":"momento"},{"eng":"","esp":"Segunda parte","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"A continuación, se propone que las y los estudiantes comparen las olas de calor de las cuatro décadas usando los diagramas de cajón (Tarea Matemática E). Para ello, entregue la Hoja de Actividades de la Actividad 3."},{"esp":"Puede proyectar el gráfico interactivo para que sus estudiantes puedan visualizar las medidas asociadas a cada diagrama.","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/olas%20de%20calor/htmls/diagramas_caja.html","tipo":"iframe","recurso":"Geogebra"},{"esp":"(Diapositiva 26, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"esp":"Los siguientes diagramas de cajón representan los datos asociados a las olas de calor de las décadas del 1980, 1990, 2000 y 2010 en la zona centro-sur de Chile.\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/olas%20de%20calor/imgs/2000%20y%202010%20%28diagramas%29.png\")
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/olas%20de%20calor/imgs/newplot%20%283%29.png\")
\nEstos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente el siguiente indicador de evaluación:\nEn este documento se proponen ejercicios adicionales, en algunos casos de mayor dificultad, para que las y los estudiantes puedan aplicar lo aprendido en esta lección. Los ejercicios de esta guía también pueden servir para evaluar los aprendizajes de la clase.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/olas%20de%20calor/pdfs/Guia_Practica_ADICIONAL_Octavo_OA15_Olas_de_calor.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/olas%20de%20calor/docs/Guia_Practica_ADICIONAL_Octavo_OA15_Olas_de_calor.docx","titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica adicional","eng":""},"recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":""}],"visible":true}}},"recursosProyecto":[]},"56":{"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Momento de enganche","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositivas 2 y 3, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Se sugiere comenzar la clase compartiendo con sus estudiantes la Infografía “La rueda London Eye”. Dé tiempo para que la revisen y realice preguntas para asegurar la comprensión de la información, tales como:
"},{"eng":"","recurso":"Pregunta","esp":"- \n
Es importante que quede claro que la rueda se mueve a velocidad constante, sin detenerse en ningún momento, y que completa cada vuelta en \\(30\\) minutos. \n
","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"Presentación del problema","eng":""},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 4, Presentación)"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Comente a sus estudiantes que en esta lección van a construir un modelo para describir cómo cambia la altura de una cápsula de la rueda a medida que esta va girando. Es decir, que van a abordar la siguiente pregunta de la Hoja de Actividades:\n
"},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","eng":"","esp":"¿Qué función modela la altura a la que va una cápsula de la rueda London Eye en términos del tiempo transcurrido?\n
"},{"eng":"","esp":"Tenga en cuenta que no se espera que en este momento las y los estudiantes respondan la pregunta, aunque sí pueden proponer funciones que podrían aparecer en el modelo. Comente que a partir de las siguientes actividades se podrá dar respuesta a esta pregunta inicial.
","tipo":"p"},{"esp":"Pida a sus estudiantes abordar la pregunta 1 de la Actividad 1 de la Hoja de Actividades. Esta pregunta tiene por finalidad que las y los estudiantes representen de manera esquemática la situación y escriban la información relevante que necesitan para abordarla. (Tarea matemática A)\n
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"Se espera que las y los estudiantes realicen un esquema o bosquejo similar al siguiente, no es necesario mayores detalles, pero sí es relevante que ubiquen bien las medidas del radio, la altura de la rueda y la distancia entre el suelo y la plataforma.
","eng":""},{"tipo":"img","escala":"50","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/imgs/Guion-Rueda-06.png"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"esp":"Primera Parte","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositivas 5 a 12, Presentación)","eng":"","tipo":"h4"},{"esp":"Explique a sus estudiantes que para construir modelos de situaciones del mundo real es necesario realizar supuestos que ayuden a simplificarla. Discuta con sus estudiantes que supuestos serían razonables en este caso para simplificar la situación.\n
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Luego de la discusión, asegúrese que estos sean los supuestos por considerar:\n
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"- \n
Pida a sus estudiantes que, considerando la información del problema, respondan la pregunta 2 de la Actividad 1 de la Hoja de Actividades. Esta pregunta tiene como fin que las y los estudiantes relacionen la variable tiempo y la variable altura de la cabina para algunos casos simples, como un primer paso hacia la comprensión del comportamiento de la función. (Tarea matemática B)\n
","tipo":"p"},{"esp":"
\na) Para encontrarse en la altura máxima de la rueda, ha transcurrido la mitad del tiempo, es decir, 15 minutos.
\n\nb) Si ha transcurrido la cuarta parte del tiempo en el cual la rueda completa una vuelta, que corresponde a 7,5 minutos, la cabina se encuentra justo a la altura del centro de la rueda. Es decir, a 15 + 60 = 75 metros de altura. La cabina también se encuentra a esta misma altura cuando han transcurrido 3⁄4 del tiempo de una vuelta, es decir, a los 22,5 minutos.\n\n","tipo":"momento"},{"esp":"Luego, para visualizar el comportamiento gráfico, pida a sus estudiantes desarrollar la pregunta 3 de la Actividad 1 de la Hoja de Actividades. En esta parte se espera que las y los estudiantes comiencen a ubicar algunos puntos en un gráfico y que realicen un bosquejo que represente la función que modela la altura versus el tiempo. (Tarea matemática C).\n
","eng":"","tipo":"p"},{"recurso":"Actividades","esp":"Se espera que las y los estudiantes ubiquen al menos los siguientes puntos en el gráfico:
","eng":""},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/imgs/Guion-Rueda-07.png","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"75","eng":"","tipo":"img"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Y que luego propongan distintas curvas para unir estos puntos, por ejemplo podría ver gráficos como los siguientes:
"},{"tipo":"img","eng":"","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"75","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/imgs/Guion-Rueda-08.png"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Un posible error que pueden cometer las y los estudiantes es graficar los puntos mínimos a la altura de \\(h=0\\). En este caso, recuerde que la distancia entre la plataforma de la rueda y el suelo es de \\(15\\) metros de altura, por lo que la altura mínima de la rueda debe estar en \\(h=15\\).
"},{"esp":"Por otro lado, es posible que algunos estudiantes elaboren gráficos con puntos máximos y mínimos de la función y luego tracen líneas rectas para conectar estos puntos. Si esto sucede, se sugiere no invalidar las respuestas, dado que más adelante se determinará que la curva tiene una forma sinusoidal, ya que el modelo de la altura de la cabina contiene una función trigonométrica.
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Segunda Parte"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 13 a 30, Presentación)","eng":""},{"tipo":"p","esp":"En esta segunda parte, se espera que las y los estudiantes determinen una función que describa la altura a la que se encuentra una cabina cuando ha transcurrido una determinada cantidad de tiempo. (Tarea matemática D)
","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Mencione que llamarán \\(t\\) al tiempo que ha transcurrido desde que la rueda comenzó a girar y \\(h(t)\\) a la función que determina la altura a la que se encuentra la cabina. Haga notar que esta última variable depende del tiempo.
"},{"eng":"","esp":"Luego, se sugiere mencionar a sus estudiantes que se retomará el esquema previamente elaborado para la situación y se procederá a determinar la altura cuando la cabina se encuentra en un punto específico de la rueda. Este punto de altura \\(h\\) se representa de color celeste en el siguiente esquema:
","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/imgs/Guion-Rueda-09.png","escala":"50","eng":"","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img"},{"esp":"Luego, se sugiere que sus estudiantes trabajen en la pregunta 1 de la Actividad 2 de la Hoja de Actividades. Esta pregunta busca que las y los estudiantes determinen el ángulo formado entre el radio que conecta la posición de la cabina y el radio que se dirige al punto más bajo de la rueda.\n
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":"","esp":""},{"recurso":"Respuesta","eng":"","esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/rueda%20de%20la%20fortuna/Guion-Rueda-10.png\")
Para responder esta pregunta se debe considerar que la rapidez con la que la rueda gira es constante. Lo anterior permite establecer que el ángulo y el tiempo son variables directamente proporcionales. En este punto se recomienda explorar esa proporcionalidad, es decir, que en la cuarta parte del tiempo se habrá recorrido un cuarto del arco de la circunferencia, y en la mitad del tiempo se habrá recorrido la mitad del arco de la circunferencia. A su vez, se sabe que el ángulo es proporcional al arco de circunferencia y, por lo tanto, el ángulo también es proporcional al tiempo.
"},{"esp":"Luego, se recomienda orientar a las y los estudiantes para que puedan plantear la razón trigonométrica que permite calcular la altura \\(h\\) en función del ángulo \\(\\alpha\\). Se sugiere presentar la siguiente y imagen y abordar la siguiente pregunta:
","tipo":"p","eng":""},{"alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/imgs/Guion-Rueda-11.png","eng":"","escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img"},{"tipo":"momento","esp":"Se espera que las y los estudiantes mencionen que la medida solicitada es de \\(75-h\\).
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Luego, se propone que las y los estudiantes aborden la pregunta 2 de la Actividad 2 de la Hoja de Actividades. Se recomienda que trabajen en grupos para abordar esta pregunta, ya que esto permitirá un espacio propicio para la discusión. Mediante este trabajo los estudiantes podrán determinar el modelo que describe la altura en función del tiempo.
"},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Actividades","esp":""},{"esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/imgs/Guion-Rueda-12.png\")
Se espera que las y los estudiantes planteen lo siguiente:\n \\[ \\cos(\\alpha)=\\frac{75-h}{60} \\]
","tipo":"momento","recurso":"Respuesta","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Luego, para determinar la función \\(h(t)\\) que modela la situación, se sugiere pedir a sus estudiantes que realicen las siguientes tareas:
"},{"recurso":"Pregunta","esp":"El modelo \\(h(t)\\) es:\n\\(h(t) = 75 - 60 \\cdot \\cos \\left (\\frac{2\\pi\\cdot t}{30} \\right )\\)\n
"},{"tipo":"p","esp":"En lo que sigue, las y los estudiantes utilizarán el modelo para determinar e interpretar distintos puntos de la función (Tarea matemática E). Se sugiere abordar la parte 3 de la Actividad 2 de la Hoja de Actividades.
","eng":""},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","eng":"","esp":"Para resolver las preguntas anteriores puede considerar lo siguiente:\n
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"- \n
Luego, al despejar \\(t\\) de las ecuaciones \\(\\displaystyle{\\frac{2\\pi\\cdot t}{30}}= 1{,}654\\) y \\(\\displaystyle{\\frac{2\\pi\\cdot t}{30}}= 2\\pi-1{,}654\\), se obtienen las soluciones \\(7{,}9\\) y \\(22{,}1\\) minutos. \n
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Estos son los dos tiempos de la primera vuelta, por lo que si sumamos múltiplos de \\(30\\) minutos a cada tiempo, la cápsula sigue llegando a una altura de \\(80\\) metros.
","eng":""},{"esp":"Discuta con sus estudiantes que el contexto nos indica que una altura que ocurre en un instante específico se repetirá después de \\(30\\) minutos, lo que equivale \\(2\\pi\\cdot n\\), con \\(n\\) un entero. Esta repetición periódica se asocia con la naturaleza cíclica de la función trigonométrica coseno. Es importante que sus estudiantes comprendan que la infinidad de soluciones en este contexto proviene de la naturaleza oscilante de la altura de la rueda. \n
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Es posible que las y los estudiantes lleguen a la expresión \\( \\cos \\left (\\frac{2\\pi\\cdot t}{30} \\right)=-\\frac{1}{12} \\) y no sepan cómo proceder. Puede recordar que la función \\(\\mathrm{arcocoseno}\\), también denotada como como \\(\\cos^{-1}\\), permite despejar \\(t\\). \n
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Por otro lado, dado que los valores que dan respuesta a la parte b) de la pregunta 3 requieren el uso de calculadora, verifique que estén utilizando la modalidad en radianes.\n
"},{"tipo":"p","esp":"Finalmente, invite a sus estudiantes a visualizar la gráfica, utilice un software como Geogebra u otro y concluyan qué la función que modela la altura a la que va una cápsula de la rueda London Eye de acuerdo al tiempo transcurrido involucra la función coseno. Noten que la altura no se modela por líneas rectas, sino que se modela por medio de curvas. Puede utilizar el siguiente recurso Geogebra para ilustrar lo anterior.
","eng":""},{"caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/imgs/osc%20de%20la%20rueda.png","eng":"","tipo":"img","escala":"75","alinea":"texto-centrado"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Sistematización","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"(Diapositivas 31 y 32, Presentación)","tipo":"h4"},{"esp":"- \n
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/imgs/Guion-Rueda-04.png\")
\nPresente a sus estudiantes la Guía Práctica. Esta tiene por objetivo que las y los estudiantes apliquen las funciones trigonométricas para modelar fenómenos de la ciencias. Esta tarea puede ser utilizada para evaluar formativamente los siguientes indicadores:\n
"},{"eng":"","esp":"- \n
La Infografía “La Rueda London Eye” detalla las características de la rueda y su funcionamiento. Estos elementos resultarán fundamentales para el desarrollo de la clase.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/pdfs/Infografia_Rueda-Fortuna.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/pdfs/Infografia_Rueda-Fortuna.pdf","eng":"","titulo":{"esp":"Descargar Infografía","eng":"Descargar Infografía"},"tipo":"button"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 1 a 4)"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","eng":""},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/rueda%20de%20la%20fortuna/ppt_rueda_de_la_fortuna_4to.pdf","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/rueda%20de%20la%20fortuna/ppt_rueda_de_la_fortuna_4to.pptx","tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"eng":""}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Hoja de Actividades"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
"},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/pdfs/Hoja_de_Actividades_4to_U3_OA3.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/docs/Hoja_de_Actividades_4to_U3_OA3.docx","tipo":"button","eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":""}},{"esp":"Presentación (diapositivas 5 a 30)","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/rueda%20de%20la%20fortuna/ppt_rueda_de_la_fortuna_4to.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/rueda%20de%20la%20fortuna/ppt_rueda_de_la_fortuna_4to.pptx","eng":"","tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""},"recurso":"Descarga"},{"esp":"Recurso Interactivo","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"El siguiente recurso GeoGebra muestra elementos como la cantidad de oscilaciones de la altura de la rueda y el tiempo que ha pasado desde que inició el movimiento. El deslizador permite ver la evolución de la altura en función del tiempo.
\n\n"},{"eng":"","recurso":"Geogebra","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cn3pzuxj/width/915/height/513/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false","tipo":"iframe"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 31 y 32)"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
"},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/rueda%20de%20la%20fortuna/ppt_rueda_de_la_fortuna_4to.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""},"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/rueda%20de%20la%20fortuna/ppt_rueda_de_la_fortuna_4to.pptx","recurso":"Descarga","tipo":"button"}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Guía Práctica"},{"eng":"","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes apliquen las funciones trigonométricas en distintos contextos. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación.\n
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/Guia%20Practica%204to_U3_OA3.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/Guia%20Practica%204to_U3_OA3.docx","eng":""}],"visible":true}},"visible":true},"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Radianes"},{"eng":"","esp":"Un radián es una unidad de medida angular utilizada en trigonometría y geometría. Se define como el ángulo subtendido en el centro de un círculo cuando la longitud del arco es igual al radio \\(r\\) del círculo. El símbolo para el radián es \"rad\". Otra manera equivalente, es decir que \\(1\\) rad es el ángulo que subtiende un arco de longitud igual a \\(1\\) en el círculo de radio unitario. \n
","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","eng":"","escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/imgs/Guion-Rueda-02.png","tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"","esp":"Notemos que un círculo completo tiene \\(360\\) grados o \\(2\\pi\\) radianes, ya que la longitud de la circunferencia de un círculo de radio \\(r =1\\) es \\(2\\pi\\). Esta relación es fundamental para la trigonometría, ya que permite asociar cada número real con un ángulo medido en radianes y con puntos de una circunferencia.\n
","tipo":"p"},{"esp":"Además, cualquier número real \\(x\\) lo podemos asociar a un único punto de la circunferencia, dado por la ubicación que se obtiene al desplazarse \\(x\\) rad en el sentido horario o antihorario, dependiendo si el número es negativo o positivo, respectivamente.
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Funciones Trigonométricas"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Las razones trigonométricas se definen a partir de las longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. Para definir las funciones trigonométricas, utilizamos una circunferencia de radio igual a 1 con centro en (0,0).
"},{"eng":"","esp":"- \n
En el caso que se ilustra a continuación, si una partícula demora \\(t\\) segundos en ir de \\(A\\) a \\(B\\), se tiene que su rapidez angular es \\(\\omega=\\frac{\\theta}{t}\\) y su rapidez lineal es \\(v=\\frac{L}{t}\\).
","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/imgs/Guion-Rueda-provisional.png","alinea":"texto-centrado","eng":"","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"25"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Como sabemos, si el ángulo \\(\\theta\\) está en radianes, se tiene que la longitud de \\(L\\) es \\(\\theta \\cdot r\\), con \\(r\\) el radio de la circunferencia. Por lo anterior, es posible establecer que la rapidez lineal y la rapidez angular se relacionan mediante siguiente ecuación:\n
"},{"eng":"","esp":"\\[v = \\omega \\cdot r\\]","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"La velocidad (magnitud vectorial), tanto lineal como angular se define de la misma manera, pero considerando la dirección y el sentido del movimiento. En términos vectoriales, la relación anterior se expresa considerando las velocidades y el vector radio (definido sobre la posición de la partícula):","tipo":"p"},{"esp":"\\[ \\vec{v}=\\vec{\\omega}\\times \\vec{r}\\]\n","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Aún cuando la rapidez es constante, la velocidad lineal cambia siempre, pues su dirección (tangencial a la circunferencia) varía a cada instante. Por lo anterior, es común referirse a la velocidad instantánea en cada punto como velocidad tangencial.\n
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Razones Trigonométricas","tipo":"h3"},{"esp":"Múltiples estrategias
","tipo":"p","eng":""},{"escala":"25","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/imgs/Guion-Rueda-beta.png","alinea":"texto-centrado","eng":""},{"esp":"
En general, hay más de una forma de calcular una razón trigonométrica. Considere por ejemplo, la razón trigonométrica que permite modelar la altura \\(h\\) de la rueda de la siguiente figura:\nSe puede considerar que
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"\\[ \n\\cos{\\alpha}=\\frac{75-h}{60}\n\\] ","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"o que
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"\\[\n\\text{sen}{\\beta}=\\frac{75-h}{60}\n\\] ","eng":""},{"eng":"","esp":"También es posible usar valores que involucren el cateto horizontal. En la gestión de este trabajo es importante orientar a los estudiantes a usar razones que involucren los lados conocidos y que consideren el ángulo que se utiliza en el modelamiento. Si aparece más de una representación trigonométrica, estas se pueden conectar para demostrar su equivalencia.
","tipo":"p"},{"esp":"Note que, usualmente, en la circunferencia goniométrica el coseno se suele asociar a la abscisa, sin embargo, en este caso el coseno se asocia a la ordenada debido a la forma en que se escogió el ángulo.
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","esp":"En el desarrollo de la actividad, las y los estudiantes deberán resolver la ecuación \\( \\cos\\left ( \\frac{2\\pi t}{30} \\right )=-\\frac{1}{12}\\), cuya solución está dada por la ecuación \\(\\frac{2\\pi t}{30} =\\text{arcos}\\left ( -\\frac{1}{12} \\right )\\). Aún con el uso de calculadora, no es fácil determinar cuáles son los ángulos que satisfacen la ecuación ni cuál es la periodicidad de las soluciones encontradas y su pertinencia en el problema. Por ello, el uso de representaciones como la que se presenta a continuación puede ser útil para visualizar la relación entre la función trigonométrica y aquello que está representando en el contexto del problema.","eng":""},{"caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/imgs/Guion-Rueda-13.png"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"London Eye"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Aunque el término noria se suele asociar a las ruedas giratorias que permiten extraer agua de pozos u otras fuentes, también se utiliza para describir a las ruedas de la fortuna. Estas estructuras consisten en cabinas o asientos montados en una rueda que gira con respecto a un eje central ofreciendo a sus pasajeros una experiencia panomárica única.\n
"},{"tipo":"p","esp":"La rueda más alta de Europa es el London Eye, ubicada en la capital de Inglaterra, al sur del río Támesis. Anualmente, más de tres millones de personas visitan esta atracción, convirtiéndola en uno de los destinos turísticos más emblemáticos de todo el Reino Unido.\n
","eng":""},{"tipo":"img","escala":"25","eng":"","alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/4_medio/Rueda_de_la_fortuna/imgs/Guion-Rueda-03.png","caption":{"eng":"","esp":""}},{"eng":"","esp":"Si quiere saber más sobre el funcionamiento de esta rueda puede ver el siguiente video.\n
","tipo":"p"}]}},"visible":true},"visible":true},"57":{"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Momento de enganche","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":"(Diapositivas 2 a 3, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Presente el contexto de la clase a través del siguiente video \"Manufactura\"."},{"recurso":"ModalVideo","tipo":"button","titulo":{"esp":"Ver Video","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/revolucion-figuras2d/22%20Manufactura%20subt-v2.mp4","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Comente que en esta clase se centrará el estudio en el último torno que apareció en el video: aquel en el que se tornean piezas metálicas o de fierro, al que llamaremos “torno mecánico”. ","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Luego, plantee preguntas para que sus estudiantes reconozcan los principios del funcionamiento del torno mecánico. Estos son elementos clave para el desarrollo de la clase, pues permiten caracterizar geométricamente la pieza construida.","eng":""},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"¿Qué propiedades matemáticas tienen las piezas que se fabrican en tornos mecánicos?
"},{"eng":"","esp":"La problemática de la clase estará enfocada en conceptualizar el término “sólidos de revolución” a partir del análisis de las características geométricas que se observan en las piezas fabricadas en tornos mecánicos. ","tipo":"p"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 7 a 19, Presentación)","eng":""},{"esp":"La gestión que se propone en esta sección busca que los y las estudiantes identifiquen las características geométricas de las piezas que son fabricadas en este tipo de tornos mecánicos. A partir de ellas, se abordarán sólidos de revolución más generales, promoviendo la visualización a partir de una figura plana y un eje de rotación.","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Indique que para comenzar el análisis de esta clase, se utilizarán representaciones planas del torno y sus partes. "},{"esp":"Proyecte la siguiente imagen y plantee preguntas para que sus estudiantes validen este esquema. ","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","escala":"65","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/revolucion-figuras2d/imgs/esp/7.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img"},{"eng":"","recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"Observa el siguiente esquema del torno, la herramienta de corte y el sentido de su movimiento. Luego, responde.
\n
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/revolucion-figuras2d/imgs/esp/8.png\")
\n- \n
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/revolucion-figuras2d/imgs/12.png\")
\nConsidera que realizarás distintos cortes a la pieza, con planos que pasan por su eje.
\nEsboza las figuras que se podrían obtener. Explica tu respuesta.
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/revolucion-figuras2d/imgs/cuadriculado.png\")
Considera que se tienen dos piezas metálicas, y que a cada una se le hizo un corte plano que pasa por su eje de rotación.
\n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/revolucion-figuras2d/imgs/13.png\")
Los cuerpos 3D así generados:
\nPara continuar con la clase, pídales responder la siguiente pregunta, para aplicar el concepto recién descrito, y con la intención de que puedan generalizar el tipo de sólidos que se pueden obtener considerando la definición anterior. En esta actividad sus estudiantes representarán un sólido de revolución a partir de una figura plana y un eje (Tarea Matemática D).\n
"},{"esp":"
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/revolucion-figuras2d/imgs/14.png\")
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/revolucion-figuras2d/imgs/15.png\")
En este documento se proponen ejercicios adicionales, en algunos casos de mayor dificultad, para que las y los estudiantes puedan aplicar lo aprendido en esta lección. Los ejercicios de esta guía también pueden servir para evaluar los aprendizajes de la clase.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/Torneria/pdfs/Guia_Practica_ADICIONAL_G3D_OA4_Torneria.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/Torneria/docs/Guia_Practica_ADICIONAL_G3D_OA4_Torneria.docx","recurso":"Descarga","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía Práctica adicional"}}],"visible":true}},"visible":true},"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Sólidos de revolución","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Un sólido de revolución es un objeto tridimensional que puede ser obtenido a partir de una figura plana (es decir, de dos dimensiones) que se rota en torno a una recta. Esta recta se denomina eje de rotación. Esta recta puede tener cualquier ubicación y orientación en el espacio 3D, pero usualmente, por simplicidad, se suelen considerar solo los casos del eje \\(X\\) y el eje \\(Y\\). Varios ejemplos clásicos de objetos 3D son sólidos de revolución:"},{"esp":"
\n- \n
\n- \n
- \n\n
\n
\n
\nEl razonamiento anterior nos permite generalizar lo siguiente: la cantidad de grupos de tamaño m que se pueden formar a partir de n elementos es:\n\\[\\large {n\\choose k} = \\frac{n!}{m!\\cdot (n-m)!}\\]\n\n
\n\nEl número \\({n\\choose k}\\) se denomina número combinatorio y se lee como “n sobre m”.\n\n","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Uso de combinatoria en el cálculo de probabilidades"},{"esp":"En algunos casos, existe la posibilidad de considerar el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio como colecciones ordenadas o no, pues de acuerdo al contexto ambos espacios están compuestos por elementos equiprobables. Es decir, se puede obtener la probabilidad asociada usando la Regla de Laplace con cualquiera de los dos espacios muestrales. \n
\nConsidera, por ejemplo, la probabilidad de que al ubicar aleatoriamente las tres X del gato en el tablero, estas formen una línea recta (horizontal, vertical o diagonal). En el siguiente diagrama se responde esa pregunta considerando el caso en que las X son indistinguibles entre sí (no importa el orden) y el caso en que estas sí son distinguibles (sí importa el orden). Dado el contexto, en cualquiera de los dos casos no hay ninguna razón para pensar que una secuencias de X tenga mayor probabilidad que otra, y por tanto estos espacios están constituidos por elementos equiprobables por lo que es aplicable la regla de Laplace.\n","eng":"","tipo":"p"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/imagenes/p-03.png","eng":"","escala":"50","caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado"},{"esp":"Espacios muestrales no equiprobables","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En algunos casos, no considerar que los elementos son indistinguibles puede llevar a espacios muestrales no equiprobables. Por ejemplo, al lanzar dos monedas, la probabilidad de que los resultados obtenidos sean distintos se puede calcular usando la regla de Laplace a partir del siguiente espacio muestral, en el cual sí se distinguen las dos monedas: cara-cara; cara-sello; sello-cara; sello-sello. Notemos que el contexto sugiere que cada uno de los cuatro elementos de este espacio muestral son equiprobables. \n
\nPor otro lado, si no se distinguen las monedas, se podría llegar al espacio muestral cara-cara; cara-sello; sello-sello, el cual no es equiprobable, puesto que por ejemplo, cara -cara debería tener la mitad de las probabilidades que cara-sello, como se desprende del espacio muestral equiprobable anterior. En consecuencia, no se puede aplicar la regla de Laplace con este espacio."}]},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Consistencia en la descripción de casos favorables y casos totales","eng":""},{"eng":"","esp":"Uno de los errores más comunes que cometen las y los estudiantes al calcular probabilidades que implican el conteo es hacer cálculos con orden para los casos totales y sin orden para los casos favorables y viceversa. Es importante notar que la decisión de trabajar con orden o sin orden determina el espacio muestral que se considera. Como los casos favorables son un subconjunto de los casos totales, es decir, del espacio muestral, deben ser consistentes con la elección para los casos totales. ","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"Secuencia de enseñanza propuesta","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Al enseñar a determinar probabilidades utilizando la regla de Laplace se sugiere comenzar por hacer el cálculo de los casos totales. Esto se debe a que, al hacerlo de esta forma, se visualiza el espacio muestral, lo que permite analizar si sus elementos son equiprobables y con ello la pertinencia de aplicar la regla de Laplace. ","eng":""},{"esp":"Simplificación del problema","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":"En esta actividad se propone el siguiente problema relacionado al juego del gato,
\n\n\nSi en el juego se realizan solo 5 jugadas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el jugador que partió gane?\n
\n\nRespecto de este problema, se hicieron las siguientes consideraciones:
\n\n- \n
\n\n- \n
\nComente que hay varias estrategias que se suelen usar para ganar o bien evitar perder en el juego de “El gato”. Sin embargo, señale que para el desarrollo de esta lección se va a suponer que, aunque tienen conocimiento de las reglas del juego, los jugadores no aplican ninguna estrategia. Es decir, se va a asumir que, en cada turno, el jugador marca una casilla al azar entre las que quedan disponibles. \n","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Presentación del problema ","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"Se presenta el problema central de la clase a las y los estudiantes:","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Si en el juego se realizan solo 5 jugadas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el jugador que partió gane?","tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":""},{"esp":"Si lo considera necesario, puede comentar con sus estudiantes que, si bien ganar en 5 turnos es difícil, se ha impuesto esta condición porque incluso en este caso el cálculo de las probabilidades no es tan simple.","eng":"","tipo":"p"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Primera Parte"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositivas 5 a 8, Presentación)"},{"esp":"En esta parte, presente a las y los estudiantes los supuestos que deberán considerar para abordar el problema, estos son:
\n
\nComente a sus estudiantes que para calcular la probabilidad van a usar la regla de Laplace (Tarea Matemática A). Luego, pregunte lo siguiente:","tipo":"p","eng":""},{"esp":"
\n- \n
","eng":"","tipo":"momento"},{"esp":"En este momento debe explicar a sus estudiantes que como se está abordando sólo la situación en que se juegan 5 turnos, podríamos observar la configuración final del tablero al cabo de estos turnos, independientemente del orden que se marcaron los símbolos. Es decir, podemos pensar que no es necesario saber cuál de las X fue marcada primero, ni cuál se marcó en segundo o tercer lugar; y que lo mismo aplica a los O. \n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/imagenes/p-04.png\")
\nLo anterior permite abordar el cálculo de la probabilidad sin considerar el orden en que fueron marcados los símbolos en las casillas. Señale a sus estudiantes que esta es la primera estrategia que se va a usar. \n
\nAproveche este momento para mencionar que todos los casos que dibujaron tienen la misma probabilidad de ocurrir, dado el supuesto de que los jugadores marcan las casillas al azar. Por lo tanto, son casos equiprobables. Esta condición es necesaria para poder utilizar la regla de Laplace.","tipo":"p","eng":""},{"esp":"(Diapositivas, 9 a 21)","tipo":"h4","eng":""},{"esp":"Luego, se sugiere abordar las preguntas 1 y 2 de la Actividad 1 de la Hoja de Actividades. En estas preguntas las y los estudiantes contarán disposiciones de elementos utilizando combinatoria para determinar casos favorables (CF) y casos totales (CT) (Tareas matemática B y C).
\n\nEn primera instancia, se sugiere abordar el cálculo de los casos totales, es decir, la cantidad de elementos del espacio muestral. Para esto pida a sus estudiantes trabajar en la siguiente pregunta de la Hoja de actividades.\n","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"1. ¿Cuántos son los casos totales?","recurso":"Actividades","tipo":"momento"},{"tipo":"momento","eng":"","esp":"\\({9\\choose 3}\\cdot {6\\choose 2}\\)","recurso":"Respuesta"},{"esp":"Para orientar a las y los estudiantes a responder la pregunta anterior, puede preguntar lo siguiente:","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"- \n
- \n
\nLuego, se sugiere trabajar en determinar los casos favorables. Para esto, pida que respondan la pregunta 2 de la actividad 1 de la Hoja de Actividades.","tipo":"p"},{"eng":"","recurso":"Actividades","esp":"2. ¿Cuántos casos favorables hay en total?","tipo":"momento"},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Respuesta","esp":"\\(8 \\cdot {6\\choose 2}\\)"},{"tipo":"p","esp":"Puede asegurar la comprensión de los casos favorables con el trabajo que sigue. Muestre la siguiente disposición de las X cuando un jugador ganó:","eng":""},{"escala":"25","eng":"","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/imagenes/p-05.png"},{"eng":"","esp":"A continuación, sugiera a sus estudiantes que creen varios tableros para identificar el resto de las posibles disposiciones de las X en las que se gana. Para esto, pida que trabajen en lo siguiente:","tipo":"p"},{"esp":"
\n- \n
\nComente con sus estudiantes que la expresión indica que para cada uno de las 8 posibles disposiciones de las X que corresponden a los casos favorables, se deben elegir 2 posiciones de un conjunto de 6 para ubicar los O, lo que equivale a (6 2).\n\n
\nPor lo tanto, los casos favorables son : \\[8 \\cdot {6\\choose 2}\\]\n
\nSe sugiere, al igual que los casos totales, dejar expresada la respuesta en número combinatorio.\n
\nLuego, pida a sus estudiantes responder la pregunta del problema de la clase. Solicite que simplifiquen al máximo la expresión. \n","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Actividades","esp":"Si en el juego se realizan solo 5 jugadas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que gane el jugador que partió?"},{"eng":"","recurso":"Respuesta","tipo":"momento","esp":"Evento (G): Ganar en 5 turnos\n
\n\n\\[P(G)=\\frac{CF}{CP}=\\frac{8\\cdot {6\\choose 2}}{{9\\choose 3}\\cdot {6\\choose 2}} = \\frac{8}{\\frac{9!}{6!\\cdot 3!}} = \\frac{8}{\\frac{7\\cdot 8\\cdot 9}{2\\cdot 3}}=\\frac{2}{7\\cdot 3}=\\frac{2}{21}\\]"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Segunda Parte"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas, 22 a 34)","eng":""},{"eng":"","esp":"Recuerde a sus estudiantes que la probabilidad que determinaron se obtuvo considerando que no importa el orden en que se marcaron las X y los O. Y que en esta segunda parte se abordará considerando el orden. Lo primero es establecer si es que se puede hacer de esta forma. Para comenzar, se sugiere preguntar:","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","esp":"¿Creen que la probabilidad también se puede calcular si consideramos el orden en que se marcan las X y los O? ","tipo":"momento","eng":""},{"esp":"Discuta esta pregunta con las y los estudiantes, orientándola hacia la factibilidad de que el espacio muestral que considera el orden sea o no equiprobable. Es importante hacer notar que se puede calcular la probabilidad usando la regla de Laplace siempre y cuando el espacio muestral sea equiprobable.\n
\nA continuación, mencione que van a determinar la probabilidad considerando el orden en el que se marcan los símbolos para determinar si las probabilidades son iguales. Esto se logra contando disposiciones de elementos utilizando las técnicas de permutación y variación para determinar casos favorables y totales. (Tarea matemática D y E)\n
\nSe recomienda clarificar que, al considerar el orden en este contexto, sí importa cuál de las X se marcó primero, cuál se marcó en segundo lugar y cuál en tercer lugar, de igual manera para los O. Como el orden de las jugadas es un factor relevante, se hace necesario distinguir de alguna forma los símbolos correspondientes a cada turno. \n
\nIndique a sus estudiantes que, para distinguir los turnos, se usarán los siguientes símbolos: X1, O1, X2, O2, X3. En esta notación, los índices señalan en qué turno cada jugador marcó dicho símbolo. Si lo considera necesario, puede pedirles a sus estudiantes que jueguen un par de veces y que escriban los índices de acuerdo al turno en que se marcaron los símbolos. \n
\nEn este punto, es importante observar que hay varios tableros que corresponden a la misma configuración final. Se recomienda mostrar estos dos tableros e indicar que son diferentes pues el orden en que se pusieron los símbolos no es el mismo:\n","eng":"","tipo":"p"},{"escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/imagenes/08-%20gato.jpg","alinea":"texto-centrado","eng":""},{"esp":"En lo que sigue, las y los estudiantes abordarán el cálculo de los casos totales y casos favorables considerando el orden en que se marcaron los símbolos. Para esto, pida que respondan las preguntas 1 y 2 de la Actividad 2 de la Hoja de Actividades.\n","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"momento","eng":"","esp":"1. Si consideramos el orden en que se fueron marcando las X y los O, ¿cuántos son los casos totales?","recurso":"Actividades"},{"recurso":"Respuesta","eng":"","tipo":"momento","esp":"1. 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 "},{"eng":"","esp":"Comenten el significado de la expresión, es decir, que 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 indica la cantidad de elementos del espacio muestral en los que los 5 símbolos se disponen en las 9 casillas, considerando el orden en que se fueron marcando.\n","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"momento","esp":"2. Si es que consideramos el orden en que se fueron escribiendo las X y los O, ¿cuántos son los casos favorables?","recurso":"Actividades"},{"tipo":"momento","esp":"2. 8 ⋅ 3! ⋅ 6 ⋅ 5","eng":"","recurso":"Respuesta"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Se sugiere dejar expresada la respuesta, pues luego se podrá simplificar en el cálculo de la probabilidad.\n
\nSi las y los estudiantes no logran dar con la expresión, se sugiere orientar el trabajo con las siguientes preguntas:\n"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"- \n
\nA. Son 6 casos, lo que equivale a 3!.\n\n","eng":""},{"eng":"","tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"75","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/El%20juego%20%22el%20gato%22/imagenes/9-gato.jpg"},{"eng":"","esp":"B. Las posibles configuraciones de las X considerando el orden son: 8 ⋅ 3!.\n
\nC. Las disposiciones en donde quedan los O se calculan 6 ⋅ 5 dado que 2 símbolos se ubican en 6 casillas. ","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Finalmente, pida a sus estudiantes responder la pregunta del problema de la clase. Es decir, pregunte por la probabilidad de que jugando al azar haya ganado en solo 5 jugadas, pero considerando el orden en que se hicieron las jugadas. Solicite que simplifiquen al máximo la expresión, se espera que puedan obtener lo siguiente:","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Dado el evento G: ganar en 5 turnos,
\n\\[P(G)=\\frac{CF}{CP}=\\frac{8\\cdot 3! \\cdot 6 \\cdot 5}{9\\cdot 8\\cdot 7\\cdot 6\\cdot 5}=\\frac{2\\cdot 3}{9\\cdot 7}=\\frac{2}{7\\cdot 3}=\\frac{2}{21}\\]","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Comente con las y los estudiantes que ambas estrategias de conteo arrojan la misma probabilidad. Esto sucede porque el contexto del problema es coherente con ambas estrategias (con orden o sin orden se obtienen espacios muestrales equiprobables), lo que permite flexibilidad en su aplicación sin afectar el resultado de la probabilidad."}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Sistematización","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 35 a 37, Presentación)","eng":""},{"esp":"- \n
\n- \n
\n\\[\\text{Probabilidad del suceso} = \\frac{\\text{Número de casos favorables al suceso}}{\\text{Número de casos posibles del experimento}}\\]\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Es importante insistir en que, si bien en la situación se involucran ideas de ambos enfoques de probabilidad para resolver el problema, no se estiman probabilidades mediante frecuencias relativas ni se utilizan cálculos basados en la regla de Laplace. El tratamiento de probabilidad que se propone es más intuitivo y se enfoca en dos aspectos principales:","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"https://bibliotecadigital.mineduc.cl/handle/20.500.12365/18921
"},{"esp":"Alicia en el país de las probabilidades también cuenta con un sitio web en el que se puede acceder a más información: ","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"https://cmmedu.uchile.cl/formacion-inicial/alicia-en-el-pais-de-las-probabilidades/
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Se sugiere la lectura de este cuento al finalizar esta situación, como una actividad complementaria.\n"}],"visible":true}},"visible":true},"recursos":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 2 a 10)","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación. Se introduce el contexto de “Alicia y el juego Real ”, mencionando las parte del cuento en que Alicia llega al palacio, conoce el “Juego Real” y le propone a la reina jugarlo.","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/alicia-juego-real/imgs/ppt-juego-real-7mo.pdf","eng":""},{"tipo":"button","titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/alicia-juego-real/imgs/ppt-juego-real-7mo.pptx","recurso":"Descarga","eng":""}]},"2":{"contenido":[{"esp":"Hoja de actividades","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación. \n"},{"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/alicia-juego-real/imgs/ha-juego-real-7mo.pdf","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/alicia-juego-real/imgs/ha-juego-real-7mo.docx","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Hoja de Actividades"},"eng":"","recurso":"Descarga"},{"eng":"","esp":"Recurso interactivo","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Este recurso de GeoGebra ofrece una simulación breve del “Juego Real”. A través de botones, es posible lanzar los dados y observar a los caballos avanzar en el tablero, además de la posibilidad de reiniciar el juego y volver a jugar."},{"tipo":"iframe","eng":"","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/a2ugrwwa/width/870/height/570/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","recurso":"geogebra"},{"esp":" Recurso interactivo","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"Este recurso de GeoGebra permite simular 1, 10, 100 y 1000 repeticiones del lanzamiento de dos dados, graficando, mediante barras, la frecuencia absoluta relacionada a la suma de ambos dados.","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/mna2gkpf/width/750/height/460/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","recurso":"geogebra","tipo":"iframe","eng":""},{"esp":"Presentación (diapositivas 11 a 31)","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación. Se introduce el contexto de “Alicia y el juego Real ”, mencionando las parte del cuento en que Alicia llega al palacio, conoce el “Juego Real” y le propone a la reina jugarlo."},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/alicia-juego-real/imgs/ppt-juego-real-7mo.pdf","eng":""},{"eng":"","tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/alicia-juego-real/imgs/ppt-juego-real-7mo.pptx"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Presentación (diapositiva 31 a 32)"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación. Se introduce el contexto de “Alicia y el juego Real ”, mencionando las parte del cuento en que Alicia llega al palacio, conoce el “Juego Real” y le propone a la reina jugarlo."},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/alicia-juego-real/imgs/ppt-juego-real-7mo.pdf"},{"recurso":"Descarga","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/alicia-juego-real/imgs/ppt-juego-real-7mo.pptx","tipo":"button"}]},"4":{"contenido":[{"esp":"Guía Práctica","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes analicen lo aprendido en la situación, en un contexto similar. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación. "},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/alicia-juego-real/imgs/gp-juego-real-7mo.pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/alicia-juego-real/imgs/gp-juego-real-7mo.docx","eng":"","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía Práctica"}},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Guía Práctica adicional"},{"esp":"En este documento se proponen ejercicios adicionales, en algunos casos de mayor dificultad, para que las y los estudiantes puedan aplicar lo aprendido en esta lección. Los ejercicios de esta guía también pueden servir para evaluar los aprendizajes de la clase.
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/el%20juego%20del%20sombrerero/Guia_Practica_ADICIONAL_Septimo_OA18_Alicia_y_el_juego_real.pdf","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/el%20juego%20del%20sombrerero/Guia_Practica_ADICIONAL_Septimo_OA18_Alicia_y_el_juego_real.docx","recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":"","titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica adicional","eng":""}}],"visible":true}}},"recursosProyecto":[],"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Momento de enganche","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositivas 2 a 6, Presentación)"},{"esp":"Comente a sus estudiantes que en esta clase analizarán un juego de azar contenido en el cuento “Alicia en el país de las probabilidades”.","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Muestre las diapositivas 2 a la 6 que contienen la historia de “Alicia y el juego Real”. Anime a sus estudiantes a leer en voz alta.\n"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Plantee algunas preguntas para garantizar que comprendieron la historia y el juego propuesto en el cuento."},{"esp":"(Diapositiva 7, Presentación)","eng":"","tipo":"h4"},{"esp":"¿Cómo son las posibilidades de ganar de Alicia con el caballo 7, comparadas con las posibilidades de ganar de la Reina que se quedó con el 12?
"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"esp":"Construcción de Conocimientos","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"La gestión propuesta en esta sección busca que las y los estudiantes, a través de una simulación breve de este juego, observen y comparen los resultados asociados a cada caballo. Mediante preguntas, analizarán si estos datos representan una evidencia suficiente para poder comparar las probabilidades asociadas a cada suceso, por lo que repetirán una gran cantidad de veces este juego, usando un recurso GeoGebra. Luego, tras identificar en la distribución de los datos cuáles son los resultados más y menos frecuentes, los y las estudiantes comparan las probabilidades de cada caballo a través del análisis de casos favorables."},{"esp":"Sugiera a sus estudiantes jugar el juego y ver cuánto avanzan los caballos 7 y 12 después de un rato. ","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositivas 11 y 12, Presentación)"},{"esp":"Para ello, entregue la Hoja de Actividades y presente la Actividad 1, en la que deben registrar el avance de cada caballo en el tablero. Organice a los estudiantes en al menos 6 grupos y proporcione un par de dados a cada uno. ","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Si no cuenta con dados, esta actividad también se puede realizar desde los celulares de los estudiantes con la siguiente aplicación de GeoGebra"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"Actividad 1
\n- \n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/alicia-juego-real/imgs/p_-03.png\")
¿Los datos recolectados, permiten inferir que, de entre todos los caballos, el 7 es el que tiene más posibilidades de ganar y el 12 es el que tiene menos?
"},{"esp":"Guíe la discusión y asegúrese de que concluyan que:","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Si bien el caballo 7 ocupa los primeros lugares y el 12 los últimos, la variabilidad de resultados presentes en los tableros no permite llegar a la conclusión de que los caballos 7 y 12 son los que tienen la mayor y la menor posibilidad de ganar, respectivamente. "},{"eng":"","esp":"
","tipo":"p"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 16, Presentación)","eng":""},{"esp":"A continuación, se debe abordar la Actividad 2. Para ello, indique a sus estudiantes que, para analizar con mayor detalle si el caballo 7 es el que tiene más posibilidades de ganar y el 12 es el que tiene menos, usarán un recurso que simula los resultados del juego.","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Explique que la idea es investigar si, después de lanzar muchas veces los dados, es posible identificar una tendencia clara que indique que el 7 es el número que más se repite, y el 12 es uno de los que menos aparece. "},{"tipo":"p","esp":"El recurso GeoGebra que se utilizará permite simular el resultado al lanzar dos dados. Además, el recurso muestra la distribución de los datos asociados a la suma de los dados, al cabo de un número determinado de lanzamientos.","eng":""},{"caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/alicia-juego-real/imgs/esp/Foto%20previa%20del%20recurso%202%20de%20GeoGebra.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","escala":"55"},{"eng":"","esp":"Se sugiere usar el recurso de la siguiente manera:","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Comente a sus estudiantes las siguientes ideas:
\nActividad 2
\nEl recurso que se encuentra en el enlace permite simular el resultado al lanzar dos dados. El recurso muestra la distribución de los datos asociados a la suma de los dados, al cabo de un número determinado de lanzamientos.
\n\nUtiliza el recurso para analizar qué ocurre en el “Juego Real” a medida que el juego avanza. Responde las siguientes preguntas:
\nA partir de las respuestas de sus estudiantes, sistematice las siguientes ideas:
\n- \n
Actividad 3
\nActividad 4
\nEl siguiente diagrama resume todos los casos posibles que se pueden obtener al lanzar dos dados. Para distinguir cada dado, se pintaron de colores distintos.
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/alicia-juego-real/imgs/p_-05.png\")
\nLa temperatura media de la Tierra es ahora 1,1 °C más elevada que a finales del siglo XIX. Como vimos en la Infografía, se busca evitar un aumento de la temperatura global superior a 1,5 °C. ¿Cómo podemos determinar en qué año se alcanzará una variación de temperatura mayor a 1,5 °C?","tipo":"momento","eng":"","recurso":"Pregunta"},{"esp":"Comente a sus estudiantes que para dar respuesta a esta pregunta, se estudiarán los escenarios propuestos en el Acuerdo de París. Para ello muestre el siguiente gráfico y asegúrese de que comprendan que cada curva corresponde a un escenario futuro distinto, en función de las tasas de emisiones. \n","eng":"","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/escenarios-temperatura/imgs/asp-contex-2.png"},{"esp":"Finalice este momento comentando que en lo que sigue analizarán en detalle las consecuencias de los distintos escenarios. ","eng":"","tipo":"p"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Primera parte"},{"eng":"","esp":"Este momento tiene como propósito guiar a las y los estudiantes en la construcción de un procedimiento para construir la gráfica del tiempo en función de la temperatura, para los escenarios de emisiones altas y medias. ","tipo":"p"},{"esp":"Recuerde a sus estudiantes que a continuación analizarán en detalle cada uno de los escenarios. Luego, pídales que trabajen en las primeras dos preguntas de actividad 1 de la Hoja de Actividades. ","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/escenarios-temperatura/imgs/esc-temp-corregido.png\")
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Escenarios%20de%20temperatura/img/Guion-Temperatura-04.png\")
4. Grafica los datos obtenidos en la tabla anterior usando la temperatura como variable independiente.5. Usa el gráfico construido en la pregunta anterior para responder lo siguiente: ¿Cuántos años toma en este escenario pasar de un incremento de 1,5°C a uno de 2,5°C?"},{"esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/escenarios-temperatura/imgs/tabla-gestion-2.png\")
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/escenarios-temperatura/imgs/resp-inv-high.png\")
- \n
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/escenarios-temperatura/imgs/tabla-gestion-3.png\")
- \n\n
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/escenarios-temperatura/imgs/esquema-funcion-inversa.png\")
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/escenarios-temperatura/imgs/funcion-inv-esquema-v2.png\")
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/escenarios-temperatura/imgs/funcion-inv-esquema-v5.png\")
"},{"esp":"Tercera parte","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositivas 20 a 22, Presentación)"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En este momento se busca que las y los estudiantes analicen el gráfico de la función “tiempo versus temperatura”, para el escenario de emisiones bajas. Este trabajo les permitirá analizar un gráfico que no cumple con las condiciones para la existencia de la función inversa. Sin embargo se podrá restringir el dominio de la función inversa a un rango de temperaturas y así poder graficarla. Con ello, las y los estudiantes podrán comparar la rapidez de aumento de temperatura con el escenario de emisiones altas e intermedias analizado anteriormente y consolidar el procedimiento construido."},{"esp":"Actividad 3 \n
\nPara el escenario de emisiones bajas, \n
\n1. Usa el procedimiento desarrollado anteriormente para completar la siguiente tabla,![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Escenarios%20de%20temperatura/img/tabla%203.png\")
\n2. ¿Cuál es el año en el que, para este escenario se alcanza una variación de 1.75°C?","eng":"","tipo":"momento","recurso":"Actividades"},{"eng":"","esp":"Para el escenario de emisiones bajas, \n
1.\n 2. Para este escenario, en los años 2050 y 2100 la variación de temperatura sería de 1,75°C","tipo":"momento","recurso":"Respuesta"},{"esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Escenarios%20de%20temperatura/img/tabla%204.png\")
En este caso se espera que las y los estudiantes reconozcan que en este caso, a diferencia de los anteriores, el aumento de temperatura alcanza un máximo y luego comienza a disminuir. Esta idea es fundamental para que puedan argumentar sobre la existencia de la función inversa en este escenario. Puede plantear preguntas como las siguientes para que noten lo anterio
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"En este escenario,\n
En base a lo realizado en clases, sistematice las siguientes ideas:\n
\nEn otras palabras, si tenemos una función \\(f\\) que asigna valores de un conjunto de entrada \\(A\\) a un conjunto de salida \\(B\\), su función inversa \\(f^{-1}\\) nos permite recuperar los valores originales de \\(A\\) a partir de los valores transformados de \\(B\\).\n
\nPara que una función tenga una función inversa, debe ser biyectiva, lo que significa que debe ser tanto Inyectiva (cada valor en B tiene una única preimagen en A) y sobreyectiva (cada valor en B tiene al menos una preimagen en A). \n"},{"caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/escenarios-temperatura/imgs/esquema-funcion-inversa.png","escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Si una función \\(f: A \\to B\\) cumple que todo elemento de \\(B\\) tiene una única preimagen, podemos definir su inversa, \\(f^{-1}: B \\to A\\) como:","eng":""},{"tipo":"p","esp":"\\[ f^{-1}(y)=x \\Leftrightarrow y=f(x) \\]","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Es importante destacar que no todas las funciones tienen una función inversa, ya que no todas son biyectivas. Las funciones cuadráticas de la forma \\(f(x)=x^2\\) no tienen una función inversa, ya que no es una función uno a uno (inyectiva), y varios valores de\n\\(x\\) se asignan al mismo valor de \\(y\\). Sin embargo, si restringimos el dominio de \\(f(x)=x^2\\) a un intervalo específico, como x≥0 entonces se convierte en una función uno a uno en ese intervalo y tiene una función inversa en ese rango. Por lo tanto, la existencia de la función inversa depende de las condiciones específicas y el dominio considerado.\n"}]},"2":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Representación gráfica de la función inversa","tipo":"h3"},{"esp":"En esta situación se hace uso de representaciones gráficas y tablas para construir la función inversa y darle significado. El uso de distintas representaciones ayuda a dar significado a este concepto, particularmente a las condiciones para su existencia. ","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"En la actividad se busca motivar la construcción del gráfico de la función inversa a través de preguntas que requieren encontrar preimágenes en un gráfico de incremento de temperatura versus tiempo. Se busca construir la función inversa a través de preguntas del tipo “en qué año se alcanza un incremento de temperatura”. El hecho de que los gráficos no estén descritos de forma analítica promueve un trabajo conceptual que ayuda a dar significado a la función inversa y determinar condiciones para su existencia. ","eng":""},{"esp":"Dificultades en la enseñanza de la función inversa","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"Encontrar la función inversa por cambio de variables"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"La idea de encontrar la función inversa cambiando x por y, despejando y, es una simplificación que puede ser útil en muchos casos, pero también tiene sus limitaciones. Puede traer problemas a las y los estudiantes si se presenta de manera excesivamente simplificada y no se enfatizan las condiciones y restricciones necesarias para que una función tenga una inversa."},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Enfocarse solamente en este tipo de procedimientos, o bien, comenzar el estudio de la inversa con este tipo de procedimientos, no garantiza una comprensión del significado de la inversa sino que promueven un aprendizaje procedimental y superficial de este concepto. Como resultado, los estudiantes tratan de memorizar la estrategia, pero tienen dificultades para “realizar con precisión los procedimientos matemáticos, comprender por qué funcionan estos procedimientos y saber cómo se pueden usar e interpretar sus resultados” (NCTM, 2009; Carlson & Oehrtman, 2005).\n"},{"esp":"Representación gráfica de la función inversa","eng":"","tipo":"h4"},{"esp":"El reconocimiento de simetrías en los gráficos puede ser especialmente desafiante para algunos estudiantes. No todos los gráficos de funciones inversas son simétricos con respecto a la línea y = x. Dependiendo de la función original y su inversa, la simetría puede variar. En la situación propuesta los ejes representan distintas magnitudes físicas (tiempo [años] y temperatura [°C]) y con distintos rangos (1980 a 2100 y 0 a 5°C). Por lo tanto, para graficar la inversa, la regla de “reflejar la función en torno a la recta y = x” no es útil. ","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"La situación propuesta también invita a los estudiantes a reflexionar sobre las condiciones necesarias para la construcción de la inversa. En particular, en la última actividad, abordarán un caso donde la inversa no está definida globalmente pero se puede restringir su dominio para que exista. "},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para ayudar a las y los estudiantes a superar estas dificultades, se recomienda utilizar software o herramientas de gráficos para ayudar a visualizar y explorar las funciones inversas."},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"Notación de la Función inversa"},{"esp":"En esta actividad la notación de función inversa f -1 sólo se introduce en la sistematización de la actividad. Es importante aclarar a las y los estudiantes que no se refiere a elevar f a -1, que es la manera en que hasta ese momento se ha usado la notación. Tener cuidado con que algún/a estudiante pueda invertir la notación y escribir f( x-1 ) en lugar de f -1 (x), lo que no representa la función inversa. Es importante aclarar la notación correcta.\n","eng":"","tipo":"p"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"¿ Cómo se calcula la temperatura global ?"},{"eng":"","esp":"La NASA calcula la temperatura global utilizando datos recopilados de estaciones meteorológicas terrestres, boyas marinas, satélites y otros instrumentos distribuidos en todo el mundo. Estos datos se analizan y procesan para obtener estimaciones de la temperatura global y su cambio a lo largo del tiempo. La temperatura global se presenta generalmente en términos de variaciones de temperatura en relación con una línea de base o período de referencia.","tipo":"p"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/escenarios-temperatura/imgs/asp-contex-1.png","eng":"","tipo":"img"},{"esp":"En este gráfico se puede observar que la temperatura global promedio de la superficie terrestre ha aumentado progresivamente, tomando como referencia el promedio de la temperatura terrestre entre 1850 y 1900 (época preindustrial), que corresponde a la línea de 0 °C. Las barras azules y rojas muestran la diferencia por debajo y por encima del promedio de cada año, respectivamente. ","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Se le llama al período de referencia 1850 a 1900. Por lo tanto, ¿qué significa sobrepasar 1,5 ºC? La cifra no es una medida directa de la temperatura mundial, sino un indicador de qué tanto o qué tan poco se ha calentado o enfriado la Tierra comparado con el promedio global a largo plazo. Alcanzar ese umbral significa que el mundo estaría 1,5 ºC más caliente que en la segunda mitad del siglo XIX, antes de que las emisiones de combustibles fósiles de la industrialización empezaran a aumentar.\n"},{"esp":"El acuerdo de París sobre el cambio climático","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"El Acuerdo de París es un tratado internacional diseñado para abordar el cambio climático y limitar el calentamiento global. Fue adoptado en diciembre de 2015 durante la COP21 de la Convención Marco de las Naciones Unidas sobre el Cambio Climático, su objetivo principal es mantener el aumento de la temperatura global muy por debajo de 2°C en comparación con los niveles preindustriales y esforzarse por limitarlo a 1,5°C. "},{"esp":"El Panel Intergubernamental sobre el Cambio Climático (IPCC) ha desarrollado varios escenarios llamados \"Escenarios de Concentración Representativos\" que se presentan dentro del Acuerdo de París los que involucra el uso de modelos climáticos y escenarios de emisiones respaldados por análisis científicos y técnicos en base a modelos matemáticos conocidos y datos reales, para comprender los posibles impactos del cambio climático, evaluar escenarios futuros y diseñar políticas que permitan una transición sostenible hacia un futuro más seguro y resiliente frente al cambio climático. \n\n
\n\nPara la situación se decide considerar tres escenarios, como se observa en el siguiente gráfico, las simulaciones son entre el año 2015 hasta el 2100. Este gráfico es una adaptación del gráfico perteneciente al Informe del Panel Internacional de Cambio Climático, 2023 (https://www.ipcc.ch/report/ar6/syr/)\n","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Escenarios%20de%20temperatura/img/had.png","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","eng":"","escala":"50","titulo":{"eng":"","esp":""}},{"tipo":"p","esp":"\\[ HA’ = k \\cdot HA\\]
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/videojuegos-3d/imgs/homotecia-1.png","eng":"","tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"65","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En la homotecia se distinguen diferentes casos según el valor del factor \\(k\\)."},{"eng":"","tipo":"p","esp":"- Si además \\(k>1\\), el punto \\(A’\\) se ubica más lejano que el punto \\(A\\) respecto de \\(H\\).
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- Si \\(0< k <1\\), el punto \\(A’\\) se ubica más cerca de \\(H\\) que \\(A\\).
"},{"eng":"","esp":"Permita a que las y los estudiantes aborden las preguntas, con el fin de que aparezcan nociones que permitan diferenciar el tipo de videojuegos 2D que se menciona, sin profundizar en estas concepciones, que pueden ser bastante técnicas.
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"A continuación, muestre el video \"Videojuegos: Simulando el espacio 3D\" y mencione que en esta clase estudiaremos uno de estos videojuegos, el del automóvil que simula avanzar en la carretera. \n","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Presentación del problema"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositivas 5 y 6, Presentación) "},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Comience esta parte, mostrando el siguiente recurso Geogebra. De tiempo para que observen lo que ocurre y pídales que describan qué es lo que se visualiza en la animación.\n"},{"esp":"Se sugiere que tenga descargado el recurso GeoGebra en su computador, para evitar la necesidad de utilizar internet mientras realiza la clase.\n
\nEnlace al recurso Geogebra: https://www.geogebra.org/classic/hnjewwat
","tipo":"momento","eng":"","recurso":"Destacado"},{"esp":"Una vez que hayan mencionado que el recurso pretende “representar el movimiento de un vehículo”, plantee preguntas para que sus estudiantes puedan indagar en las nociones que permitirían lograr el efecto visual del recurso.","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"En videojuegos 2D, como el del recurso, ¿qué herramientas matemáticas podrían estar involucradas al generar el efecto visual de movimiento?
","recurso":"Pregunta"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Construcción de Conocimientos","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 7 a 14, Presentación) "},{"tipo":"p","esp":"Mientras muestras el recurso Geogebra, haz los siguientes pasos, con el propósito de simplificar la vista y centrarse en los elementos básicos que permiten explorar las características y propiedades del modelo matemático buscado.","eng":""},{"esp":"
\n
"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Principio aditivo y multiplicativo"},{"eng":"","esp":"La combinatoria es una rama de la matemática dedicada a la tarea de contar. Si bien parece una tarea sencilla, en muchos casos demanda el uso de estrategias que no son triviales, sin embargo, en todas ellas operan los siguientes principios:","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"- \n
\nEsta pregunta es análoga a la siguiente:\n
¿De cuántas formas se pueden elegir tres elementos de un conjunto de cinco?
\nEsta pregunta se refiere a la cantidad de formas en que se pueden elegir las respuestas correctas.
Notemos que esto es equivalente a la siguiente pregunta:\n¿De cuántas formas se pueden elegir dos elementos de un conjunto de cinco?
Puesto que ella hace referencia a la cantidad de formas en que se pueden escoger las 2 respuestas incorrectas que deben haber si hay 3 respuestas correctas. \n","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","esp":"En términos generales, si se tiene que escoger \\(m\\) elementos de un total de \\(n\\), el número de maneras de hacerlo está dado por el número combinatorio o coeficiente binomial (n m) que se define como \\(\\frac{n!}{m!\\cdot (n-m)!}\\). En el ejemplo que estamos analizando, la respuesta es (5 3) o (5 2). Notemos que la observación que hicimos previamente se traduce en que (5 3) = (5 2).","eng":""},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Probabilidad del complemento"},{"tipo":"p","esp":"En el estudio de la probabilidad se consideran los siguientes axiomas:\n\n
\n1. Para cualquier suceso \\(A\\), se tiene que \\(\\text{P}(A)\\geq 0\\).
\n2. Si \\(\\Omega\\) es el espacio muestral, se tiene que \\(\\text{P}(\\Omega)=1\\).
\n3. Si \\(A\\) y \\(B\\) son eventos mutuamente excluyentes, \\(\\text{P}(A\\cup B)=\\text{P}(A)+\\text{P}(B)\\).\n","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"A partir de ellos, si se tiene un espacio muestral \\(\\Omega=\\{1,2,3,..20\\}\\) y se tiene que calcular la probabilidad de obtener 1 ó 2 ó 3, … ó 19. En este caso se pide la probabilidad del evento \\(A={1,2,3,...,19}\\) que tiene como complemento al evento \\(B={20}\\) y por tanto la probabilidad pedida es \\(P(A)=1 - P(B) = 1-P({20})\\).\n"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Por ejemplo, si se quiere calcular la probabilidad de tener más de una respuesta correcta en un test de cinco preguntas, es más fácil calcular la probabilidad de tener una respuesta correcta \\((p)\\) o ninguna respuesta correcta \\((q)\\), y calcular \\(1-(p+q)\\)."},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Consideremos, en la figura adjunta, la probabilidad de llegar al punto rojo sin pasar por el punto azul. En este caso, dado que es fácil calcular la probabilidad \\(p\\) de llegar al punto rojo pasando por el punto azul, entonces se puede utilizar la estrategia de calcular la probabilidad requerida como \\(1-p\\)."},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Caminos/img/pr_-05.png","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","escala":"25","titulo":{"esp":"","eng":""}}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Consistencia en la descripción de casos favorables y casos totales","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Uno de los errores más comunes que cometen los estudiantes al calcular probabilidades que implican el conteo es hacer cálculos con orden para los casos totales y sin orden para los casos favorables y viceversa. Es importante notar que la decisión de trabajar con orden o sin orden determina el espacio muestral que se considera. Como los casos favorables son un subconjunto de los casos totales, es decir, del espacio muestral, deben ser consistentes con la elección para los casos totales. ","eng":""},{"esp":"Probabilidad del complemento","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"La probabilidad del complemento es útil en muchos contextos, ya que a menudo es más fácil calcular la probabilidad de que algo no ocurra en lugar de calcular directamente la probabilidad de que ocurra. Lo mismo ocurre al contar casos favorables y totales.\n
\n\nEn esta situación, interesa calcular la cantidad de caminos que no pasan por C para encontrar la probabilidad buscada. El conteo directo de estos caminos es complejo, pero al notar que corresponden al complemento de los caminos que sí pasan por C, la situación se simplifica puesto que el cálculo de la cantidad de caminos que pasan por C es abordable. \n"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Caminos/img/pr_-07.png","eng":"","alinea":"texto-centrado","escala":"25","caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img"},{"esp":"Este tipo de situación ocurre muy frecuentemente en los problemas de conteo y por lo tanto, es importante que las y los estudiantes manejen esta estrategia. ","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Conexión con otras representaciones: el triángulo de Pascal","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales (o números combinatorios) ordenados en forma de triángulo, tal como se representa en la figura adjunta. En el triángulo cada término distinto de uno corresponde a la suma de los dos términos inmediatamente superiores a él. Esto último corresponde a verificar que para \\(n\\geq 1\\) se cumple que:\n\\[{n \\choose k} = {n-1\\choose k} + {n-1\\choose k+1}\\]\n
","eng":"","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Caminos/img/r_p-06.png","escala":"50","tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"","esp":"Si sus estudiantes están familiarizados con el triángulo de Pascal, puede ser útil presentarles la conexión entre este y la cantidad de caminos que llevan a cada punto en una cuadrícula, como se observa en la figura adjunta. El principio aditivo garantiza que la cantidad de caminos que llevan a cada punto corresponde a la suma de la cantidad de caminos que llevan a los puntos inmediatamente anteriores a él. Al demostrar que la cantidad de caminos que llevan a cada punto corresponde a un número combinatorio, puede conectar el trabajo matemático con el triángulo de Pascal.\n\n
\nMás aún, es posible notar que la cantidad de caminos graficada en la cuadrícula constituye un subconjunto del triángulo de Pascal, lo que se puede apreciar si se observa la grilla desde la esquina inferior izquierda.\n","tipo":"p"},{"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"","escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Caminos/img/r_p-08.png","titulo":{"eng":"","esp":""}}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Un problema clásico de combinatoria"},{"esp":"El problema de cuántos caminos llevan de un vértice al otro en una cuadrícula ha sido un problema clásico de combinatoria y, dado que la cuadrícula puede presentarse en distintos tamaños, se puede adecuar a estudiantes de casi todas las edades.\n
\nEn esta actividad se usa para modelar la planificación de rutas de un repartidor, a partir de un mapa de Coyhaique. El repartidor debe ir desde el punto A al B por una ruta que garantice que no pasará por el punto C, donde ha ocurrido un accidente. Para efectos de la actividad, se asume que todas las calles tienen un único sentido y este es hacia el punto de destino (es decir el repartidor solo se moverá hacia la derecha o hacia arriba). Cabe destacar que dada la dificultad del problema, al inicio de la lección se abordará una versión simplificada del problema, usando la grilla de la derecha en la imagen a continuación. ","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"img","eng":"","escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/eleccion-rutas/mapa-vf.png"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"¿Dónde se utilizan estos problemas de grillas en la vida real? "},{"esp":"A pesar que la actividad propuesta considera un problema simplificado, los problemas que involucran grillas o cuadrículas se utilizan en una variedad de campos en matemática, ciencias, ingeniería e informática, entre otros. La planificación urbana y logística de transporte a menudo utiliza grillas para determinar las mejores rutas, la distribución de recursos y la disposición de calles y edificios. En el diseño de redes de telecomunicaciones se utilizan grillas para planificar la ubicación de torres de telefonía celular, antenas y la distribución de señales.","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Usar un lenguaje común en la actividad","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Para facilitar la discusión matemática es importante usar un lenguaje común para referirse a los elementos de mapa.","eng":""},{"esp":"
\nLuego, plantee la siguiente pregunta con el objetivo de que discutan en torno a posibles supuestos que pueden realizar para simplificar el problema.\n"},{"eng":"","esp":"
\na) ¿Cuál es la mínima cantidad de cuadras que se deben recorrer para llegar desde A hasta B?
\nb) ¿En qué dirección se deben recorrer esas cuadras? ¿Por qué?
\n","tipo":"momento"},{"tipo":"momento","esp":"\n1.
\na) La mínima cantidad de cuadras que se deben recorrer es 11.
\nb) 5 cuadras deben ser “hacia arriba” y 6 cuadras deben ser “hacia la derecha”. Si el repartidor se mueve “hacia abajo” o “hacia la izquierda” se aleja de su destino.","recurso":"Respuesta","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Es posible que algunos estudiantes tengan dificultades para identificar que recorrer las cuadras únicamente hacia la derecha o hacia arriba garantiza encontrar un camino mínimo. En estos casos, destaque que moverse en cualquier otra dirección (“hacia abajo” o “hacia la izquierda”) genera que el repartidor se aleje de su destino. "},{"tipo":"momento","eng":"","esp":"Lo anterior, lleva a plantear el siguiente supuesto:- \n
\nAlgunos ejemplos podrían ser:
","recurso":"Respuesta"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Luego, se sugiere que un par de estudiantes muestren en la pizarra los caminos que determinaron. \n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Caminos/img/pr_-14.png\")
\nPara que sus estudiantes reconozcan la necesidad de utilizar técnicas de conteo para calcular la probabilidad (Tarea matemática A), se sugiere realizar la siguiente pregunta. "},{"recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"
\nPara que sus estudiantes reconozcan la necesidad de utilizar técnicas de conteo para calcular la probabilidad (Tarea matemática A), se sugiere realizar la siguiente pregunta. "},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"
\n\nLuego concluya, en conjunto a sus estudiantes, que es complicado contar “a mano” todos los casos que necesitamos por lo que será necesario aplicar técnicas de conteo para determinar los casos que se requieren y resolver el problema de manera efectiva.\n
\n\nPara comprender cómo contar los caminos totales, se abordará una grilla más sencilla que les permitirá comprender la lógica detrás del conteo. Para esto pida que trabajen en la Actividad 2 de la Hoja de Actividades.\n","tipo":"p","eng":""},{"recurso":"Actividades","esp":"1. En la siguiente grilla, ¿Cuántos son los caminos minimales que van desde A hasta B?
","tipo":"momento","eng":""},{"tipo":"momento","esp":"1. Son 10 caminos minimales los que permiten llegar de A hasta B. ","recurso":"Respuesta","eng":""},{"tipo":"momento","esp":"2. ¿Cuántas cuadras se recorren en cada camino minimal? ¿En qué dirección se deben recorrer esas cuadras?","recurso":"Actividades","eng":""},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Respuesta","esp":"2. Los caminos minimales recorren 5 cuadras.\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Caminos/img/pr_-15.png\")
\nEn lo que sigue, las y los estudiantes transitarán entre representaciones para llegar a aquellas que permiten utilizar apropiadamente estrategias de conteo (Tarea matemática B). Para ello, pídales que busquen una forma más \"simple\" de representar los caminos minimales que van de A hasta B y promueva la discusión de los distintos enfoques que propongan sus estudiantes. Puede proponer preguntas como la siguiente para lograr lo anterior:\n","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"momento","esp":"
","recurso":"Actividades","eng":"","tipo":"momento"},{"tipo":"momento","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Caminos/img/pr_-17.png\")
\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nUna posible respuesta podría ser:
","eng":"","recurso":"Respuesta"},{"eng":"","recurso":"Destacado","esp":"Un camino queda completamente definido si se especifica solamente en cuales casilleros va el signo ➡️ (ya que en las posiciones restantes irán ⬆️). Del mismo modo, el camino queda igualmente definido si se especifica solamente en cuales casilleros va el signo ⬆️ (ya que en las posiciones restantes irán ➡️).","tipo":"momento"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Constatar lo anterior será fundamental para la comprensión de las estrategias de conteo que se desarrollarán a continuación. Para apoyar dicha comprensión, proponga realizar la pregunta 1 de la Actividad 3 de la Hoja de Actividades:"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"1. La siguiente tabla muestra una serie de caminos en los que se han especificado todos los recorridos hacia arriba, o bien, todos los recorridos hacia la derecha. Dibuja en cada caso el camino completo. \n\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Caminos/img/pr_-18%20.png\")
\n\n
","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Luego, para que sus estudiantes comprendan que se deben utilizar combinaciones para determinar casos totales (Tarea matemática C), se sugiere que realicen la pregunta 2 de la actividad 3 de la Hoja de actividades.","eng":""},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"2. Considera que para determinar un camino podemos ubicar 3 signos ➡️ en la siguiente tabla:\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Caminos/img/r_p-19.png\")
\n\n¿De cuántas maneras posibles se pueden situar estos 3 signos ➡️ (cuadras recorridas “hacia la derecha”) en los 5 espacios disponibles?"},{"eng":"","recurso":"Respuesta","tipo":"momento","esp":"Se espera que pueden llegar a la expresión \\[{5 \\choose 3} = 10\\]"},{"tipo":"p","esp":"Es posible que en este momento algún estudiante se plantee que hay 3 flechas hacia la derecha que sean distinguibles entre sí, por ejemplo, la primera, la segunda y la tercera, y que por tanto al intercambiarlas se obtendrían caminos distintos. En este caso, destaque que en el contexto del problema no tiene sentido intercambiar las flechas, pues hay una sola flecha que indica movimiento hacia la derecha que se dibuja tres veces en tres cuadras distintas. Es decir, hay solo una manera de ir a la derecha. Lo mismo ocurre con el movimiento hacia arriba. \n","eng":""},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Destacado","esp":"Es importante que las y los estudiantes reconozcan que esta pregunta proporciona un modelo para contar los casos totales. En este caso, la expresión (5 3) representa la cantidad de caminos totales cuando el camino minimal consta de 5 cuadras y 3 cuadras se recorren en dirección “hacia la derecha”."},{"eng":"","tipo":"p","esp":"También es posible calcular todos los caminos minimales considerando las cuadras que se recorren hacia arriba. Para que sus estudiantes reconozcan esta idea, pida que resuelvan la siguiente pregunta 3 de la Actividad 3 de la Hoja de Actividades. "},{"eng":"","esp":"3. Considera que para determinar un camino podemos ubicar 2 signos ⬆️ en la siguiente tabla\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Caminos/pdf/r_p-27.png\")
\n¿De cuántas maneras posibles se pueden situar estos 2 signos ⬆️ (cuadras recorridas “hacia arriba”) en los 5 espacios disponibles?","tipo":"momento","recurso":"Actividades"},{"tipo":"p","esp":"La respuesta en este caso corresponde a (5 2). Note que el hecho de haber obtenido la misma cantidad de caminos totales con ambas estrategias (considerar todos los recorridos hacia arriba, o todos los recorridos hacia la derecha) se explica por qué ambas maneras de denotar un camino son equivalentes por cuanto determinan completamente todos los caminos.\n\n","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Para comprender cómo contar los caminos favorables, seguiremos trabajando con una versión más sencilla de la grilla que les permitirá comprender la lógica detrás del conteo. (Tarea Matemática C)","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Presente la siguiente grilla pequeña, en donde se ha agregado el punto C, y pida a sus estudiantes contar la cantidad de caminos minimales que van desde A hasta B sin pasar por C. Para ello, pídales que trabajen en la pregunta 1 de la Actividad 4 de la Hoja de Actividades:"},{"esp":"1. ¿Cuántos caminos van de A hasta B sin pasar por C?
","eng":"","recurso":"Actividades","tipo":"momento"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Se espera que las y los estudiantes mencionen que existen 4 caminos minimales que permiten llegar de A hasta B sin pasar por C. \nPuede pedirle a un/a estudiante que muestre estos 4 caminos a la clase. Estos son:"},{"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Caminos/img/pr_-20.png","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","eng":""},{"esp":"Concluya con sus estudiantes que la probabilidad de ir de A a B sin pasar por C en la grilla pequeña es de \\(\\frac{4}{10}\\). En la grilla pequeña resultó fácil determinar los caminos que permiten llegar de A a B sin pasar por C. \n\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Caminos/img/abc.png\")
\nEste trabajo no será igual de sencillo que en la grilla original del problema por lo que necesitan establecer una estrategia de conteo al igual como se hizo para determinar los casos totales. Para comenzar la búsqueda de esta estrategia, plantee la siguiente pregunta. ","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","recurso":"Pregunta","esp":"
2. ¿Cuántos caminos van de C a B?![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Caminos/img/pr_-21.png\")
\n\n3.¿Qué tipo de camino se obtiene si juntamos un camino cualquiera que va de A hasta C con otro camino cualquiera que vaya de C hasta B?\n\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Caminos/img/pr_-22.png\")
\n\n4. Considerando las siguientes cantidades:
\n\n
\n2. La cantidad de caminos van de C a B son 2.
\n3. Se obtiene un camino cualquiera que va de A hasta B pasando por C.
\n4. La cantidad de caminos que van de A hasta B pasando por C, se puede obtener multiplicando el número de caminos que van de A hasta C por el número de caminos que van de C hasta B, es decir, \\(3\\cdot 2=6\\).","tipo":"momento","eng":"","recurso":"Respuesta"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En este punto, se sugiere destacar las siguientes conclusiones, respecto a utilizar el número de elementos del complemento para resolver problemas de conteo (Tarea Matemática F) que serán utilizadas en la resolución del problema original. "},{"tipo":"momento","recurso":"Destacado","eng":"","esp":"Es posible encontrar los caminos favorables que van de A hasta B y no pasan por C de la siguiente forma:\\[\\text{Caminos que no pasan por C} =\\text{Caminos totales} - \\text{Caminos que si pasan por C}\\]\\[\\text{Caminos que sí pasan por C} = \\text{Caminos que van de A hasta C} \\cdot \\text{Caminos que van de B hasta C}\\]"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Dada la extensión de la primera parte, se sugiere abordar el problema original en la próxima clase. Se propone una infografía que recuerde los principales aprendizajes de combinatoria y principio multiplicativo, con el objetivo de motivar y guiar el desarrollo del problema original de la ciudad de Coyhaique."},{"esp":"Segunda Parte","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositivas 2 a 4, Presentación 2)"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/eleccion-rutas/rutas-ppt-p2.pptx","tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación 2"},"eng":""},{"esp":"Este segundo momento tiene como objetivo aplicar lo aprendido para resolver el problema original.","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"(Problema original)
En la ciudad de Coyhaique, un repartidor necesita ir de un punto a otro, pero debido a un accidente de tránsito, no se puede pasar por el punto C. Si el repartidor no conoce esta información, ¿cuál es la probabilidad de que escoja un camino que vaya de A hasta B que no pase por C?","tipo":"momento","eng":"","recurso":"Actividades"},{"alinea":"texto-centrado","escala":"50","tipo":"img","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/eleccion-rutas/mapa-vf-solo.png","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"","esp":"Para comenzar entregue la Infografía “Contando Caminos” con el objetivo de que sus estudiantes puedan recordar lo visto en la clase anterior. ","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/2_medio/Caminos/pdf/inf_rutas2.pdf","eng":"","tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Ver Infografía"}},{"esp":"Puede hacer preguntas como las siguientes para validar la comprensión:\n","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"
\na) Calculen la cantidad total de caminos que van de A a C.
\nb) Calculen la cantidad total de caminos que van de C a B.
\nc) ¿Cuántos son los caminos que van de A a B pasando por C?
\nd) ¿Cuántos son los caminos que van de A a B sin pasar por C?\n","eng":"","recurso":"Actividades","tipo":"momento"},{"recurso":"Respuesta","eng":"","esp":"- \\[{6\\choose 2}={6\\choose 4}=15\\] \n
- \\[{5\\choose 2}={5\\choose 3}=10\\] \n
- \\[{6\\choose 2}\\cdot {5\\choose 2}=15\\cdot 10 = 150\\] \n
- \\[{11\\choose 5} - {6\\choose 2}\\cdot {5\\choose 2}=462 - 15\\cdot 10 = 312\\] \n
\na) ¿Cuál es la probabilidad de que el repartidor escoja un camino que vaya de A hasta B que no pase por C? Aproximen el resultado con 3 decimales.
\nb) Interpreten el resultado determinado anteriormente.\n","recurso":"Actividades","eng":""},{"recurso":"Respuesta","esp":"3.a) La probabilidad buscada está dada por:\n\\[\\frac{{11\\choose 5}-{6\\choose 2}\\cdot {5\\choose 2}}{{11\\choose 5}}=1 - \\frac{{6\\choose 2}\\cdot {5\\choose 2}}{{11\\choose 5}}=\\frac{312}{462}\\approx 0,675\\]\n
\n\nb) La probabilidad de que el repartidor escoja un camino que vaya de A hasta B que no pase por C es del \\(67,5\\%\\)","eng":"","tipo":"momento"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Sistematización ","eng":""},{"eng":"","esp":"(Diapositivas 23, Presentación P2)","tipo":"h4"},{"eng":"","esp":"- Una estrategia habitual en la resolución de problemas complejos, es encontrar una versión simplificada del problema, resolverlo y evaluar cómo esta solución aporta en la resolución del problema original. En este caso, la simplificación consistió en la reducción del tamaño del problema para que algunos cálculos fueses más sencillos ayudando a concentrarse en la identificación de las estrategias de conteo involucradas.
- Para obtener la probabilidad de ir desde un punto A hasta el punto B evitando el punto C, fue necesario:
- Identificar la pertinencia de la regla de Laplace, para lo cual fue importante llegar a un espacio muestral equiprobable.
- Ser capaz de contar los casos favorables y totales, para lo que fueron necesarias diferentes estrategias de conteo, tales como, principio multiplicativo, combinaciones y complemento.
- Es frecuente que las representaciones iniciales de un problema de conteo no sugieran inmediatamente las estrategias a utilizar. En estos casos, suele ser de ayuda transitar a representaciones alternativas que se presten para la aplicación de las diversas técnicas de conteo. En este caso, pasamos de la representación de caminos dibujados en un mapa a una secuencia de direcciones de movimiento.
- El estudio de grillas y probabilidad proporciona habilidades prácticas, analíticas y aplicables en diversos contextos, mejorando la capacidad para comprender y abordar problemas del mundo real.
Presente a sus estudiantes la Guía Práctica. Esta tiene por objetivo que las y los estudiantes apliquen herramientas de combinatoria en el cálculo de probabilidades. Se sugiere que primero se dé el tiempo para que trabajen individual o grupalmente, y luego socialicen las estrategias de resolución. Esta tarea puede ser utilizada para evaluar formativamente los siguientes indicadores:
- \nSimulan experimentos que involucran elecciones al azar equiprobables reiteradas (de pocos pasos) y describen pictóricamente los resultados, vía árboles; por ejemplo: en situaciones como componer menús o tenidas mediante elecciones sucesivas equiprobables de platos y prendas de ropa; o caminos de pocos pasos en un paseo al azar, con elecciones equiprobables entre cada encrucijada con 2, 3 o 4 opciones.\n
- Simulan experimentos que involucran elecciones al azar equiprobables reiteradas (de pocos pasos).\n
- No tengan intersección, en cuyo caso decimos que los planos son paralelos.\n
- La intersección sea una recta, en cuyo caso decimos que los planos son secantes, formando un ángulo α entre ellos. \n
- La intersección sea un plano, en cuyo caso ambos planos son iguales. En este caso también se habla de planos coincidentes.\n
- Plano XY y uno secante a él formando un ángulo α entre ellos. \n
- Planos secantes que se intersectan en una recta.\n
- Altura máxima
- Rasantes
- ¿Crees que la forma de los edificios se debe a algún criterio estético o se debe a otras razones?
- ¿Qué es la rasante de un edificio y para qué se usa?
- La forma de los edificios muchas veces se debe a que cumplen con normas de construcción. La arquitectura de los edificios busca aprovechar de mejor forma el espacio constructible delimitado por las rasantes y la altura máxima permitida.
- La rasante es un plano, determinado por un ángulo de inclinación respecto al suelo, que sirve para delimitar el espacio constructible de una edificación, en particular, su altura máxima.
La siguiente imagen representa el terreno donde se desea construir una casa.
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rasantes/imgs/esp/r_-06.png\")
- En el dibujo anterior, marca el contorno en el suelo desde donde se elevan las rasantes. Para esto, recuerda la definición de las rasantes:
Rasante:Las rasantes son planos imaginarios que se inician en el límite entre dos terrenos, o desde el medio de la calle. Estos planos forman con el suelo un ángulo de elevación que varía entre \\(60°\\) y \\(80°\\).\n - ¿Cuáles de las siguientes figuras 3D corresponde a la forma del espacio constructible en este caso?
- Visualizar el espacio constructible de la casa descrita en la Actividad 1.
- Explorar la altura máxima de la casa propuesta, dependiendo de la forma de su base.
Proyecte el recurso y explique su funcionamiento:
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"- En el lado izquierdo del recurso se muestra una vista desde arriba del terreno de la casa descrita en la Actividad 1.
- Se debe recordar que la línea roja determina la base del espacio constructible, el rectángulo café es el terreno donde se sitúa la casa, y el rectángulo gris la base de la casa.
- El recurso cuenta con 2 casillas que permiten visualizar las rasantes y las aristas de la figura 3D correspondiente al espacio constructible, que se despliegan en el lado derecho de la pantalla.
- También existe un deslizador que permite modificar la altura de las paredes. Cuando una de las paredes corta a una rasante, el recurso indica que dicha altura es la altura máxima de las paredes de la casa.
"},{"esp":"(Diapositiva 11, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"eng":"","esp":"A continuación, se propone involucrar a las y los estudiantes con el trabajo de estimar la altura máxima de las paredes de una edificación, considerando las restricciones impuestas por las rasantes.","tipo":"p"},{"esp":"Para introducir este problema use los siguientes recursos de GeoGebra que permiten, por medio de un deslizador, determinar la altura máxima de las paredes de casas o edificaciones que tienen distintas bases.","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":""},{"esp":"Es importante recalcar que se está considerando que la casa, hasta donde comienza el techo, tiene forma de prisma recto, generado al proyectar la base hacia arriba.","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":" (Diapositivas 12 a 14, Presentación)","tipo":"h4"},{"esp":"Plantee una discusión centrada en describir la manera en que se determina la altura máxima de la casa:\n","tipo":"p","eng":""},{"esp":"- Cuando el prisma que se forma al proyectar la base de la casa hacia arriba corta por primera vez a una rasante, la altura considerada corresponde a la altura máxima que pueden tener las paredes de la casa.\n
- La cara del prisma que corta por primera vez al plano rasante es aquella que está a la menor distancia de la línea desde donde se levanta un plano rasante.
- En el caso de la primera casa, cuya base tiene una forma cuadrada, todos los lados están a la misma distancia de las líneas desde donde se eleva el plano rasante:\n
- Mientras que en el caso de la segunda casa, al tener una base rectangular, existe un lado de la base que está más cerca de la línea desde donde se levantan los planos rasantes:
¿Qué información se necesita para determinar la altura máxima de las paredes de la casa?
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rasantes/imgs/pregunta-vf.png\")
- A nivel de suelo, se necesita conocer las medidas del terreno a edificar. Además, también se debe saber las distancias de este terreno con los terrenos vecinos y con las calles públicas, para determinar desde donde se proyectarán los planos rasantes.
- También es necesario saber en qué región de Chile se está construyendo esta casa, ya que el ángulo de elevación de las rasantes varía entre regiones. En este caso, estamos considerando una edificación ubicada en la Región del Maule, donde la norma indica que el ángulo de las rasantes con el suelo es de \\(70°\\).
- ¿Cuál es el valor del ángulo \\(\\alpha\\)?
- ¿Cuánto mide el segmento \\(AB\\)?\n
- ¿Cómo es posible interpretar el segmento \\(AC\\)?
- De acuerdo a sus ángulos, ¿qué tipo de triángulo es el triángulo \\(ABC\\)?\n
- El ángulo \\(\\alpha\\) corresponde al ángulo de elevación de la rasante, que en este caso es igual a \\(70 ° \\).
- Este segmento es la distancia desde donde comienza la edificación hasta el punto donde está la rasante correspondiente. De acuerdo a la primera imagen, este segmento mide 3 metros.
- El segmento \\(AC\\) se puede interpretar como la altura de la edificación, y su largo equivale a la altura máxima que puede alcanzar.
- En el triángulo \\(ABC\\), los segmentos \\(AB\\) y \\(AC\\) son perpendiculares, por lo tanto, corresponde a un triángulo rectángulo.
- ¿Cómo podemos estimar, usando trigonometría, la altura máxima de la edificación?
- Como vimos anteriormente, la altura máxima de la edificación corresponde al largo del segmento \\(AC\\), el cual, a su vez, corresponde al cateto vertical del triángulo rectángulo \\(ABC\\).
- Dado que ya sabemos la medida del cateto horizontal de este triángulo y de un ángulo del mismo, podemos ocupar la razón trigonométrica tangente.
- La tangente de un ángulo corresponde a la razón entre la longitud del cateto opuesto (en este caso, el segmento \\(AC\\) ) a ese ángulo y la longitud del cateto adyacente (segmento \\(AB\\)). En este contexto, la tangente se puede expresar como:\\[ tan(\\alpha)= \\frac{AC}{AB}\\]
- Por lo tanto, el segmento \\(AC\\) se puede calcular como:\n\\[ AC = AB \\cdot tan(70°)\\approx 3 \\cdot 2{,}7474 \\approx 8{,}24 \\ m\\] Es decir, una altura muy parecida a la calculada con el recurso GeoGebra.
Se contempla construir una casa en Punta Arenas, donde las regulaciones de esta región indican que el ángulo de las rasantes con el suelo es de \\(60° \\). El siguiente plano muestra el terreno, la base a edificar y los lugares desde donde se elevan las rasantes:
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rasantes/imgs/act-2-v2.png\")
- De acuerdo al plano del terreno y la base a edificar formada por el cuadrilátero \\(ABCD\\), ¿cuál es el lado que está más cerca de un plano rasante y cuál es esta distancia?
- Estima la altura máxima de esta edificación
- Al ver el plano del terreno, es posible ver que el lado de la base a edificar (cuadrilátero en gris) que está más cerca de algún plano rasante (cuadrado en rojo) es el segmento \\(AD\\). También del plano se puede estimar que esta distancia es igual a 2 metros.\n
- Una vez identificada que la distancia mínima (DM), a nivel del suelo, desde el lugar donde se eleva la rasante hasta la base de la edificación, se puede estimar la altura máxima (AM) del edificio usando trigonometría:\n\n\\[AM = DM \\cdot tan(60\\degree)\\approx 2 \\cdot 1{,}732 \\approx 3{,}46 \\ m\\]\n
- Las rasantes son planos imaginarios que se inician en el límite entre dos terrenos, o desde el medio de la calle. Estos planos forman con el suelo un ángulo de elevación que varía entre \\(60°\\) y \\(80°\\).\n
- Como pudimos constatar, los planos rasantes son de gran importancia al momento de planificar la construcción de edificaciones o casas, pues determinan la altura máxima que estas pueden alcanzar.
El recurso GeoGebra \"Todos los caminos\" muestra y cuenta los caminos minimales que van desde A hasta B. Lo puede visualizar en el siguiente link.
"},{"tipo":"iframe","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/y7utd5kg/width/719/height/691/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false\" width=\"719px\" height=\"691px\" style=\"border:0px;","eng":"","recurso":"Geogebra"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 37 y 38)","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/caminos/ppt_caminos_8vo.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"recurso":"Descarga","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/caminos/ppt_caminos_8vo.pptx","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"}}]},"4":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Guía Práctica","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes puedan evaluar sus aprendizajes. "},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/caminos/Documentos/Guia%20Practica%208vo_U4_OA17.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/caminos/Documentos/Guia%20Practica%208vo_U4_OA17.docx","eng":"","tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"}}]}}},"aspectosAConsiderar":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Principio multiplicativo"},{"tipo":"p","esp":"Si un evento puede ocurrir de \\(m\\) maneras e, independientemente de lo que ocurrió en él, un segundo evento puede ocurrir de \\(n\\) maneras, entonces ambos eventos juntos pueden ocurrir de \\(m\\cdot n\\) maneras.\n\n
\nPor ejemplo, si en un menú se puede escoger entre dos opciones entradas y entre tres opciones de platos de fondo, en total hay \\(2 \\cdot 3\\) opciones, tal como se representa en el siguiente diagrama de árbol:","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/caminos/img/p_-02%20%281%29.png","escala":"50","eng":"","alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""}},{"tipo":"p","esp":"Es importante notar que para aplicar el principio multiplicativo el número de maneras que se puede elegir el plato de fondo debe ser siempre la misma, independientemente de cuál fue la entrada elegida.","eng":""},{"tipo":"h4","esp":"Principio multiplicativo en la elección de rutas","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En la situación planteada en clases, se busca que las y los estudiantes determinen la cantidad de caminos posibles para ir de un punto a otro en un mapa, bajo ciertas condiciones. \n\nConsideremos, por ejemplo, que se quiere llegar al punto rojo de la figura adjunta pasando por el punto azul. \n"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/caminos/img/pr8-03.png","escala":"50","eng":""},{"esp":"Suponiendo que se parte en el punto de la esquina inferior izquierda, y que sólo es posible avanzar hacia la derecha o hacia arriba, es posible determinar que hay \\(10\\) formas de llegar al punto azul y hay \\(3\\) formas de llegar al punto rojo desde el punto azul, entonces hay \\(10 \\cdot 3\\) formas de llegar al punto rojo pasando por el punto azul. Lo anterior es cierto porque las elecciones de los caminos son independientes entre sí, es decir, la manera en que se llegó al punto azul no afecta la elección de camino que se haga a partir de él.\n","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Otra mirada del principio multiplicativo"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"El principio multiplicativo se puede entender como el proceso para contar el número de combinaciones entre un conjunto de \\(a\\) elementos y un conjunto de \\(b\\) elementos. Este conteo se puede realizar considerando todos los subgrupos que parten de un elemento dado del primer conjunto y se combinan con todos los elementos del segundo conjunto. En otras palabras, se tienen \\(a\\) subgrupos, cada uno con \\(b\\) elementos. El número total de combinaciones posibles se obtiene multiplicando la cantidad de subgrupos \\(a\\) por la cantidad de elementos \\(b\\) del segundo conjunto. De manera algebraica, esto se expresa como \\(a\\cdot b\\) combinaciones posibles. \n"}]},"2":{"contenido":[{"esp":"Gestión del tiempo y planificación de la situación","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":"Respecto a la planificación, es importante procurar que el foco de la clase se centre en la discusión respecto de la deducción y aplicación del principio multiplicativo. En este sentido, se sugieren dos opciones para planificar la actividad.","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","escala":"50","eng":"","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/caminos/img/p_-05.png","tipo":"img"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Opción 1: Si dispone del tiempo necesario para abordar la situación propuesta, se recomienda dividirla en dos etapas. En la primera etapa, el énfasis debe estar en que las y los estudiantes trabajen en determinar la cantidad de caminos que van desde A hasta C y la cantidad de caminos que van desde C hasta B. Luego, se sugiere tomar un breve descanso y, finalmente, proceder a la segunda parte, donde las y los estudiantes se enfocarán en aplicar y deducir el principio multiplicativo."},{"eng":"","tipo":"p","esp":"\nOpción 2: Si el tiempo es acotado para abordar la situación, se sugiere mostrar los 6 caminos que van de A hasta C y los 10 caminos que van de C hasta B para que la discusión se centre en deducir aplicar el principio multiplicativo.\n"},{"esp":"Cuando usar el Principio multiplicativo","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":"El principio multiplicativo se puede utilizar siempre y cuando se tenga un evento que puede ocurrir de \\(m\\) posibles formas y para cada una de esas formas existe un segundo evento puede ocurrir de \\(n\\) maneras. Para ilustrar un ejemplo en donde no se puede utilizar el principio multiplicativo, consideremos que un menú ofrece carne o pollo como proteínas, pero para el acompañamiento de la carne hay tres opciones y para el acompañamiento del pollo hay 4 opciones. En este caso, el principio multiplicativo no aplica. ","tipo":"p"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/caminos/img/pr8-04.png","escala":"50","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""}},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\nEn el contexto de la actividad, se asume que la elección de caminos de A a C es independiente de la elección de caminos de C a B. Es decir, para decidir cómo llegar a B desde C, no importa el camino recorrido antes. \n"},{"esp":"\nConsidere hipotéticamente que se decidió que sólo se cambiaría de dirección tres veces durante el trayecto. En ese caso, la cantidad de caminos de C a B dependen de cómo se llegó de A a C. Este último ejemplo ilustra un caso en el que no se podría aplicar el principio multiplicativo.\n","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Cantidad de caminos totales"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para calcular el total de caminos que llevan de A a B en la grilla adjunta, si solo se avanza sin retroceder, requiere el uso de herramientas de combinatoria que no se estudian hasta segundo año medio. "},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/caminos/img/p_r_-11.png","alinea":"texto-centrado","escala":"50","eng":"","tipo":"img"},{"eng":"","esp":"En particular, cualquier camino de A a B requiere avanzar cuatro veces hacia la derecha (D) y cinco veces hacia arriba (U). Luego, el problema consiste en determinar de cuántas formas se pueden ordenar las letras DDDDUUUUU. Una manera de abordarlo es considerando la cantidad de formas en que pueden elegirse las posiciones de las cuatro D en el total de nueve letras, lo que corresponde a (94)=126. Dado que este razonamiento excede los conocimientos de octavo básico, se diseñó un simulador que cuenta el total de caminos. De esta manera, se permite que el trabajo de la actividad se centre en contar los caminos en una configuración más pequeña, en el uso del principio multiplicativo y cálculo de probabilidades.","tipo":"p"},{"esp":"Secuencia de enseñanza para el uso de la regla de Laplace ","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"Al enseñar a determinar probabilidades utilizando la regla de Laplace se sugiere comenzar por mostrar los casos totales. Esto se debe a que, al hacerlo de esta forma, se visualiza el espacio muestral, abordar la equiprobabilidad de los distintos caminos y con ello, la pertinencia de aplicar la regla de Laplace en este problema.","eng":"","tipo":"p"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Un problema clásico de combinatoria","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":"El problema de cuántos caminos llevan de un vértice al otro en una cuadrícula ha sido un problema clásico de combinatoria y, dado que la cuadrícula puede presentarse en distintos tamaños, se puede adecuar a estudiantes de distintos niveles.","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"\nEn esta actividad se usa para modelar la planificación de rutas de una ambulancia, a partir de un mapa de Coyhaique. Para efectos de la actividad, se asume que todas las calles tienen un único sentido y este es hacia el punto de destino.\n","tipo":"p"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","escala":"50","alinea":"texto-centrado","eng":"","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/caminos/asp-contextuales-1.png"},{"esp":" ¿Dónde se utilizan estos problemas de grillas en la vida real? ","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"A pesar que la actividad propuesta considera un problema simplificado, los problemas que involucran grillas o cuadrículas se utilizan en una variedad de campos en matemática, ciencias, ingeniería e informática, entre otros. La planificación urbana y logística de transporte a menudo utiliza grillas para determinar las mejores rutas, la distribución de recursos y la disposición de calles y edificios. En el diseño de redes de telecomunicaciones se utilizan grillas para planificar la ubicación de torres de telefonía celular, antenas y la distribución de señales.","eng":""},{"tipo":"h3","esp":"Usar un lenguaje común","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Para facilitar la discusión matemática es importante usar un lenguaje común para referirse a los elementos del mapa.- \n\nCuadrícula o grilla: en la actividad se usan ambos términos como sinónimos y corresponden al conjunto de cuadrados que se forman al cortarse perpendicularmente segmentos de líneas. En esta actividad se hace referencia a la dimensionalidad de la cuadrícula a través del número de cuadrados que tiene en la dirección vertical y en la horizontal. Por ejemplo, la siguiente figura corresponde a una cuadrícula de 2×3.
- Calles y cuadras: en la cuadrícula, las calles están representadas por líneas horizontales y verticales, con lo que estas se asumen perpendiculares entre sí. El lado de cada cuadrado de la cuadrícula (segmento que une dos calles) corresponde a las cuadras, tal como se representa en la siguiente figura. Es importante señalar que, para los efectos de la actividad, el ancho de las calles es irrelevante, por lo cual es innecesario distinguir la vereda de la calle en las cuadras.
- Camino o ruta: esta corresponde al conjunto de cuadras que al ser recorridas llevan de un lugar a otro. En la figura adjunta se marca un posible camino para llegar de A a B. En el contexto de la actividad, para ir de A a B solo se puede avanzar hacia la derecha o hacia arriba, es decir, sin retrocesos. En el contexto de esta actividad a los caminos de este tipo le llamaremos camino o ruta minimal.
- ¿Para qué crees que podría ser útil conocer la probabilidad de que determinados caminos cuenten con alto tráfico al momento de planificar un viaje?\n
- ¿Qué información era relevante para minimizar el riesgo de accidente en el caso de la ambulancia del video?\n
En la ciudad de Coyhaique, una ambulancia necesita ir del punto A al punto B. Justo al salir del punto A, hubo un accidente y hay una persona herida en el punto C. Si el conductor de la ambulancia no conoce esta información ni ninguna otra que lo lleve a escoger un camino sobre otro, ¿cuál es la probabilidad de que el camino que escoja para ir de A hasta B, pase por C y, con esto, pueda ayudar al herido?
","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Se sugiere realizar la siguiente pregunta para definir un camino en el contexto del problema:"},{"esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/caminos/mapa.png\")
- ¿Qué entienden por camino en el contexto del problema?
- ¿Creen que hay alguna razón para preferir una cuadra sobre otra?
\na) ¿Cuál es la mínima cantidad de cuadras que se deben recorrer para llegar desde A hasta B?
\nb) ¿En qué dirección se deben recorrer esas cuadras? ¿Por qué?\n","eng":""},{"recurso":"Respuesta","esp":"\n1.
\na) La mínima cantidad de cuadras que se deben recorrer es 9.
\nb) 5 cuadras deben ser “hacia arriba” y 4 cuadras deben ser “hacia la derecha”. Si la ambulancia se mueve “hacia abajo” o “hacia la izquierda” se aleja de su destino. \n","tipo":"momento","eng":""},{"eng":"","esp":"Es posible que algunos estudiantes tengan dificultades para identificar que recorrer las cuadras únicamente hacia la derecha o hacia arriba garantiza encontrar un camino mínimo. En estos casos, destaque que moverse en cualquier otra dirección (“hacia abajo” o “hacia la izquierda”) genera que la ambulancia se aleje de su destino, teniendo que recorrer más de 9 cuadras. ","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Destacado","esp":"Lo anterior, lleva a plantear el siguiente supuesto:\n
- \nDado que la ambulancia quiere llegar lo más rápido posible a B, siempre optará por cuadras que lo acerquen a B, es decir, se moverá siempre hacia la derecha o hacia arriba.\n
Luego, comente que:\n
- Para contar los casos, consideraremos únicamente aquellos caminos que recorren la mínima cantidad de cuadras para llegar de A hasta B. A estos caminos los llamaremos minimales.\n
- Dada la manera en que elegimos estos caminos, por ejemplo, que tienen el mismo largo, estos resultan equiprobables. \n
- ¿Qué necesitamos determinar para aplicar la regla de Laplace?
- Los casos totales engloban todos los caminos minimales que van de A hasta B.\n
- Los casos favorables se refieren a la cantidad de caminos minimales que van de A hasta B, pasando por C.
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/caminos/img/ppt_-03%20%281%29.png\")
","recurso":"Respuesta"},{"tipo":"p","esp":"Luego, se sugiere que un par de estudiantes muestren en la pizarra los caminos que determinaron. \n","eng":""},{"esp":"\nPara que sus estudiantes se cuestionen si es posible determinar la cantidad de caminos totales, se sugiere realizar la siguiente pregunta:\n","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"- ¿Creen que es posible dibujar todos los caminos que permiten determinar la cantidad de casos totales?
\nLuego, para que sus estudiantes reconozcan que existe una gran cantidad de caminos totales, se sugiere presentar el siguiente recurso GeoGebra. Note que al hacer clic en el botón “Visualizar otro camino” podrá mostrar a sus estudiantes diferentes caminos minimales que van desde A hasta B. ","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Mencione que el simulador puede contar la cantidad de caminos totales que va desde el punto A hasta el punto B. Haga clic en el botón “Contar caminos totales” e indique que el simulador arrojó que hay 126 caminos totales. ","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"Comente que el simulador contó los caminos totales pero no la cantidad de caminos que pasan por un punto específico. Por lo tanto, el simulador no nos dio la información sobre la cantidad de caminos favorables, es decir, por el momento no sabemos la cantidad de caminos que van de A hasta B que pasan por C.","tipo":"p"},{"esp":"Segunda parte","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 15 a 36, Presentación) ","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En lo que sigue, se espera que las y los estudiantes reflexionen acerca de cómo determinar los caminos que van de A hasta B pasando por C. Se sugiere realizar la siguiente pregunta:"},{"esp":"- ¿Cuántos de esos 126 caminos pasan por el punto C?
Haga notar que: si juntamos un camino cualquiera que va de A hasta C con otro camino cualquiera que vaya de C hasta B, se obtiene un camino cualquiera que va de A hasta B que pasa por C, como se ve a continuación:
","tipo":"momento","recurso":"Destacado","eng":""},{"tipo":"p","esp":"En lo que sigue, las y los estudiantes determinarán la cantidad caminos que van de un punto a otro (Tarea Matemática B), específicamente, se espera que determinen la cantidad de caminos que va de A a C y la cantidad de caminos que va de C a B. \n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/caminos/img/p_r_-11.png\")
\nEn esta etapa, se recomienda formar grupos de trabajo. Asigne a algunos grupos la tarea de contar la cantidad de caminos que van desde A hasta C, mientras que a otros grupos la tarea de contar la cantidad de caminos que van desde C hasta B. Para esto, pídales trabajar el punto 2 de la Actividad 2 de la Hoja de Actividades. \n
\nUna vez que los grupos hayan completado su tarea, solicite que muestren los caminos que identificaron.","eng":""},{"recurso":"Actividades","eng":"","esp":"2. Determina lo siguiente:
\na) La cantidad de caminos que van de A hasta C.
\nb) La cantidad de caminos que van de C hasta B.\n","tipo":"momento"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Se espera que las y los estudiantes concluyan que son 6 los caminos que van de A hasta C y que son 10 los caminos que van de C hasta B. A continuación se detallan los caminos:"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"75","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/caminos/img/p_r_-12.png","eng":""},{"caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","escala":"75","eng":"","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/caminos/img/p_r_-13.png"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Luego, para que las y los estudiantes deduzcan y usen el principio multiplicativo para determinar la cantidad de casos favorables (Tarea Matemática C) plantee la pregunta 3 de la Actividad 2 de la Hoja de Actividades. La idea central de esta actividad es fijar un camino de A hasta C, y luego trazar todos los caminos que le pueden seguir desde C hasta B. "},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","eng":"","esp":"3. Analiza y responde:
a) Pensemos en uno de los caminos que va de A hasta C, por ejemplo este:![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/caminos/img/p_r_-14.png\")
\n\n\n¿Cuántos caminos van de A hasta B que se originen a partir del camino mostrado? ¿Por qué?b) Pensemos ahora en otro camino que va de A hasta C, por ejemplo este:
\n¿Cuántos caminos van de A hasta B que se originen a partir del camino mostrado?"},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Respuesta","esp":"3.![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/caminos/img/p_r_-15.png\")
\na) Al considerar el camino desde A hasta C y sabiendo que hay 10 caminos posibles desde C hasta B, concluimos que existen 10 caminos que conectan A con B.
\nb) 10 caminos también.\n"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Luego de estas preguntas, concluya con sus estudiantes que independientemente del camino que se eligió de A hasta C, los caminos que van de A a B que comienzan por esa elección, son siempre 10. "},{"tipo":"p","esp":"Luego, aborde la pregunta 4 de la Actividad 2 de la Hoja de Actividades con sus estudiantes:","eng":""},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"4. Considerando el trabajo anterior, ¿cuántos caminos van de A hasta B que pasan por C?"},{"tipo":"momento","esp":"4. 6 veces 10, es decir, son 60 posibles caminos que van de A hasta B pasando por C. ","eng":"","recurso":"Respuesta"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Podría recalcar de manera más detallada que lo que hacemos es separar la colección de caminos que van de A a B pasando por C en subgrupos que corresponde a aquellos que parten con el mismo camino hasta C. Cada uno de estos subgrupos están constituidos por 10 caminos y hay 6 de estos subgrupos. Por lo que se tienen \\(6\\cdot10\\) caminos favorables.\n
\nPara cerrar la idea respecto al principio multiplicativo, se sugiere abordar la pregunta 5 de la Actividad 2 de la Hoja de Actividades.\n"},{"esp":"5. Considerando las siguientes cantidades:\n
- Cantidad de caminos que van de A a C\n
- Cantidad de caminos que van de C a B
¿Qué operación entre ellas permite determinar la cantidad de caminos de A hasta B que sí pasan por C?
","eng":"","tipo":"momento","recurso":"Actividades"},{"recurso":"Respuesta","tipo":"momento","eng":"","esp":"5. La multiplicación."},{"eng":"","recurso":"Destacado","tipo":"momento","esp":"Principio multiplicativo
\nSi un evento puede ocurrir de \\(m\\) maneras, e independientemente de lo que ocurrió en él, un segundo evento puede ocurrir de \\(n\\) maneras, entonces ambos eventos pueden ocurrir juntos de \\(m\\cdot n\\) maneras.\n"},{"esp":"Relacione lo anterior con nuestro problema. Mencione que el primer evento corresponde a los caminos que van de A hasta C y que hay m=6 y que el segundo evento son los caminos que van de C hasta B y hay n=10. Ambos eventos juntos corresponden a los caminos que van de A hasta B pasando por C y por lo tanto estos son \\(6\\cdot 10\\) caminos.\n
\nPara finalizar, las y los estudiantes utilizan la regla de Laplace e interpretan una probabilidad (Tareas Matemáticas D y E) para responder a la pregunta del problema central de la clase. Para esto, pídales abordar la pregunta 6 de la Actividad 2 de la Hoja de Actividades.","tipo":"p","eng":""},{"recurso":"Actividades","eng":"","tipo":"momento","esp":"6. Responde:
\na) ¿Cuál es la probabilidad de que la ambulancia escoja un camino que vaya de A hasta B pasando C? Aproximen el resultado con tres decimales.
\nb) Interpreta el resultado encontrado anteriormente.\n"},{"esp":"6.
\na) La probabilidad buscada está dada por (\\frac{60}{126}=0,476\\)
\nb) La probabilidad de que la ambulancia escoja un camino que vaya de A hasta B que pase por C es del \\(47,6%\\). ","recurso":"Respuesta","eng":"","tipo":"momento"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Sistematización ","eng":""},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositivas 37 y 38, Presentación)"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- Para obtener la probabilidad de ir desde el punto A hasta el punto B, pasando por el punto C, fue necesario:
- \nIdentificar la pertinencia de la regla de laplace, para lo cual fue importante llegar a un espacio muestral equiprobable.
- \nContabilizar los casos favorables, usando el principio multiplicativo.\n\nEl principio multiplicativo se utiliza para contar las posibles formas en que dos o más eventos pueden ocurrir juntos. Si un evento puede ocurrir de \\(m\\) maneras, y un segundo evento puede ocurrir de \\(n\\) maneras, entonces ambos eventos juntos pueden ocurrir de \\(m\\cdot n\\) maneras. \n
- Resuelven problemas de juegos de azar y de la vida cotidiana, aplicando combinatoria y permutaciones.\n
\\[ D(c)=\\{(x,y)\\in \\mathbb{R}^2 : (x,y,c))\\in D \\} \\]
\n","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Que se lee \"la sección de \\(D\\) en \\(z=c\\)\". Intuitivamente, \\(D(c)\\) es lo que resulta al “cortar” \\(D\\) por el plano \\(z=c\\).\n","tipo":"p"},{"caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/imgs/esp/2.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","tipo":"img"},{"eng":"","tipo":"p","esp":" Notemos que \\(D(c)\\) es un subconjunto de \\(\\mathbb{R}^2\\) que puede ir variando al cambiar el valor de \\(c\\)."},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Si bien para algunos valores de \\(c\\), la sección \\(D(c)\\) puede ser vacía, usualmente solo interesa estudiar la sección cuando \\(D(c)\\neq \\emptyset\\). "},{"tipo":"h3","eng":"","esp":" Curvas de nivel"},{"eng":"","esp":"Un caso importante de cuerpos 3D son aquellos descritos como el gráfico de una función de dos variables. Recordemos que dada una función de dos variables \\(F:A\\to \\mathbb{R}\\), donde \\(A\\subseteq \\mathbb{R}^2\\), su gráfico es el subconjunto del espacio 3D dado por ","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"\\[ D=\\{(x,y,F(x,y)): x,y \\in A \\} \\]
","tipo":"p"},{"escala":"50","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/imgs/corregida2.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En este caso, la sección en \\(z=c\\) es el conjunto"},{"tipo":"p","esp":"\\[ \\{(x,y): F(x,y)=c\\}.\\]
","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Usualmente, para simplificar la escritura, este conjunto se anota simplemente como "},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\\[ F(x,y)=c\\]
"},{"eng":"","esp":"En el caso que acabamos de describir, la sección del cuerpo \\(D\\) también se conoce como curva de nivel de F. Este nombre hace referencia a que el conjunto \\(F(x,y)=c\\) representa comúnmente una curva (aunque también puede ser un punto, o vacía). \n","tipo":"p"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/imgs/corregida1.png","escala":"50","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"","tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""}},{"escala":"30","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/imgs/5.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado"},{"esp":"En las figuras precedentes se muestra el gráfico de la función, intersecado con el plano celeste. La intersección obtenida se ilustra en las curvas de la segunda imagen. ","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Se puede pensar gráficamente en las curvas de nivel como una “vista desde arriba” de la figura a una altura dada. ","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Cabe mencionar que tanto las curvas de nivel de una función como las secciones de un cuerpo pueden ser infinitas, (pues puede haber una infinidad de alturas). El conocimiento completo de todas estas nos permite reconstruir la forma del cuerpo, mientras que el conocimiento de solo algunas de ellas nos da una idea de la forma aproximada del mismo.","eng":""},{"esp":"Vistas de un cuerpo 3D","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":"Matemáticamente, una vista de un cuerpo 3D es una proyección paralela ortogonal del cuerpo en un plano. Es decir, los puntos del objeto se proyectan usando rectas paralelas, las que son perpendiculares al plano en el cual se está proyectando.\n","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","escala":"50","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/imgs/esp/proy-paralela.png","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"eng":"","esp":""}}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Visualización del espacio tridimensional"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Un primer paso para desarrollar la visualización y el razonamiento geométrico en el espacio, es conocer y comprender las distintas maneras de representar objetos 3D en el plano. Una manera de conocer un objeto 3D y representarlo en el plano es realizando cortes en él.
Para desarrollar la visualización de objetos 3D se necesita mucha práctica con materiales concretos o con recursos interactivos como los del software GeoGebra, además de la elaboración de dibujos y de diferentes representaciones que apoyen el aprendizaje, como el plano isométrico.
Para visualizar las secciones es importante considerar que se está “mirando de manera perpendicular al plano de corte”. Por ejemplo, las curvas de nivel corresponden a los contornos de las secciones que se obtienen al cortar el relieve con planos horizontales a distintas alturas, y “mirarlos” perpendicularmente. (Considera que una “sección” es la figura plana que se obtiene en el lugar del corte.)
Desarrollar la visualización de cortes de objetos 3D es fundamental en áreas STEAM, como la topografía, medicina, geografía, fotografía, etc. Conocer aplicaciones del estudio de las secciones de un objeto 3D en estas áreas puede motivar el estudio de la geometría en niveles escolares y universitarios, pues es frecuente estudiar este tema en cursos de Cálculo para describir superficies 3D.
Para describir un objeto tridimensional en el plano, podemos dibujar sus curvas de nivel, que corresponden a una proyección paralela, desde una posición fija respecto del objeto. En la proyección paralela rectas paralelas en el cuerpo corresponden a rectas paralelas en el plano.
Al abordar este tema, es usual usar términos como “mirar” u “observar”. Estas expresiones son más bien informales, pues en la realidad el ser humano observa en “perspectiva”, por tanto, el mismo objeto se representará más pequeño cuanto más lejos se encuentre del observador, lo que no ocurre cuando representamos cortes.
En problemas de contexto, el criterio para identificar, por ejemplo, caminos con menor pendiente que otros, se pueden basar en la simple observación del camino trazado. Sin perjuicio de lo anterior, estos se pueden formalizar mediante criterios “matemáticos” que permita la comparación de cualesquiera dos caminos. Por ejemplo, para la elección de la ruta con “menor pendiente” sería favorable definir qué se entiende por pendiente, lo que permitirá comparar dos rutas cualquiera. Como en esta situación el objetivo es la interpretación de planos y el trazado de perfiles topográficos, hemos decidido no abordar matemáticamente el concepto de pendiente.\n
- Los mapas topográficos proporcionan información crucial sobre los cambios de elevación de un terreno o sector. En el contexto abordado en esta actividad, las curvas de nivel permiten representar la altitud sobre el nivel del mar, lo que permite a excursionistas conocer la elevación y pendiente del terreno a lo largo de una ruta.
- Cabe destacar que se usa el nombre de curva de nivel (en lugar de sección), pues lo que se entrega es la información sobre la superficie y no del interior de la sección.
- Estos mapas se utilizan para una diversidad de propósitos, que van desde la planificación de rutas de senderismo, la gestión de recursos naturales, la cartografía geológica y la planificación de proyectos ingenieriles.
- En esta situación se supuso que las rutas que van hacia la cima están en “línea recta”, por esto los perfiles topográficos construidos coinciden con los desniveles de las rutas.
Esta presentación interactiva puede ser utilizada para presentar el video de la situación en casos que no se disponga de un buen sistema de audio, o bien, puede ser de ayuda para detenerse y discutir en torno a diferentes elementos que aparecen en el video.
"},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/Ruta_de_trekking_mas_conveniente/pdfs/ppt_interactivo_curvas_de_nivel.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Presentación Interactiva","eng":"Descargar Presentación Interactiva"},"recurso":"Descarga","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/Ruta_de_trekking_mas_conveniente/docs/ppt_interactivo_curvas_de_nivel.pptx","eng":""}]},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":" Presentación (diapositivas 18 a 33)"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación. "},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/documentos/ppt_planificacion_rutas_excursion.pdf","eng":""},{"tipo":"button","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/documentos/ppt_planificacion_rutas_excursion.pptx"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Hoja de actividades"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación. "},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/pdfs/esp/hoja%20de%20actividades.pdf"},{"eng":"","recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/editables/esp/hoja%20de%20actividades.docx","tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":""}}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Presentación (diapositiva 34 a 37)"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación. ","eng":""},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/documentos/ppt_planificacion_rutas_excursion.pdf","eng":""},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/documentos/ppt_planificacion_rutas_excursion.pptx"}]},"4":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Guía Práctica"},{"esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes analicen curvas de nivel y construyan perfiles topográficos a partir de ellas. ","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/documentos/gp_planificacion_rutas_excursion.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica","eng":""},"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/documentos/gp_planificacion_rutas_excursion.docx","tipo":"button","recurso":"Descarga"}],"visible":true}},"visible":true},"visible":true,"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Momento de enganche","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 2 a 4, Presentación)"},{"esp":"\nPara introducir el contexto, puede comentar que es de interés representar información geográfica tridimensional relevante de cerros y montañas en mapas (2D), para distintas disciplinas como geología, minería, deportes de montaña y otras. Puede utilizar las siguientes preguntas que se encuentra en la diapositiva 2, para despertar el interés en los y las estudiantes.","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"- ¿Alguna vez han utilizado un mapa que indique montañas o cerros?
- ¿Para qué creen que estos son útiles?\n
- Si te fijas en el mapa, ¿entre qué altitudes aproximadamente se encuentra la zona verde?
- ¿Qué indica la curva marcada en negro? ¿Cómo se llaman de manera general curvas como esa?
- La zona verde se encuentra entre unos 700 y 900 metros. Valores cercanos a 700 y 900 también son correctos
- La curva negra indica que en todos esos puntos, la altitud es de 2000 metros. Dichas curvas se llaman de manera general “curvas de nivel”.
¿De qué color está representada la cima del cerro y a qué altitud se encuentra?
","eng":"","tipo":"momento","recurso":"Pregunta"},{"esp":"Puede plantear preguntas para guiar a sus estudiantes a que se fijen en la escala de colores presente al costado derecho de la imagen, para que concluyan que la cima está representada de color blanco y se encuentra a una altitud de unos \\(185\\) metros. \n","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Una vez que sus estudiantes hayan detectado la cima, muéstreles la diapositiva 6. En ella se indican dos posibles rutas para llegar a la cima, una que va desde la entrada “Puel”, y la otra que parte en la entrada “Huilli”. Comente que para el desarrollo de la situación, se asumirá que estas rutas van en línea recta. ","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/imgs/esp/13.png","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"A continuación, proyecte la diapositiva 7 en la que se muestra la pregunta a la que se enfrenta la persona que quiere escalar el cerro y que será la problemática principal a abordar en clases:\n"},{"recurso":"Pregunta","esp":"¿Cuál de estas dos rutas es más conveniente para llegar a la cima?
","tipo":"momento","eng":""}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Forma del relieve a partir de las curvas de nivel","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositivas 8 a 13, Presentación)","eng":"","tipo":"h4"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Proyecte la diapositiva 8 y comente que en esta parte mostrará cómo tener una noción aproximada del relieve de una montaña a partir de la información proporcionada por las curvas de nivel. Indique que las siguientes curvas de nivel indican la forma del relieve a altitudes de 10, 20, 30 y 40 metros sobre el nivel del mar. Aclare que este mapa es el de otra montaña, no el del cerro que se presentó anteriormente en la problemática. "},{"eng":"","tipo":"img","escala":"25","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/imgs/esp/14.png"},{"esp":"A modo exploratorio y para que los y las estudiantes comiencen a visualizar la información que se obtiene del mapa, plantee lo siguiente:","eng":"","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","esp":"- A partir de las curvas de nivel de la imagen, intenten imaginar la forma de la montaña y, si es posible, esbocen un dibujo de la misma.
- ¿Qué representa lo que se ha agregado en la siguiente imagen?
- ¿Qué representan el plano rojo y la curva en azul que se encuentra sobre él?
- En la siguiente imagen, se muestra el relieve de una montaña que posee curvas de nivel trazadas de 10 en 10 metros sobre el nivel del mar. Identifica y marca con tu lápiz a mano alzada la curva de nivel de 30 metros de altitud, tanto en el relieve de la montaña como en el mapa.
"},{"esp":"Proyecte la imagen de la diapositiva 16 para asegurarse que sus estudiantes respondieron bien a la pregunta. ","eng":"","tipo":"p"},{"recurso":"Respuesta","esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/imgs/esp/21.png\")
Imagina que empiezas la ruta hacia la cima desde la entrada “Puel”, ¿a qué altitudes te encontrarás en los puntos marcados en rojo?
"},{"eng":"","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/imgs/esp/24.png","tipo":"img","escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"tipo":"p","esp":"Asegúrese que sus estudiantes hayan captado que en los tres puntos marcados, una persona se encuentra a 120, 130 y 160 metros de altitud. \n","eng":""},{"esp":"Desde ahora, se buscará construir el perfil de la forma del relieve por la línea este-oeste. \n\n","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Proyecte la diapositiva 19 y aclare que bajo las curvas de nivel se ubica un plano, en donde el eje vertical se encuentran las distintas altitudes de las curvas de nivel. Haga la siguiente pregunta. \n","eng":"","tipo":"p"},{"caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/imgs/esp/2_escalador.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"50","eng":""},{"recurso":"Pregunta","esp":"¿Qué representan los puntos azules?
","eng":"","tipo":"momento"},{"esp":"Se espera que sus estudiantes respondan que los puntos azules representan las distintas altitudes asociadas a los tres puntos rojos. Puede aclarar que las abscisas de ese plano corresponden a la distancia “horizontal” que hay entre las curvas de nivel, sin embargo, en esta situación no se explicitará esto numéricamente. Esto requeriría la escala del mapa y medir con regla las distancias, pero en nuestro caso no es relevante. ","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Ahora, pídale a sus estudiantes que respondan la pregunta 2 de la Hoja de Actividades. Aclare que para esto necesitarán una regla. El propósito de esta actividad es que sus estudiantes reconozcan los puntos de intersección entre las curvas de nivel en el cuerpo geométrico y un plano vertical (Tarea Matemática B), con el fin de trazar un perfil topográfico aproximado del relieve a partir de las curvas de nivel (Tarea Matemática C).","tipo":"p"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"En la siguiente imagen se muestran tres puntos del relieve, que ya representaron en clases. \n
- En el mapa de las curvas de nivel, marca en rojo los puntos que faltan por representar.
- Representa en azul dichos puntos en el plano cartesiano. Para esto utiliza una regla.
- Une todos los puntos con un trazo “a mano alzada”, para obtener de manera aproximada el perfil del relieve del cerro.
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/imgs/esp/2_escalador.png\")
- Observa las curvas de nivel y el perfil topográfico que dibujaste y responde. ¿En qué zonas la pendiente del relieve es más pronunciada, cuando las curvas de nivel en el plano se encuentran más separadas o más juntas? Explica.
- La pendiente del relieve es más pronunciada cuando las curvas de nivel están más juntas. Esto se debe a que en dicho caso, la distancia “horizontal” entre las curvas es menor, mientras que las diferencias de altitud son la misma, por lo tanto, si para el mismo incremento en altitud, el incremento horizontal es más pequeño, entonces la pendiente es mayo.
- A partir de las curvas de nivel, construye el perfil topográfico del relieve del cerro correspondiente a la línea norte-sur. Para esto utiliza una regla.
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/imgs/esp/3.png\")
- A partir de las curvas de nivel, construye el perfil topográfico del relieve del cerro correspondiente a la línea norte-sur. Para esto utiliza una regla.
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/rutatrekkingconveniente/imgs/esp/31.png\")
- Si ustedes fueran quienes subieran el cerro ¿Cuál de las dos rutas escogerían? Argumenten por qué.
- Si planean hacer una parada a acampar ¿Cuál de las dos rutas escogerían? ¿Por qué?\n
- Considerando los perfiles topográficos de las dos rutas de trekking que dibujaste:
- Define un criterio, que se pueda medir matemáticamente, para determinar qué ruta es más adecuada.
- De acuerdo al criterio anterior, ¿qué ruta es la más adecuada?
- A continuación, posibles respuestas que se encuentran en la diapositiva 33.
- Aquí deben escoger criterios que se puedan medir utilizando el perfil topográfico, por ejemplo, la “menor distancia recorrida” o la de “menor pendiente”.\n
- Esta respuesta depende de la de a. Si definen los criterios antes mencionados la respuesta es la siguiente:\n
- Menor distancia: Huilli
- Menor pendiente: Puel
Existen mapas cuyo fin es presentar información sobre relieves. En esta forma de representación 2D de objetos 3D, usualmente se utiliza una escala de colores y una serie de líneas que indican la altitud del terreno. A cada una de estas líneas se les denomina “curva de nivel” y corresponde a los puntos sobre un relieve que se encuentran a una misma altitud sobre el nivel del mar.
A partir de las curvas de nivel, representamos un “perfil topográfico” de la montaña, que corresponde a una sola línea que describe las alturas y profundidades de un terreno, con el fin de entender visualmente cómo es la superficie.
El proceso geométrico para construir estas representaciones 2D es el siguiente:
- las curvas de nivel se obtienen al intersectar el relieve de un terreno con planos horizontales paralelos, y proyectando todas estas intersecciones en un plano (2D).
- un perfil topográfico, se obtiene al intersectar un plano vertical con el relieve de un terreno, y considerar la línea que corresponde a la superficie del terreno.
- Esbozar un perfil topográfico a partir de curvas de nivel dadas.
- Asociar curvas de nivel a perfiles topográficos.
\\[5\\% = \\frac{5}{100} = 0{,}05\\]
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esto indica que, para calcular el porcentaje que representa una cantidad respecto de otra, basta determinar la expresión decimal del cociente entre la primera cantidad y la segunda y multiplicarla por \\(100\\). "},{"esp":"Por ejemplo, para determinar qué porcentaje es \\(12\\) de \\(20\\), calculamos:\n","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\\[\\frac{12}{20}=\\frac{3}{5}=0{,}6=60\\%\\]
"},{"esp":"Esto también se aplica en el caso más general en el que no sea posible obtener una fracción con numerador natural y denominador \\(100\\).","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"h3","esp":"Gráfico circular","eng":""},{"esp":"Un gráfico circular o de torta es un tipo de representación en el que los datos se presentan mediante sectores circulares, cuyos ángulos o áreas son proporcionales a los porcentajes de cada una de las partes. De este modo, un gráfico circular permite comparar fácilmente los porcentajes de cada una de las partes, a través de la comparación visual de las áreas de las secciones. Se suele dar un nombre o “rótulo” a cada una de estas partes, como el siguiente ejemplo ilustrativo. ","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"50","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/imgs/esp/p_-02.png"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En esta situación, se compararán en un gráfico circular los porcentajes de participación que aportan distintas fuentes de energía. Esto se hará a partir del siguiente círculo que está dividido en \\(100\\) partes, en donde cada una representa un \\(1\\%\\) del total.\n"},{"eng":"","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/imgs/esp/p_-03.png","escala":"25"},{"eng":"","esp":"A modo de ejemplo, si un \\(20\\%\\) de la electricidad total generada es a partir de la energía hidráulica, entonces su representación en el gráfico circular es la siguiente. ","tipo":"p"},{"tipo":"img","escala":"50","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/imgs/esp/p_-04.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""}},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En la situación también se representarán más fuentes con sus porcentajes, para lo que bastaría agregar a partir del \\(20\\%\\) la siguiente fuente y así sucesivamente como se muestra en el siguiente ejemplo. Esto se sugiere hacer en sentido horario, para de esta forma representar de una mejor manera los porcentajes en un gráfico circular. \n"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/imgs/esp/p_-05.png","eng":"","tipo":"img","escala":"50","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""}}]},"2":{"contenido":[{"esp":"Porcentaje como medida relativa","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Es importante que las y los estudiantes noten que los resultados de porcentajes dependen de la cantidad de referencia. Por ejemplo:"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/imgs/2.png","escala":"40","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""}},{"eng":"","esp":"Se puede observar que, pese a que se está calculando el \\(25\\%\\), las cantidades resultantes son distintas, esto es porque los referentes son distintos.. Al tener un referente mayor, el \\(25\\%\\)de dicha cantidad también es mayor.","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Por otro lado puede ocurrir que al comparar el \\(25\\%\\) con un \\(35\\%\\) sus estudiantes piensen equivocadamente que este último es estrictamente mayor, sin embargo, esto depende del referente tal como se observa a continuación. "},{"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/imgs/3.png","escala":"40","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"","alinea":"texto-centrado"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Representación pictórica de porcentajes"},{"eng":"","esp":"En esta situación, los estudiantes tendrán la oportunidad de comparar porcentajes visualmente mediante gráficos de torta o circulares. Para realizar esta tarea correctamente, es crucial que comprendan que las áreas o ángulos de los sectores circulares son proporcionales a los porcentajes de cada una de las partes. Por ejemplo, un sector circular asociado a un ángulo de 72°, representa un 20% del total, pues \\(\\frac{72°}{360°} = \\frac{1}{5} = 20%\\)","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","escala":"40","tipo":"img","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/imgs/asp-did-graph.png","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"esp":"","eng":""}},{"esp":"Uso de calculadora","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"Se sugiere usar la calculadora, procurando que sus estudiantes calculen porcentajes expresándolos en decimales y así multipliquen los números (operador multiplicativo decimal). \nPor ejemplo, para el \\(2,5\\%\\) de \\(1348\\), se espera que calculen \\(0,025 \\cdot 1348\\) y no que calculen \\(\\frac{\\left(2,5 \\cdot 1348\\right)}{100}\\). \n","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Considere que algunas calculadoras al teclear “%”, transforman el porcentaje en decimal, lo cual puede ayudar a que sus estudiantes reconozcan que el porcentaje se puede expresar como un operador multiplicativo decimal. Por ejemplo, al teclear en la calculadora estos pasos: \\(1348 \\cdot 2,5\\ \\%\\), se muestra la multiplicación realizada, esto es, ","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/la_escasez_de_agua/imgs/5.png","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","escala":"25","eng":""}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Fuentes de energía eléctrica","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Existen muchas fuentes naturales a partir de las cuales se puede generar energía eléctrica. Usualmente estas fuentes se clasifican en renovables y en no renovables.\n"},{"esp":"Las energías renovables, son las que provienen de fuentes inagotables, que se caracterizan porque se pueden regenerar o que a escala humana las cantidades son inmensas, por lo que en la práctica no se agotan. Algunas de las fuentes de energía eléctrica son la hidráulica, la solar, la eólica, la biomasa y la geotérmica. Estas fuentes de energía pueden estar presentes a pequeña escala, como en los hogares, o a gran escala, como en centrales. A continuación, se describen estas fuentes, haciendo énfasis en la generación a gran escala. \n","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/imgs/esp/p_-06.png","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"75"},{"esp":"Cabe notar que en todas estas energías mencionadas, el principio consiste en hacer girar una turbina que genera electricidad, a excepción de la fotovoltaica, en la que la que la luz excita los paneles fotovoltaicos, generando electricidad gracias al “efecto fotoeléctrico”. ","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"Las energías no renovables, son las que provienen de fuentes naturales limitadas, que no se pueden regenerar o que son escasas a escala humana. Algunas de las fuentes de energía eléctrica son el carbón, el petróleo y el gas natural. Estas fuentes funcionan de manera similar a las renovables, en las que básicamente se combustionan estas materias para calentar agua, de tal forma que el vapor haga girar una turbina que genere electricidad. ","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"Unidades de energía eléctrica","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Una unidad usual para medir el consumo de energía es la de “Watt” o “Vatio” que se abrevia con la letra \\(\\text{W}\\). En rigor, esta es una medida de “potencia” que indica cuánta energía se consume por unidad de tiempo. A modo de ejemplo, una ampolleta de alto consumo en el hogar puede tener una potencia de unos \\(100\\;\\text{W}\\). Si se quisiera saber cuánta energía consume esta ampolleta al estar encendida \\(3\\) horas por ejemplo, habría que multiplicar la potencia por el tiempo, en este caso \\(100\\cdot 3 = 300\\). En cuanto a las unidades, dado que se multiplica “watts” con “horas”, la unidad es \\(\\text{W}\\cdot \\text{h}\\), que se abrevia \\(\\text{Wh}\\) y se lee “watt-hora”. Notar que esta unidad no se lee “watt por hora”. En resumen, el consumo de esta ampolleta sería de \\(300\\;\\text{Wh}\\) o “300 watt-hora”. "},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En la situación no se harán cálculos como del párrafo anterior, pero es necesario tener claro que las unidades \\(\\text{Wh}\\) corresponden a unidades de energía. Más específicamente, se utilizará la unidad de “tera watt-hora” abreviada como \\(\\text{TWh}\\). El prefijo “tera” corresponde a “\\(1.000.000.000.000\\)” o “1 millón de millones” o “1 billón”. \n"},{"tipo":"p","esp":"Para evitar tener que explicar todo lo anterior a sus estudiantes, puede simplemente aclarar que \\(\\text{TWh}\\) es una unidad de energía que se lee “tera watt-hora”, y que por ejemplo \\(1\\;\\text{TWh}\\) equivale a unas diez mil millones de ampolletas de alto consumo encendidas durante una hora.\n","eng":""},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Generación eléctrica en Chile en 2021"},{"tipo":"p","esp":"En el año 2021 en Chile se generaron aproximadamente \\(80\\;\\text{TWh}\\) a partir de las distintas fuentes de energías renovables. En las tablas a continuación, se resume el desglose de la producción de energía eléctrica, de acuerdo a cada tipo de fuente. ","eng":""},{"eng":"","escala":"50","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/imgs/esp/p_-07.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img"},{"esp":"Los datos presentados en las tablas se obtuvieron de “Generadoras de Chile” que agrupa a las principales empresas generadoras de energías renovables de Chile. Para más información, puede visitar el siguiente link.\n","tipo":"p","eng":""}]}},"visible":true},"recursos":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 2 a 10)","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación."},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/documentos/ppt_fuentes_de_energia_electrica.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/documentos/ppt_fuentes_de_energia_electrica.pptx","tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Descargar Presentación"},"eng":""},{"tipo":"h3","esp":"Infografía ","eng":""},{"tipo":"p","esp":"La infografía “Fuentes de energía eléctrica” muestra los distintos tipos de fuentes de energía eléctrica, las cuales pueden ser clasificadas en dos categorías: renovables y no renovables.","eng":""},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/pdfs/esp/Infografia.pdf"},{"tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Recurso Principal","eng":"Descargar Recurso Principal"},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/zips/esp/Infografia.zip","eng":""}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Hoja de actividades","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación. \n"},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/documentos/ha_fuentes_de_energia_7mo.pdf"},{"titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Hoja de Actividades"},"tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/documentos/ha_fuentes_de_energia_7mo.docx"},{"esp":"Presentación (diapositivas 11 a 29)","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación."},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/documentos/ppt_fuentes_de_energia_electrica.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""},"recurso":"Descarga","eng":"","tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/documentos/ppt_fuentes_de_energia_electrica.pptx"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositiva 30 )","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.","eng":""},{"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/documentos/ppt_fuentes_de_energia_electrica.pdf","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"},"tipo":"button","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/documentos/ppt_fuentes_de_energia_electrica.pptx"}]},"4":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Guía Práctica","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes apliquen en un contexto similar lo aprendido en la situación de olas de frío"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/documentos/gp_fuentes_de_energia_7mo.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/documentos/gp_fuentes_de_energia_7mo.docx","eng":"","recurso":"Descarga","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía Práctica"}}]}}},"visible":true,"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Momento de enganche"},{"eng":"","esp":"(Diapositivas 2 a 6, Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"\nMuestre a sus estudiantes la Infografía “Fuentes de energía eléctrica” y dé un tiempo para que compartan sus opiniones respecto a las siguientes preguntas:"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"- ¿Qué fuentes de energía eléctrica tenemos en Chile?
- ¿Cuál es la diferencia entre energías renovables y no renovables?
- En Chile, se emplean una variedad de fuentes de energía eléctrica. Entre ellas, se encuentran fuentes renovables como la energía hidráulica, eólica y solar, junto con otras fuentes no renovables como el carbón, el petróleo y el gas natural.\n
- Las fuentes de energía renovables y no renovables se diferencian fundamentalmente en si son agotables o no, o si producen gases de efecto invernadero.
- Energía hidráulica: Fuente que aprovecha la fuerza del agua para hacer girar turbinas que producen energía eléctrica.
- Energía solar: Esta fuente aprovecha la energía del sol, en forma de radiación electromagnética, para calentar agua y con el vapor hacer girar turbinas generadoras de electricidad, en centrales “solar-térmicas”.
- Energía eólica: Fuente que utiliza la fuerza del viento para hacer girar las aspas de “aerogeneradores”, que a su vez generan electricidad. Estas centrales se conocen como “parques eólicos”.
- Energía de biomasa: En este tipo de fuente de energía se aprovecha la materia orgánica, tales como residuos de animales, árboles y restos de aceite industrial, entre otros. Esta materia se combustiona para calentar agua y a partir del vapor hacer girar una turbina y así generar electricidad.
- Energía geotérmica: Fuente que aprovecha el calor de las profundidades de la Tierra. En particular, en las plantas geotérmicas, se intercepta vapor de agua caliente a partir de fuentes profundas de calor, y este vapor se utiliza para producir electricidad mediante una turbina.
- Estos datos corresponden a la energía eléctrica generada en Chile en el año 2021 y que las cifras están aproximadas a unidades enteras de Terawatt - hora.
- Un Terawatt - hora es una unidad de energía eléctrica que representa un billón de watt-hora.
- Un watt-hora es una medida de “potencia” que indica cuánta energía se consume por unidad de tiempo. A modo de ejemplo, una ampolleta de alto consumo en el hogar puede tener una potencia de unos \\(100\\;\\text{W}\\).\n \n
Señale que:
\nUn porcentaje es una fracción con denominador 100. Por ejemplo:
\n\\[5\\% = \\frac{5}{100} = 0{,}05\\]
\nEsto indica que, para calcular el porcentaje que representa una cantidad respecto de otra, basta determinar la expresión decimal del cociente entre la primera cantidad y la segunda y multiplicarla por 100.
\nPor ejemplo, para determinar qué porcentaje es 12 de 20, calculamos:
\n\\[\\frac{12}{20}=\\frac{3}{5}=0{,}6=60\\%\\]
\n\n\n","recurso":"Destacado"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositivas 11 a 13, Presentación)"},{"tipo":"p","esp":"Entregue la actividad 1 de la Hoja de Actividades, donde deben calcular porcentajes usando fracciones y decimales (Tarea Matemática A). Se recomienda que utilicen calculadora.\n","eng":""},{"esp":"La siguiente tabla muestra la cantidad de energía eléctrica producida por cada tipo de fuente en Chile durante el año 2021.
\n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/imgs/esp/p_-08.png\")
- Completa la tabla con los porcentajes que representan la cantidad de energía eléctrica producida por cada fuente, respecto del total de energía eléctrica producida en 2021. Expresa los porcentajes hasta con dos cifras decimales.
- ¿Qué porcentaje del total de energía eléctrica fue generada a partir de fuentes renovables y no renovables?\n
\\[ \\frac{\\text{Energía hidráulica}}{\\text{Energía total}} = \\frac{16 [TWh]}{80[TWh]} = 0{,}2 = 20 \\% \\]\n \n\\[ \\frac{\\text{Energía solar}}{\\text{Energía total}} = \\frac{10 [TWh]}{80[TWh]} = 0{,}125 = 12{,}5 \\% \\]\n\n\\[ \\frac{\\text{Energía eólica}}{\\text{Energía total}} = \\frac{7 [TWh]}{80[TWh]} = 0{,}0875 = 8{,}75 \\% \\]\n\n\\[ \\frac{\\text{Otras energías}}{\\text{Energía total}} = \\frac{3 [TWh]}{80[TWh]} = 0{,}0375 = 3{,}75 \\% \\]\n\n\\[ \\frac{\\text{Energía del carbón}}{\\text{Energía total}}= \\frac{28 [TWh]}{80[TWh]} = 0{,}35 = 35 \\% \\]\n\n\\[ \\frac{\\text{Energía del gas}}{\\text{Energía total}} = \\frac{10 [TWh]}{80[TWh]} = 0{,}175 = 17{,}5 \\% \\]\n\n\\[ \\frac{\\text{Energía del petróleo}}{\\text{Energía total}} = \\frac{10 [TWh]}{80[TWh]} = 0{,}025 = 2{,}5 \\% \\]\n
\n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/imgs/esp/p_-10.png\")
\nEl total de energía producida por fuentes renovables es la suma de la energía generada por las fuentes hidráulicas, solar, eólica y otras, esto es:
\n\\[\\text{Porcentaje energías renovables} = 20\\% + 12{,}5\\% + 8{,}75\\%+3{,}75\\% = 45\\%\\]
\nEl total de energía generada por fuentes no renovables es igual a la suma de la energía producida por el carbón, el gas natural y el petróleo:
\n\\[\\text{Porcentaje energías no renovables} = 35\\% + 17{,}5\\% + 2{,}5\\% = 55\\%\\]
\nAlternativamente, dado que el porcentaje que aporta las energías renovables es \\(45\\%\\), el porcentaje que representan las energías no renovables es \\(100\\% - 45\\% = 55\\%\\).\n
\n
Señale que:
\nUn gráfico circular o de torta es un tipo de representación en el que los datos se presentan mediante sectores circulares, cuyos ángulos o áreas son proporcionales a los porcentajes de cada una de las partes. Los gráficos circulares permiten comparar fácilmente los porcentajes de cada una de las partes, a través de la comparación visual de las áreas de las secciones.\n
","recurso":"Destacado","tipo":"momento","eng":""},{"eng":"","esp":"En esta situación, los y las estudiantes compararán en un gráfico circular los porcentajes de participación que aportan distintas fuentes de energía. Esto se hará a partir del siguiente círculo que está dividido en \\(100\\) partes, en donde cada una representa un \\(1\\%\\) del total:","tipo":"p"},{"eng":"","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"25","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/imgs/esp/p_-03.png"},{"esp":"A modo de ejemplo, muestre cómo representar en el gráfico el \\(20\\%\\) de la electricidad total generada por la energía hidráulica: ","tipo":"p","eng":""},{"escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/imgs/esp/p_-04.png","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Indique que si agregamos al gráfico el porcentaje que aportan el resto de las energías renovables, obtenemos la siguiente representación:","eng":""},{"tipo":"img","eng":"","escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/imgs/graph-ha-3.png","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""}},{"eng":"","esp":"Haga notar a sus estudiantes que:\n","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"- El tamaño de estos sectores circulares es proporcional al porcentaje de energía eléctrica que cada una de estos tipos de fuentes genera.
- Esta representación es equivalente con lo calculado anteriormente, por ejemplo, del gráfico circular es fácil ver que todas las fuentes de energía renovables representan el 45% del total.
- A continuación, entregue la actividad 2 de la Hoja de Actividades, en la que sus estudiantes deben:
- Construir gráficos circulares para comparar porcentajes. (Tarea Matemática B)
- Calcular porcentajes respecto de un nuevo total. \n
Considera el porcentaje de energía generada que aporta cada una de las fuentes no renovables:
\n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/imgs/no-renovables-vmomento.png\")
Agrega al gráfico circular el porcentajes de energía asociados a las fuentes no renovables:
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/imgs/graph-ha-3-vmomento.png\")
\nSi solo consideramos las fuentes de energía renovables, ¿qué porcentaje representa cada tipo de energía renovable respecto a este nuevo total? Completa la siguiente tabla:
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/imgs/esp/p_-12.png\")
\nRepresenta los porcentajes calculados en la pregunta anterior en el siguiente gráfico circular:
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/imgs/esp/p_-03.png\")
\n
\\[ \\frac{\\text{Energía hidráulica}}{\\text{Energía total}} = \\frac{16 [TWh]}{36[TWh]} \\approx 0{,}4444 = 44{,}44 \\% \\]
"},{"esp":"\\[ \\frac{\\text{Energía solar}}{\\text{Energía total}} = \\frac{10 [TWh]}{36[TWh]} \\approx 0{,}2778 = 27{,}78 \\% \\]\n
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"\\[ \\frac{\\text{Energía eólica}}{\\text{Energía total}} = \\frac{7 [TWh]}{36[TWh]} \\approx 0{,}1944 = 19{,}44 \\% \\]
"},{"tipo":"p","esp":"\\[ \\frac{\\text{Otras energías}}{\\text{Energía total}} = \\frac{3 [TWh]}{36[TWh]} \\approx 0{,}0833 = 8{,}33 \\% \\]
","eng":""},{"esp":"Una vez calculados los porcentajes de la pregunta 2, los y las estudiantes podrán realizar el gráfico circular correspondiente a la pregunta 3, que deberá ser similar a la siguiente representación:","tipo":"p","eng":""},{"escala":"50","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/fuentes-energia/imgs/graph-ha-2.png","eng":""}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Sistematización","eng":""},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositiva 30, Presentación)"},{"esp":"En base a lo realizado en clases, sistematice las siguientes ideas:","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Un porcentaje es una fracción con denominador 100. Por ejemplo:
\\[5\\% = \\frac{5}{100} = 0{,}05\\]
Esto indica que, para calcular el porcentaje que representa una cantidad respecto de otra, basta determinar la expresión decimal del cociente entre la primera cantidad y la segunda y multiplicarla por 100.
Por ejemplo, para determinar qué porcentaje es 12 de 20, calculamos:
\\[\\frac{12}{20}=\\frac{3}{5}=0{,}6=60\\%\\]
Un gráfico circular o de torta es un tipo de representación en el que los datos se presentan mediante sectores circulares, cuyos ángulos o áreas son proporcionales a los porcentajes de cada una de las partes. Los gráficos circulares permiten comparar fácilmente los porcentajes de cada una de las partes, a través de la comparación visual de las áreas de las secciones.
- Resuelven problemas que involucran el cálculo de porcentajes en la vida real. \n
- Representan porcentajes de manera concreta, pictórica y simbólica. \n
- ¿Qué es el \\(\\text{MP}_{2,5}\\)?
- \n¿En qué se mide el \\(\\text{MP}_{2,5}\\)?\n
- ¿Por qué es importante monitorear el \\(\\text{MP}_{2,5}\\)en el aire?\n
- ¿Cuál es el límite propuesto por la OMS y la normativa chilena para las concentraciones promedio diarias de \\(\\text{MP}_{2,5}\\) ?
\nA continuación presente lo siguiente: \n","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Para poder evaluar y gestionar la calidad del aire las concentraciones de \\(\\text{MP}_{2,5}\\) se monitorean regularmente en todas las regiones de Chile. En junio de 2022 se registraron los siguientes datos para una determinada ciudad del sur: "},{"caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/img/5.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","escala":"50","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"A continuación plantee las siguientes preguntas:\n\n"},{"esp":"- ¿Cuántos días las concentraciones de \\(\\text{MP}_{2,5}\\) superan la norma de la OMS en esta ciudad (25 \\(\\mu\\text{g}/m^3\\))?
- \n¿Cuántos días las concentraciones de \\(\\text{MP}_{2,5}\\) superan la norma chilena en esta ciudad (50 \\(\\mu\\text{g}/m^3\\))?
- \n¿Cuántos días las concentraciones de \\(\\text{MP}_{2,5}\\) superan los 100 \\(\\mu\\text{g}/m^3\\)?
- \n¿Para la ciudad de la zona sur, es más usual tener concentraciones entre 1 a 25 \\(\\mu\\text{g}/m^3\\) o ¿26 a 50 \\(\\mu\\text{g}/m^3\\)?\n
- ¿Qué porcentaje de días las concentraciones de \\(\\text{MP}_{2,5}\\) superan la norma chilena en esta ciudad?
- ¿Por qué resulta lento responder a las preguntas anteriores?\n
- ¿Cómo podemos organizar los datos de manera que sea más fácil responder esas preguntas?\n
\nDado el contexto de las preguntas, se hace natural definir intervalos agrupando datos cercanos. Esto nos permitirá organizar la información obteniendo una visión más clara de la distribución de las concentraciones en la ciudad del sur y así facilitar la comparación con el otro mes.\n","tipo":"p"}]},"2":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Primera parte","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositiva 7 a 20, Presentación) ","tipo":"h4","eng":""},{"esp":"La primera actividad tiene por objetivo organizar los datos en una tabla de frecuencias con intervalos (Tarea Matemática A). Para esto, entregue la Hoja de Actividades e invite a resolver la pregunta 1 y 2 de la primera Actividad. ","eng":"","tipo":"p"},{"recurso":"actividades","eng":"","tipo":"momento","esp":"Actividad 11. Completa la siguiente tabla de frecuencias agrupadas con las concentraciones de \\(\\text{MP}_{2,5}\\) de la ciudad del sur.;
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/img/6A.png\")
"},{"recurso":"Respuesta","esp":"1.
2. ¿Cómo interpretas el primer intervalo? Escribe tu respuesta.![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/img/6B.png\")
2. Hubo 6 días donde las concentraciones de \\(\\text{MP}_{2,5}\\) se mantuvieron en el rango 1 a 25 \\(\\mu\\text{g}/m^3\\) y cumplen con la norma de la OMS.\n","tipo":"momento","eng":""},{"esp":"Comente que, por lo general, las tablas de frecuencia presentan intervalos con la misma amplitud, como lo hemos hecho en este caso. Esta tabla nos muestra intervalos de amplitud 25 \\(\\mu\\text{g}/m^3\\) pues el contexto así lo sugiere dado que es la norma sugerida por la OMS, y además es la diferencia entre la norma chilena y la norma OMS.\n","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositiva 13, Presentación)"},{"eng":"","esp":"Luego invite a desarrollar la pregunta 3 de la Actividad 1, la cual deben calcular la frecuencia acumulada. (Tarea matemática B) ","tipo":"p"},{"eng":"","recurso":"Actividades","tipo":"momento","esp":"3. Responde las siguientes preguntas:
\na) ¿Cuántos días las concentraciones de \\(\\text{MP}_{2,5}\\) son inferiores o iguales a 125 \\(\\mu\\text{g}/m^3\\)?
\nb) ¿Cuántos días las concentraciones de \\(\\text{MP}_{2,5}\\) son inferiores o iguales a 75 \\(\\mu\\text{g}/m^3\\)? "},{"eng":"","esp":"Se espera que algunos/as estudiantes podrían comenzar con la pregunta b) y utilizar su resultado para reducir el cálculo de la pregunta a). Aproveche esto para recordar el concepto de frecuencia acumulada: ","tipo":"p"},{"esp":"La frecuencia acumulada es una medida estadística que representa el número de observaciones que son menores o iguales a un determinado valor en un conjunto de datos. ","recurso":"Destacado","eng":"","tipo":"momento"},{"esp":"Pida que agreguen una columna en la tabla de la pregunta 1, y que en ella determinen la frecuencia acumulada.
\nLuego plantee la siguiente pregunta: ","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Pregunta","esp":"- ¿Cómo podría la frecuencia acumulada facilitar la interpretación y el análisis en este caso?
\nA continuación, plantee la pregunta 4 de la Actividad 1, la que tiene por objetivo calcular y dar sentido a la frecuencia relativa y frecuencia relativa porcentual (Tarea Matemática C). Si es necesario, recuerde que el total de datos es de 30, que corresponde a los días de junio.","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Actividades","esp":"4. Responde las siguientes preguntas:
\n\n¿Qué porcentaje de días las concentraciones de \\(\\text{MP}_{2,5}\\) están entre 51 y 75 \\(\\mu\\text{g}/m^3\\)?
\n¿Qué porcentaje de días las concentraciones de \\(\\text{MP}_{2,5}\\) son inferiores a la norma de la OMS en la ciudad de la zona sur?
\n¿Qué porcentaje de días las concentraciones de \\(\\text{MP}_{2,5}\\) son inferiores a la norma chilena en la ciudad de la zona sur? ¿Cómo lo calculaste?"},{"recurso":"Respuesta","eng":"","tipo":"momento","esp":"3.
\na) Aproximadamente 26,7% de los días corresponden a concentraciones entre 51 a 75 \\(\\mu\\text{g}/m^3\\).
\nb) El 20% de los días de junio las concentraciones son inferiores a la norma de la OMS en la zona sur.
\nc) Aproximadamente el 43,3% de los días de junio son inferiores a la norma chilena en la ciudad de la zona sur. \n"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Asegúrese de que sus estudiantes observen que para responder debería realizar el cálculo de la frecuencia relativa para cada uno de los intervalos y que tengan presente que las frecuencias relativas expresan la proporción de observaciones en relación con el total de datos, y al sumarlas todas se obtiene 1, lo que abarca la totalidad de las observaciones en el conjunto de datos.
\n\nEn cuanto a la pregunta c), es importante observar que en este caso resulta beneficioso utilizar la frecuencia acumulada.
\n\nObservar que al calcular el porcentaje de días en que las concentraciones de \\(\\text{MP}_{2,5}\\) no superan la norma de la OMS y la chilena, se obtiene una medida que va más allá de la simple frecuencia. La frecuencia relativa proporciona una comprensión muy útil al expresar la proporción de días dentro de la norma con respecto al total de días observados.
\n\nLas tablas de frecuencia incluyen estos valores relativos, tanto para las frecuencias absolutas como para las acumuladas.
\n\n"},{"recurso":"Actividades","esp":"A continuación, pida que completen la tabla de frecuencias agrupadas, incluyendo las columnas de frecuencia relativa, frecuencia relativa acumulada, frecuencia relativa porcentual y frecuencia relativa porcentual acumulada.\n","eng":"","tipo":"momento"},{"tipo":"p","esp":"Hasta ahora, si traspasamos los resultados de las preguntas a nuestra tabla deberíamos tener: ","eng":""},{"escala":"50","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/img/7A.png","alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"","tipo":"img"},{"tipo":"p","esp":"Para corroborar los resultados de sus estudiantes puede mostrar la tabla completa: \n","eng":""},{"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","eng":"","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/img/7B.png","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"esp":"Finalice este momento preguntando:","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"- ¿Qué porcentaje de días las concentraciones de \\(\\text{MP}_{2,5}\\) superan la norma de la OMS en la ciudad de la zona sur?
\nSugiera en parejas realizar la Actividad 2 de la Hoja de Actividades. En este caso no se cuenta con la información diaria. La tabla, además, solo está parcialmente completada, pero es posible completarla solo utilizando la información dada. (Tarea matemática D)\n
\nDestaque que para comparar los meses respecto de la norma chilena y de la OMS no son necesarios los datos día a día, pues basta la información de la tabla de frecuencias.\n"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"Actividad 21. La siguiente tabla contiene los datos, para la misma ciudad del sur trabajada anteriormente, de las concentraciones de \\(\\text{MP}_{2,5}\\)\n, pero ahora para junio de 2023, ¿podrías completar los datos que faltan?
","eng":""},{"tipo":"momento","recurso":"Respuesta","esp":"
\n\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/img/8A.png\")
1.
","eng":""},{"eng":"","esp":"Para verificar que hayan completado correctamente la tabla puede realizar preguntas como las siguientes:","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/img/8B.png\")
- ¿Cuántos días de junio 2023 las concentraciones de \\(\\text{MP}_{2,5}\\) estuvieron en el rango 26 a 50 \\(\\mu\\text{g}/m^3\\)?
- \n¿Qué porcentaje de días junio 2023 estuvieron dentro de la norma de la OMS?\n
Actividad 3
\n1. Utilizando una hoja de cálculo, registra los siguientes intervalos y completa con las frecuencias relativas porcentuales correspondientes.
\n\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/img/9.png\")
2. Selecciona todos los datos y genera un gráfico de barras para visualizar la información, agrega título y nombres a los ejes.","recurso":"Actividades","eng":"","tipo":"momento"},{"esp":"Se espera un gráfico similar a este:\n","tipo":"p","eng":""},{"titulo":{"eng":"","esp":"Concentraciones de MP_2,5"},"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/img/10.png","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado","tipo":"img"},{"tipo":"p","esp":"Presente la pregunta 3 de la Actividad 3 de la Hoja de Actividades, esta actividad permite la realización de un análisis comparativo de la calidad del aire en dos periodos distintos mediante el uso de tablas y gráficos. (Tarea Matemática F)","eng":""},{"tipo":"momento","esp":"3. Al analizar las tablas de frecuencias y el gráfico, ¿qué podrías decir respecto a la comparación de la calidad del aire entre junio de 2023 y junio de 2022?","eng":"","recurso":"Actividades"},{"tipo":"p","esp":"Algunas de las ideas que podrían surgir son: \n","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- En el intervalo de 1 a 25, que se encuentra dentro de la norma de la OMS, al comparar los dos años, se nota una diferencia de mínima (un día), lo que sugiere una similitud notoria entre ambos periodos.
- \n\nAl examinar las frecuencias acumuladas de las tablas de frecuencias, se observa que para junio de 2022 fueron 13 días los que no superan la norma chilena, mientras que para el 2023 se incrementó a 24 días. Este aumento indica condiciones más favorables, ya que más días cumplen con las normativas establecidas.
\n - \nEl porcentaje de días que excedieron ambas normas (más de 50 \\(\\mu\\text{g}/m^3\\)) para el año junio 2022 fue del 56,7%. Sin embargo, para junio de 2023, este porcentaje disminuyó significativamente a un 20%. Esta reducción señala una mejora sustentable en la calidad del aire.
\n - \nEn el año 2023, no fue necesario incorporar los dos últimos intervalos, ya que no se registraron niveles de contaminación de MP2,5 superiores a 100 \\(\\mu\\text{g}/m^3\\). Esta ausencia de datos en el intervalo más alto es una indicación de una mejora importante en la calidad del aire, esto se visualiza claramente en el gráfico. \n
- ¿Qué podrías concluir respecto del cumplimiento de la norma chilena y de la OMS?\n
- ¿Cómo interpretas el cero que aparece en la columna de la Frecuencia Relativa Porcentual?, ¿cómo lo conectas con el gráfico? \n
- A la hora de comparar junio 2022 y 2023, ¿se hace más simple con las tablas de frecuencias o con el gráfico?
\nEntonces, los gráficos ofrecen una representación visual efectiva, pues es mucho más rápido comparar longitudes de barras que números. Así, los gráficos de barra generalmente permiten comparar datos de manera más clara y rápida que las tablas. Además, el uso de colores facilita aún más la percepción de las diferencias. \n
\nLas tablas de frecuencias por otro lado, nos ofrecen precisión numérica brindando la posibilidad de realizar cálculos exactos y obtener información detallada sobre cada intervalo de datos. La elección entre gráficos y tablas dependerá de los objetivos específicos del análisis y la naturaleza de la información que se busca comunicar o comprender.\n\n
\n\nCierre la clase con las ideas de sistematización.","eng":""}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"esp":"Sistematización","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":" (Diapositivas 31 a 33 , Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"","esp":"- Dada la cantidad de datos, es importante, en el contexto dado, estructurarlos de manera ordenada en tablas de frecuencia. En este caso, hemos empleado intervalos para facilitar un análisis más preciso por ejemplo sobre la cantidad de días que excedieron las normativas establecidas, tanto a nivel internacional (OMS) como nacional (chilena).
\n - \nLas frecuencias acumuladas han permitido observar, por ejemplo, que los días que no superan la norma chilena, en junio de 2022 fueron 13 días, mientras que para el 2023 se incrementó a 24 días. Este aumento indica condiciones más favorables, ya que más días cumplen con las normativas establecidas.
- \n\nEl análisis de las frecuencias relativas porcentuales emerge como una herramienta útil para realizar comparaciones significativas. Por ejemplo, al calcular el porcentaje de días en los cuales las concentraciones de \\(MP_{2,5}\\) no excedan las normativas, se obtiene una medida que trasciende la simple frecuencia, ya que proporciona una comprensión valiosa al expresar la proporción de días que cumplen con la normativa en relación con el total de días observados.
\n - \nLos gráficos ofrecen una representación visual efectiva, pues es mucho más rápido comparar longitudes de barras que números.
\n - \nAl analizar tanto las tablas de frecuencias como el gráfico, se evidencia una mejora notable en la calidad del aire en junio de 2023 en comparación con el mismo mes del año anterior. El año 2023 en particular destaca por presentar mejoras sustanciales en la calidad del aire. No obstante, es imperativo que Chile continúe esforzándose por mejorar y preservar la calidad del aire que respiramos.\n
- Confeccionan tablas de frecuencias absolutas y relativas de los datos obtenidos en las muestras.\n
- Sacan datos de los gráficos y los registran en tablas, diferenciando entre la frecuencia relativa y la absoluta.\n
- Verbalizan y comunican información presentada en gráficos.\n
- Frecuencia absoluta: representa la cantidad de veces que se repite cada valor de la variable.
- \nFrecuencia absoluta acumulada: representa la cantidad de datos cuyo valor es menor o igual que el valor considerado.\n
- Frecuencia relativa: representa la razón entre la cantidad de veces que se repite cada valor de la variable y el total de datos. Se puede expresar como una fracción, número decimal o como porcentaje.
- \nFrecuencia relativa acumulada: corresponde a la razón entre la frecuencia absoluta acumulada y el total de datos. Como los datos se presentan de forma ordenada, la última frecuencia relativa acumulada siempre corresponde a 1 o al 100%.
\nSi bien no existe una única manera de determinar en cuántos intervalos agrupar una variable cuantitativa, un criterio ampliamente usado por programas informáticos que realizan esta tarea es la regla de Sturges. Esta regla práctica, establece que la cantidad \\(k\\) de intervalos puede calcularse como \\(k=1+\\frac{\\log_10 (M)}{\\log_10 (2)}\\) equivalente a \\(k=1+\\log_2(M)\\), con \\(M\\) la cantidad total de datos."}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Utilidad de tablas de frecuencia"},{"esp":"Las tablas de frecuencia permiten ordenar los datos y resumir la información que se está analizando. Además, si se quiere representar los datos de manera visual, las tablas de frecuencia son el primer paso para la construcción de gráficos de frecuencia, histogramas o gráficos circulares. Es importante que las y los estudiantes se familiaricen con este tipo de representaciones, por ejemplo, construyendo una tabla de frecuencia o transitando entre tablas y listas de datos.","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Una de las características de las tablas de frecuencias es que facilitan el cálculo de la mediana, la media y la moda. Comprender cómo se construyen las tablas de frecuencia facilita la tarea de identificar las medidas de tendencia central a partir de ellas y resalta la utilidad de este tipo de representación.","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En el caso de las frecuencias acumuladas, estas son idóneas para responder preguntas del tipo ¿cuántos datos son mayores que…? o ¿cuántos datos son menores o iguales que…?, lo que permite comprender por qué acumular frecuencias facilita la identificación de la mediana, cuartiles y percentiles."},{"esp":"Uso de intervalos","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"El uso de datos agrupados es una forma natural de tratar los datos cuantitativos cuando estos toman muchos valores. Una tabla de frecuencia que registre la altura de personas desde 150 cm a 200 cm implicaría más de 50 filas, lo que, además de ser demasiado extenso, dificultaría la interpretación de la información. Al agrupar datos es importante decidir el largo de los intervalos argumentando sobre la base del tipo de datos, su distribución y los objetivos del análisis que se está haciendo.\n
\nAunque hay reglas establecidas para determinar la longitud del intervalo, esta también está sujeta al contexto en el que se aplique. Por ejemplo, en el caso de la Actividad se usaron dos normas; una que corresponde a 25 y otra a 50, esto da pie para hacer intervalos de 25 en 25. \n
\nA continuación se presentan las precipitaciones de Santiago utilizando intervalos demasiado cortos o demasiado largos. En ambos casos la representación impide identificar regularidades y puede llevar a conclusiones sesgadas. Promover este tipo de discusiones en el aula es fundamental para que las y los estudiantes comprendan que la forma en que se representan los datos estadísticos puede sesgar los análisis, por lo que cada decisión que se tome al respecto debe estar bien fundamentada.","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","escala":"50","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/img/3.png","caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img"},{"escala":"50","caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/img/4.png","alinea":"texto-centrado","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":""}}]},"3":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Fuente de los datos"},{"esp":"Los datos utilizados en la situación “Calidad del aire en Chile” fueron extraídos del Sistema de Información Nacional de Calidad del Aire (SINCA) del Ministerio de Medio Ambiente. El SINCA pone a su disposición información de calidad de aire de todo el país, buscando mejorar gradualmente el conocimiento, la vigilancia y la gestión de la calidad del aire que respiramos.\n
\nEn la situación “Calidad del aire en Chile” se emplearon registros catalogados como preliminares y registros oficiales para los días de junio de 2022 y junio de 2023 correspondientes a la comuna de La Unión (región de Los Ríos).\n
\nSINCA es una buena fuente de datos y podría acceder a registros de diversas comunas del país. Para obtener información adicional y acceder a los datos de SINCA, le invitamos a visitar el siguiente enlace: https://sinca.mma.gob.cl\n","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Material particulado \\(\\text{MP}_{2,5}\\)","tipo":"h3"},{"esp":"El material particulado (MP) es un contaminante atmosférico que corresponde a aquellas partículas líquidas o sólidas que se encuentran en suspensión. El \\(\\text{MP}_{2,5}\\) es la fracción más pequeña del MP, con diámetro menor o igual a 2,5 micrómetros. Esta materia particulada engloba sustancias químicas orgánicas, polvo, hollín y metales. Las \\(\\text{MP}_{2,5}\\) pueden originarse a partir de diversas fuentes de combustión, como la de los automóviles, camiones, fábricas, quemas de madera, quemas agrícolas y otras actividades similares.\n","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"El \\(\\text{MP}_{2,5}\\) es un indicador relevante, dado que al constituir partículas extremadamente finas del material particulado, representa un mayor riesgo para la salud, ya que tiene una mayor capacidad de penetración en las cavidades más profundas del sistema respiratorio.","tipo":"p"},{"esp":"Los valores que se informan de la concentración de MP suelen ser promedios temporales (por ejemplo, promedios diarios) detectados en el aire y se miden en microgramos por metro cúbico (\\(\\mu\\text{g}/m^3\\))\n","eng":"","tipo":"p"}],"visible":true}}},"visible":true,"recursosProyecto":[],"recursos":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Infografía “Contaminación por MP2,5”","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"La infografía “Contaminación por \\(\\text{MP}_{2,5}\\)” presenta el significado de las partículas \\(\\text{MP}_{2,5}\\), la fuente de sus emisiones, y examina los posibles efectos en la salud.","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/Documentos/Infografiia-calidad%20del%20aire.pdf"},{"eng":"","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/Documentos/Infografiia-calidad%20del%20aire.pdf","titulo":{"eng":"Descargar Infografía","esp":"Descargar Infografía"},"recurso":"Descarga"},{"eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 6)","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación."},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/Documentos/Presentacion%20%207mo_U4_OA16.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Descargar Presentación"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/Documentos/Presentacion%20%207mo_U4_OA16.pptx","eng":"","recurso":"Descarga"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Hoja de Actividades","tipo":"h3"},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/Documentos/Hoja%20de%20Actividades%207mo_U4_OA16.pdf","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/Documentos/Hoja%20de%20Actividades%207mo_U4_OA16.docx","tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":""},"eng":""},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 7 a 31)","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/Documentos/Presentacion%20%207mo_U4_OA16.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"tipo":"button","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/Documentos/Presentacion%20%207mo_U4_OA16.pptx","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"}}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositivas 32 y 33)","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/Documentos/Presentacion%20%207mo_U4_OA16.pdf"},{"eng":"","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""},"recurso":"Descarga","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/Documentos/Presentacion%20%207mo_U4_OA16.pptx"}]},"4":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Guía Práctica"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes puedan evaluar sus aprendizajes. "},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/Documentos/Guia%20Practica%207mo_U4_OA16.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"tipo":"button","eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía Práctica"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Contaminaci%C3%B3n%20/Documentos/Guia%20Practica%207mo_U4_OA16.docx"}]}}}},"68":{"recursos":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Video ","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"El video “Olas de frío” muestra qué es una ola de frío, cómo se definen, de qué variables depende y datos generales sobre este fenómeno.","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/olas-frio/25%20OLAS%20DE%20FRIO%20subt%20-%20v2.mp4","tipo":"video"},{"eng":"","tipo":"button","recurso":"descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/olas-frio/25%20OLAS%20DE%20FRIO%20subt%20-%20v2.mp4","titulo":{"eng":"Descargar Recurso Principal","esp":"Descargar Recurso Principal"}},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 6)","eng":""},{"eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.","tipo":"p"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/olas-frio/pdfs/esp/Presentacion.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/olas-frio/editables/esp/Presentacion.pptx","eng":"","tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"}}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Hoja de actividades "},{"tipo":"p","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación. \n","eng":""},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/olas-frio/pdfs/esp/Hoja%20de%20Actividades.pdf"},{"tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Hoja de Actividades"},"recurso":"Descarga","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/olas-frio/editables/esp/Hoja%20de%20Actividades.docx"},{"eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 7 a 23)","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.","eng":""},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/olas-frio/pdfs/esp/Presentacion.pdf","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/olas-frio/editables/esp/Presentacion.pptx","tipo":"button","eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"}}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"esp":" Presentación (diapositiva 24 a 25 )","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/olas-frio/pdfs/esp/Presentacion.pdf","eng":""},{"recurso":"Descarga","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"},"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/olas-frio/editables/esp/Presentacion.pptx"}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"esp":"Guía Práctica","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes apliquen en un contexto similar lo aprendido en la situación de olas de frío","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/olas-frio/pdfs/esp/Guia%20Practica..pdf"},{"titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía Práctica"},"recurso":"Descarga","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/olas-frio/editables/esp/Guia%20Practica.docx","tipo":"button"}],"visible":true}}},"visible":true,"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":" Momento de enganche","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":"(Diapositivas 2, Presentación)","tipo":"h4"},{"esp":"Muestre a sus estudiantes el video “Olas de frío” y dé un tiempo para que compartan sus opiniones respecto a las siguientes preguntas:","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","recurso":"modalVideo","titulo":{"eng":"","esp":"Ver Video"},"tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/olas-frio/25%20OLAS%20DE%20FRIO%20subt%20-%20v2.mp4"},{"eng":"","recurso":"Pregunta","esp":"- ¿Qué sabían sobre las olas de frío?
- Según el video, ¿cómo se define una ola de frío?
- ¿Qué son los umbrales de frío diarios?
En base a las respuestas de sus estudiantes concluya que:
\n- Una ola de frío es un evento meteorológico que se define como un período de al menos tres días consecutivos, en los cuales las temperaturas mínimas diarias son inferiores a un valor límite para cada día, conocido como umbral.
- Este umbral diario marca el valor donde se encuentran el 10% inferior de las temperaturas mínimas registradas durante el período 1991-2020.
Mirando el gráfico, ¿es posible identificar olas de frío?
","recurso":"Pregunta","tipo":"momento"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Se espera que los estudiantes identifiquen varios períodos de 3 o más días consecutivos donde el gráfico presenta temperaturas más bajas, pero que señalen que no hay seguridad que estos periodos corresponden a olas de frío."},{"eng":"","esp":" (Diapositivas 6, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"A continuación, realice la siguiente pregunta:","eng":""},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"¿Cómo podemos saber si en Santiago hubo olas de frío en estos dos meses?
"},{"esp":"Se espera que reconozcan que para identificar olas de frío, se debe conocer los umbrales diarios y verificar si hay tres o más días seguidos por debajo de esos umbrales.","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Comente a sus estudiantes que en la clase trabajarán en calcular los umbrales de frío en este período para Santiago e identificar si hubo o no olas de frío en esas ocasiones. ","tipo":"p","eng":""}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Construcción de Conocimientos"},{"eng":"","esp":"(Diapositivas 7, Presentación)","tipo":"h4"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Plantee la siguiente pregunta a sus estudiantes:\n"},{"recurso":"Pregunta","esp":"¿Qué datos se necesitan para calcular los umbrales requeridos para determinar si hubo olas de frío?
","eng":"","tipo":"momento"},{"esp":"(Diapositivas 8, Presentación)","eng":"","tipo":"h4"},{"esp":"A partir de las respuestas, concluya que:","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"- Debemos conocer las temperaturas mínimas históricas entre 1991 y 2020 para cada día de los meses de mayo y junio en Santiago. \n
- Se debe determinar el valor donde se encuentran el 10% inferior de las temperaturas mínimas históricas para cada uno de esos días. \n
- Ordenar los datos de la temperatura mínima diaria de menor a mayor.
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/olas-frio/imgs/Numeros.png\")
- Determinar que el \\(10\\%\\) de 30 datos es 3 datos.
- Identificar los datos que se encuentran en el \\(10\\%\\) inferior del conjunto ordenado.
"},{"eng":"","esp":"(Diapositivas 11, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Para establecer el valor que usarán como umbral, puede preguntar a sus estudiantes:","eng":""},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/olas-frio/imgs/Numeros%20y%20percentil.png\")
¿Cuál es el valor del umbral en este caso?, ¿el valor del dato de la posición 3, 4 o cualquier valor entre ellos?
"},{"esp":"(Diapositivas 12, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"A partir de las respuestas de las y los estudiantes, concluya que:"},{"tipo":"p","esp":"- Estos tres valores cumplen con ser mayor o igual que aproximadamente el \\(10\\%\\) de los datos registrados.
- Por convención, usaremos el promedio entre entre el 3° y 4° dato. En este caso, este valor corresponde a \\( \\frac{1,\\!5 + 2}{2} = 1,\\!75 \\)
Para calcular el percentil \\(k\\) de un conjunto ordenado de datos se puede realizar el siguiente procedimiento:
\nDeterminar el valor correspondiente a \\(k\\%\\) del número de datos.
Dependiendo de ese valor, se tienen dos casos:
Caso 1: Si el valor es un número entero, entonces el percentil \\(k\\) es el promedio entre el dato en la posición que indica dicho valor, y el siguiente.
Caso 2: Si el valor no es un número entero, entonces percentil \\(k\\) es el dato en la posición que corresponde al entero inmediatamente superior a dicho valor.
- Al calcular el \\(10\\%\\) de 30, obtenemos el valor 3.
- Por lo tanto, estamos en el Caso 1, en el cual el cálculo del percentil 10 corresponde al promedio de los datos de las posiciones 3 y 4.
"},{"esp":"A continuación, recuerde a las y los estudiantes que se busca determinar las olas de frío en el período de mayo y junio de 2023. Para ello, se deben calcular los umbrales diarios, correspondientes a percentil 10 de las temperaturas mínimas históricas de cada día.","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"(Diapositivas 16 a 19, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"A continuación, entregue la Hoja de Actividades de la Actividad 1, en la que sus estudiantes deberán calcular los umbrales de frío del 2, 3 y 4 de mayo de 2023. "},{"tipo":"p","esp":"En esta actividad las y los estudiantes aplicarán el procedimiento presentado previamente para calcular percentiles de un conjunto de datos e interpretarlos en el contexto (Tarea Matemática B).","eng":""},{"esp":"Actividad 1
\nLa siguiente información corresponde a las temperaturas mínimas históricas de los días 2, 3 y 4 de mayo:
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/olas-frio/imgs/esp/graficos_x3.png\")
- Calcula el valor del umbral de frío para los días 2, 3 y 4 de mayo.
- Si las temperaturas mínimas del 1, 2, 3 y 4 de mayo de 2023 fueron \\(3{,}4°C; 1{,}8°C, 1{,}3°C\\) y \\(1{,}5°C\\), respectivamente, ¿ocurrió una ola de frío en este período?\n
El valor del 10% de 30 es 3. De acuerdo al procedimiento establecido, el percentil 10 corresponde al promedio de los datos de las posiciones 3 y 4. Por tanto:
2 de mayo: \\(P_{10} = \\frac{2{,}5 + 2{,}9}{2} = 2{,}7\\)
3 de mayo: \\(P_{10} = \\frac{2{,}3 + 2{,}8}{2} = 2{,}55\\)
4 de mayo: \\(P_{10} = \\frac{2{,}3 + 2{,}6}{2} = 2{,}45\\)Al comparar las temperaturas mínimas de estos días con los umbrales calculados, se puede observar que en los días 2, 3 y 4 de mayo de 2023 hubo temperaturas mínimas más bajas que los umbrales respectivos para cada día. Por tanto, podemos afirmar que hubo una ola de frío en este período.
"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 20, Presentación)","eng":""},{"esp":"A continuación, se propone que las y los estudiantes analicen el gráfico de las temperaturas mínimas de mayo y junio de 2023 en Santiago, junto al gráfico de los umbrales de frío respectivos para cada día. \n","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para esto, puede proyectar el gráfico interactivo para que sus estudiantes puedan visualizar mediante líneas estas dos variables en simultáneo. Se sugiere recorrer los gráficos para mostrar que es posible visualizar cada dato situándose encima del gráfico respectivo.\n"},{"tipo":"iframe","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/olas-frio/html/grafico_min_umbral.html","eng":"","recurso":"Geogebra"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 21, Presentación)","eng":""},{"eng":"","esp":"Entregue la Hoja de Actividades de la Actividad 2, que busca que los estudiantes lean e interpreten de manera correcta la información del gráfico anterior (Tarea Matemática A) que contiene la información de las temperaturas mínimas diarias y sus respectivos umbrales de frío.","tipo":"p"},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","esp":"Actividad 2
\nEl siguiente gráfico contiene la información de las temperaturas mínimas registradas en Santiago en los meses de mayo y junio de 2023. junto a los umbrales de frío de cada día.
\n- ¿Cómo podrías, a partir del gráfico, identificar olas de frío en este período?
- ¿Cuántas olas de frío hubo? ¿Cuántos días duró cada una?
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/olas-frio/imgs/esp/graficoosframe.png\")
link interactivo\n- Las olas de frío ocurren cuando el gráfico de las temperaturas mínimas (en azul) está 3 o más días por debajo del gráfico del umbral (en rojo).
- En este período se identifican dos olas de frío: a comienzos de mayo y en la segunda semana de junio. La primera ola de frío duró tres días, desde el 2 hasta el 4 de mayo, mientras que la segunda duró cuatro días, comenzó el 11 de junio y acabó el 14 de junio.
Los percentiles son medidas de posición relativa que permiten dar información respecto a un conjunto de datos ordenados. En particular, los percentiles dividen este conjunto en \\(100\\) grupos con, aproximadamente, el mismo número de datos.
Para calcular el percentil \\(k\\) de un conjunto ordenado de datos se puede realizar el siguiente procedimiento:
- Determinar el valor correspondiente a \\(k\\%\\) del número de datos.
- Dependiendo de ese valor, se tienen dos casos:
Caso 1: Si el valor es un número entero, entonces el percentil \\(k\\) es el promedio entre el dato en la posición que indica dicho valor, y el siguiente.
Caso 2: Si el valor no es un número entero, entonces percentil \\(k\\) es el dato en la posición que corresponde al entero inmediatamente superior a dicho valor.
- Resuelven problemas relacionados con aplicaciones del cálculo de percentiles.
- Percentiles de múltiplos de \\(10\\), que reciben el nombre de deciles.
- Percentiles de múltiplos de \\(20\\), que reciben el nombre de quintiles.
- Percentiles de múltiplos de \\(25\\), que reciben el nombre de cuartiles.\n
Para calcular el percentil \\(k\\) de un conjunto ordenado de datos se puede realizar el siguiente procedimiento
\n- \n
Determinar el valor correspondiente a \\(k\\%\\) del número de datos.
\nDependiendo de ese valor, se tienen dos casos:
Caso 1: Si el valor es un número entero, entonces el percentil \\(k\\) es el promedio entre el dato en la posición que indica dicho valor, y el siguiente.
Caso 2: Si el valor no es un número entero, entonces percentil \\(k\\) es el dato en la posición que corresponde al entero inmediatamente superior a dicho valor. \n
\n
\\[2 ; \\, 3 ; \\, 5 ; \\, 7 ; \\, 11 ; \\, 13 ;\\, 15 ;\\, 17 ;\\, 19 ;\\, 23\\]
","tipo":"p"},{"esp":"Sigamos el procedimiento del recuadro anterior, para determinar el percentil \\(40\\). ","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- El \\(40\\, \\%\\) de los \\(10\\) datos es \\(4\\), por lo tanto el valor a considerar es \\(4\\).
- Nos encontramos, entonces en el Caso 1, ya que el valor \\(=4\\) es un entero. Por lo tanto, el percentil \\(40\\) es el promedio entre el dato en posición \\(4\\) y el dato en la posición \\(5\\):
\\(\\text{percentil 40}=\\frac{7+11}{2}=9\\)
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Notar que en este caso, exactamente \\(40\\, \\%\\) de los datos es menor o igual al percentil \\(40\\). "},{"tipo":"p","esp":"Sigamos ahora el procedimiento del recuadro que se encuentra más arriba, para determinar el percentil \\(25\\). ","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- El \\(25\\, \\%\\) de los \\(10\\) datos es \\(2{,}5\\), por lo tanto el valor es \\(2{,}5\\).
- Nos encontramos, entonces en el Caso 2, ya que este valor no es un entero. El entero inmediatamente superior es \\(3\\), por lo tanto el percentil \\(25\\) es el dato en posición \\(3\\):\n
\\(\\text{percentil 25}=5\\)
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Notar que en este caso, dado que tomamos al tercer dato como el percentil \\(25\\), el \\(30\\, \\%\\) de los datos es menor o igual a dicho percentil, y no el \\(25\\, \\%\\). Es por esta razón que en las definiciones se utiliza el término “aproximadamente”. "},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"Percentil 10 de un grupo de 30 datos"},{"esp":"En la situación planteada se le pedirá a sus estudiantes determinar el percentil \\(10\\) de un grupo de \\(30\\) datos. El procedimiento es el siguiente:","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"- El \\(10\\, \\%\\) de los \\(30\\) datos es \\(3\\), por lo tanto el valor es \\(3\\).
- Nos encontramos, en el Caso 1, ya que el valor es un entero. Por lo tanto, el percentil \\(10\\) corresponde al promedio entre el dato en posición \\(3\\) y el dato en posición \\(4\\).
- ¿Cuántas horas duermen al día?
- \nSegún lo que han escuchado en sus casas, ¿cuántas horas deberían dormir?\n
- ¿De qué manera crees que pueda afectar tu salud dormir poco o mucho?\n
\nA continuación presente la Infografía “¿Cuántas horas al día necesitas dormir?”. \n","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En la infografía se abordan los riesgos para la salud por falta o exceso de sueño y los beneficios de dormir lo adecuado, además de un cuadro que resume las horas de sueño recomendadas según distintos grupos etarios.
\nDé un tiempo para que las y los estudiantes comenten la información presentada. Puede utilizar las siguientes preguntas para garantizar que comprendieron el contexto y la infografía. Estas preguntas buscan que sus estudiantes se interioricen en la temática, y en particular, que pongan atención a las diferencias de horas de sueño recomendadas según los distintos rangos de edad. La última pregunta es particularmente relevante, ya que en la situación se tratará con las horas recomendadas para este grupo etario en específico. Procure seguir proyectando la infografía para que sus estudiantes puedan responder a estas preguntas."},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","eng":"","esp":"- Dentro de los riesgos por la falta o exceso de sueño, y los beneficios de dormir bien, comenten alguno que les haya llamado la atención.
- \n¿Las horas recomendadas de sueño son las mismas para todas las edades? ¿A qué creen que se debe esto?\n
- En particular, para personas entre \\(18\\) y \\(25\\) años, ¿qué cantidad de horas se recomienda que duerman?\n
\nEnseguida, puede seguir comentando que para escribir su columna, el-la periodista buscó información respecto a esta temática y encontró los resultados estadísticos de una encuesta que se realizó a personas entre \\(18\\) y \\(25\\) años, sobre la cantidad de sus horas de sueño al día. Los resultados de la encuesta se encuentran en una tabla que puede proyectar a partir de la diapositiva 6. \n","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"A modo exploratorio y para que las y los estudiantes comiencen a visualizar la información de esta tabla, se sugiere plantear preguntas como las siguientes:\n","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"momento","esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/horas-de-sueno-v2/tabla-1.png\")
- ¿Cómo se llaman este tipo de tablas?\n
- En la columna de la izquierda, ¿qué significan esos números entre corchetes?\n
\nSe sugiere que les haga notar a sus estudiantes que esta información exige detenerse un poco a leerla para poder entenderla, y que justamente el-la periodista quiere presentarlo de una manera más clara y directa. \n
\nPara introducir la problemática principal, puede comentar que en efecto, a la periodista le interesa presentar esta información de manera visual, y que por lo tanto, se plantea hacer un gráfico con los datos estadísticos que encontró y se pregunta qué tipo de gráfico es el más adecuado. A partir de esto, puede proyectar la diapositiva 7 y enunciar la problemática principal:\n"},{"recurso":"Actividades","esp":"¿Qué tipo de gráfico puede utilizar la periodista, de tal forma que la información representada sea clara?","tipo":"momento","eng":""}]},"2":{"contenido":[{"esp":"Primera Parte","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 8 a 11, Presentación)","eng":""},{"esp":" Tabla de frecuencias absolutas e histograma
\nEn este momento de la gestión, se busca abordar la tabla de frecuencias absolutas y construir un histograma. Para esto, puede proyectar la diapositiva 8 y comentar que se retoma la tabla con los resultados de la encuesta que se presentó previamente. ","eng":"","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/horas-de-sueno-v2/tabla-1.png","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"25","tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":""},{"tipo":"p","esp":"Para retomar la tabla y verificar que sus estudiantes entendieron las aclaraciones que se hicieron en la sección anterior, se sugiere plantear preguntas como las siguientes:\n","eng":""},{"esp":"- ¿Cuántas personas duermen entre \\(6\\) y \\(7\\) horas?
- \n¿Hay personas que duermen menos de \\(4\\) horas?, ¿Cómo lo saben?\n
- ¿Cuántas personas respondieron la encuesta?\n
\nEn en el resto de la gestión de esta situación, las frecuencias nulas de la tabla no serán consideradas, por lo que puede comentar a sus estudiantes, que en efecto el primer intervalo \\([0,5[\\) y el último \\([12,24]\\) no serán tomados en cuenta ya que no hay personas que duerman cantidades de horas que se encuentren en estos intervalos, y que por lo tanto, solo se concentrarán en horas de sueño que van de \\(5\\) a \\(12\\) horas. \n
\nDesde este momento de la gestión, la idea es introducir la representación gráfica de estos datos, por lo que se sugiere que los proyecte nuevamente en la diapositiva 8. Para este propósito recuerde el contexto de la situación en el que la periodista desea presentar la información de una manera visual y clara. Para introducir el primer tipo de gráfico, proyecte la diapositiva 9, donde se resumen los resultados de la tabla de manera gráfica.\n","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Sue%C3%B1o/Img/5%20%284%29.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"","escala":"25","caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado"},{"tipo":"p","esp":"Se sugiere que no aclare de inmediato cómo se llama este gráfico ni cómo se construye, sino que haga la siguiente pregunta para que sean sus estudiantes quienes recuerden.\n","eng":""},{"esp":"- ¿Recuerdan cómo se llaman este tipo de gráficos?\n
- ¿Qué información de la tabla está contenida en este gráfico?\n
\nSi es necesario puede explicar cómo se construye un histograma y en particular que se representa en los ejes. Puede por ejemplo, hacer la observación que en este caso el eje horizontal con las horas de sueño parte en \\(5\\) y termina en \\(12\\), con separaciones de una en una hora, correspondientes a los distintos intervalos de horas de sueño.\n
\nCon el propósito de comenzar a comparar las distintas representaciones de los datos (Tarea Matemática A), puede plantear la siguiente pregunta a sus estudiantes:\n","tipo":"p"},{"esp":"- ¿Qué les parece esta forma de presentar los datos, comparada con la tabla?
\na. ¿Cuáles son los tres rangos de horas en los que duerme más gente?
\nb. ¿Estos rangos horarios juntos concentran más de la mitad de los y las encuestadas?\n","eng":"","recurso":"Actividades","tipo":"momento"},{"recurso":"Respuesta","esp":"\n1. Al comparar:
\na. Tanto en la tabla como en el histograma se visualiza directamente que los dos rangos de hora en los que duerme más gente son 7-8 y 8-9 horas. En ambos requiere detenerse a ver los datos en el caso de la tabla, o comparar las alturas de las barras, para concluir que el tercer rango es el de 6-7 horas y no el de 9-10. \n
\nb. Estos tres rangos efectivamente concentran más de la mitad de las y los encuestados. El histograma otorga esta respuesta relativamente rápida de manera visual, mientras que en la tabla es necesario sumar 49+103+110 y darse cuenta que efectivamente 262 de 340, es decir, más de la mitad de las personas encuestadas se encuentran en estos intervalos. \n","eng":"","tipo":"momento"},{"esp":"Puede proyectar la imagen de la diapositiva 11 para asegurarse que sus estudiantes respondieron bien a la pregunta. ","tipo":"p","eng":""},{"esp":"En cuanto a estas preguntas, puede comentar que para la primera, ambas representaciones son relativamente similares. Sin embargo, para la segunda pregunta, el histograma permite visualizar de manera más directa que más de la mitad de las personas se encuentran en el rango entre \\(6\\) y \\(9\\) horas de sueño. Para esto es muy útil la línea horizontal en el histograma, correspondiente a una frecuencia de \\(50\\), ya que permite concluirlo rápidamente. Sin dicha línea hubiese sido menos directa la conclusión. De todas formas, al hacer la suma a partir de la tabla, se obtiene \\(262\\) de \\(340\\) personas se encuentran en dicho rango, que no solo indica que más de la mitad están en este rango, sino que también, “bastante más”, lo que no es tan directo de concluir a partir del histograma.
\n\nPuede también comentar en paralelo que seguramente tanto a la periodista como a sus estudiantes, podrían preferir el histograma sobre la tabla, dada su ventaja de presentar los datos visualmente. \n","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Segunda Parte","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositiva 12 a 21, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Cálculo de porcentajes y gráfico circular\n
\nEn este momento de la gestión, se busca introducir la representación gráfica circular para representar los datos, y que por lo tanto, es necesario calcular porcentajes. Para esto, recuerde que la periodista está buscando distintas formas visuales de representar los datos y que se le ocurre el circular, ya que este permite comparar una parte con el todo más fácilmente. "},{"eng":"","esp":"Puede proyectar la diapositiva 12 y comentar que se retomará nuevamente la tabla con los resultados de la encuesta que se presentó previamente. Luego se e sugiere plantear la siguiente pregunta:\n","tipo":"p"},{"esp":"- ¿Qué se necesita para poder construir un gráfico circular?
\n\nCon el propósito de recordar cómo se calculan porcentajes, proyecte la diapositiva 13 y comente que de las \\(340\\) personas encuestadas, \\(8\\) duermen entre \\(5\\) y \\(6\\) horas. Invite a sus estudiantes a realizar el siguiente cálculo.\n"},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"Usando calculadora, determina qué porcentaje del total duerme entre \\(5\\) y \\(6\\) horas.","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Sus estudiantes deben calcular que aproximadamente \\(2{,}4\\%\\) duerme entre \\(5\\) y \\(6\\) horas. Para asegurarse que sus estudiantes recuerdan cómo calcular porcentajes, puede verificar en la pizarra el cálculo y si es necesario, puede aprovechar este momento para recordar más en detalle el cálculo de porcentajes.
\nCon el propósito que sus estudiantes calculen el resto de los porcentajes de la tabla (Tarea Matemática B), invíteles a responder la pregunta 2 de la Hoja de Actividades. "},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Actividades","esp":"2. Usando calculadora, completa la siguiente tabla con los porcentajes de cada intervalo, con solo \\(1\\) decimal.
"},{"esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/horas-de-sueno-v2/tabla-3.png\")
","eng":"","tipo":"momento","recurso":"Respuesta"},{"tipo":"p","esp":"Puede proyectar la diapositiva 15, para que sus estudiantes verifiquen que encontraron los resultados correctos. Puede también comentar que una forma para verificar que al menos el “global” de las respuestas esté correcto es sumando los porcentajes y verificando que da \\(100\\%\\). Dado que se usó solo un decimal, puede que encuentren un valor cercano a \\(100\\%\\), pero no exactamente este valor, para que disipe cualquier duda que pueda surgir. \n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/horas-de-sueno-v2/tabla-4.png\")
\nCon el propósito que sus estudiantes vuelvan a relacionar los porcentajes con el contexto, pueda seguir proyectando la diapositiva 15 y hacer la siguiente pregunta a la clase:","eng":""},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Pregunta","esp":"- ¿Qué porcentaje del total de personas duerme entre \\(10\\) y \\(11\\) horas?
\nEn este momento de la gestión, la idea es a partir de los porcentajes calculados, construir el gráfico circular. Si estima conveniente, puede aprovechar esta oportunidad para usted mismo construir este gráfico usando una planilla de calculo, frente a los y las estudiantes (en la sección de Recursos podrá descargar dicha planilla ya lista). Para esto podría hacer participar a sus estudiantes y a medida que usted completa la tabla, ir pidiéndoles los porcentajes. Puede también aprovechar de ocuparse de aspectos estéticos del gráfico como tamaño de la letra, colores, rótulos, entre otros; que son relevantes a la hora de presentar visualmente datos en un gráfico. Podría asimismo, aprovechar esta oportunidad para realizar una actividad en la que sus estudiantes aprenden y construyen gráficos en hoja de cálculo, que evidentemente tomaría más tiempo de lo contemplado, pero que sería valioso. De todas formas, puede proyectar la diapositiva 16, en la que el gráfico circular ya está construido. \n","eng":""},{"escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Sue%C3%B1o/Img/6%20%283%29.png","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","eng":"","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"eng":"","esp":""}},{"esp":"Con el propósito de comparar las distintas representaciones (Tarea Matemática A), invite a responder la pregunta 3 de la Hoja de Actividades. Para esto se sugiere proyectar la diapositiva 17 . Aclare nuevamente, que para responder estas preguntas, imaginen que una persona que tiene acceso a la información, puede solo ver el histograma o solo ver el gráfico circular.","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"3. Imagina que una persona que lee la columna de la periodista solo podrá ver el histograma o el gráfico circular que se proyectan en tu clase (pero no ambos). Comparando ambos, ¿cuál te parece más directo para responder las siguientes preguntas? Justifica.
\n\n\na. Sabiendo de la pregunta anterior que hay un rango de horas que concentra más de la mitad de las personas, ¿Tienes mayor certeza de esto efectivamente es así con el histograma o con el gráfico circular? Justifica.
\n\nb. ¿Qué porcentaje aproximadamente duerme entre \\(6\\) y \\(9\\) horas?, ¿Qué gráfico te permite responder a esta pregunta más directamente? Justifica.
\n\nc. ¿En qué rango hay más personas, en el de \\(6\\) y \\(7\\) horas, o el de \\(9\\) y \\(10\\)?, ¿Qué gráfico te permite responder a esta pregunta más directamente de manera visual? Justifica.\n","eng":"","recurso":"Actividades","tipo":"momento"},{"eng":"","recurso":"Respuesta","esp":"3. Al comparar:
\na. En ambos gráficos se observa que efectivamente entre 6 y 9 horas se concentran la mayor cantidad de personas, sin embargo el gráfico circular permite visualizar más directamente que esto ocurre en bastante más de la mitad de los casos.\n
\nb. En relación con la pregunta anterior, justamente el gráfico circular permite afirmar de manera visual que aproximadamente 3/4 de las personas se encuentran en dicho intervalo, es decir 75% aproximadamente. Por su parte, el histograma permitiría concluir esto al notar ayudándose de las líneas verticales que van de 25 en 25, que las alturas de las barras son aproximadamente 50, 100 y 110, y que por lo tanto aproximadamente 260 de 340, es decir, 75% aproximadamente se encuentre en el rango entre 6 y 9 horas. Esto necesitaría bastantes cálculos para poder concluir. En este sentido, en este caso el gráfico circular es más directo. \n
\nc. El número de personas en esos intervalos son similares, en el gráfico circular esforzándose un poco es posible apreciar que el intervalo entre 6 y 7 horas es mayor, sin embargo en el histograma esta observación es casi inmediata, ya que justamente dicho gráfico permite en ciertos casos comparar de mejor manera unos intervalos con otros, y que se hace muy fácil en este caso gracias a la línea horizontal que indica la frecuencia de 50. \n","tipo":"momento"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Con respecto a estas preguntas, se puede señalar que la elección del tipo de representación adecuado está determinada por la naturaleza de la información que se busca comunicar. Incluso, puede ser importante considerar las expectativas y el enfoque del público al que van dirigidos estos gráficos, ya que esto influye en la efectividad de la visualización."},{"tipo":"h3","esp":"Tercera Parte","eng":""},{"eng":"","esp":"(Diapositiva 22 a 30, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","eng":"","esp":" Reducir a tres categorías relevantes
En este momento de la gestión, se busca generar la discusión para a partir de los datos, determinar categorías relevantes para los propósitos la periodista de representar la información de manera clara. En la práctica, la idea es construir un histograma y el gráfico circular, pero en vez de distinguir hora a hora, hacerlo en tres categorías: personas que duermen lo recomendado, menos o más. "},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para esto, se sugiere comentar que a la periodista le parece que los gráficos, pese a ser más claros que la tabla, poseen demasiadas categorías o “divisiones”, por ejemplo hay \\(7\\) categorías que corresponden a horas de sueño entre \\(5\\) y \\(6\\) horas, entre \\(6\\) y \\(7\\), y así hasta entre \\(11\\) y \\(12\\). En realidad el propósito de la periodista es más bien de informar si las personas duermen las horas adecuadas. Se sugiere que muestre la diapositiva 22, donde se retoma la Infografía, que puede ayudar a guiar la discusión. "},{"eng":"","tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Sue%C3%B1o/Img/7%20%281%29.png","escala":"50","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para que sus estudiantes exploren respuestas respecto a reconocer categorías relevantes (Tarea Matemática C), podría plantear la siguiente pregunta, sugiriéndoles que pongan atención a la cantidad adecuada de horas de sueño de la infografía y recordando que la encuesta se realizó a personas entre \\(18\\) y \\(25\\) años. \n"},{"recurso":"Pregunta","esp":"¿Qué categorías se les ocurre utilizar para el propósito de la periodista \nde informar si las personas duermen las horas adecuadas?\n","tipo":"momento","eng":""},{"esp":"Se sugiere que dé un tiempo a sus estudiantes para que discutan en grupo qué categorías se les ocurren y que luego las comenten. Pueden haber muchas ideas, pero guíe la discusión para concluir que noten que es relevante la falta o el exceso de horas de sueño y que hay un cierto rango de horas recomendadas de sueño para este contexto que es entre \\(7\\) y \\(9\\) horas para personas entre \\(18\\) y \\(25\\) años. Sus estudiantes podrían proponer por ejemplo reducir solo a dos categorías de si se duerme lo recomendado o no. Sin embargo, se sugiere concluir con sus estudiantes, que en esta ocasión se distinguirán tres categorías: duermen lo recomendado, menos horas o más horas. Puede indicar a sus estudiantes, que una justificación de distinguir 3 categorías en vez de 2, es que los riesgos de salud asociados a dormir menos de lo recomendado pueden ser distintos a los de dormir más. \n
\nEn base a lo anterior, puede proyectar la diapositiva 23 en la que se retoma la tabla con los datos iniciales y los porcentajes calculados, e invite a sus estudiantes a responder la pregunta 4 de la Hoja de Actividades, con el propósito de tratar los datos para reducir a las tres categorías relevantes (Tarea Matemática C). \n","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Sue%C3%B1o/Img/tabla-4-5.png","tipo":"img"},{"eng":"","esp":"4. A partir de la tabla que se proyecta en la clase, completa la siguiente con los nombres de las 3 nuevas categorías, sus frecuencias y porcentajes . Recuerda que en este caso, el rango recomendado es entre \\(7\\) y \\(9\\) horas.
","recurso":"Actividades","tipo":"momento"},{"eng":"","recurso":"Respuesta","esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/horas-de-sueno-v2/tabla-5.png\")
","tipo":"momento"},{"esp":"Puede proyectar la diapositiva 25, para que sus estudiantes verifiquen que encontraron los resultados correctos. \n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/horas-de-sueno-v2/tabla-7.png\")
\nEn este momento de la gestión, la idea es que a partir de las frecuencias y los porcentajes calculados para las 3 nuevas categorías, construyan el gráfico circular y en esta ocasión un gráfico de barra. Puede comentar a sus estudiantes, que sin bien las tres nuevas categorías involucran intervalos cada una, en realidad se están utilizando “nombres” o “rótulos”, por lo que más bien se utilizará en rigor un gráfico de barras y no un histograma, que en realidad son muy similares. \n
\nSi estima conveniente, puede nuevamente aprovechar esta oportunidad para usted mismo construir estos gráficos usando una planilla de cálculo, haciendo participar a sus estudiantes, o destinar este momento para que sus estudiantes sigan explorando la planilla de cálculo (ver sección Recursos para descargar la planilla de cálculo). \n
\nSiguiendo con el propósito de mostrar los datos de una manera visual, directa y clara que busca la periodista, se sugiere que proyecte la diapositiva 26, en la que se muestran el gráfico de barra y el gráfico circular con las 3 nuevas categorías.","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/horas-de-sueno-v2/9-10-merged.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"50","eng":"","tipo":"img"},{"esp":"\nCon el propósito de comparar las distintas representaciones (Tarea Matemática A), invite a responder la pregunta 5 de la Hoja de Actividades. Aclare una vez más que para responder esta actividad imaginen que una persona que tiene acceso a la información, puede solo ver el histograma o solo el gráfico circular.","tipo":"p","eng":""},{"esp":"5. Imagina que una persona que lee la columna la periodista, solo podrá ver el gráfico de barras o solo el gráfico circular que se proyectan en tu clase. Comparando ambas, ¿cuál te parece más directo para responder las siguientes preguntas? Justifica.
\na. ¿Qué es mayor, la cantidad de personas que duermen lo recomendado o las que no? Justifica.
\nb. ¿Qué es mayor, la cantidad de personas que duermen más de lo recomendado o las que duermen menos? Justifica.\n","tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":""},{"eng":"","esp":"5. Al comparar:\na. En el gráfico circular esta respuesta es más directa, ya que se ve inmediatamente que las personas que duermen lo recomendado son bastante más que las que no. Esto se puede también visualizar en el gráfico de barras, sin embargo es necesario hacer el ejercicio de “imaginar” sumar visualmente las barras de menos horas con la de más horas y concluir que entre ambas, hay menor cantidad. \n
\nb. Es mayor la cantidad de personas que duermen más horas que las que duermen menos horas que lo recomendado. Esto es un poco más directo en el gráfico de barras, ya que es más fácil comparar las alturas de las barras que los ángulos de las porciones del círculo, dado que las diferencias entre ambas categorías son estrechas. Nuevamente, las líneas horizontales de 50 en 50 en el gráfico de barras son muy útiles para esto, mientras que en el gráfico circular no hay algo similar. \n","tipo":"momento","recurso":"Respuesta"},{"esp":"En cuanto a estas preguntas, puede comentar nuevamente que un gráfico u otro puede ser más adaptado de acuerdo a lo que se quiere transmitir. Podría aprovechar estos gráficos para abrir más la discusión, preguntando a sus estudiantes si se les ocurren otras ideas de cuándo es más pertinente uno y otro gráfico. ","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"A modo de cierre, puede proyectar la diapositiva 30 y comentar que los gráficos permiten visualizar de manera directa y clara datos agrupados en una tabla, que exigen un esfuerzo para poder interpretarlas. De la misma forma, de acuerdo a lo que se quiere transmitir, se pueden definir “categorías” relevantes, como fue el caso de la situación de pasar de distinguir cuánto tiempo se duerme de hora en hora, a distinguir de si se duerme lo recomendado, más o menos. "},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Destacado","esp":"Cada tipo de gráfico tiene ventajas y desventajas comparativas, y que el uso de uno u otro puede depender del contexto, de lo que se quiere informar, de las preguntas que se quieren responder e incluso de los mismos valores numéricos específicos de los datos, entre otras razones. \n"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Sistematización","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"(Diapositiva 31 a 32, Presentación)","tipo":"h4"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En base a lo realizado en clases, sistematice las siguientes ideas:\n- Existen distintas representaciones de datos como las tablas de frecuencias absolutas que agrupan los datos en intervalos, y las representaciones gráficas como el histograma, el gráfico circular y el gráfico de barras, entre otras.\n
- \nCada tipo de representación tiene ciertas ventajas y desventajas, así por ejemplo, de acuerdo a lo que se quiere transmitir, una representación puede ser más apropiada que otra.
- \n\nEn ciertos casos, se pueden distinguir categorías relevantes según el contexto y de acuerdo a la información que se desea entregar. En estos casos puede ser conveniente tratar los datos de manera que se ajusten a las categorías.\n
Presente a sus estudiantes la Guía práctica. Esta tiene por objetivo que las y los estudiantes construyan representaciones gráficas, a partir de una tabla de frecuencias absolutas, en un contexto similar al abordado en la lección. Se espera que sean capaces de comparar las representaciones y justificar que tipo de representación es mejor para responder a determinadas preguntas que surgen del contexto. Se sugiere que primero de sé el tiempo para que trabajen individual o grupalmente, y luego socialicen sus respuestas con el resto del curso. \n
\nEstos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente los siguientes indicadores de evaluación:\n- \nConstruir categorías relevantes y distintas representaciones gráficas.\n
- Comparar distintas representaciones de datos en forma de tabla y gráficos.\n
Por ejemplo:\n
- El intervalo \\([0,1[\\) (cerrado en \\(0\\) y abierto en \\(1\\)) representa al conjunto de reales entre \\(0\\) y \\(1\\), incluyendo al \\(0\\) pero no al \\(1\\).
- \nEl intervalo \\(]-2,3]\\) (abierto en \\(-2\\) y cerrado en \\(3\\)) representa al conjunto de reales entre \\(-2\\) y \\(3\\), excluyendo al \\(-2\\) pero incluyendo al \\(3\\). \n
Algunos de los beneficios más importantes de dormir son:\n
- Mejora de la memoria y el aprendizaje.\n
- Mejora del estado de ánimo.\n
- Fortalecimiento del sistema inmune.\n
- Reparación de tejidos dañados.\n
- Reducción del riesgo de enfermedades cardiovasculares.\n
El no dormir bien puede tener asociados algunos riesgos, como en particular las siguientes enfermedades:\n
- Diabetes\n
- Enfermedades cardiovasculares\n
- Obesidad\n
- Depresión\n
\nTanto la falta de sueño, como el exceso de sueño puede afectar la salud. En ese sentido, la recomendación general es que cada grupo etario cumpla con el rango de horas de sueño requerido. \n","tipo":"p"},{"eng":"","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Sue%C3%B1o/Img/2%20%285%29.png","caption":{"eng":"","esp":""}},{"tipo":"p","esp":"Es importante mencionar que las horas mencionadas anteriormente corresponden a pautas generales y que las necesidades de sueño pueden variar de persona a persona. Algunas personas pueden sentirse bien descansadas con un poco menos de horas de sueño, mientras que otras pueden requerir más. Lo importante es que cada cual duerma la cantidad de horas necesarias para sentirse descansado/a. La calidad del sueño también es un aspecto a considerar: un sueño reparador es esencial para la salud en todas las edades. Los/as expertos/as recomiendan mantener una rutina de sueño regular y en la medida de lo posible, dormir en un lugar silencioso y oscuro. \n","eng":""},{"eng":"","tipo":"h3","esp":" Datos sobre horas de sueño"},{"tipo":"p","esp":"En esta actividad, las y los estudiantes trabajarán con una tabla que resume los resultados de una encuesta que se realizó a un grupo de personas de entre \\(18\\) y \\(25\\) años. \n
\nLa tabla mencionada, se construyó especialmente para esta situación, a partir de los datos públicos del Instituto Nacional de Estadísticas de España. En particular, se usó una base de datos que contiene la información de \\(1330\\) datos sobre horas de sueño según distintos grupos etarios. La tabla se creó mediante simulaciones en las que se asumió una distribución normal con una media de \\(8{,}07\\) horas y una desviación estándar de \\(1{,}2\\) horas, valores que fueron obtenidos a partir de la base de datos. \n","eng":""}],"visible":true}}},"recursosProyecto":[],"recursos":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Infografía \" Horas de sueño recomendadas\""},{"eng":"","esp":"La infografía entrega un gráfico con las horas de sueño según la edad, los beneficios de dormir bien y los posibles riesgos asociados a la falta de horas de sueño.
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/horas-de-sueno-v2/Infografia_horas_sueno_v2.pdf","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/horas-de-sueno-v2/Infografia_horas_sueno_v2.pdf","recurso":"Descarga","tipo":"button","titulo":{"eng":"Descargar Infografía","esp":"Descargar Infografía"},"eng":""},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 9)"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación. ","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/horas-de-sueno-v2/ppt_horas_sueno_8vo.pdf","eng":""},{"recurso":"Descarga","eng":"","tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Descargar Presentación"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/horas-de-sueno-v2/ppt_horas_sueno_8vo.pptx"}]},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Hoja de Actividades"},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación. ","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/cuanto-demora-en-caer/ha_cuanto_demora_en_caer_8vo.pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/cuanto-demora-en-caer/ha_cuanto_demora_en_caer_8vo.docx","tipo":"button","recurso":"descarga","eng":"","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":""}},{"esp":"Presentación (diapositivas 10 a 30)","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"\nEsta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación. \n","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/horas-de-sueno-v2/ppt_horas_sueno_8vo.pdf"},{"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/horas-de-sueno-v2/ppt_horas_sueno_8vo.pptx","titulo":{"esp":"Descargar Presentación ","eng":""},"recurso":"Descarga","tipo":"button"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Base de datos"},{"esp":"En esta planilla de cálculo se detallan los datos usados en la actividad, así como también, los gráficos construidos a partir de ellos.","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/horas-de-sueno-v2/bd-graficos.xlsx","tipo":"button","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Base de datos"},"recurso":"Descarga"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Presentación (diapositiva 31 a 32)"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación. "},{"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/horas-de-sueno-v2/ppt_horas_sueno_8vo.pdf","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/horas-de-sueno-v2/ppt_horas_sueno_8vo.pptx","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"},"tipo":"button","eng":""}]},"4":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Guía Práctica","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En este documento se proponen ejercicios para que las y los estudiantes pongan en práctica sus conocimientos sobre la construcción de representaciones gráficas a partir de una tabla de frecuencias absolutas."},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/cuanto-demora-en-caer/gp_cuanto_demora_en_caer_8vo.pdf"},{"recurso":"descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía Práctica"},"tipo":"button","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/cuanto-demora-en-caer/gp_cuanto_demora_en_caer_8vo.docx"}]}}},"visible":true},"70":{"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Momento de enganche","eng":""},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 2 a 5 Presentación)"},{"tipo":"p","esp":"Para introducir el contexto plantear preguntas relativas al uso de aplicaciones en los celulares, en particular, sobre aquellas que utilizan la localización del usuario para prestar un servicio. Puede utilizar preguntas como las siguientes para este propósito.","eng":""},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"- ¿Qué aplicaciones de celulares que usan tu ubicación conoces?
- ¿Cuán seguido utilizan este tipo de aplicaciones?
- ¿Creen que existen algunos riesgos al utilizar algunas de estas?
- ¿Qué es un punto de interés de una persona y cómo las aplicaciones pueden identificarlo?
- Digan ejemplos de sus puntos de interés del día.
- ¿De qué manera tu privacidad se vería amenazada si terceras personas reconocen tus puntos de interés?
- Un punto de interés es un lugar en que una persona pasa un tiempo considerable del día. Las aplicaciones los pueden identificar accediendo al historial de ubicaciones.
- Puntos de interés de sus estudiantes pueden ser el hogar, el colegio, una plaza en la que se encuentran con sus amigos-as, etc.
- Amenaza la privacidad en el sentido que terceras personas no solo saben las ubicaciones, sino que también pueden inferir las preferencias “sensibles” como religiosas, políticas, sexuales, etc.
¿Qué usuario tiene menor nivel de privacidad respecto a sus puntos de interés, el azul o el naranjo? ¿Por qué?
"},{"esp":"Se espera que sus estudiantes respondan que el usuario azul tiene menor privacidad, ya que es más fácil reconocer zonas en las que ha permanecido más tiempo durante el día, es decir alguno de sus puntos de interés. Por el contrario, no se observa ningún punto de interés claro para el usuario naranjo. ","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Puede comentar que para identificar puntos de interés es relevante saber la ubicación de un usuario a lo largo del tiempo. Para introducir la problemática que se abordará en la situación, se considerará que los usuarios, al utilizar una aplicación, transmiten cada 30 segundos su posición, y que se tomará una muestra de 15 minutos.","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Puede proyectar la diapositiva 8 en la que se muestran estas ubicaciones. Aclare que en ella se ha agregado un sistema de coordenadas cartesianas con un origen \\((0,0)\\) y dos ejes para identificar las posiciones del usuario como pares ordenados \\((x,y)\\). De esta forma, la primera posición del usuario tendrá coordenadas \\((x_1,y_1)\\), la segunda posición \\((x_2,y_2)\\) y así sucesivamente hasta la posición \\(30\\) de coordenadas \\((x_{30},y_{30})\\).","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Puede comentar que existen muchas formas de fijar el origen y la orientación de este sistema de coordenadas y que esto no afectará el análisis que se hará a continuación.","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/p-y-e/privacidad-aplicaciones/imgs/2.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"75","eng":"","alinea":"texto-centrado"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"A partir de esto, puede puede proyectar la diapositiva 9 y enunciar la problemática principal:"},{"eng":"","recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"¿ Cómo podemos comparar matemáticamente los niveles de privacidad entre dos usuarios, utilizando sus posiciones en los últimos 15 minutos?
"},{"tipo":"p","esp":"\\[ \\mu=\\frac{(x_1+ x_2+\\ldots + x_n)}{n} =\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n x_i . \\]
","eng":""}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"p","eng":"","esp":"\\[ \\mu=\\frac{(x_1+ x_2+\\ldots + x_n)}{n} =\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n x_i . \\]
"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Medida de la cercanía del conjunto de posiciones de un usuario. "},{"eng":"","esp":"En este momento de la gestión, se busca abordar la exploración y construcción de una medida de la cercanía de una nube de puntos compuesta por las posiciones de un usuario. Para esto, puede proyectar la diapositiva 10 y comentar que se retoma la imagen del mapa con el plano cartesiano de la infografía, con solo dos posiciones de un usuario (\"pos1\" y \"pos2\"), recordando que la problemática consiste en determinar el nivel de privacidad de un usuario. ","tipo":"p"},{"caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"","alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/p-y-e/privacidad-aplicaciones/imgs/3.png","tipo":"img"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"A modo de exploración, y con el objetivo de que las y los estudiantes reconozcan una manera de medir la cercanía entre ambas posiciones, puede plantear la siguiente pregunta:"},{"eng":"","tipo":"momento","esp":"¿Cómo medirías la cercanía entre ambas posiciones?
","recurso":"Pregunta"},{"esp":"Se espera que sus estudiantes respondan que una medida de la cercanía es la distancia entre los dos puntos. Puede que sus estudiantes quieran entregar una fórmula para el cálculo de esta distancia. Para esto, puede apoyarse de la diapositiva 11, en la que se ha marcado en azul el segmento que representa la distancia entre ambas posiciones. ","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/p-y-e/privacidad-aplicaciones/imgs/4.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","eng":"","escala":"50","tipo":"img"},{"esp":"Siguiendo con el objetivo de reconocer una manera de medir la cercanía entre ambas posiciones, puede plantear la siguiente pregunta:","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"¿Cómo medirías ahora la cercanía entre estas tres posiciones?
"},{"tipo":"img","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/p-y-e/privacidad-aplicaciones/imgs/5.png"},{"esp":"Guíe la discusión de tal forma que con sus estudiantes concluyan que una medida puede ser la suma o el promedio entre las tres distancias entre pares de posiciones, como se representa en la diapositiva 13. Puede hacer notar a sus estudiantes que se prefiere el promedio de las distancias por sobre la suma de ellas, ya que es más representativa. Puede encontrar una explicación de esto en los aspectos matemáticos. ","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"img","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/p-y-e/privacidad-aplicaciones/imgs/6.png","alinea":"texto-centrado"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Con el objetivo de reconocer que a medida que se consideran más posiciones el problema de obtener una medida de la cercanía entre ellas se complejiza, pues aumenta la cantidad de distancias a considerar, puede proyectar la diapositiva 14, y comentar que si se consideran por ejemplo 5 ubicaciones, y se quisiera calcular todas las distancias involucradas, tendrían que obtener la medida de cada segmento azul que se ve en la imagen.\n"},{"tipo":"img","eng":"","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/p-y-e/privacidad-aplicaciones/imgs/6.png","escala":"50"},{"esp":"La complejidad de combinaciones de puntos y de distancias que se acaba de ver, justificará la utilización del punto correspondiente al promedio de todas las posiciones o “centroide”, que se presenta en la siguiente subsección. ","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"h3","esp":"Centroide de un conjunto de puntos. ","eng":""},{"esp":"Mantenga la diapositiva 15 y comente que cuando hay muchos puntos se deben considerar muchas distancias (por ejemplo para 30 puntos son \\({30\\choose 2}=435\\) combinaciones) y se vuelve engorroso hacer este cálculo incluso mediante planillas de cálculo. Para simplificar el problema se busca tomar las distancias de cada posición a 1 solo punto representativo de todos ellos. Con el objetivo de que las y los estudiantes reconozcan que este punto corresponde al centroide de un conjunto de datos (Tarea Matemática A), invite a sus estudiantes a responder la primera pregunta de la Hoja de Actividades, apoyándose en la diapositiva 16. ","tipo":"p","eng":""},{"escala":"50","alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","eng":"","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/p-y-e/privacidad-aplicaciones/imgs/8.png"},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","eng":"","esp":"- Si tuvieses que elegir un punto aproximado que represente un lugar “promedio” dónde se encontraba el usuario entre estas 5 posiciones, ¿cuál elegirías: A, B o C ? Justifica.
\n
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/p-y-e/privacidad-aplicaciones/imgs/8.png\")
Apoyándose de la diapositiva 18, haga notar a sus estudiantes que este punto se puede determinar exactamente como el promedio de las coordenadas de las posiciones, como se indica a continuación con 30 puntos.
\n\\[ (x_c,y_c)=\\Big( \\dfrac{x_1+\\dots+x_{30}}{30},\\dfrac{y_1+\\dots+x_{30}}{30} \\Big) \\]
\nEste punto se llama “baricentro” o “centroide” o “centro de gravedad” de un conjunto de puntos o posiciones.
\nPuede comentar que esta definición coincide con la del centro de gravedad de un triángulo, punto donde se intersectan las transversales de gravedad.
","eng":""},{"esp":"Proyecte la diapositiva 19 y Comente que en este caso, una medida de las cercanía entre los puntos concerniría solo las distancias de cada posición al centroide, que son considerablemente menos distancias y por lo tanto, menos engorroso de realizar. Puede comentar que para \\(30\\) ubicaciones, bastaría con determinar solo \\(30\\) distancias y no las \\(435\\) correspondientes a todas las combinaciones de pares de puntos.\n","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/p-y-e/privacidad-aplicaciones/imgs/10.png","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"75","eng":""},{"tipo":"p","esp":"En este momento de la gestión se presentará la determinación del centroide para dos usuarios que llamaremos usuario Azul y usuario Rojo, para lo que se sugiere que proyecte la diapositiva 20 en la que se muestran sus posiciones.","eng":""},{"alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/p-y-e/privacidad-aplicaciones/imgs/puntos.png","escala":"75"},{"esp":"Con el propósito de ubicar en el espacio centroide e interpretarlos (Tarea Matemática A) indique que en herramientas como excel se puede fácilmente determinar las coordenadas del centroide de cada usuario. A modo de ejemplo puede mostrar la diapositiva 21 promedio de la columna de las abscisas es “PROMEDIO” o “AVERAGE” en inglés, en donde se indica en este ejemplo en naranjo el conjunto de datos. ","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/p-y-e/privacidad-aplicaciones/imgs/esp/centroide_excel.png","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":""},{"esp":"Puede aprovechar esta instancia para pedirle a sus estudiantes que hagan estos cálculos en excel o usted mismo los haga en la clase. Para esto puede utilizar la base de datos que se encuentra en la Planilla centroide y varianza.","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Comente que considerando las coordenadas de las posiciones de cada usuario, se puede entonces calcular que el centroide del usuario rojo es \\(R=(51{.}4, 53{.}5)\\) y del usuario azul es \\(A=(85{.}5, 76{.}2)\\). Con el propósito de ubicar en el espacio los centroides e interpretarlos (Tarea Matemática A), invite a sus estudiantes a responder la hoja de actividades, que se presenta en la diapositiva 22.","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"En la siguiente imagen ubica aproximadamente los centroides de los dos usuarios. El centroide del usuario rojo es \\(R=(51{.}4, 53{.}5)\\) y del usuario azul es \\(A=(85{.}5, 76{.}2)\\).
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/p-y-e/privacidad-aplicaciones/imgs/puntos.png\")
¿Para cuál de los dos usuarios, te parece que las distintas posiciones se encuentran más cercanas al centroide?
Los centroides ubicados aproximadamente:
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/p-y-e/privacidad-aplicaciones/imgs/act_centroides.png\")
Es evidente que para el usuario azul sus posiciones se encuentran más cercanas al centroide.
\\[ d_1=\\sqrt{(x_1-x_c)^2+(y_1-y_c)^2} \\]
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"y que se tomará en cambio para evitar las raíces","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"\\[ d_1^2=(x_1-x_c)^2+(y_1-y_c)^2 \\]
","eng":""},{"esp":"Luego, apoyándose de la diapositiva 28, muestre a sus estudiantes que para un usuario, el promedio de las \\(30\\) distancias al cuadrado se escribiría de forma compacta de la siguiente manera:\n","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"\\[ \\dfrac{(x_1-x_c)^2+(y_1-y_c)^2+\\dots+(x_{30}-x_c)^2+(y_{30}-y_c)^2}{30} \\]
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Si hay dudas con los puntos, recuerde que significa que se consideran la suma de los 30 elementos. Luego de un trabajo algebraico en el que se agrupan los términos con la variable \\(x\\) a la izquierda y los con la variable \\(y\\) a la derecha, muestre que esta expresión es igual a:","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\\[ \\dfrac{(x_1-x_c)^2+\\dots+(x_{30}-y_c)^2+(y_{1}-x_c)^2+\\dots+(y_{30}-y_c)^2}{30} \\]
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Si lo desea, puede realizar esta reagrupación de términos en más pasos para clarificar el manejo algebraico hecho. Finalmente, muestre que al distribuir la fracción la expresión que se obtiene es:"},{"eng":"","esp":"\\[\\dfrac{(x_1-x_c)^2+\\dots+(x_{30}-y_c)^2}{30}+\\dfrac{(y_1-y_c)^2+\\dots+(y_{30}-y_c)^2}{30}\\]
","tipo":"p"},{"esp":"Concluya que la expresión anterior es igual a la suma de la varianza de las abscisas más la varianza de las ordenadas de todas las posiciones:","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"\\[ Var = Var_x+Var_y \\]
\\[ Var_x+Var_y \\]\n
","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Recuerde que tanto \\(Var\\) como \\(\\sigma^2\\) son formas de denotar a la varianza. A esta suma de varianzas la llamaremos la varianza \\(Var\\) del conjunto de puntos:"},{"esp":"
\\[ =\\sigma_x^2+\\sigma_y^2 \\]\n\\[ Var = Var_x+Var_y \\]
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"En caso que sus estudiantes tengan dificultad en seguir las expresiones algebraicas anteriores usando la notación con puntos suspensivos para representar los términos intermedios hasta el término \\(30\\), se sugiere que haga los mismos cálculos con solo tres puntos y comentar que se aplica lo mismo para los \\(30\\) puntos o ubicaciones. ","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Explique que esta expresión obtenida es una medida de dispersión de las posiciones que considera la suma de la dispersión en el eje \\(X\\) y en el eje \\(Y\\) (Tarea Matemática B) .","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Con el propósito de que sus estudiantes noten que una varianza pequeña significa que todos los puntos están más cerca del centroide y por lo tanto todos los puntos entre ellos están cerca, plantee la siguiente pregunta a la clase, que se encuentra en la diapositiva 29. ","eng":""},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"¿En qué caso creen que la varianza de los datos es más pequeña, cuando las posiciones del usuario están más juntas o más separadas?
","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Puede guiar la discusión, recordando que los cálculos de las varianzas contemplan la suma de las distancias al cuadrado al centroide. Se espera que concluyan que si las distancias al centroide son pequeñas, es decir, las posiciones están más juntas, la varianza también será pequeña. \n","eng":""},{"esp":"Proyecte la diapositiva 30 e indique que la siguiente imagen ilustra con un ejemplo con tres puntos, la función “VAR” que se utiliziría y permitiría determinar la varianza de las ordenadas en excel, y que de manera similar se obtiene la de las abscisas. ","tipo":"p","eng":""},{"caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/p-y-e/privacidad-aplicaciones/imgs/esp/varianza_excel.png"},{"eng":"","esp":"Invite a sus estudiantes a resolver el ítem 4 de la Hoja de actividades, que se encuentra en la diapositiva 31, con el propósito de que sus estudiantes comparen las varianzas de dos conjuntos de datos (Tareas Matemáticas B y C).\n
","tipo":"p"},{"esp":"Comente que estos cálculos entregan los siguientes valores de las varianzas de los usuarios Azul y Rojo, que vieron anteriormente.","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"A continuación se entregan los valores de las varianzas en el eje \\(X\\) y el \\(Y\\) para los usuarios Azul y Rojo.
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/p-y-e/privacidad-aplicaciones/imgs/esp/graficovarianzas.png\")
¿Se confirma con estos valores que un usuario tiene mucha más privacidad que el otro? ¿Cuál? Justifica.
Al sumar las varianzas en los dos ejes para cada usuario, se obtiene que la varianza del usuario Azul es \\(270{,}6\\), mientras que la del usuario Rojo es \\(1126{,}7\\). Se observa entonces que para el usuario Azul, la suma de las varianzas es menor que la del usuario Rojo, por lo tanto el nivel de privacidad del usuario Azul es menor que la del Rojo. Lo que confirma lo que se visualizó anteriormente en el gráfico con las posiciones de ambos usuarios.
Si un usuario ha permanecido los últimos 15 minutos cerca de un punto de interés ¿La varianza de este es grande o pequeña?
","eng":"","recurso":""},{"eng":"","esp":"La discusión de esta pregunta debe orientarse a que los valores de la varianza cuando se está en un punto de interés son bastante pequeños. Para reforzar esta idea, se puede plantear el caso crítico donde un usuario está detenido exactamente en un mismo punto durante los últimos 15 minutos y por lo tanto su privacidad es nula.","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En este momento de la gestión se plantea construir un “criterio” o “regla” respecto a la relación entre la magnitud de la varianza y la posibilidad de detectar un punto de interés (Tarea Matemática B), para lo que se sugiere mostrar la diapositiva 34."},{"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/p-y-e/privacidad-aplicaciones/imgs/11.png","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"","tipo":"img","escala":"15"},{"eng":"","esp":"Comente que en esta imagen se han ilustrado las posiciones de un usuario que se encuentran espaciadas “regularmente” sobre una circunferencia de radio de \\(10\\) metros. Explique que se pueden convencer sin hacer cálculos que el centroide de dichas posiciones corresponde al centro de la circunferencia. Recuerde que la varianza “total” que se definió previamente corresponde al promedio de las distancias al cuadrado de cada posición al centroide, para plantear la siguiente pregunta. ","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","esp":"En este caso, ¿cuál es el valor de la varianza?
","eng":"","tipo":"momento"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Se espera que sus estudiantes se den cuenta que dado que la distancia desde las posiciones al centroide son siempre iguales a \\(10\\) metros, entonces la varianza es \\(10^2=100\\). Comente que este resultado es indistinto del número de puntos cuando estos se encuentran distribuidos regularmente sobre la circunferencia, y que en el caso general de radio \\(R\\) la varianza será \\(R^2\\)."},{"esp":"Tomando esto como inspiración, se sugiere que invite a sus estudiantes a realizar las preguntas de la Hoja de actividades, de la diapositiva 36, para establecer una relación entre la magnitud de la varianza y la posibilidad de detectar un punto de interés (Tarea Matemática B),","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"¿Cómo utilizarías la varianza para detectar un punto de interés?
¿A partir de qué valores de la varianza te parecen razonables para definir un punto de interés? Pueden inspirarse del caso de la circunferencia de radio \\(10\\,\\text{m}\\)
Una varianza pequeña con un valor cercano a \\(0\\) permite identificar un punto de interés, por lo que bastaría determinar la varianza y verificar si es cercana a \\(0\\).
Se puede definir un criterio que si los datos están a menos de \\(10\\,\\text{m}\\) del centroide entonces es un punto de interés. Luego, si hacemos el cálculo de la dispersión tomando este valor, tendríamos que un límite para la varianza puede ser \\(10^2=100\\). \n
- El punto promedio de una nube de puntos en el plano se llama “centroide”, cuyas coordenadas corresponden al promedio de sus abscisas y de sus ordenadas.
- La varianza de un conjunto de datos es una medida de dispersión de los mismos. Así por ejemplo, datos más concentrados tendrán menor varianza que datos más dispersos.
- Para datos bidimensionales, consideramos como varianza a la suma de las varianzas de cada coordenada.
- Cuando los datos corresponden a las ubicaciones durante el día de una persona, su medida de dispersión o varianza, sirve para definir el nivel de privacidad de dicha persona.
\\[ \\mu=\\frac{(x_1+ x_2+\\ldots + x_n)}{n} =\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n x_i . \\]
"}]},"4":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Estos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente el siguiente indicador de evaluación:","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"- Reconocer la varianza como una medida de dispersión y comparar en dos situaciones.
- Concluir respecto al nivel de privacidad de una persona justificando con la varianza de sus ubicaciones.
\\[ \\mu=\\frac{(x_1+ x_2+\\ldots + x_n)}{n} =\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n x_i . \\]
"}]}},"visible":true},"aspectosAConsiderar":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Medidas de Tendencia central y dispersión. "},{"eng":"","esp":"Media","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Dado un conjunto de datos \\(x_1,\\ldots,x_n\\) su media (o promedio) es la cantidad definida por","eng":""},{"eng":"","esp":"\\[ \\mu=\\frac{(x_1+ x_2+\\ldots + x_n)}{n} =\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n x_i . \\]
","tipo":"p"},{"esp":"Se puede pensar en la media como el número que está “en el centro” de todos los datos. ","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"h4","esp":" Varianza y desviación estándar"},{"esp":"La media es muy útil al analizar datos, pero puede ser insuficiente al momento de comprender cómo estos se distribuyen.","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Por ejemplo, consideremos los siguientes conjuntos de datos"},{"eng":"","esp":"\\[ \\{1, 1, 1, 1\\} \\text{ y } \\{2,-10,14,-2\\} \\]
","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Ambos conjuntos tienen una media igual a \\(1\\). Sin embargo, como nos podemos percatar, tienen una distribución bastante diferente. En el primer caso todos los datos son iguales mientras que en el segundo caso se observa una mayor \"dispersión\", es decir, los datos están más separados unos de otros. ","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"La varianza y la desviación estándar son medidas estadísticas que precisamente entregan información sobre la dispersión de un conjunto de datos. "},{"eng":"","esp":"Si \\(x_1,\\ldots,x_n\\) es un conjunto de datos, se define su varianza como","tipo":"p"},{"esp":"\\[Var=\\frac{(x_1-\\mu)^2+\\ldots+ (x_n-\\mu)^2)}{n}=\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n (x_i - \\mu)^2.\\]
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Es decir, la varianza representa el promedio de las desviaciones al cuadrado de los datos con respecto a la media. Cabe señalar que si solo consideramos la suma de las distancias, sin dividir por \\(n\\) (el número de datos), esta magnitud puede aumentar considerablemente, especialmente cuando el número de datos es grande. Por ello es que resulta necesario normalizar la suma dividiendo por \\(n\\). ","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, y usualmente se anota con la letra \\(\\sigma\\). Es decir,"},{"esp":"\\[ \\sigma=(\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n (x_i - \\mu)^2)^{1/2}. \\]
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"Así, la varianza suele anotarse como $\\sigma^2$. ","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"En el ejemplo que comentamos anteriormente, el primer conjunto tiene varianza cero, mientras que para el segundo la varianza es:","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"\\[ \\frac{1}{4}((2-1)^2 + (-10-1)^2 + (14-1)^2 + (-2-1)^1)=75.\\]
"},{"tipo":"p","esp":"En términos generales, podemos decir lo siguiente:","eng":""},{"esp":"- Una varianza o desviación estándar alta indica que los datos están dispersos alrededor de la media. Esto significa que hay una gran variabilidad en los datos.
- Una varianza o desviación estándar baja indica que los datos están agrupados más cerca de la media. Esto significa que hay menor variabilidad en los datos.
\\[F(x)=\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n (x_i - x)^2.\\]
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"La función \\(F\\) representa el promedio de las desviaciones al cuadrado de los datos con respecto al real \\(x\\). "},{"tipo":"p","esp":"La media \\(\\mu\\) corresponde al real en donde la función \\(F\\) alcanza su mínimo, es decir\n","eng":""},{"eng":"","esp":"\\[F(\\mu) \\leq F(x) \\ \\text{ para todo } x\\in \\mathbb{R}.\\]
","tipo":"p"},{"esp":"En palabras, la media es el punto que mejor se acerca a todos los datos. La demostración de este hecho puede ser deducida por ejemplo usando herramientas del cálculo diferencial, pero no lo abordaremos en esta actividad. Notar además que \\(F(\\mu)\\) no es más que la varianza de los datos definida anteriormente. ","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Media y varianza en dos dimensiones","tipo":"h4","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Cuando trabajamos con datos que poseen dos dimensiones, es decir que se representan en el plano, podemos realizar cálculos de media y varianza por cada coordenada. Esto nos permite analizar y entender mejor la distribución de los datos en cada eje. "},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Por ejemplo, si trabajamos con datos de dos coordenadas \\((x_1,y_1),(x_2,y_2),\\ldots, (x_n,y_n)\\), la media o promedio corresponde simplemente a calcular la media en cada coordenada. El vector de medias se denomina centroide y en esta actividad lo anotaremos como \\((x_c,y_c)\\). Es decir, \\(x_c = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n x_i\\), y \\(y_c = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n y_i\\). Notar que esto coincide con tomar el promedio en forma \"vectorial\":"},{"esp":"\\[(x_c,y_c)=\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n (x_i,y_i).\\]
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"En el caso de la varianza, se puede calcular una por cada coordenada:\n","tipo":"p","eng":""},{"esp":"\\(Var_x = \\sigma^2_x=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n (x_i-x_c)^2\\) y\n\\(Var_y = \\sigma^2_y=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n (y_i-y_c)^2.\\)\n
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Al igual que en el caso de una dimensión, un aspecto geométrico importante del centroide \\((x_c,y_c)\\) es que es aquel punto que minimiza el promedio (o suma) de las distancias euclidianas al cuadrado entre un punto \\((x,y)\\) y todos los puntos \\((x_1,y_1),\\ldots, (x_n,y_n)\\). Es decir, \\((x_c,y_c)\\) minimiza la función "},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\\[F(x,y) =\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n} (x_i - x)^2 + (y_i - y)^2.\\]
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En palabras, el centroide es el punto que mejor se acerca a todos los datos. \n"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Notar además que \\(F(x_c,y_c)\\) no es más que la suma de las varianzas de los datos, es decir, \\(Var_x+Var_y\\). "},{"eng":"","esp":"Otro aspecto que cabe señalar, es que al trabajar con vectores, para realizar un análisis estadístico más refinado de la dispersión se debe considerar una matriz de covarianzas, que incluye a las varianzas calculadas por cada coordenada. Este nivel de detalle va más allá del propósito de esta actividad y por tanto lo omitimos.","tipo":"p"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Dispersión de los datos","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Si observa que sus estudiantes no comprenden con claridad la noción de dispersión, o como esto se conecta con la noción de privacidad puede ayudarlos comentando alguna de las siguientes ideas: ","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- La dispersión de los datos hace referencia a cuán cercanos o alejados entre sí están los datos en una muestra. Por ejemplo, en el conjunto de 3 elementos \\(\\lbrace 2.9, 3, 3.1 \\rbrace \\) la dispersión es pequeña comparada con el conjunto \\(\\lbrace 1, 3, 5 \\rbrace\\), pues en el primer grupo los datos están más cerca unos de otros que en el segundo.
- En el contexto, lo que se quiere medir es cuán fácil es reconocer un punto de interés de un usuario. Así, cuando el historial de un usuario posee posiciones concentradas en torno a un punto, es decir, con una dispersión pequeña, es más probable que estemos en presencia de un punto de interés y, entonces, estos datos dan cuenta de una baja privacidad. Por lo tanto, es razonable medir la privacidad utilizando medidas de dispersión, que es lo que se hace en la actividad.
- Existen varias medidas de dispersión, entre las más comunes están la varianza y la desviación estándar. En esta actividad la medida propuesta utiliza la varianza.
Esta presentación interactiva puede ser utilizada para presentar el video de la situación en casos que no se disponga de un buen sistema de audio, o bien, puede ser de ayuda para detenerse y discutir en torno a diferentes elementos que aparecen en el video.
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/Como_nos_afecta_el_frio/pdfs/ppt_interactivo_adaptaciones_evolutivas.pdf"},{"eng":"","tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/G3D/Como_nos_afecta_el_frio/docs/ppt_interactivo_adaptaciones_evolutivas.pptx","titulo":{"esp":"Descargar Presentación Interactiva","eng":""}}],"investigacion":[{"esp":"Hoja de Actividades (Investigación)","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer el trabajo de las y los estudiantes en esta etapa del proyecto.","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20etapas/Hoja%20de%20Actividades%20-%20Investigaci%C3%B3n.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20etapas/Hoja%20de%20Actividades%20-%20Investigaci%C3%B3n.docx","recurso":"Descarga","eng":"","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"","esp":"Presentación (Investigación)","tipo":"h3"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada para apoyar la implementación en el aula de la o las clases vinculadas a esta etapa del proyecto","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20etapas/PPT%20-%20Investigaci%C3%B3n%20-%20G3D.pdf","tipo":"pdf"},{"recurso":"Descarga","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20etapas/PPT%20-%20Investigaci%C3%B3n%20-%20G3D.pptx"}],"creacion":[{"eng":"","esp":"Hoja de Actividades (Creación)","tipo":"h3"},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer el trabajo de las y los estudiantes en esta etapa del proyecto.","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20etapas/Hoja%20de%20Actividades%20-%20Creaci%C3%B3n.pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20etapas/Hoja%20de%20Actividades%20-%20Creaci%C3%B3n.docx","recurso":"Descarga","eng":"","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":""}},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (Creación)","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada para apoyar la implementación en el aula de la o las clases vinculadas a esta etapa del proyecto."},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20etapas/PPT%20-%20Creaci%C3%B3n%20-%20G3D.pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20etapas/PPT%20-%20Creaci%C3%B3n%20-%20G3D.pptx","eng":"","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":""},"recurso":"Descarga"}]},"generales":[{"eng":"","esp":"Infografía \"Aprendizaje Basado en Proyectos (ABP)\"","tipo":"h3"},{"esp":"En esta infografía se resumen los principales aspectos del diseño instruccional de las situaciones tipo proyecto de MatCon, así como también se detalla cuál es rol que se espera de docentes y estudiantes en este tipo de metodología educativa.","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/ABP_version%205.pdf","eng":""},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/ABP_version%205.pdf","tipo":"button","eng":""},{"esp":"Guía para implementar un proyecto","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"p","esp":"En este documento se profundiza en los principales aspectos del diseño instruccional de las situaciones tipo proyecto de MatCon, y en rol de estudiantes y docentes en este tipo de metodologías. Además se dan lineamientos para monitoreas y evaluar el progreso del proyecto.","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/Gu%C3%ADa%20para%20implementar%20un%20proyecto%20-%20vf.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/Gu%C3%ADa%20para%20implementar%20un%20proyecto%20-%20vf.pdf","recurso":"Descarga","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":""}},{"esp":"Documento \"¿Qué es el ciclo de modelamiento?\"","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"En este proyecto, las y los estudiantes abordarán un problema de modelamiento matemático y por tanto, deberán transitar por las distintas etapas del ciclo de modelamiento. En este documento encontrarás una breve explicación sobre el ciclo de modelamiento matemático y sus principales características.","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/%C2%BFQu%C3%A9%20es%20el%20ciclo%20de%20modelamiento_%20-%20vf.pdf","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":""},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/%C2%BFQu%C3%A9%20es%20el%20ciclo%20de%20modelamiento_%20-%20vf.pdf"},{"esp":"Documento \"Una posible respuesta\"","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":"En este documento sea ejemplifican diferentes estrategias de resolución que podrían seguir las y los estudiantes en las distintas etapas del proyecto.","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/Una%20posible%20respuesta%20-%20G3D%20-%20vf.pdf"},{"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/Una%20posible%20respuesta%20-%20G3D%20-%20vf.pdf","titulo":{"eng":"","esp":""},"recurso":"Descarga","tipo":"button"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Documentos de Evaluación"},{"eng":"","esp":"Autoevaluación","tipo":"h4"},{"esp":"Este documento contiene una propuesta de autoevaluación del trabajo realizado por las y los estudiantes durante el proyecto. Se sugiere que cada integrante de un grupo, realice esta autoevaluación al final de cada una de las etapas del proyecto.","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/Autoevaluaci%C3%B3n_Versi%C3%B3n_Estudiante.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/Autoevaluaci%C3%B3n_Versi%C3%B3n_Estudiante.docx","recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":""}},{"esp":"Coevaluación","eng":"","tipo":"h4"},{"esp":"Este documento contiene una propuesta de coevaluación del trabajo realizado por las y los estudiantes durante el proyecto. Se sugiere que cada integrante de un grupo, realice esta coevaluación al finalizar cada una de las etapas del proyecto.","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/Coevaluaci%C3%B3n_Versi%C3%B3n_Estudiante.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/Coevaluaci%C3%B3n_Versi%C3%B3n_Estudiante.docx","recurso":"Descarga","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":""}},{"eng":"","esp":"Sugerencias y rúbricas para la evaluación","tipo":"h4"},{"esp":"En este documento se detallan una serie de rúbricas que pueden ser utilizadas para evaluar el aprendizaje y las producciones de las y los estudiantes a lo largo del proyecto. Además, se especifican los lineamientos generales utilizados para construirlas..","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/Sugerencias%20para%20la%20evaluaci%C3%B3n%20-%20vf.pdf"},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/Sugerencias%20para%20la%20evaluaci%C3%B3n%20-%20vf.pdf","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":""}]},"aspectosAConsiderar":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Relación área y volumen","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"La razón entre el área superficial de un cuerpo geométrico y su volumen \\((SA:V)\\) es un parámetro muy importante en ciencias naturales, pues se relaciona con algunos fenómenos como la transferencia de calor y la velocidad de las reacciones químicas. Esta razón representa cuánto superficie de contacto tiene el cuerpo con el medio por cada unidad cúbica de volumen.","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En la siguiente tabla se presentan las razones entredecic área superficial y volumen para algunos cuerpos geométricos conocidos."},{"eng":"","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"75","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/como-nos-afecta-frio/imgs/esp/tabla-cuerpos.png"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Como se observa en la tabla, la razón \\(SA:V\\) no es una constante para cada cuerpo, pues depende de las dimensiones de este. Es decir, la razón \\(SA:V\\) depende tanto de la forma del cuerpo como de su volumen. Al aumentar el volumen de un cuerpo su área superficial puede mantenerse, aumentar o disminuir."},{"esp":"Por ejemplo, los cuerpos que se representan a continuación tienen igual volumen pero distinta razón \\(SA:V\\):","eng":"","tipo":"p"},{"caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/como-nos-afecta-frio/imgs/esp/GUION%20FRIO_2.png","eng":"","escala":"75","titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado"},{"eng":"","esp":"Cambios en la razón \\(SA:V\\) al aplicar homotecias 3D","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Al igual que la homotecia 2D, la homotecia 3D es una transformación isométrica que genera un modelo a escala, pero en tres dimensiones. Al aplicar una homotecia a un cuerpo, la razón \\(SA:V\\) no se mantiene constante, pues mientras el área aumenta o disminuye de manera cuadrática, el volumen lo hace de manera cúbica. En el siguiente ejemplo se representa esta situación en el caso de una homotecia de razón \\(2\\) aplicada a un cubo unitario."},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/como-nos-afecta-frio/imgs/esp/GUION%20FRIO_3.png","escala":"50","eng":"","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Consideraciones generales","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para desarrollar este proyecto, es necesario tener en cuenta: "},{"esp":"- El enfoque del proyecto se centra en que los estudiantes trabajen en forma colaborativa en la consecución de un objetivo o un desafío que puede presentarse como una pregunta, un problema o desafío. Este desafío debe surgir desde sus propios intereses o inquietudes.
- El proyecto se desarrolla en cuatro etapas: desafío, investigación, creación y comunicación.
- Si bien, el desarrollo del proyecto se apoya en el proceso de modelización, no hay que confundir sus etapas del proyecto con las fases del ciclo de modelización.
- \n
Entender y simplificar. los estudiantes se familiarizan con la situación y se plantean un desafío interesante para ellos, involucra entender y simplificar la situación.
En este caso, se espera que reconozcan la utilidad de la regla de Bergmann para abordar la hipótesis, en particular deben identificar la importancia de la razón SA : V.
Involucra que propongan y justifiquen un modelo geométrico del cuerpo humano que permita obtener el área superficial (SA) y el volumen (V).
\n Matematizar y trabajar matemáticamente. Se espera que identifiquen las variables relevantes de la situación y las expresen adecuadamente para determinar el área superficial y volumen del cuerpo humano. Por ejemplo, para el torso identifican su radio (rt) y su largo (lt).
Trabajar matemáticamente. Trabajan con el modelo matemático, aplican procedimientos, algoritmos y estrategias de cálculo para estimar cantidades importantes. Por ejemplo, para el cálculo de la superficie y volumen sustituyen en las expresiones correspondientes.
Interpretar y validar. Los estudiantes interpretan los resultados matemáticos en relación con la situación real, en otras palabras, dotan de significado a los resultados matemáticos e identifican sus implicaciones para el problema que se plantearon en el desafío inicial.
Se debe propiciar que los estudiantes discutan críticamente los alcances y limitaciones de las soluciones propuestas y reflexionen sobre otras formas de abordar el problema. En caso de ser necesario se sugiere proponer a los estudiantes que replanteen sus modelos y busquen uno que mejor describa la situación. También se puede sugerir que contrasten sus modelos. \n
- ¿Cuál es la situación que se presenta en el video?
- ¿Por qué creen que ocurre este fenómeno?
- ¿Qué pasaría si los dos pingüinos están en el mismo ambiente?
- ¿Pasaría lo mismo con dos humanos?
- Si un adulto y un niño se encuentran en un lugar muy frío, ¿qué esperan que pase? \n
- ¿Cuál es la regla de Bergmann? ¿Qué relación tiene con la situación planteada?
- ¿Qué es la hipotermia? ¿Cuándo ocurre?\n
- ¿La cantidad de grasa corporal es un factor relevante para desarrollar o no hipotermia?
- ¿Qué otros factores son importantes para determinar el riesgo de una persona a sufrir hipotermia? ¿Cómo se relacionan estos factores con el tamaño del cuerpo humano?
- ¿Cómo esta información se relaciona con la situación planteada en el video inicial? \n
- ¿Por qué esta información es relevante o te ayuda a probar la hipótesis que plantean?\n
- ¿Qué información aporta lo acaban de investigar / descubrir?\n
\nAdemás, es importante recordar a los estudiantes la importancia del trabajo en equipo, los roles de cada uno (revisar anexo) y la necesidad de documentar sus procesos de solución. Considere para el trabajo en esta etapa tres sesiones de clase, sin embargo usted puede organizarlo como mejor se acomode a su programación del curso."},{"esp":"El objetivo de esta etapa es que los estudiantes prueben la hipótesis:\n","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"Las personas adultas tienen menor riesgo de sufrir hipotermia que los niños en un clima frío.","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Es importante que los estudiantes tengan clara la hipótesis que deben probar, por lo que se sugiere que al inicio de esta etapa expresen dicha hipótesis. Puede iniciar solicitando que respondan a instrucción:","eng":""},{"esp":"- Describe con tus palabras la hipótesis que deseamos probar.
- De los datos que encontraron ¿qué información es importante para probar o rechazar la hipótesis?
\\[\\left(\\frac{SA}{V}\\right)_{adulto} <\\left( \\frac{SA}{V}\\right)_{infante}\\]
"},{"tipo":"p","esp":"donde identifican la relevancia del área superficial (SA) y volumen (V). ","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Además, deben tener en consideración que las condiciones para dar respuesta a la hipótesis son que ambas personas están en el mismo lugar, por lo que la temperatura es la misma para ambos. Se trata de personas sanas y no son adultos mayores, ni recién nacidos. \n
Se descarta la cantidad de ropa que cada uno tiene puesta. "},{"eng":"","esp":"Plantee la siguiente pregunta con la intención de dirigir la atención hacia la regla de Bergman. ","tipo":"p"},{"esp":"- ¿Cómo podemos utilizar esta información para probar o rechazar la hipótesis?
- Describe/ justifica cuál es el modelo geométrico que utilizarás para resolver la hipótesis
- Explica qué información ha sido descartada para la construcción del modelo geométrico.
- El ancho de los brazos no cambia significativamente entre el brazo y el antebrazo.
- De forma similar se asume que el ancho de las piernas desde la cadera a la rodilla no cambia significativamente desde la rodilla al pie.
- ¿Qué datos matemáticos son necesarios para determinar la razón SA:V?
\\[SA = \\text{Area}_{torso}+\\text{Area}_{piernas}+\\text{Area}_{cabeza}+\\text{Area}_{brazos} - \\text{Area Comun}_{torso/brazos} - \\text{Area Comun}_{torso/piernas}\\hspace{0.2cm}(\\star ) \\]\n
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"\\[V = \\text{Volumen}_{torso}+\\text{Volumen}_{piernas}+\\text{Volumen}_{brazos}+\\text{Volumen}_{cabeza}\\hspace{0.2cm}(\\star \\star) \\]\n
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Solicite a sus estudiantes que expliquen cómo determinaron el área y el volumen de los cuerpos considerados (puede revisar posibles estrategias en el documento “Una posible Respuesta” disponible en la sección “Recursos Generales”)\n","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Con las ecuaciones () y () anteriores, es posible obtener el cociente entre el área superficial y volumen para el modelo geométrico de cuerpo humano propuesto, siempre que se conozcan las variables del modelo. ","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"- ¿Qué datos necesitas para trabajar con el modelo que has obtenido?
- ¿Cómo puedes relacionar la información relevante del cuerpo humano con las expresiones matemáticas que identificaste?
- Torso: radio del torso (\\(r_t\\) ) y su largo ( \\(l_t\\) )
- Aquí el docente podría facilitar a los estudiantes el material de las tallas y contornos para adulto y niño, y solicitar a los estudiantes que seleccionen una talla y creen una tabla con los valores promedio.
- Los estudiantes podrían tomar datos concretos de un adulto y un niño y completar la tabla 1 (puede consultar tablas de ejemplo en el documento “Una posible Respuesta”). De ser necesario puede facilitar a los estudiantes una huincha y solicitar que completen la tabla con las medidas.
- ¿Qué información ofrece la relación SA:V para un adulto y un niño?
- ¿La hipótesis que planteaste es verdadera?
\\[\\left(\\frac{SA}{V}\\right)_{adulto} <\\left( \\frac{SA}{V}\\right)_{infante}\\]
","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Es importante que los estudiantes tengan presente durante todo el proceso que esto es lo que desean probar."},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"- ¿Cómo puedes usar tu modelo para analizar otras situaciones?
- Busca una manera de comprobar que los resultados para el área superficial que encontraste son correctos.
- ¿Cómo podrías mejorar tu modelo?
- Hipótesis a probar / pregunta
- Planificación para el desarrollo del proyecto
- Debe incluir: datos relevantes, datos descartados, modelo del cuerpo humano, expresiones matemáticas utilizadas, resultados relevantes, conclusiones y reflexiones finales.
- ¿Cuáles fueron las etapas del proyecto que desarrollamos? ¿Cuál de ellas fue la más desafiante?
- ¿Cómo la matemática me permitió resolver el desafío planteado?
- ¿Qué logramos realizar con este proyecto? ¿Cómo se conecta con el mundo real?
- ¿Qué aspectos podríamos mejorar del trabajo realizado como equipo?
El video titulado “Estadística y salud” proporciona información acerca de la vida de Florence Nightingale, su destacado legado en enfermería, y cómo aplicó la estadística y el análisis de datos para contribuir a la mejora de la atención médica.
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/salud%20digital/28%20Salud%20y%20estadi%CC%81stica%20subt.mp4","tipo":"video","eng":""},{"titulo":{"eng":"Descargar video","esp":"Descargar video"},"eng":"","recurso":"Descarga","tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/salud%20digital/28%20Salud%20y%20estadi%CC%81stica%20subt.mp4"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 4)"},{"eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/salud%20digital/ppt_urgencias_respiratorias_1mo.pdf","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/salud%20digital/ppt_urgencias_respiratorias_1mo.pptx","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Descargar Presentación"},"recurso":"Descarga","eng":"","tipo":"button"},{"esp":"Presentación Interactiva","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"Esta presentación interactiva puede ser utilizada para presentar el video de la situación en casos que no se disponga de un buen sistema de audio, o bien, puede ser de ayuda para detenerse y discutir en torno a diferentes elementos que aparecen en el video.
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Urgencias_respiratorias/pdfs/ppt_interactivo_salud_digital_I.pdf"},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":"","titulo":{"eng":"Descargar Presentación Interactiva","esp":"Descargar Presentación Interactiva"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Urgencias_respiratorias/docs/ppt_interactivo_salud_digital_I.pptx"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Hoja de actividades","eng":""},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Salud_Digital/Documentos/hoja%20de%20actividades/Hoja%20de%20Actividades%201ro_U4_OA12.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Hoja de Actividades"},"tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Salud_Digital/Documentos/hoja%20de%20actividades/Hoja%20de%20Actividades%201ro_U4_OA12.docx"},{"eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 5 a 49)","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/salud%20digital/ppt_urgencias_respiratorias_1mo.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/salud%20digital/ppt_urgencias_respiratorias_1mo.pptx","eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""}},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Base de datos “Urgencias respiratorias”"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Base de datos ajustada con los datos del problema para el hospital pediátrico Dr. Luis Calvo Mackenna (Santiago).
"},{"titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Base de datos 1"},"eng":"","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Salud_Digital/bases%20de%20datos/Urgencias%20hospitalarias%20respiratorias.xlsx","tipo":"button"},{"esp":"Base de datos “Urgencias hospitalaria respiratorias V2”","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"Base de datos ajustada con los datos del problema para otros tres hospitales de Chile:
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"- Hospital San Juan de Dios (La Serena)
- Hospital Dr. Gustavo Fricke (Viña de Mar)
- Hospital Clínico Regional Dr. Guillermo Grant Benavente (Concepción)
Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/salud%20digital/ppt_urgencias_respiratorias_1mo.pdf"},{"tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""},"recurso":"Descarga","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/salud%20digital/ppt_urgencias_respiratorias_1mo.pptx"}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Guía Práctica","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes puedan evaluar sus aprendizajes.
","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/salud%20digital/gp_urgencias_respiratorias_1mo.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/salud%20digital/gp_urgencias_respiratorias_1mo.docx","recurso":"Descarga","eng":"","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía Práctica"}},{"esp":"Base de datos","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"Esta base de datos contiene datos de distintos pacientes, para los que se midieron los minutos diarios de actividad física y sus niveles de glucosa en la sangre. Estos datos se utilizan en la primera pregunta de la guía práctica.","tipo":"p"},{"titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Base de datos"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/salud%20digital/Base%20de%20datos%20Glucosa.xlsx","recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":""}]}},"visible":true},"visible":true,"recursosProyecto":[],"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Momento de Enganche","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositivas 2 y 3, Presentación)","eng":"","tipo":"h4"},{"esp":"Presente el Video “Estadística y salud”. El objetivo de este video es fomentar la discusión sobre la relevancia de la estadística en salud, destacando el aporte de Florence Nightingale. Para ello se sugieren las siguientes preguntas:
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"- \n
- ¿Cuáles fueron los aportes de Florence Nightingale? \n\n
- ¿Cómo podría aportar la estadística a la salud pública de un país? \n
Se espera que las y los estudiantes reconozcan que recopilar y analizar datos en el ámbito de la salud permite reunir información sobre enfermedades, tratamientos y resultados para luego identificar patrones, tendencias o posibles factores de riesgo. El caso de Florence Nightingale al analizar los datos de los militares hospitalizados durante la guerra es un ejemplo claro de esto.
"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Presentación del problema"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositiva 4, Presentación)"},{"esp":"Presente a sus estudiantes la siguiente situación, que guiará el desarrollo de la clase:
","tipo":"p","eng":""},{"recurso":"Pregunta","eng":"","tipo":"momento","esp":"En determinados períodos del año, las consultas de urgencia saturan el sistema de salud por afecciones respiratorias. Además, algunas de estas consultas derivan en hospitalización, reduciendo la cantidad de camas disponibles.\n\nPara anticipar la necesidad de recursos hospitalarios en estos períodos, es importante estudiar cómo varían las hospitalizaciones respiratorias en función de las consultas respiratorias en los servicios de urgencia pediátrica en distintos meses del año."},{"esp":"A continuación se proponen actividades para que sus estudiantes puedan trabajar en este problema. ","tipo":"p","eng":""}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Primera parte","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"(Diapositiva 5, Presentación) ","tipo":"h4"},{"tipo":"p","esp":"Para comenzar, inicie una conversación sobre el tema con el propósito de identificar variables de interés para abordar la problemática y clarificar conceptos. (Tarea matemática A). Para guiarla se proponen las siguientes preguntas:
","eng":""},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Pregunta","esp":"- \n
- ¿Cómo creen que influye el período del año en la demanda hospitalaria? \n
- ¿Has escuchado cuando dicen que en cierto hospital hay “tantas” camas ocupadas?, ¿qué crees que significa eso?, ¿será lo mismo para todos los períodos del año?, ¿de qué depende que haya más o menos camas disponibles? \n
Se espera que a partir de estas preguntas se acuerden las siguientes consideraciones:
\n- \n
- En los meses de invierno, cuando hay alta circulación de virus respiratorios hay más demanda hospitalaria. \n
- Cuando se mencionan las \"camas ocupadas\", se hace referencia a las hospitalizaciones, para lo cual un paciente necesita atención médica continua y especializada. \n
- La cantidad de camas disponibles depende, entre otros, de la cantidad de consultas respiratorias de urgencia que derivan en hospitalizaciones. \n
- ¿Qué variables son de interés para este problema?
Recoja las ideas de sus estudiantes y comente que en esta clase vamos a acotar los datos para enfocarnos en las variables que pueden ser relevantes para el análisis, pese a que este enfoque pueda generar conclusiones restringidas al conjunto de datos seleccionado, pues el objetivo es aprender de estas técnicas mediante el uso de una base de datos simplificada.
"},{"tipo":"p","esp":"Para ello, se decidió estudiar las consultas de urgencias de marzo y julio 2019 en un hospital pediátrico de Chile.
","eng":""},{"esp":"El análisis de estas variables permitirá examinar tendencias, patrones estacionales y posibles relaciones que pueden ser valiosas para la comprensión de la salud respiratoria en la población infantil de Chile.
","tipo":"momento","recurso":"Destacado","eng":""},{"eng":"","esp":"Luego de esta discusión, presente la Base de datos “Urgencias respiratorias” (que puede descargar en la sección de Recursos). Esta base de datos utiliza información del hospital pediátrico Dr. Luis Calvo Mackenna ubicado en Santiago, y en torno a ella se propone el trabajo que sigue en la lección. Sin embargo, en la sección de Recursos puede encontrar la Bases de datos “Urgencias respiratorias V2” con datos de otros tres hospitales regionales por si desea contextualizar el problema a su territorio.
","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Con el objetivo de entender la Base de datos “Urgencias respiratorias”, se sugiere dedicar un tiempo para que las y los estudiantes le den sentido a las variables consideradas en función de la problemática. Para ello se sugieren las siguientes preguntas:
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"- ¿Por qué crees que consideramos marzo y julio para el estudio?
Se espera que las y los estudiantes reconozcan que en ambos meses los niños/as asisten a clases y que son meses en diferentes estaciones del año. Además, se puede reconocer que julio es un mes con gran demanda de urgencias respiratorias.
"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 6 a 11, Presentación) ","eng":""},{"esp":"A continuación, entregue la Hoja de actividades y la Base de datos “Urgencias respiratorias” y promueva que en grupos resuelvan las preguntas 1, 2, 3 de la Actividad 1. El objetivo de estas preguntas es asegurar que sus estudiantes comprenden los datos entregados.
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"- ¿Cuántas urgencias del tipo respiratorio hubo el 3 de julio de 2019? ¿Cuántas de estas requirieron hospitalización?
- En 2019, ¿cuántas consultas respiratorias de urgencia más que en marzo se realizaron en julio?
- ¿Cuál fue la mayor cantidad de hospitalizaciones diarias en marzo y julio?
- El 03 de julio de 2019 hubo 126 consultas de urgencias a causa de afecciones respiratorias y 16 de ellas requirieron hospitalización.
- Se llevaron a cabo 1704 consultas respiratorias de urgencia más en julio que en marzo.
- En marzo, se registró un máximo de 4 hospitalizaciones, mientras que en julio este número aumentó a 30.
En lo que sigue se invita a resolver en plenario otras preguntas que ayudan a motivar la necesidad y/o utilidad de usar representaciones gráficas para observar más eficazmente el comportamiento de consultas y hospitalizaciones (Tarea Matemática B). Considere las siguientes preguntas:
"},{"tipo":"momento","eng":"","esp":"- En los meses de marzo y julio, ¿en cuántos días se superaron las 6 hospitalizaciones?
- Tanto para marzo y julio, ¿cuántas hospitalizaciones se observan cuando se tienen un rango entre 50 y 100 consultas de urgencia respiratoria? ¿Al compararlas qué puedes concluir?
- En los meses de marzo y julio, ¿se puede afirmar que, en general, el número de hospitalizaciones aumenta a medida que aumentan las consultas? \n
A partir de la discusión de las preguntas anteriores, se puede observar que responder a esas preguntas puede no ser tan rápido ni sencillo. Para discutir esto, se sugiere preguntar lo siguiente a sus estudiantes:
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"- ¿Qué dificultades encontraron en la organización de los datos para responder a las preguntas anteriores?
- Los datos están desordenados. Esto dificulta identificar patrones. Es esencial organizarlos para facilitar un análisis estadístico más eficiente, por ejemplo, ordenándolos de menor a mayor.\n
- \nGran cantidad de datos. Las tablas contienen múltiples variables con gran información. Analizarlas requiere un enfoque metódico y esfuerzo para seleccionar las adecuadas. Esto puede dificultar respuestas efectivas a preguntas de análisis, ya que la información puede ser confusa y poco accesible.
\n\nPresente el siguiente gráfico que corresponde a: Total de consultas de urgencia versus urgencias del tipo respiratorias para marzo. \n\n","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Salud_Digital/imgs/6.png","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Dedique un tiempo a explicar cómo se construyó este gráfico, apoyándose en las diapositivas 12 a la 15."},{"esp":"Complemente comentando que sus coordenadas corresponden a los valores de estas variables, ofreciendo una visualización directa de la distribución y la relación entre ellas. Al observar y analizar el gráfico podemos concluir que al haber más urgencias en este mes hay más urgencias del tipo respiratoria. ","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"momento","esp":"La nube de puntos es un gráfico en el plano cartesiano donde cada punto representa una observación que involucra dos variables relacionadas. Esta representación facilita la identificación de patrones, tendencias, correlaciones y valores atípicos.","recurso":"Destacado","eng":""},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 16 a 27, Presentación) ","eng":""},{"tipo":"p","esp":"A continuación, se propone que sus estudiantes construyan una nube de puntos (Tarea matemática D). Para simplificar esta actividad, en esta construcción inicial vamos a considerar sólo diez días por mes. Para ello, pida que realicen la Actividad 2 de la Hoja de Actividades.","eng":""},{"esp":"Construye una nube de puntos para los primeros 10 días de marzo y de julio, estableciendo la relación entre la cantidad de urgencias respiratorias y hospitalizaciones en un único gráfico. Incluye en el gráfico un título y el nombre de la variable representada en cada eje.\n","eng":"","tipo":"momento","recurso":"Actividades"},{"eng":"","esp":"Se espera que puedan identificar adecuadamente los ejes, establecer escalas apropiadas y obtener un gráfico como el siguiente:","tipo":"p"},{"caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Salud_Digital/imgs/7.png"},{"eng":"","esp":"Una vez hayan finalizado la construcción del gráfico, pida que respondan la pregunta 2 de la Actividad 2 de la Hoja de Actividades. Estas preguntas buscan que las y los estudiantes analicen una nube de puntos (Tarea Matemática E).","tipo":"p"},{"recurso":"Actividades","eng":"","esp":"\n2. A partir del gráfico, responde:
\n\na) Imagina que necesitas explicar el gráfico a un/a compañero/a que no pudo asistir a la clase. ¿Cómo describirías su contenido?
\n\nb) Para los 10 primeros días de marzo, ¿hubo algún día con más de 5 hospitalizaciones?
\n\nc) Para los 10 primeros días de julio, ¿cuántos días hubo entre 100 y 120 consultas de urgencias? ¿Y entre 120 y 140?
\n\nd) Para los 10 primeros días de julio, ¿observas algún punto que te llame la atención? ¿Por qué?\n","tipo":"momento"},{"eng":"","recurso":"Respuesta","esp":"- \n\n
- Cada punto graficado corresponde a un día específico, por ejemplo, el punto (126, 15) corresponde al día 1 de julio de 2019. Ese punto representa que ese día hubo 126 consultas de urgencia respiratoria, de las cuales 15 derivaron en hospitalización. \n\n
- No, en ningún día hubo más de 5 hospitalizaciones. \n\n
- 4 días hubo entre 100 y 120 consultas , y 6 días hubo entre 120 y 140 consultas. \n\n
- El punto de coordenadas (106, 0) se aleja bastante de los otros, por lo que podría considerarse un dato atípico. \n\n
- ¿Qué ventaja notaron al analizar la nube de puntos en lugar de las tablas?
\nPara concluir esta primera parte, se sugiere analizar la pregunta 3 de la Hoja de Actividades, con el propósito de establecer una conexión entre la labor realizada y la que se realizará en la segunda parte. ","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","recurso":"Actividades","esp":"3. Si ahora quisiéramos representar gráficamente las urgencias respiratorias y hospitalizaciones respiratorias de todos los días de un mes o incluso todos los días del año, ¿sería posible realizar este proceso manualmente? Fundamenta.","tipo":"momento"},{"tipo":"p","esp":"Se espera que comenten que técnicamente es posible realizar el proceso de construcción de una nube de puntos a mano si se tienen datos y herramientas adecuadas. Sin embargo, en la práctica, hacerlo a mano para un conjunto de datos de gran tamaño, sería una tarea extremadamente laboriosa y propensa a errores. Por lo tanto, se destaca la importancia de utilizar hojas de cálculo para llevar a cabo esta tarea de manera eficiente. \n","eng":""},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Segunda parte"},{"eng":"","esp":"(Diapositivas 28 a 46, Presentación) ","tipo":"h4"},{"esp":"En esta sección, se les recomienda utilizar la base de datos \"urgencias respiratorias\" y explorar la construcción de nubes de puntos mediante una hoja cálculo. Esta herramienta no solo simplifica la visualización y el análisis de los datos, sino que también ofrece un enfoque más eficiente y dinámico para abordarlos. \n
\nAhora resolverán la Actividad 3 de la Hoja de Actividades. Esta actividad busca que las y los estudiantes utilicen hojas de cálculo para graficar datos (Tarea matemática F). Muestre a la clase las diapositivas 28 a 34 en las qué se explica cómo crear una nube de puntos desde Hojas de cálculo de Google.\n
\nRecuerde a sus estudiantes la importancia de proporcionar títulos a los gráficos y asignar nombres a los ejes. Estos elementos permiten que cualquier lector comprenda rápidamente la información que se presenta en el gráfico y su contexto. En caso de no contar con computadores pueden realizarlo en conjunto con sus estudiantes proyectando desde un solo dispositivo. \n","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"momento","esp":"1. Construye la nube de puntos para las urgencias respiratorias y hospitalizaciones usando los datos de todos los días de marzo y julio de 2019, utilizando una hoja de cálculo.
\n\n2. Responde las siguientes preguntas relativas a la nube de puntos “Urgencias de tipo respiratorias v/s hospitalizaciones respiratorias, marzo y julio 2019”:
\na) ¿En qué rango fluctúan las variables en cada mes?
","recurso":"Actividades","eng":""},{"esp":"Se espera que el gráfico que se obtenga sea similar al siguiente: ","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Salud_Digital/imgs/8.png","alinea":"texto-centrado","eng":"","tipo":"img","escala":"50","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"eng":"","esp":""}},{"esp":"Se espera que a partir de la discusión de este nuevo gráfico las y los estudiantes reconozcan que:","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"
\nb) Identifica los valores atípicos.
\nc) ¿En cuál mes hay más consultas y hospitalizaciones?
\nd) ¿Cómo están distribuidos los puntos de marzo en comparación con los de julio?
\ne) ¿Se puede apreciar que a medida que aumentan las urgencias, también aumentan las hospitalizaciones? ¿Existe el mismo comportamiento en ambos meses?\n- En julio hay muchas más consultas y hospitalizaciones por causas respiratorias en servicios de urgencia que en marzo.
- \n\nSe observa un punto atípico para julio correspondiente a (106, 0).\n
- \nEl gráfico evidencia el hecho de que al haber muchas más consultas en julio, también hay muchas más hospitalizaciones. En julio se observa una tendencia donde a mayor número de consultas aumenta las hospitalizaciones.
- \n\nEn marzo no se aprecia una relación entre el número de consultas y hospitalizaciones. Puede apoyar esta idea con la diapositiva 36 en donde se resalta que no se aprecia tendencia alguna. \n
\nAl contrastar el análisis de datos a partir de una tabla con su representación visual en una nube de puntos, se destaca que la visualización gráfica ofrece una perspectiva visual inmediata de las relaciones y patrones en los datos. La nube de puntos facilita la identificación rápida de tendencias y puntos que se apartan del comportamiento general de los datos (datos atípicos). Por otro lado, la tabla proporciona información detallada y se puede utilizar para efectuar cálculos o filtrar datos. La combinación de ambos enfoques puede enriquecer significativamente la comprensión global de los datos y respaldar decisiones informadas.\n"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Sistematización"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositivas 50 a 53, Presentación)"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- La nube de puntos es un gráfico en el plano cartesiano donde cada punto representa una observación que involucra dos variables relacionadas. En esta clase relacionamos las urgencias del tipo respiratorio y las hospitalizaciones por esta misma afección en un hospital en Chile. Esta representación facilitó la identificación de patrones, tendencias, correlaciones y valores atípicos.
- Construir una nube de puntos utilizando hojas de cálculo es una manera eficiente y precisa para representar la relación entre variables.
- La decisión de representar los datos mediante nubes de puntos o tablas depende del contexto y de los objetivos del análisis. No obstante, la nube de puntos permite una visualización gráfica inmediata de las relaciones y patrones presentes en los datos.
- Al analizar los datos de los militares hospitalizados durante la Guerra de Crimea, Florence Nightingale se convirtió en una pionera en el uso de estadística en las ciencias de la salud. Hoy en día, existen diversas entidades dedicadas al estudio y análisis de datos relacionados con la salud pública. Estos análisis son claves para orientar la toma de decisiones en este ámbito.
Presente a sus estudiantes la Guía Práctica. Esta tiene por objetivo que las y los estudiantes construyan una nube de puntos y analicen representaciones de este tipo en otros contextos. Se sugiere que les apoye en la construcción de la nube de puntos utilizando los recursos de la Situación de Aprendizaje. Luego, dé espacio para que analicen y discutan los gráficos de las Actividades 2 y 3. Estas tareas pueden ser utilizadas para evaluar formativamente los siguientes indicadores:
"},{"eng":"","esp":"- Elaboran y describen gráficos de dispersión en una y en dos dimensiones.
- Describen nubes de puntos presentadas en el sistema de coordenadas.
La nube de puntos es una representación gráfica que corresponde a un conjunto de puntos o símbolos graficados sobre el plano cartesiano. Cada punto de la forma (x, y) representa una observación que considera dos variables cuantitativas. Esta representación permite una visualización directa de cómo se distribuyen los datos y de cómo se relacionan las variables entre sí. A través de la disposición y agrupación de estos puntos en el plano, se pueden identificar patrones, tendencias y correlaciones. Las nubes de puntos también se suelen llamar gráficos de dispersión.
","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"En general, cuando es posible identificar un patrón en el gráfico, se dice que las variables en cuestión están correlacionadas. Cuando la nube de puntos parece agruparse en torno a una recta, se habla de correlaciones lineales, las cuales se clasifican como:\n
","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"- \n
- Correlaciones lineales positivas: cuando ambas variables aumentan o disminuyen simultáneamente.\n \n
- Correlaciones lineales negativas: cuando una variable aumenta al disminuir la otra. \n
En la siguiente figura se observan algunas nubes de puntos y cómo se suelen clasificar:
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"100","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Salud_Digital/imgs/2.png","eng":"","caption":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Es importante considerar que no todas las correlaciones son lineales, como se representan en las siguientes nubes de puntos que muestran variables fuertemente correlacionadas:
"},{"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"100","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Salud_Digital/imgs/3.png","eng":""},{"eng":"","esp":"Valores atípicos","tipo":"h3"},{"esp":"Un valor o dato atípico es una observación extrema que no sigue el patrón o la tendencia general del resto de los datos. En un gráfico de dispersión, los valores atípicos son generalmente aquellos que se encuentran alejados del resto de las observaciones.
","tipo":"p","eng":""},{"caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Salud_Digital/imgs/4.png","alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50"},{"tipo":"p","esp":"Entre otras razones, los datos atípicos pueden provenir de:
","eng":""},{"eng":"","esp":"- \n
- Errores de procedimiento: errores en la toma o registro de los datos. \n
- Variabilidad de los datos: datos correctos que por alguna razón tienen un valor muy alejado del resto. \n
Los valores atípicos suelen afectar el promedio de los datos, el coeficiente de correlación, la varianza y otros parámetros matemáticos. Por ello, es importante identificarlos y tomar decisiones estadísticas para evitar que lleven a conclusiones erradas en el análisis e interpretación de los datos.
"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Tablas y gráficos para representar datos"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Las tablas son herramientas útiles cuando se trabaja con pocos datos, datos agrupados o variables cualitativas. Sin embargo, cuando se trabaja con un gran volumen de datos cuantitativos que presentan alta variabilidad, es la visualización gráfica la que facilita la interpretación de la información. Es importante que las y los estudiantes reconozcan el valor de los gráficos como una forma de visualizar de manera rápida y directa las tendencias o patrones en los datos que se están analizando.
"},{"esp":"En esta situación de aprendizaje se promueve el uso de hojas de cálculo para el trabajo y visualización de datos estadísticos. Tanto Google Sheets como Excel ofrecen diversos gráficos para representar datos y permiten hacerlo de manera automática. El manejo de las herramientas digitales disminuye considerablemente el tiempo de cálculo y de construcción de gráficos, permitiendo así una mayor dedicación al análisis y la interpretación de los resultados.
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Exploración visual de la correlación","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"La utilización de representaciones gráficas en el aula es una herramienta esencial al estudiar estadística, especialmente en el estudio de la correlación. En esta situación de aprendizaje, la construcción del concepto de correlación se realiza por medio del análisis del cambio conjunto de las variables (si ambas crecen juntas, si una crece cuando la otra decrece, o si ninguna de ellas crece o decrece), lo que se infiere gráficamente. En la actividad no se cuantifica la correlación, y se sugiere no hacerlo. Es importante colocar el foco de la atención en los aspectos conceptuales, en la identificación de patrones y en el planteamiento de hipótesis.
"},{"eng":"","esp":"Un error al interpretar correlaciones","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En una nube de puntos es posible que los datos correspondan a distintas categorías o agrupaciones, las cuales deben ser consideradas en la interpretación de la correlación. Por ejemplo, al observar la nube de puntos del gráfico adjunto, se podría pensar que a mayor fuerza en la mano, mayor grado de arteriosclerosis. Esta última interpretación es errónea, pues no se está considerando cómo el sexo explica las variaciones en las variables.
"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"","escala":"100","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/1_medio/Salud_Digital/imgs/5.png","caption":{"eng":"","esp":"Adaptado de: de Irala, J., Martínez-González, M. Á., & Grima, F. G. (2001). ¿ Qué es una variable de confusión? Medicina clínica, 117(10), 377-385.
"},"tipo":"img"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En la situación de aprendizaje se analizan como variables las consultas de urgencias y las hospitalizaciones para dos meses específicos. Es importante que cada mes se analice por separado, pues de otra manera, se estarían ignorando otras variables involucradas (como el cambio estacional).\n
"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Departamento de Estadísticas e Información de Salud (DEIS)"},{"esp":"En Chile, el Departamento de Estadísticas e Información de Salud (DEIS) está bajo el alero del Ministerio de Salud y se encarga de recopilar, analizar y difundir información relevante sobre salud en el país. Su misión incluye la generación de estadísticas, estudios e informes que contribuyan al conocimiento y la toma de decisiones en materia de salud pública. El DEIS recibe datos de los hospitales y centros de atención médica sobre casos de enfermedades, atenciones de urgencia, procedimientos médicos, nacimientos y defunciones.
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En particular en la actividad se utilizan los datos de urgencias hospitalarias para el hospital pediátrico Dr. Calvo Mackenna ubicado en Santiago , sin embargo, si quiere utilizar datos de un hospital diferente, puede encontrarlos en la siguiente página web: Atenciones de Urgencias DEIS
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Además en el apartado de recursos le entregamos una base de datos ajustada con los datos del problema para otros tres hospitales de Chile.
"},{"esp":"- \n
- Hospital San Juan de Dios (La Serena) \n\n
- Hospital Dr. Gustavo Fricke (Viña de Mar) \n\n
- Hospital Clínico Regional Dr. Guillermo Grant Benavente (Concepción) \n
Cabe señalar que todos estos datos se refieren al año 2019, elección deliberada para evitar la pandemia de COVID-19.
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Enfermedades respiratorias"},{"esp":"Algunas de las enfermedades consideradas en esta categoría son:
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"- \n
- Infecciones respiratorias agudas (IRA): incluyen resfriados comunes, influenza y otras infecciones respiratorias de corta duración. \n
- Neumonía: infección que inflama los sacos de aire en uno o ambos pulmones, generalmente causada por bacterias, virus u hongos. \n
- Bronquitis crónica: afección a largo plazo en la que los bronquios se inflaman y producen una cantidad excesiva de mucosidad, lo que puede dificultar la respiración. \n
- Enfermedad pulmonar obstructiva crónica (EPOC): caracterizadas por una obstrucción del flujo de aire. \n
- Asma: enfermedad crónica que afecta las vías respiratorias, provocando dificultad para respirar, sibilancias, opresión en el pecho y tos. \n
Muestre a sus estudiantes la Infografía “Calentamiento global” y dé un tiempo para que compartan sus opiniones respecto a las siguientes preguntas:
","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","esp":"- ¿Cuáles son los efectos en el planeta de las emisiones de \\(CO_2\\)?
- ¿Por qué es relevante reducir las emisiones de \\(CO_2\\)?
- ¿Qué representa el gráfico visto en la infografía?
A partir de las respuestas de sus estudiantes, haga notar que:
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"- Las emisiones de \\(CO_2\\) son uno de los principales factores que contribuyen al calentamiento global y el cambio climático. En particular, el incremento de la temperatura promedio del planeta tiene consecuencias directas, como el aumento de incendios forestales y la desaparición de los arrecifes de coral, por ejemplo.
- Reducir las emisiones futuras de \\(CO_2\\) es importante, ya que dependiendo del nivel de emisión podremos limitar el aumento de la temperatura, y mitigar en parte los efectos del calentamiento global.
- El gráfico muestra emisiones netas de \\(CO_2\\) del planeta Tierra y sus proyecciones en el futuro, con el propósito de alcanzar la meta de reducirlas a cero en el año 2050.\n
Comente a sus estudiantes que en esta clase calcularán las emisiones acumuladas de \\(CO_2\\), medidas en \\(Gt CO_2\\), para distintos escenarios propuestos, similares a los que los científicos han estimado.
","tipo":"p"},{"esp":"Para esto, presente a sus estudiantes las proyecciones realizadas, que apuntan a alcanzar la emisión neta 0 en el año 2050.
","tipo":"p","eng":""},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/emisiones%20co2/guion-1.png","alinea":"texto-centrado","eng":"","tipo":"img"},{"tipo":"momento","recurso":"Destacado","esp":"A partir del gráfico y los escenarios proyectados:
\n\n- Aclare que las emisiones netas de \\(CO_2\\) corresponden a la diferencia entre las emisiones por actividades industriales y las absorbidas por distintos mecanismos, como la forestación y la tecnología de captura de \\(CO_2\\).
- Haga notar que en ambos escenarios se proyecta una transición común, en la cual el planeta mantiene la tendencia histórica del periodo 2000-2020 en sus niveles de emisiones, mientras se logran acuerdos a nivel internacional para reducir efectivamente las emisiones a partir de 2025.
- Comente que a partir de 2025 se consideran dos escenarios: uno realista, en el cual la reducción de las emisiones es moderada en un comienzo y se intensifica con el paso de los años, mientras que en el escenario optimista se contempla una reacción activa en la disminución de las emisiones desde un comienzo de este período.
A continuación, realice la siguiente pregunta:
","eng":""},{"eng":"","tipo":"momento","esp":"¿Cómo podemos calcular la cantidad de \\(CO_2\\) acumulada en este período de tiempo para estos dos escenarios?
","recurso":"Pregunta"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Modelando los escenarios de emisiones futuras","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 6 a 10, Presentación)","eng":""},{"esp":"Para comenzar esta sección, plantee a sus estudiantes que, para modelar los escenarios “optimista” y “realista”, se propone utilizar funciones cuadráticas que siguen el comportamiento descrito para cada uno de estos escenarios. Las funciones propuestas son:
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"- Escenario optimista:
- Escenario realista:
También señale que, para simplificar los cálculos, la variable \\(t\\) representa los años transcurridos desde el año 2000. Así por ejemplo, el año 2020 corresponde al valor \\(t=20\\).\n
","tipo":"p","eng":""},{"caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"100","eng":"","alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/emisiones%20co2/escenarios-proyecciones-v1f.png"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En caso de que lo considere necesario, puede utilizar el siguiente recurso GeoGebra para explicar cómo se han construido ambas curvas y los valores que puede tomar la variable \\(t\\). El recurso permite mover un punto sobre las curvas y observar sus coordenadas."},{"eng":"","tipo":"iframe","recurso":"Geogebra","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/skjmepxb/width/625/height/446/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"A continuación, plantee la siguiente pregunta a sus estudiantes:
"},{"recurso":"Pregunta","esp":"¿De qué manera podemos estimar la cantidad de \\(CO_2\\) acumulada en cada escenario en el periodo 2020-2050?
","tipo":"momento","eng":""},{"esp":"A partir de las respuestas de sus estudiantes, comente que:
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- El gráfico muestra las emisiones netas de \\(CO_2\\) a lo largo del tiempo, donde el área bajo la curva representa las emisiones acumuladas para todo este período. Dado que contamos con la expresión algebraica para cada escenario, una manera de estimar el total acumulado hasta el año 2050 es usar la integral.
La integral definida es un concepto que se utiliza para calcular el área bajo la curva de una función en un intervalo específico. Se denota comúnmente como \\(\\int_{a}^{b} f(x)dx\\), donde \\(f(x)\\) es la función que describe la curva, y \\(a\\)y\\(b\\) son los límites inferior y superior del intervalo, respectivamente.
\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/Emisiones_de_CO2/imgs/int_def_a_b.png\")
Para calcular una integral definida en un intervalo \\([a,b]\\), se debe realizar el siguiente procedimiento:
- Encontrar la antiderivada: Una antiderivada de la función \\(f(x)\\), denotada normalmente como \\(F(x)\\), es una función en la que, en el intervalo \\([a,b]\\), se cumple que:\n\\[ F’(x) = f(x)\\]\nes decir, que al derivar \\(F(x\\)) , obtenemos \\(f(x)\\)
- Evaluar la antiderivada en los límites superior e inferior y restarlos, respectivamente: \\[ F(b) - F(a)\\]
- Matemáticamente, el valor de la integral definida corresponde a esta última expresión calculada:\n\n\\[\\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)\\]\n\n\n
Para ejemplificar este cálculo de integrales y su evaluación, muestre a sus estudiantes los pasos a seguir para calcular las emisiones acumuladas en uno de los escenarios. Por ejemplo, estimar la cantidad de \\(CO_2\\) emitido en el escenario realista, entre los años 2025 y 2050, plantee a los y las estudiantes la siguiente pregunta:\n
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","recurso":"Pregunta","esp":"¿Cómo podemos determinar el área bajo la curva que permite estimar la cantidad de emisiones acumuladas de \\(CO_2\\) del período 2025-2050, de acuerdo con el modelo propuesto para el escenario “realista”?
","tipo":"momento"},{"esp":"A partir de las respuestas de sus estudiantes, muestre que:\n
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","esp":"- Considerando el período y escenario en que fueron hechas estas proyecciones, las emisiones de \\(CO_2\\) están descritas por la función: \\[ f(t) = -0{,}09 t^2 + 5{,}05 t - 27{,}5 \\]
- \n\n\n\nPara calcular la integral definida, debemos encontrar una antiderivada \\(F\\) en la que se cumple que:\n\n\n\\[ F’(t) = f(t)\\]
- \n\nPor lo tanto, podemos calcular las emisiones de ese período calculando la integral definida de \\(f(t)\\), en el intervalo de tiempo 2025-2050:\n\n\\[\\int_{25}^{50} f(t)dt\\ = F(50)-F(25)\\]
Haga notar que para calcular la expresión anterior, es necesario conocer una antiderivada de la función \\(f(t)\\). Dado que esta función es un polinomio, puede ser útil para sus estudiantes recordarles cómo calcular la antiderivada de un polinomio de grado \\(n\\).\n
"},{"tipo":"momento","eng":"","esp":"Antiderivada de un polinomio de grado \\(n\\)\n
\n\nPara calcular la antiderivada de un polinomio de grado \\(n\\), es útil saber las antiderivadas de términos conocidos dentro de un polinomio, por ejemplo, una antiderivada de \\(x\\) es \\(\\frac{1}{2}x^2\\) y una de \\(x^2\\) es \\(\\frac{1}{3}x^3\\)\n
\n\n\nEn general, una antiderivada de la función \\(q(x)=Ax^n\\) con \\(A\\) constante y \\(n\\ge 0\\) está dada por
\n \\[ Q(x) = \\frac{A}{n+1}x^{n+1} \\]\n\nPara calcular la antiderivada de un polinomio basta con calcular la antiderivada de cada término y luego sumar o restar según corresponda, manteniendo los coeficientes.\n
\n\nA modo de ilustración, si tenemos la función \\(f(x) = 5x^2 -7x + 4\\) la antiderivada de \\(5x^2\\) es \\(\\frac{5}{3}x^3\\), la de \\(-7x\\) es \\(\\frac{-7}{2}x^2\\) y la de \\(4\\) es \\(4x\\). Luego sumamos o restamos y obtenemos que
\n \\[F(x) = \\frac{5}{3}x^3 - \\frac{7}{2}x^2 + 4x\\]","recurso":"Destacado"},{"esp":"(Diapositivas 13 a 16, Presentación)","eng":"","tipo":"h4"},{"eng":"","esp":"A continuación, entregue la la Actividad 1 de la Hoja de Actividades, en la que sus estudiantes deberán expresar el área bajo la curva de una función usando integrales definidas (Tarea Matemática A), en particular, calcularán la integral de un polinomio de grado 2 (Tarea Matemática B)
","tipo":"p"},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","esp":"Actividad 1
\nEl siguiente gráfico muestra las emisiones netas de \\(CO_2\\) en el escenario realista para el período 2020-2050, Se muestra pintado de rojo la cantidad de \\(CO_2\\) acumulada entre 2025 y 2050 .
\n\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/emisiones%20co2/ha-img-1.png\")
El escenario realista está descrito por la siguiente función:\n
\n\\[f(t) = \\left\\{ \\begin{array}{cl}\n \\frac{t}{2} + 30 &\\text{ si }\\ 20 \\leq t \\leq 25 \\\\ \n-0{,}09 t^2 + 5{,}05 t - 27{,}5 &\\text{ si } \\ 25 < t \\leq 50 \n\\end{array} \\right. \\]\n\nAl ser una función por partes, para calcular lo acumulado desde el 2020 al 2050, podemos calcular lo acumulado desde el año 2020 al 2025 y sumarle lo acumulado desde el 2025 hasta el 2050.
\n\n
- \nCalcula una antiderivada de la función \\(f(t)\\), considerando solamente el período 2025-2050 del escenario realista.
- Usando la antiderivada anterior, calcula la cantidad de \\(CO_2\\) acumulada entre 2025 y 2050 en este escenario.\n
Pida a sus estudiantes que respondan las preguntas de esta actividad. Luego, haga una puesta en común para analizar las respuestas.
"},{"recurso":"Respuesta","tipo":"momento","esp":"Para la primera pregunta, se espera que identifiquen que la función para este tramo y escenario es \\(f(t) = -0{,}09 t^2 + 5{,}05 t - 27{,}5\\), por lo tanto, una antiderivada de \\(f(t)\\) es:\n
\n\n\\[ F(t) = \\frac{-0{,}09}{3} t^3 + \\frac{5{,}05}{2}t^2 + 27{,}5t\\]\n\n\nPara la segunda pregunta, se espera que los y las estudiantes identifiquen que el cálculo pedido corresponde a evaluar la función \\(F(t)\\) en \\(t=50\\) y \\(t=25\\) y restar estos valores:\n
\n\n\\[F(50) = \\frac{-0{,}09}{3} \\cdot (50)^3 + \\frac{5{,}05}{2} \\cdot (50)^2 - 27{,}5\\cdot (50) = 1187{,}5 \\]\n\\[F(25) = \\frac{-0{,}09}{3} \\cdot (25)^3 + \\frac{5{,}05}{2} \\cdot (25)^2 - 27{,}5\\cdot (25) = 421{,}87\\]\n\\[\\int_{25}^{50} f(t)dt = F(50)-F(25) = 765{,}63 \\text{ Gt}CO_2\\]\n","eng":""},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 17 a 19, Presentación)"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"A continuación, muestre a sus estudiantes cómo calcular la cantidad de \\(CO_2\\) acumulada en el escenario realista para el período de 2020 a 2050, considerando que aún falta calcular una parte de este período. Puede mostrar los siguientes pasos:\n
"},{"eng":"","esp":"El escenario realista está descrito por la siguiente función:
\n\n\\[f(t) = \\left\\{ \\begin{array}{cl}\n \\frac{t}{2} + 30 &\\text{ si } \\ 20 \\leq t \\leq 25 \\\\ \n-0{,}09 t^2 + 5{,}05 t - 27{,}5 &\\text{ si } \\ 25 < t \\leq 50 \n\\end{array} \\right. \\]\n\nNos falta aún calcular el \\(CO_2\\) acumulado desde el año 2020 al 2025. En este período, \\(f(t) = \\frac{t}{2} + 30\\)
- Debemos calcular:
- Calculamos una antiderivada \\(F(t)\\) para la expresión que queremos integrar:
- Evaluamos la antiderivada en los límites superior e inferior de este periodo:
- Calculamos la integral, restando los dos valores calculados anteriormente\n\n\n
- Por lo tanto, en el escenario realista, las emisiones de \\(CO_2\\) acumuladas para el periodo de 2020 a 2025 son \\(206{,}25 \\text{ Gt}CO_2\\)
- Recordando que, en el período 2025-2050 las emisiones de \\(CO_2\\) acumuladas eran de \\(765{,}63 \\text{ Gt}CO_2\\), tenemos que, en el escenario realista, las emisiones acumuladas en el período 2020-2050 son:
El escenario realista está descrito por la siguiente función:
\n\n\\[f(t) = \\left\\{ \\begin{array}{cl}\n \\frac{t}{2} + 30 &\\text{ si } \\ 20 \\leq t \\leq 25 \\\\ \n-0{,}09 t^2 + 5{,}05 t - 27{,}5 &\\text{ si } \\ 25 < t \\leq 50 \n\\end{array} \\right. \\]\n\nNos falta aún calcular el \\(CO_2\\) acumulado desde el año 2020 al 2025. En este período, \\(f(t) = \\frac{t}{2} + 30\\)
- Debemos calcular:
- Calculamos una antiderivada \\(F(t)\\) para la expresión que queremos integrar:
- Evaluamos la antiderivada en los límites superior e inferior de este periodo:
- Calculamos la integral, restando los dos valores calculados anteriormente\n\n\n
- Por lo tanto, en el escenario realista, las emisiones de \\(CO_2\\) acumuladas para el periodo de 2020 a 2025 son \\(206{,}25 \\text{ Gt}CO_2\\)
- Recordando que, en el período 2025-2050 las emisiones de \\(CO_2\\) acumuladas eran de \\(765{,}63 \\text{ Gt}CO_2\\), tenemos que, en el escenario realista, las emisiones acumuladas en el período 2020-2050 son:
A continuación, entregue la Hoja de Actividades, y presente la Actividad 2, en las que las y los estudiantes deben expresar el área bajo la curva de una función usando integrales definidas (Tarea Matemática A), calcular la integral de un polinomio de grado 2 (Tarea Matemática B) y comparar lo emitido en cada escenario proyectado.
"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Emisiones acumuladas en el escenario optimista"},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Actividades","esp":"Actividad 2
\nConsidera la proyección de las emisiones para el escenario optimista, que está descrito por la expresión algebraica:
\n\\[g(t) = \\left\\{ \\begin{array}{cl}\n \\frac{t}{2} + 30 &\\text{ si } \\ 20 \\leq t \\leq 25 \\\\ \n0{,}07 t^2 - 6{,}95 t + 172{,}5 &\\text{ si } \\ 25 < t \\leq 50 \n\\end{array} \\right. \\]![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/emisiones%20co2/ha-img-2.png\")
- Calcula las emisiones acumuladas de \\(CO_2\\) entre 2020 y 2050 que se obtienen calculando el área bajo la curva, de acuerdo con el modelo matemático propuesto para el escenario optimista. Expresa tus cálculos usando dos cifras decimales.
- Compara las emisiones netas de ambos escenarios, ¿qué puedes concluir acerca de las probabilidades de limitar el alza de temperatura a \\(1{,}5^{\\circ} C\\)? \n\n
\n\n
"},{"esp":"Monitoree el trabajo de los estudiantes y luego discutan las respuestas obtenidas.
","eng":"","tipo":"p"},{"recurso":"Respuesta","esp":"Para la primera pregunta, se espera que identifiquen que el primer tramo de esta función es el mismo para ambos escenarios, por lo tanto, ya fue anteriormente calculadas estas emisiones para el período 2020-2025, siendo igual a \\( 206{,}25 \\ Gt\\)\n
\n\nPara el segundo tramo, definido por la expresión: \\(0{,}07 t^2 - 6{,}95 t + 172{,}5 \\). Al calcular una antiderivada de \\(g(t)\\), podemos usar la función \\(G(t)\\):
\n\\[ G(t) = \\frac{0{,}07}{3} \\cdot t^3 - \\frac{6{,}95}{2} \\cdot t^2 + 172{,}5 \\cdot t \\]\n\nUna vez calculada la antiderivada, se espera que los y las estudiantes identifiquen que el cálculo pedido para este tramo corresponde a evaluar la función \\(G(t)\\) en \\(t=50\\) y \\(t=25\\) y restar estos valores:\n
\n\n\\[G(50) = \\frac{0{,}07}{3} \\cdot (50)^3 - \\frac{6{,}95}{2} \\cdot (50)^2 + 172{,}5 \\cdot (50) = 2851,17\\] \\[G(25) = \\frac{0{,}07}{3} \\cdot (25)^3 - \\frac{6{,}95}{2} \\cdot (25)^2 + 172{,}5 \\cdot (25) = 2505{,}21\\]Por lo tanto, la integral:
\n\\[\\int_{25}^{50} f(t)dt\\ = G(50)-G(25) = 345{,}96 \\]es decir, en el escenario optimista, se estima que las emisiones netas de \\(CO_2\\) para el período 2025 -2050 son \\( 345{,}96 \\text{ Gt}CO_2\\)
\nRecordando que en el periodo de 2020 a 2025 las emisiones son \\(206{,}25 \\text{Gt}\\), en el escenario optimista, las emisiones acumuladas en el período 2020-2050 son:\n
\n\\[206{,}25 +345{,}96 = 552{,}21 \\text{ Gt}CO_2\\] \n","eng":"","tipo":"momento"},{"esp":"A partir de los cálculos realizados, muestre a sus estudiantes la diferencia entre las emisiones asociadas al escenario realista y el optimista. Haga notar que las emisiones del escenario realista son casi el doble que las del optimista, aun cuando inician y terminan en el mismo nivel de emisiones netas. Es decir, no da lo mismo la manera en que se alcanza la meta de cero emisiones para el 2050. Estas diferencias en las emisiones de CO2 en ambos escenarios, podrían impactar directamente en la posibilidad de mantener los \\(1{,}5^{\\circ} C\\) de aumento de temperatura de la Tierra en 2050.","eng":"","tipo":"momento","recurso":"Destacado"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Sistematización"},{"esp":"(Diapositiva 27 a 30, Presentación)","eng":"","tipo":"h4"},{"esp":"En base a lo realizado en clases, sistematice las siguientes ideas:
\n\n- \n
- La integral definida es un concepto en cálculo que se utiliza para calcular el área bajo la curva de una función en un intervalo específico. Se denota comúnmente como \\(\\int_{a}^{b} f(x)dx\\), donde \\(f(x)\\) es la función que describe la curva, y a y b son los límites inferior y superior del intervalo, respectivamente
- Para calcular una integral definida se puede realizar el siguiente procedimiento:\n
- \n
- \nEncontrar una antiderivada: Una antiderivada de la función \\(f(x)\\), denotada normalmente como \\(F(x)\\), es una función en la que se cumple que:\n\\[F'(x) = f(x)\\]\nes decir, que al derivar \\(F(x)\\) , obtenemos \\(f(x)\\)\n
\n \n - \nEvaluar la antiderivada en los límites superior e inferior y restarlos:\n\n\\[ F(b) - F(a)\\]\n
\n \n - \n\nEl valor de la integral definida corresponde a esta última expresión:\n\n\\[\\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)\\]\n
\n \n
\n - \nEncontrar una antiderivada: Una antiderivada de la función \\(f(x)\\), denotada normalmente como \\(F(x)\\), es una función en la que se cumple que:\n\\[F'(x) = f(x)\\]\nes decir, que al derivar \\(F(x)\\) , obtenemos \\(f(x)\\)\n
- \nUna antiderivada de la función \\(q(x)=Ax^n\\) con \\(A\\) constante y \\(n\\ge 0\\) está dada por:\n\n\\[ Q(x) = \\frac{A}{n+1}x^{n+1} + C \\]\n\ndonde \\(C\\) es una constante. Notar que se verifica que \\(Q’(x)=q(x)\\). De esta manera, para un polinomio de la forma:\n\n \\[ f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \\dots + a_1x + a_0 \\]\n\ndonde \\(a_{n},a_{n-1}, \\dots ,a_1,a_0 \\) son constantes, su antiderivada queda definida por la suma de las antiderivadas de cada uno de sus términos, es decir, una antiderivada es\n\\[ F(x) = \\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \\frac{a_{n-1}}{n}x^{n}+ \\cdots + \\frac{a_1}{2}x^{2} + a_0x + C \\]\n\n \n
- Pudimos constatar que las emisiones del escenario realista son casi el doble que las del optimista, aun cuando inician y terminan en el mismo nivel de emisiones netas. Es decir, no sólo es importante alcanzar la meta de cero emisiones para 2050, sino que también la manera en que se alcanzará la meta también lo es. Las diferencias en las emisiones de CO2 en ambos escenarios, podrían impactar directamente en la posibilidad de mantener los 1,5° C de aumento de temperatura de la Tierra en 2050 \n\n
\n- \n
- En la pregunta 1, es importante asegurarse que las y los estudiantes comprendan que la integral \\(\\int_0^17f(t)dt) corresponde al total de solución aplicada durante las 17 horas de tratamiento. Si es necesario, puede detenerse en la explicación de este punto, mostrando que el área bajo la curva en este contexto tiene unidades de mL. \n
- En la pregunta 2, se espera que las y los estudiantes reconozcan que deben obtener la antiderivada de una función polinómica, evaluarla en los límites del período y restar estos resultados para obtener la dosis total que fue administrada al paciente. \n
- En la pregunta 3, es posible que más de algún estudiante piense que la mitad de la dosis total se administró en la mitad del tiempo, es decir, que \\(x = 8,5\\) horas. En este caso, puede hacerles notar que, dada la forma de la curva esto no es así. Dé tiempo para que sus estudiantes analicen este problema, guiandolos a que reconozcan que lo que se busca es un x tal que,\n\n\\[\\int_0^{x} f(t) dt = 22,4\\text{ mL}\\] \n\nSi bien, las y los estudiante no podrán despejar x a partir de la ecuación que se desprende de la igualdad anterior, puede mostrarles cuál es el valor positivo que satisface la ecuación y cómo se visualiza la mitad del área bajo la curva:\n \n
- Resuelven problemas relacionados con calcular el área bajo la curva usando integrales.
- Determinan antiderivadas de funciones para determinar la integral definida, en contextos científicos, económicos y cotidianos.
La infografía “Calentamiento global” describe este fenómeno, presenta proyecciones de emisiones de \\(CO_2\\), sus efectos en el aumento de la temperatura promedio global y los riesgos asociados a estos escenarios.
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/emisiones%20co2/info-emisiones-ldi.pdf"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/emisiones%20co2/info-emisiones-ldi.pdf","eng":"","recurso":"Descarga"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 6)"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/emisiones%20co2/ppt-emisiones-ldi.pdf","eng":""},{"titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"eng":"","tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/emisiones%20co2/ppt-emisiones-ldi.pptx"}]},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Hoja de actividades"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/emisiones%20co2/ha_emisiones_ldi.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/emisiones%20co2/ha_emisiones_ldi.docx","eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"button"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 7 a 26)"},{"eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/emisiones%20co2/ppt-emisiones-ldi.pdf"},{"eng":"","recurso":"Descarga","tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/emisiones%20co2/ppt-emisiones-ldi.pptx","titulo":{"eng":"","esp":""}},{"esp":"Recursos Interactivos","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":" Geogebra I","tipo":"h4","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Este recurso GeoGebra puede ser utilizado para explicar cómo se han construido ambas curvas que describen los escenarios de emisiones futuras que se estudiarán en la lección y los valores que puede tomar la variable \\(t\\). El recurso permite mover un punto sobre las curvas y observar sus coordenadas."},{"tipo":"iframe","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/skjmepxb/width/625/height/446/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","eng":"","recurso":"Geogebra"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"Geogebra II"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Este recurso GeoGebra muestra la suma por la izquierda para el área bajo la curva de uno de los escenarios de emisiones futuras estudiados en la situación. Puede ser utilizado para ilustrar el hecho de que en este contexto, la unidad del área corresponde a \\(GtCO_2\\)."},{"esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dawhhkta/width/674/height/481/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","tipo":"iframe","eng":"","recurso":"Geogebra"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"esp":"Presentación (diapositiva 28 a 30 )","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/emisiones%20co2/ppt-emisiones-ldi.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"tipo":"button","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/emisiones%20co2/ppt-emisiones-ldi.pptx"}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Guía Práctica"},{"tipo":"p","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes apliquen en un contexto similar lo aprendido en esta situación. En particular, la interpretación de la integral definida en contexto, y su cálculo, mediante por medio de la antiderivada de funciones polinómicas.
","eng":""},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/emisiones%20co2/gp_emisiones_ldi.pdf"},{"eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/emisiones%20co2/gp_emisiones_ldi.docx","tipo":"button"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Recursos Interactivos"},{"eng":"","esp":"Este recurso GeoGebra se ha diseñado para ayudar a las y los estudiantes a comprendan la función con la que se trabaja en esta sección. que describe el caudal en función del tiempo. El recurso permite mover un punto sobre las curvas y observar sus coordenadas.","tipo":"p"},{"esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zced8ph5/width/833/height/404/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","tipo":"iframe","eng":"","recurso":"Geogebra"}],"visible":true}},"visible":true},"aspectosAConsiderar":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"En esta sección recordaremos los conceptos de área bajo la curva, integral definida, antiderivada y Teorema Fundamental del Cálculo. También recordaremos en particular, la expresión de la antiderivada de un polinomio de grado \\(n\\).
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Área bajo la curva e integral definida "},{"eng":"","tipo":"p","esp":"La integral definida es un concepto que se utiliza para calcular el área bajo la curva de una función en un intervalo específico. Se denota comúnmente como \\(\\int_{a}^{b} f(x)dx\\), donde \\(f(x)\\) es la función que describe la curva, y \\(a\\) y \\(b\\) son los límites inferior y superior del intervalo, respectivamente.
"},{"alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/Emisiones_de_CO2/imgs/int_def_a_b.png"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Antiderivada de una función"},{"eng":"","esp":"Sean \\(f(x)\\) y \\(F(x)\\) funciones tales que para todo \\(x\\) en el intervalo \\([a,b]\\) se cumple que\n
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\\[F’(x)=f(x),\\]\n"},{"tipo":"p","esp":"entonces se dice que \\(F(x)\\) es una antiderivada de \\(f(x)\\) en ese intervalo. Notar que si \\(F(x)\\) es una antiderivada de \\(f(x)\\), entonces \\(F(x)+C\\), con \\(C\\) es una constante cualquiera, también es una antiderivada de \\(f(x)\\).
","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Hay ciertas propiedades de la antiderivada que se “heredan” de las propiedades de la derivada:
","eng":""},{"tipo":"p","esp":"- Sea \\(k\\) un escalar y \\(F(x)\\) una antiderivada de \\(f(x)\\), entonces una antiderivada de \\(k\\cdot f(x)\\) es \\(k\\cdot F(x)\\).
- Sean \\(F(x)\\) y \\(G(x)\\) antiderivada de \\(f(x)\\) y \\(g(x)\\), entonces una antiderivada de \\(f(x)\\pm g(x)\\) es \\(F(x)\\pm G(x)\\).
Sea \\(f(t)\\) una función continua en el intervalo \\([a,b]\\). Se define \\(F(x) = \\int_{a}^x f(t)dt,\\) con \\(a\\le x\\le b\\), a la función que permite calcular el “área bajo la curva”, es decir, el área de la región delimitada por el eje \\(t\\), la gráfica de la función \\(f(t)\\) y las rectas \\(t=a\\) y \\(t=x\\).
","tipo":"p","eng":""},{"escala":"50","eng":"","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/Emisiones_de_CO2/imgs/integral_a_x.png"},{"esp":"El Teorema Fundamental del Cálculo establece que si \\(f\\) es una función continua en un intervalo \\([a,b],\\) entonces la función \\(F(x) = \\int_{a}^x f(t)dt,\\) con \\(a \\leq x \\leq b,\\) es derivable en \\(]a,b[,\\) y su derivada es
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":" \\[F'(x)=f(x)\\]\n","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"En palabras, el TFC establece que «la derivada de la función área bajo la curva es igual a la función de la curva», o de manera equivalente, que «la función \\(F(x)\\) del área bajo la curva es una antiderivada de \\(f(x)\\)».
","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Notemos que el TFC describe la relación entre la derivada y la integral. Podemos observar que, si primero integramos \\(f\\) y luego derivamos el resultado, volvemos a obtener la función original \\(f.\\)\n
","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/emisiones%20co2/2.png","escala":"25","eng":"","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img"},{"eng":"","esp":"El TFC permite asegurar que para toda función continua \\(f(t),\\) la integral \\(F(x) = \\int_{a}^x f(t)dt\\)) es una antiderivada de \\(f(x).\\) También nos dice que si una función es continua, entonces tiene antiderivada.
","tipo":"p"},{"esp":"Una consecuencia del TFC es que si \\(f(x)\\) es una función continua en \\([a,b],\\) y \\(\\varphi(x)\\) es cualquier antiderivada de \\(f(x),\\) entonces
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"\\[ \\int_{a}^b f(x)dx=\\varphi(b)-\\varphi(a),\\]","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Una notación usual para lo anterior es
","eng":""},{"tipo":"p","esp":"\\[ \\int_{a}^b f(x)dx = \\varphi(x)\\Big|_a^b, \\]","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"donde \\(\\varphi(x)\\Big|_a^b = \\varphi(b)-\\varphi(a).\\)\n
"},{"esp":"Lo anterior establece que si conocemos una antiderivada \\(\\varphi\\) de \\(f\\) podemos determinar el valor de \\(\\int_{a}^b f(x)dx\\) evaluando la antiderivada en los bordes del intervalo \\([a,b]\\) y calculando la diferencia.
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"Antiderivada de un polinomio de grado \\(n\\)","eng":""},{"eng":"","esp":"Para esta situación se calcularán integrales de polinomios.
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Recuerde que la antiderivada de la función \\(q(x)=Ax^n\\) con \\(A\\) constante y \\(n\\ge 0\\) está dada por\n
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"\\[ Q(x) = \\frac{A}{n+1}x^{n+1} + C, \\]\n"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"donde \\(C\\) es la constante de integración. Notar que se verifica que \\(Q’(x)=q(x)\\). \n
"},{"tipo":"p","esp":"De esta manera, para un polinomio de la forma \\(f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \\dots + a_1x + a_0\\), donde \\(a_{n},a_{n-1}, \\dots ,a_1,a_0 \\) son constantes, su antiderivada es la suma de las antiderivadas de cada uno de sus términos, es decir, su antiderivada es
","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"\\[ F(x) = \\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \\frac{a_{n-1}}{n}x^{n}+ \\cdots + \\frac{a_1}{2}x^{2} + a_0x + C, \\]"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"en donde se incluye la constante de integración \\(C\\). Notar que se verifica que \\(F’(x)=f(x)\\).
"},{"esp":"Por ejemplo, si tenemos la función \\(f(x) = 5x^2 -7x + 4\\), su antiderivada incluyendo la constante de integración \\(C\\), viene dada por la expresión:\n
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":" \\[F(x) = \\frac{5}{3}x^3 - \\frac{7}{2}x^2 + 4x+C\\]","eng":""}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":" Integral definida en el contexto de la situación","tipo":"h3"},{"esp":"\nEn esta situación se abordará el concepto de integral definida como área bajo la curva, y en este contexto como el valor de emisiones de \\(CO_2\\) totales acumuladas en un periodo de tiempo. Puede ser útil recalcar a sus estudiantes la interpretación de la integral definida no solo como una idea aislada de área, sino que también, como la interpretación ya dicha en el contexto. Es relevante recordar que la integral definida en un intervalo consiste en el cálculo de la antiderivada, evaluarla en sus extremos y luego sustraer ambos valores. \n
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"La curva que define las emisiones de \\(CO_2\\) es una función por tramos, con una función afín en el periodo 2020-2025 (etapa de transición común) y una parabólica en 2025-2050 (optimista o realista). Es importante que sus estudiantes noten ello y distingan las expresiones para cada intervalo de tiempo, en el cálculo de las integrales.
","eng":"","tipo":"p"},{"escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/emisiones%20co2/guion-1.png","eng":"","alinea":"texto-centrado"},{"esp":"Tanto la función afín como la parabólica son polinomios, y es común en el cálculo de la antiderivada olvidar aumentar en \\(1\\) el exponente del término \\(x^n\\) o también no recordar dividir por “\\(n+1\\)”, o asimismo olvidar que la antiderivada de una constante \\(K\\) es \\(Kx\\). Sus estudiantes también se pueden confundir al derivar en vez de antiderivar. Es importante que considere estos aspectos y que los haga notar a sus estudiantes. \n
","eng":"","tipo":"p"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Calentamiento global y emisiones de CO2","eng":""},{"tipo":"p","esp":"El calentamiento global es el aumento de la temperatura del planeta, producido por los gases de efecto invernadero como el dióxido de carbono \\((CO_2)\\), el metano \\((CH_4)\\), óxido nitroso \\((N_2O)\\), entre otros, que retienen en la atmósfera el calor de la luz del sol.
","eng":""},{"tipo":"p","esp":"En el informe del 2019 del Panel Intergubernamental del Cambio Climático IPCC de las Naciones Unidas, al igual que en otras fuentes, se estima que desde el periodo pre-industrial (1850 - 1900) hasta la actualidad, las actividades humanas han provocado un aumento de alrededor de +1°C de la temperatura del planeta, y se prevé que podría llegar a ser entre +1.5°C y 2°C en torno al 2050.
","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Según este reporte, si en las siguientes décadas hay una disminución sostenida que llegue a cero emisiones netas alrededor del 2050, se podría limitar el aumento de la temperatura a solo 1.5°C. En cambio, el aumento de la temperatura se podría limitar solo a 2°C, si las emisiones netas llegan a cero en el periodo 2065 - 2080.
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Se considera que para alcanzar los objetivos de emisiones nulas, siguiendo con ciertas actividades industriales que producen gases de efecto invernadero, es necesario que hayan iniciativas que permitan “absorber” o “remover” las emisiones en la atmósfera, como por ejemplo la reforestación, el desarrollo de tecnologías de absorción del \\(CO_2\\), entre otras.
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En los párrafos anteriores hemos utilizado el término “emisiones netas”, que corresponden a la diferencia entre las emisiones producidas y las absorbidas.\n
"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Proyecciones de reducción de emisiones de CO2 "},{"eng":"","esp":"Con el propósito de simplificar el problema, en esta situación se modelará y abordará el caso en el se toman medidas efectivas de disminución de emisiones desde el 2025 y se alcanzan emisiones netas nulas el año 2050. Se considerarán dos escenarios:
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"- \n
- Un escenario con una disminución sostenida desde el 2025, que llamaremos “optimista”.\n\n \n
- Un escenario en el que a partir del 2025 las emisiones siguen en aumento pero a un menor ritmo y que a alrededor del 2030 comienzan a disminuir, al que llamaremos “realista”. \n\n \n
Dado que el reporte que se dispone es del 2019, se propone una etapa de “transición” en el periodo 2020 - 2025 que sigue la tendencia histórica de 2000 - 2020, como un margen de tiempo en el que los distintos países empiezan a poner en marcha políticas públicas de disminución de emisiones, y para el desarrollo de tecnologías. \n
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Estos escenarios se inspiraron en las proyecciones hechas por el IPCC, que se presentan a continuación. En estos gráficos se muestran las emisiones netas de \\(CO_2\\) mediante las curvas de color verde, cuyas unidades son Giga-toneladas, que abreviaremos como \\(GtCO_2\\). Estas emisiones netas corresponden a la diferencia entre las emisiones producidas y las absorbidas o removidas, provenientes de:\n
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"- La industria y combustibles fósiles (gris).
- La agricultura, silvicultura y otros usos del suelo (marrón).
- Captura y almacenamiento de \\(CO_2\\) (amarillo). \n\n
El gráfico de la izquierda, representa el escenario “optimista” que consiste en un «escenario intermedio en el que el desarrollo social y tecnológico siguen tendencias históricas. Las reducciones en las emisiones se logran principalmente cambiando el modo en que se producen la energía y los productos, y en menor grado reduciendo la demanda».
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"El gráfico de la derecha, representa el escenario “realista” que consiste en un «escenario intensivo en en uso de recursos y energía en el que el crecimiento económico y la globalización conducen a la adopción generalizada de estilos de vida asociados a altas emisiones de gases de efecto invernadero, incluida una alta demanda de combustibles para el transporte y productos agropecuarios. Las reducciones en las emisiones se logran principalmente por medios tecnológicos, utilizando intensamente la absorción de dióxido de carbono mediante la aplicación de captura y almacenamiento de carbono».\n
"},{"eng":"","esp":"Considerando la forma de las curvas que proyectan las emisiones netas de \\(CO_2\\) en los gráficos anteriores, aproximaremos las curvas por polinomios de grado \\(2\\). En el escenario “optimista” utilizaremos una parábola abierta hacia arriba, mientras que en el escenario “realista”, una parábola abierta hacia abajo.
","tipo":"p"},{"esp":"Es importante considerar que las emisiones de \\(CO_2\\) pasadas ya generaron un aumento de temperatura y lo seguirán generando mientras dichas emisiones se encuentren en la atmósfera. Esto debido a que la absorción natural del \\(CO_2\\) ocurre a lo largo de varios siglos. Por esta razón, solo nos enfocaremos en las emisiones a futuro del periodo 2020-2050.
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Muchos países se han comprometido a limitar el aumento de temperatura del planeta a 1.5°C. Esto no solo depende de alcanzar emisiones nulas de aquí al 2050, sino que también de las emisiones totales de \\(CO_2\\) del periodo 2020-2050, es decir, a la acumulación de las emisiones anuales a lo largo de este periodo. En efecto, en el reporte del IPCC se estima por un parte, que si entre 2020 y 2050 las emisiones acumuladas son inferiores a 570 Giga-toneladas, entonces hay una “alta” probabilidad de limitar el aumento de temperatura a 1.5°C. Por otra parte, si las emisiones acumuladas entre 2020 y 2050 son del orden de 770 Giga-toneladas, entonces hay una probabilidad “media” de limitar el aumento de temperatura a 1.5°C.\n
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"El reporte del IPCC lo puede encontrar en el siguiente link.\n
"}]}},"visible":true}},"74":{"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Momento de Enganche","tipo":"h3"},{"esp":"(Diapositivas 2 a 7, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Presente la infografía “La forma de nuestro planeta” a sus estudiantes. En ella se abordan algunas demostraciones históricas y cotidianas respecto al hecho de que la Tierra es una esfera. También se menciona la existencia de grupos que discuten este hecho y algunos de sus argumentos. En particular, la afirmación de que la “Tierra es plana” porque se “ve” plana. Esto último será relevante para motivar el desarrollo de la lección, para lo cual puede plantear preguntas como las siguientes:"},{"eng":"","recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"- A través de la historia, ¿cómo se ha comprobado que la Tierra no es plana?\n
- Si la Tierra es esférica, ¿por qué la percibimos como si fuera plana?\n
- ¿Cómo podríamos probar este hecho?\n
- ¿Porque en una superficie plana la caída será siempre cero?\n
- ¿Cómo podríamos describir la idea “de que vemos la Tierra plana” en términos de la caída?\n
- Como en una superficie plana no hay curvatura, no se producirá la diferencia de altura a la que llamamos caída.\n
- La idea “de ver la Tierra plana” se puede interpretar como un símil de “no percibir la caída”, pues esta es “muy pequeña”. \n
En lo que sigue, las y los estudiantes deben reconocen que, cuando una diferencia de altura es muy pequeña en relación con la distancia desde la que se observa, puede volverse imperceptible a simple vista. (Tarea Matemática B).
","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"
\n\nEn este punto, se espera que las y los estudiantes relacionen la idea de no percibir la curvatura de la Tierra con la dificultad de percibir la caída. Sin embargo, es importante que sus estudiantes comprendan que la facilidad o dificultad de percibir la caída depende de las dimensiones del objeto esférico. Esta puede ser una idea difícil de comprender si no se acompaña de un ejemplo concreto. Por lo mismo, se sugiere ocupar un ejemplo como el siguiente para ilustrarla,1. Consideren una rueda de la fortuna cuyo radio es de 60 m. Suponiendo que estamos en el punto más alto y miramos en línea recta al horizonte (distancia d), el carro que está justo pasando por la mitad de la rueda define una caída (distancia h) también de 60 m. Es decir, esos 60 m representan el 100 % de la distancia d. Notemos que estos 60 m de altura, son fácilmente perceptibles por nosotros. \n
"},{"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","escala":"50","eng":"","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/Tierra%20no%20plana/img/4.png","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"esp":"2. Pensemos ahora en la Tierra. ¿Cuál será la distancia d para la cual se obtiene una caída h igual a 60 m ? En este caso, es posible demostrar que en la Tierra, cuando h = 60 m, entonces d es aproximadamente 28 km. Es decir, para que ocurra una caída de 60 m en la Tierra la distancia d debe ser de 28 km. \n\n
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"De hecho, si tomamos el cociente \\(\\frac{h}{d}\\) obtenemos \\(\\frac{0.06\\,km}{22\\,km}\\approx 0,0027\\), es decir, la caída representa el \\(0,27\\%\\) de la distancia d. Lo anterior da cuenta de que la caída de 60 m, que en el ejemplo de la rueda de la fortuna era fácilmente perceptible, en el caso de la Tierra no la percibimos la caída se produce demasiado lejos, lo que se refleja en que el cociente h/d tiene un valor muy cercano a cero.
\n\nNotemos que en el caso de la rueda de la fortuna la caída de 60 ocurre cerca del punto de observación. De hecho, el cociente \\(\\frac{h}{d}\\) en ese caso era igual a 1. \n"},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","eng":"","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/Tierra%20no%20plana/img/5.png"},{"eng":"","esp":"- Se sugiere dedicar el tiempo que considere suficiente para que las y los estudiantes incorporen lo expuesto en el segundo punto. En particular, la noción de que en el ejemplo de la Tierra, el cociente \\(\\frac{h}{d}\\) es muy pequeño (ie. cercano a cero), razón por la cual tenemos la idea de que la Tierra es plana. Pues en torno a esta idea se desarrollará el resto de la lección.
\nSi lo considera necesario, antes que sus estudiantes trabajen en la Actividad 1 recuérdeles que para caída \\(h\\) es posible asociar una distancia \\(d\\), dada por la intersección entre la tangente al punto de observación y la caída \\(h\\). Puede mostrar nuevamente el siguiente esquema para clarificar esto:\n"},{"alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/tierra-plana/esquema-h-d.png","caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","escala":"40"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":"","esp":"Actividad 1.
\n1. Completa la siguiente tabla con los valores \\(\\frac{h}{d}\\).
"},{"esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/Tierra%20no%20plana/img/7.png\")
\n
\n2. Interpreta los valores de la última fila de la tabla.\n\nActividad 1
","tipo":"momento","eng":"","recurso":"Respuesta"},{"eng":"","esp":"Mientras sus estudiantes completan la tabla de la Actividad 1, cerciórese de que están determinando \\(\\frac{h}{d}\\) y no \\(\\frac{d}{h}\\). Este error podría ocurrir debido a cómo están dispuestas las columnas en la tabla.\n","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Puede ilustrar para la mejor comprensión de sus estudiantes lo anterior con la siguiente idea:
\n1.![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/Tierra%20no%20plana/img/8.png\")
\n
\n2. Si pudiéramos ver 125 km hacia al horizonte, se aprecia una caída de 1 km, por lo que no seríamos capaces de percibirla, pues la caída es muy pequeña en relación con esa distancia.
\n\nConsideremos la diferencia de altitud entre dos ciudades como San Fernando y Santiago, en Chile, suponiendo que ambas están ubicadas a nivel del mar. Si proyectáramos una línea recta (como un rayo láser) desde la superficie terrestre en Santiago en dirección a San Fernando, esa línea pasaría ligeramente por encima de la superficie de la Tierra, debido a la curvatura del planeta. A lo largo de unos 140 km (la distancia aproximada entre ambas ciudades), la desviación vertical entre la línea recta y la superficie terrestre sería de alrededor de 1,5 km, lo que nos permite imaginar que el láser trazado desde Santiago pasaría aproximadamente a 1,5 km sobre las cabezas de los habitantes de San Fernando. ","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\nA partir de los valores de la tabla las y los estudiantes podrán conjeturar la existencia de un límite para el cociente \\(\\frac{h}{d}\\) cuando \\(d\\) tiende a cero (Tarea matemática D). Para esto, pida que trabajen en la Actividad 2 de la Hoja de Actividades."},{"recurso":"Actividades","esp":"Actividad 2
\nDada la tabla anterior responde:
\n\n1. ¿Qué pasa con \\(h\\) a medida que \\(d\\) decrece?
","eng":"","tipo":"momento"},{"recurso":"Respuesta","esp":"Actividad 2.
\n2. ¿Cómo disminuye \\(h\\) en relación a \\(d\\)?
\n3. ¿Qué observas respecto al cociente \\(\\frac{h}{d}\\) a medida que \\(d\\) decrece?
\n4. ¿Qué conjetura podemos plantear para integrar todas las ideas anteriores por medio de un límite?\n1. Va disminuyendo cada vez más, por lo que tiende a cero
","eng":"","tipo":"momento"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Se recomienda discutir en plenaria las respuestas de la Actividad 2. Respeto a la pregunta 4, es relevante destacar que cuando la variable \\(d\\) tiende a cero \\(d\\to 0\\), la expresión \\(\\frac{h}{d}\\) adopta la forma indeterminada “\\(\\frac{0}{0}\\)”. El análisis de la tabla nos permite intuir que \\( \\lim\\limits_{d\\to 0} \\frac{h}{d} = 0\\), pero se requiere un análisis más formal para determinar matemáticamente dicho límite."},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Segunda parte"},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositiva 22 a 32, Presentación) "},{"tipo":"p","esp":"Mencione que en lo que siguen van a demostar que \\( \\lim\\limits_{d\\to 0} \\frac{h}{d} = 0\\), es decir, demostraran la existencia del límite en un punto (Tarea Matemática E).
\n2. A medida que \\(d\\) va disminuyendo, notamos que \\(h\\) también disminuye pero a una tasa más rápida.
\n3. A medida que \\(d\\) decrece, \\(\\frac{h}{d}\\) va disminuyendo cada vez más, por lo que pareciera tender a cero.
\n4. \\( \\lim\\limits_{d\\to 0} \\frac{h}{d} = 0\\).
\n\nComente a sus estudiantes que el paso inicial para calcular el límite requiere expresar el cociente \\(\\frac{h}{d}\\) en términos de \\(d\\). Sin embargo, este procedimiento no resulta directo ni sencillo, por lo que se recurrirá a medidas auxiliares para facilitar el análisis.\n\n
\n\nPara que sus estudiantes comprendan el cambio de variables que se realizará, muestra el siguiente recurso Geogebra. Mueva el punto rojo sobre la \"superficie\" de la Tierra y para observar que pasa con los cocientes asociadas a los límites \\( \\lim\\limits_{d\\to 0} \\frac{h’}{h}\\) y con \\( \\lim\\limits_{d\\to 0} \\frac{d’}{d}\\). ","eng":""},{"eng":"","recurso":"Geogebra","tipo":"iframe","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/yudnpevf/width/847/height/521/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false\" width=\"847px\" height=\"521px\" style=\"border:0px;"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\nLuego pregunte a sus estudiantes:\n"},{"recurso":"Pregunta","eng":"","tipo":"momento","esp":"- ¿Cuál es el valor del \\( \\lim\\limits_{d\\to 0} \\frac{h}{h’}\\)?, ¿cómo interpretas ese valor?
- ¿Cuál es el valor del \\( \\lim\\limits_{d\\to 0} \\frac{d’}{d}\\)?, ¿cómo interpretas ese valor?\n
- Considerando los límites anteriores, ¿qué podrías conjeturar respecto a los límites \\( \\lim\\limits_{d\\to 0} \\frac{h}{d}\\) y \\( \\lim\\limits_{d’\\to 0} \\frac{h’}{d’}\\)?
- El \\( \\lim\\limits_{d\\to 0} \\frac{h}{h’}\\) es \\(1\\) y significa que cuando \\(d\\) tiende a cero los valores \\(h\\) y \\(h’\\) son muy similares en el límite.\n
- El \\( \\lim\\limits_{d\\to 0} \\frac{d’}{d}\\) es \\(1\\) y significa que cuando \\(d\\) tiende a cero los valores \\(d’\\) y \\(d\\) son muy similares en el límite.\n
- Los límites son iguales.\n
\n\nConcluya, en conjunto a sus estudiantes que ahora podemos estudiar el límite \n \\( \\lim\\limits_{d’\\to 0} \\frac{h’}{d’}\\), lo que resultará más simple que calcular directamente el \\( \\lim\\limits_{d\\to 0} \\frac{h}{d}\\).
\nPídale a sus estudiantes abordar la Actividad 3 de la Hoja de Actividades, donde se guiarán los pasos para calcular el límite mencionado anteriormente."},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Notemos que en la expresión anterior se intercambio \\(d\\) por \\(d’\\) en los límites. Esto es posible dado que \\( \\lim\\limits_{d\\to 0} \\frac{d’}{d}\\) tiende a uno de donde, \\(d\\to 0\\) si y sólo si \\(d’\\to 0\\).
\n\nConcluya, en conjunto a sus estudiantes que ahora podemos estudiar el límite \n \\( \\lim\\limits_{d’\\to 0} \\frac{h’}{d’}\\), lo que resultará más simple que calcular directamente el \\( \\lim\\limits_{d\\to 0} \\frac{h}{d}\\).
\nPídale a sus estudiantes abordar la Actividad 3 de la Hoja de Actividades, donde se guiarán los pasos para calcular el límite mencionado anteriormente."},{"eng":"","tipo":"momento","esp":"Actividad 3.
\n1. Aplicando Pitágoras se tiene \\(r^2+d’^2 = (h’+r)^2\\). \nLuego, \\(h’ = -r +\\sqrt{r^2+d’^2}\\). (Utilizando la fórmula general de la Ecuación cuadrática)
\n2. \\( \\frac{h’}{d’}
\n= \\frac{-r +\\sqrt{r^2+d’^2}}{d’}\\)
\n3. Al aplicar la estrategia sugerida se obtiene que \n\\( \\lim\\limits_{d’\\to 0} \\frac{-r +\\sqrt{r^2+d’^2}}{d’}\\)\n= \\( \\lim\\limits_{d’\\to 0} \\frac{-d’}{-r - \\sqrt{r^2+d’^2}} = 0\\).
\n4. En distancias cortas, el cociente \\(\\frac{h}{d}\\) tiende a cero, indicando que incluso cuando \\(d\\) es muy pequeño, la caída \\(h\\) no es perceptible. \n","recurso":"Respuesta"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Si observa que sus estudiantes presentan dificultades con la primera pregunta, hágales notar que se puede aplicar el teorema de Pitágoras. En caso de que hayan aplicado el teorema pero enfrenten obstáculos para determinar \\(h’\\), anímelos a encontrarlo por medio de la ecuación cuadrática. Para la pregunta 3, mencione que la estrategia sugerida les permitirá llegar a una expresión en la cual el denominador no tiende a cero. "},{"esp":"Profundice con sus estudiantes en la respuesta de la pregunta 4 para que comprendan la conclusión de la clase. El hecho de que \\(\\frac{h}{d}\\) tienda a cero cuando \\(d\\) tiende cero, dice mucho respecto a cuán pequeño es \\(h\\). Usualmente, si en un cociente el denominador es pequeño, el cociente es muy grande. Sin embargo, en este caso, el cociente converge a cero, lo que indica que el numerador debe ser muchísimo más pequeño que el denominador. Es decir, para distancias cortas la caída es extremadamente pequeña y por tanto imperceptible, lo que conduce a la impresión visual de que la Tierra es plana.","tipo":"momento","eng":"","recurso":"Destacado"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Sistematización","eng":""},{"esp":"(Diapositiva 33 a 36, Presentación) ","eng":"","tipo":"h4"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\nEn base a lo trabajado en clases, destaque las siguientes ideas:\n\n
- \n
- El trabajo inicial, mediante tablas, nos permitió conjeturar sobre la existencia y valor de un límite mediante cálculos numéricos.
- Posteriormente, llevamos a cabo un análisis algebraico que nos permitió demostrar que efectivamente dicho límite era igual a cero. \n
- Se obtuvo que \\(\\frac{h}{d}\\) tiende a cero cuando \\(d\\) tiende a cero. Esto implica que \\(h\\) se hace mucho más pequeño que \\(d\\) en el límite. \n
- Para determinar el límite de \\( \\lim\\limits_{d’\\to 0} \\frac{h’}{d’}\\) fue necesario reescribir la expresión de forma equivalente, de forma de quitar el 0 en el denominador. Esta es la estrategia más usada para calcular límites de la forma \\(\\frac{0}{0}\\) y para reescribir las expresiones, se suelen usar estrategias tales como factorizaciones, identidades trigonométricas, amplificaciones por expresiones con raíces, entre otras. \n
- Además, para determinar el límite\\( \\lim\\limits_{d\\to 0} \\frac{h}{d}\\), recurrimos a un cambio de variables. En este contexto, resultó relevante observar que el límite del cociente entre dos variables era 1, indicando que esas dos variables son muy similares en el límite. Concretamente: \\( \\lim\\limits_{d\\to 0} \\frac{h}{h’} = 1\\) y \\( \\lim\\limits_{d\\to 0} \\frac{d’}{d}=1\\).
Presente a sus estudiantes la Guía Práctica. Esta tiene por objetivo que las y los estudiantes apliquen la noción de límites en la resolución de problemas en otros contextos. A medida que los estudiantes resuelvan los problemas, motívelos a usar la notación de límites para expresar sus resoluciones. Estas tareas pueden ser utilizadas para evaluar formativamente los siguientes indicadores:\n
- Resuelven problemas de límites de sucesiones, series o funciones.\n
- Argumentan sobre la convergencia de sucesiones, series o funciones, utilizando representaciones y el cálculo de límites.\n
El siguiente recurso Geogebra permite comprender el cambio de variables que se realizará en la actividad. En particular, al mover el punto rojo sobre la \"superficie\" de la Tierra es posible bservar que pasa con los cocientes asociadas a los límites \\( \\lim\\limits_{d\\to 0} \\frac{h’}{h}\\) y con \\( \\lim\\limits_{d\\to 0} \\frac{d’}{d}\\).
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"iframe","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/yudnpevf/width/847/height/521/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false\" width=\"847px\" height=\"521px\" style=\"border:0px;","recurso":"Geogebra"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 33 y 36)","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación."},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/Tierra%20no%20plana/documentos/ppt/PresentacionLDI_OA2.pdf"},{"recurso":"Descarga","tipo":"button","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/Tierra%20no%20plana/documentos/ppt/PresentacionLDI_OA2.pptx","eng":""}]},"4":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Guía Práctica"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes puedan evaluar sus aprendizajes. "},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/Tierra%20no%20plana/documentos/Gu%C3%ADa%20pr%C3%A1ctica%20/Guia%20Practica%20LDI_OA2%20Por%20qu%C3%A9%20la%20tierra%20se%20percibe%20plana.pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/Tierra%20no%20plana/documentos/Gu%C3%ADa%20pr%C3%A1ctica%20/Guia%20Practica%20LDI_OA2%20Por%20qu%C3%A9%20la%20tierra%20se%20percibe%20plana.docx","tipo":"button","eng":"","titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica","eng":""}}],"visible":true}},"visible":true},"aspectosAConsiderar":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Noción de límite y formas indeterminadas"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Esta situación permite trabajar nociones fundamentales del cálculo diferencial, en particular la idea de límite y la aparición de formas indeterminadas como \\(\\frac{0}{0}\\). Se explora cómo, al estudiar el comportamiento de un cociente entre dos cantidades que tienden a cero, es posible determinar un valor límite que describe la relación entre esas cantidades en un entorno infinitesimal.\n"},{"eng":"","esp":"Límite de un cociente","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Cuando se analiza un cociente de la forma \\( \\frac{h}{d} \\) y se estudia su comportamiento al hacer tender \\(d\\) a cero, lo que se busca es comprender cómo varía una cantidad (\\(h\\)) respecto de otra (\\(d\\)) en un entorno cada vez más cercano a un punto específico. Este tipo de análisis es central en el cálculo diferencial, ya que permite estudiar relaciones locales entre variables, incluso en situaciones donde el valor del cociente no está definido directamente en el punto límite.\n"},{"eng":"","esp":"El hecho de que \\(\\lim_{d \\to 0} \\frac{h}{d}\\) exista y tenga un valor finito significa que, aunque tanto \\( h \\) como \\( d \\) se hagan muy pequeños, su razón tiende a estabilizarse en un número. Esto sugiere una regularidad en el modo en que una variable responde a cambios infinitesimales en la otra:","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"- \n
- Por ejemplo, si el límite es cero, implica que \\(h\\) decrece mucho más rápido que \\( d \\), al punto de volverse despreciable en comparación. \n
- Por el contrario, si el límite fuera infinito, indicaría que \\(h\\) crece más rápido que \\( d \\) en las cercanías del punto de interés. \n
Este tipo de razonamiento es útil incluso cuando no se cuenta con una función explícita, ya que basta con observar cómo se comporta la razón \\( \\frac{h}{d} \\) para extraer conclusiones sobre la relación local entre ambas variables. Así, estudiar el límite de un cociente permite anticipar patrones de cambio y proporciona una herramienta para describir fenómenos que varían de manera no lineal en escalas muy pequeñas.
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Modelando la curvatura terrestre"},{"esp":"Para explicar por qué, a pesar de que la Tierra es esférica, la percibimos como plana, esta situación propone un modelo geométrico que compara la superficie curva de la Tierra con una recta tangente en un punto de observación, para ello, en el modelo se introducen dos cantidades:
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- \\(h\\) representa la \"caída\", es decir, cuánta distancia vertical separa la superficie curva de la Tierra respecto de la recta tangente, en un punto alejado del observador. \n
- \\(d\\) representa la distancia horizontal desde el punto de observación hasta donde se mide esa caída. \n\n
La razón \\(\\frac{h}{d}\\) se utiliza como una forma de estimar cuán perceptible es la curvatura: si \\(h\\) es grande comparado con \\(d\\), entonces la curvatura es evidente para el observador; mientras que si cambio \\(h\\) es muy pequeña en comparación a \\(d\\), la superficie parecerá plana. Es decir, el resultado \n\n
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"\\[\\lim_{d \\to 0} \\frac{h}{d} = 0 \\]","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Implica que la caída \\(h\\) disminuye a una tasa más rápida que \\(d\\), es decir, que pese a que la Tierra sea curva, es escalas pequeñas nos parece plana pues la diferencia entre su superficie y una línea recta es ínfima. \n","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Demostración algebraica"},{"esp":"Para demostrar que \\( \\lim_{d \\to 0} \\frac{h}{d} = 0 \\), se recurre a un cambio de variables que permite reescribir la expresión en términos más manejables. En lugar de trabajar directamente con \\( h \\) y \\( d \\), se introducen las variables auxiliares \\( h' \\) y \\( d' \\), las cuales permiten establecer relaciones geométricas más accesibles desde un punto de vista algebraico.
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/Tierra%20no%20plana/img/9.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","escala":"50"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Como se observa en la imagen anterior, a diferencia de \\(h\\) y \\(d\\), que se obtienen desde una construcción basada en una tangente, \\(h’\\) y \\(d’\\) se relacionan directamente con los radios de la Tierra y permiten aplicar el teorema de Pitágoras para representar la situación.
"},{"esp":"Dado lo anterior, podemos reescribir \\(h’\\) en función del radio \\(R\\) de la tierra y la distancia \\(d’\\),
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"\\[h' = R - \\sqrt{R^2 - (d')^2} \\]
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Así podemos estudiar el límite de la razón \\(\\frac{h’}{d’}\\) como sigue,
","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\\[\\lim_{d' \\to 0} \\frac{h'}{d'} = \\frac{R - \\sqrt{R^2 - (d')^2}}{d'}\\]
"},{"tipo":"p","esp":"Racionalizando obtenemos,
","eng":""},{"esp":"\\[ \\frac{R - \\sqrt{R^2 - (d')^2}}{d'} \\cdot \\frac{R + \\sqrt{R^2 - (d')^2}}{R + \\sqrt{r^2 - (d')^2}} = \\frac{R^2 - (R^2 - (d')^2)}{d'(R + \\sqrt{R^2 - (d')^2})} = \\frac{(d')^2}{d'(R + \\sqrt{r^2 - (d')^2})} =\\frac{d'}{r + \\sqrt{R^2 - (d')^2}} \\]","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Luego, evaluamos el límite, ","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\\[ \\lim_{d' \\to 0} \\frac{d'}{R + \\sqrt{r^2 - (d')^2}} = \\frac{0}{R + R} = 0 \\Rightarrow \\lim_{d' \\to 0} \\frac{h'}{d'} = 0 \\]"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Sin embargo, aún necesitamos probar el límite original, es decir, (\\lim_{d \\to 0} \\frac{h}{d}\\). Para ello, utilizaremos la siguiente igualdad,
"},{"eng":"","esp":"\\[\\frac{h}{d} = \\frac{h}{h'} \\cdot \\frac{h'}{d'} \\cdot \\frac{d'}{d}\\]
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Usando álgebra de límites podemos plantear que, \n
"},{"eng":"","esp":"\\[\\lim_{d \\to 0} \\frac{h}{d} = \\lim_{d’ \\to 0} \\frac{h}{h'} \\cdot \\lim_{d’ \\to 0} \\frac{h'}{d'} \\cdot \\lim_{d’ \\to 0} \\frac{d'}{d}\\]","tipo":"p"},{"esp":"Notemos que esto es matemáticamente válido pues las razones \\(\\frac{h}{h'}\\) y \\(\\frac{d'}{d}\\) están bien definidas (su comportamiento es continuo cuando \\(d’\\to 0\\). Aún más, del contexto es fácil intuir que \\(\\lim_{d’ \\to 0} \\frac{h}{h'} = 1\\) y \\(\\lim_{d’ \\to 0} \\frac{d'}{d}\\). Así, obtenemos que,\n
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"\\[\\lim_{d \\to 0} \\frac{h}{d} = \\lim_{d’ \\to 0} \\frac{h}{h'} \\cdot \\lim_{d \\to 0} \\frac{h'}{d'} \\cdot \\lim_{d’ \\to 0} \\frac{d'}{d}=1\\cdot \\lim_{d’ \\to 0} \\frac{h'}{d'}\\cdot 1 = 1\\cdot 0\\cdot 1 \\]
"},{"tipo":"p","esp":"\\[\\lim_{d \\to 0} \\frac{h}{d}=0\\]
","eng":""}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Trabajo con tabla de valores","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"El proceso de demostrar el límite del cociente entre la distancia de visión \\(d\\,km\\) y la caída \\(h\\,km\\) comienza con la exploración de una tabla de valores. Este enfoque exploratorio es muy usual, pues propicia que las y los estudiantes conjeturen sobre el valor de un límite. Este análisis, a través de valores específicos, permite comprender cómo se comporta el cociente entre la caída y la distancia de visión ( \\(\\frac{h}{d}\\) ) a medida que la distancia \\(d\\) tiende a cero. Además, proporciona una base para luego demostrar la existencia del límite","eng":""},{"tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/Tierra%20no%20plana/img/2.png","eng":"","alinea":"texto-centrado"},{"eng":"","esp":"Valores de la tabla","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En la Actividad 1 se presenta una tabla con valores correspondientes a la distancia de visión \\(d\\,km\\) y la caída \\(h\\,km\\) con el propósito de que las y los estudiantes determinen el cociente \\(\\frac{h}{d}\\)."},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/Tierra%20no%20plana/img/8.png","eng":"","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"40","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Si bien la tabla abarca un rango amplio de valores, carece de sentido discutir si se percibe la caída o no, dado que las distancias de visión en ella no son observables. Por ejemplo, la tabla comienza con \\(d=4000\\,km\\), una distancia imposible de observar (esta equivale a la distancia aproximada entre Arica y Cochrane). De manera similar, la tabla finaliza con \\(d=125\\,km\\), una distancia que se asemeja a la separación entre Valparaíso y Santiago, también improbable de observar. No se utilizaron valores más pequeños de \\(d\\), pues el valor de la caída se hace muy pequeño. \n
\nEn este contexto, la tabla no incluye distancias donde la caída pueda ser apreciada, pues su propósito radica en fomentar que las y los estudiantes conjeturen sobre el valor del límite de \\(\\frac{h}{d}\\) cuando \\(d\\) tiende a cero. Es decir, la tabla puede ayudar a los estudiantes en su interpretación del comportamiento de la razón \\(\\frac{h}{d}\\) a medida que \\(d\\) disminuye."},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Posibles errores"},{"esp":"Interpretar que el cociente \\(\\frac{h}{d}\\) es cero porque ambos valores se acercan a cero","tipo":"h4","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Es posible que algunos estudiantes concluyan que si tanto el numerador como el denominador tienden a cero, entonces el cociente también es automáticamente cero, sin entender que se trata de una forma indeterminada. En estos casos, destaque que lo que se busca analizar es la razón \\(\\frac{h}{d}\\) y como esta se comporta en entornos infinitesimales, y no cada variable por separado."},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"Confusión con las variables"},{"tipo":"p","esp":"Algunos estudiantes pueden pensar que tanto \\(d\\) y \\(d′\\), como \\(h\\) y \\(h′\\), son exactamente iguales, sin notar que provienen de construcciones geométricas distintas (una basada en la tangente, otra en el radio de la esfera). En estos casos, se sugiere enfatizar de donde surge cada variable en el contexto, mostrando que, si bien tienen un comportamiento similar en el límite, son variables distintas.
","eng":""},{"tipo":"img","escala":"50","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/LDI/Tierra%20no%20plana/img/9.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":""}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":" La Tierra es esférica"},{"esp":"El hecho de que la Tierra tiene forma esférica ha sido conocido desde la antigüedad y se ha confirmado a lo largo de la historia mediante diversas observaciones y evidencias científicas. Algunas de estas pruebas incluyen:\n","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"- Observación visual desde el espacio: las imágenes tomadas desde el espacio muestran claramente la forma esférica de la Tierra.\n
- La forma de la sombra en un eclipse lunar: durante un eclipse lunar, la sombra de la Tierra proyectada sobre la Luna tiene una forma circular, lo que indica que la Tierra es esférica.\n
- La curvatura del horizonte: cuando se observa el horizonte desde un punto elevado, como una montaña o un avión, se puede ver que la línea del horizonte tiene una curvatura característica que es consistente con una superficie esférica.\n
- Viajes alrededor del mundo (circunnavegación): los viajes alrededor del mundo, ya sea por avión o por barco, confirman la idea de que la Tierra es redonda, ya que los viajeros eventualmente regresan al punto de partida.\n
- La ley de la gravedad: la forma esférica de la Tierra se ajusta a la manera en que la que la fuerza de gravedad actúa, atrayendo de manera uniforme la masa de la Tierra hacia su centro.
\\[f(x) = a \\cdot b^x\\]\ndonde \\(b > 0 \\) y \\(b \\neq 1\\). El número \\(b\\) se conoce como base."},{"esp":"Las funciones exponenciales permiten modelar fenómenos del mundo real que involucran crecimiento o decrecimiento, tales como crecimiento poblacional, desintegración radioactiva, concentración de medicamento, interés compuesto, entre otras muchas situaciones.\n\n","tipo":"p","eng":""},{"esp":"En la función exponencial \\(f(x) = a \\cdot b^x\\), la constante \\(a\\) corresponde al valor donde el gráfico de la función intercepta al eje \\(y\\), mientras que el valor de la base \\(b\\) determina si la función es creciente o decreciente. Si \\(0\\,<\\,b\\,<1\\), la función exponencial decrece a medida que \\(x\\) se incrementa. Por otro lado, si \\(b>1\\), la función exponencial crece a medida que \\(x\\) se incrementa.\n","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Paracetamol%20/img/Funciones%20exponenciales%20%281%29.png","eng":""}],"visible":true},"2":{"contenido":[],"visible":true},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":" Farmacocinética","eng":""},{"esp":"La farmacocinética es la rama de la farmacología que estudia el curso temporal de la concentración de un fármaco y sus metabolitos en el organismo. La absorción, la distribución, el metabolismo y la eliminación (ADME), son los mecanismos que controlan la velocidad del inicio de la acción de un agente, la intensidad de su acción y la duración de su efecto, (Brunton et al., 2011). \n","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Conocer la concentración del fármaco en el sitio de acción no siempre es posible, es por ello que a menudo se hace la suposición de que la concentración plasmática refleja la concentración del fármaco en dicho sitio. \n
\nLa mayoría de los fármacos se administran por vía oral en forma de comprimidos. Una vez que se deglute un comprimido, el fármaco debe ser expuesto y liberarse. Para ello, la tableta debe primero desintegrarse en partículas pequeñas para permitir que el fármaco se disuelva en el fluido gastrointestinal, y así, tener la oportunidad de pasar a través de la membrana de las células epiteliales del tracto gastrointestinal y llegar al sistema circulatorio. La velocidad y el grado de absorción del fármaco son determinantes de sus concentraciones plasmáticas iniciales, por lo que una tasa de absorción rápida promoverá altas concentraciones en corto tiempo. \n
\nPor otro lado, una vez absorbido, el fármaco puede distribuirse en diferentes sitios, incluido el sitio de acción. Entre mayor sea la distribución en los tejidos, menor será la concentración del fármaco en el plasma.\n"},{"eng":"","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Paracetamol%20/img/GUIONPARACETAMOL_2.png"},{"esp":"La biodisponibilidad es la cantidad y la velocidad a la cual la dosis administrada de un fármaco es absorbida. La magnitud de la absorción se relaciona con el cálculo matemático del ABC, mientras que la velocidad de la absorción está descrita por la Cmax y el tmax. Por otro lado, el tiempo de vida media (t_1/2) se define como el tiempo que se requiere para que la concentración del fármaco disminuya al 50% y está ampliamente relacionado en la duración del efecto. (Jambhekar & Breen, 2009). \n","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"La concentración plasmática también depende de la eliminación del fármaco, las principales vías de eliminación son el metabolismo hepático y la excreción renal (Rosenbaum, 2012). \n
\nUna vez que el fármaco en el plasma y los tejidos se han alcanzado el equilibrio, la disminución de la concentración plasmática está dada por la eliminación del fármaco del organismo. La eliminación de los fármacos considera tanto al metabolismo como a la excreción de los mismos. \n
\nEl metabolismo, también conocido como biotransformación, es el proceso por el cual el fármaco es modificado a compuestos más polares que se excretan con mayor facilidad (Tomlin, 2010). \n"},{"tipo":"h3","esp":"Paracetamol ","eng":""},{"eng":"","esp":"El paracetamol, también conocido como acetaminofén, es un analgésico paraaminofenólico que posee propiedades analgésicas y antipiréticas (Ameer & Greenblatt, 1977; Graham et al., 2013), carece de actividad antiinflamatoria periférica, y no afecta la función plaquetaria (Cronberg et al., 1984). El paracetamol se encuentra dentro de los analgésicos más utilizados en el mundo, y está en la clasificación de fármacos de primera elección indicados contra el dolor de intensidad moderada (Esteva, 2008). \nEl paracetamol es comúnmente administrado en comprimidos orales, en suspensión o en supositorios. En dosis adecuadas es considerado un medicamento eficaz y seguro. Sin embargo, debido a su bajo precio y a su amplia disponibilidad, las sobredosis accidentales e incluso deliberadas, son bastante frecuentes (Gunnell, Murray, & Hawton, 2000).\n
\nEl paracetamol se absorbe rápidamente en el tracto gastrointestinal (GI) alcanzando concentraciones máximas dentro de los primeros 60 minutos tras la administración de la dosis. Su biodisponibilidad por vía oral es muy elevada, va del 75-85%. La presencia de alimento en el estómago puede retrasar la aparición del pico, pero no su grado de absorción (Forrest, Clements, & Prescott, 1982). \n
\nEn humanos, el tiempo de vida media del paracetamol es de 2 a 2.5 horas, pero en pacientes con daño hepático se puede prolongar hasta 4 horas (Prescott, 1996). \n
\nEl hígado, y en menor medida el riñón y el intestino, son los principales órganos implicados en el metabolismo de paracetamol (Bessems & Vermeulen, 2001). \n\n\n","tipo":"p"}],"visible":true}}},"recursos":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Infografía “ Paracetamol” ","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"La infografía proporciona información sobre el paracetamol y el mecanismo de acción de este tipo de fármaco. "},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Paracetamol%20/Infografi%CC%81a-PARACETAMOL2.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Paracetamol%20/Infografi%CC%81a-PARACETAMOL2.pdf","titulo":{"eng":"Descargar Infografía","esp":"Descargar Infografía"},"recurso":"Descarga","eng":""},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 5)","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación."},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Paracetamol%20/Documentos/ppt/Presentaci%C3%B3n%20II_U3_OA13%20Paracetamol.pdf"},{"eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Paracetamol%20/Documentos/ppt/Presentaci%C3%B3n%20II_U3_OA13%20Paracetamol.pptx","tipo":"button"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Hoja de actividades"},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Paracetamol%20/Documentos/Hoja%20de%20actividades/Hoja%20de%20Actividades%20II_U3_OA13%20Paracetamol.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Paracetamol%20/Documentos/Hoja%20de%20actividades/Hoja%20de%20Actividades%20II_U3_OA13%20Paracetamol.docx","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Hoja de Actividades"},"tipo":"button"},{"esp":"Presentación (diapositivas 6 a 22)","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Paracetamol%20/Documentos/ppt/Presentaci%C3%B3n%20II_U3_OA13%20Paracetamol.pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Paracetamol%20/Documentos/ppt/Presentaci%C3%B3n%20II_U3_OA13%20Paracetamol.pptx","recurso":"Descarga","eng":""}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 23 y 25)","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación."},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Paracetamol%20/Documentos/ppt/Presentaci%C3%B3n%20II_U3_OA13%20Paracetamol.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Paracetamol%20/Documentos/ppt/Presentaci%C3%B3n%20II_U3_OA13%20Paracetamol.pptx","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"}}]},"4":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Guía Práctica","tipo":"h3"},{"esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes puedan evaluar sus aprendizajes. ","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Paracetamol%20/Documentos/gu%C3%ADa%20pr%C3%A1ctica/Guia%20Practica%20II_U3_OA13%20Paracetamol.pdf"},{"recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica","eng":""},"tipo":"button","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Paracetamol%20/Documentos/gu%C3%ADa%20pr%C3%A1ctica/Guia%20Practica%20II_U3_OA13%20Paracetamol.docx"}]}}},"recursosProyecto":[],"visible":true,"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Momento de Enganche"},{"esp":"(Diapositivas 2 a 3, Presentación)","eng":"","tipo":"h4"},{"esp":"Revisen la Infografía “Paracetamol” y dé un tiempo para que las y los estudiantes compartan sus opiniones respecto a las siguientes preguntas:","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"- ¿Para qué se utiliza el paracetamol?\n
- ¿Qué significa etapas de absorción y eliminación de un medicamento?
- \n¿Cuál es la vida media de un medicamento?
- \n¿Qué es importante a la hora de tomar un medicamento como el paracetamol?
Estas preguntas buscan que las y los estudiantes, a partir de la información que entrega la infografía, comprendan que al tomar un medicamento como el paracetamol ocurren al menos dos etapas importantes.
\n"},{"esp":"- Primero, una etapa de absorción, en la que el medicamento entra al cuerpo desde el lugar donde se administró (por ejemplo, el estómago) y va aumentando su presencia en la sangre hasta alcanzar una concentración máxima. \n
- \n Luego, viene la etapa de eliminación, en la que el cuerpo va reduciendo esa concentración a medida que el fármaco es transformado y eliminado. \n
Comprender estas dos etapas es clave para interpretar cómo cambia la cantidad de medicamento en el cuerpo a lo largo del tiempo.
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Presentación del problema "},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositiva 4, Presentación) "},{"tipo":"p","esp":"Luego de abordar las preguntas anteriores se sugiere destacar, usando la infografía, que en el caso del paracetamol la absorción es de aproximadamente 1 hora, y que posterior a este tiempo comienza la etapa eliminación. Comente que en esta clase estudiaremos matemáticamente como decrece la concentración del paracetamol en la sangre en dicha etapa. Para ello, trabajaremos en las siguientes preguntas que guiarán el desarrollo de la clase:
","eng":""},{"esp":"Una persona adulta se toma una dosis de paracetamol de 500 mg a las 9:00 a. m.
- \n\n¿A qué hora la concentración del medicamento en la sangre se reduce a la mitad? (Este instante se conoce como vida media del medicamento)
- \n\n¿A qué hora la concentración del medicamento en la sangre baja de 60 mg, es decir, llega a un nivel en que probablemente ya no tiene efecto terapéutico? (Este nivel de concentración se conoce como la cantidad mínima efectiva)\n
Se recomienda que, al plantear las preguntas, dé tiempo para que sus estudiantes compartan sus respuestas con el curso, sin validar aún ninguna de ellas. Sugerimos registrar algunas de estas ideas iniciales para poder contrastarlas al finalizar la clase, luego de desarrollar las actividades propuestas.
","tipo":"p"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"esp":"Primera parte","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositiva 5, Presentación) "},{"eng":"","esp":"En este primer momento se busca que los estudiantes reconozcan, a partir del análisis de tablas y gráficos, que la concentración de paracetamol en la sangre disminuye de forma exponencial a medida que pasa el tiempo,una vez alcanzado su valor máximo. Luego, se propone un análisis que les permita identificar que la función que modela esta concentración es continua, lo que justifica que su representación gráfica sea una curva suave y sin interrupciones.
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Pida a sus estudiantes que, en parejas, desarrollen la primera actividad de la Hoja de Actividades. Esta pregunta tiene como objetivo que calculen la cantidad de concentración de medicamento a medida que transcurre el tiempo según una tasa de decrecimiento (Tarea Matemática A).
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Recuerde a sus estudiantes que, como se indica en la infografía, el proceso de absorción del paracetamol toma aproximadamente una hora. Por esta razón, se considera que a las 10:00 a. m. se alcanza la concentración máxima del medicamento en la sangre. Además, destaque que no se puede asumir que los 500 mg se absorben por completo, ya que durante la biodistribución no todo el fármaco llega al torrente sanguíneo. En este caso, se estima que la concentración máxima corresponde al 90% de la dosis ingerida. Si lo considera pertinente, puede entregar la tabla sin ese valor y pedir a sus estudiantes que lo calculen a partir de esta información.
"},{"recurso":"Actividades","esp":"1. Una persona adulta se toma una dosis de paracetamol de 500 mg a las 9:00 am. Considerando que, desde el momento que alcanza su concentración máxima en la sangre, el medicamento se elimina a una tasa del 30 % por hora, completa la siguiente tabla con la cantidad de paracetamol en el torrente sanguíneo.
","tipo":"momento","eng":""},{"recurso":"Respuesta","tipo":"momento","esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/paracetamol/tabla-1.png\")
1.
","eng":""},{"esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/paracetamol/tabla-1-resp.png\")
Dé tiempo para que los estudiantes trabajen en esta pregunta. Puede acompañar el monitoreo con las siguientes preguntas, para apoyarlos en su trabajo:
\n","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"- ¿Qué quiere decir que el paracetamol se elimina a una tasa del \\(30\\%\\) por hora en el torrente sanguíneo?\n
- ¿Cómo cambia la cantidad de medicamento activo en la sangre de una hora a otra?\n
- ¿Cuál es la diferencia de la concentración del medicamento entre la hora 1 y 2 y entre la 3 y 4? ¿Qué explica esto?\n
Luego de discutir y revisar con el curso completo los resultados de sus tablas pida que realicen la actividad 2 de la Hoja de Actividades. Esta pregunta tiene por objetivo que grafiquen los puntos de la tabla, a fin de reconocer visualmente el decrecimiento exponencial de la concentración de paracetamol (Tarea Matemática B).
\n\n","tipo":"p"},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"2. Grafica la concentración de paracetamol en el organismo del problema anterior. Recuerda colocar los nombres de los ejes. ","eng":""},{"esp":"2.
","recurso":"Respuesta","eng":"","tipo":"momento"},{"tipo":"p","esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/paracetamol/grafico-1.png\")
Durante el monitoreo seleccione algunos gráficos correctamente construidos, y luego pida a esos estudiantes en la puesta en común que describan cómo construyeron el gráfico. Puede usar de apoyo la presentación para este propósito.
\n","eng":""},{"tipo":"momento","esp":"En este punto, es importante que vuelva a destacar que el eje horizontal describe el tiempo transcurrido desde que se alcanzó la máxima concentración, y no desde que se ingirió el medicamento.
","eng":"","recurso":"Destacado"},{"esp":"Luego, y antes de continuar a la tercera actividad, promueva una discusión que ayude a los estudiantes a identificar a partir del gráfico, que la concentración de paracetamol disminuye de forma exponencial. Para ello, puede utilizar preguntas como las siguientes,
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"momento","esp":"- Los puntos del gráfico, ¿parecen estar alineados, es decir, sobre una línea recta, o más bien siguen la forma de una línea curva? \n
- ¿Con cada hora, el medicamento disminuye siempre lo mismo? ¿Cómo se relaciona la concentración en una hora, con la concentración en la hora anterior? \n
- ¿Qué pasaría si seguimos graficando la concentración por más horas? ¿Dónde se ubicarían esos puntos? ¿La concentración llegaría a ser cero?
Procure que en la discusión surjan las siguientes conclusiones a partir de cada pregunta:\n
- \n
- Los puntos del gráfico están sobre una línea curva, y por tanto, el decrecimiento no es lineal (ie. los cambios en la concentración (\\(y\\)) no cambian de forma constante con cambios en el tiempo transcurrido (\\(x\\)). \n
- El cambio de concentración entre valores consecutivos no es constante. En este caso dicho cambio es proporcional al valor previo e igual a 0.7. Esto es lo que caracteriza al crecimiento o decrecimiento exponencial. \n
- Dado lo anterior, podemos suponer que la concentración será muy cercana a cero, pero no igual a cero, pues siempre se obtiene un 70% de la concentración anterior. No es necesario demostrar esta idea, pero es importante promover su comprensión cualitativa. \n
A continuación, las y los estudiantes responderán las preguntas iniciales del problema. Para ello, pídales que resuelvan la pregunta 3 de la Hoja de Actividades, justificando sus respuestas a partir del comportamiento exponencial de la concentración, que hasta ahora han representado en forma gráfica y tabular (Tarea Matemática C).
"},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","eng":"","esp":"3. A partir de la tabla y el gráfico realizado anteriormente responde:
\n\na) ¿A qué hora la concentración del medicamento en la sangre se reduce a la mitad? (Este instante se conoce como vida media del medicamento)
\n\nb) ¿A qué hora la concentración del medicamento en la sangre baja de 60 mg, es decir, llega a un nivel en que probablemente ya no tiene efecto terapéutico? (Este nivel de concentración se conoce como la cantidad mínima efectiva)
\n\nNota - Recuerda que:\n- \n
- La persona tomó una dosis de paracetamol de 500 mg a las 9:00 am. \n
- Tanto la tabla como el gráfico que construimos, describe el tiempo transcurrido desde que se alcanzó la máxima concentración, y no desde que se ingirió el medicamento. \n
- Según el gráfico (o la tabla) la mitad de la concentración inicial (250 mg) se alcanza un poco antes de las 2 horas después de que alcanzara la máxima concentración inicial (a las 10). Por tanto, a las 12:00 h la concentración de medicamento se habrá reducido a la mitad. \n
- Según el gráfico (o la tabla) podemos suponer que la concentración inicial se reduce a menos de 60 mg (concentración mínima efectiva) un poco antes de 6 horas después de que alcanzara la máxima concentración inicial (a las 10.00 h). Por tanto, un poco antes de las 16:00 h la concentración de medicamento en la sangre estará en niveles que ya no tienen efectos terapéuticos.
Luego plantee la pregunta 4 de la Hoja de Actividades, que tiene como objetivo que las y los estudiantes reconozcan que en este caso, es posible transitar desde una representación discreta hacia una representación continua. Es decir, que identifiquen que la concentración de paracetamol en el tiempo se puede modelar con una función exponencial continua.
","tipo":"p"},{"eng":"","recurso":"Actividades","tipo":"momento","esp":"4. A partir del gráfico realizado anteriormente responde:
\na) ¿Cómo se comporta la concentración de medicamento entre las 10:00 y las 11:00? ¿O entre las 11:00 y las 12:00 ? ¿Crees que la concentración cambia de golpe o lo hace poco a poco?
\nb) ¿Cuál es, aproximadamente, la concentración de paracetamol a las 11:30? ¿Cómo lo estimaste?
\nc) ¿Cuánto tiempo ha transcurrido cuando la concentración de paracetamol en la sangre alcanza los 350 mg?"},{"tipo":"momento","recurso":"Respuesta","eng":"","esp":"- \n
- El medicamento está siendo eliminado del cuerpo todo el tiempo, no solo al cambiar la hora. Es decir, podemos suponer que la concentración disminuye poco a poco a lo largo del tiempo. \n
- La concentración está entre 315 mg (a las 11:00) y 220,5 mg (12:00). Visualmente se podría seguir la curva entre los puntos y estimar que la concentración es de 250 mg. \n
- El tiempo está entre las 10:00 (450 mg) y las 11:00 (315 mg). Visualmente se podría seguir la curva entre los puntos y estimar que los 350 mg se alcanzan a los 40 minutos. \n
Use las preguntas anteriores para concluir que la función que describe la concentración de paracetamol en la sangre es continua, es decir, que el medicamento se elimina en el cuerpo de forma gradual, no de golpe a cada hora. Esto no permite construir una expresión general para determinar la concentración del medicamento en cualquier instante \\(t\\) no solo en cada hora.
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Aproveche estas ideas para mostrar cómo obtener la expresión general que describe la concentración de paracetamol en función del tiempo:
"},{"eng":"","recurso":"Destacado","esp":"Como vimos, la concentración de paracetamol varía de forma continua, es decir, el medicamento se elimina del cuerpo de manera gradual, segundo a segundo.
\n\nEsto implica que la razón de cambio relativa se mantiene constante en todo momento. En otras palabras, cuando ha transcurrido un tiempo \\(\\Delta t\\), la concentración se multiplica por \\((0{,}7)^{\\Delta t}\\). Es decir,
\n\n\\[C_{t_2} = C_{t_1} \\cdot (0{,}7)^{\\Delta t} = C_{t_1} \\cdot (0{,}7)^{t_2 - t_1}\\]\n\ndonde:\n- \n
- \\(C_{t_2}\\) es la concentración en el instante \\(t_2\\), \n
- \\(C_{t_1}\\) es la concentración en un instante anterior \\(t_1\\). \n
\n\nDe esta forma, la gráfica que modela la concentración en función del tiempo, corresponde a una línea continua,
\n\n","tipo":"momento"},{"tipo":"h3","esp":"Segunda parte","eng":""},{"esp":"(Diapositiva 16 a 24, Presentación) ","eng":"","tipo":"h4"},{"esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/paracetamol/grafico-2.png\")
En esta segunda parte, se busca que las y los estudiantes utilicen la expresión algebraica de la función que describe la concentración de paracetamol en el tiempo, construida previamente, para calcular la concentración en un momento determinado y, en sentido inverso, estimar en qué momento se alcanza una cierta concentración. Este trabajo tiene como propósito profundizar en la comprensión del modelo exponencial desarrollado en la actividad anterior.
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"A continuación, pida que resuelvan la pregunta 5 de la Hoja de Actividades, en que deberán encontrar el tiempo \\(t\\) para el que se alcanza una determinada concentración. (Tarea Matemática E).
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"A continuación, pida que resuelvan la pregunta 6 de la Hoja de Actividades, la que permite que los y las estudiantes utilicen el modelo encontrado. (Tarea Matemática E).\n","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","eng":"","esp":"5. Ocupando este modelo, ¿en cuántas horas se eliminará completamente el medicamento (menos de 1 mg)?"},{"esp":"5. Según el modelo, al despejar t en la expresión, \n\n\\[ C(t) = 450\\cdot 0,7^t \\rightarrow \\frac{1}{450} =0,7^t \\]\n\nSe obtiene que \\(t\\approx 17,2\\) es decir aproximadamente después de 17 horas y 12 minutos. Como en el modelo t representa el tiempo transcurrido desde que se alcanzó la concentración máxima, el tiempo total desde que se tomó el medicamento hasta que se elimina completamente corresponde a 18 horas y 12 minutos, considerando que se tarda una hora en alcanzar la concentración máxima. \n","recurso":"Respuesta","tipo":"momento","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- Los y las estudiantes pueden resolver la pregunta anterior a través del logaritmo, de tal forma tendría que hacer lo siguiente: \nReorganizar la ecuación y aplicar logaritmo: \\[\\frac{C}{c_0}=(0,7)^t \\] \\[\\log_{0,7}\\frac{C}{c_0}=t\\]\n \\[\\log_{0,7}\\frac{1}{450}=t\\]\n \\[\\log_{0,7}\\frac{1}{450}\\approx{17,2}\\]
- Otra posibilidad, sin utilizar logaritmos para resolver la ecuación \\(C= 450 \\cdot (0,7)^t\\), es utilizar una aproximación iterativa. La cual tiene un enfoque de prueba y error, por lo tanto se espera que vayan probando diferentes valores de t hasta que se obtenga una aproximación cercana al valor deseado menor a 1 mg. En este caso se espera que concluyan que la cantidad de horas son 18, siempre cuando consideremos \\(t\\in \\mathbb{Z}\\).
Dé tiempo a sus estudiantes para que discutan esta pregunta en parejas o en grupos. Luego, promueva una discusión grupal en que los estudiantes puedan argumentar, basados en el modelo matemático, es decir, basados en las concentraciones obtenidas a partir de la función exponencial y su interpretación en el contexto, porque hace sentido que la recomendación médica de administrar una nueva dosis cada 8 horas.
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Si le parece puede agregar que el consumo regular de paracetamol cada 6 horas contribuye a mantener niveles constantes en el organismo, garantizando un alivio continuo del dolor o la reducción de la fiebre. Es crucial tener en cuenta que los tiempos de acción varían entre diferentes medicamentos, y la respuesta de cada organismo puede estar influenciada por diversos factores."},{"eng":"","esp":"Para finalizar este momento, puede mostrar la siguiente formalización sobre la función exponencial y sus características
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","recurso":"Destacado","esp":"La función exponencial de puede generalizar como:
\\(f(x) = a\\cdot b^x, \\text{donde a,b} \\in \\mathbb{R}, \\text{con} \\, a\\neq 0\\,, b>0 \\,\\text{y} \\,b\\neq 1\\)\nSu dominio es el conjunto de todos los número reales\nSu recorrido es el conjunto de todo los números reales positivos
\n\nLa gráfica de la función exponencial de la forma \\(f(x) = a\\cdot b^x\\), con a=1, depende del valor de b, así:","eng":""}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Sistematización","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 23, Presentación)"},{"esp":"
\n\n\n\n![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Paracetamol%20/img/Funciones%20exponenciales%20%281%29.png\")
- Las funciones exponenciales permiten modelar muchos fenómenos del mundo real que involucran crecimiento o decrecimiento, tales como crecimiento poblacional, desintegración radioactiva, interés compuesto, y concentración de medicamento como nuestra situación particular del paracetamol.
- La concentración de paracetamol disminuye manteniendo una tasa de cambio relativa constante, es decir, en cada momento se pierde el mismo porcentaje de la cantidad presente. Este comportamiento corresponde a un modelo de decrecimiento exponencial.
- Este tipo de procesos se puede modelar con una función de la forma\n\\( C(t) = a \\cdot b^t \\)\ndonde:\n
- \n
- \\( a \\) representa el valor inicial, \\(t=0\\) (en este caso, 450 mg),\n \n
- \\( b \\) representa el factor de cambio (en este caso, 0,7), \n
- \\( t \\) es el tiempo transcurrido desde un momento de referencia. \n\n\n
- Vimos que este modelo es un modelo de cambio continuo, es decir, el medicamento se elimina constantemente, de forma gradual, no solo una vez por hora. Por eso, el modelo es una función continua, y su gráfica es una curva “suave” (sin saltos).
- Comprender el comportamiento de este modelo nos permitió dar sentido a indicaciones médicas reales, tales como ingerir paracetamol cada 8 horas.
- Utilizan modelos de situaciones de crecimiento y decrecimiento que involucran las funciones exponencial y logarítmica para determinar valores o hacer proyecciones.
- Construyen modelos de situaciones de crecimiento y decrecimiento que involucran las funciones exponencial y logarítmica para determinar valores o hacer proyecciones.\n
La reflexión con respecto a una recta es una transformación geométrica del plano \\(\\Pi\\) en sí mismo que invierte la posición de los puntos con respecto a una recta dada \\(L\\).\n
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Es decir, una reflexión con respecto a una recta \\(L\\) es una función \\(f : \\Pi\\to \\Pi\\) tal que envía un punto \\(P\\) del plano en su imagen reflejada \\(P’\\) con respecto a \\(L\\).\n
","tipo":"p","eng":""},{"escala":"25","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Batalla_Naval/imgs/reflection_image_2.png","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"","esp":"Esto se denota como \\(P'=f(P)\\), y y se lee que \\(P'\\) es la imagen de \\(P\\) a través de \\(f\\) o que \\(P\\) es la preimagen de \\(P'\\).
","tipo":"p"},{"esp":"Una reflexión con respecto a una recta posee las siguientes propiedades:\n
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"- Es una transformación isométrica del plano, es decir, se preservan las distancias y ángulos.
- La orientación se revierte, es decir, el orden de los vértices cambia de sentido antihorario a horario y viceversa.
- Al componer \\(f\\) consigo misma, resulta la función identidad, es decir, \\(f(f(P))=P\\). En palabras, al reflejar un punto dos veces obtenemos el mismo punto.
- Los puntos de la recta \\(L\\) son exactamente los puntos fijos de \\(f\\), es decir los puntos \\(P\\) del plano tales que \\(f(P)=P\\). Acá es importante enfatizar que la transformación \\(f\\) sí está definida en la recta \\(L\\), y coincide con la función identidad en esta recta.\n\n\n
- También existe el concepto de reflexión con respecto a un punto. Esa transformación posee características similares a la reflexión respecto a una recta, y corresponde a una rotación en 180° en torno al punto. Por tanto, no cambia la orientación.
- En dimensiones mayores también existen nociones de reflexión con propiedades similares.\n\n
Un polígono es una figura geométrica cerrada del plano, que está formado por un conjunto finito de segmentos de recta denominados lados. Los puntos en donde los lados se conectan se llaman vértices. Dos lados que se conectan forman un ángulo del polígono.
","eng":"","tipo":"p"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Batalla_Naval/imgs/poligono_ejemplo.png","escala":"25","tipo":"img"},{"eng":"","esp":"El polígono de la figura es un pentágono, pues tiene cinco lados, y sus vértices han sido denotados por \\(A, B, C, D, E\\). Usualmente, se usan los nombres de los vértices para describir al polígono, y a los lados y ángulos de este. Por ejemplo, el polígono de la figura puede ser denotado por \\(ABCDE\\) (notar que este orden de lectura de los vértices corresponde al sentido antihorario). El lado que conecta \\(A\\) y \\(B\\) se denota \\(AB\\).\n
","tipo":"p"}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Uso de materiales para apoyar la comprensión sobre la reflexión"},{"eng":"","esp":"Para enseñar reflexión se utilizan con frecuencia materiales concretos, tales como plegado de\npapel, espejos y transparencias. Es importante reconocer que estos materiales presentan ventajas y\nlimitaciones para representar correctamente este concepto.","tipo":"p"},{"esp":"El doblado de papel es una forma sencilla y práctica de ilustrar la reflexión, que permite visualizar\ncómo los puntos en el plano se desplazan al otro lado de la recta de reflexión al doblar el papel.","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"img","eng":"","escala":"50","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/batalla%20naval/asp-did-1.png"},{"tipo":"p","esp":"Sin embargo, este recurso tiene una limitación importante: puede dar la idea equivocada de que al\ndoblar el papel, solo los puntos de un lado de la recta se reflejan en el otro lado. Lo mismo sucede al\nutilizar un espejo para representar la reflexión. En la propuesta de juego de la batalla naval, esta limitación se intenta evitar al proponer que ambos jugadores doblen la mitad de la hoja que corresponde a su zona. No obstante, es importante estar monitorear el trabajo de las y los estudiantes a fin de detectar si dicha idea errónea surge. ","eng":""},{"esp":"Reflejo de un polígono a partir de sus vértices","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"En la situación, para reflejar un polígono, se busca la imagen de cada uno de sus vértices, y luego simplemente estos se unen para formar la imagen del polígono. En rigor, el reflejo de uno de los lados del polígono, corresponde al reflejo de los infinitos puntos que forman dicho segmento. Sin embargo, no es necesario reflejar los infinitos puntos, ni muchos de ellos, sino que solo dos, los correspondientes a los extremos del segmento o vértices consecutivos del polígono. Una explicación de esto es que un segmento está completamente definido a partir de sus dos extremos, y además una reflexión envía segmentos en segmentos y extremos en extremos. Por esto, basta reflejar los vértices del polígono. \n
","eng":""}]},"3":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Batalla geométrica","tipo":"h3"},{"esp":"El juego presentado en esta situación tiene por nombre original “Batalla Naval”. Este se juega entre dos personas, utilizando solamente lápiz y papel. Para preparar la “zona de batalla” se dobla una hoja en blanco por la mitad, y se marca la línea divisoria de los dos campos de batalla:
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Batalla_Naval/imgs/2.png","escala":"25","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"","tipo":"img","alinea":"texto-centrado"},{"tipo":"p","esp":"Enseguida, cada persona dibuja 5 naves en su zona, como se muestra a continuación. \n
","eng":""},{"escala":"50","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Batalla_Naval/imgs/3.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","eng":"","alinea":"texto-centrado"},{"eng":"","esp":"Luego, la idea es marcar un punto en la zona propia con harta tinta, que representará un misil, y “lanzarlo” al campo contrario plegando la hoja y presionando fuertemente el reverso de ese punto. De esta manera la tinta se traspasará a la otra mitad de la hoja, tal como se ilustra en las siguientes imágenes.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"75","eng":"","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Batalla_Naval/imgs/4.png"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Se considera que un misil “ha derribado una nave oponente” cuando la tinta traspasada queda completamente adentro de la nave. \n
"},{"escala":"50","alinea":"texto-centrado","eng":"","caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Batalla_Naval/imgs/6.png"},{"tipo":"p","esp":"Cada jugador lanza misiles alternadamente y gana quien derribe primero todas las naves del oponente. \n
","eng":""},{"titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","escala":"50","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Batalla_Naval/imgs/7.png","alinea":"texto-centrado"},{"esp":"Este juego permite que sus estudiantes constaten las propiedades de la reflexión, y las reconozcan de manera intuitiva, lúdica y con sus propias manos. \n
","eng":"","tipo":"p"}],"visible":true}}},"recursos":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Video"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En este video se introduce el juego “Batalla Naval” y sus reglas, las que se explican mediante un ejemplo concreto. "},{"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/batalla%20naval/29%20Batalla%20Naval%20subt.mp4","tipo":"video"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 5)"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/batalla%20naval/ppt_batalla_naval_8vo.pdf"},{"titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/batalla%20naval/ppt_batalla_naval_8vo.pptx","recurso":"Descarga","eng":""}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 6 a 19)","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación. \n
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/batalla%20naval/ppt_batalla_naval_8vo.pdf","eng":""},{"eng":"","tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/batalla%20naval/ppt_batalla_naval_8vo.pptx","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""},"recurso":"Descarga"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Hoja de Actividades"},{"esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/batalla%20naval/ha_batalla_naval_8vo.pdf","eng":"","tipo":"pdf"},{"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/batalla%20naval/ha_batalla_naval_8vo.docx","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":""},"eng":""}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Presentación (diapositivas 20 y 21)","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/batalla%20naval/ppt_batalla_naval_8vo.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""},"recurso":"Descarga","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/batalla%20naval/ppt_batalla_naval_8vo.pptx","tipo":"button"}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Guía Práctica"},{"esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes conozcan y apliquen la noción de figuras simétricas, definida a partir de la reflexión. Además, estos pueden ser utilizados para evaluar formativamente los conocimientos desarrollados a partir de la situación. \n
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/batalla%20naval/gp_batalla_naval_8vo.pdf","eng":""},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/batalla%20naval/gp_batalla_naval_8vo.docx","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía Práctica"},"eng":"","tipo":"button"},{"esp":"Recurso interactivo","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"El siguiente recurso Geogebra permite explorar el concepto de simetría a partir de pliegues de figuras geométricas en torno a distintos ejes.","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/e2tycqfr/width/747/height/515/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","tipo":"iframe","recurso":"Geogebra","eng":""}]}}},"visible":true,"recursosProyecto":[],"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Momento de enganche","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 2 a 3, Presentación)","eng":""},{"esp":"Como introducción a la situación, comente que antes de la popularización de la tecnología, para entretenerse se usaban muchos juegos con papel y lápiz. Pregunte a sus estudiantes si conocen alguno de este tipo. Posiblemente indiquen los más conocidos, como el “Gato” y el “Bachillerato”.
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Invítelos a observar el Video \"Batalla naval\" que introducirá un juego de este tipo y sus reglas.\n
"},{"eng":"","tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/batalla%20naval/29%20Batalla%20Naval%20subt.mp4","recurso":"ModalVideo","titulo":{"esp":"Ver Video","eng":""}},{"eng":"","esp":"Luego, plantee preguntas para verificar la comprensión del juego y de sus reglas, ya que a continuación ellos tendrán que jugar una partida en parejas.\n\n
","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Pregunta","esp":"- ¿Han jugado antes? ¿De cuántas personas se juega?
- ¿Qué materiales se necesitan para jugar?
- ¿Cómo se delimita la zona de cada jugador?\n
- ¿A qué se refiere la frase “generar el efecto similar a un timbre en la zona de tu oponente”?
- ¿Qué tipo de lápices sirven para generar este efecto de timbre?\n\n
- ¿Quién gana el juego?
Organice a sus estudiantes en duplas y entregue una hoja de papel blanca a cada una. Es importante que la hoja no tenga cuadriculado ni líneas. Comente que es necesario un lápiz pasta o grafito.
","eng":""},{"esp":"Presentación del problema ","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositivas 4 a 5, Presentación)"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Indique que para efectos de la clase, cada jugador solo tendrá 2 naves o barcos y que estas deben tener el tamaño aproximado del interior de un clip.
"},{"caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"25","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/8-basico/batalla%20naval/sugerencia-tama%C3%B1o.png","alinea":"texto-centrado","eng":""},{"esp":"Además, es necesario que establezca qué jugador comienza. Por ejemplo, puede indicar que la persona que comience sea elegida mediante cachipún. Antes de que comiencen a jugar, pídales que lo hagan con la intención de responder a la siguiente pregunta:
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","recurso":"Pregunta","tipo":"momento","esp":"¿Qué características debe tener una buena jugada para derribar una nave rival?"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Jugar a la Batalla naval","tipo":"h3"},{"esp":"De unos 5 minutos o el tiempo suficiente como para que terminen de jugar una partida y luego de transcurrido este tiempo, de otros 5 minutos para que cada pareja se ponga de acuerdo en describir las características de una buena jugada, solicitadas en la pregunta 1 de la Hoja de Actividades. Esta pregunta tiene como propósito que sus estudiantes describan características geométricas del juego que se puedan asociar a la reflexión (Tarea Matemática A).
","eng":"","tipo":"p"},{"recurso":"Actividades","eng":"","tipo":"momento","esp":"- Describan las características que debe tener una buena jugada para derribar la nave del rival. \n
Monitoree esta instancia con la intención de identificar en qué grupos surgen características geométricas asociadas a una buena jugada. Si es necesario, reoriente este momento para que sus estudiantes se enfoquen en cómo elegir la posición del lanzamiento del misil y no en la ubicación de las naves. Esto, porque más adelante nos centraremos en las características geométricas que se derivan del “lanzamiento del misil”.
"},{"esp":"Gestione la puesta en común de las características haciendo notar aspectos geométricos en las respuestas. Durante el juego, es relevante el proceso de ensayo-error, por lo que puede plantear preguntas como: ¿qué corregirías cuando no se impacta la nave?
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Es posible que utilicen términos informales como “ubicar el misil de frente a la nave”, u otros más formales como “el misil y la nave rival deben estar a igual distancia” o “el misil y la nave rival deben estar en línea recta”. Plantee preguntas con el fin de que sus estudiantes expliquen y detallen el significado de sus palabras.
"},{"esp":"Se sugiere que las ideas matemáticas que aparezcan en este momento las escriba en la pizarra y que las utilice en la siguiente parte de la clase. Es posible que surjan términos como distancias iguales, línea recta, perpendicular o ángulo recto, línea o eje de simetría, etc. En el caso de que no aparezca alguna de ellas, no se las indique usted, pues a continuación sus estudiantes trabajarán para descubrirlas.\n
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Reflexión en la Batalla naval","eng":"","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"El propósito de esta sección es que los estudiantes identifiquen una reflexión a partir de sus características. Para esto, se les pedirá crear un polígono de entre 5 y 7 lados, en una hoja blanca y luego, utilizando la misma técnica del juego para lanzar misiles, copiarán la figura. Luego, realizarán algunas mediciones con regla y transportador para verificar características y darse cuenta de que efectivamente, esto corresponde a una reflexión.\n
","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Entregue otra hoja blanca a cada estudiante, pídales que doblen la hoja, marquen la línea recta y que la identifiquen como “Eje”, y agréguela a la lista de términos de la pizarra.\n
","tipo":"p"},{"escala":"25","caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Batalla_Naval/imgs/8.png","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Luego, pídales que trabajen en la pregunta 2 de la Hoja de Actividades. El propósito de esta pregunta es asegurar que sus estudiantes dibujen un polígono con las condiciones pedidas, el cual será reflejado en la siguiente pregunta.\n
"},{"esp":"- Marca 5, 6 o 7 puntos en la hoja con la intención de formar un polígono de 5, 6 o 7 lados, respectivamente. El polígono debe cumplir la condición de que dos de sus vértices estén en un lado de la recta y el resto, en el lado opuesto.
Si es necesario recuerde qué es un polígono (puede encontrar esta definición en los aspectos matemáticos) figura geométrica de lados rectos. Luego, dé la indicación de nombrar los vértices con letras, recorriéndolos en sentido antihorario ↶, y deje esto registrado en la pizarra. Es importante que se haga, ya que será clave para identificar una propiedad de la reflexión en una sección posterior.\n
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"Algunas figuras que pueden surgir son las siguientes:
","tipo":"p"},{"tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Batalla_Naval/imgs/9.png","caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"100","eng":"","alinea":"texto-centrado"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Puede dar un minuto para que compartan las figuras con sus compañeros y compañeras. Es importante que sus estudiantes tengan oportunidad de visualizar la variedad de figuras creadas por los demás, ya que esto ayuda a que validen las conclusiones con mayor naturalidad, independiente de lo que haya dibujado cada estudiante.
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Luego, pídales que trabajen en la pregunta 3 de la Hoja de Actividades, en donde se busca que sus estudiantes apliquen la técnica del juego para representar la reflexión del polígono antes dibujado (Tarea Matemática B).\n
"},{"recurso":"Actividades","esp":"- Considera que los vértices del polígono corresponden a misiles en el juego anterior. Aplica la técnica de lanzamiento a todos sus vértices y luego reconstruye la figura con un lápiz de color diferente.
En caso que sea necesario, puede aclarar que en esta oportunidad, a diferencia de lo que ocurrió en el juego, la misma persona estará lanzando misiles desde ambos lados del eje.
","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Plantee que utilizarán el término “imagen de A” o “A’ (A prima)” para referirse al punto correspondiente a A, y de igual manera con el resto de los vértices. Sus respuestas pueden verse de las siguientes formas (considera que no hemos identificado todos los vértices para no recargar visualmente cada figura).
","eng":""},{"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","eng":"","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Batalla_Naval/imgs/10.png","escala":"100","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"tipo":"p","esp":"En este momento, se sugiere que pida a algunos y algunas de sus estudiantes que muestren sus producciones al resto del curso, para luego sistematizar las siguientes conclusiones.\n
","eng":""},{"tipo":"momento","recurso":"Destacado","eng":"","esp":"A la transformación de puntos del plano realizada, se le denomina reflexión. \n\nEn esta actividad diremos que la figura roja es la reflexión de la figura azul, en torno a la recta \\(m\\), que se denomina «eje de reflexión».
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Batalla_Naval/imgs/11.png\")
\n
Diremos que A’ es la imagen de A o que A es la preimagen de A’.
\n"},{"esp":"Con el propósito de sistematizar aspectos relevantes del proceso y características de la reflexión (Tarea Matemática C), puede plantear preguntas como las siguientes:\n
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"- ¿Alguien duda de que los segmentos AB y A’B’ tengan igual medida? ¿Por qué?
- ¿Por qué estarían seguros de que las medidas de AB y A’B’ son iguales?
Se espera que indiquen que cuando la hoja se pliega, los segmentos quedan sobrepuestos, por tanto es evidente que la medida de AB y A’B’ son iguales, ya que al medir AB, también se está midiendo A’B’. \n\n
","eng":""},{"tipo":"p","esp":"De ser necesario, de más tiempo para que sus estudiantes comprendan y acepten estas ideas, pues son fundamentales para conceptualizar la reflexión como una transformación isométrica.
","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"A continuación, se busca que sus estudiantes midan segmentos y ángulos, para constatar las propiedades que definen una reflexión. Para esto solicite a sus estudiantes que resuelvan la pregunta 4 de la Hoja de Actividades. \n
"},{"esp":"- Utilizando regla y transportador, realiza lo siguiente:\n
- Dibuja los segmentos entre cada vértice y su imagen.\n
- Mide el ángulo que forma el segmento \\(AA’\\) con el eje. De igual manera con el resto de los segmentos.
- Mide los segmentos entre cada punto y el eje y anota sus medidas.
Gestione la puesta en común del trabajo anterior con el propósito de destacar las propiedades de la reflexión en el plano (Tarea Matemática C). Puede utilizar preguntas como las siguientes:
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"- ¿Qué ángulo se forma entre cada segmento y el eje?
- ¿Dónde está ubicado el eje respecto de cada punto y su imagen? ¿Cómo son las distancias entre un punto y el eje, y entre su imagen y el eje? \n
Debido a que sus estudiantes realizaron las mediciones correspondientes, se espera que haya acuerdo generalizado respecto a que:
","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"- El eje y los segmentos AA’, BB’, etc., se cortan formando un ángulo recto o de 90°.
- La distancia entre un punto y el eje es igual a la de la imagen del punto y el eje. También podrían indicar que, por ejemplo, el eje está ubicado en el punto medio del segmento AA’.\n
Estas ideas son fundamentales para abordar la siguiente y última pregunta de la Hoja de Actividades, en la que describen cómo se podría usando una escuadra, realizar la reflexión de un polígono a partir de las propiedades de la reflexión (Tarea Matemática D).
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"momento","recurso":"Actividades","esp":"- Imagina que no se puede doblar la hoja en la que harás la reflexión de un polígono cualquiera, pero que tienes una escuadra. ¿Cómo lo harías para encontrar la imagen de cada vértice?
Se espera que sus estudiantes comenten que utilizando la escuadra, trazarían segmentos perpendiculares al eje, extendiéndolos hacia el lado opuesto del eje hasta igualar la distancia entre el punto original y el eje. Al igualarse la distancia se obtiene la imagen del punto original.
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Pueden surgir otras respuestas que incluyan el uso de regla, compás y transportador, de ser correctas también acéptelas y compártalas con el curso.
"},{"tipo":"momento","recurso":"Destacado","eng":"","esp":"Concluya con sus estudiantes que:
- Para reflejar un punto A se busca un punto A’ tal que el segmento AA’ sea perpendicular al eje, y que su punto medio esté en el eje.
"},{"esp":"Antes de finalizar la clase, proyecte la siguiente imagen para abordar las siguientes preguntas con sus estudiantes: \n
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"escala":"25","alinea":"texto-centrado","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/8_basico/Batalla_Naval/imgs/11.png"},{"esp":"- Si un punto de un polígono está sobre el eje, ¿dónde se ubicaría su imagen?, ¿Por qué?
- Recordemos que los vértices del polígono se orientaron en sentido antihorario, ¿en qué sentido quedaron orientados los vértices de su imagen?
- Si reflejamos los puntos imágenes A’, B’, etc… respecto del mismo eje de reflexión \\(m\\), ¿dónde se ubicarían? ¿Qué figura se obtendría?
- El reflejo de un punto que está sobre el eje es el mismo punto. Esto se observa al plegar el papel, ya que la recta queda fija.
- En la figura reflejada, los vértices A’, B’, … están en sentido horario, es decir en sentido “inverso” a la original, en la que sus vértices estaban en sentido antihorario.
- Al reflejar el polígono \\(A’B’C’D’E’\\) respecto al eje \\(m\\), se obtiene el mismo polígono \\(ABCDE\\) original.
Finalmente, avance a la sección de sistematización.
","tipo":"p","eng":""}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Sistematización","tipo":"h3"},{"esp":"En base a lo realizado en clases, sistematice las siguientes ideas:
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"- La reflexión es una transformación del plano que lleva los puntos al lado opuesto del eje y los que están sobre el eje quedan fijos.\n
- \n
- Para reflejar un punto A se busca un punto A’ tal que el segmento AA’ sea perpendicular al eje y que su punto medio esté en el eje.\n \n
- Al reflejar la imagen de A, es decir A’, sobre el mismo eje que fue considerado para obtenerla, se obtiene el punto original A.\n \n
\n - \n\nLa reflexión es una “Transformación isométrica”, esto quiere decir que conserva distancias y medidas de ángulos, entre otras características. Además, es la única transformación que cambia el sentido de orientación de los vértices de un polígono. Por ejemplo, si los vértices de un polígono están identificados en sentido antihorario, los de su imagen estarán en sentido horario.\n\n\n\n \n
Estos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente los siguientes indicadores de evaluación:\n
"},{"esp":"- Dibujar figuras simétricas
- Reconocer figuras simétricas
- Describir estrategias para crear figuras simétricas
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinada condición. Por ejemplo, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos fijos A y B corresponde a la recta o eje de simetría entre estos dos puntos. \n
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Mercalli/imgs/2.png","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"25","alinea":"texto-centrado"},{"esp":"Así, una manera de describir ciertas figuras en el plano, es establecer condiciones sobre los puntos que pertenecen a ellas.
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Circunferencia y Círculo"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Es importante recordar la distinción entre círculo y circunferencia. Una circunferencia es el lugar geométrico formado por todos los puntos equidistantes a un punto del plano, llamado centro, que forman una línea cerrada, limitando una región interior. Por otro lado, el círculo corresponde al lugar geométrico formado por todos los puntos que se encuentran a menor o igual distancia del centro que la circunferencia.\n
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Mercalli/imgs/circulo-circunferencia.png","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"25","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","eng":""},{"eng":"","esp":"Un radio es cualquier segmento que une el centro con un punto en la circunferencia. La longitud del radio es la distancia constante de los puntos de la circunferencia al centro.
","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"Perímetro del círculo","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Al igual que en otras figuras geométricas, es posible calcular el perímetro de una circunferencia. Lo esencial para poder hacer este cálculo es el hecho de que el cociente entre el perímetro de cualquier circunferencia y su diámetro es una constante que llamamos pi y denotamos por la letra griega \\(\\pi\\). Esta constante es un número irracional infinito que aproximadamente es"},{"esp":"\\[\\pi = 3,14159265358979323\\ldots\\]","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"\nEl número \\(\\pi\\) nos permite calcular el perímetro de cualquier circunferencia como \\(P = d\\cdot\\pi\\) o \\(P = 2\\pi\\cdot r\\), donde \\(d\\) y \\(r\\) son el diámetro y el radio de la circunferencia, respectivamente.\n","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"Área del círculo","eng":""},{"esp":"La constante \\(\\pi\\) también nos permite calcular el área de un círculo, esto es, la medida de su superficie. Si el círculo tiene radio \\(r\\), su área vendrá dada por \\(A=\\pi\\cdot r^2\\).","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Densidad poblacional","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"La densidad poblacional es una medida que representa la cantidad de habitantes en una zona específica. Matemáticamente, se calcula como el cociente entre la población total de una zona y su área, generalmente expresada en habitantes por kilómetro cuadrado. Por ejemplo, en el caso de Chile, que tiene una población de 19.629.590 personas y una superficie de 756.102 \\(km^2\\), su densidad poblacional es aproximadamente de 26 habitantes por kilómetro cuadrado. Esto significa que, en promedio, en cada kilómetro cuadrado de Chile viven alrededor de 26 personas. Es importante destacar que esta cifra es un promedio y que en la realidad, existen áreas con densidades de población mucho más altas o nulas, lo que refleja que la densidad poblacional de una región no proporciona detalles acerca de la distribución precisa de la población dentro de esa región.","tipo":"p"}]},"2":{"contenido":[{"esp":"Uso de distintas representaciones de un mismo objeto matemático","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","esp":"En esta situación, las y los estudiantes deben utilizar datos reales de un terremoto ocurrido en Chile para analizar - según la escala mercalli - el área afectada hasta un determinado grado de intensidad. Como se verá en la situación, esta área se podrá aproximar a la de un círculo, lo que permitirá estimar el número de personas afectadas considerando la densidad poblacional de la zona. \n
","tipo":"p"},{"esp":"Las y los estudiantes contarán con un mapa que muestra el epicentro del terremoto y distintas localidades en donde se registró una intensidad mercalli igual a VI. Midiendo con regla, registrando los datos que obtengan en tablas y trazando dibujos sobre el mapa, se promueve que las y los estudiantes noten que, en este caso particular, aquellas localidades con una misma intensidad mercalli, están aproximadamente a la misma distancia del epicentro. Esto les ayudará a concluir que una circunferencia centrada en el epicentro es la figura geométrica adecuada para describir los puntos con igual intensidad.\n
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"El trabajo propuesto en esta situación, fomenta fuertemente el uso de la visualización matemática, desde una perspectiva de Duval (1999). Esto quiere decir que lo que se promueve es el desarrollo de la habilidad de relacionar distintas representaciones de un mismo objeto matemático dándole sentido. Esto implica, que las y los estudiantes, desarrollarán la capacidad de moverse entre diversos registros de representación como los que se muestran en la siguiente figura (fuente imagen)
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Mercalli/imgs/asp-didacticos-1.png","escala":"50","eng":"","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Para lo anterior es necesario desarrollar procesos cognitivos de transformación. Algunos de estos se activan por instrumentos como la regla en una parte de la situación o el lápiz para dibujar una circunferencia sobre el mapa, por ejemplo.
"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Magnitud e Intensidad de un sismo","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Cuando ocurre un temblor o terremoto, se libera una gran cantidad de energía. Esa energía liberada es una propiedad de cada movimiento sísmico y es una suerte de huella digital del mismo, y es la que se mide en la escala de magnitud sísmica. Este es el número que se reporta cuando se dice que un terremoto tuvo una cierta magnitud: por ejemplo, el terremoto del 2010 tuvo una magnitud 8,8 en la escala de magnitud sísmica. Es importante notar que esta magnitud se mide en una escala logarítmica de base 32, de manera que si un temblor tiene una magnitud 1 más que otro, significa que se liberó 32 veces más energía.\n
"},{"eng":"","esp":"Además de la magnitud de un terremoto, es relevante también medir “cómo se siente” en distintas localidades. Es decir, se quiere medir la intensidad del temblor en cada posición. Esa intensidad mide, esencialmente, cuánto se mueve la tierra y los efectos que tiene localmente. Naturalmente depende de la distancia al epicentro. Mientras más lejos, más pequeña será la intensidad, pero depende también del tipo de suelo y de la profundidad del terremoto. No hay una relación directa entre magnitud (que es un valor único para cada terremoto) e intensidad (que depende de dónde se mide), pero naturalmente un terremoto de mayor magnitud generará mayores intensidades. La intensidad se mide en la llamada Escala de Intensidad de Mercalli Modificada (IMM), que va desde I para movimientos muy débiles a XII para movimientos extremos.
","tipo":"p"},{"esp":"Curvas isosismales","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Luego de ocurrido el terremoto, a partir de las observaciones en distintos puntos del país que pueden hacer distintas personas, se construye un mapa del territorio con las Intensidades Modificadas de Mercalli en cada punto. Para puntos donde no se pudo medir, se puede estimar el valor de la IMM usando modelos computacionales para la propagación de las ondas sísmicas. Con todo esto se unen los puntos de igual intensidad y se construye lo que se llama mapa isosismal, que no son más que curvas de nivel de igual intensidad. Para algunos terremotos, las curvas de nivel serán círculos concéntricos, centrados en el epicentro, con valores cada vez más pequeños a medida que nos alejamos. Cuando hay terremotos de gran magnitud, normalmente la zona de ruptura es grande (por ejemplo en el terremoto del 2010 se rompió una zona de más de 500km de largo) y en esos casos las curvas isosismales no son circulares.\n
","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Mercalli/imgs/isosimal-vf.png","tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"","escala":"50","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""}}]}}},"recursos":{"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Infografía “¿Cómo medimos el impacto y la energía de un terremoto?”","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En esta infografía se describen las escalas de magnitud sísmica y Mercalli y sus diferencias.
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escala-mercalli/Infografi%CC%81a-MERCALLI.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"tipo":"button","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escala-mercalli/Infografi%CC%81a-MERCALLI.pdf","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Infografía","eng":"Descargar Infografía"}},{"eng":"","esp":"Presentación (Diapositivas 2 a 4)","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escala-mercalli/ppt-mercalli.pdf","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escala-mercalli/ppt-mercalli.pptx","eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"Descargar Presentación","esp":"Descargar Presentación"},"tipo":"button"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Hoja de Actividades","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
"},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escala-mercalli/ha-escala-mercalli.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escala-mercalli/ha-escala-mercalli.docx","recurso":"Descarga","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":""},"eng":""},{"esp":"Presentación (Diapositivas 5 a 16)","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escala-mercalli/ppt-mercalli.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"tipo":"button","eng":"","recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escala-mercalli/ppt-mercalli.pptx","titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""}}]},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Presentación (Diapositivas 17 a 18)"},{"esp":"sta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escala-mercalli/ppt-mercalli.pdf","eng":""},{"tipo":"button","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escala-mercalli/ppt-mercalli.pptx","recurso":"Descarga","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"}}],"visible":true},"4":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Guía Práctica","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Los ejercicios de esta guía tienen como objetivo que las y los estudiantes apliquen su comprensión de circunferencia y círculo, en tanto lugares geométricos, para establecer si determinados puntos del plano pertenecen o no a ciertas circunferencias o círculos.
","eng":""},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escala-mercalli/gp-escala-mercalli.pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escala-mercalli/gp-escala-mercalli.docx","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Guía práctica"},"tipo":"button","eng":""},{"tipo":"h3","esp":"Recurso Interactivo","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"El siguiente recurso GeoGebra ha sido diseñado para apoyar el trabajo con la guía práctica de esta situación. El recurso permite mover el punto Q en el plano y observar como cambia su distancia a los puntos H y K. Además, es posible mostrar las circunferencias con centro en H y K descritas en el problema de la guía práctica.\n
"},{"recurso":"Geogebra","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/vjtqj2pu/width/898/height/682/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false\" width=\"898px\" height=\"682px\" style=\"border:0px;","tipo":"iframe","eng":""}]}},"visible":true},"visible":true,"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Momento de Enganche","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Presente la Infografía “Cómo medimos un terremoto”. En ella se describen brevemente las escalas de magnitud sísmica y Mercalli, y sus diferencias. Para verificar la comprensión de las y los estudiantes en torno a estos temas, se sugiere plantear preguntas como las siguientes:\n
"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"- ¿Cuál es la diferencia entre magnitud e intensidad de un sismo?
- ¿De qué factores depende la intensidad de un sismo?\n
- ¿Qué mide la escala Mercalli Modificada? ¿Qué rango de valores puede tomar?
Dé un breve tiempo para que sus estudiantes respondan y discutan estas preguntas. Es importante que entiendan que la escala mercalli modificada mide la intensidad de un sismo o terremoto, es decir, “cómo se siente” el sismo en distintos lugares, y por tanto, varía dependiendo del lugar en donde se mida, a diferencia de la magnitud, que es un valor único para cada sismo. \n
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"Presentación del problema","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Comente que, en lo que sigue, utilizarán la escala de mercalli modificada para estimar la cantidad de personas que se vieron afectadas por un sismo de grado 7.1 en escala Richter, con epicentro 23 km al norte de Constitución, en 2012.
"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Mercalli/imgs/4.png","escala":"50"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Primera parte"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositivas 5 a 14, Presentación)"},{"tipo":"p","esp":"En este primer momento se busca que las y los estudiantes comprendan que, en el caso particular del sismo que se está estudiando, las localidades con igual intensidad Mercalli definen aproximadamente círculos concéntricos, centrados en el epicentro. Para ello, pida que aborden la primera actividad de la Hoja de Actividades,
","eng":""},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Actividades","esp":"- Considera el siguiente mapa, donde se ha marcado el epicentro del terremoto del 2012 y tres localidades de Chile cuya intensidad en escala mercalli fue grado VI.
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Mercalli/imgs/5_V2.png\")
- \n
- Usa una regla para medir la distancia desde el epicentro a las distintas localidades. Registra tus medidas en una tabla. Considera que en el mapa, 1 cm equivale a 20 km en la realidad.
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Mercalli/imgs/6.png\")
\n - Las localidades de Maule, Pueblo Nuevo y Lolol, también fueron categorizadas con una intensidad de grado VI. Registra la distancia al epicentro.
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Mercalli/imgs/7_V2.png\")
![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Mercalli/imgs/8.png\")
\n
- Usa una regla para medir la distancia desde el epicentro a las distintas localidades. Registra tus medidas en una tabla. Considera que en el mapa, 1 cm equivale a 20 km en la realidad.
"},{"esp":"
","tipo":"momento","recurso":"Respuesta","eng":""},{"esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Mercalli/imgs/tabla-resp.png\")
Es posible que más de algún estudiante se confunda con el uso de la escala y las unidades. Se sugiere prestar atención a este punto durante el monitoreo, pues es importante que las y los estudiantes puedan progresar en el trabajo propuesto y obtener las distancias reales.
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Dé un tiempo para que las y los estudiantes compartan sus respuestas con el resto del curso y que las comparen. Se espera que todos obtengan valores entre 56 y 62 km para todas las localidades (nota: estas medidas se obtendrán solo si la hoja de actividades se imprime en tamaño carta). Aproveche este hecho, para promover una discusión en que las y los estudiantes noten que todas las localidades en que se registró una intensidad de grado VI, están a una distancia del epicentro muy similar entre sí.
"},{"eng":"","esp":"Luego, plantee la siguiente pregunta,
","tipo":"p"},{"esp":"¿Si seguimos agregando al mapa otras localidades con la misma intensidad Mercalli (grado VI), que figura se formaría?
","tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Se espera que las y los estudiantes se pregunten por alguna figura geométrica que satisfaga la condición que la distancia de todos sus puntos a un punto dado es constante. Es plausible que noten que una circunferencia tiene esta propiedad. Guíe la discusión para que las y los estudiantes conecten el conjunto de puntos que están a la misma distancia de otro con la idea de circunferencia. \nSi nota que tienen dificultades para llegar a esta conclusión, se sugiere evaluar con los estudiantes distintas figuras geométricas y la distancia de sus puntos a un punto central, relacionando este trabajo con los datos del problema. Por ejemplo, puede proponer evaluar un cuadrado, ver que los cuatro vértices están a la misma distancia del centro, pero el resto de los puntos que componen sus aristas no, y así acercarse a que la circunferencia satisface lo que se busca. \n
","eng":""},{"esp":"Con el objetivo de que las y los estudiantes reconozcan a la circunferencia y círculo como lugar geométrico, pídales que a continuación trabajen en la segunda actividad de la Hoja de Actividades,
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"","esp":"- \n
- En el mapa de la actividad anterior, dibuja la circunferencia que determina aquellas localidades con intensidad igual a VI en escala Mercalli,
- ¿Qué puedes decir de la intensidad de una localidad que se encuentra a una distancia menor o igual al radio de la circunferencia anterior? ¿Y de una localidad que se encuentre a una distancia mayor? \n
"},{"esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escala-mercalli/10.png\")
Sugiera a las y los estudiantes esbozar la circunferencia usando compás, lo que los ayudará a identificar las características que definen la circunferencia, esto es, su centro (en el epicentro) y radio (distancia del epicentro a cualquiera de las localidades anteriores).
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En la segunda pregunta, se espera que reconozcan que cualquier localidad dentro de la región delimitada por la circunferencia tendrá un grado Mercalli mayor a VI. Respecto a esto, es importante que sus estudiantes interpreten que, dado que estos puntos están a distancia menor o igual del epicentro que aquellos que tienen intensidad VI, su intensidad será mayor. Lo mismo para los puntos fuera de la circunferencia. \n
"},{"tipo":"p","esp":"Puede pedir a algunos estudiantes que respondieron correctamente que expliquen su respuesta al resto del curso.
","eng":""},{"recurso":"Destacado","eng":"","esp":"A modo de conclusión del trabajo realizado hasta el momento, se sugiere destacar los siguientes aspectos,
\n\n- \n
- \n
Han encontrado una curva que une todos los puntos del mapa en que se registró una misma intensidad Mercalli. Para algunos terremotos estas curvas corresponden aproximadamente a circunferencias concéntricas, centradas en el epicentro, con valores de intensidad más pequeños a medida que la distancia al epicentro es mayor. El mapa que muestra las diferentes curvas de igual intensidad de un terremoto, se conoce como mapa isosismal.
\nEs posible que más de algún estudiante cuestione el hecho de que las curvas isosimales son circunferencias dado el ejemplo. En estos comenten que efectivamente las curvas no son circunferencias exactas pues los cambios en la geografía influyen en los puntos que la determinan. Este efecto no es tan notorio hacia el mar.
\n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escala-mercalli/11.png\")
\n\n - \n
El lugar geométrico formado por todos los puntos equidistantes a un punto fijo del plano es una circunferencia cuyo centro es dicho punto fijo. \n
\n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escala-mercalli/12.png\")
\n\n\n - \n
Por otro lado, el círculo corresponde al lugar geométrico formado por todos los puntos que se encuentran a menor o igual distancia del centro que la circunferencia.\n
\n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/escala-mercalli/13.png\")
\n\n
En este segundo momento se busca que las y los estudiantes estimen la cantidad de personas que sintieron una intensidad mercalli de grado VI o mayor en el sismo de Constitución. Para ello deberán estimar el área de la región asociada y operar con la densidad poblacional.
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Pida a sus estudiantes que, en grupos o parejas, aborden la tercera pregunta de la Hoja de Actividades,
","eng":""},{"eng":"","tipo":"momento","esp":"Si la densidad de población promedio en la región delimitada por la intensidad VI en escala Mercalli es de 34 personas por kilómetro cuadrado ¿cuántas personas aproximadamente percibieron el terremoto con esta intensidad o mayor?
","recurso":"Actividades"},{"recurso":"Respuesta","tipo":"momento","eng":"","esp":"\\[A=\\frac{\\pi r^2}{2}=\\frac{\\pi 60^2}{2}=5654,9 km^2\\]\n\\[5654,9 km^2 \\cdot 34 \\frac{\\text{personas}}{km^2} = 192265,5 \\text{ personas}\\]\n"},{"tipo":"p","esp":"Dé tiempo para que sus estudiantes trabajen en torno a esta pregunta. Es posible que más de algún grupo de estudiantes tenga dificultades para interpretar el concepto de densidad poblacional. En estos casos, ayúdelos a que reconozcan que es una medida de la cantidad de personas por superficie.
","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Se espera que las y los estudiantes reconozcan que es necesario conocer la mitad del área del círculo para poder estimar adecuadamente el número de personas que percibieron el terremoto con una intensidad VI o mayor. Un error plausible en este desarrollo, es que los estudiantes multipliquen toda el área del círculo por la densidad. Si este es el caso, ayúdelos a que noten que un cálculo de ese estilo no tiene sentido en el contexto, pues estarían considerando que hay una densidad poblacional en el mar. \n
","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Para finalizar la lección, puede pedir a algunos grupos de estudiantes que compartan sus respuestas y procedimientos con el resto del curso.
","eng":""}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Sistematización","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 17 a 18, Presentación)","eng":""},{"esp":"En base a lo realizado en clases, sistematice las siguientes ideas:\n
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","esp":"- \n
- El lugar geométrico formado por todos los puntos equidistantes a un punto fijo del plano es una circunferencia cuyo centro es dicho punto fijo.
- El círculo corresponde al lugar geométrico formado por todos los puntos que se encuentran a menor o igual distancia del centro que la circunferencia.\n
- En algunos sismos o terremotos, las curvas isosismales (es decir, aquellas que unen todos los puntos del mapa en que se registró una misma intensidad Mercalli) corresponden aproximadamente a circunferencias concéntricas, centradas en el epicentro.
Presente a sus estudiantes la Guía Práctica y dé tiempo para que trabajen en ella. Todos los ejercicios giran en torno a una serie de puntos marcados en una cuadrícula y dos circunferencias/ círculos que se trazan a partir de ellos (centradas en H y K).
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/7_basico/Mercalli/imgs/guia-1.png"},{"eng":"","esp":"Los ejercicios de la guía se separan en tres grupos, que abordan los conocimientos abordados en la lección: circunferencia como lugar geométrico, círculo como lugar geométrico y cálculo de perímetro y área de círculos.
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Es posible que algunos estudiantes tengan dificultades para decidir si un punto que pertenece a una circunferencia, pertenece al círculo asociado a ella. En estos casos, se sugiere volver sobre la definición de círculo, es decir, mostrar que corresponde al lugar geométrico formado por todos los puntos que se encuentran a una distancia menor o igual que el centro de la circunferencia.
"},{"tipo":"p","esp":"En la pregunta 6 de la guía, las y los estudiantes deben decidir si hay puntos que pertenezcan a ambos círculos. Si bien en la cuadrícula que se entrega en la guía ninguno de los puntos destacados cumple con esa condición, si ud. lo considera pertinente podría llevar la discusión hacia la intersección de los círculos, y mostrar que los puntos de la intersección pertenecen a ambos lugares geométricos.
","eng":""},{"esp":"La guía se puede acompañar del siguiente recurso GeoGebra, diseñado para apoyar la compresión del problema y promover la discusión matemática en torno a los ejercicios. \n
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"iframe","recurso":"Geogebra","eng":"","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/vjtqj2pu/width/898/height/682/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false\" width=\"898px\" height=\"682px\" style=\"border:0px;"},{"tipo":"p","esp":"Estos ejercicios pueden ser utilizados para evaluar formativamente los siguientes indicadores:\n
","eng":""},{"esp":"- Identifican el círculo y la circunferencia como lugares geométricos en el plano.
- Aplican la fórmula \\(A = r^2 \\cdot π \\) en ejercicios rutinarios y en la solución de problemas que involucran áreas de círculos.
Las funciones cuadráticas se definen como aquellas que pueden expresarse en la forma \\(f(x)=ax^2+bx+c\\), donde \\(a\\), \\(b\\) y \\(c\\) son constantes, con \\(a \\neq 0\\).
","tipo":"p"},{"esp":"Este tipo de funciones se utilizan ampliamente para modelar y resolver problemas en diversos ámbitos del mundo real. Para abordar estos problemas, es fundamental entender las características del gráfico de la función cuadrática, como su forma de parábola y los puntos clave del gráfico, como el vértice y las intersecciones con los ejes. Esta comprensión nos permite analizar visualmente los problemas y utilizar la función cuadrática para encontrar soluciones.","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En el punto de intersección del gráfico de la función cuadrática con el eje \\(y\\), donde \\(x=0\\), el valor de la función es igual a la constante \\(c\\). \n"},{"alinea":"texto-centrado","eng":"","tipo":"img","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/produccion-cerezas/imgs/graficos1.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"75","caption":{"eng":"","esp":""}},{"esp":"La primera coordenada de los puntos de intersección del gráfico de la función cuadrática con el eje \\(x\\), corresponden a las raíces de la ecuación cuadrática \\(ax^2+bx+c=0\\). Dependiendo del número de soluciones reales de esta ecuación, el gráfico puede cortar al eje \\(x\\) en dos, uno o en ningún punto.","tipo":"p","eng":""},{"escala":"75","caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/produccion-cerezas/imgs/esp/graficos2.png","alinea":"texto-centrado"},{"eng":"","esp":"Además, el gráfico de la función cuadrática se abre hacia arriba o hacia abajo según el signo del coeficiente \\(a\\).","tipo":"p"},{"eng":"","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/produccion-cerezas/imgs/graficos3.png","escala":"75","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img"},{"esp":"El gráfico de una función cuadrática presenta simetría con respecto a la recta vertical que pasa por el vértice de la parábola. Cuando \\(a<0\\), la función cuadrática alcanza su valor máximo en el vértice de la parábola, mientras que si \\(a>0\\) la función presenta su valor mínimo en dicho punto. ","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Existen varias formas de encontrar el valor máximo o mínimo de una función cuadrática. Si los ceros de la función son dos números reales, la primera coordenada del vértice corresponde al punto medio entre ambas raíces, y al evaluar dicho valor en la función, se puede obtener el valor máximo o mínimo deseado.","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","alinea":"texto-centrado","tipo":"img","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/2-medio/produccion-cerezas/imgs/graficos4.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"75","caption":{"esp":"","eng":""}}]},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Consideraciones Generales","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Para desarrollar este proyecto, es necesario tener en cuenta: "},{"eng":"","esp":"- El enfoque del proyecto se centra en que los estudiantes trabajen en forma colaborativa en la consecución de un objetivo o un desafío que puede presentarse como una pregunta, un problema o desafío. Este desafío debe surgir desde sus propios intereses o inquietudes.
- El proyecto se desarrolla en cuatro etapas: desafío, investigación, creación y comunicación.
- Si bien, el desarrollo del proyecto se apoya en el proceso de modelización, no hay que confundir las etapas del proyecto con las fases del ciclo de modelización.
Es muy probable que los resultados que obtengan serán diferentes ya que ello depende de varios factores: variedad de cereza, calidad, lugar de comercialización, origen, etc. Además, que la dispersión de datos puede tener distintas razones que no se informan en la página, por lo que se recomienda orientar la discusión sobre los aspectos que podrían generar tal dispersión. \n","tipo":"p","eng":""},{"esp":"La participación de los estudiantes en el proyecto puede ser utilizada para fomentar el desarrollo de la habilidad para argumentar respecto de las implicaciones de los resultados en la situación y los alcances de la representatividad de la situación a partir de datos estadísticos.","eng":"","tipo":"p"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Aspecto de la producción de cerezas en Chile"},{"esp":"Venta nacional/internacional","eng":"","tipo":"h4"},{"eng":"","esp":"Chile se reconoce como uno de los principales productores de cereza a nivel mundial. En los primeros meses del año 2023 se exportaron más de 300 000 toneladas de cereza lo que representa aproximadamente un 47% del total de fruta exportada en el periodo mencionado y cuyo principal destino es China debido a las celebraciones del año nuevo en ese país. Esto último determina que las principales exportaciones se realicen en las tres semanas previas al año nuevo en China. De manera que un reto que se proyecta en Chile es incrementar la producción de cerezas en los próximos años.","tipo":"p"},{"esp":"Producción","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"En Chile existen más de 63000 hectáreas plantadas con cerezo, las cuales se distribuyen principalmente en el centro del país, desde Aysén hasta Coquimbo. Entre las principales variedades sembradas se encuentran Bing, Lapins, Regina, Sweet Heart y Satina. Para el crecimiento de estos frutos se requieren condiciones particulares como una temperatura óptima de entre 18 y 24ºC, y dependiendo de la variedad entre 400 y 1500 horas de frío (T menor a 7ºC). Entre otras características, para el rendimiento en la producción se consideran las lluvias, el tipo de suelo y la ubicación, factores que inciden en la determinación del tipo de riego (goteo, surco, microaspersión, aspersión). ","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"El rendimiento de cerezas es de entre 8 y 11 toneladas por hectárea, dependiendo de la variedad y de los métodos utilizados. ","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Existen diversos costos asociados a la producción de cerezas, como el costo por mano de obra, pesticidas y fertilizantes, entre otros. También se sabe que el promedio de estos costos disminuye a medida que aumenta la producción del fruto, por lo que una de las intenciones principales de los agricultores será incrementar la producción. ","eng":""},{"esp":"Para más información sobre el mercado de la cereza en chile y su produccion, puedes consultar los siguientes links, ","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","esp":"- Análisis de la industria de la cereza chilena
- Exportación de la cereza
- Costos de producción de la cereza
¿Cuáles creen que son los principales desafíos en la producción de cerezas en Chile?
","tipo":"momento"},{"tipo":"p","esp":"De un tiempo para que los estudiantes discutan al interior del grupo y después puede pedir que algún miembro del grupo comparta sus opiniones con el resto de la clase. Luego, se sugiere compartir la siguiente noticia (también disponible en la sección de recursos) y plantear preguntas como las siguientes para apoyar su compresión:","eng":""},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","eng":"","esp":"¿Cómo influyen en los ingresos de los agricultores las pérdidas de producción? ¿Qué harían ustedes frente a esta situación?
"},{"esp":"Deje que los estudiantes lean la noticia y la discutan, pídales que completen la Hoja de actividad con las conclusiones a las que lleguen como equipo, pueden socializar los desafíos y las estratégias que han ido surgiendo en sus discusiones. Guíe el debate a que los estudiantes piensen en la planificación de los agricultores y la determinación de un óptimo de producción y que se considere un productor promedio. ","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Planteamiento del desafío"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Luego de la discusión anterior, y para finalizar la clase, presente el desafío que deberán trabajar en las siguientes etapas del proyecto:"},{"eng":"","tipo":"momento","esp":"Desafío:
¿Cuántas toneladas de cereza se deben producir para maximizar los ingresos del próximo año de un agricultor promedio? y ¿Cómo debe planificarse la producción?
","recurso":"Pregunta"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Investigación","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","esp":"Tiempo sugerido para la etapa: 1 clase","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En esta investigación los estudiantes deben comprender los distintos aspectos contextuales que están involucrados en la situación planteada. En este caso, deberán recopilar información sobre el mercado de las cerezas, cómo es la producción de esta fruta, qué factores afectan su cultivo, costos de producción y precios de venta históricos, entre otros. Algunos de estos elementos serán utilizados para obtener la cantidad óptima a producir, mientras que otros les permitirán crear el plan de producción una vez determinada la cantidad óptima. "},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Algunas de las preguntas que podrían orientar la investigación son las siguientes:"},{"esp":"- ¿Cómo funciona la industria de las cerezas?
- ¿Qué factores son importantes para definir la producción de una fruta? ¿y de las cerezas?
- ¿Qué tipos de cerezas son producidas en Chile y cuáles son sus diferencias?
- ¿Cómo se calculan las ganancias de una empresa agrícola?
- ¿Cuáles son los costos de producción de la fruta?
- ¿Cuáles son los precios históricos de venta de esta fruta?
- ¿De qué factores depende el precio de un producto como la cereza?
- ¿Cómo funciona la ley de la oferta y la demanda?
- ¿Cómo esta información se relaciona con la situación planteada?
- ¿Por qué esta información es relevante para resolver la problemática?
- ¿Cómo este dato te permite avanzar en la elaboración de tu plan de producción de cerezas?
- ¿Qué información aporta lo que acaban de investigar / descubrir para resolver la pregunta planteada?
- Un modelo para responder a la pregunta (inicialmente un modelo que relaciona el precio con el volumen comercializado y posteriormente un modelo para determinar el ingreso).
- Diseño de un plan de producción (considere su pertinencia en función del tiempo disponible)
Desafío:
\n¿Cuántas toneladas de cereza se deben producir para maximizar los ingresos del próximo año de un agricultor promedio? y ¿Cómo debe planificarse la producción?
\n
","tipo":"momento"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para iniciar el trabajo matemático es necesario que las y los estudiantes tengan claro este problema que deben resolver y las condiciones bajo las que lo resolverán. Esto implica descartar factores que podrían afectar la producción, tales como situaciones climáticas atípicas o descartar gastos asociados a la producción. Para ello puede sugerir que describan con sus propias palabras las preguntas que responderán y los datos que son importantes para trabajar en la solución. Preguntas como las siguientes pueden apoyar a ese objetivo,"},{"recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"- Describe con tus palabras las preguntas que deseamos responder
- ¿Qué información es importante para responder a las preguntas?
- ¿Cómo podemos utilizar los datos para establecer alguna relación entre la producción y el precio?
- Escriban la función que relaciona el precio con la cantidad de cerezas vendidas y expliquen cómo se relacionan estas variables.
- Describe qué puedes interpretar del modelo matemático.
- Expresa el modelo matemático que describe el ingreso en función de la cantidad de cerezas.
- ¿Qué información puedes obtener del modelo encontrado?
- ¿Cuál es la cantidad de producción que permite maximizar el ingreso?
- ¿Cuántas hectáreas deberías se necesitan para poder producir esta cantidad?
- ¿Cómo podrías mejorar tu modelo?
- Tiempo que tarda el cerezo en dar frutos desde su plantación,
- Número de hectáreas
- Zona geográfica
- Insumos necesarios (riego, recolección, mantenimiento, etc)
- Comercialización (transporte, distribución)
- Modelo que permite determinar la producción óptima de cerezas.
- Plan de producción anual que considere: Cantidad a producir y en qué momentos del año debe hacerse.
- ¿Cuáles fueron las etapas del proyecto que desarrollamos? ¿Cuál de ellas fue la más desafiante? \n
- ¿Cómo la matemática me permitió resolver el desafío planteado?
- ¿Qué logramos realizar con este proyecto? ¿Cómo se conecta con el mundo real?
- ¿Qué aspectos podríamos mejorar del trabajo realizado como equipo?
Se define la regla como si tuviera longitud infinita, sin marcas que permitan medir y con un borde. Puede usarse solamente para trazar un segmento de recta entre dos puntos ya dados (escogidos) o para prolongar un segmento dado todo lo que queramos. El compás puede usarse solamente para trazar circunferencias (o arcos de ellas) tomando como centro un punto ya dado y como radio la distancia entre ese punto y otro también dado de antemano. \n
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Siempre se debe partir de un conjunto de puntos dados (escogemos un número finito de ellos) dibujados en el plano euclidiano. Una vez definido este conjunto de puntos que podemos llamar S, se tienen las siguientes reglas de construcción, dadas por Euclides en su libro Elementos. \n"},{"tipo":"p","esp":"- Una recta es constructible a partir del conjunto de puntos escogidos S si pasa por (al menos) dos puntos de S.
- Una circunferencia es constructible a partir del conjunto de puntos escogidos S si tiene por centro un punto de S y por radio la distancia entre dos puntos cualesquiera de S.\n
Un punto es construible con regla y compás a partir del conjunto de puntos dados S si:\n
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"- es uno de los puntos ya dados (está en S),
- es un punto intersección de dos rectas trazables a partir de puntos constructibles, \n
- es un punto intersección de una recta y una circunferencia trazables a partir de puntos constructibles, o
- si es un punto intersección de dos circunferencias trazables a partir de puntos constructibles\n
- Crear el segmento de recta que une dos puntos preexistentes (en realidad, la recta: recuérdese que la regla es de longitud infinita).
- Crear el círculo con centro en un punto dado y cuya circunferencia toca otro punto dado.
- Crear el punto en el que se intersecan dos rectas no paralelas.
- Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen) una línea y una circunferencia.
- Crear el punto o el par de puntos en los que se intersecan (si lo hacen) dos circunferencias.\n
\n(der.) Piet Mondrian - Composición en rojo, amarillo, azul, blanco y negro, 1921.","eng":""}},{"tipo":"p","esp":"En el arte contemporáneo, artistas como Sol LeWitt (1928 - 2007) continuaron explorando las posibilidades de las figuras geométricas. LeWitt, es considerado un pionero del arte conceptual, un movimiento artístico en el que la conceptualización o la idea es más importante que la obra como objeto material. Sus obras se relacionan también con el minimalismo, es decir, con la tendencia a reducir las obras a lo esencial, despojandola de elementos “sobrantes”. El mismo Witt, definía de esta forma su proyecto artístico: “recrear el arte, empezando por el propio cuadrado”","eng":""},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":"Sol Lewitt - Wall Drawing #564 (1988).
"},"eng":"","escala":"50","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/arte-geometrico/imgs/lewitt-mural.jpeg"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Arte e intervenciones urbanas"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"El arte callejero es una forma de expresión artística que se realiza en espacios públicos, como plazas, calles, etc. Este tipo de intervenciones urbanas buscan transformar el entorno y generar efectos positivos en las comunidades. Por ejemplo, re apropiándose de espacios abandonados, revitalizando áreas en declive, haciéndolas más seguras y atractivas para la comunidad. O bien, convocando a comunidades locales a hacerse parte de la creación de estas intervenciones, fomentando el sentido de pertenencia y la participación en los territorios. "},{"eng":"","esp":"En varias de estas intervenciones, tanto en Latinoamérica como en el resto del mundo, es posible identificar elementos de arte geométrico en ellas, lo que evidencia cómo este enfoque artístico ha influenciado a diversos artistas de todo el mundo. ","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"100","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/arte-geometrico/imgs/esp/obras.png"},{"esp":" Relevancia para la situación","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"La situación planteada se enfoca justamente en la interconexión entre matemáticas y el arte geométrico callejero en Chile, Brasil y Bélgica, a fin de dar contexto y motivación a la aplicación de estos conceptos y construcción de estos mismos con material concreto. En particular el trabajo de la actividad gira en torno a replicar una obra que podría ser usada para intervenir una multicancha. ","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/arte-geometrico/imgs/3.png","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","escala":"50"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Se espera que a partir de esto, se discuta que la creación artística también viene acompañada de planificación, estructura y técnica (en este caso también técnica matemática), y recíprocamente, que las matemáticas se acompañan de creatividad, intuición y estética. \n"}],"visible":true}},"visible":true},"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Momento de Enganche","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Presente la infografía “Arte geométrico” a sus estudiantes. En ella se aborda como el uso de figuras y patrones geométricos ha influenciado a diversos artistas y en particular, como este enfoque artístico está presente en diversas intervenciones urbanas, dando ejemplos de Brasil, Bélgica y Chile. Con el objetivo de contextualizar el trabajo que realizarán en la lección se sugiere realizar preguntas como las siguientes a sus estudiantes, "},{"tipo":"momento","eng":"","esp":"
\nLa imagen es de una exhibición en New York, en la Paula Cooper Gallery (2013).- Al ver estas obras ¿cómo piensan que el/la artista las ideó? ¿habrá sido un proceso azaroso o más bien planificado?
- ¿Qué tan fácil o difícil creen que es realizar este tipo de intervenciones artísticas?
- ¿Creen que es relevante el orden en el que se trazan las figuras? \n
- ¿Qué figuras geométricas reconocen en la obra?
- ¿Cuáles son las principales figuras que tiene la obra?
- ¿Qué relaciones hay entre ellas?
- Hay cuatro figuras principales. Un triángulo, una circunferencia, un rectángulo y un cuarto de circunferencia.
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/arte-geometrico/imgs/5.png\")
\n - A simple vista las relaciones son las siguientes:
- La circunferencia está inscrita en el triángulo.
- El rectángulo es tangente a la circunferencia inscrita.
- El cuarto de circunferencia es tangente al rectángulo.
- \n
En el círculo inscrito, su centro es la intersección de las bisectrices del triángulo. Además, ciertos radios del círculo inscrito son perpendiculares a los tres lados del triángulo.
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/arte-geometrico/imgs/6.png\")
El rectángulo toca en un único punto al círculo inscrito. Cuando esto ocurre, el radio del círculo es perpendicular a uno de los lados del rectángulo.
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/arte-geometrico/imgs/7.png\")
El rectángulo además toca en un único punto al cuarto de círculo de la esquina inferior derecha. Al igual que en el punto anterior, el radio de este círculo es perpendicular a uno de los lados del rectángulo.
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/arte-geometrico/imgs/8.png\")
Note que en los puntos anteriores no se menciona la tangente a un círculo, pues las y los estudiantes de este nivel podrían no estar familiarizados con este término. En cambio, si conocen la relación de perpendicularidad entre dos rectas o segmentos, por lo cual se ha optado por presentar las relaciones entre las figuras geométricas de la obra usando términos matemáticos que sean conocidos para ellos.
\n","eng":""},{"esp":"A modo de cierre de esta primera parte, se sugiere procurar que las y los estudiantes comprendan las distintas relaciones entre las figuras que componen la obra. Para ello, puede plantear preguntas como las siguientes,","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"momento","esp":"- ¿Cuál es el centro del círculo inscrito en el triángulo?
- ¿Cuáles son las relaciones de perpendicularidad presentes en la obra?\n
Es importante que antes de comenzar la siguiente etapa, las y los estudiantes comprendan que para replicar la obra solo necesitan construir bisectrices y rectas perpendiculares y paralelas, usando regla y compás.
","tipo":"momento"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Segunda parte"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En este segundo momento, se busca que las y los estudiantes repliquen la obra que han analizado usando regla y compás. Para ello, es fundamental que comprendan cómo se relacionan entre sí las figuras geométricas que la componen. "},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Pídales que aborden la actividad 2 Hoja de Actividades en donde se entrega un cuadro en blanco, en el que se especifican los tres vértices del triángulo y pídales que respondan a la primera pregunta."},{"esp":"En la siguiente página se presenta un cuadro en blanco, donde se han especificado los tres vértices del triángulo que es parte de la obra. \n\n- Usando regla y compás, ¿en qué orden conviene construir las figuras para replicar la obra adecuadamente?
- ¿Es posible construir el rectángulo sin haber construido el círculo inscrito previamente?
- ¿Qué figura se debe construir previamente para poder trazar el círculo inscrito de forma adecuada?
- ¿Qué se necesita construir previamente para poder trazar el cuarto de círculo de la esquina inferior derecha?
- Construir el triángulo
- Construir el círculo inscrito al triángulo
- Construir el rectángulo tal que uno de sus lados sea perpendicular en un punto al radio del círculo inscrito.
- Construir el cuarto de círculo de forma que su radio sea perpendicular a un lado del rectángulo.
- Usando regla y compás, replica la obra sobre el cuadro, siguiendo el orden de construcción que se estableció en la pregunta anterior.
A continuación se detallan sugerencias de gestión para la construcción de las figuras geométricas que componen la obra. Este es un trabajo extenso, que por sí solo podría demorar una clase completa. Es importante tener esto en cuenta al momento de planificar la lección.
\nEn caso de que disponga de menos tiempo, y lo considere adecuado, puede usar la siguiente applet de regla y compás en GeoGebra para que realicen las construcciones de forma más rápida. Si este fuese el caso, es fundamental asegurar que todos los estudiantes tengan acceso a la herramienta para realizar las actividades de forma oportuna.
","eng":""},{"tipo":"h4","esp":"Construcción del círculo inscrito","eng":""},{"esp":"Dado que el trabajo con regla y compás es extenso, en estos procedimientos de construcción es importante que las y los estudiantes identifiquen los elementos mínimos que necesitan para dibujar cada figura. ","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","esp":"En el caso del círculo inscrito, es importante que sus estudiantes reconozcan que para construirlo usando regla y compás, necesitan un centro y un radio, los que a su vez quedan determinados por las siguientes propiedades:","eng":""},{"esp":"- El centro del círculo inscrito corresponde a la intersección de las bisectrices.
- Los radios del círculo que llegan a los lados del triángulo son perpendiculares a ellos.
- ¿Qué elementos necesitamos para construir el círculo inscrito?
- ¿Cómo podemos determinar estos elementos usando regla y compás?\n
Dibujen el triángulo a partir de los tres vértices dados.
Encuentren el centro del triángulo inscrito, para lo cual deberán encontrar dos bisectrices e intersecarlas. En este punto, hágales notar que no es necesario encontrar la tercera bisectriz para encontrar dicho punto. En caso de que cuente con el tiempo necesario puede proponer que construyan la tercera bisectriz para verificar que efectivamente pasa por el centro y confirmar que estuvo bien determinado.
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/arte-geometrico/imgs/11.png\")
Encuentren la recta perpendicular a cualquiera de los lados del triángulo desde el centro. Esto les permitirá encontrar el radio del círculo inscrito y con ello podrán trazarlo. Puede motivar a sus estudiantes a que comprueben que en el resto de los puntos de intersección del radio del círculo con los otros lados del triángulo se tienen 90 grados.
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/arte-geometrico/imgs/12.png\")
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/arte-geometrico/imgs/13.png\")
En esta etapa de construcción es fundamental monitorear el trabajo de los grupos, a fin de detectar complicaciones que podrían surgir. Si nota que las y los estudiantes tienen dificultades para realizar las construcciones, se sugiere detener la clase para recordar cómo construir una bisectriz usando regla y compás, así cómo también la perpendicular a una recta desde un punto exterior a ella. En la sección de “Recursos” de esta situación encontrará diversas animaciones que puede utilizar para explicar estos procedimientos.
\nSi lo considera pertinente, puede pedir a aquellos grupos que han realizado la construcción de manera adecuada, que apoyen a sus compañeros y compañeras que tienen problemas para realizarla.
\n","recurso":"Destacado"},{"esp":"Después de que las y los estudiantes hayan terminado esta primera etapa de la construcción, puede pedir a algunos grupos que comenten cómo la realizaron con el resto de sus compañeros. Luego, mencione que en lo que sigue, trabajarán en construir el rectángulo.","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"Construcción del rectángulo","tipo":"h4"},{"esp":"Al igual que en la etapa anterior, puede comenzar este momento ayudando a sus estudiantes a identificar los elementos mínimos que necesitan para dibujar cada figura. ","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"En el caso del rectángulo, es importante que sus estudiantes reconozcan que para construirlo usando regla y compás, necesitan trazar dos pares de rectas paralelas perpendiculares entre sí. Además, el rectángulo es perpendicular en un punto al radio del círculo inscrito. Puede apoyar la comprensión anterior con preguntas como las siguientes, ","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","eng":"","esp":"- ¿Cuáles son las propiedades de un rectángulo?
- ¿Cuál es la relación entre el rectángulo y el círculo inscrito?
En este momento puede realizar preguntas como, ¿cuál es ese punto?, ¿cómo determinarlo? y dedicar un breve momento a que las y los estudiantes compartan sus opiniones al respecto. Luego, destaque que en este caso, el punto P no se obtiene de ninguna construcción anterior, si no que es necesario “dárselo” o definirlo ellos mismos para seguir con la construcción.
","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Luego de aclarar que el punto P se puede elegir libremente, dé tiempo para que trabajen en construir usando regla y compás el rectángulo de la obra. Se espera que sigan un procedimiento similar al siguiente, ","eng":""},{"esp":"- \n
- \n
Elijan el punto P en el cual el radio del círculo inscrito será perpendicular a uno de los lados del\n rectángulo\n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/arte-geometrico/imgs/15.png\")
\n \n - \n
Usando regla y compás, construyen la recta perpendicular al radio en el punto P. Para efectos de esta\n explicación, llamaremos a dicha recta L. La intersección de la recta L con uno de los lados del cuadro\n define uno de los vértices del rectángulo (V_1).\n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/arte-geometrico/imgs/16.png\")
\n - \n
Luego, deben trazar una recta paralela a la recta L. Para ello, deben definir un punto (\\(V_2\\)) que les\n ayude a trazar dicha paralela. Al igual que en el paso anterior, el punto \\(V_2\\) puede ser “cualquiera”\n (hay muchas posibilidad pero la elección debe ser tal que permita obtener un resultado similar a la obra que\n se quiere replicar, la misma consideración para elección del punto P), es decir, no está determinado por\n construcciones previas y debe ser definido arbitrariamente. Se sugiere dedicar un momento a esta discusión.\n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/arte-geometrico/imgs/17_0.png\")
\n - \n
Usando regla y compás construyen la recta paralela a L que pasa por el punto \\(V_2\\) que eligieron. Para\n efectos de esta explicación llamaremos a esta recta L’.\n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/arte-geometrico/imgs/17.png\")
\n - \n
Finalmente, usando regla y compás se construyen las rectas perpendiculares a L y L’ desde los vértices\n \\(V_2\\) y \\(V_1\\) respectivamente. O bien, es posible construir una de las rectas perpendiculares y luego\n construir la paralela a ella desde el otro vértice.\n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/arte-geometrico/imgs/18.png\")
\n
En este caso, la construcción del rectángulo usando regla y compás tiene pasos menos intuitivos, pues las y los estudiantes deben elegir libremente algunos puntos de la construcción para poder completarla. Dado lo anterior, se sugiere que la construcción del rectángulo sea más guiada, de modo que sus estudiantes puedan progresar correctamente en ella, pidiéndoles por ejemplo, que compartan los resultados de sus construcciones en cada paso.
Esta construcción descansa principalmente en la construcción de rectas paralalelas y perpendiculares usando regla y compás. En la sección de “Recursos” de esta situación encontrará diversas animaciones que puede utilizar para explicar estos procedimientos.\n
"},{"esp":"Finalmente pida a distintos grupos de estudiantes que compartan sus construcciones. Haga notar que las leves diferencias que se observarán en ellas se deben a las diferentes elecciones que hicieron para ubicar los puntos P y \\(V_2\\).","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"h4","esp":"Cuarto de círculo","eng":""},{"tipo":"p","esp":"De manera similar a las etapas anteriores, comience este momento ayudando a sus estudiantes a identificar los elementos mínimos que necesitan para dibujar esta última figura. ","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En el caso del cuarto de círculo, es importante que sus estudiantes reconozcan que para construirlo usando regla y compás, necesitan un centro y un radio, los que a su vez quedan determinados por las siguientes propiedades:"},{"tipo":"p","esp":"- El centro del cuarto de círculo corresponde a la esquina inferior derecha del cuadro.
- El radio es perpendicular a uno de los lados del rectángulo
- ¿Qué elementos necesitamos para construir el cuarto de círculo?
- ¿Cómo podemos determinar estos elementos usando regla y compás?
A modo de cierre de la lección, pida a los distintos grupos que muestren sus resultados finales. Use algunas de las construcciones para destacar el hecho de que todas ellas satisfacen las relaciones de perpendicularidad que definieron previamente. Además, enfatice que si bien son similares, los resultados finales no son iguales, lo que se debe a que algunos puntos de la construcción fueron elegidos libremente.
","tipo":"momento","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Para apoyar la conclusión anterior, puede mostrar el siguiente recurso GeoGebra en donde es posible mover los puntos de la construcción que podían ser elegidos libremente (marcados con color naranja en el recurso). \n","eng":""},{"tipo":"iframe","recurso":"Geogebra","eng":"","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/kkmzzrhj/width/818/height/511/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Finalmente, y a modo de cierre dé un breve espacio para discutir con sus estudiantes las preguntas planteadas al inicio de esta lección, \n"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"- ¿Qué tan fácil o difícil creen que es realizar este tipo de intervenciones artísticas?
- ¿Creen que es relevante el orden en el que se trazan las figuras?
Para replicar adecuadamente la obra usando regla y compás, fue necesario identificar las figuras geométricas que la componían y las relaciones entre ellas.
- La obra se componía de 4 figuras geométricas principales, un triángulo, un círculo, un rectángulo y un cuarto de círculo.
- Las relaciones anteriores definen relaciones de perpendicularidad entre las figuras, fundamentales para definir un orden de construcción que permite replicar la obra.
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/7-basico/arte-geometrico/imgs/20.png\")
En la construcción usando regla y compás hay puntos que se obtienen como resultado de construcciones previas, como por ejemplo, el centro del círculo inscrito, que se obtiene al intersecar las bisectrices del triángulo. \n
Sin embargo, hay otros puntos que no surgen de construcciones previas, sino que deben ser dados o definidos arbitrariamente. Por ejemplo, debimos escoger el punto P en el cual uno de los lados del rectángulo era perpendicular al radio del círculo inscrito.
La experiencia de replicar una obra de arte geométrico nos ha permitido comprender que la creación artística también viene acompañada de planificación, estructura y en algunos casos, de técnicas matemáticas.\n
En el proyecto se abordará la determinación de ciertas longitudes y ángulos en el contexto en el que un satélite se encuentra a una altura \\(h\\) de la Tierra, de radio \\(R\\).
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/imgs/2.png","escala":"25","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En la siguiente imagen se muestran las longitudes y el ángulo que se buscarán determinar. En particular, se abordará el cálculo de la longitud \\(d\\) del segmento tangente desde el satélite a la Tierra, el ángulo \\(\\theta\\) que se forma y la longitud \\(s\\) del arco subtendido por dicho ángulo. Todas estas medidas se expresarán en función del radio \\(R\\) de la Tierra y la altura \\(h\\) a la que se encuentra el satélite. En los aspectos contextuales se justificará por qué es relevante determinar todos estos valores.
"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","escala":"25","alinea":"texto-centrado","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/imgs/3.png","caption":{"esp":"","eng":""}},{"esp":"Para determinar el ángulo \\(\\theta\\) y las longitudes \\(d\\) y \\(s\\), recordaremos conceptos relevantes asociados a la circunferencia y a relaciones trigonométricas en un triángulo rectángulo. En particular, recordaremos cómo determinar \\(d\\) en función de \\(h\\) y \\(R\\) utilizando el Teorema de la tangente-secante o el Teorema de Pitágoras. Además, usaremos relaciones trigonométricas para determinar el ángulo \\(\\theta\\) y la longitud \\(s\\) del arco subtendido por dicho ángulo, ambos también en función de \\(h\\) y \\(R\\).
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Teorema de la secante-tangente"},{"tipo":"p","esp":"En la figura anterior, podemos extender la secante hasta alcanzar la circunferencia como se muestra a continuación.
","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/imgs/4.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"","escala":"25","alinea":"texto-centrado"},{"esp":"Si aplicamos el Teorema de la secante-tangente obtenemos\n
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\\[ \\text{tangente}^2 = \\text{secante} \\times \\text{segmento externo}\\]\n\\[ d^2 = (2R+h) \\times h \\]\n\\[ d = \\sqrt{2Rh+h^2} \\]\n"},{"tipo":"h3","esp":"Teorema de pitágoras","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Otra forma de determinar la distancia \\(d\\) es considerando el triángulo rectángulo que se muestra en la siguiente figura.
"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/imgs/5.png","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","eng":"","alinea":"texto-centrado","escala":"25","caption":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Aplicando el Teorema de Pitágoras obtenemos
"},{"esp":"\\[d^2 + R^2 = (h + R)^2 \\]\n\\[d^2 + R^2 = h^2 + 2Rh + R^2\\]\n\\[d^2 = h^2 + 2Rh\\]\n\\[d = \\sqrt{2Rh + h^2}\\]\n","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Distancia sobre la circunferencia"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En la situación será necesario determinar la longitud \\(s\\) del arco de circunferencia subtendido por el ángulo \\(\\theta\\) que se muestran a continuación.\n\n
"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"25","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/imgs/3.png","caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Usando trigonometría tenemos que:
","eng":""},{"tipo":"p","esp":"\\[\\cos(\\theta) = \\frac{R}{R+h}\\]\n\\[\\theta = \\arccos\\Big(\\frac{R}{R+h}\\Big)\\]\n","eng":""},{"eng":"","esp":"De esta manera, el arco de circunferencia \\(s\\) mide\n
","tipo":"p"},{"esp":"\\[s = R \\cdot \\theta \\]\n\\[s = R \\cdot \\arccos\\Big(\\frac{R}{R+h}\\Big)\\]","eng":"","tipo":"p"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Consideraciones Generales"},{"eng":"","esp":"Para desarrollar este proyecto, es necesario tener en cuenta: \n
","tipo":"p"},{"esp":"- El enfoque del proyecto se centra en que los y las estudiantes trabajen en forma colaborativa en la consecución de un objetivo o un desafío que puede presentarse como una pregunta, un problema o desafío. Este desafío debe surgir desde sus propios intereses o inquietudes.
- El proyecto se desarrolla en cuatro etapas: desafío, investigación, creación y comunicación. \n
A lo largo de este proyecto, en particular, en las etapas de Investigación y Creación, las y los estudiantes deben modelar la posición de un satélite sobre la Tierra. En este proceso, deben calcular la altura a la que se encuentra el satélite, sobre qué punto de la Tierra se encuentra y el área de cobertura del satélite sobre la superficie terrestre. Considerando estos requerimientos, los y las estudiantes deben estar conscientes de que, al calcular distancias y superficies, estarán involucradas vistas 2D y 3D de la Tierra y el espacio. Las representaciones que se les mostrará a los y la estudiantes serán en 2 dimensiones, como las siguientes:
","eng":""},{"caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/imgs/8.png","tipo":"img","escala":"25","eng":""},{"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/imgs/10.png","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50","alinea":"texto-centrado","eng":""},{"esp":"En la primera imagen, se muestra un satélite sobre la Tierra y la “superficie” de cobertura, señalada como dos arcos de circunferencia de largo \\(s\\). En la segunda hay otra forma de representar esta superficie de cobertura, también en dos dimensiones. Al momento de graficar esta superficie en tres dimensiones, se espera que los y las estudiantes logren una representación como la siguiente:\n
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"escala":"25","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/imgs/6.png"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Es probable que los estudiantes pueden tener dudas o confusiones al momento de representar en tres dimensiones esta superficie de cobertura, por lo que se recomienda orientar la transición de la representación de 2D a 3D.
"}],"visible":true},"3":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Satélites en la actualidad","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Los satélites tienen una importancia significativa en diversas áreas. Actualmente, hay aproximadamente 8.000 satélites orbitando la Tierra, los que se usan principalmente para las comunicaciones, observaciones de la Tierra, seguridad y defensa de un país y la investigación científica.
","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Los satélites normalmente se clasifican de acuerdo a su órbita, donde las 5 principales son baja (LEO), media (MEO), geoestacionaria (GEO), heliosíncronos (SSO) y de transferencia geoestacionaria (GTO). La siguiente tabla muestra esta clasificación, además de el área de cobertura y el período orbital para cada uno de estos tipos de satélites:
"},{"caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"","escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/imgs/7.png","alinea":"texto-centrado","tipo":"img"},{"eng":"","esp":"En los últimos años se han lanzado muchos satélites, tanto por agencias gubernamentales de distintos países como por empresas privadas (por ejemplo, proveedores de servicios de internet). Dentro de estas empresas, una de las más conocidas es Starlink, que es un proyecto desarrollado por SpaceX, la compañía aeroespacial dirigida por Elon Musk. Starlink tiene como objetivo proporcionar servicios de internet de alta velocidad y baja latencia en áreas de difícil acceso o con conectividad limitada utilizando una constelación de satélites en órbita terrestre baja (LEO).
","tipo":"p"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Satélites en Chile"},{"esp":"A lo largo de su historia, Chile ha lanzado al espacio cuatro satélites: el primero (FASat-Alfa, 1995) resultó fallido y el segundo (FASat-Bravo, 1998) era de tipo experimental. El tercero, FASat-Charlie también enfocado en la captura de imágenes, fue puesto en órbita en diciembre de 2011 y aún sigue operando, mientras que el cuarto y más reciente, el FASat-Delta, fue lanzado el 12 de junio de 2023, desarrollado y operado por la empresa SpaceX.
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"Este satélite forma parte del Sistema Nacional Satelital chileno, puede captar imágenes en color, y videos de 90 segundos. Pesa aproximadamente 90 kilos, en el rango de los satélites pequeños, y tiene una órbita baja (LEO), a 550 kilómetros de altitud.
","tipo":"p"},{"esp":"Este lanzamiento está enmarcado dentro de un proyecto nacional que considera poner en el espacio hasta el 2024 los satélites FASat-Delta, Fasat Echo 1 y Fasat Echo 2, además de otros 7 satélites más pequeños, de entre 12 y 13 kilos, se lanzarán entre 2023 y 2025.
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"h3","esp":"Cobertura de un satélite y tiempo de latencia","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"El alcance de cobertura de un satélite, corresponde a grandes rasgos, a cuán lejos sobre la superficie de la Tierra pueden llegar las ondas hacia y desde los satélites. En esta situación se tomará en cuenta solo aspectos geométricos, es decir, en el que este alcance está determinado solo por la curvatura de la Tierra y de la altura \\(h\\) sobre ella a la que se encuentra el satélite.
"},{"escala":"25","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/imgs/3.png","alinea":"texto-centrado","eng":"","caption":{"eng":"","esp":""}},{"tipo":"p","esp":"Recordemos que en los aspectos matemáticos, vimos que la distancia \\(d\\) entre un punto a una altura \\(h\\) de la circunferencia y el punto de tangencia, es
","eng":""},{"esp":"\\[ d = \\sqrt{2Rh+h^2} \\]","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Esta distancia se conoce en términos generales como “distancia al horizonte”, correspondiente a la distancia hasta la que se ve el horizonte a una altura \\(h\\), en este caso desde un satélite.
","eng":""},{"esp":"La Tierra es en rigor una esferoide o elipsoide oblato, con un radio polar de \\(6357 \\, \\text{km}\\), y un radio ecuatorial de \\(6378 \\, \\text{km}\\). De esta forma, los semiejes de la elipsoide miden \\(6357 \\, \\text{km}\\), \\(6378 \\, \\text{km}\\) y \\(6378 \\, \\text{km}\\) nuevamente, por lo que La Tierra se concibe usualmente como una esfera de radio \\(R=\\frac{6357+6378+6378}{3}= 6371 \\text{km}\\). Además, los satélites geoestacionarios se ubican a una altura fija de \\(h=35786 \\, \\text{km}\\), por lo que el alcance de un satélite geoestacionario es de
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"\\[d = \\sqrt{2Rh+h^2}\\]\n\\[d = \\sqrt{2\\cdot 6371 \\cdot 35786 +35786^2}\\]\n\\[d\\approx 41672{,}8 \\, \\text{km}\\]\n"},{"tipo":"p","esp":"En el contexto de este proyecto, es relevante conocer este valor de \\(d\\) para determinar el alcance máximo del satélite, y el tiempo que demora en recorrer dicha distancia una onda electromagnética, tiempo asociado al “tiempo de latencia” de la comunicación, que se explicará más adelante.
","eng":""},{"eng":"","esp":"En la Tierra misma, tiene más sentido hablar del alcance de cobertura \\(s\\) sobre superficie de la Tierra en términos de distancia, y del ángulo \\(theta\\) en términos de latitud medida en grados, que se ilustran a continuación.
","tipo":"p"},{"escala":"25","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/imgs/8.png","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Usando las expresiones de los aspectos matemáticos, obtenemos
","eng":""},{"esp":"\\[\\theta = \\arccos\\Big(\\frac{R}{R+h}\\Big)\\]\n\\[\\theta = \\arccos\\Big(\\frac{6371}{6371+35786}\\Big)\\]\n\\[\\theta\\approx 1{,}42 \\, \\text{rad}\\]\n\\[\\theta\\approx 81{,}3\\,^{\\circ} \\]\n","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","esp":"y
","eng":""},{"eng":"","esp":"\\[s = R \\cdot \\theta \\]\n\\[s\\approx 6371 \\cdot 1{,}42\\]\n\\[s\\approx 9046{,}8 \\, \\text{km}\\]\n","tipo":"p"},{"esp":"Por ejemplo, si el satélite se encuentra sobre el punto que se indica a continuación, su alcance en términos de distancia y de latitud en grados, sería:\n
","tipo":"p","eng":""},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/imgs/9.png","eng":"","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","tipo":"img"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Note que el satélite se encuentra sobre la línea del Ecuador. En este caso, corresponde a un satélite geoestacionario. Si el satélite estuviera ubicado en otra latitud, pero manteniendo una órbita sincrónica con la Tierra, se clasificaría como un satélite geosincrónico.\n
"},{"esp":"Es necesario recordar que este es un modelo simplificado del alcance del satélite. En rigor, dado que no es posible representar de manera “perfecta” la superficie de la Tierra en un mapa de dos dimensiones, la representación en un mapa no es un círculo, sino que una imagen como la siguiente, en la que se requeriría realizar una proyección cartográfica.
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/imgs/10.png","alinea":"texto-centrado","titulo":{"eng":"","esp":""},"escala":"50"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"El modelo se podría afinar aún más considerando otros aspectos físicos como por ejemplo la atenuación atmosférica, la refracción, interferencia, entre otros. Se podría de esta manera elaborar un modelo más complejo como el siguiente, en el que se precisa la cobertura del satélite de acuerdo a la calidad del alcance de la comunicación. Sin embargo, esto está fuera de los alcances de este proyecto.
"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"","caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/imgs/11.png","escala":"50","alinea":"texto-centrado"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"El tiempo de latencia de comunicación corresponde al tiempo que tarda en enviar y recibir una señal desde un lugar a otro del planeta. Recordemos que calculamos que la distancia máxima \\(d\\) que puede recorrer una señal es de \\(d\\approx 41672{,}8 \\, \\text{km}\\), la que viaja a la velocidad de la luz \\(c\\approx 300{.}000 \\, \\text{km}/\\text{s}\\).\n
"},{"eng":"","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"25","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/imgs/8.png","alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"","esp":"Por lo tanto, el tiempo que demora una señal en viajar desde un punto \\(A\\) de la Tierra al satélite \\(S\\) es
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"\\[\\frac{d}{c}=\\frac{41672{,}8 }{300{.}000}\\approx 139 \\, \\text{ms}\\] \n"},{"esp":"Para enviar una señal y luego recibir otra, la comunicación se puede tarda entonces alrededor del cuádruple de este valor (\\(AS+SB+BS+SA\\)), es decir, unos \\(556 \\, \\text{ms}\\) o del orden de \\(\\frac{1}{2}\\) segundo.
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Si se consideran dos puntos sobre la Tierra cercanos, a la altura del satélite, la distancia entre la Tierra y el satélite es \\(h\\) en vez de \\(d\\), que corresponde a la distancia mínima. En este caso, la latencia para enviar y recibir una señal, sería
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"\\[4\\times \\frac{h}{c}=4\\times \\frac{35786 }{300{.}000}\\approx 477 \\, \\text{ms}\\] "},{"tipo":"p","eng":"","esp":"\nEn resumen, notar entonces que la latencia mínima es de \\(477 \\, \\text{ms}\\), que sigue siendo del orden de \\(\\frac{1}{2}\\) segundo. Estos valores de latencia pueden ser mayores al considerar otros aspectos como la potencia de procesamiento de la información de los servidores o usuarioas, la cantidad de datos transmitidos, etc. \n
"},{"eng":"","esp":"La latencia es importante para actividades como videojuegos, comunicaciones en streaming, vehículos autónomos o telemedicina. Este aspecto se ha vuelto esencial en las telecomunicaciones, para mejorar la eficiencia, la interactividad y la calidad de la comunicación en una variedad de aplicaciones y servicios.
","tipo":"p"}]}},"visible":true},"recursosProyecto":{"generales":[{"tipo":"h3","esp":"Infografía “Aprendizaje Basado en Proyectos (ABP)”","eng":""},{"eng":"","esp":"En esta infografía se resumen los principales aspectos del diseño instruccional de las situaciones tipo proyecto de MatCon, así como también se detalla cuál es rol que se espera de docentes y estudiantes en este tipo de metodología educativa.\n
","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/pdfs/Infografia_PPT.pdf","tipo":"button","recurso":"ModalPDF","titulo":{"eng":"","esp":"Ver Infografía"}},{"titulo":{"esp":"Descargar Infografía","eng":""},"tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/ABP_version%205.pdf"},{"esp":"Guía para implementar un proyecto","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"En este documento se profundiza en los principales aspectos del diseño instruccional de las situaciones tipo proyecto de MatCon, y en rol de estudiantes y docentes en este tipo de metodologías. Además se dan lineamientos para monitorear y evaluar el progreso del proyecto.
","eng":"","tipo":"p"},{"titulo":{"eng":"","esp":"Ver guía proyecto"},"recurso":"ModalPDF","tipo":"button","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/Gu%C3%ADa%20para%20implementar%20un%20proyecto%20-%20vf.pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/Gu%C3%ADa%20para%20implementar%20un%20proyecto%20-%20vf.pdf","eng":"","tipo":"button","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar guía de proyecto"}},{"tipo":"h3","esp":"En este proyecto, las y los estudiantes abordarán un problema de modelamiento matemático y por tanto, deberán transitar por las distintas etapas del ciclo de modelamiento. En este documento encontrarás una breve explicación sobre el ciclo de modelamiento matemático y sus principales características.","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/%C2%BFQu%C3%A9%20es%20el%20ciclo%20de%20modelamiento_%20-%20vf.pdf","recurso":"ModalPDF","eng":"","titulo":{"esp":"Ver documento","eng":""},"tipo":"button"},{"recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar documento"},"tipo":"button","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/%C2%BFQu%C3%A9%20es%20el%20ciclo%20de%20modelamiento_%20-%20vf.pdf"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Documento “Una posible respuesta”"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En este documento se ejemplifican diferentes estrategias de resolución que podrían seguir las y los estudiantes en las distintas etapas del proyecto.
"},{"eng":"","tipo":"button","titulo":{"esp":"Ver documento","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/proyecto/una%20posible%20respuesta%20-%203%C2%B0M%20-%20vf.pdf","recurso":"ModalPDF"},{"eng":"","titulo":{"esp":"Descargar documento","eng":""},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/proyecto/una%20posible%20respuesta%20-%203%C2%B0M%20-%20vf.pdf","tipo":"button"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Documentos de Evaluación"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"Autoevaluación"},{"tipo":"p","esp":"Este documento contiene una propuesta de autoevaluación del trabajo realizado por las y los estudiantes durante el proyecto. Se sugiere que cada integrante de un grupo, realice esta autoevaluación al final de cada una de las etapas del proyecto.
","eng":""},{"recurso":"ModalPDF","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/Autoevaluaci%C3%B3n_Versi%C3%B3n_Estudiante.pdf","titulo":{"eng":"","esp":"Ver documento"},"eng":"","tipo":"button"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/Autoevaluaci%C3%B3n_Versi%C3%B3n_Estudiante.docx","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar documento"},"tipo":"button","eng":""},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"Coevaluación"},{"tipo":"p","esp":"Este documento contiene una propuesta de coevaluación del trabajo realizado por las y los estudiantes durante el proyecto. Se sugiere que cada integrante de un grupo, realice esta coevaluación al finalizar cada una de las etapas del proyecto.
","eng":""},{"tipo":"button","recurso":"ModalPDF","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/Coevaluaci%C3%B3n_Versi%C3%B3n_Estudiante.pdf","titulo":{"eng":"","esp":"Ver documento coevaluación"},"eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/Coevaluaci%C3%B3n_Versi%C3%B3n_Estudiante.docx","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar archivo coevaluación"},"eng":"","recurso":"Descarga"},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"Sugerencias y rúbricas para la evaluación"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En este documento se detallan una serie de rúbricas que pueden ser utilizadas para evaluar el aprendizaje y las producciones de las y los estudiantes a lo largo del proyecto. Además, se especifican los lineamientos generales utilizados para construirlas.
"},{"eng":"","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Ver documento "},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/Sugerencias%20para%20la%20evaluaci%C3%B3n%20-%20vf.pdf","recurso":"ModalPDF"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/g-3d/proyecto/recursos%20generales/Sugerencias%20para%20la%20evaluaci%C3%B3n%20-%20vf.pdf","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar documento"},"tipo":"button","recurso":"Descarga"}],"etapasProyecto":{"desafio":[{"esp":"Noticia","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"Esta noticia permite activar conocimientos y contextualizar a los y las estudiantes sobre la temática que deberán abordar en este proyecto.
","eng":"","tipo":"p"},{"recurso":"ModalPDF","eng":"","titulo":{"esp":"Ver noticia","eng":""},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/pdfs/NOTICIA.pdf"},{"titulo":{"eng":"","esp":"Descargar noticia"},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/pdfs/NOTICIA.pdf","recurso":"Descarga","eng":""},{"tipo":"h3","esp":"Infografía","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esta infografía permitirá continuar la discusión de esta etapa. Los y las estudiantes se familiarizarán con el vocabulario y los primeros conceptos relacionados con la situación a resolver. Además permitirá continuar la discusión para la presentación del desafío.
"},{"recurso":"ModalPDF","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/pdfs/Infografiia-satelites.pdf","tipo":"button","titulo":{"esp":"Ver infografía","eng":""},"eng":""},{"eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/pdfs/Infografiia-satelites.pdf","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar infografía"},"tipo":"button","recurso":"Descarga"},{"eng":"","esp":"Hoja de actividad (Desafío)","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esta hoja de trabajo servirá para que los y las estudiantes lleven registro del trabajo realizado durante esta etapa. Está dividida en una primera parte donde se documenta la conformación del equipo de trabajo y luego, se registra el desafío que queda planteado al finalizar la etapa.
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"\nSe sugiere que estas hojas de trabajo queden como registro del trabajo que realizan los grupos de trabajo y, en el caso de utilizar una bitácora como registro, quede archivada ahí. \n
"},{"titulo":{"eng":"","esp":"Ver hoja de actividad"},"recurso":"ModalPDF","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/pdfs/Hoja_de_Actividades-Desafio-vf.pdf","tipo":"button"},{"titulo":{"esp":"Descargar hoja de actividad","eng":""},"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/docs/Hoja_de_Actividades-Desafio-vf.docx","eng":"","tipo":"button"},{"eng":"","esp":"Geogebra: Satélites geoestacionarios","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Este recurso permite entender la situación planteada a los estudiantes. Se sugiere que se revise por el profesor antes de iniciar el proyecto para comprender la problemática planteada. Puede ser utilizado como recurso para los estudiantes en la etapa de creación con aquellos grupos o estudiantes que presenten dificultades en la comprensión del problema.
","eng":""},{"esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/qtxwkgaw/width/832/height/606/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","tipo":"iframe","recurso":"Geogebra","eng":""},{"tipo":"h3","esp":"Presentación (Desafío)","eng":""},{"eng":"","esp":"Esta presentación contiene los elementos o hitos importantes en la gestión sugerida de la etapa. Esto puede servir de guía para la presentación del desafío a los estudiantes.
","tipo":"p"},{"titulo":{"eng":"","esp":"Ver presentación"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/pdfs/PPT-Desafio-3M.pdf","tipo":"button","recurso":"ModalPDF","eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/docs/PPT-Desafio-3M.pptx","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar presentación"},"tipo":"button","eng":""}],"creacion":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Hoja de actividad (Creación)"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esta hoja de trabajo servirá para que los y las estudiantes lleven registro del trabajo realizado durante esta etapa. Está dividida en una primera parte donde se responden preguntas para facilitar la descripción matemática del desafío y luego, se resuelve algebraicamente. Una vez determinada la cobertura máxima de entrega de información del satélite, los y las estudiantes deben determinar una forma de representar sus hallazgos y la posición en la que ubicarían su satélite.
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Se sugiere que estas hojas de trabajo queden como registro del trabajo que realizan los grupos de trabajo y, en el caso de utilizar una bitácora como registro, quede archivada ahí.
"},{"eng":"","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Ver hoja de actividades"},"recurso":"ModalPDF","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/pdfs/Hoja_de_Actividades-Creacion-vf.pdf"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/docs/Hoja_de_Actividades-Creacion-vf.docx","titulo":{"esp":"Descargar hoja de actividades","eng":""},"recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":""},{"tipo":"h3","esp":"Geogebra: Una solución al desafío","eng":""},{"esp":"Este es un recurso que muestra una posible representación de solución del desafío planteado a sus estudiantes.
","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/qtxwkgaw/width/832/height/606/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","recurso":"Geogebra","eng":"","tipo":"iframe"},{"esp":"Presentación (Creación)","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"Esta presentación contiene los elementos o hitos importantes en la gestión sugerida de la etapa. Esto puede servir de guía para la etapa de creación en la que deben participar sus estudiantes.
","tipo":"p","eng":""},{"recurso":"ModalPDF","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/pdfs/PPT-Creacion-3M.pdf","titulo":{"esp":"Ver presentación","eng":""},"eng":""},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/docs/PPT-Creacion-3M.pptx","eng":"","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar presentación"},"recurso":"Descarga"}],"comunicacion":[{"eng":"","esp":"Hoja de actividad (Comunicación)","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"Esta hoja de trabajo servirá para que los y las estudiantes realicen la comunicación a la comunidad del desarrollo del proyecto y de sus resultados. La comunicación puede realizarse a través de una presentación, la cual debe incluir la representación elegida para este proyecto, que puede ser una representación física de la Tierra y su satélite, una simulación 3D en algún software, o un póster.
","tipo":"p"},{"esp":"Se sugiere que estas hojas de trabajo queden como registro del trabajo que realizan los grupos de trabajo y, en el caso de utilizar una bitácora como registro, quede archivada ahí.
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/pdfs/Hoja_de_Actividades-Investigacion-vf.pdf","recurso":"ModalPDF","eng":"","tipo":"button","titulo":{"esp":"Ver hoja de actividad","eng":""}},{"eng":"","recurso":"Descarga","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar hoja de actividad"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/docs/Hoja_de_Actividades-Investigacion-vf.docx","tipo":"button"},{"eng":"","esp":"Presentación (Comunicación)","tipo":"h3"},{"esp":"Esta presentación contiene los elementos o hitos importantes en la gestión sugerida de la etapa. Esto puede servir de guía para la etapa de comunicación en la que deben participar sus estudiantes.
","eng":"","tipo":"p"},{"titulo":{"esp":"Ver presentación","eng":""},"recurso":"ModalPDF","tipo":"button","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/pdfs/PPT-Comunicacion-3M.pdf"},{"recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/docs/PPT-Comunicacion-3M.pptx","tipo":"button","eng":"","titulo":{"esp":"Descargar presentación","eng":""}}],"investigacion":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Hoja de actividad (Investigación)"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En esta hoja de trabajo los y las estudiantes deben llevar registro de los temas planteados para investigar y los principales hallazgos que les permitirán resolver la situación planteada.
"},{"recurso":"ModalPDF","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Ver hoja de actividad"},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/pdfs/Hoja_de_Actividades-Investigacion-vf.pdf"},{"titulo":{"eng":"","esp":"Descargar hoja de actividad"},"eng":"","tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/docs/Hoja_de_Actividades-Investigacion-vf.docx","recurso":"Descarga"},{"esp":"Presentación (Investigación)","tipo":"h3","eng":""},{"esp":"Esta presentación contiene los elementos o hitos importantes en la gestión sugerida de la etapa. Esto puede servir para guiar la investigación”.
","tipo":"p","eng":""},{"recurso":"ModalPDF","titulo":{"eng":"","esp":"Ver presentación "},"tipo":"button","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/pdfs/PPT-Investigacion-3M.pdf"},{"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/docs/PPT-Investigacion-3M.pptx","recurso":"Descarga","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar presentación"}}]}},"visible":true,"gestionSugerida":{"visible":true,"botones":{"1":{"visible":true,"contenido":[{"esp":"Tiempo sugerido para la etapa: 1 clase","eng":"","tipo":"h4"},{"eng":"","esp":"En esta primera etapa, el objetivo principal es introducir a los y las estudiantes al proyecto y su temática y brindarles una comprensión general de lo que se espera lograr. Para esto es importante considerar una etapa inicial para explicar la estructura del proyecto, cada una de las etapas, la forma de trabajo en grupo, el proceso de evaluación, entre otros aspectos. Esto se podrá revisar en la guía para implementar ABP que se encuentra en la sección de Recursos. Recuerde que si los y las estudiantes no han realizado nunca un proyecto, esta primera parte es clave para definir expectativas y evitar futuros problemas como la frustración.\n
","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"A continuación, se presenta una sugerencia de gestión de la etapa desafío que tiene como objetivo que los y las estudiantes descubran la situación problemática sobre la cual tratará el proyecto: “¿Cuál es la zona de cobertura de un Satélite?”
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Momento de Enganche"},{"esp":"Una vez conformados los grupos de trabajo, presente a los y las estudiantes la siguiente noticia en la fuente original o el pdf, en donde encontrarán información relacionada al nuevo programa espacial chileno. Luego de leer la noticia, puede plantear las siguientes preguntas para que los y las estudiantes puedan discutir al interior de sus grupos de trabajo unos minutos.\n
","eng":"","tipo":"p"},{"titulo":{"eng":"","esp":"Ver noticia"},"tipo":"button","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/pdfs/NOTICIA.pdf","eng":"","recurso":"ModalPDF"},{"esp":"- ¿Conocían el Programa nacional espacial? ¿En qué consiste el Sistema Nacional Satelital (SNSat)?
- ¿Qué capacidades permitirá desarrollar el nuevo Sistema Nacional Satelital (SNSat)?
Permita que los equipos socialicen sus respuestas, el encargado de comunicar puede presentar las ideas de cada grupo en un plenario y se puede ir dejando registro de las ideas más importantes. Luego, presente la infografía donde los y las estudiantes tendrán información general sobre los distintos tipos de satélites y en específico información de los satélites chilenos. Puede guiar una discusión en la plenaria utilizando las siguientes preguntas:
","tipo":"p","eng":""},{"titulo":{"eng":"","esp":"Ver Infografía"},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/pdfs/Infografiia-satelites.pdf","recurso":"ModalPDF","eng":"","tipo":"button"},{"eng":"","esp":"- ¿Qué características tienen los distintos tipos de satélites presentados en la infografía?
- ¿A qué tipo de satélite, de acuerdo a su órbita, corresponde el FASat-Delta?
- ¿Qué relevancia tiene la tecnología satelital en tu vida cotidiana? ¿Cómo creen que esto se desarrollará en los próximos años?
Puede utilizar el siguiente recurso geogebra con aquellos grupos o estudiantes que presenten dificultades en la comprensión del problema.\n
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"iframe","recurso":"Geogebra","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/qtxwkgaw/width/832/height/606/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false"},{"esp":"El objetivo de esta discusión es que sus estudiantes empiecen a familiarizarse con los satélites y su funcionamiento. Es muy probable que tengan algunas ideas sobre su uso en algunos campos de estudio, pero no las especificidades como las diferentes coberturas, tiempos de órbitas, entre otros. \n
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"h3","esp":"Planteamiento del desafío","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Finalmente, para dar cierre a la discusión, comente que en las próximas clases trabajarán un desafío en el que deberán comprender cómo funciona el envío de información de un satélite y con esto deberán definir dónde y cómo instalarían ellos su propio satélite de telecomunicaciones utilizando para esto matemática. Antes de terminar la clase, presente la pregunta desafío:
","eng":""},{"eng":"","esp":"Desafío: ¿Dónde ubicarías un satélite geoestacionario que permita entregar y recibir información de todo Chile? ¿qué zona terrestre cubriría?
","tipo":"momento","recurso":"Pregunta"},{"esp":"Al finalizar esta actividad, los y las estudiantes deben tener claro que su trabajo de ahora en adelante es definir la ubicación y los aspectos técnicos de un satélite con ciertas características sobre nuestro país. Además, se debe explicar que deberán realizar una representación 3D de su solución al problema. Es importante asegurarnos que todos los y las estudiantes lo hayan comprendido, por lo que se propone que sistematicen la situación respondiendo las preguntas planteadas en la Hoja de actividad: Desafío.
","tipo":"p","eng":""}]},"2":{"contenido":[{"tipo":"h4","esp":"Tiempo sugerido para la etapa:","eng":""},{"tipo":"h3","esp":"Investigación","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En esta segunda etapa, los y las estudiantes deben obtener información relevante sobre la situación planteada. Por un lado, deben entender el funcionamiento y los alcances de los satélites y por otro el fundamento matemático necesario para determinar el alcance que tendrá su satélite.
"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En esta primera parte de la investigación los y las estudiantes deben comprender los distintos aspectos contextuales que están involucrados en la situación planteada. Algunas de las preguntas que podrían responder son las siguientes:
"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"- ¿Cuál es la relevancia de los satélites en la actualidad?
- ¿Qué es el alcance o la cobertura de un satélite?\n
- ¿Qué es la latencia de comunicación de un satélite?\n
- ¿Cuáles son los satélites que tienen una mayor cobertura?\n
- ¿A qué altura se encuentran los satélites, de acuerdo a su órbita?
- ¿Qué variables son determinantes para estimar la cobertura de un satélite?
Como información relevante, deben reconocer que los satélites que mayor cobertura otorgan son los que se encuentran a una mayor altura, como los geoestacionarios y geosincrónicos a partir de lo cuál deben identificar a qué altura orbita este tipo de satélites. También es importante que los y las estudiantes identifiquen las variables necesarias para estimar la cobertura, tales como la altura a la que está el satélite, la superficie de la Tierra cubierta (el arco de circunferencia) y el radio de la Tierra, entre otras. Esta información les permitirá resolver el modelo matemático que realizarán en la creación.
"},{"esp":"Algunas preguntas que puedes plantear a los equipos para guiar la investigación pueden ser:
","eng":"","tipo":"p"},{"recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"- ¿Cómo esta información se relaciona con el desafío planteado?\n
- ¿Por qué esta información es relevante o te ayuda a abordar el desafío?\n
- ¿Qué información aporta lo que acaban de investigar / descubrir?
Preguntas de este tipo permiten mantener la discusión abierta y que los y las estudiantes puedan ir definiendo qué información es relevante para la investigación y cuál no.
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Para documentar la investigación de los estudiantes, sugerimos compartir con ellos la Hoja de actividad donde deban plantear los temas a investigar y los principales hallazgos.
","eng":""}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"esp":"Tiempo sugerido para la etapa: 2 clases","tipo":"h4","eng":""},{"eng":"","esp":"Al iniciar el trabajo en esta etapa, debe sintetizar junto con los y las estudiantes el trabajo realizado en la etapa anterior, puede proponer que expresen en una lluvia de ideas los elementos relevantes identificados.
","tipo":"p"},{"esp":"Además, es importante recordar a los y las estudiantes la importancia del trabajo en equipo, los roles de cada uno (revisar anexo) y la necesidad de documentar sus procesos de solución. Considere para el trabajo en esta etapa tres sesiones de clase, sin embargo usted puede organizarlo como mejor se acomode a su programación del curso.\n
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"El objetivo de esta etapa es que las y los estudiantes respondan la pregunta del desafío:
","tipo":"p"},{"esp":"¿Dónde ubicarías un satélite geoestacionario que permita entregar y recibir información de todo Chile? ¿qué zona terrestre cubriría?
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Uso de esquemas para representar la situación"},{"esp":"En este momento del proyecto, los y las estudiantes ya deben tener una idea general sobre el funcionamiento de un satélite y cómo se produce el envío de información entre la Tierra y el satélite. Sin embargo, es posible que aún no se hayan imaginado la situación que deben plantear para desarrollar el modelo matemático. Para empezar este trabajo se sugiere pedir a los y las estudiantes que representen la situación en un esquema simple. Queda sugerido en la Hoja de actividad de esta etapa un espacio donde los estudiantes podrán trabajar en una representación. Pida a sus estudiantes que identifiquen en su diagrama los elementos que le permitirán encontrar el área de cobertura del satélite. \n
","eng":"","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/imgs/13.png","escala":"25","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""}},{"esp":"Es probable que algunos estudiantes identifiquen rápidamente los elementos que les permitirán desarrollar el modelo matemático, como la tangente, el ángulo de cobertura, el radio terrestre o la altura. Al ser un problema de modelamiento, no hay una única forma de resolución, por lo que los elementos que identifiquen los estudiantes podrían variar.
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"En el caso de los grupos o los y las estudiantes que no están tan familiarizados con estos términos o que no logren representar la situación, puede ayudarlos planteando las siguientes preguntas: \n
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"- En el esquema anterior, ¿cuál es la distancia máxima a la que una onda electromagnética podría establecer comunicación entre el satélite y la superficie de la Tierra? Márcala en el esquema.
- ¿Cómo se llama matemáticamente este segmento?
- ¿De qué depende la cobertura que puede dar un satélite?\n
Una vez que los grupos hayan identificado los distintos elementos relevantes para resolver la situación, los y las estudiantes deben determinar qué datos de la investigación son útiles para el trabajo matemático, para eso puede plantear la siguiente pregunta:
"},{"esp":"- ¿Qué información recolectada en la etapa anterior será de utilidad para resolver el problema matemático del alcance de acuerdo a tu representación?
- Resuelve el problema algebraicamente.
En este caso, es posible que algunos grupos no tengan toda la información necesaria para resolverlo, si este es el caso puede dar un tiempo para que listen los datos necesarios para su modelo y luego pueden investigarlos. También, se puede plantear una actividad para compartir información recolectada entre los grupos de trabajo, en este caso el estudiante encargado de la comunicación puede ir de grupo en grupo recolectando información que pueda faltar para plantear su modelo. \n
"},{"eng":"","esp":"Con la información recolectada, los y las estudiantes pueden resolver la situación planteada en sus esquemas. Puede encontrar una posible solución matemática en la Hoja de respuestas del proyecto. Este material le permitirá guiar a los grupos que tengan ciertas dificultades o dudas en la resolución del problema.\n
","tipo":"p"},{"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"eng":"","escala":"25","titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Cual_es_la_zona_de_cobertura_de_un_satelite/imgs/14.png"},{"esp":"Una vez determinada la cobertura máxima de entrega de información del satélite, los y las estudiantes deben determinar una forma de representar sus hallazgos y la posición en la que ubicarían su satélite. Invite a los y las estudiantes a que piensen una forma que permita visualizar de forma sencilla el área de alcance. Algunas ideas que podrían surgir son: un mapa 2D con grados latitud y radio de cobertura, una representación 3D creada en Geogebra y otro software de modelamiento 3D, una representación usando Google Earth, una maqueta en 3D utilizando una esfera o globo terráqueo, entre otras opciones.
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"La forma de representación puede ser definida por el o la docente previamente o se puede dar la posibilidad de que cada grupo determine la que ellos estimen conveniente. Es importante tomar en consideración el contexto y el acceso a herramientas e insumos al momento de definir la representación más pertinente. \n
"},{"esp":"En cualquier caso es importante definir los aspectos que deberán ser representados:
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- La altitud a la que se encontraría el satélite.
- Latitudes y longitudes en grados del área de cobertura del satélite.
- Ángulo de alcance.\n
- La distancia máxima que puede recorrer una señal entre un punto en la Tierra y el satélite.
En esta etapa puede plantear algunas preguntas de extensión al problema que permitirán dar más sentido de realidad tales como:
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"- Considerando lo anterior, calcula las latencias mínimas y máximas de comunicación, debido a la distancia recorrida por la onda electromagnética.\n
- ¿Cuántos satélites de este tipo son necesarios para conectar toda la Tierra?
- ¿Qué condiciones deberían cumplirse para que un satélite pueda enviar información a otro satélite?
Estas preguntas pueden plantearse a grupos que deseen ahondar más en la situación o a la clase entera si dispone de tiempo y de interés. \n
","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"Dependiendo de la forma de representación que realizarán los estudiantes, de un tiempo para que puedan trabajar en ese desarrollo. \n
","tipo":"p"}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Comunicación"},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"Tiempo sugerido para la etapa: 1 clase"},{"eng":"","esp":"Una fase importante del aprendizaje basado en proyectos es la comunicación tanto del desarrollo del proyecto, como sus resultados. La comunicación a la comunidad puede realizarse a través de una presentación, la cual debe incluir la representación elegida para este proyecto, que puede ser una representación física de la Tierra y su satélite, una simulación 3D en algún software, o un póster (en el caso de este proyecto, una representación en dos dimensiones puede complejizar la entrega de información).
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"La decisión sobre la forma en la que se realizará está presentación debe hacerse tomando en cuenta el contexto del establecimiento, por ejemplo, podría organizarse una Feria científica donde los y las estudiantes presenten sus hallazgos y en este caso el soporte podría ser un Poster científico, o podrían organizar un simposio donde realicen presentaciones de todo su proceso y su modelo realizado y donde se invite a distintos miembros de la comunidad educativa.
"},{"tipo":"p","esp":"La presentación debe considerar:
","eng":""},{"eng":"","esp":"- Desafío
- Principales hallazgos sobre el funcionamiento de los satélites.
- Modelo matemático que permite calcular el alcance de su satélite que debe incluir:\n
- \n
- Datos utilizados \n
- Simplificaciones realizadas \n
- Variables \n
- Resultados matemáticos de su trabajo: altura, ángulo de cobertura, zona geográfica con cobertura. \n
- Respuestas a las preguntas de extensión del proyecto (si es que fueron planteadas por el docente).
- Explicación de la representación 3D realizada.
Es recomendable que al finalizar esta etapa, los y las estudiantes realicen una reflexión final sobre la actividad realizada. Algunas preguntas que podrían guiar esta reflexión podrían ser:
","eng":""},{"tipo":"p","esp":"- ¿Cuáles fueron las etapas del proyecto que desarrollamos? ¿Cuál de ellas fue la más desafiante?
- ¿Cómo la matemática me permitió resolver el desafío planteado?\n
- ¿Qué logramos realizar con este proyecto? ¿Cómo se conecta con el mundo real?
- ¿Qué aspectos podríamos mejorar del trabajo realizado como equipo?\n
- ¿A qué se refiere la tasa de interés de un crédito?
- ¿Cuáles son los componentes de la cuota de un crédito?
- ¿A qué se refiere la amortización de un crédito?
- ¿Qué significa prepagar un crédito?
- La tasa de interés corresponde a un porcentaje del crédito que se paga de manera adicional a la cantidad de dinero (o capital) que se solicita.
- En la cuota de un crédito, hay una cantidad de dinero que corresponde al capital y otra que corresponde a los intereses adeudados.
- La amortización del crédito se refiere a la disminución del valor adeudado gracias al pago de cuotas durante el período.
- Se refiere a un pago anticipado de una parte de la deuda. Usualmente se imponen condiciones para poder realizar este pago.
Destaque que los intereses se calculan en períodos de tiempo determinados. Por ejemplo, una tasa de interés mensual del 1,5%, significa que cada mes, se paga un 1,5% más del dinero que se adeuda.
","recurso":"Destacado","tipo":"momento","eng":""},{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Presentación del problema"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositivas 4 a 5, Presentación)"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Comente que en lo que sigue, estudiarán cómo cambia la cantidad de dinero que se paga por concepto de intereses y de capital a lo largo de un crédito, y que usarán esta información para decidir cuándo es más conveniente adelantar el pago de un crédito."},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Mencione que realizarán este trabajo con datos reales de un crédito de consumo ofrecido por una institución bancaria."},{"caption":{"esp":"","eng":""},"titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","escala":"25","eng":"","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/pago-cuota-credito/imgs/esp/Guion-Credito_02.png"}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Primera parte","eng":""},{"esp":"Este primer momento tiene como objetivo que las y los estudiantes realicen cálculos sencillos que les ayuden a comprender cómo se relacionan la tasa de interés, el capital adeudado y la cuota fija en el contexto de un crédito. Este trabajo es fundamental para el desarrollo de las actividades que se proponen en la lección. ","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"(Diapositivas 6 a 9, Presentación)","tipo":"h4"},{"esp":"Pida a sus estudiantes que trabajen en grupos en la actividad 1 de la Hoja de Actividades. Mencione que con estos ejercicios podrán poner en práctica los conceptos financieros que discutieron anteriormente. ","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","recurso":"Actividades","tipo":"momento","esp":"Javier compró en el comercio una consola de videojuegos por $530.000, en 3 cuotas fijas de $185.000 usando su tarjeta de crédito, que tiene una tasa de interés mensual de 2.34%. Considerando lo anterior, responde las siguientes preguntas:
\n- ¿Cuánto interés paga el primer mes?
- ¿Cuánto capital paga el primer mes?
- ¿Cuánto interés pagó Javier en total por la consola?
- \n
El interés que paga en el primer período, está dado por
- \\[530\\,000\\cdot 2,34\\% = $12\\,402\\]
\n El capital que se paga el primer mes, corresponde a la cuota menos el interés que se paga en ese período,
- \\[185\\,000 - 12\\,402= $172\\,596\\]
\n - Para obtener la totalidad de intereses debe realizarse el procedimiento anterior para el resto de los períodos, tal como se detalla en la siguiente tabla: \n
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/pago-cuota-credito/imgs/esp/Guion-Credito_03.png\")
\nSi sumamos la columna de intereses, obtenemos que en total por concepto de intereses Javier pagó,
\n\\[$(12402 + 8363 + 4230) = $ 24995\\]
","eng":"","recurso":"Pregunta","tipo":"momento"},{"tipo":"p","esp":"Dé un tiempo para que las y los estudiantes trabajen en la actividad. Las primeras dos preguntas tienen como objetivo que calculen la cantidad de interés sobre un capital (Tarea Matemática A) y reconozcan la diferencia entre pago de intereses y pago a capital.","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"La tercera pregunta puede resultarles más compleja, pues requiere de un cálculo iterado para obtener los intereses en cada mes (Tarea Matemática B). Si nota dificultades en este punto, recuerdeles a los distintos grupos que el interés que se paga cada mes se calcula sobre el capital que se adeuda en el período anterior. Así por ejemplo, para el segundo mes, el interés de 2.34% se aplica sobre $ (530 000 - 172 596) = $357 404. Si lo considera necesario, puede detener el trabajo de los estudiantes para exponer y discutir este punto con el curso completo. "},{"esp":"Puede hacerles notar, que el pago total de intereses se puede obtener restando al monto total a pagar el monto solicitado. El monto total a pagar corresponde simplemente a la suma de todas las cuotas en el período, luego, podemos determinar el total de los intereses como sigue,","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"\\[3\\cdot 185.000 - 530.000 = 25.000 \\]
"},{"eng":"","esp":"Finalmente, pida a sus estudiantes que compartan sus respuestas. Use las respuestas del curso para ayudarlos a comprender los cálculos que permiten completar la siguiente tabla que resume el trabajo realizado en la actividad.","tipo":"p"},{"titulo":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/pago-cuota-credito/imgs/esp/Guion-Credito_03.png","eng":"","escala":"50","caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","tipo":"img"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Segunda parte"},{"eng":"","esp":"En este momento se busca que las y los estudiantes calculen los intereses y el pago a capital de un crédito de consumo a cuota fija a lo largo de todo el período y grafiquen dicha información para estudiar el comportamiento de los intereses, el capital adeudado y la amortización del crédito. ","tipo":"p"},{"esp":"(Diapositivas 10 a 21, Presentación)","tipo":"h4","eng":""},{"eng":"","esp":"Pida a sus estudiantes que trabajen en las primeras tres preguntas de la actividad 2 de la Hoja de Actividades. ","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Con el objetivo de ampliar su casa, una familia está estudiando la posibilidad de contratar un crédito de consumo por $10.000.000. El Banco MatCon les ofrece las siguientes condiciones crediticias: \n
\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/pago-cuota-credito/imgs/esp/Guion-Credito_04.png\")
En caso de que la familia decidiera contratar el crédito,
\n- ¿Cuál sería el monto total a pagar?
- ¿Cuánto dinero habrían pagado por concepto de interés y capital al cabo de 5 meses?
- ¿Cuál es la cantidad de dinero adeudada al cabo de 5 meses?
- ¿Cuál es la diferencia entre el monto total a pagar y el que solicitó la familia inicialmente?
- ¿A qué corresponde esa diferencia?
- Con el transcurso de los períodos ¿los intereses pagados mensualmente aumentan o disminuyen?
- Con el transcurso de los períodos ¿el capital pagado mensualmente aumenta o disminuye?
- Gráfica los intereses y el capital pagados en función del tiempo a lo largo de todo el período del crédito ¿Qué puedes decir del comportamiento de ambas curvas?
Es importante que las y los estudiantes valoren y usen herramientas tecnológicas para resolver problemas, en este caso, asociados a situaciones financieras. En este caso, el uso de hojas de cálculo, como Excel o Google Sheets.
\nTenga en cuenta que si incluye en su planificación el uso de planillas de cálculo, es posible que surjan dudas asociadas al uso del software, como por ejemplo, el uso de fórmulas, o cómo construir gráficos, que pueden provocar que la actividad sea bastante más larga de lo previsto. \n
","eng":"","tipo":"momento"},{"eng":"","esp":"En caso contrario, se sugiere que construya en conjunto con los estudiantes la tabla del crédito y el gráfico, proyectando la construcción en una planilla de cálculo a toda la clase. Se sugiere hacerlos partícipes de la construcción de la tabla realizando preguntas para ello. Es importante que las y los estudiantes reconozcan que con la ayuda del software, simplemente se está construyendo la misma tabla anterior para toda la duración del crédito (48 períodos).","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"En la sección de recursos encontrará la planilla de cálculo “simulación_crédito_consumo”, que incluye la simulación completa del crédito. ","eng":""},{"recurso":"Descarga","eng":"","tipo":"button","titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Planilla"},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/pago-cuota-credito/editables/esp/sim-credito%20%28sin%20prepago%29.xlsx"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Luego, presente el gráfico y realice preguntas que ayuden a los estudiantes a interpretarlo (Tarea Matemática F), \n"},{"caption":{"eng":"","esp":""},"eng":"","escala":"75","tipo":"img","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/pago-cuota-credito/imgs/esp/curvas-1.png","alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"tipo":"momento","eng":"","esp":"- ¿Cuándo se pagan más intereses, al inicio o al final del crédito?
- Aproximadamente, ¿desde qué mes en adelante, en cada cuota se paga más capital que intereses?\n
Gráfica como cambia el capital adeudado (amortización del crédito) en función del tiempo a lo largo de todo el período del crédito y luego responde
- ¿Cómo se comporta esta curva?
- ¿Siempre decrece al mismo ritmo?
- ¿Cómo se explican las variaciones en el ritmo de decrecimiento?
- ¿Cómo se comporta esta curva?
- ¿Siempre decrece al mismo ritmo?
- ¿Cómo se explican las variaciones en el ritmo de decrecimiento?
- En los primeros períodos, sobre todo en los iniciales, el capital adeudado disminuye lentamente.
- Hacia el período final del crédito, el capital adeudado disminuye a una tasa mayor que al inicio del crédito.
El capital adeudado es una curva decreciente con ritmos de decrecimiento distintos:
Guíe una discusión que les permita concluir junto con a sus estudiantes que la diferencia diferencia en el ritmo de decrecimiento del capital adeudado se explica por la dinámica de los intereses que han evidenciado en el trabajo realizado en la actividad, esto es:
\n- Al inicio del crédito el capital adeudado es mayor y por ende se pagan más intereses y en contraposición.
- Hacia el final del crédito el capital adeudado es menor y por ende se pagan menos intereses.
- Supón que la familia recibió un dinero inesperado, que quiere utilizar para prepagar el crédito. ¿Les conviene hacerlo inmediatamente? ¿o esperar un tiempo?
- Para reducir el monto total a pagar por el crédito conviene reducir los intereses
- Como los intereses disminuyen progresivamente, conviene prepagar inmediatamente.
- Si la familia recibió $1.250.000 y los utiliza para prepagar el crédito en el quinto mes, ¿Cuánto intereses deben pagar en el período siguiente? ¿En cuántos períodos se reduce la duración del crédito?
- En el período siguiente se debe pagar $ 198556,30 por intereses.
- El crédito duraría 40 períodos. Es decir, se reduce el tiempo de pago en 8 períodos (más de medio año antes).
“Usualmente se imponen condiciones para poder realizar este pago, por ejemplo, pagar un mes de intereses”
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Luego dé un tiempo para que las y los estudiantes aborden esta pregunta. Se espera que reconozcan que en el quinto mes deben sumar el prepago al pago de capital y restarle el pago de intereses en ese período (condición para realizar prepago). La cantidad resultante se resta al capital adeudado del período anterior para obtener el capital adeudado en el período que se realiza el prepago. El siguiente esquema puede ser de utilidad para ayudar a sus estudiantes a comprender este procedimiento. "},{"caption":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/pago-cuota-credito/imgs/esp/tabla-desarrollo-prepago.png","escala":"100","alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":""},{"esp":"Respecto a la duración del crédito al realizar el prepago, puede ocupar la planilla de cálculo para mostrar lo que ocurre en las últimas filas. ","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/pago-cuota-credito/imgs/esp/tabla-desarrollo-periodos-finales.png","escala":"75","titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","caption":{"eng":"","esp":""}},{"eng":"","esp":"Es posible que surjan dudas respecto de la cantidad negativa adeudada en el período 41. En estos casos, comente que por efecto del prepago, la última cuota es menor que la cuota mensual y por ello la resta da negativa. Pero en la práctica, en la última cuota se paga lo que falta para saldar la deuda, que en este caso, serían $ 206.003,58 pesos.","tipo":"p"},{"esp":"Por último, se sugiere hacer notar que, dada la condición del prepago, no tiene sentido hacer un prepago por una cantidad tal que la suma entre el pago a capital y el prepago sea inferior al pago a intereses en un período determinado. ","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Una vez sistematizada la respuesta a la pregunta anterior, pídales a sus estudiantes que, usando la planilla de cálculo, aborden la tercera pregunta de la tercera actividad de la Hoja de Actividades, ","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Actividades","esp":"- Registra cómo cambia la duración del crédito si el prepago al realizar el prepago en los siguientes períodos, \n
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/pago-cuota-credito/imgs/esp/ha-3.png\")
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/pago-cuota-credito/imgs/esp/ha-3-resp.png\")
Es importante que las y los estudiantes sean capaces de explicar lo anterior, en base al trabajo realizado durante la clase. En particular que relacionen las siguientes ideas:
\n- Al inicio del crédito el capital adeudado es mayor y por ende se pagan más intereses
- Por tanto, para reducir el monto total a pagar por el crédito conviene prepagar al inicio del crédito cuando los intereses son altos.
- En un crédito de consumo, la cantidad de dinero que se paga al final del período depende, principalmente, de la tasa de interés del crédito, la cantidad de dinero solicitada y el número de períodos.
- En cada período, la cuota mensual se usa para pagar parte del capital adeudado y parte de los intereses acumulados en el período anterior.
- Al inicio de un crédito, el capital adeudado es mayor y por ende se pagan más intereses. Esto genera que al inicio del crédito la mayor parte de la cuota mensual se destine al pago de intereses, y por ende, el capital adeudado decrece a un ritmo más lento al inicio del crédito.
- En contraposición, hacia el final del crédito, el capital adeudado es menor, y por ende, se pagan menos intereses. Esto genera que hacia el final del crédito la mayor parte de la cuota mensual se destine al pago del capital adeudado, y por ende, el capital adeudado decrece a una tasa más rápida hacia el final del crédito.
- Los análisis anteriores permiten concluir que, en general, mientras más cerca del inicio del crédito se realice el prepago de una o más cuotas, más conveniente será, pues el prepago ayudará a reducir los altos intereses que se pagan al inicio del crédito.
- Determinan el monto total a pagar por un crédito, conociendo la cuota y la cantidad de períodos del crédito.
- Utilizan eficazmente planillas de cálculo para calcular iterativamente los intereses, el pago a capital y la amortización de un crédito y construir sus gráficas en función del tiempo.
- Evalúan posibilidades de créditos, utilizando porcentajes, tasas de interés o índices económicos para tomar una decisión fundamentada.\n
\\[I = C_f - C_i \\]
"},{"tipo":"p","esp":"Donde:","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"- \\(I\\) = Interés
- \\(C_f\\)= Capital final
- \\(C_i\\) = Capital inicial
\\[C_f =(1+ i\\cdot n) \\cdot C_i\\]
","tipo":"p"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Donde:"},{"esp":"- \\(C_f\\)= Capital final
- \\(C_i\\) = Capital inicial
- \\(i\\)= Tasa de interés del préstamo o ahorro en el período
- \\(n\\)= cantidad de período del préstamo o ahorro \n
Al finalizar el primer período el capital ahorrado o adeudado es\n
\\[C_f = C_i + iC_i = (1 + i)C_i\\]
Al finalizar el segundo período, el capital ahorrado o adeudado es
\\[C_f = (1 + i) C_i + (1 + i) C_i \\cdot i = (1+i)(C_i + iC_i) = (1+i)^2C_i\\]
Siguiendo con este procedimiento, se puede mostrar que al finalizar \\(n\\) períodos, el capital ahorrado o adeudado es
\\[C_f = (1+i)^n C_i\\]
- \n
- \n
Al finalizar el primer período, la cantidad que queda por pagar del crédito (el capital adeudado, \\(C_{A}\\)) viene\n dada por,
\n\\[\\large C_{A_{1}} = C_i ( 1 + i ) - M \\]
\n \n - \n
Al finalizar el segundo período, el capital adeudado viene dado por,
\n\\[\\large C_{A_{2}} = C_{A_{1}} (1 + i) - M = (C_i ( 1 + i ) - M)(1+i) - M \\]
\n
\\[\\large C_{A_{2}} = C_i (1 + i) ^2\n - M (1+i) - M\\]Notemos que como en este tipo de créditos el interés capitaliza de forma compuesta, este se aplica al capital\n adeudado del período anterior, lo que justifica la expresión \\(C_{A_{1}} (1 + i)\\).
\n \n - \n
Al finalizar el tercer período,
\n\\[\\large C_{A_{3}} = C_i (1 + i) ^3 - M (1+i)^2 - M(1+i) - M\\]
\n \n - \n
Al finalizar el n-ésimo período se tendrá que,
\n\\[\\large C_{A_{n}} = C_i (1 + i) ^n - M (1+i)^{n-1} - M(1+i)^{n-2} - \\ldots - M\\]
\nPodemos reescribir la expresión anterior como sigue,
\n\\[\\large C_{A_{n}} = C_i (1 + i) ^n - M [ (1+i)^{n-1} + (1+i)^{n-2} + \\ldots + 1]\\]
\n
\n \\[\\large C_{A_{n}} = C_i (1 + i) ^n - M \\sum_{k=1}^{n}(1+i)^{n-k} \\]
\n \\[\\large C_{A_{n}} = C_i (1 + i) ^n - M \\frac{(1+i)^k-1}{i} \\]\n \n
\\[\\large M = \\frac{i C_i (1+i)^n}{(1+i)^n - 1} = \\frac{i C_i}{1-\\frac{1}{(1+i)^n}} \\]
","eng":"","tipo":"p"}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Relacionar correctamente conceptos financieros","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En esta situación, las y los estudiantes deberán construir la tabla de desarrollo de un crédito de consumo y analizar las gráficas de amortización y balance para dicho crédito (ver sección de “Aspectos Contextuales”). Para este trabajo es necesario que las y los estudiantes tengan una comprensión adecuada de una serie de conceptos y la relación entre ellos, en particular:"},{"eng":"","esp":"- Tasa de interés de un crédito
- Cuota fija de un crédito
- Período de un crédito
- Capital adeudado en un período
- Pago por intereses en un período
- Los pagos se realizan al final de cada período (en este caso, al final de cada mes). La cuota fija se ha calculado de forma de saldar la deuda, con intereses, en el intervalo de tiempo especificado (5 meses).
- Dado que el interés mensual es de 1% y este capitaliza mensualmente, en cada período se pagan intereses asociados a la deuda del período anterior. Por ejemplo, 5630 es el 1% de 563 000, 4526 es el 1% de 452630 y así sucesivamente.
- En cada período parte de la cuota se utiliza para pagar parte del capital adeudado. La cantidad varía en cada período, y corresponde a la diferencia entre la cuota fija y el pago por intereses en dicho período.
- El capital adeudado al final de un período se obtiene de la diferencia entre el capital adeudado el período anterior y el pago a capital en dicho período. Por ejemplo, el capital adeudado al final del período 1 es 452 630, pues 563 000 - 110 370 = 452 630.
En este video se introduce la noción de “fractal” para referirse a objetos geométricos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas, se aborda cómo este tipo de estructuras está presente en diversas formas de la naturaleza y sus posibles aplicaciones.
"},{"eng":"","tipo":"video","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/fractales/31%20Fractales%20subt.mp4"},{"titulo":{"eng":"Descargar video","esp":"Descargar video"},"tipo":"button","recurso":"Descarga","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/fractales/31%20Fractales%20subt.mp4"},{"eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 2 a 4)","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.\n
","eng":""},{"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/fractales/ppt-antenas-fractales-vf.pdf","tipo":"pdf"},{"titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":"Descargar Presentación"},"tipo":"button","recurso":"Descarga","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/fractales/ppt-antenas-fractales-vf.pptx","eng":""}]},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Hoja de actividades"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Este documento presenta una serie de preguntas que se utilizan para favorecer la construcción de conocimientos asociados a esta situación.
"},{"eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/fractales/ha-antena-fractales-vf.pdf","tipo":"pdf"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/fractales/ha-antena-fractales-vf.docx","eng":"","titulo":{"esp":"Descargar Hoja de Actividades","eng":""},"recurso":"Descarga","tipo":"button"},{"eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 5 a 25)","tipo":"h3"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
"},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/fractales/ppt-antenas-fractales-vf.pdf","tipo":"pdf","eng":""},{"titulo":{"esp":"Descargar Presentación","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/fractales/ppt-antenas-fractales-vf.pptx","recurso":"Descarga","tipo":"button","eng":""},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Recursos interactivos"},{"eng":"","esp":"Este recurso GeoGebra muestra distintas iteraciones del fractal con el que se trabaja en la actividad. Además, es posible observar que, aún cuando su longitud aumente, las diversas iteraciones siempre están dentro de una región acotada.
","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/tuvfzxqf/width/556/height/467/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false","recurso":"Geogebra","tipo":"iframe"}],"visible":true},"3":{"contenido":[{"eng":"","esp":"Presentación (diapositivas 26 a 30)","tipo":"h3"},{"eng":"","esp":"Esta presentación ha sido diseñada con el objetivo de apoyar la implementación en el aula de esta situación.
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"pdf","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/fractales/ppt-antenas-fractales-vf.pdf"},{"titulo":{"eng":"","esp":"Descargar Presentación"},"recurso":"Descarga","eng":"","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/fractales/ppt-antenas-fractales-vf.pptx","tipo":"button"}],"visible":true},"4":{"contenido":[{"eng":"","tipo":"h3","esp":"Guía Práctica"},{"esp":"Este documento propone diversos ejercicios que tienen por objetivo que las y los estudiantes puedan evaluar sus aprendizajes.
","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"pdf","eng":"","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Antenas_fractales/pdfs/gp-antenas-fractales.pdf"},{"eng":"","recurso":"Descarga","esp":"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Antenas_fractales/docs/gp-antenas-fractales.docx","titulo":{"esp":"Descargar Guía Práctica","eng":""},"tipo":"button"}],"visible":true}}},"gestionSugerida":{"botones":{"1":{"contenido":[{"esp":"Momento de Enganche","tipo":"h3","eng":""},{"eng":"","tipo":"h4","esp":"(Diapositivas 2 a 3, Presentación)"},{"tipo":"p","esp":"Presente el video “Patrones Fractales” a sus estudiantes. En él se introduce la noción de “fractal” para referirse a objetos geométricos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas y cómo este tipo de estructuras está presente en diversas formas de la naturaleza.
","eng":""},{"esp":"Con el objetivo de apoyar la comprensión de las y los estudiantes de las características de este tipo de formas geométricas, puede plantear preguntas como las siguientes,\n
","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"- ¿Qué significa que los fractales tengan autosimilaridad?
- ¿Por qué se dice que las estructuras fractales optimizan la superficie o el espacio que ocupan? Justifica tu respuesta usando el ejemplo de las antenas.\n
Dé un tiempo para que las y los estudiantes discutan las respuestas a estas preguntas y luego pida que las compartan con el resto del grupo. La primera pregunta busca que comprendan el concepto de autosimilaridad en este contexto: patrones similares que se repiten a distintas escalas. Mediante la segunda pregunta en cambio, se espera que reconozcan que algunos de estos objetos geométricos pueden tener grandes perímetros, ocupando superficies acotadas, como es el caso de las antenas.
"},{"esp":"Presentación del problema","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositiva 4, Presentación) "},{"tipo":"p","eng":"","esp":"A continuación presente el problema que guiará el desarrollo de la clase,"},{"eng":"","esp":"Una empresa dedicada a la fabricación de celulares está evaluando la posibilidad de utilizar un diseño fractal para las antenas de sus dispositivos. Actualmente están analizando la siguiente geometría fractal para diseñar las antenas,
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/fractales/2.png\")
\n
","tipo":"momento","recurso":"Actividades"},{"esp":"\nMencione a sus estudiantes que en lo que sigue, trabajarán en encontrar una expresión matemática que les permita conocer la longitud de la antena en cualquier iteración. \n","tipo":"p","eng":""}],"visible":true},"2":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Primera parte","eng":""},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"(Diapositivas 5 a 7, Presentación) "},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Comience este momento solicitando a sus estudiantes que aborden la primera actividad de la Hoja de Actividades. Estas preguntas tienen por objetivo de que sus estudiantes reconozcan que la longitud de la antena fractal aumenta a un ritmo cada vez mayor e identifiquen el patrón de generación del fractal, es decir, la acción que permite generar la iteración siguiente a partir de la anterior (Tarea Matemática A). "},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Actividades","esp":"
Para poder llevar a cabo un correcto proceso de fabricación, la empresa necesita conocer cuál es el largo de la antena para cualquier iteración.Actividad 1
\nEn el siguiente recurso GeoGebra puedes generar distintas iteraciones de la antena fractal. Explora el recurso y luego responde las siguientes preguntas,\n\n- \n
- ¿Qué acciones se realizan a la iteración 0 para generar la iteración 1? \n
- ¿Qué acciones se realizan a la iteración 1 para generar la iteración 2?\n \n
- Indica una regla de conformación del fractal. Es decir, indica que acciones se deben realizar para pasar de una iteración a la siguiente. \n\n
- Se divide la unidad en tres partes iguales, se dibuja un triángulo equilátero sobre la porción central y se elimina dicha porción.\n
- Cada uno de los 4 segmentos se divide en tres partes iguales, se dibuja un triángulo equilátero sobre las porciones centrales y se eliminan las porciones centrales.\n
- Cada segmento en una iteración se subdivide en tres segmentos equiláteros, y se reemplaza el segmento central por dos lados de un triángulo equilátero cuya base corresponde al segmento central que se ha removido.\n
Actividad 2
\nA partir del recurso y tus respuestas a la actividad anterior,
\n- ¿Qué ocurre con la longitud del fractal a medida que aumenta el número de iteraciones?
- Si el número de iteraciones continúa aumentando, ¿la curva se mantendrá dentro de la región rectangular? Justifica por qué esto sería importante para el desarrollo de una antena. \n
- La longitud del fractal aumenta porque en cada paso se reemplaza una serie de segmentos por dos de su misma longitud.
- Sí, pues se observa que las iteraciones quedan dentro de la región rectangular.
"},{"tipo":"p","esp":"Respecto a la primera pregunta, se espera que las y los estudiantes reconozcan que la longitud del fractal aumenta. Sin embargo, es posible que en sus respuestas no profundicen en cómo crece la longitud. Si este es el caso, se sugiere plantear preguntas como las siguientes, para ayudarlos a reconocer que la longitud no aumenta de forma lineal,","eng":""},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Antenas_fractales/imgs/3.png\")
- ¿La longitud de la antena aumenta una cantidad fija en cada iteración? \n
- ¿Al pasar de la 2da a la 3ra iteración, el cambio en la longitud es el mismo que cuando se pasa de la 1ra a la 2da iteración? \n
Actividad 3
\n- Completa la siguiente tabla:
","recurso":"Actividades","tipo":"momento"},{"esp":"![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Antenas_fractales/imgs/4.png\")
","eng":"","tipo":"momento","recurso":"Respuesta"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Dé un tiempo para que las y los estudiantes completen la tabla y luego pídales que expliquen cómo lo hicieron. Para guiar la discusión, aproveche aquellas respuestas que relacionan el cambio en el largo con el cambio en cada iteración. Esto, a fin de concluir en conjunto con el curso, que cuando se pasa de una iteración a otra, la longitud aumenta por un factor de \\(\\frac{4}{3}\\). Esta idea es fundamental para que las y los estudiantes puedan establecer la relación funcional entre el largo \\(L(n)\\) y el número de iteraciones \\(n\\).![](\"https://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/Antenas_fractales/imgs/5.png\")
\nLuego de la discusión anterior, pida a sus estudiantes que aborden las últimas dos preguntas de la Actividad 3 Hoja de Actividades. Estas preguntas buscan que las y los estudiantes describan matemáticamente la relación entre el largo de la antena y cada iteración (Tarea Matemática D)."},{"tipo":"momento","eng":"","esp":"Actividad 3
\n- \n
- A partir de la tabla conjetura una expresión que representa la longitud del fractal después de n iteraciones. Justifica tu expresión. \n
- Si la longitud del segmento en la iteración es de a unidades, ¿cuál es la expresión que representa la longitud del fractal después de iteraciones? \n
\nEn cuanto a la última pregunta, si lo considera necesario, puede discutir con sus estudiantes que, al considerar una longitud inicial de \\(a\\), se está cambiando escalando todo el dibujo por un factor \\(a\\), por lo que todo el proceso es afectado por dicho cambio de escala. Luego, en cada iteración, la longitud de la antena queda multiplicada por \\(a\\). Esto conduce a que la longitud para la iteración \\(n\\) se exprese por \\[\\large L(n) = \\left(\\frac{4}{3}\\right)^n\\cdot \\hspace{0.2cm}a\\]."},{"recurso":"Destacado","eng":"","tipo":"momento","esp":"Concluya con sus estudiantes que la longitud del fractal en función del número de iteraciones se modela por medio de una función exponencial. Esto quiere decir que en cada iteración, el largo aumenta por un factor constante, en este caso \\(\\frac{4}{3}\\). Esta característica conduce a que la longitud de la antena crezca bastante en pocas iteraciones.
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/fractales/ln-graph.png\")
Esto es especialmente útil en el contexto de las antenas fractales, pues una mayor longitud en la antena se traduce en una mayor capacidad para recibir señales.
"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Finalmente, y con el objetivo de que sus estudiantes usen el modelo exponencial para determinar la longitud de distintas iteraciones, el número de iteraciones necesarias para alcanzar cierta longitud y lo grafiquen (Tareas Matemática E y F), pídales trabajar en la Actividad 4 de la Hoja de Actividades."},{"eng":"","tipo":"momento","esp":"Actividad 4
\nEn una de sus primeras pruebas de fabricación, la empresa ha considerado un largo inicial de 5 mm,
\n- \n
- En base a tus respuestas a la actividad anterior, escribe la expresión general que determina el largo de la antena en función del número de iteraciones. \n
- ¿Cuál es el largo de la antena después de 10 iteraciones?\n \n
- Si se quiere que cada antena tenga una longitud total de 50 cm (es decir, 500 mm), ¿Cuántas iteraciones se deben considerar en el proceso de fabricación? \n
- Grafica la función. Considera hasta 6 iteraciones. Recuerda que el número de iteraciones es un número natural. \n
- \n\n
- \\[L(n)=\\left(\\frac{4}{3}\\right)^n\\cdot 5\\] \n
- \\[L(n)=\\left(\\frac{4}{3}\\right)^10\\cdot 5\\approx 88,79 \\text{ mm}\\] \n
- Si la longitud del fractal es de 50 cm se requieren como mínimo 16 iteraciones\n \n
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/3-medio/fractales/grafico-ln-act4.png\")
\n
- Discute con tu compañero/a:
- ¿Cuál sería el largo de la antena en la iteración 3,5? ¿o en la iteración 0,5?
- Según la regla de conformación del fractal, ¿Tiene sentido en el contexto pensar en números de iteraciones que no sean enteras?
Sistematice en conjunto a sus estudiantes las siguientes ideas:\n
","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"- Comprender cómo variaba la longitud de la antena con cada cambio de iteración fue fundamental para establecer un modelo que describiera una relación funcional entre ambas variables. Para lograr esta comprensión, en esta clase fue necesario,
- Estudiar el fractal e identificar su regla geométrica de conformación.
- Trabajar con tablas de valores, para conjeturar una regla general que dé cuenta de la longitud del fractal en función del número de iteraciones.
- Justificar, basados en la regla de conformación del fractal, porque la fórmula conjetura es correcta.
\n\n - La representación gráfica brinda una visualización del comportamiento de la longitud a medida que se incrementan las iteraciones. Considerando nuestro contexto, la gráfica debe ser una colección discreta de puntos dada por los valores de cada iteración.\n \n\n
- El modelo que describe la longitud del fractal de la situación es un modelo exponencial, en el que la longitud aumenta por un factor constante, en este caso \\(\\frac{4}{3}\\)con cada iteración, evidenciando un crecimiento no acotado a medida que aumenta el número de iteraciones. \n
- Adicionalmente las distintas iteraciones del fractal se mantienen dentro de una región acotada del plano. Esta característica resulta beneficiosa en el contexto de antenas fractales, ya que una longitud mayor contribuye a una mayor capacidad para recibir señales e independientemente de la longitud, la antena puede ocupar espacios pequeños como los espacios disponibles en aparatos móviles. \n
\n
\nPresente a sus estudiantes la Guía Práctica. Esta tiene por objetivo que las y los estudiantes analicen distintos fractales y calculen y conjeturen sobre el área y longitudes involucradas en estas figuras, usando modelos exponenciales. Se sugiere analizar en conjunto las figuras fractales y asegurarse de que comprendan el patrón de formación. Estas tareas pueden ser utilizadas para evaluar formativamente los siguientes indicadores:\n
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"- Utilizan modelos de situaciones de crecimiento y decrecimiento que involucran las funciones exponencial y logarítmica para determinar valores o hacer proyecciones.\n
- Construyen modelos de situaciones de crecimiento y decrecimiento que involucran las funciones exponencial y logarítmica para determinar valores o hacer proyecciones.
- El largo de aumenta en cada iteración y que
- lo hace por un factor igual a \\(\\frac{4}{3}\\) en cada iteración.
- \n
- Razonamiento prefuncional : En esta etapa, se espera que las y los estudiantes comprendan que el largo del fractal aumenta a una ritmo cada vez mayor. Además, se espera que reconozcan que el ritmo de crecimiento se asocia a un factor multiplicativo, es decir, que el largo crece por un factor constante entre iteraciones sucesivas, sin establecer aún una relación precisa entre el largo de la antena y cada iteración. La siguientes tarea propuesta en la lección se asocian a este nivel de razonamiento,
- Explorar con GeoGebra el crecimiento del fractal, explicar que el largo del fractal aumenta en cada iteración y describir el patrón de crecimiento.
- Razonamiento covariacional: En esta etapa se busca que las y los estudiantes reconozcan que hay una relación entre el largo del fractal y cada iteración. Es decir, que sean capaces de establecer el cambio en el largo de la antena al pasar de una iteración a la siguiente, basados principalmente en la multiplicación iterada de un factor de crecimiento. La siguiente tarea propuesta en la lección se relacionan con este nivel de razonamiento,
- Completar una tabla con el largo de la antena para distintas iteraciones.\n
- Razonamiento de correspondencia: En esta etapa se busca que las y los estudiantes sean capaces de expresar en una expresión algebraica, la relación entre el largo de la antena y cada iteración, reconociendo que dicha expresión describe cómo crece su longitud. Por ejemplo, se espera que puedan argumentar que el largo después de 4 iteraciones es \\(L(4) = \\left(\\frac{4}{3}\\right)^4\\), pues la antena ha crecido \\(\\frac{4}{3}\\) de su longitud 4 veces. Las siguientes tareas propuestas en la lección se relacionan con este nivel de razonamiento,
- Determinar la longitud de la antena para la n-ésima iteración.\n
- Establecer la longitud de la antena para la n-ésima iteración, cuando su largo inicial es distinto de la unidad.
\n\n
\n
\n- \n
- Variables cuantitativas: Son aquellas que toman valores numéricos. Pueden ser de dos tipos:\n
- \n
- Discretas: Que toman valores en un conjunto finito de números, en general enteros. Por ejemplo, el número de hijos de una familia o el número de dormitorios de un departamento. \n
- Continuas: Cuyos valores corresponden a números reales. Pueden ser mediciones físicas, fisiológicas, económicas, etc. Por ejemplo, el ingreso, la edad, el peso, el puntaje en una prueba, el tiempo que demora una pelota en caer desde cierta altura, etc. \n
\n
- \n
- Variables cualitativas: Son aquellas cuyos valores posibles corresponden a categorías, no asociadas a un valor numérico. Pueden ser de dos tipos:\n
- \n
- Nominales: Corresponden a categorías que no tienen un orden natural. Por ejemplo, el color de ojos de una persona, el voto por un candidato o el género de una persona. \n
- Ordinales: Corresponden a categorías que pueden ordenarse, aunque no sean números. Por ejemplo, la calificación de un producto ({malo, regular, bueno}), el nivel socioeconómico, etc.\n \n
\n
- Construcción de gráficos, tales como los gráficos circulares, de barras, de líneas o de dispersión, histogramas y diagramas de punto o de cajón.
- Construcción de tablas, tales como tablas de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas o tablas de doble entrada.
- Determinar estadísticos de resumen univariados, tales como medidas de resumen para caracterizar: \n
- \n
- el centro: media, moda y mediana. \n
- la dispersión: mínimo, máximo, rango intercuartil, varianza y desviación. \n
- Determinar estadísticos de resumen bivariados, entre los que encontramos medidas de asociación como la covarianza y el coeficiente de correlación.
- Estimación de parámetros: esta puede corresponder a una estimación puntual, como la recta de regresión y el promedio poblacional, o bien realizarse con intervalos de confianza.
- Comparaciones poblacionales: estas se realizan usando pruebas de hipótesis, por ejemplo, para comparar la media de una muestra con información anterior a contrastar.
- \n
- Ayudar a los estudiantes a comprender el proceso de investigación, desde el planteamiento del problema hasta la documentación de conclusiones. \n
- Orientar a los estudiantes durante el proceso de investigación, ayudándoles a organizar su trabajo y a aprender los tipos de acciones y razonamientos que son propios de cada etapa del proceso. \n
- Permitir que los estudiantes piensen de manera retrospectiva y a un nivel metacognitivo acerca del proceso investigativo realizado. \n
- ¿Cuáles son las fuentes desde donde se obtendrán los datos? \n
- ¿Dónde se localizan tales fuentes? \n
- ¿A través de qué medio o método se van a recolectar los datos? \n
- \n
- ¿Por qué creen que es importante limitar el tiempo de uso de redes sociales? \n
- ¿Consideran que pasan en promedio más o menos tiempo que el recomendado en redes sociales? \n
- ¿En comparación con tu hermano/a mayor/menor crees que pasas más o menos tiempo en redes sociales/ frente a la pantalla de celular? \n
¿Qué aspecto del tiempo que pasamos en redes sociales o frente a una pantalla les parece interesante de investigar?","tipo":"momento","eng":""},{"tipo":"p","esp":"En este punto es posible que surjan muchas propuestas por parte de las y los estudiantes. Por ejemplo, podrían mencionar que les interesa investigar sobre qué aplicación es la más usada, o si los hombres pasan más tiempo en el celular que las mujeres, etc. Aproveche estas preguntas para comentar que para responderlas sería necesario, al menos, conocer el tiempo que las personas pasan en el celular y en las diferentes aplicaciones. \n","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Luego puede mostrarles que ellos mismos pueden consultar el tiempo diario que ocupan en sus celulares y en las distintas redes sociales, accediendo a las estadísticas de uso de sus dispositivos. Para esto, puede apoyarse en las animaciones que están en la presentación asociada a esta etapa. "},{"eng":"","tipo":"img","titulo":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/pye/proyecto/android-tiempo-uso.jpeg","escala":"25"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En este punto, se sugiere volver sobre las preguntas de investigación que propusieron anteriormente y analizar cuáles de ellas serían factibles de responder con los datos que se pueden obtener de los celulares. Para ello, puede plantear preguntas como la siguiente,"},{"esp":"De las preguntas anteriores, ¿cuáles se pueden responder con los datos obtenidos de los celulares?","eng":"","recurso":"Pregunta","tipo":"momento"},{"esp":"Esta instancia de la gestión es ideal para dedicar un momento a explicar a las y los estudiantes qué es una pregunta estadística:\n
\nUna pregunta estadística es aquella que puede ser respondida analizando datos que muestran variabilidad. Además de ser estadística, la pregunta de investigación debe satisfacer que:
\n
- \n
- Sea factible de responder con los datos que se cuentan. \n
- Refiere a la población para la cual se disponen dichos datos. \n
- Puede abordarse con los análisis estadísticos conocidos por los estudiantes. \n
- \n
- En relación al contexto ¿Que información necesitan para responder a su pregunta? \n
- ¿Cuál es la población de interés que define su pregunta? \n
- ¿Qué variables deben considerar para abordar las preguntas de investigación que se plantearon? Indiquen si estas variables son cuantitativas o cualitativas. \n
¿En el colegio, que grupo pasa más tiempo que el recomendado en redes sociales, las y los estudiantes de 4° medio, o los de 3° medio?","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Se espera que en la primera pregunta el grupo reconozca que deberá investigar cuál es el tiempo recomendado de uso de redes sociales para esos segmentos etarios. De forma similar, "},{"tipo":"p","eng":"","esp":"- para responder la segunda pregunta deben reconocer que la población de interés son todos los estudiantes de 3° y 4° medio de su escuela,
- para responder la tercera pregunta deben reconocer que interesa “el tiempo en redes sociales” y el curso de cada estudiante. Es posible que las y los estudiantes tengan dudas respecto al concepto de variable cuantitativa o cualitativa. En este caso, motívelos a investigar sobre el tipo de variables que existen y cuáles analizarán.
¿Cómo podrían conseguir la información que necesitan para responder a su pregunta?","tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":""},{"esp":"Si bien, en la etapa anterior se intencionaba que las y los estudiantes formulen preguntas de investigación cumplieran con las características de una pregunta estadística, es posible que algunos grupos aún deban definir mejor las preguntas que guiarán su investigación. Preguntas como la anterior pueden ayudar a las y los estudiantes a si sus preguntas de investigación son factibles de responder y reformularlas en caso de que sea necesario. Por ejemplo, ","tipo":"p","eng":""},{"escala":"75","tipo":"img","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/pye/proyecto/preguntas-inv.png","titulo":{"esp":"","eng":""},"caption":{"eng":"","esp":""},"eng":""},{"esp":"Es importante ayudar a las y los estudiantes a reconocer este tipo de falencias en sus preguntas de investigación y motivarlos a mejorarlas. ","tipo":"p","eng":""},{"esp":"Una vez identificadas la población y las variables de interés, así como también la información adicional del contexto, se espera que en esta etapa las y los estudiantes propongan diferentes tipos de análisis para responder a su pregunta de investigación. Para ello puede plantear preguntas como la siguiente,","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"momento","eng":"","recurso":"Pregunta","esp":"¿Qué tipo de análisis estadístico (que hemos visto en el curso) necesitan realizar para abordar sus preguntas de investigación?"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Se espera que las y los estudiantes investiguen en torno a los distintos tipos de análisis estadísticos que han trabajado a lo largo del curso y propongan aquellos que se adecuan mejor a sus preguntas de investigación. En caso de que note que sus estudiantes tengan dificultades para responder a esta pregunta, puede dedicar un tiempo a recordar y profundizar en las principales características de los distintos tipos de análisis vistos en el curso. Estos se sistematizan en al apartado de Aspectos Matemáticos de la situación."},{"esp":"En este punto de la etapa de investigación, puede ocurrir que las y los estudiantes noten que, si bien sus pueden ser respondidas con los datos disponibles, estas requieran de estrategias estadísticas que están fuera del alcance de este curso. Por ejemplo, saber si existe una diferencia significativa en la media de tiempo de uso de celulares entre distintos grupos requiere de análisis que no fueron cubiertos por el curso (en este caso, test de comparación de medias). Es importante detectar este tipo de situaciones y guiar a los estudiantes para que las refinen o cambien a preguntas que ellos sí pueden responder a partir de los contenidos abordados en el curso.","eng":"","tipo":"momento","recurso":"Destacado"},{"eng":"","esp":"Para documentar la investigación de los estudiantes sugerimos compartir con ellos la Hoja de Actividades asociada a esta etapa donde deberán registrar las respuestas a las preguntas de este momento y sus principales hallazgos. ","tipo":"p"}]},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","esp":"Recolección de datos","eng":""},{"tipo":"h4","eng":"","esp":"Tiempo sugerido para la etapa: 2 a 3 clases"},{"eng":"","esp":"Se sugiere comenzar esta etapa solicitando a sus estudiantes que identifiquen los datos que recolectarán y de que manera lo harán. Para ello, puede plantear preguntas como las siguientes.\n","tipo":"p"},{"eng":"","recurso":"Pregunta","esp":"- ¿Cuál es la población y las variables de interés para responder a su pregunta de investigación?
- ¿De qué manera recogerán los datos que necesitan?
- ¿Qué período de tiempo tendrán en cuenta para registrar los datos?
Consideraciones sobre el proceso de recolección de datos:\n
Para el desarrollo de este proyecto, es primordial que la recolección de datos responda a un proceso organizado y eficiente. Las siguientes consideraciones pueden ayudar a sus estudiantes a lograr esto último:\n\n
- Se sugiere que las y los estudiantes planifiquen este proceso, identificando diferentes tareas, su duración y encargados. Para ello, puede pedirles que completen la tabla de la Hoja de Actividades de esta etapa, en que deberán detallar esto último.\n
- Puede motivar a sus estudiantes a que creen una Carta Gantt para organizar el proceso de recolección de datos, de acuerdo a las tareas que han identificado. En la sección de recursos generales encontrará una plantilla que puede compartir con los estudiantes.
- \n
- ¿Hay datos inusuales en sus bases de datos? ¿Por qué consideran que esos datos son inusuales? \n
- ¿Las medidas de tiempo en su base de datos están en la misma unidad? \n
- ¿La cantidad de datos para una variable, por ejemplo, tiempo, coincide con la cantidad de encuestados? \n
¿En el colegio, qué grupo pasa más tiempo en promedio en redes sociales, las y los estudiantes de 4° medio, o los de 3° medio?","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Un análisis adecuado puede ser construir los histogramas y diagramas de caja de los tiempos promedio de cada grupo y compararlos,"},{"esp":"En este ejemplo, un análisis como el anterior podría ser suficiente para observar regularidades en los datos y dar respuesta a la pregunta de investigación. Para ello las y los estudiantes deben ser capaces de interpretar adecuadamente sus resultados. Por ejemplo, \n","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"El 50% de los estudiantes de los estudiantes encuestados de 4to medio, pasan en promedio 3 horas en redes sociales. En cambio, el 50% de los estudiantes encuestados de 3ro medio, pasan en promedio 4 horas en redes sociales."},{"esp":"Análisis Inferencial","eng":"","tipo":"h4"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Puede motivar a sus estudiantes a que complementen este trabajo con un análisis inferencial de la media muestral por medio de intervalos de confianza. Esto porque los promedios se obtuvieron usando una muestra de estudiantes de cada curso y por tanto el promedio calculado puede no ser representativo de la totalidad de la población."},{"tipo":"p","esp":"En este caso, es importante poner atención en los siguientes aspectos para guiarlos en su trabajo:","eng":""},{"eng":"","esp":"- \n
- Deben escoger un nivel de confianza \\(1-\\alpha\\). Usualmente se selecciona un nivel del 95%. \n
- Es necesario conocer la media y la desviación estándar de cada muestra. \n
- Los datos deben distribuir normalmente (en el curso no se estudia cómo obtener intervalos de confianza para datos que no distribuyen normal). Este comportamiento se puede verificar a partir de los histogramas. \n
- Se debe tener en cuenta el tamaño de cada muestra. \n
- Con una confianza del 95%, podemos decir que las y los estudiantes de 3° medio pasan en promedio entre 5 y 6 horas en redes sociales.
- Con una confianza del 95%, podemos decir que las y los estudiantes de 4° medio pasan en promedio entre 4 y 5 horas en redes sociales.
¿Las y los estudiantes de 4° medio del colegio que pasan más tiempo en pantalla tienen peores hábitos de sueño?","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En este caso, y tal como se detalló anteriormente, las y los estudiantes deberían haber recolectado datos que les permitiesen responder a esta pregunta, como por ejemplo, el tiempo de horas de sueño de cada estudiante. Para una pregunta de este tipo, se espera que sus estudiantes reconozcan que un análisis de regresión es adecuado para abordarla. En caso de que la relación sea lineal, se sugiere utilizar hojas de cálculo para ajustar una recta que describa la relación entre las variables tiempo en pantalla y horas de sueño. "},{"tipo":"p","eng":"","esp":"En este tipo de análisis se sugiere motivar a sus estudiantes para que obtengan el coeficiente de correlación y en función de él, establecer si la relación entre las variables es positiva y si es posible aproximar la relación de forma lineal. "},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Observaciones finales"},{"eng":"","tipo":"momento","recurso":"Destacado","esp":"Los ejemplos anteriores ilustran posibles análisis estadísticos que podrían llevar a cabo sus estudiantes en función de sus preguntas de investigación. Independientemente del análisis que lleven a cabo, se sugiere motivar a las y los estudiantes a profundizar en sus análisis iniciales, sobre todo en aquellos casos en que estos no sean satisfactorios para dar respuestas adecuadas a sus preguntas. En esta sección se ilustraron dos ejemplos de lo anterior,
\n\n
- \n
- Sugerir la construcción de intervalos de confianza (análisis inferencial), después de haber realizado un primer análisis con herramientas descriptivas (histogramas, diagramas de cajón) \n\n
- Sugerir el cálculo del coeficiente de correlación, después de construir el diagrama de puntos y ajustar una línea de tendencia, para estudiar en mayor profundidad la relación entre dos variables. \n
- \n
- Pregunta de investigación estadística abordada. \n
- Población de interés, tipo y descripción de las variables consideradas para abordar su pregunta. \n
- Tipo de análisis estadístico realizado \n
- Descripción del proceso de toma de datos y depuración de la base de datos obtenida. \n
- Análisis estadístico de los datos obtenidos, y los principales resultados que se desprenden de dicho análisis \n
- \n
- ¿Cuáles fueron las etapas del proyecto que desarrollamos? ¿Cuál de ellas fue la más desafiante? \n
- ¿Cómo la matemática me permitió resolver el desafío planteado? \n
- ¿Qué logramos realizar con este proyecto? ¿Cómo se conecta con el mundo real? \n
- ¿Qué aspectos podríamos mejorar del trabajo realizado como equipo? \n
- Gráfico de una función logística con \\(a=b=c=1\\).
","tipo":"p"},{"esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/descomposicion-pan/grafico%20funcion%20%20logistica%201.png\")
- Gráfico de una función logística con \\(a=2\\), \\(b=7\\), \\(c=1\\).
","eng":"","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"Cabe notar que en este proyecto, ","eng":""},{"eng":"","esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/descomposicion-pan/grafico%20logistica%20muy%20creciente.png\")
- \n
- La variable \\(x\\) representa el tiempo transcurrido desde que una rebanada de pan se ha guardado en una bolsa ziploc, y por lo tanto, se puede considerar el gráfico solo para valores mayores o iguales a cero. \n
- La variable \\(y=f(x)\\) corresponde al área de pan cubierta por moho. Es decir, se utilizará el área como una medida del crecimiento de la población de moho. Esto es un supuesto razonable, pues el área cubierta por moho refleja directamente la cantidad de recursos (nutrientes y espacio) que el moho ha utilizado. A medida que el moho crece y cubre más área, consume más recursos disponibles en esa superficie del pan. \n
- Guardar una rebanada de pan en una bolsa hermética (tipo ziploc). \n
- Registrar diariamente el estado del pan de forma cualitativa (apariencia, color del moho, distribución, etc.). \n
- Medir la cantidad de moho que cubre la rebanada de pan a lo largo del tiempo (“el cómo crece”). \n\n
- El procedimiento no detalla de qué manera medir las variables involucradas. Esto, porque se espera que sean los estudiantes quienes decidan de qué manera hacerlo. Por ejemplo, ¿cómo van a medir la cantidad de moho?, ¿con qué frecuencia realizarán las mediciones? son preguntas que deberán discutir y resolver dentro de sus grupos. En esta situación en particular se espera que concluyan que una forma de medir el crecimiento del moho es registrando el avance de este en la superficie del pan y por tanto, deberán pensar en una manera de medir el área de dicha superficie. \n
- El crecimiento del moho en el pan, desde que este se guarda en la bolsa hasta que está completamente cubierto por el hongo, demora aproximadamente entre dos a tres semanas. Esto implica que cada grupo deberá asumir la responsabilidad de medir de forma sostenida en el tiempo, lo que requiere organización y compromiso de parte de sus integrantes. \n
- Es posible que más de algún grupo se equivoque en las mediciones (por ejemplo, que olviden medir por uno o más días) medición, pierdan las bolsas y otras eventualidades que los obliguen a comenzar desde cero. En estos casos, se sugiere motivar a los estudiantes a seguir con el experimento y que estos errores son parte normal del proceso que están realizando. \n
- \n
- Es posible que sus estudiantes no estén familiarizados con GeoGebra y su uso. Si este fuese el caso, se sugiere considerar en su planificación una actividad previa en que las y los estudiantes comprendan las herramientas básicas que usarán en el proyecto. En particular,
- El comando ‘Lista’ para crear una lista de puntos, con los datos que han obtenido.
- El comando ‘AjusteLogístico’ (u otros comandos similares, por ejemplo, ‘AjusteExp’ o ‘AjusteLineal’).
En la sección de recursos encontrará una Hoja de Actividades, titulada “Actividad Previa” que incluye una serie de actividades para ayudar a las y los estudiantes a familiarizarse con el software y la forma en que lo ocuparán durante el proyecto. \n - Al usar este tipo de software se corre el riesgo de que los estudiantes solo sigan una serie de pasos establecidos y no se cuestionen respecto de los conceptos matemáticos que los justifican. Dado lo anterior, es relevante monitorear su trabajo a fin de asegurar que desarrollen una comprensión matemática de lo que están realizando mediante el software. En este caso en particular, que comprendan que están ajustando una función logística a una serie de datos que describen el crecimiento del moho en una rebanada de pan a lo largo del tiempo, en este caso, pares ordenados del tipo (tiempo, área).
Se espera que, producto del trabajo de investigación que realizarán en el proyecto, las y los estudiantes sean capaces de justificar por qué se ha decidido utilizar un modelo logístico (y no otro) para caracterizar la curva que describe el crecimiento del hongo en el tiempo. \n\n
\n- Estructura celular : Los hongos se componen de células eucariotas, con paredes celulares hechas de quitina, un polisacárido estructural fuerte y resistente, que por ejemplo, también se encuentra en el exoesqueleto de insectos, crustáceos y otros artrópodos. Esto los diferencia de las plantas, cuyas paredes celulares están hechas de celulosa.
- Modo de alimentación : Los hongos son organismos heterótrofos, es decir, que no pueden hacer su propia comida como las plantas (que realizan la fotosíntesis). En su lugar, absorben nutrientes del entorno. Los hongos secretan enzimas extracelulares que descomponen moléculas complejas de la materia orgánica en moléculas más simples que luego absorben para su metabolismo y crecimiento. Este proceso de descomposición y absorción de nutrientes es fundamental para los ecosistemas. \n
- Reproducción : Los hongos pueden reproducirse de diversas maneras, tanto sexual como asexualmente. En ambos casos, los hongos producen esporas (células reproductivas capaces de convertirse en un nuevo hongo) que liberan al ambiente, permitiendo la dispersión del hongo a nuevas áreas, en las que, si las condiciones son favorables, germinan para dar lugar al crecimiento de un nuevo hongo.
\n
\n\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/descomposicion-pan/asp-cont-vf.png\")
\nEsta forma de alimentación los diferencia de los animales, que deben ingerir sus alimentos para obtener nutrientes de ellos.\n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/descomposicion-pan/dispersal-mushroom.jpg\")
- \n
- Biorremediación de hidrocarburos : Los hongos que descomponen celulosa pueden contribuir a la biorremediación de suelos contaminados con hidrocarburos, como los provenientes de derrames de petróleo. Al descomponer la celulosa y otros componentes orgánicos, estos hongos proporcionan un entorno propicio para la degradación de hidrocarburos por otros microorganismos. \n
- Biodegradación de plásticos : Algunos hongos tienen la capacidad de descomponer materiales plásticos, incluyendo aquellos que contienen celulosa como componente. La aplicación de estos hongos podría ser útil en la gestión de residuos plásticos. \n
- Tratamiento de aguas contaminadas : Algunos hongos pueden ser utilizados en el tratamiento de aguas contaminadas con compuestos orgánicos e inorgánicos. La capacidad de ciertos hongos para absorber y acumular metales pesados del agua ha sido explorada en aplicaciones de tratamiento de aguas. \n
- \n\n
- Humedad : El moho necesita humedad para crecer. Si el pan está expuesto a la humedad del ambiente o si se guarda en un lugar húmedo, es más probable que se forme moho. \n
- Temperatura : Las temperaturas más cálidas favorecen el crecimiento del moho. Guardar el pan en un ambiente cálido puede acelerar la proliferación de esporas de moho. \n
- Aire : El moho se propaga a través del aire, por lo que tener el pan expuesto al aire puede aumentar las posibilidades de que las esporas se depositen y crezcan en la superficie del pan. \n
- Contaminación cruzada : Si se manipula el pan con las manos sucias o se utiliza un cuchillo o tabla de cortar contaminados, es posible transferir esporas de moho al pan. \n\n\n
- \n\n
- ¿En qué se diferencian los hongos de otros seres vivos? \n
- ¿Por qué son relevantes para los ecosistemas? \n
- ¿Cuál es el tipo de hongo más común en los alimentos? \n\n\n
- \n
- ¿Les ha tocado deshacerse de comida podrida? \n
- ¿Cuánto tiempo creen que toma en crecer el moho en un alimento? \n
- Según tu experiencia ¿Qué factores pueden favorecer el crecimiento del moho en un alimento? \n
¿Cómo crece el moho en una rebanada de pan integral?","tipo":"momento","eng":"","recurso":"Pregunta"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Para concluir esta primera etapa, puede mencionar que en lo que sigue, deberán investigar en mayor profundidad en torno a los aspectos contextuales de este desafío, a fin de contar con información relevante que les permita abordar esta pregunta. A modo de cierre, puede pedir a los distintos grupos que sistematicen las respuestas a las distintas preguntas de esta etapa la Hoja de Actividades. "}]},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h4","esp":"Tiempo sugerido para la etapa: 1 a 2 clases","eng":""},{"esp":"Investigación","eng":"","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"En este punto, se busca que las y los estudiantes comprendan en mayor profundidad los aspectos contextuales de la situación. Para ello, los grupos de estudiantes deberán conducir una investigación que aborde las siguientes preguntas, ","eng":""},{"eng":"","esp":"- \n
- ¿Por qué crece moho en el pan? \n
- ¿Qué condiciones favorecen el crecimiento del moho y por qué? \n
- ¿Cuál es el mecanismo de crecimiento del moho en el pan? \n
- ¿Cuánto tiempo demora el moho en comenzar a crecer en el pan usualmente? \n
- \n
- ¿Cómo esta información se relaciona con el desafío? \n
- ¿De qué manera esta información les puede ayudar a abordar el problema? \n
A partir de la información que han recabado, ¿de qué manera creen que podríamos abordar el desafío?"},{"esp":"Se espera que, en función de sus investigaciones, las y los estudiantes propongan procedimientos experimentales rudimentarios para abordar el desafío. Use las respuestas de los estudiantes para destacar aquellos procedimientos que son más pertinentes para abordar “cómo” crece el moho. Por ejemplo, algún grupo podría proponer dejar un pan a la intemperie y registrar el tiempo que demora en crecer para abordar el desafío. Sin embargo, medir solo el tiempo no responderá “cómo crece” el moho. ","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"Después de esta discusión, presente a las y los estudiantes el procedimiento experimental que seguirán para abordar el desafío. ","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"- Guardar una rebanada de pan en una bolsa hermética (tipo ziploc).
","tipo":"p"},{"esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/descomposicion-pan/bread-ziploc.jpg\")
- Registrar diariamente el estado del pan de forma cualitativa (apariencia, color del moho, distribución, etc.).
","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/descomposicion-pan/moho-distribution.png\")
- Medir la cantidad de moho que cubre la rebanada de pan a lo largo del tiempo junto con el tiempo transcurrido desde la observación (“cómo crece”).
- Estudiar cómo el crece el moho en panes con semillas (nueces, chia, etc) versus un pan blanco (hipótesis podría ser que la presencia de semillas implica mayores nutrientes y por tanto el moho debería crecer más rápido en el pan especial)\n \n
- Estudiar cómo crece el moho en pan blanco expuesto a distintos niveles de luz (hipótesis, dado que la luz favorece el desarrollo del moho, el pan con mayor exposición debe crecer a una tasa mayor en esta condición) \n
- Otros factores (por mencionar solo algunos) a estudiar pueden ser\n
- comparar cantidad de preservantes \n
- comparar cantidad de preservantes \n
- humedad \n
- contaminación cruzada \n
\n
- Descarte rotundamente aquellas propuestas que busquen estudiar la cantidad de aire, por ejemplo haciendo agujeros en bolsa. Las esporas que podrían salir de la bolsa pueden causar reacciones alérgicas y complicaciones a la salud. \n
- Sugiera el uso de guantes en todo momento para manipular las bolsas. En ningún caso el pan debe removerse de las bolsas. Tampoco abrirlas. \n
- Mencionar a los apoderados que los estudiantes realizarán este experimento. Esto, para evitar que boten a la basura las bolsas con pan podrido. \n
- \n
- ¿Cómo medir la cantidad de moho? La forma más sencilla es medir el avance superficial del hongo en el trozo de pan. Es decir, deben pensar en una forma de medir el área. Si por ejemplo, miden el área usando una hoja cuadriculada deben decidir cuando un cuadrito se considera “cubierto” (más de la mitad, menos de la mitad, etc.). Es probable que en este punto, más de algún grupo considere que el tipo de pan que han elegido (por ejemplo una marraqueta) tiene una forma que hace muy complicado medir el área y que propongan cambiar el tipo de pan para soslayar esta dificultad.
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/4-medio/descomposicion-pan/area-measure.png\")
- \n
- ¿Cada cuánto medir? Algunos grupos podrían verse tentados a medir con una alta frecuencia (cada 3 horas por ejemplo). Lo cierto es que esto es poco práctico (implicaría medir de madrugada, transportar las bolsas, etc). Es decir, para medir la frecuencia deben hacerlo de una forma que sea práctica y sostenible en el tiempo. Podría ocurrir también lo contrario, es decir, que las y los estudiantes midan con baja frecuencia (cada dos días por ejemplo) lo que generaría datos poco útiles. \n\n\n
\n- \n
- Es posible que más de algún grupo se equivoque en las mediciones (por ejemplo, que olviden medir por uno o más días) medición, pierdan las bolsas y otras eventualidades que los obliguen a comenzar desde cero. En estos casos, se sugiere motivar a los estudiantes a seguir con el experimento y que mencionarles que este tipo de errores son parte normal del proceso que están realizando.
- También puede ocurrir que más de algún grupo piense que han hecho algo mal pues no verán aparecer el moho en los primeros días del experimento (en general demora aproximadamente entre 9 a 11 días en aparecer). En este caso se sugiere transmitir esta información a sus estudiantes para darles la tranquilidad de que su procedimiento va bien encaminado. \n
\n
\n- \n
- ¿En qué caso el moho aparece primero? ¿En el ambiente con oscuridad o con luz? \n
- A partir de sus gráficos, ¿se podrían ajustar los datos con una función lineal?¿o con función exponencial? \n
- ¿Tiene sentido usar funciones de ese tipo para describir los datos que han recolectado? \n
- ¿Qué diferencias observan en las gráficas de los panes expuestos a poca luz y alta luz? ¿Qué aspectos tienen en común? \n
- Si tuviesen que describir el comportamiento que observan en los gráficos, ¿Qué dirían? \n\n
- \n
- Que en los primeros días (hasta el día 8 o 9 aproximadamente) el crecimiento es lento. \n
- Hay un período donde se produce un crecimiento acelerado (desde el día 9 al 12 aproximadamente), y finalmente \n
- desde el día 12 al 14, aproximadamente, la cantidad de moho se estabiliza lentamente en un valor fijo. \n\n\n
- \n
- Las y los estudiantes traspasan la información a una lista de puntos en GeoGebra. \n
- Usan la función ‘AjusteLogístico(lista)’ para obtener la expresión analítica de la curva logística. \n
\n\n- \n
- ¿Cuál es el dominio para la variable \\(t\\)? \n
- A partir de los modelos logísticos que han obtenido, ¿Se verifica su hipótesis inicial? ¿Por qué? \n
- Cuando ha transcurrido la mitad del tiempo de estudio (en este ejemplo, 7 días) ¿cuánta área ha cubierto el moho en cada caso, según sus modelos? \n
- ¿Cómo pueden ocupar sus modelos para obtener el valor límite de la población de moho? \n
\n\n- \n
- Según sus modelos, ¿cuál es el valor límite de la cantidad de moho en cada caso?¿este valor tiene sentido en la realidad?¿por qué? \n
- Según su investigación, ¿cómo crecen los microorganismos en ambientes de recursos limitados?¿esto es coherente con los modelos que han encontrado? \n
- ¿Qué tanto difieren los resultados de sus modelos con los resultados experimentales? ¿A qué creen que se deben esas diferencias?¿Qué puede haber incidido en ellas? \n
- En vista de los modelos que han obtenido y sus resultados, ¿Qué hubiesen realizado de forma distinta en sus experimentos? ¿La medición del área fue adecuada para capturar el comportamiento del moho? ¿La frecuencia en la medición fue la adecuada? \n
- Si hicieran de nuevo el experimento ¿Cómo lo harían? ¿Qué otras variables estudiarían? \n
- \n
- Explicitar el desafío que abordaron, los factores que cada grupo decidió investigar y la hipótesis planteada. \n
- Resultados de su investigación. \n
- Descripción del procedimiento experimental. Esto es, detallar el tipo de pan que utilizaron, las condiciones bajo las cuales midieron el crecimiento del moho, y de qué manera realizaron las mediciones. \n
- Descripción de los resultados experimentales encontrados. Es importante describir también las características cualitativas del crecimiento del moho asociadas a los datos obtenidos. \n
- Modelos logísticos ajustados a sus datos y los resultados que se pueden obtener de ellos. \n
- Validación de los modelos obtenidos. \n
- Conclusiones del trabajo realizado. \n\n\n
- \n
- ¿Cuáles fueron las etapas del proyecto que desarrollamos? ¿Cuál de ellas fue la más desafiante? \n
- ¿Cómo la matemática me permitió resolver el desafío planteado? \n
- ¿Qué logramos realizar con este proyecto? ¿Cómo se conecta con el mundo real? \n
- ¿Qué aspectos podríamos mejorar del trabajo realizado como equipo? \n
- \n
- Correlaciones lineales positivas: cuando ambas variables aumentan o disminuyen simultáneamente. \n
- Correlaciones lineales negativas: cuando una variable aumenta al disminuir la otra. \n
- \n
- Errores de procedimiento: errores en la toma o registro de los datos. \n
- Variabilidad de los datos: datos correctos que por alguna razón tienen un valor muy alejado del resto. \n
- \n
- Eliminación: todo procedimiento cuyo objetivo es disponer en forma definitiva o destruir un residuo en instalaciones autorizadas. \n
- Valorización: conjunto de acciones cuyo objetivo es recuperar un residuo, uno o varios de los materiales que lo componen y/o el poder calorífico de los mismos. La valorización comprende la preparación para la reutilización, el reciclaje y la valorización energética. \n
- \n
- Relleno sanitario: Lugar específicamente diseñado y gestionado para evitar la contaminación del medio ambiente. Los residuos son compactados y cubiertos con capas de tierra diariamente para minimizar la exposición al aire y los vectores de enfermedades. En Chile, estas instalaciones deben cumplir las disposiciones del Decreto Supremo N°189. \n
- Vertederos: Lugar de disposición de residuos, planificado para ese uso. Sin embargo, no cuenta con las medidas sanitarias mínimas establecidas en el Decreto Supremo N° 189. Presenta problemas sanitarios y ambientales como vectores y olores. \n
- Basural: Lugar de disposición de residuos, en forma espontánea, sin control sanitario ni ambiental.> \n
- \n
- Reciclaje: Consiste en la recolección, clasificación y procesamiento de materiales reciclables (como papel, cartón, vidrio, plásticos y metales) para convertirlos en nuevos productos. Este proceso reduce la necesidad de materias primas vírgenes y ahorra energía. \n
- Coprocesamiento: Es una técnica de valorización que utiliza residuos como sustitutos de combustibles y materias primas en procesos industriales, especialmente en la producción de cemento. Esta práctica no solo reduce la cantidad de residuos que requieren disposición final, sino que también contribuye a la eficiencia energética y la conservación de recursos naturales. \n
- Pretratamiento: El objetivo del pretratamiento es mejorar las características de los residuos para que puedan ser gestionados de manera más eficiente y segura en etapas posteriores. Esto puede incluir la reducción de volumen, la separación de componentes o la preparación de residuos para procesos específicos de valorización. Por ejemplo, en el caso del caso de papel y cartón, una forma de pretratamiento corresponde a recolectarlos y separarlos selectivamente para procesos de reciclaje. \n
- \n
- Columnas F, G y P : Que indican la municipalidad y la comuna que realiza la declaración. \n
- Columna R : Indica la región a la que pertenece cada comuna.\n \n
- Columna V : Indica la cantidad de toneladas declaradas para un tipo de residuo específico. \n
- Columnas Y y AA : Se refieren a los tipos de tratamiento asociados. La columna AA es más general pues refiere solo a si los residuos se “Eliminaron”, “Recolectaron” o “Valorización” y la columna Y es más específica, pues detalla el tipo de tratamiento en cada categoría. Por ejemplo, si en la columna AA se indica “Eliminación”, la columna Y puede corresponder a “Vertedero”, “Relleno Sanitario”, “Basural”, etc. \n
- Columna AG : Indica el tipo de residuo sólido. Por ejemplo, vidrio, plástico, aceites y grasas, metales, etc. \n
- \n\n
- Población total de la comuna: Para acceder a este dato, se debe ir a Indicadores < Demográficos < 1.1 Población total. \n
- Población por Área Urbana-Rural: Para acceder a este dato, se debe ir a Indicadores < Demográficos < 1.2 Población por Área Urbana - Rural. Un dato interesante en esta sección es el porcentaje de población rural de cada comuna, que está en la columna “ % Ruralidad”. \n
- Tasa de pobreza por ingresos: Para acceder a este dato, se debe ir a Indicadores < Sociales < 2.1 Tasa de pobreza por ingresos, años 2017 y 2022. \n
- Tasa de pobreza multidimensional: Para acceder a este dato, se debe ir a Indicadores < Sociales < 2.2 Tasa de pobreza multidimensional, años 2017 y 2022. \n
- % Personas carentes de servicios básicos: Para acceder a este dato, se debe ir a Indicadores < Sociales < 2.4 Personas presentes en el RSH (Registro social de hogares) carentes de servicios básicos en el hogar y Hogares hacinados presentes en el RSH. \n
- % Hogares hacinados: Para acceder a este dato, se debe ir a Indicadores < Sociales < 2.4 Personas presentes en el RSH (Registro social de hogares) carentes de servicios básicos en el hogar y Hogares hacinados presentes en el RSH. \n
- Disponibilidad presupuestaria por habitante: Para acceder a este dato, se debe ir a Indicadores < Municipales < 6.1 Ingresos Propios según fuente de ingreso, años 2020-2022 (Sin factor de corrección monetaria). Fila 1. \n\n
- \n
- ¿Qué son los residuos sólidos municipales?\n \n
- ¿Qué problemáticas genera la gestión inadecuada de la basura? \n
- ¿Existen diferencias respecto a la generación de basura entre países y regiones? Nombren algunos ejemplos. \n
- A nivel mundial ¿qué porcentaje de los residuos sólidos generados se recicla o somete a recuperación? ¿Qué porcentaje termina en vertederos informales? ¿A cuántas toneladas de basura anuales corresponde cada uno de los porcentajes anteriores ? \n
- Piensen en las distintas comunas del país, ¿Qué factores creen que influyen en la cantidad de basura generada en cada comuna? ¿o en la cantidad de basura que se recicla?
En este punto es posible que surjan diversas ideas por parte de las y los estudiantes. Se espera que planteen relaciones adecuadas en el contexto. Por ejemplo, que la basura generada en una comuna depende de su población. Otros podrían plantear que en comunas con niveles altos de ingresos se compra y consume más y por tanto, generan más basura.
","eng":""},{"eng":"","esp":"Ideas similares pueden surgir para el reciclaje. Por ejemplo, que comunas con niveles de ingresos más altos podrían destinar más dinero a procesos de recuperamiento de la basura, y por tanto, se recicla más. ","tipo":"p"},{"esp":"Luego de esta discusión pida a cada grupo que planteen una pregunta de investigación en torno a la generación de basura o su gestión y los factores que pueden afectar en ella, tal como se indica en la Hoja de Actividades.
","tipo":"p","eng":""},{"recurso":"Pregunta","tipo":"momento","eng":"","esp":"Planteen una pregunta de investigación que pueda ser abordada a partir de información sobre la basura generada y reciclada en distintas comunas de Chile y datos sociodemográficos de ellas."},{"eng":"","esp":"Es posible que a algunos grupos les sea difícil plantear este tipo de preguntas. En estos casos, se sugiere dar algunos ejemplos, a fin de que las y los estudiantes comprendan cómo traducir las ideas de la discusión anterior en preguntas de investigación. Comente que no es necesario que en este momento las preguntas sean muy específicas o detalladas, pues más adelante tendrán tiempo de modificarlas y mejorarlas. Un ejemplo de pregunta esperada es la siguiente,
","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"¿Cómo se relaciona la cantidad de basura generada / reciclada en las comunas del país con la cantidad de habitantes?","eng":""},{"eng":"","esp":"Se sugiere monitorear que las preguntas de investigación de cada grupo sean pertinentes al contexto. Para concluir esta primera etapa, puede mencionar que a continuación se trabajará con datos reales y se investigará sobre los elementos involucrados en las preguntas de investigación planteadas, con el objetivo de responder adecuadamente a las mismas.","tipo":"p"}]},"2":{"contenido":[{"tipo":"h4","eng":"","esp":"Tiempo sugerido para la etapa: 2 clases"},{"esp":"En esta segunda etapa, las y los estudiantes deberán replantear sus preguntas de investigación en función de la disponibilidad de datos e investigar en torno a los aspectos contextuales involucrados en la pregunta que investigarán. Cabe mencionar que en este proyecto en particular, los datos con los que se trabajarán serán proporcionados directamente por el docente. ","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Investigación de aspectos generales del contexto"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Es importante que las y los estudiantes comprendan los distintos aspectos contextuales involucrados en la situación planteada, en este caso, la generación de basura en Chile y su gestión. "},{"tipo":"p","eng":"","esp":"A continuación se sugieren algunas preguntas que podrían ayudar a que las y los estudiantes comprendan cuestiones generales del contexto del proyecto:"},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","eng":"","esp":"- \n\n
- ¿Qué son los residuos sólidos municipales? \n
- Describan las distintas etapas por las que pasan los residuos sólidos municipales recorren desde su generación hasta su tratamiento final. \n
- ¿Qué significa la “disposición final” de un residuo sólido? ¿Cuáles son los distintos tipos de disposición final de residuos en Chile? \n
- ¿A qué se refiere la “valorización” de los residuos sólidos? ¿En qué se diferencia de la “disposición final”? \n
- Describan brevemente los principales métodos de valorización de recursos sólidos e investiguen cuáles son aquellos más predominantes en Chile. \n\n
- Datos sobre generación de residuos sólidos municipales y su destino final: Esta es una base de datos del Registro de Emisiones y Transferencias de Contaminantes (RETC) del Ministerio del Medio Ambiente. Contiene información relativa a la cantidad de basura generada el año 2022 en todas las comunas del país (en toneladas), el tipo de basura (plástico, metales, equipos electrónicos, etc.) y su destino final (reciclaje, compostaje, vertedero, etc.). Tal como se sugiere en la presentación que acompaña este momento, se sugiere detenerse a explicar las columnas más relevantes de la base de datos, para que las y los estudiantes la comprendan. \n
\nLa base de datos puede ser descargada directamente en el botón a continuación, o bien, en la sección de Recursos, etapa de Investigación. Cabe destacar que en la página del RETC se pueden descargar las bases de datos asociadas a años anteriores (hasta 2014). Para hacerlo, puede ir directamente a este link. \n
- Variables sociales, económicas y demográficas sistematizadas por comuna: En esta página de la biblioteca del congreso nacional, es posible consultar por año, una serie de variables sociodemográficas, para todas las comunas del país. Para hacerlo, solo basta seleccionar el año y luego la comuna de interés para acceder a los datos.
\n- \n
- Los municipios con más ingresos reciclan mayor basura, pues pueden invertir en ello. \n
- No existe ningún tipo de relación entre los ingresos y la cantidad de basura reciclada, pues para los municipios no es prioritario invertir sus ingresos en reciclaje. \n
- \n
- Datos sobre generación de residuos sólidos municipales y su destino final. \n
- Variables sociales, económicas y demográficas sistematizadas por comuna. \n
En aquellos municipios de la región de la Araucanía que declararon reciclar basura en el año 2022, ¿Existe una relación entre el ingreso anual del municipio y la cantidad de basura reciclada?"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Se creó la siguiente base de datos cruzando la información disponible de ambas fuentes. Cabe destacar que en la web de datos comunales, hay dos ítems que refieren al ingreso anual de un municipio: “ingreso total municipal” y la “disponibilidad presupuestaria anual por habitante”. "},{"escala":"75","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/generacion-basura/tabla.png","alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","eng":"","caption":{"esp":"","eng":""}},{"eng":"","recurso":"Destacado","tipo":"momento","esp":"Respecto de la construcción de la base de datos, es importante que tenga en cuenta los siguientes puntos:\n
\n- \n
- Es un trabajo intensivo en tiempo, pues requiere manipular la planilla de cálculo con la información relativa a generación municipal de residuos sólidos, que tiene una gran cantidad de datos, y a la vez, cruzar estos datos con la información relativa a variables sociales, económicas y demográficas disponible en la web de la biblioteca del congreso nacional. \n
- Es posible que al construir la base de datos, las y los estudiantes se den cuenta que no cuentan con una gran cantidad de datos para responder a la pregunta qué buscan abordar. Por ejemplo, en la región de Antofagasta solo la comuna de San Pedro registró reciclaje de basura en 2022. Esto podría pasar también con otras variables. En estos casos, sugiera a los estudiantes ampliar la base de datos, por ejemplo a más de una región, o incluso al país, dependiendo de la pregunta que quieran abordar y la disponibilidad de datos. \n
\n- \n
- ¿Las columnas de su base de datos se relacionan con su pregunta de investigación? ¿por qué? \n
- ¿Cuáles son las unidades de medida de las distintas variables de su base de datos? \n
- ¿Pueden explicarme cómo construyeron su base de datos? \n
- ¿Decidieron dejar algunos datos fuera? ¿por qué? \n
- \n\n
- ¿Los puntos del gráfico se distribuyen de manera aleatoria o parecen formar algún patrón específico? \n
- ¿Hay alguna relación visible entre las variables? Por ejemplo, ¿cuando una variable aumenta, como se comporta la otra variable? \n
- ¿Los puntos están muy agrupados o dispersos? ¿La variabilidad de los puntos cambia a medida que aumenta o disminuye el valor de alguna de las variables? \n
- ¿Hay datos atípicos?¿Cómo afectan estos puntos atípicos la interpretación general de la relación entre las variables? \n
- ¿Existen áreas del gráfico con mayor concentración de puntos o áreas vacías significativas? \n
- ¿Qué podrían decir de las zonas de alta o baja densidad de puntos? ¿Hay una explicación plausible para ese tipo de diferencias? \n
- ¿Pueden identificarse distintos grupos dentro de los datos? ¿Qué características podrían tener en común los puntos dentro de cada grupo? \n
- ¿Podrían otras variables no incluidas en el gráfico estar influyendo en la relación observada entre las variables? \n
- ¿Es necesario ajustar o controlar por otras variables para obtener una interpretación más precisa de lo observado? \n
Es importante motivar una actitud crítica que permita a los estudiantes cuestionar sus primeras impresiones y avanzar hacia análisis más profundos. Por ejemplo, si en el gráfico anterior, en vez de graficar la cantidad de basura reciclada en función del ingreso total de cada municipio, se grafica en función de la disponibilidad presupuestaria por habitante, se obtiene la siguiente gráfica,
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/1-medio/generacion-basura/nubepuntos-4.png\")
"},{"esp":"Verificación de hipótesis y respuesta a pregunta de investigación","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"Finalmente luego del trabajo de análisis anterior, pida a cada grupo que fundamenten y justifiquen si sus hipótesis iniciales se comprueban de forma empírica a partir de los datos o no, en cuyo caso, motívelos a que intenten explicar porque su hipótesis no se sostuvo, basados en el conocimiento adquirido a lo largo del proyecto. ","tipo":"p","eng":""}]},"4":{"contenido":[{"tipo":"h4","eng":"","esp":"Tiempo sugerido para la etapa: : 1 clase"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Comunicación"},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Una fase importante del aprendizaje basado en proyectos es la comunicación tanto del desarrollo del proyecto, como sus resultados. La comunicación a la comunidad, puede realizarse a través de presentación oral ante la comunidad, la cual apoyarse en los siguientes recursos: Ppt, video, poster, etc. La decisión sobre la forma en la que se realizará está presentación debe hacerse tomando en cuenta el contexto del establecimiento, por ejemplo, podría organizarse una Feria científica donde los estudiantes presenten sus hallazgos y en este caso el soporte podría ser un Poster científico, o podrían organizar un simposio donde realicen presentaciones de todo su proceso y principales hallazgos y donde se invite a distintos miembros de la comunidad educativa. "},{"tipo":"p","eng":"","esp":"La presentación debe considerar:"},{"eng":"","esp":"
\nEn este caso, el dato atípico sigue siendo la comuna de Temuco, pero es posible observar que pese a que es la comuna con mayores ingresos de la región de la Araucanía, tiene una de las más bajas disponibilidades presupuestarias por habitante (debido a la gran población de la comuna). Sin embargo, aún así, es de las comunas que más recicla. \n
\n¿A qué puede deberse lo anterior? Quizás, al hecho de que la comuna de Temuco es más urbanizada (tiene un porcentaje de ruralidad de 7,5% versus el 27,9% de la región) y esto facilita la tarea de reciclar (mejor infraestructura vial, mejor conexión con otras regiones, etc.). Luego, puede ser interesante estudiar cómo se relaciona el porcentaje de urbanización de una comuna (dato disponible en la web de la biblioteca del congreso) y la cantidad de basura que se recicla. \n
\nEsto último es un ejemplo de cómo, a partir de un primer análisis, las y los estudiantes podrían transitar a interpretaciones que los lleven a estudiar otras variables. Por cierto, es importante monitorear el trabajo de los grupos, para procurar que sus interpretaciones y análisis sean pertinentes al contexto.\n- \n\n
- Pregunta de investigación y la hipótesis planteada. \n
- Resultados de la investigación, tanto de los aspectos generales del proyecto, así como también, de los aspectos específicos relacionados a la pregunta que decidieron investigar. \n
- Explicación de la base de datos final, describiendo las variables involucradas y las decisiones que tomaron para construirla. \n
- Análisis e interpretación de las gráficas de dispersión (nube de puntos) obtenidas. \n
- Fundamentación y justificación respecto a la verificación (o no) de la hipótesis planteada. \n
- Conclusiones del trabajo realizado. \n\n\n
- \n\n
- ¿Cuáles fueron las etapas del proyecto que desarrollamos? ¿Cuál de ellas fue la más desafiante? \n
- ¿Cómo la matemática me permitió resolver el desafío planteado? \n
- ¿Qué logramos realizar con este proyecto? ¿Cómo se conecta con el mundo real? \n
- ¿Qué aspectos podríamos mejorar del trabajo realizado como equipo? \n\n\n
- \n
- ¿Conocían la energía mareomotriz? ¿Por qué se considera una energía renovable? \n
- ¿Cuál es el potencial de Chile para aprovechar la energía del mar? \n
- ¿Cómo se aprovechan las mareas para producir energía? \n
- ¿Qué características creen ustedes que debe tener el lugar donde se instalen este tipo de generadores eléctricos? \n
- ¿Qué criterios creen que son necesarios para decidir dónde instalar este tipo de plantas de energía? \n
- ¿Por qué creen que no es un tipo de energía muy difundido en el país? \n\n
¿Dónde ubicarías una planta de energía mareomotriz en la región del país donde viven? ¿Por qué?","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Al finalizar esta etapa, los y las estudiantes deben tener claro que su trabajo de ahora en adelante es definir la ubicación de una planta de generación de energía mareomotriz en su región. Es importante asegurarnos que todos los y las estudiantes lo hayan comprendido, por lo que se propone que sistematicen la situación respondiendo las preguntas planteadas en la Hoja de Actividades de esta etapa. "}],"visible":true},"2":{"visible":true,"contenido":[{"tipo":"h4","esp":"Tiempo sugerido para la etapa : 2 clases","eng":""},{"esp":"Como se ha mencionado anteriormente, el objetivo del proyecto es que las y los estudiantes usen datos reales de variaciones del nivel del mar en el país para estimar el potencial energético de distintas costas en el país. Dado lo anterior, en esta segunda etapa, los y las estudiantes deberán investigar para obtener información relevante sobre los siguientes temas,\n","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"- \n
- Tecnologías que aprovechan el movimiento de las mareas para generar energía. \n
- Características de las mareas, esto es, nivel del mar, periodicidad, causas, entre otros. \n
- \n
- ¿Qué son las mareas? \n
- ¿Cuáles son las causas de las mareas? \n
- ¿Cómo varían las mareas a lo largo del tiempo? \n
- ¿Cómo se miden y registran las mareas? \n
- ¿Cuáles son los efectos de las mareas en el medio ambiente y la vida marina? \n
- ¿Cómo afectan las mareas a la actividad humana y a las comunidades costeras? \n
- ¿Qué son las corrientes de marea? ¿Cómo se relacionan con las variaciones del nivel del mar? \n\n
- \n\n
- ¿Qué tecnologías aprovechan el mar para generar energía? Describe brevemente sus principios de funcionamiento y describe sus impactos ambientales. \n\n
- Respecto a la pregunta anterior, ¿Cuáles tecnologías que has investigado aprovechan las corrientes generadas por las mareas para producir electricidad? ¿De qué manera estas tecnologías convierten el movimiento del mar en electricidad? ¿Qué factores afectan la generación de energía en estas tecnologías? \n\n
- ¿Cómo funciona un generador de electricidad? Describan brevemente el principio de inducción electromagnética y expliquen cómo se relaciona a la generación de energía mareomotriz. \n\n
- ¿Qué es la energía cinética? ¿Cómo se relaciona con las tecnologías que han investigado? \n\n\n
- \n
- Las tecnologías aprovechan el movimiento, ya sea de las olas o de las corrientes generadas por los cambios en el nivel del mar, para producir energía. Es decir, el movimiento mecánico capturado por una boya o una turbina, se transfiere a un generador, el cual, mediante el principio de inducción electromagnética lo convierte en energía eléctrica. \n\n
- De acuerdo al punto anterior, el concepto de energía cinética está íntimamente relacionado con la generación de energía mareomotriz. Esto, porque es el movimiento mecánico (de las olas o las corrientes) el que proporciona la energía cinética necesaria para hacer girar una bobina dentro de un campo magnético, lo que induce una corriente eléctrica y así genera electricidad en el generador. \n\n
- Las mareas son cambios regulares y predecibles en el nivel del mar causados por la atracción gravitatoria de la Luna y el Sol sobre la Tierra, así como por la rotación de la Tierra. Se miden mediante mareógrafos, dispositivos que registran el nivel del agua en relación con un punto de referencia. \n\n\n\n\n
- \n
- ¿Qué es el SHOA? ¿Cuáles son sus principales funciones? \n
- ¿Cómo mide el SHOA los cambios en el nivel del mar? ¿Cuántas estaciones de medición hay en el país? \n
- Los datos referidos a los cambios en el nivel del mar que se obtienen en la web del SHOA ¿cuántos días de información incluyen? \n
- Explica a qué variables corresponden los ejes verticales y horizontales en las curvas que se obtienen en la página del SHOA. En el caso del eje vertical, ¿cómo se interpreta un nivel del mar igual a cero ? \n
- \n
- El eje vertical corresponde al nivel del mar, medido respecto a un nivel de referencia representado por el 0. Este nivel de referencia, también llamado nivel medio del mar, corresponde al promedio del nivel del mar en un lugar específico durante un período prolongado de tiempo (generalmente de varios años). \n
- El eje horizontal corresponde al tiempo en que se realiza cada medición del nivel del mar. El dato se entrega en horas y minutos de un día específico. Las curvas se construyen con la información de los últimos dos días.
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/mareas/mejillones.png\")
- \n
- \n
- En primer lugar, los distintos grupos de estudiantes deberán obtener datos reales del cambio de nivel del mar, en al menos dos localizaciones de su interés. \n
- Luego, usando herramientas computacionales, deberán ajustar una función sinusoidal a dichos datos, a fin de obtener una curva \\(h(t)\\) que describa el cambio del nivel del mar en las localizaciones de interés. \n
- Los grupos deberán trabajar analíticamente para obtener la función \\(\\left(\\frac{dh}{dt}(t)\\right)^2\\) que corresponde al cuadrado de la velocidad de cambio del nivel del mar. Este valor proporciona una medida proporcional a la energía cinética instantánea del sistema de mareas. \n \n
- Finalmente los grupos deberán trabajar en obtener una medida del valor promedio de la función \\(\\left(\\frac{dh}{dt}(t)\\right)^2\\) en el tiempo. Aquí la comprensión de que la integral de una función puede ser utilizada para obtener su valor promedio en un intervalo específico será fundamental, \\[\\frac{1}{b-a}\\int_a^b f(x) dx\\] Con este número, los distintos grupos podrán comparar el valor promedio de la energía cinética disponible en dos o más localizaciones y usar esta información como insumo para decidir donde es más conveniente ubicar una instalación de energía mareomotriz. \n
¿Dónde ubicarías una planta de energía mareomotriz en la región del país donde viven? ¿Por qué?"},{"esp":"Luego, comente que para abordarlo deberán obtener datos reales de la variación del nivel del mar en al menos dos localizaciones de la región en donde viven. Debido a las limitaciones propias de la página del SHOA, no es posible descargar directamente los datos correspondientes a las curvas, pero si es posible obtener manualmente las coordenadas de los puntos. ","eng":"","tipo":"p"},{"esp":"Sugiera que para ambas localizaciones registren el nivel del mar, durante un día, tomando datos cada una hora. Es decir, para ambas localizaciones deberán obtener 24 datos. En la siguiente imagen se puede observar una muestra de estos datos. ","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","caption":{"eng":"","esp":"Datos nivel del mar estación Puerto Montt"},"titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","escala":"25","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/mareas/tabla-datos.png"},{"esp":"Dado que la página del SHOA cambia día a día las mediciones (pues solo muestra los datos de los últimos dos días en cada estación) es importante que los grupos realicen este trabajo en una única clase. ","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"momento","esp":"Cabe destacar que la frecuencia de muestreo sugerida (cada 1 hora) garantiza que se está capturando toda la información necesaria (amplitud, frecuencia y fase) para describir adecuadamente la curva original. Dado que los argumentos matemáticos que justifican este hecho provienen de nociones matemáticas más avanzadas (ver el apartado relativo al teorema de Nyquist-Shanon en la sección de Aspectos Matemáticos), se sugiere no ahondar en las razones que justifican esta frecuencia de muestreo con los estudiantes.
\nEn caso que sus estudiantes pregunten por qué se escogió esa frecuencia de muestreo y no otra, puede comentarles que registrar los datos cada una hora garantiza describir la curva adecuadamente. Puede reforzar esta idea con el siguiente ejemplo, en que se muestra como una función sinusoidal se reconstruye erróneamente al tomar datos con una frecuencia muy baja.
","recurso":"Destacado","eng":""},{"eng":"","esp":"Una vez que los grupos hayan recolectado los datos necesarios, pídales que los grafiquen en una nube de puntos con el objetivo de verificar que el proceso de muestreo ha sido correcto. En la siguiente imagen se muestra el gráfico obtenido para los datos anteriores, construido en una planilla de cálculo. ","tipo":"p"},{"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","eng":"","escala":"50","titulo":{"eng":"","esp":""},"caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/mareas/scatterplot-ptomont.png"},{"eng":"","esp":"Antes de continuar con el proyecto, es importante aclarar a todos los estudiantes que, dado el tipo de datos con los que cuentan (nivel del mar en el tiempo), la pregunta del desafío \"¿Dónde ubicarías una planta de energía mareomotriz en la región del país donde viven? ¿Por qué?\" se refiere a una tecnología específica: una planta que utilice turbinas para generar energía a partir de la energía cinética de las corrientes producidas por los cambios en el nivel del mar. Aunque esto debiese quedar claro a partir de los resultados de sus investigaciones, es crucial enfatizarlo. Esto se debe a que algunos grupos podrían considerar la instalación de otro tipo de tecnología. En tales casos, se les debe aclarar que, dado los datos que se utilizarán, solo podrán obtener información relevante para evaluar la instalación de plantas mareomotrices que aprovechen las corrientes de marea.","tipo":"momento","recurso":"Destacado"},{"tipo":"h3","eng":"","esp":"Obtención de la curva \\(h(t)\\)"},{"tipo":"p","esp":"Luego de que los grupos hayan obtenido los datos del nivel del mal en las localizaciones de interés, es necesario usar esos datos para ajustar una función sinusoidal que los describa. Tal como se discutió anteriormente, este paso es fundamental para obtener una medida de la energía cinética disponible para ser aprovechada. Si le parece necesario, puede volver a discutir con los estudiantes la relevancia de esta tarea. ","eng":""},{"tipo":"p","esp":"Se sugiere dedicar un momento a que los estudiantes piensen de qué manera podrían obtener una función sinusoidal que describa los datos. Para ello, puede plantear preguntas como la siguiente, ","eng":""},{"tipo":"momento","recurso":"Pregunta","esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/mareas/aspmat-aliasing.png\")
\n¿Cómo podríamos usar los datos para obtener una función sinusoidal que describa los datos del nivel del mar?","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Dé un tiempo para que sus estudiantes, en grupos, aborden esta pregunta. Se espera que mencionen algunas de las siguientes ideas, \n![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/mareas/h%28t%29-analitica.png\")
- \n
- Si bien la amplitud varía, sería posible obtener un promedio a partir de los datos. \n \n
- A partir de los datos, es posible estimar un valor para el período y con ello estimar la frecuencia. \n
- Las y los estudiantes traspasan la información a una lista de puntos en GeoGebra. Cada punto indica el nivel del mar en una hora.
- Usan la función ‘AjusteSeno(lista)’ para obtener la expresión analítica para \\(h(t)\\).
- ¿Cuál es el período y la frecuencia de la función \\(h(t)\\)?
- ¿Cómo se interpretan estos valores en el contexto del problema?
- ¿Son consistentes estos resultados con los hallazgos de su investigación?
¿Cómo podemos utilizar la curva \\(h(t)\\) para obtener información sobre la energía cinética disponible en cada costa?","recurso":"Pregunta","tipo":"momento","eng":""},{"esp":"Se espera que las y los estudiantes mencionen que con la curva \\(h(t)\\) es posible obtener la velocidad de cambio del nivel del mar (mediante su derivada) y a partir de ella, el cuadrado de esa velocidad en el tiempo, que es proporcional a la energía cinética. Si es necesario, se sugiere dedicar un tiempo a explicar esta relación nuevamente, a fin de que los distintos grupos tengan la claridad contextual necesaria para interpretar correctamente el trabajo matemático que realizarán a continuación. \n","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Pida a los distintos grupos que aborden la siguiente actividad, "},{"esp":"- ¿Cuál es la velocidad de cambio del nivel del mar? Generen un gráfico que muestra la velocidad en el tiempo.
- ¿Cuál es el cuadrado de la velocidad anterior? Obtengan un gráfico de esta función en el tiempo.
- ¿Cuál es la unidad de medida asociada a la curva \\(\\frac{dh}{dt}(t)\\)? \n
- ¿En qué localizaciones se alcanzaron mayores velocidades? ¿Cómo se relaciona esto con la amplitud observada en la curva \\(h(t)\\)? \n
- ¿Cuál es la unidad de medida asociada a la curva \\(\\left(\\frac{dh}{dt}(t)\\right)^2\\)?¿Por qué en esta curva no hay valores negativos? \n
Consideren las curvas respectivas al cuadrado de la velocidad que han encontrado,
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/mareas/cuadrado-graph.png\")
¿Cómo podemos obtener el valor promedio de la curva \\(\\left(\\frac{dh}{dt}^2(t)\\right)\\) a lo largo de un período?
","eng":"","recurso":"Pregunta"},{"eng":"","esp":"Es importante que los distintos grupos dediquen un tiempo a explorar y analizar distintas estrategias para responder a esta pregunta. Algunas de las posibles estrategias que pueden surgir son las siguientes, ","tipo":"p"},{"tipo":"p","esp":"- Tabular una serie de datos a partir de la función y a partir de ellos obtener un promedio. Es decir, obtener el promedio aritmético usando algunos datos. \n
- Una versión más refinada de la estrategia anterior es proponer el cálculo del promedio usando directamente la integral sobre el período de tiempo, de la siguiente manera, \n\n\\[\\text{promedio} = \\frac{1}{T}\\int_0^T \\left(\\frac{dh}{dt}^2(t)\\right) dt \\]\n \n
- Determinen el valor promedio del cuadrado de la velocidad en un período, en ambas localizaciones, por medio de la expresión, \n\n\\[\\frac{1}{T}\\int_0^T \\left(\\frac{dh}{dt}^2(t)\\right) dt\\]\n \n
- En función de sus resultados, ¿en qué lugar hay potencialmente más energía cinética disponible de ser aprovechada para producir energía eléctrica? \n
¿Dónde ubicarías una planta de energía mareomotriz en la región del país donde viven? ¿Por qué?","tipo":"momento","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Es importante que tengan presente que el valor promedio por sí solo, no resuelve el desafío inicial. Para responder correctamente al desafío, se espera que además del potencial energético, las y los estudiantes usen los resultados de su investigación para argumentar si es viable la instalación de esta tecnología en las distintas costas. Por ejemplo, puede darse el caso de que en la costa donde hay mayor potencial energético haya mucha distancia a los centros urbanos, o bien, que la tecnología que aprovecha las corrientes de las mareas no sea adecuada para ser instalada allí debido al nivel de salinidad del mar en esa zona, etc. "}]},"4":{"contenido":[{"tipo":"h4","eng":"","esp":"Tiempo sugerido para la etapa :1 clase"},{"tipo":"h3","esp":"Comunicación","eng":""},{"esp":"Una fase importante del aprendizaje basado en proyectos es la comunicación tanto del desarrollo del proyecto, como sus resultados. La comunicación a la comunidad, puede realizarse a través de presentación oral ante la comunidad, la cual apoyarse en los siguientes recursos: Ppt, video, poster, etc. La decisión sobre la forma en la que se realizará está presentación debe hacerse tomando en cuenta el contexto del establecimiento, por ejemplo, podría organizarse una Feria científica donde los estudiantes presenten sus hallazgos y en este caso el soporte podría ser un Poster científico, o podrían organizar un simposio donde realicen presentaciones de todo su proceso y principales hallazgos y donde se invite a distintos miembros de la comunidad educativa. ","eng":"","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"La presentación debe considerar:\n","tipo":"p"},{"eng":"","esp":"- \n\n
- Explicitar el desafío que abordaron. En este caso, esto implica detallar cuáles costas de su región fueron las que escogieron para trabajar el proyecto. \n
- Resultados de su investigación. En particular,
- Descripción de las tecnologías que aprovechan el movimiento de las mareas para generar electricidad y cómo se relacionan con el concepto de energía cinética.
- Descripción de las principales características de las mareas y los fenómenos físicos que las causan.
\n - Descripción del proceso de obtención de datos de nivel del mar en las distintas costas. \n
- Explicitar de qué manera ajustaron una curva analítica a los datos obtenidos y que describan su período y amplitud. Se espera que justifiquen porque dicha función es una función válida para modelar el fenómeno de interés. \n
- Detallen la medida del valor promedio de la energía cinética disponible en cada localización y describan el procedimiento matemático realizado para obtenerlo. \n
- Detallen la respuesta al desafío, argumento no sólo en la comparación de la energía cinética disponible, sino que también, en otros aspectos relevantes para el problema obtenidos en su investigación. \n
- Conclusiones del trabajo realizado. \n\n
- ¿Cuáles fueron las etapas del proyecto que desarrollamos? ¿Cuál de ellas fue la más desafiante? \n
- ¿Cómo la matemática me permitió resolver el desafío planteado? \n
- ¿Qué logramos realizar con este proyecto? ¿Cómo se conecta con el mundo real? \n
- ¿Qué aspectos podríamos mejorar del trabajo realizado como equipo? \n
- \n
- Dado que las mareas corresponden a oscilaciones regulares del nivel del mar causadas por las fuerzas gravitacionales de la Luna y el Sol sobre la Tierra, la curva que describe el nivel del mar corresponde a función periódica. Es decir, si \\(h(t)\\) describe el nivel del mar en el tiempo, entonces\n\\[h(t) = h(t + T)\\]\ndonde \\(T\\) es el período de la función. En el caso de las mareas, este período oscila entre 12 y 14 horas aproximadamente. \n \n
- Considerando la característica periódica de la función \\(h(t)\\), se puede mostrar que es posible aproximar dicha función mediante una serie de fourier, \n\\[h(t) \\sim \\frac{a_0}{2} + \\sum_{k_1}^{\\infty} \\left( a_k\\cos(k\\omega_0t)+b_k\\sin(k\\omega_0t)\\right)\\]\nen donde \\(\\omega_0\\) corresponde a la frecuencia fundamental, \\(\\omega_0 = \\frac{2\\pi}{T}\\)\n \n
- En general, para reconstruir funciones periódicas a partir de una serie de datos, se suele recurrir a la transformada de fourier, que entrega el espectro de frecuencias \\(k\\omega_0\\) de la función de interés. La siguiente animación, ilustra este procedimiento (por cierto, este procedimiento y su justificación matemática son conocimientos que escapan al programa del electivo).
![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/mareas/fourier-transform.gif\")
- \n
- Considerando lo anterior, durante el proyecto las y los estudiantes usarán GeoGebra para obtener una función analítica que describa sus datos. Cabe destacar que la función de GeoGebra que permite realizar esto (comando ‘AjusteSinusoidal’) realiza una aproximación de la forma, \\[h(t) = A + B\\sin(\\omega t + \\phi)\\] Que si bien, es mucho menos precisa que reconstruir la función usando métodos más complejos (transformada de fourier y series de fourier), funciona bien para curvas que tienen una frecuencia fundamental marcada, como se muestra en la siguiente imagen,
","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/mareas/h%28t%29-analitica-geo.png\")
- Sin embargo, la aproximación mediante GeoGebra no es del todo precisa cuando la curva tiene más de una frecuencia fundamental, como se observa en la siguiente imagen,
"},{"tipo":"p","esp":"![](\"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/mareas/dos-armonicos.png\")
- No obstante lo anterior, para efectos del trabajo de proyecto, consideraremos el ajuste con GeoGebra suficiente para los objetivos de aprendizaje que se busca lograr.
- \n
- Derivadas de seno y coseno:\n\n\\[\\frac{d}{dx}(\\sin x) = \\cos x\\]\n\\[\\frac{d}{dx}(\\cos x) = -\\sin x\\]\n \n\n
- Integrales de seno y coseno:\n\n\\[\\int \\cos(x) dx = \\sin(x) + c\\]\n\\[\\int \\sin(x) dx = -\\cos(x) + c\\]\n\n \n\n
- Regla de la cadena: En cálculo diferencial, la regla de la cadena es una fórmula que permite expresar la derivada de la composición de dos funciones diferenciables. Esta regla, se puede enunciar como sigue, \n\nSean \\(g:(a,b)\\rightarrow (c,d) \\) derivable en \\(\\bar{x}\\in (a,b)\\) y \\(f:(c,d) \\rightarrow \\mathbb{R}\\) derivable en \\(\\bar{y}=g(\\bar{x})\\). Entonces \\(f\\circ g\\) es derivable en \\(\\bar{x}\\) con\n\n\\[(f\\circ g)’(\\bar{x}) = f’(g(\\bar{x}) \\cdot g’(\\bar{x}) \\]\n\nSi las funciones son diferenciables en todo su dominio, podemos escribir de una forma más general la regla anterior, \n\n\n\\[(f\\circ g)’=(f’\\circ g)\\cdot g’ = f’(g(x))\\cdot g(x) \\]\n\n \n\n
- Integración por sustitución: En cálculo diferencial, la integración por sustitución, también conocida como integración por “cambio de variables” es un método para calcular integrales. Sea \\(g:[a,b] \\rightarrow I\\) una función diferenciable con derivada continua, donde \\(I \\subset \\mathbb{R}\\) es un intervalo. Supongamos que \\(f:I\\rightarrow \\mathbb{R}\\) es una función continua. Entonces, \n\n\\[\\int_a^b f(g(x))\\cdot g’(x)dx = \\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)du\\]\n \n\n
- \n
- Comprendan qué representa la curva que están muestreando, esto es, que reconozcan que obtendrán pares de puntos del tipo (tiempo, nivel del mar) y las unidades de medida asociadas a cada variable. \n \n
- Sean consistentes en la forma en que recogen los datos. Esto se traduce en que, por ejemplo, mantengan siempre la misma frecuencia de muestreo (una hora), o bien, que no cambien las unidades de medida durante el proceso. \n
- Estén atentos a errores humanos, por ejemplo, en la transcripción de los datos. \n
- \n
- Es posible que sus estudiantes no estén familiarizados con GeoGebra y su uso. Si este fuese el caso, se sugiere considerar en su planificación una actividad previa en que las y los estudiantes comprendan las herramientas básicas que usarán en el proyecto. En particular,
- El comando ‘Lista’ para crear una lista de puntos, con los datos que han obtenido.
- El comando ‘AjusteSinusoidal’ (u otros comandos similares, por ejemplo, ‘AjusteExp’ o ‘AjusteLineal’).
- Al usar este tipo de software se corre el riesgo de que los estudiantes solo sigan una serie de pasos establecidos y no se cuestionen respecto de los conceptos matemáticos que los justifican. Dado lo anterior, es relevante monitorear su trabajo a fin de asegurar que desarrollen una comprensión matemática de lo que están realizando mediante el software. En este caso en particular, están ajustando una función de carácter sinusoidal a los datos del nivel del mar que han registrado. \n
\nSe espera que, producto del trabajo de investigación que realizarán en el proyecto, las y los estudiantes sean capaces de justificar por qué se ha decidido utilizar un modelo sinusoidal (y no otro) para caracterizar la curva que describe el nivel del mar en el tiempo. \n \n
\n¿Cómo podemos obtener un promedio de los valores que toma esta función a lo largo de un período?","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Para responder esta pregunta es necesario que los estudiantes tengan una comprensión clara del concepto de integral definida. Esto porque, si comprenden que la integral definida corresponde a la suma acumulada de los valores de la función en un intervalo definido, lograrán transitar desde esa comprensión a una expresión del siguiente tipo para calcular el promedio de los valores de la función, \n\n\\[\\frac{1}{b-a}\\int_a^b f(x) dx\\]\nEs posible que más de algún grupo, proponga promediar algunos valores de la función en un intervalo de tiempo para responder a esta pregunta. Es decir, que propongan obtener el promedio de forma discreta. Si bien esto es incorrecto, es una propuesta que va en la dirección adecuada. Si este fuese el caso, se sugiere plantear preguntas a los estudiantes que los ayuden a reconocer que es un procedimiento insuficiente, pues no están considerando todos los valores de la función para obtener el promedio y que de hecho, para sumar “todos” los valores de la función necesitan calcular su integral definida.\n"}]},"3":{"visible":true,"contenido":[{"eng":"","esp":"Mareas","tipo":"h3"},{"tipo":"p","esp":"Las mareas se refieren al aumento y descenso cíclico del nivel del mar, fenómeno gobernado por las fuerzas gravitacionales entre el Sol, la Luna y la Tierra. Cuando vemos subir o bajar la marea, lo que realmente estamos viendo es un ciclo de pequeños cambios en la distribución de los océanos. ","eng":""},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Pese a que se encuentra a más de 300.000 km de distancia de la Tierra, la Luna ejerce sobre ella una fuerza de atracción gravitatoria atrae la masa oceánica hacia ella. Esta atracción hace que los océanos se “abulten” tanto en el lado más cercano a la Luna como en el más alejado. Estas zonas de abultamiento son las que crean las mareas altas, mientras que en los puntos donde no se produce este abultamiento se generan las mareas bajas. "},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/mareas/tide-generating-force.gif","tipo":"img","caption":{"esp":"","eng":""},"escala":"50","eng":"","titulo":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado"},{"esp":"A medida que la Tierra rota, estas zonas de abultamiento se alinean con diferentes áreas, causando dos mareas altas y dos mareas bajas cada día, que tienen en promedio, un ciclo de 12 horas entre ellas (12 horas entre dos mareas bajas, o bien, 12 horas entre dos mareas altas, aproximadamente). ","tipo":"p","eng":""},{"caption":{"esp":"","eng":""},"alinea":"texto-centrado","eng":"","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/mareas/high-and-low-tides.gif","escala":"50"},{"esp":"Si bien la Luna es la que ejerce la mayor influencia sobre las mareas, dada su proximidad con la Tierra, la fuerza de atracción gravitatoria del Sol también afecta a los océanos, sin embargo, como está mucho más lejos de la Tierra que la Luna, su efecto es menor. De todas formas, sí desempeña un papel importante.","tipo":"p","eng":""},{"eng":"","esp":"Dos veces al mes, cuando la Tierra, el Sol y la Luna se alinean, las fuerzas gravitatorias del Sol y la Luna se combinan para crear mareas excepcionalmente altas, conocidas usualmente como “mareas vivas”. Aproximadamente una semana después, cuando el Sol y la Luna están perpendiculares entre sí, la fuerza gravitatoria del Sol actúa en contra de la fuerza gravitatoria de la Luna y la anula parcialmente, creando mareas excepcionalmente bajas, llamadas “mareas muertas”.","tipo":"p"},{"caption":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/mareas/lunar-and-solar-tides.gif","eng":"","escala":"50","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"esp":"Energía Mareomotriz","eng":"","tipo":"h3"},{"esp":"En términos generales la energía mareomotriz, se refiere a la energía que se obtiene al aprovechar las variaciones cíclicas del nivel del mar, es decir, las mareas. Al subir y bajar el nivel del mar, ocurre una entrada y salida de agua hacia y desde las bahías, lo que produce una corriente o movimiento horizontal de agua, que puede aprovecharse para mover una turbina y generar electricidad. ","tipo":"p","eng":""},{"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/mareas/tide02_480.gif","tipo":"img","escala":"25","titulo":{"esp":"","eng":""},"eng":"","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado"},{"tipo":"p","esp":"En la actualidad la central de energía mareomotriz MeyGen en Escocia, en operación desde 2017, es uno de los mayores proyectos de energía mareomotriz en el mundo. Se espera instalar 269 turbinas capaces de proveer la electricidad suficiente para 175000 hogares hacia fines de 2028. ","eng":""},{"eng":"","caption":{"esp":"Turbinas de corriente de marea, proyecto MeyGen","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/mareas/meygen.jpg","escala":"25","titulo":{"esp":"","eng":""},"tipo":"img","alinea":"texto-centrado"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Diversos estudios sugieren que en Chile, este tipo de tecnología es más factible de desarrollarse en el canal de Chacao y en el Estrecho de Magallanes, pues debido a su geografía, en esas zonas las corrientes alcanzan altas velocidades y por tanto, tienen mayor potencial energético. "},{"esp":"Otra manera de aprovechar las mareas para la generación de energía es mediante presas mareomotrices. Estas consisten en una presa que almacena el agua en un embalse durante la marea alta y luego, cuando la marea baja, el agua se circula a través de turbinas que generan electricidad. ","tipo":"p","eng":""},{"tipo":"img","eng":"","titulo":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/mareas/gif-presa.gif","caption":{"eng":"","esp":""},"alinea":"texto-centrado","escala":"50"},{"eng":"","esp":"La planta de energía mareomotriz en el estuario del río Rance en Francia, es una de las más conocidas plantas de este tipo, está operativa desde 1966 y es capaz de proveer de electricidad a más de 130000 hogares. Sin embargo, es importante destacar que este tipo de tecnologías generan consecuencias similares a las de plantas hidroeléctricas con embalse, pero en la costa, afectando la circulación costera, la navegación, el paso de los mamíferos, la ecología y todos los procesos físicos que ocurren en la costa. ","tipo":"p"},{"alinea":"texto-centrado","escala":"50","esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/mareas/rance.jpg","caption":{"eng":"","esp":"Presa mareomotriz, Rance, Francia"},"titulo":{"eng":"","esp":""},"eng":"","tipo":"img"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"Cabe destacar que existen otras tecnologías que producen energía a partir del mar, en particular, a partir de los movimientos de las olas. Un ejemplo de esto, es la utilización de boyas que se instalan sobre la superficie del mar y generan energía a partir del movimiento vertical u horizontal producido por las olas. Este tipo de energía suele recibir el nombre de energía “undimotriz” y se diferencia de la energía mareomotriz, en que aprovecha el movimiento de las olas y no el de las mareas para producir energía. "},{"tipo":"img","caption":{"eng":"","esp":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/mareas/boya.gif","escala":"25","eng":"","alinea":"texto-centrado","titulo":{"esp":"","eng":""}},{"esp":"Energía cinética","tipo":"h3","eng":""},{"tipo":"p","eng":"","esp":"Este proyecto se centra en tecnologías que aprovechan la energía cinética de las corrientes de marea para generar energía eléctrica. Por lo mismo, en este apartado abordaremos brevemente este concepto. "},{"tipo":"p","esp":"La energía cinética es la energía que posee un objeto debido a su movimiento. En términos generales la fórmula para calcular la energía cinética \\(E_c\\) de un objeto en movimiento es, \n\n\\[E_c = \\frac{1}{2}mv^2\\]\n\nEn donde \\(m\\) es la masa del objeto y \\(v\\) su velocidad. Esta fórmula muestra que la energía cinética es directamente proporcional a la masa del objeto y también al cuadrado de su velocidad. Este mismo principio se puede asociar a un sistema de mareas. Como revisamos anteriormente, las mareas generan corrientes en el agua, conocidas como corrientes de marea, que fluyen hacia adentro (marea alta) y hacia afuera (marea baja) de las costas y estuarios. Estas corrientes tienen energía cinética debido al movimiento del agua. En este caso, para cuantificar la energía cinética habría que considerar la masa de agua que se mueve en estas corrientes y su velocidad.\n","eng":""},{"eng":"","esp":"Si bien es muy difícil cuantificar la masa de agua que se mueve en las corrientes de marea, si podemos estimar su velocidad, mediante la derivada de la curva que describe el nivel del mar en función del tiempo. Si \\(h(t)\\) representa el nivel del mar en función del tiempo, entonces su derivada \\(\\frac{dh}{dt}\\) corresponde a la velocidad de cambio del nivel del mar. ","tipo":"p"},{"eng":"","tipo":"p","esp":"En estricto rigor, esta derivada se relaciona directamente con la velocidad vertical del agua, pero es posible asumir que su valor es proporcional a la velocidad horizontal del agua - asociada a las corrientes de marea - que es la que nos interesa para efectos de la producción de energía. Para clarificar esto, considera la siguiente animación y las ideas a continuación,"},{"caption":{"esp":"","eng":""},"esp":"https://static.matcon.cmmedu.uchile.cl/situaciones/ldi/mareas/tide02_480.gif","alinea":"texto-centrado","eng":"","escala":"25","titulo":{"eng":"","esp":""},"tipo":"img"},{"esp":"- \n
- Cuando el nivel del mar sube \\(\\frac{dh}{dt}>0\\), el agua se desplaza horizontalmente hacia el interior del canal o estuario. \n
- Cuando el nivel del mar baja \\(\\frac{dh}{dt}<0\\) , el agua se desplaza horizontalmente hacia afuera. \n
- Justifica por qué los siguientes triángulos son congruentes entre sí:
- Since the sides of each square measure","esp":"
Al reemplazar por los valores de \\(C_0\\) y \\(C(t)=C_a\\) entregados anteriormente se tiene
\n\\[17.000 =40.000 \\cdot 0{,}5^{\\frac{t}{5.730}}\\]
\nA continuación, presente la Actividad 3, donde se debe estimar la antigüedad de otras momias (Tarea Matemática D). Para esto indique a sus estudiantes que deben utilizar el recurso GeoGebra anterior.\n
","tipo":"p","eng":"Next, present Activity 2, where you must estimate the age of other mummies.\n
"},{"recurso":"Actividades","tipo":"momento","esp":"Actividad 3
\nEn la actividad anterior se estimó la antigüedad de una momia negra de Chinchorro. Mediante estimaciones y mediciones en muestras orgánicas, se ha determinado la cantidad inicial de átomos de C-14 (\\(C_0)\\) y la cantidad actual de átomos de C-14 (\\(C_a)\\) para otros tres tipos de momias de la cultura Chinchorro: la momia Roja, la momia con vendaje y la momia con pátina de barro.\n\n
\n
","eng":""},{"recurso":"Respuesta","eng":"(Slide 21, Presentation)","tipo":"momento","esp":"![](\"http://static.sumaysigue.uchile.cl/MatCon/situaciones/3_medio/momias_chinchorro/imgs/tabla3_guionprincipal.png\")
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"}]},"3":{"contenido":[{"tipo":"h3","eng":"
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